الصف الثانى الثانوى الأدبى للعام 2015

القســماألدبــى الفصل الدراسى األولكتاب الطالب

الصف الثانى الثانوىالصف الثانى الثانوى

الرياضيات العامةالقسم األدبى

الفــصـل الدراســى األول كــتــاب الطــالــب

إن التنافس مع الذات هو أفضل تنافس.

من وثق بالله أغناه ومن توكل عليه كفاه.

ا. ا أبد من يعش ىف خوف، فلن يكون حر

امدح صديقك علنا وعاتبه رسا.

اخرت كلامتك قبل أن تتحدث.

وحتقيق نفسها حترير عىل القادرة هى وحدها الشعوب

أحالمها.

مةلعا

ت اــا

ضييـا

الربى

ألدم ا

قسال

ولاأل

ى اس

درل ال

فصلب

طاب ال

كتا

العامة

القســماألدبــى

الصف الثانى الثانوى

العامة

الفــصـل الدراســى أول كــتــاب الطــالــب

اإعداد

�أ/ كمال يون�س كب�شة

�أ.م.د/ ع�شام و�شفى روفائيل �أ.د/ نبيل توفيق ال�شبع

�أ/ جمدى عبد الفتاح ال�شفتى �أ/ �شريافيم اإليا�س اإ�شكندر

�أ/ اأ�شامة جابر عبد احلافظ

جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.

شركة سقارة للنشر�ش. م. م

بسم اهلل الرحمن الرحيميسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:

التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذا الكتاب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته 1اليومية, والتى تساعده عىل املشاركة ىف املجتمع.

التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن 2يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج

والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل

آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.

تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع(STS) تعكس دور التقدم العلمى ىف تنمية 3ف الواعى الفعال حيال استخدام األدوات التكنولوجية. املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترص

تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها. 4تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة. 5

االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو، 6واالبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت

وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.

وفى �سوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها تقسيم

واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية، ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت

عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة

العلمية بطريقة شيقة ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى تناسب

القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.

كما قدم ىف كل درس أمثلة مشوقة وسهلة، وتشمل بعضها مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت

عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند تمارين وتشمل مسائل متنوعة تتناول املفاهيم واملهارات التى دراسها

الطالب ىف الدرس وتشمل أيضا تطبيقات متنوعة ىف مجاالت مختلفة.

تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة وتمارين عامة تشمل مسائل وتطبيقات

متنوعة عىل املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف هذه الوحدة.

ينتهى الكتاب باختبارات عامة تشتمل عىل املفاهيم واملهارات التى دراسها الطالب ىف هذه الوحدة.

وأخيرا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.

�له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل وال�

المقدمة

المحتويات

الوحدة األولى: الدوال ذات المتغير الحقيقى ورسم المنحنيات

الدالة الحقيقية��4 الدرس األول:

إطراد الدوال�� 11 الدرس الثانى:

الدوال الزوجية والدوال الفردية�� 14 الدرس الثالث:

تحويالت الرسوم البيانية�� 19 الدرس الرابع:

المعادالت والمتباينات�� 36 الدرس الخامس:

ملخص الوحدة�� 43

تمارين عامة�� 45

اختبار تراكمى�� 47

الوحدة الثانية: االسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

األسس الكسرية�� 50 الدرس األول:

الدالة اآلسية�� 58 الدرس الثانى:

حل المعادالت األسية وتطبيقاتها�� 62 الدرس الثالث:

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها�� 67 الدرس الرابع:

بعض خواص اللوغاريتمات�� 72 الدرس الخامس:




المحتويات

الوحدة الثالثة: النهايات

مقدمة فى النهايات�� 86 الدرس األول:

ايجاد نهاية الدالة جبريا�� 92 الدرس الثانى:

نهاية الدالة عند الال نهاية�� 99 الدرس الثالث:




الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

قانون )قاعدة( الجيب�� 110 الدرس األول:

قانون )قاعدة( جيب التمام�� 120 الدرس الثانى:




اختبارات عامة�� 137

إجابات بعض التمارين�� 151

الوحدة األولى

المصطلحات األساسية

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف مفهوم الدالة ذات المتغير الحقيقى يحدد مجال الدوال ذات المتغير الحقيقى، والمجال المقابل والمد لها. يتعرف الدوال الزوجية والدوال الفردية ويفرق بينهما. تناقص - الدوال (تزايد الحقيقى المتغير ذات الدوال إطراد يستنتج

الدوال - ثبوت الدوال).يتعرف الدوال كثيرات الحدود. الدالة - المقياس دالة - التربيعية (الدالة الدوال منحنيات يرسم

) ويستنتج خواص كل منها. التكعيبية - الدالة الكسرية د(س) = (س١يستنتج تأثير كل من التحويالت:

د(س ! C)، د(س) ! C على الدوال السابقة. يستنتج تأثير د(Cس)، Cد(س) على الدوال السابقة.

المتغير ذات الدوال منحنيات رسم على السابقة التحويالت يطبق الحقيقى.

يحل معادالت على الصورة: |C س + ب| = ج ، |C س + ب| = |د س + ج |

يحل متباينات على الصورة: |C س + ب| < ج ، |C س + ب| > ج ،

|C س + ب| H ج , |C س + ب| G ج يستخدم الدوال ذات المتغير الحقيقى فى حل مشكالت رياضية

وحياتية فى مجاالت مختلفة فى صورة مختلفة.

Function دالة Increasing function دالة تزايدية Modulus function دالة مقياس Even function دالة زوجية Decreasing function دالة تناقصية Quadratic function دالة تربيعية

Odd function دالة فردية Constant function دالة ثابتة Cubic function دالة تكعيبية polynomial function دالة كثيرة الحدود Rational function دالة كسرية Range مد

Transformation تحويل هندسى Domain مجال Co-Domain مجال مقابل Monotony of a function إطراد دالة

الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات Real Functions

دةوح

س الرود

أهداف الوحدة

كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى

الدالة الحقيقية. الدرس األول:

أطراد الدوال. الدرس الثانى:

الدوال الزوجية والدوال الفردية. الدرس الثالث:

التحويالت الهندسية على الدوال. الدرس الرابع:

الدرس الخامس: المعادالت والمتباينات.

مقدمة الوحدة

مخطط تنظيمى للوحدة

كان لبردية الكاتب المصرى أحمس التى نسخها عام ١٦٥٠ق.م والتى تتناول دراسة حول المتتابعات الحسابية والهندسية ومعادالت الدرجتين األولى والثانية

٣ س، س٢ + ص٢ = ١٠٠ الدور األكبر واألساس فى اكتشاف نظرية فيثاغورث، وقد نقل البابليون هذه الدراسات بعد ذلك بوضع ٤

مثل المعادلتين ص =

جداول للمربعات والمكعبات، وحلوا معادالت الدرجة الثانية والثالثة، كما عرف اإلغريق الحل الهندسى لهذه المعادالت ، ولقد اشتغل العرب بالجبر وأعدوه

بطريقة علمية منظمة، وكان من أبرز علمائهم الخوارزمى والخيام، وقد استمرت المؤلفات العربية سارية المفعول قام علماء الغرب بتطوير األبحاث العربية

فى الرياضيات ومن أبرز علمائهم العالمان الفرنسييان إيناريست جالو (١٨١١ - ١٨٧٣) وهرميت شارل (١٨٢٢ - ١٨٧٦) واأللمانى كالين فيلكس (١٨٤٩

- ١٩٢٥). واألمل معقود عليكم أبناءنا الطالب فى استعادة مجدنا العلمى فى عصوره الذهبية لنهضة ورفعة بلدنا مصر الحبيبة.

ئلساالوت و

دوااأل

الدوال الحقيقية

أنواع الدوالخواص الدوال

تعريف الدالة

التماثل

إطراد الدوال

ثابتة

إزاحة أفقية إزاحة أفقيةإزاحة رأسيةورأسية معا

انعكاس الدوال

مط لمنحنى الدالة

دالة جيب التمامدالة الجيب

تكعبيةتربيعيةخطية

دوال زوجية

دوال ليست زوجيةو ليست فردية

دوال فردية

دوال مثلثية الدوال الكسرية دالة المقياس دالة معرفة بأكثر من قاعدة

دوال كثيرات الحدود

المجال المجالالمقابل

ثابتةتناقضيةتزايدية قاعدة الدالة

حل معادالت

حل متباينات

تطبيقات حياتية

التحويالت الهندسية

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول

آلة حاسبة علمية - آلة حاسبة رسومية - جهاز الكمبيوتر مزود ببرامج رسومية


1 سدرá«≤«≤ëdG ádGódGال

Real Functions

سوف تتعلم


األدوات المستخدمة

�� F�� !" �#�$%� ��

��&'� ��( ��) *��+'� �� ,��"

Function ��- domain .�/ co−domain 0"�� .�/ range 1� arrow diagram �&�� FM3 Cartesian diagram 4��" FM3

¿CG ôcòJ

�� !�"�

# �� $� �%&'( ��

�!�"� ��

فكر و ناقش

غير مجموعتين بين عالقة بأنها وعلمت الدالة، مفهوم السابقة األعوام فى درست

N بعنصر واحد فقط من عناصر M بحيث يرتبط كل عنصر من N ،M خاليتين

(....... ،S ،X ،د) ويرمز للدالة بأحد الرموز

N # M :) :كاآلتى N �� * M �� $� ) �� +��,-د(س) وتمثل الدالة عن للتعبير �.�) الرمز ويستخدم N �* M $� �) ��",-

قيمة ص التى ترتبط بقيمة س وتكتب / = (�.�

مثال

العالقة من المجموعة M إلى المجموعة N الممثلة 1

حيث دالة تمثل المجاور السهمى المخطط فى

المجموعة M هى مجال الدالة

المقابل المجال N والمجموعة {٤ ، ٣ ، ٢ ، ١} =

للدالة = {٥ ، ٦ ، ٧ ، ٨ ، ٩}، أما مجموعة العناصر

{٦ ، ٨ ، ٩} فتعرف بمدى الدالة.

حاول أن تحلأى من العالقات المبينة بالمخططات السهمية اآلتية تمثل دالة وأيها التمثل دالة، 1

ثم اكتب المجال والمدى فى حال كونها دالة:

01

2345 6

01

2345 6

01

2345 6

MMM NNN

التعبير عن الدالةتتحدد الدالة متى علم كل من:

قاعدة الدالة. المجال المقابل. المجال.

7681

03

245

MN

كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى4

:$%�"��M ��;<! �� $� �>��-�: إذا كانت د: N # M فإن مجموع األزواج المرتبة تسمى بيان � ��%! -١الدالة فى المثال السابق تكون مجموعة األزواج المرتبة هى {(١، ٦)، (٢، ٨)، (٣، ٩)،

(٤، ٦)} يمكن تمثيلها فى المستوى الديكارتى كما فى الشكل المقابل.

حيث نالحظ أن كل خط رأسى فى الشبكة البيانية يمر بنقطة واحدة فقط من النقط

التى تمثل عناصر الدالة.

�: إذا كان (س، ص) ينتميان لبيان الدالة فإن العنصر ص يسمى صورة العنصر س للدالة ونعبر عن ذلك � ?��@ -٢بالصورة ص = د(س) وتسمى هذه قاعدة الدالة.

مثال

2 أي من العالقات اآلتية دالة مع ذكر السبب?

ص٢ = ٣س٢ + ٤ ب ص = ٢س٢ - ١ أ الحل

العالقة ص = ٢س٢ - ١ دالة . أ ألن كل قيمة حقيقية للمتغير . يناظرها قيمة وحيدة فقط للمتغير /

��ABC : عندما . = 8 فإن / = 3 وهكذا عند إعطاء س أي قيمة أخرى تناظرها قيمة وحيدة للمتغير ص.

العالقة ص٢ = ٣س٢ + ٤ ليست دالة ب ��ABC : عندما . = 8 فإن ص = !٤

≈°SCGôdG §îdG QÉÑàNGإن الخط الرأسى عند أى عنصر من عناصر المجال يمر بنقطة

واحدة فقط من النقط التى تمثل العالقة فإن العالقة تكون دالة.

تحديد العالقات التى تمثل دالةمثال

ص كانت إذا ما بين: اآلتية األشكال من شكل كل فى 3

تمثل دالة فى س أم ال?

777−8− -

8

8

/

.

�0� ��D

7

77−8− -

8

8

/

.

�7� ��D

777−

7−8− -

8

8

/

.

�8� ��D�2� ��D

7-

8

8 0 2

/

.7

8214

7E

7 8 0 2 M

N

�) FG%

7−8−

87

87 07−

/

.

�)

7−8−

87

87 07−

/

.

á«≤«≤◊G ádGódG

5 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول

1 سدرال

الحل�� 7 يمثل دالة .D

�� 8 ال يمثل دالة؛ ألن الخط الرأسى المار بالنقطة (١، ٠) يقطع الشكل البيانى فى نقطتين.D�� 0 يمثل دالة.D

�� 2 ال يمثل دالة؛ ألنه يوجد خط رأسي يقطع المنحنى في أكثر من نقطة.D حاول أن تحل

فى كل عالقة مما يأتى حدد: ما إذا كانت ص تمثل دالة في س أم ال? 2

تمثل س رقم جلوس الطالب، ص مجموع درجاته فى امتحان الفصل الدراسى األول. أ

تمثل مجموعة األزواج المرتبة {(٢، ٣)، (٣، ٤)، (-٢، ١)، (٣، ٥)} بيانا لعالقة ما. ب

É vjÈL ádGódG ∫É› Ú«©J مثال

عين مجال كل من الدوال اآلتية: 4 س٢ - ٤

س٢ + ٤(س) =

٣د ج

س + ٣

س٢ - ٩(س) =

٢د ب (س) = ٢س٢ + ٣س + ١

١د أ

الحل

. I دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، لذلك فإن مجالها ١الدالة د أ

تكون غير معرفة عندما يكون المقام = صفرا لذلك نضع٢الدالة د ب

.{٣، ٣-} - I = س٢ - ٩ = ٠ فتكون س = !٣ ومن ذلك فإن مجال الدالة

بوضع س٢ + ٤ = ٠ وهذه المعادلة ليس لها حل فى I، أى ال يوجد ٣ج الدالة د

.I هو ٣أصفار حقيقية للمقام لذلك، فإن مجال الدالة د

حاول أن تحلعين مجال كل من الدوال الحقيقية المعرفة بالقواعد اآلتية: 3

س٢ - ١٦س - ٤

(س) = ٢د ب (س) = س٢ + ٢س

١د أ

٢س٢س٢ + ٣س

(س) = ٣د ج

مثال

Function defined by more than one rule IóYÉb øe ôãcCÉH áaô©ªdG ádGódG

ارسم الشكل البيانى للدالة، واستنتج من الرسم مجال الدالة ومداها.-٢ H س < ٢ ٣ - س عندما

٥ H س H ٢ س عندما إذا كانت د(س) = 5

الحلخطية دالة تمثل س د(س) = وبالمثل ]٢ ، ٢-] ∋ س الفترة على محدودة خطية دالة تمثل س - ٣ د(س) =

محدودة على الفترة س ∈ [٢ ، ٥].

¿CG ôcòJ

تعطى التى الدالة تسمى

س + ١C +

٠C = (س)

١بالقاعدة: د

،٠C سن حيث

نC + ..... + س٢

٢C

٠ ! نC ،I ∋

نC + ..... ،

٢C ،١C

ويكون الحدود كثيرة بالدالة

.I مجالها هو

= د(س) الدالة تسمى كما

كثيرتا ع ،X حيث X (س)ع (س)

ومجالها الكسرية بالدالة حدود

مجموعة أصفار المقام.-I هو

äÉ«æëæŸG º°SQh á«≤«≤◊G ∫GhódG :الوحدة األولى


:�(�H IJ

٥ = (٢-) - ٣ = د(-٢)

٢ = د(٢)

٥ = د(٥)

:�� H KL� $�

[٢ ، ٥-] = مجال الدالة

[١ ، ٥[ = مدى الدالة

حاول أن تحل-٢ H س < ٠ س٢ - ١ عندما

٠ G س + ١ عندما سإذا كانت د(س) = 4

ارسم الشكل البيانى للدالة، واستنتج من الرسم مجال الدالة ومداها.

الربط بالتجارة: تمثل الدالة د حيث 6 ٥٠٠٠ H س H ٥٢ س حيث ٠

١٥٠٠٠ H ٢س + ٢٥٠٠ حيث ٥٠٠٠ < س

٦٠٠٠٠ H ٣٢س + ١٠٠٠٠ حيث ١٥٠٠٠ < س

د(س) =

المبلغ بالجنيه الذى تتقاضاه شركة لتوزيع أحد األجهزة الكهربية، حيث س تمثل عدد األجهزة الموزعة، أوجد:

د(٥٠٠٠٠) ج د(١٠٠٠٠) ب د(٥٠٠٠) أ

الحل

٥٢س إليجاد د(٥٠٠٠) نستخدم القاعدة د(س) = أ 6EEE = . $� M��! ٥٢ * ٥٠٠٠ د(٥٠٠٠) =

د(٥٠٠٠) = ١٢٥٠٠ جنيه

إليجاد د(١٠٠٠٠) ب نالحظ أن ١٠٠٠٠ أكبر من ٥٠٠٠ وأقل من ١٥٠٠٠ لذلك نستخدم القاعدة د(س) = ٢س + ٢٥٠٠

7EEEE = . $� M��! د(١٠٠٠٠) = ٢ * ١٠٠٠٠ + ٢٥٠٠

د(١٠٠٠٠) = ٢٢٥٠٠ جنيه

ج إليجاد د(٥٠٠٠٠) نالحظ أن ٥٠٠٠٠ أكبر من ١٥٠٠٠ وأقل من ٦٠٠٠٠

6EEEE = . $� M��! ٣٢ * ٥٠٠٠٠ + ١٠٠٠٠ د(٥٠٠٠٠) =

د(٥٠٠٠٠) = ٨٥٠٠٠ جنيه

77

7− .

/

8− 8

8

0

0

2

2

6

61

¿CG ßM’

.N .

/

N /

1��

�� .�5�C O

P(

E

�C�� QH�%> ��R Q� �<� ) ��S

TO , CV = �� T E , P(V = ��



1 سدرال

حاول أن تحل

أوجد:١٢ H س H ٠ ٣س حيث

١٢ < س < ٢٤ ٣٦ حيث

٣٠ H س H ٢٤ ١٨٠ - ٦ س حيث

إذاكان د(س) = 5

د(٢٨) ج د(٢٠) ب د(١٢) أ

نشاط

Operations on real functions :á«≤«≤ëdG ∫GhódG ≈∏Y äÉ«∏ª©dG:�<�

٢W ،

١W ��X�� $%�) 8) , 7) FH�Y Z*

٢∩ م

١) هو م

٢ ! د

١مجال (د (س) ،

٢ (س) ! د

١) (س) = د

٢ ! د

١(د ١

٢∩ م

١) هو م

٢. د

١مجال (د (س) ،

٢ (س). د

١) (س) = د

٢د

.

١(د ٢

(٢) - ف (د

٢∩ م

١) هو (م ١

د

٢د

مجال ( (س) ! ٠ ٢ حيث د (س)

١د

(س)٢د

) (س) = ١د

٢د

) ٣

٢) مجموعة أصفار د

٢حيث ف (د

باستثناء القيم التى تجعل ٢، د١H� \;BH] فى جميع الحاالت السابقة أن مجال الدالة الجديدة يساوى تقاطع مجالى د

(س) = ٠ فى عملية القسمة.٢د

(س) = ٣ س - ١،١ : I # I حيث د

١إذا كان : د

(س) = ٢ س + ٤٢ : [-٢، ٣] # I حيث د

٢د

فأوجد

) (س)٢ - د

١(د ب ) (س)

٢ + د

١(د أ

د١ (س)٢د

د ) د (س) ٢ . د١(د ج

الحل

8− 0[٢، ٣-] = (

٢ ( مجال د

٢) = I ، م

١ (مجال د

١م

[٢، ٣-] = ٢∩ م

١م

) (س) = (٣س -١) + (٢س +٤) = ٥س + ٣ ومجالها [-٢، ٣]٢ + د

١(د أ

) (س) = (٣س -١) - (٢س +٤) = س - ٥ ومجالها [-٢، ٣]٢ - د

١(د ب

) (س) = (٣س -١)(٢س +٤) = ٦س٢ +١٠س -٤ ومجالها [-٢، ٣]٢.د١(د ج

٣س-١ ومجالها ]-٢، ٣]٢س+٤

د١ (س) = ٢د

د



تمــــاريــن الدرس ا�ول

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة: 1

العالقة المبينة بالمخططات السهمية التالية والتى تمثل دالة هى: أ

7681

03

245

MN

��

7681

03

245

MN

�O�

7681

03

245

MN

�)� �P(�

7681

03

245

MN

العالقة المبينة فى األشكال البيانية التالية والتى ال تمثل دالة هى: ب

7

77−

7− .

/

8−0− 8

8

0

0

��7

77− .

/

8− 8

8

0 0

0

�P(�

77

7−

8−

.

/

8−7−

0− 8

8

0

�)� �O�7

77−

7− .

/

8−0− 8

8

0

0

أى من العالقات اآلتية ال تمثل دالة? ج {(٣، ٥) ،(٢، ١) ،(٣، ٤) ،(٢، ٣)} �O� {(٧، ٩) ،(٥، ٧) ،(٣، ٥) ،(١، ٣)} ��

{(٢، ٥) ،(٠، ٥) ،(١، ٥-) ،(٣، ٥-)} �)� {(٣، ٣) ،(٢، ٣) ،(١، ٣) ،(٠، ٣)} �P(�

جميع العالقات اآلتية تكون فيها ص دالة فى س ما عدا العالقة: د �(� ص = س٣ �)�P س = ص٢ - ٢ ��O ص = س٢ - ٤ �� ص = ٣س + ١

إذا كان د : N # M وكان M = {C، ب، جـ}، N = {٣، ٤، ٥، ٦، ٧} وكان: 2

= {(C، ٣)، (ب، ٣)، (جـ، ٣)}٢ = {(C، ٤)، (ب، ٧)، (جـ، ٣)}، ع

١ع

ارسم المخطط السهمى. ب دالتان? ولماذا? ٢، ع

١هل ع أ

{١، ٢، -٢، -٣} = M وكان I # M :إذا كانت د 3

أوجد مدى الدالة إذا كان د(س) = ٥س - ٣

إذا كان M = {األهرامات، معبد الكرنك، قلعة قايتباى}، N هى مجموعة محافظات جمهورية مصر العربية. 4

وكان د : N # M انسب المناطق األثرية للمحافظات التى توجد بها، مثل هذه الدالة بمخطط سهمى.



1 سدرال

حيث S(س) = ٤س - ٣ +N# {١، ٢، ٣، ٤، ٥} : S إذا كانت 5

إذا كانت S(س) = ١٧ فإوجد قيمة س. ب اكتب مدى الدالة أ

عين مجال الدالة د فى كل مما يأتى: 6

د(س) = س٢ + ٣س ج د(س) = ٢س + ٣ ب ١٢ د(س) = أ

س + ٢س٣ + ٨

د(س) = و ٧-س٢ - ٢س + ٣

د(س) = ه س - ٣ س٢ - ٥س + ٦

د(س) = د

-٤س + ٣ حيث س < ٣٨ H س H س٣ حيث ٣ -

٣س٢ + ١ حيث س > ٨إذا كان: د(س) = 7

:�(-� د(١٠) ج د(٣) ب د(٢) أ

الربط بالهندسة: إذا كان ح محيط مربع طول ضلعه ل. اكتب محيط المربع كدالة فى طول ضلعه ح(ل)، ثم 8

أوجد:

( ١٥٤ ح( ب أ ح (٣)

الربط بالهندسة: إذا كانت م مساحة دائرة طول نصف قطرها H. اكتب المساحة كدالة فى طول نصف القطر 9

م (نق)، ثم أوجد م(١٢)، م(٥).

اء: إذا كانت سرعة دراجة بخارية ع(ن) بالكيلو متر/ ثانية تعطى بالدالة ع حيث: الربط بالفي 10

١٠ H ن H ٨ ن حيث ٠٨٠ حيث ١٠ < ن < ٢٠٠

٢٢٠ H ن H ٤ن + ٨٨٠ حيث ٢٠٠-ع(ن) =

حيث ن الزمن بالثانية، أوجد:

ع(٢١٠) ج ع(١٥٠) ب ع(١٠) أ




2 سدرال

Monotony of the functions :∫GhódG OGôWEG : k’hCG

تمهيد

يمكنك فهل منها، جزئية مجموعة أو I مجالها التى الدوال بعض درست أن سبق

تحديد الفترات من مجال هذه الدوال التى تكون فيها الدالة تزايدية والفترات التى

تكون فيها الدالة تناقصية والفترات التى تكون الدالة فيها ثابتة?

إن تحديد هذه الفترات هو مايعرف باطراد الدالة.

تعلم/

.8. O7.C

/

.8.P( 7. E

/

.8. 7. W

للدالة د إنها:�"�� فى الفترة ]C ، ب[��',

�� Y Z* ∈]C ، ب [

٢ ، س

١س

١ > س

٢حيث: س

(١) > د(س

٢� د(س<�

للدالة د إنها:�"�]E ، فى الفترة ]جـ �%�@��,

�� Y Z*]E ، جـ [∋

٢ ، س

١س

١ > س

٢حيث: س

(١) < د(س

٢� د(س<�

للدالة د إنها:�"�[�!�� فى الفترة ]ل ، م[

�� Y Z* ∈] ل ، م[

س

C = (س)د

(حيث C مقدار ثابت)

مثال

الشكل فى الممثلة الدالة إطراد ابحث 1

البيانى المقابل.

الحلالدالة تناقصية فى الفترة ]-∞، ٠[

الدالة تزايدية فى الفترة ]٠، ٢[

الدالة ثابتة فى ]٢،∞ [

/

.7− 77

8

8

0

02

2 68−

∫GhódG OGôWEGMonotony of the functions



سوف تتعلم

��&'� ��( ��) *��+'� ��&�� ,��"

Montony -��I7 Increasing function �88�9: ��- Decreasing function ��;��<: ��- Constant function ��"�= ��-

�88�9�� ;��<�� "��



فى الشكل المقابل: 1

تكون التى والفترات الدالة تزايدية، تكون فيها التى الفترات ابحث

فيها تناقصية، والفترات التى تكون فيها ثابتة.

مثال

ابحث إطراد كل من الدوال الممثلة باألشكال اآلتية، ثم اكتب مدى الدالة: 2

7

8

8−7− .

/

2−

8−0−2− 8 0 2

2

-

�8� ��D

7

8

8−7− .

/

2−

8−0− 8

2

-

�7� ��D�0� ��D

/77−8−0− .8 0-

4128

الحل�� 7 الدالة تزايدية فى الفترة ]-∞، ٠[ , ثابتة فى الفترة]٠،∞ [ ،[ المدى = ]-∞، -٢[ ∪ {٢}D

�� 8 الدالة تزايدية فى الفترة ]-٤، -٣[D الدالة ثابتة فى الفترة ]-٣، ٣[

الدالة تناقصية فى الفترة ]٣، ٤[، والمدى = [٠، ٤]

لدالة تناقصية فى الفترة ]-∞، ٠[ �0� ��D الدالة تزايدية فى الفترة ]٠، ∞ [ والمدى = ]-∞، ٠[

حاول أن تحلإذا كانت د: [-١، ٥] # I تتحدد بالقاعدة: 2

عندما -١ H س < ٢ ٤ - س

٥ H س H عندما ٢ س د(س) =

فأوجد كال من : د(−7)، د(٠)، د(٢)، د(٣)، د(٥)

ثم ارسم الشكل البيانى للدالة، واستنتج من الرسم مدى الدالة، ثم ابحث إطرادها.

/ .77−

7−8−

8−

0−

0−2−

2−6− 8



تمــــاريــن الدرس الثاني

األشكال اآلتية تمثل الرسم البيانى لبعض الدوال، استنتج من الرسم مدى الدالة وابحث اطرادها: 1 /

.

7

77−7−

8−

8−

0−

0−2−

8

08

02

�2� ��D

.7-7−7−

8−

8−

0−2−

0−2−

0 28

�0� ��D

/

.7-7−8−

2

0−2−

87

0 28�8� ��D

/

.

7

7-7−7−8−

8−

0−

0−2−

8

08

02

�7� ��D

، س > ٢ س - ١

٢ H س ، ١-حيث د(س) = I # [٢، ٤-] :إذا كانت د 2

ارسم الشكل البيانى للدالة د ، ومن الرسم استنتج مدى الدالة ، وابحث إطردها.

ارسم منحنى الدالة د حيث: 3 ٢ G س ، س + ٣

، س < ٢ ٢س - ١ د(س) =

ومن الرسم أوجد مدى الدالة، وابحث إطرادها.

إذا كانت الدالة د: [-٢، ٤] # I حيث: 4 عندما -٢ H س < ٠ ٢س + ٣

٤ H س H ١ - س عندما ٠د(س) =

ارسم الشكل البيانى للدالة د، ومن الرسم استنتج مدى الدالة وابحث إطرادها.

عندما -٣ H س < ٠ س٢ + ١

٣ Hس + ٢ عندما ٠ < سإذا كانت د: [-٣، ٣] # I ، د(س) = 5

ارسم الشكل البيانى للدالة، ومن الرسم استنتج مدى هذه الدالة.

∫GhódG OGôWEG


2 سدرال

الوحدة األولىájOôØdG ∫GhódGh á«LhõdG ∫GhódG

Even and odd functions 3 سدرال

تمهيد

سبق أن درست التماثل حول مستقيم، حيث يمكن طى الشكل على المستقيم لينطبق

نصفا المنحنى تماما، ودرست كذلك التماثل حول نقطة األصل.

77− .

/

8− 8 0

�/ ,.�

�/− ,.�

780

7−8−

7

7

7−7− .

/

8−

8−0− 8

80

�/ ,.��/ ,.−�

^��%G ��_� �; �]��7� ��D

^)�� _� �; �]��8� ��D

:�7� ��D ��صورة هى العالقة لمنحنى البيانى الشكل على الواقعة -ص) ، (س النقطة تكون

النقطة (س ، ص) باالنعكاس في محور السينات.

:�8� ��D ��صورة هى الدالة لمنحنى البيانى الشكل على الواقعة ص) ، س -) النقطة تكون

النقطة (س ، ص) الواقعة عليه أيضا باالنعكاس في محور الصادات.

:�0� ��D ��يوضح الشكل البيانى للعالقة بين س ، ص هناك

تماثل المنحنى حول نقطة األصل حيث إن النقطة

الواقعة ص) النقطة (س، صورة هي (-س، -ص)

على نفس المنحنى.

7

7

7−7− .

/

8−0−

8−0− 8

80

�/ ,.�

�/− ,.−�

-

��` �M"H �; �]��0� ��D

سوف تتعلم



�.�>�� ? 0=@�� A>9�� .�>�� 8-� �� .�>��

��&'� ��( ��) *��+'� �� ,��"

Symmetry 0=�B Even function ��A>C ��- Odd function �8-�# ��-



بين فى كل شكل من األشكال اآلتية المنحنيات المتماثلة حول محور الصادات والمنحنيات المتماثلة حول 1

نقطة األصل:

7

7

7−7− .

/

8−

8−0− 8

8

-7

7

7−7− .

/

8−

8−0− 8

8

-7

7

7−7− .

/

8−

8−0− 8

8

-

��O��P(�

Even and odd functions ájOôØdG ∫GhódGh á«LhõdG ∫GhódG

تعلم

'-)%�: يقال للدالة إنها زوجية إذا كان لكل - س ، س فى مجال الدالة د تكون د (- س) = د (س) ويكون ��منحنى الدالة الزوجية متماثال حول محور الصادات.

��: يقال للدالة إنها فردية إذا كان لكل - س ، س فى مجال الدالة د يكون د (- س) = - د (س) ويكون )�a ��منحنى الدالة الفردية متماثال حول نقطة األصل.

وسنكتفى عند بحث الدالة من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك من الشكل البيانى لمنحنى الدالة فقط.

مثال

باستخدام أحد البرامج الرسومية مثل كل دالة مما يأتى بيانيا ثم حدد: إن كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير 1

ذلك? ثم تحقق من إجابتك جبريا.

د(س) = س٢ - ٤س ج د(س) = ٢ - س٢ ب د (س) = س٣ + س أ

الحل

أ د (س) = س٣ + س واضح من الشكل البيانى أن منحنى الدالة متماثل حول نقطة األصل ولتحقيق ذلك جبريا نجد أن:

= (- س)٣ + (- س) د (-س)

= - س٣ - س د (-س) :F%G>��!

= - (س٣ + س) د (-س) c��R� �� 7−� Jde� د (-س) = - د (س)

� الدالة فردية.� ��

7

7

7−7− .

/

8−

8− 8 0

80

0−

-

ájOôØdG ∫GhódGh á«LhõdG ∫GhódG


3 سدرال

د (س) = ٢ - س٢ ب

من الشكل البيانى المجاور يتضح أن منحنى الدالة متماثل بالنسبة لمحور

الصادات، أى أن الدالة زوجية ولتحقيق ذلك جبريا نجد أن:

د (-س) = ٢ - (-س)٢

د (-س) = ٢ - س٢ F%G>��!

د (-س) = د (س) �%S�` ��

� الدالة زوجية � ��

ج د (س) = س٢ - ٤س من الشكل البيانى المجاور يتضح أن منحنى الدالة

ليس متماثال حول محور الصادات، وليس متماثال بالنسبة لنقطة األصل،

أى أن الدالة ليست زوجية وليست فردية، ولتحقيق ذلك جبريا:

د (-س) = (-س)٢ - ٤ (-س) . $� AX�! .− $� M��!

د (-س) = س٢ + ٤س F%G>��!

- د (س) = - (س٢ + ٤ س) $�-

د (-س) ! - د (س) �<� IJ

-JYI د (- س) ! د (س) �� الدالة ليست زوجية.


!_f: أى من الدوال اآلتية زوجية? وأيها فردية? وأيها غير ذلك? 2

س (س) = ٤ ٣د ج (س) = س حا س

٢د ب س١ (س) = س +

١د أ

مثال

من الشكل المقابل أثبت أن الدالة زوجية، وأوجد مداها وابحث اطرادها. 2 الحل

كل البيانى المجاور يتضح أن منحنى الدالة متماثال حول محور من الش

الصادات، أى أن الدالة زوجية.

مدى الدالة = ]٠، ∞[

الدالة تزايدية فى ]-∞، ٠[

الدالة تناقصية فى ]٠، ∞[

7

7

7−7− .

/

8−

8− 8 0

802

-

77

7− .

/

8−0−2−

8 0 2

8

-

/

77

7−8−0− .8

8

0-

026



تمــــاريــن الدرس الثالث

اذكر: ما إذا كان تماثل المنحنى حول محور السينات أو محور الصادات ، أو نقطة األصل ثم فسر إجابتك. 1

/

77

7−7−

8−

8−

0−2− .8

8

0 2-

/

77

7−7−

8−

8−

.8

8

0 2- 6 1

/

77

7−7−

8−

8−.8

8

-

�7� ��D�8� ��D�0� ��D/

77

7−7−

8−

8−.8

8

-

�2� ��D

/

77

7−7−

8−

8−.8

8

-

�6� ��D

/

77

7−7−

8−

8−.8

8

-

�1� ��D

أوجد مدى كل دالة وبين نوعها من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك. 2

7

8

8−7− .

/

2−

8−0− 8

2

- 7

7

7−7− .

/

8−

8−0− 8

8

-7

82

8−7− .

/

2−

8−0− 8-

7

8

8−7− .

/

2−

8−0−2− 8 0 2

2

-7

7

7−7−

.

/

8−

8−0− 8 0

8

- 7

8

8−7−

.

/

2−

8−0− 8

2

-

�7� ��D

�2� ��D

�8� ��D

�6� ��D

�0� ��D

�1� ��D

ájOôØdG ∫GhódGh á«LhõdG ∫GhódG


3 سدرال

في كل شكل من األشكال اآلتية: 3 /

87−8−0−2−6− .

2

-

1/

762087 .

8

-

0

/

87−

8−2−

8−0−2−6− .

2

-

1/

8162087 .

2

-

1

�7� ��D

�2� ��D

�8� ��D

�0� ��D

: أكمل الرسم فى شكل (١) ، شكل (٤) فى كراستك بحيث تصبح الدالة زوجية على مجالها. AX-�

[��A%H: أكمل الرسم فى شكل (٢) ، شكل (٣) فى كراستك بحيث تصبح الدالة فردية على مجالها.

ثم أوجد المدى فى كل حالة.

استخدم أحد البرامج الرسومية فى رسم منحنيات كل من الدوال اآلتية ومن الرسم،بين أيها زوجية وأيها فردية 4

وأيها غير ذلك ثم تحقق من إجابتك جبريا.

١س د (س) = س٣ - ج د (س) = س - ٤ س٣ ب د(س) = س٤ + س٢ - ١ أ

د(س) = س حتا س و س٣ + ٢ س - ٣

د (س) = ه د(س) = س٢ - ٣س د

استخدم أحد البرامج الرسومية فى رسم منحنيات كل من الدوال اآلتية ثم بين: أى منها زوجية? وأيها فردية? 5

وأيها غير ذلك? ثم أوجد المدى وابحث األطراد.

٠ G س٣ ، س -

س٣ ، س < ٠ب د (س) =

٠ G ٢ عندما س

-٢ عندما س < ٠د(س) = أ

عندما س > ٠ ١س

-١ عندما س < ٠س

د(س) = د ٠ G س - ١ عندما س

٧س عندما س < ٠د(س) = ج



الوحدة األولىá«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG äÓjƒëJ

Transformations of graphs 4 سدرال

The Polynomial function OhóëdG Iô«ãc ádGódGسبق أن درست الدالة كثيرة الحدود التى قاعدتها على الصورة:

K س KC + ........+ س٣٣C + س٢

٢C + س

١C + ٠C = (س)د

٠ ! KC ،I∋ KC ، ........، ٣C ،

٢C ،

١C ،

٠C :f%;

وعلمت أن المجال والمجال المقابل هو مجموعة األعداد الحقيقية ح (مالم يذكر غير

ذلك) ، ولذلك تسمى هذه الدوال بدوال كثيرة الحدود من الدرجة ن ، ودرجة كثيرة

الحدود هى أعلى قوة يأخذها المتغير المستقل س.

وفيما يلى سوف نتناول دراسة لبعض الدوال كثيرة الحدود.

تعلم

Linear function á«£îdG ádGódGهى دالة تكتب بالصورة: د(س) = م س + جـ حيث م

، جـ ثوابت، م ! ٠ , (م هو ميل الخط المستقيم، جـ

الجزء المقطوع من محور الصادات).

مثال

٣ ويقطع من محور الصادات ٤

اكتب الدالة التى يمثلها الخط المستقيم الذى ميله 1

جزءا سالبا طوله ٣ وحدات ثم مثله بيانيا.

الحل(�.� = م س + جـ

٣٤ س - ٣ ٣٤ ، جـ = - ٣: ص = �M �$: م = ��! والتمثيل البيانى للمستقيم

كما فى الشكل المجاور

.

/

-

P( + . W = /

/7

7−8−0−

D-�;�� EM�&��

F<�G�� EM�&��.22− 300− 188− 677−



سوف تتعلم

��&'� ��( ��) *��+'� �� ,��"

Transformation ��<H 08�I Translation �(�C7 Reflection J�K$L7

->�� M�� '� ��<N� OP8�+��

��M�� <N� OP8�+��

J��%� ��'� ��<N� OP8�+��

��$�"Q�� '� ��<N� OP8�+��

��$K�� '� ��<N� OP8�+��

��8RK�� .�>'� ��<N� OP8�+��

��'�%� .�>�� S$��


حاول أن تحلاكتب الدالة التى يمثلها الخط المستقيم فى الحاالت اآلتية ثم مثلها بيانيا: 1

١٢ ومقطعه الصادى = - ٤ ميله = ب ٤-٣ ومقطعه الصادى = ٦ ميله = أ

تعلم

Horizontal translation (á≤∏£ªdG áª«≤dG) ¢SÉ«≤ªdG ádGOالنحو على وتعرف د(س) = |س| هى المقياس لدالة صورة أبسط

التالى:

د(س) =G٠س،س

٠<س،- س

E = |E| , 0 = |0| = |0 − | :�� \;Xخواص دالة المقياس:

مجالها هو مجموعة األعداد الحقيقية ، ومداها هو: [٠ ، ∞[ ، منحنى الدالة متماثل حول محور الصادات، وبالتالى

فإن الدالة زوجية.

Transformations of modulus function :¢SÉ«≤ªdG ádGód á«°Sóæ¡dG äÓjƒëàdG

:(äÉæ«°ùdG Qƒëe √ÉéJG ≈a) á«≤aC’G áMGRE’G

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 2

ع(س) = |س + ٣| ب S(س) = |س – ٢| أ

الحلهذه الدالة على الصورة: ر(س) = د (س – ٢) أ

وعليه فإن منحنى ر(س) هو منحنى د(س) بإزاحة

أفقية قدرها ٢ وحدة إلى اليمين.

هذه الدالة على الصورة: ع(س) = د (س + ٣) ب

بإزاحة د(س) منحنى هو ع(س) منحنى فإن وعليه

أفقية قدرها ٣ وحدات إلى اليسار.

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل من 2

الدالتين S، ع حيث:

ع(س) = |س - ٢| ب S(س) = |س + ٤| أ

.

/80

722−6− 00− 88− 677− -

.

/80

72 32− 0 10− 88− 6 477− -

.

/

802

72−6− 04− 0− 83− 8− 71− 7− -



Vertical translation (äGOÉ°üdG Qƒëe √ÉéJG ≈a) á«°SCGôdG áMGRE’G

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل دالة من الدالتين S، ع: 3

ع(س) = |س| - ٤ ب S(س) = |س| + ٢ أ

الحلهذه الدالة على الصورة: أ

S(س) = د(س) + ٢

وعليه فإن منحنى ر(س) هو منحنى د(س) بإزاحة

رأسية قدرها ٢ وحدة إلى أعلى.

هذه الدالة على الصورة: ع(س) = د(س) – ٤ ب

وعليه فإن منحنى ع(س) هو منحنى د(س) بإزاحة

رأسية قدرها ٤ وحدة إلى أسفل.

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د(س) حيث د(س) = |س| لتمثيل 3

كل من االدالتين:

ع (س) = |س| + ٣ ب S(س) = |س| -٥ أ

:(äÉ«KGóME’G iQƒëe √ÉéJG ≈a) á«≤aC’G áMGRE’Gh á«°SCGôdG áMGRE’G

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 4

ع(س) = |س + ١| - ٢ ب S(س) = |س - ٢| - ٣ أ

الحلهذه الدالة على الصورة ر(س) = |س - ٢| - ٣ أ

وحدة ٢ بإزاحة د(س) منحنى هو ر(س) منحنى أن أى

أفقية إلى اليمين و ٣ وحدات رأسية إلى أسفل.

هذه الدالة على الصورة ع(س) = |س + ١| - ٢ ب

بإزاحة د(س) منحنى هو ع(س) منحنى أن أى

وحدة واحدة أفقية إلى اليسار و٢ وحدة رأسية إلى

أسفل.

802

744−7E−78− 11− 22− 7E 7888−

.-

/

8

7−

0−

7

8−

2−

22−6−1− 00− 88− 6 177−

/

- .

320− 108− 6877−

8

8−

7

0−

/

.7−

-

20−1−3− 08−6− 6877−2−

8

8−

7 .

/

-

á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG äÓjƒ–


4 سدرال

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل من الدوال S، ع: 4

ع(س) = |س - ٢| + ٤ ب S(س) = |س + ٣| - ١ أ

:¢SÉ«≤ªdG ádGO ¢SÉμ©fGمنحنى الدالة ر حيث ��.� = − |.| هو انعكاس لمنحنى

الدالة د حيث (�.� = |.| على محور السينات.

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل 5

دالة من الدوال اآلتية

ع(س) = ٢ - |س + ٣| ب S(س) = - |س – ١| - ٢ أ

الحلأ منحنى S(س) هو انعكاس منحنى د(س) على محور

و٢ اليمين إلى أفقية واحدة وحدة إزاحة ثم السينات

وحدة رأسية إلى أسفل.

��g;B : يمكن رسم الدالة S مباشرة وذلك بتعيين نقطة رأس المنحنى (١، -٢) وتحديد النقاط (٠، -٣)، (٢، -٣).

السينات محور على انعكاس ب منحنى ع(س) هو

لمنحنى د(س) ثم إزاحة ٣ وحدات أفقية إلى اليسار

و٤ وحدات رأسية إلى أعلى.

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل كل 5

دالة من الدالتين S، ع حيث:

ع(س) = ٢ - |س + ١| ب S(س) = - |س – ٣| + ١ أ

Properties of the modulus function :¢SÉ«≤ªdG ádGO ¢UGƒN ¢†©H

سندرس دالة المقياس فى الصورة: د(س) = ك |س – C| + ب حيث ك !! ١

:�%,h /�i j��L $�� k>L ��-نقطة رأس المنحنى هى: (C ، ب).

C = معادلة محور التماثل هى: س

20−1− 08−6− 6 1877−2−

80

8−7−

0−

7 |J| = UJV-

|J| − = UJV�

/

.-

8−7−

0−2−

22−6− 00− 88− 6 177− - ./

8−

780

2−4− 6−5− 00−3− 88−1− 77−

/

.-



تعلم

Quadaratic function (Second degree function) á«©«HôàdG ádGódG سندرس الدالة التربيعية التى على الصورة : د(س) = C س٢ + ب س + جـ حيث C ! صفر وسنكتفى فى دراستنا

١- = C١ أو = C هذا العام بالحالة التى عندها

وتمثل بيانيا بمنحنى متماثل ، حول مستقيم يوازى محور الصادات و يمر بنقطة رأس المنحنى وهى:

- ب)) C ٢

- ب ، د( C ٢

) الشكل التالى يمثل أبسط صورة لمنحنى الدالة التربيعية د.

د (س) = س٢ منحنى الدالة د(س) = -س٢ هو انعكاس لمنحنى

الدالة د (س) = س٢ في محور السينات حيث:

.-

0

78

22− 00− 88− 77−

/.-/22− 00− 88− 77−

8−7−

0−

C = ١ ، ب = ٠ ، جـ = ٠

نقطة رأس المنحنى هى (٠ ، ٠).

الصادات، محور حول متماثل الدالة منحنى

وبالتالى فإن الدالة زوجية.

مدى الدالة = [٠ ، ∞ [

الدالة تناقصية فى ] - ∞ ، ٠ [ وتزايدية فى ]٠ ، ∞ [

C = - ١ ، ب = ٠ ، جـ = ٠

نقطة رأس المنحنى هى (٠ ، ٠).

الصادات، محور حول متماثل الدالة منحنى

وبالتالى فإن الدالة زوجية.

مدى الدالة = ] - ∞ ، ٠]

الدالة تزايدية فى ] - ∞ ، ٠ [ وتناقصية فى ]٠ ، ∞ [

:ádGódG ≈æëæe ≈∏Y á«°Sóæ¡dG äÓjƒëàdG ¢†©H

Some geometric transformations on the curve of the function ، C ! (س) د ، (C ! س)نتبع نفس التحويالت الهندسية السابق دراستها فى دالة المقياس على الدالة التربيعية، وهى د

د (Cس)، C د(س) واألمثلة اآلتية توضح ذلك:

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 6 ع (س) = - (س + ٣)٢ ب S(س) = (س + ٢)٢ أ



4 سدرال

الحل

أ 0

78

2−1− 0−6− 88− 77−.

-

ب/

8−7−

0−

0−1−3− 8−6− 77−2−/ .-

منحنى S (س) = (س + ٢)٢ هو منحنى

د(س) = س٢ بإزاحة وحدتين في االتجاه

السالب لمحور السينات.

منحنى ع (س) = -(س + ٣)٢ هو منحنى

محور فى باالنعكاس س٢ = د(س)

فى وحدات بثالث إزاحته ثم السينات،

االتجاه السالب لمحور السينات.

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 6 ع (س) = (س – ٣)٢ ب S(س) = (س – ٤)٢ أ

:(á«°SCGQ áMGREG) äGOÉ°üdG Qƒëe √ÉéJG ≈a ádGódG ≈æëæe áMGREG

مثال

ارسم منحنى الدالة د حيث : 7

١٢ د (س) = - س٢ - ب أ د(س) = س٢ + ١

ومن الرسم عين المدى.

الحلأ /

.-

0

7

2

8

2− 0−6− 608− 2877−

/ب-

.

8−7−

0−2−

2− 0−6− 8 28− 7 0 67−

منحنى هو ١ + س٢ = د(س) منحنى

في واحدة وحدة بإزاحة س٢ = د(س)

االتجاه الموجب لمحور الصادات.

المدى = [١، ∞[

منحنى هو ١٢ - س٢ - = د(س) منحنى

محور في باالنعكاس س٢ = د(س)

في وحدة نصف إزاحته ثم السينات،

االتجاه السالب لمحور الصادات.

[ ١٢ المدى = ]-∞ ، -



حاول أن تحلارسم منحنى الدالة د حيث: 7

٣٢ د (س) = - س٢ - ب ٣٢ د(س) = س٢ + أ

ومن الرسم عين نقطة رأس المنحنى ومدى الدالة.

:äÉ«KGóME’G iQƒëe ≈gÉéJG ≈a ádGódG ≈æëæe áMGREG

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 8

ع (س) = س٢ + ٤س + ١ ب S(س) = (٣ – س)٢ – ١ أ

الحلأ ب

/

.-

2

8−

87

0

6

8 2 18− 7 0 6 37−

/

.-

2

8−7−

0−

87

0

6

88−2−1− 7 07−0−6−

منحنى ١ - ٣)٢ - (س = ١ س)٢ - - ٣) = (س) د

الدالة S هو منحنى د (س) = س٢ باإلزاحة ثالث

السينات، لمحور الموجب االتجاه في وحدات

لمحور السالب االتجاه في واحدة وحدة ثم

الصادات.

a د (س) = س٢ + ٤س + ١

` د (س) = (س٢ + ٤س + ٤) - ٣

= (س + ٢)٢ - ٣

بإزاحة س٢ = د(س) منحنى هو ع الدالة ومنحنى

السينات لمحور السالب االتجاه في وحدتان قدرها

لمحور السالب االتجاه في وحدات ثالث ثم

الصادات.

حاول أن تحل ،S استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لرسم منحنى كل من الدالتين 8

ع حيث.

د (س) = (س + ٢)٢ – ٤ أ د (س) = ٢ – (س – ٣)٢ ب

تقاطع نقط وإحداثيات المنحنى رأس نقطة إحداثى عين الرسم ومن

المنحنى مع محوري اإلحداثيات وابحث اطراد كل من الدالتين.

¿CG ôcòJ

:�� _�� .�� M"H , P( + . O + 8. C = /

٠ ! Cfب� -

C ٢ - ب , ( �

C ٢p ��



4 سدرال

:á«©«HôàdG ádGódG ¢UGƒN

سندرس الدالة التربيعية على الصورة: د(س) = !(س –C)٢ + ب :

نقطة رأس المنحنى هى (C ، ب).

.C = معادلة محور التماثل هى: س

Cubic function (Third degree function) (á«Ñ«©μàdG ádGódG) áãdÉãdG áLQódG ádGO

تعلم

سندرس الدالة التكعيبية بالصورة التالية: د(س) = ! (س - C) ٣ + ب.

:á«Ñ«©μàdG ádGó∏d IQƒ°U §°ùHCG

د(س) = - س٣ د(س) = س٣/

.

20

8−7−

0−

6−

87

2−

1−

0− 88− 7 07−

/

.

20

8−7−

0−

6−

87

2−

1−

0− 88− 7 07−

منحنى الدالة متماثل بالنسبة لنقطة األصل، لذلك تكون الدالة فردية.

مدى الدالة هو مجموعة األعداد الحقيقية.

.I بينما د (س) = - س٣ تناقصية على I الدالة د حيث د (س) = س٣ تزايدية على

نقطة تماثل الدالة هى (C، ب).

:ádGódG ≈æëæe ≈∏Y á«°Sóæ¡dG äÓjƒëàdG ¢†©H

Some geometric transformations on the curve of the function نستخدم نفس التحويالت الهندسية التى سبق دراستها فى الدالة التربيعية ودالة المقياس.



:äÉ«KGóME’G iQƒëe √ÉéJG ≈a ádGódG ≈æëæe áMGREG

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٣ ؛ لتمثيل كل الدالتين S، ع حيث: 9

ع(س) = س٣ – ٣ ب S(س) = (س – ٢)٣ أ

الحلأ /

-

20

8−7−

0−

6−

87

2−

1−

88− 7 07−.

/ب

.-

2

2−6−

0

8−7−

0−

87

87−8−0− 0 27

نقطة التماثل للدالة ع هى (٠ ، -٣). نقطة التماثل للدالة S هى (٢ ، ٠).

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٣ ؛ لتمثيل كل الدالتين S، ع حيث: 9

ع(س) = ٤ - س٣ ب ٣٢)٣ S(س) = (س + أ

مثال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٣ ، لتمثيل كل من الدوال ر ، ع حيث: 10

ع(س) = (س + ٣)٣ - ١ ب ر(س) = (س – ٢)٣ - ٣ أ

الحلأ /

.-

8−7−

0−

87

2−6−1−

688− 27 107−

/ب

.-

8−7−

0−

8

2

7

0

86− 0− 7 02− 8− 7−

٣٢). نقطة التماثل للدالة ر هى (٢ ، -٣). نقطة التماثل للدالة ع هى (- ٣ ، -



4 سدرال

حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٣ لتمثيل كل من الدالتين S ، ع حيث: 10

S(س) = (س + ٢)٣ + ١ أ

ع(س) = (س - ٣)٣ - ٥ ب

Rational function ájô°ùμdG ádGódG

ك + ب حيث ك = ! ١C-س

سندرس الدالة الكسرية التى على الصورة د(س) =

تعلم

حيث س ! ٠ تسمى أبسط صورة للدالة الكسرية. ١ س

الدالة د حيث د(س) =

� هو: m – {E} واألشكال البيانية التالية تمثل شكل منحنى الدالة.� nJ� ��١ حيث س ! ٠

سأ د(س) = - ١ حيث س ! ٠

سد(س) = ب

/

.7−8−

8

2

7

0

0−2−

688−2−6− 27 07−0− -

/

.-

7−8−

8

2

7

0

0−2−

688−2−6− 27 07−0−

منحنى الدالة متماثل بالنسبة لنقطة األصل لذلك تكون الدالة فردية.

مدى الدالة هو مجموعة األعداد الحقيقية ماعدا الصفر.

١ تناقصية في الفترة ]-∞ ، ٠[ ثم تناقصية في الفترة ]٠ ، ∞[. س

د (س) =

-١ تزايدية فى الفترة ] -∞ ، ٠[ ثم تزايدية في الفترة ]٠،∞ [ س

د(س) =

نقطة تماثل الدالة د(س) = س-C!١ + ب هى ( أ ، ب)

:ájô°ùμdG ádGódG ≈æëæe ≈∏Y á«°Sóæ¡dG äÓjƒëàdG ¢†©H

Some geometric transformation on the curve of the rational function تخضع التحويالت الهندسية للدالة الكسرية لنفس الطرق المتبعة فى الدوال السابقة.



مثال

١ حيث س ! ٠ لتمثيل كل من: س

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = 11

١ + ٣ س - ١

(س) = ٤د د ١ - ٢

س(س) =

٣د ج ١

س + ٣(س) =

٢د ب ١

س - ٣(س) =

١د أ

الحل

/أ

7−8−

8

2

7

0

0−2−

6 488− 2 37 0 17−0−.-

/ب

.-

7−8−

8

2

7

0

0−2−

88−6− 27 07−2− 0−1−3−

١ هو منحنى س - ٣

(س) = ١ حيث: د

١منحنى الدالة د

في وحدات ٣ قدرها بإزاحة ١س

= (س) د الدالة

االتجاه الموجب لمحور السينات.

هى: (٣ ، ٠). ١نقطة التماثل للدالة د

١ هو منحنى س + ٣

(س) = ٢ حيث د

٢منحنى الدالة د

١ بإزاحة مقدارها ٣ وحدات فى االتجاه س

د(س) =

السالب لمحور السينات.

هى: (- ٢ ، ٠). ٢نقطة التماثل للدالة د

ج /

.-

7−8−

8

2

7

0

0−2−

688−6− 27 07−2− 0−1−3−

/د

.-

7−8−

8

2

13

7

0

6

0−

688−6− 27 07−2− 0−1−3−

١ - ٢ هو منحنى س

(س) = ٣ حيث: د

٣منحنى الدالة د

االتجاه فى وحدة ٢ مقدارها بإزاحة ١ س

= د(س)

السالب لمحور الصادات.

هى: (٠ ، - ٢). ٣نقطة التماثل للدالة د

الدالة هو ٣ + ١ س - ١

= (س) ٤د الدالة :

٤د منحنى

في واحدة وحدة قدرها بإزاحة ١ س

= (س) د

االتجاه الموجب لمحور السينات، ثم إزاحة قدرها

٣ وحدات في االتجاه الموجب لمحور الصادات.

هى: (١ ، ٣). ٤نقطة التماثل للدالة د



4 سدرال

نشاط

هل يمكنك تطبيق التحويالت الهندسية التى درستها فى الدوال الجبرية السابقة على دوال الجيب وجيب التمام?

Trigometric functions (Ö«édG ádGO ≈æëæe) á«ã∏ãªdG ∫GhódG

äÉæ«°ùdG Qƒëe √ÉéJG ≈∏Y áMGRE’G :’hCG

١- استخدم برنامج جيوجبرا (Geo Gebra) وأعد البرنامج بحيث يكون التدريج على محور السينات بالراديان، وذلك بأن تضغط بالفأرة (كليك يمين) وتختار منها فى آخر سطر محور الفاصالت (السينات) x ثم اختر منه

.(r) نظام التدريج

٢- فى أسفل البرنامج (كتابة األوامر) اكتب األمر: �sin�x ثم أضغط (Enter) فتعطى لك شكل المنحنى األحمر فى فيظهر شمال) بالفأرة (كليك المنحنى على بالضغط وذلك المنحنى وسمك اللون فى التحكم تستطيع ،

أعلى النافذة اللون وسمك الخط وشكل الخط ٠ منقط ، شرطى ، متصل ،...).

ن ) ثم اضغط (Enter) ولو r٣

٣- بنفس الطريقة السابقة اكتب األمر: ((sin �x + �r/3 أى: ص = جا (س + هذا المنحنى بلون آخر.

?\;B, Z�� #$%%�_�� $%! ��@ -٤r ، كما

٣نالحظ أن منحنى دالة الجيب قد تمت إزاحته أفقيا جهة اليسار على محور السينات بمقدار يساوى

( r٣ نالحظ أن مدى الدالة الثانيةهو [ - ١ ، ١] وهو نفس مدى الدالة حا س، كما نالحظ أن الدالة حا (س +

ليست زوجية وليست فردية، ألنه اليوجد تماثل لمنحناها حول محور الصادات أو نقطة األصل.

فكر: ?( r٣ ماذا تتوقع أن يكون اتجاه اإلزاحة السينية إذا كانت قاعدة الدالة هى: جا (س -

äGOÉ°üdG Qƒëe ≈∏Y áMGRE’G :É«fÉK

١- ارسم منحنى الدالة ص = جا س كما سبق.?\;B, Z�� #$%%�_�� D $%! �٢- ارسم منحنى الدالة ص = جا س + ٢ بلون آخر -@��



<%��H نجد أن منحنى الدالة الثانية هو نفسه منحنى الدالة ص = جا(س) ولكن تمت إزاحته بمقدار وحدتين �%C�� $�ألعلى.

ونالحظ أن مدى الدالة الثانية هو T0 , 7V ألنه تم إزاحته بمقدار وحدتين فى االتجاه الموجب لمحور الصادات

الدالة األولى، وأن الدالة ص = حا س + ٢ ليست زوجية وليست فردية.

تمــــاريــن الدرس الرابع

¢SÉ«≤ªdG ádGOh ≈dhC’G áLQódG ádGO ≈∏Y øjQÉªJ :’hCG

اكتب معادلة الخط المستقيم فى الحاالت اآلتية ثم مثله بيانيا: 1

٥٣ ١٣ ومقطعه الصادى = ميله = - ب ١٢ ومقطعه الصادى = ٣ ميله = أ

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س فى لتمثيل مما يأتى بيانيا: 2

٣٢ ١٢ س + (س) = ٣د ج (س) = ٢ س – ١

٢د ب (س) = س + ٣

١د أ

#/ , . ^�%]�;p ��_� q� �� r�Y qI�", U�"H �(-� K]

الشكل فى كما ص ، س اإلحداثيات محورى اتجاه فى أزيح ثم د(س) = |س| حيث د الدالة منحنى رسم 3

المقابل.

تمثلها التى الدوال من دالة كل قاعدة أ اكتب

األشكال اآلتية:

الشكل (أ) قاعدة الدالة هى....................................................

الشكل (ب) قاعدة الدالة هى..............................................

الشكل (جـ) قاعدة الدالة هى............................................. 7−8−

8

2

1

7

0

6

0−

6 188−6− 27 07−2− 0−1−C

O

P(



4 سدرال

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل ما يأتى بيانيا: 4

| ٣٢ (س) = |س + ٣د ج (س) = |٥ - س|

٢د ب (س) = |س + ٢|

١د أ

(س) = |س| - ٣ ٦د و (س) = |س| + ١

٥د ه (س) = |س – ٧ |

٤د د

(س) = ٢ - |س + ١| ٩د ط (س) = |س – ٣| - ٢

٨د ح (س) = |س + ٢| + ١

٧د ز

#$��_� q� -� nJ� $� �Y qI�", F"H ^�%]�;* �(-� K]الربط باإلنتاج: تعمل منشأة ما فى سوق العمل ولديها تكلفة متغيرة مقدارها ٣٥٠ جنيها عن كل وحدة وتكلفة 5

ثابتة مقدارها ٤٥٠٠ جنيه ، فإذا كانت ن ترمز إلى عدد الوحدات المنتجة ، جـ للتكلفة الكلية.

عبر عن هذه البيانات بدالة خطية. أ

أوجد التكلفة الكلية بالجنيه إذا كان عدد الوحدات المنتجة ١٥٠ وحدة. ب

á«fÉãdGáLQódG ádGO ≈∏Y øjQÉªJ :É«fÉK

رسم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ ثم أزيح فى اتجاه محورى اإلحداثيات س ، ص كما فى الشكل التالى. 6

أ اكتب قاعدة كل دالة من الدوال التى تمثلها األشكال اآلتية:



الشكل (جـ) قاعدة الدالة هى.............................................

7−8−

8

2

1

7

0

6

0−

6 188−6− 27 07−2− 0−1−C

OP(



استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لتمثيل مايأتى بيانيا. 7

(س) = (س + ١)٢٢د ب (س) = (س – ٣)٢

١د أ

(س) = س٢ + ١٤د د (س) = س٢ – ٤

٣د ج

ومن الرسم عين نقطة رأس منحنى الدالة المحولة وعين مدى كل منها.

استخدم منحنى الدالة حيث د (س) = س٢ لتمثيل مايأتى بيانيا: 8

(س) = ٢ – (س + ٣)٢٢د ب (س) = (س – ١)٢ – ٢

١د أ

٧٤)٢ ٣٤ - (س + (س) = ٤د د ١

٢ - ٣٢)٢ (س) = (س + ٣د ج

ومن الرسم عين نقط تقاطع المنحنى مع محوري اإلحداثيات.

9 إذا كانت د: [ - ٤ ، ٤] # ح حيث د(س) =- ٤ H س < ٠عندما س٢ + ١ ٠ H س H ٤عندما- س٢ - ١

� ( وأوجد مداها، وابحث إطرادها وعين نوعها من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك. �ارسم ��_��

áãdÉãdGáLQódG ádGO ≈∏Y øjQÉªJ :ÉãdÉK

فى الشكل التالى: رسم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٣ ثم أزيح فى أتجاه محورى اإلحداثيات س ، ص 10

اكتب قاعدة كل دالة من الدوال التى تمثلها األشكال اآلتية: أ



الشكل (جـ) قاعدة الدالة هى.............................................

C

.

O

/

2−

7−

6−

8−

87

0

1−3−

0−

688−6− 27 07−2− 0−1−

P(



4 سدرال

كونها حيث من الدالة نوع وعين اإلطراد وابحث المدى أوجد الرسم ومن يأتى، لما البيانى الشكل ارسم 11

زوجية أو فردية أو غير ذلك:

(س) =١د أ

س < - ١عندماس٣(س) =

٢د ب

س < ٠عندماس٣س G ٠عندما|س|س G - ١عندما- ١

(س) = |س٣ + ١|٤د د (س) = |س٣| + ١

٣د ج

١ - س٤

(س) = |س|٦د و (س) = س |س|

٥د ه

١ س

O ádGódG ≈∏Y øjQÉªJ :É©HGQ حيث د(س) =

١ ثم أزيح فى اتجاهى محورى اإلحداثيات س ، ص كما فى الشكل س

ارسم منحنى الدالة د حيث د(س) = 12

المقابل. اكتب قاعدة كل دالة ممثلة باألشكال اآلتية:

2−

7−

6−

8−

8

2

7

0

6

0−

88−2−1− 77−0−6−

�8� ��D

.

/

-

2−

7−

6−

8−

8

2

7

0

6

0−

688− 2 1 37 07−

�7� ��D

.

/

-

2−

7−

6−1−

8−

8

2

7

0

0−

8 28−2− 7 0 67−0−6−

�0� ��D

-

/

.

2−

7−8−

8

2

13

7

0

6

0−

8 28−2− 7 0 67−0−

�2� ��D

-

/

.



2−

7−

6−1−3−

8−

8

2

7

0

0−

8 08−2−1−1− 77−0−6−6−

�6� ��D

-

/

.

7−8−

8

2

7

0

6134

688−0− 2 1 37 07−�1� ��D

-

/

.

إحداثيي أوجد ثم اآلتية، الحاالت فى ق للدالة البيانى الشكل فارسم ١س

د(س) = حيث د الدالة كانت إذا 13

نقطة التماثل لكل دالة:

ق(س) = د(س – ٣) ج ق(س) = د(س + ١) ب ق(س) = د(س) أ

ق(س) = د(س + ٢) - ٥ و ق(س) = د(س) - ٤ ه ق(س) = د(س) + ٢ د

ق(س) = د(س - ٢) + ٢ ز

١ فارسم الشكل البيانى للدالة ل فى الحاالت اآلتية:س

إذا كانت الدالة د حيث د(س) = 14

ل(س) = ٢ + |د(س)| ب ل(س) = |د(س)| أ

ل(س) = ٢ – |د(س + ١)| د ل(س) = |د(س - ٢)| ج

يتقاضى سباك ٤٠٠ جنيه لفحص أى منزل، باإلضافة إلى ٢٠٠ جنيه عن كل ساعة عمل إضافية . عبر عن تكلفة 15

السباك (ت) كدالة لعدد ساعات العمل (ن) المطلوبة، ثم احسب التكلفة الكلية إذا عمل لمدة ٦ ساعات.

يتقاضى فنان ما من شركة أقراص مدمجة ٧٠٠٠٠ جنيه كرسوم إضافية إلى ٣ جنيهات عن كل قرص مدمج مباع 16

. عبر عن إيراداته (ر) كدالة فى عدد األسطوانات (ن) ثم احسب إجمالى إيراداته، إذا كانت عدد األقراص

المباعة ١٥٠٠ قرص.

قدرت أرباح شركة األحذية لكل وحدة مباعة (س) بالعالقة : ر(س) = -س٢ + ٣٠٠ س - ٩٠٠٠ 17

ارسم منحنى الدالة. أ

عين إحداثيات القيمة العظمى للمنحنى. ب

أوجد من الرسم عدد الوحدات المباعة والتى تجعل الربح فى أكبر قيمة له وأكبر قيمة للربح عندئذ. ج



4 سدرال


سوف تتعلم



�W�L��" J��%� OX-�$� 0( �8YA J��%� OX-�$� 0( �8YA J��%� O�<8�� 0(

�� ( ��) 4��" Z�� [�> �\��+'� �� ,��"

Equation ��-�$� Inequality �<8�� Graphical solution �L��" 0(

فكر و ناقش

ä’OÉ©ªdG πM : k’hCGفى الثانية الدرجة ومن األولى، الدرجة من الجبرية المعادالت حل درست أن سبق

متغير واحد وفى متغيرين جبريا وبيانيا، فهل يمكنك حل المعادلة اآلتية?

:�,h�Y �� ) FH�Y Z*

د(س) =س > ١عندما٣ - سس H ١عندما١ + س

فأوجد قيم س التى تجعل د(س) = ٠

المرسوم البيانى الشكل

يمثل شعاعان يمر أحدهما

٠)واآلخر ، ١ بالنقطة (-

يمر بالنقطة (٣ ، ٠).

المرسوم الشكل ومن

عندما د(س) = ٠ فإن:

س = - ١ أ، س = ٣

ويمكن التحقق من ذلك جبريا كاآلتى:

عندما: س > ١ فإن: ٣ – س = ٠ أى أن س = ٣

تحقق الفترة المعطاة ألن ٣ ∈ ]١ ، ∞ [

عندما: س H ١ فإن: ١ + س = ٠ أي أن س = - ١

تحقق الفترة المعطاة ألن -١ ∈ ] - ∞ ، - ١ ]

أى أن مجموعة حل المعادلة (�.� = E هى: { − 7 , 0 }

`L = |Ü - ¢S C| :ádOÉ©ªdG πM

مثال

حل المعادلة: 1

|س - ٣| = ٥ بيانيا وجبريا. أ

7−8−0−

87

0

8 2 18−2− 7 0 6 37−0−6−.

-

/

¿CG ôcòJ

�� .� u = �.�) ^�%]�;p �S� ��_, $%%�_�� qI�", F"� �%�%G

u ,)

5 سدرäÉæjÉÑàªdGh ä’OÉ©ªdGال

Equations and Inequalities


الحلبوضع د(س) = |س - ٣| ، ر(س) = ٥

د(س) =س G ٣عندماس - ٣س< ٣عندما- س + ٣

يوازى بمستقيم تمثل ثابتة دالة 6 = �.��

نرسم (٥ ، ٠) بالنقطة ويمر السينات محور

إن: حيث واحد شكل فى ر ، د الدالتين

د(س) = ر(س).

للدالتين البيانى للتمثيل التقاطع نقاط نعين

التقاطع لنقاط السينية اإلحداثيات فتكون ر ، د

هى مجموعة الحل أى أن مجموعة حل المعادلة هى:

{4 , 8 −}

Algebraic solution :iôÑédG πëdG

س = ٨ ∈ ]٣ ، ∞[ أى أن: عندما س > ٣ : س – ٣ = ٥

س = - ٢ ∈] - ∞ ، ٣] أى أن: عندما س H ٣ : – س + ٣ = ٥

مجموعة حل المعادلة هى: { − 8 , 4} وهذا يطابق الحل البياني.

حاول أن تحلحل كال من المعادالت اآلتية بيانيا وجبريا. 1

| ٢س – ٧ | = ٥ ج |س| + ١ = ٠ ب |س| - ٤ = ٠ أ

|E + ¢S `L| = |Ü + ¢S C| :ádOÉ©ªdG πM

مثال

حل المعادلة: |٣س + ٥| = |٢س + ١| بيانيا. 2

الحلشعاعان بيانيا يمثلها |٥ + د(س) = |٣س حيث د الدالة

مبدؤهما النقطة (- ٥٣ ، ٠) ، أحدهما يمر بالنقطة (٠ ، ٥)

واآلخر يمر بالنقطة (- ٤ ، ٧).

.-

7−

8

6

7

2

1

0

8 2 18−2− 7 0 6 3 4 57−0−

/

.

/

7−

8

6

3

7

2

1

4

0

8 2 18−2−1− 7 0 67−0−6− -

äÉæjÉÑàŸGh ä’OÉ©ŸG


5 سدرال

نرسم منحنى الدالة ر حيث

ر(س) = |٢س + ١| وهذه يمثلها شعاعان مبدؤهما النقطة (- ١٢ ، ٠) ويمر أحدهما بالنقطة (٢ ، ٥) واآلخر يمر

بالنقطة (- ٤ ، ٧)

نعين نقط تقاطع الدالتين د ، ر فتكون اإلحداثيات السينية لنقط التقاطع هى مجموعة الحل.

من الرسم نجد أن نقط تقاطع الدالتين د ، ر هما (- ١٫٢ ، ١٫٤) ، (- ٤ ، ٧)

لذلك فإن مجموعة الحل هى { - ١٫٢ ، - ٤}.


حل المعادلة اآلتية بيانيا |٣س + ٧| = |٢س + ٣| 2

Properties of the absolute value function ¢SÉ«≤ªdG ¢UGƒN

تعلم

سالبة غير س كانت إذا س يساوى حقيقى عدد وهو |س| بالرمز له يرمز س الحقيقى العدد مقياس أن علمت

ويساوى (– س) إذا كانت س سالبة. وفيما يلى بعض خصائص المقياس.

١) | G | C ٠ أى أن مقياس العدد الحقيقى هو عدد حقيقى غير سالب.٠ = C ٠ إذا وفقط إذا كان = | C | :�� \;BH-

٢) |C ب| = | C | × |ب| فمثال:٢ × - ٣| = | - ٦| = ٦ ، |٢| × | - ٣| = ٢ × ٣ = ٦|

٢) |C + ب| H |أ| + |ب| ويحدث التساوى فقط إذا كان العددان O , C لهما نفس اإلشاره فمثال:

، ٤ + ٥| = |٤| + |٥| = ٩|

٤ - ٥| = | - ٤| + | - ٥| = ٩ - |

مثال

أوجد جبريا مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتية: 3

|٢ – ٣س| = ٥ ب |٢س + ٣| = ٧ أ

س٢ + ٦س + ٩ = ٥ د |س + ٧| = |س – ٥| ج

الحل باستخدام إعادة تعريف دالة المقياس: أ ٣٢- G عندما س : ٢س + ٣ = ٧ AX-�

٢س + ٣ - ٣ = ٧ - ٣ �)�� I �* �0−� ��v<!

٢س = ٤ F%G>��!

س = ٢ ∈ [-٣٢، ∞[ 8 �S� $%��M ��G"!

¿CG ßM’

س٢ = |س| ،

|C ! ٢ = |س(C ! س)



` ٢س + ٣ = -٧ عندما س < -٣٢ [��A%H: -(٢س + ٣) = ٧

٢س + ٣ - ٣ = - ٧ - ٣ �)�� I �* �0−� ��v<!

٢س = -١٠ F%G>��!

س = -٥ ∈ ]-∞، -٣٢[ 8 �S� ��G"�!

` مجموعة حل المعادلة = {-٥، ٢}

�dw �; ٢س + ٣ = !a٧ |٢س + ٣| = ٧

٢س + ٣ = -٧أو` ٢س + ٣ = ٧

٢س = -٧ - ٣` ٢س = ٧ - ٣

٢س = -١٠` ٢س = ٤

س = -٥` س = ٢

مجموعة حل المعادلة هى {-٥، ٢}

�: |٢ - ٣س| = |- (٣س - ٢)|� \;X ب

|-(٣س - ٢)| = |-١| * |٣س - ٢|

�: |٢ - ٣س| = |٣س - ٢|� ��

لذلك تصبح المعادلة كاآلتى : |٣س - ٢| = ٥

a |٣س - ٢| = ٥ ٣س - ٢ = !٥

٣س - ٢ = ٥ ٣س - ٢ = -٥أو

٣س = ٧ ٣س = -٣

٧٣ بالقسمة على ٣ ` س = بالقسمة على ٣ ` س = -١

{٧٣ مجموعة الحل = {-١،

a |س + ٧| = |س – ٥| ج

` س + ٧ = ! (س – ٥)

` س + ٧ = س – ٥ ولكن ٧ ! - ٥ (الحل مرفوض).

�: ٢س = - ٢� �� - س + ٧ = - س + ٥

� مجموعة حل المعادلة هو { -١}� �� ` س = - ١

:k%"_� بالتعويض عن س = - ١ فى طرفى المعادلة نجد أن:

الطرف األيمن = الطرف األيسر = ٦ أى أن مجموعة الحل هو { - ١}

¿CG ßM’

E < C f%; C = |.| ��Y Z*C ! = . :�<�

¿CG ßM’

E< C ��Y Z*:�<�

|C − . | = |. − C|

¿CG ßM’

m ∋ O , C ��Y Z*|O| = |C| ��Y-

O ! = C :�<�



5 سدرال

:�dw �;|س + ٧|٢ = |س - ٥|٢ �)�� I q%!��!

س٢ + ١٤ س + ٤٩ = س٢ - ١٠س + ٢٥

٢٤س = -٢٤ �� ١٤س + ١٠س = ٢٥ - ٤٩ F%G>��!س = -١ 82 �S� ��G"�!

ومن الضرورى التعويض فى طرفى المعادلة عن قيم س الناتجة عندما س = -١

الطرف األيمن = |-١ + ٧| = ٦، الطرف األيسر = |-١ - ٥| = ٦

مجموعة حل المعادلة هو {-١}

(س + ٣)٢ = |س + ٣| س٢ + ٦س + ٩ = :�� \;X د ` س + ٣ = !٥ a |س + ٣| = ٥

س + ٣ = -٥ س + ٣ = ٥

س = -٨ س = ٢

مجموعة الحل = {-٨، ٢}

ح ذلك. فكر : هل يمكنك حل المسألة عن طريق تربيع الطرفين والتحقق من صحة نواتج الحل? وض

حاول أن تحلأوجد جبريا مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتية: 3

١٢س| = ٥ - ٤| ب |٢س - ٧| = ٩ أ

٤س٢ - ١٢س + ٩ = ٧ د |س + ٥| = |س - ٣| ج

äÉæjÉÑàªdG πM :É«fÉKأحد على تحتوى رياضية عبارة هى المتباينة أن وعلمت المتباينات درست أن سبق

الرموز: (< أ ، > أ ، H أ ، G) والمقصود بحل المتباينة هو إيجاد القيمة أو مجموعة

القيم التى تجعل المتباينة صحيحة.

Properties of inequality øjÉÑàdG ¢UGƒN

تعلم

١- إذا كان C > ٠ فإن: C > س > C - :فإن C > |بفرض أن |س

C H س H C - :فإن C H |إذا كان |س

C - > أ, س C < فإن: س C < |إذا كان |س

C - H أ, س C G فإن: س C G |إذا كان |س

¿CG ôcòJ

س٢ = |س|

¿CG ôcòJ

P( , O , C $� �� P( > O , O > C :��Y Z*

P( > C �<�:�<� O > C :��Y Z*

P( + O > P( + C:�<� O > C ��Y Z*

•��, �� P( O > P( CE < P(

•��, �� P( O < P( CE > P(

, $%�>(�� O , C ��Y Z*١ب < ١

C �<� O > C

CC− %%

::CC−

CC− %%

::CC−



مثال

أوجد مجموعة حل كل من المتباينات اآلتية: 4

٣٢ G |س| د |س| > ٥ ج ٣ H |س| ب |س| < ٢ أ

الحل

أى: س ∈ ] - ٢ ، ٢[ ` - ٢ < س < ٢ a |س| < ٢ أ

[ ٣ ، ٣ أى: س ∈ [ - ٣ H س H ٣ - ` ٣ H |س| a ب

أى: س ∈ ح – [ - ٥ ، ٥] س < - ٥ أ، ` س > ٥ a |س| > ٥ ج

] ٣٢ ، ٣٢ أى: س ∈ ح – ] - ٣٢ - H س أ، ٣٢ G س ` ٣٢ G |س| a د

حاول أن تحلأوجد مجموعة حل كل من المتباينات اآلتية: 4

٢ G |١٣ س| د ٧ |س| > ج ٥٢ H | س٢ ب | ١٢ |س| < أ

تفكير ناقد:إذا كانت C > ٠ ، ب > ٠ اكتب مجموعة حل كل من المتباينات اآلتية (مستخدما خواص التباين). 5

C G |س - ب| د C < |س - ب| ج C H |ب |س - ب C > |س - ب| أ

مثال

أوجد على صورة فترة مجموعة حل كل من المتباينات اآلتية: 5

٤ G س٢ - ٢س + ١ ب |س - ٣| < ٤ أ

الحل

��>�� * 0 ��v<!- a |س - ٣| < ٤ أى - ٤ < س – ٣ < ٤ أ

F%G>��!- ` - ٤ + ٣ < س – ٣ + ٣ < ٤ + ٣

- ١ < س < ٧ أى أن س ∈ ] - ١ ، ٧ [

` مجموعة الحل = ] - ١ ، ٧[

٤ G |أى أن: |س – ١ (س - ١)٢ = |س - ١| a ب

٣ - H ٤ أى س - H ٥ أ، س – ١ G ٤ أى س G س – ١ `

` مجموعة حل المتباينة هى ] - ∞ ، - ٣] ∪ [٥ ، ∞[

أى أن: س ∈ ح - ] - ٣ ، ٥[



5 سدرال

حاول أن تحلأوجد على صورة فترة مجموعة حل كل من المتباينات اآلتية: 6

٨ H |٣س + ٧| ب |س - ٧| < ١١ أ

تمـاريــن الدرس الخامس

:≈JCÉjÉe πªcCG

١٢ هى.............................................................................................................................................. مجموعة حل المعادلة |س| = 1

مجموعة حل المعادلة |س| + ٣ = ٠ هى.............................................................................................................................................. 2

مجموعة حل المتباينة |س – ٢| H ٠ هى............................................................................................................................................ 3

:á«JB’G ä’OÉ©ªdG øe xπμd πëdG áYƒªée É vjôÑL óLhCG

| ٣ - ٢ س | = ٧ | س - ٢ | = ٣ 5 4

س |س - ٢| + ٣ = ٠ 6 س٢ + | س | = ٢ 7

س٢ - ٦س + ٩ = ٩ 8

:á«JB’G ä’OÉ©ªdG øe xπμd πëdG áYƒªée Év«fÉ«H óLhCG

|س + ٢| = |س - ٣| | ٢ س – ٣ | = ٧ 10 9

س٢ - ٢س + ١ = ٣ 11

:á«JB’G äÉæjÉÑàªdG øe xπ oμd πëdG áYƒªée óLhCG

| س - ٢ | < ٣ | س – ١ | < ٢ 13 12

| ٢ س - ٣ | > ٧ | ٢ س – ٥ | > ٣ 15 14

| ٢ س - ٥ | > ١ 17 ٧ H | ٢ س + ٣ | 16

| ٣ س - ٢ | < ٤ 19 ١٥ H | ٢ س + ٧ | 18

٢ G | ٣ س - ٧ | 20



IóMƒdG ¢üî∏e

M بحيث يكون لكل عنصر من عناصر المجموعة ،N ، M الدالة: هى عالقة بين مجموعتين غير خاليتين ١صورة واحدة فقط من عناصر N وتكتب رمزيا بالصورة د: N # M، وتتحدد الدالة بثالثة عناصر هى

المجال، المجال المقابل، قاعدة الدالة.

اختبار الخط الرأسى: إذا مثلت مجموعة من النقاط فى مستوى إحداثى متعامد وقطع الخط الرأسي عند كل ٢عنصر من عناصر المجال تمثيلها البيانى فى نقطة وحيدة فإنه مجموعةهذه النقاط تكون دالة.

الدالة الزوجية والدالة الفردية: ٣د(-س) = د(س) لكل س ، -س ∈ المجال. '-)%�: يقال للدالة د إنها زوجية إذا كان ��

د(-س) = -د(س) لكل س ، -س ∈ المجال. ��: يقال للدالة د إنها فردية إذا كان )�a ��

فإن١ > س

٢ ∈ ]C ، ب[ ، س

٢ ، س

١إطراد الدوال: تكون الدالة تزايدية فى الفترة ]C ، ب[ إذا كان لكل س ٤

: (١) > د(س

٢د(س

(١) < د(س

٢ فإن د(س

١ > س

٢ ∈ ]C ، ب[، س

٢ ، س

١� ,��@�%� فى الفترة ]C ، ب[ إذا كان لكل س� ��,-

(١) = د(س

٢ فإن د(س

٢ > س

١ ∈ ]C ، ب[ ، س

٢، س

١� [�!�� فى الفترة ]C ، ب[ إذا كان لكل س� ��,-

٠ ! C ، ب + س C = د(س) بالصورة: وتكتب مستقيم خط على نقاطها جميع تقع دالة هى الخطية: الدالة ٥حيث C هو ميل الخط المستقيم، ب طول الجزء المقطوع من محور الصادات.

دالة المقياس: ٦٠ G س ، س - س ، س <٠

أبسط صورة لدالة المقياس هى د(س) = |س| ، وتعرف على النحو التالى:د(س) =

وتكتب دالة المقياس على الصورة: د(س) = ك |س- C| + ب حيث ك ! ٠ ومن خواصها:

نقطة رأس المنحنى هى ( C ، ب).

C = معادلة محور التماثل هى س

إذا كانت |ك| > ١ فإن الرسم يكون أضيق من رسم الدالة د حيث د(س) = |س|،

وإذا كانت ٠ < ك < ١ فإن الرسم يكون أوسع من رسم الدالة د حيث د(س) = |س|

يمكن إزاحة دالة المقياس إزاحة أفقية فقط أو إزاحة رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.

الدالة التربيعية: تكتب الدالة التربيعية على الصورة: د(س) = ك (س - C )٢ + ب حيث ك ! ٠: ٧نقطة رأس المنحنى هى ( C ، ب ).

C = معادلة محور التماثل هى: س


IóMƒdG ¢üî∏e

إذا كانت ك > ١ فإن الرسم يكون أضيق من رسم الدالة د حيث د(س) = س٢ ، وإذا كانت ٠ < ك < ١

فإن الرسم يكون أوسع من رسم الدالة د حيث د(س) = س٢

أبسط صورة للدالة التربيعية هى د(س) = س٢ ويمكن إزاحة منحنى الدالة إزاحة أفقية فقط أو إزاحة

رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.

الدالة التكعيبية: تكتب الدالة التكعيبية على الصورة: د(س) = ك ( س - C)٣ + ب حيث ك! ٠: ٩نقطة التماثل هى ( C ، ب ).

أبسط صورة للدالة التكعيبية هى د(س) = س٣ ويمكن إزاحة منحنى الدالة إزاحة أفقية فقط أو إزاحة

رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.

الدالة الكسرية: ١٠ ك + ب ، ك! ٠ ، س! C حيث:

C-ستكتب الدالة على الصورة: د(س) =

نقطة تماثل الدالة هى ( C ، ب ).

١ حيث س ! ٠ ويمكن إزاحة منحنى الدالة إزاحة أفقية فقط أو س

أبسط صورة للدالة هى د(س) =

إزاحة رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.

التحويالت الهندسية: للدالة د حيث ص = د(س) ، C > ٠ تحدد باآلتى: ٩إذا كانت ص = د(س) + C فإنها تمثل بإزاحة منحنى د بمقدار C فى االتجاه الموجب لمحور الصادات

إذا كانت ص = د(س - C) فإنها بإزاحة منحنى د بمقدار C فى االتجاه السالب لمحور السينات.

المعادلة: هى جملة رياضية تحتوى على عبارتين جديتين، يفصل بينهما باإلشارة (=) وعادة ما تحتوى المعادلة ١٠على مجهول أو أكثر يطلق عليها بالمتغيرات.

طرق حل معادالت المقياس:

الحل البيانى - الحل الجبرى (إعادة تعريف دالة المقياس - تربيع طرفى المعادلة)

( G ، H ، < ، >) المتباينة: هى عبارة رياضية تحتوى أحد الرموز ١١وحل المتباينة يعنى إيجاد مجموعة قيم المتغير التى تجعل المتباينة صحيحة



تمــــاريــن عامة

فى األشكال البيانية اآلتية أوجد مدى الدالة وابحث اطراد كل منها: 1 /أ

7

7

7− 7−8− .8

8

0 2-

02

8−0−2−

/ب

7

7

7− 7−8− .8

8

0 2-

02

/ج

77

7−8−0− .8

8

0-

026

د

7

7

7− .

/

8−0−2− 8 0 2

8

-

/ه

77

7−8−0−2− .8

8

0 2-

026

و

7

7

7−8− .8

2−

0 2 6 1 3-

0−8−7−

/ز/

77

7−7−

8−

8−.8

8

-

/ح

77

7−7−

8−

8−.8

8

-

أوجد مجال كل من الدوال اآلتية: 2

س٢ - ١س٢ + ١

(س) = ٣د ج ٢س

س٢ - ٢س - ٣(س) =

٢د ب (س) = ٢س٣ + س + ٣

١د أ

ارسم منحنيات الدوال التى قواعدها مايلى. وأوجد مدى كال منها وأذكر نوعها من حيث كونها زوجية أم فردية: 3

(س) = (س + ٢)٣ ٣د ج (س) = س٢ - ١

٢د ب (س) = ٤ + س

١د أ

استخدم منحنى الدالة حيث د(س) = |س| فى التمثيل البيانى لكل مما يأتى: 4

(س) = |س + ٢| - ٣ ٣د ج (س) = ٢ - |س|

٢د ب (س) = |س - ١|

١د أ

ثم ابحث إطراد الدالة الناتجة.


áeÉY øjQÉ“

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ فى التمثيل البيانى لكل مما يأتى: 5

(س) = (س – ٢)٢ + ١٣د ج (س) = ٢– س٢

٢د ب (س) = س٢ – ٣

١د أ

ثم أوجد معادلة محور التماثل لكل منها .

ارسم منحنى الدالة د حيث: د(س) = (٣س – ٦)٢ – ٤ ثم أوجد إحداثي نقطة رأس المنحنى، ومعادلة محور 6

التماثل ثم ادرس إطراد الدالة.

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٣ فى التمثيل البيانى لكل مما يأتى: 7

(س) = س٣ – ١ ٣د ج (س) = - (س – ١)٣

٢د ب (س) = (س + ٣)٣

١د أ

(س) = (س + ١)٣ – ٢ ٥د د

س١ ، س ! ٠ فى التمثيل البيانى لكل مما يأتى: استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = 8

س١ + ٢ (س) = ٣د ج ١-

س + ٢(س) =

٢د ب ١

س + ١(س) =

١د أ

س + ١ س (س) =

٥د ه س١ (س) = ١ -

٤د د

أوجد مجموعة حل المعادالت والمتباينات اآلتية: 9

|س + ٢| = |س - ٣| ب |٢س - ١| - ٣ = ٠ أ

|س + ٣| < ١ د س٢ – ٣|س| - ١٠ = ٠ ج

٤س٢ - ١٢س + ٩ > ٥ ز ٦ G |٣س - ٢| و ٥ H |٣س - ٧| ه



اختبار تراكمى

ارسم منحنى الدالتين د، S حيث د(س) = س + ١ ، S(س) = ٥ - س ومن الرسم أوجد: 1

إحداثيي نقط تقاطع كل منهما مع محور السينات. أ

إحداثيي نقطة تقاطع المنحنيين. ب

مساحة المثلث المحدد بالمستقيمين المتقاطعين ومع السينات. ج

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = |س| لتمثيل الدالة S حيث S(س) = |س-١| - ٢ ثم أوجد مدى الدالة 2

ومعادلة محور التماثل. س٢ لكل -٥ H س < ٢٨ H س H ٦-س لكل ٢

ارسم منحنى الدالة د حيث: د(س) = 3

ومن الرسم عين مدى الدالة وابحث إطرادها.

في الشكل المقابل: 4

اكتب قاعدة الدالة. ب اكتب إحداثي نقطة رأس المنحنى. أ

اكتب معادلة محور التماثل. د أوجد مدى الدالة وابحث إطرادها. ج

ارسم منحنى الدالة د حيث د(س) = (س-١)٣ واستنتج من الرسم مدى الدالة واطرادها وبين نوعها من حيث 5

كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك.

١ لتمثيل الدالة S حيث S(س) = د(س) + ٢ ثم اكتب نقطة تماثل س

استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = 6

الدالة الناتجة وابحث إطرادها.

.١س+١ إذا كانت الدالة د حيث د(س) = 7

أوجد مجال الدالة د ونقطة التماثل لمنحنى هذه الدالة.

٤ = ( ١س

حل المعادلة د(

أوجد جبريا مجموعة حل كل من المعادالت والمتباينات اآلتية: 8

٤س٢-١٢س+٩ = ١ ج س٢ + |س| = ٢ ب |س + ٥ | = ٩ أ

٧٤ > | ١٤ |س - و |٣س + ١| > ٧ ه ٧ H |٢س - ٥| د

آلة مكتبية قيمتها الحالية ٢٤٠٠٠ جنيه تستهلك سنويا بنسبة ١٠٪ من قيمتها الحالية نتيجة لالستخدام المتكرر 9

لها. عبر عن قيمة اآللة كدالة في عدد السنوات (ن).

/

7

7

7− 7−8− .8

8

0 2-

02


≈ªcGôJ QÉÑàNG

دةوح

س الرو

د



األسس الكسرية الدرس األول:

الدالة اآلسية الدرس الثانى:

حل المعادالت األسية وتطبيقاتها الدرس الثالث:

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها الدرس الرابع:

بعض خواص اللوغاريتمات الدرس الخامس:

Ñ The nth power القوة النونية�Ñ Base األساس�Ñ Exponent األس�Ñ nth root جذر نونى�Ñ Rational - exponent أس كسرى�

Ñ Expontential function دالة أسية.�Ñ Exponential growth نمو إسى.�Ñ Exponential decay تضاؤل أسى.�Ñ Domain مجال�Ñ Range مدى�

Ñ Reflection انعكاس�Ñ Logarithm لوغاريتم�Ñ Logarithmic equation معادلة لوغاريتمية.�Ñ Logarithmic function دالة لوغاريتمية�

في نهاية هذه الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:يتعرف�الدالة�األسية. �يتعرف�التمثيل�البيانى�للدالة�األسية،�ويستنتج�خواصها. �يتعرف�قوانين�األسس�الكسرية. �يحل�معادلة�أسية�على�الصورة�:�Cس�=�ب. �يتعرف�الدالة�اللوغاريتمية. �اللوغاريتمية� � الصورة� إلى� األسية� الصورة� من� ا� جبري يحول�

والعكس.فترات� � فى� اللوغاريتمية� للدالة� البيانى� التمثيل� يتعرف�

محدودة،�ويستنتج�خواصها.

يستنتج�العالقة�بين�الدالة�األسية�والدالة�اللوغاريتمية�بيانيا. �يتعرف�قوانين�اللوغاريتمات. �يحل�معادالت�لوغاريتمية. �يحل�مسائل�تشتمل�على�تطبيق�قوانين�اللوغاريتمات. �يتعرف�اللوغاريتمات�المعتادة�لألساس��10. �يوجد�قيمة�اللوغاريتمات�باستخدام�اآللة�الحاسبة. �يستخدم�اآللة�الحاسبة�في�حل�بعض�المعادالت�األسية�. �

األسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليهاExponents, Logarithms and their Applications

الوحدة الثانية

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى


مقدمة الوحدةئل

ساالو

ت ودوا

األ

لتبسيط كوسيلة نابير، جون العالم يد على عشر، السابع القرن أوائل فى الرياضيات إلى اللوغاريتمات مفهوم أدخل

مستخدمين ، أكبر بسهولة حساباتهم إلنجاز وغيرهم والمهندسون والعلماء المالحون ذلك بعد عليها ليعتمد الحسابات؛

المسطرة الحاسبة، والجداول اللوغاريتمية، كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب إليجاد لوغاريتم

ص(، ويرجع الفضل للعالم ليونهارت أويلر فى C�س�+�لو

C�)س�ص(�=�لو

Cحاصل ضرب عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية )لو

القرن الثامن عشر، بربط مفهوم اللوغاريتم بمفهوم التابع األسى ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع.

شدة لقياس لوغاريتمية وحدة هو الديسيبل المثال سبيل فعلى واسعة، مجاالت فى اللوغاريتمى المقياس من ويستفاد

الصوت، ونسبة الڤولت، كما يستخدم األس الهيدروجينى )وهو مقياس لوغاريتمى ( فى الكيمياء لتحديد حمضية محلول ما.

األسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

الجذر النونى

شرط وجود دالة عكسية

التمثيل البيانى للدالة اللوغاريتمية

بعض خواص اللوغاريتميات

تعميم قوانين األسس

إيجاد الدالة العكسية جبريا وبيانيا

تطبيقات على الدالة اللوغاريتمية

حل المعادالت اللوغاريتمية

تعريف الدالة األسية

تطبيقات على الدلة األسية )النمو- التضاؤل(

التمثيل البيانى للدالة األسية

الدالة اللوغاريتميةالمعادلة األسيةالدالة األسيةاألسس الكسرية الدالة اللوغاريتميةالدالة العكسية


geogebra-graphآلة حاسبة علمية - برامج رسومية


1 سدرالأ�س�س الك�سريةال

Rational exponents

تمهيد

كما صحيحا، عددا األس يكون عندما والجذور األسس من كلا درست أن سبق

تعرفت على الجذور التربيعية لعدد حقيقى غير سالب وعلى خواص الجذور التربيعية

والتكعيبية، وسوف نتعرف في هذا الدرس على األسس الكسرية.

مثال

أوجد فى أبسط صورة قيمة المقدار: 1 2)33(*

6)2-3(*3)23(

الحل*3-12 * 3 6= 3 6 -12+6 = 3 صفر =1

المقدار = 63

حاول أن تحلأوجد فى أبسط صورة قيمة كل من: 1

5 * 4- 5 * 2 54 5 * 5- 5

ب س-3 * س2 * س4 أ

1- ) 3 2 ( * 9 2 * 3-)22( ج

مثال

K2 - 2 4 * 1+ K4 9K - 1 48 * 1+ K9 3

إذا كانت N ∈K أثبت أن = الحل

K2 - 2 )22( * 1+ K4 )23(K - 1)3 *42( * 1+ K9 3

= الطرف األيمن

K4 - 4 2 * 2+ K8 )3(

K - 1 3 * K4-4 2 * 1+ K9 3 =

K 4 + 4 - K4 - 4 2 * K + 1 - 1- K 9 - 2+ K8 3 =

)الطرف األيسر( = 3 صفر * 2 صفر = 1 *1

حاول أن تحل 3 =

2س * 9 س +13 * 18س

أثبت أن

سوف تتعلم



آلة حاسبة علمية �برامج رسومية �

� The nth power القوة النونية � base األساس � exponent األس � nth root جذر نونى � rational exponent أس كرسى

تعميم قوانني األسس. �اجلذر النونى. �قوانني األسس الكرسية. �

تذكر �أن

N ∈K ،م ،*I ∈ ب ،C إذا كان

■ C * .... *C * C * C = KC

حيث C مكرر كعامل K من المرات

■ 1K-C = KC ، 1

KC = K

-C

+ N ∈K حيث

صفر = 1C

K + مC =

KC *

مC

K - مC =

KC ÷

مC

Kب * KC = K)ب C(

KC

Kب = K) C

ب(

K مC= K )مC(

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى50

تعلم

The nth root الجذر النونى علمت أن الجذر التربيعى لعدد ما هو عملية عكسية لتربيع ذلك العدد، وبالمثل فإن الجذر النونى لعدد هو العملية

.)K( العكسية لرفع هذا العدد للقوة

مثال:3 = 327 أى أن فإن 3 هو الجذر التكعيبى للعدد 27 س3 = 27 إذا كانت 1

2 = 532 أى أن فإن 2 هو الجذر الخامس للعدد 32 س5 = 32 إذا كانت 2

K = س

C أى أن C فإن س هو الجذر النونى للعدد C = Kس إذا كانت 3

الجذر C فإن س تسمى = Kوكان س I ∈ C ، }1{ - +N = K إذا كان1K

C ،أ K

C النونى للعدد C ويرمز له بالرمز

مثال:I ∉ 9- =

12 )9-( 2 = 416 =

14 )16(

3- = 5243- = 15 )243-( 3- = 327 - =

13 )27( -

يفعر

ت

2مثال

إذا كانت س C = K فأوجد قيم س فى I )إن وجدت( فى كل من الحاالت اآلتية:

9 = C ، 2 = K ب C ، 4 = K = صفر أ

8- = C ، 3 = K د 4- = C ، 6 = K ج

الحل

0 = 40 س = تكون C ،4 = K = صفر عندما أ

3! = 9 س = ! تكون 9 = C ، 2 = K عندما ب

. I 64 غير معرف في- س = تكون 4- = C ، 6 = K عندما ج

2- = 38- س = تكون 8- = C ، 3 = K عندما د

الحظ �أن

دليل الجذر

K

Cرمز الجذر

العدد داخل الجذر

��


1 سدرال


نستنتج من المثال السابق أن:إذا كانت س C = K فإن قيم س التى تحقق المعادلة تتضح من الجدول التالى:

KCK

C

K = صفرK0 = C ∋ ص+ - }1{

C

CK < 0عدد صحيح زوجى موجب

C يوجد جذران حقيقيان هما !

التوجد جذور حقيقية.C > 0عدد صحيح زوجى موجب

1 ! K ،عدد صحيح فردى موجب I ∈ CK

C يوجد جذر حقيقي واحد فقط هو


أوجد إن أمكن كلا من: 481 ج 49- ب 36 - أ

| 7128- | و 532- ه 3125 - د 6

C تفكير ناقد: وضح بمثال عددى الفرق بين الجذر السادس للعدد C وبين م) K

C ( = KمC =

مK

C :فإن I∈ K

C ، +N ∈ 1{ ، م{ - +N ∈ K إذا كان

مثال:64 = 3)4( = 3)16 ( =

32 )16(

25 = 2)5-( = 2) 3)125-( ( = 32)125-(

يفعر

ت

3مثال

أوجد فى أبسط صورة كلا من: 6)3 + 2C( 64 ! ب 6C 8 ب39 - أ

الحل)2C 2 ب2C 2- = 33)3 ب3 6C 8 ب39 = - - أ

2]3)3 + 2C(8[ ! = 6)3 + 2C( 64 ! ب 3)3+ 2C( 8! =


أوجد فى أبسط صورة كلا من: 5 C( 128 + ب(77 ! ج -243 ب55 ب 0 > C 412 حيثC 625 - أ

ا يناثلا ةدحولا ��

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 5

تعلم

Using The modulus ا�ستخدام المقيا�س C| = KK|, أما إذا كان دليل الجذر عددا فردياا

C يستخدم مقياس العدد إذا كان دليل الجذر )K( عددا زوجياا فيكون

فل داعى الستخدام المقياس.

مثال

أوجد فى أبسط صورة مستخدما المقياس كلا من: 5 16 )س2 - 1(412 ب 2C أ

الحل

|C| = 2C أ

42 ])س2 -1(3[44 16 )س2 - 1(412 = ب

]2 )س2 -1(3[44 = 2 |)س2 - 1(3| =


أوجد فى أبسط صورة مستخدما المقياس كلا من: )س + 2ص(618 ب 412C16 أ

1مKC

=مK

-C :فإن I ∈ K

C , +N ∈ 1{ ، م{ - + N ∈ K إذا كان

23 4 = 1

23 -4

، 135 7

= 35 -

مثال: 7يف

عرت

4بK عددين حقيقيين فإن: ، K

C ،}1{ - +N ∈ K إذا كان

مثال: Kب * K

C = Kب C 1

حيث ب ! صفر K

CKب = KC

ب 2

يفعر

ت

5التعاريف )2(، )3(، )4(، )5( السابقة تستخدم فى تعميم قوانين األسس النسبية.

الحظ �أن

مربع أى من العددين2C هو )C-( أو )C(

��

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 5

1 سدرال


مثال

أوجد فى أبسط صورة كلا من:

23 8 *

35 -32

85-16 * 44 ب

32 -2 * 1- 4 * 8

أ 6 -2 * 23

الحل

تحويل الجذور إلى أسس كسرية. 32 -2 * 1- 4*

12 8

23 * 2- 6 = المقدار أ

تحليل كل أساس إلى عوامله األولية. 32 -2 * 1- )22(*

12 )32(

23 * 2- )2 * 3( =

بالتبسيط 32 -2 * 2-2 *

32 )2(

23 * 2-2*2-3 =

2 - 2 3* 2 + 22 - 2 - 3

2 2 =

= 2 صفر * 3 صفر = 1

تحويل الجذور إلى أسس كسرية. 23 8 *

35 32

58 16 *

14 4

= المقدار ب

تحليل كل أساس إلى عوامله األولية. 23 )32( *

35 )52(

58 )42( *

14 )22(

=

2 2 * 3 252 2 *

12 2

=

4 = 22 = 52 - 1

2 - 2 +3 - 2 =


أوجد فى أبسط صورة كلا من : 52 * 44104 * 2

ب 3 1-8 أ 3243 *

حل المعادلت:

مثال

أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:

8 = 34 ) س + 1( ب 9 = 2

3 س أ



الحل

برفع الطرفين للقوة 3 9 = 23 a س أ 39 = 3) 2

3 ` )س

بأخذ الجذر التربيعى للطرفين 39 = ` س2

3) 9 ( ! = ` س

` مجموعة الحل = } 27، - 27{ 27 ! = ` س

برفع الطرفين للقوة 4 8 = 34 )س + 1( ب

بأخذ الجذر التكعيبى للطرفين 48 = ` )س+ 1(3

4 ) 38 ( = ` )س +1(

16 = ` س + 1

` مجموعة الحل = } 15{ 15 = ` س


أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية :

81 = 43 ) س- 3( ب 32 = 5

4 س أ

مثال

12 الربط بالهندسة: إذا كان ل طول ضلع المربع الذى مساحته م يعطى بالعلقة ل = م

احسب طول ضلع المربع الذى مساحته 25سم2 أ

احسب طول ضلع المربع الذى مساحته 17سم2 مقربا الناتج لرقم عشرى واحد. ب

الحل

25 = 5سم = 12 أ ل = 25

4٫12310 = 17 = 12 ل = 17 ب

` ل - 4٫1 سم وبالتقريب لرقم عشرى واحد حاول أن تحل

1 أوجد طول ضلع المكعب الذى حجمه 273I = يعطى بالعلقة ل I إذا كان ل طول ضلع مكعب حجمه

��


1 سدرال


تمـــــــاريـــن الدرس األول

اكتب كلا ممايأتى على صورة أسية: 1 3K 2 ج 43 C

ب أ س3 س3س52

و ص 3 ه C 2ب 43 د

اكتب كلا ممايأتى على صورة جذرية: 34 6 ص ج 2

3 ب ب 12 C أ 13 25 * 1

2 5 و 23 ) 3 س( - ه 49 8 ب د

أوجد قيمة كل ممايأتى فى أبسط صورة: 43 - 27 ج 35 )32-( ب 34 )16( أ

12- )

23 8 *

12 4 * 2- 2(

و 44 2

ه 12 ) 1

4 ( + 23 ) 1

8( د

أوجد فى أبسط صورة ناتج العمليات آلتية: 12 )24 + 23( ج

12 س3 * س ب 3-)

23 - C( أ

)23 + ص

13 ص

13 + س

23 ( )س

13 - ص

13 )س ه )

12 - ص

12 ( )س

12 + ص

12 )س د

12 )33 + 32 + 31( ز 2)

12 -

+ س12 )س و

اختصر كلا ممايأتى ألبسط صورة : 5

23 )8( ÷

32 )16( ج

13 )729

8 ( * 12 )16

81( ب 9512 + 5243 أ )

316- 4 *

38 8(

54 -

2و 2٫5 * 30٫216 * 0٫1 ه

56 )64( -

23 )27( د

12 * 9س+

14 16 س-

8 س -1 * 18 س +2 ح 1-)15( * 14 81 * 2

3 )125( ز

اختر اإلجابة الصحيحة من بين االختيارات:

) i، }1{ . }27- ،27{ ، }27 {( س32 = 9 فإن س ∋ ................. إذا كان أ

)12 -،1

2 ، 2- ، 2( ................. = 16 - 64 ب

) س-1 ، -س ، |س-1| ، -|س|( س-33 = ................. ج

) س ص2 ، ! س ص2 ، |س|ص2 ، س|ص2|( س4ص48 = ................. د

) 14 -، 1

4 ،4- ، 4( 3 = 8 فإن س = ................. 2 إذا كان س- ه

) 6 ،16 ،6 ، 1( ................. =

35 6 *

15 -6536 و



أوجد فى ح مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:

27 = س3 ج 1128 =

72 س ب 5 = 1

2 أ س

162

2 3س - 1 = و 38 = 3

4 هـ 3 س- 32 = 52 ) س- 5( د

بالعلقة تعطى سنة )ن( بعد )C( وقدره مبلغ على البنوك ألحد )ر( الفائدة أن علم إذا باالقتصاد: الربط -1 حيث جـ جملة المبلغ بعد ن سنة . فإذا أودع جمال مبلغ 10000 جنيه وبعد 3 سنوات أصبح

1ن ) جـ

Cر = )

جملة المبلغ 12597، أوجد النسبة المئوية السنوية للفائدة.

اكتشف الخطأ:

س44 = س ب 2 = 4 , فإن س = 8 3 إذا كان س أ

اختبر صحة العلقة: 10 حيث الطرفان معرفان لجميع قيم C الحقيقية Kم

C =Kم

C

نشاط: 11 استخدم اآللة الحاسبة فى تبسيط إجراء العمليات اآلتية )مقربا الناتج لرقمين عشريين(:

32- 7 * 51- 2

3- 4 ب

192 )1٫21( 75 أ

الربط بالتجارة: بدأ محمد مشروع تربية األرانب، فإذا كان عدد األرانب فى بداية المشروع هو 75 أرنبا وكان 1 -1 حيث ن عدد األشهر. أوجد العدد المتوقع لألرانب

ن6 عدد األرانب فى تكاثرها يتبع العلقة ع = 75 )4٫22(

بعد مرور 5 أشهر.

3I حيث I حجم المكعب 1 الربط بالحجوم: إذا كان طول ضلع المكعب ل يتحدد بالعلقة ل =

بالوحدات المكعبة .أوجد طول ضلع مكعب حجمه 1331سم3

تفكير اإبداعى:

. 3I3r4 = H يعطى بالعلقة I حجمها H 1 الربط بالحجوم: إذا كان نصف طول قطر كرة

أوجد طول نصف قطر كرة حجمها 27000سم3. أ

احسب التغير فى حجم الكرة عند زيادة طول نصف القطر إلى الضعف. ب

��


1 سدرال


الوحدة الثانيةالدالة الآ�سية

Exponential function س درال

ومعدل السكانية فالزيادة األسية الدالة بموضوع الحياتية الظواهر من كثير ترتبط

الفائدة البنكية والتكاثر باالنقسام فى بعض الكائنات وغيرها من الظواهر، كل منها

يتبع قاعدة من قواعد الدالة األسية، وفيمايلى عرض لبعض خواص هذه الدالة وتطبيقاتها:

تعلم

Exponential function الدالة الأ�سية

إذا كانC عددا حقيقياا موجب ! 1 فإن الدالة:د حيث د: I # I+ ، د)س( = C س

C تسمى دالة اسية اساسها

يفعر

ت

1تعبير شفهى: وضح لماذا التمثل الدالة د)س( = )-3(س حيث س∋ I دالة أسية

Graphical representation of the exponential function التمثيل البيانى للدالة الأ�سية

مثال

باالستعانة بقيم س ∋ ] -3، 3[ ارسم فى شكل واحد جزءا من منحنى كل من الدالتين: 1 1(س

د)س( = 2س ، ر)س( = )2

الحل

0123-1-2-3س

1د)س(8

14

121248

8421ر)س(12

14

18

من الرسم يمكن استنتاج الخواص اآلتية للدالة األسية

)1 > C( متزايدة على مجالها ألن الدالة د)س( = 2س 1)1 <C <0( متناقصة على مجالها ألن 1(س

الدالة ر)س( = )2

+I مدى كل من الدالتين هو 2الدالة منحنى صورة هو 2س = د)س( الدالة منحنى 3

1(س باالنعكاس فى محور الصادات .ر)س( = )2

1

12345

6ص

-3-2-1س 2 3

آلة حاسبة علمية �برامج رسومية �

� expontential function دالة أسية. � exponential growth نمو إسى. � exponential decay تضاؤل أسى.

الدالة األسية. �متثيل الدوال األسية بيانيا. �خواص الدالة األسية. �

سوف تتعلم



�أ�ضف �إلى معلوماتك

س C د)س(= األسية الدالة تسمى

النماء بدالة 1 > C حالة فى وترتبط )growth function(الحياتية التطبيقات من بكثير والفائدة السكانى التزايد مثل

المركبة للبنوك



، 3س = د2)س( 2س، = د1)س( الدوال من كل منحنى واحد شكل فى ارسم ]2 ، 2-[∈ س بقيم باالستعانة 1 د3 )س( = 4س

ر إجابتك تفكير ناقد: أى الدوال السابقة أكثر نماء ؟ فس

مثال

فأكمل مايأتى :س

إذا كانت د)س( = 3

د)س( * د)-س( = ................. ج س

د )س +2( = ................. * 3 ب د)2( = ................. أ

الحلس

3 * 9 = 23* س

د)س +2( = 3س+2 = 3 ب د)2( = 23 = 9 أ

* 3 -س = 3س -س = 3 صفر = 1س

د)س( * د)- س( = 3 ج

تعلم

تطبيقات على الدالة الأ�سية:

Exponential growth �أوال: �لنمو �الأ�ضى أبرزها الحياتية، ومن الظواهر من فى كثير النمو بدالة والمعروفة 1 أكبر من أساسها التى األسية الدالة تظهر

تطبيق الفائدة المركبة فى البنوك، فمثل عند إيداع مبلغ من المال C فى أحد البنوك التى تعطى فائدة سنوية مركبة

قدرها ر فإن إجمالى المبلغ بعد ن سنة يعطى من العلقة:

ج = C )1 + ر( ن

ناقش معلمك الستنتاج العلقة السابقة

وإذا كان العائد نصف سنوى، فإن العلقة تأخذ الصورة: K2) ر

2 + 1( C = ج

وإذا كان العائد ربع سنوى، فإن العلقة تأخذ الصورة:(K4 وهكذا . ر

4 + 1( C = ج

مثال

أودع رجل مبلغ 5000 جنيه فى أحد البنوك التى تعطى فائدة سنوية مركبة قدرها 8٪، أوجد جملة المبلغ بعد مرور عشرة أعوام فى كل من الحاالت اآلتية:

العائد شهرى. ج العائد ربع سنوى. ب العائد سنوى. أ

��


س درال


الحل(ن س حيث س التقسيم السنوى: ر

س + 1(C = باستخدام العلقة ج

` س =1 العائد سنوى أ

ج = 5000 ) 1 + 0٫08 (10 = 10794٫62

` س = 4 العائد ربع سنوى ب 11040٫2 = 4 * 10)0٫08

4 ج = 5000 )1 +

` س = 12 العائد شهرى ج

11098٫2 = 12*10)0٫0812 ج = 5000 )1 +


أودع رجل مبلغ 1000 جنيه فى أحد البنوك التى تعطى فائدة سنوية مركبة قدرها 5٪، أوجد جملة المبلغ بعد مرور 8 سنوات فى كل من الحاالت اآلتية:

العائد شهرى. ج العائد نصف سنوى. ب العائد سنوى. أ

exponential decay ثانيا:�لت�ضاوؤل �الأ�ضى زمنية فترات فى ر قدرها ثابتة مئوية بنسبة األسى التضاؤل لتمثيل K)ر - 1( C = )K(د الدالة استخدام يمكن

متساوية، عددها ن.

مثال

إذا بلغ أقصى إنتاج لمنجم من الذهب فى السنة هو 1850 كجم، وأخذ هذا اإلنتاج فى التناقص سنوياا بنسبة ٪9 .

اكتب دالة أسية تمثل انتاج الذهب من هذا المنجم بعد ن سنة . أ

قدر ألقرب كجم إنتاج المنجم بعد مرور 8 سنوات. ب

الحلC = 1850 ، ر = 0٫09

K)S - C (= )K(دالة التضاؤل األسى د أ K)0٫09 -1 ( 1850 = )K(د

)8 = K بعد مرور 8 سنوات ) بالتعويض عن ب ` د)8( = 1850 ) 1- 0٫09(8 - 870 كجم


إذا كان السعر السوقى لسيارة يتناقص طبقا للعلقة س = 150000 )0٫94( ن حيث س سعر السيارة بالجنيه ن

الزمن بالسنوات من لحظة شرائها . أوجد :

سعر السيارة بعد مرور 3 سنوات من شرائها. ب سعر السيارة عند شرائها جديدة. أ



تمــــاريـــن الدرس الثانى

ارسم الشكل البيانى لكل من الدوال اآلتية، ثم أوجد المجال والمدى لكل منها وبين: أى منها تكون متزايدة 1 وأى منها متناقصة؟

د)س( = 2 -س+1 د 1( س د)س( = )2 ج د)س( = 3س ب د)س( = 2س أ

أكمل مايأتى:

الدالة د)س( = 2 س تقطع محور الصادات فى النقطة ................................ أ

تقطع محور الصادات فى النقطة ................................ الدالة د)س(=2 1- س ب

................................ = C بالنقطة )1، 3( فإن سC = )إذا مر منحنى الدالة د)س ج

1( س باالنعكاس فى ................................منحنى الدالة د)س( = 3س هو صورة منحنى الدالة ر)س( = )3 د

................................ ∈ C س تكون تناقصية إذا كانC = )الدالة د حيث د)س ه

................................ ∈ C تكون متزايدة عندما س

)C2( = )الدالة د حيث د)س و

نسمة، وكان معدل نهاية عام 2000 هو 43265341 فى الدول إذا كان عدد سكان إحدى بالسكان: الربط الزيادة السكانية فى السنة يساوى ٪1٫5 :

أوجد صيغة تمثل عدد السكان لهذه الدولة بعد مرور ن سنة من عام 2000. أ

ب استخدم هذه الصيغة إليجاد عدد السكان المتوقع لهذه الدولة عام 2020، وذلك إذا استمرت الزيادة بنفس المعدل.

الربط باالستثمار: إذا استثمر رجل مبلغ 100000 جنيه في مشروع، بحيث ينمو هذا المبلغ تبعا لدالة أسية بزيادة سنوية قدرها 6٪، أوجد :

صيغة توضح نماء هذا المبلغ بعد ن سنة. أ

قدر هذا المبلغ بعد مرور 10 سنوات. ب

أوجد جملة مبلغ 8000 جنيه موضوع فى بنك يعطى فائدة سنوية مركبة قدرها 5٪ لمدة 7 سنوات. 5

النمو األسى لدالة تبعا يتزايد البحيرات السلمون فى إحدى أسماك إذا كان عدد : السمكية بالثروة الربط د)K)1٫03( 200 = )K حيث ن عدد األسابيع أوجد عدد أسماك السلمون فى هذه البحيرة بعد مرور 8 أسابيع.

د)س( * د)س - 1( = 1د)س-2( * د)س+1(

إذا كانت د)س(= 5س+1 أثبت أن

��


س درال


الوحدة الثانيةحل المعادلت الأ�سية وتطبيقاتها

Solving power equations and Their applications س درال

إلة حاسبة علمية �برامج رسومية �

� power equation معادلة أسية. � Graphical solution حل بيانى.

الدالة األسية. �متثيل الدوال األسية بيانيا. �خواص الدالة األسية. �

سوف تتعلم



الثنائي االنقسام بطريقة األميبا تتكاثر

خليتين إلى الواحدة الخلية تنقسم بحيث

خلية كل تنقسم ثم ثابتة، زمنية فترة بعد

جديدة إلى خليتين بعد نفس الفترة الزمنية،

وفي نفس الشروط وهكذا .....

أوجد عدد الخليا الناتجة من خلية واحدة بعد 9 فترات زمنية. 1أوجد عدد الفترات الزمنية اللزمة إلنتاج 8192 خلية من هذه الخلية. 2

تعلم

Power equation المعادلة الأ�سية إذا تضمنت المعادلة متغيرا في األس فإنها تسمى معادلة أسية مثل )2س+1 = 8( ولحل

المعادلة األسية نوجد:

.K = 0، 1، -1{ فإن م{ ∉ C حيث KC =

مC أوال: إذا كان

مثال

أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 1 (س 1

3س-2 = )27 ب 2س+3 = 8 أ

الحل` 2س+3 = 32 2س+3 = 8 أ

ومنها س = صفر ` س + 3 = 3

` مجموعة الحل = }صفر{

` 3س-2 =3-3س (س 13س-2 = )27 ب

` س + 3س = 2 ` س - 2 = -3س

1ومنها س = 2 ` 4س = 2

} 1` مجموعة الحل = } 2



أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 1 18 2 1-س2 = ب 5س+1 = 25 أ

حيث C، ب ∌ }0، 1، -1{, فإن م = ب

مC ثانيا: إذا كان

1- م = صفر إما: عندما م عدد فردي. C -2 = ب أو:

عندما م عدد زوجي. C -3 = |ب|

مثال

أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 4س-2 = 23س-4 ب 3س+2 = 7س+2 أ

الحلa 3س+2 = 7س+2 أ

ومنها س = -2 ` س + 2 = صفر

` مجموعة الحل = }-2{

` 4س-2 = 23)س-2( a 4س-2 = 23س-4 ب ` 4س-2 = 9س-2

ومنها س = 2 ` س - 2 = صفر

` مجموعة الحل = }2{


أوجد في I مجموعة حل المعادلة: 22س-6 = 7س-3 ب 5س-1 = 4س-1 أ

مثال

إذا كانت د)س( = 2س+1 أوجد قيمة س التي تحقق د)س( = 32 الحل

` 2س+1 = 32 a د)س( = 32

` س + 1 = 5 ` 2س+1 = 52

` مجموعة الحل = }4{ ` س = 4


إذا كانت د)س( = 7س، أوجد قيمة س التي تحقق د)س+1( = 49

هت �يب�ت��


س درال


Solving the power equation grophically ا: حل المعادلت الأ�سية بياني

مثال

ارسم في شكل واحد المنحنى البياني لكل من الدالتين د1 حيث د1)س( = 2س , د2 حيث د2)س( = 6 - س ومن الرسم أوجد مجموعة حل المعادلة 2س = 6-س

الحل0123-1-2-3س

2س18 1

4 121248

69876543 - س

من الرسم: اإلحداثي السيني لنقطة التقاطع يساوي 2

` مجموعة حل المعادلة = }2{


، 2س+1 = د1)س( الدالتين من كلا واحد شكل في ارسم )geogebra( الرسومية البرامج أحد باستخدام د2)س( = 3 ومن الرسم أوجد مجموعة حل المعادلة 2س+1 = 3.

مثال

الربط باألحياء: يتكاثر أحد الكائنات الدقيقة بطريقة االنقسام الثنائي بحيث تتضاعف عدد هذه الكائنات 5 كل ساعة نتيجة انقسام كل خلية إلى خليتين، فإذا كان عدد الخليا عند بداية القياس 20 ألف خلية أوجد:

عدد الخليا بعد مرور 5 ساعات. أ

بعد كم ساعة يصبح عدد الخليا 2 مليون و 560 ألف خلية. ب

الحليمكن كتابة عدد الخليا على صورة دالة أسية.

K) C ( ب = )K(د

حيث K عدد الساعات K)2( 20000 =

)5 = K عدد الخليا بعد مرور 5 ساعات )بوضع أ = 20000 * 52 = 640000 خلية

إليجاد عدد الساعات التي يكون بعدها عدد الخليا 2 مليون و 560 ألف خلية نضع د)س( = 2560000 ب

بالقسمة على 20000 2560000 = K)2( 20000 `

128 = K2 `

ومنها K = 7 ساعات. 72 = K2 `

1

5

2

6

3-

3

7

2-

4

89

1- 1 2 3س

ص



تمــــاريـــن الدرس الثالث

أكمل ما يأتى: 1

............................... = فإن س إذا كان 5س-2 = 1 أ

............................... = فإن س ب إذا كان 3س-2 = 7س-2

............................... = فإن 3س+1 إذا كان 2س+1 = 5س+1 ج

............................... = فإن س د إذا كان 2|س| = 32

ه إذا قطع منحنى الدالة د1 حيث د1)س( = 3س منحنى الدالة د2 حيث د2)س( = 4-س في نقطة )ك ، 3(

فإن مجموعة حل المعادلة 3س = 4-س تساوي ...............................

اختر االجابة الصحيحة من بين األقواس

)7- ، 3- ، 7 ، 2( إذا كان 3س-5 = 9 فإن س = ............................... أ

............................... = K عدد صحيح فإن K ، 1 + K < س < K إذا كان 2س = 20 حيث ب

)4 ، 3 ، 2 ، 1(

)45 ، 6 ، 15 ، 5( إذا كان 3س = 5 فإن 3 س + 1 = ............................... ج

العدد 5 س + 1 + 5س يقبل القسمةعلى ............................... لجميع قيم س الطبيعية. د

)17 ، 13 ، 6 ، 7(

)5 ، 4 ، 3 ، 2( 8 فإن س = ............................... 28 =

س-2) 2

3 إذا كان ) ه

منحنيا الدالتان د)س( = 2س ، ر)س( = 3س يتقاطعان عند س = ............................... و )2 ، 1 ، 0 ، 1-(


132 2س-5 = ب 3 س+4 = 9 أ

3|س| = 3 د 5س+2 = 1 ج

7س-5 = 3س-5 و 2 * 3س-2 = 54 ه

827 (س-2 = 3

2 ( ح 32س-6 = 5س-2 ز

4س = 64 ى 425 2س * 5-س = ط

19 )-3(س-5 = ل 1

4 14-س = ك

هت �يب�ت��


س درال


أوجد بيانياا مجموعة حل كل من المعادالت:

2س+1 = 5 مقربا الناتج لرقم عشري واحد ب 3س = 3 أ

1 س + 12 2س = د 3س+1 = -س ج

إذا كانت د)س( = 2س أوجد مجموعة حل كل من المعادالت: 5

132 د)س+1( = ب د)س( = 8 أ

إذا كانت د)س( = 3س+1 أوجد مجموعة حل كل من المعادالت:

19 د)س-1( = ب د)س( = 27 أ

إذا كانت د)س( = 7س-2 أوجد مجموعة حل كل من المعادالت: د)2س( = 1-49 ب د)س( = 343 أ

اكتشف الخطأ: قام كل من محمد وكريم بحل المعادلة 2 * 2س = 16

2 * 2س = 16

` 4س = 16` 4س = 24

` س = 2

حل محمد

2 * 2س = 16

8 = 162 ` 2س = ` 2س = 32

` س = 3

حل كريم

أي الحلين هو الصواب؟ ولماذا؟

K) 1 - 10 حيث K عدد االسابيع بدءا 2 تتناقص أعداد الكائنات البحرية تبعا لدالة التضاؤل األسى ص = 8192 )

من اآلن. أوجد:

عدد هذه الكائنات بعد مرور 4 أسابيع من اآلن أ

بعد كم أسبوع من اآلن يصبح عدد هذه الكائنات 1024 ب




سوف تتعلم



آلة حاسبة. �حاسب آيل. �

� logarithm لوغاريتم � inverse function دالة عكسية � domain جمال اللوغاريتم املعتاد �

common logarithm

تعريف الدالة اللوغارمتية. �التمثيل البياين للدالة �

اللوغارمتية.التحويل من الصورة األسية إىل �

الصورة اللوغارمتية والعكس.حل بعض املعادالت اللوغارمتية �

البسيطة.

�إر�ضاد�ت للدر��ضة

بالصورة ص = س لو C

تسمى اللوغاريتمية

بالصورة س = Cص وتسمى األسية المكافئة لها.

فإذا كانت )-3(4 = 81فإنه ال توجد صورة لوغاريتمية

مكافئة لها.

فكر و ناقش

تأمل المعادالت األسية اآلتية وحاول اإلجابة على األسئلة التالية:

4 = ع

2 ، 3 = ص

2 ، 2 = س

2

1- س = ..................................... ، ع = .....................................2- قيمة ص محصورة بين عددين صحيحين متتاليين هما .................................... ، ....................................

تلحظ أن قيمة ص ال يمكن حسابها مباشرة مثل س ، ع لذلك نحتاج إلى مفهوم الدالة اللوغاريتمية لحساب قيمة ص.

تعلم

Logarithmic function الدالة اللوغاريتمية لو س هي

C = اللوغارتمية ص الدالة فإن 1 ! C C عددين موجبين حيث إذا كان س،

سC = الدالة العكسية للدالة األسية ص

32 = 5 فإن 52 = 32 والعكس صحيح. لو2

إذا كان مثال: تعبير شفهي:

فإن:سC = للدالة ص ∈ )E ،إذا كانت النقطة )جـ

لو س.C

النقطة)...........، ...........( ∋ للدالة ص = -1 = E تكافئ الصورة اللوغارتمية ...........

حـC الصورة األسية -2

مثال

�لتحويل �إلى �ل�ضورة �للوغاريتميةل كلا مما يأتي إلى الصورة اللوغاريتمية: حو 1

0٫01 = 2-10 ج 15 =

12 -25 ب 81 = 43 أ

الحل

لو 0٫01 = -210

ج 12 - = 1

5 لو 25

ب لو 81 = 4 3

أ

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البيانىLogarithmic function and its graphical representation س

درال


حاول أن تحلعبر عن كل مما يأتي بصورة لوغاريتمية: 1

بس = ص ج 2 = 13 8 ب 1000 = 310 أ

Common logarithm اللوغاريتمات المعتادلو 127 = لو 127 ويمكن استخدام

10لو 7 = لو7 ،

10هو اللوغاريتم الذي أساسه 10 ويكتب بدون كتابة األساس، أي

log الموجود بالحاسبة إليجاد اللوغاريتم المعتاد ألي عدد. مفتاح

مثال

ل كلا مما يأتي إلى الصورة األسية: حو لو 1 = صفر

2ج لو1000 = 3 ب لو 32 = 5

2أ

الحل2صفر = 1 ج 1000 = 310 ب 32 = 52 أ

حاول أن تحلل كلا مما يأتي إلى الصورة األسية: حو

لو 5 = 1 5

ج لو100 = 2 ب 23 لو 25 =

125أ

مثال إيجاد قيم عبارات لوغاريتمية

أوجد قيمة كل من: لو 0٫01 ب لو 125

5أ

الحل

لو 125 = س وبالتحويل إلى الصورة األسية5

نفرض أ

ومنها س = 3 ` 5س = 35 ` 5س = 125

لو 125 = 35 `

نفرض لو0٫01 = ص )لوغاريتم معتاد أساسه 10( وبالتحويل للصورة األسية ب

` 10ص = 2-10 ` 10ص = 0٫01

` لو0٫01 = -2 منها ص = -2


األسية الصورة تحويل يمكن فقط الموجب األساس ذات

فمثل: لوغاريتمية صورة إلى

81 = 4)3-(

صورة إلى تحويلها يمكن ال

لوغاريتمية.



حاول أن تحلأوجد قيمة كل من:

لو 3212

ب لو 81 3

أ

مثال حل المعادالت

أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:

لو )س+6( = 2س

ج لو 625 = س - 1 5

ب لو )س+5( = 3 2

أ

الحلأي س < -5 )مجال تعريف المعادلة( المعادلة معرفة لكل قيم س + 5 < صفر أ

وبتحويل المعادلة إلى الصورة األسية

` س + 5 = 32 ` س + 5 = 8

ومنها س = 3

` 3 ∋ مجال تعريف المعادلة ` مجموعة الحل = }3{

المعادلة معرفة لجميع قيم س الحقيقية وبتحويل المعادلة إلى الصورة األسية. ب ` 5س-1 = 625 ` 5س-1 = 45

` س - 1 = 4 ومنها س = 5


س + 6 < صفر

س < صفر

س ! 1

ق كلا من المعادلة معرفة لجميع قيم س التي تحق ج

أي أن مجال تعريف المعادلة هو [صفر ، ∞ ] - }1{

وبتحويل المعادلة إلى الصورة األسية:

س2 - س - 6 = 0 س2 = س + 6

)س - 3( )س + 2( = 0

إما س = 3 أو س = -2

وحيث إن س = -2 ∌ مجال تعريف المعادلة


حاول أن تحلأوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:

لو 9 = 2)س-1(

ج لو 27 = س + 2 3

ب لو )3س-1( = 1 5

أ

�� را�� لا


س درال


تعلم

graphical representation of the logarithmic function التمثيل البيانى للدالة اللوغاريتيمة

حيث I ∈ C+ -}1{ فإن الدالة العكسية للدالة د تسمى بالدالة سC = )إذا كانت د)س

لو سC

اللوغاريتمية أى ص =

مثال

لو س12

لو س، ص =2

ارسم فى شكل واحد منحنى كل من الدالتين ص = 5

الحلنختار قيم س قوى العدد 2 ) األساس( } 2-2 ، 1-2، 02، 12، 22{

1 س4 1

2124

لو س2

12صفر-2-1

لو س12

-2-1صفر21

من الرسم يمكنك استنتاج الخواص اآلتية لمنحنى الدالة اللوغاريتمية

I = المدى ، +I = المجال

1 < C < 0 1 ومتناقصة لكل > C متزايدة لكل لو س C

الدالة ص =

حاول أن تحللو س ومن الرسم أوجد المدى وابحث اطرادها.

3مثل بيانياا منحنى الدالة ص = 5

مثال

تطبيقات حياتية: تطبق إحدى الدول نظاما ضريبياا بحيث يدفع الممول الضريبة المستحقة سنوياا وفقا للدالة

5000H 10٪ س عندما س

10٪س + 100 لو ) س - 4999( عندما س < 5000

د)س( =

حيث س هى صافى الربح السنوى

أوجد ة على أحد الممولين الذين يبلغ صافى ربحهم السنوى 3600 جنيه. الضريبة المستحق أ

ة على أحد الممولين الذين يبلغ صافى ربحهم السنوى 8000 جنيه. الضريبة المستحق ب

1

1-1-

2-

2-3- 1

2

2

3

3س

ص سC = ص

سCص = لو

1

1-1-

2-3-

2- 1

2

2

3

3 4س

صلو س

2ص =

لو س12

ص =



الحل

د)3600( = 10٪ * 3600 = 0٫1 * 3600 = 360 جنيه أ

ب د)8000( = 10٪ * 8000+100 لو )8000 - 4999( = 1147٫7 جنيه

حاول أن تحلل إذا كانت C تعبر عن المبلغ المصروف على الدعاية ألحد الشركات فى السنة كان ص يعبر عن المبلغ الذى تتحص

C + 1([ احسب ص عندما C = 1100 جنيه.100

عليه الشركة بعد مبيعات هذه السنة حيث ص = 410 ] 1 + 2 لو )

تمـاريــن الدرس الرابع


27 = 3 هى ............................................. لو3

الصورة األسية المكافئة للصورة أ

الصورة اللوغاريتمية المكافئة للصورة 3 صفر = 1هى ............................................. ب

............................................ = 1 لو2

د لو0٫001 = ............................................ ج

لو 128 = س + 1 فإن س = ..........................................2

إذا كان و 4 = 2 فإن س = ............................................ لوس

إذا كان ه

..................... ∈ C س متناقصة لكل لوC

الدالة د حيث د)س( = ح س هو............................................ لو2

مجال الدالة د)س( = ز

س يمر بالنقطة )8، .........................( لو2

منحنى الدالة د حيث د)س( = ط

إذا كان لو3 = س ، لو5 =ص فإن لو 15 = ......................... )بداللة س،ص( ى

أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:- 23 = 9 لو

سج )س + 2( = 3 لو

5ب )س - 1( = 2 لو

3أ

2 = 9 لوس

و )س + 2( = 2 لوس

ه 34 = 8 لوس + 1

د

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة

2 لو6

+ 3 لو6

د 9 لو3

ج 7 لو7

ب 1 لو5

أ

مثل بيانياا الدالة د فى كل مما يأتى اآلتية ومن الرسم أوجد مداها وابحث اطرادها:

)س + 1( لو13

د)س( = د س لو12

د)س( = ج س لو3

د)س( = ب س لو2

د)س( = أ

استخدم الحاسبة فى إيجاد قيمة كل من:- 5

4لو 7 - 5لو13 ج 27 لو2

ب لو 15 أ

العلقة تتبع االجتماعية النوادى أحد فى ألسرة بالجنيه السنوى االشتراك مصاريف كانت إذا س = 500 + 100لو )ن س( حيث ن عدد سنوات االشتراك س عدد األفراد. أوجد قيمة اشتراك أسرة مكونة من

5 أفراد للسنة الرابعة فى هذا النادى.

�� را�� لا


س درال


الوحدة الثانيةبع�س خوا�س اللوغاريتمات

Some properties of logarithms 5 سدرال

سوف تتعلم



آلة حاسبة علمية �حاسب آىل مزود بربامج رسومية �

بيانياا اللوغاريتمية الدالة تمثيل وكيفية اللوغاريتم معنى السابق الدرس فى تعلمت

المقادير تبسيط فى تساعد التى اللوغاريتمات خواص بعض ندرج يلى وفيما

اللوغاريتمية أو حل المعادالت التى تحتوى على لوغاريتم.

تعلم

Some properties of logarithms بع�س خوا�س اللوغاريتمات إذا كان I ∈ C+ - }1{ ، س ، ص∋ I+ فإن

1 = C لوC

-1

3 = 1 ، لو 10 = 1 لو3

فمثل

1 = صفر لوC

-2

1 = صفر ، لو 1 = صفر لو5

فمثل

حاول إثبات كل من 1، 2 من تعريف اللوغاريتم

خاصية الضرب في اللوغاريتمات: -3+I ∈ حيث س، ص ص لو

C

س + لوC

س ص = لوC

إلثبات صحة هذه الخاصية: ص لو

C

س ، جـ = لوC

ضع ب =

ومن تعريف اللوغاريتمات فإن: جـC = ص ،

بC = س

ب + جـC = أي أن س ص

جـC *

بC = فتكون س ص

س ص = ب + جـ لوC

وبتحويل هذه الصورة إلى الصورة اللوغاريتمية تكون:

ص لوC

س + لوC

س ص = لوC

وبالتعويض عن قيمتي ب، جـ تكون

مثال

17 لو34

+ 2 لو34

1 بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة

معادلة لوغاريتمية. �logarithmic equation

استخدام بعض خواص �اللوغاريتامت.

حل املعادالت اللوغاريتمية. �استخدام احلاسبة يف حل �

املعادالت األسية.تطبيقات حياتية عىل �

اللوغاريتامت.


الحلاستخدام خاصية )3( لو )2 * 17(

34 = المقدار

34 لو34

=

استخدام خاصية )1( 1 =

حاول أن تحل91 لو

2لو 13 - 3٫7 أوجد بدون استخدام الحاسبة قيمة

2لو 7- 2٫8 ،

2إذا كان 1

خاصية القسمة في اللوغاريتمات: -4)حاول بنفسك إثبات صحة العلقة( لو ص

Cلو س -

C س =

صلو C

مثال

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة لو 50 - لو 5 الحل

استخدام خاصية القسمة 505 = لو المقدار

= لو 10

استخدام خاصية )1( 1 =

حاول أن تحللو 3٫5

2 - 7 لو

2بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة

خاصية لوغاريتم القوة: -5حيث س < 0 ) حاول إثبات صحة العلقة بنفسك( لو س

C K = K لو س

C

مثال

125 لو5

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة الحل

35 لو5

= المقدار

استخدام خاصية القوة 5 لو5

3 =

استخدام خاصية )1( 1* 3 =

3 =


لو 273

أوجد فى أبسط صورة

لو س ؟ فسر إجابتكC

لو س2 هو نفسه مجال الدالة S)س( = 2C

تفكير ناقد: هل مجال الدالة د)س( =

�ب��


5 سدرال


خاصية تغيير األساس - 6

وإثبات صحة هذه الخاصية لو س

Cلو ص

C

س = لوص

س لوص

ع = بوضع:

بالتحويل إلى الصورة األسية صع = س

C يأخذ لوغاريتم الطرفين لألساس س لوC

ص = لوC

ع

لو سC

لو صC

س = لوص

أي أن: لو س

Cلو ص

C

ع = فتكون

مثال

لو 492

لو 16 * 7

اختصر ألبسط صورة الحل

استخدام خاصية )6( لو 49 لو 2

لو 16 * لو 7

= المقدار لو 27لو 2

* لو 42لو 7

=

استخدام خاصية )5( 2 لو 7 لو 2 4 لو 2 *

لو 7 =

8 = 2 * 4 =

حاول أن تحلأوجد حل المثال السابق بتغيير األساس لعدد آخر غير 10 5

خاصية المعكوس الضربى - 7

لو ب ، معكوس ضربى لآلخر )حاول إثبات صحة العلقة(C

، C لوب

كلا من أى أن 1 لو ب

C

= C لوب

مثال

1

لو 155

+ 1

لو 153

أوجد بدون استخدام الحاسبة قيمة 5 الحل

استخدام خاصية )7( لو 5 15

+ 3 لو15

= المقدار

استخدام خاصية )3( لو ) 3 * 5( 15

=

استخدام خاصية )1( لو 15 = 1 15

=




1 لو 30

5

+ 1

لو 303

+ 1

لو 302

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة

Simplifying the logaritmic experssions تب�سيط المقادير اللوغاريتمية

مثال

15 - لو 12

27 + 3 لو2اختصر ألبسط صورة لو 0٫009 - لو16

الحلخاصية )5( 1

5 (3 - لو 1227 + لو )2

9 - لو161000 = لو المقدار

خاصية )3( ، )4( ) 121 * 125

8 * 1627 * 9

1000 = لو )

خاصية )2( = لو 1 = صفر

حاول أن تحل 19 - لو 2

2 1 - لو73 - لو5 اختصر ألبسط صورة 4 لو

Solving Logarithmic equations حل المعادلت اللوغاريتمية

مثال

أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت

لو س = 34

س + لو2

ب لو ) س + 1 ( =1 2

س + لو2

أ

الحل

الدالة معرفة لكل س< صفر ، س + 1 < صفر أ )مجال تعريف المعادلة( أى أن س < صفر

استخدام خاصية )3( لو س ) س + 1( = 1 2

تحويل من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة األسية س )س +1( = 12

` )س + 2 ( ) س - 1( = صفر س2 + س -2 = صفر

وحيث إن س = -2∌ لنطاق تعريف المعادلة أو س =1 إما س = -2

مجموعة الحل = }1{

)نطاق تعريف المعادلة( الدالة معرفة لكل س < صفر ب

خاصية )6( 3= لو س

2

لو 42

س + لو2

�ب��


5 سدرال


بالضرب فى 2 3 = لو س

2

2 لو س +2

لو س = 22

` لو س = 6 2

3 ` لو س = 6 2

لو س + 2

2

س = 4 )التحويل من الصورة اللوغاريتمية إلى األسية(

` مجموعة الحل = } 4{ وحيث إن س = 4 ∋ مجال تعريف المعادلة


أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية :

لو 2س

لو س = 2

ب لو )2 س + 1( - لو ) 3 س -1( =1 أ

Solving the power equations by using Logarithms حل المعادلت الأ�سية با�ستخدام اللوغاريتمات

مثال

أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية مقربا الناتج ألقرب رقمين عشريين: ب 3 س +1 = 5س -2 2 س = 7 أ

الحل

بأخذ لوغاريتم الطرفين 2س = 7 أ

لو 7 لو2

` س = ` س لو2 = لو 7 ` لو 2س = لو 7

وباستخدام الحاسبة بالتتابع اآلتى:

log 7 ( log 2 ( = 2.807354922

` مجموعة الحل = }2٫81{ ` س - 2٫81

2 x ans = 7 )التحقق من صحة اإلجابة باستخدام الحاسبة(

ب 3س+1 = 5س-2 بأخذ لو للطرفين

` س لو3 + لو3 = س لو 5 - 2 لو5 ` )س +1(لو 3 = ) س -2 ( لو 5

` س )لو3 - لو 5 ( = - لو3 - 2 لو5 ` س لو3 - س لو5 = - لو3 - 2 لو 5

- لو3 - 2 لو5 لو 3 - لو5

` س =

– log 3 ( – 2 log 5 ( وباستخدام الحاسبة بالتتابع اآلتى:

log 3 ( – log 5 ( = 2.807354922 ` مجموعة الحل = }8٫45{ ` س - 8٫45



)التحقق من صحة اإلجابة باستخدام الحاسبة(

3 x ans + 1 ÷ 5 x ans – 2 = 1

حاول أن تحلأوجد ألقرب رقمين عشريين مجموعة حل كل من المعادالت :

ب 4 س -1 = 3س أ 7 س = 2

مثال

الربط بالصناعة: إذا كانت كفاءة عمل أحد اآلالت تتناقص سنوياا طبقا للعلقة K)0٫9( = 0حيث 10

علم أن اآللة تتوقف عن K عدد سنوات عمل اآللة. فإذا ، الكفاءة االبتدائية لآللة 0 كفاءة اآللة، العمل إذا بلغت كفاءتها 40٪ فما عدد السنوات التى تعملها هذه اآللة قبل أن تتوقف عن العمل.

الحلالمقصود ببلوغ الكفاءة 40٪ أى 40٪ من الكفاءة االبتدائية

0 بالقسمة على 0 K)0٫9( = 0 0٫4 `

فأخذ لو للطرفين K)0٫9 ( = 0٫4 `

8٫696718 = لو 0٫4 لو 0٫9

= K ` = K لو 0٫9 ` لو 0٫4

اآللة ال تعمل أكثر من 8 سنوات ونصف السنة . أى أن حاول أن تحل

فى المثال السابق أوجد كفاءة اآللة بعد مرور 4 سنوات من تشغيلها

تمـاريــن الدرس الخامس

اختر االجابة الصحيحة من بين االختيارات: 1

.......................................... = 8 لو2

أ

10 )4( 16 )3( 3 )2( 4 )1(

لو2 + لو5 = .......................... ب

10 )4( لو2٫5 )3( لو 7 )2( 1 )1(

................................ = 5 لو5

ج

1- )4( 12 )3( 5 )2( 2 )1(

لو 6 = ........................ إذا كان لو2 = س ، لو 3 = ص فإن د

لوس + لو ص )4( س - ص )3( س ص )2( )1( س + ص

�ب��


5 سدرال


.......... = 3 لو6

2 + 2 لو6

2 ه

12 )4( 2 )3( 36 )2( 6 )1(

.................. = 2 لو5

* 5 لو2

و

صفر )4( 52 )3( 10 )2( 1 )1(

........................ = 3 لو2

* 5 لو3

* 2 لو5

ز

لو 30 )4( )3( صفر 1 )2( 30 )1(

عبر عن كل ممايأتى بداللة لوس ، لو )س + 1(

س ) س +1(2 لو ج س س +1

لو ب لو س )س +1( أ

اختصر ألبسط صورة:

23 لو

2 + 12 لو

2ج 3 لو

6 + 2 لو

6ب 9 لو

6 - 54 لو

6أ

لو49 + 3 لو 7لو 7

و 1 - لو2 لو125

ه لو 48 + لو125 - لو 6 د

لو 3جـ23

Cب - لو3

لو جـ - 3

ب + 2 لو3

12 + C لو

3 12 ح 3 + لو 0٫1 لو

3 + 16 لو

2ز


2 = 2 لو5

لو س - 5

ج لو س + لو )س -3( =1 ب لو )س +2( = 3 2

لو س + 2

أ

2 = 3لوس

لو س - و 2 = 1

لو س3

+ 1

لو س2

ه لو )س +3( - لو 3 = لو س د

16 لو5

* 5 لو3

* 3 لو2

ثم احسب قيمة 1 = E لوC

جـ * لوE

ب * لوجـ

* C لوب

أثبت أن 5

أوجد قيمة س فى كل مما يأتى مقربا الناتج لرقم عشرى واحد.

2 س -3 = 3س +1 د 1 = س-2

7 * 4 ج 5س -1 = 2 ب 3س = 7 أ

إذا الزمن K)1 احسب بالصيغة ت = )2 تعطى ثانية )K( أمبير والزمن التيار )ت( بين شدة العلقة إذا كانت

كانت شدة التيار 0٫32 أمبير.

الربط باالحياء:إذا كان حجم عينة من البكتريا فى لحظة معينة هو 3 *610 وكان حجم العينة يزداد تبعا لدالة أسية ح = K)1٫15( 610* 3 فأوجد حجم البكتريا بعد 4 ساعات.



�س الوحدة ملخ1- الجذور النونية الحقيقية للعدد

)1 > K( عدد صحيح حيث K ،عدد حقيقى C بفرض

K عدد صحيح فردىK عدد صحيحح زوجى

C > صفر ½C ليس لها جذور نونية حقيقية

1KC = K

C C لها جذر نونى حقيقي هو

صفرK = صفرC = صفر ½ صفرK = صفرC لها جذر نونى حقيقي هو C لها جذر نونى حقيقي هو

C1 < صفر ½KC! = K

C C لها جذران حقيقيان هما !1KC = K

C C لها جذر نونى حقيقي هو

2- خواص الجذور النونية:

بI ∈ K فاإن: ، K

C �إذ� كان

حيث ب ! صفرK

CKب

= KCب ب Kب * K

C = Kب C أ

KKC C = KK إذا كان K عدد فردى،

C د (م K

C ( = KمC ج

= |C| إذا K عدد كان زوجى

I∈ KمC مK حيث

C = مKC األسس الكسرية 3

خواص األسس الكسرية 4

N ∈ 1{، م{ - +N ∈ K ،I = C حيث Kم

C = مKC أ

يمكن تعميم قوانين القوى الصحيحة على القوى الكسرية ب

C 1{ فإن د تسمى دالة أسية أساسها{ -+I∈C س لكلC = )حيث د)س + I# I :الدالة األسية: إذا كانت د 5

خواص منحنى الدالة األسية 6

+المدى ح ب I = مجال الدالة أ

الدالة متزايدة على مجالها لكل C < 1 وتسمى بدالة النمو األسى. ج

الدالة متناقصة على مجالها لكل C < 0>1 وتسمى بدالة التضاؤل األسى. د

النمو االسى: يمكن استخدام الدالة د حيث د)سK)S + 1(C = ) لتمثيل النمو األسى بنسبة مئوية ثابتة فى فترات 7زمنية متساوية حيث K هى الفترة الزمنية، C القيمة االبتدائية، S النسبة المئوية للنمو فى الفترة الزمنية الواحدة

التضاؤل األسى: يمكن استخدام الدالة د حيث د)سK)S - 1( C = ) = لتمثيل التضاؤل األسى بنسبة مئوية ثابتة 8فى الفترات زمنية متساوية حيث K هى الفترة الزمنية، C القيمة االبتدائية، E النسبة المئوية للتضاؤل فى الفترة

الزمنية الواحدة.

C


ر��ن ��م�

المعادلة األسية: 9K = 0، 1، -1{ فإن م{ ∉ C م حيثC = KC إذا كان

إذا كان KC = بK حيث C ، ب ∌ }0، 1، -1{ فإن

إما K = صفر أو C = ب فى حالة K عدد فردى أو C = | ب| فى حالة K عدد زوجى.

الدالة اللوغاريتمية 10لو س هى الدالة العكسية للدالة األسية ص = C س

C

- }1{ فإن الدالة ص = +I∈ C إذا كانت أ

لو جـ التحويل من الصورة األسية إلى الصورة اللوغاريتمية والعكس.C

Cب = جـ فإن ب = ب

} 5 لو10

= 5 اللوغاريتم المعتاد : هو لوغاريتم أساسه 10 }الحظ أن لو ج خواص الدالة اللوغاريتمية 11

I = المدى ب +I= مجال الدالة أ

1< C <0 1 ومتناقصة لكل >C س متزايدة لكل لوC

الدالة ص= ج

}1{ - +I∈Cخواص اللوغاريتمات : إذا كانت 12

لو 1= صفرC

ب 1 = C لوC

أ

لو س حيث س < صفرC

لو سم = م C

ج

لو س ص حيث س، ص < صفرC

لو ص = C

لو س + C

د

س حيث س، ص < صفر ص

لوC

لو ص = C

لو س - C

ه

}1{ - +I ∈ ب ،C ، حيث س < صفر

لو سب

C لوب

لو س =C

و

1= C لوس

لو س * C

ز

13 حل المعادلة االسية باستخدام اللوغاريتمات

لو بC لو

فإن س = = = ب سC إذا كان



تمــــاريــن عامة


إذا كان س4 = 16 فإن س = ...................................... أ

...................................... = 12 4 ب

...................................... = C بالنقطة )-4، 16( فإن سC = إذا مر منحنى الدالة ص ج

لو 1000 = ...................................... د

...................................... ∈ C س تكون متناقصة لجميع قيم س عندماC = )الدالة د حيث د)س ه

منحنى الدالة د)س( = 2س هو صورة منحنى الدالة ...................................... باالنعكاس فى المستقيم ص = س و

منحنى الدالة ص = 3س هو صورة منحنى الدالة ...................................... باالنعكاس فى محور الصادات. ز

إذ كان 5 س-2 = 3 س-2 فإن 7س-2 = ...................................... ح

منحنى الدالة د حيث د)س( = 2س+1 يقطع محور الصادات فى النقطة ...................................... ط

لو س = ......................................8

س = 3 فإن لو2

إذا كان ى

...................................... =5 لو3

* 2 لو5

* 3 لو2

ك

1لو 14

7

+ 1لو 14

2

ل

أوجد أبسط صورة:

83 لو

2 + 3

2 لو2

ج 32 -

) 3210 ( ب 13 27 أ

5 لو2

- 40 لو2

و 3 لو5

* 5 لو3

ه 34 * 8

62د


لو )س + 6( = 2س

ج 181 3 س-2 = ب 9 =

23 س أ

3 س+1 = 4 و لو )س - 2( = 2 2

لو )س - 1( - 2

ه 2- = 1س

لو5

د

1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى

ر��ن ��م�

مقربا الناتج لرقم عشرى واحد.200 4 * 285 7

400 8استخدم الحاسبة فى إيجاد قيمة

مثل بيانياا كلا من الدوال اآلتية: 5

)س - 1( لو12

و)س( = د س لو2

هـ)س( = ج 1(س S)س( = )3 ب د)س( = 2 س-1 أ

الربط باالقتصاد:

يزداد سعر إحدى السلع المعمرة سنوياا بمقدار 9٪ فإذا كان السعر األصلى للسلعة هو 1000 جنيه.

ح بها سعر السلعة بعد مرور ن سنة. أوجد صيغة توض أ

بعد كم سنه يصبح سعر السلعة ضعف سعرها اآلن. ب

تتناقص أعداد أحد أنواع الحيوانات فى إحدى الدول طبقا لتضاؤل أسى فإذا كانت أعداد هذا الحيوان فى عام 1960 تساوى 80540 ثم تضاءل هذا العدد عام 2000 ليصبح 53879.

اكتب صيغة توضح بها أعداد هذا الحيوان بعد مرور ن سنة من عام 1960. أ

أوجد أعداد هذا الحيوان عام 1985. ب

إلى الحيوان أعداد هذا أن تصل تتوقع أى عام ففى المعدل بهذا الحيوان أعداد هذا استمر تضاؤل إذا ج

نصف ما هو عليه عام 1960.

إذا كان لو2 = 0٫301، لو3 = 0٫477 أوجد بدون استخدام الحاسبة قيمة

لو5 ج لو 32 ب لو6 أ


2(س-2 = 93( ج 3س+1 = 7 ب 2س = 5 أ

2 * 5س = 7 و 3س-2 = 8س-1 ه 5 1 -س = 3 د إذا كانت د)س( = 3س 10

19 أوجد مجموعة حل المعادلة د)س + 1( = ب أثبت أن د)C( * د)ب( = د)C + ب( أ

1 س2 أوجد بيانياا مجموعة حل المعادلة 2س = 1 - 11




عين مجال كل من الدوال اآلتية: 1

)س - 2( لو3

S)س( = ج س - 2 س

د)س( = ب س - 2 د)س( = أ

أم الدالة ونوعها من حيث كونها زوجية عين المدى وابحث اطراد ارسم منحنى كل مما يأتى، ومن الرسم فردية.

د)س( = 3س-1 ب د)س( = )س - 2(2 أ

س لو2

هـ )س( = 1 - د S)س( = 2 - |س| ج

اختصر: 1-)15( *

14 )81( *

23 )125( ب

122-C * C3

C أ

أوجد قيمة كل مما يأتى )بدون استخدام الحاسبة(

( صفر 315 ( * 9 * 2)1- 3( ج 32-27 ب 14 )16( أ

5 لو3

3 و 127 لو

9ه لو5 + لو15 د

أوجد فى I مجموع حل كل من المعادالت: 5 13 3س-2 = ب |س - 2| = 5 أ

لوس = لو3 + لو 10 د 116 س -4 = ج

أوجد باستخدام الحاسبة

قيمة س التى تحقق 3 س-2 = 25 مقربا الناتج لرقمين عشريين أ 750 3510 5

قيمة ب

أي الدوال اآلتية تمثل دالة نمو وأيها تمثل دالة تضاؤل:

ص = 10)2٫1(س + 1 ب ص = 3 )1٫05(س أ

ص = 0٫2 )3( 1 - س د 1(س ص = 0٫4)2 ج


�� ك�ا

المصطلحات األساسيةدة

وحس ال

رود

Ñ Unspecified quantity كمية غير معينة Ñ Undefined غير معرف�Ñ Right limit نهاية يمنى�Ñ Left limit نهاية يسرى�

Ñ Limit of a function نهاية دالة�Ñ direct substitution تعويض مباشر�Ñ Polynomial function دالة كثيرة الحدود�Ñ Limit of a function at infinity نهاية الدالة عند الالنهاية�

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

�يتعرف�مقدمة�في�النهايات. � يتعرف�بعض�الكميات�غير�المعنية�مثل: �

∞ * 0 ، ∞ - ∞ ، ∞∞

، 00

يحدد�طريقة�إيجاد�نهاية�دالة: �

بالتعويض�المباشر،�بالتحليل،�بالقسمة�المطولة،�بالضرب�في�المرافق.

� ن-1C ن =

سن - CنC -س

نهـــا C !س

يوجد�نهاية�دالة�مستخدما�القانون�

� ن-مC ن

م =

سن - CنمC -

سمنهـــا C !س

يستنتج�نهاية�دالة�مستخدما�القانون�دالة� � نهاية� صحة� من� للتحقق� البيانية� الحاسبات� يستخدم�

وتقرير�قيمة�النهاية.

الوحدة الثالثة

النهاياتLimits



مقدمة فى النهايات. الدرس األول:

إيجاد نهاية الدالة جبريا. الدرس الثانى:

نهاية الدالة عند الالنهاية. الدرس الثالث:


ساالو

ت ودوا

األ


واالشتقاق واالتصال النهايات بدراسة تختص والتى الرياضيات، لمادة الحديثة الفروع أحد )Calculus( والتكامل التفاضل

والتكامل والمتسلسالت الالنهائية وهو علم يستخدم لدراسة التغير فى الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل فى العديد من التطبيقات الهندسية والحياتية والتجارية والعلوم المختلفة، فكثيرا ما نحتاجه لدراسة

سلوك الدالة، والتغير فيها وحل بعض المشكالت التى يعجز علم الجبر وبعض العلوم األخرى عن حلها.

النهايات

نهاية الدالة

إيجاد نهاية الدالة عند نقطة

مقدمة في النهايات

إيجاد نهاية الدالة عند الالنهاية

التحليل التعويض المباشر

القسمة المطولة

الضرب في المرافق


آلة حاسبة - حاسب آلى - برامج رسومية

سوف تتعلم


الوحدة الثالثةمقدمة في النهايات

Introduction to limits of functions 1 سدرال

ألة حاسبة علمية �برامج رسومية للحاسوب �


كمية غري معينة �Unspecified quantities

� Undefined غري معرف جمموعة األعداد احلقيقية املمتدة �

Extended real numbers � Right limit هناية يمنى � Left limit هناية يرسى � Value of a function قيمة دالة � Limit of a function هناية دالة

الكميات غري املعينة. �هناية دالة عند نقطة. �

فكر و ناقش

أوجد ناتج العمليات اآلتيةإن أمكنك ذلك:

4 ÷ 28 5 * 3 1

0 ÷ 7 9 - 4

3 + ∞ 0 ÷ 0

∞ - ∞ ∞ ÷ ∞

Unspecified quantities الكميات غير المعينة:

تعلمفى بند فكر وناقش نجد أن بعض نواتج العمليات محدد تماما مثل رقم 1 ، 2 ، 3 ، بينما

بعض النواتج اليمكن تحديدها مثل باقى العمليات.

: 7 ÷ 0 غير معرفة حيث إن القسمة على صفر ال معنى لها. الحظ أنواآلن ال يمكن تحديد ناتج العملية 0 ÷ 0

حيث يوجد عدد ال نهائى من األعداد إذا ضرب كل منها فى صفر كان الناتج صفر

0 كمية غير معينة، ومن الكميات غير المعينة أيضا:0 لذلك فإن

∞ ، ∞ - ∞ ، 0 * ∞ )لماذا؟(∞

،I بمجموعة األعداد الحقيقية الممتدة، ويرمز لها بالرمز }∞ ، ∞ -{ ∪ I :تسمى المجموعةفإذا كان I ∈ C فإن:

∞ - = C + ∞- 2 ∞= C + ∞ 1

0 < C إذا كان ، ∞ -

0 > C إذا كان ، ∞ = C * ∞ 4 C = صفر

∞ - = C

∞ 3

0 > C إذا كان ، ∞ -

0 < C إذا كان ، ∞ = C * ∞- 5


تذكر �أن

عدد على يدل رمز هى ∞أكبر من أى عدد حقيقى يمكن

تصوره أو تخيله


مثال

1 أوجد ناتج العمليات اآلتية فى مجموعة األعداد الحقيقية الممتدة إذا كان ذلك ممكنا:0 ÷ 5 - د 3 ÷ 0 ج ∞ - 3 ب ∞ + 4 أ

∞ - * 6 - حـ ∞ * 5 ز 0 ÷ 0 و 0 + 0 ه

الحل

غير معرفة د 0 ج ∞ - ب ∞ أ

∞ حـ ∞ ز كمية غير معينة و 0 ه

حاول أن تحلأوجد ناتج العمليات اآلتية فى مجموعة األعداد الحقيقية الممتدة إذا كان ذلك ممكنا: 1

0 * ∞ د ∞ ÷ 9 ج 0 ÷ 7 ب )2 -( ÷ 0 أ ∞ ÷ ∞ حـ ∞ + ∞ ز 12 + )∞ -( و ∞ * )7 -( ه

نشاط

حة بالجدول التالى: في الشكل التالى: الخط البيانى للدالة د المعرفة على I وفق القاعدة د )س( = 2 س + 1 الموض

د)�س(�سد)�س(�س

2٫15٫21٫94٫8

2٫015٫021٫994٫98

2٫0015٫0021٫9994٫998

2٫00015٫00021٫99994٫9998

............................

2525

س < 2

س تقترب من 2 جهة اليمين

س > 2

س تقترب من 2 من جهة اليسار

نالحظ أنه عندما تقترب س من العدد )2( من اليمين أو من اليسار فإن د)س( تقترب من العدد )5( ونعبر عن ذلك نهــــــا )2 س + 1( = 5

س! 2رياضيا كاآلتى:

1234567

و 1 21-2- 3 س

د )س(

هياهن ا يف ةقدقم


1 سدرال


مثال

س2 - 4 فادرس قيم د)س( عندما تقترب س من 2.س - 2 إذا كانت د)س( =

الحل

د)�س(�سد)�س(�س

2٫14٫11٫93٫9

2٫014٫011٫993٫99

2٫0014٫0011٫9993٫999

............................

2424

س > 2س < 2

من الشكل البيانى ومن بيانات الجدول الموضحة نجد أن د)س( # 4 عندما س # 2 من جهة اليمين أو من

س2 - 4 = 4س - 2 نهــــــا

س!2جهة اليسار `

: الحظ من هذ� �لمثال �أن0 عندما س = 2 )أى أن الدالة: غير معرفة عند س = 2(

0 الفجوة في الشكل البياني تعني حالة من حاالت عدم التعيين -1وجود نهاية للدالة عندما س # 2 التعنى بالضرورة أن تكون الدالة معرفة عند س = 2. -2

حاول أن تحلس2 - 1 فادرس قيم د)س( عندما تقترب س من )- 1(

س + 1إذا كانت د)س( =

مثاللكل س < 1 س + 2

لكل س > 1 س + 1 إذا كانت الدالة د معرفة على I، حيث د)س( =

نهــــــا د)س(س! 1

ارسم منحنى هذه الدالة، ثم ابحث وجود

الحلد)�س(�سد)�س(�س

1٫13٫10٫91٫9

1٫013٫010٫991٫99

1٫0013٫0010٫9991٫999............................

1312

س > 1س < 1

س

ص

123456

3 41 20

0

12345

د )س(

و 1 21-1-2-

2- 3 س

احثلاثلاحودحولا يف ةقدقم


: د)س( # 3 عندما س# 1 من جهة اليمين نالحظ من الجدول ومن الشكل البيانى للدالة أند)س( # 2 عندما س# 1 من جهة اليسار

أى أنهما غير متساويتين نهــــــا د)س( ليس لها وجود

س! 1 `

الحظ أن الفجوات في الشكل البياني تعني أن د)1( غير معرفة، حيث مجال د)س( = ح - }1{

حاول أن تحلعندما س < 2 3 -

عندما س > 2 3إذا كانت الدالة د معرفة على I حيث: د)س( =

نهــــــا د)س(س! 2

ارسم منحنى هذه الدالة ثم ابحث وجود

: من األمثلة السابقة نستنتج أن ،C = اليعنى بالضرورة أن تكون الدالة معرفة عند س C # وجود نهاية للدالة عندما س

والعكس إذا كانت الدالة معرفة عند س = C فهذا ال يعنى وجود نهاية للدالة.

تعبير شفهى:عبر بأسلوبك عن الفرق بين قيمة دالة عند نقطة ونهاية الدالة عند نفس النقطة.

تمــــاريــن الدرس األول�أوال: تمارين على �إيجاد �لنهاية بيانيا:

من الرسم البيانى أوجد: 1 نهــــــا د)س(

س!0أ

د)0( ب

من الرسم البيانى المقابل أوجد إن كان ذلك ممكنا:

نهــــــا د)س(س!3

أ

د)3( ب

23ص

و1-2-

س1

r2

r-2

123

ص

و 1 42 51-

2-

2-3- 3 6 س1-



1 سدرال


من الرسم البيانى المقابل أوجد: نهــــــا د)س(

س!-2أ

د)- 2( ب


ج

د)0( د

من الشكل البيانى المقابل أوجد:

نهــــــا )2 - س2(س!0

أ

د)0( ب

من الشكل البيانى المقابل أوجد: س2 - 4 س + 2

نهــــــا س!-2

أ

ب د)- 2(

من الشكل البيانى المقابل أوجد: نهــــــا د)س(

س!0ب د )0( أ


د د )2( ج

د)س( = 2 - س2

3

د )س(

2

2-

4-

2- 4 س

س4-2 س+2

د)س( =

321

د )س(

21

2-1-

3-4-5-

2- 1-3-4- 43 س

12345

1 21-2- 3 4

د )س(

س

1234

د )س(

و 1 21-4-

2-3-

2-5- 3-6- 3 س1-



ا: ثانيا: �إيجاد نهاية �لد�لة عددينهــــــا د)س( حيث د)س( = 5 س + 4

س!2أكمل الجدول اآلتي واستنتج

2٫0012٫012٫1$2#1٫91٫991٫999س

$؟#د)س(

نهــــــا )3 س + 1(س!-1

أكمل الجدول اآلتي واستنتج

- 1٫1 - 1٫01 - 1٫001$ - 1# - 0٫999 - 0٫99 - 0٫9س

$؟#د)س(

س2 - 1 س + 1


أكمل الجدول اآلتي واستنتج 9

- 1٫1 - 1٫01 - 1٫001$ - 1# - 0٫999 - 0٫99 - 0٫9س

$؟#د)س(

س - 2 س2 - 4

نهــــــا س!2

أكمل الجدول اآلتي واستنتج 10

2٫0012٫012٫1$2#1٫91٫991٫999س

$؟#د)س(

تفكير إبداعى:لكل س ! - 3 س2 - 9

س + 3

عند س = - 3 ك إذا كانت الدالة د معرفة كاآلتى: د)س( = 11

س2 - 9 س + 3


ن جدوال لبحث قيم الدالة عندما س تقترب من -3 ثم أوجد قيمة ك إذا كان د)-3( = كو

لكل س ! 1 س2 + س-2 س - 1

عند س = 1 ك إذا كانت الدالة ر معرفة كاآلتى: ر)س( = 1

س2 + س -2 س - 1 نهــــــا

س!1ن جدوال لبحث قيم الدالة عندما س تقترب من 1 ثم أوجد قيمة ك إذا كان د)1( = كو



1 سدرال


سوف تتعلم



الوحدة الثالثة

ألة حاسبة علمية. �برامج رسومية للحاسوب. �

� Limit of a function هناية دالة دالة كثرية احلدود �

Polynomial function تعويض مبارش �

direct substitution � synthetic division قسمة تركيبية � conjugate املرافق

هناية الدالة كثرية احلدود. �بعض نظريات النهايات. �استخدام القسمة املطولة ىف �

إجياد قيمة هناية دالة. استخدام النظرية �

= نC ن - 1سن - CنC - س نهـــا

C !س

س دراال اإيجاد نهاية الدالة جبري

Finding the limit of a function algebraically

نشاط

استخدم أحد برامج الحاسوب الرسومية فى رسم الشكل البيانى لكل من الدالتين:

س2 - س - 2 ، د2)س( = س + 1س - 2

د1)س( =

ماذا تالحظ؟نهــــــا د2)س(

س!2نهــــــا د1)س( ،

س!2أوجد:

ماذا تستنتج؟

تعلم

Limit of a polynomial function نهاية الدالة كثيرة الحدود

× I ∈ C ،إذا كانت د)س( كثيرة حدود

)C(د = )نهــــــا د)سC!س

فإن:

يةظر

ن

1مثال

أوجد نهاية كل من الدوال اآلتية: 1 نهــــــا )-4(

س!3ب نهــــــا )س2 - 3س + 5(

س!2أ

الحلنهــــــا )س2 - 3س + 5(

س!2أ

)بالتعويض المباشر( 3 = 5 + 6 - 4 =

I ∈ د)س( = -4 ثابتة لكل قيم س الحظ أن نهــــــا )-4( = -4 س!3

ب

حاول أن تحلأوجد كل من النهايات اآلتية: 1

نهــــــا )3س2 + س - 4(س!-2

ب نهــــــا )2س - 5( س!1

أ


نهــــــا X)س( = مC!س

نهــــــا د)س( = ل C!س

إذا كان فإن:

نهــــــا ]د)س( ! X)س([ = ل ! مC!س

-2 I ∈ حيث ك نهــــــا ك د)س( = ك.ل C!س

-1

بشرط م ! 0 ل م

د)س( = X)س(

نهــــــا C!س

-4 نهــــــا د)س( . X)س( = ل.م C!س

-3

I ∈ حيث لن نهــــــا )د)س((ن = لن C!س

-5

يةظر

ن

2

مثال

أوجد كل من النهايات اآلتية: طا س

سنهــــــا rس!4

ب 3س + 7 س2 + 2س - 5


أ

الحل2-3 = 4

6- = 7 + 1- * 35 - )1-( 2 + 2)1-(

= نهــــــا )3س + 7(

س!-1نهــــــا )س2 + 2س - 5(

س!-1

= 3س + 7س2 + 2س - 5


أ

4r

= 1r4

= نهــــــا طا س

rس!4

نهــــــا سrس!4

= طا سس

نهــــــا rس!4

ب

حاول أن تحلاحسب النهايات اآلتية:

نهــــــا س جتا سr!س

ب س2 - 3 2س + 1


أ

× } C { - I ∈ س( لكل س(X = )إذا كانت د)س

نهــــــا د)س( = لC!س

نهــــــا X)س( = ل فإن C!س

وكانت

يةظر

ن

3مثال

س3 - 1س - 1


أوجد:

الحلغير معينة عند س = 1 س3 - 1

س - 1نلحظ أن د)س( =

1 ! الصفرية عندما س المتشابهة غير العوامل بالتحليل والقسمة على

فإنه يمكن كتابة د)س( على الصورة.

د)س(

س

ص

12345

1 21-2-

ق يدرقج ةةقدن يفايفن دادي


س درال


= س2 + س + 1)س - 1( )س2 + س + 1(

)س - 1(د)س( =

= X)س(

من ذلك نجد أن د)س( = X)س( لكل س ! 1

نهــــــا X)س( = 3س!1

وحيث أن

نهــــــا د)س( = 3س!1

فإنه طبقا للنظرية السابقة نستنتج أن

س3 - 1 = 3س - 1


`

حاول أن تحلس3 + 8س + 2


أوجد:

مثال

أوجد: س3 - 2س2 + 1

س2 + س - 2نهــــــا س!1

الحل نلحظ أن دالة البسط د)س( = 0 وذلك بالتعويض عن س = 1،

كذلك دالة المقام X)س( = 0 بالتعويض أيضا عن س = 1 وهذا يعني أن العامل )س - 1(

مشترك في كل من البسط والمقام. ونظرا لصعوبة تحليل دالة البسط إلى عوامل أحدها

)س - 1( نستخدم القسمة المطولة لنوجد العامل اآلخر للمقدار س3 - 2س2 + 1 كاآلتي:

س3 - 2س2 س - 1+ 1 س3 - س2 س2 - س - 1

+ 1 0 - س2

- س2 + س0 - س + 1- س + 1

صفر

لذلك فإن:1س2 - س - 1 = -3

س + 2نهــــــا

س!1)س - 1( )س2 - س - 1( =

)س - 1( )س + 2(نهــــــا

س!1

حاول أن تحلس3 - 10س - 3س2 + 2س - 3


ب س3 - س2 - 5س + 6 س - 2


أ

X)س(

12345

1 21-2-

�ر�ضاد للحل

فى عملية القسمة المطولةمن كل حدود )1( ترتيب عليه والمقسوم المقسوم تنازليا أو ا تصاعدي ترتيبا

بنفس الطريقة.من األول الحد )2( نقسم المقسوم على الحد األول المقسوم عليه ونكتب من

ناتج القسمة.فى القسمة ناتج )3( نضرب ويطرح عليه المقسوم المقسوم من الناتج

للحصول على الباقى.)4( نستمر بنفس الطريقة حتى االنتهاء من عملية القسمة.



مثال

��ضتخد�م �لمر�فق أوجد النهايات اآلتية:

س2 - 5سس + 4 - 3


ب س - 3 - 1 س - 4


أ

الحل0 = )4(X : س - 3 - 1 أى أن : X)س( = الحظ أن: ع)4( = 0 ع)س( = س - 4 أى أن

صفر )كمية غير معينة(صفر

= )4(Xع)4(

` أ

لذلك نبحث عن طرق نتخلص بها من العامل )س - 4( فى كل من البسط و المقام.

س - 3 - 1س - 3 + 1( )س - 4()


س - 3 + 1 = س - 3 + 1

س - 3 - 1 * س - 4 نهــــــا

س!4

س - 4س - 3 + 1( )س - 4()


=

12 =

1س - 3 + 1


=

س + 4 + 3س + 4 + 3

* س2 - 5س

س + 4 - 3نهــــــا س!5

س2 - 5س = س + 4 - 3


ب

س + 4 + 3( س)س - 5())س - 5( نهــــــا

س!5س + 4 + 3( = س)س - 5( )

س + 4 - 9 نهــــــا س!5

=

س + 4 + 3( = 5 )3 + 3( = 30 نهــــــا س)س!5

=

حاول أن تحلأوجد النهايات اآلتية:

س + 1س + 5 - 2


ب س - 1 - 2 س - 5 نهــــــا

س!5أ

= ن C ن - 1سن - CنC - س


ية ظر

ن4

مثال

19 = 18 1 * 19 = س19 - 191

س - 1 نهــــــا س!1

س19 - 1 = س - 1 نهــــــا

س!1



س درال


نتائج على �لنظرية:C ن - م ن

م = س ن - Cنسم - Cم نهــــــا

C!س -2 ن-1

C ن = )س + C(ن - Cن

س نهــــــا س!0

-1

ئجنتا

مثال

أوجد: س5 - 32س2 - 4


ب )س + 5(4 - 625 س نهــــــا

س!0أ

)س - 4(5 + 32س - 2 نهــــــا

س!2د )س + 1(11 - 1


ج

الحل

20 = 32 * 52 =

س5 - 52س2 - 22


= ب 500 = 35 * 4 = )س + 5(4 - 45


= أ

)س + 1(11 - 1 = 11* 1 1-11 = 11س نهــــــا

س!0ج

)س - 4(5 - )-2(5

)س - 4( - )-2(نهـــــــــا

س!2 =

)س - 4(5 + 32س - 2


د

80 = 4)2-( 5 =

حاول أن تحلأوجد:

س + 31 - 1س


جـ )هـ + 3(4 - 81

هـنهــــــا

هـ!0ب س4 - 625


س!-5أ

تمــــاريــن الدرس الثاني

�أكمل ما ياأتى:

س2 - س = ................................س نهــــــا

س!0س - 1 = ......................


س!1نهــــــا )3س + 1( = ..................

س!2 1

س3 - 8 = ......................س -2 نهــــــا

س!2 ............... =

5C - 5سC - س نهــــــا

C!سس2 - 4 = ........................


س5 - 32 = ............س3 - 8


س4 - 16 = ............ 9 س - 2 نهــــــا

س!2س2 +س -2 = ...............


الحظ �أن

54 × 42 = 5

4 )42( = 54 16

32 = 52 = كذلك فإن:

64 = 32 16



س7 + 1 = ............س5 + 1


س2 - س-2 = ............ 1 2 س - 4 نهــــــا

س!2 11 ............... = 5) س2 -1

س - 1 نهــــــا )س!1

10

�ختر �الإجابة �ل�ضحيحة من بين �الإجابات �لمعطاة:

س2 - 1 تساوى:س نهــــــا

س!0 1

ليس للدالة نهاية د 2 ج 1 ب 0 أ

س2 + س تساوى:س +1


1

3 د 1 ج صفر ب 1- أ

2س2 - 8 تساوى:س - 2 نهــــــا

س!2 1

8 د 6 ج 4 ب 2 أ

جـا س تساوىس


1

ليس للدالة نهاية د 2r ج r2 ب 1 أ

طا س تساوىس


1

ليس للدالة نهاية د 4r ج 1 ب r2 أ

�أوجد قيمة كل من �لنهايات �الآتية )�إن وجدت(

نهــــــا )2س - جـا س(r2س!

س2 + 1 0 س - 3


نهــــــا )س2 - 3س + 2( 19 س!3

1

9 - سس2 - 81


س + 1 س3 + 1


جتا 2س س

نهــــــا r!س

1

4 س 2 - 64س - 4


س2 - 1

س2+ سنهــــــا

س!-1س2 + 4

س - 4نهــــــا

س!4

س2 - س - 2


س!-1 9

) س2 - 4(2س - 2


س2 - 25س س - 5


س3 + 8س2 - 4


س2 + 2س - 3 س2 - 1


5 س2 + 5 1 3س2 - 3


0

2س2 + 5س -3س2 + س -6


2س2 - س - 6 س2 - س - 2


2 س2 - س - 3 4س2 -9

نهـــا 32 س!



س درال


)س +1(3 -1س نهــــــا

س!0)2س-1(1-2

5 س نهــــــا س!0

س2 - س - 2 س2 -1


) س -2(3 -1س )س - 3(


1 ) 12س3 - 8

- 1س -2

نهــــــا )س!2

0 ) 3س +4س +1

- س2

س +1نهــــــا )

س!1 9

س3 - 5س2 - سس4+ 2 س


س3 + س2 - 2 س - 1


س3 - س2 + 2س - 2 س - 1


4س - 3 - 3س - 3


س - 1 س - 1


س3 + س - 2 س2 - 1


س - 3 3 س -


9س+16 - 4 0 س


س + 1 - 1 9 س


س3 - 64س - 4


س4 - 16


س!2س7 - 1


س!1 1

س6 - 64 س5 - 32


س7 - 128

2 س -4نهــــــا

س! 2س5 - 243


س!3

12 - س

72 س

س2 - سنهــــــا

س!132 س5 - 1 9

16 س4 - 1نهـــا

12 س!

2س3 - 128 س2 - 16


) س +2(4 - 81س - 1


) 3 +هـ(4 - 81 6 هـ

نهــــــا هـ!0

) س+1(9 - 1 1 س


0



سوف تتعلم



ألة حاسبة علمية. �برامج رسومية للحاسوب. �

هناية دالة عند الالهناية. �Limit of a function at infinity

هناية الدالة عند الالهناية �إجياد هناية الدالة عند الالهناية �

باستخدام احلل اجلربى.إجياد هناية الدالة عند الالهناية �

باستخدام احلل البياين.

س درال

الوحدة الثالثةنهاية الدالة عند الالنهايةLimit of a function at Infinity

نحتاج فى كثير من التطبيقات العملية والحياتية إلى معرفة سلوك الدالة د)س( عندما

ح ذلك. س# ∞ والنشاط التالى يوض

نشاط

رسم فى الحاسوب برامج أحد استخدم

1 ، س< 0 س

الدالة د حيث: د)س( =

ماذا تلحظ من منحنى الشكل إذا ازدادت

قيم س الموجبة حتى تقترب من ما النهاية؟

: من الشكل المرسوم نالحظ أن

من × واقتربت س قيم زادت كلما إنه

ماال نهاية اقتربت قيم د)س( من الصفر، لذلك نقول إن نهاية د)س( عندما تقترب

س من ما النهاية تساوى صفر.

تعلم

Limit of a function at infinity نهاية دالة عند الالنهاية

0 = 1 س

نهــــــا س!∞

يةظر

ن1

}حيث ن ∋C ،+I ثابت{ 0 = C س ن

نهــــــا س!∞ جة

نتي

قو�عد �أ�ضا�ضية:نهــــــا جـ = جـ ، حيث جـ ثابت ×

س!∞

نهـــا س ن = ∞ ×س! ∞

إذا كان ن عددا صحيحا موجبا فإن

عند دالتين قسمة أو ضرب أو فرق أو مجموع بنهاية المتعلقة )2( نظرية أن: الحظ س # C السابق دراستها في الدرس السابق صحيحة عندما س # ∞

3ص

2

2-

4-

2- 4 س

99 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى

مثال

أوجد: 1 ) 3

س2 - 4( نهــــــا

س!∞ب )3 + 1

سنهــــــا )

س!∞أ

ثم تحقق من ذلك بيانيا باستخدام أحد البرامج الرسومية. ×

الحلنهــــــا 3

س!∞ + 1

سنهــــــا

س!∞ = )3 + 1

سنهــــــا )

س!∞أ

3 = 3 + 0 =

3 = )3 + 1س

نهــــــا )س!∞

`

3س2

نهــــــاس!∞

- 4 نهــــــاس!∞

= ) 3س2

- 4( نهــــــاس!∞

ب

4 = 0 * 3 - 4 = 3س2

نهــــــاس!∞

3 - 4 =

4 = ) 3س2

نهــــــا )4 - س!∞

`

حاول أن تحلأوجد: 1

)5 + 2س2


ب )2 + 5س


أ

مثال

نهــــــا )س3 + 4 س - 5(س!∞

أوجد:

3

6

2

5

8

1

4

7

ص

21

2-1-

3-

2- 1-3-4- 43 س

321

4ص

21

2-

4-

1-

3-

5-

2- 1-3-4- 43 س



الحل( وذلك بأخذ س3 عامل مشترك 5

س3- 4

س2نهــــــا س3 )1 +

س!∞نهــــــا )س3 + 4س - 5 ( =

س!∞

∞ = 1 * ∞ = ) 5س3

- 4س2

نهــــــا )1 +س!∞

نهــــــا س3 * س!∞

=

حاول أن تحلأوجد كل من النهايات اآلتية:

نهــــــا ) 4 - 3س - س3( س!∞

ب نهــــــا ) س3 + 7س2 +2( س!∞

أ

مثال

أوجد كل من النهايات اآلتية: 2س3 - 3

3س2 +1نهــــــا

س!∞جـ 2س2 - 3


س!∞ب 2س - 3


س!∞أ

الحلفى كل الحاالت نقسم كل من البسط والمقام على س2 )أعلى قوة للمتغير س فى المقام(.

0 = 0 - 00 + 3

= ) 3

س2 - 2

نهـــا )سس! -2

) 1س2

نهـــا )3 + س! -2

= 2س - 3 3س2 +1


أ

) 3س2

- 2)س نهــــــا

س!∞

) 1س2

نهــــــا )3 + س!∞

= 2س2 - 3 3س2 +1


ب

23 = 0-2

0 + 3 =

) 3س2 )2س - نهــــــا

س!∞

) 1نهــــــا )3 + س2

س!∞

= 2س3 - 3 3س2 +1


جـ

∞ = 0- ∞ 0 + 3

=

د)س( حيث كل من د)س(، ر)س( دوال كثيرات الحدود فإن: ر)س(


: عند إيجاد نستنتج من هذا المثال أن

النهاية تعطى عددا حقيقيا ال يساوى الصفر إذا كانت درجة البسط تساوى درجة المقام. ×

النهاية تساوى صفرا إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام. ×

النهاية تعطى ∞ إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام. ×

1-2-3-

1 32 41-س

د )س(

2-3-

1 32 41-س

1-

د )س(

1-

1

2-

2

3-

32 41-س

1

د )س(

ةةقدن يفايفن ة ا يف ةةقدن


س درال


حاول أن تحلأوجد:

-6س2 + 13س2 + س - 2


جـ 4س3 - 5س 8س4 +3س2 -2


ب 5س2 - 3س + 1 2س


أ

مثال

أوجد النهايات اآلتية: ) س2 + 4 نهــــــا )س -

س!∞ب س3 - 2

| س|3 +1 نهــــــا

س!∞أ

الحل

س3 - 2| س|3 +1


أ

a س # ∞

` س < 0 أى أن |س| = س س3 - 2

س3 +1 نهــــــا

س!∞ `

بقسمة كل من البسط والمقام على س3

1 = 0 - 10 + 1

= ) 2

س3 نهـــا )1 - س! ∞

) 1س3 نهـــا )1 +

س! ∞

=

) س2 + 4 نهــــــا )س -س!∞

ب

س2 + 4 ( )س +س2 + 4 ( )س +

س2 + 4 ( * )س -1 نهــــــا

س!∞ =

س2 - س2 - 4س2 + 4 س +


=

4-س2 + 4 س +


=

a س # ∞

س2 س2 = |س| = س بقسمة كل من البسط والمقام على س = ` س < #0

0 = 01 + 1

=

4س نهـــا -

س! ∞

) + 14س2

نهـــا )1 +س! ∞

= 4-

س2 + 4 س + نهــــــا

س!∞ `

حاول أن تحلأوجد النهايات اآلتية:

س( 3 3س2 + 5س - نهــــــا )س!∞

ب س - 3

4س2 + 25نهــــــا

س!∞أ

س3 - 2| س|3 +1

د)س( =

2-

1 3 52

د)س(

41-س

1-

س2 + 4 د)س( =س +

2-

1

د)س(

21-س

1-5 643



تمــــاريــن الدرس الثالث

�أكمل ما ياأتى:

.......................................... = ) 2 - 3س2


.......................................... = ) 3س

نهــــــا )1 + س!∞

1

نهــــــا ) س2 - 3( = ..........................................س!∞

نهــــــا )-7( = .......................................... س!∞

س3 - 5 = ..........................................س2 + 1


2 س +1 .......................................... س


.......................................... = 3س

س2 - 1نهــــــا

س!∞س5 + 3 = ..........................................

س 3 - 5نهــــــا

س!∞

س2 + 1 - س( = .......................................... نهــــــا ) س!∞

10 .......................................... = ) 4س2

+ 7س

نهــــــا )3 - س!∞

9

�ختر �الإجابة �ل�ضحيحة من بين �الإجابات �لمعطاة:

6 س تساوى:2س + 3


11

∞ د 3 ج 2 ب صفر أ

41+ س نهــــــا

س!∞ 1

∞ د 2 ج 1 ب صفر أ

س + 32 - س2


1

∞ د 32 ج 12 ب صفر أ

س2 + 12س - 1 نهــــــا

س!∞ 1

∞ د 1 ج 12 ب صفر أ

1 + س4س -1


1

1 د 12 ج 14 ب 1- أ

�إيجاد نهاية �لد�لة عند �لالنهايةنهــــــا )س3 + 5س2 +1(

س!∞ 1 3

س2 نهــــــا س!∞

1

س2س +3


2 -7س 19 2 +3س


1

ةةقدن يفايفن ة ا يف ةةقدن


س درال


5 - 6س - 3س22س2 +س +4


1 4س2

س2 + 3نهـــا س! ∞

0

س3 - 23س2 +4س -1


2 س - 1 س2 +4س +1


2 س2 - 6)س -1(2


2 س2 - 1 4س3 -5س - 1


) 5س2 +س

- 13س2


)2 س2

) س + 3(2نهــــــا )7 +

س!∞

- س

4 + س2 نهــــــا

س!∞ 9 )

3س2)س-3(2

س + 2س+1


4س2 - 2 س + 1- 2 س( نهــــــا )س!∞

0

) 5س 2 + س+ 3 5س 2 + 4 س + 7 - نهــــــا )س!∞

1

4س 2 + 1 - 2 س( نهــــــا س )س!∞

س2 + س - 18س2 - 3


4 - 3س3

س6 + 9 نهــــــا

س!∞

- 2س( = 3 فما قيمة كل من C ، ب. Cس 2 + 3 ب س + 5 نهــــــا )س!∞

إذا كان

تفكير ابداعىتنتج إحدى الشركات بطاقات معايدة بتكلفة ابتدائية قدرها 5000 جنيه، وتكلفة لكل كارت نصف جنيه فكانت

1 س + 5000 حيث س عدد البطاقات المنتجة.التكلفة اإلجمالية جـ = 2

أوجد:

تكلفة إنتاج الكارت عند إنتاج: 1 100000 كارت ب 10000 كارت أ

أوجد تكلفة إنتاج الكارت عندما تنتج الشركة عددا النهائى من الكروت.



�ص الوحدة ملخ× }∞ ، ∞ -{ ∪ I هى I مجموعة األعداد الحقيقية المتدة

C = صفر∞ -

= C∞

∞ - = C + ∞- ∞= C + ∞ 1

0 > C إذا كان ، ∞ -

0 < C إذا كان ، ∞ = C * ∞-

0 < C إذا كان ، ∞ -

0 > C إذا كان ، ∞ = C * ∞

إذا كانت C∋ [جـ ، E ] فإن نهاية د)س( عندما س # C تساوى ل إذا وفقط إذا كانت نهايتاها من اليمين ×

ومن اليسار عند س# C متساويتين وكل منها تساوى ل.

إذا × C، والعكس الدالة معرفة عند س = C اليعنى بالضرورة أن تكون # للدالة عندما س إن وجود نهاية

كانت معرفة عند س = C فهذا اليعنى وجود نهاية للدالة.

نهــــــا X)س( = م فإن: ×C!س

نهــــــا د)س( = ل C!س

إذا كانت

نهــــــا ]د)س( ! X)س([ = ل ! مC!س

I ∈ حيث ك نهــــــا ك د)س( = ك.ل C!س

1

بشرط م ! 0 ل م

د)س( = X)س(


نهــــــا د)س( . X)س( = ل.م C!س

I ∈ حيث لن نهــــــا )د)س((ن = لن C!س

نهاية الدالة عند الل نهاية. ×

C = 0 }حيث ن ∋C ،+I ثابت{ س ن


0 = 1 س


1

نهـــا س ن = ∞س! ∞

نهــــــا جـ = جـ ، حيث جـ ثابت إذا كان ن عددا صحيحا موجبا فإن س!∞

د)س( حيث كل من د)س(، ر)س( دوال كثيرات الحدود فإن: × ر)س(


عند إيجاد

النهاية تعطى عددا حقيقيا اليساوى الصفر إذا كانت درجة البسط = درجة المقام. 1 النهاية تساوى صفرا إذا كانت درجة البسط> درجة المقام.

النهاية تعطى ! ∞ إذا كانت درجة البسط < درجة المقام.

عند أجراء عملية القسمة المطولة يجب مراعاة مايأتى: ×

ترتيب حدود كل من المقسوم والمقسوم عليه ترتيبا تصاعديا ، وتنازليا بنفس النظام. 1 نقسم الحد األول من المقسوم على الحد األول من المقسوم عليه وتكتب ناتج القسمة.

نضرب ناتج القسمة فى المقسوم عليه ويطرح الناتج من المقسوم للحصول على الباقى. نستمر بنفس الطريقة حتى االنتهاء من عملية القسمة.

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 10 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى

م ال خ ول يفصل ح ل هل

تمارين عامةمن الشكل البيانى المقابل أكمل: 1

1234

د )س(

و 1 21-

2-

2-3- 3 4 س1-

1

د )س(

و 1 21-4-

2-

5-

3-

2-5-6- س1-

4-

3-

1234

د )س(

و 1 22-3- 3 س1-

1-

2-

شكل )3(شكل )2(شكل )1( نهــــــا )-س + 2( ..............................

س!-1نهــــــا د)س( ..............................

س!-3نهــــــا )س2 - 2( ..............................

س!0د)0( ..............................د)-3( ..............................د)-1( ..............................

س2 - 1س - 1

نهـــا س! 1

أكمل الجدول اآلتى واستنتج

1٫0011٫011٫1$1#0٫90٫990٫999س

...........................................................................$.........................#...........................................................................د)س(

حيث س! 2 س2 - س -2 س - 2

عند س = 2 ك إذا كانت الدالة د معرفة كاآلتى: د)س( =

س2 - س - 2س - 2


كون جدوال لبحث قيم الدالة عندما س# 2 ثم أوجد قيمة ك إذا كان د)2(=

�ختر �الإجابة �ل�ضحيحة من بين �الإجابات �لمعطاة:س2 + س تساوى:

س نهــــــا

س!0

3 د 2 ج 1 ب صفر أ

س3 + 2 تساوى:س2 +1


∞ د صفر ج 2 ب 1 أ

س2 + 1 - س(تساوى: نهــــــا )س!∞

∞ د 1 ج صفر ب 1- أ

�أوجد قيمة كل من �لنهايات �الآتية �إن وجدت :س3 - 27


س!3س -1 9

س -1 نهــــــاس!1

س +7 س +2


)س +1(10 -1س


س7 - 128 1 س3 - 8


س2 - 6 س -16 11 س - 8


10

2س2+5س+1 3س2 - 7


7س3 - 5 1 3 س2 - س


3س3 - 1 1 س2 + 1


1




ضع كل كسر من الكسور الجبرية اآلتية فى أبسط صورة : 1

س + 3س3 - 9 س

د س2 - 25 )س -5(2

ج س + 1 س2 +2س+1

ب س س2 - س

أ

س2 + 4 س هل 1K )س( = 2K )س(؟ فسر إجابتك.س2 + 8س +16

، 2K )س( = 2 س2 س +8

إذا كان 1K )س( =

.K س( مبينا مجال(2K + )س(1K = )س(K 3 فأوجدس - 1

2K ، 4 )س( = س + 1

إذا كان 1K)س( =

1 مبينا مجالها.س - 1

+ 1س + 1

أوجد أبسط صورة للدالة د حيث د)س( =

س + 5 مبينا مجالها .3 س

س2 -1 + س2

أوجد أبسط صورة للدالة ر حيث ر)س( =

اكتب التعبير الرمزى للجملة الرياضية اآلتية: .C س( عندما تقترب س من(فإن ل تعرف كنهاية لـ د C حينما تقترب س من )I ∈ إذا اقتربت د)س( من ل )ل

س2 -1 فادرس قيم د)س( عندما تقترب س من 1.س -1

إذا كانت د)س( =

عندما س > 2 س

2 G عندما س س + 2 إذا كانت الدالة د حيث د)س(


ارسم منحنى هذه الدالة، ثم ابحث وجود

ح فيها مايأتى: أعط أمثلة عددية توض 9 وجود نهاية للدالة عندما س# 1 ال يعنى بالضرورة أن تكون الدالة معرفة عند س = 1. أ

إذا كانت الدالة معرفة عند س = 1 فهذا ال يعنى وجود نهاية للدالة. ب

فى الشكل المقابل أوجد : 10 نهــــــا د)س(

س!0ب د)0( أ

نهــــــا د)س(س!-2

د د)-2( ج

أوجد النهايات اآلتية إن وجدت: 11 ) س2 + 1 - س

سنهـــا )

س! ∞د | س|

سنهـــا س! ∞

ج 4 س23 - س

نهـــا س! ∞

ب 7 س 2 س + 5

نهـــا س! ∞

أ

س + 3 -2 س -1 نهــــــا

س!1و س2 - 5 س + 6

س -2نهــــــا

س!2ه

1234

د )س(

1 21-2-4- 3- س


يختبقر تريكمى

دةوح

س الرو

د

الوحدة الرابعة


قانون )قاعدة( الجيب الدرس األول:

قانون )قاعدة( جيب التمام الدرس الثانى:

Ñ trigonometry حساب مثلثات�Ñ Sine rule قاعدة الجيب�Ñ Cosine rule قاعدة جيب التمام�Ñ acute angle زاوية حادة�Ñ obtuse angle زاوية منفرجة�Ñ right angle زاوية قائمة�

Ñ Shortest side أقصر ضلع�Ñ Longest side أطول ضلع�Ñ missing length طول ضلع مجهول�Ñ UnKnown angle زاوية مجهولة Ñ Smallest angle أصغر زاوية�

Ñ Largest angle أكبر زاوية�Ñ The area of the triangle مساحة المثلث�Ñ أطوال أضالع المثلث�

The sides lenghtes of a Triangle Ñ The opposite angle of an side زاوية مقابلة�

في نهاية هذه الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:والذى� � مثلث،� الجيب�ألى� )قاعدة(� قانون� ويستنتج� يتعرف�

�مثلث�تتناسب�أطوال�أضالع�المثلث�مع� ينص�على�أنه�فى�أىجيوب�الزوايا�المقابلة�لها.

أى� � أضالع� أطوال� إيجاد� فى� الجيب� )قاعدة(� قانون� يستخدم�مثلث.

يستخدم�قانون�)قاعدة(�الجيب�ألى�مثلث�فى�إيجاد�قياسات� �زوايا�هذا�المثلث�)يوجد�حلين�لزاوية�مجهولة(.

�مثلث�وطول� � يستنتج�العالقة�بين�قانون�)قاعدة(�الجيب�ألىفى� ويستخدمها� المثلث،� لهذا� الخارجة� الدائرة� قطر� نصف�

�تمارين�متنوعة. حليتعرف،�ويستنتج�قانون�)قاعدة(�جيب�التمام�ألى�مثلث. �

إيجاد� � فى� مثلث� ألى� التمام� جيب� )قاعدة(� قانون� يستخدم�طول�ضلع�مجهول�فى�هذا�المثلث.

إيجاد� � فى� مثلث� ألى� التمام� جيب� )قاعدة(� قانون� يستخدم�قياس�زاوية�مجهولة�فى�هذا�المثلث.

يستخدم�قانون�)قاعدة(�الجيب�وجيب�التمام�ألى�مثلث�فى� �حل�هذا�المثلث�فى�الحاالت�األتية:

إذا�علم�فى�المثلث�قياسا�زاويتين،�وطول�أحد�أضالعه. �إذا�علم�فى�المثلث�طوال�ضلعين،�وقياس�الزاوية�المحصورة�بينهما. �إذا�علم�فى�المثلث�أطوال�أضالعه�الثالثة. �يستخدم�اآللة�الحاسبة�فى�حل�تمارين�وأنشطة�متنوعة�على� �

قانون�)قاعدة�الجيب،�وجيب�التمام(�ألى�مثلث.

حساب المثلثاتTrigonometry




ساالو

ت ودوا

األ

المصطلح المقابل لحساب المثلثات فى اللغة اإلنجليزية هو Trigonometry وهى كلمة مشتقة من ثالث كلمات

التينية تعنى "قياس المثلث" وبواسطة هذا الفرع من فروع الرياضيات يمكن أن نعالج ونتعرف على األضالع

والزوايا غير المعلومة فى المثلث بمعلومية العناصر المعلومة منه، وسوف تدرس فى هذه الوحدة بعض القوانين

والعالقات التى تربط بين أضالع المثلث وزواياه.

ونشير هنا إلى أن العالم الرياضى ليونارد أويلر )1707 - 1783( المولود بالقرب من بازل بسويسرا هو أول من

استخدم الحروف اإلنجليزية الصغيرة )..........,a,b,c( لتشير إلى أضالع المثلث ، والحروف اإلنجليزية الكبيرة

)..........,A,B,C( لتشير إلى زواياه، كما أنه استخدم الحرفين R,r ليدال على طوال نصفى قطرى الدائرة الداخلة

والخارجة للمثلث واستخدام الحرف S ليدل على نصف محيط المثلث، كما توصل إلى القاعدة: abc = 4rRs أى

حاصل ضرب أطوال أضالع المثلث الثالثة يساوى 4 مضروبا فى طولى نصفى قطرى الدائرة الداخلة والخارجة

للمثلث ونصف محيطة.

الحظ أننا سوف نستخدم الحروف C/، ب/، جـ/ لتدل على أطوال أضالع المثلث، والحروف C، ب، جـ لتدل على

قياسات زواياه، وكذلك الحرف I ليدل على محيط المثلث، H لتدل على طول نصف قطر الدائرة، وقد نعبر عن

طول نصف قطر الدائرة الداخلة 1H ، وطول نصف قطر الدائرة الخارجة H ، إذا دعت الحاجة إلى ذلك.


قاعدة جيب التمامقاعدة الجيب

إيجاد طول ضلع مجهول

فى مثلث

إيجاد طول ضلع مجهول في مثلث

إيجاد قياس زاوية مجهولة

فى مثلث

إيجاد قياس زاوية مجهولة

فى مثلث

تطبيقات هندسية وحياتية

تطبيقات هندسية وحياتية

حل المثلث بوجه عام

إذا علم في المثلث قياسا زاويتين وطول

أحد أضالعه

إذا علم في المثلث طوال ضلعين وقياس الزاوية

المحصورة فيهما

إذا علم في المثلث أطوال أضالعه الثالثة


الة حاسبة علمية

الوحدة الرابعة

فكر و ناقشسبق أن تعلمت كيفية حل المثلث القائم الزاوية، واآلن سوف نتعامل مع مثلثات غير

قائمة الزوايا لتتعلم كيفية إيجاد أطوال أضالع وقياسات زوايا هذه المثلثات.إذا أعطيت أى تعلم أن كل مثلث يتكون من ستة عناصر، ثالثة أضالع وثالث زوايا، وثالثة عناصر منها فإنه يمكنك إيجاد العناصر الثالثة األخرى، وذلك باستخدام قانونى

الجيب من بينهما طول الضلع وجيب التمام، وعندئذ نقول: إنه أمكننا حل المثلث.

تعلم

The Sine rule قانون )قاعدة( الجيب )االثبات ال يمتحن فيه الطالب(

تمثل األشكال اآلتية ثالثة أنواع من المثلثات.قائم الزاويةمنفرج الزاويةحاد الزاوية

CE

/Cجـ ب

م

C

E

/Cجـ ب

م

C

بجـ م

H2

شكل )3(شكل )2(شكل )1()Ec(X = )Cc(X)E - c180( = )Cc(Xc90 = )Cc(X

قائم الزاويةمنفرج الزاويةحاد الزاوية

/CH2

= E حا = C حا فى الشكل )1( حيث C ب جـ حاد الزوايا جـ/H2

، حا جـ = ب/H2

حا ب = وبالتالى يمكن استنتاج أن

C ب جـ منفرج الزاوية فى C فى الشكل )2( حيث المثلث]C حا = )C - c180( الحظ: حا[ E حا = )E - c180( حا = C حا

/CH2

= C حا ` /CH2

= E حا

جـ/H2

، حا جـ = ب/H2

وبالتالى يمكن استنتاج أن حا ب =

»استعن بمعلمك الثبات صحة ذلك«

C ب جـ قائم الزاوية فى C واآلن: حاول إثبات صحة ذلك، حيث المثلث

1 سدرقانون )قاعدة( الجيبال

The Sine rule

سوف تتعلم



Ñ .قانون )قاعدة( الجيب ألى مثلثÑ استخدام قانون )قاعدة( الجيب

فى حل المثلث.Ñ نمذجة وحل مشكالت رياضية

وحياتية باستخدام قاعدة الجيب.Ñ العالقة بين قانون )قاعدة( الجيب

ألى مثلث وطول نصف قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث

وحل مسائل عليها

Ñ آلة حاسبة علميةÑ برامج رسومية

Ñ Sine rule قاعدة الجيب�Ñ acute angle زاوية حادة�Ñ obtuse angle زاوية منفرجة�Ñ right angle زاوية قائمة�


وبصفة عامة قانون )قاعدة( الجيب فى المثلث C ب جـ هى:

= H2 حيث H طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه.جـ/

حا جـ =

ب/حا ب

= /

CC حا

اإيجاد اأطوال اأ�ضالع اأى مثلث:

مثال

ألقرب جـ/ ب/، من كالا أوجد 10٫2سم، = /

C ،c34 c(Xب(= ،c75 = )Cc( X كان إذا جـ ب C المثلث فى 1 سنتيمتر.

الحلc180 = ب + جـ + C a

)c34 + c75( - 180 = )ب + C( - c180 = جـ `

c71 = جـ/

c71 حا =

ب/

c34 حا = 10٫2

c75 حا `

جـ/حا جـ

= ب/

حا ب =

/

CC حا

a

10٫2 * حا c34 - 5٫9سمc75 حا

ب/ =

10.2 × sin 34 ,,, ( ÷ sin 75 ,,, ( = باستخدام اآللة الحاسبة

10٫2 * حا c71 - 9٫98سمc75 حا

جـ/ =

10.2 × sin 71 ,,, ( ÷ sin 75 ,,, ( = باستخدام اآللة الحاسبة


، جـ/./

C ب/ = 91سم، فأوجد كل من ،c71 = )بc(X ،c61 = )جـc(X ب جـ إذا كان C فى المثلث 1

اإيجاد طول اأكبر �ضلع فى المثلث

مثال

، c49 /11 = )Cc( X ب جـ الذى فيه C أوجد طول أكبر ضلع فى المثلث c(Xب( = c76 /17 ، جـ/ = 11٫22سم

الحل= C( - c180 + ب( a جـ

c54 /32 = )c76 /17 + c49 /11( -c 180 = ` أكبر ضلع هو المقابل لزاوية ب، أى أن المطلوب هو إيجاد ب/

11٫22

c54 /32 حا =

ب/

c76 /17 حا `

جـ/حا جـ

= ب/

حا ب a

c76 - 13٫4سم/

11٫22 * حا 17c54 /32 حا

= ` ب/

C

ب

/ب

جـ

/جـ

c34

c75

/ = 10٫2 سمC

تذكر �أن

هو المثلث فى ضلع أكبر زاوية ألكبر المقابل الضلع والعكس أكبر زاوية فى المثلث

هى المقابلة ألكبر ضلع.

دعلا ةدعاق) وناق


1 سدرال


حاول أن تحلأوجد طول أصغر ضلع فى المثلث C ب جـ، الذى فيه c(X ،c43 = )Cc(Xب( = c65، جـ/ = 8٫4سم

Solving the triangle using the sine rule حل المثلث با�ضتخدام قانون الجيب المقصود بحل المثلث هو إيجاد قياسات العناصر المجهولة فيه إذا علم منه ثالثة عناصر من العناصر الستة بشرط

أن يكون من بين العناصر المعلومة طول أحد األضالع على األقل، ألنه اليمكن حل المثلث إذا علم منه قياسات

ثالث زوايا، ويسمح لنا قانون الجيب بحل المثلث، إذا علم منه قياسا زاويتين وطول ضلع.

حل �لمثلث �إذ� علم منه قيا�ضا ز�ويتين وطول �ضلع: نتبع التالى:

/

C ب جـ إذا علم فيه قياسا الزاويتين ب، جـ والطول C الحظ أنه لحل المثلث

)Cc(X إليجاد c180 = )جـc(X + )بc(X + )Cc(X نستخدم العالقة -1

إليجاد ب/ب/

حا ب =

/

CC حا

نستخدم قانون الجيب: -2

إليجاد جـ/جـ/

حا جـ =

/

CC حا

نستخدم قانون الجيب: -3

ح ذلك: وفيما يلى أمثلة توض

مثال

= 8سم /

C ،c48 = )بc(X ،c36 = )Cc(X ب جـ الذى فيه C حل المثلث الحل

c96 = )c48 + c36( - c180 = )جـc(X ب/

c48 حا = 8

c36 حا `

ب/حا ب

= /

CC حا

a

` ب/ - 10٫114سم c48 8 * حاc36 حا

a ب/ =

وذلك باستخدام اآللة الحاسبة كاآلتى:

8 × sin 48 ,,, ( ÷ sin 36 ,,, ( = جـ/

c96 حا = 8

c36 حا `

جـ/حا جـ

= /

CC حا

a

8 * حا c96 - 13٫535سمc36 حا

` جـ/ =

وذلك باستخدام اآللة الحاسبة كاآلتى:

8 × sin 96 ,,, ( ÷ sin 36 ,,, ( =

حاول أن تحلc44 /19 = )عc(X ، c33 /16 = )سc(X ،حل المثلث س ص ع فيه ص/ = 107٫2سم

C

C/بجـ

Cب

جـ

8 سمب/

جـ/c36c48

د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح


Geometrical applications تطبيقات هند�ضية

مثال

= 15سم، c(X ،c60 = )Cc(Xب( = c45، أوجد X)cجـ(، وكل من ب/ وطول نصف قطر /

C ب جـ مثلث C الدائرة المارة برؤوس المثلث C ب جـ

الحل]c45 + c60[ - c180 = )جـc(X

c75 = c105 - c180 = 15

c60 حا =

ب/

c45 حا `

/

CC حا

= ب/

حا ب a

c45 15 * حاc60 حا

ب/ =

سم 6 5 = 3066 = 6

6 * 30

6 =

12

* 15

32

=

H2 = 56c45 حا

` H2 = ب/

حا ب a

H2 = 12 5 ` H2 = 561

2

`

سم 3 5 = H ` H2 = ) 3 2(5 `

حاول أن تحلC ب جـ مثلث فيه c(X ،c64 /23 = )Cc(Xب( = c72 /23، جـ/ = 18سم، أوجد

، ب/ وطول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث C ب جـ ./

C كل من

مثال

C جـ = 182سم مرسوم داخل دائرة مركزها م، وطول C ب = C ب جـ مثلث فيه نصف قطرها 100سم أوجد

طول القاعدة ب جـ أ

مساحة سطح المثلث C ب جـ ألقرب سنتيمتر مربع. ب

الحلفي C 9 ب جـ يكون:

H2 = جـ Cحا ب

حا ب = 0٫91 200 = 182حا ب

c65 /

30 //

` c(Xب( = 19

Cب/ = ؟

ب

جـ

15 سم

c60

c45

ر �أن تذك

12

=c45 حتا = c45 حا1 = c45 ظا

12 = c60 حتا ، 3

2 = c60 حا

3 = c60 ظا

تذكر �أن

مساحة سطح المثلث = 12 حاصل ضرب أى ضلعين *

جيب الزاوية بينهما

C

جـب

182 سم 182 سم

سم 10

0

م

E



1 سدرال


)c(Xبc(X = )جـ( ألن المثلث C ب جـ متساوى الساقين( )c65 /30 //19 * 2( - c180 = )Cc(X `

c48 /59 //22 -

c48 - 150٫9سم/

59 //

182 * حا 22c65

/

30 /

حا 19` ب جـ = 182

c65 /

30 //

حا 19ب جـ =

c48 /

59 //

حا 22 `

C جـ حا C * ب C 12 = ـ مساحة المثلث C ب ج

1 * 182 * 182 حا c48 /59 //22 - 12500 سم22 =

حاول أن تحلC ب جـ مثلث فيه C ب = C جـ = 10٫3سم، مرسوم داخل دائرة طول نصف قطرها 8٫4سم أوجد:

مساحة سطح المثلث C ب جـ ب طول القاعدة ب جـ أ

Life applications on the sine rule تطبيقات حياتية على قاعدة الجيب يمكن حل كثير من المسائل التى تحتوى على زوايا ومسافات بتركيب مثلث على هذا الموقف، ثم حل المثلث.

مثال

الشكل يمثل بالرياضة: الربط من العبين ثالثة المقابل

إحدى خالل القدم كرة فريق

بين المسافة أوجد المباريات.

الثالث والالعب الثانى الالعب

ألقرب قدم.

الحلc63 = )c47 + c70( - c180 = )بc(X

/

C والمسافة بين الالعب الثانى والالعب الثالث هى

92 * حا c47 - 76 قدماc63 حا

= /

C ` 92c63 حا

= /

Cc47 حا

فيكون:

المسافة بين الالعب الثانى والالعب الثالث هو تقريبا 76 قدما

حاول أن تحلأوجد المسافة بين الالعب األول والالعب الثانى ألقرب قدم.

�إر�ضاد

C

جـب

E

م

مساحة سطح متوازى االضالع

E = 2 مـ)C9 ب جـ( C ب جـ ومساحةC 9 ب جـ =

C 12 ب * C جـ حا ب C جـ

c70

c47

C

ب

جـ

/C

دما92 ق

الالعب األول

الالعب الثاني

الالعب الثالث



مثال

الربط بالجغرافيا: فى الشكل التالى ثالثة مواقع جغرافية تشكل مثلثا، إذا كانت المسافة بين الموقع C، والموقع ب، 236كم، والمسافة بين الموقع C والموقع جـ، 262كم، وكان قياس الزاوية عند الموقع ب يساوى c72، أوجد:

.C قياس الزاوية عند الموقع أ

المسافة بين الموقع جـ والموقع ب. ب

مساحة األرض التى تمثل المواقع C، ب، جـ رؤوسا لها. ج

الحل236

حا جـ = 262

c72 حاأ

c72 236 * حا262

حا جـ =

) c72 236 * حا262

` c(Xجـ( = حا-1 )

c58 /56 //44 = )جـc(X `

)1( c49 /3 //16 = )c72 + c58 /56 //44( - 180 = ) Cc (X `

262c72 حا

ب جـ = c49

/

3 /

حا 16ب

)2( c49 - 208٫1كم /

3 //

262 * حا 16c72 حا

` ب جـ =

مساحة االرض التى تمثل المواقع C، ب، جـ رؤوسا لها ج

1 * 262 * 236 * حا c49 /3 //16 - 23351٫86كم مربع.2 =

حاول أن تحلكانت إذا مثلثا، تشكل جغرافية مواقع ثالثة المقابل الشكل فى بين والمسافة ، 9كم تساوى ص والموقع س الموقع بين المسافة

الموقع ص والموقع ع تساوى 6 كم ، وقياس الزاوية عند الموقع ع

تساوى c105، فأوجد:

قياس الزاوية عند الموقع ص. أ

المسافة بين الموقع س والموقع ع. ب

مساحة المثلث الذى رؤوسة المواقع الثالثة س، ص، ع ج

الموقعC

262 كم

236 كمc72

الموقعب

الموقعجـ

6 كم

9 كم

c105

س

عص



1 سدرال


مثال

الربط التسلق: في الشكل المقابل :يقف عادل وكريم أمام جدار صخرى بالشكل مبين هو كما أمتار، 8 بينهما المسافة وكانت عليه للتسلق

المجاور. ما ارتفاع الجدار الصخرى مقربا ألقرب جزء من عشرة.

الحلفى المثلث C ب جـ

c15 =c 45 -c 60 = )ب C جـ c(X

8c15 حا

C جـ = c45 حا

8 حا c45 = 21٫86 مترc15 حا

` C جـ =

E جـ القائم الزاوية فى E C فى المثلث

عC جـ

= c60 حا

= 21٫86 حا c60 - 18٫9مترا c60 جـ حا C = ع `

حاول أن تحلبينهما المسافة وكانت مئذنة أمام وصالح أحمد يقف 50مترا، كما هو مبين بالشكل المجاور. ما ارتفاع المئذنة

ألقرب جزء من عشرة من المتر.

C

8 أمتارc45 c60

ب جـ E

ع

C

50 متراc42

جـب E

ع

c20 /35



تمــــاريــن الدرس األول

�أكمل:فى أي مثلث تتناسب أطوال أضالع المثلث مع ................................. 1

سم ، فإن طول قطر الدائرة المارة برؤوس هذا المثلث تساوى ................. 2 C ب جـ مثلث متساوى األضالع، طول ضلعه 10

= ................................. سم/

C جـ/ = 8٫4سم فإن ،c40 = )جـc(X ،c60 = )Cc(X ب جـ فيه C مثلث

H ................................. = 2 ب/حا ب

فى المثلث C ب جـ يكون

c.............................. = )Cc(X ب جـ الحاد الزوايا الذى فيه ب جـ = 10سم فإن C دائرة طول قطرها 20سم، تمر برؤوس المثلث

................................. = 9 H4س/ ص/ ع/

إذا كانت مساحة المثلث س ص ع تساوى H ،9 طول نصف قطر الدائرة المارة برؤؤسة فإن

�ختر �لإجابة �ل�ضحيحة من بين �لإجابات �لمعطاة. = 10سم هو

/

C ،c30 = )Cc(X ب جـ الذى فيه C طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث 40سم د 5سم ج 20سم ب 10سم أ

هو/

C فإن طول c30 = )Cc(X ،ب جـ يساوى 4سم C إذا كان طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث 1

16 د 3 4 ج 2سم ب 4سم أ

فى المثلث C ب جـ يكون المقدار H2 حاC مساويا مـ)C9 ب جـ( د جـ/ ج ب/ ب

/

C أ

يساوىص/

حا صإذا كانت H هى طول نصف قطر الدائرة الخارجة عن المثلث س ص ع فإن 10

H 4 د H12 ج H 2 ب H أ

المثلث ل م ن فيه، X)ل( = c30، م ن = 7سم، فإن طول قطر الدائرة المارة برؤوسة تساوى: 11 143

د 14سم ج 3٫5سم ب 7سم أ

فى المثلث س ص ع إذا كانت 2 حا س = 3 حا ص = 4 حا ع فإن س/ : ص/ : ع/ تساوى 1 2 : 3 : 4 د 6 : 4 : 3 ج 3 : 4 : 6 ب 4 : 3 : 2 أ

باستخدام قانون الجيب أوجد قياس س ألقرب جزء من عشرة. 1 ب أ

C

س7٫3 سم

c21

c48

ب

جـC

س

10 سم

c93

c48ب

جـ



1 سدرال


حل كل مثلث C ب جـ با�ضتخد�م قانون �لجيب �إذ� علمت �أن:c(X ،c19 = )Cc(Xجـ(= c105، جـ/ = 11٫1سم = 10٫2سم 1

/

C ،c34 =)بc(X ،c75 = )Cc(X 1

c(X ،c36 = )Cc(Xب(= c77، ب/ = 2٫5سم = 17سم 1 /

C ،c18 =)جـc(X ،c116 = )Cc(X 1

c(X ،c49 /11 = )Cc(Xب(= c67 /17، جـ/ = 11٫22سم 1

c(Xبc(X ،c115 /4 = )جـ(= c11 /17، جـ/ = 516٫2سم 1

c22 /7 = )جـc(X ،7سم، جـ/ = 11سم = /

C 0

c85 /17 = )بc(X ،ب/ = 15٫13سم، جـ/ = 11٫62سم 1

�أوجد طول قطر �لد�ئرة �لمارة بروؤو�س �لمثلث C ب جـ فى كل حالة مما يلى:c(Xجـc(X ،c100 = )ب(= c50، ب/ = 90سم = 21سم

/

C ،c48 =)بc(X ،c75 = )Cc(X

= 8٫5سم/

C ،c35 =)جـc(X ،c70 = )Cc(X c(X ،c20 = )Cc(Xجـ(= c102، جـ/ = 11سم

c40 =)بc(X ،16سم، ب/ = 14سم = /

C

فى كل مثلث C ب جـ، �أوجد قيا�سات ز�ويتى ب، جـ �لتى تحقق �ل�سروط �لمعطاة، �ر�سم �أ�سكالا لت�ساعدك فى تقرير ما �إذ� كان هناك مثلثان ممكنين �أم مثلث و�حد.

= 93سم، ب/ = 125سم/

C ،c48 = )بc(X = 30سم، ب/ = 32سم /

C ،c62 = )Cc(X

= 9٫8سم، ب/ = 17سم/

C ،c23٫6 = )Cc(X

فى المثلث C ب جـ، c(X ،c67 /22 = )Cc(Xجـ( = c44 /33، ب/ = 100 سم، أوجد محيط المثلث C ب جـ 0 ومساحة سطحه.

في المثلث س ص ع إذا كان ص/ = 68٫4سم، c(Xصc(X ،c100 = )ع( = c40 ، أوجد س/ وطول نصف 1 قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث س ص ع، ثم أوجد مساحة سطح المثلث .

، ب/ ألقرب /

C c67 ومحيطه 30سم أوجد كل من c(Xب( = 23/ ،c22 /37 = )Cc(X فيه C ب جـ مثلث سنتيمتر

/

C أوجد قيمة ، c56 = )جـc(X ،c82 = )بc(X ،2ب جـ مثلث مساحة سطحه 450سم C


كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 11

C ب جـ E متوازى أضالع فيه C ب = 18٫6سم، c(Xجـ C بEc(X ،c36 /22 = ) ب c44 /38 = )C، أوجد طول C جـ ومساحة سطح متوازى األضالع. القطر

،c32 /15 = )جـ ب Cc(X ،c115 = )Ec(X ،22٫3سم = E C ، ب جـ// E C C ب جـ E شبه منحرف فيه ، جـ ب. C جـ c(Xب( = c66، احسب طول كل من

. C جـ C ب جـ E هـ مخمس منتظم طول ضلعه 18٫26سم، أوجد طول قطره

E C الذى C جـ وتران فى دائرة طوالهما 43٫5سم، 52٫1سم، مرسومان فى جهتين مختلفتين من القطر ، C ب طوله 100سم أوجد:

طول ب جـ ب c(Xب C جـ( أ

،c36 = )C جـ c(Xب ،c87 = )C E c(Xجـ ،c85 = )E جـ c(Xب فيه رباعى شكل E جـ ب C C جـ ،E ب c(Xب c55 = )C E، جـ E = 100سم ، أوجد طول كل من

. = 58سم، c(Xبc(X ،c38 = )جـ( = c62 ، أوجد طول العمود النازل من C على ب جـ/

C ب جـ مثلث فيه C

، ب/ /

C 6 + 2(سم، فأوجد كل من + ب/ = )/

C 45، فإذا كانc = )بc(X ،c60 = )Cc(X ب جـ مثلث فيه C 0

،c61 /19 = c(Xب( ،c100 = )Ec(X 10٫7سم، = E C ، //ب جـ E C فيه منحرف شبه E جـ ب C 1 ، ب جـ C جـ c(Xجـ c33 /50 = )E C، أوجد طول كل من

= 90 مترا، c(Xبc64 /9 = )Cc(X ،c53 /8 = )، أوجد محيط /

C ب جـ فيه C قطعة أرض على شكل مثلث هذه القطعة ومساحتها.

تفكير إبداعى :

منارتان C، ب المسافة بينهما 20كم على خط واحد من الشمال إلى الجنوب، إذا كان قائد سفينة فى الموقع جـ، بحيث Cc(X جـ ب( = c33 وعامل راديو فى الموقع ب بحيث X)Cc ب جـ( = c52 ، فأوجد المسافة بين

منارةالسفينة وكل من المنارتين.C

20 كم

c52

c33

بمنارة

جـالسفينة


11

1 سدرال


الوحدة الرابعةقانون )قاعدة ( جيب التمام

The Cosine rule س درال

سوف تتعلم



Ñ قانون )قاعدة( جيب التمام ألىمثلث.

Ñ استخدام قانون )قاعدة( جيبالتمام فى حل المثلث.

Ñ نمذجة وحل مشكالت رياضيةوحياتية باستخدام قاعدة جيب

التمام.

Ñ آلة حاسبة علمية

Ñ Cosine rule قاعدة جيب التمام�Ñ Acute angle زاوية حادة Ñ Obtuse angle زاوية منفرجة�Ñ Right angle زاوية قائمة�

فكر و ناقش

كل من المثلثات التالية لها ضلعان طولهما 3سم، 4سم ، فى شكل )Cc(X ،)1( قائمة،

باستخدام نظرية فيثاغورث./

C وبالتالى يمكن إيجاد طول

Cب

C

جـ

سم 3

4 سمCب

جـ

C 3 سم

4 سم4 سم

3 سم

C

جـب

C

شكل )3( شكل )2( شكل )1(

./

C أ من شكل )1( أوجد

في حالة ما تكونCc زاوية حادة )شكل 2( ؟/

Cب ما القيم الممكنة لـ

فى حالة ماتكونCc زاوية منفرجة )شكل 3( ؟/

Cج ما القيم الممكنة لـ

د هل يمكن حل المثلثين فى شكلى )2( ، )3( إذا علمتX )Cc ( باستخدام قانون

الجيب ؟ فسر إجابتك.

يساعدنا قانون )قاعدة( جيب التمام فى حل مثل هذه المثلثات ، حيث يربط طول

ضلع أى مثلث بقياس الزاوية المقابلة لهذا الضلع.

تعلم The Cosine rule قانون )قاعدة( جيب التمام

ينص قانون )قاعدة ( جيب التمام على أنه :

فى أى مثلث C ب جـ يكون :

2/

C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/

= C ومنه حتا C 2 = ب/2 + جـ/2 - 2 ب/جـ/ حتا/

C

/2 - ب/2

C + 2/جـ/

C /2جـ حتا ب ومنه حتا ب =

/

C /2 - 2 جـ/C+ 2/ب/2 = جـ ،

/2 + ب/2 - جـ/2

C/ ب/

C 2/ ب/ حتا جـ ومنه حتا جـ =

C 2 - 2/2 +ب/

C+ 2/جـ ، 2/

C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/

= C حتا ، C 2 = ب/2 + جـ/2 - 2ب/جـ/ حتا/

C : وليكن المطلوب إثبات أن

كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى0 1

البرهان : )ال يمتحن فيه الطالب(

C جـ على محور السينات ورأسهC عند نقطة ارسم المثلث أ ب جـ على المستوى اإلحداثى، بحيث يكون قاعدته

األصل، وذلك كما فى شكل )1( ، )2( التاليان :

C سس

ص

C

بجـ

شكل ) 2 (

) C حـ/ حا ، C ب) حـ/ حتا

ص

حـ ) ب/ ،0(

شكل ) 1 (C

سس

ص

C

ب

جـ

حـ ) ب/ ،0(

) C حـ/ حا ، C ب) حـ/ حتاص

البعد بين النقطتين ب)حـ/ حتا C ، حـ/ حا C ( ، حـ ) ب/ , 0( هو

)قانون البعد بين نقطتين( 2 ) 0 - C ب/(2 + ) حـ/ حا - C (2 = ) حـ/ حتا/

C(

C 2ب/2 + حـ/2 حا + C 2 ب/ جـ/ حتا - C2حـ/2 حتا =

) حتا2حـ + حا2 حـ = 1( C 2ب/حـ/ حتا - )C2حا + C2ب/2 + حـ/2 ) حتا =

C ب/2 + جـ/2 - 2 ب/ جـ/ حتا =

2/

C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/

= C حتا = ب/2 + جـ /2 - 2 ب/ جـ/ حتا C ومنه 2/

C `

حاول أن تحلبطريقة مماثلة لما سبق ضع الرأس ب عند نقطة األصل واستنتج أن : 1

حتا ب/

C /2 - 2جـ/

C + 2/ب/2 = جـ

بطريقة مماثلة لما سبق ضع الرأس جـ عند نقطة األصل واستنتج أن : ب/ حتا جـ

/

C 2 - 22 + ب/

C= 2/جـ

ر إجابتك. هل قانون )قاعدة( جيب التمام صحيح فى حالة المثلث القائم الزاوية ؟ فس

نشاطابحث فى مكتبتك المدرسية أو باستخدام الشبكة الدولية للمعلومات )اإلنترنت(، عن براهين أخرى لقانون )قاعدة(

لت إليه . جيب التمام ، ثم ناقش معلمك فيما توص

�إر�ضاد

القوانين كتابة عند يفضل جيب بقانون الخاصة األطوال تؤخذ أن التمام /، ب/ جـ/ فى ترتيب دورى

Cواحد حتى يسهل تذكرها.

دعلا ةدعاق) عاق ونونعق

1 1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول

س درال


اإيجاد طول ال�ضلع الثالث فى مثلث.

مثالس ص ع مثلث فيه س/ = 24٫3سم ، ص/ = 22٫8سم ، c(Xع( = c42 أوجد ع/ 1

الحلع/2 = س/2 + ص/2 - 2س/ ص/ حتا ع

c42 24٫3(2 + )22٫8(2 - 2 * 24٫3 * 22٫8 حتا( =

- 16٫9 سم

وذلك باستخدام اآللة الحاسبة كاآلتى : 24.3 χ2 + 22.8 χ2 – 2 * 24.3 * 22.8 COS 42c ( ابدأ=

حاول أن تحل = 72٫8 سم ، ب/ = 58٫4سم ،c(Xجـ( = c64٫8 أوجد جـ/ .

/


اإيجاد قيا�س زاوية فى المثلث اإذا علمت اأطوال اأ�ضالعه الثالثة

مثال

من الشكل المقابل، أوجد c(Xجـ( الحل

/2 + ب/2 - جـ/2

C/ ب/

C 2حتا جـ =

2)12( - 2)8( + 2)5(8 * 5 * 2

=

55- 80 =

وذلك باستخدام اآللة الحاسبة كاآلتى 5 χ2 + 8 χ2 – 12 χ2 ÷ ) 2 * 5 * 8 ( =

SHIFT COS = ٫٫٫

ابدأ

ونالحظ أن جيب تمام الزاوية سالب وبالتالى cجـ منفرجة فيكون

c133 /25 //57 - )جـc(X


)Cc(X من الشكل المقابل أوجد

مثالأوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث ل م ن ، إذا علم أن ل/ =7٫5سم ، م/ =12٫5سم، ن/ =17٫5سم، ومن ذلك

أثبت أنه فى هذا المثلث يكون :

3 حا ن + 5 = 0 حتا ن- 3

C

5 سم

12 سم

8 سم

ب

جـ؟

C

؟

15سم

14سم

10سم

ب جـ



الحلأكبر زاوية هى المقابلة ألكبر ضلع ؛ لذلك تكون c ن هى أكبر زاوية فى المثلث

12 - =

2 )17٫5( - 2)12٫5( + 2)7٫5(12٫5 * 7٫5 * 2

= ل/2 + م/2 - ن/2

2 ل/ م/ ويكون : حتا ن =

c120 = )نc(X ` 1` حتا ن = - 2

5 + c120 حا 3 3 - c120 3 حا ن + 5 = حتا الطرف اآليسر = حتا ن - 3

3 + 5 = صفر = الطرف األيمن.2

* 3 3 - 12 - =

حاول أن تحل)C c(X 2 = )جـc(X 12 سم ، ب/ = 15سم ، جـ/ = 18 سم ، أثبت أن =

/

C ب جـ إذا كان C المثلث

ا�ضتخدام قانون )قاعدة( جيب التمام فى حل المثلث يسمح لنا قانون جيب التمام بحل المثلث بمعلومية طولى ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما وفى هذه الحالة

يوجد مثلث وحيد.

حل المثلث بمعلومية طولى �ضلعين وقيا�س الزاوية المح�ضورة بينهما Solving the triangle in the terms of the lengths of two sides and measure of the angle included

مثال

c20 = )جـc(X ، 11سم ، ب/ = 5سم = /

C ب جـ الذى فيه C حل المثلث الحل

ب/ حتا جـ/

C2 - 2/2 + ب/

C = 2/جـ a

c20 جـ/2 = )11(2 + )5(2 - 2 *11 * 5 حتا `

+)5(2 - 2 * 11 * 5حتا 20 ` جـ/ = )11(2

- 6٫529سم

2/

C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/

= C حتا

0٫817- - 2 )11( - 2)6٫529( + 2)5(

6٫529 * 5 * 2 =

c144٫786 - )Cc(X `

c(Xبc(X + )Cc(X [ - c180 = )جـ( [

] c 20 + c144٫786 [ - c180 =

c15٫214 =

c144 /47 //96 = )Cc(X ، 6٫529 = /جـ`

c15 /12 //50 -)بc(X

تذكر �أن

)c60-c180( حتا = c120 حتا 12 - = c60 حتا - =

)c60- c180( حا 120 = حا

32

= c60 حا =

C

5 سم

11 سم

ب

جـ

جـ

تذكر �أن

حل المثلث يعنى إيجاد عناصره المجهولة، وفى هذه الحالة يكون المطلوب هو إيجاد كل من حـ/ ،

c(X ، )Cc(Xب(

لحظ �أن

فى زاوية قياس إيجاد عند بمعلومية طولى ضلعين مثلث المحصورة، الزاوية وقياس جيب قانون استخدام يفضل قانون من استخدام بدال التمام

الجيب، وذلك ألن : فى حالة استخدام قانون الجيب أو الحادة الزاوية جيب فإن

المنفرجة دائما موجب.قانون استخدام حالة فى أما كانت إذا فإنه التمام جيب جيب فإن منفرجة الزاوية

تمامها يكون سالبا .فإن حادة الزاوية كانت وإذا

جيب تمامها يكون موجبا



س درال



c42 /18 = )بc(X ، 24٫6سم ، جـ/ = 14٫2سم = /

C ب جـ الذى فيه C حل المثلث

يسمح لنا قانون جيب التمام بحل المثلث أيضا بمعلومية أطوال أضالعه الثالثة ، علما بأن مجموع طولى أى ضلعين

منهما أكبر من طول الضلع الثالث، وفى هذه الحالة يوجد مثلث وحيد.

Solving the triangle knowing its three side lengths حل المثلث بمعلومية اأطوال ا�ضالعه الثالثة

مثال

= 6سم ، ب/ = 8سم ، جـ/ = 12سم/

C ب جـ الذى فيه C حل المثلث الحل

المطلوب إيجاد قياسات زوايا المثلث الثالثة فيكون:

2)6(- 2)12( + 2)8(

12* 8 * 2 =

2/

C - 2/ب/2 + جـ2 ب/ جـ/

= C حتا

4348 =

c26 /23 //4 - )Cc( X ` 2)8(- 2)6( + 2)12(

6* 12 * 2 =

/2 - ب/2

C + 2/جـ /

C 2 جـ/

حتا ب =

2936 =

c36 /20//10 - )بc( X `

]c36/20//10 +c26/23//4[ - c180 = )جـc( X `

c117 /16 //46 =

حاول أن تحل = 12,2 سم ، ب/ = 18٫4سم ، جـ / = 21٫1 سم

/

C ب جـ الذى فيه C حل المثلث

الكتابة فى الرياضياتالتمام أم قانون الجيب تعلم قياسات الزوايا الثالثة فى مثلث ما ، فهل يمكنك استخدام قانون جيب افرض أنك

ر إجابتك. إليجاد طول ضلع فى هذا المثلث ؟ فس

Geometrical applications on the cosine rule تطبيقات هند�ضية على قانون )قاعدة ( جيب التمام

مثال

E C ، أوجد : c(Xجـ( ، = 5سم ، ب/ = 2سم ، جـ/ = 4سم ، نصفب جـ فى E ثم صل/

C ب جـ مثلث فيه C ) E C جـ c(X

C

6 سم

12 سم

ب

جـ

8 سم

تذكر �أن

المثلث يعنى إيجاد عناصره حل المجهولة، وفى هذه الحالة يكون المطلوب هو إيجاد كل من حـ/ ،

c(X ، )Cc(Xب(



الحلفي المثلث C ب جـ

/2+ ب/2 - جـ/2

C / ب/

C 2حتا جـ =

1320 =

2)4(- 2)2( + 2)5(2 * 5 * 2

=

c49 /27//30 - ) جـc( X `

فى المثلث E Cجـ

)E ( = 2)E CجـC( + 2) جـ(E 2 - 2جـ * جـ C حتا جـ

c49 /27//30 5 * 2 حتا2 * 2 - 2)2( + 2)5

2( =

3٫7499 -

` E C - 1٫94 سم

2٫5E C حا جـ = 1٫94

c49/27//30حا `

0٫979 - c49/27//302٫5* حا1٫94

=E C حا جـ `

c78 /14//14-) E C جـc(X `

حاول أن تحل C ب جـ مثلث فيه ب جـ = 20سم ، c(Xبc(X ، c29 = )جـ( = E ، c73 منتصفب جـ ، أوجد طول كل

مقربا ألقرب رقمين عشريين. E C C ب ، من

مثال

c111 = )E C ب c(X ، ب جـ// E C C ب جـ E شبه منحرف فيه E ب = 21٫4سم ، أوجد 15سم، = E ، ب جـ = 28٫6سم ، جـ

. E C E c(X ب جـ( ، وطول

الحلفي المثلث E ب جـ

2)E(2 - )جـE ب جـ(2 +)ب(

E 2 ب جـ * بحتا E ب جـ =

0٫8586 - 2)15( - 2)21٫4(+ 2)28٫6(

21٫4 * 28٫6 * 2 =

c30 /50 //25 -) ب جـ E c( X `

E ب قاطع لهما //ب جـ ، E C a

` E Cc( X ب E c( X = ) ب جـ( بالتبادل

/ = 2سمجـ/ = 4سم بC

؟

جـب E = 5سم

/

C

C

؟

15 سم

28٫6 سم

21٫4 سم

c111

جـب

E



س درال


: E ب C فى المثلث `

)c30 /50 //25 + c111( - 180= ) E ب C c( X

c38 /9 //35 =

ويكون : 21٫4

c111 حا = E C

c38/9//35حا

c38/9// 35 21٫4 * حا

c111 حا = E C `

- 14٫16 سم

حاول أن تحل، c41 = )ب جـ C c( X ، 37سم = E C ، E C //ب جـ ، ب جـ = 63سم ، فيه E شبه منحرف C ب جـ 10

. E أوجد طول جـ ،c105 = )جـC بc( X

مثال

C ,9سم =CE ،8 سم = E ب = 9سم ، ب جـ = 5سم ، جـ C شكل رباعى فيه E ب جـ C جـ= 11سم، أثبت أن الشكل C ب جـ E رباعى دائرى.

الحلفي المثلث C ب جـ

16 - =

2)11(- 2)5(+ 2)9(5 * 9 * 2

حتا ب =

فى المثلث E C جـ

16 =

2)11(- 2)8(+ 2)9(8 * 9 * 2

= E حتا

ويكون حتا E = - حتا ب

c180 = )بc(X + )Ec(X أى أن

وحيث إن c، Ec ب زاويتان متقابلتان فى الشكل C ب جـ E ومتكاملتان

)وهو المطلوب( ` الشكل C ب جـ E رباعى دائرى.

حاول أن تحلC ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 2٫7سم ، C جـ = 7٫2 سم، ب جـ = 6٫3سم، جـ E = 4٫5سم ، ب E = 7٫2سم. 11

أثبت أن الشكل C ب جـ E رباعى دائرى.

تذكر �أن

هو الدائرى الرباعى الشكل األربعة رؤوسه تنتمى شكل

إلى دائرة واحدة.متى يكون الشكل "رباعى دائرى"؟

متقابلتان زاويتان فيه وجد إذا متكاملتان.

الخارجة الزاوية إذا كان قياس رؤوسه من رأس أى عند الداخلة الزاوية قياس تساوى

المقابلة للمجاورة لها.مرسومتان زاويتان فيه وجد إذا على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة

منها ومتساويتان فى القياس.بعد على رؤوسه كانت إذا

ثابت من نقطة ثابتة.

C

5 سم

8 سم

9 سم

9 سم

11 سم

جـب

E



مناقشة: لكل من المثلثات التالية ، اكتب الصيغة الصحيحة لقانون الجيب أو قانون جيب التمام إليجاد ما هو مطلوب )يشار إليه باللون األحمر(، استخدم فقط المعلومات المعطاة والمشار إليها باللون األزرق.

C

ب Cجـ

ب؟

C

جـب C

ب

؟

جـ

C ب

جـ

Cب؟

جـ

Life applications on the cosine rule تطبيقات حياتية على قانون جيب التمام

مثال المقابل الشكل في والسياحة: بالرياضة الربط مياه فى الغطس رياضة السائحين أحد يهوى

النادرة المرجانية األعشاب ليشاهد األحمر البحر

واألسماك الملونة الرائعة، وفى إحدى مرات الغوص

نظر الغواص ألعلى بزاوية قياسها c20 فرأى حبارا

يبعد عنه مسافة 3 أمتار، وعندما نظر ألسفل بزاوية

4 مسافة عنه تبعد حمراء سمكة cرأى 40 قياسها

أمتار ، فما المسافة بين الحبار والسمكة الحمراء؟

الحلواضح من الرسم أننا نعلم طولى ضلعين فى المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما؛ لذا يمكننا استخدام قانون

جيب التمام، وذلك كاآلتى:

C ب/2 + جـ/2 - 2ب/ جـ/ حتا = 2/

C

c 60 4(2 + )3(2 - 2 * 4 * 3 حتا( =

13 =

- 3٫6 أمتار /

C `

أى أن المسافة بين الحبار والسمكة الحمراء يساوى 3٫6 أمتار تقريبا.


انعطف ثم اتجاه معين، بالدراجة مسافة 6كم فى فإذا سار ، الدرجات بالرياضة: يهوى هانى ركوب الربط 1 بزاوية قياسها c79 ، ثم سار مسافة 7كم، ما المسافة بين النقطة التى بدأ منها هانى السير بالدراجة والنقطة

التى وصل إليها مقربا ألقرب كم؟

4 أمتار

الحبار

سمكة حمراء

الغواص

خط نظر الغواص3 م

c40c20

ب

C

جـ



س درال


مثال

الربط بالرياضة: فى إحدى مباريات كرة القدم كان العب خط الوسط علي بعد 20 مترا من العب الجناح 10 األيمن، ودار العب خط الوسط بزاوية قياسها c40، فرأى العب الجناح األيسر على بعد 16 مترا منه ، ما

المسافة بين العبى الجناحين ؟

الحلح، ارسم شكال يمثل المسألة وذلك كما هو موض

C ب/2 + جـ/2 - 2ب/جـ/ حتا = 2/

C

c40 16(2 + )20(2 - 2 * 16 * 20 حتا ( =

- 12٫87 متر

المسافة بين الجناح األيمن والجناح األيسر هو حوالى 12٫87 مترا.

حاول أن تحلالمالهى، مدينة فى المتصادمة السيارات ساحة فى العاب 1 ما ، المقابل بالشكل مبين هو كما ب ، C السيارتان اصطدمت

المسافة بين السيارتين قبل تصادمهما؟

Measuring the distance indirectly مثال قياس المسافة بطريقة غير مباشرة

11 فى الشكل المقابل أراد شادى أن يقيس المسافة بين النقطتين C ، ب فى جهتين مختلفتين من مبنى ، وذلك من الموقع جـ الذي يبعد عن C مسافة 33

ح بالشكل المقابل ، إذا كان مترا، وعن ب مسافة 48 مترا، كما هو موض

c(Xجـ( = c54، فأوجد المسافة C ب )مقربا ألقرب رقمين عشريين (.

الحلفي المثلث C ب جـ المسافة C ب = جـ/

ب/ حتا جـ/

C 2 - 2/2 + ب/

C = 2/جـ

c54 48(2 + )33(2 -2 *48*33 حتا( =

1530٫8963 -

جـ/ - 39٫12مترا

حاول أن تحلمن المسافة قياس سناء ارادت األراضى حسابات مساحات 1 يقعان فى جهتين مختلفين من اللذان النقطة ب، إلى C النقطة

بحيرة ، فوقفت فى الموقع جـ ، الذى يبعد عن النقطة C مسافة

258 مترا ، وعن النقطة ب مسافة 25٫5 مترا ، وقاست cجـ

C ب )مقربا ألقرب رقمين عشريين( فوجدتها c 78، أوجد طول

الجناح األيمن

العب خط الوسط

الجناح األيسر

جـ؟ب

C

16 متار20 مترا

c40

C بc120

جـ

؟

7 أمتار6 أمتار

C

48 مترا

جـ

ب

33 مترا

c54

C258 مترا

25٫5 متراc78

جـ

ب



تمـــــــاريـــن الدرس الثانى 1 أكمل ما يأتى:

أ فى أى مثلث س ص ع يكون : ص/2 +ع/2 .......

................................... ، حتا س =

س/2 = ص/2 +ع/2

c............................ب مثلث أطوال أضالعه 13، 17، 15 من السنتيمترات، فإن قياس أكبر زواياه هو

ج مثلث أطوال أضالعه 5٫7سم ، 7٫5سم ، 4٫2سم، فإن قياس أصغر زواياه هو ............................

= 10سم ، ب/ = 6سم ، c(Xجـ( = c 60فإن جـ/ = ............................/

C ب جـ فيه C د مثلث

ه فى المثلث ل م ن يكون م/2 + ن/2 - ل/2 = ............................

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:

أ قياس أكبر زاوية فى المثلث الذى أطوال أضالعه 3، 5، 7 هى :

c30 )4( c60 )3( c120 )2( c150 )1(

مساويا :ل/2 + م/2 - ن/2

2 ل/ م/ب فى أى مثلث ل م ن يكون المقدار

)4( حا ن )3( حتا ن )2( حتا م )1( حا ل

ج فى المثلث س ص ع يكون ص/2 + ع/2 - س/2 = 2ص/ع/...

)4( حا س )3( حتا ع )2( حا ع )1( حتا س

: ب/ : جـ/ = 3 :2 : 2 فإن حتا C تساوى :/

C ، ب جـ C د فى المثلث

34 )4( 1

2 )3( 18 - )2( 1

2 )1(

استخدم قانون جيب التمام إليجاد قيمة س ألقرب جزء من عشرة

C

cس19 سم

12 سم14 سم

ب جـ

أ

c119

20 سمس

ب 23 سمجـ

C ب

cس

ب

جـ

28 سم17 سم

15C سم

Cج

جـب

س

c4931٫7 سم

35٫2 سم

د



س درال


فى المثلث C ب جـ إذا كان:c60 = )بc(X 5، ب/ = 7 ، جـ/ = 8 ، فأثبت أن =

/

C أ

c120 = )جـc(X 3، ب/ = 5 ، جـ/ = 7 ، فأثبت أن = /

C ب

= 13، ب/ = 7 ، جـ/ = 13 ، فأوجد c(Xجـ( /

C ج

)Cc(X 13، ب/ = 8 ، جـ/ = 7 ، فأوجد = /

C د

= 10، ب/ = 17 ، جـ/ = 21 ، فأوجد قياس أصغر زاوية فى المثلث ./

C ه

= 5، ب/ = 6 ، جـ/ = 7 ، فأوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث./

C و

= 17سم، ب/ = 11سم ، c(Xجـ( = c42 ، فأوجد جـ/ مقربا ألقرب رقمين عشريين./

C ز

ح ب/ = 16سم، جـ/ = 14سم ، c72 = )Cc(X ، فأوجد C/ مقربا ألقرب رقمين عشريين.

19 سم أوجد : = 3سم ، ب/ = 5سم ، جـ/ = /

C ب جـ فيه C مثلث ب مساحة المثلث C ب جـ أ c(Xجـ(

= 9سم ، ب/ = 15سم ، جـ/ = 21 سم ، أوجد قياس أكبر زاوية فى هذا المثلث ، وأثبت أنها /

C ب جـ مثلث فيه C 3 حا جـ + 8 = 0 تحقق العالقة حتا جـ - 5

10 -2( والزاوية المحصورة بينهما c60 أوجد طول الضلع الثالث . ( ، )2 + 10 ضلعان من أضالع مثلث طوالهما )

= 8سم ، ح - ب/ = 6سم ، ح - جـ/ = 4سم فأوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث، حيث /

C - ب جـ مثلث فيه ح C + ب/ + جـ/

/

C = 2 ح

= 98 سم، حيث 2 ح هو محيط المثلث، فأوجد /

C + 26سم ، ب/ = 28سم ، ح = /

C- ب جـ إذا كان ح C فى المثلث أطوال أضالع المثلث ، ثم قياس أصغر زاوية فى هذا المثلث.

C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 3سم ، Cجـ = 8سم ، ب جـ = 7سم ، جـ E = 5سم ، ب E = 8سم ، أثبت أن 10 الشكل رباعى دائرى.

C جـ = 25 سم ، C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 15سم ، ب جـ = 20سم ، جـ E = 16سم, 11 .E ب جـ C جـ ألقرب سنتيمتر ، ثم أوجد مساحة سطح الشكل الرباعى C Cc(Xجـ c 36 /52 =)E، أوجد طول

ب E يساوى 14سم ، أوجد طول C ب جـ E متوازى أضالع فيه C ب = 12سم ، ب جـ = 10سم ، طول القطر 1 . C جـ القطر

إذا كانت النسبة بين جيوب زوايا مثلث هى 2 : 3: 4 أوجد النسبة بين جيوب تمام زوايا هذا المثلث . 1

c 60 = )بc(X 2 + ع/س/ أثبت أن)/فى المثلث س ص ع إذا كان ص/2 = )ع/ - س 1

،c97 /78 = )E جـ ب c(X ، 96سم = E جـ ، سم 78 = جـ ب فيه رباعى شكل E جـ Cب 1 . C ب C c(X ب E C c(X ،c72 /35 = )E ب( = c43 /18 أوجد طول



E C ينصف إذا كان C ب جـ مثلث فيه C ب = 16سم ، C جـ = 24 سم ، c80 = )C c(X ، أوجد طولب جـ ، و 1 E C C c من الداخل ويقطعب جـ فى E ، أوجد طول

قياس كل أوجد أطوال اضالعه 1٫2كم، 2كم، 1٫8كم، مثلث للسباق على شكل ميدان : بالرياضة الربط 1 زاوية من زواياه.

مساحات األراضى : قطعة أرض على شكل مثلث أطوال أضالعه 300م ، 210م ، 140 م ، استخدم قانون جيب 1 التمام إليجاد مساحة قطعة األرض مقربا ألقرب متر مربع.

الربط بالرياضة : يركب كريم دراجته ليقطع المسافة من النقطة C إلى 1 النقطة ب ثم إلى النقطة جـ بسرعة 28 كم/ساعة، ثم يعود من النقطة

تستغرقها دقيقة كم 35كم/ساعة، بسرعة مباشرة C النقطة إلى جـ

إيابا ، قرب ألقرب جزء من عشرة. رحلة كريم ذهابا و

الرياضيات: قارن بين الحاالت التى تستطيع فيها استخدام قانون الجيب لحل مثلث بتلك التى الكتابة فى 0 تستطيع فيها استحدام قانون جيب التمام.

C

5 1٫كم

1٫25كمc130

ب

جـ


1 1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول

س درال


�س الوحدة ملخ

للمثلث ستة عناصر هى ثالثة أضالع وثالث زوايا . 1

حل المثلث يعنى إيجاد عناصره المجهولة بداللة عناصره المعلومة، وقد استخدمنا 2فى هذه الوحدة قانونى الجيب وجيب التمام مع اآللة الحاسبة العلمية لحل المثلث

وحل تطبيقات هندسية وحياتية.

قانون )قاعدة( الجيب:في أى مثلث ، تتناسب أطوال أضالع المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة لها، أى أنه فى 3جـ/

حا جـب/ =

حا ب =

/

CC حا

أى مثلث Cب جـ يكون :

قياسا ½ علم متى المثلث حل فى القانون هذا استخدام أمكن وقد

زاويتين وطول ضلع فيه:

فى أى مثلث C ب جـ يكون: 4

جـ/ = 2 نقحا جـ

ب/ = حا ب

= /

CC حا

حيث H طول نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث C ب جـ ½

قانون )قاعدة ( جيب التمام: 5ينص قانون )قاعدة( جيب التمام على أنه: فى أى مثلث C ب جـ يكون ½

2 /

C- 2/ب/2 + جـ2 ب/ جـ/

= C ومنه حتا C 2 = ب/2 + جـ/2 - 2ب/جـ/ حتا/

C

2 - ب/2

/

C + 2/جـ/

C 2 جـ/

حتا ب ومنه حتا ب = /

C/2 - 2ب/

C + 2/ب/2 = جـ

2 + ب/2 - جـ/2

/

Cب/

/

C 2ب/ حتا جـ ومنه حتا جـ =

/

C2 - 2/2 + ب/

C = 2/جـ

استخدام قانون جيب التمام فى حل المثلث: 5يمكن استخدام قاعدة جيب التمام فى حل المثلث إذا علم : ½

طوال ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ½

أطوال أضالعه الثالثة. ½

جـب

ب جـ

C

C

جـب

ب جـ

C



تــــــمارين عامة

1 أكمل مايأتى:أ فى أى مثلث ، تتناسب أطوال أضالعه مع .......................

ب يمكن استخدام قاعدة جيب التمام فى إيجاد قياسات زوايا المثلث إذا علمت ....................... أو .......................

ج أكبر األضالع طوال فى المثلث يقابل .......................

د يمكن استخدام قانون الجيب فى إيجاد طول أى ضلع فى المثلث إذا علم منه.......................

، ب/ ، Cc(X( فإنه يمكن استخدام القاعدة .......................إليجاد X)cب(./

C ب جـ معلوم به C ه مثلث

و مثلث س ص ع معلوم به ع/ ، ص/ ، c(Xس( فإنه يمكن استخدام القاعدة ....................... إليجاد س/.

ز مثلث ل م ن معلوم به ل/، م/ ، ن/ ، فإنه يمكن استخدام قاعدة .......................إليجاد c(Xل(

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:أ في المثلث س ص ع ، إذا كان س/ = 15سم، ص/ = 25 سم، ع/ = 35 سم فإن قياس أكبر زاوية في المثلث تساوى :

c 90 )4( c 40 )3( c120 )2( c150 )1(

=4سم ، ب/ = 7سم ،c(Xجـ( = c120، فإن مساحة سطح المثلث C ب جـ تساوى:/

C ب جـ إذا كان C ب فى المثلث 2 سم2 7 )4( )3( 28سم2 3 سم2 7 )2( )1( 14سم2

3 سم ، فإن طول قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث يساوى : ج س ص ع مثلث متساوى األضالع ، طول ضلعه 10 )4( 20سم )3( 15سم )2( 10سم )1( 5سم

يساوى :/

C فإن ،c30 = )Cc(X ، د إذا كان طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث س ص ع يساوى 5سم

)4( 20سم )3( 10سم )2( 5سم )1(10 سم

= 5سم ، ب/ = 7سم ، جـ/ = 8سم، فإن c(Xب( تساوى :/

C ب جـ ، إذا كان C ه فى المثلث

c 120 )4( c45 )3( c60 )2( c30)1(

= 3سم ، ب/ = 5سم ، جـ/ = 7سم، فإن قياس أكبر زاوية فى المثلث تساوى :/

C ب جـ ، إذا كان C و فى المثلث

c 120 )4( c45 )3( c60 )2( c30 )1(

أوجد القياسات غير المعلومة فى كل مثلث ممايأتى:

c80

c55

ل

نم

13 سم

ب س

24 سم

14 سم

ص12 سم

ع

أ


متعرين اعمة

C ب جـ مثلث ، أوجد القياسات غير المعلومة فى كل مثلث مقربا ألقرب جزء من مائة :

أ c 60 = )Cc(X، ب/ = 10سم ، جـ/ = 9سم.

= 3سم. /

C ، c 58 = )جـc(X ،c 25 = )بc(X ب

د ثالثة من قياسات عناصره متضمنة طول أحد األضالع، ثم سؤال مفتوح: ارسم مثلثا مختلف األضالغ، حد أوجد قياسات العناصر الثالثة األخرى.

= 8سم ، ب/ = 15سم، جـ/ = 17سم أوجد c(Xجـ( /

C ، ب جـ C أ فى المثلث ر إجابتك. = 8سم ، ب/ = 15سم ، جـ/ = 18سم ، هل cجـ حادة أم منفرجة ؟ فس

/

C ب جـ إذا كان C ب فى المثلث

C ب زاويتين قياسهما ب E يصنعان مع ضلعه ، C جـ C ب = 19٫77سم ، قطراه E متوازى أضالع فيه Cب جـ c44 /58 ،c36/22 ، أوجد طولى القطرين.

C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 27سم ، ب جـ = 12سم ، جـ E= 8سم ، CE= 12سم ، Cجـ = 18 سم ، أثبت أن .E C ب cجـ ينصف C

C ب جـ مثلث فيه c(X ،c52 /17 = ) C c(Xب( = c77 /6، ومحيط المثلث يساوى 80٫4سم ، أوجد أطوال أضالعه .

C ب جـ مثلث فيه جـ/ =7٫6سم ، ، c(X ،c80 = )Cc(Xب( = c47، أوجد محيط هذا المثلث ، وطول نصف 10 قطر الدائرة المارة برؤوسه.

C ب جـ E متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م ، C جـ = 16سم، ب E= 20سم C c(X م ب( =c54 احسب طول 11 ألقرب سنتيمتر. E C

Cب جـ مثلث فيه ب جـ = 20سم ، c(Xبc(X ،c29 = )جـ( = E ،c73 منتصفب جـ ، أوجد طول كل من 1 E C مقربا ألقرب رقمين عشريين. C ب ،

C ب جـ مثلث فيه C جـ = 4٫7سم، c(Xبc(X ،c 34 = )جـ( = c66، أوجد طولب جـ ، ثم أوجد محيط 1 الدائرة التى تمر برؤوس المثلث أ ب جـ .

2 ، ب/ = 2٫5سم ، جـ/ = 2سم، أثبت أن المثلث C ب جـ متساوى الساقين.5 =C ب جـ مثلث فيه حتا C 1

.C ب/:جـ/ = 4 : 5 : 6 أوجد حتا: /

C ب جـ مثلث فيه C 1

حل المثلث C ب جـ الذى فيه ب/ = 11سم ، c(X ، c67 = )Cc(Xب( = c 46مقربا األطوال ألقرب سنتيمتر. 1

c53 /8= )Cc(X ، 13سم، جـ/ = 15سم = /

C ب جـ الذى فيه C حل المثلث 1

كان فإذا ، 2 : 3 متجاوريين ضلعيين طولي بين والنسبة سم 30 محيطة األضالع متوازى E جـ ب C 1 C جـ . E C c(Xحـ( = c60 فأوجد طول



51٫7سم، = Cجـ 38٫4سم، =E جـ 26٫3سم، = E C ، //ب جـ E C فيه منحرف شبه E جـ ب C 1 c(X بc103 /15= )E C أوجد طولب جـ .

الربط بالرياضة : جرى أحمد مسافة 8كم فى اتجاه معين ، ثم انعطف بزاوية قياسها c80، وجرى مسافة 9كم 0 ، ما المسافة بين النقطة التى بدأ منها أحمد الجرى والنقطة التى وصل إليها؟

بالرياضة: فى إحدى مباريات كرة القدم كان العب خط الوسط على بعد 15مترا من العب الجناح الربط 1 األيمن، ودار العب خط الوسط بزاوية قياسها c45، رأى الجتاح األيسر على بعد 17 مترا منه ، ما المسافة بين

العبى الجناحين؟

النقطة جـ إلى ثم النقطة ب إلى C النقطة من المسافة ليقطع البخارية دراجته أحمد : يركب المواصالت بسرعة 50كم/ ساعة ثم يعود من النقطة جـ إلى النقطة C مباشرة بسرعة 60كم/ساعة ، كم دقيقة تستغرقها

إيابا مقربا ألقرب جزء من عشرة من الدقيقة؟ الرحلة ذهابا و

C

2٫15 كم

2٫5كمc130ب

جـ


متعرين اعمة


د : اأ�ضئلة االختيار من متعد c120 1 بدون استخدام اآللة الحاسبة تكون قيمة حتا

23

د 32

ج ب -12 12 أ -

العالقة التى تربط بين ظا هـ، قا هـ تعطى على الصورة : د ظا2 هـ + 1 = قا2 هـ ج ظا2هـ - قا2هـ =1 ـ ب قا2هـ -1 = ظا2ه ـ أ ظا2هـ - 1 = قا2ه

3 سم يكون طوله: 2 /

C ، c60 = )Cc(X ب جـ الذى فيه C نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث

سم 32

د 3 ج 2 3 سم ب أ 2سم

مساويا م/2 + ن/2 - ل/2

2 م/ ن/ فى أى مثلث ل م ن يكون المقدار :

د حا ن حا ل ج ب حتا م أ حتا ل

فى المثلث C ب جـ يكون ب/ مساويا

جـ/ حا جـ

/

Cد جـ/ حا ب

/

Cج جـ/ حا جـ

حا ب ب جـ/ حا ب حا جـ

أ

= 12، ب/ =28، جـ/ = 20 فإن c(Xب( تساوى :/

C ب جـ ، إذا كانC فى المثلث c150 د c120 ج c60 ب c 30 أ

اأ�ضئلة ذات اإجابات ق�ضيرة :

فى المثلث س ص ع إذا كان س/ = 10سم ، c(Xسc(X ،c30 = )ص( = c45 ، فأوجد ص/ مقربا ألقرب رقم عشرى واحد.

= 4سم ، ب/ = 5سم ، جـ/ = 6سم ، أوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث، ثم أوجد مساحته./


االأ�ضئلة ذات االإجابات الطويلة :c(X 1ع(، وطول نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه

c(X 2ص( =2س ص ع مثلث فيه : c(Xس( =3

10سم، أوجد مساحة سطح المثلث س ص ع .

= 12سم ، c(Xب( = 25فc66، جـ/ = 5سم /

C ، ب جـ الذى فيه C حل المثلث 10

، سم 12 = جـ ب ،c82 /49 = )Cc(X ، 10سم = EC ، 8سم = ب C فيه رباعى Eشكل جـ ب C 11 . E جـ c(X جـ ب c68 /54 = )E ، أوجد طول




اختبارات عامة

الجبر االختبار األول

اجب عن االأ�ضئلة االآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:فى الشكل المقابل: أكمل 1

المجال هو ............................................... أ

المدى هو ............................................... ب

الدالة د حيث د)س( = 4 - س2 تكون تزايدية فى ...............................................

تناقصية فى ...............................................

منحنى الدالة د حيث د)س( = |س-2| متماثل حول المستقيم: ...............................................

إذا كان د)س( = 5س فإن د)-2( = ...............................................

السؤال الثانى: اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاه.

هو ...............................................0 H س 0 عندما

-1 عندما س < 0مدى الدالة د حيث د)س( = 1

}1- ،0{ د I ج }1-{ ب }0{ أ

2| س | تكافئ الدالة د)س( = س

الدالة د حيث د)س( = 0 G عندما س 2

عندما س > 0 2-د 2- ج 2 ب

عندما س < 0 2

عندما س > 0 2-أ

إذا كان د : I # I حيث د)س( = س3 فإن الشكل الذى يمثل الدالة د هو: دج بأ

ص

س

43

2-1-

3-

21

4-

3- 22- 1 31-

ص

س

43

2-1-

3-

21

4-

3- 22- 1 31-

ص

س

43

2-1-

3-

21

4-

3- 22- 1 31-

ص

س

43

2-1-

3-

21

4-

3- 22- 1 31-

1-2-3-4-5- 1 22-

24

68

10

4-6-8-

3 4 5س

ص


دختباردتلعامل

إذا كان : 5 س - 3 = 4 3-س فإن س = ...............................................

صفر د 45 ج ب 3 5

4 أ

السؤال الثالث : 1 مثل بيانيا د)س( = س2 - 1 ثم استنتج من الرسم محور التماثل ومدى الدالة

أوجد فى I مجموعة حل المعادلة لو س = لو3 + لو 10

السؤال الرابع:5 G|3 - مجموعة حل المتباينة |س I أوجد فى 1

4 2 ن+1 * 2 1 - ن

8 ن +2اختصر ألبسط صورة =

السؤال الخامس:ارسم منحنى الدالة دحيث د)س( = |س - 3| واستنتج من الرسم مدى الدالة واطرادها ونوعها من حيث كونها 1

زوجية أو فردية أو غير ذلك.

= صفرس

3 * 3 - س

حل المعادلة 9

الجبر االختبار الثانى


السؤال األول: أختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:مدى الدالة د حيث د)س( = |س| هو

[0 ، ∞- ] د ]0 ، ∞ - ] ج [∞ ،0] ب [ ∞،0[ أ

إذا كان دالة حيث د)س( = س2 + 2 فإن الشكل الذى يمثل الدالة د هو ...................

1- 1 2

12

3

3 4س

ص11-2-

1-2-

3-

3-4- صس

1 21-1-

2-

12

س

ص

1 21-2-

123

س

صدج بأ

لو |س| = 1 هو 3

مجموعة حل المعادلة

}1- ،1{ د }3- ،3{ ج }3-{ ب }3{ أ



نقطة تماثل الدالة د حيث د)س( = س3 -1 هى

)0 ،1-( د )0 ،1( ج )1- ،0 ( ب )1 ،0 ( أ

السؤال الثانى: أكمل مايأتى:1 هو ...................

س + 1مجال الدالة د حيث د)س( = 1

معادلة محور تماثل الدالة د حيث د)س( = س2 هو المستقيم...................

الدالة د حيث د)س( = Cس تكون تزايدية على مجالها I عندما...................

مجموعة حل المعادلة | س -3 | = صفر هى ...................

السؤال الثالث: أوجد فى I مجموعة حل المعادلة اآلتية: 4س + 2س + 1 = 8 1

1 - 1س

ارسم الشكل البيانى للدالة د حيث د)س( = ومن الرسم أوجد مجال ومدى الدالة وابحث اطرادها ونوعها من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك.

السؤال الرابع:أوجد فى I مجموعة حل المتباينة |س| +1> 2 1

لو 273

لو 27 = 6

لو 8 + 6

بدون استخدام الحاسبة أثبت ان:

السؤال الخامس:إذا كانت د)س( = |س -3| + |س +2| فاثبت أن د)2( = د)-1( 1

استخدم منحنى الدالة د حيث د)س( = س2 فى رسم كل من الداول اآلتية : ب د2)س( = )س +1( 2 أ د1)س( = س2 - 3



الجبر االختبار الثالث


السؤال األول: اكمل مايأتى:نقطة التماثل لمنحنى الدالة د حيث د)س( = )س -1(3 هى 1

مجموعة حل المعادلة 3س +3 1 + س = 36 هى

س +3 هو: س2 - 9

مجال الدالة د حيث د)س( =

نوع الدالة د من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك حيث د)س( = س حا س هو ........................................................

السؤال الثانى: اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاهمجال الدالة فى الشكل المقابل هو ........................................................ 1

[ ∞،0 ] ب [ ∞،0[ أ

[2 ،0] د ]1 ،0[ ج

مجموعة حل المتباينة |س| -1 < صفر هو ........................................................

]1 ،1-[ د [1 ، 1-] - I ج [1 ،1-] ب ]1 ،1-[ - I أ

لو س فإن الصورة االسية المكافئة هى ..2

إذا كان 4 =

س = 8 د س = 42 ج س4 = 2 ب س2 = 4 أ

معادلة محور التماثل لمنحنى الدالة د حيث د)س( = س2 +1 هى س2 + 1

ص = صفر د ص = 1 ج س = 1 ب س = صفر أ

السؤال الثالث استخدم منحنى د الدالة حيث د)س( = |س| لتمثيل كل من الدوال اآلتية : 1

د2 )س( = | س +1| ب د1 )س( = |س| - 1 أ

لو 96

لو 54 - 6

اختصر ألبسط صورة

1 21-2-

12

3

س

ص

و

1 1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى


السؤال الرابع:)س +1( =1 لو

2س + لو

2أوجد فى I مجموعة حل المعادلة اآلتية 1

استخدم منحنى الدالة د حيث د)س( = س2 لتمثيل الدالة S حيث د)S( = د)س( + 2 ومن الرسم أوجد مدى ر وأثبت أنها زوجية

السؤال الخامس :أوجد باستخدام الحاسبة 1

قيمة س التى تحقق 3س = 25 مقربا الناتج لرقمين عشريين أ

مقربا الناتج ألقرب أربعة أرقام عشرية 153 205

متجه المقدار ب

عندما س < 0 س2

0 H عندما 0س |س| ارسم الشكل البيانى للدالة د حيث د )س( =

ومن الرسم أوجد: المدى وابحث االطراد وعين نوع الدالة من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك.

الجبر االختبار الرابع

اجب عن اال�ضئلة االآتية:

السؤال األول: اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاه:لو 2 + لو5 = 1

10 د لو 2٫5 ج لو7 ب 1 أ

:I أى الدوال اآلتية تمثل دالة زسية تزايدية على مجالها ص = ) 0٫05(س د ص = 3 + ) 0٫5(س ج ( س 1

ص = 3 )1٫05 ب ص = 3 )1٫05(س أ

.................................... = C فإن قيمة إذا كان |C س| = |2 س|

صفر د 2 ! ج 2 ب 2- أ

1 بإزاحة قدرها .................................... وحدات فى س 1 هو منحنى الدالة S)س( =

منحنى الدالة د حيث د)س( = س -3 االتجاه الموجب لمحور السينات

13 د 1

3 ج 3 ب 3- أ



السؤال الثانى: اكمل مايأتى:مدى الدالة د حيث د)س( = |س| هو 1

إذا كان 5س-2 =1 فإن س =

فإن د )-1( = ...............................س

إذا كان د)س( = 2

محور تماثل الدالة د حيث د)س( = س2 - 1 هو

السؤال الثالث:أوجد جملة مبلغ 8000 جنيه موضوع فى بنك يعطى فائدة سنوية مركبة قدرها 5٪ لمدة سبع سنوات. 1

ارسم منحنى الدالة د حيث د)س( = س3 -1 ومن الرسم أوجد نقطة تماثل الدالة وبين نوعها من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك.

السؤال الرابع:ارسم منحنى الدالتين د، ر حيث د)س( = س +S ،1)س( = 1 - س ومن الرسم أوجد مساحة المثلث المحدد 1

بالمستقيمين المتقاطعين ومحور السينات .

1 - لو2 لو 125 اختصر ألبسط صورة =

السؤال الخامس: 1

لو 305

+ 1لو 30

3

+ 1لو 30

2

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة 1

ارسم منحنى الدالة د حيث: -H 1 س > 2 س +1

5 H س H 2 5 -س د)س( =

ومن الرسم استنتج مدى هذه الدالة وابحث اطرادها وحدد نوعها من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك.



الجبر االختبار الخامس


السؤال األول: اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاة:عدد محاور تماثل الدالة د حيث د)س( = 5 هو ............................................. 1

عدد النهائى د 2 ج واحد ب صفر أ

إذا كان د)س( =2 فإن د)2 س( = .............................................

1 د صفر ج 4 ب أ 2

الدالة د حيث د)س( =Cس تكون تناقصية مع مجالهاI عندما .............................................

4- د 1 < C <0 ج 1 >C ب 1= C أ

إذا كانت د)س( دالة زوجية ، د)2( = 4 فإن د)-2( = .............................................

4 د 4 ج 2 ب أ -3

السؤال الثانى: اكمل مايأتى:س متماثلتان بالنسبة للمستقيم ............................................. لو

2الدالتان د، S حيث د)س( = 2س، S)س( = 1

س32 = 9 فإن س = ............................................. إذا كان

مجموعة حل المعادلة |س-2| =1 هى

فى الشكل المقابل مجموعة حل المعادلة هو .............................................

السؤال الثالث:عين مجال كل من الدوال اآلتية: 1

لو ) س -2(3

د2)س( = ب س - 2 د1)س( = أ

إذا كان عدد السكان )ص( بالمليون نسمة فى إحدى المحافظات يعين من العالقة: ص = 11٫7 )1٫02(ن حيث ن عدد السنوات بدءا من عام 2015م

أوجد ألقرب مليون نسمة عدد سكان هذه المحافظة فى عام 2010م أ متى يتضاعف عدد السكان فى هذه المحافظة بدأ من عام 2015م؟ ب

1-1-

2- 1 2

12

س

ص



السؤال الرابع:1 ( ن احسب الزمن إذا كان

إذا كانت العالقة بين شدة التيار )ت( امبير والزمن )ن( ثانية تعطى بالصيغة ت = ) 2 1 1 أمبير

32شدة التيار

استخدم منحنى الدالة د حيث د)س( = |س| لتمثيل الدالة ر حيث ر)س( = |س -1|-2 ثم أوجد مدى الدالة ومعادلة محور التماثل .

السؤال الخامس:إحداثيى نقطة التماثل لمنحنى هذه الدالة . ثم 1 فأوجد مجال الدالة د و

سإذا كان الدالة د حيث د)س( = 1

4 = ) 1 س

أوجد مجموعةحل المعادلةد)

ارسم منحنى الدالة د حيث: لكل -H 5 س> 2 س2

8H س H2 لكل 6 -س د)س( =

ومن الرسم عين مدى الدالة وابحث اطرادها.

تفاضل وحساب مثلثات االختبار السادس


السؤال األول: أكمل مايأتى:)س2 + 3( = .............................. نهــــــا

س!1 1

= ...................... H حيث H طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس C ب جـ /C

Cحافى أى مثلث C ب جـ يكون

.............................. = C 4 فإن = C

س+1 نهــــــا

س!2إذا كان

ص-2+ع-2- .................... فى أى مثلث س ص ع أطوال أضالع س/، ص/، ع/ يكون: حتا س =

السؤال الثانى: اختر من بين القوسين االجابة الصحيحة:

) 3 أو 6 أو -3 أو 9( )3س2( = .............................. نهــــــاس!-1

1

)c29 أو c40 أو c49 أو c82( ....... - ) C (X ب/ : جـ/ = 2 : 3 : 4 فإن :/

Cب جـ النسبة بين أطوال أضالعه C9

) صفر أو 1 أو 2 أو 3( س1-2 =.............................. س-1


)12 ، 15،6 ، 3 ( ....... =

ب/حاب

= 6سم فإن /

C ، c30 = )C c(X ب جـ : إذا كانC 9فى



السؤال الثالث: س2 - 3س + 2

س - 1 نهــــــا

س!1أوجد قيمة 1

C ب جـ مثلث فيه C/ = 8 سم ، c( X ، c65 = )C c( X ب( = c36 ، أوجد جـ/ ألقرب سم.

السؤال الرابع:س5- 32 س- 2


أوجد قيمة 1

أوجد قياس أصغر زاوية فى المثلث Cب جـ إذا كان C/ = 25سم ، ب/ = 20سم، جـ/ = 28سم

السؤال الخامس:نهــــــا )س +حا3س(

rس!3

أوجد قيمة 1

1 حا جـ أوجد قياس اكبر زواياه1 حا ب = 4

3 = C 1 حاC9 ب جـ فيه: 2

تفاضل وحساب مثلثات االختبار السابع


السؤال األول: حا 2 س = ..

2 سنهــــــا

rس!4

1

طول قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث المتساوى األضالع الذى طول ضلعه 10سم= ................... سم

س +2 = ...س -3


قياس اكبر زاوية فى المثلث الذى أطوال اضالعه 7 سم ، 8 سم، 9 سم يساوى ...

السؤال الثانى: اختر االجابة الصحيحة من بين القوسين:)2 أ، صفر أ، 3 أ، 1( 2 + س = ...................

سنهــــــا س!∞

1

فى C9 ب جـ إذا كان 2 حا C = 3 حا ب = 4 حا جـ فإن C/ : ب/: جـ/ يساوى ... )2 : 3: 4 أ، 4 : 3: 2 أ، 3 : 4: 6 أ، 6 : 4 : 3(

) 3 أ، 5 أ، 8 أ، 6( نهــــــا )حتا 3 س + 5( = ................... س!0

فىC 9ب جـ إذا كان C/ = ب / = 8سم ، محيطC 9 ب جـ = 26 سم فإن: c (Xجـ( -.... )c108 ،أ c77٫4 ،أ c52٫3 ،أ c35٫3(



السؤال الثالث: 5 س4 + 3س2 - 6

2 س+ س4نهــــــا

س!∞أوجد 1

c48 = )جـc(X ، 8سم ، ب/ = 6سم =/C :ب جـ الذى فيه C 9 أوجد محيط

السؤال الرابع:نهــــــا )2 حتا س + 3(

r!سأوجد قيمة 1

C9 ب جـ فيه c(X ،c 36 =) Cc(Xجـ( = c45، ب/ = 9سم أوجد جـ / ثم أوجد مساحة الدائرة المارة برؤوسة.

السؤال الخامس:س3 - 27س2 - 9


أوجد 1

حل المثلث C ب جـ الذى فيه c (X = )Cc (Xبc (X ، ) جـ( = c80 ، جـ/ = 15سم

تفاضل وحساب مثلثات االختبار الثامن


السؤال األول: أكمل مايأتى:س 2 - 6س + 9 = ..............................

س- 3نهــــــا

س!3 1

C/ + ب/

..... = .....

= حا ب/C..... فى أى مثلث C ب جـ يكون:

نهــــــا )2س + حا س( = ..............................rس!2

.............................. 2/C + 2/ب جـ يكون ب/2 = جـ C فى أى مثلث

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين:فىC 9 ب جـ إذا كان C/ = 7سم فإن ب = .............................. 1

حا جـ (7حا ب

أ، C حا7حا ب

7حا ب أ، C حا

أ، C 7حاحا ب

(

5 أو 4 أو -9(2- ) -5 أو 4س2 +1 = .................................................

س2 - 2 نهـــا

س! ∞



مساويا:س/2 + ص/2 -ع/2

2 س/ ص/فى أى مثلث س ص ع يكون المقدار

)حتا س أ، حا ص أ، حتا ع أ، حا ع(

) 5 أو 1 أو 4 أو 20( س5 - 1 = ................................................. س - 1


السؤال الثالث:س +1 -2

س - 3 نهــــــا

س!3أوجد 1

c 28 ،c65 ب مع زاويتين قياسيهما C ب E يصنعان ، C جـ C ب جـ E متوازى األضالع فيه Cب = 7سم ، القطران C جـ . ، E ب على الترتيب أوجد طول كل من

السؤال الرابع: س6 - 1

س2 + 2 س -3 نهــــــا

س!1أوجد قيمة 1

أوجد قياس أصغر زوايا المثلث س ص ع إذا كان س/ = 27سم ، ص/= 35سم، ع/ = 18سم

السؤال الخامس:

4 - 3س25+

س4 نهـــا

س! ∞أوجد قيمة 1

c75 = )جـ c( X، ب جـ = 25سمC 9 ب/ = 18سم ، محيط + /C : ب جـ إذا كان فيه C 9 حل

تفاضل وحساب مثلثات االختبار التاسع


السؤال األول: أكمل مايلى:2س2 - 8 = ....................

س- 2نهــــــا

س!2 1

نهــــــا )2س2 + 3( = ....................س!0

محيط C 9 ب جـ....................

= /CC حا

فى C 9 ب جـ يكون

ع/........

فى س ص ع إذا كان س/ = ص/ فإن حتا س =



السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين األقواس:)3 أ، 4 أ، 3 أ، صفر( نهــــــا )حتا 2س(

س!0 1

C حا/C

2 حاC- حاب =.................... حا ب فإن

ب/= C حا

/Cفى C 9 ب حـ إذا كان

) C/ + ب/ أ، C 2/ + ب/ أ، C /- 2 ب/ أ، C 2/ - ب/(

)صفر أ، 1 أ، 2 أ، -1( .................... = س2

سنهــــــا س!∞

مساويا الصفر إذا كان:C/2+ب/2-جـ/2

C 2/ب/فى C 9 ب جـ يكون المقدار

) C c(X( = c60 أ، X)cب( = c90 أ، X)cجـ( = c120 أ، X)c(X+ )Cc ب( = 90(

السؤال الثالث:)س2+1()س -2(

2س3 +3س +4نهــــــا

س!∞أوجد قيمة 1

س ص ع مثلث فيه س/ = 7سم ، ص/ = 9سم ، ع/ = 8سم أوجد مساحة المثلث .

السؤال الرابع:)س-2(1-4

س -1نهــــــا س!1

أوجد 1

C9 ب جـ فيه ب/ = 10سم ، c(X ، c35 = )C c(Xجـ( = c70 أوجد طول أكبر األضالع طوال.

السؤال الخامس:س2 +5س -6

س2 -1 نهــــــا س!0

أوجد 1

حل المثلث C ب جـ المتساوى الساقين الذى فيه c(Xب( = c120 ، ب/ = 10سم

تفاضل وحساب مثلثات االختبار العاشر

اجب على جميع االأ�ضئلة االآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:

C/ + ب/..........

= /CC حا

فى C ب جـ يكون: ......................... = )34( نهــــــا

س!1 1

إذا كانتC c تكمل cجـ فإن حتا C + حتا جـ = ... نهــــــا )5 حا 2 س( = ......................... r!س



السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين:

)H 3 ،أ م/ + ن/

حا ن + حا م أ،

ن/حا م

أ، م/

حا ن( مساويا:

ل/حا ل

فى أى مثلث ل م ن يكون 1

أ، 2( 52- )4 أ، 5 أ، .................... = 1+

4س2س -2


.................... =C ب جـ يكون حتا C فى أى مثلث )- ) حتا ب + حتا جـ( أ، 1 - ) حتا ب + حتا جـ( أ، حتا )-)ب+جـ(( أ، - حتا )ب +جـ((

)18 أ، -3 أ، 12 أ، -12( 3س2 -12 = ................... س +2


السؤال الثالث:س3 - 2س +1

س2 -1نهــــــا س!1

أوجد: 1

cوطول نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه = 16سم C ب جـ مثلث فيه c(Xبc(X ، c35 = ) جـ( = 70 أحسب مساحة ومحيط المثلث Cب جـ ألقرب عدد صحيح.

السؤال الرابع:)س+1(32-5

س -1نهــــــا س!1

أوجد: 1

c70 = )م بC c(X فى م وكانت E ب C ب جـ E متوازى األضالع فيه Cجـ = 10سم ، بE = 8سم فإذا تقاطعC جـ ، أوجد محيط متوازى األضالع.

السؤال الخامس: ) 2 س5 +1

س2 )س3 +2(+ 3

س نهــــــا )س!∞

أوجد قيمة: 1

حل المثلث Cب جـ الذى فيه C/ = 2 ، ب/ = 12سم، جـ/ = 8سم



اإجابات بع�س التمارين

الوحدة األول: الدوال ذات المتغير الحقيقى ورسم المنحنيات

اجابة بعض تمارين الدرس األول

جـ د ب ج د ب د أ 1

I ج I ب I أ

301 ج 9- ب 5- أ

اجابة بعض تمارين الدرس الثانى

[∞ ،1[ ]3 ،3-[ [5 ،3[ - I

اجابة بعض تمارين الدرس الثالث

]2 ،2-[ - I )2( شكل شكل )1( ]-2، 2[ شكل )4( ]0، 4[ شكل )3( ]-∞، 3]

I )6( شكل }0{ - I )5( شكل

فردية ج فردية ب زوجية أ

]0 ،∞-] ب }2 ،2-{ أ

[∞ ،0] د I ج

تمارين الدرس الرابع

س - 2ص + 6 =0 أ 1

س + 3ص - 5 =0 ب

جـ= 350ن + 4500 أ

57000 ب

[∞ ،0[ ،)0 ،1-( ب [∞ ،0[ ،)0 ،3( أ

[∞ ،1[ ،)1 ،0( د [∞ ،4-[ )4- ،0( ج

ر)س( = س3 - 4 ب د)س( = )س - 3(3 أ

ع)س( = )س + 4(3 - 1 ج

74500 1 1600 1

اجابة بعض تمارين الدرس الخامس

}2{ z }12- ، 1

2{ 1

}1 ، 1-{ }5 ،2-{ }5 ،1-{

}12 ،6-{ }1-{

الوحدة الثانية:االسس واللوغاريتمات

اجابة بعض تمارين الدرس األول34 ب

12 |C| ج

34 C ب

13 س أ 1

76 5 و ب32 ب C أ

181 ج 8- ب 8 أ

5 ج 56 س ب 2C أ

ج 16 2 ب 5 أ

ه }16{ }9{ ج }25{ أ


)2 ،0( ب )1 ،0( أ

محور الصادات د 3 ج

ص = 43265341 )1٫015( ن - 2000 أ

253 11256٫8 جنية


}1{ ه 2 ب 2 أ 1

}1- ،1{ د }0{ ب }2-{ أ

}3{ ر )1-( ح }5{ و

1 1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى

وإععبعح بع�ض ونونعرين

اجابة بعض تمارين الدرس الرابع

}3{ و }123{ ب }10{ أ

ج 2٫189 4٫755 ب 1٫176 أ

اجابة بعض تمارين الدرس الخامس

12 ج 1 ب 3 أ 1

لوس - لو)س 4( ب لوس + لو)س + 1( أ

اجابة بعض التمارين عامة

12 ج 2 ب 2! أ 1

4 د 0٫1 ب 3 أ أ د)S( = 1000 )1٫09(ن 1٫1

ج 0٫699 0٫176 ب 0٫778 أ

}3-{ ب 10 أ

اجابة اختبار تراكمى

[∞ ،2] ج }0{ - I ب [∞ ،2[ أ 1

د-1 = })3، 1(، )-1، 2(، )0، 3({ أ

5 - و 12 ب 2 أ

23٫24 ب 4٫93 أ

تضاؤل د نمو ب نمو أ

الوحدة الثالثة: النهايات


1 ب 1 أ 1

0 ب 0 أ


1- 0 7 1

24 3 12

1- ليس لها نهاية 1 1

2 ليس لها وجود

48 32 7 1

12 224 405


3 11 2- 1 1

0 1 0 1 1 1

2 0 0

اجابة بعض التمارين عامة

2- ، 0 3، غير معينة 1

0 1 2- ، 2-

27 ليس لها وجود

10 11 10 10اجابة اختبار تراكمى

س + 5س - 5

ج 1س + 1

ب 1س - 1

أ 1

7س - 1 حيث س ∋ }1 ، -1{س2 - 1

ن1 = ن2

4س2 + 5س - 3 حيث س ∋ }1 ، -1{3س2

ليس لها وجود 4س2 + 5س - 3 3س2

ليس لها وجود ب غير معرفة أ 10

3 د غير معينة ج



الوحدة الرابعة: حساب المثلثات


-9٫2سم ب -7٫4سم أ 1

117٫5سم 11٫25سم 21٫24سم

c8 ،c110 أو c48 ،c70

c39 ،c93 أو c45 ،c87

c20٫4 ،c136 أو c112٫4 ،c44

27سم 5سم، 12سم

-35٫46سم، -48٫14سم

6سم، ب/ = 2سم = /C 0


-37٫1سم ب c47٫3- أ

-27٫93سم د c27 ج

c120 د c60 ج

c78 /28- و c58 /3- ه

22سم c120 = )جـc(X

C جـ = 17سم C جـ = 18سم 1 10

100٫2سم 1 4- : 11 : 14 1

إجابة بعض التمارين العامة

-28٫265سم، -23٫72سم

25سم، 30٫9سم، 24٫5سم

16سم 11 24سم، 4٫75سم 1034 19٫55سم، 11٫84سم 1 1

االختبار التراكمى

أ د ب 1

جـ أ أ

2 = 14٫1سم 10

c82 /49 //9، = 9٫92سم2

االختبارات العامة

االختبار األول

السؤال األول: أكمل ما يأتى:

}0{ - I ب }1-{ - I -أ أ 1

2 [∞ ،0] ، [0 ،∞-] 1

25

السؤال الثانى

ب أ د 1السؤال الثالث:

س = 30 السؤال الرابع

[8 ،2-] - I 1

االختبار السابع

السؤال األول:

23 صفر3

12 1

السؤال الثانى:

6 3 : 4 : 6 1 1

السؤال الرابع

2 1 جـ/= 6٫4سم ، مساحة الدائرة = 57٫3سم2

السؤال الخامس92 1



الصف الثانى الثانوى الأدبى للعام 2015

Education

Transcript of الصف الثانى الثانوى الأدبى للعام 2015