ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ · 2012-06-25 ·...
Transcript of ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ · 2012-06-25 ·...
1
Министерство образования и наукиРоссийской Федерации
Санкт-Петербургский государственныйархитектурно-строительный университет
В. Б. СМИРНОВА, Л. Е. МОРОЗОВА
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ
Учебное пособие
Санкт-Петербург2010
2 3
Обыкновенные дифференциальные уравнения
УДК 519.95 (075.8)
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент Е. К. Ершов (СПбГАСУ);канд. физ.-мат. наук, доцент Д. Ю. Волков (РГПУ им. А. И. Герцена)
Смирнова, В. Б.Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие /
В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова; СПбГАСУ. – СПб., 2010. – 87 с.
Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Обык-новенные дифференциальные уравнения» студентами специальностей с сокра-щенным курсом математики. Даны основные определения и теоремы. Приво-дится методика решения задач. Рассмотрены многочисленные примеры.
Ил. 1. Библиогр.: 6 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качествеучебного пособия.
В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова, 2010 Санкт-Петербургский государственныйархитектурно-строительный университет, 2010
Введение
Изучение различных задач геометрии, механики, физики часто при-водит к уравнениям, содержащим искомые переменные величины и ихпроизводные. Такие уравнения принято называть дифференциальными.
Если искомые величины являются функциями одной переменной,то дифференциальные уравнения называются обыкновенными. Если ис-комые величины являются функциями нескольких переменных,то уравнения называются дифференциальными уравнениями с частны-ми производными.
В данном учебном пособии изучаются только обыкновенные диф-ференциальные уравнения. Дадим развернутое определение этого понятия.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется ра-венство, выражающее зависимость между функцией одной переменной,ее аргументом и ее производными. Это равенство может не содержать са-мой функции или ее аргумента, может не содержать ни функции, ни аргу-мента, но оно обязательно содержит хотя бы одну производную функции.
Приведем примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:032 =−′+′′ yyy ;
xy 2sin)4( = ;
xyy tg2 =′′−′′′ ;5=′′′y .
Всюду далее обыкновенные дифференциальные уравнения будемназывать дифференциальными уравнениями.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок стар-шей входящей в него производной.
В приведенных выше примерах порядки уравнений, рассматривае-мых сверху вниз, таковы: 2; 4; 3; 3.
4 5
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГОПОРЯДКА
Общий вид дифференциального уравнения первого порядкатаков:
.0),,( =′yyxF (1.1)Здесь )(xуу = .
Решением уравнения (1.1) на промежутке X (открытом или зам-кнутом, конечном или бесконечном) называется дифференцируемая напромежутке X функция )(xyy = , которая при подстановке в (1.1) об-б-ращает его в тождество относительно аргумента Xx∈ .
Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно производной,то оно принимает вид
)).((),,( xyyyxfy ==′ (1.2)
В этом пособии мы будем рассматривать именно такие уравнения.Приведем два примера уравнений первого порядка и постараемся
найти их решения.1. Рассмотрим уравнение
xxy 2cos)( =′ . (1.3)
Легко видеть, что функция xxy 2sin21)( = является решением уравнения
(1.3) при всех ),( ∞−∞∈x . Действительно, )(xy – первообразная дляфункции x2cos . Но любая функция вида
Cxy += 2sin21
, (1.4)
где const=C , также является первообразной функции x2cos и, следова-а-тельно, является решением уравнения (1.3). Так что уже этот пример по-
зволяет сделать вывод, что дифференциальное уравнение имеет беско-нечное множество решений.
2. Рассмотрим уравнение
)(2)( xyxy =′ . (1.5)
Нетрудно догадаться, что его решением при всех ),( ∞−∞∈x является
функция xxy 2e)( = (ведь только функция вида xαe , где α – число,не меняет своего вида при дифференцировании). Нетрудно также уви-деть, что любая функция
xCy 2e= , (1.6)
где const=C , является решением уравнения (1.5). Таким образом, вы-вод, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество ре-шений, подтверждается и на этом примере.
Любое уравнение (1.2) имеет бесконечное множество решений. Что-бы конкретизировать какую-то функцию из этого множества, для уравне-ния (1.2) задают начальное условие
00)( yxy xx == . (1.7)
Оно читается так: функция )(xy при 0xx = имеет значение 0y . Условие(1.7) часто записывают в виде
00 )( yxy = .
Заметим, что при 0xx = , 0yy = функция ),( yxf должна быть оп-ределена.
Поскольку любое уравнение (1.2) имеет бесконечно много реше-ний, для него вводятся понятия общего и частного решений.
Общим решением уравнения (1.2) называется семейство функций),( Cxy ϕ= , зависящих от независимой переменной x и произвольной
постоянной C , обладающее следующими свойствами:
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
6 7
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1) для любого конкретного значения 0CC = функция ),( 0Cxy ϕ=удовлетворяет уравнению (1.2);
2) для любой пары чисел ),( 00 yx , для которой функция ),( yxfопределена, найдется такое значение 0CC = , что ),( 0Cxϕ удовлетво-о-ряет начальному условию (1.7).
Обратимся к рассмотренным ранее примерам. Убедимся, что реше-ние (1.4) является общим решением уравнения (1.3). Пусть задано усло-вие (1.7). Оно эквивалентно требованию
000 2sin21 Cxy += .
Таким образом, 000 2sin21 xyC −= . Тогда функция
00 2sin212sin
21 xyxy −+=
удовлетворяет условию (1.7).Легко убедиться, что формула (1.6) дает общее решение уравнения
(1.5). Действительно, при любом С функция xCy 2e= удовлетворяет урав-
нению (1.5), и для любой пары ),( 00 yx функция xxyy 220 e)e( 0−=
(т. е. 02
00 e x
yC = ) удовлетворяет начальному условию (1.7).
Частным решением уравнения (1.2) называется решение, полу-ченное из общего при конкретном значении C .
Таким образом, общее решение является совокупностью частныхрешений.
У уравнения (1.2) могут оказаться решения, которые не могут бытьполучены из общего решения ни при каком значении С. Мы их рассмат-ривать не будем. Нас будет интересовать нахождение общих и частныхрешений дифференциальных уравнений.
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения назы-вается интегрированием дифференциального уравнения.
Замечание. Часто при интегрировании дифференциального урав-нения зависимость между функцией y , ее аргументом x и произвольной
постоянной C не удается получить в виде ),( Cxy ϕ= , а удается полу-чить в виде
0),,( =Φ Cyx . (1.8)
Равенство (1.8) называется общим интегралом дифференциально-го уравнения (1.1). Равенство
0),,( 0 =Φ Cyx , (1.9)
полученное из (1.8) при конкретном значении 0CC = , называется част-ным интегралом уравнения (1.1).
Заметим, что каждое частное решение уравнения (1.2) ),( 0Cxy ϕ=задает линию на плоскости xOy . Эта линия называется интегральнойкривой уравнения. Общее решение геометрически определяет множествоинтегральных кривых.
В связи с частными решениями уравнения (1.2) часто ставится за-дача Коши. Эта задача состоит в нахождении решения уравнения (1.2),удовлетворяющего заданному начальному условию (1.7).Мы не излагаем здесь теорем, гарантирующих существование и един-ственность решения задачи Коши (1.2), (1.7). Они изложены в учебномпособии [6].
Если дифференциальное уравнение таково, что его общее решениеили общий интеграл можно выразить через элементарные функции и нео-пределенные интегралы от элементарных функций (при этом интегралымогут оказаться неберущимися), то говорят, что уравнение интегрирует-ся в квадратурах. Существует несколько типов уравнений первого по-рядка, которые интегрируются в квадратурах. В этом пособиибудут рассмотрены следующие типы уравнений: простейшее, с разделяю-щимися переменными, линейное, обобщенное линейное (уравнениеЯ. Бернулли) и однородное.
1.1. Простейшие уравнения
Их общий вид таков:)(xfy =′ . (1.10)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
8 9
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Их общее решение представляет собой неопределенный интеграл от фун-кции )(xf , т. е.
Cdxxfy += ∫ )( .Здесь и во всех последующих записях решений дифференциальных
уравнений под символом ∫ dxxf )( имеется в виду одна (любая) первооб-разная подынтегральной функции.
Уравнение (1.3) является простейшим.
1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Так называются уравнения вида
)()( ygxfy =′ . (1.11)
Чтобы получить общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11),
следует воспользоваться тем, что dxdyxy =′ )( , а затем «разделить» пере-
менные, т. е. записать уравнение (1.11) в виде
dxxfyg
dy )()(=
или
( )∫∫ =
dxxfdyg
dyd )()( .
Деля обе части (1.11) на )(yg , можно потерять решения вида η=y ,где η=y является решением уравнения 0)( =yg . Эти решения послеполучения общего решения следует рассмотреть отдельно. Может ока-заться, что они не являются частными решениями (1.11).
Если дифференциалы двух функций равны, то сами функции могутотличаться друг от друга лишь на постоянное слагаемое. (См. теорему опервообразных учебного пособия [2].) Следовательно,
∫ ∫ += Cdxxfyg
dy )()( . (1.12)
Формула (1.12) и дает общее решение (общий интеграл) уравнения(1.11). Заметим, что простейшее дифференциальное уравнение (1.10)является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными(1.11), когда 1)( ≡yg .
Пример 1.1. Найти общее решение уравнения
44 22 +++=′ yxxyy . (1.13)
Решение. Правую часть этого уравнения можно разложить на мно-жители:
).1)(4()1(4)1(
)44()(4422
2222
++=+++=
=+++=+++
xyxxy
xyxyyxxy
Следовательно, уравнение (1.13) можно переписать в виде
)1)(4( 2 ++=′ xyyили
)1)(4( 2 ++= xydxdy
(1.14)
и «разделить» в нем переменные:
dxxy
dy )1(42 +=
+.
Отсюда
∫ ∫ ++=+
Cdxxy
dy )1(42
или
Cxxy++=
22arctg
21 2
.
Тем самым получен общий интеграл уравнения (1.13). Его можнопереписать в виде
Cxxy++=
2
2arctg 2 .
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
10 11
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пример 1.2. Найти общее решение уравнения
xyy 42 +
=′ . (1.15)
Решение. Перепишем уравнение в виде
42 += ydxdyx
и, «разделив» переменные, получим
xdx
ydy
=+ 42
. (1.16)
Отсюда
∫ ∫ +=+
Cx
dxydy ln
42.
Здесь произвольная постоянная выбрана в виде Cln ( 0≠C ). Пос-с-ле вычисления интегралов получаем
Cxyy lnln4ln 2 +=++
или
)0(42 ≠=++ СCxyy .Тем самым получен общий интеграл исходного уравнения (1.15).Пример 1.3 [1]. Дано дифференциальное уравнение
)0(2 >=′ yyy . (1.17)
А. Найти его общее решение.Б. Решить для него задачу Коши с начальным условием
11 ==xy . (1.18)РешениеА. Запишем уравнение (1.17) в виде
dxy
dy=
2. (1.19)
Проинтегрируем (1.19). Получим
∫ ∫ += Cdxy
dy2
илиCxy += . (1.20)
Получен общий интеграл уравнения (1.17). Легко увидеть, что гео-метрически формула (1.20) определяет семейство полупарабол
CxCxy −>+= ,)( 2 (рисунок).
x
y
0
yx =
Интегральные кривые уравнения (1.17)
Б. Чтобы решить задачу Коши (1.17), (1.18), подставим в формулу(1.20) начальные данные 1=x и 1=y . Получим
0;11 =+= CC .Следовательно, искомое частное решение имеет вид
yx = . (1.21)
График функции (1.21) отмечен на рисунке жирной линией.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
12 13
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.3. Линейные уравнения
Линейным уравнением называется уравнение вида
)0)(()()( ≠=+′ xpxfyxpy . (1.22)
Заметим, что искомая функция y и ее производная y′ входятв уравнение (1.22) только в первой степени и между собой не перемножа-ются.
Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли.Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двухфункций
)()()( xvxuxy = , (1.23)
где функция 0)( ≠xv выбирается произвольно, а функция )(xu определя-ется при известной уже )(xv так, чтобы )(xy была решением (1.22).
Подставим функцию (1.23) в уравнение (1.22). Получим)()( xfuvxpuvvu =+′+′
или)())(( xfvxpvuvu =+′+′ . (1.24)
Наложим на функцию )(xv условие, состоящее в том, что она удов-летворяет уравнению
0)( =+′ vxpv . (1.25)
Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать)(xv . Уравнение (1.25) – уравнение с разделяющимися переменными.
Поэтому представим его в виде
dxxpvdv )(−= . (1.26)
Проинтегрируем (1.26). Получим
∫ ∫−= dxxpvdv )(
или
∫−= dxxpv )(ln ,откуда
=)(xv ∫− dxxp )(e . (1.27)
Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (1.25),поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим рав-ной нулю.
Подставив функцию )(xv в уравнение (1.24), получим для опреде-ления )(xu простейшее уравнение
)()(
xvxfu =′ .
Его общее решение имеет вид
∫ += Cdxxvxfxu)()()( .
Тогда
)()()()()( xvdx
xvxfxCvxy
+= ∫ ,
где )(xv определяется по формуле (1.27).Пример 1.4. Найти общее решение уравнения
3xxyy =−′ . (1.28)
Решение. Ищем решение в виде uvy = . Тогда (1.28) запишется сле-дующим образом:
3xx
uvuvvu =−′+′ . (1.29)
Функцию )(xv ищем как решение уравнения
0=−′xvv
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
14 15
Обыкновенные дифференциальные уравнения
или
xdx
vdv
= .
Тем самым выражение x
uvuv −′ в уравнении (1.29) обращается в ноль.
Интегрируя последнее равенство, получаемxv lnln =
илиxv = .
Подставляем найденную функцию )(xv в уравнение (1.29).Получаем
3xxu =′или
.2xu =′Тогда
Cxxu +=3
)(3
.
Общее решение (1.28) имеет вид
3)(
4xCxxy += .
Пример 1.5. Найти общее решение уравнения
x
xyy 2e=+′ . (1.30)
Решение. Ищем решение уравнения (1.30) в виде uvy = . Тогда(1.30) принимает вид
x
xuvuvvu 2e=+′+′ . (1.31)
Выберем функцию )(xv так, чтобы она была решением уравнения
0=+′xvv (1.32)
или
.x
dxvdv
−=
Интегрируя это равенство, получаемxv lnln −= ,
откуда
xv 1= .
(Мы воспользовались свойством ),0(lnln RAAA ∈α>=α α .)Подставляем найденную функцию )(xv в (1.31). Получаем
xxu 2e=′ ,откуда
Cdxxxu x += ∫ 2e)(или
Cxxu xx +−= 22 e41e
21)( .
Общее решение уравнения (1.30) имеет вид
xx
xxCxy 22 e
41e
21)( −+= .
Пример 1.6. Решить задачу Коши
)e(cos2 22 xyy =+′ , (1.33)
20 ==xy . (1.34)
Решение. Прежде всего следует получить общее решение уравнения(1.33). Ищем решение в виде uvy = . Подставим его в (1.33). Получим
)e(cos2 22 xuvuvvu =+′+′ . (1.35)
Выберем функцию v так, чтобы 02 =+′ uvuv . Тогда
02 =+′ vv . (1.36)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
16 17
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решаем (1.36) как уравнение с разделяющимися переменными:
dxvdv 2−= ,
∫ ∫−= dxvdv 2 ,
xv 2ln −= ,
xv 2e−= . (1.37)
Подставляем функцию )(xv из (1.37) в уравнение (1.35). Получаем)e(cose 222 xxu =′ ,
откуда
Cdxxu xx +∫= )e(cose)( 222 .Отдельно найдем первообразную, стоящую в правой части, с помо-
щью замены xz 2e= :
( )∫∫ ∫ =+== dzzzdzdxxx 12cos41cos
21)e(cose 2222
( ) xxzz 22 e41e2sin
81
42sin
81
+=+= .
Таким образом,
( ) Cxu xx ++= 22 e41e2sin
81)( ,
и общее решение уравнения (1.33) имеет вид
41)e2sin(e
81e)( 222 ++= −− xxxCxy . (1.38)
Теперь, чтобы найти постоянную C, подставим значения x и yиз начального условия (1.34) в общее решение (1.38). Получим
412sin
812 ++= C .
Следовательно, 2sin81
47−=C , и решение задачи (1.33), (1.34) име-
ет вид
( )41e2sine
81e2sin
81
47)( 222 ++
−= −− xxxxy .
1.4. Обобщенные линейные уравнения (уравнения Бернулли)
Уравнение Я. Бернулли имеет вид
,)()( ayxfyxpy =+′ (1.39)
где 1≠a и 0≠a (в случае 1=a уравнение (1.39) превращается в уравне-ние с разделяющимися переменными, а в случае 0=a – в линейное урав-нение).
Решение уравнения (1.39) осуществляется тем же методом Бер-нулли, что и линейное уравнение (1.23), т. е. реализуется следующаясхема:
1. Ищем решение в виде произведения двух функций
)()()( xvxuxy = . (1.40)
2. Подставляем функцию (1.40) в уравнение (1.39), получаем урав-нение
aavuxfuvxpuvvu )()( =+′+′ (1.41)
и выбираем функцию )(xv так, чтобы она была частным решением урав-нения
0)( =+′ vxpv . (1.42)Тогда
∫−= dxxpxv )(e)( . (1.43)
3. Подставляем найденную функцию (1.43) в уравнение (1.41) и полу-чаем для определения )(xu уравнение с разделяющимися переменными
aa uxvxfxvu )()()( =′ . (1.44)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
18 19
Обыкновенные дифференциальные уравнения
4. Находим общий интеграл уравнения (1.44). Для этого разделяемпеременные и получаем
dxxvxfudu a
a )()( 1−= .
Тогда
.)()(1
1 11 Cdxxvxfua
aa +=− ∫ −− (1.45)
5. Находим общий интеграл уравнения (1.39). При этом удобнов (1.45) заменить функцию )(xu по формуле
)()()(
xvxyxu = ,
полученной из (1.40). Общий интеграл имеет вид
( ) ( )∫ +−= −−− Cdxxvxfxvaxy aaa )()()(1)( 111 . (1.46)
Пример 1.7. Найти общее решение уравнения
xyxyy ln3=−′ . (1.47)
Решение. Это – уравнение Бернулли с 3=a . Применяем метод Бер-нулли и ищем решение в виде uvy = . Тогда уравнение (1.47) приобретаетвид
xvux
uvuvvu ln33=−′+′ . (1.48)
Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению
.0=−′xvv
В примере 1.4 показано, что решением этого уравнения являетсяфункция xv = . Тогда из (1.48) получаем уравнение для нахождения )(xu :
xxuxu ln33=′или
xdxxudu ln2
3 = . (1.49)
Интегрируем (1.49):
Cxdxxu +=− ∫− ln21 22
или
Cxxxu
+−=−9
ln32
1 33
2 . (1.50)
Учитывая, что xyu = , получим из (1.50) общий интеграл (1.47)
в виде
Cxxxy
x+−=−
9ln
32
33
2
2
или
Cxxxxy
+−=
ln629
33
22 . (1.51)
Пример 1.8. Найти общее решение уравнения
42
2
+=+′
xy
xyy . (1.52)
Решение. Это – уравнение Бернулли, где 2=a . Согласно методуБернулли полагаем uvy = . Тогда уравнение (1.52) принимает вид
42
22
+=+′+′
xvu
xuvuvvu . (1.53)
Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению
.0=+′xvv
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
20 21
Обыкновенные дифференциальные уравнения
При решении примера 1.5 показано, что решением этого уравнения
является функция x
v 1= . Тогда из (1.53) получаем уравнение для нахож-
дения )(xu :
)4( 22
2
+=
′
xxu
xu
или
)4( 22 +=
xxdx
udu . (1.54)
Интегрируем (1.54). Получаем
Cxxdx
u+
+=− ∫ )4(
12 . (1.55)
Найдем ∫ + )4( 2xxdx
. Для этого представим правильную дробь
)4(12 +xx
в виде суммы простейших дробей:
4)4(1
22 ++
+=+ x
DBxxA
xx.
Определим коэффициенты А, В и D из тождественного равенствамногочленов
)()4(1 2 DBxxxA +++≡ ,откуда
===+
,14;0
;0
AD
BA
или 0,41,
41
=−== DBA . Таким образом,
( )4
ln414ln
81ln
41
441
41
)4( 22
22 +=+−=
+−=
+∫ ∫ ∫x
xxx
xxdx
xdx
xxdx
.
Тогда формула (1.55) приобретает вид
Cx
xu
++
=−4
ln411
2.
Учитывая, что xuuvy == , а значит, yxu = , получим
Cx
xyx
++
=−4
ln411
2,
откуда
4ln
4
2 ++
−=
x
xxCx
y .
Пример 1.9 [4]. Найти общее решение уравнения
)0( >=+′ yyxyy . (1.56)
Решение. Это – уравнение Бернулли, где 21
=a . Ищем его решение
в форме uvy = . Тогда уравнение (1.56) приобретает вид
vuxuvuvvu =+′+′ . (1.57)
Требуем, чтобы функция )(xv удовлетворяла уравнению
.0=+′ vv (1.58)
Решаем уравнение (1.58) как уравнение с разделяющимися перемен-ными:
dxvdv
−= ,
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
22 23
Обыкновенные дифференциальные уравнения
∫∫ −= dxvdv
,
xv −=ln ,
.e xv −=Подставляем найденную функцию )(xv в (1.57). Получаем
uxux
x 2ee−− =′
или
dxxu
du x2e= . (1.59)
Интегрируем (1.59):
Cdxxu
du x
+= ∫∫ 2e . (1.60)
Найдем первообразную, стоящую в правой части (1.60), интегрируя
по частям. Положив dxdzxtx2e, == , найдем dxdt = и 2e2
x
z = . Тогдада
22222 e4e2e2e2exxxxx
xdxxdxx −=−= ∫∫ .
Формула (1.60) принимает вид
Cxuxx
+−= 22 e4e22 . (1.61)
Учитывая, что vyu = , или xyu e= , определим из (1.61) общий ин-
теграл уравнения (1.56) в виде
2e2x
Cxy−
+−= .
1.5. Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однород-ным, если оно может быть приведено к виду
.
=′
xyfy (1.62)
Чтобы найти общее решение (или общий интеграл) уравнения (1.62),
введем новую функцию xxyxz )()( = , так что )()( xzxxy = .
Тогда )()()( xzxzxxy +′=′ и уравнение (1.62) можно записатьв виде
zzfzx −=′ )( . (1.63)
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными
xdx
zzfdz
=−)(
.
Проинтегрируем его:
)0(ln)(
≠+=− ∫∫ CC
xdx
zzfdz ;
xCzzf
dz ln)(
=−∫ . (1.64)
Получен общий интеграл уравнения (1.63). После определения пер-
вообразной, стоящей в левой части (1.64), и замены z на xy получим
общий интеграл уравнения (1.62).Пример 1.10. Найти общее решение уравнения
yxyxy
−+
=′ . (1.65)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
24 25
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде
xyxy
y−
+=′
1
1, (1.66)
поделив числитель и знаменатель его правой части на x . Вводим новую
функцию xyz = , и уравнение (1.66) приобретает вид
zzzxz
−+
=+′11 .
Преобразуем его:
zzzxz −
−+
=′11
или
zzx
dxdz
−+
=1
1 2.
Разделяя здесь переменные, получаем
xdxdz
zz
=+
−21
1 . (1.67)
Интегрируем (1.67). Тогда
Cx
dxdzzz ln
11
2 +=+
−∫∫ ,
откуда
Cxzz lnln)1ln(21arctg 2 +=+−
или
( ))1(lnarctg2 222 += zxCz .
ОтсюдаzzxC arctg2222 e)1( =+ .
Заменяя здесь z на xy , находим окончательно
( ) xy
yxCarctg2222 e=+ .
Это общий интеграл уравнения (1.65).Пример 1.11. Найти общее решение уравнения
xyy x
y
+=′−
e . (1.68)
Решение. Сделаем замену искомой функции y по формуле xyz = и
запишем уравнение (1.68) следующим образом:
zzzx z +=+′ −eили
zzx −=′ e ,откуда
xdxdzz =e .
Значит,
∫∫ += Cx
dxdzze
или
Cxz += lne .Отсюда находим, что
( )Cxz += lnln
при Cx −>ln , или Cx −> e .Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид
( ) )e(lnln CxCxxy −>+= .
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
26 27
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пример 1.12 [3]. Найти общее решение уравнения
22
2
2224
yxyxxyyy+−
−=′ . (1.69)
Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно,преобразуем его к виду
2
2
2
2
222
4
xy
xy
xy
xy
y+−
−=′ . (1.70)
Теперь сделаем замену xyz = . Получим
2
2
2224
zzzzzxz
+−−
=+′
или
222632
2
23
+−−+−
=′zz
zzzxz . (1.71)
«Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его.Это дает
Cx
dxdzzzz
zz ln632
22223
2−=
−+−+−
∫∫ . (1.72)
Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим,что
( ) 666632 223 −+−=′
−+− zzzzz .Тогда
( ) zzzzzzzzzddz
zzzzz 632ln
31
632632
31
632222 23
23
23
23
2−+−−=
−+−−+−
−=−+−+−
∫∫ .
В результате формула (1.72) приобретает вид
Cxzzz lnln632ln31 23 −=−+−−
или
( )zzzxC 632 233 −+−= .
Это общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя в нем z на xy
и C на
C− , находим общий интеграл уравнения (1.69)Cyxxyy =+− 223 632 .
1.6. Решение задачи Коши для различных типов уравненийпервого порядка
Пример 1.13 [4]. Решить задачу Коши:
xy
yxy +=′ , (1.73)
2ee ==xy . (1.74)
Решение. Сначала получим общий интеграл уравнения (1.73). Это –однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение Бернул-
ли, где 1−=a ). Введем функцию xxyxz )()( = . Тогда )(xy =′
)()( xzxxz ′+= и уравнение (1.73) примет вид
zzx 1=′ (1.75)
или
xdxzdz = . (1.76)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
28 29
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Интегрируя (1.76), получим
Cxz+= ln
2
2
.
Общий интеграл уравнения (1.73) имеет вид
Cxxy
+= ln2 2
2
. (1.77)
Теперь подставим в (1.77) значения x и y из начального условия(1.74). Получим для определения C уравнение
С+= 11 ,откуда 0=С . Тогда искомый частный интеграл уравнения (1.73)имеет вид
222 ln xxy = .Учитывая (1.74), можем утверждать, что решение задачи Коши (1.73)–
(1.74) имеет вид2ln xxу = .
Пример 1.14. Решить задачу Коши:
2yxyy =+′ , (1.78)
21
1 ==xy . (1.79)
Решение. Уравнение (1.78) является уравнением Бернулли ( 2=a ).Найдем его общее решение. Положим uvy = . Уравнение (1.78) приобре-тает вид
22vux
uvuvvu =+′+′ . (1.80)
Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению
0=+′xvv .
При решении примера 1.5 показано, что этому уравнению удовлетво-
ряет решение x
v 1= . Тогда из (1.80) получаем уравнение для нахожде-
ния )(xu :
xuu 12=′
или
xdx
udu
=2. (1.81)
Интегрируя (1.81), получаем
Cxu
+=− ln1.
Тогда, поскольку yxvyu == , общий интеграл уравнения (1.78) име-
ет вид
Cxxy
−−= ln1. (1.82)
Подставим начальные значения x и y из (1.79) в общий интеграл(1.82). Получим
С−=2 .Тогда решение задачи (1.78)–(1.79) имеет вид
)ln2(1
xxy
−= .
Пример 1.15. Решить задачу Коши:
42 yxyy+
=′ , (1.83)
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
30 31
Обыкновенные дифференциальные уравнения
12 ==xy . (1.84)
Решение. Прежде всего определим тип уравнения (1.83). Для этогопредставим его в виде
yyx
dydx 42 +
=
или
32 yyxxy =−′ . (1.85)
Уравнение (1.85) является линейным относительно функции)(yxx = .
Ищем его общее решение в виде uvx = . Тогда из (1.85) следует, чтоо
32 yyuvuvvu =−′+′ . (1.86)
Выбираем функцию v , удовлетворяющую уравнению
02=−′
yvv .
Тогда
ydy
vdv 2= .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его част-ное решение:
∫∫ =y
dyvdv 2 ,
yv ln2ln = ,
2yv = . (1.87)
Подставим (1.87) в (1.86) и получим уравнение для определения)(xu
32 yyu =′или
yu =′ .Его общее решение имеет вид
Cyyu +=2
)(2
.
Тогда общее решение уравнения (1.85) запишется следующимобразом:
24
2)( Cyyyx += . (1.88)
Подставим в (1.88) начальные значения x и y из (1.84). Получим
С+=212 ,
откуда 23
=С . Таким образом, частный интеграл для задачи Коши (1.83)–
(1.84) имеет вид
24
23
2yyx += .
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
32 33
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГОПОРЯДКА
Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков:
0),,,( =′′′ yyyxF . (2.1)
Здесь )(xyy = .Решением уравнения (2.1) на промежутке X называется дваж-
ды дифференцируемая функция )(xyy = , которая при подстановкеев уравнение (2.1) обращает его в тождество относительно аргумента хна промежутке X .
Во многих случаях уравнение (2.1) может быть разрешено относи-тельно старшей производной. Тогда оно принимает вид
( )yyxfy ′=′′ ,, . (2.2)
Именно такие уравнения мы и будем рассматривать.Рассмотрим пример уравнения второго порядка
0=+′′ yy . (2.3)
Здесь легко «угадать» решения: xyxy cos и sin == . Нетрудно так-же догадаться, что любая функция вида
xCxCy cossin 21 += ,где 21 и CC – любые числа, также будет решением данного уравнения.
Ещё один пример:2xy =′′ . (2.4)
Любая функция вида 21
4
12CxCxy ++= , где 21 и CC – числа, являетсяся
решением этого уравнения. Действительно,
( ) .01212
2221
4
21
4xxCxCxCxCxy =+=″++
″
=
″
++=′′
Итак, уравнение второго порядка, так же как и уравнение первогопорядка, имеет множество решений. В отличие от уравнений первого по-рядка множество решений здесь определяется не одним параметром C , адвумя параметрами: 21 и CC .
Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества ре-шений, для уравнения (2.2) задают начальные условия
10 00)( ,)( bxybxy xxxx =′= == (2.5)
(или 1000 )( ,)( bxybxy =′= ). Функция ( )yyxf ′,, должна быть определе-
на при 100 ,, bybyxx =′== .Для уравнения второго порядка (так же как и для уравнения первого
порядка) введем понятия общего и частного решений.Общим решением уравнения (2.2) называется семейство функ-
ций ),,( 21 CCxy ϕ= , зависящих от независимой переменной x и двуххпроизвольных постоянных 21 и CC , обладающее следующими свой-ствами:
1) для любых значений 02
01 , CC функция ),,( 0
201 CCxy ϕ= является
решением (2.2);2) для любых трёх чисел 100 , , bbx , таких, что значение
( )100 ,, bbxf определено, существуют такие значения 02
01 , CC , что
),,( 02
01 CCxy ϕ= удовлетворяет начальным условиям (2.5).
Частным решением уравнения (2.2) называется решение, полу-ченное из общего решения при конкретных значениях 21 и CC .
Задача Коши для уравнения (2.2) состоит в нахождении его част-ного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.5).
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
34 35
Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижениепорядка
Приведем некоторые типы уравнений второго порядка, которые мо-гут быть сведены к уравнениям первого порядка.
2.1.1. Простейшие уравнения
Общий вид простейшего уравнения таков:
)(xfy =′′ . (2.6)
Общее решение этого уравнения получается последовательным ин-тегрированием. Запишем (2.6) в виде уравнения первого порядка отно-сительно )(xy ′ :
)()( xfy =′′ (2.7)
и получим общее решение этого простейшего уравнения:
∫ +=′ 1)()( Cdxxfxy . (2.8)
Равенство (2.8) снова является простейшим уравнением первогопорядка. Его общее решение имеет вид
( ) 21)()( CdxCdxxfxy ++= ∫ ∫или
( ) 21)()( CxCdxdxxfxy ++= ∫ ∫ . (2.9)
Приведенное ранее в качестве примера уравнение (2.4) является про-стейшим уравнением.
Пример 2.1. Дано уравнение
xy 2cos=′′ . (2.10)
А. Найти его общее решение.Б. Решить задачу Коши для уравнения (2.10) с начальными усло-
виями
1y ,1 00 −=′= == xxy . (2.11)
РешениеА. Последовательно интегрируем (2.10):
∫ +=′ 12cos)( Cxdxxyили
12sin21)( Cxxy +=′ ; (2.12)
∫ ++= 21)2sin21()( CdxCxxy
или
212cos41)( CxCxxy ++−= . (2.13)
Б. Подставим значения yyx ′и, из начальных условий (2.11) после-довательно в (2.12) и (2.13). Из (2.12) получим
101 C+=− ,откуда 11 −=C . Из (2.13) получим
2411 C+−= ,
откуда 45
2 =C .
Итак, решение задачи Коши (2.10)–(2.11) имеет вид
452cos
41)( +−−= xxxy .
2.1.2. Уравнения, в которых отсутствует искомая функция
Это уравнение имеет вид
),( yxfy ′=′′ . (2.14)
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
36 37
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Введём новую функцию).()( xyxz ′= (2.15)
Тогда )()( xzxy ′=′′ и уравнение (2.14) можно рассматривать как урав-нение первого порядка относительно )(xz
),( zxfz =′ .Пусть ),( 1Cxz ϕ= является общим решением этого уравнения. Тогда, учи-тывая (2.15), имеем
),( 1Cxy ϕ=′ . (2.16)
Мы получили простейшее уравнение первого порядка для определения)(xy . Общее решение уравнения (2.16) имеет вид
21),()( CdxCxxy +ϕ= ∫ . (2.17)
Это и есть общее решение уравнения (2.14).Пример 2.2. Дано уравнение
xy
xy
′−=′′ 3
1 . (2.18)
А. Найти его общее решение.Б. Решить задачу Коши для уравнения (2.18) с начальными усло-
виями2y ,1 11 =′= == xxy . (2.19)
РешениеА. Введём )()( xyxz ′= . Тогда )()( xzxy ′=′′ , и (2.18) можно записатьть
в виде
3
1xx
zz =+′ . (2.20)
Мы получили линейное уравнение первого порядка относительно)(xz . Решаем его методом Бернулли:
uvz = ,
31xx
uvuvvu =+′+′ . (2.21)
Выбираем функцию v так, чтобы
0=+′xvv .
Это уравнение имеет решение (см. решение уравнения (1.32)из примера 1.5)
xv 1= .
Подставляем его в (2.21). Получаем
311xx
u =′
или
21x
u =′ .
Тогда
11)( Cx
xu +−=
и
+−= 1
11)( Cxx
xz
или
.1)( 12 x
Cx
xz +−=
Отсюда
.1)( 12 x
Cx
xy +−=′ (2.22)
Интегрируем простейшее уравнение (2.22):
∫ +
+−= 2
12
1)( Cdxx
Cx
xy
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
38 39
Обыкновенные дифференциальные уравнения
или
21 ln1)( CxCx
xy ++= . (2.23)
Б. Подставим значения yyx ′и, из начальных условий (2.19) после-довательно в (2.22) и (2.23). Получим из (2.22)
112 C+−= ,откуда 31 =C . Получим из (2.23)
211 C+= ,откуда 02 =C . Решение задачи Коши (2.18), (2.19) имеет вид
xx
xy ln31)( += .
Замечание. В уравнениях, допускающих понижение порядка,при решении задачи Коши значения одной из двух произвольных посто-янных можно находить сразу после первого интегрирования.
2.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной
Такие уравнения имеют вид
),( yyfy ′=′′ . (2.24)
Примем y за новую независимую переменную и введем новую фун-кцию этой переменной yyp ′=)( . Пользуясь правилом дифференциро-вания сложной функции, получим:
ppypypyyy yxyxxxxx ′=′′=′=′′=′′=′′ ))(()( .
Теперь уравнение (2.24) превратилось в уравнение первого порядка
( )( )ypppyfpp y ==′ ),( . (2.25)
Предположим, что нам известно его общее решение
( )1,Cyp Ψ= . (2.26)
Равенство (2.26) является уравнением первого порядка относитель-но функции ( )xyy = :
( ) ( )( )xyyCyy =Ψ=′ 1, . (2.27)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:
( ) 21,
CxCy
dy+=
Ψ∫ . (2.28)
Получен общий интеграл уравнения (2.24).Пример 2.3 [4]. Решить уравнение
( ) ( )( )xyyy
yy =′
−=′′2
. (2.29)
Решение. Вводим новую независимую переменную y и новую фун-кцию xyyp ′=)( . Тогда ppy y′=′′ , и (2.29) принимает вид
( )( )yppy
ppp ==+′ 02
(2.30)
или
0=
+′
yppp .
Отметив, что 0=p (т. е. const=y ) является решением (2.30), рас-смотрим теперь уравнение
0=+′ypp . (2.31)
Уравнение (2.31) является уравнением с разделяющимися перемен-ными. Приведем (2.31) к виду
ydy
pdp
−= (2.32)
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
40 41
Обыкновенные дифференциальные уравнения
и проинтегрируем (2.32):
)0(ln 11 ≠+−= ∫∫ CCy
dyp
dp.
Тогда)0(lnlnln 11 ≠+−= CCyp ,
откуда
yCp 1= . (2.33)
Учитывая, что xyp ′= , перепишем (2.33) следующим образом:
( )( )xyyy
Cy ==′ 1 . (2.34)
Это тоже уравнение с разделяющимися переменными. Отделим пе-ременные в (2.34)
dxCydy 1=и снова проинтегрируем:
21 CxCydy +=∫ .Отсюда
212 CxCy +=
или
21 CxCy +±= . (2.35)
Получено общее решение уравнения (2.29). Заметим, что решениеconst=y входит в общее решение (2.35).Пример 2.4 [3]. Найти общий интеграл (или общее решение) урав-
нения
( ) ( )( )xyyyyy =′+
=′′2
1 2
. (2.36)
Решение. Вводим новую независимую переменную y и новую фун-кцию xyyp ′=)( . Тогда ppy y′=′′ и (2.36) принимает вид
( )( )yppyppp =
+=′
21 2
. (2.37)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведем его к виду
ydy
ppdp
=+ 21
2
и проинтегрируем:
)0(ln12
112 ≠+=+ ∫∫ СC
ydy
ppdp
.
Тогда
( ) )0(lnln1ln 112 ≠+=+ СCyp
или
)0(1 112 ≠=+ СyCp . (2.38)
Из (2.38) и замены xyyp ′=)( следует, чтоо
11 −±=′ yCy . (2.39)Интегрируем (2.39):
21 1
CxyC
dy+±=
−∫или
)0(12121
1≠+±=− СCxyC
C.
Таким образом, найден общий интеграл исходного уравнения (2.36)
( ) )0(44 12
211 ≠+±=− СCxCyC .
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
42 43
Обыкновенные дифференциальные уравнения
2.1.4. Примеры различных уравнений, допускающих понижениепорядка
Пример 2.5. Решить задачу Коши
12 −′=′′ yy , (2.40)
2,0 00 =′= == xx yy . (2.41)
Решение. Уравнение (2.40) не содержит ни аргумента, ни искомойфункции. Положим )()( xzxy =′ . Тогда )()( xzxy ′=′′ , и уравнение (2.40)приобретает вид
12 −=′ zzили
dxzdz
=−12
. (2.42)
Общий интеграл уравнения (2.42) имеет вид
11 Cxz +=− . (2.43)
Подставим в (2.43) начальные значения yz ′= и x, доставляемыеформулами (2.41). Получим
11 C= .Подставив значение 11 =C в (2.43), получим уравнение первого по-
рядка11 +=−′ xy
или2)1(1 +=−′ xy .
Его общее решение имеет вид
( )2
3
31)( Cxxxy ++
+= .
Снова используем формулы (2.41). Получим
231)0(0 Cy +== ,
откуда
31
2 −=С .
Итак, решение задачи Коши (2.40)–(2.41) имеет вид
( )31
31)(
3−+
+= xxxy
или
xxxxy 231)( 23 ++= .
Пример 2.6 [3]. Найти общее решение уравнения
xy
xyy
′′=′′ ln . (2.44)
Решение. Уравнение (2.44) не содержит искомой функции. Введемфункцию )()( xyxz ′= . Уравнение (2.44) приобретает вид
xz
xzz ln=′ . (2.45)
Это однородное уравнение. Осуществим замену xzu = . Тогда uxz =
и uxuz +′=′ . Уравнение (2.45) преобразуется к виду)1(ln −=′ uuxu
или
xdx
uudu
=− )1(ln
. (2.46)
Проинтегрировав (2.46), получим
)0(ln)1(ln 11 ≠+=
− ∫∫ CCx
dxuu
du
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
44 45
Обыкновенные дифференциальные уравнения
или)0(ln1lnln 11 ≠=− CxCu .
ОтсюдаxCu 11ln =−
или11e += xCu .
Тогда11e += xCxz
или11e +=′ xCxy . (2.47)
Уравнение (2.47) – простейшее уравнение первого порядка. Найдем)(xy непосредственным интегрированием. Получаем
211e)( Cdxxxy xC += ∫ + .
Общее решение (2.44) имеет вид
+
+−=
++
.2
e
,e1e1
)(
2
2
21
21
1
1
11
Cx
CC
xCxy
xCxC
Пример 2.7. Решить задачу Коши:
( ) ( )( )xyyyyy =−′
=′′1
4 2
, (2.48)
1,232
32 =′=
== xxyy . (2.49)
Решение. Уравнение (2.48) не содержит аргумента x. Будем рас-сматривать переменную y как новую независимую переменную. Вве-дем новую функцию xyyp ′=)( . Тогда ppy y′=′′ , и уравнение (2.48) при-нимает вид
( )( )yppy
ppp =−
=′1
4 2
. (2.50)
Отметим, что 0=p является решением уравнения (2.50). Ононе удовлетворяет начальным условиям (2.49). Так что интересующее насрешение задачи Коши удовлетворяет уравнению
14−
=′y
pp
или
pdp
ydy
=−1
4 . (2.51)
Проинтегрируем (2.51) и получим
1ln1ln4 Cpy +=− . (2.52)
Подставим начальные значения y и p из условий (2.49). Получим,что 01 =C . Тогда из (2.52) следует, чтоо
4)1( −=′ yyили
dxy
dy=
− 4)1(. (2.53)
Интегрируя (2.53), получаем
.)1(3
123 Сx
y+=
−− (2.54)
Подставляя значения x и y из условий (2.49) в (2.54), получаем,что C2 = –1. Таким образом, искомое решение имеет вид
3 3311−
−=x
y .
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
46 47
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Общий вид линейного дифференциального уравнения второго по-рядка таков:
)()()( xfyxqyxpy =+′+′′ . (3.1)
Если 0)( ≡xf , то уравнение (3.1) называется однородным. В про-тивном случае оно называется неоднородным.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
0)()( =+′+′′ yxqyxpy . (3.2)
3.1. Свойство суперпозиции решений линейного однородногоуравнения
Теорема 1. Если функции )( и )( 21 xyxy являются решениями ли-нейного однородного уравнения (3.2) ) на промежутке X , то любая фун-кция вида
)()()( 2211 xyCxyCxy += , (3.3)
где 21 и CC – произвольные постоянные, тоже является решением урав-нения (3.2) на промежутке X.
Доказательство. Вычислим первую и вторую производные от фун-кции (3.3):
).()()(),()()(
2211
2211
xyCxyCxyxyCxyCxy
′′+′′=′′′+′=′
Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения (3.2).Получим
=+′+′′ )()()()()( xyxqxyxpxy)()( 2211 xyCxyC+′+′++′′+′′=
)).()(()())()()((
2211
2211
xyCxyCxqxyCxyCxp
+++′+′+
(3.4)
Перегруппируем слагаемые в правой части равенства (3.4). Тогда=+′+′′ )()()()()( xyxqxyxpxy
{ }++′+′′= )()()()()( 1111 xyxqxyxpxyC{ })()()()()( 2222 xyxqxyxpxyC +′+′′+ . (3.5)
Выражения, стоящие в фигурных скобках в правой части (3.5),обращаются в ноль, поскольку )( и )( 21 xyxy являются решениямиуравнения (3.2). Следовательно, при любых 21 и CC справедливоотождество
0)()()()()( ≡+′+′′ xyxqxyxpxy ,и функция (3.3) при любых 21 и CC является решением (3.2). Теоремаадоказана.
3.2. Вронскиан и его свойство
Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть)( и )( 21 xyxy – два его частных решения на промежуткее X .
Определитель вида
)()()()()()()()(
)( 122121
21 xyxyxyxyxyxyxyxy
xW ′−′=′′
=
называется вронскианом решений )(, )( 21 xyxy (по имени польскогооматематика Ю. Вронского). Конкретный вид функции )(xW определяет-ся видом решений )( и )( 21 xyxy . Однако, каковы бы ни были
)( и )( 21 xyxy , функциям )(xW присуще одно общее свойство.о.Теорема 2. Либо вронскиан )(xW тождественно равен нулю при
всех x из промежутка X , либо он ни при одном значении x в нольльне обращается.
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
48 49
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Доказательство. Запишем )(xW в виде
)()()()()( 1221 xyxyxyxyxW ′−′= (3.6)
и продифференцируем эту функцию:
=′′−′′−′′+′′=′ )()()()()()()()()( 12122121 xyxyxyxyxyxyxyxyxW
= )()()()( 1221 xyxyxyxy ′′−′′ . (3.7)
Составим теперь уравнение, связывающее )(xW и )(xW ′ . Для это-о-го проведем следующие рассуждения. Справедливы тождества
0)()( 111 =+′+′′ yxqyxpy , (3.8)
0)()( 222 =+′+′′ yxqyxpy . (3.9)
Умножим тождество (3.8) на ( )2y− , а (3.9) – на 1y и сложим полу-ченные тождества. В результате получим
0))(()( 21122112 =′+′−+′′+′′− yyyyxpyyyy .
Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что )(xW удовлетворяет урав-нению
0)()()( =+′ xWxpxW . (3.10)
Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяю-щимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10)в виде
)()()( xWxpdx
xdW−=
или
dxxpxWxdW )()()(
−= .
Отсюда
)0(ln)()()(
≠+−= ∫∫ CCdxxpxWxdW
(3.11)
или
)0(elnln)(ln )( ≠+= ∫− CCxW dxxp . (3.12)Тогда
( ) ( )∫−= dxxpCxW e . (3.13)
Заметим, что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны предположить,что 0≠C . Однако в итоговой формуле (3.13) это ограничение можноснять, так как 0)( ≡xW очевидным образом является решением уравне-ния (3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо функция )(xW нигдев ноль не обращается (при 0≠C ), либо 0)( ≡xW (при 0=C ). Теоремаадоказана.
Ясно, что обращение или необращение вронскиана )(xW в ноль за-висит от того, на каких решениях он построен. В следующем пунктемы выделим в отдельные классы пары решений )(, )( 21 xyxy , для кото-рых 0)( ≡xW , и пары, для которых )(xW нигде не обращается в ноль.
3.3. Линейно зависимые и линейно независимые частныерешения линейного однородного уравнения
Пусть )( и )( 21 xyxy – какие-либо частные решения однородногооуравнения (3.2) на промежутке X. Будем говорить, что )( и )( 21 xyxy яв-ляются линейно независимыми на промежутке X, если
const)()(
2
1 ≡/xyxy
)( Xx∈ . (3.14)
В противном случае, т. е. если
)(const)()(
2
1 Xxxyxy
∈≡ , (3.15)
эти решения называются линейно зависимыми на промежутке X.
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
50 51
Обыкновенные дифференциальные уравнения
В качестве примера рассмотрим снова уравнение (2.3)0)()( =+′′ xyxy .
Это линейное однородное уравнение второго порядка. Легко прове-рить, что у него есть следующие частные решения:
xxy sin)(1 = ,
xxy cos)(2 = ,
xxy sin5)(3 = .Решения )( и )( 21 xyxy являются линейно независимыми. Действи-
тельно,
tg)()(
2
1 = xxyxy
const≡/ .
Точно так же линейно независимыми являются решения)( и )( 32 xyxy . А решения )( и )( 31 xyxy являются линейно зависимыми,
так как
5)()(
1
3 =xyxy
.
Теорема 3. Для того чтобы частные решения )( и )( 21 xyxy линей-ного однородного уравнения (3.2) были линейно независимымина промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы соответствую-щий им вронскиан )(xW нигде на промежутке X не обращался в ноль.
Доказательство. Рассмотрим функцию )()(
2
1
xyxy
и продифференци-
руем ее:
)()(
)()()()()(
)()(
22
22
2121
2
1
xyxW
xyxyxyxyxy
xyxy −
=′−′
=′
. (3.16)
Необходимость. Пусть решения )( и )( 21 xyxy линейно независи-мы, т. е. справедливо соотношение (3.14). В силу соотношения (3.14) мо-
жем утверждать, что ′
)()(
2
1
xyxy
не равна тождественно 0 при Xx∈ .
(Известно, что если для какой-либо функции )(xΦ справедливо тожде-ство 0)( ≡Φ′ x при ),( bax∈ , то функция const)( ≡Φ x при ),( bax∈ .) Нотогда из (3.16) следует, что вронскиан )(xW ни при каком Xx∈ в нольльне обращается.
Достаточность. Пусть )(xW нигде на промежутке X в нольльне обращается. Воспользуемся снова формулой (3.16). Из нее следует, что
).(0)()(
2
1 Xxxyxy
∈≡/′
.
Следовательно,
const)()(
2
1 ≡/xyxy
( )Xx∈ .
Теорема доказана.
3.4. Структура общего решения линейного однородногоуравнения
Теорема 4. Общее решение линейного однородного уравнения (3.2)имеет вид
)()()( 2211 xyCxyCxy += , (3.17)
где 21 и CC – произвольные постоянные, а )( и )( 21 xyxy – любые ли-нейно независимые частные решения уравнения (3.2).
Доказательство. Исходя из определения общего решения, нужнопоказать:
1) функция (3.17) при любых 21 и CC удовлетворяет уравнению (3.2);
2) для любых 100 , , bbx найдутся конкретные значения 02
01 , CC та-а-
кие, что функция )( )()( 2021
01 xyCxyCxy += будет удовлетворять началь-
ным условиям (2.5).Справедливость первого из этих утверждений непосредственно сле-
дует из свойства суперпозиции решений.Покажем справедливость утверждения 2). Рассмотрим начальные
условия (2.5):
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
52 53
Обыкновенные дифференциальные уравнения
10 00)( ,)( bxybxy xxxx =′= == .
Подставим значение 0x в решение (3.17) и его производную и по-требуем выполнения условий (2.5). Получим систему двух линейных ал-гебраических уравнений с двумя неизвестными 21 и CC вида
=′+′=+
.)()(,)()(
1022011
0022011
bxyCxyCbxyCxyC
(3.18)
Значения )(),(),(),( 02010201 xyxyxyxy ′′ являются её коэффици-ентами. Заметим, что определителем матрицы системы (3.18) являетсявронскиан
)()()()(
)(0201
02010 xyxy
xyxyxW
′′= .
Так как решения )( и )( 21 xyxy линейно независимы, то 0)( 0 ≠xW .Следовательно, система (3.18) всегда имеет единственное решение.
Его можно получить по формулам Крамера:
)( ;
)( 0
202
0
101 xW
CxW
C ∆=
∆= , (3.19)
где
)()(
021
0201 xyb
xyb′
=∆ , 101
0012 )(
)(bxybxy
′=∆ .
Функция
)()()( 2021
01 xyCxyCxy +=
удовлетворяет и уравнению (3.2), и начальным условиям (2.5). Теоремадоказана.
3.5. Линейные однородные уравнения с постояннымикоэффициентами
Рассмотрим частный случай уравнения (3.2), когда )( и )( xqxp по-стоянны, т. е. рассмотрим уравнение
0=+′+′′ qyypy , (3.20)где qp и – числа.
Покажем, что для уравнения (3.20) всегда можно найти пару линей-но независимых частных решений и, следовательно, всегда можно пост-роить общее решение.
Будем искать частные решения уравнения (3.20) в виде
kxy e= , (3.21)
где k – число. Заметим, что kxky e=′ , kxky e2=′′ . Подставим решениев виде (3.21) и его производные в уравнение (3.20). Получим
0eee2 =++ kxkxkx qpkkили
0)(e 2 =++ qpkkkx . (3.22)
Равенство (3.22) превращается в тождество лишь тогда, когда k яв-ляется решением квадратного уравнения
02 =++ qpkk . (3.23)
(Оно получено из (3.20) заменой производных )2,1,0()( =jy j на степе-
ни jk .)Уравнение (3.23) называется характеристическим уравнением для
дифференциального уравнения (3.20).Итак, если k является корнем квадратного уравнения (3.23), то фун-
кция kxy e= является решением дифференциального уравнения (3.20).Известна формула, по которой вычисляются решения квадратного
уравнения (3.23):
242
2,1qpp
k−±−
= . (3.24)
Заметим, что уравнение (3.23) может иметь два различных корня(если qp 42 > ), два одинаковых корня (при qp 42 = ) и может не иметь
действительных корней (когда qp 42 < ).
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
54 55
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рассмотрим каждый из трёх случаев отдельно.1. qp 42 > . Тогда 21 kk ≠ и у уравнения (3.20) есть два решения:
xky 1e1 = и xky 2e2 = .Они линейно независимы, так как
conste )(
2
1 21 ≠= − xkk
yy
.
Следовательно, в этом случае общее решение уравнения (3.20)имеет вид
xkxk CCxy 21 ee)( 21 += .
2. qp 42 = . Тогда 221pkk −== , и говорят, что уравнение (3.23) име-
ет один двукратный корень. В этом случае мы получаем с помощью нашегопредшествующего рассуждения лишь одно решение уравнения (3.20):
xp
y 21 e
−= .
Покажем, что в этом случае функция
xp
xy 22 e
−=
также является решением (3.20). Действительно,
xp
xpxy 22 e)
21()(
−−=′ ,
xp
xppxy 22
2 e)4
()(−
+−=′′ .
Тогда
+−++−=+′+′′
−qxxppxppqypy
xp
24e
222
22 .
Поскольку в данном случае 4
2pq = , легко установить, что выраже-
ние, стоящее в скобках, обращается в ноль и, следовательно, )(2 xy удов-летворяет уравнению (3.20).
Решения )(1 xy и )(2 xy линейно независимы. Общее решение (3.20)имеет вид
xp
xCCxy 221 e)()(
−+= .
3. qp 42 < . В этом случае уравнение (3.23) не имеет корней в облас-ти вещественных чисел.
Введём в рассмотрение числа
2p
−=α , 02
4 2
≠−
=βpq (3.25)
и покажем, что функции
xxy x β= α sine)(1 , xxy x β= α cose)(2
являются решениями (3.20). Рассмотрим )(1 xy и вычислим её производ-ные
xxxy xx ββ+βα=′ αα cosesine)(1 ,
xxxy xx βαβ+ββ−α=′′ αα cose2sine)()( 221 .
Тогда
=β+ββ+βα+βαβ+ββ−α=
=+′+′′α }sincossincos2sin){(e 22
11
xqxpxpxx
qypyx
}cos)2(sin){(e 22 xpxqpx ββ+αβ+β+α+β−α= α .Рассмотрим коэффициенты, стоящие в фигурных скобках при xβsin
и при xβcos , и вычислим их с учетом (3.25):
0244
22222 =+−+−=+α+β−α qppqpqp ,
0)2(2 =+αβ=β+αβ pp .
Таким образом, выражение, стоящее в фигурных скобках, обращается вноль и, следовательно, )(1 xy является решением (3.20). Точно так же можнопоказать, что )(2 xy является решением (3.20). Решения )(1 xy и )(2 xy линей-но независимы. Общее решение (3.20) в этом случае имеет вид
xCxCxy xx β+β= αα cosesine)( 21 .
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
56 57
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Замечания: 1. Если характеристическое уравнение (3.23) имеет двавещественных корня, то эти корни называются простыми (в отличиеот двукратного корня).
2. В случае, когда характеристическое уравнение (3.23) не имеет ве-щественных корней, говорят о его комплексных корнях β±α i ,
где 12 −=i , а α и β определяются по формулам (3.25). Арифметическиедействия сложения и умножения над комплексными числами осуществ-ляются как действия над многочленами относительно i с учетом того,что 12 −=i . Так,
( ) ( ) ( ) ( ) 02222 =β+αβ±+α+β−α=+β±α+β±α ipqpqipi .
Пример 3.1. Найти общее решение уравнения
076 =−′+′′ yyy . (3.26)
Решение. Составим характеристическое уравнение
0762 =−+ kk .
Оно имеет корни 11 =k , 72 −=k (случай 1). Общее решение (3.26)имеет вид
xx CCxy 721 ee)( −+= .
Пример 3.2. Найти общее решение уравнения
0252 =+′+′′ yyy . (3.27)
Решение. Отметим сперва, что уравнение (3.27) формально отлича-ется от уравнения (3.20) тем, что коэффициент при y ′′ у него отличен от 1.В этом случае можно поделить уравнение на коэффициент при y ′′и привести его к виду (3.20). Можно поступить иначе: получить для негоалгебраическое характеристическое уравнение относительно k , заменяя
производные )2,1,0()( =jy j на степени jk , и решать его по формулам,составленным для полного (а не приведённого, как (3.23)) квадратногоуравнения. Составим характеристическое уравнение
0252 2 =++ kk .
Найдём его корни:
−
−=
−±−= .
21
;2
416255
2,1k
Общее решение (3.27) имеет вид
22
21 ee)(
xx CCxy
−− += .Пример 3.3. Найти общее решение уравнения
016249 =+′+′′ yyy . (3.28)
Решение. Составляем характеристическое уравнение
016249 2 =++ kk .
Оно имеет один двукратный корень 34
21 −== kk (случай 2).Общее решение уравнения (3.28) имеет вид
xxCCxy 3
4
21 e)()(−
+= .Пример 3.4. Найти общее решение уравнения
0204 =+′−′′ yyy . (3.29)
Решение. Составляем характеристическое уравнение02042 =+− kk ,
в котором 20,4 =−= qp . Это уравнение не имеет вещественных корней,
так как 0801642 <−=− qp (случай 3). Введём числа βα и из (3.25):
22=−=α
p, 4
21680
24 2
=−
=−
=βpq
.
Общее решение уравнения (3.29) имеет вид
xCxCxy xx 4cose4sine)( 22
21 += .
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
58 59
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пример 3.5. Решить задачу Коши:
084 =+′+′′ yyy , (3.30)00 ==xy , 20 =′
=xy . (3.31)
Решение. Найдём сначала общее решение уравнения (3.30). Соста-вим его характеристическое уравнение
0842 =++ kk , (3.32)
в котором 8,4 == qp . Уравнение (3.32) не имеет вещественных корней,
поскольку 0321642 <−=− qp (случай 3). Введём числа
22
−=−=αp
, 22
4 2
=−
=βpq .
Общее решение имеет вид
xCxCxy xx 2cose2sine)( 22
21
−− += .Подставим в него значения yyx ′и, из начальных условий (3.31).
Для этого сначала найдём его производную:
=−+−−=′ − )2sin22cos22cos22sin2(e)( 21212 xCxCxCxCxy x
}2cos)22(2sin)22{(e 21212 xCCxCCx −+−−= − .
Далее:
20)0( Cy == ,
21 222)0( CCy −==′ ,откуда .0 ,1 21 == CC Решение задачи Коши (3.29)–(3.30) имеет вид
xxy x 2sine)( 2−= .Пример 3.6. Решить задачу Коши:
065 =+′+′′ yyy , (3.33)
10 ==xy , 20 =′=xy . (3.34)
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид0652 =++ kk .
Оно имеет два корня: 21 −=k , 32 −=k . Общее решение (3.33)имеет вид
xx CCxy 32
21 ee)( −− += .
Вычисляем его производнуюxx CCxy 3
22
1 e3e2)( −− −−=′ .Подставляем в общее решение и его производную значения yyx ′и,
из начальных условий (3.34):
211)0( CCy +== ,
21 322)0( CCy −−==′ .Получена система уравнений для определения 21 и CC
=−−=+
.232;1
21
21
CCCC
Эквивалентная (равносильная) система примет вид
=−=+
,4;1
2
21
CCC
откуда 51 =C , 42 −=C .Решение задачи Коши (3.33), (3.34) имеет вид
xxxy 32 e4e5)( −− −= .Пример 3.7. Решить задачу Коши:
096 =+′+′′ yyy , (3.35)
10 ==xy , 50 −=′=xy . (3.36)
Решение. Найдем сперва общее решение уравнения (3.35). Соста-вим его характеристическое уравнение
0962 =++ kk . (3.37)
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
60 61
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
).0)(()()()( ≡/=+′+′′ xfxfyxqyxpy (4.1)
4.1. Структура общего решения линейного неоднородногоуравнения
Пусть )(~ xy – какое-либо частное решение уравнения (4.1), т. е. спра-ведливо тождество
)(~)(~)(~ xfyxqyxpy ≡+′+′′ . (4.2)
Теорема 5. Общее решение линейного неоднородного уравнения(4.1) имеет вид
)(~)()( 0 xyxyxy += , (4.3)
где )(0 xy – общее решение соответствующего однородного уравнения
0)()( =+′+′′ yxqyxpy (4.4)
а )(~ xy – частное решение неоднородного уравнения (4.1).Доказательство. Учитывая вид общего решения однородного урав-
нения (4.4), нам нужно показать, что общее решение уравнения (4.1) име-ет вид
)(~)()()( 2211 xyxyCxyCxy ++= , (4.5)
где )(1 xy , )(2 xy – линейно независимые частные решения однородногооуравнения (4.4); 21 и CC – произвольные постоянные, а )(~ xy – частноеерешение уравнения (4.1). Так же, как доказательство теоремы 4об общем решении однородного уравнения (4.4), доказательство даннойтеоремы разделим на две части.
Оно имеет один двукратный корень: 321 −== kk (случай 2). Общее ре-шение (3.35) имеет вид
xx xCCxy 32
31 ee)( −− += .
Подставим в него значения yyx ′и, из начальных условий (3.36).Для этого найдем производную общего решения
xxx xCCCxy 32
32
31 e3ee3)( −−− −+−=′ .
Далее:
11)0( Cy == ,
2135)0( CCy +−=−=′ ,откуда 11 =C , 22 −=C . Решение задачи Коши (3.35)–(3.36) имеет вид
xx xxy 33 e2e)( −− −= .
62 63
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Единственное решение этой системы можно найти по формуламКрамера:
)()(~)()(~)(
,)(
)()(~)()(~
0
0101
0001
02
0
0201
0200
01 xW
xybxyxybxy
CxW
xyxybxyxyb
C′−′
−
=′′−
−
= , (4.10)
где )()()()(
)(0201
02010 xyxy
xyxyxW
′′= – значение вронскиана линейно независи-
мых частных решений )(1 xy , )(2 xy . Напомним, что 0)( 0 ≠xW , так какрешения )( и )( 21 xyxy линейно независимы. Таким образом, функция
(4.8), где постоянные 02
01 и CC вычислены по формулам (4.10), удовлет-
воряет начальным условиям (4.7).Теорема доказана.Существует несколько методов отыскания частных решений )(~ xy
уравнения (4.1). Один из них является универсальным, другие приспо-соблены к определенным видам правых частей уравнения (4.1).
4.2. Метод вариации произвольных постоянных(метод Лагранжа)
Этот метод позволяет находить частное решение )(~ xy неоднород-ного уравнения (4.1) всегда, когда известно общее решение )(0 xy одно-родного уравнения (4.4). Более того, он позволяет сразу получить общеерешение (4.1).
Итак, рассмотрим параллельно оба уравнения (4.1) и (4.4):
)()()( xfyxqyxpy =+′+′′ ,0)()( =+′+′′ yxqyxpy .
Пусть общее решение (4.4) известно и имеет вид
≠+= const
)()(
)()()(2
122110 xy
xyxyCxyCxy . (4.11)
1. Докажем, что при любых значениях постоянных 21 и CC функ-ция (4.5) удовлетворяет уравнению (4.1). Для этого дважды продиффе-ренцируем функцию (4.3) и подставим саму функцию и ее производныев левую часть уравнения (4.1). Получим:
=++′++′′+=+′+′′ )~)(()~)(()~()()( 000 yyxqyyxpyyyxqyxpy)~)(~)(~())()(( 000 yxqyxpyyxqyxpy +′+′′++′+′′= . (4.6)
Поскольку 0y – общее решение уравнения (4.4), где
)()( 22110 xyCxyCy += , выражение в первой скобке правой части равен-ства (4.6) обращается в ноль. С другой стороны, в силу того, что )(~ xyудовлетворяет тождеству (4.2), выражение во второй скобке правой час-ти (4.6) равно )(xf . Так что при любых значениях 21 , CC справедливоотождество
)()()( xfyxqyxpy ≡+′+′′ .
2. Докажем, что для любых начальных условий
00 )( bxy = , 10 )( bxy =′ (4.7)
найдутся такие значения 02
01 и CC , для которых функция
)(~)()()( 2021
01 xyxyCxyCxy ++= (4.8)
удовлетворяет начальным условиям (4.7). Для этого вычислим значениефункции (4.5) и ее производной при 0xx = и потребуем выполнения (4.7).Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно
21 и CC
′−=′+′−=+
).(~)()();(~)()(
01022011
00022011
xybxyCxyCxybxyCxyC
(4.9)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
64 65
Обыкновенные дифференциальные уравнения
=′′+′′=′+′
).()()()()(;0)()()()(
21
21
xfxyxBxyxAxyxBxyxA
(4.16)
Заметим, что определитель этой линейной относительно )(xA′и )(xB′ системы является вронскианом решений )(1 xy и )(2 xy уравне-ния (4.4)
)()()()(
21
21
xyxyxyxy
′′ .
Поскольку решения )(1 xy и )(2 xy линейно независимы, он всегдадаотличен от нуля. Система (4.16) имеет единственное решение, выражаю-щее )(xA′ и )(xB′ через з )(1 xy , )(2 xy и их производные. Оно может бытьнайдено по формулам Крамера.
Зная )(xA′ и )(xB′ , определим их первообразные:
∫ ′= dxxAxA )()( и ∫ ′= dxxBxB )()( .Частное решение (4.1) может быть записано в виде
( ) ( ) )()()()()(~21 xydxxBxydxxAxy ∫∫ ′+′= . (4.17)
Тогда общее решение (4.1) имеет вид
( ) ( ) )()()()()( 2211 xyCdxxBxyCdxxAxy ∫∫ +′++′= . (4.18)
Пример 4.1. Найти общее решение уравнения
xyy
sin1
=+′′ . (4.19)
Решение. Рассмотрим соответствующее уравнению (4.19) однород-ное уравнение
0=+′′ yy . (4.20)
Будем искать частное решение (4.1) в виде (4.11), заменив постоян-ные 21 и CC неизвестными пока функциями B(x)xA и)( .
Тогда)()()()()(~
21 xyxBxyxAxy += , (4.12)
где функции B(x)xA и)( подлежат дальнейшему определению. Их следу-ет выбрать так, чтобы решение )(~ xy удовлетворяло уравнению (4.1). Про-дифференцируем функцию (4.12). Получим
)()()()()()()()()(~2121 xyxBxyxAxyxBxyxAxy ′+′+′+′=′ .
Потребуем, чтобы выполнялось условие
0)()()()( 21 =′+′ xyxBxyxA . (4.13)
Найдем теперь вторую производную от функции (4.12), учитываядополнительные условия (4.13). Получим
)()()()()()()()()(~2121 xyxBxyxAxyxBxyxAxy ′′+′′+′′+′′=′′ .
Подставим )(~),(~),(~ xyxyxy ′′′ в левую часть уравнения (4.1). Получим
[ ][ ]
).()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
)(~)()(~)()(~
2121
222
111
xyxBxyxAxyxBxyxAxyxqxyxpxyxBxyxqxyxpxyxA
xyxqxyxpxy
′′+′′=′′+′′+++′+′′+++′+′′=
=+′+′′
(4.14)
Действительно, поскольку )(1 xy и )(2 xy есть частные решения од-д-нородного уравнения (4.4), выражения, стоящие в квадратных скобках вцепочке равенств (4.14), обращаются в ноль.
Требуется теперь, чтобы выполнялось равенство
).()()()()( 21 xfxyxBxyxA =′′+′′ (4.15)
Тогда )(~ xy будет решением уравнения (4.1).Итак, получена система уравнений для определения )(xA′ и )(xB′ .Ее составляют уравнения (4.13) и (4.15). Она имеет вид
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
66 67
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Его характеристическое уравнение
0232 =++ kkимеет два действительных корня: 1;2 21 −=−= kk . Следовательно,(4.24) имеет два линейно независимых частных решения
xx yy −− == eиe 22
1 ,
а его общее решение запишется следующим образом:xx CCxy −− += ee)( 2
210 .
Частное решение уравнения (4.23) ищем в видеxx xBxAxy −− += e)(e)()(~ 2 .
Для нахождения функций )(xA′ и )(xB′ составляем систему уравнений
+=′−′−
=′+′−−
−−
.1e
1e)(e)(2
;0e)(e)(
22
2
xxx
xx
xBxA
xBxA (4.25)
Ищем определитель системы (4.25):
.ee2eee2
ee)( 3332
2xxx
xx
xxxW −−−
−−
−−
=+−=−−
=
Тогда
1ee
e1e
1e0
e)( 2
2
2
3
+−=−
+=′ −
−
x
x
xx
xxxA ;
1ee
1e1e20e
e)( 22
2
23
+=
+−=′ −
−
x
x
xx
xxxB .
Можно решить систему (4.25) и по-другому. Сложим оба уравнениясистемы (4.25) и получим
1e1e)( 2
2
+=′− −
xxxA
Его общее решение имеет вид
xCxCxy cossin)( 210 += . (4.21)
Здесь xxy sin)(1 = и xxy cos)(2 = являются его линейно независимымичастными решениями.
Частное решение уравнения (4.19) ищем в виде
xxBxxAxy cos)(sin)()(~ += .
Для отыскания функций )(xA′ и )(xB′ составим систему (4.16):
=′−′
=′+′
.sin
1sin)(cos)(
;0cos)(sin)(
xxxBxxA
xxBxxA (4.22)
Определитель этой системы имеет вид
.1cossinsincos
cossin)( 22 −=−−=
−= xx
xxxx
xW
Тогда
xxx
xxA ctgsin
sin1
cos0)( =−−=′ ; 1
sin1cos0sin
)( −=−=′x
xx
xB .
Далее:xxBxxdxxA −=== ∫ )( ,sinlnctg)( ,
и общее решение уравнения (4.19) имеет вид.cos)(sin)sin(ln)( 21 xxCxCxxy −++=
Пример 4.2. Найти общее решение уравнения
.1e
123 2 +=+′+′′ xyyy (4.23)
Решение. Соответствующее (4.23) однородное уравнение имеет вид
.023 =+′+′′ yyy (4.24)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
68 69
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Ищем частное решение уравнения (4.26) в видеxx xxBxAxy 22 e)(e)()(~ += .
Для отыскания )(xA′ и )(xB′ составляем систему уравнений
( )
+=+′+′
=′+′
9ee2e)(e)(2
;0e)(e)(
2
2222
22
xxxBxA
xxBxAx
xxx
xx
или
( )
+=+′+′
=′+′
.9
121)()(2
;0)()(
2xxxBxA
xxBxA (4.28)
Определитель системы (4.28) имеет вид
.1212
1)( =
+=
xx
xW
Тогда
9219
10
)( 22 +
−=++
=′x
xx
x
xxA ,
91
91201
)( 22 +
=+
=′xx
xB .
Можно решить систему (4.28) по-другому. Первое уравнение системы(4.28) умножим на (–2) и сложим со вторым уравнением. Получим
91)( 2 +
=′x
xB
и подставим этот результат в первое уравнение системы (4.28).Находим первообразные функций )(xA′ и )(xB′ :
( )9ln21
9)( 2
2 +−=+
−= ∫ xdxx
xxA ,
или
1ee)( 2
2
+−=′
x
xxA .
Подставим полученный результат в первое уравнение системы (4.25)и найдем
1ee)( 2 +
=′x
xxB .
Ищем первообразные функций )(xA′ и )(xB′ :
( )1eln21
1e)1e(
21
1ee)( 2
2
2
2
2+−=
++
−=+
−= ∫∫ xx
x
x
x ddxxA ,
xx
x
x
x ddxxB earctg 1e)e(
1ee)( 22 =
+=
+= ∫∫ .
Общее решение уравнения (4.23) имеет вид
( ) ( ) xxxx CCxy −− ++
+−= eearctge1eln
21)( 2
221 .
Пример 4.3. Найти общее решение уравнения
.9
e44 2
2
+=+′−′′
xyyy
x
(4.26)
Решение. Составляем однородное уравнение
044 =+′−′′ yyy . (4.27)
Его характеристическое уравнение
0442 =+− kk
имеет один кратный корень 20 =k . Общее решение (4.27) имеет вид
xx xCCxy 22
210 ee)( += .
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
70 71
Обыкновенные дифференциальные уравнения
где )0()( 011
10 ≠++++= −− bbxbxbxbxQ nn
nnn – многочлен той жее
степени n, что и многочлен )(xPn , с коэффициентами nn bbbb ,,,, 110 − ,подлежащими дальнейшему определению.
Коэффициенты ),,1,0( nibi = многочлена )(xQn должны бытьтакими, чтобы функция )(~ xy удовлетворяла уравнению (4.29), поэтомудля их отыскания используют следующий алгоритм.
С помощью теоремы 6 устанавливается вид частного решения )(~ xy .Затем находятся производные )(~ xy ′ и )(~ xy ′′ . Решение )(~ xyи его производные с неопределенными пока коэффициентами подставля-
ются в уравнение (4.29) и обе его части сокращаются на xλe . Далее мыопределяем коэффициенты ),1,0,( nibi = исходя из тождественногооравенства двух многочленов, стоящих в левой и правой частях получен-ного равенства.
Пример 4.4. Найти общее решение уравнения
( ) .e354 xxyyy +=−′+′′ (4.31)
Решение. Общее решение ищем в виде yyy ~0 += . Неоднородному
уравнению (4.31) соответствует однородное уравнение
054 =−′+′′ yyy . (4.32)
Его характеристическое уравнение
0542 =−+ kk (4.33)
имеет корни 5,1 21 −== kk . Следовательно, общее решениеоднородного уравнения (4.32) имеет вид
xx CCxy 5210 ee)( −+= .
Обратимся теперь к правой части уравнения (4.31). Здесь3)(,1 +==λ xxPn , следовательно, 1=n . Поскольку у 1k=λ , частное ре-
шение уравнения (4.31) следует искать в виде
( ) ( ) xx BxAxBAxxxy ee)(~ 2 +=+= ,где коэффициенты A и B неизвестны.
3arctg
31
9)( 2
xx
dxxB =+
= ∫ .
Тогда общее решение уравнения (4.26) имеет вид
( ) xx xxCxCxy 22
221 e
3arctg
31e9ln
21)(
++
+−= .
4.3. Линейные дифференциальные уравнения со специальнымиправыми частями
Пусть функции )(xp и )(xq в левой части уравнения (4.1) являютсясяпостоянными. Тогда для определенных типов правых частей этого урав-нения вид частного решения заранее известен и нет необходимости при-менять метод вариации постоянных.
Рассмотрим здесь два варианта специальных правых частей.
I. Уравнение (4.1) имеет вид
xn xPqyypy λ=+′+′′ e)( , (4.29)
где )0()( 011
10 ≠++++= −− aaxaxaxaxP nn
nnn – многочлен степе-
í è n, а λ – вещественное число.Уравнению (4.29) соответствует однородное уравнение
0=+′+′′ qyypyс характеристическим уравнением
02 =++ qpkk . (4.30)
Теорема 6 (без доказательства).Уравнение (4.29) имеет частное решение y~ вида
λ
λ
λ
=λ
λ
λ
(4.30), корнем кратным является если,e)(
(4.30); корнем простым является если,e)(
;(4.30)корнемявляетсяне если,e)(
)(~
2 xn
xn
xn
xQx
xxQ
xQ
xy
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
72 73
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение. Чтобы решить задачу Коши, найдем сначала общее реше-ние уравнения (4.35) в виде yyy ~
0 += , а затем определим произвольныепостоянные так, чтобы выполнялись начальные условия (4.36).
Неоднородному уравнению (4.35) соответствует однородное урав-нение
084 =+′+′′ yyy (4.37)
с характеристическим уравнением
0842 =++ kk . (4.38)
Уравнение (4.38) не имеет вещественных корней )22( 2,1 ik ±−= . Вэтом случае 2,2 =β−=α и, следовательно, общее решение однородногооуравнения (4.37) имеет вид
xCxCxy xx 2cose2sine)( 22
210
−− += .Теперь по виду правой части уравнения (4.35) подберем )(~ xy . Здесь
1=n , 0=λ . Частное решение уравнения (4.35) ищем в видеBAxxy +=)(~ .
Тогда0)(~,)(~ =′′=′ xyAxy
и( ).8484 BAxAyyy ++=+′+′′
Так как должно выполняться тождество25848 +≡++ xBAAx ,
то справедлива система
=+=
.284;58
BAA
Отсюда устанавливаем, что
.161,
85
−== BA
Итак, общее решение (4.35) имеет вид
.161
852cose2sine)( 2
22
1 −++= −− xxCxCxy xx (4.39)
Чтобы определить A и B , подставим )(~ xy и его производныев исходное уравнение (4.31). Здесь при вычислении )(~ xy ′′ удобно вос-пользоваться формулой vuvuvuuv ′′+′′+′′=′′ 2)( .
Итак,
( )( ) ( )
( ) ( ) ,ee22e2)(~,ee2)(~
,e)(~
2
2
2
xxx
xx
x
BxAxBAxAxyBxAxBAxxy
BxAxxy
++++=′′+++=′
+=
и левая часть уравнения (4.31) принимает вид
( )( ) ( )( ){ }( ){ } .e226
2422541e
)(~5)(~4)(~2
x
x
ABAx
ABAxBxAx
xyxyxy
++=
=++++−++=
=−′+′′
Коэффициенты A и B должны быть такими, чтобы обе части урав-нения (4.31) были тождественно равны друг другу, т. е.
( ) 32612 +≡++ xABAx . (4.34)
Тождество (4.34) выполняется тогда и только тогда, когда слеваи справа стоят одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях x :
=+=
.326;112
ABA
Следовательно, 121
=A , 3617
=B , а .e3617
12)(~
2xxxxy
+=
Таким образом, общее решение уравнения (4.31) имеет вид
.e3617
12ee)(
25
21xxx xxCCxy
+++= −
Пример 4.5. Решить задачу Коши:
,2584 +=+′+′′ xyyy (4.35)
.1;1 00 −=′= == xx yy (4.36)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
74 75
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Последнее имеет два вещественных корня: 5,2 21 −== kk . Следо-вательно, общее решение однородного уравнения (4.42) имеет вид
xx CCxy 52
210 ee)( −+= . (4.44)
Теперь для нахождения частного решения )(~ xy обратимся к правой
части уравнения (4.41). Здесь 2)(,3 xxPn ==λ , следовательно, 2=n .
Так как 1k≠λ и 2k≠λ , то частное решение уравнения (4.41) ищем в виде
( ) xCBxAxxy 32 e)(~ ++= ,
где коэффициенты А, В и C подлежат определению. Для этого найдемпроизводные )(~),(~ xyxy ′′′ :
( ) ( )( ) ( ) ,e9e26e2)(~
,e3e2)(~3233
323
xxx
xx
CBxAxBAxAxyCBxAxBAxxy
+++++=′′++++=′
и подставим )(~ xy и его производные в левую часть уравнения (4.41). По-лучим
( )( ) ( )( ){ }( ) ( ){ }.2298e
23621099e~10~3~23
23
ABAxCBxAx
ABAxCBxAxyyyx
x
+++++=
=++++−+++=−′+′′
Приравнивая друг другу левую и правую части уравнения (4.41)
и сокращая их на x3e , получим тождествоо
( ) ( ) .2298 22 xABAxCBxAx ≡+++++
Следовательно, BA, и C надлежит выбрать так, чтобы это тожде-ство выполнялось. Тогда
=++=+
=
,0892;0818
;18
CBABA
A
откуда .25673,
329,
81
=−== CBA
Учтём первое из начальных условий (4.36):
161)0(1 2 −== Cy .
Отсюда
1617
2 =C . (4.40)
Продифференцируем функцию (4.39) с учётом (4.40):
.852sine
8172cose
817
2cose22sine2)(
22
21
21
+−−
−+−=′
−−
−−
xx
xCxCxy
xx
xx
Учтем второе из начальных условий (4.36):
85
8172)0(1 1 +−=′=− Cy
или
41
1 =C .
Итак, решение задачи Коши (4.35), (4.36) имеет вид
.161
852cos
16172sin
41e)( 2 −+
+= − xxxxy x
Пример 4.6. Найти общее решение уравнения
.e103 32 xxyyy =−′+′′ (4.41)
Решение. Общее решение ищем в виде yyy ~0 += . Составим соот-
ветствующее однородное уравнение
0103 =−′+′′ yyy (4.42)
и его характеристическое уравнение
01032 =−+ kk . (4.43)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
76 77
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Таким образом, общее решение уравнения (4.45) имеет вид
.eee)( 5252
51
xxx xxCCxy −−− ++=
II. Уравнение (4.1) имеет вид
( ) xxNxMqyypy τω+ω=+′+′′ ecossin , (4.48)
где τ≠ω и0,, NM – вещественные числа.Уравнению (4.48) сопутствует однородное уравнение
0=+′+′′ qyypyс характеристическим уравнением
02 =++ qpkk . (4.49)
Теорема 7 (без доказательства)Уравнение (4.48) имеет частное решение y~ вида
( )
( )
−=ω−=τ
−=ω±τω+ω
−≠ω−≠τ
−=ω±τ+
= τ
.2
4 и
2е.т.
(4.49), )1( ,ecossin
;2
4 или 2
е.т.
(4.49), )1( ,eωcosωsin
)(~
2
2
2
2τ
pqpавненияорнями урявляются к
iiесли числаxBxAx
pqpавнениютворяют урне удовле
iiесли числаxBxA
xy x
x
Здесь A и B – числа, подлежащие последующему определению.Числа A и B определяются непосредственной подстановкой реше-
ния )(~ xy и его производных в уравнение (4.48). В результате этой под-становки уравнение (4.48) превратилось бы в тождество, если бы коэф-фициенты при xωsin и xωcos в его левой и правой частях были бы оди-
Таким образом, общее решение (4.41) имеет вид
.e25673
329
81ee)( 325
22
1xxx xxCCxy
+−++= −
Пример 4.7. Найти общее решение уравнения
.e22510 5xyyy −=+′+′′ (4.45)
Решение. Составим однородное уравнение
02510 =+′+′′ yyy (4.46)
и соответствующее ему характеристическое уравнение
025102 =++ kk . (4.47)
Уравнение (4.47) имеет один двукратный корень 521 −== kk . Об-щее решение однородного уравнения (4.46) имеет вид
xx xCCxy 52
510 ee)( −− += .
Отметим, что в правой части уравнения (4.45) 0=n , 5−=λ , такчто 21 kk ==λ . Частное решение уравнения (4.45) следует искать в виде
xAxxy 52 e)(~ −= ,где коэффициент A подлежит последующему определению. Найдем про-изводные )(~),(~ xyxy ′′′ :
( )( )xxx
xx
xxAxyxxAxy
5255
525
e25e20e2)(~,e5e2)(~
−−−
−−
+−=′′−=′
и подставим )(~ xy и найденные производные в левую часть уравнения(4.45). Получим
{ } .e225502025202e~25~10~ 52225 xx AxxxxxAyyy −− =+−++−=+′+′′
Следовательно,22 ≡A
или
1=A .
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
78 79
Обыкновенные дифференциальные уравнения
будет выполнено, если равны друг другу коэффициенты при x2sinи x2cos .
Приравниваем коэффициенты при x2sin и x2cos в левой и правойойчастях (4.53). Получаем систему равенств
=+=−
.34;54
BABA
Отсюда .1,1 −== BA Следовательно,.2cos2sin)(~ xxxy −=
Тогда общее решение (4.52) имеет вид
.2cos2sin2cose2sine)( 21 xxxСxСxy xx −++= −−
Пример 4.9. Решить задачу Коши:
,cos2sin3 xxyy +=+′′ (4.54)
.1,0 00 =′= == xx yy (4.55)
Решение. Найдем сначала общее решение уравнения (4.54). Составимдля этого соответствующее ему однородное уравнение
0=+′′ yy (4.56)
и характеристическое уравнение
.012 =+k (4.57)
Уравнение (4.57) имеет корни ).1,0(2,1 =β=α±= ik Следова-тельно,
.cossin)( 210 xCxCxy +=
Для уравнения (4.54) имеем 2,3,0,1 ===τ=ω NM . Частноерешение )(~ xy следует искать в виде
)cossin()(~ xBxAxxy += ,
наковыми. Условие равенства коэффициентов при xωsin и xωcos в обе-е-их частях уравнения и является условием для нахождения A и B .
Пример 4.8. Найти общее решение уравнения
.2cos32sin552 xxyyy +=+′+′′ (4.50)
Решение. Уравнению (4.50) соответствует однородное уравнение
052 =+′+′′ yyy (4.51)
с характеристическим уравнением
.0522 =++ kk (4.52)
Уравнение (4.52) имеет два корня:
).22
4,1
2(21
2
2,1 =−
=β−=−=α±−=pqpik
Значит,
).2cos2sin(e)( 210 xCxCxy x += −
В уравнении (4.50) 3,5,0,2 ===τ=ω NM . Заметим, что числаii 2±=ω±τ не являются корнями уравнения (4.52). Следовательно,
частное решение уравнения (4.50) ищем в виде.2cos2sin)(~ xBxAxy +=
Тогда,2sin22cos2)(~ xBxAxy −=′
xBxAxy 2cos42sin4)(~ −−=′′и
( ) ( )( ) ( ) .2cos42sin4
5442cos5442sin)(~5)(~2)(~
xBAxBABABxABAx
xyxyxy
++−==++−++−−=
=+′+′′
Тождество
( ) ( ) xxxBAxBA 2cos32sin52cos42sin4 +≡++− (4.53)
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
80 81
Обыкновенные дифференциальные уравнения
4.4. Принцип наложения
Теорема 8. Пусть правая часть линейного неоднородного диффе-ренциального уравнения может быть представлена как сумма двух сла-гаемых, а именно:
).()()()( 21 xfxfyxqyxpy +=+′+′′ (4.59)
Тогда уравнение (4.59) имеет частное решение вида)(~)(~)(~
21 xyxyxy += ,где )(~
1 xy – какое-нибудь частное решение уравнения
)()()( 1 xfyxqyxpy =+′+′′ , (4.60)
а )(~2 xy – какое-нибудь частное решение уравнения
)()()( 2 xfyxqyxpy =+′+′′ . (4.61)
Доказательство. Подставим )(~ xy в левую часть уравнения (4.59).Учитывая, что )(~
1 xy удовлетворяет (4.60), а )(~2 xy удовлетворяет (4.61),
получим цепочку равенств
( ) ( )).()(
~)(~)(~~)(~)(~)~~()()~~()()~~(
~)(~)(~
21
222111
212121
xfxfyxqyxpyyxqyxpy
yyxqyyxpyyyxqyxpy
+==+′+′′++′+′′=
=++′++′′+==+′+′′
Тем самым доказано, что )(~ xy удовлетворяет (4.59).Следствие. Пусть линейное неоднородное уравнение имеет вид
)1()()()()()( 21 >+++=+′+′′ nxfxfxfyxqyxpy n .
Тогда его частным решением будет функция)(~)(~)(~)(~
21 xyxyxyxy n+++= ,
где ),,1()(~ nkxyk = являются решениями уравнений
)()()( xfyxqyxpy k=+′+′′ .
поскольку значения ii ±=ω±τ совпадают с корнями (4.57). Тогда),cossin()sincos()(~ xBxAxBxAxxy ++−=′
)cossin()sincos(2)(~ xBxAxxBxAxy −−+−=′′ .После подстановки )(~ xy , )(~ xy ′ и )(~ xy ′′ в левую часть (4.54) имеем
).sincos(2)(~)(~ xBxAxyxy −=+′′Следовательно, A и B должны обеспечивать выполнение тождества
xxxBxA cos2sin3)sincos(2 +≡− .Отсюда
=−=
32,22
BA
или
.23,1 −== BA
Общее решение (4.54) имеет вид
).cos23(sincossin)( 21 xxxxСxСxy −++= (4.58)
Будем теперь искать такие значения постоянных 1С и 2С , чтобывыполнялись начальные условия (4.55). Согласно первому из них
2)0(0 Cy == ,откуда 02 =С . Продифференцируем общее решение (4.58). Учитываянайденное значение 2С , получим
).sin23(cos)cos
23(sincos)( 1 xxxxxxСxy ++−+=′
Согласно второму из равенств (4.55) имеем
23)0(1 1 −=′= Cy ,
откуда найдем 25
1 =С .
Итак, решение задачи Коши (4.54), (4.55) имеет вид
xxxxxxy cos23sinsin
25)( −+= .
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
82 83
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Ищем число A:
,e2e)(~ 221
xx AxAxy −− −=′
,e4e4)(~ 221
xx AxAxy −− +−=″
( ) .e2812644e~8~6~ 22111
xx AxxxAyyy −− =+−++−=+′+′′
Следовательно, xxA 22 e4e2 −− ≡ и 2=A .Тогда
xxxy 21 e2)(~ −= .
2. Решим уравнение, правая часть которого совпадает с )(2 xf .
( ) .e386 xxyyy +=+′+′′ (4.66)
Уравнение (4.66) имеет специальную правую часть вида xn xР λe)( ,
где 1=n , 1=λ . Так как 1k≠λ и 2k≠λ , его частное решение следует ис-кать в виде
( ) .e)(~2
xBDxxy +=Определяем коэффициенты D и B:
( ) ,ee)(~2
xx BDxDxy ++=′
( ) ,ee2)(~2
xx BDxDxy ++=″
( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ }.81515e158e
8662e~8~6~222
DBDxBDxD
BDxBDxDBDxDyyyxx
x
++=++=
=+++++++=+′+′′
Следовательно,.3)815(15 +≡++ xDBDx
Отсюда
=+=
3815,115
DBD
или
.22537,
151
== BD
Справедливость этого следствия очевидна.Опираясь на теорему 8 и ее следствие, можно к разным слагаемым
правой части неоднородного уравнения применять различные формулы иразличные методы для отыскания частных решений.
Пример 4.10. Найти общее решение уравнения
.2sine)3(e486 2 xxyyy xx +++=+′+′′ − (4.62)
Решение. Составим соответствующее (4.62) однородное уравнение
086 =+′+′′ yyy (4.63)
и характеристическое уравнение
.0862 =++ kk (4.64)
Последнее имеет два вещественных корня: 4,2 21 −=−= kk . Сле-довательно, общее решение уравнения (4.63) имеет вид
.ee)( 42
210
xx CCxy −− +=Правую часть уравнения (4.62) представим в виде суммы трех сла-
гаемых:
.2sin)(,e)3()(,e4)( 322
1 xxfxxfxf xx =+== −
Будем последовательно искать частные решения неоднородных урав-нений, правые части которых совпадают с одним из указанных слагае-мых, а левые части – одинаковые и совпадают с левой частью уравнения(4.62):
1. Решим уравнение, правая часть которого совпадает с )(1 xf .
.e486 2xyyy −=+′+′′ (4.65)
Это уравнение со специальной правой частью вида xn xР λe)( , где 0=n ,
а 2−=λ . Так как λ совпадает с корнем 21 −=k , то решение (4.65) ищемв виде
xAxxy 21 e)(~ −= .
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
84 85
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Рекомендуемая литература
1. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –СПб. : Лань, 2005.
2. Смирнова, В. Б. Неопределенный интеграл : учебное пособие /В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова. – СПб. : СПбГАСУ, 2007.
3. Матвеев, Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным диф-ференциальным уравнениям / Н. М. Матвеев. – Минск : Вышейшая школа, 1977.
4. Блажнова, Е. М. Сборник задач по дифференциальным уравнениямс решениями и ответами / Е. М. Блажнова, И. К. Кадников, А. П. Тузов,Я. С. Фельдман, Т. Д. Цветкова; под редакцией Тузова.– СПб. : НПО «Мири семья – 95» ООО «Интерлан», 1999.
5. Карпиловская, Э. Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения :метод. указания к выполнению задания для студентов всех специальностей ЛИСИ/ Э. Б. Карпиловская. – Л. : ЛИСИ, 1984.
6. Ершов, Е. К. Дифференциальные уравнения : учеб. пособие /Е. К. Ершов, М. В. Неупокоева; СПбГАСУ. – СПб., 2002.
Таким образом,xxxy e
22537
15)(~
2
+= .
3. Решим уравнение, правая часть которого совпадает с )(3 xf .
.2sin86 xyyy =+′+′′ (4.67)
Это уравнение со специальной правой частью типа ( xM +ωsin
) xxN τω+ ecos , где 0=τ , 2=ω , 1=M , 0=N . Так как числаii 2±=ω±τ не являются корнями (4.64), частное решение (4.67) следует
искать в виде.2cos2sin)(~
3 xKxLxy +=Определяем L и K :
,2sin22cos2)(~3 xKxLxy −=′
,2cos42sin4)(~3 xKxLxy −−=″
( ) ( )( ) ( ).1242cos1242sin
81242cos81242sin)(~8)(~6)(~
333
LKxKLxKLKxLKLx
xyxyxy
++−==++−++−−=
=+′+″
Тогда из тождественного равенства( ) ( ) xLKxKLx 2sin1242cos1242sin ≡++−
получаем систему
=+=−
,0412,1124
KLKL
откуда находим .403,
401
−== KL
Таким образом,
.2cos4032sin
401)(~
3 xxxy −=
Окончательно получим
.2cos4032sin
401e
22537
15e2ee)(~ 24
22
1 xxxxCCxy xxxx −+
++++= −−−
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные eравнения второго порядка
86 87
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Учебное издание
Смирнова Вера БорисовнаМорозова Лидия Евсеевна
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор А. В. АфанасьеваКорректор А. Г. Лавров
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 16.08.10. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.Усл. печ. л. 5,1. Тираж 1000 экз. Заказ 72. «С» 58.Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
ОглавлениеВведение..............................................................................................................3Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ..............................4
1.1. Простейшие уравнения...........................................................................71.2. Уравнения с разделяющимися переменными ......................................81.3. Линейные уравнения ............................................................................121.4. Обобщенные линейные уравнения (уравнения Бернулли) ................171.5. Однородные уравнения ........................................................................231.6. Решение задачи Коши для различных типов уравнений первогопорядка .........................................................................................................27
Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка.........................322.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка .... 34
2.1.1. Простейшие уравнения ..................................................................342.1.2. Уравнения, в которых отсутствует искомая функция .................352.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной ................382.1.4. Примеры различных уравнений, допускающих понижениепорядка ...................................................................................................... 42
Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнениявторого порядка................................................................................................46
3.1. Свойство суперпозиции решений линейного однородногоуравнения ......................................................................................................463.2. Вронскиан и его свойство ....................................................................473.3. Линейно зависимые и линейно независимые частныерешения линейного однородного уравнения.............................................493.4. Структура общего решения линейного однородного уравнения .....513.5. Линейные однородные уравнения с постояннымикоэффициентами ...........................................................................................52
Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнениявторого порядка................................................................................................60
4.1. Структура общего решения линейного неоднородногоуравнения ......................................................................................................604.2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) ......624.3. Линейные дифференциальные уравнения со специальнымиправыми частями ..........................................................................................694.4. Принцип наложения ..............................................................................80
Рекомендуемая литература..............................................................................84
88
Обыкновенные дифференциальные уравнения
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ