国立大学法人九州大学大学院総合理工学府 総合理工学専攻 II類2021年4月設置予定 国立大学法人九州大学大学院総合理工学府 総合理工学専攻
安徽理工大学 2005 级 《 大学物理 》
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安徽理工大学 2005 级《大学物理》 安徽理工大学 2005 级《大学物理》
物理教研室物理教研室
第十八章 量子物理基础第十八章 量子物理基础
第二讲 定态的薛定谔方程第二讲 定态的薛定谔方程
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本次课内容§19-6 实物粒子的波动性§19-7 不确定关系§19-8 量子力学简介( I ) 一 波函数 二 薛定谔方程
课本 pp245—255 ; 练习册 第十九单元
本次课内容§19-6 实物粒子的波动性§19-7 不确定关系§19-8 量子力学简介( I ) 一 波函数 二 薛定谔方程
课本 pp245—255 ; 练习册 第十九单元
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§19-6 实物粒子的波动性§19-6 实物粒子的波动性光既有波动性,光既有波动性,
又有粒子性,又有粒子性,
那么实物粒子呢?那么实物粒子呢?
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一、德布罗意波一、德布罗意波
德布罗意 : 既然光具有波粒二象性,实物粒子也应当具有波粒二象性。
德布罗意 : 既然光具有波粒二象性,实物粒子也应当具有波粒二象性。
hE ph /
相应的平面波称为德布罗意波或物质波
(德布罗意关系式, 1924 ) 法国物理学家 Louis de Broglie获得获得 19291929 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖法国物理学家 Louis de Broglie获得获得 19291929 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖
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动量 p 为的自由粒子,当速度较小时 ,E=p2/2m
mE
h
p
h
2
由 U 伏电势差加速的电子,其动能 E=eV, 徳布罗意波长为
AUmeU
h 25.12
2
当 V=150 伏特时, =1Å ,与软 X 射线具有相同的数量级。
例如,子弹 m=0.01kg, v=300m/s, 相应的徳布罗意波长为
)(1021.230001.0
1063.6 3434
mmv
h
。
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5 10 2015 250
U
I
二、 戴维孙 - 革末实验( 1927 )二、 戴维孙 - 革末实验( 1927 )
0
A65.1nm165.0
根据德布罗意假说 ,由加速电势差算得的波长为 :0
67.1167.0 Anm
Gφ
φK
狭缝
镍
集电
器
U
电子射线
单 晶
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另有,( 1 ) G.P. 汤姆逊( 1927 年) 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验
另有,( 1 ) G.P. 汤姆逊( 1927 年) 电子通过金属多晶薄膜的衍射实验
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( 2 )单电子双缝衍射实验:
7 个电子
100 个电子
3000 个电子
20000 个电子
70000 个电子
说明 : 衍射图样不是电子相互作用的结果 , 它来源于单个电子具有的波动性。
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这是一张果蝇的照片,是用电子显微镜拍摄的。电子显微镜的最基本原理是利用电子的波动性。
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经典粒子,用经典粒子,用坐标和动量坐标和动量
来描述其运动状态;来描述其运动状态;
微观粒子,用坐标和动量来微观粒子,用坐标和动量来
描述其运动状态出现描述其运动状态出现不确定不确定
现象现象。。
§19-7 不确定关系§19-7 不确定关系
德国物理学家 W.Heisenberg 19321932 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖德国物理学家 W.Heisenberg 19321932 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖
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衍射图样衍射图样
xpxp
ypyp
pp
电子束电子束
xx
缝缝
屏屏屏屏
幕幕幕幕aa 22
电子的单逢衍射实验电子的单逢衍射实验
1927 年海森伯( W.Heisenberg )提出了测不准关系(不确定性原理)不确定性原理)
hpx x
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X 方向电子的位置不准确量为:
一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为:
sina
ax
xpppx /sin X 方向的分动量 的测不准量为:xp
因为 , 所以ph
hp
hpx
x
pxpx
xp
yp
p
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考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现,所以有:
说明: ① 量子力学给出的结果是
hpx x
xpx
2
xpx
这就是著名的海森伯不确定关系。
zpyp zy ,同理还有
通常此公式只用于数量级的估计,又常简写为
(“试题库” )
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② 对于微观粒子的能量 ΔE 及它在能态上停留的平均
时间 Δt 之间也有下面的测不准关系:
tE
原子处于激发态的平均寿命一般为 st 810于是激发态能级的宽度为:
Jt
E 2610
这说明原子光谱有一定宽度,实验已经证实这一点。
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对于大量原子,在同一激发态能级上,有的停留时间长,有的停留时间短,其平均停留时间 τ 叫激发态的平均寿命。 τ 越长,ΔE越小。反之, ΔE越大。 原子在有些能级上的寿命可长达 1ms ,这种能级叫亚稳态能级,在激光技术上有重要应用。
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例例 11 :质量为:质量为 10g10g 的子弹,具有的子弹,具有 200m200mss-1-1 的速率,的速率,速率的测量误差为速率的测量误差为 0.01%0.01%,问子弹位置的不确定量有,问子弹位置的不确定量有多大?多大?解:子弹的动量为解:子弹的动量为
1220001.0 smkgmvp
动量的不确定量为动量的不确定量为144
00 102210101.0 smkgpp
由不确定关系,子弹位置的不确定范围为由不确定关系,子弹位置的不确定范围为
mp
x 31
4
34
102.52100.2
1063.6
对宏观物体,不确定关系不起作用。对宏观物体,不确定关系不起作用。
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例 2 :原子线度的数量级为 1Å,求原子中电子速度的不确定量。解:原子中电子位置的不确定量为 x = 1Å,
由不确定性关系由不确定性关系
16
831
34
sm101.16101109.12π
106.63
xm
电子的经典速度为: 16 sm10υ
电子的动量是不确定的,应该用量子力学来处理。
例 1 和例二表明,测不准关系式可以用来判别对于实物粒子,其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
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一张有趣的图片少女还是老妇?两种图象不会同时出现在你的视觉中。
一张有趣的图片少女还是老妇?两种图象不会同时出现在你的视觉中。
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“冬虫夏草” -- 是虫还是草?
“冬虫夏草” -- 是虫还是草?
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看到“冬虫夏草”这个名字,许多人都会感到奇怪;冬天还是动物,怎么夏天又变成了植物呢?自然界的变化,奥妙无穷,世界上就有这种一身兼动物、植物的奇特生物。冬天的形状完全是虫,夏天的形状又象是草,所以取了这么一个形象生动的名字 --冬虫夏草。
看到“冬虫夏草”这个名字,许多人都会感到奇怪;冬天还是动物,怎么夏天又变成了植物呢?自然界的变化,奥妙无穷,世界上就有这种一身兼动物、植物的奇特生物。冬天的形状完全是虫,夏天的形状又象是草,所以取了这么一个形象生动的名字 --冬虫夏草。
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用指数形式表示:
§19-8 量子力学简介( I )波函数和薛定谔方程 §19-8 量子力学简介( I )波函数和薛定谔方程
)(2cos),( xtAtxy
)(2),( xtiAetxy
单色平面简谐波波动方程为:
1 波函数1 波函数
)(2cos txA
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沿 x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写,其波函数为:
)(2
0),( xtietx
hEph ,
px)(Eti
etx 0),(
微观粒子具有波动性,其运动状态应该用波函数来描写。
利用
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其中波函数模的平方为: 2
)(
0
)(
0
rpEti
rpEti
ee
2
0
)rp(Eti
etr 0),(
波函数可写为:如果是自由粒子沿 方向传播的三维情况,r
波函数有什么物理意义呢? 德国物理学玻恩19541954 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖
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2 波函数的统计解释 -概率波
1926 年,物理学 Born 提出了德布罗意波的统计解释。他认为波函数体现了发现粒子的概率(几率),这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。
在某处发现一个实物粒子的概率同与波函数模的平方成正比。体积 dV 中发现一个粒子的几率为:
dVdVdW *2
2),(),( tr
dv
dWtr
这就是玻恩对波函数的统计解释。
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*——单位体积内发现一个粒子的几率,即几率密度(波函数的物理意义)。
⑴ 在整个空间出现粒子的几率应等于一,所以:
12dxdydz
⑵ 波函数必须满足的条件(标准条件):
① 单值 ②有限 ③连续
(归一化条件)
“ 波函数本身没有直接的物理意义,波函数模的平方代表单位体积中粒子出现的几率。”
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二、薛定谔方程1. 薛定谔方程的引入
一维自由粒子的波函数为:
)(
0),(pxEt
i
etx
2
2
2
2 p
x
Ei
t
又因为 ,代入上两式得到:m2pE 2
显然
19331933 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖
奥地利物理学家
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ti
xm2 2
22
一维自由粒子的含时
薛定谔方程
2
2
2
2 p
x
E
i
t
有势力场中粒子的总能量为:
),(2
1 2 txVpm
E ( 1 )
),(2
1 2 txVpm
E
将 和 代如( 1 )式得
titxV
xm
),(2 2
22和 势场中一维运动粒子的薛定谔方程
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在势场中,作三维运动粒子薛定谔方程为:
titzyxV
m
),,,(
22
2
( 拉普拉斯算符 )
),,,(2
ˆ 22
tzyxVm
H ( 哈密顿算符 )
2
2
2222
2 φθsinr
1
θsinθ
θsinθr
1
rr
rr
1
2
2
2
2
2
22
zyx
或记成 t)z,y,Ψ(x,t
it)z,y,Ψ(x,H ˆ
其中
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titzyxV
m
),,,(
22
2
二、定态薛定谔方程
)(),,(),,( tfzyxzyx
如势函数不是时间的函数,即 ),,( zyxVV
代入薛定谔方程得:
td
tfd
tfizyxV
m
)(
)(
1),,(
2
1 22
用分离变量法将波函数写为:
![Page 30: 安徽理工大学 2005 级 《 大学物理 》](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033005/56813652550346895d9dd8ac/html5/thumbnails/30.jpg)
则Eti
CetfEt
tf
tfi
)()(
)(
1
Et
tf
tfizyxV
m
)(
)(
1),,(
2
1 22
),,(),,()],,(2[ 2
2
zyxEzyxzyxVm
和
这就是定态薛定谔方程
定态 : 能量取确定值的状态
![Page 31: 安徽理工大学 2005 级 《 大学物理 》](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033005/56813652550346895d9dd8ac/html5/thumbnails/31.jpg)
Eti
ezyxctzyx
),,(),,,( 22),,( zyxc
与时间无关
定态波函数
对自由粒子波函数,
),,(),,(2
22
zyxEzyxm
则)(
0)()(),(rpEt
i
etfrtr
![Page 32: 安徽理工大学 2005 级 《 大学物理 》](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033005/56813652550346895d9dd8ac/html5/thumbnails/32.jpg)
本次课内容
由 U 伏电势差加速的电子,电子的徳布罗意波长为
AUmeU
h 25.12
2
ph /① 实物粒子也有波长
② 测不准关系 xpx
③ 波函数
tE
④ 定态薛定谔方程波函数的意义;归一化条件;标准条件
⑤
),,(),,()],,(2[ 2
2
zyxEzyxzyxVm
![Page 33: 安徽理工大学 2005 级 《 大学物理 》](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033005/56813652550346895d9dd8ac/html5/thumbnails/33.jpg)
海森伯和玻尔、泡利在一起海森伯和玻尔、泡利在一起
![Page 34: 安徽理工大学 2005 级 《 大学物理 》](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022033005/56813652550346895d9dd8ac/html5/thumbnails/34.jpg)
1927 年第五届索尔威会议1927 年第五届索尔威会议
爱因斯坦
爱因斯坦
洛仑兹
洛仑兹
居里夫人
居里夫人
普朗克
普朗克
德拜德拜
泡利泡利
康普顿
康普顿
薛定谔
薛定谔
狄拉克
狄拉克
布喇格
布喇格
玻尔玻尔
海森伯
海森伯
玻恩玻恩
朗之万
朗之万
德布罗意
德布罗意
(本次课完)