คณิต ม.2 เทอม 1 ปี 52

บทท�� บทท�� 1 1

อั�ตราส่�วนและร�อัยละอั�ตราส่�วนและร�อัยละ

เน��อัหา1. อั�ตราส่�วนและอั�ตราส่�วนที่��เที่�ากั�น 4. ร�อัยละ2. อั�ตราส่�วนขอังจำ�านวนหลาย ๆ จำ�านวน 5. กัาร

ประย�กัต�เกั��ยวกั�บอั�ตราส่�วนและ3. ส่�ดส่�วน ร�อัยละ

อั�ตราส่�วนและอั�ตราส่�วนท��เท�ากั�น

อั�ตราส่�วน

อั�ตราส่�วน (ratio) หมายถึ"ง กัารเปร�ยบเที่�ยบปร#มาณ 2

ปร#มาณข"%นไป ซึ่"�งอัาจำจำะม�หน�วยเด�ยวกั�นหร(อัหน�วยต�างกั�นกั)ได� เช่�น

- มะนาวราคา 5 ผล 8 บาที่ เข�ยนได�ว�า อั�ตราส่�วนขอังจำ�านวนมะนาวเป-นผลต�อัราคาเป-นบาที่ เป-น

5 : 8 หร(อั - ถึ�าเป-นกัารเปร�ยบเที่�ยบส่#�งขอังที่��ต�างประเภที่กั�น ใช่�หน�วย

ต�างกั�น ต�อังเข�ยนหน�วยกั�ากั�บไว� เช่�น รถึยนต�ใช่�น�%าม�นต�อัระยะที่างที่��แล�น เที่�ากั�บ 300 ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร :10 กั#โลเมตรกัารตรวจส่อับกัารเท�ากั�นขอังอั�ตราส่�วนใด ๆ

ส่ถาบ�นกัวดว ชา แอัลฟา

2 - ใช�ว ธี�กัารคู%ณไขว� พิ#จำารณาผลค0ณไขว�ขอังอั�ตราส่�วน

ด�งน�%

1. ถึ�า ad = bc แล�ว

2. ถึ�า ad bc แล�ว

3. ถึ�า แล�ว ad = bc

4. ถึ�า แล�ว ad bc

Ex1. จำงตรวจำส่อับว�าอั�ตราส่�วน และ เที่�ากั�นหร(อัไม�ว ธี�ท(าพิ#จำารณาผลค0ณไขว�

จำะได� 4 36 กั�บ 9 16 144 = 144

ด�งน�%น =

Ex2. ถึ�า = จำงหาค�า xว ธี�ท(าจำากั =

8(x – 1) =

8x – 8 = 7x 8x – 7x = 8

x = 8

Ex3. =


3

แบบฝึ*กัท�กัษะ

1.จำงเข�ยนอั�ตราส่�วนแที่นอั�ตราต�อัไปน�%1.1) พิน�กังานพิ#มพิ�ด�ดพิ#มพิ�ได� 210 ค�า ในเวลา 3 นาที่�

1.2) น�%าตาลที่ราย 4 กั#โลกัร�ม ราคา 60 บาที่

2.จำงหาอั�ตราส่�วนที่��เที่�ากั�บอั�ตราส่�วนที่��กั�าหนดให�มา 3 อั�ตราส่�วน

3.1) 11 : 13

3.2)

3.3) 40 : 120

3.4) 2 : 4

3.5) 56 : 144

3.จำงหาจำ�านวนแที่นต�วอั�กัษรในแต�ละข�อั เพิ(�อัให�ประโยคเป-นจำร#ง

3.1)

3.2) 6 : a = b : 5 = 96 : 80 = 24 : c

อั�ตราส่�วนขอังจ(านวนหลาย ๆ จ(านวน


4Ex4. ถึ�า A : B = 3 : 2 และ B : C = 3 : 5

จำงหาอั�ตราส่�วน A : B : C

ว ธี�ท(าส่�วนขอัง B ในอั�ตราส่�วนที่�%งส่อัง ค(อั 2 และ 3 ม� ค.ร.น. = 6

A : B = 3 : 2 = 3 3 : 2 3= 9 : 6B : C = 3 : 5 = 3 2 : 5 2= 6 : 10

อั�ตราส่�วน A : B : C = 9 : 6 : 10

Ex5. ในกัารส่อับคร�%งหน"�ง ส่มใจำกั�บส่มจำ#ตส่อับได�คะแนนเป-นอั�ตราส่�วน 15 : 14 และส่มใจำกั�บส่มหว�งส่อับได�คะแนน 10

: 9 จำงเข�ยนอั�ตราส่�วนคะแนนขอังส่มใจำต�อัคะแนนขอังส่มจำ#ตต�อัคะแนนขอังส่มหว�ง


1.ถึ�า A : B = 3 : 7 และ B : C = 14 : 17 จำงหา A : B : C

2.ถึ�า A : B = 4 : 5 และ A : C = 6 : 7 จำงหา A : B : C

3.ถึ�า A : B = 2 : 3 และ A : C = 2 : 5 และ C : D = 6

: 5 จำงหาอั�ตราส่�วนอัย�างต��าขอัง A : B : C : D


5

4.โรงเร�ยนแห�งหน"�งร�บน�กัเร�ยนเข�าเร�ยนช่�%น ม.1 โดยว#ธี�จำ�บฉลากั ในป7กัารศ"กัษา 2547 น�% พิบว�า น�กัเร�ยนจำ�บฉลากัเข�าเร�ยนได�ต�อัจำ�านวนน�กัเร�ยนที่��จำ�บฉลากัไม�ได�เป-น 7 : 12 ส่�วนในป7กัารศ"กัษา 2546 ม�น�กัเร�ยนที่��จำ�บฉลากัได�ต�อัน�กัเร�ยนที่��จำ�บฉลากัไม�ได�เที่�ากั�บ 3 : 8 ถึ�าน�กัเร�ยนที่��จำ�บฉลากัได�ขอังที่�%งส่อังป7เที่�ากั�บ 210 คน ในแต�ละป7ม�น�กัเร�ยนมาส่ม�ครกั��คน

ส่�ดส่�วน

ส่�ดส่�วน ค(อั ประโยคที่��แส่ดงกัารเที่�ากั�นขอังอั�ตราส่�วนส่อังอั�ตราส่�วน เช่�น 3 : 7 = 9 : 21 หร(อั 2 : 5 = a : 40

เป-นต�น

Ex6. จำงหาค�าขอัง x ในส่�ดส่�วน Ex7.

ถึ�า จำงหาค�า c


6ว#ธี�ที่�า เน(�อังจำากั 17x = 5 34

x =

x = 10


1.จำงหาค�าขอังต�วแปรในส่�ดส่�วนต�อัไปน�%

1.1) 1.2)

1.3) 1.4)


7

1.5) 1.6)

1.7) 1.8)

1.9) 1.10)

ว ธี�กัารแกั�โจทย-ปั/ญหาเกั��ยวกั�บส่�ดส่�วน1. กั�าหนดต�วแปร x หร(อัจำะเป-นต�วอั�กัษรอั(�น ๆ กั)ได� แที่น

จำ�านวนที่��ต�อังกัารหา


82. เข�ยนส่�ดส่�วนแส่ดงกัารเที่�ากั�บขอังอั�ตราส่�วนที่��กั�าหนดให�

ส่อังอั�ตราส่�วน โดยให�ล�าด�บขอังจำ�านวนที่��เปร�ยบเที่�ยบกั�นขอังแต�ละอั�ตราส่�วนอัย0�ในล�าด�บเด�ยวกั�น

3. หาค�าขอังต�วแปร

Ex8. รถึยนต�ค�นหน"�งแล�นได�ระยะที่าง 540 กั#โลเมตร ในเวลา 6 ช่��วโมง อัยากัที่ราบว�ารถึยนต�ค�นน�%แล�นด�วยอั�ตราเร)วช่��วโมงละกั��กั#โลเมตร

ว#ธี�ที่�า อั�ตราส่�วนขอังระยะที่าง 540 กัม. ในเวลา 6 ช่ม. = 540 : 6

ให�รถึยนต�ค�นน�%แล�นด�วยอั�ตราเร)ว x กัม. เข�ยนเป-นส่�ดส่�วนได� x : 1

เข�ยนส่�ดส่�วนได�ด�งน�% =

x =

x = 90

Ex9. พิ�อัค�าขายผลไม�คนหน"�งซึ่(%อัมะม�วงมาขาย 370 ผล และซึ่(%อัแตงโมมาจำ�านวนหน"�ง ค#ด

แล�วเขาซึ่(%อัมะม�วงต�อัแตงโมเป-นอั�ตราส่�วน 5 : 2 จำงหาว�าเขาซึ่(%อัแตงโมมากั��ผล



91. จำ�านวนส่�มต�อัม�งค�ดที่��แม�ค�าคนหน"�งซึ่(%อัมาเที่�ากั�บ 6 : 5 ถึ�า

แม�ค�าคนน�%ซึ่(%อัม�งค�ดมา 200 ผล อัยากัที่ราบว�าแม�ค�าซึ่(%อัส่�มมากั��ผล

2. เคร(�อังส่0บน�%าเคร(�อังหน"�งส่ามารถึส่0บน�%าได� 700 ล#ตร ในเวลา 10 นาที่� อัยากัที่ราบว�า เคร(�อังส่0บน�%าน�%จำะส่0บน�%าได�ช่��วโมงละกั��ล#ตร

3. เหล�ากั�บน�%าผส่มกั�นในอั�ตราส่�วน 8 : 5 ถึ�าจำะที่�าเหล�าผส่มน�%าจำ�านวน 91 ล#ตร จำะต�อังใช่�เหล�าแที่�และน�%าอัย�างละกั��ล#ตร

4. เล)กั กัลาง และใหญ่� ร�บจำ�างที่�างานช่#%นหน"�งได�ร�บค�าจำ�างเป-นอั�ตราส่�วน 2 : 3 : 5 ถึ�าเล)กัได�ร�บค�าจำ�าง 5,040 บาที่ จำงหาว�ากัลางและใหญ่�ได�ร�บค�าจำ�างคนละเที่�าไร

5. ส่��เหล��ยม ABCD ม�ความยาวด�านเป-นอั�ตราส่�วนด�งน�% AB :

BC : CD : DA = 8 : 6 : 9 : 3 ถึ�าด�าน AB ยาว 12

เซึ่นต#เมตร จำงหาความยาวขอังเส่�นรอับร0ปขอังส่��เหล��ยม ABCD ร0ปน�%


10

ร�อัยละร�อัยละหร�อัเปัอัร-เซ็2นต- เป-นอั�ตราส่�วนแส่ดงกัารเปร�ยบ

เที่�ยบปร#มาณใดปร#มาณหน"�งกั�บ 100 เช่�นร�อัยละ 10 หร(อั 10% เที่�ากั�บ 10 : 100 หร(อั ว ธี�แปัลงอั�ตราส่�วนให�เปั3นร�อัยละอั�ตราส่�วน 100 = ร�อัยละ4 : 5= x : y=

ขอังผส่มขอังผส่ม หมายถึ"ง ส่#�งขอังที่��ได�จำากักัารน�าขอังต�%งแต�ส่อัง

ช่น#ดข"%นไป ซึ่"�งขอังผส่มที่��ได�จำะกัลายเป-นส่#�งขอังช่น#ดใหม� หร(อัเป-นส่#�งขอังช่น#ดเด#มที่��ม�ค�ณภาพิเปล��ยนไป เช่�น

น(�าเช��อัม เป-นขอังผส่มที่��ได�จำากั น�าน�%าตาลที่รายกั�บน�%าผส่มกั�น

น(�าเกัล�อั เป-นขอังผส่มที่��ได�จำากั น�าน�%าเกัล(อักั�บน�%าผส่มกั�นEx10. ส่ารละลายช่น#ดหน"�งจำ�านวน 18 ล#ตร ม�แอัลกัอัฮอัล� 55% ส่�วนที่��เหล(อัเป-นน�%า ถึ�า

ต�อังกัารให�ส่ารละลายน�%ม�แอัลกัอัฮอัล� 15% จำะต�อังเต#มน�%าลงไปกั��ล#ตรว#ธี�ที่�า ให�เต#มน�%าลงไป x ล#ตร ที่�าให�ส่ารละลายม�จำ�านวน 18 + x ล#ตร และม�แอัลกัอัฮอัล�ปนอัย0� 15%

เด#มม�แอัลกัอัฮอัล�อัย0� 55% = = ล#ตร


11

ใหม�ม�ส่�ดส่�วนเป-น : x + 18 = 15 : 100

ด�งน�%น 100 = 15(x + 18)

990 = 15x + 270 990 – 270 = 15x

720 = 15x 48= x

ต�อังเต#มน�%าลงไปอั�กั 48 ล#ตรEx11. ถึ�าน�านมส่ดที่��ม�ไขม�นเนย 4% จำ�านวน 50 ล#ตร ผส่มกั�บนมส่ดที่��ม�ไขม�นเนย 5%

จำ�านวน 20 ล#ตร แล�วเต#มคร�มที่��ม�ไขม�นเนย 20% ลงไปอั�กัจำ�านวนหน"�ง ที่�าให�ได�นม

ส่ดที่��ม�ไขม�นเนย 10% จำงหาว�าเต#มคร�มลงไปกั��ล#ตร

Ex12. จำงแปลงอั�ตราส่�วนต�อัไปน�%ให�เป-นร�อัยละ(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Ex13. จำงแปลงค�าร�อัยละต�อัไปน�%ให�เป-นอั�ตราส่�วน


12(1) 15% (2) 28% (3) 13.7% (4) ร�อัยละ 16.25

(5) 33 % (6) x%

(7) 100a% (8) (x + y)%


1.จำากัอั�ตราส่�วนต�อัไปน�% จำงเปร�ยบเที่�ยบว�าจำ�านวนแรกัเป-นร�อัยละเที่�าไรขอังจำ�านวนหล�ง1.1) 1 : 5 1.2) 3 : 1 1.3) a : 10 1.4) x : y 1.5) 27 : 40 1.6) 5a : 8

2.จำงหาอั�ตราส่�วนระหว�างจำ�านวนแรกักั�บจำ�านวนที่��ส่อัง เม(�อักั�าหนดค�าร�อัยละขอังจำ�านวนแรกัเที่�ยบกั�บจำ�านวนที่��ส่อังด�งต�อัไปน�%2.1) 30% 2.2) 14.7%

2.3) 16 % 2.4) 38.2%

2.5) a% 2.6) %


13

3.จำงหาค�าขอัง x จำากัข�อักั�าหนดต�อัไปน�%3.1) = = 20% 3.2) =

= x% 3.3) = = x% 3.4) =

= 60% 3.5) = x% 3.6) 5 : 6 =

= x%

4.อัมรร�ตน�ซึ่(%อัผลไม�มาขายที่�%งหมดเป-นเง#น 800 บาที่ แต�ปรากัฏว�าผลไม�เน�าเส่�ยบางส่�วน ที่�าให�ขาดที่�นไป 3% ถึามว�าอัมรร�ตน�ขายผลไม�ไปได�เง#นมาเที่�าใด

5.แดงซึ่(%อัรถึยนต�มาค�นหน"�งในราคาเง#นผ�อัน โดยเขาผ�อันค#ดเป-นเง#น 9% ขอังเง#นเด(อันขอังเขา ถึ�าเขาผ�อันรถึยนต�เป-นเง#นเด(อันละ 4,500 บาที่ แส่ดงว�าแดงม�เง#นเด(อันเที่�าใด


14

6.ขอังผส่มช่น#ดหน"�งประกัอับด�วยส่าร A 60% อั�กัช่น#ดหน"�งม�ส่าร A ผส่มอัย0� 75% ถึ�าน�าขอังผส่มที่�%งส่อังมารวมกั�นจำะต�อังผส่มในอั�ตราส่�วนเที่�าใด จำ"งจำะได�ขอังผส่มที่��ม�ส่าร A อัย0� 65%

กัารใช�คู�าร�อัยละในปั/ญหาท��วไปั

Ex14. ส่ารประกัอับจำ�านวนหน"�งเม(�อัถึ0กัน�ามาแยกัว#เคราะห�แล�ว จำะได�ธีาต�อังค�ประกัอับด�งน�% แคลเซึ่�ยม 40% กั�ามะถึ�น 28% และอัอักัซึ่#เจำน 23% นอักัน�%นเป-นส่#�งเจำ(อัปนอั(�น ๆ ถึ�าน�%าหน�กัขอังแคลเซึ่�ยมที่��แยกัได�เที่�ากั�บ 105 กัร�ม จำงหาน�%าหน�กัขอังส่ารประกัอับจำ�านวนน�%นเฉพิาะที่��บร#ส่�ที่ธี#;

ว#ธี�ที่�า รวมค�าร�อัยละขอังธีาต�อังค�ประกัอับที่�%ง 3 ธีาต� = 40% + 28% + 23% = 91%

ที่�กั ๆ 100 ส่�วนขอังส่ารประกัอับจำะม�ส่ารบร#ส่�ที่ธี#; 91

ส่�วน และแยกัเป-นธีาต�แคลเซึ่�ยมได� 40 ส่�วนม�แคลเซึ่�ยม 40 กัร�ม ในส่ารบร#ส่�ที่ธี#; 91 กัร�ม


15

ม�แคลเซึ่�ยม 105 กัร�ม ในส่ารบร#ส่�ที่ธี#; =

238.875 กัร�ม น�%าหน�กัเฉพิาะส่ารบร#ส่�ที่ธี#; 238.875 กัร�ม

Ex15. นายประเส่ร#ฐเป-นพิน�กังานขอังบร#ษ�ที่แห�งหน"�ง ได�ร�บเง#นเด(อันเร#�มเข�าที่�างาน 6,000 บาที่ เขาที่�างานด�มากั จำ"งได�เล(�อันเง#นเด(อันข"%นที่�กั ๆ ป7 ป7ละ 20% จำงหาว�าเม(�อัที่�างานครบ 3 ป7 แล�วเขาจำะม�เง#นเด(อัน และเม(�อัครบ 3 ป7แล�ว เขาจำะม�เง#นเด(อันมากักัว�าตอันเร#�มเข�าที่�างานกั��เปอัร�เซึ่)นต�


1.ฉ�นเตร�ยมไข�เป-ดไว�ฟั>กั 500 ฟัอัง ปรากัฏว�าเม(�อัเข�าเคร(�อังฟั>กัครบกั�าหนดแล�ว ไข�เส่�ยไปไม�อัอักัเป-นต�วถึ"ง 15% และล0กัเป-ดที่��ฟั>กัได�เป-นต�วผ0�เส่�ย 40% จำงหาว�าม�ล0กัเป-ดต�วเม�ยกั��ต�ว


162.ในเขตเล(อักัต�%งแห�งหน"�งม�พิลเม(อัง 564,500 คน เป-นผ0�ม�

ส่#ที่ธี#อัอักัเส่�ยงเล(อักัต�%ง 60% และในกัารเล(อักัต�%งส่มาช่#กัส่ภาผ0�แที่นราษฎรคร�%งหน"�งม�ผ0�มาใช่�ส่#ที่ธี#เล(อักัต�%ง 71% จำงหาว�าม�ผ0�มาใช่�ส่#ที่ธี#เล(อักัต�%งจำร#ง ๆ กั��คน

3.ที่��ด#นแปลงหน"�งเป-นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�า กัว�าง 8 วา ยาว 10 วา ถึ�าลดส่�วนกัว�างลง 2 วา และลดส่�วนยาวลง 1 วา พิ(%นที่��จำะลดลงกั��เปอัร�เซึ่)นต�

4.ช่ายคนหน"�งประกัาศขายบ�านและที่��ด#นแห�งหน"�งไว� 12,000,000 บาที่ โดยจำะลดราคาให� 10% แกั�ผ0�มาซึ่(%อัภายใน 20 ว�น หล�งจำากัประกัาศ และจำะลดให�อั�กั 10% ขอังเง#นที่��จำ�ายส่�าหร�บผ0�ที่��ช่�าระเง#นส่ดที่�นที่�ที่��ซึ่(%อั ถึ�าฉ�นเป-นผ0�ซึ่(%อัภายใน 20 ว�น และจำ�ายเง#นส่ดที่�นที่� ฉ�นจำะต�อังจำ�ายเง#นไปจำร#งกั��บาที่


17

กัารใช�ร�อัยละในปั/ญหาบางปัระเภท

Ex16. บรรจำงม�เง#นฝากัอัย0�ในธีนาคารแห�งหน"�ง 6,000 บาที่ ถึ�าธีนาคารค#ดดอักัเบ�%ยให�ในอั�ตราร�อัยละ 8 ต�อัป7 โดยค#ดดอักัเบ�%ยที่�กั ๆ 6 เด(อัน ด�งน�%น ถึ�าบรรจำงไม�ได�ไปถึอันดอักัเบ�%ยตลอัดเวลา 1 ป7 6 เด(อัน จำงหาว�าป>จำจำ�บ�นน�%เขาจำะม�ยอัดเง#นในบ�ญ่ช่�เง#นฝากัธีนาคารน�%นอัย0�เที่�าไร

ว#ธี�ที่�า ในเวลา 1 ป7 6 เด(อัน ธีนาคารจำะค#ดดอักัเบ�%ยให� 3 คร�%ง โดยแต�ละคร�%งจำะได�ดอักัเบ�%ยเพิ�ยง หร(อั 4%

เง#นฝากัเด#มม�อัย0� 6,000 บาที่ดอักัเบ�%ยคร�%งแรกั 4% = = 240

บาที่ รวมเป-นเง#นฝากั = 6,000 + 240=

6,240 บาที่ดอักัเบ�%ยคร�%งที่��ส่อัง = =

249.60 บาที่ รวมเป-นเง#นฝากั = 6,240 + 249.60 =

6,489.60 บาที่ดอักัเบ�%ยคร�%งที่��ส่าม = =

259.58 บาที่ เง#นฝากัคร�%งส่�ดที่�าย = 6,489.60 + 259.58

= 6,749.18 บาที่


18Ex17. นายพิรเที่พิม�เง#นเด(อันๆ ละ 25,000 บาที่ ส่#%นป7ได�

โบน�ส่อั�กั 3 เด(อัน เขาที่�ภรรยาที่��ย�งไม�ม�รายได� และม�บ�ตร 2

คน คนโตกั�าล�งเร�ยนอัย0�ระด�บช่�%นประถึมศ"กัษา ส่�วนคนเล)กัย�งไม�เข�าโรงเร�ยน ถึ�าเขาบร#จำาคให�ม0ลน#ธี#ส่ายใจำไที่ยเป-นเง#น 2,000 บาที่ เขาจำะต�อังเส่�ยภาษ�เที่�าไรกั. 13,473 บาที่ ข. 15,784

บาที่ค. 17,100 บาที่ ง. 19,469

บาที่

Ex18. นายด�ากั0�เง#นจำากันายแดงมา 6,000 บาที่ อั�ตราดอักัเบ�%ย 13% ต�อัป7 โดยนายด�าได�ตกัลงกั�บนายแดง ขอัส่�งเง#นที่��กั0�มาค(นเด(อันละ 2,000 บาที่ จำงหาว�านายด�าต�อังเส่�ยดอักัเบ�%ย ที่�%งหมดเที่�าไร


19


1.นายม�กั0�เง#นจำากันายมาเป-นเง#น 40,000 บาที่ กั�าหนดส่�งเง#นต�นพิร�อัมดอักัเบ�%ยค(นภายใน 2 ป7 โดยค#ดดอักัเบ�%ยในอั�ตรา 14

% ต�อัป7 เม(�อัครบเวลา 2 ป7แล�ว นายม�จำะต�อังน�าเง#นมาช่�าระแกั�นายมาเที่�าไร

2.ฉ�นน�าเง#น 8,000 บาที่ ไปฝากัธีนาคารไว�เป-นเวลา 1 ป7 โดยธีนาคารค#ดดอักัเบ�%ยให�ในอั�ตราร�อัยละ 9 ต�อัป7 และค#ดดอักัเบ�%ยที่�กั ๆ 6 เด(อัน ถึ�าฉ�นไม�ไปถึอันดอักัเบ�%ยเลย จำงหายอัดเง#นฝากัขอังฉ�นหล�งจำากัครบ 1 ป7แล�ว

3.นายพิ#ร�ณย(มเง#นนายธีรรมน0ญ่ไป 4,000 บาที่ เม(�อัว�นที่�� 3

กัรกัฎาคม และกั�าหนดค(นเง#นรวมที่�%งดอักัเบ�%ยในว�นที่�� 16

ธี�นวาคมป7เด�ยวกั�น ค#ดอั�ตราดอักัเบ�%ย 15% ต�อัป7 จำงหาว�านายพิ#ร�ณจำะต�อังน�าเง#นมาค(นเที่�าไร


20

4.นายแดงเป-นผ0�จำ�ดกัารบร#ษ�ที่แห�งหน"�ง ได�ร�บเง#นเด(อันๆ ละ 25,000 บาที่ เขาม�ภรรยาที่��ไม�ม�รายได�และม�บ�ตรที่��กั�าล�งศ"กัษาและย�งไม�บรรล�น#ต#ภาวะ 2 คน นายแดงได�บร#จำาคเง#นให�แกั�ว�ดแห�งหน"�งเป-นเง#น 7,000 บาที่ เขาจำะต�อังเส่�ยภาษ�เที่�าไร

กัารปัระย7กัต-เกั��ยวกั�บอั�ตราส่�วนและร�อัยละ

กัารเปัล��ยนหน�วยอั7ณหภ%ม กัารเปล��ยนหน�วยอั�ณหภ0ม#ขอังส่#�งต�างๆ ม�หน�วยว�ดที่��น#ยมใช่�

กั�นอัย0� 2 หน�วย ค(อั อังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่และอังศาฟัาเรนไฮต� โดยหน�วยอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่จำะกั�าหนดจำ�ดเย(อักัแข)งขอังน�%าที่�� 0 อังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่ (0C) และจำ�ดเด(อัดขอังน�%าที่�� 100 อังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่ ส่�วนหน�วยอังศาฟัาเรนไฮต� จำะกั�าหนดจำ�ดเย(อักัแข)งขอังน�%าที่�� 32 อังศาฟัาเรนไฮต� และจำ�ดเด(อัดขอังน�%าที่�� 212 อังศาฟัาเรนไฮต� (0F)


21ซึ่"�งช่�วงห�างระหว�างจำ�ดเย(อักัแข)งกั�บจำ�ดเด(อัดขอังน�%าในหน�วย

ขอังอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่ เที่�ากั�บ 100 ช่�อัง ส่�วนขอังฟัาเรนไฮต� เที่�ากั�บ 180 ช่�อัง

ด�งน�%นจำ"งเข�ยนเป-นอั�ตราส่�วนได�ว�า

เม(�อั C แที่นอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่ F แที่นอังศาฟัาเรนไฮต�

จำะได� 180C = 100(F – 32)

=

หร(อั =

Ex19. จำงเปล��ยนอั�ณหภ0ม# 37 0C ให�เป-นอังศาฟัาเรนไฮต�ว#ธี�ที่�า จำากั =

แที่นค�า =

37 9 = 5(F – 32)333 = 5F – 160 493 = 5F98.6= F

ด�งน�%น 37 0C = 98.6 0F

Ex20. ที่ะเลที่รายซึ่าฮาราเป-นบร#เวณที่��ร �อันที่��ส่�ดในโลกั ม�อั�ณหภ0ม#ส่0งกัว�า 50 0C จำงหาว�า

อั�ณหภ0ม#ด�งกัล�าวเป-นกั��อังศาฟัาเรนไฮต�


22

Ex21. จำงเปล��ยนอั�ณหภ0ม# 149 0F ให�เป-นอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่ว#ธี�ที่�า จำากั =

แที่นค�า =

C = = 65

ด�งน�%น 149 0F = 65 0C

Ex22. จำงเปล��ยนอั�ณหภ0ม# 68 0F ให�เป-นอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่


1. จำงเปล��ยนอั�ณหภ0ม#จำากัอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่เป-นอังศาฟัาเรนไฮต�1.1 32 0C = 1.2 120 0C = 1.3 -5 0C = 1.4 -32 0C =

2. จำงเปล��ยนอั�ณหภ0ม#จำากัอังศาฟัาเรนไฮต�เป-นอังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่


232.1 0 0F = 2.2 50 0F = 2.3 198.5 0F = 2.4 234.5 0F =

3. ในฤด0หนาวบ�านขอังด�ารงจำะม�อั�ณหภ0ม#ต��าส่�ด -2 0C ส่�วนบ�านขอังด�าร#จำะม�อั�ณหภ0ม#ต��าส่�ด 35 0F จำงหาว�าอั�ณหภ0ม#ต��าส่�ดขอังที่�%งส่อังคนต�างกั�นกั��อังศาเซึ่ลเซึ่�ยส่

อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร�เกั�ยร�เป-นอั�ปกัรณ�ที่��ที่�าหน�าที่��ในกัารปร�บถึ�ายกั�าล�งระหว�าง

เคร(�อังยนต�กั�บล�อัที่��หม�นเพิ(�อัให�ได�แรงตามต�อังกัาร

อั�ปกัรณ�หล�กัขอังเกั�ยร�ประกัอับด�วยเฟัBอัง 2 อั�นขบต#ดกั�น เฟัBอังอั�นหน"�งเป-นเฟัBอังข�บที่�าหน�าที่��ข�บเคล(�อันเฟัBอังอั�กัอั�นหน"�งที่��เป-นเฟัBอังตาม ในที่#ศตรงกั�นข�ามด�งร0ป

อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร� เป-นอั�ตราส่�วนเปร�ยบเที่�ยบจำ�านวนฟั>นขอังเฟัBอังตามต�อัจำ�านวนฟั>นขอังเฟัBอังข�บ น��นค(อั

อั�ตราทดขอังเกั�ยร- =


24Ex23. จำงหาอั�ตราที่ดขอังเกั�ยร�ที่��ม�จำ�านวนฟั>นขอังเฟัBอังตาม 35 และจำ�านวนฟั>นขอังเฟัBอังข�บ 24

ว#ธี�ที่�า จำากัอั�ตราที่ดขอังเกั�ยร� =

อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร� = = 1.4583

Ex24. จำงหาจำ�านวนฟั>นขอังเฟัBอังตามขอังเกั�ยร�ที่��ม�อั�ตราที่ดเป-น 2.45 และเฟัBอังข�บม�ฟั>น 20 ซึ่��

Ex25. ถึ�าต�อังกัารเกั�ยร�ที่��ม�อั�ตราที่ดเป-น 1.8 จำะต�อังใช่�เฟัBอังตามและเฟัBอังข�บที่��ม�จำ�านวนฟั>นกั��ซึ่��


1. จำงหาจำ�านวนฟั>นขอังเฟัBอังขอังเกั�ยร�แต�ละช่�ดต�อัไปน�%1.1 อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร�เป-น 1.25 และเฟัBอังตามม�ฟั>น

20 ซึ่��


251.2 อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร�เป-น 0.8 และเฟัBอังตามม�ฟั>น 32

ซึ่��

1.3 อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร�เป-น 2.5 และเฟัBอังข�บม�ฟั>น 20

ซึ่��

1.4 อั�ตราที่ดขอังเกั�ยร�เป-น 0.75 และเฟัBอังข�บม�ฟั>น 40

ซึ่��

2. ถึ�าต�อังกัารเกั�ยร�ที่��ม�อั�ตราที่ดเป-น 2 : 5 จำงหาว�าต�อังใช่�เฟัBอังตามและเฟัBอังข�บจำ�านวนกั��ซึ่��

3. ถึ�าต�อังกัารเกั�ยร�ที่��ม�อั�ตราที่ดเป-น 0.875 จำงหาว�าต�อังใช่�เฟัBอังตามและเฟัBอังข�บที่��ม�จำ�านวนฟั>นกั��ซึ่�� มาตราส่�วน

มาตราส่�วน เป-นอั�ตราส่�วนที่��แส่ดงกัารเปร�ยบเที่�ยบระยะที่างในแผนที่��หร(อัในแผนผ�ง

กั�บระยะที่างจำร#ง ซึ่"�งอัาจำจำะเป-นกัารย�อั กัารขยาย หร(อัคงเด#มกั)ได� เช่�น

- มาตราส่�วนในแผนที่�� 1 : 500,000 หมายถึ"ง ถึ�าระยะที่างในแผนที่��เป-น 1 เซึ่นต#เมตร ระยะที่างจำร#ง 500,000

เซึ่นต#เมตร หร(อั 5 กั#โลเมตร


26- นอักัจำากัน�%ย�งพิบมาตราส่�วนในร0ปขอังร�อัยละ เช่�น ย�อั

75% หร(อัขยาย 120%

Ex26. ที่��ด#นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�าม�พิ(%นที่�� 4 ไร� 3 งาน 50

ตารางวา ยาวด�านละ 50 วา ถึ�าเข�ยนแผนผ�งขอังที่��ด#นน�%โดยใช่�มาตราส่�วน 1 เซึ่นต#เมตร : 10

วา แล�วแผนผ�งจำะกัว�างและยาวด�านละกั��เซึ่นต#เมตร

ว#ธี�ที่�า พิ(%นที่��ขอังที่��ด#น = (4 400) + (3 100) +

50 ตารางวา= 1,950 ตารางวา

ด�านยาว = 50 วาด�านกัว�าง = = 39 วาเข�ยนแผนผ�งโดยใช่�มาตราส่�วน 1 เซึ่นต#เมตร : 10 วาด�งน�%นความยาวในแผนผ�ง = = 5

เซึ่นต#เมตร ความกัว�างในแผนผ�ง = =

3.9 เซึ่นต#เมตร

Ex27. ร0ปส่ามเหล��ยมร0ปหน"�งม�พิ(%นที่�� 160 ตารางเซึ่นต#เมตร ส่0ง 20 เซึ่นต#เมตร ร0ป ส่ามเหล��ยมน�% เม(�อัเข�ยนแผนผ�งโดยใช่�มาตราส่�วน 1

: 10 แล�วจำะม�ความส่0งและความ ยาวฐานในแผนผ�งกั��เซึ่นต#เมตร 1. 2 และ 1.6 เซึ่นต#เมตร 2. 1.8 และ 1.6 เซึ่นต#เมตร


27 3. 2 และ 1.8 เซึ่นต#เมตร 4. 1.6 และ 1.4 เซึ่นต#เมตร


1. จำากัมาตราส่�วน 1 : 5,000,000 ถึ�าระยะที่างจำร#งห�างกั�น 365 กั#โลเมตร ระยะที่างในแผนที่��จำะห�างกั�นกั��เซึ่นต#เมตร

2. เม(อังส่อังเม(อังในแผนที่��ที่��ม�มาตราส่�วน เที่�ากั�บ 4

เซึ่นต#เมตร แส่ดงว�าระยะที่างจำร#งเม(อังที่�%งส่อังห�างกั�นเที่�าใด

3. แผนผ�งส่นามฟั�ตบอัลแห�งหน"�งเป-น 105 เมตร 68

เมตร แล�วขนาดในแผนผ�งจำะเป-นเที่�าใด

4. รถึจำ�าลอังค�นหน"�งว�ดความยาวได� 80 เซึ่นต#เมตร ความกัว�าง 50 เซึ่นต#เมตร และส่0ง 30 เซึ่นต#เมตร ถึ�ารถึจำร#งม�ความยาวจำร#ง 4 เมตร จำงหาความกัว�างและความส่0งขอังรถึ


28

5. ถึ�าต�อังกัารส่ร�างเร(อัจำ�าลอังล�าหน"�งซึ่"�งยาว 27 เมตร กัว�าง 21.6 เมตร และล"กั 27 เมตร โดยใช่�มาตราส่�วน 3 : 100

จำะได�เร(อัจำ�าลอังขนาดเที่�าใด

6. ที่��ด#นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�าแปลงหน"�ง ม�พิ(%นที่�� 12 ไร� 2 งาน 62.5 ตารางวา และม�ความยาวขอังด�านกัว�างต�อัด�านยาวเป-น 2 : 5 ถึ�าจำะซึ่(%อัลวดหนามล�อัมรอับที่��ด#นแปลงน�% 1 รอับ จำะต�อังซึ่(%อัลวดหนาวยาวอัย�างน�อัยที่��ส่�ดกั��เมตร1. 315 เมตร 2. 630 เมตร 3. 960 เมตร

4. 1,260 เมตร


29

แบบฝึ*กัท�กัษะท�ายบทแบบฝึ*กัท�กัษะท�ายบทอั�ตราส่�วนและร�อัยละอั�ตราส่�วนและร�อัยละ

1. มอัเตอัร� A หม�นด�วยอั�ตราเร)ว 1,750 รอับต�อัว#นาที่� และมอัเตอัร� B หม�นด�วยอั�ตราเร)ว 3,500 รอับต�อัว#นาที่� อั�ตราส่�วนแส่ดงกัารเปร�ยบเที่�ยบอั�ตราเร)วขอังมอัเตอัร� A ต�อัอั�ตราเร)วขอังมอัเตอัร� B เที่�ากั�บ1. 1 : 2 2. 1 : 120 3. 12 : 1

4. 30 : 1

2. ร�านขายเคร(�อังเข�ยนแห�งหน"�งขายด#นส่อัได� 972 แที่�ง ขายปากักัาได� 729 ด�าม และไม�บรรที่�ด 486 อั�น จำงหาอั�ตราส่�วนแส่ดงกัารเปร�ยบเที่�ยบจำ�านวนด#นส่อั ปากักัา และไม�บรรที่�ดที่��ขายได�ตามล�าด�บ1. 4 : 3 : 2 2. 4 : 2 : 1 3. 3 : 2 : 1

4. 2 : 3 : 4

3. เคร(�อังส่0บน�%าเคร(�อังหน"�งที่างร�านปCดราคาไว� 15,000 บาที่ ถึ�าซึ่(%อัเง#นส่ดที่างร�านจำะขายให�ในราคา 11,800 บาที่ ซึ่(%อัเง#นส่ดที่างร�านลดราคาให�กั��เปอัร�เซึ่)นต�1. 21 2. 27 3. 28

4. 32


304. ไกั�เล�าหน"�งม� 560 ต�ว ตายเส่�ย 167 ต�ว ตายเส่�ย 167 ต�ว

อั�ตราส่�วนขอังไกั�ที่��เหล(อัต�อัไกั�ที่��ตาย ค(อัข�อัใด1. 560 : 167 2. 393 : 167 3. 560 : 393

4. 393 : 560

5. ร0ปส่��เหล��ยมคางหม0ม�ด�านยาว 2 เซึ่นต#เมตร, 4 เซึ่นต#เมตร, 6

เซึ่นต#เมตร และ 9 เซึ่นต#เมตร อั�ตราส่�วนขอังด�านที่��ยาวที่��ส่�ดต�อัความยาวขอังเส่�นรอับร0ปค(อัข�อัใด1. 4 : 9 2. 21 : 6 3. 9 : 21 4. 9 : 2

6. ถึ�าให� A เป-นจำ�านวนค��, B เป-นจำ�านวนค0� จำงหาอั�ตราส่�วนขอังจำ�านวนค��ต�อัผลบวกัขอังจำ�านวนค0�และจำ�านวนค��ข�อัใด

1. 2. 3.

4.

7. โรงเร�ยนแห�งหน"�งม�น�กัเร�ยนช่าย m คน และน�กัเร�ยนหญ่#ง n

คน จำงหาอั�ตราส่�วนขอังน�กัเร�ยนหญ่#งต�อัน�กัเร�ยนที่�%งหมด

1. 2. 3.

4.

8. อั�ตราส่�วนขอัง x : y จำากัส่มกัาร 5(6x – 3y) = 3(4x +

3y) ม�ค�าเที่�ากั�บข�อัใด1. 4 : 3 2. 12 : 4 3. 9 : 15 4. 12 : 15


319. ส่ามเหล��ยมร0ปหน"�งม�ด�านยาวด�านละ 4 น#%ว อั�ตราส่�วนขอังพิ(%นที่��

เป-นตารางน#%วต�อัความยาวรอับร0ปเป-นน#%วค(อัข�อัใด1. : 4 2. 14 : 7 3. 2 : 12 4. 7 : 4

10. ถึ�า a = และ b = ข�อัใดถึ0กัต�อัง1. a : b = 7 : 4 2. a : b = 4 : 53. a : b = 5 : 7 4. a : b = 10 : 12

11. อั�ตราส่�วนอัย�างต��าขอัง 4 ล#ตรและ 3,500 ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตรค(อัข�อัใด1. 1 : 2 2. 3 : 4 3. 5 : 9

4. 8 : 7

12. เลขจำ�านวนใดเม(�อัเที่�ยบกั�บ 152 แล�วจำะได�เป-นอั�ตราส่�วนเด�ยวกั�นกั�บ 7 : 191. 43 2. 49 3. 56

4. 64

13. ม�ค�าเที่�ากั�บอั�ตราส่�วนในข�อัใด

1. 1 : 3 2. 3 : 88 3. 44 : 1 4. 88 : 3


1. y : x 2. x : y2 3. y : x2 4. x2 : y2


32


1. 490 : 27 2. 27 : 490 3. 18 : 140 4. 9 : 70

16. ม�ค�าเที่�ากั�บอั�ตราส่�วนในข�อัใด1. (x – 1) : x 2. (x2 – 1) : x 3. (x + 1) : 1

4. 1 : (x – 1)

17. 90 ล#ตร ต�อั 4.5 ถึ�ง ม�ค�าเที่�ากั�บเศษส่�วนในข�อัใด1. 2. 3. 4.

18. เกัษตรกัรผ0�หน"�งเล�%ยงหม0 : ไกั�เป-น 5 : 4 เล�%ยงไกั� : เป-ดเป-น 9 : 1 ถึ�าเกัษตรกัรผ0�น�%ม�เป-ด 8 ต�ว เขาจำะม�หม0�อัย0� กั��ต�ว1. 90 ต�ว 2. 85 ต�ว 3. 45 ต�ว

4. 36 ต�ว

19. เคร(�อังส่0บน�%าเคร(�อังหน"�งส่ามารถึส่0บน�%าได� 600 ล#ตรในเวลา 8 นาที่� ด�งน�%นเคร(�อังส่0บน�%าจำะส่0บน�%าได�นาที่�ละ กั��ล#ตร1. 120 ล#ตร 2. 72 ล#ตร 3. 75 ล#ตร

4. 59 ล#ตร

20. ถึ�าแผนที่��ประเที่ศไที่ยใช่�มาตราส่�วน 1 : 10,000,000 ถึ�าว�ดระยะที่างจำากักัร�งเที่พิฯ ถึ"งเช่�ยงรายได� 8.6 เซึ่นต#เมตร ระยะจำร#งเป-นเที่�าใด1. 86 กั#โลเมตร 2. 860 กั#โลเมตร3. 8,600 กั#โลเมตร 4. 86,000

กั#โลเมตร


3321. ถึ�าร0ปขยายขอังพิยาธี#ว�ดได�ยาว 2 เซึ่นต#เมตร ร0ปขยายน�%ใช่�

มาตราส่�วน 1,000 : 1 ความยาวจำร#งขอังพิยาธี#เป-นเที่�าไร1. 2 เซึ่นต#เมตร 2. 0.2 เซึ่นต#เมตร3. 0.02 เซึ่นต#เมตร 4. 0.002

เซึ่นต#เมตร

22. ม�ค�าเที่�าใด1. % 2. 10,000 MN %

3. 10,000 % 4. 10,000

%

23. 5P : 700P ค#ดเป-นร�อัยละเที่�าใด1. 0.80P% 2. 0.80% 3. 0.35%4. 0.71%

24. 3P : 600Q ค#ดเป-นร�อัยละเที่�าไร1. 0.3 % 2. 0.4 % 3. 0.5 %

4. 0.6 %

25. 100y% ที่�าเป-นเศษส่�วนได�เที่�าใด1. y 2. 3.

4.

26. 27% ขอัง 10 มากักัว�า 26% ขอัง 8 อัย0�เที่�าใด1. 0.47 2. 0.62 3. 0.854. 1.42


3427. 35% ขอัง 8 ต�างกั�บ 32% ขอัง 6 อัย0�เที่�าใด

1. 2.08 2. 1.18 3. 0.884. 0.08

28. ซึ่(%อัขอังมา 500 บาที่ ขายไปได�กั�าไร A% เขาขายไปในราคาเที่�าไร1. 500 + A บาที่ 2. 500 + 3A บาที่ 3. 500 + 5A

บาที่ 4. 500A บาที่

29. พิ�อัค�าปCดปEายราคาส่#นค�าไว�เพิ(�อัจำะขายเอัากั�าไร 40% แต�ถึ�าล0กัค�าซึ่(%อัเง#นส่ด จำะลดให�อั�กั 5% จำงหาว�าพิ�อัค�าคนน�%จำะได�กั�าไรกั��เปอัร�เซึ่)นต� จำากักัารขายเง#นส่ด1. 33% 2. 35% 3. 37%4. 39%

30. แอัลกัอัฮอัล�ผส่มน�%าจำ�านวน 70 ล#ตร ม�น�%าผส่มอัย0� 35% ถึ�าเต#มน�%าลงไปอั�กั 5 ล#ตร จำะเป-นแอัลกัอัฮอัล�กั��เปอัร�เซึ่)นต�1. 59 % 2. 60 % 3. 61 % 4.

62 %

บทท�� บทท�� 2 2

กัารว�ดกัารว�ด

เน��อัหา1. ค�าประมาณจำากักัารว�ด 4. กัารว�ดพิ(%นที่��2. กัารประมาณค�า 5. กัารว�ดปร#มาตรและ

น�%าหน�กั


353. กัารว�ดความยาว

คู�าปัระมาณจากักัารว�ด

1) กัารว�ดโดยปัระมาณเปั3นจ(านวนเต2มท��ใกัล�เคู�ยงท��ส่7ดE FC DA B

ม�ความยาว 6 หน�วยกัว�า แต�ไม�ถึ"ง 6.5 หน�วยAB 6 หน�วย

ม�ความยาว 6 หน�วยกัว�า แต�ยาวเกั#น 6.5 หน�วยCD 7 หน�วย

ม�ความยาว 6.5 หน�วยพิอัด� EF

7 หน�วย

2) กัารว�ดโดยปัระมาณให�ถ8งทศน ยมต(าแหน�งท��หน8�ง

ม�ความยาว 1.6 หน�วยกัว�า แต�ไม�ถึ"ง 1.65 หน�วย

AB 1.6 หน�วยม�ความยาว 1.6 หน�วยกัว�า แต�ยาวเกั#น 1.65

หน�วย CD 1.7 หน�วยม�ความยาว 1.65 หน�วยพิอัด�

EF 1.7 หน�วย


1 2 3 4 5 6 7 8

6.5

7.5

1 21.5

E FCA

D

B

36

แบบฝึ*กัท�กัษะ1. จำงอั�านความยาวขอังเส่�นตรงต�อัไปน�%

1.1)

ความยาวโดยประมาณเป-นจำ�านวนเต)มที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอัง ค(อั หน�วย

1.2)


1.3)


1.4)

ความยาวโดยประมาณ เม(�อัว�ดให�ละเอั�ยดถึ"งที่ศน#ยมต�าแหน�งที่��หน"�งค(อั

หน�วย1.5)


หน�วย


1 2 3 4 5 6 7

A B

1 2 3 4 5 6 7

C D

1 2 3 4 5 6 7

E F

1 1.5 2

A B

1 1.5 2

C D

371.6)


หน�วย2. จำงอั�านความยาวขอังตะป0ในภาพิ

2.1) อั�านเป-นจำ�านวนเต)มที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�ประมาณ หน�วย

2.2) อั�านให�ละเอั�ยดถึ"งที่ศน#ยมต�าแหน�งที่��หน"�งได�ประมาณ หน�วย

กัารปั/ดเศษ

1.กัารปั/ดเศษเม��อัต�อังกัารเปั3นจ(านวนเต2มเช�น 25,736.4ป>ดเป-นจำ�านวนเต)ม ได� 25,736

25,736.4ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มส่#บ ได� 25,740

25,736.4ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มร�อัย ได� 25,700

25,736.4ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มพิ�น ได� 26,000

25,736.4ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มหม(�น ได� 30,000

2.กัารปั/ดเศษเม��อัปัร มาณเปั3นทศน ยมกัารป>ดเศษจำ�านวนเป-นที่ศน#ยม 2 ต�าแหน�ง


1 2 2.5 3

1 1.5 2

E F

38ที่�าโดยพิ#จำารณา เลขโดดขอังที่ศน#ยมต�าแหน�งที่�� 3 ถึ�าเป-น 0, 1, 2, 3, 4 ให�ต�ดที่#%ง

ถึ�าเป-น 5, 6, 7, 8,

9 ให�ป>ดข"%นเช่�น 2.7526 2.753

2.7526 2.82.7526 2.75


1. จำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%1.1) จำ�านวน 11.367 ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มได�เป-น

1.2) จำ�านวน 15.623 ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มได�เป-น

1.3) จำ�านวน 24.543 ป>ดเป-นจำ�านวนเต)มได�เป-น

1.4) จำ�านวน 36.485 ป>ดเป-นที่ศน#ยม 1 ต�าแหน�งได�เป-น



1.7) จำ�านวน 345.6742 ป>ดเป-นที่ศน#ยม 2 ต�าแหน�งได�

เป-น


391.8) จำ�านวน 576.4571 ป>ดเป-นที่ศน#ยม 2 ต�าแหน�งได�

เป-น


1.10) จำ�านวน 1234.5678 ป>ดเป-นที่ศน#ยม 2

ต�าแหน�งได�เป-น

1.11) จำ�านวน 12 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มส่#บที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.12) จำ�านวน 28 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มส่#บที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.13) จำ�านวน 125 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มร�อัยที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.14) จำ�านวน 367 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มร�อัยที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.15) จำ�านวน 2,345 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มพิ�นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.16) จำ�านวน 4,832 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มพิ�นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.17) จำ�านวน 24,561 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มหม(�นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.18) จำ�านวน 36,789 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มหม(�นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

1.19) จำ�านวน 345,218 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มแส่นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น


401.20) จำ�านวน 589,724 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มแส่นที่��

ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

2. จำงเข�ยนจำ�านวนป>ดเศษต�อัไปน�% ตามที่��กั�าหนดจำ�านวนเต)มที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ด

จ(านวน ใกัล�เคู�ยงจ(านวนเต2

มส่ บ

ใกัล�เคู�ยงจ(านวนเต2ม

ร�อัย

ใกัล�เคู�ยงจ(านวนเต2

มพั�น

ใกัล�เคู�ยงจ(านวนเต2

มหม��น2.1) 12,4592.2) 58,5062.3) 5,3782.4) 964,9512.5)1,008,096

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

3. จำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%3.1) จำ�านวน 17.498 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มที่��ใกัล�เค�ยง

ที่��ส่�ดได�เป-น

3.2) จำ�านวน 25.632 อั�านให�เป-นจำ�านวนเต)มที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดได�เป-น

3.3) จำ�านวน 17.832 อั�านให�ละเอั�ยดถึ"งที่ศน#ยม 1

ต�าแหน�ง ได�จำ�านวนที่��ใกัล�เค�ยง ที่��ส่�ดเป-น







ต�าแหน�ง ได�จำ�านวนที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดเป-น


ต�าแหน�ง ได�จำ�านวนที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดเป-น


ต�าแหน�ง ได�จำ�านวนที่�� ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดเป-น

4. จำงเข�ยนค�าตอับ4.1) เช่(อักัเส่�นหน"�งยาว 3.50 เมตร น�ามาต�ดเป-นที่�อันส่�%น

ๆ อัอักัเป-น 3 ที่�อัน เที่�า ๆ กั�น จำะได�เช่(อักัยาวที่�อันละเที่�าไร (ตอับเป-นที่ศน#ยม 1 ต�าแหน�ง)

ตอับ

4.2) ซึ่(%อัผ�ายาว 12 เมตร เป-นเง#นที่�%งส่#%น 500 บาที่ ผ�าราคาเมตรละกั��บาที่ (ตอับเป-นที่ศน#ยม 2 ต�าแหน�ง)


42ตอับ

4.3) น�%าม�นเบนซึ่#นช่น#ดพิ#เศษราคาล#ตรละ 9.79 บาที่ ฉ�น

เต#มน�%าม�นเป-นเง#นที่�%งส่#%น 500 บาที่ ฉ�นเต#มน�%าม�นกั��ล#ตร (ตอับเป-นที่ศน#ยม 2 ต�าแหน�ง)

ตอับ

4.4) ที่��ด#นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�าแปลงหน"�งม�พิ(%นที่�� 1,600

ตารางเมตร ว�ดด�านยาวได� 54.5 เมตร จำงหาด�านกัว�างขอังที่��ด#นแปลงน�% (ตอับเป-นจำ�านวนเต)มเมตร)

ตอับ

4.5) เม(�อัป7 พิ.ศ. 2534 ไที่ยส่�งข�าวเป-นส่#นค�าอัอักัค#ดเป-นปร#มาณ 2,345,671 ต�น และเม(�อัป7 พิ.ศ. 2535

ไที่ยส่�งข�าวเป-นส่#นค�าอัอักัค#ดเป-นปร#มาณ 4,513,461 ต�น จำงหาว�าปร#มาณข�าวในป7 พิ.ศ.

2535 มากักัว�าป7 พิ.ศ. 2534 เที่�าไร (ตอับเป-นจำ�านวนเต)มหม(�น)

ตอับ

4.6) กัร�งเที่พิมหานครม�พิ(%นที่�� 1,565.2 ตารางกั#โลเมตร เม(�อัป7 พิ.ศ. 2535 ม�จำ�านวนประช่ากัรอัย0� 3,648,915 คน โดยเฉล��ยแล�วม�ประช่ากัรอัย0�กั��คนต�อัพิ(%นที่�� 1 ตารางกั#โลเมตร (ตอับเป-นจำ�านวนเต)ม)

ตอับ


43

ม0ลค�าส่#นค�าที่��จำ�าหน�ายได�ใน พิ.ศ. 2533 – 2535 ขอังบร#ษ�ที่ไที่ยเจำร#ญ่เป-นด�งน�%

พิ.ศ. 2533 ม�ม0ลค�า5,255,449 บาที่

พิ.ศ. 2534 ม�ม0ลค�า6,282,438 บาที่

พิ.ศ. 2535 ม�ม0ลค�า7,394,199 บาที่

4.7) จำงหาว�าในช่�วงส่ามป7น�%ม0ลค�าจำ�าหน�ายส่#นค�าขอังบร#ษ�ที่น�%เป-นเที่�าไร (ตอับเป-นจำ�านวนเต)มพิ�น)

ตอับ

4.8) อั�ตรากัารแลกัเปล��ยนเง#นดอัลล�าร�ส่หร�ฐกั�บเง#นไที่ย ในระยะหน"�งค(อัเง#นไที่ย 26.25 บาที่ ส่ามารถึแลกัเง#นดอัลล�าร�ส่หร�ฐได� 1 ดอัลล�าร� ถึ�าฉ�นต�อังกัารน�าเง#นไที่ย 3,000 บาที่ ไปแลกัเง#นดอัลล�าร� จำะได�ประมาณกั��ดอัลล�าร�ตอับ

4.9) ฉ�นซึ่(%อัข�าวส่าร 1 ถึ�ง ราคา 119 บาที่ ผงซึ่�กัฟัอักั 1

กัล�อัง ราคา 48 บาที่ น�%าตาลที่ราย 2 กั#โลกัร�ม 26


44บาที่ และน�%าม�นพิ(ช่ 1 ขวด ราคา 31.50 บาที่ ฉ�นจำ�ายเง#นไปประมาณกั��บาที่ตอับ

4.10) ที่��ด#นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�าว�ดด�านยาวได� 229

เมตร 75 เซึ่นต#เมตร และกัว�าง 115 เมตร 25

เซึ่นต#เมตร ที่��ด#นแปลงน�%ม�พิ(%นที่��ประมาณกั��ตารางเมตรตอับ

กัารปัระมาณคู�า

กัารปัระมาณคู�า ใช่�ในกัารค�านวณที่��ต�อังกัารค�าตอับอัย�างรวดเร)ว โดยใกัล�เค�ยงกั�บค�าตอับจำร#ง ส่ามารถึใช่�กัารประมาณค�าจำ�านวนที่��จำะน�ามาค�านวณกั�อัน แล�วน�าไปหาผลล�พิธี�

EX1. จำ�งหว�ดหน"�งม�ประช่ากัรที่�%งหมด 852,245 คน เป-นช่าย 364,381 คน จำ�งหว�ดน�%ม� ประช่ากัรหญ่#งประมาณกั��คนว ธี�ท(า


45EX2. พิ(%นห�อังหน"�งเป-นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�า กัว�าง 3.57 เมตร

ยาว 5.19 เมตร จำะป0กัระเบ(%อังขนาด 20.4 20.4

ตารางเซึ่นต#เมตร อัยากัที่ราบว�าต�อังใช่�กัระเบ(%อังประมาณกั��แผ�นว ธี�ท(า


1.จำ�กัรเย)บผ�าหล�งหน"�งต#ดราคาไว� 5,520 บาที่ ถึ�าซึ่(%อัเง#นส่ดจำะลดให� 15% ค#ดเป-นเง#นส่�วนลดประมาณกั��บาที่(ตอับประมาณเต)มส่#บ)

2.ที่��ด#นแปลงหน"�งม�ขนาดกัว�าง 429 เมตร ยาว 571 เมตร 75

เซึ่นต#เมตร ที่��ด#นแปลงน�%ม�พิ(%นที่��ประมาณกั��ตารางเมตร

3.ต�อังกัารใช่�ผ�าที่�าฉากั 56.75 เมตร ราคาเมตรละ 78.50 บาที่ จำะต�อังเตร�ยมเง#นประมาณ เที่�าไร(ตอับประมาณเต)มส่#บ)


464.น�กัมวยปล�%าคนหน"�งหน�กั 120 กั#โลกัร�ม น�กัฟั�ตบอัลขอังไที่ย

คนหน"�งหน�กัเพิ�ยง 51% ขอัง น�กัมวยปล�%า น�กัฟั�ตบอัลคนน�%หน�กัประมาณกั��กั#โลกัร�ม

5.เง#นไที่ย 22.96 บาที่ แลกัเง#นญ่��ป�Fนได� 100 เยน ถึ�าม�เง#นไที่ย 8,600 บาที่ จำะแลกัเง#นญ่��ป�Fนได�ประมาณเที่�าไร

กัารว�ดคูวามยาว

หน�วยกัารว�ดความยาวที่��น#ยมใช่�กั�นในประเที่ศไที่ย ได�แกั� หน�วยกัารว�ดความยาวใน

ระบบเมตร#กั ระบบอั�งกัฤษ และมาตราไที่ย หน�วยกัารว�ดความยาวที่��ควรร0 �จำ�กัม�ด�งน�%

หน�วยกัารว�ดคูวามยาวในระบบเมตร กั10 ม#ลล#เมตร เที่�ากั�บ 1 เซึ่นต#เมตร

100 เซึ่นต#เมตร เที่�ากั�บ 1 เมตร 1,000 เมตร เที่�ากั�บ 1

กั#โลเมตร

หน�วยกัารว�ดคูวามยาวในระบบอั�งกัฤษ12 น#%ว เที่�ากั�บ 1ฟั�ต


47 3 ฟั�ต เที่�ากั�บ 1หลา

1,760 หลา เที่�ากั�บ 1ไมล�หน�วยกัารว�ดคูวามยาวในมาตราไทย

12 น#%ว เที่�ากั�บ 1ค(บ 2 ค(บ เที่�ากั�บ 1 ศอักั 4 ศอักั เที่�ากั�บ 1วา20 วา เที่�ากั�บ 1เส่�น400 เส่�น เที่�ากั�บ 1โยช่น� * 1 วา เที่�ากั�บ 2เมตร

หน�วยกัารว�ดคูวามยาวในระบบอั�งกัฤษเท�ยบกั�บระบบเมตร กั (โดยปัระมาณ)

1 น#%ว เที่�ากั�บ 2.54 เซึ่นต#เมตร1 หลา เที่�ากั�บ 0.9144 เมตร1 ไมล� เที่�ากั�บ 1.6093 กั#โลเมตร

Ex3. จำะเปล��ยน 10 วา ให�เป-นเมตรว ธี�ท(าจำากั 1 วา = 2 เมตร

ด�งน�%น 10 วา = 2 10 = 20 เมตรEx4. ระยะที่าง 10 กั#โลเมตร เที่�ากั�บกั��ไมล�

Ex5. ระยะที่าง 2,500 เซึ่นต#เมตร เที่�ากั�บกั��วา


48


1. ให�หาต�วเลขเต#มในช่�อังว�างให�ส่มบ0รณ�1.1) 18 ฟั�ต = หลา1.2) 56 เมตร = เซึ่นต#เมตร1.3) 4 ไมล� = กั#โลเมตร1.4) 30 วา = เมตร1.5) 18 กั#โลเมตร = เมตร1.6) 200 เส่�น = วา1.7) 48 กั#โลเมตร = ไมล�1.8) 4 ไมล� = ฟั�ต1.9) 40 เมตร = วา1.10) 52 วา = เมตร

2. จำงเต#มหน�วยว�ดให�เหมาะส่มลงในช่�อังว�างในแต�ละข�อัต�อัไปน�%2.1) ส่�ดาซึ่(%อัผ�ามาต�ดเส่(%อัที่�%งหมด 1.75

2.2) พิ�อัค�าว�ดเช่(อักัขายให�ล0กัค�าไป 8

2.3) แดงเด#นไปร�านค�าหน�าหม0�บ�านเป-นระยะที่าง 80

2.4) ระยะที่างจำากัอั�าเภอัเม(อังไปที่��น�%าตกัเที่�ากั�บ 18

2.5) ผ�าเช่)ดหน�าขอังพิ��ส่าวกัว�าง 30

2.6) มาล�ว�ดความกัว�างขอังส่�นหน�งส่(อัได� 7


492.7) ส่นามหน�าบ�านกัว�าง 2 ยาว 4

2.8) ส่�เที่พิซึ่(%อัโที่รที่�ศน�ขนาด 21

2.9) ห�อังนอันขอังฉ�นม�ขนาด 4 5

2.10) ระยะที่างจำากัจำ�งหว�ดส่�ราษฎร�ธีาน�ถึ"งกัร�งเที่พิฯ ยาวประมาณ 800

กัารว�ดพั��นท��หน�วยกัารว�ดพั��นท��ในระบบเมตร กั

1 ตารางเซึ่นต#เมตร เที่�ากั�บ 100 หร(อั 102 ตารางม#ลล#เมตร

1 ตารางเมตร เที่�ากั�บ 10,000

หร(อั 104 ตารางเซึ่นต#เมตร1 ตารางกั#โลเมตร เที่�ากั�บ 1,000,000 หร(อั

106 ตารางเมตร

หน�วยกัารว�ดพั��นท��ในระบบอั�งกัฤษ1 ตารางฟั�ต เที่�ากั�บ 144 หร(อั

122 ตารางน#%ว1 ตารางหลา เที่�ากั�บ 9 หร(อั

32 ตารางฟั�ต1 เอัเคอัร� เที่�ากั�บ 4,840 ตารางหลา1 ตารางไมล� เที่�ากั�บ 640 เอัเคอัร�


50หร(อั 1 ตารางไมล� เที่�ากั�บ 1,7602 ตารางหลา

หน�วยกัารว�ดพั��นท��ในมาตราไทย100 ตารางวา เที่�ากั�บ 1 งาน 4 งาน เที่�ากั�บ 1 ไร�

หร(อั 400 ตารางวา เที่�ากั�บ 1 ไร�

หน�วยกัารว�ดพั��นท��ในมาตราไทยเท�ยบกั�บระบบเมตร กั1 ตารางวา เที่�ากั�บ 4 ตารางเมตร1 งาน เที่�ากั�บ 400 ตารางเมตร

หร(อั 1 ไร� เที่�ากั�บ 1,600 ตารางเมตร1 ตารางกั#โลเมตร เที่�ากั�บ 625 ไร�

Ex6. พิ(%นที่�� 13.5 ตารางกั#โลเมตร ค#ดเป-นกั��ตารางเมตรว#ธี�ที่�า เน(�อังจำากัพิ(%นที่�� 1 ตารางกั#โลเมตร เที่�ากั�บ 106

ตารางเมตรด�งน�%นพิ(%นที่�� 13.5 ตารางกั#โลเมตร เที่�ากั�บ 13.5 106 =

Ex7. พิ(%นที่�� ไร� ค#ดเป-นกั��ไร� กั��งานและกั��ตารางวาว#ธี�ที่�า เน(�อังจำากัพิ(%นที่�� 1 ไร� เที่�ากั�บ 400 ตารางวา

ด�งน�%นพิ(%นที่�� ไร� เที่�ากั�บ 400 =

ตารางวาเน(�อังจำากัพิ(%นที่�� 100 ตารางวา เที่�ากั�บ 1 งานด�งน�%นพิ(%นที่�� ตารางวา เที่�ากั�บ พิ(%นที่��


51

น�%นค(อัพิ(%นที่�� ไร� เที่�ากั�บ

ส่ร7ปัส่%ตรท��ใช�คู(านวณหาพั��นท��

พิ(%นที่��วงกัลม = r2

เส่�นรอับร0ป = 2r

พิ(%นที่��ส่ามเหล��ยมใดๆ = ฐาน ส่0งพิ(%นที่��ส่ามเหล��ยมด�านเที่�า = ด�าน 2

พิ(%นที่��ส่��เหล��ยมผ(นผ�า = กัว�าง ยาวพิ(%นที่��ส่��เหล��ยมจำ�ต�ร�ส่ = ด�าน ด�านพิ(%นที่��ส่��เหล��ยมด�านขนาน = ความยาวขอังฐาน ส่0ง

หร(อั = (ผลค0ณขอังเส่�นที่แยงม�ม)

พิ(%นที่��ส่��เหล��ยมขนมเป7ยกัป0น = ความยาวขอังฐาน ส่0งพิ(%นที่��ส่��เหล��ยมคางหม0 = (ผลบวกัขอังด�านค0�ขนาน) ส่0งพิ(%นที่��ส่��เหล��ยมใดๆ = เส่�นที่แยงม�ม ผลบวกัขอังเส่�นกั#�ง

Ex8. ส่นามหญ่�าร0ปส่��เหล��ยมม�มฉากัยาว 31.70 เมตร กัว�าง 15.85 เมตร ต�อังกัารต�ดถึนนรอับพิ(%นที่��ให�อัย0�ในบร#เวณโดยให�ถึนนกัว�าง 1.50 เมตร พิ(%นที่��ถึนนเป-นเที่�าไร


52(ส่มาคมคณ#ต ฯ)

1. 133.65 ตารางเมตร 2. 114.38

ตารางเมตร3. 90.60 ตารางเมตร 4. 69.08

ตารางเมตร

Ex9. จำากัร0ป ABC เป-นส่ามเหล��ยมม�มฉากัม� ABC =

900, BC ยาว 28 น#%ว, AB ยาว x – 4 น#%ว และ AC

ยาว x + 4 น#%ว จำงหาพิ(%นที่��ขอัง ABC

1. 420 ตร.น#%ว2. 540 ตร.น#%ว3. 570 ตร.น#%ว4. 630 ตร.น#%ว

Ex10. ส่��เหล��ยมผ(นผ�าร0ปหน"�งม�ด�านยาวยาวกัว�าด�านกัว�าง 10 เซึ่นต#เมตร และม�เส่�นรอับร0ปยาว 300 เซึ่นต#เมตร จำะม�พิ(%นที่��เที่�าไร


A

B C

x + 4 x -

4

53Ex11. วงกัลมส่อังวงร�ศม� 7 เซึ่นต#เมตร และ 10

เซึ่นต#เมตร ม�จำ�ดศ0นย�กัลางร�วมกั�น จำงหาพิ(%นที่��วงแหวนว#ธี�ที่�า พิ(%นที่��วงแหวน = (R – r)(R +

r)= (10 – 7)(10 +

7)= 3 17= 51 ตาราง

เซึ่นต#เมตร


ให�น�กัเร�ยนหาพิ(%นที่��ขอังร0ปต�อัไปน�% 1. พิ(%นที่��ขอังร0ปส่ามเหล��ยม ABC

2. พิ(%นที่��ขอังร0ปส่��เหล��ยม ABCD

3. พิ(%นที่��ขอังร0ปส่��เหล��ยม MNOP


54

4. หาพิ(%นที่��ขอังส่�วนที่��แรเงา กั�าหนด = 3.144.1

4.2

4.3

4.4

4.5

5. กัระดาษแผ�นหน"�งยาว 26.4 เซึ่นต#เมตร กัว�าง 19.7

เซึ่นต#เมตร ถึ�าต�ดด�านยาวอัอักั 4.8

เซึ่นต#เมตร และต�ดด�านกัว�างอัอักั 3.9 เซึ่นต#เมตร ต�ดกัระดาษอัอักัเป-นพิ(%นที่��เที่�าไร


55 6.พิ(%นที่��ขอังส่��เหล��ยมคางหม0ร0ปหน"�ง เที่�ากั�บ 36 ตาราง

เซึ่นต#เมตร และม�ระยะห�างระหว�างด�านค0�ขนาน 6 เซึ่นต#เมตร ถึ�าความยาวขอังด�านค0�ขนานเป-น x และ y เซึ่นต#เมตร และ x

ม�ค�าเที่�ากั�บ 2y แล�ว จำงหาค�าขอัง x และ y 7.ถึ�งน�%าถึ0กัส่าวข"%นมาจำากับ�อัล"กั 9.68 เมตร โดยใช่�เช่(อักัซึ่"�งจำะ

ถึ0กัหม�นรอับแกันที่��ม�เส่�นผ�านศ0นย�กัลาง 22 เซึ่นต#เมตร จำงหาว�าจำะต�อังหม�นที่��หม�นไปกั��รอับจำ"งจำะน�าถึ�งน�%าข"%นจำากับ�อัได�

8.แผ�นเหล)กัร0ปวงกัลมร�ศม� 6 เซึ่นต#เมตร ม�ราคา 66

ส่ตางค� จำงหาราคาขอังเหล)กัพิ(%นที่�� 3 ตารางเมตร 9.AB เป-นเส่�นผ�านศ0นย�กัลางขอังวงกัลมที่��ม� O เป-น

จำ�ดศ0นย�กัลาง ยาว 8 เซึ่นต#เมตร ส่ร�างคร"�งวงกัลมบน AO

และ BO และส่ร�างวงกัลมที่��ม� P เป-นจำ�ดศ0นย�กัลาง ส่�มผ�ส่กั�บคร"�งวงกัลมที่�%งส่อัง จำงหาพิ(%นที่��ส่�วนที่��แรเงา (แนวเตร�ยมอั�ดม)


56

10. จำากัร0ป พิ(%นที่��ส่�วนที่��แรเงาเที่�ากั�บกั��ตารางหน�วย (แนวมห#ดล

ว#ที่ยาน�ส่รณ�)

กัารว�ดปัร มาตรและน(�าหน�กั

หน�วยกัารว�ดปัร มาตรในระบบเมตร กั1 ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร เที่�ากั�บ 1,000 หร(อั 103

ล0กับาศกั�ม#ลล#เมตร


571 ล0กับาศกั�เมตร เที่�ากั�บ 1,000,000 หร(อั 106

ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร1 ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร เที่�ากั�บ 1 ม#ลล#ล#ตร1 ล#ตร เที่�ากั�บ 1,000 หร(อั 103

ม#ลล#ล#ตรหร(อั 1 ล#ตร เที่�ากั�บ 1,000 หร(อั 103

ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร1,000 ล#ตร เที่�ากั�บ 1 ล0กับาศกั�เมตร

หน�วยกัารว�ดปัร มาตรในระบบอั�งกัฤษ1 ช่�อันช่า เที่�ากั�บ 5 ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร1 ช่�อันโตGะ เที่�ากั�บ 3 ช่�อันช่า1 ถึ�วยตวง เที่�ากั�บ 16 ช่�อันโตGะ

หร(อั เที่�ากั�บ 8 อัอันซึ่�

หน�วยกัารว�ดน(�าหน�กัในระบบเมตร กั1 กัร�ม เที่�ากั�บ 1,000 ม#ลล#กัร�ม1 กั#โลกัร�ม เที่�ากั�บ 1,000 กัร�ม1 ต�น เที่�ากั�บ 1,000 กั#โลกัร�ม1 กั#โลกัร�ม เที่�ากั�บ 2.2046 ปอันด�

หน�วยเปัร�ยบเท�ยบ1 ถึ�ง เที่�ากั�บ 15 กั#โลกัร�ม

เที่�ากั�บ 20 ล#ตร1 เกัว�ยน เที่�ากั�บ 100 ถึ�ง1 กัระส่อับ เที่�ากั�บ 100 กั#โลกัร�ม


58Ex12. แม�ช่งนมให�น�อังด(�มว�นละ 3 ขวด ขวดละ 8 อัอันซึ่�

ในแต�ละว�นน�อังด(�มนมกั��ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตรว ธี�ท(า เน(�อังจำากั 8 อัอันซึ่� = 1 ถึ�วยตวง

นม 3 ขวด ขวดละ 8 อัอันซึ่� ค#ดเป-นนม 3 ถึ�วยตวงและ 1 ถึ�วยตวง = 240 ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร

นม 3 ถึ�วยตวง = 3 240 = 720

ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร

Ex13. กัล�อังผงซึ่�กัฟัอักัม�ด�านกัว�าง 10 เซึ่นต#เมตร ยาว 24

เซึ่นต#เมตร และส่0ง 35 เซึ่นต#เมตร ม�ผงซึ่�กัฟัอักัอัย0� ขอังกัล�อัง จำะม�ผงซึ่�กัฟัอักัอัย0�กั��ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร

Ex14. ถึ�งน�%าร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�าใบหน"�งกัว�าง 10 เมตร เม(�อัไขน�%าอัอักัเป-น 300 ล0กับาศกั�เมตร ระด�บน�%าลดลงจำากัเด#ม 2

เมตร ถึ�งใบน�%ยาวเที่�าไร1. 7 เมตร 2. 15 เมตร3. 18 เมตร 4. 30 เมตร


59

ร%ปัเรขาคูณ ตส่ามม ต

ร%ปัทรงพั�ระม ดปร#มาตร = พิ.ที่.ฐาน ส่0งตรง

= (กัว�าง) (ยาว) (ส่0งตรง)

พิ(%นที่��ผ#ว = พิ.ที่.ฐาน + พิ.ที่.ผ#วข�าง

= (กัว�าง) (ยาว) + (ฐาน)

(ส่0งเอั�ยง)

ร%ปัทรงกัระบอักัปร#มาตรที่รงกัระบอักั = พิ.ที่.ฐาน ส่0ง

= r2 h= r2h

พิ(%นที่��ผ#วที่�%งหมด = พิ.ที่.ฐาน + พิ.ที่.ฝาปCด + พิ.ที่.ผ#วข�าง= r2 + r2 + 2rh= 2r2 + 2rh

ทรงกัระบอักักัลวงปร#มาตรข�างใน = r2h

ปร#มาตรขอังเน(%อัส่ารที่��ใช่�ที่�าที่รงกัระบอักั = R2h – r2h

= h(R2 – r2)

ทรงกัรวย


60

ปร#มาตร = พิ.ที่.ฐาน ส่0งตรง

= r2h

พิ(%นที่��ผ#ว = พิ.ที่.ฐาน + พิ.ที่.ผ#วข�าง = r2 + r

ส่%ตรล�ดหาปัร มาตรร%ปักัรวยท��ยอัดถ%กัต�ด ส่0ตรปร#มาตร =

หร(อัส่0ตรกัารหาปร#มาตร = (3R2 – r2)

ทรงกัลมปร#มาตรที่รงกัลม = r3

พิ(%นที่��ผ#ว = 4r2

ถึ�าเป-นที่รงกัลมกัลวงปร#มาตร = R3 – r3

= (R3 – r3)

ปร#มาตรภายใน = r3

ร%ปัทรงปัร ซ็8มปร#มาตร = พิ(%นที่��ฐาน ส่0งพิ(%นที่��ผ#ว = ผลรวมขอัง พิ.ที่.ผ#วที่�%งหมดขอังแต�ละด�าน

พิ.ที่.วงแหวน = พิ.ที่.วงกัลมใหญ่� – พิ.ที่.วงกัลมเล)กั


61 = R2 – r2

= (R2 – r2)

Ex15. ปร#มาตรตามร0ปม�ค�าเที่�ากั�บข�อัใด1. 26 ล0กับาศกั�หน�วย2. ล0กับาศกั�หน�วย

3. ล0กับาศกั�หน�วย

4. ล0กับาศกั�หน�วย

Ex16. พิ�ระม#ดฐานส่��เหล��ยมจำ�ต�ร�ส่ ยาวด�านละ 6 เซึ่นต#เมตร พิ�ระม#ดน�%ม�ความส่0งตรง 4

เซึ่นต#เมตร พิ(%นที่��ผ#วที่�%งหมดขอังพิ�ระม#ดเป-นเที่�าใด1. 36 ตารางเซึ่นต#เมตร 2. 60 ตาราง

เซึ่นต#เมตร3. 96 ตารางเซึ่นต#เมตร 4. 120 ตาราง

เซึ่นต#เมตรว ธี�ท(า

จำากัร0ป L2 = h2 + 32

L2 = 42 + 32

L2 = 25 L = 5


62พิ.ที่.ผ#วที่�%งหมดขอังพิ�ระม#ด = พิ.ที่.ฐาน + พิ.ที่.ผ#วข�าง

= (ด�าน ด�าน) + 4( ฐาน ส่0งเอั�ยง)

= (6 6) + 4( 6 5)

= 36 + 60= 96 ตารางเซึ่นต#เมตร


1. จำงหาพิ(%นที่��ผ#วขอังพิ�ระม#ดตรงฐานส่��เหล��ยมจำ�ต�ร�ส่ ซึ่"�งม�ฐานยาวด�านละ 18 เซึ่นต#เมตร และม�ส่�นยาว 15 เซึ่นต#เมตร

2. จำงหาปร#มาตรขอังพิ�ระม#ดฐานส่��เหล��ยมผ(นผ�าซึ่"�งม�ด�าน

ประกัอับม�มฉากัยาว 16 เซึ่นต#เมตร และ 24 เซึ่นต#เมตร และม�ส่�นยาว 17 เซึ่นต#เมตร

3. จำงหาปร#มาตรขอังกัรวยต�อัไปน�%3.1 3.2


63

4. จำงหาร�ศม�ขอังที่รงกัลมที่��ม�ปร#มาตร 38,808 ล0กับาศกั�เมตร 5. เหล)กัที่รงกัลมต�น 3 ล0กั เส่�นผ�านศ0นย�กัลาง 6, 8 และ 10

เซึ่นต#เมตร น�ามาหลอัมเป-นแที่�ง เหล)กัที่รงกัระบอักัต�นร�ศม�ฐาน 6 เซึ่นต#เมตร แที่�งเหล)กัจำะส่0งกั��เซึ่นต#เมตร 6. ที่�อัป0นที่�อันหน"�งม�ฐานเป-นร0ปส่��เหล��ยมม�มฉากั ขนาดขอังฐานว�ดภายในได�ยาว 12

เซึ่นต#เมตร กัว�าง 8 เซึ่นต#เมตร ถึ�าที่�อัน�%ม�ความจำ� 4,800

ล0กับาศกั�เซึ่นต#เมตร ที่�อัป0นน�%จำะยาว เที่�าไรและถึ�าใช่�ป0นหนา 1.5 เซึ่นต#เมตร พิ(%นที่��ผ#วภายนอักัเป-นเที่�าไร


64 7. จำากัร0ปจำงหาพิ(%นที่��ผ#วที่�%งหมดและปร#มาตรขอังที่รงส่��เหล��ยมม�มฉากั

8. ในกัารต�ดกัระดาษเพิ(�อัที่�าเป-นร0ปกัรวยเหล��ยม ต�อังต�ดกัระดาษเป-นร0ปด�งภาพิ

ร0ปส่ามเหล��ยมที่�กัร0ปเที่�ากั�นที่�กัประกัาร ด�านข�างขอังร0ปส่ามเหล��ยมยาว 10 เซึ่นต#เมตร ส่��เหล��ยมตรงกัลางเป-นร0ปส่��เหล��ยมจำ�ต�ร�ส่ ม�ด�านยาวด�านละ 12 เซึ่นต#เมตร พิ(%นที่��ขอังกัระดาษที่��จำะที่�ากัรวยเหล��ยมน�%เป-นกั��ตารางเซึ่นต#เมตร


a

b c

65

9. จำากัร0ปวงกัลม 2 วงร�ศม� 2r และ r หน�วย ตามล�าด�บ ถึ�าค�าขอัง r เพิ#�มข"%น 20% แล�วพิ(%นที่�� ส่�วนที่��แรเงาจำะเพิ#�มข"%นกั��เปอัร�เซึ่)นต�


r

66

แบบฝึ*กัท�กัษะท�ายบทแบบฝึ*กัท�กัษะท�ายบทกัารว�ดกัารว�ด

1. 22.1 เป-นที่ศน#ยมหน"�งต�าแหน�งที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอังจำ�านวนในข�อัใด1. 22.049 2. 22.056 3. 22.189

4. 22.156

2. 980,600 เป-นจำ�านวนเต)มร�อัยที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอังจำ�านวนในข�อัใด1. 980,650 2. 980,680 3. 980,630 4. 980,675

3. จำ�านวนเต)มล�านที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอัง 11,502,456 ค(อัจำ�านวนในข�อัใด1. 11,000,000 2. 12,000,0003. 11,500,000 4. 11,502,000

4. จำ�านวนเต)มพิ�นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอังผลบวกัขอัง 23,450 กั�บ 45,896 ค(อัข�อัใด1. 69,000 2. 70,000 3. 69,300

4. 69,400

5. จำ�านวนเต)มพิ�นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอังผลต�างระหว�าง 35,671

กั�บ 23,450 ค(อัข�อัใด1. 12,000 2. 13,000 3. 14,000

4. 15,000


676. จำ�านวนเต)มแส่นที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอัง 76,573,406 ค(อัจำ�านวน

ใด1. 573,406 2. 600,000 3. 76,500,000 4. 76,600,000

7. จำ�านวนเต)มร�อัยล�านที่��ใกัล�เค�ยงที่��ส่�ดขอังผลบวกัระหว�าง 973,543,167 กั�บ 803,467,812 ค(อัจำ�านวนใด1. 1,800,000,000 2. 1,776,000,0003. 1,700,000,000 4. 1,770,000,000

8. ส่นามร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�าม�ด�านกัว�างยาว 40.3 เมตร ด�านยาวยาว 59.8 เมตร ถึ�าล�อัมร�%วโดยรอับที่��ด#นแห�งน�% จำะได�ร� %วยาวประมาณกั��เมตร1. 199 เมตร 2. 200 เมตร 3. 201 เมตร

4. 202 เมตร

9. รถึยนต�ค�นหน"�งว#�งระยะที่าง 64 กั#โลเมตร ใช่�น�%าม�น 5.2 ล#ตร ถึ�ารถึยนต�ว#�งระยะที่าง 280 กั#โลเมตร จำะใช่�น�%าม�นประมาณกั��ล#ตร1. 20 ล#ตร 2. 23 ล#ตร 3. 25 ล#ตร

4. 28 ล#ตร

10. ว#ที่ย�เคร(�อังหน"�งต#ดราคาไว� 3,080 บาที่ ถึ�าซึ่(%อัเง#นส่ดจำะลดให� 20% ค#ดเป-นเง#นส่�วนลดประมาณกั��ร �อัยบาที่1. 400 บาที่ 2. 500 บาที่ 3. 600 บาที่

4. 700 บาที่


68

11. ส่นามร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�ากัว�าง 8 เมตร ยาว 10.50 เมตร ต�อังกัารเที่ป0นซึ่�เมนต�ซึ่"�งช่�างป0นค#ดราคาตารางเมตรละ 375

บาที่ อัยากัที่ราบว�าควรเตร�ยมเง#นไว�ประมาณเที่�าไร1. 30,000 บาที่ 2. 31,000 บาที่ 3. 32,000

บาที่ 4. 33,000 บาที่

12. ส่นามร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�ากัว�าง 8 เมตร ยาว 10.50 เมตร ต�อังกัารเที่ป0นซึ่�เมนต�ซึ่"�งช่�างป0นค#ดราคาตารางเมตรละ 375

บาที่ อัยากัที่ราบว�าควรเตร�ยมเง#นไว�ประมาณเที่�าไร

บทท�� 3 กัารน(าเส่นอัข�อัม%ล

เน��อัหา1. กัารน�าเส่นอัข�อัม0ลด�วยแผนภ0ม#ร0ปวงกัลม2. กัารน�าเส่นอัข�อัม0ลด�วยกัราฟัเส่�น3. ตารางแจำกัแจำงความถึ��

กัารน(าเส่นอัข�อัม%ลด�วยแผนภ%ม ร%ปัวงกัลม


69ว#ธี�น�%เหมาะส่�าหร�บใช่�น�าเส่นอัข�อัม0ลในแง�ขอังกัารเปร�ยบ

เที่�ยบ

EX1. พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปต�าง ๆ ในหน�วยล�านตารางกั#โลเมตร แส่ดงไว�ในตารางต�อัไปน�%

ช��อัทว�ปั เอัเช่�ย แอัฟัร#กัา

อัเมร#กัาเหน(อั

อัเมร#กัาใต�

ย�โรป อัอัส่เตรเล�ย

พั��นท�� (ล�าน ตร.กัม.)

42 30 24 18 9.8 7.6

จำงใช่�แผนภ0ม#วงกัลมแส่ดงพิ(%นที่��ขอังแต�ละที่ว�ปว ธี�ท(า พิ(%นที่��ขอังที่�กัที่ว�ปรวมกั�น= 42 + 30 + 24

+ 18 + 9.8 + 7.6= 131.4 ล�านตาราง

กั#โลเมตร พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปเอัเช่�ย = = 0.32 หร(อั

32% ขอังพิ(%นที่��ที่�%งหมด พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปแอัฟัร#กัา = = 0.23

หร(อั 23% ขอังพิ(%นที่��ที่�%งหมด พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปอัเมร#กัาเหน(อั = = 0.18 หร(อั

18% ขอังพิ(%นที่��ที่�%งหมด พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปอัเมร#กัาใต� = = 0.14

หร(อั 14% ขอังพิ(%นที่��ที่�%งหมด พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปย�โรป = = 0.07 หร(อั

7% ขอังพิ(%นที่��ที่�%งหมด


70

พิ(%นที่��ขอังที่ว�ปอัอัส่เตรเล�ย = = 0.06

หร(อั 6% ขอังพิ(%นที่��ที่�%งหมด

พิ(%นที่��ที่�%งหมด 100% ค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลาง360o

พิ(%นที่��ที่�%งหมด 32%ค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลาง= 115o

พิ(%นที่��ที่�%งหมด 23%ค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลาง= 83 o



พิ(%นที่��ที่�%งหมด 7% ค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลาง= 25o

พิ(%นที่��ที่�%งหมด 6% ค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลาง= 22o

เข�ยนวงกัลมร�ศม�พิอัส่มควร แบ�งม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลางให�เป-น 115o , 83 o, 65 o, 50 o, 25 o

และ 22 o ตามล�าด�บ ลากัแขนขอังม�มที่�%งหมดไปจำนจำดเส่�นรอับวงขอังวงกัลม เข�ยนช่(�อัที่ว�ปและพิ(%นที่��กั�ากั�บไว�ในแต�ละส่�วนที่��แบ�งเอัาไว� จำะได�แผนภ0ม#ร0ปวงกัลมด�งร0ป


ร%ปัภาพัแส่ดงพั��นท��ขอังทว�ปัต�าง ๆ

71หมายเหต7 1% ค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลาง 3.6 อังศา

EX2. แผนภ0ม#ร0ปวงกัลมเปร�ยบเที่�ยบกัารส่�ารวจำผลผล#ตกัารเกัษตร พิ.ศ. 2515 ขอังส่�าน�กังาน

ส่ถึ#ต#แห�งช่าต#เกั��ยวกั�บจำ�านวนครอับคร�วที่��ประกัอับกัารเกัษตรในภาคต�าง ๆ ขอัง

ประเที่ศไที่ย

จำากัแผนภ0ม#ร0ปวงกัลมข�างบน จำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%(1) ภาคใดม�จำ�านวนครอับคร�วประกัอับกัารเกัษตรมากัที่��ส่�ด

ภาคใดม�จำ�านวนครอับคร�วประกัอับกัารเกัษตรน�อัยที่��ส่�ด

(2) ภาคกัลางและภาคใต�ม�จำ�านวนครอับคร�วที่��ประกัอับกัารเกัษตรรวมกั�นน�อัยกัว�าจำ�านวนครอับคร�วที่��ประกัอับกัารเกัษตรขอังภาคตะว�นอัอักัเฉ�ยง

เหน(อักั��ครอับคร�ว และจำ�านวนที่��น�อัยกัว�าน�%ค#ดเป-นกั��เปอัร�เซึ่)นต�ขอังจำ�านวนครอับคร�วที่��

ประกัอับกัารเกัษตรที่�%งหมดในประเที่ศไที่ย


72(3) จำ�านวนครอับคร�วที่��ประกัอับกัารเกัษตรในภาคใต�ค#ดเป-นร�อัยละเที่�าใดขอังภาคเหน(อั

(3) จำ�านวนครอับคร�วที่��ประกัอับกัารเกัษตรในภาคกัลาง

น�อัยกัว�าภาคตะว�นอัอักัเฉ�ยงเหน(อักั��ครอับคร�ว และจำ�านวนที่��น�อัยกัว�าน�%ค#ดเป-นร�อัยละเที่�าใดขอัง

จำ�านวนครอับคร�วที่��ประกัอับกัารเกัษตรในภาคตะว�นอัอักัเฉ�ยงเหน(อั

กัารน(าเส่นอัข�อัม%ลด�วยกัราฟเส่�น

EX3. กัราฟัเส่�นแส่ดงยอัดจำ�านวนหน�ายเส่(%อัและกัางเกังส่�าเร)จำร0ปขอังร�านส่ว�ส่ด#;พิาน#ช่ต�%งแต�ป7

พิ.ศ. 2526 – 2530

จำากักัราฟั จำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%(1) เส่(%อัจำ�าหน�ายได�ส่0งที่��ส่�ดในป7ใด

กัางเกังจำ�านวนได�ส่0งที่��ส่�ดในป7ใด


73(2) เส่(%อัจำ�าหน�ายได�ต��าที่��ส่�ดในป7ใด

กัางเกังจำ�าหน�ายได�ต��าที่��ส่�ดในป7ใด (3) ป7ใดที่��ยอัดจำ�าหน�ายเส่(%อัและกัางเกังม�ความแตกัต�างกั�น

มากัที่��ส่�ด

(4) ป7ใดที่��ยอัดจำ�าหน�ายเส่(%อัและกัางเกังม�ความแตกัต�างกั�นน�อัยที่��ส่�ด

(5) ป7ใดที่��ยอัดจำ�าหน�ายกัางเกังส่0งกัว�าเส่(%อั

EX4. กัราฟัเส่�นแส่ดงจำ�านวนร�อัยละขอังน�กัเร�ยนช่�%นม�ธียมศ"กัษาตอันปลาย โรงเร�ยนส่วน

กั�หลาบว#ที่ยาล�ย ที่��ส่อับเข�าส่ถึาบ�นอั�ดมศ"กัษาได�และไม�ได� ต�%งแต� พิ.ศ. 2517 – 2521

(1) ป7ใดที่��น�กัเร�ยนส่อับเข�าส่ถึาบ�นอั�ดมศ"กัษาได�มากัที่��ส่�ด และป7ใดส่อับได�น�อัยที่��ส่�ด ม�ความแตกัต�างกั�นประมาณเที่�าใด


74(2) ป7ใดที่��น�กัเร�ยนส่อับเข�าส่ถึาบ�นอั�ดมศ"กัษาได�มากัที่��ส่�ด

และป7ใดส่อับได�น�อัยที่��ส่�ด ม�ความแตกัต�างกั�นประมาณเที่�าใด

(3) ป7ใดที่��ช่�วงความแตกัต�างระหว�างจำ�านวนน�กัเร�ยนที่��ส่อับได�กั�บส่อับไม�ได�ม�ความแตกัต�างกั�นมากัที่��ส่�ด และแตกัต�างกั�นประมาณเที่�าใด

ตารางแจกัแจงคูวามถ��

พั ส่�ย = ข�อัม0ลส่0งส่�ด ข�อัม0ลต��าส่�ด–

คูวามกัว�างขอังอั�นตรภาคูช��น =

EX5. จำงที่�าตารางแจำกัแจำงความถึ��ขอังข�อัม0ลต�อัไปน�%โดยให�ม�จำ�านวน 7 บรรที่�ด

72 59 62 78 79 68 9084 86 89 65 76 92 8064 90 73 76 83 90 8173 69 72 73 68 83 8691 84 69 82 73 79 77


75

แบบฝึ*กัท�กัษะ1.ในกัารส่�ารวจำ I.Q. (Intelligence Quotient) ขอัง

น�กัเร�ยนโรงเร�ยนส่วนกั�หลาบว#ที่ยาล�ย กัล��มหน"�ง จำ�านวน 40 คน ปรากัฏผลด�งน�%

I.Q. จ(านวนน�กัเร�ยน (คูน)81 – 8586 – 9091 – 95

96 – 100

101 – 105

106 – 110

111 – 115

116 – 120

244610851

รวม 40

1.1) อั�นตรภาคช่�%นที่�� 3 ค(อั ช่�%น ม�ความถึ��

1.2) อั�นตรภาคช่�%นที่�� 6 ค(อั ช่�%น

1.3) ความกัว�างขอังอั�นตรภาคช่�%นเที่�ากั�บ


761.4) อั�นตรภาคช่�%นใดม�ความถึ��มากัที่��ส่�ด

1.5) จำ�านวนน�กัเร�ยนที่��ม� I.Q. ไม�เกั#น 100 ม�

คน1.6) จำ�านวนน�กัเร�ยนที่��ม� I.Q. เกั#น 110 ม�

คน1.7) จำ�านวนน�กัเร�ยนที่��ม� I.Q. เกั#น 90 แต�ไม�ถึ"ง 111 ม�

คน1.8) ข�อัม0ลช่�ดน�%ม�กั��อั�นตรภาคช่�%น

2.ตารางแจำกัแจำงความถึ��ขอังรายจำ�ายต�อัว�นขอังพิน�กังาน 65

คน ขอังบร#ษ�ที่แห�งหน"�ง ม�ด�งน�%I.Q. จ(านวนน�กัเร�ยน (คูน)

50 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99 100 – 109

110 – 119

81016141052

รวม 65

จำากัตารางแจำกัแจำงความถึ��ด�งกัล�าว จำงเต#มค�าตอับที่��ถึ0กัต�อังที่��ส่�ดลงในช่�อังว�างต�อัไปน�%


772.1) ขนาดขอังอั�นตรภาคช่�%น ค(อั

2.2) อั�นตรภาคช่�%นที่��ม�ความถึ��มากัที่��ส่�ด ค(อั

ม�ความถึ��

2.3) พิน�กังานที่��ม�รายจำ�ายต��ากัว�า 80 บาที่ต�อัว�น ม�ร�อัยละ

2.4) พิน�กังานที่��ม�รายจำ�ายต�%งแต� 90 บาที่ข"%นไป ค#ดเป-นร�อัยละ

2.5) พิน�กังานที่��ม�รายจำ�ายต�%งแต� 70 บาที่ข"%นไป แต�ไม�ถึ"ง 100 บาที่ ม� คน ค#ดเป-นร�อัยละ

2.6) พิน�กังานที่��ม�รายจำ�ายส่0งส่�ดม�จำ�านวน คน

ASSIGNMENT

1. ให�น�กัเร�ยนพิ#จำารณาแผนภ0ม#ร0ปวงกัลมต�อัไปน�%ปัร มาณกัารใช�พัล�งงานในคูร�วเร�อันชนบทไทย เม��อั พั.ศ.

2524จ(าแนกัตามว�ส่ด7ท��ใช�เปั3นพัล�งงาน


78จำากัแผนภ0ม#ร0ปวงกัลมจำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%1.1) ปร#มาณกัารใช่�แกัลบ ฟัาง และที่างมะพิร�าวรวมกั�นแล�ว

น�อัยกัว�าปร#มาณกัารใช่�ฟัBนอัย0�กั��เปอัร�เซึ่)นต�

1.2) เม(�อั พิ.ศ. 2524 ถึ�า 100% ค#ดเป-นปร#มาณว�ส่ด� 10,087 ล�านกั#โลกัร�ม จำงหาปร#มาณกัารใช่�แกัลบเป-นพิล�งงานในคร�วเร(อันช่นบที่ไที่ย

1.3) เม(�อั พิ.ศ. 2524 ปร#มาณกัารใช่�ฟัBนมากักัว�าปร#มาณกัารใช่�ถึ�านกั��ล�านกั#โลกัร�ม ถึ�าปร#มาณกัารใช่�พิล�งงานในคร�วเร(อันช่นบที่ไที่ยที่�กัประเภที่ขอังว�ส่ด�ที่��ใช่�เป-นพิล�งงาน เป-น 10,087 ล�านกั#โลกัร�ม

1.4) ปร#มาณกัารใช่�ฟัางและที่างมะพิร�าวรวมกั�นค#ดเป-นกั��เปอัร�เซึ่)นต�ขอังปร#มาณกัารใช่�ถึ�าน

2. ให�น�กัเร�ยนพิ#จำารณากัราฟัเส่�นต�อัไปน�%ปัร มาณไม�ส่�กัและไม�ปัระด%�ท��ผล ตในปัระเทศไทย พั.ศ. 2528

– 2533


79

ที่��มา : ส่ม�ดส่ถึ#ต#รายป7ประเที่ศไที่ย 2532 และ 2534 (ฉบ�บย�อัย)

จำากักัราฟัเส่�น จำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%2.1) ใน พิ.ศ. ใดบ�างที่��ปร#มาณไม�ส่�กัที่��ผล#ตได�ม�มากักัว�าไม�

ประด0�

2.2) ใน พิ.ศ. ใดที่��ปร#มาณขอังไม�ส่�กัและไม�ประด0�ที่��ผล#ตได�แตกัต�างกั�นมากัที่��ส่�ด และแตกัต�างกั�นประมาณกั��ล0กับาศกั�เมตร

2.3) ในช่�วงพิ.ศ. 2531 – 2533 ปร#มาณไม�ส่�กัและไม�ประด0�ที่��ผล#ตได�ม�ล�กัษณะกัารเปล��ยนแปลงเป-นอัย�างไร และช่น#ดใดม�กัารเปล��ยนแปลงมากักัว�า

2.4) ใน พิ.ศ. 2532 ปร#มาณไม�ส่�กัที่��ผล#ตได�ค#ดเป-นกั��เปอัร�เซึ่)นต�ขอังปร#มาณไม�ประด0�ที่��ผล#ตได�ในป7เด�ยวกั�น (ตอับเป-นค�าประมาณขอังจำ�านวนเต)มหน�วย)

2.5) ปร#มาณไม�ประด0�ในป7ที่��ผล#ตได�มากัที่��ส่�ดและในป7ที่��ผล#ตได�น�อัยที่��ส่�ด แตกัต�างกั�นประมาณกั��ล0กับาศกั�เมตร


80

3. ตารางแส่ดงรายได�ในแต�ละว�นขอังคนในช่�มช่นแห�งหน"�งจำ�านวน 50 คน เป-นด�งน�%

รายได� (บาท)

จ(านวนคูน

50 – 7475 – 99

100 – 124125 – 149150 – 174175 – 199200 – 224

2510171042

รวม 50

จำากัตารางแจำกัแจำกัความถึ��ข�างต�นจำงตอับค�าถึามต�อัไปน�%3.1) ตารางแจำกัแจำงความถึ��น�%ม�กั��อั�นตรภาคช่�%น แต�ละ

อั�นตรภาคช่�%นม�ความกัว�างเที่�ากั�น หร(อัไม�

3.2) ความกัว�างขอังอั�นตรภาคช่�%น 75 – 99 เป-นเที่�าไร

3.3) ผ0�ที่��ม�รายได�ต�%งแต� 100 บาที่ แต�ไม�ถึ"ง 150 บาที่ ม�กั��คน

3.4) ผ0�ที่��ม�รายได�น�อัยกัว�า 125 บาที่ ม�กั��คน

3.5) ผ0�ที่��ม�รายได�เกั#นกัว�า 174 บาที่ ม�อัย0�กั��เปอัร�เซึ่)นต�ขอังผ0�ม�รายได�ที่��ส่�ารวจำมาจำากัช่�มช่น

แห�งน�%


81ให�ใช�ข�อัม%ลจากักัราฟข�างล�างน��ตอับคู(าถามข�อั 4 – 9

กัราฟัเส่�นแส่ดงความเคล(�อันไหวขอังราคาขายส่�งส่�กัรที่�%งต�วในตลาดกัร�งเที่พิฯ ต�%งแต�เด(อัน

มกัราคมถึ"งธี�นวาคม พิ.ศ. 2528 เที่�ยบกั�บเด(อันมกัราคมถึ"งธี�นวาคม พิ.ศ. 2527

4. ใน พิ.ศ. 2527 ราคาขายส่�งส่�กัรในตลาดกัร�งเที่พิฯ ส่0งส่�ดในเด(อันใด1. ม�นาคม, เมษายน 2. พิฤษภาคม,

ม#ถึ�นายน3. มกัราคม, กั�มภาพิ�นธี� 4. กั�นยายน, ต�ลาคม

5. ใน พิ.ศ. 2528 ราคาขายส่�งส่�กัรในตลาดกัร�งเที่พิฯ ส่0งส่�ดในราคาต�วละประมาณกั��บาที่1. 2,500 บาที่ 2. 2,525 บาที่ 3. 2,550 บาที่4. 2,600 บาที่

6. ใน พิ.ศ. 2528 ราคาขายส่�งส่�กัรในตลาดกัร�งเที่พิฯ เที่�ากั�นในเด(อันใดบ�าง1. เมษายน, พิฤษภาคม, ส่#งหาคม, กั�นยายน

2. มกัราคม, ม�นาคม, ม#ถึ�นายน, กัรกัฎาคม 3. กั�มภาพิ�นธี�, ม�นาคม, พิฤศจำ#กัายน, ธี�นวาคม

4. กั�นยายน, ต�ลาคม, พิฤศจำ#กัายน, ธี�นวาคม


82

7. ใน พิ.ศ. 2527 ราคาขายส่�งส่�กัรในตลาดกัร�งเที่พิฯ ส่0งส่�ดราคาต�วละเที่�าไร1. 2,600 บาที่ 2. 2,650 บาที่ 3. 2,675 บาที่4. 2,700 บาที่

8. พิ#จำารณาจำากักัราฟั แนวโน�มขอังจำ�านวนส่�กัรต�%งแต�เด(อันมกัราคมถึ"งม#ถึ�นายน 2528 ม�แนวโน�มเป-นอัย�างไร1. ลดลง 2. เที่�าเด#ม 3. เพิ#�มข"%น 4.

ย�งส่ร�ปไม�ได�

9. ใน พิ.ศ. 2527 และ พิ.ศ. 2528 ขอังเด(อันต�ลาคม ราคาขายส่�งส่�กัรในตลาดกัร�งเที่พิ ฯ ต�างกั�นเที่�าไร1. 150 บาที่ 2. 200 บาที่ 3. 250 บาที่4. 300 บาที่

ให�ใช�ข�อัม%ลจากัแผนภ%ม ร%ปัวงกัลมข�างล�างน�� ตอับคู(าถามข�อั 10 – 16

10. ค�าช่มมหรส่พิควรอัย0�ในรายกัารใด1. ค�าอัาหาร 2. ค�าเช่�าบ�าน 3. ค�ารถึ 4.

อั(�น ๆ

11. ซึ่(%อัที่�เร�ยน ขนมไข� ควรอัย0�ในรายกัารใด–


831. ค�ารถึ 2. ค�าอัาหาร 3. ค�าเช่�าบ�าน4. อั(�น ๆ

12. ค�าเช่�าบ�านค#ดเป-นกั��เปอัร�เซึ่)นต�ขอังค�าอัาหาร1. 21 % 2. 25 % 3. 30 % 4.

36 %

13. ค�าเช่�าบ�านค#ดเป-นม�มที่��จำ�ดศ0นย�กัลางขอังวงกัลมกั��อังศา1. 68.4o 2. 79.2 o 3. 83.5 o 4. 85.3 o

14. ในแต�ละเด(อันเส่�ยค�าอัาหารเที่�าไร1. 3,900 บาที่ 2. 4,000 บาที่ 3. 4,250 บาที่4. 4,800 บาที่

15. ในแต�ละเด(อันต�อังเส่�ยค�ารถึมากักัว�าค�าใช่�จำ�ายอั(�น ๆ เที่�าไร1. 150 บาที่ 2. 160 บาที่ 3. 170 บาที่4. 180 บาที่

16. รายได�ที่�%งหมดขอังเขาในแต�ละเด(อันค#ดเป-นกั��เที่�าขอังค�ารถึ1. 5 เที่�า 2. 10 เที่�า 3. 15 เที่�า 4.

20 เที่�า

ให�ใช�ข�อัม%ลจากัตารางข�างล�างน��ตอับคู(าถามข�อั 17 – 26

ตารางแจำกัแจำงความถึ��ขอังน�%าหน�กัที่หารเกัณฑ์�

57 – 6061 – 6465 – 6869 – 72

///////

//// /////// ////

34812


8473 – 7677 – 80

////// /

//

62

รวม 35

17. ความถึ��ส่0งส่�ดเที่�ากั�บเที่�าไร1. 4 2. 6 3. 12 4. 8

18. หมายเลข ควรใช่�ข�อัความอัย�างไร1. ความถึ�� 2. รอัยข�ดแส่ดงจำ�านวนคร�%ง3. จำ�านวนคะแนนด#บ 4. ช่�วงคะแนน

19. ที่หารเกัณฑ์�ส่�วนใหญ่�ม�น�%าหน�กัประมาณเที่�าไร1. 69 – 72 2. 65 – 68 3. 73 – 764. 77 – 80

20. ที่หารเกัณฑ์�ที่��ม�น�%าหน�กัมากักัว�าคนอั(�น ๆ ม�กั��คน1. 5 คน 2. 3 คน 3. 2 คน 4. 4

คน21. อั�นตรภาคช่�%นที่��ม�ความถึ��น�อัยที่��ส่�ดในตารางค(อัข�อัใด

1. 77 – 80 2. 73 – 76 3. 69 – 724. 65 – 68

22. ที่หารที่��ม�น�%าหน�กั 69 กั#โลกัร�มข"%นไปม�กั��คน1. 10 คน 2. 15 คน 3. 20 คน 4.

25 คน23. หมายเลข ค(อัอัะไร

1. ช่�วงคะแนน 2. น�%าหน�กั3. ความถึ�� 4. จำ�านวนคะแนนด#บ


8524. ตารางน�%ม�จำ�านวนช่�%นขอังน�%าหน�กักั��ช่� %น

1. 5 ช่�%น 2. 6 ช่�%น 3. 8 ช่�%น 4.

10 ช่�%น

25. แต�ละช่�%นม�ช่�วงน�%าหน�กัห�างกั�นเที่�าไร1. 12 กั#โลกัร�ม 2. 10 กั#โลกัร�ม 3. 8 กั#โลกัร�ม4. 4 กั#โลกัร�ม

26. กัล��มน�%ม�ที่หารเกัณฑ์�กั��คน1. 25 คน 2. 29 คน 3. 30 คน4. 35 คน

บทท�� 4 คูวามเท�ากั�นท7กัปัระกัาร

เน��อัหา1. ความเที่�ากั�นที่�กัประกัาร2. ความเที่�ากั�นที่�กัประกัารขอังร0ปส่ามเหล��ยม3. ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปที่��ส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ด�าน ม�ม – –

ด�าน 4. ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปที่��ส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ม�ม ด�าน ม�ม – –

5. ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปที่��ส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ด�าน ด�าน – –

ด�าน


866. ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปที่��ส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ด�าน ฉากั – –

ด�าน 7. ร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��ว

คูวามเท�ากั�นท7กัปัระกัาร

บทน ยาม ร0ปส่อังร0ปจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร กั)ต�อัเม(�อัส่ามารถึน�าร0ปหน"�งที่�บอั�กั ร0ปหน"�งได�ส่น#ที่พิอัด�

เม(�อัน�าร0ป 1 ที่�บบนร0ป 2 จำะเห)นว�า

เร�ยกัร0ป 2 ร0ปน�%ว�า

คูวามเท�ากั�นท7กัปัระกัารขอังส่�วนขอังเส่�นตรงบทน ยาม ส่�วนขอังเส่�นตรงส่อังเส่�นเที่�ากั�นที่�กัประกัาร เม(�อั

ส่�วนขอังเส่�นตรงส่อังเส่�นน�%นยาวเที่�ากั�นเข�ยนแที่นด�วย

หร(อั AB = CD

คูวามเท�ากั�นท7กัปัระกัารขอังม7มบทน ยาม ม�มส่อังม�มจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร เม(�อัม�มที่�%งส่อัง

น�%นม�ขนาดเที่�ากั�น


A B

CD

4 ซึ่ม.

4 ซึ่ม.

87พิ#จำารณาม�มที่�%งส่อังต�อัไปน�%

เข�ยนแทนด�วย

หร(อั

ม7มตรงข�าม (Vertical Angles)

ถึ�า ต�ดกั�บ ที่��จำ�ด O ด�งร0ปม�ม กั�บ

กั�บ กั�บ กั�บ กั�บ กั�บ

ว ธี�พั ส่%จน-ว�าม7มตรงข�ามเท�ากั�นข�อัคูวามท��พั ส่%จน- เหต7ผล

1) + = 180o

2) + = 180o

3) + = + 4) = 5) =

1)ขนาดขอังม�มตรง

2)ขนาดขอังม�มตรง

3)ต�างเที่�ากั�บ 180o

4)จำากัข�อั 3 ลบ อัอักัที่�%งส่อังข�าง5)พิ#ส่0จำน�ที่�านอังเด�ยวกั�บข�อั 1 ถึ"ง 4


B

CA

M

NO

A

BC

D

O123

4

เร�ยกั

เร�ยกั

88จากักัารพั ส่%จน- ท(าให�ได�ว�า

เส่�นตรงส่อังเส่�นต�ดกั�น ม�มตรงข�ามย�อัมม�ขนาดเที่�ากั�น


1.จำงตรวจำด0ว�าร0ปค0�ใดบ�างเที่�ากั�นที่�กัประกัาร1.1)

ตอับ

1.2) ตอับ

1.3) ตอับ

1.4) ตอับ

2.จำงเต#มข�อัความลงในช่�อังว�าง เพิ(�อัให�กัารพิ#ส่0จำน�ส่มบ0รณ�และถึ0กัต�อัง

จำากัร0ป กั�าหนดให� =

จำงพิ#ส่0จำน�ว�า =


กั ข คู ง

กั ข คู ง

A B C

D

E FG

H

AB

C

D E

FG

H

T

X

Y Z

A B

C

D

E

89พั ส่%จน-ข�อัคูวามท��พั ส่%จน- เหต7ผล

1)

2)

3)

1)กั�าหนดให�2)……………………………

…………………3)……………………………

…………………

คูวามเท�ากั�นท7กัปัระกัารขอังร%ปัส่ามเหล��ยม

พิ#จำารณาร0ปต�อัไปน�%

เม(�อัยกัร0ปส่ามเหล��ยมที่�%งส่อังวางซึ่�อันกั�นโดยให�จำ�ด A ที่�บจำ�ด D, จำ�ด B ที่�บจำ�ด E และจำ�ด C ที่�บจำ�ด F จำะเห)นว�าที่�บกั�นได�ส่น#ที่พิอัด� น��นค(อั AEF DEF ผลจำากักัารเที่�ากั�นที่�กัประกัารจำะได�ว�า

ซึ่"�งเป-นไปตามส่มบ�ต#ขอังความเที่�ากั�นที่�กัประกัารขอังร0ป

ส่ามเหล��ยมด�งน�%

ถึ�าร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปเที่�ากั�นที่�กัประกัารแล�ว ด�านและม�มขอังร0ป


A B

C

E

F

D

90ส่ามเหล��ยมที่�%งส่อังม�ขนาดเที่�ากั�นเป-นค0� ๆ กัล�าวค(อั ม�ด�านที่��ยาวเที่�ากั�นส่ามค0� ด�านต�อัด�าน และม�ม�มที่��ม�ขนาดเที่�ากั�นส่ามค0� ม�มต�อัม�ม

ร%ปัส่ามเหล��ยมส่อังร%ปัท��ส่�มพั�นธี-กั�นแบบ ด�าน – ม7ม ด�าน–

ถึ�าร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปใด ๆ ม�ด�านยาวเที่�ากั�นส่อังค0� และม�มในระหว�างด�านค0�ที่��ยาวเที่�ากั�น ม�ขนาดเที่�ากั�นแล�ว ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปน�%นจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร

จำากัร0ป ถึ�า ABC และ XYZ ม�


A B

C

X Y

Z

91

และ

ด�งน�%น

กัล�าวได�ว�า ABC และ XYZ ม�ความส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ

เข�ยนแที่นด�วย

EX. 1จำากัร0ป กั�าหนดให� AD = AB และ

จำงพิ#ส่0จำน�ว�า 1. DAC BAC

2. DC = BC

ข�อัคูวามท��พั ส่%จน- เหต7ผล1)……………………

…………..2)……………………

…………..3)……………………

…………..4)……………………

…………..5)……………………

…………..

1)………………………………………………

2)………………………………………………

3)………………………………………………

4)………………………………………………

5)………………………………………………

EX. 2 จำงพิ#จำารณาร0ปส่ามเหล��ยมในแต�ละข�อั ส่ามเหล��ยมค0�ใดบ�างที่��เที่�ากั�นที่�กัประกัาร แบบ ด�าน ม�ม ด�าน– –(1) (2)


A

B

C

D

92

(3) (4)

ร0ปส่ามเหล��ยมค0�ที่��เที่�ากั�นที่�กัประกัารแบบ ด ม ด ค(อั – –


1.จำงเต#มค�าตอับลงในช่�อังว�างให�ถึ0กัต�อัง1.1) กั�าหนด MNO MTO

TO = =

MO =

1.2) กั�าหนด PAD MAN

ส่มน�ยกั�บ =

จำ�ด N ส่มน�ยกั�บ

1.3) กั�าหนด ABD CDBAD =

=


OM

N

T

A

P

D

M

N

A B

CDD

93 =

2.จำากัร0ปและเคร(�อังหมายที่��กั�าหนดให� ข�อัใดที่��ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ด.ม.ด.2.1) 2.2)

2.3) 2.4)

2.5) 2.6)

ร0ปส่ามเหล��ยมที่��ส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ด.ม.ด. ได�แกั�

3. จำากัร0ป กั�าหนดให� และ MP = SN


O

SM

N P

94จำงพิ#ส่0จำน�ว�า 1. MPN

SNP2. MN = SP

พั ส่%จน-ข�อัคูวามท��พั ส่%จน- เหต7ผล

1)MP = SN2)

3)………………………………

4)………………………………

5)………………………………

1)………………………………………………...

2)………………………………………………...

3)………………………………………………...

4)………………………………………………...

5)………………………………………………...

4. จำากัร0ป กั�าหนดให� ABC เป-นร0ปส่ามเหล��ยมด�านเที่�า

ม� AX = BY

จำงพิ#ส่0จำน�ว�า ABY = CAX


1)………………………………

2)………………………………

1)………………………………………………...

2)………………………………………………...


A B

C

X

Y

953)…………………

……………4) ………………………………

3)………………………………………………...

4)………………………………………………...

ร%ปัส่ามเหล��ยมส่อังร%ปัท��ส่�มพั�นธี-กั�นแบบ ม7ม – ด�าน ม7ม–

ถึ�าร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปใด ๆ ม�ม�มที่��ม�ขนาดเที่�ากั�นส่อังค0� และด�านซึ่"�งเป-นแขนร�วม

ขอังม�มค0�ที่��เที่�ากั�นยาวเที่�ากั�นแล�ว ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปน�%นจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร

จำากัร0ป ถึ�า ABC และ XYZ ม�

และ

ด�งน�%น

จำะเห)นได�ว�า ABC และ XYZ ม�ความส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ


96เข�ยนแที่นด�วย

EX. 3 กั�าหนดให� MNST เป-นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�า จำงพิ#ส่0จำน�ว�า MST SMN


1)………………………………

2)………………………………

3)………………………………

4)………………………………

1)………………………………………………

2)………………………………………………

3)………………………………………………

4)………………………………………………


1.จำากัร0ปและเคร(�อังหมายความเที่�ากั�นที่��กั�ากั�บไว� ข�อัใดแส่ดงว�าร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปม�ความส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ม7ม ด�าน ม7ม – –1.1) 1.2)

1.3) 1.4)


T S

M N

97

1.5) 1.6)

1.7) 1.8)

ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปที่��ส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ ม�ม ด�าน ม�ม ได�แกั� – –

ร%ปัส่ามเหล��ยมส่อังร%ปัท��ส่�มพั�นธี-กั�นแบบ ด�าน – ด�าน ด�าน –

ถึ�าร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปใด ๆ ม�ด�านยาวเที่�ากั�นส่ามค0� ด�านต�อัด�านแล�ว

ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปน�%นจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร


A D

B C E F

98

จำากัร0ป ถึ�า ABC และ DEF ม�

และ

ด�งน�%น

กัล�าวได�ว�า ABC และ DEF ม�ความส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ


EX. 4 จำากัร0ป กั�าหนดให� ABCD

เป-นร0ปส่��เหล��ยมด�านขนาน ม� เป-นเส่�นที่แยงม�ม จำงพิ#ส่0จำน�ว�า


1)……………………………

2)……………………………

3)……………………………

4)……………………………

5)……………………………

1)…………………………………………………..

2)…………………………………………………..

3)…………………………………………………..

4)…………………………………………………..

5)…………………………………………………..


A B

CD

99

ร %ปัส่ามเหล��ยมส่อังร%ปัท��ส่�มพั�นธี-กั�นแบบ ด�าน – ฉากั ด�าน –

ถึ�าร0ปส่ามเหล��ยมม�มฉากัส่อังร0ปใด ๆ ม�ด�านตรงข�ามม�มฉากัและด�านอั�กัด�านหน"�ง

ยาวเที่�ากั�นแล�ว ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปน�%นจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร

จำากัร0ป ถึ�า ABC และ DEF ม�

และ

ด�งน�%น

กัล�าวได�กัว�า ABC และ DEF ม�ความส่�มพิ�นธี�กั�นแบบ


EX. 5 กั�าหนดให� และ เป-นม�มฉากั และ BC = DA

จำงพิ#ส่0จำน�ว�า AB = CD

พั ส่%จน-ข�อัคูวามท��

พั ส่%จน-เหต7ผล


A

B C

DD

E F

A B

CD

1001)……………

………2)……………

………3)……………

………4)……………

………5)……………

………

1)……………………….

2)……………………….

3)……………………….

4)……………………….

5)………………………


1.ร0ปส่ามเหล��ยมแต�ละค0�ในข�อัต�อัไปน�%เที่�ากั�นที่�กัประกัารด�วยความส่�มพิ�นธี�แบบใด(ด.ม.ด., ม.ด.ม., ด.ด.ด., ด.ฉ.ด.)1.1) 1.2)

ABC ABD ABC ADE 1.3) 1.4)


A B

C

D

A B

E

D

C

A B

CD

A B

C

D

101 ABC BAD ABC BDC 1.5) 1.6)

ADC ADB ABC BAD 1.7) 1.8)

ABC ADC ABC EBD

1.9) 1.10)

ABD CDB ABC DBE

2.กั�าหนดให� PA = SQ และ PR = SR ด�งร0ปจำงพิ#ส่0จำน�ว�า แบ�งคร"�ง


1)…………………………….

2)…………………

1)…………………………………………………..

2)………………………………


D

A B

CA B

C

D

A

B

C

D AB

C

D

E

A B

CD

A

B

C

E

DD

Q

S

R

P

102………….

3)…………………………….

4)…………………………….

5)…………………………….

6)…………………………….

…………………..3)………………………………

…………………..4)………………………………

…………………..5)………………………………

…………………..6)………………………………

…………………..

3. จำากัร0ป กั�าหนดให� ABC และ DEC เป-น ม�มฉากั ม� AB = DE และ BC = ECจำงพิ#ส่0จำน�ว�า AC = DC


1)…………………………….

2)…………………………….

3)…………………………….

4)…………………………….

5)…………………………….

1)…………………………………………………..

2)…………………………………………………..

3)…………………………………………………..

4)…………………………………………………..

5)…………………………………………………..

ร%ปัส่ามเหล��ยมหน�าจ��ว


A B

C

DD

E

103

บทน ยาม ร%ปัส่ามเหล��ยมหน�าจ��ว ค(อั ร0ปส่ามเหล��ยมที่��ม�ด�านส่อังด�านยาวเที่�ากั�น

ตามร0ป ABC ม�AB = ACด�งน�%น ABC เป-นส่ามเหล��ยม

หน�าจำ��วฐาน =

ม�มที่��ฐาน =

ม�มยอัด =

EX. 6 กั�าหนดให� PQR เป-นร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��ว ม� PQ = PR

ต�%งฉากักั�บ ที่��จำ�ด Sจำงพิ#ส่0จำน�ว�า 1) แบ�งคร"�ง

2) QS = RS


1)PQ = PR

2)

3)PS = PS4)……………………

…………..5)……………………

1)………………………………………………

2)………………………………………………

3)………………………………………………


ม�มยอัด

ม�มที่��ฐาน

ม�มที่��ฐาน

ฐาน

A

B C

Q RS

P

104…………..

6)………………………………..

7)………………………………..

4)………………………………………………

5)………………………………………………

6)………………………………………………

7)………………………………………………


1.จำงพิ#จำารณาร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��วที่��กั�าหนดให� แล�วบอักัว�าด�านใดเป-นฐาน ม�มที่��ฐาน และม�มยอัด

ฐาน ม7มท��ฐาน ม7มยอัด1.1)

1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

……………..

……………..

……………..

……………..

………………………..

………………………..

………………………..

………………………..

……………

……………

……………

……………


Q

PR

A

B C

X

Y

Z

D

E

F

K L

M

105

……………..

………………………..

……………

2. จำากัร0ป กั�าหนดให� ที่��จำ�ด X

จำงหาขนาดขอัง

3. จำากัร0ป จำงหาขนาดขอัง

4. จำากัร0ป จำงหาขนาดขอัง


X E Y

ZF

m

15o

65o

O

N

KL

M

150oP Q R

ST

106

ASSIGNMENT

1. ร0ปค0�ใดเที่�ากั�นที่�กัประกัาร1. 2.

3. 4.

2. ข�อัใดเป-นเที่)จำ1. ร0ปส่อังร0ปซึ่�อันที่�บกั�นส่น#ที่พิอัด� แส่ดงว�าร0ปส่อังร0ปน�%นเที่�า

กั�นที่�กัประกัาร2. ส่�วนขอังเส่�นตรงส่อังเส่�นจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร เม(�อัความยาว

ขอังส่�วนขอังเส่�นตรงน�%นเที่�ากั�น3. ม�มส่อังม�มจำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร เม(�อัความยาวขอังส่�วนขอัง

เส่�นตรงที่��ประกัอับกั�นเป-นม�มส่อังเส่�นยาวเที่�ากั�น4. เส่�นตรงส่อังเส่�นต�ดกั�น จำะได�ม�มตรงข�ามเที่�ากั�นส่อังค0�

3. ถึ�าร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปเที่�ากั�นที่�กัประกัารแล�ว ข�อัใดถึ0กัต�อัง


A B C

D

3”3”2”

2”

2”

2”

2”

2”

2”

2”

1071. ม�ม�มเที่�ากั�นที่�กัม�ม ม�มต�อัม�ม 2. ม�ด�านเที่�ากั�นที่�กัด�าน ด�านต�อัด�าน3. ม�เส่�นรอับร0ปยาวเที่�ากั�นที่�%งส่อังร0ป 4. ม�พิ(%นที่��เที่�ากั�นที่�%งส่อังร0ป

4. ร0ปเรขาคณ#ต 2 ร0ปใด ๆ ที่��ม�พิ(%นที่��เที่�ากั�นแล�ว จำะเที่�ากั�นที่�กัประกัาร1. ร0ปส่ามเหล��ยมม�มฉากั 2. ร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�า3. ร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��ว 4. ร0ปคร"�งวงกัลม

5. จำากัร0ป ABC XYZ ล�กัษณะในข�อัใดที่��ส่มน�ยกั�นอัย�างถึ0กัต�อัง

1. จำ�ด A ส่มน�ยกั�บจำ�ด Y2. ส่มน�ยกั�บ 3. ส่มน�ยกั�บ 4. ส่มน�ยกั�บ

6. จำากัร0ป ร0ปส่ามเหล��ยมส่อังร0ปน�%เที่�ากั�นที่�กัประกัาร ข�อัใดไม�ถึ0กัต�อัง

1. = 75o

2. = 75o

3. = 75o

4. = 75o

7. จำากัร0ป KLMN เป-น จำ�ต�ร�ส่ ม� X เป-นจำ�ดกั"�งกัลาง ถึ�าต�อั พิบ ที่��ต�อัอัอักัไป ที่��จำ�ด P NMX PLX ด�วย

ความส่�มพิ�นธี�แบบใด


A B

C Z

X Y

abd

c 55o

75o

1081. ด.ม.ด.

2. ม.ด.ม.

3. ด.ด.ด.

4. ด.ฉ.ด.

8. จำากัร0ป ABC และ ABD ต�างเป-น หน�าจำ� �ว ด�งน�%น ADC BDC เน(�อังจำากัข�อัใด

1. AC = BC,

, DC

= DC2. AD = BD,

, DC

= DC3. AC = BC, DC = DC,

AD = BD

4. , AC

= BC,

9. จำากัร0ป กัางกั��อังศา1. 30o

2. 40o

3. 50o

4. 60o


N M

K L P

X

A B

C

D

a

110o

70o

10910. จำากัร0ป ถึ�า แล�ว ABC เป-นร0ปส่ามเหล��ยมช่น#ด

ใด1. ด�านเที่�า2. ด�านไม�เที่�า3. ม�มฉากั4. หน�าจำ��ว

11. ถึ�าม�มยอัดขอังร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��วโตเป-น 2 เที่�าขอังม�มที่��ฐาน ม�มยอัดม�ขนาดกั��อังศา1. 60o 2. 75o 3. 90o

4. 120o

12. จำากัร0ป ต�อังกั�าหนดเง(�อันไขใดเพิ#�มเต#ม จำ"งจำะส่ามารถึพิ#ส่0จำน�ได�ว�า EYZ FXZ แบบ ม.ด.ม.

1.

2.

3. EX = FY4. EZ = FZ

13. จำากัร0ป ABCD เป-นร0ปส่��เหล��ยมผ(นผ�า ถึ�า AO = BO แล�ว AOD BOC ด�วยความส่�มพิ�นธี�แบบใด

1. ด.ม.ด.

2. ม.ด.ม.

3. ด.ด.ด.

4. ด.ฉ.ด.


50o8

0o

A

B C

X Y

E F

Z

X Y

OA B

CD

11014. ข�อัใด ไม�ใช่� ผลขอังเส่�นที่��ลากัจำากัม�มยอัดขอังร0ปส่ามเหล��ยม

หน�าจำ��วไปย�งฐาน1. เส่�นที่��ลากัแบ�งคร"�งม�มยอัดย�อัมแบ�งคร"�งและต�%งฉากักั�บฐาน2. เส่�นที่��ลากัไปต�%งฉากักั�บฐานจำะแบ�งคร"�งฐาน และแบ�งคร"�งม�ม

ยอัด3. เส่�นที่��ลากัแบ�งคร"�งม�มยอัดจำะที่�าให�ได�ร0ปส่ามเหล��ยมที่��เที่�ากั�น

ที่�กัประกัาร 2 ร0ป4. ม�มที่��ฐานขอังร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��วม�ขนาดเที่�ากั�น

15. จำากัร0ป ถึ�า AC = AD = BC และ CD = BD แล�ว ม�ขนาดกั��อังศา

1. 72o

2. 74o

3. 76o

4. 78o

16. จำากัร0ป ACF BCD = 88o และ =

26o แล�วขนาดขอังม�ม ค(อัข�อัใด1. 66o

2. 62o

3. 52o

4. 44o

17. จำากัร0ป ABC AXY แบบใด1. ด.ด.ด.

2. ด.ม.ด.

3. ฉ.ด.ด.


A B

C

D

88o

26o

A BB

C

D

E

F

ABB

C

X

Y

Z

1114. ม.ด.ม.

18. จำากัร0ป ABC เป-นร0ปส่ามเหล��ยมหน�าจำ��ว ม�ม�มยอัด A กัาง 120o และ และ แบ�งคร"�ง และ พิบกั�นที่�� O

แล�ว กัางเที่�ากั�บข�อัใด1. 150o

2. 170o

3. 200o

4. 240o

19. จำากัร0ป PQS PQR เพิราะข�อัใด1. PS = PR,

PQ

ด�านร�วม2. , PQ =

PQ,

3. , PS =

RQ, PR = SQ4. ถึ0กัที่�กัข�อั

20. จำากัร0ป ถึ�า กัาง 4x – 15 อังศา และ กัาง 3x +

5 อังศา แล�ว กัางกั��อังศา1. 60 อังศา


O

A

B C

S R

P Q

A D

B C

1122. 62 อังศา3. 65 อังศา4. 67 อังศา

บทท�� 5 กัารแปัลงทางเรขาคูณ ต


113เน��อัหา

1. กัารเล(�อันขนาน2. กัารส่ะที่�อัน3. กัารหม�น


คณิต ม.2 เทอม 1 ปี 52

Documents

Transcript of คณิต ม.2 เทอม 1 ปี 52