НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

ЯНВАРЬ

ФЕВРАЛЬ Ю120

10©

2 Многогранный Делоне. Н.Долбилин8 Что такое ЯМР-томография? А.Варламов, А.Ригамонти

Н А Н О Т Е Х Н О Л О Г И И

12 Как управлять светом с помощью магнитного поля.В.Белотелов

Н О В О С Т И Н А У К И

17 Нобелевская премия за «школьную» физику

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й М И Р

19 Интервью с Н.Н.Константиновым

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

24 Задачи М2161–М2168, Ф2168–Ф217425 Решения задач М2139–М2145, Ф2153–Ф2159

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Нано...

К М Ш

34 Задачи35 Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8»35 Иррациональность корней из 2, 3, 5 и 6. А.Спивак37 Подвиг юного Бертольда. А.Котова

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

39 Красное небо, синяя луна. А.Стасенко

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

41 Две простые, но не вполне тривиальные формулы.М.Каганов

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

45 Описанные четырехугольники и ломаные. Н.Белухов,П.Кожевников

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

50 Динамика движения по окружности. А.Черноуцан

О Л И М П И А Д Ы

54 XXXI Турнир городов

И Н Ф О Р М А Ц И Я

55 Современная механика и робототехника для школьников

56 Заочная школа МИФИ

57 Конкурс «Свободный полет»

57 Заочное отделение Малого мехмата МГУ

58 Заочная школа «Юный математик»

60 Ответы, указания, решения

Н А О Б Л О Ж К Е

I-III «Кванту» – 40 лет

IV Прогулки с физикой

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов,А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин,

Н.П.Долбилин (заместитель главногоредактора), В.Н.Дубровский,

А.А.Егоров, А.В.Жуков,А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель

председателя редколлегии), П.А.Кожевников,В.В.Козлов (заместитель председателя

редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов,

А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев,

А.И.Черноуцан (заместитель главногоредактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков,

В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков,Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков,В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн,

Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов,П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров,

В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,

Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов,А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий,

М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский,В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Учредители — Российская академиянаук, Фонд поддержки

фундаментальной науки иобразования (Фонд Осипьяна),

ИФТТ РАНИздатель – ООО НПП ОО

«Бюро Квантум»

© 2010, РАН,

Фонд Осипьяна, журнал «Квант»

Товарный знак «Журнал «Квант»

является собственностью

ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

01-23.p65 05.02.10, 17:201

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 12

Многогранный ДелонеН.ДОЛБИЛИН

Вместо предисловия

Красивая горная вершина, примыкающая к Белухе,высочайшей вершине Алтая, названа пиком Делоне вчесть Бориса Николаевича Делоне – выдающегосяматематика и удивительного человека

Борис Николаевич Делоне был крупным математи-ком, и математическое творчество является безусловносамой яркой гранью этого замечательного ученого. Нопоказать лишь эту грань многосторонне одаренной

личности – все равно что из сложного полифоническо-го произведения выделить его основную тему в отрывеот других тем. В этом смысле жизнь Б.Н.Делоне, апрожил он 90 лет, можно сравнить с цельным произве-дением искусства. Эта жизнь была чрезвычайно насы-щена. Если бы мы попытались перечислить яркиемоменты и факты из его биографии, то хронологическиодним из первых шел бы 1897 год – семилетниймальчик читает в подлиннике «Фауста» Гете, знаетнаизусть отдельные главы поэмы, пишет маслом пер-вые пейзажи. Где-то в конце списка был бы отмечен1975 год – 6 июля Борис Николаевич на 86-м годужизни проводит ночь на Тянь-Шане при 25-градусномморозе на высоте 4200 метров на леднике под семиты-сячником Хан-Тенгри. Утром на вертолете он спуска-

15 марта 2010 года исполняется 120 лет со дня рожденияБориса Николаевича Делоне. К этой дате приурочена нашастатья, которая является существенно переработанным идополненным вариантом статьи «Пик Делоне», опубликован-ной в «Кванте», 3 за 1986 год.

01-23.p65 05.02.10, 17:202

ется к озеру Иссык-Куль, откуда тут же перелетает воФрунзе, ныне Бишкек, где стоит 40-градусная жара.Проведя несколько часов в очереди в аэропорту у касс,Борис Николаевич не без помощи академическогоудостоверения добывает билет на самолет и поздновечером того же дня оказывается в подмосковномаэропорту, откуда ему предстоит добраться до дачи,расположенной в окрестностях подмосковного Абрам-цева. Прибыв на ближайшую станцию последней элек-тричкой глубокой ночью, Борис Николаевич с тяже-лым рюкзаком идет к даче через лес, сбивается с пути.Проплутав в ночном лесу, он сбрасывает в укромномместе рюкзак и налегке к рассвету находит свой дом.

Эти биографические детали показывают, что, с од-ной стороны, разностороннее дарование у Б.Н.Дело-не проявилось в очень раннем возрасте. С другойстороны, до преклонных лет он сохранил юношескийтемперамент, а незаурядное физическое здоровье по-зволяло ему заниматься с полной отдачей не тольконаучной работой, но и серьезным туризмом. Геомет-рия чисел, математическая кристаллография, диск-ретная геометрия – в этих областях Борисом Никола-евичем были написаны работы, когда ему было ужеза восемьдесят. Алтай и Кавказ, Карпаты и Тянь-Шань – такова география путешествий, совершенныхим в преклонном возрасте.

Чудо-ребенок

Борис Николаевич Делоне родился 15 марта 1890года в Санкт-Петербурге в семье известного профессо-ра математики и механики, автора очень хорошихуниверситетских учебников Николая Борисовича Де-лоне. Род Делоне происходил из Франции. ПрадедБ.Н. Делоне, Пьер Делоне (Pierre Delaunay), былдоктором в наполеоновской армии, пленен во времявойны 1812 года. После освобождения вернулся воФранцию, но, влюбленный в прекрасную девушку иззнатного российского рода, вернулся в Россию, женил-ся и остался здесь навсегда...1

Борис был многосторонне одаренным ребенком иполучил, как говорили тогда, прекрасное воспитание.Его занятия музыкой были весьма основательны: ониграл многие пьесы Баха и Моцарта, все сонатыБетховена, много сочинял сам. Учитель музыки виделв нем музыкальную одаренность и рекомендовал не-пременно поступать в консерваторию по классу ком-позиции. Но не меньше оснований было и у преподава-теля рисования, когда он настаивал на том, чтобыБорис поступал в художественную академию. Егозанятия рисованием, живописью были пронизаны та-лантом и серьезным отношением, портреты близких,выполненные в карандаше, поражают сходством.

Пока учителя и родители размышляют о будущемБориса, мальчик не теряет времени. Он путешествует

в горы и пишет пейзажи, занимается музыкой и играетв футбол, воспроизводит в карандаше «Тайную вече-рю» Леонардо да Винчи и лазает по деревьям (смладшей сестрой на плечах для нагрузки), наблюдаетза звездным небом и ставит физические опыты. Своюкомнату он превратил в физическую лабораторию, вкоторой немало устройств было сделано им самим.Много лет спустя Делоне часто с чувством гордостивспоминал о маленьких хитростях, которые позволилиему получить с помощью лейденской банки «в-о-о-о-ттакую искру» (это «в-о-о-о-т» сопровождалось красно-речивым жестом). Увлекаясь астрономией, он постро-ил телескоп, зеркало для которого шлифовал сам.Рассказывая об этом, Борис Николаевич никогда незабывал добавлять: «шлифовать зеркало из бронзыбыло глупо – и трудоемко, и быстро тускнело».

Нельзя не упомянуть еще об одном увлечении Б.Н.Де-лоне в школьные годы. Его отец Николай Борисовичбыл дружен со знаменитым ученым Николаем Егоро-вичем Жуковским, «отцом русской авиации». Под еговлиянием Николай Борисович Делоне в 1907 году (онтогда работал профессором в Киевском политехничес-ком институте) организовал в Киеве первый в Россиипланерный кружок. Семнадцатилетний Борис сталодним из членов кружка и в течение следующих двухлет построил один за другим пять планеров, постоянносовершенствуя их. Последний, пятый, планер былнаиболее удачным. Однажды кинематографисты, при-

М Н О Г О Г Р А Н Н Ы Й Д Е Л О Н Е 3

1 То, что Б.Н.Делоне якобы был праправнуком комендантаБастилии маркиза Делоне (Delaunay) – первой жертвы фран-цузской революции 1789 года, впоследствии не подтвердилось:согласно исследованиям, проведенным А.С.Шаровым, извест-ным астрономом и зятем Б.Н.Делоне, предки Бориса Никола-евича происходили из другого рода Делоне.

Б.Н.Делоне собирается в лыжный поход (начало 1970-хгодов)

01-23.p65 05.02.10, 17:203

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 14

ехавшие снять материал о кружке, уговорили Бориса,несмотря на сильный ветер, показать полет. Порывветра опрокидывает планер, и авиатор падает пример-но с 15-метровой высоты, к счастью, на глубоко вспа-ханное поле. С точки зрения современных представле-ний об авиации, достижения кружка кажутся наивны-ми: полеты на несколько десятков метров, запускилетом при помощи лошади, жгута, велосипеда, а зимой– при помощи санок. Но, заметим, это было времязарождения авиации, и деятельность кружка носилапионерский характер. Работа кружка оказала влияниена развитие отечественного авиастроения. Одним изкружковцев был Игорь Сикорский, который впослед-ствии, получив необходимые средства, построил ог-ромный по тем временам 4-моторный самолет, знаме-нитый в истории российского самолетостроения подназванием «Илья Муромец». После октябрьской рево-люции И.Сикорский эмигрировал в США, где современем стал знаменитым конструктором вертолетов.Один из вертолетов Сикорского совершил трансатлан-тический перелет. Отметим также еще один любопыт-ный эпизод, связанный с кружком. Крупнейший нашавиаконструктор Андрей Николаевич Туполев, расска-зывая в своих мемуарах об огромном значении, котороеимело для него знакомство с Жуковским, отмечал, чтопознакомил его, тогда еще студента, с Жуковскимименно Б.Н.Делоне.

Прежде чем обсудить место, которое занимала мате-матика в жизни Бориса Делоне в его детские годы,следует отметить еще одно увлечение, которое продол-жалось всю жизнь. Это увлечение – альпинизм –впервые проявилось у Бориса Николаевича в возрас-те 12–15 лет в Швейцарских Альпах, куда в начале1900-х годов семья Делоне выезжала на летние кани-кулы. Позже Делоне рассказывал о своих восхождени-ях и походах в окрестностях вершин Монте-Роза иМаттерхорн над Церматом в Валлийских Альпах.

Математическое дарование Делоне проявилось весь-ма рано. В 12 лет он был знаком с основами математи-

ческого анализа, чуть позднее приступил к изучениюалгебры, теории чисел. Обстановка в семье способство-вала развитию математического таланта. Отец, к при-меру, в 1904 году взял сына на Международныйконгресс математиков в Гейдельберг, где 14-летнийБорис видел Гильберта и Минковского, присутствовална их лекциях. Для будущей научной работы БорисаНиколаевича оказалось важным, что в начале 1900-хгодов его отец работал профессором Варшавскогоуниверситета2 одновременно с выдающимся математи-ком Георгием Феодосьевичем Вороным. Г.Ф.Вороной(1868–1908) был одним из самых блестящих предста-вителей знаменитой Петербургской школы теории чи-сел. Николай Борисович подружился с выдающимсяматематиком, и Вороной стал частым гостем в домеДелоне. Борис Николаевич вспоминал, что когда бесе-ды между отцом и Вороным затягивались допоздна, тоон, мальчик, уже «находясь в кровати в своей комнате,прислушивался к их разговору через полуприкрытуюдверь, ведущую в залу». Кстати, Г.Ф.Вороной тожеучаствовал в работе конгресса в Гейдельберге, многообщался с Минковским. Результатом общения двухсоздателей нового направления в математике – геомет-рии чисел – стала грандиозная программа, которуюнаметил себе на последующие годы Вороной. И хотя,к огромному сожалению, судьба отпустила ему толькочетыре года, Георгий Феодосьевич успел написатьнесколько фундаментальных работ по геометрии поло-жительных квадратичных форм и теории параллелоэд-ров, в которых были решены принципиальные задачииз теории покрытий, упаковок и разбиений. Эти рабо-ты определили направление исследований на столетиевперед.

Киевский университет, семинар Граве

Хотя впоследствии работы Вороного оказали серьез-ное влияние на исследования Делоне, прямых научныхконтактов у Бориса-гимназиста с маститым ученым небыло. Вороной умер неожиданно в возрасте 40 лет втом самом 1908 году, когда Борис Делоне поступил нафизико-математический факультет Киевского универ-ситета.

На этот факультет примерно в одно время поступилиучиться несколько исключительно талантливых и ам-бициозных молодых людей, среди них Отто Шмидт иНиколай Чеботарев. Николай Григорьевич Чеботарев(1894–1947) стал выдающимся алгебраистом мировогоуровня, член-корреспондентом АН СССР. АкадемикОтто Юльевич Шмидт (1891–1956) – многогранноталантливый человек невероятной энергии. В историироссийской математики Шмидт известен не только каккрупный алгебраист, автор хорошо известной книги«Абстрактная теория групп», но и как основательзнаменитой московской алгебраической школы. В 1934году имя Героя Советского Союза Шмидта сталолегендарным: он был начальником знаменитой поляр-ной экспедиции на ледоколе «Челюскин», а послегибели ледокола организовал зимовку на льдине и в

Крайний слева – Б.Н.Делоне, крайняя справа – его женаМ.Г.Делоне, в центре – известный математик академикЯ.В.Успенский, его жена и сестра (1924 год)

2 В то время Польша была частью Российской Империи.

01-23.p65 05.02.10, 17:204

М Н О Г О Г Р А Н Н Ы Й Д Е Л О Н Е 5

течение нескольких месяцев полярной ночи, вплоть доблагополучной эвакуации экспедиции, как руководи-тель сделал все, чтобы все люди остались живы.

Борис Делоне, Отто Шмидт, Николай Чеботарев,Александр Островский, Абрам Безикович составилиядро семинара, возглавляемого известным математи-ком профессором Дмитрием Граве. Этот семинар,существовавший в Киевском университете на рубеже1910-х годов и вошедший в историю отечественнойматематики как воспитавший плеяду математиков эк-стракласса, предопределил направление исследованийДелоне на многие годы. Студенческая работа БорисаДелоне «Связь между теорией идеалов и теориейГалуа» была удостоена Большой золотой медали уни-верситета, и Борис был оставлен «для подготовкик профессорскому званию», или, говоря по-нынешне-му, в аспирантуру. Первая опубликованная работаДелоне «Об определении алгебраической области по-средством конгруэнтности» была посвящена новомудоказательству знаменитой теоремы Кронекера об аб-солютно абелевых полях.

Диофантовы уравнения третьей степени

В это же время Б.Н.Делоне начал исследования потеории диофантовых уравнений третьей степени сдвумя неизвестными. Цикл работ по теории кубичес-ких диофантовых уравнений оказался, по собственно-му признанию Бориса Николаевича, лучшим достиже-нием во всей его математической карьере.

Диофантово уравнение – это уравнение вида

( )1, , 0np x x =… , (1)

где ( )1, , np x x… – многочлен с целыми коэффициента-ми, для которого нужно найти целые, иногда рацио-нальные, решения.

Так, известное уравнение 2 2 2x y z+ = , в которомнужно найти все целые решения, есть пример уравне-ния 2-й степени с тремя неизвестными. Оно имеетбесконечно много целых решений, хорошо известныхпод названием пифагоровы тройки, потому что онисоответствуют прямоугольным треугольникам с целы-ми сторонами: (3,4,5), (5,12,13) и т.д.3

В одной из 23 знаменитых проблем, а именно в10-й проблеме, Гильберт поставил вопрос: существуетли алгоритм, позволяющий определить по коэффици-ентам уравнения (1), существует или нет решение этогоуравнения? Сейчас, после работы Ю.В.Матиясевича,решившего 10-ю проблему Гильберта (1970), точноизвестно, что такого алгоритма не существует. Надосказать, что специалисты по диофантовым уравнени-ям, которые прекрасно знали, с каким трудом давалсякаждый шаг в этой области, всегда сомневались всуществовании такого алгоритма.

Простейший вид диофантова уравнения – это линей-ное уравнение с двумя неизвестными:

ax + by = 1,

где a и b – целые. Впервые это уравнение было

исследовано индийским математиком Ариабхатой ещев V–VI веках.

Диофантовы уравнения 2-й степени оказались гораз-до труднее. Они были полностью изучены великимиматематиками Леонардом Эйлером (полная теорияквадратных уравнений Пелля 2 2 1ax y+ = , где a неравен квадрату целого числа), а также Ж.Лагранжем,К.Гауссом.

Что касается диофантовых уравнений степени 3 ивыше, глубокий и неожиданный результат был полу-чен норвежским математиком Акселем Туэ в 1908 году.Туэ доказал, что диофантово уравнение вида

( ),f x y c= ,

где ( ),f x y – однородный многочлен степени 3 иливыше, может иметь лишь конечное число целых реше-ний. Здесь предполагается, что многочлен ( ),f x y нераскладывается в произведение многочленов степени 2и ниже. В этом случае решение уравнения высокойстепени можно свести к решению квадратного диофан-тового уравнения. А квадратные уравнения, напримерквадратное уравнение Пелля, имеют бесконечное чис-ло решений. Напомним, что многочлен называетсяоднородным (или формой), если все входящие в негоодночлены имеют одну и ту же степень.

Однако нужно заметить, что теорема Туэ не даваланикаких средств для нахождения решений. Из неенельзя было получить никакой верхней оценки длязначений решений, что давало бы возможность найтицелые решения хотя бы путем грубого перебора.

Журнала с работой Туэ в Киеве в то время никто невидел. Борис Николаевич решил исследовать давностоявшую проблему решения неопределенных куби-ческих уравнений. Как оказалось в дальнейшем, рабо-ты Делоне обозначили едва ли не первый после Эйлераи Лагранжа серьезный прогресс в направлении конк-ретного исследования диофантовых уравнений болеевысокого порядка, а именно, уравнений вида

ax3 2 2 3 1bx y cxy dy+ + + = , (2)

где слева – форма 3-й степени с целыми коэффициен-тами и с отрицательным дискриминантом. «Отрица-тельность дискриминанта» означает, что кубическоеуравнение 3 2 0at bt ct d+ + + = имеет единственныйвещественный корень. Сначала Б.Н.Делоне приступилк важному частному случаю кубических уравнений сотрицательным дискриминантом – кубическому анало-гу уравнения Пелля:

3 3 1x q y+ = , (3)

где q – целое, но не куб целого. (Если q является кубомцелого, то форма была бы разложимой:

( )( )3 3 2 2 233 3x q y x q y x q x qy y+ = + − + ,

и проблема свелась бы к решению диофантовых урав-нений степеней 1 и 2.)

Уравнение (3) в целых числах всегда имеет триви-альное решение (0; 1). Задача – найти остальныерешения, если такие, конечно, имеются. Делоне ввел в3 Подробнее см., например, «Квант» 1 за 1986 год, с.11.

01-23.p65 05.02.10, 17:205

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 16

рассмотрение кольцо σ алгебраических чисел

23 3z q x q y+ + . (4)

По существу – это множество чисел вида (4), где числаz, x, y целые. Легко проверить, что как сумму иразность, так и произведение двух чисел вида (4)можно представить в таком же виде. Другими словами,множество чисел вида (4) замкнуто относительно ариф-метических операций сложения и вычитания, а такжеи умножения. В алгебре такие множества называюткольцом. В числовом кольце наряду с каждым числомсуществует ему противоположное, но, вообще говоря,нет ему обратного. Нетрудно убедиться, что если парацелых чисел ( ),x y есть решение уравнения (3), то

вместе с числом 3x q yε = + кольцу σ принадлежит и

обратное ему число 1−ε . Другими словами, число 1−εтакже можно представить в виде (4). Числа из кольцаσ , для которых обратные также принадлежат кольцу,называют единицами. Например, при q = 2 число3 2 1− является единицей, так как обратное ему число

представимо в виде 3 2 32 2 1+ + и, следовательно,принадлежит σ .

Итак, любое решение уравнения (3) соответствуетединице из σ , более того, эта единица должна бытьдвучленной в том смысле, что один из трех членов в

числе вида (4), а именно 23z q , равен 0. Из однойтеоремы Дирихле следует, что в σ существует так

называемая основная единица 0ε , а все остальныеединицы есть степени основной. Более того, былоизвестно, что если двучленная единица ε ∈ σ такая,что 0 1< ε < , то степень m в равенстве 0

mε = ε положи-тельна.

В дальнейшем Делоне доказал, что если основнаяединица 0ε двучленная, то никакая положительнаястепень m единицы 0ε , за исключением m = 1, не равнадвучленной единице. Затем был исследован случай

0mε = ε , когда 0ε – трехчленная основная единица. При

помощи остроумнейших соображений Борис Николае-вич доказал, что единица вида 0

mε может быть двучлен-ной лишь тогда, когда сама основная единица 0εдвучленна.

Тем самым, Б.Н.Делоне получил окончательныйрезультат: кубический аналог уравнений Пелля (3),помимо тривиального решения (0; 1), имеет еще неболее одного нетривиального решения. Для того чтобыполучить это решение, нужно найти основную единицу.Если эта единица двучленна: 3x q y+ , то ( ),x y естьединственное нетривиальное решение уравнения (3).Если это не так, то нетривиальных решений нет вовсе.

Здесь нужно сказать, что приблизительно двадцатьюгодами ранее Вороной построил алгоритм вычисленияосновной единицы в кольце σ . Например, для уравне-ния 3 34 1x y+ = кольцо имеет трехчленную основнуюединицу, и данное уравнение имеет лишь тривиальное

решение (0; 1). А для уравнения 3 337 1x y+ = основ-

ная единица двучленна: 0 3 37 10ε = − + . Поэтому кро-ме тривиального решения имеется в точности еще одно:(–3; 10).

После столь крупного успеха Б.Н.Делоне приступилк общему уравнению (2), напомним, с отрицательнымдискриминантом. И в общем случае он свел проблемук исследованию двучленных единиц вида x y+ ρ вкольце σ алгебраических чисел 2x y z+ ρ + ρ , где ρ –единственный вещественный корень уравнения

+ + + =3 2 0at bt ct d . Посредством созданного им «ал-горитма повышения» Борис Николаевич доказал сле-дующую фундаментальную теорему:

В общем случае уравнение (2) имеет не более 3целых решений; в двух конкретных случаях уравне-ние имеет в точности 4 решения; одно конкретноеуравнение имеет ровно 5 решений. Никакое уравнениевида (2) не имеет более 5 целых решений.

Так, уравнение − + =3 2 3 1x xy y имеет пять реше-ний: (1; 1), (1; 0), (0; 1), (–1; 1), (4; –3). А тотфакт, что других нет, следует из упомянутой теоремыДелоне.

Правда, у «алгоритма повышения» был серьезныйнедостаток, который Делоне не смог устранить. Труд-ность состояла в том, что тогда не было известноверхней оценки для значений решений данного уравне-ния, выраженной через коэффициенты уравнения.Метод, предложенный Борисом Николаевичем, не со-держал указания относительно момента, наступлениекоторого гарантировало бы нахождение всех решенийданного уравнения.

Кавказ, Домбай (1948 год)

01-23.p65 05.02.10, 17:206

М Н О Г О Г Р А Н Н Ы Й Д Е Л О Н Е 7

Несмотря на то, что в каждом рассмотренном урав-нении этот «алгоритм» срабатывал, уверенность втом, что получены все решения, возникала лишь тог-да, когда у уравнения уже найдены 3 решения. Верх-няя же оценка для решений уравнения через коэф-фициенты формы при условии, что степень не мень-ше 3, была получена лишь в 1960-е годы А.Бейке-ром. За свою работу Бейкер был удостоен Филдсовс-кой медали.

После классических результатов Эйлера, Лагранжа,Гаусса по диофантовым уравнениям второй степениработы Делоне представляли серьезный прорыв втеории кубических уравнений и оставались непревзой-денными вплоть до 1960 годов (А.Бейкер). Как писалчлен-корреспондент АН СССР Д.К.Фаддеев, «по кон-кретности анализа, простоте и ясности цикл работБ.Н.Делоне, посвященных неопределенным уравнени-ям, является исключительным в математике ХХ века сее часто громоздким аппаратом и абстрактными пост-роениями. По своему стилю этот цикл близок клучшим образцам классических работ Гаусса и Чебы-шева».

Жизнь в Киеве, переезд в Санкт-Петербург(Ленинград)

Успех явился результатом, как говорил Делоне,нескольких тысяч часов интенсивной работы. БорисНиколаевич любил добавлять, что решение труднойматематической проблемы отличается от решения олим-пиадной задачи тем, что «олимпиадная задача требует5 часов, а проблема – 5 тысяч часов». Следует отме-тить, что ему удалось добиться крупного успеха втеории диофантовых уравнений, несмотря на чрезвы-чайно тяжелые политические и жизненные условия,существовавшие в Киеве в то время.

В годы первой мировой войны Киев был оккупиро-ван немецкими войсками, и вместе со многими други-ми университетскими профессорами семья Делоне в1915–1916 годах выезжала в Саратов. Туда же при-ехал из Киева и Николай Чеботарев, который был начетыре года младше. Именно в Саратове его общениес Б.Н.Делоне оказалось для Чеботарева определяю-щим.

Когда Делоне вернулись в Киев, наступила рево-люция и кровопролитная гражданская война. Киевоказался в центре этих жестоких событий. Одна властьсменяла другую непрерывно. Немецкие войска быливыбиты из Киева Красной Армией. Красные, в своюочередь, уступали город белым, белые вытеснялисьопять красными, красные – жовтоблакитными, те –зелеными, белополяками и т.д. Политическая кару-сель в Киеве, сопровождавшаяся террором, продол-жалась несколько лет. Делоне часто рассказывал небез юмора об одном эпизоде из его жизни в те годы.Его младший брат Александр – в семье его называлиАлик – был офицером в деникинской армии. Однаж-ды, когда белые скоропалительно сдали город крас-ным, Алик, переодевшись в гражданское платье, вы-нужден был бежать из Киева. Форма белого офицераосталась в доме отца, где жил также и Борис. Ночью

в квартиру пришел для проверки краснофлотскийпатруль. Во время обыска командир патруля подо-шел к двухстворчатому гардеробу, где за левой две-рью висел мундир Алика, и резко отворил... правую.Неожиданно с верхней полки упала на пол огромнаякукла и начала плакать. Привезенная из Парижаплачущая кукла, а в то время это казалось настоя-щим чудом, настолько поразила матросов, что онизабыли открыть другую дверь шкафа... А ведь времябыло жестоким и беспощадным, расстрел, что назы-вается, на месте был делом обычным.

В тот период Борис Николаевич работал учителемматематики в гимназии и доцентом в Киевском поли-техническом институте. В 1920 году он написал боль-шую работу по кубическим диофантовым уравнениями прекрасно оформленную рукопись отослал в каче-стве докторской диссертации в Санкт-Петербургский,тогда Петроградский университет. Комиссия под ру-ководством А.А.Маркова4 высоко оценила диссерта-цию, и в 1922 году Б.Н.Делоне был приглашен вПетроградский университет в качестве профессора.Это было действительно очень почетно, так как уни-верситет был «домом» знаменитой Санкт-Петербург-ской школы теории чисел, семена которой были посе-яны еще Эйлером и которая расцвела во второй по-ловине XIX века под руководством П.Л.Чебышева.Во времена Чебышева ядро этой школы составлялиА.А.Марков, А.Н.Коркин, Е.И.Золотарев, А.А.Ля-пунов.

В то время, в соответствии с традициями знамени-той теоретико-числовой школы, ее выдающийся пред-ставитель Георгий Вороной «одел» свою исключи-тельно геометрическую по идее работу о параллело-эдрах в «аналитические одежды». В противополож-ность этой традиции, Делоне, обладая несомненнымгеометрическим даром, в течение многих лет зани-мался геометризацией нескольких важных алгебраи-ческих работ, включая алгоритм Вороного для вы-числения основной единицы в кольце, соответствую-щей кубической форме отрицательного дискриминан-та. В этой и других работах он интерпретировалкольцо кубических иррациональностей как целочис-ленную решетку с естественным правилом умноже-ния.

Здесь мы завершаем обзор исследований алгебраи-ческих вопросов геометрическими методами, чтобырассказать об одной простой, но важной теории, ко-торую Борис Николаевич начал еще в начале 1920-хгодов, – о так называемом методе пустого шара исвязанном с ним разбиении пространства на специ-альные многогранники. Где-то в 1980-е годы, ужепосле смерти Б.Н.Делоне, эти разбиения получилиназвание «триангуляции Делоне».

(Окончание следует)

4 Академик Андрей Андреевич Марков (1856–1922) – выда-ющийся русский математик, внес крупный вклад в теориючисел и особенно в теорию вероятностей («марковские цепи ипроцессы»).

01-23.p65 05.02.10, 17:207

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 18

Что такое ЯМР-томография?А.ВАРЛАМОВ, А.РИГАМОНТИ

СЕГОДНЯ УЖЕ СТАЛО ПРИВЫЧНЫМ НАПРАВ-лять пациента не на рентгенографию, не наэлектрокардиограмму, а на ЯМР-томографию.

Для того чтобы разобраться, что стоит за этими слова-ми, следует начать издалека, а именно с пониманиятого, что такое магнетизм атомного ядра. Но еще доэтого нам надо ввести важные понятия, которые отсут-ствуют в основном курсе школьной физики.

Магнитный момент

Магнитные свойства маленького плоского контура стоком, помещенного в магнитное поле, определяютсямагнитным моментом этого тока, равным

ISnµ =rr,

где I – ток, S – площадь контура, nr – вектор нормали

к контуру, построенный по правилу буравчика (рис.1).В частности, энергия конту-ра в магнитном поле с индук-цией B

ur равна

( ) zW B B= − µ = −µurr

(ось z направлена вдоль Bur

).Для поворота контура с из-менением проекции вектораµr от zµ до z−µ надо совер-

шить работу 2 zA B= µ .Атомный электрон, движу-

щийся по орбите вокруг атомного ядра, можно считатьэквивалентным круговому току и приписать ему маг-нитный момент. Наличие такого «орбитального» маг-нитного момента у электрона проявляется в измененииего энергии при помещении атома в магнитное поле(формула для W).

При тщательном анализе экспериментальных дан-ных оказалось, что свойства атома во внешнем магнит-ном поле определяются не только движением электро-на вокруг ядра, но и наличием у электрона скрытого«внутреннего вращения», которое назвали спином.Спин есть у всех элементарных частиц (у некоторыхспин равен нулю). Интенсивность «вращения» описы-вается спиновым числом s, которое может быть толькоцелым или полуцелым. Для электрона, протона, ней-

трона 12

s = . «Внутреннее вращение», аналогично

орбитальному, приводит к появлению у частицы спи-нового магнитного момента. Проекция спинового маг-нитного момента на ось z (направление магнитногополя) принимает значения

z smµ = γ ℏ ,

где 2h

=π

ℏ – постоянная План-

ка, sm принимает (2 + 1) значе-ний , 1, , 1, ,s s s s− − + −… а γ на-зывают гиромагнитным факто-ром. Сам вектор µ

r имеет модуль

больше, чем его максимальная

проекция: ( )1s sµ = γ + ℏ , т.е.µr во всех стационарных состоя-

ниях расположен под углом коси z и быстро вращается вокругэтой оси: constzµ = , xµ и

yµ быстро меняются (рис.2).Для электрона, протона, нейт-рона sm принимает всего два

значения: 12sm = ± . Для элект-

рона e

e

mγ = − , для протона γ =

2,79p

e

m= . Спиновый магнитный момент есть даже у

нейтрона, несмотря на то что он в целом электронейт-рален. (Это свидетельствует о том, что нейтрон должениметь внутреннюю структуру. Как и протон, он состоит

из заряженных кварков.) Для нейтрона 1,91p

e

mγ = − .

Видно, что магнитный момент протона и нейтрона натри порядка ( 310∼ ) меньше, чем магнитный моментэлектрона (их масса примерно в 2000 раз больше).Примерно такой же по порядку величины магнитныймомент должен быть у всех остальных атомных ядер,состоящих из протонов и нейтронов. Магнитные мо-менты всех ядер измерены с большой точностью.Именно наличие у ядер этих маленьких (в сравнениис атомными) магнитных моментов, значения которыхразличны для разных ядер, и лежит в основе явленияЯМР – ядерного магнитного резонанса, а также ЯМР-томографии. Мы в основном будем говорить о ядрахводорода – протонах, которые имеют наиболее широ-кое распространение в природе. Изотопом водородаявляется дейтерий, чье ядро также обладает магнит-ным моментом.

Что такое ядерный магнитный резонанс

Рассмотрим ядро атома водорода (протон) во внеш-нем магнитном поле B

ur. Протон может находиться

только в двух стационарных квантовых состояниях: водном из них проекция магнитного момента на направ-ление магнитного поля положительна и равна

2,792z

p

e

mµ =

ℏ,

Рис.1. Магнитный моментконтура с током

Рис.2. Только однапроекция вектора маг-нитного момента пос-тоянна, две другие бы-стро меняются

01-23.p65 05.02.10, 17:218

Ч Т О Т А К О Е Я М Р - Т О М О Г Р А Ф И Я ? 9

а в другом – такая же по модулю, но отрицательная. Впервом состоянии энергия ядра в магнитном поле равна

zB−µ , во втором zB+µ . Изначально все ядра находят-ся в первом состоянии, а для перехода во второесостояние ядру надо сообщить энергию

2 zE B∆ = µ .

Нетрудно понять, что заставить ядро изменить на-правление своего магнитного момента можно, подей-ствовав на него электромагнитным излучением с часто-той ω , соответствующей переходу между этими состо-яниями:

2 zBω = µℏ .

Подставляя сюда магнитный момент протона, получим

2,792 2

2 p

eB

mπ ν =

ℏℏ ,

откуда для В = 1 Тл находим частоту волны:74 10ν ≈ ⋅ Гц и соответствующую длину волны:

7 мc

λ = ≈ν

– типичные частота и длина волны радио-вещательного диапазона. Фотоны именно этой длиныволны поглощаются ядрами с переворотом магнитныхмоментов по отношению к направлению поля. При этомих энергия в поле повышается как раз на величину,соответствующую энергии такого кванта.

Отметим, что в экспериментах по ЯМР, т.е. длятипичных частот среднего радио-вещательного диапа-зона, электромагнитные волны используются вовсе нев том виде, к которому мы привыкли при обсуждениираспространения света или поглощения и излучениясвета атомами. В простейшем случае мы имеем дело скатушкой, по которой протекает созданный генерато-ром переменный ток радиочастоты. Образец, содержа-щий исследуемые ядра, которые мы хотим подвергнутьвоздействию электромагнитного поля, помещается наоси катушки. Ось катушки, в свою очередь, направленаперпендикулярно статическому магнитному полю 0B(последнее создается с помощью электромагнита илисверхпроводящего соленоида). При протекании покатушке переменного тока на ее оси индуцируетсяпеременное магнитное поле 1B , амплитуда котороговыбирается гораздо меньшей величины 0B (обычно в10000 раз). Это поле осциллирует с той же частотой,что и ток, т.е. с радиочастотой генератора.

Если частота генератора близка к вычисленной час-тоте, то происходит интенсивное поглощение ядрамиводорода квантов света с переходом ядер в состояниес отрицательной проекцией zµ (поворот ядер). Еслиже частота генератора отличается от вычисленной, топоглощения квантов не происходит. Именно в связи срезкой (резонансной) зависимостью от частоты пере-менного магнитного поля интенсивности процесса пе-редачи энергии от этого поля ядрам атомов, сопровож-даемое поворотом их магнитных моментов, явлениеполучило название ядерного магнитного резонанса(ЯМР).

Как же можно заметить такие перевороты ядерныхмоментов по отношению к статическому магнитномуполю? Будучи вооруженными современной техникой

ЯМР, это оказывается совсем нетрудно: выключивсоздающий поле 1B генератор радиочастоты, следуетодновременно включить приемник, использующий туже катушку в качестве антенны. При этом он будетрегистрировать радиоволны, излучаемые ядрами помере их возвращения к первоначальной ориентациивдоль поля 0B . Этот сигнал индуцируется в той жекатушке, посредством которой ранее возбуждалисьмагнитные моменты. Его временнбя зависимость обра-батывается компьютером и представляется в виде соот-ветствующего спектрального распределения.

Из этого описания вы можете представить, что ЯМР-спектрометр весьма существенно отличается от при-вычных спектрометров, проводящих измерения в диа-пазоне видимого света.

До сих пор мы рассматривали упрощенную картину:поведение в магнитном поле изолированного ядра. В тоже время понятно, что в твердых телах или жидкостяхядра совсем изолированными не являются. Они могутвзаимодействовать между собой, а также и со всемидругими возбуждениями, распределение по энергиямкоторых определяется температурой и статистически-ми свойствами системы. Взаимодействия возбужденийразличной природы, их происхождение и динамикаявляются предметом изучения современной физикиконденсированного состояния.

Как был открыт ЯМР

Первые сигналы, соответствующие ядерному магнит-ному резонансу, были получены более шестидесяти летназад группами Феликса Блоха в Оксфорде и ЭдвардаПарселла в Гарварде. В те времена экспериментальныетрудности были огромны. Все оборудование изготав-ливалось самими учеными прямо в лабораториях. Видаппаратов того времени несопоставим с сегодняшними(использующими мощные сверхпроводящие соленои-ды) приборами ЯМР, которые можно увидеть в боль-ницах или поликлиниках. Достаточно сказать, чтомагнит в экспериментах Парселла был создан с исполь-зованием утиля, найденного на задворках Бостонскойтрамвайной компании. При этом он был калиброваннастолько плохо, что магнитное поле в действительно-сти имело величину большую, чем требовалось дляпереворота ядерных моментов при облучении радио-волнами с частотой 30ν = МГц (частота радиогенера-тора).

Парселл со своими молодыми сотрудниками тщетноискали подтверждения того, что явление ядерногомагнитного резонанса имело место в его эксперимен-тах. После многих дней бесплодных попыток разочаро-ванный и грустный Парселл решает, что ожидаемое имявление ЯМР не наблюдаемо, и дает указание выклю-чить питающий электромагнит ток. Пока магнитноеполе уменьшалось, разочарованные экспериментаторыпродолжали глядеть на экран осциллографа, где всеэто время надеялись увидеть желанные сигналы. Внекоторый момент магнитное поле достигло необходи-мой для резонанса величины, и на экране неожиданнопоявился соответствующий ЯМР сигнал. Если бы несчастливый случай, возможно прошли бы еще многие

01-23.p65 05.02.10, 17:219

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 110

годы, прежде чем существование этого замечательногоявления было бы подтверждено экспериментально.

С этого момента техника ЯМР стала бурно разви-ваться. Она получила широкое применение в научныхисследованиях в областях физики конденсированногосостояния, химии, биологии, метрологии и медицины.Наиболее известным применением стало получение спомощью ЯМР изображения внутренних органов.

Как осуществляется визуализация внутреннихорганов посредством ЯМР

До сих пор мы неявно предполагали, что, в пренеб-режении влиянием слабых электронных токов в катуш-ках, магнитное поле, в которое помещаются ядра,однородно, т.е. имеет одну и ту же величину во всехточках. В 1973 году Пол Латербур предложил прово-дить ЯМР-исследования, помещая образец в магнитноеполе, меняющееся от точки к точке. Понятно, что в этомслучае и резонансная частота для исследуемых ядеризменяется от точки к точке, что позволяет судить об ихпространственном расположении. А поскольку интен-сивность сигнала от определенной области простран-ства пропорциональна числу атомов водорода в этойобласти, мы получаем информацию о распределенииплотности вещества по пространству. Собственно, вэтом и заключается принцип техники ЯМР-исследова-ния. Как видите, принцип прост, хотя для полученияреальных изображений внутренних органов на практи-ке следовало получить в распоряжение мощные компь-ютеры для управления радиочастотными импульсамии еще долго совершенствовать методологию созданиянеобходимых профилей магнитного поля и обработкисигналов ЯМР, получаемых с катушек.

Представим себе, что вдоль оси x расположенымаленькие заполненные водой сферы (рис.3). Еслимагнитное поле не зависит от x, то возникает одиноч-ный сигнал (см. рис.3,а). Далее предположим, чтопосредством дополнительных катушек (по отношениюк той, которая создает основное, направленное по осиz, магнитное поле) мы создаем дополнительное, меня-ющееся вдоль оси x, магнитное поле 0B , причем еговеличина возрастает слева направо. При этом понятно,что для сфер с различными координатами сигнал ЯМРтеперь будет соответствовать различным частотам иизмеряемый спектр будет содержать в себе пять харак-терных пиков (см. рис.3,б). Высота этих пиков будетпропорциональна количеству сфер (т.е. массе воды),имеющих соответствующую координату, и, таким об-разом, в рассматриваемом случае интенсивности пиковбудут относиться как 3:1:3:1:1. Зная величину гради-ента магнитного поля (т.е. скорость его изменениявдоль оси x), можно представить измеряемый частот-ный спектр в виде зависимости плотности атомовводорода от координаты x. При этом можно будетсказать, что там где пики выше, число атомов водородабольше: в нашем примере числа атомов водорода,соответствующих положениям сфер, действительносоотносятся как 3:1:3:1:1.

Расположим теперь в постоянном магнитном поле 0Bнекоторую более сложную конфигурацию маленьких

заполненных водой сфер и наложим дополнительноемагнитное поле, изменяющееся вдоль всех трех осейкоординат. Измеряя радиочастотные спектры ЯМР изная величины градиентов магнитного поля вдолькоординат, можно создать трехмерную карту распре-деления сфер (а следовательно, и плотности водорода)в исследуемой конфигурации. Сделать это гораздосложнее, чем в рассмотренном выше одномерном слу-чае, однако интуитивно понятно, в чем этот процессзаключается.

Техника восстановления образов, сходная c той,которую мы описали, и осуществляется при ЯМР-томографии. Закончив накопление данных, компью-тер посредством весьма быстрых алгоритмов начинает«обработку» сигналов и устанавливает связь междуинтенсивностью измеренных сигналов при определен-ной частоте и плотностью резонирующих атомов вданной точке тела. В конце этой процедуры компьютервизуализирует на своем экране двумерное (или дажетрехмерное) «изображение» определенного органа иличасти тела пациента.

Поразительные «образы»

Чтобы полностью оценить результаты ЯМР-исследо-вания внутренних органов человека (например, раз-личных сечений головного мозга, которые физик-медик сегодня может получить не дотрагиваясь дочерепа!), следует прежде всего понимать, что речь идето компьютерном воссоздании именно «образов», а не ореальных тенях, возникающих на фоточувствительнойпленке при поглощении рентгеновских лучей в процес-се получения рентгеновского снимка.

Рис.3. В случае однородного магнитного поля имеется един-ственный ЯМР-сигнал (а). В случае же меняющегося впространстве поля сигналы, соответствующие ядрам, рас-положенным в разных точках, имеют несколько отличаю-щиеся частоты, и спектр позволяет определить их коорди-наты (б)

01-23.p65 05.02.10, 17:2110

Ч Т О Т А К О Е Я М Р - Т О М О Г Р А Ф И Я ? 11

Человеческий глаз является чувствительным датчи-ком электромагнитного излучения в видимом диапазо-не. К счастью или несчастью, излучения, происходя-щие от внутренних органов, до наших глаз не доходят– мы видим человеческие тела только извне. В то жевремя, как мы только что обсуждали, в определенныхусловиях ядра атомов внутренних органов человечес-кого тела могут излучать электромагнитные волны вдиапазоне радиочастот (т.е. частот, гораздо меньших,чем для видимого света), причем частота слегка меня-ется в зависимости от точки излучения. Глазом его неувидеть, поэтому такое излучение регистрируется спомощью сложной аппаратуры, а затем собирается вединое изображение с помощью специальной компью-терной обработки. И тем не менее, речь идет о совер-шенно реальном видении внутренней части предметаили человеческого тела.

К такому поразительному успеху человечество при-шло благодаря ряду фундаментальных достиженийнаучной мысли: это и квантовая механика с ее теориеймагнитного момента, и теория взаимодействия излуче-ния с веществом, и цифровая электроника, и математи-ческие алгоритмы преобразования сигналов, и компь-ютерная техника.

Преимущества ЯМР-томографии по сравнению сдругими диагностическими методами многочисленны изначительны. Оператор может легко выбирать, какиесечения тела пациента просканировать, а также можетподвергать исследованию одновременно несколько се-чений выбранного органа. В частности, выбирая соот-ветствующим образом градиенты магнитного поля,можно получить вертикальные сечения изображениявнутренностей нашего черепа. Это может быть цент-ральное сечение или сечения, смещенные вправо иливлево. (Такие исследования практически невозможныв рамках рентгеновской радиографии.) Оператор мо-жет «сужать» поле наблюдения, визуализируя сигна-лы ЯМР, происходящие только от одного выбранногооргана или только от одной из его частей, увеличиваятаким образом разрешение изображения. Важным пре-имуществом ЯМР-томографии является также и воз-

Рис.4. Изображения черепа и позвоночного столба, которые с прекрасной анатомической точностью взависимости от контраста показывают белую или серую ткань мозга, позвоночник и спино-мозговую жидкость

можность прямого измерения локальной вязкости инаправления течения крови, лимфы и других жидко-стей внутри человеческого тела. Подбирая необходи-мое соотношение между соответствующими параметра-ми, например длительностью и частотой импульсов,для каждой патологии оператор может достигать опти-мальных характеристик получаемого изображения,скажем повышать его контрастность (рис.4).

Суммируя, можно сказать, что для каждой точкиизображения (пикселя), соответствующей крошечно-му объему исследуемого объекта, оказывается возмож-ным извлечь различную полезную информацию, внекоторых случаях включая и распределение концен-трации тех или иных химических элементов в организ-ме. Для повышения чувствительности измерений, т.е.увеличения отношения интенсивности сигнала к шуму,следует накапливать и суммировать большое числосигналов. В этом случае удается получить качественноеизображение, адекватно передающее реальность. Имен-но поэтому времена проведения ЯМР-томографии ока-зываются довольно большими – пациент должен отно-сительно неподвижно пребывать в камере несколькодесятков минут.

В 1977 году английский физик Питер Мэнсфилдпридумал такую комбинацию градиентов магнитногополя, которая, не давая особенно хорошего качестваизображения, тем не менее позволяет получать егочрезвычайно быстро: для соответствующего построе-ния хватает единственного сигнала (на практике этозанимает приблизительно 50 миллисекунд). С помо-щью такой техники – ее называют планарным эхом –сегодня можно следить за пульсациями сердца в реаль-ном времени: в таком фильме на экране чередуются егосокращения и расширения.

Можно ли было представить себе на заре созданияквантовой механики, что через сто лет развитие наукиприведет к возможности таких чудес?

Нельзя не отметить, что в 2003 году Пол Лотербур иПитер Мэнсфилд были удостоены Нобелевской пре-мии в области медицины «за изобретение метода маг-нитно-резонансной томографии».

01-23.p65 05.02.10, 17:2111

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 112 Н А Н О Т Е Х Н О Л О Г И И

Как управлять светомс помощью магнитного поля

В.БЕЛОТЕЛОВ

ВПОСЛЕДНЕЕ ВРЕМЯ ИДЕЯ СОЗДАНИЯ ОПТИ-ческих компьютеров приобретает все большуюпопулярность. Она подкрепляется, с одной сто-

роны, неиссякающим стремлением к все большим ско-ростям вычислений, а с другой стороны – удивитель-ными возможностями современных технологий. Длятого чтобы обрабатывать и передавать информацию спомощью света, т.е. с помощью фотонов, надо научить-ся эффективно управлять ими. Хотя электрическогозаряда у фотонов нет, но наличие поляризации –ориентации их электромагнитного поля – дает опреде-ленную надежду на успех.

Прежде всего перенесемся в конец XIX века, влабораторию великого английского физика МайклаФарадея – ведь именно оттуда берет исток нашаистория.

«Намагнитить луч света и осветить магнитнуюсиловую линию»

Разнообразные физические явления, связанные смагнитными и оптическими свойствами среды, в тече-ние многих столетий изучались независимо. Свет со-провождает человечество с момента его зарождения,а магнетизм известен с древних времен. Однако толь-ко в 1845 году М.Фарадей впервые провел экспери-менты, доказавшие связь между этими явлениями.Отчасти это связано с тем, что в обычных условияхмагнитооптические эффекты весьма малы и для ихоткрытия требовалась физическая интуиция гения.Удивительно, что это произошло в то время, когда небыло ясного понимания ни природы магнитныхсвойств, ни природы оптических явлений и когда ещене были сформулированы уравнения Максвелла.

«Я уже давно придерживался мнения, что различ-ные формы и силы материи настолько близки иродственны, что могут превращаться друг в друга.Это твердое убеждение побудило меня произвестимного изысканий с целью открыть связь между све-том и электричеством. Однако результаты оказа-лись отрицательными…» – так сам Фарадей коммен-тирует свои опыты.

«Эти безуспешные изыскания не могли поколебатьмоего твердого убеждения, основанного на научныхсоображениях. Поэтому я недавно возобновил иссле-дование на очень тонких и строгих началах, и в концеконцов мне удалось намагнитить и наэлектризоватьлуч света и осветить магнитную силовую линию.»

В словах «намагнитить луч света» подразумевает-ся вызываемое магнитным полем вращение плоскостиполяризации света – магнитооптический эффект Фара-дея. Кроме того, обращают на себя внимание и слова«осветить магнитную силовую линию», намекающиена возможное обратное влияние света на магнетизм. Вопытах Фарадея такого явления обнаружено не было,но эти слова указывают на то, что великий физикфактически предсказал и его. Влияние света на магнит-ные свойства вещества было теоретически доказаногораздо позже. В 1960 году советский физикЛ.П.Питаевский показал, что свет, обладающий круго-вой поляризацией, способен намагнитить среду, кото-рую он освещает. Эффект получил название обратногоэффекта Фарадея.

Хотя обратный эффект Фарадея тоже имеет большуюпрактическую значимость, в этой статье речь пойдеттолько о прямом магнитооптическом эффекте, ведь на-ша цель – управлять светом, используя магнитное поле.

Спин и поляризация фотонов

Напомним, что можно говорить о естественном, т.е.неполяризованном, свете, а также можно выделить триосновные состояния поляризации: плоская, круговая иэллиптическая поляризации. В общем случае поляри-зованный свет обладает эллиптической поляризацией,т.е. траектория проекции конца вектора напряженнос-ти электрического поля волны на плоскость, перпенди-кулярную направлению ее распространения, являетсяэллипсом. Наибольший практический интерес пред-ставляют два крайних случая эллиптической поляриза-ции: линейная поляризация, когда эллипс вырождает-ся в отрезок, и круговая поляризация, при которойэллипс превращается в окружность.

С квантово-механической точки зрения, понятие по-ляризации света связано с наличием у фотона спина.Фотоны, как частицы с нулевой массой покоя, могутнаходиться в двух состояниях со значениями моментаимпульса ±ℏ ( ℏ - постоянная Планка), направленноговдоль импульса фотона. Такие фотоны обладают кру-говой поляризацией: левой, когда квантовое число m == +1, или правой, когда m = –1. Эллиптически поляри-зованные фотоны находятся в состоянии, котороескладывается из состояний с 1m = ± ; при линейнойполяризации суперпозиция этих состояний такова, чтосредняя проекция момента на направление импульсаравна нулю.

01-23.p65 05.02.10, 17:1812

К А К У П Р А В Л Я Т Ь С В Е Т О М С П О М О Щ Ь Ю М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я 13

Эффект Фарадея

У свободного фотона состояния с m = +1 и m = –1имеют одинаковые энергии (частоты). В квантовоймеханике такую ситуацию называют вырождением.Снять вырождение можно при помощи внешнего маг-нитного поля, направленного вдоль волнового вектора(предполагается, что фотон распространяется в средес показателем преломления n). В магнитном полекомпоненты с m = )1 будут распространяться с разны-ми фазовыми скоростями:

( )ф 1c

v Qn± = ± .

Здесь с – скорость света, n – показатель преломлениясреды, а Q – специальный магнитооптический пара-метр. В немагнитных средах параметр Q пропорциона-лен магнитному полю и в не очень больших полях(магнитная индукция не превышает 200–300 мТл)имеет типичное значение порядка 6 410 10− −− . В ферро-магнитных материалах этот параметр отличен от нулядаже в отсутствие поля и достигает величин 3 110 10− −− .Он определяется внутренним магнитным полем, кото-рое создается атомами и ионами кристаллической ре-шетки магнетика.

Но с фазовой скоростью непосредственно связанпоказатель преломления среды:

ф

сn

v= .

В результате получается, что в магнитной среде вол-ны, поляризованные по часовой стрелке и против нее,преломляются по-разному – возникает явление цир-кулярного двойного лучепреломления, или гиротро-пии среды. Явление гиротропии связано с эффектомЗеемана, т.е. с расщеплением линий поглощения све-та в магнитном поле. Под действием силы Лоренцарезонансные частоты вращения электронов по левомуи правому кругу смещаются в различные стороныотносительно первоначального значения собственнойчастоты. Это, в свою очередь, и приводит к различиюпоказателей преломления для волн, поляризованныхпо правому и по левому кругу. Экспериментально приэтом наблюдается эффект Фарадея, проявляющийсяв том, что плоско поляризованный свет, распростра-няясь вдоль направления намагниченности, испыты-вает поворот плоскости поляризации на некоторыйугол.

Чтобы объяснить это явление, представим плоскополяризованную волну как сумму левой и правойциркулярно поляризованных волн. Если обе волныимеют одинаковые фазовые скорости, то, распростра-няясь вместе, они складываются и дают волну, котораяплоско поляризована вдоль фиксированного направле-ния. Но если их фазовые скорости различаются, то прираспространении одна волна будет обгонять другую иплоскость поляризации суммарной волны будет посте-пенно поворачиваться – наблюдается эффект Фарадея(рис.1). Угол поворота плоскости поляризации излу-чения на выходе из ферромагнетика пропорционаленмагнитооптическому параметру Q и длине пути волныв намагниченной среде.

Эффект Фарадея широко используют для наблюде-ния магнитной структуры в прозрачных пленках, вкоторых намагниченность перпендикулярна или почтиперпендикулярна поверхности пленки. Этот эффект –один из наиболее действенных механизмов управленияполяризацией света. Он широко применяется в лазер-ной технике, информатике и других областях. Можносказать, что эффект Фарадея является основой магни-тооптики – раздела оптики, в котором изучают влияниемагнитного поля на оптические свойства вещества.

Наряду с эффектом Фарадея существует множестводругих магнитооптических явлений, среди которыхстоит еще упомянуть эффект Керра. Он состоит в из-менении характеристик световой волны при отраженииот магнитной среды. При этом, в зависимости от геомет-рии падения света, будет меняться либо его поляриза-ция, либо интенсивность, либо и то и другое вместе.

Два пути к совершенству

Магнетизм воздействует на свет, но это действиеобычно весьма мало. А как же тогда магнитное полесможет управлять светом? Ответ вроде бы очевиден:магнитооптические эффекты необходимо каким-то об-разом увеличить.

В 70-е – 80 –е годы прошлого века, когда эксперимен-тальная магнитооптика переживала бурное развитие,ученые шли по пути подбора оптимального химическо-го состава. Одним из наиболее распространенныхмагнитооптических материалов является ферромаг-нитный диэлектрик редкоземельный феррит-гранат сионами висмута. Его химическая формула

3 5 12R Bi Fe Ox x− . В ней R обозначает один или несколь-ко редкоземельных ионов, а x задает относительнуюконцентрацию редкоземельных ионов и висмута. Наосновании многочисленных экспериментов были выяв-лены составы ферритов-гранатов, обеспечивающие ввидимом и ближнем инфракрасном свете большиемагнитооптические эффекты и малое оптическое по-глощение. К примеру, намагниченная пленка феррита-граната состава 0,5 2,5 5 12Dy Bi Fe O толщиной 10 мкмспособна повернуть плоскость поляризации красногосвета на угол около 20° , что вполне подходит длявозможных применений. Однако в поиске подходяще-го состава вещества в конце концов наступило насыще-ние, и прогресс затормозился.

Рис.1. Схематическая иллюстрация эффекта Фарадея

01-23.p65 05.02.10, 17:1813

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 114

К счастью, существует и другой альтернативныйподход, связанный с так называемыми оптическиминаноструктурированными материалами – средами,оптические свойства которых (например, показательпреломления) изменяются в пространстве на масштабеменее нескольких сотен нанометров. Ярким примеромтаких материалов являются фотонные кристаллы.

Фотонные кристаллы – это периодические диэлект-рические или металло-диэлектрические материалы,которые воздействуют на распространяющиеся по нимсветовые волны таким же образом, как и периодичес-кий потенциал в кристаллах влияет на движение элек-тронов, приводя к образованию разрешенных и запре-щенных энергетических зон. Поскольку в основе идеифотонного кристалла лежат явления дифракции иинтерференции, то период структуры фотонного кри-сталла должен быть порядка длины волны электромаг-нитного излучения в веществе, т.е. около 300 нм дляработы в диапазоне видимого света. Примером одно-мерных фотонных кристаллов служит многослойнаяструктура из чередующихся слоев прозрачных веществс двумя различными показателями преломления(рис.2,а). Система параллельных отверстий в диэлек-трическом слое формирует двумерный фотонный кри-сталл (рис.2,б), а плотно упакованные наносферы

кварца представляют собой трехмерный фотонныйкристалл (рис.2,в).

Чем же замечательны наноструктурированные ма-териалы и, в частности, фотонные кристаллы? Тем,что их оптические свойства – направление, интенсив-ность и поляризация отраженного и прошедшего све-та – определяются не только и даже не столькопоказателями преломления веществ, из которых онисделаны, а их структурой. Специально подобраннаяструктура вещества приводит к явлениям интерфе-ренции и дифракции, существенно меняющим усло-вия прохождения света через материал. Так, в фо-тонных кристаллах возникают запрещенные зоны –области частот света, при которых свет не можетпроникнуть внутрь фотонного кристалла и полнос-тью отражается от него. Появление наноструктуриро-ванных материалов фактически открывает новое на-правление в создании оптических сред. Необходимыеоптические свойства материала достигают теперь непутем подбора оптимального химического состава (какэто было в старом подходе), а путем создания гео-метрической или фазовой структуры с характернымразмером, не превышающим нескольких сотен нано-метров. Поскольку наноструктурированные материа-лы создают искусственно, их часто называют метама-териалами.

Намагниченные фотонные кристаллы

Если наноструктурированный материал содержитмагнитные вещества, то можно ожидать, что в нембудут наблюдаться магнитооптические эффекты, ана-логичные тем, что возникают в обычных однородныхсредах, но, возможно, несколько измененные. Идеяиспользовать для управления света в фотонном крис-талле магнитные вещества впервые была предложена вконце 90-х годов минувшего столетия японскими уче-ными. Они рассмотрели эффект Фарадея в одномер-ных фотонных кристаллах, представляющих собоймногослойные пленки из хаотично чередующихся сло-ев висмут-замещенного иттриевого феррита-граната икварца. Для определенных частот излучения при опти-мально подобранных параметрах структуры было обна-ружено увеличение эффекта Фарадея более чем в 300раз по сравнению с аналогичной однородной средой.

На примере одномерного случая можно выделитьнесколько разновидностей магнитных фотонных крис-таллов. Прежде всего, это стандартные системы, состо-ящие из чередующихся четвертьволновых (толщинаравна одной четвертой длины волны света в веществе)магнитных (например, церий-замещенный иттриевыйферрит-гранат) и немагнитных (например, гадолиний-галлиевый гранат) слоев. Такие фотонные кристаллыобладают запрещенной зоной с центром на проектиро-вочной длине волны, т.е. не пропускают свет с длинойволны в некоторой области вокруг данной. Под проек-тировочной длиной волны подразумевают длину вол-ны света вне кристалла, при которой в каждом изего слоев укладывается одна четвертая длины волны.На рисунке 3,а и б показаны зависимости коэффици-ента пропускания и угла Фарадея для одномерногофотонного кристалла, настроенного на ближний инф-ракрасный диапазон (проектировочная длина волны1,55 мкм). Кристалл состоит из 30 пар магнитного инемагнитного слоев. Усиление эффекта Фарадея воз-никает на границе запрещенной зоны, т.е. в районедлин волн 1,49 мкм и 1,61 мкм. Оказывается, именнона этих длинах волн резко возрастает групповая ско-рость света. Это приводит к тому, что возрастаетэффективное время взаимодействия волны с намагни-ченностью материала, а значит, и увеличивается эф-фект Фарадея.

Важной особенностью резонансов на граничных час-тотах является то, что максимумы прохождения ифарадеевского вращения практически совпадают. Этопозволяет использовать фотонные кристаллы в каче-стве миниатюрных элементов, вращающих плоскостьполяризации на большие углы. Оптимальный подбормагнитных материалов, их геометрических размеров ирасположения позволит создать новое поколение опти-ческих устройств, управляемых магнитными полями.При этом нужно иметь в виду не только инфракрасный,но и видимый диапазон света.

В одномерных магнитных фотонных кристаллахможно создать структурные дефекты – несколько разинвертировать порядок следования слоев и тем самымполучить один или несколько слоев с удвоенной толщи-ной. Наличие таких дефектов приводит к появлению в

Рис.2. Одномерные (а), двумерные (б) и трехмерные (в)фотонные кристаллы

01-23.p65 05.02.10, 17:1814

фотонной запрещенной зоне узких резонансныхуровней, на частотах которых прохождение светаблизко к стопроцентному (рис.3,в). Вместе с тем,групповая скорость излучения на этих резонансахвновь оказывается очень малой, и эффект Фарадеяпри этом резко возрастает (рис.3,г). В результатеудается получить пик пропускания нужной шириныи большой угол Фарадея. К примеру, на длинахволн ближнего инфракрасного диапазона с помо-щью таких фотонных материалов удается получитьугол поворота поляризации света на 45° на рассто-янии всего 1,5 мкм, в то время как для той жеоднородной среды указанный угол поворота дости-гается на расстоянии, в 150 раз большем.

Однако усиление эффекта Фарадея в фотонныхкристаллах впервые было экспериментально проде-монстрировано японскими учеными на структуредругого типа. Она представляет собой магнитныймикрорезонатор – внутрь немагнитного резонаторапомещают слой магнитного материала. Хотя изгото-вить такую систему проще, чем предыдущие разно-видности магнитных фотонных кристаллов, она де-монстрирует все же менее впечатляющие результаты.

В последние несколько лет начали исследовать имногомерные магнитные фотонные кристаллы. Ра-бота с такими системами существенно расширяеткруг наблюдаемых эффектов, а также приводит кновым интересным применениям. Эксперименталь-ные и теоретические исследования двумерных итрехмерных магнитных фотонных кристаллов ак-тивно ведутся в нашей стране (в МГУ им. М.В.Ло-моносова, в Физико-техническом институте им.А.Ф.Иоффе), а также в Японии, Австралии, Шве-ции и ряде других стран. В большинстве случаев

экспериментальной реализации этиструктуры представляют собой кол-лоидные растворы упорядоченныхчастиц сферической или цилиндри-ческой формы. Например, созданыдвумерные коллоидные фотонныекристаллы, состоящие из стеклян-ных волокон, покрытых никелем.Резкое увеличение эффекта Фара-дея было зафиксировано в трехмер-ных коллоидных кристаллах из квар-цевых сфер, промежутки между ко-торыми заполнены магнитной жид-костью насыщенного раствора нит-рата диспрозия в глицерине.

До сих пор мы говорили толькопро усиление в фотонных кристал-лах эффекта Фарадея. Однако необ-ходимо отметить, что и другие маг-нитооптические эффекты могут бытьсущественно усилены благодаря спе-циально подобранной оптическойструктуре среды. Следовательно,имея в руках образец такого фотон-ного кристалла толщиной всего не-сколько микрометров, можно дей-

ствительно эффективно управлять светом, в первуюочередь меняя его поляризацию.

Магнитооптика на службе

Настало время поговорить о том, где может использо-ваться магнитооптика. Начнем с передачи информации.Поскольку в оптических компьютерах биты информациипередаются световыми волнами, то для их реализациинужно научиться менять или, говоря иначе, модулиро-вать с высокой частотой интенсивность света. Вот здесь идолжен пригодиться усиленный эффект Фарадея.

Действительно, магнитооптический модулятор можноорганизовать так: расположить магнитный фотонныйкристалл с большим магнитооптическим параметром междудвумя поляризаторами, скрещенными под углом 45° , именять его намагниченность внешним магнитным полем втаких пределах, чтобы угол поворота плоскости поляри-зации также составил 45° . Тогда при максимальнойнамагниченности, например, вдоль оси ОХ поляризациясвета на выходе из слоя окажется параллельной направ-лению пропускания анализатора, и почти вся световаяэнергия пройдет через модулятор. В то же время примаксимальной намагниченности слоя против оси ОХплоскость поляризации света повернется в противопо-ложную сторону и будет перпендикулярна оси анализато-ра – свет полностью поглотится. При промежуточныхзначениях намагниченности угол Фарадея будет меньше45° , и только часть излучения выйдет наружу. Получа-ется, что, изменяя магнитное поле, удается влиять наинтенсивность прошедшего света. Очень важным факто-ром при этом является скорость переключения. Магнит-ные материалы позволяют достигать частот переключе-ния вплоть до десятков гигагерц, что соответствует време-ни переключения порядка долей наносекунды. (Для

Рис.3. Оптические свойства в ближнем инфракрасном диапазоне одномерногомагнитного фотонного кристалла, состоящего из 30 пар магнитного и немагнитногослоев с идеальной периодичностью (а,б) и со структурным дефектом (в,г)

К А К У П Р А В Л Я Т Ь С В Е Т О М С П О М О Щ Ь Ю М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я 15

01-23.p65 05.02.10, 17:1815

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 116

сравнения стоит сказать, что переключение вжидкокристаллических веществах происходит замикросекунды.)

Эффективно и быстро изменять интенсивностьсветового потока крайне важно не только в фо-тонных чипах оптических компьютеров будуще-го, но и в других оптических устройствах. На-пример, на базе магнитного фотонного кристал-ла можно создать миниатюрные ячейки, про-пускающие свет заданного цвета – красного,синего или зеленого. Такие ячейки можно объе-динить в единую систему и из получившихсяпикселей создать монитор или видеопроектор(рис.4). Адресно прикладывая внешнее магнит-ное поле к цветным пикселям, можно управлятьяркостью того или иного цвета и придавать пик-селю требуемый оттенок, формируя яркое, на-сыщенное цветное изображение.

Сейчас все большую популярность приобретаеттак называемая электронная бумага – гибкиймонитор, позволяющий читать электронные книги игазеты. В настоящее время уже появились такие уст-ройства, обеспечивающие черно-белое изображение.Оказывается, магнитное поле здесь тоже может ока-заться полезным. Как следует из совсем свежей работыкорейских ученых, магнитные фотонные кристаллы,состоящие из магнитных наночастиц в полимерныхмикросферах, могут позволить сделать следующий

шаг – создать цветную электронную бумагу. Принципдействия элемента такого фотонного кристалла схема-тически изображен на рисунке 5. Микросфера с маг-нитным фотонным кристаллом внутри может свободновращаться, будучи взвешена в машинном масле. Еслиизлучение падает в направлении магнитной цепочки(или под острым углом меньше 15° ), то цвет отражен-ного излучения определяется в основном расстояниеммежду наночастицами. Если же под действием магнит-ного поля частица повернется так, что цепочки магнит-ных частиц ориентируются перпендикулярно лучусвета, то микросфера станет бесцветной. Таким обра-зом, в данном случае магнитное поле помогает управ-лять цветом не непосредственно через магнитооптичес-кие эффекты, а опосредованно – ориентируя фотон-ный кристалл нужным образом. В то же время и проэффект Фарадея тоже не стоит забывать. Не исключе-но, что и в такой структуре он окажется полезным длядополнительного воздействие на поляризацию света.

Усиленное влияние магнитного поля на свет можноиспользовать не только ради изменения характеристиксвета, но и для мониторинга самого магнитного поля –в сверхчувствительных сенсорах. Оказывается, что вмагнитных фотонных кристаллах и ряде других нано-структурированных магнитных материалах (напри-мер, в перфорированных металло-диэлектрическихпленках) величина и положение резонансного пикапрохождения очень чувствительны к внешнему магнит-ному полю. Следовательно, помещая магнитную нано-структуру во внешнее магнитное поле, можно, измеряяинтенсивность прошедшего света, судить о величине инаправлении поля.

Магнитофотоника

Мы обсудили лишь некоторые применения магнито-оптических эффектов, которые далеко не исчерпываютвсе возможности и преимущества управления светом спомощью магнитного поля. В настоящее время посто-янно появляются новые идеи и разрабатываются новыемагнитооптические устройства. Недавно даже было

Рис.4. Принцип действия магнитооптического видеопроек-тора. Три магнитных фотонных кристалла, настроенных насинюю (470 нм), зеленую (540 нм) и красную (640 нм)длины волн, и спектры их пропускания (а); схема магнито-оптической ячейки (б); пиксельная структура магнитоопти-ческого дисплея (в)

Рис.5. Полимерная микросфера с фотонным кристаллом внутриизменяет цвет отраженного излучения при повороте под действиеммагнитного поля (а). Микросферы двух различных размеров: во«включенном» состоянии, т.е. ориентация цепочек магнитных нано-частиц в фотонном кристалле параллельна лучу зрения (б, г), и в«выключенном» состоянии, т.е. ориентация перпендикулярна лучузрения (в, д)

01-23.p65 05.02.10, 17:1816

введено специальное название для этого направленияисследований – магнитофотоника, что дополнительносвидетельствует о его актуальности. Знаменитый фран-цузский математик А.Пуанкаре отметил, что иногдадостаточно изобрести новое слово и это слово впослед-ствии становится творцом. Так получилось и с фотон-ными кристаллами: в 1987 году появилось название, ауже через несколько лет возник настоящий шквалисследований, приведший к новым научным и техни-ческих открытиям. Что принесет термин «магнитофо-тоника», какие новые открытия нас ждут, чем ещеполезным окажется открытая Фарадеем взаимосвязьмежду оптикой и магнетизмом – покажет время. Мо-жет быть, именно благодаря магнитофотонике станутявью фантазии научных художников на тему оптичес-ких наносхем (одна из таких фантазий изображена нарисунке 6). Рис.6. Фантазия художника – фотонный микрополис

К А К У П Р А В Л Я Т Ь С В Е Т О М С П О М О Щ Ь Ю М А Г Н И Т Н О Г О П О Л Я 17

Н О В О С Т И Н А У К И

НОБЕЛЕВСКАЯ ПРЕМИЯЗА «ШКОЛЬНУЮ» ФИЗИКУ

Лауреатами Нобелевской премии по физике в 2009 годустали трое ученых. Половину премии получил британскийисследователь китайского происхождения Чарльз Као «завыдающиеся достижения, касающиеся передачи световыхсигналов в волокнах и развития оптических систем переда-чи данных». Вторую половину премии разделили амери-канские ученые Уиллард Бойл и Джордж Смит «за разра-ботку оптических полупроводниковых сенсоров – ПЗС-матриц».

Обе награжденные работы были выполнены около 40лет назад (сегодня младшему из трех лауреатов 76 лет, а

старшему – 85). Обе работы не являются теоретическимиили экспериментальными в области фундаментальной на-уки, а относятся к прикладной физике. И по образованию,и по опыту работы их авторы прежде всего инженеры. Чтоже общего между работой Као и работой Смита и Бойла?В обеих работах важно, что они послужили толчком кразработке устройств, получивших в конце концов широ-чайшее распространение в науке, технике и, что особенноважно, в жизни людей. Без этих «толчковых» работ осу-ществление многокилометровых линий телекоммуникаций,основанных на оптоволоконной технике, и внедрение вжизнь современной цифровой видео- и фотоаппаратуры

Чарльз Као Уиллард Бойл Джордж Смит

задержалось бы на неопределенные сроки. Научные осно-вы этих работ несложны – они рассматриваются еще вшкольном курсе физики.

В основе оптоволоконной телетранспортации лежит из-вестное со средневековых времен явление полного внут-реннего отражения. Оптическое волокно представляет со-бой тоненькую (меньше 0,1 мм) «проволочку» из стеклаили пластмассы, по которой, в результате многократногополного внутреннего отражения, и распространяется свето-вой сигнал. Эта тонкость обеспечивает гибкость волокна,дающая возможность скручивания нескольких волокон вжгут и передачи световой энергии по самым сложнымизвилистым путям.

Когда в начале XX века появилась идея использованиятонких стеклянных нитей для передачи света, было ясно,что необходимо специальное стекло с очень малым погло-щением. В 60-е годы стали использовать кварцевое стекло,но удалось достичь незначительного успеха – оптоволокноприменялось только для передачи световой энергии. Пере-давать же информацию (модулированные сигналы) удава-лось лишь на небольшие расстояния (не более 10 см) –при больших длинах волокна информация сильно иска-жалась.

Достижение Ч.Као заключалось в том, что он рассчиталвлияние примесей на поглощение и рассеяние света и до-бился получения такого чистого стекла, что его прозрач-ность увеличилась в миллион (!) раз. Это был революци-онный прорыв в деле передачи информации подобнымспособом.

Может возникнуть вопрос: в чем преимущества оптическо-го способа перед другими способами – использованиемпроводов или радиоволн? Прежде всего, в гораздо большейвременнуй плотности передачи информации – ведь частотасвета в 100000 раз больше частоты ультракоротких радио-волн или сверхвысокочастотных токов. Немаловажным яв-ляется также отсутствие влияния на передаваемую информа-цию со стороны посторонних электромагнитных полей. И,наконец, оказалось, что оптическая передача является са-мым дешевым способом передачи информации на большиерасстояния.

Теоретическая база работы, получившей вторую половину

Н О В О С Т И Н А У К И 17

01-23.p65 05.02.10, 17:1817

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 118

ется внутренним, а сам полупроводник – фотодиодом. Обра-зующиеся дырки будут перемещаться по направлению поля(на рисунке 2 – вниз), а электроны – к границе с диэлектри-ком, увеличивая концентрацию электронного облака. При-чем концентрация будет пропорциональна числу поглощен-ных фотонов, т.е. освещенности. Квантовый выход (КПД)такого фотоэффекта оказывается очень высоким – до 80%.Информация от каждого пикселя побежит по строчкамматрицы к прибору, переводящему ее в «цифру». При этомвключения и выключения напряжения на отдельных элемен-тах нужно производить с такой частотой, чтобы образующи-еся фотоэлектроны не успевали «найти» дырки, с которымиони могли бы рекомбинировать. На пластинке – чипе –размером 8 15мм¥ можно разместить матрицу, состоящуюиз пяти миллионов пикселей, т.е. получать информацию обосвещенности в нескольких миллионах точек изображения.

Потом в конструкцию элементов были внесены изменения.В качестве диэлектрика теперь используется пластинка изкварцевого стекла, а металлической обкладкой конденсатораявляется очень тонкий (не более 0,1 мкм) слой алюминия,наносимый напылением, – такой слой достаточно прозрачен.Чтобы иметь информацию о цвете, нужно поочередно пода-вать к пикселям свет, прошедший через различные свето-фильтры.

Подытоживая, можно сказать, что такой чип представляетсобой интегральную микросхему, состоящую из светочув-ствительных фотодиодов и использующую технологию при-боров с зарядовой связью. Этот чип – «сердце» цифровыхвидео- и фотокамер, которые практически вытеснили обыч-ные (аналоговые) приборы.

Л.Белопухов

Рис. 2

Нобелевской премии, – это физика твердого тела (полупро-водников) и явление внутреннего фотоэффекта. В формули-ровке премии есть термин «ПЗС-матрица». Это прибор сзарядовой связью, предназначенный для перемещения не-большого избыточного отрицательного заряда по цепочкеодинаковых устройств, образующих линейку или суммулинеек – матрицу.

Вначале Бойл и Смит разрабатывали ПЗС как ориги-нальное устройство компьютерной памяти. Работает оноследующим образом. Маленькая пластинка полупроводни-

ка р-типа (монокристалл кремния, легированный акцеп-торной примесью бора) покрывается более тонким слоемдиэлектрика и металлической пластиной (рис.1). Междуэтой пластиной и подложкой полупроводника прикладыва-ется разность потенциалов. Таким образом образуется свое-образный двухслойный конденсатор. Толщина полупро-водника порядка 10 мкм, диэлектрика – 1 мкм, а металли-ческого слоя – еще меньше. В примесном полупроводникер-типа концентрация основных носителей – дырок – со-ставляет величину порядка 22 310 м− , тогда как концентра-ция собственных носителей заряда – электронов и дырок –много меньше и при комнатной температуре равна пример-но 16 310 м− . В электрическом поле дырки (основные носи-тели тока) перемещаются по направлению поля, поэтомуконцентрация дырок вблизи границы полупроводника сдиэлектриком становится меньше. Зато в этой области уве-личивается концентрация собственных (неосновных) носи-телей – появляется электронное облако. Если рядом будетнаходиться такое же устройство, то электронное облакопочувствует «чужое» электрическое поле и передвинется ксоседнему элементу, в котором тоже возникнет несиммет-рично расположенное облако электронов (рис.2,а). Еслитеперь выключить поле в элементе 1, то облако в элементе2 станет симметричным (рис.2,б). Если же рядом с эле-ментом 2 окажется элемент 3, на который подано электри-ческое поле, то электронные облака в этих элементах сдви-нутся (рис.2,в). И если теперь выключить поле в элементе2, то появившееся в элементе 3 облако станет снова сим-метричным (рис.2,г). Из таких элементов можно составитьлинейные цепочки и, усложнив конструкцию, создать дву-мерную матрицу, в которой информация о наличии зарядаи о его величине будет перемещаться от места появлениязаряда к выходному элементу, где она может быть выра-жена числом в двоичной системе. Пара элементов, в кото-рых заряд как бы переходит от одного элемента к другому,получила название пиксель.

Однако выяснилось, что малая концентрация собственныхэлектронов в полупроводнике не обеспечивает надежностипередачи информации. Эту концентрацию следовало увели-чить. И появилась идея – увеличить ее за счет фотоэффекта.При поглощении фотона может разорваться валентная связьэлектрона в кристаллической решетке, и электрон станетсвободным (внутри кристалла). Такой фотоэффект называ-

Рис. 1

01-23.p65 05.02.10, 17:1818

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й М И Р

ИНТЕРВЬЮ С Н.Н. КОНСТАНТИНОВЫМ

Николай Николаевич Константинов – выдающийся органи-затор математического образования, один из создателейсистемы математических классов в Москве. Бессменный руко-водитель единственного в своем роде международногоматематического соревнования – Турнира городов, в которомпринимают участие школьники со всего мира. Действитель-ный член Московского общества испытателей природы, Мос-ковского математического общества. Представляет в ЕвропеВсемирную федерацию национальных математических со-ревнований. Преподает в московской 179 школе. Награжденмеждународной математической медалью имени Пола Эрде-ша. Недавно получил премию Правительства РФ в областиобразования за создание Турнира Ломоносова.

Мы попросили его рассказать о себе, о своей работе и овзглядах на математическое образование. Николай Николае-вич охотно откликнулся на нашу просьбу.

– В школе вы увлекались скорее биологией…– Увлечение биологией у меня было еще до школы. Семи

лет от роду я впервые посадил землянику и пытался сделатьиз нее клубнику. Мне это не удалось. Я себя убедил, что ягодыстали чуть крупнее, когда я их много поливал. Я попросилв библиотеке, уже в эвакуации, т.е. в 1941 году, – я был втретьем классе, – книжку о путешествиях, и мне далиДарвина, «Путешествие натуралиста вокруг света на корабле«Бигль». В предисловии профессора С.Л.Соболя было напи-сано, что приобретенные признаки не передаются по наслед-ству. Я и сейчас говорю: одно дело что-то выучить по книжке,и совсем другое – пережить эмоционально. Я-то это пережилв очень восприимчивом возрасте. Мне просто смешно, когдалюди начинают обсуждать то, где они ничего не прочувство-вали, и приходят к заранее намеченным выводам.

Потом я занимался в станции юных натуралистов в Со-кольниках, в Ботаническом саду МГУ. Там был ботаникдоцент Потапов, который мной руководил. А в девятомклассе я ходил в самый хороший кружок, самый сильный,нас водили по кафедрам биофака. Но это был 1947/48учебный год, а летом 1948 года разразилась катастрофа сбиологией, появился Лысенко и так далее. После этого набиофак было бесполезно идти. Не давали книги: запрещенобыло выдавать учебники. К тому же я увлекся математикой,и для меня это уже не было потерей. Так что увлечениематематикой у меня как бы вторичное, и я вижу в этомнекоторый плюс. Я все время ощущаю, что потеря математи-ки для меня не есть потеря всего.

– А что есть потеря всего?– Ну если бы еще и биология, и физика, и все остальное

умерло для меня, вот тогда это была бы потеря всего.– Т.е. математика – одна из нескольких важных вещей.– Да, одна из. Допустим, в математике ничего не получа-

ется. Ну что делать, это не повод для самоубийства.– А почему вы поступили на физфак МГУ?– Конечно, я увлекся физикой – именно в 10, выпускном

классе. Наверное, потому, что математика казалась мнетогда несерьезной наукой. На кружках там какие-нибудьзайчики прыгают, красные, зеленые и белые, да еще дока-зать надо, что красных четное число. Все эти задачи мнеказались чем-то игрушечным. Странно этим заниматься.Потом-то я понял, что это, конечно, упражнения. Но думаю,что люди, которые злоупотребляют такими детскими сюже-тами, не вполне понимают психологию. Детям нравится,когда их занятия выглядят взрослыми.

– А в олимпиадах приходилось участвовать?– В седьмом классе учитель математики – очень популяр-

ный у нас был учитель, когда его сменили, весь классбастовал, – он порекомендовал мне пойти на олимпиаду, норекомендация так выглядела, что я не пошел. Он сказал, чтопроводится такая контрольная работа, лучшие ученики соби-

раются и соревнуются, кто лучше напишет эту контрольнуюработу. Я подумал: «Вот идиоты, мало им контрольныхработ…» А пошел я туда через год потому, что мой сосед попарте сходил на лекцию в университет. Это была воскреснаялекция на тему о четырехмерном пространстве. Он вернулсяс нее совершенно сумасшедшим, глаза у него были где-тодалеко, и он все время рассказывал мне что-то, чего я понятьне мог. На следующую лекцию мы пошли вместе. Это былалекция Исаака Моисеевича Яглома об индукции в геомет-рии. Она произвела на меня потрясающее впечатление,потому что там было много неожиданного. Яглом разговари-вает с теми школьниками, которые сидят непосредственноперед ним, и спрашивает: а вот есть такая-то теорема? – надоже, думаю, профессор университета – и не знает, какие естьтеоремы. Куда я попал?.. Школьники, которые перед нимсидели, не дали ему вразумительного ответа. – «Ну ладно,– говорит Яглом, – какая разница. Докажем ее». Это менясовершенно потрясло. Он не знает, какие есть теоремы, и емуэтого и не надо знать. Совершенно неожиданная вещь дляшкольника, который привык: выполнил задание – получилпятерку, и при этом ничего не узнал.

– И после физфака хватило наглости преподавать уматематиков?

– Не только после физфака – на пятом курсе физфака я намехмате объявил семинар по теории функций действительно-го переменного. Наглости у меня хватало всегда, и сейчасхватает.

Занятия в университете тогда начинались в 10 часов.Естественно: не было метро. Добираться до Ленинских горбыло труднее. Автобусы, длинные очереди… А так какнужно было еще аудиторию найти, мы назначили занятия на8 утра. Занимались человек 15 студентов первого курса,которые всегда приходили к восьми. Некоторые из них сталивпоследствии очень сильными математиками. Среди нихбыли Коля Розов; Женя Голод, самый сильный; СашаВентцель; Ира Виноградова; Леня Бокуть. Были еще люди,которых я по фамилии забыл. Семинар был достаточносильный, он длился один семестр и кончился тем, что ядошел до предела своих знаний. Дальше мне самому надобыло что-то раскапывать.

Позже я собрался поступать в аспирантуру к АлексеюАндреевичу Ляпунову, потому что он занимался кибернети-кой, а я в это время был просто потрясен статьей Л.В.Кру-

01-23.p65 05.02.10, 17:1919

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 120

шинского про экстраполяционные рефлексы. Я к томувремени уже пять лет проработал на физфаке преподавате-лем математики, но когда я прочитал Крушинского, я былпросто ошеломлен. Настолько это было для меня фантасти-чески интересно. Хотя я не понимал, чем я там могу бытьполезен. Но я бросил преподавание на физфаке и пошел васпирантуру. Я преподавал вроде бы успешно, но когдапочувствовал, что двойки стал ставить равнодушно, понял,что с этой работы надо уходить. Думаю, многие люди незамечают этой грани.

– Работы Крушинского потрясли вас тем, что он пытал-ся понять, как устроен мозг?

– Ну, что-то совершенно новое. Я понимал, что бывают,скажем, условные рефлексы, но это что-то совершеннодругое. Дело в том, что условные рефлексы – ну, например,у осьминогов – они уже появляются, но в зачаточномсостоянии, очень слабенькие. У многих рыб даже вообще необнаруживается ничего подобного. А пространственная ори-ентация есть раньше. Т.е. это, может быть, более фундамен-тальная вещь.

– А как возник мультфильм, в котором ходила как живаякомпьютерная кошечка?

– Это было в 1968-м году. В это время появилось АЦПУ.До этого была только узкая-узкая ленточка с цифрами, дажебукв не было. Она шла с бешеной скоростью, и потом былоцелое искусство все это читать. Появилось АЦПУ-128, а 128потому, что 128 символов в строчке – длинная строчка. Исразу появилась мода делать картины: ну, например, портретЛенина, выбитый буквами. Понятно, что здесь компьютер нипри чем. Но раз появилась возможность делать рисунки,значит, появилась возможность делать мультфильмы.

Толчком было вот что. Мой бывший студент, ВалераИванов, который кончил кафедру биофизики, делал такойкукольный фильм. Из пластмассовых шариков сделал мо-дель молекулы ДНК и стал показывать, как она можетдеформироваться. Делал он это, как делают кукольныефильмы. В одном состоянии сфотографировал, потом чуть-чуть повернул, снова сфотографировал, и так далее, а потомпоказывает фильм. А я ему и говорю, что это нужно делатьна компьютере, потому что когда ты поворачиваешь руками,у тебя точность потрясающе плохая, и даже если и можносделать фильм для показа, для научной работы его исполь-зовать совершенно невозможно. Давай сделаем фильм ком-пьютерный. А для этого надо было подумать, как информа-цию организовать. Первоначально в обсуждении участвова-ло несколько человек, потом реально работало трое. Кромеменя, еще Владимир Пономаренко и Виктор Минахин.

Удивительно, что сделано это в 1968 году, сорок лет томуназад, и на все это время все как бы забыли про эту вещь,потом вдруг вспомнили.1

– А почему у вас возникла идея заниматься со школьни-ками?

– Сначала, когда я еще учился на физфаке, я со школьни-ками не работал. Но у меня были грамоты на олимпиаде, исо мной стали носиться немножко, включили в научно-студенческое общество, и так далее… Короче, на второмкурсе я был зампредом городской физической олимпиады.Как-то было естественно, что я в этой области. Ну и мы сИгорем Иванчиком, это мой однокурсник, решили вестифизический кружок в большой аудитории для всех желаю-щих, каждый раз могут приходить новые люди, сто человекприсутствуют… Нам предоставили возможность готовитьдемонстрационные эксперименты, весь кабинет физических

демонстраций был в нашем распоряжении. Мы могли делатьлюбые эксперименты для себя, а потом выбирали, что мыпоказываем. И там были два великих человека, СергейИванович Усагин и второй – Валентин Семенович, забылфамилию. Это были такие русские умельцы без всякогообразования, у которых все всегда работает. Отец СергеяИвановича был такой же, он изобрел трансформатор. Неча-янно. Это было для меня очень полезно, и, наверное,школьникам было интересно. В общем, мы довольно долгос Игорем вели такой кружок. Когда я уже окончил физфаки стал ассистентом на втором курсе, то моими студентамибыли мои бывшие школьники. Так оно само собой и получи-лось, что я стал вести кружки. Но это были физическиекружки, а математические я не вел сначала, их вели моидрузья-мехматяне. Вот кто-то из них уезжает на каникулы ипросит два занятия провести вместо него.

Так я понемножку втянулся в математические кружки, а кпятому курсу до того обнаглел, что для студентов первогокурса мехмата организовал семинар. И я понял тогда удиви-тельную вещь, абсолютно новую для меня. Уровень взаимо-понимания между преподавателем и студентом становитсясовершенно иным, когда преподаватель принимает задачи.Эта систематическая работа, когда я пытаюсь понять твоюмысль, а ты пытаешься понять мою мысль, – это совершенноиной уровень взаимопонимания, чем тот, что бывает, когдалектор читает лекцию. А особенно сейчас – дистанционно…человек, сидя дома, может слушать лекцию в университете…там не будет этого уровня. Неизбежно получается поверхно-стно. Он и вопрос не может задать. Я не против дистанцион-ного обучения, только надо понимать, что оно не всегдаможет что-то дать. Если не требуется глубокое взаимопро-никновение, например – лекция на тему «Есть ли жизнь наМарсе», то вполне можно. Вот я пью кофе, одновременнослушаю лекцию «Есть ли жизнь на Марсе», это нормально,это не плохо. Однако в математике практически нет случаев,чтобы математик не имел руководителя. И руководительдолжен быть достаточно толковым. Есть замечательноевысказывание Леонардо да Винчи: «Плох тот ученик, кото-рый не превосходит своего учителя». Владимир ИгоревичАрнольд тоже всегда подчеркивает это: что молодежь лучшерешает задачи, чем мы, которые их учим. Иначе прогрессабы не было.

– Толчком к тому, чтобы вести кружок, была именно вотэта мысль: что именно общение преподавателя с учеником,когда решаются задачи, обсуждаются – очень важно?

– Да. Кружок или класс.Я просто из любопытства приходил в кружок Андрея

Лемана и Андрея Леонтовича. Очень сильный был кружок,но, правда, и с некоторым элементом халтуры. Ну, напри-мер: «Как, – говорит Леман, – вы не знаете аналитическойгеометрии? Ну я вам сейчас расскажу. Вот уравнение пря-мой, вот уравнение эллипса. Все понятно?» Т.е. годовойкурс – или полугодовой – за несколько минут.

– Это был знаменитый кружок «Альфа»?– Нет, это был кружок Лемана и Леонтовича.В это время появилось много школьников это были люди,

родившиеся после войны. И появилась мода читать для нихлекции по современным разделам математики. А я подумал,что, собственно, начинающим не современная же математиканужна. Что они там поймут в современной математике, когдаони не знают ничего. И вот когда ребята меня спросили, –ребята из кружка Лемана и Леонтовича, – советую ли я импойти на какие-то лекции, то я сказал: давайте лучше я вамсам дам задачи, и вы попробуете. И я стал давать им задачи,и так возник первый вариант программы матшколы. Вот этои был кружок «Альфа». Там работало всего четыре-пятьшкольников.

Кружок «Бета» был задуман гораздо сильнее. Мы решилисо Славой Цуцковым – это был такой очень сильный

1 Подробно обо всем этом можно прочитать в статьях«Прибытие кошечки» и «Знает ли кошка, что она не настоя-щая» (журнал «Компьютерра», номер 7 за 2006 год). А саммультфильм теперь можно найти в Интернете:

http://www.etudes.ru/ru/mov/kittie/index.php

01-23.p65 05.02.10, 17:1920

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й М И Р 21

школьник, который учился в кружке у студента Арнольда,потом поступил на физфак.

– У Владимира Игоревича?– Да. Слава потом погиб, это трагическая история. Он

провел кружок для школьников по квантовой механике. Ноон не мог никакого математического аппарата им рассказать,потому что ничего они не знают. И вот тогда мы решилисделать такой кружок, чтобы дать им тот математическийаппарат, с помощью которого они смогут написать и пони-мать все уравнения электродинамики и квантовой механики.Это был кружок «Бета». А ребята из кружка «Альфа» былипомощниками. Так как там была твердая цель, чтобы онинечто усвоили, нам пришлось ввести фашистский режим.Дисциплина была как в гестапо. Человек, который невыполнил хотя бы одно задание, исключается из кружка. Номожет прийти, если задание выполнит. Семьдесят человекдошло до конца. Но по дороге погиб Цуцков. И я дальше немог продолжать – у меня не было в голове таких знаний,чтобы провести кружок по квантовой механике. Но доэлектродинамики я их довел. Так вот, из всех учеников одинчеловек продолжил ту работу, ради которой этот кружокначался. Это Александр Комеч. Кстати, из кружка «Альфа»вышел Григорий Маргулис – у него медаль Филдса.

– Это очень сильный математик.– Да. Ну, он, конечно, в основном не у меня учился, а у

своего отца. У меня тоже, но я не имею морального правасчитать его своим учеником.

– А как возникла идея матшкол?– Эта идея возникла у А.С.Кронрода. Я понимал, что мне

придется кружковскую деятельность свернуть.– А он стал уговаривать – давай, мол, наберем маткласс?– Да. Если, – говорит, – ты не согласишься, то я тогда

свою договоренность сверну, прочту там какие-то лекции...– И так возник первый класс.– Да. Но еще раньше, чем первый класс, была просто

группа. Никакого нового класса, а просто в старом классегруппа, в которой велись специально какие-то дополнитель-ные занятия.

– Тогда же появилась система листков, о которой всеговорят: вот, Константинов придумал систему листков?

– Ну, систему листков я придумал, когда у меня былкружок «Альфа». Потому что надо было, чтобы все занятиясохранялись. Если человек пропустил, чтобы он ничего непотерял. Идея очень простая и понятная.

Листки – чисто практическая вещь. У меня к этомувремени – я же пять лет работал на физфаке – был реальныйопыт преподавания, и я уже понял, что система преподава-ния, которая существует в МГУ, – лекции и семинары, –находится на пределе своих возможностей. Из нее нельзябольше ничего извлечь. У одного человека 25 студентов.Если я задал какое-то домашнее задание, то максимум, чтоя могу – пройти по рядам и увидеть: у людей что-то написано.Или тщательно посмотреть, как один человек работал,например. Я даже коллоквиум устраивал, чтобы проверить,что они знают. Приглашал своих друзей. Но это не былопредусмотрено программой.

А в кружке «Альфа» требовалось все задачи сдать –неправильно же, когда каждую десятую задачу проверил, ана остальное наплевать, – ну как на экзаменах: из 30вопросов ты один знаешь – и слава богу, вот тебе пятерка.Смешно? А почему-то другим не смешно.

– Т.е. важная идея системы листков – что человекдолжен решить сам много задач, а не просто прочитатьчто-то в учебнике.

– Да, он должен прорешать, а я должен принять.Понятно, что это не единственный способ преподавания.Почему в анализе этот способ идет хорошо? Потому что в

анализе очень мало теоретического материала и очень многоупражнений. Фактически, если ты знаешь определение пре-

дела, то дальше море задач, и уже нечего читать, кроме какрассказывать решения этих задач. Далеко не все предметытак устроены. Бывает нужно построить архитектуру какую-то, только после этого задачи появляются. А в анализе почтинет этой архитектуры, фактически самая начальная частьанализа состоит из единственного определения. Все конст-рукции почти одинаковы. Нужно этим овладеть.

Когда я начал преподавать на физфаке, я был потрясентем, что никто мне не объяснял, как надо преподавать.Полная свобода. Делай что хочешь. Да, я понимал, что импридется сдать зачеты, уже какая-то программа появлялась.

– Значит, одна из причин того, что был выбран анализ– то, что он подходит...

– Нет, не в том, что он подходит. Я смотрю – написано впрограмме: определение предела – 6 часов. Я думаю: что забред. Чтобы сформулировать определение, 6 часов не надо.А чтобы им овладеть – этого мало.

Вот так листки и появились. Меня сейчас спрашиваютнекоторые иностранцы: вот вы начали в 1980 году Турниргородов. Но ведь тогда не было электронной почты! Как жевы работали? – Ну как – обычной почтой работали. Не былоэлектронной, а обычная была. Надо было заранее задачипослать, вот и все. – А как же система листков, у вас же небыло принтеров в 1961–1962 году? – Ну да, принтеров небыло. Я 17 экземпляров папиросной бумаги закладывал впишущую машинку.

– Давайте про Турнир городов поговорим. Это ведьособая олимпиада. Например, в турнире зачет происходитпо трем задачам из пяти-семи. Это отличает его сразу отвсех олимпиад. Мы не стремимся к тому, чтобы человекпытался все решить, мы хотим, чтобы он выбрал то, чтоему нравится.

– Совершенно верно. Вот, например, недостаток Между-народной олимпиады в том, что там нужно быть универсаломобязательно, в то время как чтобы быть ученым, вовсе необязательно быть универсалом. А международник долженбыть всеяден. Но это скорее подготовка менеджеров фирм,чем математиков.

– Еще Турнир городов – олимпиада самого высокогоуровня, но принимать участие может любой.

– Совершенно верно.– Еще мы стараемся давать нестандартные задачи.– Да, конечно, идея такая, что мы стараемся давать людям

что-то новое, к чему они заведомо не могли специальноготовиться. Вот Павел Кожевников подозревает, что амери-канцы как раз целенаправленно готовятся к тем задачам,которые обычно бывают на международных олимпиадах. Онговорит, что если посмотреть, через какие олимпиады наширебята пробиваются и через какие – американцы, то амери-канцы попадают туда значительно проще.

– Давайте вспомним несколько примеров ярких задач изТурнира городов.

– Думаю, что яркой была задача Максима Концевича проразмножение фишек, ее много раз обсуждали:

На бесконечной клетчатой бумаге отме-чено шесть клеток (см. рисунок). На неко-торых клетках стоят фишки. Положениефишек разрешается преобразовывать последующему правилу: если клетки сосед-няя сверху и соседняя справа от даннойфишки обе свободны, то в эти клеткиставится по фишке, а старая фишка убира-ется. Ставится цель за некоторое количе-ство таких операций освободить все шестьотмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если висходной позиции а) имеются всего 6 фишек, и они стоят наотмеченных клетках; б) имеется всего одна фишка, и она стоит влевой нижней отмеченной клетке.

Было много ярких задач Агниса Анджанса.

01-23.p65 05.02.10, 17:1921

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 122

– А задача Сережи Маркелова про параллелепипед:

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверх-ности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначальномуравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхно-сти на наибольшем расстоянии от муравья находится противо-положный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрениямуравья, является длина кратчайшего пути между этими точка-ми, проходящего по поверхности параллелепипеда.)

– Это здорово, да. У Маркелова несколько таких задач.Вот еще красивая его задача:

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взятьтакие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя изсосен, а вершины другого — с тремя другими, то в середине отрезка,соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на днеозера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данныешесть точек на две тройки. Сколько раз придется опуститься на дноозера, чтобы наверняка отыскать клад?

Она по форме своего изложения кажется задачей накомбинаторику, а на самом деле – задача по геометрии.

– Отличная задача была про карточные фокусы.– Да, безусловно:

а) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пятькарт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасо-ванной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выклады-вает их в ряд слева направо, причем одну из карт кладет рубашкойвверх, а остальные - картинкой вверх. Второй участник фокусаотгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так догово-риться, что второй всегда будет угадывать карту.

б) Второй фокус отличается от первого тем, что первыйучастник выкладывает слева направо четыре карты картинкойвверх, а одну не выкладывает. Могут ли в этом случае участникифокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывалневыложенную карту?

Эта задача замечательна тем, что она была в ослабленнойформе (пункт а) опубликована у Мартина Гарднера, а ГришаГальперин придумал усиление, очень естественное (пункт б).

Конечно, весь смысл в том, чтобы задачи были яркие.– Красивые. Или чтобы они были неожиданные. Или вот

как мы обсуждали – очень здорово при обучении даватьшкольникам задачи, в которых напрашивается очевидныйответ, но он неверный.

– Очевидный, но неверный, да. Вот задача про параллеле-пипед такая. Или задача про сумасшедшую старушку (этоуже не из Турнира), сейчас мои кружковцы очень увлеклись:

Каждый из N пассажиров купил по билету на N-местный самолет.Первой зашла сумасшедшая старушка и села на случайное место.Далее, каждый вновь вошедший занимает свое место, если оносвободно; иначе занимает случайное. Какова вероятность того, чтопоследний пассажир займет свое место?

– Да, там неожиданный ответ. Пусть наши читателипорешают эти задачи.

– Задача про альпинистов – ее уже один американец из тех,что к нам приезжали, в свою книжку поместил как задачуклассическую, с неизвестным автором. Я сказал, что вродея автор…

Среди ровной степи стоит гора. На вершину ведут две тропы(считаем их графиками непрерывных функций), не опускающиесяниже уровня степи. Два альпиниста одновременно начали подъем (поразным тропам), соблюдая условие: в каждый момент времени бытьна одинаковой высоте.

Смогут ли они альпинисты достичь вершины, двигаясь непрерыв-но, если

а) тропы состоят из конечного числа подъемов и спусков; б) вобщем случае?

– А она возникла просто из анализа?

– Нет, она из моих занятий топологией возникла. Она вомногом заменяет теорему Жордана. Я это понимал длямногоугольника. С моими ребятами мы довели ее до теоремыпро непрерывный образ окружности.

– Что он делит плоскость на две части?– Ровно на две, не на три и не больше. Что делит – это как

раз легче, а вот что ровно на две – это труднее. В общем,получилась теорема Жордана. Ну, я так и думал, что онадолжна получиться, потому что вроде бы альпинисты – этоболее сильная вещь.

– И эта знаменитая ваша задача о возах тоже возниклаиз анализа:

Из города A в город B ведут две не пересекающиеся дороги.Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из A вB и связанные веревкой некоторой длины, меньшей 2l, смоглипроехать из A в B, не порвав веревки. Могут ли разминуться, некоснувшись, два круглых воза радиуса l, центры которых движутсяпо этим дорогам навстречу друг другу?

– Это задачи про одно и то же. Задачу о возах обычноновички не могут оценить, потому что они очень быстропридумывают неверное решение и успокаиваются. А Ар-нольду понравилось… Почему задача о возах стала всемирноизвестной? Благодаря книжке Арнольда.

– Да, она есть в его учебнике по дифференциальнымуравнениям.

– Она не просто есть там, она там первая. С нее начинается.И с моей фамилией. Но он ее решает там с помощью теоремыЖордана. А у меня-то была мысль, что она как раз вместотеоремы Жордана хорошо работает. Она пробивает там, гдетеорема Жордана не тянет.

– Как к Турниру городов относятся за рубежом нашидрузья, почему они в нем участвуют?

– В основном они ценят задачи.– Еще отдельная тема – турнир Ломоносова, за который

в этом году вы получили премию. Это же совершенноуникальное мероприятие. Одновременно проводятся сорев-нования по многим предметам, в разных аудиториях: там– математика, там – физика, там – литература.

– Оно отличается от Интеллектуального марафона тем,что участие во всех соревнованиях не обязательно. В мара-фоне есть такая идея по умолчанию, что нам нужны универ-сальные люди. А в турнире Ломоносова нет этой идеи.Почему, собственно, нам нужны универсальные люди? Намнужны люди, которые в чем-то могут сделать что-то фан-тастически интересное. Мечта такая, что вот есть люди, мыих привлекаем, они чем-то заинтересовались, начали учить-ся. Идея в том, чтобы подтолкнуть людей к серьезномусамообразованию – с помощью кружков или как-нибудь еще.А почему нам нужно, чтобы человек был универсальным,вовсе не обязательно, если он увлекся, скажем, физикой – нуи слава богу. Идея, что якобы нужно как-то отдельновыделять и награждать людей, которые как-то по многимпредметам показали себя, – я не вижу в этом смысла.

– Человек, когда растет, развивается, и просто сильныйи способный человек может разбираться во всем, пока онмаленький, пока не слишком сложные задачи. Но человекдолжен как-то себя найти.

– То, что к нему прилипает, и есть его собственное, то, в чемон отличается от других. Вот что сказал Эйнштейн: специаль-ную теорию относительности придумали бы и без меня, неодин, так другой. А вот что касается общей теории относитель-ности, – тут у меня есть подозрения, что бог специально меняпослал на Землю, чтобы я придумал именно ее.

Может быть, никто другой бы не придумал. Это было егородное, то, что было ему свойственно.

Так что мне кажется, нужно одобрять, если человекинтересуется и тем, и другим, и третьим, но культивироватьэто совершенно не обязательно.

01-23.p65 05.02.10, 17:1922

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й М И Р 23

– На турнире Ломоносова человек, который в школе незаинтересовался каким-либо предметом, может увидеть,что этот предмет может быть интересным.

– А для этого нужно, чтобы аудитории были рядом.– Конкурсы небольшие, можно часок посидеть здесь,

потом пойти туда...– Поэтому очень важно, чтобы оргкомитет состоял из

единомышленников, чтобы не было такого, что каждыйтянет на себя.

– Как вы относитесь к ЕГЭ?– Я думаю, что ЕГЭ – это очень вредная идея, уже видно,

что люди не собираются ни о чем думать, а только знают, какготовиться к тому, чтобы ответить правильно на вопросы. Впользу ЕГЭ говорит какое-то высшее упрямство. Здесь уменя такой полуоптимизм. В 1943 году Сталин придумалразделить мальчиков и девочек в школах. Это длилосьдесять лет. В 1953 году, как только Сталин умер, это сразуотменили.

– Т.е. это не что-то естественное, это блажь каких-толюдей, и возможно, она пройдет.

– Блажь. Может быть, она связана с деньгами – кто-то тамчто-то зарабатывает, но по крайней мере это блажь.

– Я хотел спросить про математику и физику. Иногда ихпротивопоставляют, кто-то говорит – нет, математика –это часть физики, кто-то – что это только инструментдля физики. Как человек, который знает и математику, ифизику, что вы могли бы сказать по этому поводу?

– Во-первых, физику я не знаю. Математику тоже не знаю.Ну, конечно, прикоснулся немножко к тому и другому.

Конечно, они разные. Например, есть принцип Гюйгенса– Френеля, – это как рассчитывать интерференционнуюкартинку. То, что там два имени, и одно из них – Гюйгенс,говорит о том, что он появился в XVII веке. Он до сих порне доказан, но это никого не волнует. Вот если собакаопределяет истину с помощью носа, человек – больше спомощью глаза, то математики и физики – они разнымиорганами воспринимают. Математики считают, что все дол-жно быть доказано. Физики считают, что нужно найтиобъяснение явления. У них явление, которое наблюдается, –это исходная позиция. Надо ему найти объяснение. Напри-мер, явление сверхтекучести гелия математически описалЛандау. Это считается его крупным достижением. Но этоприближенное вычисление, и оценка ошибки не существует.Тем не менее физики считают, что они теперь понимают,почему это происходит.

– Но, с другой стороны, математики тоже хотятразобраться в каких-то явлениях, в каких-то теоремах,ситуациях. Они же не просто жонглируют формулами.

– Конечно. Но частично это есть. Ну, например, оченьмногие следствия аксиомы выбора – я знаю физиков, кото-рые говорят, что это математические фантомы.

Это, конечно, логическое следствие аксиом, которые ониприняли, но это не имеет отношения к реальной действитель-ности. Математические фантомы, следствия неудачно при-думанных аксиом. А сейчас у математиков развиваетсямысль, что нужно ограничиться счетной аксиомой выбора, итогда многие фантомы пропадают. Например, неизмеримыемножества исчезают.

Ну, кто его знает. Павел Сергеевич Александров говорил,что это – математическая реальность. Реально то, что из этихаксиом такие следствия получаются. Это математическаяреальность, но не факт, что за ней есть какая-то физическаяреальность.

Физика как работает? Она создает математическую мо-дель. Еще бывает, что вербальная модель существует снача-ла, то есть некоторые словесные разговоры о том, какпроисходит явление. Но это еще не математическая модель.Потом уже создается математическая модель, в нее входятмногие вещи из математики. Например, кинематика. Там же

предполагается, что каждая точка имеет координату. Рассто-яние всегда можно разделить пополам. А в реальной физике,чем меньше расстояние, тем его труднее разделить пополам,и это становится совершенно нереальным, когда у нас нетспособа измерить такое маленькое расстояние. Но, конечно,с помощью моделей все-таки происходит понимание.

Это все загадка, тут никто не понимает, как на самом делечто происходит, а мне чисто эмоционально нравится выска-зывание Спинозы. Он говорит: «Свобода достигается знани-ем, а знание достигается духовным единением с природой».Но слово «природа» он отождествлял со словом «бог». Вдуховном единении с богом. Я думаю, что эта истинадостаточно правильная и глубокая. Вот, например, Фара-дей. Почему он знал, что существует переход из магнитногополя в электрическое? Никто же не наблюдал. А почему онзнал, что существует? Я вот это понимаю как результатдуховного единения с природой.

– Как бы слышать музыку ангелов?– Ну что-то в этом роде. Он уже сделал несколько крупных

открытий, у него была хорошо отработанная интуиция, ипоэтому он мог, как бог, видеть истину прямо, не с помощьюхитроумных рассуждений, а прямо.

– Мы как-то обсуждали, что прямое видение истиныважнее умения доказывать теоремы.

– Ну да, конечно.– Это, кстати, тоже интересный вопрос. Насколько

важна, скажем, математическая строгость в школе, приобучении. Если все доказывать очень строго, это жеможно…

– Думаю, здесь вот какой компромисс существует. Если я вкаком-то месте сослался на очевидность, даже, может быть, несослался, а умолчал, – умолчал, понимая, что ученики воспри-мут это как нечто естественное и не вызывающее возражений,– то это может быть честным, а может быть нечестным.Честное – в том случае, если я могу, не разрушая этойструктуры, добавить точное рассмотрение, а нечестное – еслинужно разрушить эту структуру, чтобы сделать ее точной.

Вот, например, я хочу доказать, что множество точекотрезка несчетно. Допустим, что оно счетное. Берем отрезокдлиной единица, перенумеруем эти точки, и точки покрыва-ем интервалами – первую точку интервалом длиной однадесятая, вторую – одна сотая и так далее. Получается, что мывсе точки отрезка длины единица покрыли интервалами,сумма длин которых заведомо не больше одной девятой. Этоочень понятное рассуждение. Для начинающих оно потряса-юще убедительное, хотя оно и нестрогое. Надо доказать еще,что сумма длин этих интервалов, покрывающих отрезок,должна быть больше, чем длина самого отрезка. Но этанеточность честная, потому что это можно доказать. Можноотдельно, на одном занятии доказать эту теорему, и всеполучается нормально.

Нечестная игра – если ты ссылаешься на очевидность, нозаменить это точным рассуждением не удается.

Поэтому учебник Киселева удачный. Там, например, су-ществование перпендикуляра доказывается перегибаниемлиста бумаги.

– Наглядно, понятно, всем очевидно.– Да. И все равно там потом правильное доказательство

есть.– В этом смысле меня удивляет очень, например, в

школьном учебнике Погорелова по геометрии – нет такойаксиомы, что сумма двух сторон треугольника большетретьей. Это доказывается из некоторых других аксиом,хотя для меня это более понятная и более простая аксиома– что отрезок – это самое короткое расстояние.

– И подход с аксиомой о кратчайшем расстоянии удаченпедагогически, потому что все как бы заранее знают, что этотак.

Вопросы задавал С.Дориченко

01-23.p65 05.02.10, 17:1923

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 124

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в немзадачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьнойпрограммы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мыобычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 мая 2010 года по адресу: 119296Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или поразным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе«Кому» напишите: «Задачник «Кванта» 1–2010» и номера задач, решения которых Вы посылаете,например «М2161» или «Ф2168». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. Вписьмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этомконверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можноприсылать также по электронным адресам math@kvant.info и phys@kvant.info соответственно.

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельномконверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник«Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь.Задачи М2161, М2162, М2163,а, М2164,а, М2166 и М2167 предлагались на XXXI Турнире городов,

задача M2165 – на Всероссийской олимпиаде по геометрии имени И.Ф.Шарыгина.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Задачипо математике и физике

Задачи М2161–М2168, Ф2168–Ф2174

M2161. 100 пиратов сыграли в карты на золотой песок,а потом каждый посчитал, сколько он в сумме выиграллибо проиграл. У каждого проигравшего хватает золо-та, чтобы расплатиться. За одну операцию пират можетлибо раздать всем поровну золота, либо получить скаждого поровну золота. Докажите, что можно занесколько таких операций добиться того, чтобы каж-дый получил (в сумме) свой выигрыш либо выплатилпроигрыш. (Разумеется, общая сумма выигрышей рав-на сумме проигрышей.)

Е.Горинов

M2162. Семизначный код, состоящий из семи различ-ных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа являетсяхороший код. Известно, что сейф откроется, есливведен хороший код и на каком-нибудь месте цифракода совпала с соответствующей цифрой пароля. Закакое наименьшее количество попыток можно с гаран-тией открыть сейф?

Д.Баранов

M2163. Найдите все такие натуральные числа a и b, что:а) ( )( )2 2a b b a+ + является точной степенью двойки;

б) ( )( )3 3a b b a+ + является точной степенью тройки.В.Произволов

M2164. а) На клетчатую плоскость положили 2009одинаковых квадратов n n× клеток. Затем отметиливсе клетки, которые покрыты нечетным числом квадра-тов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше чем

2n .б) На прямоугольный лист бумаги положили 2009одинаковых единичных квадратов, стороны которых

параллельны краям листа. Затем закрасили все обла-сти, которые покрыты нечетным числом квадратов.Докажите, что площадь закрашенной части листа неменьше 1.

И.Пак, Ю.Рабинович

M2165. К двум окружностям 1ω и 2ω , пересекающим-ся в точках A и B, проведена их общая касательная CD(C и D – точки касания соответственно, точка B ближек прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A,вторично пересекает 1ω и 2ω в точках K и L соответ-ственно (A лежит между K и L). Прямые KC и LDпересекаются в точке P. Докажите, что прямая PBсимметрична медиане треугольника KPL, проведеннойиз вершины P, относительно биссектрисы угла KPL.

Ю.Блинков

M2166. Обозначим через [k]! произведение1 11 111 11 11

k

◊ ◊ ◊ ◊… …14243 – всего k сомножителей. Докажи-

те, что число [n + m]! делится на произведение

[ ] [ ]! !n m⋅ .М.Берштейн

M2167*. Оля и Максим оплатили путешествие поархипелагу из 2009 островов, где некоторые островасвязаны двусторонними маршрутами катера. Они пу-тешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, накоторый они прилетают. Затем они путешествуютвместе на катерах, по очереди выбирая остров, накотором еще не были (первый раз выбирает Максим).Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите,что при любой схеме маршрутов Оля может выиграть,как бы ни играл Максим.

Фольклор (предложил А.Шаповалов)

24-38.p65 05.02.10, 17:3424

M2168*. Дан четырехугольник ABCD, вписанный вокружность ω . Пусть 1R – радиус окружности, каса-ющейся отрезков AB, AD и окружности ω , 2R –радиус окружности, касающейся отрезков CB, CD иокружности ω. Проводятся всевозможные дуги окруж-ности BD, разбивающие четырехугольник на два кри-волинейных треугольника. Докажите, что суммарадиусов окружностей, вписанных в эти криволиней-ные треугольники, не зависит от выбора дуги BD тогдаи только тогда, когда 1 2R R= .

А.Заславский

Ф2168. На Венере странная атмосфера – она прости-рается до высоты 10 км и обладает практически посто-янной плотностью. Отпустим мячик с высоты 5 м – онупадет на поверхность через 1 секунду. С высоты 50 мон падает 3,5 с, с высоты 100 м – 5,5 с. Сколько временион будет падать с высоты 200 м? Оцените, с какойскоростью он движется в этом случае непосредственноперед падением.

А.Простов

Ф2169. На гладком горизонтальном столе находитсягруз массой М, к нему привязаны легкие нити, ксвободным концам нитей прикреплены грузы массами2М и М/2. Нити переброшены через неподвижные,расположенные горизонтально пальцы так, что одинкусок каждой нити горизонтален, а другой – вертика-лен. Вначале груз на плоскости удерживают, затемотпускают. При этом пальцы начинают двигать на-встречу друг другу по горизонтали, каждый с ускоре-нием а = g/7. Найдите ускорение груза массой М сразупосле начала движения.

Р.Пальцев

Ф2170. В два стакана налили одинаковые количестваводы – в первый горячую при 70 °C+ , во второйхолодную при 20 °C+ . Ложку горячей воды перелилив холодную и перемешали. Температура воды в этомстакане оказалась 25 °C+ . Перелили ложку этой водыобратно в стакан с горячей водой и перемешали. Какойстала температура в горячем стакане? Сколько разнужно повторить этот процесс (переливание туда иобратно с перемешиванием), чтобы разность темпера-тур в стаканах стала меньше одного градуса? Теплоем-костью стаканов и ложки можно пренебречь. Теплооб-мен с окружающей средой не учитывать.

А.Повторов

Ф2171. Три одинаковых резистора соединены последо-вательно, батарейка напряжением 6 В подключена к

концам этой цепочки.Два одинаковыхвольтметра подключе-ны так, как показанона рисунке 1. Одиниз приборов показы-вает 3 В. Что показы-

вает второй прибор? Что он будет показывать, еслипервый вообще отключить от схемы? Показания при-боров считать точными, вольтметры – неидеальными.

З.Приборов

Ф2172. В глубинах космоса, вдали от всех других тел,висит неподвижно тонкостенная непроводящая сферарадиусом R и массой М. По ее поверхности равномерно«размазан» заряд Q. Издали на сферу налетает оченьмаленький шарик массой m, заряженный таким жезарядом Q. Начальная скорость шарика равна 0v инаправлена в центр сферы, а в стенках сферы сделаныдве маленькие дырки так, чтобы шарик, при большойего скорости, мог проскочить сквозь сферу. Скольковремени шарик летит внутри сферы?

З.Рафаилов

Ф2173. Пружинный маятник состоит из легкой пружи-ны жесткостью k и висящего на ней груза массой М.Вначале система неподвижна (груз в равновесии). Внекоторый момент точку подвеса начинают двигатьвниз с постоянной скоростью 0v . Найдите максималь-ную длину пружины при таком движении. В нерастя-нутом состоянии пружина имеет длину L.

А.Зильберман

Ф2174. Очень большое количество одинаковых тонкихсобирающих линз с фокусным расстоянием F располо-жены на одинаковых расстояниях l друг от друга так,что главные оптические оси всех линз совпадают.Расстояние l многоменьше фокусного рас-стояния F. На первуюлинзу перпендикуляр-но ее плоскости падаетлуч света (рис.2). По-стройте дальнейший ходэтого луча. Найдите расстояние между точками, вкоторых луч в третий и в четвертый раз пересекаетглавную оптическую ось.1

С.Муравьев

1 При решении этой задачи советуем ознакомиться с задачейФ193 из «Задачника «Кванта». (Прим. ред.)

Рис. 1

Рис. 2

Решения задач М2139–М2145,Ф2153–Ф2159

M2139. Можно ли раскрасить натуральные числа в2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречалсябесконечное число раз и не нашлось тройки чисел,покрашенных в три различных цвета, таких чтопроизведение двух из них равно третьему?

Ответ: можно. Приведем один из возможных вариан-тов такой раскраски. Пусть 1 2 2008p p p< < <… – про-стые числа. Построим множества 1 2 2009, , ,A A A… последующему правилу. В 1A включим все натуральныечисла, делящиеся на 1p ; в 2A – все натуральные числа,делящиеся на 2p , но не делящиеся на 1p ; в 3A – всенатуральные числа, делящиеся на 3p , но не делящиесяна 1p и на 2p ; …; в 2008A – все натуральные числа,делящиеся 2008p , но не делящиеся ни на одно из чисел

1p , 2p , …, 2007p . Наконец, в 2009A включим всеостальные натуральные числа.Тогда для любых чисел kx A∈ , ny A∈ , где k < n, ихпроизведение принадлежит множеству kA , поэтому

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 25

24-38.p65 05.02.10, 17:3425

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 126

при таком разбиении натуральных чисел на множе-ства не удастся найти разноцветную тройку чисел,произведение двух из которых равно третьему числу.

Н.Агаханов

M2140. Восемь клеток одной диагонали шахматнойдоски назовем забором. Ладья ходит по доске, ненаступая на одну и ту же клетку дважды и ненаступая на клетки забора (промежуточные клеткине считаются посещенными). Какое наибольшее чис-ло прыжков через забор может совершить ладья?

Ответ: 47 прыжков.Разделим доску на четыре квадрата 4 4× . Заметим,что если ладья прыгает через забор, то либо начальная,

либо конечная клеткапрыжка закрашена цветом– голубым или розовым –на рисунке 1. Так как зак-рашенных клеток 24 и че-рез каждую может прохо-дить максимум два прыж-ка, то всего может оказать-ся не более 48 прыжков.При этом, если их ровно48, то из каждой закрашен-ной клетки должно бытьсделано два прыжка в не-

закрашенные клетки (в предыдущем подсчете прыжокиз закрашенной клетки в закрашенную будет подсчи-

тан два раза!). Тогда всеходы из голубых клетокбудут вести в белый квад-рат под диагональю, а от-туда – только в голубыеклетки (либо в другие клет-ки этого же квадрата). Зна-чит, подобным образом ла-дья никогда не попадет врозовые клетки. Противо-речие. Таким образом, ко-личество прыжков не пре-восходит 47.

Один из возможных примеров с 47 прыжками показанна рисунке 2 (числа в клетках указывают, в какомпорядке ладья по ним проходит).

Р.Женодаров

M2141. В треугольни-ке ABC проведена бис-сектриса BD (точкаD лежит на отрезкеAC). Прямая BD пе-ресекает окружностьΩ , описанную околотреугольника ABC, вточках B и E. Окруж-ность ω , построеннаяна отрезке DE как надиаметре, пересекаетокружность Ω в точ-ках E и F. Докажите,

что прямая, симметричная прямой BF относительнопрямой BD, содержит медиану треугольника ABC.

Пусть M – середина стороны AC (см. рисунок). Так какдуги AE и CE равны, то ME – серединный перпенди-куляр к отрезку AC. Поскольку 90DME∠ = ° , то Mлежит на окружности ω . Пусть прямая DF пересекаетвторично окружность Ω в точке G. Так как

90DFE∠ = ° , то G – точка, диаметрально противопо-ложная точке E, в частности EG проходит через M.Имеем FBE FGE∠ = ∠ .Далее, поскольку EG – диаметр, 90GBE∠ = ° . Изравенств 90GBD GMD∠ = ∠ = ° вытекает, что GBDM– вписанный четырехугольник (в окружность с диамет-ром DG), откуда MBE MBD MGD EGF∠ = ∠ = ∠ = ∠ .Окончательно, FBE FGE MBE∠ = ∠ = ∠ , что и требо-валось установить.

Л.Емельянов, П.Кожевников

M2142. Сколько раз функция

( ) cos cos cos cosx x x

f x x2 3 2009

…= ◊ ◊ ◊ ◊

меняет знак на отрезке ;2009

02

πÈ ˘Í ˙Î ˚

?

Ответ: 75 раз.

Обозначим n = 2009. Рассмотрим функцию cosx

k. Она

меняет знак при( )2 1

2 2

k mx k m

+ ππ = π + =

,

где m – произвольное целое число. Значит, нулями

функции ( )f x на отрезке 20090;

2πÈ ˘

Í ˙Î ˚ могут являться

только точки 2ii

xπ

= , где 1 i n≤ ≤ . Тогда менять знак

она может лишь в точках ix при i = 1, 2, …, n – 1.

Функция cosx

k меняет знак в точке ix , если i =

( )2 1k m= + при целом m. Значит, количество косину-сов, которые меняют знак в точке ix , совпадает сколичеством нечетных делителей числа i. Поэтомуфункция ( )f x будет менять знак в тех и только техточках ix , для которых у числа i нечетное количествонечетных делителей. Представим 2li j= , где l целое,а j нечетно. Тогда количество нечетных делителей учисел i и j совпадает. Но у нечетного числа j количестводелителей нечетно тогда и только тогда, когда j – этоточный квадрат (действительно, если j не квадрат, то

все его делители разбиваются на пары a и j

a; если же

2j s= , то число s – единственное оставшееся безпары).В итоге получаем, что функция ( )f x меняет знак вточке ix , если число i – либо квадрат, либо удвоенныйквадрат (в зависимости от четности числа l). Но среди

чисел от 1 до n – 1 есть 1n − квадратов и 1

2n −

удвоенных квадратов. Значит, искомое количество

равно 1

1 44 31 752

nn

− − + = + =

.

Рис. 1

Рис. 2

24-38.p65 05.02.10, 17:3426

Замечание. Выражение «функция ( )f x меняет знак вточке 0x » не вполне корректно даже в том случае,когда функция ( )f x непрерывна на всей числовойпрямой. Например, можно ли сказать, что функция

( )1

sin , 0,

0, 0

x xf x x

x

≠= =

меняет знак в точке 0 0x = ? Однако для тригонометри-ческой функции из условия данной задачи подобныхтрудностей не возникает.

Б.Трушин

M2143. В королевстве N городов, некоторые парыкоторых соединены непересекающимися дорогами сдвусторонним движением (города из такой парыназываются соседними). При этом известно, что излюбого города можно доехать до любого другого, ноневозможно, выехав из некоторого города и двигаясьпо различным дорогам, вернуться в исходный город.Однажды Король провел такую реформу: каждый изN мэров городов стал снова мэром одного из Nгородов, но, возможно, не того города, в котором онработал до реформы. Оказалось, что любые двамэра, работавшие в соседних городах до реформы,оказались в соседних городах и после реформы. Дока-жите, что либо найдется город, в котором мэр послереформы не поменялся, либо найдется пара соседнихгородов, обменявшихся мэрами.

Применим индукцию по N. Утверждение задачи оче-видно при N = 1 и N = 2. Пусть 1Γ – множествогородов, из которых исходит одна дорога, а Γ –множество остальных городов. Начав движение поразличным дорогам из некоторого города, согласноусловию, мы не сможем попасть дважды в один и тотже город, поэтому когда-нибудь мы закончим движе-ние в городе из множества 1Γ . Это означает, чтомножество 1Γ непусто. Ясно, что при 3N ≥ множе-ство Γ непусто, и в нем меньше чем N городов.Назовем значимостью мэра количество городов, сосед-них с городом, где он работает. По условию значимостькаждого мэра после реформы не уменьшилась. Вчастности, мэр города, принадлежащего множеству Γ,после реформы стал мэром некоторого города из мно-жества Γ, т.е. в результате реформы в городах множест-ва Γ тоже произошла перестановка мэров. Ясно, что излюбого города A ∈ Γ можно доехать до любого другогогорода B ∈ Γ, не заезжая в города множества 1Γ .Поэтому множество городов Γ и реформа, рассмотрен-ная только на городах из Γ , удовлетворяет условиюзадачи. Применив предположение индукции, получа-ем, что в множестве Γ либо найдется город, в котороммэр после реформы не поменялся, либо найдется парасоседних городов, обменявшихся мэрами, что и требо-валось.Замечание. Переформулировка данной задачи на язы-ке теории графов звучит так: «Докажите, что любойавтоморфизм дерева имеет неподвижную вершину илинеподвижное ребро».

В.Дольников

M2144. По кругу стоят 100 наперстков. Под одним изних спрятана монетка. За один ход разрешаетсяперевернуть четыре наперстка и проверить, лежитли под одним из них монетка. После этого их возвра-щают в исходное положение, а монетка перемещает-ся под один из соседних с ней наперстков. За какоенаименьшее число ходов наверняка удастся обнару-жить монетку?

Ответ: за 33 хода.После каждого нашего хода и перемещения монеткибудем передвигать все наперстки (вместе с монеткой)по ходу часовой стрелки на одну позицию. Тогда будемсчитать, что после каждого хода монетка либо остаетсяна месте, либо перемещается на две позиции по часовойстрелке, а наперстки остаются на своих местах.Покрасим все наперстки поочередно в белый и черныйцвета и пронумеруем наперстки каждого цвета попорядку против часовой стрелки числами от 0 до 49.Понятно, что цвет наперстка, под которым лежитмонетка, не изменяется, а номер либо не изменяется,либо уменьшается на 1 по модулю 50.Покажем, как найти монетку за 33 хода. Описываяалгоритм, предполагаем, что монетка не обнаружена навсех ходах вплоть до 33-го (в противном случае все ужесделано менее чем за 33 хода). Первым ходом подни-мем черные наперстки с номерами 0, 1, 2, 3. Тогдапосле перемещения монетка не сможет оказаться подчерными наперстками 0, 1, 2. Вторым ходом поднимемчерные наперстки 3, 4, 5, 6. Тогда после перемещениямонетка не сможет оказаться под черными наперстками0, 1, …, 5. Действуем так и далее: при s = 1, 2, …, 16ходом номер s поднимем черные наперстки с номерами3s – 3, 3s – 2, 3s – 1, 3s. Тогда после перемещениямонетка не сможет оказаться под черными наперстками0, 1, …, 3s – 1. Семнадцатым ходом поднимем черныенаперстки 48 и 49, а также белые наперстки 49 и 0.Теперь мы знаем, что под черными наперстками нетмонетки, а также что после перемещения монетка несможет оказаться под белым наперстком 49. При s = 1,2, …, 15 ходом номер 17 + s поднимем белые наперстки3s – 3, 3s – 2, 3s – 1, 3s. Тогда после перемещениямонетка не сможет оказаться под белыми наперстками49, 0, 1, …, 3s – 1. Наконец, последним, 33-м ходомподнимаем белые наперстки 45, 46, 47, 48; под однимиз них обязана быть монетка.Докажем, что с гарантией обнаружить монету за 32хода невозможно. Обозначим через kB множество изчетырех наперстков, поднимаемых на k-м ходе, а через

kA – множество наперстков, про которые перед выпол-нением k-го хода (после возможного перемещениямонетки на (k – 1)-м ходе) точно известно, что подними нет монетки. Предполагаем, что, пока возможно,под наперстками из kB нет монетки. Ясно, что

1k k kA A B+ ⊂ ∪ при k = 1, 2, …, n – 1, откуда

1 4k kA A+ ≤ + (здесь и далее через |X| обозначаемколичество элементов в множестве X). Более того, еслимножество k kA B∪ не совпадает с множеством всехнаперстков или с множеством из 50 наперстков одногоцвета, то найдется такая пара одноцветных наперстков

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 27

24-38.p65 05.02.10, 17:3427

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 128

P и Q с номерами r и r + 1 (mod 50) соответственно,что k kP A B∈ ∪ , а k kQ A B∉ ∪ . Тогда если перед k-мходом монетка находилась под наперстком Q, то онаможет переместиться под P, поэтому 1kP A +∉ . В этомслучае 1k k kA A B+ ≠ ∪ , и следовательно, 1 3k kA A+ ≤ + .

Итак, 1 3k kA A+ ≤ + , если 1 50kA + ≠ . Имеем: 1 0A = ,

2 3A ≤ , 3 6A ≤ , …, 17 48A ≤ , 18 51A ≤ , 19 54A ≤ , ...

…, 32 93A ≤ . Получается, что перед 32-м ходом име-ется по крайней мере 7 наперстков, под которымиможет быть монета, следовательно, обнаружить монетус гарантией на 32-м ходу или ранее не удастся.

Б.Трушин

M2145. Даны натуральные числа x и y из отрезка

[ ];2 100 . Докажите, что при некотором натуральном

n число 2 2n n

x y+ – составное.

Если x = y, то подходит n = 1, ибо 2 2x y− – четноечисло, большее 2. Далее мы предполагаем, что x y≠ .В этом случае мы установим, что при некотором n

число 2 2n n

x y+ делится на 257 и не равно 257. Тогдаоно будет составным, что и требуется.

Предположим, что 2 2n n

x y+ = 257. Пусть 12n

a x−

= ,12n

b y−

= . Тогда 2 2 257a b+ = , и если a b≥ , то a = 16,b = 1 (случаи a = 12, 13, 14, 15 легко перебираются;если же 11a ≤ , то 2 2 257 2b a≤ < , что невозможно).Но это противоречит условию x, y > 1. Итак,

2 2 257n n

x y+ ≠ . Осталось проверить только то, чтопри некотором n число 2 2n n

x y+ делится на 257.Поскольку y не делится на простое число 257, найдетсятакое натуральное q, что x qy≡ (mod 257). Так какx y≠ и 0 < x + y < 257, получаем, что 1q ≡ ±/(mod 257). Кроме того, 0q ≡/ (mod 257), так как x неделится на 257.Поскольку число 257 простое, по малой теореме Фермачисло

8256 21 1q q− = − =

( )( )( )( ) ( )2 72 2 21 1 1 1 1q q q q q= − + + + +…

делится на 257. Первые две скобки не делятся на 257,

поэтому для некоторого 1, 2, , 7n ∈ … число 2 1n

q +

делится на 257. Но тогда число ( )2 2 2 2 1n n n n

x y y q+ ≡ +(mod 257) также делится на 257.Замечание. Как следует из малой теоремы Ферма, дляпростого p = 4k + 1 существует ровно одна паранатуральных a > b такая, что 2 2a b p+ = . Это позво-ляет избежать перебора в середине решения.

С.Берлов, А.Белов

Ф2153. По прямой дороге с постоянной скоростью 0vбежит кролик. На расстоянии L от дороги находитсялиса. В тот момент, когда кролик находится ближевсего к лисе, она его замечает и бросается в погоню.Скорость лисы такая же, как у кролика, но лисабежит с «упреждением» – вектор скорости лисынаправлен все время в точку, которая находится

впереди кролика нарасстоянии d от него.Найдите минималь-ное расстояние меж-ду участниками за-бега.

Перейдем в системуотсчета, которая дви-жется вдоль дороги соскоростью 0v («сядемна кролика»). Пустьв данный момент лисанаходится в точке F (см. рисунок). Обозначим OF = l.За малый промежуток времени t∆

( )0 0 cosl v v t∆ = − − α ∆ ,

( )0 0 cosH v v t∆ = − α ∆ .

Видно, что 0l H∆ + ∆ = , тогда constl H+ = . Дляначального момента

2 2нач начl H L d d+ = + + .

Тогда2 2l L d d H= + + − .

Ясно, что расстояние l будет минимальным при макси-мальном Н. Через дорогу лиса перебежать не может,так как ее скорость «по направлению к дороге» приприближении к дороге становится нулевой. Макси-мальное значение величины Н будет при положениилисы в непосредственной близости к дороге, при этомH = l, и

2 2

min 2L d d

l+ +

= .

З.Рафаилов

Ф2154. На гладком горизонтальном столе покоитсямонета, другая такая же монета скользит по столу.После абсолютно упругого удара скорости монетоказались одинаковыми по величине. Найдите уголразлета монет.

В условии задачи есть «подвох», но о нем – чуть позже.При условии 1 2u u u= =(см. рисунок) и углы долж-ны быть одинаковыми:

1 2α = α = α . Тогда, в соот-ветствии с законами сохра-нения импульса и энергии,

02 cosu vα = и 2 202u v= .

Отсюда

1cos

2α = , 45α = ° .

Таким образом, угол разлета равен 2 90α = ° .Подвох в том, что условие равенства скоростей монетпосле их разлета вовсе не требуется (отношение скоро-стей может быть каким угодно – в зависимости от«геометрии» удара), а угол разлета все равно получит-ся 90° . Покажем это.

24-38.p65 05.02.10, 17:3428

Обозначим импульсы монет 0pr

, 1pr

и 2pr

. Тогда,согласно закону сохранения импульса,

0 1 2p p p= +r r r

.

Это означает, что импульсы (векторы) образуют треу-гольник. Из закона сохранения энергии следует

2 2 20 1 2

2 2 2p p p

m m m= + ,

или2 2 20 1 2p p p= + .

Таким образом, треугольник получается прямоуголь-ным.

А.Простов

Ф2155. Моль гелия находится в сосуде под поршнемпри нормальных условиях. С газом проводят замкну-тый процесс. В первой части процесса газ расширяет-ся, при этом теплоемкость его остается постояннойи равной С = 100 Дж/К, затем газ охлаждают доначальной температуры при неизменном объеме и,наконец, изотермически сжимают до начального объе-ма. В первой части процесса газ получил количествотеплоты Q = 1 Дж. Найдите работу газа в этомпроцессе.

Переданная порция тепла очень мала, цикл на p–V-диаграмме (см. рисунок) очень похож на крошечный

треугольник. Мы будем вычислять площадь этой фигу-ры – работу в цикле, – пренебрегая кривизной сторонэтого «треугольника».Изменение температуры в первой части процесса равно

0,01 КQ

TC

∆ = = .

На этом участке

Q A U= + ∆ , или 0 VQ p V C T= ∆ + ∆ ,

откуда

6 3

0

9 10 мVQ C TV

p−− ∆

∆ = ≈ ⋅ .

Площадь треугольника – работа в цикле – равна

( )1 212

A p p V= − ∆ .

Изменение объема V∆ мы уже знаем, а разность

давлений 1 2p p− найдем из следующих соотношений:

02 0 0

0 0

1V V

p p pV V V

∆= ≈ − + ∆

;

0 0 0p V RT= , ( ) ( )1 0 0p V V R T T+ ∆ = + ∆ ,

откуда 1 00 0

1V T

p pV T

∆ ∆= − +

;

1 2 00

3,7 ПаT

p p pT

∆− = ≈ .

Окончательно,

6 513,7 9 10 Дж 1,7 10 Дж

2A − −≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ .

А.Теплов

Ф2156. Производят расчет «атома водорода», вкотором минимальное расстояние между протоном иэлектроном составляет d = 1 мкм, а максимальное в3 раза больше. Какой будет максимальная скоростьэлектрона в таком «атоме»?

При минимальном расстоянии между ядром (прото-ном) и электроном скорость электрона максимальна, апри максимальном расстоянии – минимальна, причемона меньше максимальной в 3 раза (можно сослаться навторой закон Кеплера – не зря ведь школьникамговорят про планетарную модель атома, а можноприменить и закон сохранения момента импульса).Тогда из закона сохранения энергии получим

( )22 2 23

2 2 3

m vmv kq kq

d d− = − .

Отсюда найдем максимальную скорость v электрона:

232

kqv

dm= = ( )29 19

6 31

3 9 10 1,6 10 м с 20 км с

2 10 9,1 10

−

− −

⋅ ⋅ ⋅≈

⋅ ⋅ ⋅.

Конечно, это относится только к описанному в условии«атому».

Р.Александров

Ф2157. Коаксиальный кабель состоит из централь-ной жилы диаметром d = 1 мм и проводящей оплеткидиаметра D = 5 мм. Пространство между жилой иоплеткой заполнено диэлектриком с диэлектричес-кой проницаемостью 3ε = . Найдите емкость и ин-дуктивность в расчете на 1 м для такого кабеля, атакже величину волнового сопротивления – при под-ключении резистора такой величины к концу кускакабеля не происходит отражения электромагнитнойволны, бегущей вдоль него.

Найдем емкость кабеля – точнее, куска длиной l оченьдлинного кабеля. Зарядим центральную проводящуюжилу и оплетку равными по величине и противополож-ными по знаку зарядами q l= ρ и –q, где ρ – линейнаяплотность заряда. Напряженность поля в диэлектрикена расстоянии х от оси равна

( )02

E xx

ρ=

πε ε.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 29

24-38.p65 05.02.10, 17:3429

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 130

Разность потенциалов равна

( )2

02

ln2

D

d

DE x dx

d

ρ∆ϕ = =

πε ε∫ .

Емкость «на 1 м длины» составляетq l

Cρ

= = =∆ϕ ∆ϕ

= 12

1002 6,28 8,85 10 3 1 Ф 1 10 Ф

1,61ln

lD

d

−−πε ε ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ≈ ⋅ .

Индуктивность «на 1 м длины» посчитаем немногоиначе – найдем магнитную индукцию в зазоре, вычис-лим энергию магнитного поля и приравняем ее извес-

тному выражению 212

W LI= . Итак, пусть по проводя-

щей жиле течет ток I, а по оплетке – такой же ток впротивоположном направлении. Тогда магнитное полеснаружи будет нулевым, а в зазоре на расстоянии х отоси (как поле бесконечного прямого провода) равным

( ) 0

2

IB x

x

µ=

π.

Возьмем тонкий цилиндрический слой – радиус его х,толщина x∆ , длина l. Энергия магнитного поля ввыделенном объеме равна

( )22

0

0 0

12

2 2 2B I

W V x xlx

µ ∆ = ∆ = π ∆ µ µ π .

Запишем энергию во всем зазоре длиной l в видеинтеграла:

2 2 20 0

2

ln4 4

D

d

I l dx I l DW

x d

µ µ= =

π π∫ .

Тогда индуктивность «на 1 м длины» будет равна

02

2ln

2W l D

LdI

µ= = =

π

774 10 1 1,61

Гн 3,2 10 Гн2

−−π ⋅ ⋅ ⋅

≈ ⋅π

.

Теперь можно представить кабель в виде бесконечнойLС-цепи (см. рисунок),состоящей из одинако-вых звеньев – кусковпо 1 м, – причем L и Смы уже вычислили.Волновое сопротивле-ние такой цепи равно

55 ОмL

ZC

= ≈ .

Получилось активное сопротивление – без реактивнойсоставляющей. Кстати, если бы мы взяли куски другойдлины (не слишком длинные!), то получили бы тот жеответ.Описанный в задаче кабель почти такой же, как иобычный 50-омный кабель, используемый при переда-че сигналов не слишком больших частот – единицы,десятки, даже сотни мегагерц.

А.Сложнов

Ф2158. Конденсатор емкостью С = 10 мкФ, катушкаиндуктивностью L = 1 Гн и резистор сопротивлениемR = 300 Ом соединены «звездой», а свободные выводыподключены к трем фазам сети напряжением U == 220 В и частотой f == 50 Гц. Найдите на-пряжение в общей точ-ке элементов по отно-шению к «нулевому»проводу.

Введем обозначения длянапряжений точек схе-мы по отношению к«нулевому» проводу(рис.1): ( )u t – напря-жение в общей точке, ( )1u t , ( )2u t и ( )3u t – напряже-ния фаз сети. Емкостное сопротивление равно

1318 Ом

2CXfC

= =π

,

индуктивное сопротивление составляет

2 314 ОмLX fL= π = .

Для упрощения вычислений будем считатьC LX X R≈ ≈ (можно посчитать и точно – но данные в

условии явно округлены, излишняя точность нежела-тельна, и наше приближение выглядит вполне разум-ным). Сумма токов, втекающих в узел – общую точку,– должна быть нулевой:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 0C L

u t u t u t u t u t u t

R X X

− − −+ + = .

Считая L CX X X= = и учитывая, что из-за противопо-ложности сдвигов фаз между напряжением и током в

катушке и конденсаторе 1 1

L CX X= − , получим

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1

C L C L

u t u t u tu t

R X X R X X

+ + = + +

,

или

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3R

u t u t u t u tX

= + − .

Нарисуем векторную диаграммудля эффективных значений на-пряжений трехфазной сети (рис.2).Вектор, изображающий разностьнапряжений 2 3u u− , перпендику-лярен вектору, изображающему на-пряжение 1u , следовательно,

2 3 13u u u− = .

С учетом сдвигов фаз на 2π полу-

чим: слагаемое ( )2 3R

u uX

− либо просто добавляется к

1u , тогда ( )220 3 1 B 600 Bu = + ≈ и совпадает с 1uпо фазе, либо вычитается из 1u , тогда

( )220 1 3 B 160 Bu = − ≈ − и противофазно ему.А.Зильберман

Рис. 1

Рис. 2

24-38.p65 05.02.10, 17:3430

Ф2159. Экран освещен удаленным источником света.На пути светового пучка располагают линзу, склеен-ную из двух плосковыпуклых стеклянных линз. Диа-метр первой линзы 1D = 5 см, ее фокусное расстояние

1F = 20 см, диаметр второй 2D = 1 см, ее фокусноерасстояние 2F = 10 см. Линзы склеены плоскимиповерхностями, плоскость склейки параллельна плос-кости экрана, главные оптические оси линз совпада-ют. На каком расстоянии от экрана нужно располо-жить эту линзу, чтобы на экране получилось яркоепятно минимального диаметра? Во сколько раз осве-щенность в центре этого пятна больше освещеннос-ти экрана без линзы?

Будем считать линзы тонкими. Тогда (см. рисунок)

1 20 смОБ F= = , 1 2

1 2

20 см

3FF

ОAF F

= =+

.

Простые геометрические расчеты дают расстояние от

линзы до экрана (пятна) равным 15 см, а диаметрпятна равным 1,25 см.Из чертежа видно, что в центр пятна попадают лучи,прошедшие через обе линзы. Диаметр пятна в 1,25 разбольше диаметра малой линзы, тогда освещенность вцентре пятна в ( )21,25 раз меньше и составляет 0,64 отосвещенности экрана без линзы.

З.Рафаилов

П Р О Г У Л К И С Ф И З И К О Й

Пока горит свеча… или кристалл

(Начало см. на 4-й странице обложки)

Обычно свечи делают из парафина – высокомолекулярно-го химического соединения, состоящего из атомов углеродаи водорода и имеющего формулу 2 2C Hn n+ . Простейшийпарафин (n = 1) – это газообразный метан 4CH . Приувеличении n длина молекулы увеличивается, и парафиныстановятся сначала жидкостями, например октан 8 18C H , апотом (начиная с n = 20) – и твердыми телами.

Из справочников можно узнать, что твердые парафиныявляются кристаллическими телами. Известно, что для кри-сталлов, в отличие от аморфных тел, характерна определен-ная температура плавления. Попробуйте поставить простойопыт, чтобы доказать кристаллическую природу парафина.Возьмите свечку, натрите ее на терке и заполните этойпарафиновой крупой небольшой алюминиевый стакан. По-ставьте стакан на конфорку плиты или на дно кастрюли скипящей водой. Через несколько минут парафиновая крупаначнет плавиться и скоро превратится в жидкий парафин.Желательно, чтобы толщина слоя жидкого парафина встакане составляла около 5 см, а диаметр стакана был какможно меньше, иначе охлаждение парафина может затя-нуться на многие часы. Для непрерывной регистрации тем-пературы остывающего парафина вам понадобится термо-метр, градуированный в диапазоне от 0 до 100 °C . Так какдлина такого термометра обычно около 30 см, держатель длянего можно изготовить, например, из стопки книг такой жевысоты, линейки и липкой ленты. Необходимо, чтобы кон-чик термометра находился на глубине не менее 3 см (некасаясь дна стакана), а его положение не изменялось современем. Имейте в виду, что при застывании объем парафи-на уменьшается на 10–15%, при этом в центре стаканаобразуется довольно глубокая лунка. Опыт надо проводитьв закрытом помещении и вдали от воздушных потоков.Расплавленный парафин в стакане следует осторожно поста-вить на стол, погрузить в него термометр и сразу же начатьизмерения с интервалом в 1 минуту. Со временем, когдаскорость изменения температуры уменьшится, интервалможно увеличить до 2, 5 и 10 минут.

На рисунке показано, как изменяется температура 158 гпарафина при его охлаждении. Видно, что температурапарафина сначала резко падает, уменьшаясь от 85 до 60 C°за 15 минут, затем в течение двух часов остается практическипостоянной, а потом опять начинает уменьшаться. Такаязадержка в изменении температуры говорит о переходежидкого парафина в кристаллическое состояние. Для срав-нения на том же рисунке приведены графики остыванияводы и меда, взятых в тех же объемах и при тех же условиях,что и парафин. Эти графики наглядно показывают, что меди вода остывают постепенно, без временнуй задержки.

Попробуем, сравнивая графики остывания воды, меда ипарафина, оценить удельную теплоту плавления парафина.Парафин затвердевает в диапазоне температур от 62 до58 C° . В том же диапазоне температур вода остывает соскоростью в 10 Сr = ° /мин. Если пренебречь испарениемводы и теплоемкостью стакана, то количество теплоты,теряемое водой каждую минуту, составляет в в в вq m c r= , где

вm – масса воды в стакане (200 г), а вc – удельная

теплоемкость воды ( )( )4200Дж кг С◊ o . Это тепло через стен-ки стакана передается окружающей среде. Если не учиты-вать процесс конвекции внутри стакана, то количествотеплоты, отбираемое у металлического стакана, будет зави-

П Р О Г У Л К И С Ф И З И К О Й 31

(Продолжение см. на с. 60)

24-38.p65 05.02.10, 17:3431

нано...?А так ли хорошо знакомо вам

Вообще говоря, следовало бы ответить «конечно, да,и довольно давно» – ведь даже наш далекий предок,вымазавшись в саже, уже имел дело с содержавшимисяв ней наночастицами углерода. Сталкивались с подоб-ными «крошками», причем наверняка более осознанно,и ученые, занимавшееся тонкими порошками и колло-идными растворами. Но мало кто представлял, какиепоразительные изменения в физических свойствах объек-тов могут происходить при их уменьшении до нанораз-меров. Обнаружить эти перемены удалось совсем недав-но с появлением наноприборов – особых, совершенно непохожих на привычные приборов, способных новыесвойства измерять и исследовать.

Переход к таким масштабам повлек за собой открытиекрайне нетрадиционного поведения частиц, проявляю-щего закономерности квантовой физики. А это, в своюочередь, породило новые отрасли знаний и технологий,построенные на принципиально иной, чем прежде,идеологии и на иных подходах, – наноэлектронику,наномедицину, нанофотонику, наноэнергетику… далеевезде. Приставка с «карликовым» окрасом скрывает всебе целый кладезь огромных резервов, овладениекоторыми, как прогнозируют ученые, в весьма близкомбудущем преобразит весь окружающий нас мир и помо-жет человечеству справиться с множеством накопив-шихся цивилизацией проблем.

С этими перспективами вы можете ознакомиться и впубликациях нашего журнала – их внушительныйсписок приводится, как обычно, в конце выпуска.

А пока, откликаясь на призыв Р.Фейнмана, написав-шего ровно полвека назад статью «Внизу полным-полно места. Приглашение в новый мир физики»,направимся на поиски нанообъектов, во множествеобитающих и вокруг нас, и, конечно же, в школьномкурсе физики. Думается, их прямое или косвенноеобнаружение поможет вам лучше подготовиться к по-стижению такой заманчивой нанонауки, таящей в себемегавозможности.

Вопрос и задачи

1. Можно ли видеть невооруженным глазом однудесятимиллионную долю грамма (т.е. 100 нанограмм)вещества?

2. Очень точное взвешивание можно произвести спогрешностью в 10 нанограмм. Сколько атомов содер-жится в крупинке железа массой 10 нанограмм?

3. Как оценить размеры молекул воды и спирта?4. Если соединить 50 миллилитров воды и 50 мил-

лилитров спирта, то объем раствора окажется меньше100 миллилитров. Почему?

5. Оцените, во сколько раз среднее расстояние междумолекулами водорода при нормальных условиях боль-ше поперечника самой молекулы.

6. Почему при уменьшении плотности воздуха элек-трический разряд происходит при более низких напря-жениях?

7. Чем объяснить, что вода, находящаяся в глиняномсосуде, имеет температуру ниже температуры окружаю-щего воздуха? При каких условиях температура водыв этом сосуде будет такой же, как и окружающеговоздуха?

8. В чайнике кипит вода, и мы видим выходящий износика чайника водяной пар. Так ли это?

9. Сосуд разделен на две секции пористой перегород-кой. В одной секции находится газ, состоящий излегких молекул, в другой – из тяжелых. Давлениягазов в начальный момент одинаковы. Через некотороевремя давление в той секции сосуда, где находилисьтяжелые молекулы, увеличилось. Затем, через болеедлительный промежуток времени, давления в обеихсекциях сосуда выровнялись. Как это объяснить?

10. Почему броуновские частицы должны быть отно-сительно малыми?

11. Чтобы разорвать кусок проволоки, требуютсязначительные усилия. Однако если раскалить проволо-ку в пламени горелки, то разорвать ее намного легче.Почему?

Ибо наличное все непременно быть чем-нибудь дол-жно,

Будь оно иль велико, или самых ничтожных размеров…

Тит Лукреций Кар

Около двух миллионов молекул водорода, положен-ных в ряд, заняли бы миллиметр, и около 200 миллионовмиллионов миллионов их весили бы один миллиграмм.Числа эти нужно рассматривать как весьма грубыеприближения; они по мере усовершенствования наукибудут исправлены более разнообразными и точнымиопытами…

Джеймс Клерк Максвелл

Эмульсия – это атмосфера в миниатюре, тяготеющая кземле. В масштабе такой атмосферы высота Альп предста-вилась бы несколькими микронами, а отдельные холмыстали бы равны молекулам.

Жан Батист Перрен

Нано (от греч. naѣnos – карлик) – приставка для образо-вания наименования дольных единиц, равных одноймиллиардной доле исходных единиц.

Большой энциклопедический словарь

24-38.p65 05.02.10, 17:3632

12. Слепить фигурку из сухого песка нельзя, а измокрого можно. Почему?

13. С помощью паяльника нельзя расплавить медныеили стальные провода. Отчего же тогда удается надеж-но соединить пайкой эти провода друг с другом?

14. Опытный стекольщик, после того как проведеталмазом по стеклу, смачивает царапину водой, а ужезатем ломает лист. Для чего производится смачивание?

15. Известно, что в холодную погоду для растопкивместо дров используют обыкновенные красные кирпи-чи, вымоченные в бензине. На чем основан этот способобогрева?

16. Если мыльную пленку расположить вертикально,то цветные полосы на ней будут со временем смещатьсявниз, меняя свою ширину, а вскоре в верхней частипленки возникнет быстро увеличивающееся темное пят-но, после чего пленка разорвется. Как это объяснить?

Микроопыт

Нагрейте в пламени спиртовки лезвие безопаснойбритвы. Вы сможете увидеть на поверхности металлатак называемые цвета побежалости – меняющуюсярадужную окраску. В чем причина ее появления?

Любопытно, что…

…прочные сабли и клинки из дамасской стали научи-лись делать еще в средние века. А вот тайна изготовле-ния такой стали открылась совсем недавно, когда ана-лиз ее структуры позволил обнаружить в ней углерод-ные нанотрубки – гигантские цилиндрические молеку-лы из атомов углерода, придающие материалам уни-кальные упругость и твердость.

…в отличие от природных алмазов, искусственносозданные наноалмазы обладают рядом особенныхсвойств. Так, у их наночастиц значительно выше поверх-ностная активность и реакционная способность (у нихбольше удельная поверхность). Поэтому наноалмазыныне используют и в биологии, и в медицине в качествеадсорбентов токсичных соединений и носителей препа-ратов для лечебных целей.

…золото давно научились расплющивать в листкитолщиной 100 нанометров, а химической обработкойдоводить до толщины 10 нанометров. Однако до разме-ров самих атомов добраться таким образом было невоз-можно. И лишь с появлением электронного микроскопас разрешением 0,12 нанометра удалось при увеличениив семь миллионов раз «увидеть» ряды атомов в кристал-ле золота, находящихся друг от друга на расстоянии0,235 нанометра.

…история приготовления коллоидных растворов зо-лота, меняющих цвет от оранжевого до зеленого, илидобавления в расплавленное стекло соединений золота,придающих ему яркий красный цвет («золотой ру-бин»), берет начало в далеком прошлом. О применении«растворимого золота» в медицине упоминал и знаме-нитый врач XVI века Парацельс. Однако лишь в 1857году Фарадей доказал, что яркая окраска коллоидныхрастворов золота обусловлена мелкими взвешеннымиего частичками. Это и было нанозолото, совершенно непохожее по своим свойствам на золото обычное.

…возможно, самый острый объект, созданный приро-дой, это жало осы – радиус закругления его острия непревышает 10 нанометров.

…в своем знаменитом опыте по определению размеровмолекул лорд Рэлей поступил удивительно простымспособом. Капая масло в таз с водой, Рэлей бросал тудапыльцу камфоры. Зная, что на поверхности водычастички камфоры совершают беспорядочное движе-ние, а на поверхности масла они спокойны, он подбиралмассу масляной капли такой, что закрывал ею всюповерхность воды и добивался прекращения «плясок»пыльцы. Это и было свидетельством того, что маслорастеклось мономолекулярным слоем, толщина которо-го, а значит и размер молекул масла, не превышала 1,7нанометра.

…суперинвар – сплав железа и никеля с добавкойхрома – обладает необычайно малым коэффициентомтеплового расширения. Так, при повышении температу-ры на один градус метровый стержень из суперинвараудлиняется лишь на 30 нанометров.

…электрическая емкость электролитических конден-саторов может быть очень большой за счет малогорасстояния между их обкладками, определяемого хими-ческой пленкой толщиной в несколько нанометров.

…мембранные технологии, применяемые для получе-ния полупроницаемых пленок, не так давно пополни-лись еще одним методом. Ускоренные тяжелые ядраоблучают синтетические пленки и превращают их в«сита» с аккуратными отверстиями, размер которыхможно регулировать в нанодиапазоне.

…так называемые живые молекулярные машины –жгутики бактерий или элементарные мышечные звенья,обеспечивающие целенаправленное движение клеток иперенос молекул через мембраны, – обладают характер-ными размерами в единицы или десятки нанометров. Адиаметр двойной спирали молекулы ДНК составляетоколо двух нанометров, длина же ее вдоль контура –порядка 400 нанометров.

…приставка «нано» получила столь широкое распро-странение, что стала использоваться для описанияобъектов и макроскопических масштабов. Так, в соот-ветствии с европейской классификацией малых спутни-ков, аппараты массой от одного до десяти килограммполучили название «наноспутники».

Что читать в «Кванте» о нано…

(публикации последних лет)

1. «Нанотехнология на службе человека» – 2005, 4, с.11;2. «Нанотехнологии: когда размер имеет значение» – 2008,

3, с.6;3. «На пути к квантовому компьютеру» – 2009, 1, с.2;4. «Рассказы о современной механике» – 2009, 3, с.2;5. «Линейка длиной в один нанометр» – 2009, 4, с.2;6. «Почему углеродные нанотрубки прочнее стали?» – 2009,

4, с.7;7. «Космический нанолифт» – 2009, 5, с.11;8. «Измеряем прочность тел от нано до мега» – 2009, 6, с.3;9. «Как управлять светом с помощью магнитного поля» –

2010, 1, с.12.Материал подготовил А.Леонович

24-38.p65 05.02.10, 17:3633

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 134

Задачи

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8классов.

К М Ш

Иллю

страции Д

.Гриш

уковой

1. По результатам опроса общественного мнения,работой президента довольны 76% опрошенных, ра-ботой премьера – 83%, работой правительства вцелом – только 59%. Назовем опрошенного безна-дежным, если он доволен и работой президента, иработой премьера, но недоволен работой правитель-ства в целом. Какая наименьшая доля безнадежныхмогла быть среди опрошенных?

М.Ахмеджанова

2. Дан равносторонний треугольник.а) Можно ли разрезать его на равносторонние треу-гольники двух видов – большие и маленькие – так,чтобы тех и других треугольников было поровну?б) А можно ли разрезать его на равносторонниетреугольники трех видов – большие, средние ималенькие – так, чтобы треугольников каждого раз-мера было поровну?

С.Дворянинов

3. Однажды Алиса нашла в Зазеркалье волшебнуюпалочку, которая создает любой предмет по Алисино-му желанию, но только в одном экземпляре. При этом,создав однажды какой-то предмет, волшебная палоч-ка не сможет в дальнейшем создать такой же предметвторично. Алисе нужно изготовить 10 одинаковыхбашмачков для своих путешествий по Зазеркалью. Как

ей сделать это с помощью найденной волшебнойпалочки?

Г.Гальперин

4. Имеется проволока в виде окружности. Как ееизогнуть, чтобы при проекции на одну плоскость онадавала квадрат, а при проекции на другую плоскость– равносторонний треугольник?

А.Жуков

5. Врач сообщил Змею Горынычу, что если Змейбудет выкуривать по 6 сигарет в день, то помрет через10 лет, а если – по 17, то – через 5 лет. Сколько летпроживет Змей Горыныч, если бросит курить? (Счита-ем, что все годы одинаковой длины, а каждая сигаретасокращает жизнь на одно и то же время.)

А.Ковальджи

24-38.p65 05.02.10, 17:3634

Мы завершаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала поадресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: math@kvant.info(с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес.

Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но иматематических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактныйтелефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очныйтурнир.

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

К М Ш 35

ЧИСЛО 2 – КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ 2 – ЭТО, ПОопределению, сторона квадрата площади 2. Други-

ми словами, 2 – это такое положительное число,которое при умножении на себя дает 2.

Легенда приписывает одному из пифагорейцев дока-зательство иррациональности числа 2 . (Рациональ-ное число a/b – это частное от деления целого числа aна натуральное число b. Доказать иррациональность

Иррациональность корнейиз 2, 3, 5 и 6

А . С ПИВАК

2 – значит привести к противоречию равенство2 22 a b= , где a и b – натуральные числа.) Вот это

доказательство.Если 2 22b a= , то число 2a четное. Поскольку квад-

рат любого нечетного числа нечетен, то и само число aобязательно четное, т.е. a = 2c, где c – натуральноечисло. Значит,

( )22 22 2 4b c c= = ,

16. Дана равнобокая трапеция с боковыми сторонамидлины a и диагоналями длины b. Найдите произведение длин

ее оснований.П.Кожевников

17. Бильярдный шарвыпустили из вершиныA квадратного столаABCD. Он отражает-ся от бортов по зако-

ну «угол падения равен углу отражения». Известно, чтоникакие два удара подряд не пришлись на противоположныеборта, причем первый удар был от борта BC. После 2010ударов от бортов шар наконец попал в вершину стола. Вкакую?

Г.Гальперин

18. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости состороной клетки 1 записано по числу. Если центры трех клетокобразуют треугольник со сторонами 3, 4, 5, то числа,записанные в этих клетках, дают в сумме ноль. Обязательноли тогда во всех клетках записаны нули?

А.Эвнин

19. Пусть a < b < c – наименьшие возможные составныечисла, идущие в порядке возрастания, каждое из которых неделится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно.Докажите, что произведение abc – точный куб натуральногочисла.

Г.Гальперин

20. В некоторой конторе 25 кабинетов, занумерованныхчислами от 1 до 25. У коменданта 25 ключей с номерами от1 до 25. Каждый ключ открывает кабинет с таким же номером.Но некоторые ключи могут открывать не только один кабинет,и из того, что ключ N открывает кабинет M, не следует, чтоключ M открывает кабинет N.

Контору продали, двери покрасили (номера не видны).Новый комендант со старой связкой ключей стал открыватькабинеты. Открыв кабинет, он оставляет ключ в двери и идетдальше, к уже открытым кабинетам не возвращается. Можетслучиться, что некоторые кабинеты ему не удастся открыть.Сколько таких кабинетов будет в самом плохом случае?(Укажите возможное число и докажите, что больше быть неможет.)

Н.Константинов

24-38.p65 05.02.10, 17:3635

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 136

откуда 2 22b c= . Теперь четным числом должно бытьчисло b, т.е. b = 2d, где d – натуральное число. Лыкода мочало, начинай сначала:

( )2 22 2d c= ,

т.е. 2 22d c= , и так будет всегда: числа делятся и делятсяпополам. Очевидно, деля все время пополам, невоз-можно вечно оставаться во множестве натуральныхчисел. Значит, число 2 воистину иррационально.

Примененный нами метод доказательства называютметодом бесконечного спуска. (Можно было оформитьто же по сути доказательство чуть иначе, сразу рассмот-рев не любую дробь a/b, квадрат которой равен 2, адробь несократимую.)

Говорят, что пифагорейцы скрывали это открытие отпростолюдинов, поскольку оно противоречило их ре-лигиозному убеждению, что все на свете можно выра-зить при помощи целых чисел и их отношений –рациональных чисел.

Так оно было на самом деле или нет, подтвердить илиопровергнуть не могу. Гораздо интереснее, что не такдавно, в 2006 году, Дж.Конвей опубликовал придуман-ное в 1950-х годах Стенли Тенненбаумом удивительное

геометрическое доказа-тельство иррационально-сти числа 2 . Если

2 22a b= , впишем в двапротивоположных углаквадрата a a× по квад-рату b b× (рис.1). По-скольку сумма площадейэтих двух квадратов рав-на площади большогоквадрата, то перекрыва-ются они в точности по

той же площади (красной на рисунке), какую они непокрывают: сумма площадей двух синих квадратовравна площади красного квадрата!

Таким образом, из квадрата, площадь которого равнаудвоенной площади другого квадрата, мы получиликвадрат – по-прежнему с целыми сторонами, заметьте!– меньшего размера, площадь которого тоже равнаудвоенной площади некоторого квадрата с целымисторонами. Так можно уменьшать и уменьшать разме-ры, пока не придем к квадрату, сторона которогоменьше 1. Поскольку натуральное число не может бытьменьше 1, желанное противоречие получено: иррацио-нальность числа 2 доказана геометрически!

Конечно, можно было алгебраически от равенства2 22a b= перейти к равенству ( ) ( )2 22 2b a a b− = − (рас-

кройте скобки – убедитесь!) итак совершить шаг спуска (ведь2b – a < a, поскольку a > b).Однако согласитесь: доказа-тельство без формул симпа-тичнее.

Аналогично можно доказатьи иррациональность числа 3(рис.2): предположив, что

2 23a b= , и расположив в

трех углах равностороннего треугольника со сторо-ной a равносторонние треугольники, длины сторонкоторых равны b, мы получим три красных треуголь-ника, сумма площадей которых равна площади сине-го треугольника (поскольку площадь пропорциональ-на квадрату стороны). Алгебраически это доказатель-ство выглядит так: если 2 23a b= , то ( )23 2b a- =

( )23 2b a= − .Чертеж для доказательства иррациональности числа5 аналогичен, но гораздо сложнее. Расположив во

всех пяти углах правильногопятиугольника со стороной aправильные пятиугольники состоронами длины b, где

2 25a b= (рис.3), мы получа-ем непокрытый (синий) цент-ральный пятиугольник, пятьнепокрытых синих треуголь-ников и пять дважды покры-тых красных четырехугольни-ков. Отразив каждый из си-них треугольников относительно вершины, как пока-зано на рисунке 4, мы получаем пять красных пяти-угольников, сумма площадей которых равна площадисинего пятиугольника.

Стоп! А почему красные пятиугольники правиль-ные? Наверное, нам сейчас нужно вычислить длинысторон и проверить, что действительно все стороныодной длины? (Про углы неговорю, с ними все очевидно:подумайте сами, почему!)

Видимо, совсем без вычис-лений не обойтись.

Задача. Убедитесь, что крас-ные пятиугольники на рисунке 4равносторонние.

(Решение задачи приведено вконце статьи.)

Алгебраически это доказательство записывается так:если 2 25a b= , то ( ) ( )2 25 2 5 2b a a b− = − (проверьте!).

Наконец, докажем иррациональность числа 6 . Рас-положив шесть желтых треугольников со сторонамидлины b, где 2 26a b= , как показано на рисунке 5,видим, что центральный зеленый треугольник покрытне дважды, как красные треугольники, а трижды. Нозеленый треугольник равен красному (подумайте, по-чему). Следовательно, сумма площадей трех синихтреугольников равна увосьмеренной площади красно-го треугольника. Удваивая, ви-дим, что ушестеренная пло-щадь синего треугольника в 16раз больше площади красноготреугольника. Поскольку из 16равносторонних треугольниковможно собрать один равносто-ронний треугольник, то намудалось сделать шаг бесконеч-ного спуска.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

24-38.p65 05.02.10, 17:3636

Как и в предыдущих трех случаях, укажу алгебраи-ческую запись этого доказательства: если 2 26a b= , то

( )( ) ( )2 22 3 6 2b a a b− = − (проверьте!).Вот так Тенненбаум смог, через многие столетия

после пифагорейцев, по-новому доказать иррацио-нальность чисел 2 , 3 , 5 и 6 . Хотелось бы,конечно, доказать при помощи такого рода рисунков ииррациональность числа 7 , и вообще иррациональ-ность квадратного корня из любого натурального чис-ла, не являющегося квадратом. К сожалению, этосделать не удалось и вряд ли кому-то удастся. Но дажечетыре рассмотренных случая весьма симпатичны, неправда ли?

Решение задачи

Докажем, что три соседние стороны в равноугольномкрасном пятиугольнике (см. рис.4) равны – отсюда нетруднополучить, что он тогда и равносторонний.

Поскольку желтые пятиугольники правильные, все ихуглы равны 108°. Поэтому синие треугольники – равнобед-ренные с углами при основании, равными 72°, и углом 36°при вершине.

На рисунке 6 изображен один из синих треугольниковотдельно. Замечательное свойство этого треугольника состо-ит в том, что биссектриса AD делит его на два равнобедрен-ных: ADB и DAC (проверьте!), откуда AC = AD = BD. По

свойству биссектрисы AC AB

CD BD= , и, если обозначить AC за

ГРЫОР БОЛЬШОЙ ХВОСТ ДРЕМАЛ ПОСЛЕ СЫТНО-го обеда, когда от ворот раздался шум и лязг.

– Что там, Курундис? – спросил дракон у своегопридворного черного мага.

– Драконоборцы, сэр, – отвечал маг, качая головой.– Опять, – проворчал Грыор и раздраженно дернул

хвостом. – Чего им на этот раз надо?– Как всегда, – пожал плечами маг. – Сокровища и

принцессу.– Ну что за люди, – возмутился дракон. – Где я им

принцессу возьму? У самого ни одной нет. А сокровищане отдам! В темницу их, Курундис!

– Уже, – меланхолично сообщил Курундис. – Покамы с вами говорим, сэр, их уже препроводили. Времен-но загнали в большой подземный зал. Ровным счетомдвадцать штук, сэр. Будете воспитывать лично?

– Не хочу, – Грыор помотал здоровенной башкой изевнул. – Надоели. Придумай для них что-нибудьзаковыристое, пусть напугаются хорошенько.

– Будет сделано, – поклонился черный маг.Грыор кивнул, опустил голову на лапы и задремал

снова.Драконоборцы сидели на сыром каменном полу в

большом подземном зале и ожидали своей участи.

– Сожрет, – грустно вздохнул юный Бертольд изРокслея, бывший школяр, сбежавший от латыни иарифметики навстречу приключениям. – А я так хотелсовершить первый в жизни подвиг...

– Отчаяние – грех, – наставительно сказал усатыйдядька Элвард, опытный воин. – Всегда надо надеять-ся до последнего, юноша. Может, тебе еще будет даншанс совершить свой подвиг.

Заскрипела, отворяясь, тяжелая дубовая дверь, вош-ли стражники с факелами, а вслед за ними – тощийбородатый старец в черной мантии, сразу ясно –колдун.

– Ну что, горе-воины? – спросил старик неприязнен-но. – Попались? Пеняйте теперь на себя. Будем васмучить.

Драконоборцы угрюмо молчали.– Значит, так, – сообщил старик. – С завтрашнего

дня и приступим. Господин мой дракон милостив и несъест вас сразу. Более того, он даже, возможно, васотпустит.

Драконоборцы зашевелились, по большому залупронесся шорох и лязг кольчуг.

– Завтра утром всех вас разведут по отдельнымкаморкам, и больше вы друг друга не увидите, –

Подвиг юного БертольдаА . К О Т О В А

К М Ш 37

x и CD за y, имеем пропорциюx x y

y x

+= . Она сводится к квад-

ратному уравнению относительно

x/y. Решив уравнение, находим

x/y – оно оказывается равным5 12+

, и оно же равно отноше-

нию боковой стороны синего треу-гольника к основанию (из нашейпропорции).

Вернемся к красным пятиуголь-никам. У любого из них сторона,примыкающая к зеленому треу-гольнику, совпадает с основаниемсинего треугольника, т.е. равна a – 2b. Длина соседнейстороны красного пятиугольника равна тогда

( )5 12 2

2b a b

+- ◊ - . Вспомнив, что 5a b= , преобразуем

наше длинное выражение и получаем в итоге ( )5 2b - , т.е.снова a – 2b. Значит, в красном пятиугольнике одна изсторон равна двум соседним, что и требовалось.

Это доказательство иррациональности числа 5 ужегораздо сложнее обычного. Но зато какой красивый геомет-рический факт – красные пятиугольники на рисунке 4

правильные, если числа a и b связаны соотношением 5a b=(хотя бы одно из них будет иррациональным).

Рис. 6

24-38.p65 05.02.10, 17:3637

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 138

продолжал колдун. – И будете вы сидеть там и думатьо своем поведении. Каждый вечер одного из вас будутотводить в Черную-черную комнату, где нет ничего,кроме волшебной лампы, и господин мой дракон будетобращаться к избранному лично. Сейчас лампа погаше-на. Хотите – внимайте ему во тьме, хотите – зажигайтелампу. Или гасите, если она будет гореть, это вашедело. Лампа зажигается и гаснет просто – достаточнохлопнуть в ладоши. И будет так продолжаться долго,долго...

– Вечно? – спросил шепотом юный Бертольд.– Может быть, и вечно, – сердито бросил старик. –

Не перебивайте, молодой человек. Уж что я вам точнообещаю – все вы непременно побываете в Черной-черной комнате, никого не пропустим. И будьте увере-ны, что каждого из вас будут вызывать туда снова иснова. Но, как я уже сказал, господин мой драконмилостив...

Он обвел взглядом понурившихся воинов.– Я, черный маг Курундис, клянусь вам всей моей

магией и именем господина моего дракона Грыора, чтов тот же миг, как кто-либо из вас скажет мне, что все выуже побывали в Черной-черной комнате, вы будете от-пущены на волю – разумеется, без оружия и пешком, –если сказанное будет верно. Но бойтесь ошибиться! Ибов случае ошибки все вы будете съедены, и, уверяю вас,господин мой дракон сделает это с большим удоволь-ствием. Все ли вы поняли, господа драконоборцы?

– Поняли, как не понять... – проворчал дядькаЭлвард.

Маг кивнул и вышел, вслед за ним стражники.Захлопнулась дверь, загремели замки.

– Сожрет... Сначала нравоучениями замучает, апотом все равно сожрет... – раздалось в зале.

Юный Бертольд поднял голову.– Дядь Элвард, правду ли говорят, что драконы не

лгут? – спросил он.Усатый воин кивнул.– Тогда выход обязательно есть, – сказал юноша. –

Нужно только хорошенько подумать. Ведь драконобещал.

– Устами младенца глаголет истина, – веско произнесздоровенный Том из Стоунбриджа. – Давайте, братья,поразмыслим.

– Мечом-то проще, – проворчал кто-то.И в зале повисла глубокая тишина. С непривычки

думалось медленно и тяжко.– Ну, что ты изобрел для наших пленников? –

спросил Грыор за завтраком.Курундис объяснил.– Эй, маг, я же сказал, что не хочу воспитывать их

лично!– Сэр, вам не нужно трудиться, я сохранил запись

вашей прошлогодней речи. Помните, вы наставлялитого барона, как бишь его звали... Магический крис-талл воспроизведет каждое слово без изъяна.

– А, тогда ладно... И все же ты неправ, маг. Зачембыло клятвенно обещать, что я их непременно съемсам, да еще и с удовольствием? Вдруг придется?Знаешь ведь, терпеть не могу человечины...

– О, сэр, не волнуйтесь. Я верю, что настоящаяопасность способна научить думать даже драконобор-цев.

– Посмотрим, посмотрим, – хмыкнул Грыор. – Хужевсего, если они так и не рискнут дать тебе ответ.Сколько их? Двадцать? Двадцать камер заняты, неиз-вестно на сколько лет, а могут же еще явиться... ээээ...соискатели.

– Сэр, готов поспорить, – они справятся!– На что спорим? – оживился дракон. – На щелбаны?

Двадцать щелбанов, по числу пленников – идет? Есличерез пять лет они все еще будут здесь, – я выиграл!

– Идет, – согласился маг.Ударили по рукам.Время шло. Иногда Грыор вспоминал о своих узни-

ках, спрашивал, как у них дела.– По-прежнему, – отвечал Курундис. – Ведем воспи-

тательную работу. Некоторые уже выслушали вашуречь по четыре раза, сэр.

– И как? – интересовался Грыор.– О, кто как, сэр. Некоторые бранятся. Некоторые

рыдают. Один поклялся, если спасется, уйти в монас-тырь.

– Ну-ну, – хмыкал Грыор. – Будем надеяться, емуэто удастся.

Однажды утром маг вбежал в тронный зал драконь-его замка, слегка подпрыгивая.

– Я же говорил! – воскликнул он. – Сегодня этотмальчишка, который из Рокслея, заявил мне, что всеуже побывали в Черной-черной комнате.

– И это действительно так? – спросил дракон.– Да, сэр! – отвечал маг. – Так отпустим или вы еще

скажете им пару слов?– Пусть катятся на все четыре стороны, – фыркнул

Грыор. – Наконец-то я от них избавлюсь.– Да, сэр, – кивнул маг. – Пойду распоряжусь. А вы

пока готовьте лоб.– Что? – недоуменно повел хвостом дракон.– Двадцать щелбанов, сэр, – поклонился маг. –

Только не делайте вид, будто вы забыли. Драконыникогда ничего не забывают.

– Тьфу, – проворчал дракон. – Действительно.Ничего не поделаешь, проиграл – так проиграл...

...Драконоборцы вышли на свет, спотыкаясь с непри-вычки.

– Воистину, это был великий подвиг, о Бертольд изРокслея, – сказал Элвард, усы которого за времязаключения стали длиннее втрое. – Не сомневаюсь, тызаслужил рыцарские шпоры, а в будущем станешьвеликим воином, и все драконы склонятся перед то-бой...

– Ну уж нет, – покачал головой Бертольд, – драко-нами я теперь сыт по горло. Поеду лучше в универси-тет, учить латынь и арифметику. Ручаюсь, ни одинпрофессор не может быть таким занудой, как ГрыорБольшой Хвост...

А вы поняли, сэры, как юному Бертольду удалосьсовершить сей подвиг?

24-38.p65 05.02.10, 17:3638

Красное небо,синяя луна

А.СТАСЕНКО

Закат из золотого стал как медь,Покрылись облака зеленой ржою…

Н.Гумилев

НО – СИНЯЯ ЛУНА, КРАСНОЕ НЕБО – НЕУЖЕЛИ ТАКОЕбывает?

– А вот и бывает. Однако, все по порядку…Начнем с того, что знает каждый отличник: электромаг-

нитная волна бежит со скоростью света, векторы электричес-кого и магнитного полей, точнее векторы их напряженнос-тей, в волне перпендикулярны друг другу и направлению еераспространения. Образно говоря, она дважды поперечна, вотличие от звуковой волны в газе, которая всего лишьединожды продольна.

Напряженность электрического поля Е, как известно,

измеряется в вольтах на метр: [ ] Вм

E = . Скажем несколько

слов и о напряженности магнитного поляН. (Подчеркнем – именно о напряжен-ности, а не об индукции В, которая,впрочем, строго пропорциональна Н, покрайней мере в вакууме, но имеет дру-гую размерность.) Представим себе про-вод с постоянным током силой I (рис.1).Согласно одному из законов электро-магнетизма, вокруг этого провода суще-ствует магнитное поле, линии напря-женности которого представляют собой

окружности, соосные с током. Причем произведение напря-женности Н поля на длину 2 rπ любой окружности радиусомr как раз и равно силе тока:

2H r I⋅ π = .

(Левую часть этого равенства физики называют циркуляци-ей вектора Н по контуру, длина которого в рассматриваемомчастном случае равна 2 rπ .) Отсюда видна и размерность

напряженности магнитного поля: [Н] = Aм

.

Разумно предположить, что если выделить только кусокдлиной l этого бесконечного провода, то его вклад lH всуммарную величину напряженности поля (по крайней мере,в меридиональной плоскости) будет пропорционален нетолько I, но и l. Произведение Il можно назвать элементомтока, его размерность [ ] А мIl = ⋅ .

Далее, известно, что электромагнитное поле распростра-няется даже в вакууме (причем, свободнее всего) благодарятому, что переменные (во времени) электрическое и магнит-ное поля порождают друг друга. Как тут не предположить,что напряженности этих полей связаны соотношением про-порциональности:

E H∼ . (1)

А что если их перемножить? По крайней мере, любопытноузнать размерность произведения:

[ ] 2 2

В А Вт Джм м м с м

EH = ⋅ = =⋅

.

Но ведь это размерность плотности потока энергии Р, т.е.энергии, протекающей в единицу времени через перпендику-лярную площадку единичной площади. Эта плотность пото-ка называется вектором Пойнтинга – по имени английскогофизика Джона Генри Пойнтинга, который ввел это понятиев 1884 году. Заметим, что для упругой волны аналогичноепонятие еще раньше (1874 г.) было введено русским физи-ком Николаем Алексеевичем Умовым. Поэтому плотностьпотока энергии любой физической природы справедливоназывают вектором Умова–Пойнтинга. Но здесь нас будетинтересовать именно электромагнитное поле. Итак,

ЕН = Р. (2)

Однако постоянный ток не может породить электромаг-нитную волну. Для ее возникновения нужно, чтобы ток сталпеременным, например синусоидальным с периодом Т иличастотой 2 Tω = π :

sinmI I t= ω .

Тогда магнитное поле будет пропорционально скорости(темпу) изменения тока со временем, или, как говорятумные люди, пропорционально первой производной тока повремени

[ ] А,

с

II I I

T′ ′= ω =∼ .

Тут, конечно, стоило бы поговорить о производной с матема-тической точки зрения. Но нам достаточно того, что размер-ность этой величины должна содержать секунду в знамена-теле, т.е. быть обратно пропорциональной периоду Т изме-нения тока или прямо пропорциональной частоте этогоизменения ω . Тогда получим

lI l

Hr

′∼ . (3)

Появление в знаменателе расстояния r от излучателя неслучайно: оно есть результат закона сохранения потокаэнергии. Действительно, плотность потока энергии (2) дол-жна убывать с расстоянием как 21 r . А поскольку напряжен-ности электрического и магнитного полей пропорциональныдруг другу (1), то каждая из них пропорциональна 1 r .

Теперь представим нужный нам переменный ток какрезультат колебательного движения вверх–вниз положи-тельного электрического заряда q в пре-делах отрезка длиной l (рис.2). Когдаэтот заряд q находится в центре отрезка,его компенсирует неподвижный зарядпротивоположного знака; когда q сме-щается на расстояние х (|x| < l), возни-кает электрический диполь с моментомqx, хотя отрезок в целом остается элек-трически нейтральным. Но посколькузаряд движется со скоростью v x′= (ведьскорость – это производная от расстояния по времени), егоможно уподобить элементу тока

[ ] м Кл, Кл м А м

с сIl qv qx qv′= = = = = ⋅ ,

причем I l qv qx= =¢ ¢ ¢¢ . Значит, выражение (3) можно пере-

Рис. 1

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

Рис. 2

39-53.p65 05.02.10, 17:4639

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 140

писать в виде2

lI l qx ql

Hr r r

′ ′′ ω=∼ ∼ .

Понятно, что квадрат частоты возник от того, что мыдважды брали производную от смещения заряда sinx l t= ω .Теперь, вспомнив (1) и (2), получим плотность потокаэнергии:

2 42 2

2l l lqv

P E H q lr r

′ ω = ∼ ∼ .

Тут уже есть, чем полюбоваться. Во-первых, векторы lPr

,

lEr

, lHr

(рис.3) взаимно перпендикулярны и образуютправую тройку (каккоординаты х, у, z де-картовой системы) –это, как упоминалось всамом начале, знаеткаждый отличник. По-нятно, что вектор плот-ности потока энергиинаправлен по радиусу

от излучающей «элементарной антенны длиной l», а егомодуль убывает обратно пропорционально квадрату рассто-яния от диполя (при r l≫ ). Последнее наблюдение отража-ет закон сохранения энергии (уже использованный выше): ееполный поток зависит от площади 24 rπ сферы радиусом r,поэтому, суммируя плотности потока энергии по всемнаправлениям от диполя (а не только в меридиональнойплоскости, как показано на рисунке 3), получим полныйпоток энергии:

2 2 4W q l ω∼ , [ ]Джс

W = . (4)

Рисунок 3 демонстрирует также, что через половину дли-ны волны направления векторов электрического и магнитно-го полей изменяются на противоположные, в то время каквектор Пойнтинга всегда направлен по радиусу-вектору,проведенному из середины диполя.

Но вот что самое интересное: полный поток энергии Wоказался пропорциональным четвертой степени частоты ко-лебаний тока. Эта зависимость получена (1871 г.) замеча-тельным английским физиком Джоном Уильямом Рэлеем, асамо явление, описываемое выражением (4), назвали рэле-евским рассеянием. И это позволяет объяснить многие инте-ресные факты.

Например, почему небо обычно голубое, хотя в солнеч-ном спектре (который глаз воспринимает в диапазоне длинволн приблизительно от 0,4 до 0,75 микрометров – отфиолетового до красного участков) присутствуют все цве-та? Теперь мы можем объяснить это следующим образом.Атмосфера не совсем однородна: в ней в любой точкепроисходят так называемые флуктуации плотности – по-стоянно образуются и распадаются сгустки и разрежения.Относительная флуктуация концентрации молекул тем бо-лее вероятна, чем меньшее количество N молекул в ней

участвует, так что ( )1 1N N N= ± , где N – среднее

значение за достаточно большой промежуток времени. Све-товые волны, идущие от Солнца, воспринимают эти сгуст-ки как частицы. А поскольку длина волны синего цветаменьше, чем красного, то, согласно, выражению (4), он исильнее рассеивается. По этой же причине Солнце и Лунапри закате и восходе часто кажутся красными: путь света в

атмосфере в скользящих лучах становится бульшим, и всеинтенсивнее отсеивается во все стороны преимущественноголубая компонента.

Но рэлеевское рассеяние соответствует случаю очень мел-ких частиц, размеры которых а много меньше длины волныλ . А что если рассматривать более крупные частицы? Какпоказали исследования,при некоторых a наблю-даются максимальныезначения так называе-мого коэффициента рас-сеяния Q. Зависимостьэтой оптической харак-теристики от произволь-ного значения отноше-ния a λ (рис.4) позво-ляет объяснить и кое-какие непривычные яв-ления. Так, более полу-века тому назад на боль-шей части Европы Солнце и Луна казались голубыми из-зарассеяния их света на частицах, занесенных высотнымиветрами из горящих лесов Канады (через Атлантику!).Значит, из лучей, идущих от этих небесных тел, отсеивалиськрасная и желтая компоненты и оставалась преимуществен-но коротковолновая часть спектра. Этот факт можно объяс-нить, например, тем, что красному свету соответствовалмаксимум (точка K), а синему – минимум (точка С) наприведенной кривой рассеяния.

А еще раньше древние хроники – и римские, и китайские– сообщали о красном небе. Как оказалось, произошлоизвержение вулкана (186 г.) в Новой Зеландии, т.е. вюжном полушарии, отделенном от северного не толькоэкватором, но и муссонными и пассатными ветрами!

И уж совсем недавно (2004 г.) в популярной телевизион-ной передаче сообщалось, что Землю ждет не потепление, апотемнение: уже 20% солнечного излучения не доходит до ееповерхности, так как в атмосфере сажи оказалось вдвоебольше, чем прогнозировали.

А что случится, если взорвутся все накопленные человече-ством ядерные заряды? Тогда сгорят деревья, трава, плодо-родная почва… и в атмосферу поднимутся миллиарды тоннчастиц пепла. Поскольку эти долгоживущие частицы будутразмером много меньше 10 микрометров (а именно на такойдлине волны излучает Земля с температурой около 300 К),то излучение Земли будет уходить в космос – такие облакапрозрачны для этого излучения. Между тем, для солнечногоизлучения с характерной длиной волны 0,5 мкм∼ размерыэтих же частиц могут оказаться порядка длины волны и статьсильными рассеивателями, не допускающими солнечныйсвет к Земле. В результате Земля охладится, океаны замер-знут, станет холодно и темно – ни красного неба, ни синейлуны, ни наоборот. Наступит так называемая ядерная зима,основные характеристики которой среди первых в миретеоретически предсказали советские ученые академикН.Н.Моисеев и профессор В.В.Александров (кстати ска-зать, выпускник Московского физико-технического инсти-тута).

Дети, учитесь и берегите мир!

Рис. 3

Рис. 4

39-53.p65 05.02.10, 17:4640

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

Две простые,но не вполнетривиальные

формулыМ.КАГАНОВ

РЕЧЬ ПОЙДЕТ О ДВУХ ДОВОЛЬНО ПРОСТЫХ ЯВЛЕНИЯХ:о течении жидкости или газа по трубе и о прохождении

электрического тока по проводнику. Мне хотелось написать«о течении электрического тока» и отметить, что языксвидетельствует о сходстве, даже тождественности обоихявлений: и там, и там что-то течет. Потом сообразил, что«течение тока» – масло масленое.

Формула, описывающая течение жидкости по трубе, носитимя французского физиолога и физика Жана Луи МариПуазейля (1799 – 1869). Ее называют законом Пуазейля. Аформулу, описывающую прохождение тока по проводнику,называют законом Ома. Георг Симон Ом – немецкий физик,жил с 1787 по 1854 год. Я привел годы жизни тех, именемкоторых названы обсуждаемые нами формулы, для тогочтобы подчеркнуть: решил задуматься над старыми, хорошоизученными явлениями. Решил, так как заметил: если срав-нивать эти явления, то можно обнаружить нечто интересное.Интерес трудно поддается определению. Одному интересно,а другому – безмерно скучно. Буду рад, если то, чтоинтересно мне, покажется интересным и читателям.

Начнем с закона Пуазейля. Любая физическая формулавключает в себя буквы (символы), обозначающие физичес-кие величины, которые могут быть определены и измеренынезависимым образом. Каждую физическую величину надоуметь определить независимо от других величин, входящихв формулу. Нам придется останавливаться на подобныхвопросах. Но дальше – более конкретно, чтоб не увязнуть.

Скорость протекания жидкости или газа по трубе опреде-ляется величиной, называемой расходом. Расход, обознача-емый буквой Q, есть количество (масса) жидкости, протека-ющей через поперечное сечение трубы в единицу времени:

2Q R V= π ρ ,

если для простоты предположить, что труба – цилиндррадиусом R, ρ – плотность жидкости, а V – ее средняя посечению трубы скорость. Размерность расхода есть

[ ] ( ) ( ) −= ⋅ ⋅ = ⋅2 3 1см г см см с г сQ .

Закон Пуазейля утверждает:

π ∆=

ν

4

8

p RQ

L. (1)

Здесь p∆ – разность давлений на концах трубы длиной L, аν – коэффициент кинематической вязкости, равный отно-шению обычной вязкости к плотности: ν = η ρ . Напомним,

что коэффициент вязкости (или просто вязкость) η описы-вает внутреннее (вязкое) трение в жидкости (или газе). Силатрения между слоями жидкости возникает в том случае,когда скорость теченияменяется от слоя к слою.Если, например, жид-кость течет в направле-нии z, а ее скорость vзависит от координатыx, то сила трения, в рас-чете на единицу площа-ди границы, пропорци-ональна быстроте изменения скорости в поперечном направ-лении (см. рисунок):

F dv

S dx= η . (2)

Эта формула написана для ламинарного течения (см. ниже)и фактически является определением коэффициента вязко-сти η . Отметим, что вязкое трение (как и любое трение)приводит к диссипации механической энергии, т.е. к превра-щению ее в тепловую энергию. Правда, с точки зрениямолекулярной теории, механизм возникновения вязкого тре-ния совсем не такой, как для сухого трения. За счет тепло-вого движения молекулы из одного слоя перескакивают вдругой. Молекулы из «медленного» слоя, попадая в «быст-рый», должны (в среднем) приобрести дополнительнуюскорость, т.е. на них со стороны остальных молекул слоядолжна подействовать сила «вперед». По третьему законуНьютона, на слой со стороны «гостевых» молекул будетдействовать сила «назад». Аналогично – для молекул, попа-дающих из «быстрого» слоя в «медленный».

Коэффициенты вязкости жидкостей и газов различаютсяна много порядков. Воспроизведем часть таблицы значенийη и ν при температуре 20 °C , взятой из справочника:

η , ( )г см с⋅ ν , 2см с

Вода 0,010 0,010Воздух 41,8 10−⋅ 0,150Спирт 0,018 0,022Глицерин 8,5 6,8Ртуть 0,0156 0,0012

Заметим, что здесь значения η (и ν ) даны в граммах,сантиметрах и секундах. Обычно значение вязкости в спра-вочниках приводится в единицах, обозначаемых Па с⋅ , гдеединица давления Па названа по имени великого французс-кого ученого – физика, математика и философа БлезаПаскаля (1623–1662). Иногда вязкость измеряют в пуазах(П): 1 П = 0,1 Па с⋅ . Эта единица вязкости, конечно,получила свое название в честь Пуазейля.

Формула (1) и знание численных значений входящих в неевеличин (радиуса трубы R, перепада давления p∆ на рассто-янии L и кинематической вязкости ν ), естественно, позво-ляют вычислить расход Q, но, боюсь, мало помогут понять,что происходит. Специалисты, встречаясь с чем-то новым,пытаются выяснить физику явления, а иногда наоборот –понимая, что происходит или должно происходить, пытают-ся описать, как можно наблюдать нечто новое. Или, наконец,сами ставят эксперимент.

Прежде чем двигаться дальше, сделаем одно замечание.Все многократно наблюдали, что течение жидкости в разных

39-53.p65 05.02.10, 17:4641

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 142

условиях происходит по-разному. Иногда жидкость бурлит,пенится. Такое движение называют турбулентным (от латин-ского turbulentus – беспорядочный). Плавное, спокойноетечение жидкости называют ламинарным (по-латыни lamina– пластина, слой). Такое течение жидкости осуществляетсякак бы слоями, которые различаются только величинойскорости, медленно меняющейся от слоя к слою. Так вот,закон Пуазейля описывает ламинарное течение жидкостипо трубе.

Теперь можно продолжать. Подставим в формулу (1)выражение для расхода Q, заменим кинематическую вяз-кость ее выражением ν = η ρ , сократим в правой и левойчастях равенства совпадающие множители и для среднейскорости V получим

218

p RV

L

∆=

η . (3)

Движение жидкости описывает гидродинамика. Гидро-динамика – одна из наук, принадлежащих тому разделуфизики, который принято называть макрофизикой. Другаянаука, принадлежащая макрофизике, – теория упругости.Ее вместе с гидродинамикой часто объединяют в механикусплошных сред. Эта констатация – для того чтобы подчер-кнуть: для гидродинамики жидкость это сплошная среда.В основных чертах гидродинамика была создана до того,как было осознано, что макроскопические тела состоят изатомов и молекул. В чем это проявляется? В том, что всевеличины – характеристики, описывающие жидкость, от-носятся к большому числу атомов. Например, гидродина-мика имеет дело с плотностью. Плотность ρ , т.е. массаединицы объема, – явно макроскопическая величина. Дажескорость жидкости, которая может изменяться от «точки»к «точке» (например, по сечению трубы), при гидродина-мическом описании есть не скорость отдельных частиц, аскорость элемента объема (массы) жидкости. Элемент объе-ма мал по сравнению с радиусом трубы, но велик посравнению с межатомными расстояниями, т.е. это макро-скопический объект. Поэтому-то слово «точка» здесь взятов кавычки. Обычно так не поступают, и мы в дальнейшемне будем.

Теперь мы прекрасно знаем, что все макроскопическиетела состоят из атомных частиц, а иногда и субатомных(так, в металлах имеются свободные электроны). Естьвозможность выразить любые макроскопические величинычерез атомные, ионные, молекулярные или электронныехарактеристики. Простейший пример. Пусть жидкость со-стоит из молекул массой М, а n – число молекул в едини-це объема. Тогда ρ = Мn. Гидродинамическая скорость –

скорость элемента объема ( )v rr r

– это средняя скоростьмолекул жидкости в этом объеме. Введенная выше (фор-мула 3) скорость V есть среднее по сечению трубы значе-

ние скорости ( )v rr r

. Эта скорость в обычных условиях(например, в водопроводных трубах) составляет несколь-ко метров в секунду. Мы специально выделили курсивомутверждение, что введенная скорость V – это среднее зна-чение скорости по сечению трубы. Чтобы не забыть. Мыпокажем ниже, как скорость воды меняется с расстояниемот центра трубы.

«Что-то все слишком просто, – уверен, недоумевает чита-тель, – а тепловое движение молекул?» Попробуем разоб-раться. Напомним, что тепловое движение хаотично, моле-кулы движутся во все стороны, у теплового движения нет

выделенного направления. Средняя энергия теплового дви-жения молекул равна

2т

2Mv

= Б32

k T ,

где тv – скорость теплового движения, Т – температура (вградусах Кельвина), Бk – постоянная Больцмана. Нетруд-но посчитать, что для воды при обычных условиях (Т == 300 К) скорость теплового движения составляет

2т 3 10 м сv ≈ ⋅ . Теперь картина прояснилась: молекулы

хаотически быстро двигаются во все стороны, сталкивают-ся друг с другом, обмениваются энергиями и импульсами,и вся эта движущаяся масса медленно (со скоростью, всотни раз меньшей тепловой) движется по трубе. Таким

образом, истинная скорость частицы есть ( ) +r r r

тv r v , носреднее значение тепловой скорости равно нулю. Гидроди-намика способна описать лишь поведение средней скорос-ти. В общем случае средняя скорость зависит не только от

rr

, но и от времени: ( )=r r r

,V V r t .Задумаемся. Формула (3) утверждает: средняя скорость

течения жидкости линейно зависит от приложенной силы.Конечно, именно разность давлений создает силу, под дей-ствием которой жидкость течет с постоянной средней скоро-стью. Согласно механике Ньютона, под действием постоян-ной силы тело движется с ускорением. Отсутствие ускоренияуказывает, что существует компенсируящая сила. Она, этасила, направлена против внешней силы и линейно зависит отскорости. Равенство суммы сил нулю определяет среднююскорость течения. Не будем говорить загадками. Сила,которая компенсирует внешнюю силу, это сила тренияжидкости о стенки трубы. Сила трения тем больше, чембольше вязкость, и поэтому скорость V обратно пропорцио-нальна вязкости.

Все сказанное относится к первой из двух формул, опре-деливших название статьи. Обратимся теперь ко второйформуле – к закону Ома. В отличие от закона Пуазейля, егоможно сформулировать так, чтобы равенство не содержалоразмеров проводника. Правда, только в том случае, еслипроводник достаточно больших (макроскопических) разме-ров. (Для модных ныне наноструктур такой подход непри-меним.)

Способность вещества проводить электрический ток опи-сывается удельной электропроводностью σ , с помощьюкоторой можно записать закон Ома в форме, не зависящейот конкретной формы и размеров образца. Если ( )j j r=

r r r –

плотность электрического тока в точке rr

, а ( )E rur r

– напря-женность электрического поля в той же точке, то между нимиесть линейная связь. Ее именуют законом Ома в локальной(дифференциальной) форме:

( ) ( )j r E r= σr urr r

, (4)

где и плотность тока, и напряженность поля – векторныевеличины. В анизотропном проводнике, в кристалле, связьмежду j

r

и Eur

сложнее, но мы не будем на этом останавли-ваться. Отметим только, что характер этой анизотропнойзависимости может быть установлен на основании свойствсимметрии кристалла, для этого нет нужды знать природупроводимости. Характер анизотропии – следствие законовмакроскопической физики. Другой важный вывод, не требу-ющий уточнения природы проводимости, таков: в равновес-ных условиях σ > 0. Величина, обратная удельной проводи-мости, это удельное сопротивление: 1ρ = σ . Закон Ома и

39-53.p65 05.02.10, 17:4642

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 43

уравнения электродинамики сплошных сред – науки обэлектрических и магнитных свойствах макротел – позволяютрассчитать распределение тока и электромагнитных полейпо проводнику. Самые разнообразные задачи электротехни-ки и радиофизики решены таким путем и имеют огромноепрактическое значение.

Знание того, что в металлах и полупроводниках электри-ческий ток осуществляется переносом зарядов электронами,позволяет записать плотность тока следующим образом:

e ej en V=r uur

, где е – заряд электрона, en – число электронов

в единице объема, а eVuur

– средняя скорость движения

электронов под действием электрического поля Eur

. Тогдаполучаем

2ee

V eEe n

σ=

uur ur

. (5)

Мы домножили и разделили на заряд электрона е, чтобывыделить силу F

ur

, действующую на электрон: F eE=ur ur

.Линейная зависимость средней скорости движения электро-нов от силы (скорости, а не ускорения!) показывает, что естьсила, компенсирующая силу F

ur

. Это – сила трения электро-нов обо все, что мешает их движению по проводнику (см.ниже).

Среднюю скорость движения частиц (в данном случаеэлектронов) удобно характеризовать подвижностью – сред-ней скоростью частиц, обусловленной единичной силой.Пусть подвижность электронов есть eU . Тогда, согласноформуле (5),

2ee

Ue n

σ= . (6)

Значения удельной электропроводности σ , а точнее удель-ного сопротивления 1ρ = σ , можно найти во многих спра-вочниках. В лучших из них не только указано значение приопределенной температуре, но задается и температурнаязависимость ( )ρ T . Проводимость существенно зависит оттемпературы. Но нас, скорее, будет интересовать не столькотемпературная зависимость, сколько полученная в электрон-ной теории металлов зависимость удельной проводимости σот параметров, описывающих электроны проводимости –тех, кто осуществляет перенос заряда, когда по проводникутечет ток.

Простейшая модель электронной проводимости – это мо-дель Друде–Лоренца–Зоммерфельда, согласно которой пе-ренос заряда в металле осуществляют свободные электроны.Откуда они взялись в металлах? При конденсации атомов вжидкость или кристалл более половины атомов, имеющихсяв таблице Менделеева, ионизуются: электроны, слабо свя-занные с ядром, вовсе теряют с ним связь и перемещаютсясвободно по кристаллу. Почему движение в периодическомполе ионов похоже на движение в свободном пространстве,объяснила квантовая механика. Мы не будем на этом оста-навливаться, а просто примем модель Друде–Лоренца: вметалле есть газ свободных электронов. Я не забыл Зом-мерфельда, а не упомянул его сознательно, так как наличиегаза свободных электронов в металлах предположили Друдеи Лоренц (о полупроводниках тогда не знали). Зоммерфельдже понял, что электронный газ надо описывать квантовы-ми формулами.

Будем последовательны. В любом металле есть газ свобод-ных электронов. На каждую частицу действует сила eE

ur

,обязанная разности потенциалов на концах проводника.Если бы это была единственная сила, действующая на

электроны, то они бы ускорялись. Этого не происходит.Электроны, сталкиваясь с любыми нарушениями, которыевсегда есть в кристалле, теряют приобретенный от электри-ческого поля импульс и тормозятся. Даже в идеальномкристалле, в котором нет ни примесей, ни дефектов вструктуре кристаллической решетки, т.е. нарушений в стро-го периодическом расположении атомов или ионов, приотличной от нуля температуре происходит рассеяние. При-чиной торможения электронов служит тепловое движениеатомов, их колебания вокруг строго фиксированных цент-ров. Только и именно благодаря столкновениям электроныпо проводнику движутся с трением. А вот столкновенияэлектронов друг с другом не приводят к торможению: примежэлектронных столкновениях импульс коллектива элект-ронов перераспределяется между электронами, не диссипи-рует, не исчезает безвозвратно и поток электронов не тормо-зится.

Итак, в результате столкновений с центрами рассеяния вобъеме проводника возникает сила трения. В согласии сзаконом Ома, сила трения пропорциональна средней скоро-сти газа электронов и направлена против этой скорости.Теперь мы можем записать уравнение движения электронов,т.е. уравнение второго закона Ньютона:

трedV

m eE Fdt

= +uur

ur ur

, (7)

где m – масса электрона, а ( )тр eF m V= − τur uur

– сила трения.Почему коэффициент пропорциональности между силойтрения и скоростью написан в таком виде, сейчас будет ясно.В отсутствие электрического поля, когда Е = 0, средняяскорость электронов обратится в ноль, даже если в моментвыключения поля она не была равна нулю. Происходить этотпроцесс будет по экспоненциальному закону

( ) 0 expet

V t V = − τ ,

где 0V – начальная скорость, а τ – время затуханиянаправленного движения электронов. Если при каждомстолкновении электрон заметно изменяет свой импульс, топо порядку величины τ – это среднее время свободногопробега электрона, или среднее время между двумя столкно-вениями. Умножив время τ на среднюю скорость теплового(хаотического) движения электронов, мы получим длинусвободного пробега электронов l (среднюю, естественно).Чтобы закон Ома мог быть записан в виде формулы (4) спроводимостью, не зависящей от радиуса проволоки R,должно выполняться сильное условие: R l≫ . (В нанострук-турах обычно l > R.)

Зная выражение для силы трения, из условия тр 0eE F+ =ur ur

нетрудно найти не зависящую от времени среднюю скорость

eV и вычислить коэффициент электропроводности σ :2

ee n

m

τσ = . (8)

Может показаться странным: зачем один коэффициент σвыражать через два других en и τ (заряд электрона и егомасса известны)? Дело в том, что оба параметра en и τ могутбыть независимо измерены, а тем самым формула (8), однаиз важнейших формул электронной теории металлов, можетбыть проверена. Кроме того, en и τ имеют простой физичес-кий смысл, так что формула (8) объясняет закон Ома. Онасправедлива не только для металлов, но и для полупровод-ников, хотя значения en и τ у полупроводников заметно

39-53.p65 05.02.10, 17:4643

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 144

отличаются от соответствующих значений в металлах. Под-ставляя выражение (8) в формулу (6) для подвижностиэлектронов, получим

eUm

τ= . (9)

А теперь попытаемся определить подвижность частиц припуазейлевом течении жидкости. Это чуть более сложнаязадача. Впрочем, вывод формулы для подвижности читательможет опустить и сразу включиться в обсуждение получен-ного результата.

Частицы жидкости теряют импульс только при столкновениисо стенкой трубы. Их столкновения между собой, казалось бы,можно не учитывать по тем же причинам, что и межэлектронныестолкновения. Однако это не так. Как мы знаем, при столкно-вениях происходит перераспределение импульса между части-цами. При стационарном ламинарном пуазейлевом течении всоседних слоях жидкости скорости течения несколько отлича-ются: чем дальше от центра трубы, тем скорость меньше. Силавязкого трения пропорциональна не скорости, как при столкно-вении электронов с препятствиями, а второй производной сред-ней скорости по координате.

Действительно, на каждый слой жидкости действует силатрения (2) с двух сторон. Если бы производная dv dx былапостоянна, то эти силы были бы равны друг другу и полная силаравнялась бы нулю. Ненулевая результирующая сила возникаеттолько в том случае, если dv dx зависит от х, т.е. если втораяпроизводная отлична от нуля.

Уравнение движения вязкой жидкости выглядит так:

2

2

1v p v

t z x

∂ ∂ η ∂= − +

∂ ρ ∂ ρ ∂. (10)

Напомним, что v t∂ ∂ и т.д. – так называемые частные производ-ные. Если функция зависит от нескольких переменных, напри-мер от t, x, y, z, то v t∂ ∂ обозначает производную по времениt при постоянных x, y, z и т.д.

Для простоты мы рассмотрим движение жидкости не поцилиндрической трубе, а между двумя бесконечными парал-лельными плоскостями, расстояние между которыми равно 2d.Расход Q будем определять через квадрат со стороной 2d. Пустьжидкость течет вдоль оси z, так что ( ),v v x t= – это составля-ющая вектора скорости по оси z, а производная ∂ ∂p z , равная−∆p L , есть постоянная величина. Плотность ρ запишем в виде

lMnρ = , где М – масса молекулы жидкости, а ln – числомолекул в единице объема. (Здесь и далее «l» от английскогоliquid – жидкость.) Теперь уравнение (10) примет вид

∂ ∆ η ∂= +

∂ ∂

2

2

1

l l

v p vM

t n L n x.

Очевидно, что на каждую частицу жидкости действуют двесилы: внешняя сила (первое слагаемое в правой части уравне-ния) и сила вязкого трения (второе слагаемое). Равенствомеханической силы силе трения в каждой точке между плоско-стями (–d < x < d) позволяет определить скорость ( )v v x=стационарного ( 0v t∂ ∂ = ) течения. Итак,

2

2

p d v

L dx

∆− = η . (11)

На стенках «трубы» (при x = –d и x = d) скорость равна нулю.Легко проверить, что решением уравнения (11) служит простаяфункция

( ) ( )2 2

2p

v x d xL

∆= −

η. (12)

Отсюда нетрудно найти среднюю скорость:

∆=

η

213

p dV

L (13)

и расход, равный в нашем случае ( )22d Vρ :

443

p dQ

L

∆=

ν. (14)

Разделив среднюю скорость V на величину внешней силы

1

l

p M p

n L L

∆ ∆=

ρ, найдем подвижность lU частицы жидкости.

Получается, что подвижность пуазейлевой частицыжидкости равна

21 13

ll

dU

M M

τ= ≈

ν (где

2

ld

τ =ν

). (15)

Благодаря выбранным обозначениям, формула (15) похожана формулу (9). В обоих случаях в знаменателе стоит массаотдельной частицы, коллектив которых ответствен за описы-ваемое явление. В первом случае – за электропроводность,во втором случае – за вязкость. То, что подвижность обратнопропорциональна массе частицы, вполне естественно: чемчастица тяжелее, тем медленнее она движется. Параметры τи lτ , имеющие размерность времени, определяются характе-ром диссипативных процессов. Их природа совсем различ-ная.

Параметр τ есть время свободного пробега электронаметалла или полупроводника. За это время в среднем каж-дый электрон с чем-то столкнется, в результате чего потеряетприобретаемый от электрического поля импульс. Так уста-навливается стационарное состояние: средняя скорость элек-тронов не возрастает и не убывает.

Теперь поговорим о параметре lτ . Вернемся к движениюжидкости по трубе. Мы уже знаем, что вдали от стенок трубычастицы не могут потерять приобретенный от внешней силыимпульс, для этого они должны столкнуться со стенкой. Нодо стенки надо добраться. Не будь столкновений, вся жид-кость, все ее частицы двигались бы с ускорением поддействием внешней силы. Столкновения перемешивают час-тицы, они переходят из слоя в слой. Причина столкновений– тепловое движение молекул жидкости. Как правило,скорость теплового движения молекул значительно больше,чем скорость упорядоченного движения. Тепловое движениехаотично. Поэтому хаотичны и столкновения. В направле-нии от центра трубы к стенке никакая внешняя сила недействует. Частицы из слоев, далеких от стенок, попадают настенку в результате многих столкновений после относитель-но длительного случайного блуждания. Так вот, время lτесть время, которое частица в среднем тратит на то, чтобы врезультате случайного блуждания из центра трубы добрать-ся до стенки. Неудивительно, что lτ тем больше, чембольший путь надо преодолеть частице.

Итак, сравнивая разные явления, иногда обнаруживаешьнеожиданное сходство, иногда – существенное различие, новсегда или по меньшей мере часто нечто проясняется. Тешусебя мыслью, что сравнение пуазейлевого течения жидкостипо трубе и похождения электрического тока по проводникубыло небесполезно.

39-53.p65 05.02.10, 17:4644

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

Описанныечетырехугольники

и ломаныеН.БЕЛУХОВ, П.КОЖЕВНИКОВ

ВЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ ВЫЯВИМ СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕКОТО-рыми задачами о касательных к окружностям и задачами

об описанных четырехугольниках. В решениях будем пользо-ваться классическим критерием:

( ∗ ) выпуклый четырехугольник ABCD является описан-ным тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + DA.Также сформулируем теоремы, обобщающие критерий ирассматриваемые задачи.

Серия задач

Начнем с такой задачи.Задача 1 (M2007). Выпуклый четырехугольник ABCD

описан около окружности c центром I. На отрезках AI и ICвыбраны точки M и N соответственно так, что

1MBN ABC

2∠ = ∠ . Докажите, что

1MDN ADC

2∠ = ∠ .

Вероятно, проще всего решить эту задачу с использовани-ем тригонометрии. Однако, сделав дополнительные постро-ения, мы переформулируем задачу и затем решим ее геомет-рически.

Заметим, что равенство 12

MBN ABC∠ = ∠ равносильно

равенству MBN MBA NBC∠ = ∠ + ∠ (рис.1). Впишем в угол

BAD окружность aω с центром в M, а в угол BCD –

окружность cω с центром в N (ясно, что окружности aω и

cω лежат внутри четырехугольника ABCD). Через точку Bпроведем лучи BP и BP′, являющиеся вторыми касательны-ми к окружностям aω и cω . Так как MBP MBA∠ = ∠ и

NBP NBC′∠ = ∠ , то равенство 12

MBN ABC∠ = ∠ эквива-

лентно равенству MBN MBP NBP′∠ = ∠ + ∠ , т.е. совпаде-

нию BP и BP′ . Итак, равенство 12

MBN ABC∠ = ∠ означает,

что B лежит на одной из общих (внутренних) касательных

к окружностям aω и cω . Точно так же равенство MDN∠ =12

ADC= ∠ означает, что точка D лежит на общей касатель-

ной к окружностям aω и cω . Тем самым, мы приходим к

следующей интересной переформулировке задачи 1.Задача 2. Внутри описанного четырехугольника ABCD

расположены окружности aω и cω , вписанные в углы BADи BCD. Известно, что B лежит на одной из общихвнутренних касательных к окружностям aω и cω . Дока-жите, что D также лежит на общей внутренней касатель-ной к aω и cω (другой, если касательных две).

Решение. Пусть P – такая точка, лежащая на одном изотрезков AD и DC, что BP – общая внутренняя касательнаяокружностей aω и cω . Считаем, что прямая BP отлична отпрямой BD (иначе см. упражнение 1), и пусть для опреде-ленности P лежит на отрезке DC (рис.2). Проведем каса-тельную DQ к окружности cω (Q – точка на стороне BC).

Пусть R – точка пересечения прямых BP и DQ, а прямые BP,DQ, BC и DC касаются окружности cω в точках X, Y, Z, Tсоответственно.

Так как четырехугольник ABCD описанный, то

BA + DC = BC + DA, или BA – DA = BC – DC.

Используя равенство отрезков касательных, проведенных изодной точки, имеем

BR – DR = BX – DY = BZ – DT = BC – DC.

Из равенств BA – DA = BC – DC и BR – DR = BC – DCследует

BR – DR = BA – DA, или BR + DA = BA + DR.

Значит, четырехугольник ABRD описанный, следовательно,DQ – общая касательная к aω и cω .

Упражнение 1. Докажите, что в описанном четырехугольникеABCD окружности, вписанные в треугольники BAD и BCD,касаются. (Иначе говоря, если в условии задачи 2 прямая BD –общая касательная к окружностям aω и cω , то aω и cωкасаются друг друга.) Сформулируйте и докажите обратноеутверждение.

Из решения видно, что утверждение задачи 2 останется всиле, если четырехугольник ABCD удовлетворяет равенствуAB + CD = BC + DA и невыпуклый (т.е. один из плоскихуглов ABC, ADC больше 180° ), либо «вырожденный»(скажем, треугольник ABC с точкой D на стороне AC).

Упражнение 2. Докажите, что в треугольнике ABC точка Dна стороне AC, для которой выполнено равенство AB + CD == BC + DA, – это точка касания вписанной окружности состороной AC.

Рис. 1

Рис. 2

39-53.p65 05.02.10, 17:4745

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 146

Применяя утверждение задачи 2 в случае «вырожденного»четырехугольника, можно получить решение следующихдвух задач.

Задача 3 (Всероссийская олимпиада, 2009 г.). Окруж-ность с центром I касается сторон AB, BC, AC неравнобед-ренного треугольника ABC в точках 1C , 1A , 1B соответ-ственно. Окружности bω и cω вписаны в четырехугольни-

ки 1 1BA IC и 1 1CA IB со-ответственно. Дока-жите, что общая внут-ренняя касательная к

bω и cω , отличная от

1IA , проходит черезточку A.

Решение. По условиюпрямая 1IA – общаявнутренняя касательнаяк bω и cω (рис. 3). Так

как 1 1AB AC AC A B+ = + (см. упражнение 2), то можноприменить результат задачи 2 для «вырожденного» четы-рехугольника 1A BAC . Получаем, что вторая общая каса-тельная окружностей bω и cω проходит через вершину A.

Задача 4 (Устная олимпиада по геометрии, 2009 г.).Фиксированы две непересекающиеся окружности 1ω и 2ω ,одна их внешняя касательная l и одна их внутренняякасательная m. На прямой m выбирается точка X, а напрямой l строятся точки Y и Z так, что прямые XY и XZ

касаются 1ω и 2ω соот-ветственно, а треуголь-ник XYZ содержит ок-ружности 1ω и 2ω . До-кажите, что центры ок-ружностей, вписанных вовсевозможные треуголь-ники XYZ, лежат на од-ной прямой.

Решение. По условиюпрямая m – общая внут-ренняя касательная к 1ω

и 2ω , проходящая через X. Пусть T – точка касанияокружности, вписанной в треугольник XYZ, со сторонойYZ (рис. 4). Применив результат задачи 2 для «вырожден-ного» четырехугольника TYXZ, получаем, что вторая об-щая внутренняя касательная окружностей 1ω и 2ω прохо-дит через T. Значит, точка T фиксированная, и центрыокружностей, вписанных во всевозможные треугольникиXYZ, лежат на прямой, перпендикулярной l и проходящейчерез точку T.

Окружности, вписанные в ломаные:условия существования

При решении задачи 2 фактически доказано следующееутверждение: если внутри невыпуклого четырехугольникаBCDR существует окружность, касающаяся прямых BC,CD, DR и RB, то BR + DC = BC + DR. Оказывается, вернои обратное. Это видоизменение критерия ( ∗ ), известны идругие его вариации. Чтобы сформулировать их в виде однойтеоремы, примем следующие соглашения. Будем коротконазывать 4-ломаной (AC|BD) четверку отрезков AB, BC,CD, DA такую, что точки A, B, C, D различны и не лежатна одной прямой. (Так, (AC|BD), (CA|BD), (DB|CA) и т.д.– это разные обозначения одной и той же 4-ломаной.)Назовем 4-ломаную (AC|BD) вырожденной, если какие-то

три из точек A, B, C, D лежат на одной прямой. Скажем, что4-ломаная (AC|BD) центральная, если ABCD – параллелог-рамм. Назовем невырожденную 4-ломаную (AC|BD) описан-ной, если существует окружность ω , которой касаютсяпрямые AB, BC, CD и DA. В случае вырожденной 4-ломаной(AC|BD) (пусть, скажем, A, B и C лежат на одной прямой),потребуем дополнительно, чтобы касание прямой AB с ωпроисходило в точке B. Окружность ω будем называтьвписанной в 4-ломаную (хотя это не всегда соответствуетпривычному понятию окружности, вписанной в многоуголь-ник (см. примеры ниже)).

Оказывается, критерий существования окружности, впи-санной в нецентральную 4-ломаную, можно сформулироватьтак:

( ∗∗ ) нецентральная 4-ломаная (AC|BD) является опи-санной тогда и только тогда, когда четыре отрезка AB,BC, CD, AD можно разбить на две пары отрезков сравными суммами длин.

Доказывать критерий мы не будем, но идею доказатель-ства обсудим ниже в конце этого раздела.

Теперь выделим три способа вписать окружность в 4-ло-маную (AC|BD).

Для начала заметим, что если окружность касается (несовпадающих) прямых XY и YZ, то ее центр лежит наодной из двух прямых: на внутренней или на внешнейбиссектрисе угла XYZ. Чтобы было удобнее работать свырожденными 4-ломаными, также будем говорить о бис-сектрисах нулевого и развернутого угла в следующем смыс-ле. Пусть точки X, Y, Z лежат на одной прямой, причем Yлежит между X и Z. Если окружность касается прямой XYв точке X (Y), то ее центр лежит на перпендикуляре xl( yl ) к прямой XY, проведенном через X (Y). Поэтомуможно считать прямую xl внешней биссектрисой нулевогоугла YXZ, а прямую yl – внутренней биссектрисой раз-вернутого угла XYZ.

Скажем, что окружность ω вписана в 4-ломаную (AC|BD):внутренним образом, если ее центр лежит на пересечении

внутренних биссектрис углов ABC, BCD, CDA, DAB;(AC)-внешним образом, если ее центр лежит на пересече-

нии внутренних биссектрис углов ABC, CDA и внешнихбиссектрис углов BCD, DAB;

(BD)-внешним образом, если ее центр лежит на пересече-нии внешних биссектрис углов ABC, CDA и внутреннихбиссектрис углов BCD, DAB.

Например, на рисунке 2 окружность cω вписана в 4-ло-маную (BD|CR) внутренним образом. Другой пример: есливневписанная окружность aω треугольника ABC касаетсястороны BC в точке A′ , то окружность aω вписана в(вырожденную) 4-ломаную ( AA BC′ ) (BC)-внешним об-разом.

Упражнения3. Покажите, что если ω вписана в 4-ломаную (AC|BD), то

она вписана одним из трех указанных выше способов. (На-пример, центр ω не может лежать одновременно на внутрен-ней биссектрисе угла ABC и на внешней биссектрисе углаCDA.)

4. Пусть окружность ω вписана в 4-ломаную (AC|BD).Покажите, что она вписана внутренним образом тогда и толькотогда, когда замкнутая ломаная ABCDA несамопересекающаясяи ω лежит внутри четырехугольника (возможно, невыпуклого)ABCD.

Справедливо следующее усиление критерия ( ∗∗ ).Теорема 1. 4-ломаная (AC|BD) является описанной

Рис. 3

Рис. 4

39-53.p65 05.02.10, 17:4746

47М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

i) внутренним образом тогда и только тогда, когда

AB + CD = BC + DA; (1)

ii) (AC)-внешним образом тогда и только тогда, когдаона не центральная и

AB + DA = BC + CD; (2)

iii) (BD)-внешним образом тогда и только тогда, когдаона не центральная и

AB + BC = CD + DA. (3)

Подробного доказательства этой теоремы мы здесь неприводим, ограничиваясь следующими замечаниями. Изтого, что 4-ломаная описанная, нетрудно получить одно изсоотношений (1), (2), (3), используя равенства отрезковкасательных (аналогично тому, как это было проделано врешении задачи 2). Доказать же то, что ломаная описана,исходя из соотношений, труднее. Это можно сделать анало-гично доказательству критерия ( ∗ ), рассмотрев разныеслучаи расположения 4-ломаной. Идея геометрического до-казательства, основанного на свойствах коник, описана впоследней части этой статьи.

Упражнение 5. Докажите, что:а) существует не более двух окружностей, вписанных в

4-ломаную;б) в 4-ломаную можно вписать две окружности тогда и только

тогда, когда она не центральная и имеет ось симметрии.

Теорема транзитивности

Теперь схему решения задачи 2 можно описать так: проис-ходит перенос (или транзит) условия существования впи-санной окружности с двух 4-ломаных (BD|AC) и (BD|CR) натретью 4-ломаную (BD|RA). Та же схема работает и в такойболее общей ситуации.

Теорема 2 (теорема транзитивности). Пусть даны 4-ло-маные (AB|XY), (AB|YZ) и (AB|ZX). Тогда

i) если для двух из них существуют окружности, вписан-ные внутренним образом, то и для третьей – тоже;

ii) если для (AB|XY) и (AB|YZ) существуют окружнос-ти, вписанные соответственно (XY)-внешним и (YZ)-внешним образом, и 4-ломаная (AB|ZX) не центральная, тодля нее существует окружность, вписанная (ZX)-внешнимобразом;

iii) если для (AB|XY) и (AB|YZ) существуют окружно-сти, вписанные (AB)-внешним образом, то для (AB|ZX)существует окружность, вписанная внутренним обра-зом;

iii’) если для (AB|XY) существует окружность, вписан-ная (AB)-внешним образом, для (AB|ZX) существует ок-ружность, вписанная внутренним образом, и 4-ломаная(AB|YZ) не центральная, то для нее существует окруж-ность, вписанная (AB)-внешним образом.

Доказательство. Докажем, например, утверждение (ii).Если в ломаные (AB|XY) и (AB|YZ) можно вписать

окружности соответственно (XY)-внешним и (YZ)-внешнимобразом, то по теореме 1 имеем

AX + BX = AY + BY, AY + BY = AZ + BZ.Отсюда

AX + BX = AZ + BZ,

и получаем (снова по теореме 1), что в ломаную (AB|ZX)можно вписать окружность (ZX)-внешним образом.

Упражнение 6. Докажите другие утверждения теоремы 2.

Следующая задача, как и предыдущие, оказывается след-ствием теоремы 2.

Задача 5 (M1025). Две прямые, проходящие через точкипересечения пар противоположных сторон выпуклого че-тырехугольника, делят его на четыре меньших четыреху-гольника. Докажите, что если два меньших четырехуголь-ника, не имеющих общей стороны, описанные, то и исход-ный четырехугольник описанный.

Решение. Возможны два случая расположения четырех-угольников, про которые известно, что они описанные (рис.5и 6).

В первом случае 4-ломаные (PQ|BR) и (PQ|RD) являютсяописанными соответственно (BR)-внешним и (RD)-внешнимобразом, значит, по теореме 2, 4-ломаная (PQ|DB) являетсяописанной (DB)-внешним образом, т.е. четырехугольникABCD описанный.

Во втором случае 4-ломаные (PQ|AR) и (PQ|RC) являют-ся описанными внутренним образом, следовательно, 4-лома-ная (PQ|CA) также является описанной внутренним обра-зом, откуда следует требуемое.

Упражнения7. а) Сформулируйте и докажите аналоги утверждений задачи

4 в том случае, когда треугольник XYZ не обязательно содержитокружности.

б) Сформулируйте аналогичную задачу для точки X навнешней касательной и точек Y и Z на внутренней.

8. Сформулируйте и докажите еще одну теорему транзитивно-сти про три 4-ломаные (AB|CD), (AC|BD) и (AD|BC). Вчастности, получите решение такой задачи:

На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты соответ-ственно точки A¢ , B¢ , C¢ так, что отрезки AA¢ , BB¢ , CC¢

пересекаются в одной точке D. Докажите, что если два изчетырехугольников AB DC¢ ¢ , BC DA¢ ¢ , CA DB¢ ¢ описанные, тотретий также является описанным.

Описанные ломаные с вершиной...на бесконечности

Если вершина D 4-ломаной (AC|BD) расположена далекоот остальных, то лучи AD и CD «почти сонаправленные». Ачто если в самом деле сделать их сонаправленными?

Итак, давайте называть 4∞ -ломаной ( BD AC∞ ) объеди-нение отрезков AB, BC и сонаправленных, но не лежащих наодной прямой, лучей AD′ и CD′′ (точки A, B, C предпола-гаются различными;рис.7). Окружность, впи-санная в 4∞ -ломаную( BD AC∞ ), должна од-новременно касаться пря-мых AB и BC и бытьвписанной в полосу меж-ду параллельными пря-

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7

39-53.p65 05.02.10, 17:4747

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 148

мыми AD′ и CD′′ . Как и раньше, принимаем дополнитель-ное соглашение для вырожденных 4∞ -ломаных: например,если прямые AD′ и AB совпадают, то вписанная окружностьдолжна касаться прямой AB в точке A.

Можно выделить два способа вписать окружность в 4∞ -ло-маную ( AC BD∞ ): внутренним и (AC)-внешним образом(или просто внешним образом). Придадим смысл выраже-нию AD CD∞ ∞− и сформулируем теорему, аналогичнуютеореме 1. Положим AD CD c∞ ∞− = , если на лучах AD′ иCD′′ нашлись соответственно точки Z′ и Z′′ такие, чтоZ Z AD′ ′′ ′⊥ и AZ CZ c′ ′′− = .

Упражнение 9. а) Покажите, что разность AD CD∞ ∞− опре-делена корректно, т.е. не зависит от выбора на лучах точек Z′и Z′′ с условием Z Z AD′ ′′ ′⊥ .

б) Для трех сонаправленных лучей AD′ , CD′′ и ED′′′докажите равенство ( ) ( )AD CD CD ED AD ED∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞− + − = − .

Теорема ′1 . 4∞ -ломаная ( BD AC∞ ) является описаннойтогда и только тогда, когда выполнено одно из двухравенств

AD CD AB CB∞ ∞− = − , (1′ )

AD CD CB AB∞ ∞− = − , ( 2′ )

причем в первом случае существует окружность, вписан-ная внутренним образом, а во втором случае – внешнимобразом.

Попробуйте доказать эту теорему самостоятельно. В концестатьи будет предложена идея доказательства, использую-щего коники.

Упражнение 10. Определите ломаную с двумя вершинами «набесконечности». Как для нее будет звучать аналог теоремы 1′ ?

Теорема ′2 . Пусть даны 4∞ -ломаные ( AB XY∞ ),( AB YZ∞ ) и ( AB ZX∞ ). Тогда

i) если для двух из них существуют окружности, вписан-ные внутренним образом, то и для третьей – тоже;

ii) если для двух из них существуют окружности,вписанные внешним образом, то и для третьей – тоже.

Доказательство. i) Пусть, скажем, в 4∞ -ломаные( AB XY∞ ), ( AB YZ∞ ) можно вписать окружности внут-ренним образом. Тогда по теореме 1′ имеем

XB YB XA YA∞ ∞− = − , YB ZB YA ZA∞ ∞− = − .

Сложив эти равенства, получаем (с учетом результата уп-ражнения 9,б) XB ZB XA ZA∞ ∞− = − , значит (снова потеореме 1′ ), для 4∞ -ломаной ( AB ZX∞ ) существует окруж-ность, вписанная внутренним образом.

Случай (ii) разбирается аналогично.К ситуации, описанной в теореме 2′ , можно свести следу-

ющую задачу.Задача 6 (M1293) В угол с вершиной O вписаны две

непересекающиеся окружности. Треугольник ABC располо-жен между ними так, что его вершины лежат на сторонахугла, а равные стороны AB и AC касаются соответствую-щих окружностей. Докажите, что сумма радиусов окружно-стей равна высоте треугольника, опущенной из вершины A.

Решение. Пусть, для определенности, точка B лежитмежду точками O и C, и 1ω , 2ω – окружности, соответствен-но, вписанная в треугольник OAB и вневписанная длятреугольника OAC (рис.8). Отразив треугольник AOB сим-метрично относительно точки A, получим треугольник AO B′ ′с вписанной окружностью 1′ω , равной 1ω . Так какAB AC AB′= = , то B C BC′ ⊥ . Проведем вторую касатель-

ную, параллельную B O′ ′ , к окружности 1′ω , пусть онапересекает AO′ в точке X. Пусть XD′′ и B D′ ′′′ – лучи,сонаправленные с лучом OC OD′= . Рассмотрим три 4∞ -ломаные ( AD CB∞ ′ ), ( AD B X∞ ′ ) и ( AD XC∞ ). Первая изних симметрична относительно биссектрисы угла CAB′ ,поэтому для нее существует окружность, вписанная внутрен-ним образом. По построению, 1′ω – окружность, вписаннаяв ( AD B X∞ ′ ). Значит, по теореме 2′ , для 4∞ -ломаной

( AD XC∞ ) существует окружность, вписанная внутреннимобразом. Но эта окружность должна совпадать с 2ω . Полу-чаем, что 2ω также касается прямой XD′′ , поэтому суммадиаметров окружностей 2ω и 1′ω равна расстоянию междупрямыми OB и O B′ ′ , т.е. удвоенной высоте треугольникаABC.

Упражнение 11. Сформулируйте и докажите теорему 2 вслучае, когда одна из точек X, Y, Z бесконечно удаленная.

Как мы видели, задачи 1 – 6 (и многие другие) с такимиразными геометрическими сюжетами – близкие родствен-ники: их предком можно считать теорему транзитивности.

Описанные ломаные и... коники

В заключение отметим связь между описанными ломаны-ми и кониками – эллипсом, гиперболой и параболой.

Пусть на плоскости даны точки 1F и 2F на расстоянии

1 2FF l= и прямая d, не проходящая через 1F . Как известно(см., например, [2]), множеством точек M таких, что:

1 2FM F M c+ = , где c > l – фиксированное число, являетсяэллипс с фокусами 1F и 2F ;

1 2FM F M c− = , где ( );c l lŒ - , является при 0c ≠ ветвьгиперболы, а при c = 0 – серединный перпендикуляр котрезку 1 2FF ;

1FM равно расстоянию от M до прямой d, являетсяпарабола с фокусом 1F и осью, перпендикулярной d.

Эллипс (гипербола) однозначно определяется фокусами иточкой на нем (ней). Параболу можно однозначно восстано-вить по точке на ней, фокусу и направлению оси (здесь поднаправлением оси мы понимаем луч, параллельный осисимметрии параболы и не пересекающий параболу).

Теперь посмотрим, что означают равенства из условийтеорем 1 и 1′ (возможные случаи приведены на рисунке 9).

Равенство (1) эквивалентно тому, что точки B и D лежатна одной ветви гиперболы с фокусами A и C (или насерединном перпендикуляре к AC), а также аналогичномуусловию с заменой пары A, C на пару B, D;

(2) для нецентральной 4-ломаной означает, что точки A иC лежат на одном эллипсе с фокусами B и D или что точкиB и D лежат на разных ветвях одной гиперболы с фокусамиA и C;

(3) – аналогично (2) с заменой пары A, C на пару B, D;

Рис. 8

39-53.p65 05.02.10, 17:4748

49М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

(1′ ) (соответственно ( 2′ )) означает, что точки A и C лежатна одной параболе с фокусом B и осью, противоположнонаправленной (для ( 2′ ) – сонаправленной) лучу AD′ .

С помощью этих соображений и свойств коник можнодоказать существование вписанной окружности в теоремах 1и 1′ . Возьмем, например, утверждение (ii) теоремы 1. ТочкиA и C лежат на одном эллипсе с фокусами B и D. По условию,4-ломаная (AC|BD) не центральная, поэтому точки A и C –не диаметрально противоположные точки эллипса. Каса-тельные к эллипсу, проведенные в точках A и C, пересекают-ся в некоторой точке I. Оказывается, что I равноудалена отпрямых AB, BC, CD, DA, т.е. 4-ломаная (AC|BD) описанавокруг окружности с центром I. Действительно, в силуоптического свойства эллипса (см., например, [3]), I лежитна внешних биссектрисах углов BAD и BCD и, кроме того(см. например, задачу 1.4 из книги [1]), прямая BI –биссектриса угла ABC.

Похожие рассуждения можно провести с использованиемгиперболы и параболы – всякий раз центр искомой окруж-ности находится на пересечении соответствующих касатель-ных к конике (см. рис.9).

Ситуацию, происходящую в теоремах транзитивности 2 и2′ , теперь можно трактовать таким образом:

в утверждении (i) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на однойветви гиперболы с фокусами A, B или на серединномперпендикуляре к отрезку AB;

в утверждении (ii) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат на одномэллипсе с фокусами A, B;

в утверждении (iii) теоремы 2 точки X, Y, Z лежат наодной гиперболе с фокусами A, B, причем две из них – наодной ветви, а одна – на другой;

в теореме 2′ точки X, Y, Z лежат на одной параболе сфокусом A и осью, противоположно направленной – в случае(i) или сонаправленной – в случае (ii), с лучом XB′ .

Упражнения

12. Дана 4∞ -ломаная ( AC BD∞ ), в которой AB BC≠ . Дока-жите, что она описана тогда и только тогда, когда AD′параллельна одной из асимптот гиперболы с фокусами A и C,проходящей через B.

13. Докажите, что центр окружности, вписанной в вырожден-ную 4-ломаную или вырожденную 4∞ -ломаную, лежит надиректрисе (определение директрисы см., например, в [2])соответствующей коники.

Список литературы

1. Акопян А.В., Заславский А.А. Геометрические свойствакривых второго порядка. – М.: МЦНМО, 2007.

2. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые (изда-ние 6-е, стереотипное). – M.: МЦНМО, 2006.

3. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. –М.: МЦНМО, 2005.

Рис. 9

39-53.p65 05.02.10, 17:4849

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 150 П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

Динамикадвижения поокружности

А.ЧЕРНОУЦАН

ВЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ РАССМОТРИМ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ НАдинамику движения тел по окружности. Теоретическим

основанием для решения таких задач служит следующеекинематическое утверждение: если материальная точка дви-жется со скоростью v по окружности радиусом R, то проек-ция ускорения точки на ось x, проведенную от точки к центруокружности, равна

= = ω2

2x

va R

R,

где ω = v R – угловая скорость точки в данный моментвремени. Эту проекцию ускорения называют нормальным(перпендикулярным к скорости) или центростремитель-ным ускорением. Если скорость точки постоянна, то вкаждый момент времени вектор ускорения направлен кцентру окружности, т.е. нормальное ускорение равно полно-му ускорению. Такое же выражение для нормального уско-рения оказывается верным для движения материальнойточки по любой криволинейной траектории, только под R вэтом случае подразумевают радиус кривизны траектории,т.е. радиус окружности, наиболее близко примыкающей ктраектории в данной точке.

Чтобы учесть эту информацию при решении задач динами-ки, надо одну из осей, на которые проецируется уравнениевторого закона Ньютона, направить от движущейся точки кцентру окружности (по радиусу). Выбор других осей (еслиони нужны) диктуется удобством решения.

Важное предостережение: силы, стоящие в уравнениивторого закона Ньютона для тела, движущегося по окружно-сти, должны быть такие же, как и в динамике прямолиней-ного движения. Это сила тяжести (или всемирного тяготе-ния), сила упругости, сила нормальной реакции опоры, силанатяжения нити, сила трения покоя или скольжения и т.д.Вводить какие-либо специальные силы, типа центростреми-тельной или центробежной силы, не следует. (Напомним,что центробежной силой называют одну из сил инерции,возникающих при переходе в неинерциальную вращающую-ся систему отсчета. При решении задач в инерциальнойсистеме отсчета это понятие не имеет смысла.)

Задача 1. Какую минимальную скорость должен развитьавтомобиль массой m = 2000 кг, чтобы благополучно про-ехать по выпуклому мосту, имеющему вид дуги окружнос-ти радиусом R = 100 м, если мост выдерживает нагрузкуне более F = 18000 Н?

Решение. Выясним, в какой точке дуги сила давления намост будет самой большой. Для этого вычислим эту силу вточке, направление на которую из центра окружности со-ставляет угол α с вертикалью (рис.1). По третьему закону

Ньютона сила давления F автомо-биля на мост равна силе нормаль-ной реакции N моста на автомо-биль. Направим ось x от автомо-биля к центру окружности и запи-шем второй закон Ньютона в про-екции на эту ось:

α − =2

cos ,mv

mg NR

т.е. = α −2

cosmv

N mgR

. (1)

Сила тяги и сила сопротивления, действующие на автомо-биль в этой точке, перпендикулярны оси x и поэтому невходят в уравнение (и не изображены на рисунке). Видно,что сила давления максимальна при α = 0 , т.е. в верхнейточке моста. При минимально допустимой скорости силадавления достигает критического значения F именно в этойединственной точке. Получаем, что минимально допустимаяскорость равна

= − =

10 м сF

v g Rm

.

Задача 2. Дорога, ведущая через холм, имеет вид наклон-ной плоскости с углом наклона α , плавно переходящей вдугу окружности радиусом R(рис.2). Известно, что на са-мой вершине холма имеетсяопасная выбоина. С какойминимальной скоростью дол-жен ехать автомобиль, что-бы преодолеть холм не кос-нувшись его вершины?

Решение. Первый подход крешению задачи обычно состоит в том, чтобы найти такуюскорость 1v , при которой автомобиль проходит всю дугу,отрываясь от полотна дороги только в одной верхней точкеА. Для этого записывают второй закон Ньютона для верхнейточки в проекции на вертикальную ось АО, проходящуючерез центр окружности:

=21 ,

mvmg

R т.е. =1v gR . (2)

Однако, как хорошо видно из уравнения (1), сила нормаль-ной реакции в верхней точке минимальна. Тогда при скоро-сти 1v , при которой сила N в верхней точке равна нулю, востальных точках дуги (где α ≠ 0 ) сила отрицательна! Этозначит, что автомобиль оторвется от дороги не в верхнейточке, а в точке B – сразу же после того, как переедет снаклонной плоскости на криволинейный участок дороги.

Выясним, при какой минимальной скорости 2v автомо-биль в точке B оторвется от дороги (т.е. N обратится в ноль).Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось BO:

α =22cos ,

mvmg

R т.е. = α2 cosv gR . (3)

Но при этой скорости автомобиль потеряет контакт с дорогойтолько в одной точке B, после чего проедет всю дугу с N >> 0 (N возрастает при приближении к верхней точке).

Следовательно, надо найти такую скорость >3 2v v , прикоторой автомобиль, оторвавшись от дороги в точке B,свободно полетит под углом α к горизонту и приземлится в

Рис. 1

Рис. 2

39-53.p65 05.02.10, 17:4850

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

точке A (см. рис.2) – точнее, чуть правее этой точки, чтобыне попасть в выбоину. Запишем уравнения кинематики:

( )

( ) ( )

α = α

− α = α −

3

2

3

sin cos ,

1 cos sin .2

R v t

gtR v t

После преобразований получим

+ α=

α31 cos2 cos

v gR .

Отметим, что эта скорость больше 1v .Задача 3. Тело брошено под углом к горизонту. Как

меняется радиус кривизны траектории во время полета?Решение. Чем дальше находится тело от верхней точки

траектории, т.е. чем меньше его высота, тем больше радиускривизны. Действительно, скорость тела по мере удаленияот верхней точки возрастает, а нормальное ускорение

= αsinna g ( α – угол между rv и

rg ) уменьшается, следо-

вательно, = 2nR v a увеличивается.

Задача 4. Небольшое тело массой M = 190 г лежит навершине гладкой полусферы радиусом R = 90 см. В телопопадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально, изастревает в нем. При какой минимальной скорости пулитело после этого сразу оторвется от поверхности полу-сферы?

Решение. Для того чтобы составное тело (тело с застряв-шей в нем пулей) сразу и навсегда оторвалось от сферичес-кой поверхности, достаточно, чтобы радиус кривизны еготраектории в верхней точке превышал радиус сферы. Делов том, что при дальнейшем свободном полете тела радиускривизны его траектории возрастает (см. задачу 3), а значит,траектория проходит вне сферической поверхности.

Запишем второй закон Ньютона для составного тела вверхней точке:

( ) ( )+ = +2v

m M g m MR

,

после чего с помощью закона сохранения импульса

( )= +1mv m M v

найдем скорость пули перед ударом:

+= =1

m Mv gR

m60 м/с.

Задача 5. Самолет, летящий со скоростью v = 540 км/ч,наклоняется при повороте на угол α , тангенс которогоравен 0,3. Чему равен радиус поворота?

Решение. На самолет при полете действуют сила тягидвигателей, сила лобового сопротивления, сила тяжести иподъемная сила, направленная перпендикулярно плоскостикрыльев. Из них только подъемная сила может иметь гори-зонтальную составляющую, перпендикулярную плоскости

полета, наличие которой необ-ходимо для поворота в горизон-тальной плоскости. Достигает-ся это наклоном плоскости кры-льев вокруг продольной осисамолета. Если плоскость кры-льев повернется на угол α , тона такой же угол отклонится отвертикали подъемная сила

uur

N(рис.3; вид спереди). Запишемвторой закон Ньютона в проек-

циях на горизонтальную ось x, направленную к центруокружности, и на вертикальную ось y:

α =

α − =

2

sin ,

cos 0.

vN m

RN mg

(4)

Исключая силу N, получим

= =α

2

tg

vR

g 7500 м.

Заметим, что при повороте надо обеспечить некотороеувеличение подъемной силы (от mg до αcosmg ), иначесамолет начнет опускаться. Это достигается специальнымизменением формы крыльев.

Задача 6. С какой максимальной скоростью может про-ходить автомобиль поворот дороги с радиусом закругленияR = 100 м, если коэффициент трения между шинамиавтомобиля и дорогой µ = 0,4?

Решение. Автомобиль благополучно (в управляемом ре-жиме) проходит поворот в том случае, если не возникаетпроскальзывания колес, т.е. действующая на нижнюю точкуколеса сила трения покоя удовлетворяет неравенству

≤ µтрF N . При максимально допустимой скорости (движе-ние на грани проскальзывания) это неравенство превращает-ся в равенство. Если считать, что сила трения покоя –единственная горизонтальная сила, то она должна бытьнаправлена по ускорению, т.е. к центру окружности. Полу-чаем (рис.4,а)

=

− =

2

тр ,

0.

mvF

RN mg

Выразив отсюда трF и N и подставив в условие началапроскальзывания = µтрF N , найдем

= µ =v gR 20 м/с.

Отметим, что если принять во внимание наличие силысопротивления движению, направленной против скорости(эта сила отвечает за медленное торможение автомобиля при

движении по инерции – при выключенном двигателе иотключенных тормозах), то ответ несколько меняется. Дляобеспечения равномерного движения на повороте часть силытрения покоя должна быть направлена вперед, создавая силутяги, равную силе сопротивления движения. Тогда полнаясила трения, равная при максимально допустимой скоростиµmg , вычисляется по теореме Пифагора (рис.4,б):

( )22

2 2c

mvmg F

R

µ = +

.

Если, к примеру, для скорости порядка 20 м/с сила сопро-тивления = µc 0,2F mg (что означает, что при нажатии натормоз ускорение торможения возрастет примерно в 5 раз поРис. 3

51

Рис. 4

39-53.p65 05.02.10, 17:4851

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 152

Рис. 6

Рис. 7

сравнению с движением по инерции), то для максимальнойскорости получим ≈ 19,8v м/с. Видим, что учет даже нестоль уж маленькой силы сопротивления приводит к нич-тожной поправке к максимально допустимой скорости.

Задача 7. Мотоциклист производит поворот на наклон-ном треке. Найдите максимальную и минимальную скоро-сти прохождения поворота, если радиус поворота R = 30 м,коэффициент трения µ = 0,5, а угол наклона трека кгоризонту α = 45°. Поворот надо пройти без проскальзы-вания колес по треку.

Решение. Дорогу (трек) делают наклоненной в сторонуповорота для того, чтобы сила нормальной реакции имелапроекцию в направлении центра окружности. Это позволяетуменьшить боковую силу трения покоя (см. задачу 6) иопасность проскальзывания колес. При некоторой опти-мальной для данного поворота скорости 0v сила трениявообще обращается в ноль. Это значит, что боковое про-скальзывание колес не возникает даже при существенномуменьшении коэффициента трения (например, за счет обле-денения полотна дороги). Уравнения для нахождения 0vимеют вид (рис.5, а)

α =

α − =

20sin ,

cos 0

mvN

RN mg

Отсюда получаем

= α ≈0 tgv gR 17,3 м/с.

При скоростях > 0v v возникает сила трения покоя, на-правленная вдоль склона вниз (рис.5, б), а при достижении

максимально допустимой скорости 1v начинается боковоескольжение колес наружу, вверх по склону. Начало сколь-жения описывается уравнениями

21

тр

тр

тр

sin cos ,

cos sin 0,

,

mvN F

RN F mg

F N

α + α =

α − α − =

= µ

откуда найдем

α + µ α α + µ= =

α − µ α − µ α1sin cos tg

cos sin 1 tgv gR gR = 30 м/с.

При скоростях < 0v v возникает боковая сила тренияпокоя, направленная вверх по склону, а при достиженииминимально допустимой скорости 2v мотоциклист начинаетсоскальзывать вниз по склону. Меняя знаки перед силойтрения в написанных выше уравнениях и решая их, получим

α − µ=

+ µ α2tg

1 tgv gR = 10 м/с.

При α < µtg соскальзывания вниз не происходит прилюбой сколь угодно малой скорости, а при α = 0 задача опроскальзывании наружу переходит в задачу 6. При α > µtg 1проскальзывания наружу не происходит ни при какой скольугодно большой скорости. Если же при фиксированном угле

α устремить к нулю коэффициент трения, то обе скорости

1v и 2v приближаются с двух сторон к оптимальной скоро-сти 0v .

Задача 8. На внутренней поверхности сферы радиусомR находится маленькая шайба. До какой угловой скоростиможно раскрутить сферу вок-руг вертикальной оси, чтобышайба не проскальзывала, на-ходясь на расстоянии h нижеее центра? Коэффициенттрения между шайбой и сфе-рой µ .

Решение. Аналогично пре-дыдущей задаче, надо найтидиапазон угловых скоростейω < ω < ω2 1 , при которых шай-ба не проскальзывает ни вниз,ни вверх. Для начала проскаль-зывания наружу (вверх) уравнения имеют вид (рис. 6)

( )α + α = ω α

α − α − =

= µ

2тр 1

тр

тр

sin cos sin ,

cos sin 0,

,

N F m R

N F mg

F N

где угол α определяется соотношением α =cos h R . Вуравнениях для нахождения минимальной угловой скоростиω2 (начало проскальзывания вниз) надо изменить знакиперед силой трения. Решая уравнения, получим

α + µ ω = α − µ α 1

tgsin 1 tgg

R , α − µ ω = α + µ α

2tg

sin 1 tgg

R .

При µ → 0 обе граничные угловые скорости стремятся коптимальной угловой скорости (при которой сила тренияобращается в ноль)

ω =α0 cos

g

R.

Интересно отметить, что при α → 0 это выражение необращается в ноль, а стремится к значению g R . Применьшей угловой скорости не существует устойчивого поло-жения шайбы на поверхности гладкой вращающейся сферы,кроме нижней точки сферы.

Задача 9. На тонкой нити подвешен шарик массой m.Нить приводят в горизонтальное положение и отпускают.Чему равно натяжение нити в тот момент, когда векторускорения шарика направлен горизонтально?

Решение. В начальный момент вектор ускорения шариканаправлен вертикально вниз, а в нижней точке окружности– вертикально вверх. Следовательно, в каком-то промежу-точном состоянии вертикальная составляющая ускорениядолжна изменить знак, т.е. об-ратиться в ноль. Запишем дляэтого момента второй законНьютона в проекциях на верти-кальную ось y и на ось x, прове-денную от шарика к центру ок-ружности вдоль нити (рис.7), изакон сохранения энергии:

α − =

− α =

α =

2

2

cos 0,

cos ,

cos ,2

T mg

mvT mg

l

mvmgl

Рис. 5

.

39-53.p65 05.02.10, 17:4852

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 53

где l – длина нити. Обратите внимание: ускорение направле-но не к центру окружности, а горизонтально, но его проекцияна радиальное направление (ось x) равна 2v l . Решаяуравнения, получаем

= 3T mg .

Напоследок мы рассмотрим несколько задач, в которыхдвижение по окружности управляется не только механичес-кими, но и электрическими, и магнитными силами.

Задача 10. На рисунке 8 показана схема устройствадля предварительного отбора заряженных частиц для

последующего деталь-ного исследования. Ус-тройство представля-ет собой конденсатор,пластины которогоизогнуты дугой радиу-сом R = 50 см. Предпо-ложим, что в промежу-ток между обкладкамиконденсатора из источ-ника заряженных час-тиц (и.ч.) влетает

электрон, как показано на рисунке. Напряженность элек-трического поля в конденсаторе по модулю равна E == 500 В/м. При каком значении скорости электрон про-летит сквозь конденсатор, не коснувшись его пластин?Считать, что расстояние между обкладками конденса-тора мало, напряженность электрического поля в конден-саторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатораэлектрическое поле отсутствует.

Решение. Несмотря на громоздкость условия, эта задача,предлагавшаяся в последние годы в вариантах ЕГЭ, решает-ся одним уравнением:

=2mv

eER

,

откуда

= ≈ ⋅ 66,7 10eER

vm

м/с.

Однако задачу решали правильно (точнее, вообще приступа-ли к решению) очень немногие абитуриенты.

Задача 11. Четыре заряженные частицы массой m каж-дая с зарядами q, –q, q, –q находятся в вершинах квадра-

та со стороной l. Вся сис-тема вращается вокруг оси,перпендикулярной плоско-сти квадрата и проходящейчерез его центр. Найдитеугловую скорость враще-ния.

Решение. Вычислим рав-нодействующую всех элект-рических сил, действующихна любую частицу, и запи-шем второй закон Ньютона впроекции на ось x, проведен-

ную к центру окружности (рис. 9):

( )

− = ω

2 22

2 2

22

22

q q lk k m

l l,

откуда найдем

ω = −

2

2

22

2q

kml

.

Задача 12. Маленький шарик с зарядом q = 2 мКл,подвешенный на длинной нити в горизонтальном магнит-ном поле с индукцией B = 0,5 Тл, совершает колебания вплоскости, перпендикулярной вектору индукции. Силынатяжения нити при прохождении шариком нижней точкив разных направлениях отличаются на ∆T = 0,01 Н. Насколько крайнее положение шарика выше нижнего?

Решение. Поскольку сила Лоренца не совершает работу,закон сохранения энергии имеет вид

=2

2mv

mgh ,

и скорость шарика в нижней точке в обоих направленияходна и та же. Отличие состоит в том, что при движении в однусторону сила Лоренца направлена вертикально вниз, а вдругую – вертикально вверх. Запишем второй закон Ньюто-на для каждого случая:

− − =

− + =

2

1

2

2

,

.

mvT mg qvB

l

mvT mg qvB

l

Вычитая одно уравнение из другого, получим

∆ = 2T qvB .

Выразив отсюда скорость и подставив в закон сохраненияэнергии, найдем

( )( )∆

=2

28

Th

g qB= 1,25 м.

Упражнения

1. В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внут-ренней поверхности сферы радиусом R = 8,5 м, оставаясь всевремя на h = 5,1 м выше центра сферы. При какой минимальнойскорости это возможно? Коэффициент трения между колесамимотоцикла и поверхностью сферы µ = 0,92.

2. На ракете массой m = 5 т, летящей в глубоком космосе соскоростью v = 6 км/с, для совершения поворота включаютбоковой реактивный двигатель. Скорость газов в реактивнойструе u = 2 км/с, расход топлива µ = 10 кг/с. По окружностикакого радиуса происходит поворот?

3. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной l = 50 см,совершает колебания в вертикальной плоскости. Крайнее поло-жение шарика на h = 20 см выше нижнего. Во сколько размаксимальная сила натяжения нити в процессе движения боль-ше, чем минимальная?

4. Три одинаковые звезды массой m каждая находятся ввершинах равностороннего треугольника со стороной a и враща-ются вокруг оси, перпендикулярной плоскости треугольника.Найдите угловую скорость вращения.

5. Шесть частиц массой m каждая с зарядами q, –q, q, –q, q,–q находятся в вершинах правильного шестиугольника состороной а. Вся система вращается вокруг оси, перпендикуляр-ной плоскости шестиугольника и проходящей через его центр.Найдите угловую скорость вращения.

6. Грузик массой m = 2 г с зарядом q = 4 мКл, подвешенныйна невесомой нити, находится в вертикальном магнитном поле синдукцией B = 3 Тл. Грузик дважды приводят во вращение вгоризонтальной плоскости, причем радиусы вращения в обоихслучаях одинаковы, а направления вращения противоположны.На сколько отличаются угловые скорости этих вращательныхдвижений?

Рис. 8

Рис. 9

39-53.p65 05.02.10, 17:4853

54 К В А Н T $ 2 0 1 0 / 1

XXXI ТУРНИР ГОРОДОВО Л И М П И А Д Ы

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2009 год)

Базовый вариант

8–9 классы

1 (3) 1. См. задачу 7 конкурса «Математика 6–8» в «Кван-те» 5 за 2009 год.

2 (4). Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали10 гирь четной массы и положили на левую чашу весов.Затем выбрали 10 гирь нечетной массы и положили направую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажи-те, что на какой-нибудь чаше есть 2 гири с разностью масс в20 г.

В.Произволов

3 (4). На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя,пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонныеквадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:

1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границекруга;

2) квадраты не перекрываются;3) каждый следующий квадрат касается предыдущего

вершиной к вершине.

Определите, сколько квадратов может выложить Петя, идокажите, что последний и первый квадраты тоже коснутсявершинами.

А.Шаповалов

4 (5). См. задачу М2162 «Задачника «Кванта».

5 (5). См. задачу 6 конкурса «Математика 6–8» в «Кванте»5 за 2009 год.

10 – 11 классы

1 (4). См. задачу М2162 «Задачника «Кванта».

2 (4). В пространстве расположена замкнутая шестизвен-ная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которойпараллельны ( PAB DE , PBC EF и PCD FA ). При этомAB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат водной плоскости.

В.Произволов

3 (4). См. задачу 9 конкурса «Математика 6–8» в «Кванте»5 за 2009 год.

4 (4). На сторонах правильного 2009-угольника отметилипо точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольникаплощади S. Каждую из отмеченных точек отразили относи-тельно середины стороны, на которой эта точка лежит.Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отраженныхточках также имеет площадь S.

П.Кожевников

5 (5). В стране две столицы и несколько городов, некото-рые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные.Известно, что на любом пути из южной столицы в севернуюимеется не меньше десяти платных дорог. Докажите, что всеплатные дороги можно распределить между десятью компа-ниями так, чтобы на любом пути из южной столицы всеверную имелись дороги каждой из компаний.

И.Нетай, Д.Баранов

Сложный вариант

8 – 9 классы

1 (4). В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко –не поровну, но каждый кувшин оказался заполнен не болеечем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин иотлить из него поровну во все остальные. Докажите, что неболее чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы вовсех кувшинах молока стало поровну.

Е.Горинов

2 (6). У Миши есть 1000 одинаковых кубиков, у каждогоиз которых одна пара противоположных граней белая,вторая – синяя, третья – красная. Он собрал из них большойкуб 10 10 10,× × прикладывая кубики друг к другу одноцвет-ными гранями. Докажите, что у большого куба есть одно-цветная грань.

М.Мурашкин

3 (6). См. задачу М2163,а) «Задачника «Кванта».

4 (6). См. задачу 10 конкурса «Математика 6–8» в«Кванте» 5 за 2009 год.

5. Из гирек массами 1 г, 2 г, ..., N г требуется выбратьнесколько (больше одной) с суммарной массой, равнойсредней массе оставшихся гирек. Докажите, что:

а) (2) это можно сделать, если N + 1 – квадрат целогочисла;

б) (7) если это можно сделать, то N + 1 – квадрат целогочисла.

А.Шаповалов

6 (10). См. задачу М2164,а) «Задачника «Кванта».

7 (14). См. задачу М2167 «Задачника «Кванта».

10 – 11 классы

1 (4). См. задачу М2161 «Задачника «Кванта».

2 (6). Из N прямоугольных плиток (возможно, неодина-ковых) составлен прямоугольник с неравными сторонами.Докажите, что можно разрезать каждую плитку на две частитак, чтобы из N частей можно было сложить квадрат, а из

1 В скобках после номера каждой задачи указано максимальноеколичество баллов, присуждавшихся за ее решение.

54-60.p65 05.02.10, 13:4954

О Л И М П И А Д Ы 55

оставшихся N частей – прямоугольник.А.Шаповалов

3 (7). Сфера касается всех ребер тетраэдра. Соединимточки касания на парах несмежных ребер. Докажите, что триполученные прямые пересекаются в одной точке.

Фольклор (предложил В.Произволов)

4 (9). См. задачу М2166 «Задачника «Кванта».

5 (9). Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольникABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равнысторонам XY, YZ и ZX соответственно. Докажите, чтоплощадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC,DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.

Н.Белухов

6 (12). См. задачу М2167 «Задачника «Кванта».

И Н Ф О Р М А Ц И Я

7 (14). У входа в пещеру стоит барабан, на нем по кругучерез равные промежутки расположены N одинаковых свиду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селедка –либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно(бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любойнабор бочонков (от 1 до N штук) и переворачивает их все.После этого барабан приходит во вращение, а когда останав-ливается, Али-Баба не может определить, какие бочонкибыли перевернуты. Пещера откроется, если во время враще-ния барабана все N селедок будут расположены головами водну сторону. При каких N Али-Баба сможет за сколько-тоходов открыть пещеру?

Л.Брагинский, Д.Фомин, П.Коган

Публикацию подготовилиС.Дориченко, Л.Медников, А.Шаповалов

И Н Ф О Р М А Ц И Я 55

Современная механика и робототехникадля школьников

Механика – древнейшая естественная наука, основа на-учно-технического прогресса на всем протяжении челове-ческой истории, а современная робототехника – одно изсамых важных и интересных направлений науки и техни-ки, в котором проблемы механики и новых технологийсоприкасаются с проблемами искусственного интеллекта.Возможность создать своими руками движущийся меха-низм, а тем более настоящего робота, всегда привлекалашкольников. В последнее время получили широкое рас-пространение лего-конструкторы, а недавно стали прово-диться двухэтапные лего-соревнования всероссийского уров-ня. Достаточно сказать, что сейчас в отборочных соревно-ваниях в общей сложности принимает участие более 800команд.

Однако уже более 10 лет проводятся «взрослые» сорев-нования роботов, в которых участвуют команды студентов,аспирантов и молодых ученых. В отличие от школьников,которые собирают лего-роботов из стандартных деталей,участники взрослых соревнований оказываются на пере-днем крае научных исследований, сами проектируют исоздают новых роботов разных типов (колесных, шагаю-щих, змееподобных) и средства управления ими, а дляэтого они обсуждают идеи и подходы к решению всегокруга вопросов динамики, управления и стабилизации (т.е.придания устойчивости). Каждый, кто видел «взрослые»соревнования роботов, может подтвердить, что они оченьинтересны и зрелищны, поскольку возможности роботов,участвующих в этих соревнованиях, гораздо шире, чемвозможности лего-роботов, а задания, выполняемые ими,весьма разнообразны и гораздо сложнее, чем задания нашкольных соревнованиях. Дополнительное преимуществоздесь получает робот, у которого более «развит» искусст-венный интеллект, обеспечивающий ему выбор лучшей стра-тегии и тактики выполнения задания.

Проблемы создания роботов привели к появлению меха-троники – новой науки, стоящей на стыке механики, элек-троники, информатики (включая элементы искусственногоинтеллекта) и робототехники. Знание каждой из этих науксовершенно необходимо для создания современного ро-бота. Существенное препятствие для участия школьников

во «взрослых» соревнованиях – незнание ими основ общеймеханики и других наук в объеме, нужном для разработокробототехнических систем. Ведь в обычном школьном кур-се (и даже в физико-математических школах) механикапредставлена только самыми простыми задачами. Школь-ники чаще всего не представляют, чем занимается и какиепроблемы решает современная наука механика, хотя имен-но она – основа научно-технического прогресса (см. ста-тью Г.Г.Черного в «Кванте» 3, 4 за 2009 г.). Из-за этогов течение уже многих лет конкурсы абитуриентов припоступлении на отделения механики университетов мень-ше, чем на отделения математики, физики и информатики,т.е. родственных наук, о которых школьная программадает несколько лучшее представление.

Вот почему Институт механики МГУ им. М.В.Ломоно-сова в 2004 году начал проведение Научно-образователь-ной программы (НОП) для школьников и учителей, жела-ющих узнать о последних достижениях механики, мехат-роники и робототехники. Одна из главных задач НОП –помочь школьникам в выборе будущей специальности, датьжелающим начальное образование в области механики иробототехники, ближе познакомить с этими науками. ЭтаПрограмма предусматривает чтение спецкурса, проведениесерии лекций, индивидуальную работу со школьниками,консультации и научное руководство, включая подготовкувыступлений на школьных конференциях, конференцияхмолодых ученых, а также организацию конкурсов и мно-гое другое. При содействии выбранного руководителяшкольники могут начать самостоятельную научно-исследо-вательскую работу, попробовать свои силы в решении иисследовании конкретных задач и в конструировании ро-бототехнических и мехатронных систем. Лучшие работышкольников рекомендуются к опубликованию в ведущихнаучных журналах и представлению на научных семина-рах и конференциях.

Предлагаемые спецкурсы рассчитаны на учащихся 9–11классов, читаются на доступном для школьников уровне,но охватывают широкий круг вопросов – от классическихрезультатов в механике и робототехнике и смежных облас-тях науки и техники до новейших научных исследований.Проводятся также лекции Лектория «Встречи с интересны-ми учеными-механиками», тематика которых носит попу-лярный характер и рассчитана на весьма широкий круг

54-60.p65 05.02.10, 13:4955

56 К В А Н T $ 2 0 1 0 / 1

слушателей. Лекции часто имеют междисциплинарный ха-рактер и посвящены вопросам, далеким от традиционныхобластей общей механики и робототехники. Например, былипредставлены такие темы: явление кавитации; математи-ческие модели систем управления объектами национальнойзначимости; вулканические извержения; свойства зренияживых существ и их использование при создании системтехнического зрения; различные аспекты биомеханики (т.е.науки, стоящей на стыке механики и биологии) – тренаже-ры для космонавтов, современные материалы и их исполь-зование при протезировании костей, а также разработан-ная только недавно теория, удовлетворительно объясняю-щая измерение артериального давления крови с помощьюпростого прибора, состоящего из резиновой надувной ман-жеты, груши и манометра. Организуются экскурсии науникальные экспериментальные установки Института ме-ханики МГУ (гидродинамическая труба, аэродинамичес-кая труба, гидроканал и т.п.).

Ознакомление с современной механикой и робототехникойважно не только для школьников, но и для учителей среднейшколы. Поэтому в рамках нашей Программы проводятсякурсы повышения квалификации учителей.

Важное направление Программы – создание списка науч-но-исследовательских задач, предлагаемых школьникам. Внастоящее время он включает более 30 заданий. Так, ежегод-но объявляется конкурс на постановку и проведение экспе-римента по исследованию свойств сухого трения. Со спискомзадач и объявлением о конкурсе можно познакомиться насайте, указанном в конце статьи.

Для подготовки видеокурса лекций ведется их видеоза-пись и создается видеотека – основа для дистанционногообучения (включая работу со школами для детей с ограни-ченными возможностями).

Все перечисленные выше мероприятия Программы дляшкольников и учителей, осуществляемые на традиционныхплощадках, проводятся на бесплатной основе. Однако, посогласованию, возможно также проведение выездных лек-ций и семинаров, кружков, осуществление других формсотрудничества.

Принять участие в любом мероприятии Программы (про-слушивание лекций, участие в конкурсе, решение задач)может любой желающий школьник. Обращаем вниманиена то, что по многим направлениям (конкурсы, научно-исследовательская работа и т.п.) возможно дистанционноеучастие.

Регулярно обновляемая информация обо всех мероприяти-ях Программы представлена на сайте Института механикиhttp://www.imec.msu.ru/school

Наш электронный адрес: school@imec.msu.ruПочтовый адрес для переписки: 119192 Москва, Мичурин-

ский проспект, д.1, Институт механики МГУ, Научно-образовательная программа по механике.

Приглашаем всех заинтересованных лиц и организациипринять участие в нашей Программе!

Публикацию подготовилиС.Довбыш, Б.Локшин, М.Салмина

54-60.p65 05.02.10, 13:5056

О Л И М П И А Д Ы 57 И Н Ф О Р М А Ц И Я 57

Конкурс «Свободный полет»

Благотворительный фонд «Новая мысль» (учредительЗАО «Финам») продолжает конкурс «Свободный полет»среди лиц, склонных к критическому анализу различныхпроблем физики, математики и информатики. Конкурсантдолжен сам поставить задачу и представить ее решение.

Цель конкурса: выявление и поощрение самостоятельно иконструктивно мыслящих людей.

Конкурс – ежегодный. Условия проведения очередногоконкурса объявляются в декабре, итоги подводятся в маеследующего года, причем отдельно для лиц не старше 18 лети для лиц до 35 лет.

Премиальные фонды формируются в таких размерах:для участников не старше 18 лет – 300000 руб. (главная

премия 150000 руб., три поощрительные по 50000 руб.);для участников не старше 35 лет – 500000 руб. (главная

премия 200000 руб., три поощрительные по 100000 руб.).Оргкомитет конкурса планирует впоследствии увеличение

объемов наградных фондов.

Условия проведения конкурса

Каждый участник представляет на рассмотрение жюрисвой проект, содержащий сформулированную задачу и ее

решение. (В отдельных случаях жюри готово рассматриватьзадачи с незавершенными решениями.)

Общий объем отчета по проекту должен быть не более 10машинописных страниц, при этом все громоздкие вычисле-ния должны быть вынесены в приложения, которые являют-ся составной частью отчета.

Распечатанный вариант отчета (1 экз.) нужно прислать попочте в редакцию журнала «Квант» по адресу: 119296Москва, Ленинский проспект, д. 64-А, а электронный отчетотдельным файлом нужно послать на электронный адресредакции: admin@kvant.info

Титульный лист отчета должен содержать следующуюинформацию о конкурсанте:

фамилия, имя, отчество;почтовый адрес, электронный адрес, телефон;данные об образовании, о наличии научной степени (если

таковая имеется).Срок приема заявок на участие в конкурсе – до 15 апреля

2010 года. Итоги конкурса будут подведены в конце мая 2010года.

Работы, с согласия их авторов и заслуживающие общеговнимания по мнению жюри, будут размещаться на специаль-ном сайте фонда «Новая мысль» с указанием тех работ,которые отмечены премиями.

Заочное отделение Малого мехмата МГУ

Малый мехмат — школа юных математиков при механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова –работает более 30 лет. Основные задачи Малого мехмата –углубление знаний по темам школьной программы и расши-рение математического кругозора за рамки программы сред-ней школы.

Малый мехмат состоит из двух отделений: вечернего изаочного. На вечернем отделении по субботам работаюткружки по математике для школьников 1–11 классов Моск-вы и Московской области; для учащихся 9–11 классоворганизованы еще и лекции.

На заочное отделение принимают учащихся из России,стран СНГ и Прибалтики, а также русскоязычных учащихсяиз стран дальнего зарубежья. В 2010 году заочное отделениеМалого мехмата объявляет прием учащихся на 2010/11учебный год в 8–10 классы.

Обучение на заочном отделении Малого мехмата осуще-ствляется по переписке: школьники выполняют задания повысылаемым им методическим разработкам и отправляютсвои решения для проверки. Преподаватели, проверяющиеработы, указывают на ошибки в рассуждениях или вычисле-ниях и дают указания, помогающие школьникам самостоя-тельно исправить эти ошибки. После проверки работы отсы-лаются обратно. Методические разработки заочного отделе-ния содержат необходимый для изучения данной темытеоретический материал и решения типовых задач, а такжезадачи для самостоятельного решения.

На заочном отделении существует возможность обучениянескольких учеников из одной школы по форме «Коллектив-ный ученик». Группа работает под руководством своегошкольного преподавателя и может включать не более 15учащихся из одной параллели (если учащихся, желающихзаниматься, больше, то можно сформировать несколькогрупп). Как правило, группы изучают материалы методичес-ких разработок во время факультативных (кружковых)занятий. Группа «Коллективный ученик» обучается как

один учащийся, т.е. оформляет по каждому заданию однуработу.

Школьники, прошедшие полный курс обучения (трех- иличетырехлетний) и успешно закончившие обучение на заоч-ном отделении (с итоговой оценкой «хорошо» или «отлич-но»), получают свидетельства об окончании Малого мехма-та. Школьники, прошедшие неполный курс обучения илизакончившие заочное отделение с оценкой «удовлетвори-тельно», получают справки об окончании Малого мехмата.

Обучение на заочном отделении бесплатное, за исключе-нием почтовых расходов (если таковые имеются).

Условия приема

Зачисление индивидуальных учеников производится наконкурсной основе, по результатам выполнения приведен-ной ниже вступительной работы.

Ученики, желающие поступить на заочное отделение Ма-лого мехмата, должны не позднее 30 апреля 2010 годавыслать в наш адрес письмом или по электронной почтерешения задач вступительной работы. Для разных классовпредусмотрены задачи с разными номерами, но при этом онине обязательно должны быть решены все. Вступительнуюработу необходимо выполнить в школьной тетради в клетку.Записывать решения в тетрадь следует в том же порядке, вкаком задачи идут во вступительной работе. На обложкутетради следует наклеить лист бумаги со следующими дан-ными:

1. Фамилия, имя, отчество учащегося2. Класс (в 2010/11 учебном году)3. Полный домашний адрес с указанием почтового ин-

декса4. Адрес электронной почты (если он у вас есть)5. Телефон (с кодом города)6. Источник, из которого вы узнали о наборе на заочное

отделение.Вступительные работы обратно не высылаются.Группам «Коллективный ученик» не нужно выполнять

вступительную работу, необходимо лишь не позднее

54-60.p65 05.02.10, 13:5057

58 К В А Н T $ 2 0 1 0 / 1

Заочная школа «Юный математик»

Заочная школа «Юный математик», работающая приподдержке Всероссийской заочной многопредметной школы(ОЛ ВЗМШ) и Московского центра непрерывного матема-тического образования (МЦНМО), объявляет набор на2010/11 учебный год учащихся из России, стран СНГ иПрибалтики, а также русскоязычных учащихся из страндальнего зарубежья. В школе «Юный математик» обучаютсяшкольники 8–11 классов. Обучение проводится заочно —как по переписке, так и с использованием интернет-техноло-гий. В рамках школы организовано три потока:

• поток «элементарная математика» по программе углуб-ленного изучения школьного курса математики (для 8–11классов); тематика этого потока приближена к школьнойпрограмме, хотя на нем представлены и методические разра-ботки, посвященные олимпиадным задачам и темам, почтине рассматриваемым в школе;

• одногодичный поток «ГИА» по подготовке к Государ-ственной итоговой аттестации (для 9 класса);

• одногодичный поток «ЕГЭ» по подготовке к Единомугосударственному экзамену (для 11 класса).

На потоке «ЕГЭ» учащимся предлагаются на выбор двепрограммы: стандартная и повышенной сложности. Выб-рать наиболее подходящую программу можно при помощидиагностической работы, размещенной на сайте школы,или же просто исходя из того, какой уровень подготовкивам требуется.

Зачисление на поток «элементарная математика» конкур-

сное, по результатам выполнения приведенной ниже вступи-тельной работы. На потоки «ГИА» и «ЕГЭ» принимаютсявсе желающие.

После зачисления каждый учащийся получает комплектметодических пособий, по которым он в течение года будетвыполнять в письменном виде контрольные задания и высы-лать их на проверку каждые 20–30 дней. Преподаватели,проверяющие задание, укажут на допущенные ошибки идадут подробные указания к нерешенным задачам, послечего проверенная работа будет выслана обратно. По заверше-нии полного курса обучения выдается свидетельство обокончании Заочной школы «Юный математик».

В Заочной школе «Юный математик» имеется возмож-ность обучения нескольких учеников по форме «Коллектив-ный ученик». Группа работает под руководством своегопреподавателя (обычно – школьного учителя) и можетвключать не более 15 учащихся из одной параллели. Какправило, группы изучают материалы методических разрабо-ток во время факультативных (кружковых) занятий. Груп-пы «Коллективный ученик» зачисляются в школу «Юныйматематик» без конкурса.

Обучение в школе «Юный математик» платное. Стоимостьобучения для индивидуальных учащихся не превышала в2009/10 учебном году 5000 руб. за годовой курс (ученикипотока «элементарная математика», наиболее успешно напи-савшие вступительную работу, зачисляются на бесплатноеили льготное обучение); для коллективных учащихся сто-имость обучения зависит от числа учеников.

Ученики 7–10 классов, желающие поступить в Заочную

15 сентября 2010 года выслать письмом или по электроннойпочте следующие данные:

1. Фамилия, имя, отчество руководителя группы2. Фамилии, имена, отчества учащихся (не более 15

человек)3. Класс (в 2010/11 учебном году)4. Полный адрес руководителя группы (по которому бу-

дут высылаться задания) с указанием почтового индекса5. Адрес электронной почты (если он есть)6. Телефон (с кодом города)7. Источник, из которого вы узнали о наборе на заочное

отделение.Наш адрес: 119991 Москва, ГСП-1, Ленинские горы,

МГУ, мехмат, МММФ.Электронная почта: zaoch.mmmf@gmail.comСайт: http://mmmf.math.msu.suТелефон: (495) 939–39–43.

Вступительная работа

После номера каждой задачи в скобках указано, дляпоступающих в какие классы она предназначена.

1 (8). В некотором городе каждый одиннадцатый матема-тик – музыкант, а каждый тринадцатый музыкант – мате-матик. Кого в городе больше – музыкантов или математи-ков?

2 (8). Докажите, что для любого натурального k число3k + 5k делится на 3.3 (8–10). Разрежьте квадрат на: а) 6 квадратов; б) 7

квадратов.4 (8–10). Леня и Паша спускаются по движущемуся вниз

эскалатору, не пропуская ступенек. Паша успевает сделатьтри шага, пока Леня делает два. Паша, пока спускался, успелсделать 45 шагов, а Леня только 40. Сколько ступенек ввидимой части эскалатора?

5 (8–10). Внутри равнобедренного треугольника АВС,в котором АВ = ВС и угол В равен 100° , отмечена точка Мтак, что угол МАВ равен 20° , угол МВА равен 10° .Вычислите угол ВМС.

6 (8–10). У капитана Смоллетта двое сыновей и несколькодочерей. Если возраст капитана (конечно, ему меньше сталет) умножить на количество его детей и на длину его шхуны(это целое число футов), то получится 32118. Сколько леткапитану Смоллетту, сколько у него детей и какова длина егокорабля?

7 (8–10). Делится ли 622 1+ на 31 162 2 1+ + ?8 (8–10). Из бумажного треугольника вырезали паралле-

лограмм. Докажите, что его площадь не превосходит поло-вины площади треугольника.

9 (9–10). Решите уравнение ( ) (42 2 21 10x x x x x− + − − +

)2 41 9 0x+ + = .

10 (9–10). В выпуклом четырехугольнике ABCD биссект-рисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD.Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаютсяна стороне AB.

11 (9–10). Квадратный трехчлен с целыми коэффициента-

ми 2ax + bx – 5 имеет два различных целых корня. Найдитеа и b.

12 (9–10). В выборах в 100-местный парламент участвова-ли 12 партий. В парламент проходят партии, за которыепроголосовало строго больше 5% избирателей. Между про-шедшими в парламент партиями места распределяются про-порционально числу набранных ими голосов. После выборовоказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно заодну из партий (недействительных бюллетеней, голосов«против всех» и т.п. не было). При этом партия любителейматематики набрала 25% голосов. Какое наибольшее количе-ство мест в парламенте она может получить?

54-60.p65 05.02.10, 13:5058

О Л И М П И А Д Ы 59

школу «Юный математик», должны выслать в наш адресобычным письмом заполненную анкету либо же заполнитьее на сайте «Юного математика». При отправке анкетыобычной почтой заполняйте ее печатными буквами.

Анкета учащегося

1. Фамилия, имя, отчество2. Класс, в котором вы будете учиться с 1 сентября 2010

года (с 8 по 11)3. Полный домашний адрес с указанием индекса4. Адрес электронной почты (если есть)5. Домашний телефон с кодом города6. Источник, из которого вы узнали о наборе в школу

«Юный математик»7. Укажите потоки, на которых вы хотите учиться:• «Элементарная математика»• «ГИА» (только для поступающих в 9 класс)• «ЕГЭ» (только для поступающих в 11 класс)8 (только для подающих заявку на поток «ЕГЭ»). Укажите

выбранную вами программу:• стандартная• повышенной сложности9. Адрес вашей школы10. Фамилия, имя, отчество вашего учителя математики

(можно указать нескольких учителей).

Для зачисления на поток «элементарная математика»необходимо выполнить приведенную ниже вступительнуюработу (при этом не обязательно должны быть решены всезадачи). Записывать решения следует в том же порядке, вкаком задачи идут во вступительной работе. Победители ипризеры региональных, городских или районных матема-тических олимпиад принимаются без выполнения вступи-тельной работы — вместо нее достаточно выслать копиюдиплома.

Вступительную работу вместе с анкетой нужно выслатьобычной почтой либо загрузить через сайт «Юного матема-тика» не позднее 30 апреля 2010 года. При отправке работыобычной почтой заполненную анкету следует наклеить наобложку тетради. Вступительные работы обратно не высы-лаются.

Если вы поступаете только на потоки «ГИА» или «ЕГЭ»,то вы должны выслать анкету не позднее 1 июля 2010 года.Выполнять вступительную работу для поступления на пото-ки «ГИА» или «ЕГЭ» не требуется.

Группам «Коллективный ученик» вступительную работувыполнять также не нужно, достаточно лишь не позднее 15сентября 2010 года выслать обычным письмом заполненнуюанкету либо же заполнить ее на сайте «Юного математика».При отправке анкеты обычной почтой заполняйте ее печат-ными буквами.

Анкета группы «Коллективный ученик»

1. Фамилия, имя, отчество руководителя группы2. Класс, в котором члены группы будут учиться с 1

сентября 2010 года (с 8 по 11; в составе одной группы могутбыть учащиеся только из одной параллели)

3. Полный почтовый адрес руководителя группы (покоторому следует высылать задания) с указанием индекса

4. Адрес электронной почты (если есть)5. Домашний телефон руководителя группы (с кодом

города) или телефон школы6. Источник, из которого вы узнали о наборе в Заочную

школу «Юный математик»7. Укажите потоки, на которых ваша группа будет

учиться:• «Элементарная математика»

• «ГИА» (только для поступающих в 9 класс)• «ЕГЭ» (только для поступающих в 11 класс)8. Фамилии, имена, отчества учащихся в алфавитном

порядке (не более 15 человек).

Наш почтовый адрес: 119002 Москва, Б. Власьевскийпер., д. 11, МЦНМО, Заочная школа «Юный математик».

Телефон: (499) 241-89-79.Сайт: http://zaoch.ru

Вступительная работа

После номера каждой задачи в скобках указано, дляпоступающих в какие классы она предназначена. За решениязадач для других классов баллы не начисляются!

1 (8–9). Вверх по реке шел катер. В полдень за борт упалабочка. В час дня пропажу на катере заметили и повернулиобратно. В котором часу катер догонит бочку, если скоростькатера постоянна?

2 (8–9). Высота прямоугольного треугольника, опущеннаяна гипотенузу, равна 1; один из острых углов треугольникаравен 15°. Найдите гипотенузу.

3 (8–9). За 18 дней брусок мыла уменьшился на 50% повысоте, на 30% по длине и на 20% по ширине. На сколько ещедней его хватит, если каждый день расходуется один и тот жеобъем мыла?

4 (8–9). В отаре 8 овец. Первая съедает копну сена за 1день, вторая — за 2 дня, и так далее; восьмая — за 8 дней.Кто быстрее съест копну сена: первые две овцы или всеостальные?

5 (8–9). Средний возраст одиннадцати футболистов — 22года. Во время игры один из игроков был удален с поля,после чего средний возраст оставшихся игроков стал равен21 году. Сколько лет удаленному футболисту?

6 (8–11). В треугольнике АВС угол В равен 120°. Набиссектрисе угла B выбрана точка D так, что BD = AB + BC.Докажите, что треугольник ACD равносторонний.

7 (8–11). Три простых числа 1p , 2p , 3p , каждое изкоторых больше трех, таковы, что 1 2 2 3p p p p− = − . Дока-жите, что 1 2p p− делится на 6 без остатка. (Напомним, чтопростым называется натуральное число, имеющее ровно дваделителя – единицу и само себя.)

8 (8–11). В скачках принимали участие три лошади. Напобеду первой лошади ставки принимались из расчета 4:1(это значит, что если первая лошадь побеждает, то игрокувозвращаются поставленные на нее деньги и еще в четырераза больше; если лошадь не побеждает, то игрок теряетпоставленные деньги), на победу второй лошади – 3:1, напобеду третьей – 1:1. Можно ли так распределить ставки,чтобы при любом исходе скачек оказаться в выигрыше?

9 (8–11). В фильме «Самогонщики» три друга гонятсамогон. У Труса течет жидкость крепостью а% и стандарт-ная бутыль наполняется за а часов. У Балбеса течет жид-кость крепостью b% и такая же бутыль наполняется за bчасов; у Бывалого – с% и с часов соответственно. Дляускорения процесса друзья направили трубки аппаратов водну бутыль и наполнили ее за сутки. Найдите крепостьполученной смеси.

10 (8–11). Нарисуйте все различные развертки куба.Развертки считаются различными, если их нельзя совмес-тить при помощи поворота или отражения.

11 (10–11). Докажите неравенство 2 2 2a b c ab+ + ≥ +bc ac+ + .

12 (10–11). Решите уравнение 33

1x

x+ =

15 x

x +

.

И Н Ф О Р М А Ц И Я 59

54-60.p65 05.02.10, 13:5059

60 К В А Н T $ 2 0 1 0 / 1

13 (10–11). В треугольнике ABC известны стороны: AB =

= 9, BC = 8, AC = 7. Окружность, проходящая через точку

A, касается стороны ВС в точке D и пересекает стороны

AB и AC в точках E и F соответственно. Найдите длину

отрезка EF.

14 (10–11). Постройте график функции 3

33

yx

= −−

и

Пока горит свеча... или кристалл

(Начало см. на с. 31)

сеть только от температуры его стенок, и поэтому, затверде-вая, парафин будет отдавать каждую минуту такое жеколичество теплоты, как и вода, т.е. вq . Можно считать, чтозатвердевание парафина в нашем опыте продолжалось втечение интервала времени зt = 120 мин. Тогда для удельнойтеплоты плавления парафина пλ получим

в з вп в в з

п п

640 кДж кгq t m

с r tm m

λ = = ≈ .

К сожалению, справочники указывают для пλ величину от200 до 220 кДж/кг, что может означать неправильностьсделанного нами допущения – пренебрежения процессамиконвекции. Очевидно, что в стакане с водой процессыконвекции гораздо более существенны для теплообмена, чемв меде и жидком парафине. Поэтому удельную теплотуплавления парафина лучше вычислять, используя кривуюостывания меда, а не воды. Из рисунка следует, что вдиапазоне температур от 62 до 58 C° мед массой 253 г,имеющий удельную теплоемкость ( )м 2400 Дж кг Cc = ⋅ ° ,остывает со скоростью м 0,45 C минr = ° . Поэтому

мп м м з

п

210 кДж кгm

с r tm

λ = ≈ .

КОНКУРС «МАТЕМАТИКА 6–8»

(см. «Квант» 4 за 2009 г.)

1. См. рис. 1.2. 1.Пусть 1, , na a… – все делителичисла A, кроме самого A, а

1, , mb b… – все делители числа B,кроме самого B. Тогда A =

1 mb b= + +… и 1 nB a a= + +… .По условию, имеем два равен-

ства: α = + + + −1

1 1 1... 1

nA a a,

β = + + + −1

1 1 1... 1

mB b b. Приведем

все дроби, стоящие в правой части первого равенства, к одному

знаменателю A. В числителе полученной дроби окажется суммавсех делителей числа A (почему?). Получаем

1 11n na a A a a B

A A A

+ + + + +α = − = =

… ….

Аналогично найдем A

Bβ = . Отсюда следует, что 1αβ = .

определите, при каких значениях а уравнение 3

33

ax

− =−

имеет ровно два корня.15 (10–11). Прямоугольник m n× (m, n — натуральные

числа) разбит на квадратные клетки со стороной 1. Сколькотаких клеток пересекает диагональ прямоугольника? (Диа-гональ пересекает клетку, если она проходит хотя бы черезодну ее внутреннюю точку.)

Полученная оценка пλ очень близка к табличным значени-ям, что подтверждает сделанные нами предположения.

Относительно большие значения удельной теплоты плав-ления и удельной теплоемкости парафина (2,2 –

( )2,9 кДж кг С− ⋅ ° ) делают его очень ценным строительнымматериалом, так как он может хорошо сохранять тепло.Парафин добавляют в сухую штукатурку, днем он слегкарасплавляется, а ночью отвердевает, возвращая тепло. Этисвойства парафина используются также для термостабили-зации электроники космических кораблей. В будущем пара-фин планируется использовать в качестве топлива космичес-ких кораблей с так называемым гибридным двигателем, укоторого окислитель находится в газообразном виде, атопливо – в твердом. Опыты показали, что при горениимелких гранул парафина в струе кислорода его удельнаятеплота горения может увеличиваться в несколько раз.Однако основным преимуществом парафина перед суще-ствующими видами топлива является его безопасность ибезвредность для окружающей среды – ведь при горенииобразуется только углекислый газ и вода. Безвредностьпарафина для человека обусловила его широкое применениев пищевой промышленности.

Итак, мы еще раз доказали справедливость слов М.Фара-дея – изучая свечу, изучаешь физику.

К.Богданов

60О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

3. 49.Рассмотрим маршрут, в котором каждая дорога пройдена ров-но один раз. Пусть этот маршрут начинается в городе A изаканчивается в городе B. В каждый город, за исключением,возможно, A и B, мы попадали столько же раз, сколькопокидали его, – всего четное число раз, поэтому хотя бы одинраз прилетали в него или улетали из него. Тогда количество

перелетов не меньше чем 100 2

492

−= .

Докажем, что 49 перелетов всегда достаточно. Пусть города идороги расположены так, что они образуют m изолированныхобластей, между которыми дорожного сообщения нет (но водной области можно попасть из любого города в любой,двигаясь по дорогам). Поскольку из каждого города выходитхотя бы одна дорога, то в каждой области не меньше двухгородов, а областей не больше 50. Обозначим эти области…1, , mO O . Выберем в каждой области iO любые два города

iA и iB . Объясним теперь, как построить нужный нам марш-рут, в котором город 1A будет его началом, а город mB –концом. Сначала для каждого i от 1 до m – 1 соединимсоседние области iO и +1iO перелетом из iB в +1iA (всегопонадобится m – 1 перелетов). Городов, которые мы поканикак не обозначили, осталось 100 – 2m. Разобьем их как-

Рис. 1

54-60.p65 05.02.10, 13:5060

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 61

нибудь на 50 – m пар и для каждой пары добавим перелет,соединяющий города этой пары. Всего как раз получаетсяm – 1 + 50 – m = 49 перелетов. Изобразим теперь страну ввиде графа: вершинами будут города, а ребрами – дороги ивыбранные нами 49 перелетов. Мы получим связный граф(от любой вершины можно добраться до любой другой поребрам), в котором из вершин 1A и mB выходит нечетноечисло ребер, а из остальных вершин – четное. Такой граф на-зывается эйлеровым, и в нем обязательно найдется маршрут,начинающийся в 1A и заканчивающийся в mB , проходящийпо каждому ребру ровно один раз (попробуйте доказать это).Значит, у путешественника есть маршрут, использующий ров-но 49 перелетов, в котором каждая дорога встречается одинраз.Об эйлеровых графах и о графах вообще можно прочитать взамечательной книге О.Оре «Графы и их применение».4. Для начала докажем, что простых чисел бесконечно много.Пусть это не так, и …1, , np p – все простые числа. Рассмот-рим число +…1 1np p . Очевидно, что оно не делится ни накакое ip . Это означает, что либо оно само простое, либо де-лится на какое-то простое число, отличное от …1, , np p . В лю-бом случае найдено еще одно, (n + 1)-е простое число – про-тиворечие.Теперь легко показать, что и уютных чисел бесконечно мно-го. Заметим, что числа p – 2, p, p + 2 дают разные остатки отделения на 3. Тогда если p – простое число, большее 5, тоодно из чисел p – 2, p + 2 делится на 3 и при этом больше 3,т.е. составное. Если это p – 2, то число p – 1 уютное, а если

p + 2, то p + 1 уютное.Так можно найти уютноечисло «рядом» с каждымпростым числом, большим5. Значит, и уютных чиселбесконечно много.5. Из точки A опустимперпендикуляры AE и AFна лучи CB и CD соответ-ственно. При этом образу-ются равные прямо-угольные треугольникиACE и ACF с острым уг-лом 60° при вершине C

(рис.2). Тогда второй острый угол в них равен 30° , поэтому

CE = CF = 1

2AC и CE + CF = AC. Из рисунка видно, что

задача свелась теперь к проверке равенства BE + DF = BD.

На луче DF за точкой F отметим точку K, такую что FK == BE. Теперь осталось доказать, что BD = DK. Для этого до-статочно установить равенство треугольников BAD и KAD,что мы сейчас и сделаем. Треугольники AFK и AEB равны подвум катетам, и, следовательно, AK = AB, BAE FAK∠ = ∠(мы просто «приставили»треугольник AEB к стороне AF тре-угольника ADF). Так как каждый из углов BAC и DAF до-полняет угол CAD до 30° , они равны друг другу. Точно также получим, что CAD BAE∠ = ∠ . Значит, BAD BAC∠ = ∠ +

CAD DAF FAK DAK+ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ , и треугольники BAD иKAD равны по двум сторонам и углу между ними.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Да, примерно такую массу имеет точка типографскогошрифта.2. Приблизительно сто тысяч миллиардов атомов.3. Если считать молекулы шариками, плотно прилегающимидруг к другу, то на каждую из них приходится ( )A1 N -я

Рис. 2

часть молярного объема. Извлекая кубический корень из это-го объема, находим диаметр молекулы. Для воды он состав-ляет примерно 0,3 нм, для спирта 0,46 нм.4. Когда смешивают два вещества, молекулы одного из нихмогут «занять» часть объема в пространстве между молекула-ми другого, при этом объем смеси будет меньше, чем суммапервоначальных объемов обоих веществ. Это уменьшениеобъема особенно заметно, если размеры молекул одного веще-ства значительно меньше, чем у другого.5. Расчет, аналогичный приведенному в решении задачи 3,дает величину среднего расстояния между молекулами водо-рода примерно 30 нм, что в 150 раз больше диаметра самоймолекулы (около 0,2 нм).6. Разрежение газа ведет к увеличению длины свободногопробега (а это десятки нанометров при нормальных услови-ях) электронов и ионов под действием электрического поля,т.е. к увеличению их кинетической энергии. Поэтому приуменьшении плотности воздуха ионизация его молекул насту-пает при более низком напряжении.7. Вода просачивается через мельчайшие поры глиняного со-суда и обращается в пар. На испарение расходуется энергия,отнимаемая от сосуда с водой, из-за чего он охлаждается.Температуры воды и воздуха сравняются, если окружающийвоздух будет насыщен водяными парами.8. Нет. Водяной пар, состоящий из молекул воды размеромменее нанометра, невидим. То, что мы наблюдаем, это туман,состоящий из капелек воды много большего размера, образу-ющихся при конденсации пара.9. Легкие, т.е. более подвижные, частицы быстрее проходятсквозь нанометровые поры перегородки. Поэтому сначала вы-равнивается число легких частиц в единице объема, и давле-ние в секции, где находились тяжелые частицы, увеличивает-ся. Через некоторое время становится одинаковой и плот-ность тяжелых частиц, и давления выравниваются.10. С увеличением размеров частицы число ударов молекул оее поверхность возрастает пропорционально квадрату ее раз-мера, тогда как масса растет пропорционально кубу размера,поэтому молекулам становится все труднее и труднее сдви-нуть частицу.11. При нагревании проволоки расстояния между атомами,составляющие доли нанометра, в среднем увеличиваются, асилы притяжения между ними соответственно уменьшаются.12. Вода смачивает песок и обволакивает каждую песчинку.Сокращая свою свободную поверхность под влиянием поверх-ностного натяжения, вода препятствует расползанию песчи-нок.13. Припой (легкоплавкий сплав) заполняет мельчайшие не-ровности поверхностей и, отвердев, обеспечивает прочноесцепление проводов межмолекулярными силами, действую-щими на расстояниях меньше нанометра.14. Смачивая края поверхностной трещины на стекле, водаоказывает на него «расклинивающее» действие, что способ-ствует раздвиганию стенок трещины.15. Благодаря смачиванию, в многочисленных порах и мель-чайших капиллярах кирпича бензин хорошо удерживается си-лами поверхностного натяжения. По мере нагревания бензинчастично вытекает, частично испаряется и таким образомподдерживает огонь для обогрева.16. Вода во внутреннем слое мыльной пленки постепенно сте-кает вниз, и верхняя часть пленки становится все тоньше.Когда ее толщина достигает размеров двух диаметров моле-кул мыла, иначе говоря промежуточный водяной слой исчеза-ет, при интерференции отраженных лучей света в столь тон-кой пленке гасятся волны всех длин, и возникает темное пят-но. Это – свидетельство того, что пленка слишком тонка искоро лопнет.

61-64.p65 05.02.10, 17:5261

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 162

же остаток, что и сумма2 + 4 + ... + 20 = 110(т.е. 10). Противоречие:по условию эти массыравны.3. 8 квадратов.Если вершина A квадратаABCD лежит на окруж-ности с центром O, тоточки B, D и O лежат наокружности радиусом5 см и центром A (рис.3). Вписанный угол BODравен 45° – как полови-на центрального углаBAD. Итак, по условиюкаждый выложенныйквадрат виден из центра под углом 45° , и границы соседнихуглов совпадают, поэтому всего Петя сможет выложить360 45° ° = 8 квадратов. Пусть EDFG – еще один выложен-ный квадрат (E лежит на окружности). OADE – ромб, поэто-му OAD OED∠ = ∠ . Отсюда

360 90OAB OAD∠ = ° − ° − ∠ = 360 90 OED OEG° − ° − ∠ = ∠ .

Треугольники OAB и OEG равны по двум сторонам и углумежду ними, значит, OB = OG. Итак, вершины квадратов,противоположные общей, равноудалены от O. Таким обра-зом, одна вершина первого квадрата и одна вершина восьмоголежат на одном и том же луче из O на одинаковом расстоя-нии от O. Значит, они совпадают.

10 – 11 классы

2. Первое решение.Плоскости α и β парал-лельны, так как EF||BC иAF||CD (рис.4). Если быони не совпадали, то вы-секали бы на параллель-ных прямых AB и DEравные отрезки AB == DE. Значит, все 6 то-чек лежат в плоскостиAEF.Второе решение. ВекторAD двумя разными спо-собами выражается через векторы AB , BC и CD : AD =

= AB + BC + CD = ED + FE + AF = aAB + bBC +

+ cCD , где 1a ≠ . Поэтому векторы AB , BC и CD компла-нарны.4. Пусть 1 2 2009A A A… – правильный 2009-угольник со сторо-ной 1, ϕ – его угол, P – его периметр, M – наш 2009-уголь-ник площади S, ia – расстояние от iA до ближайшей по ча-совой стрелке отмеченной вершины (i = 1, 2, …, 2009). Сто-рона многоугольника M отсекает от угла iA правильногомногоугольника треугольник площади ( )10,5sin 1 i ia a−ϕ −(рис.5). Суммируя отсеченные площади, получаем

0,5sin ϕ ( ) ( )( )1 2 2009 1 2 2 3 2009 1a a a a a a a a a+ + + − + + +… … .

После отражения сторона нового 2009-угольника отсекает от

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

XXXI ТУРНИР ГОРОДОВ

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2009 год)

Базовый вариант

8 – 9 классы

2. Разобьем гирьки на пары с разностью масс 20 г: (1, 21),(2, 22), ..., (20, 40). Если на весах окажутся обе гирьки ка-кой-то пары, все доказано. Иначе на весах оказалось ровнопо одной гирьке из каждой пары. Тогда (независимо от выбо-ра гирек в каждой паре) масса гирь на правой чашке весовпри делении на 20 даст тот же остаток, что и сумма 1 + 3 +...... + 19 = 100 (т.е. 0), а масса гирь на левой чашке даст тот

Микроопыт

При температуре 220 350 °C− сталь покрывается нанометро-вой прозрачной оксидной пленкой. Конкретная толщинапленки обусловлена температурой, а от толщины зависит ре-зультат интерференции отраженных световых лучей.

ПОДВИГ ЮНОГО БЕРТОЛЬДА

Узники могли действовать, например, так. Выберем одного изузников «счетчиком» (собственно, им и был юный Бертольд).Он будет считать узников, которые посетили Черную-чернуюкомнату, следующим образом. Вначале число подсчитанныхузников равно нулю. Далее, если, приходя в Черную-чернуюкомнату, «счетчик» обнаруживает, что свет включен, он при-бавляет к уже посчитанному числу узников единицу и выклю-чает свет, если же свет не горит, то он, ничего не меняя, воз-вращается обратно в свою камеру. Каждый из прочих, обыч-ных узников, действует по такому правилу: если, приходя вЧерную-черную комнату, он обнаруживает, что свет не горит,и он до этого ни разу не включал свет, то он его включает. Востальных случаях он ничего не меняет.Когда число посчитанных узников становится равным 19,«счетчик» говорит, что все узники уже побывали в комнате.Эта стратегия приводит к желаемому результату. В самомделе, каждый узник, кроме Бертольда, включит свет в комна-те не более одного раза, а Бертольд вообще не включает свет.Если «счетчик» насчитал 19, значит, каждый из оставшихсяузников побывал в комнате хотя бы раз. И «счетчик» там,конечно, тоже уже был.Почему Бертольд непременно досчитает до 19? Допустим, этоне так, т.е. свет будет включен менее 19 раз, – досчитав донекоторого числа m < 19, «счетчик» выключит свет, и большелампа никогда не будет зажжена. Но поскольку прочих дра-коноборцев 19, обязательно найдется узник, еще не зажигав-ший лампу. По условию, он окажется в Черной-черной ком-нате и после указанного момента и должен будет включитьсвет. Противоречие.Попробуйте решить более сложную задачу – придумайтестратегию узников, если неизвестно, включена вначале лампаили выключена.

ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ

1. mintg

sin 26 м/с здесь costg 1

hv gR

R

α + µ = α = α = µ α − .

2. =µ

2mvR

u= 9000 км. 3. max

min

23

T l h

T l h

+= =

−.

4. ω =2

3Gm

a. 5.

ω = −

2 5 3

4 3

qk

ma.

6. ∆ω = = 6qB

m с–1.

61-64.p65 05.02.10, 17:5362

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 63

угла iA треугольник площади ( )10,5sin 1i ia a−ϕ ⋅ − . Сумми-руя отсеченные площади, снова получаем тот же результат.5. Первое решение. Отметим на каждом пути из южной сто-лицы Ю в северную С самую первую платную дорогу чис-лом 1. Докажем, что на каждом пути p осталось не менее 9неотмеченных платных дорог.Выберем на p ближайшую к С отмеченную дорогу d. По-скольку она отмечена, она была 1-й платной на некоторомпути q. Пройдем от Ю до d по (бесплатным дорогам) пути q,а далее через d вдоль p до C. По условию на таком пути неменее 10 платных дорог, и только дорога d отмечена. Значит,на участке пути от d до C есть не менее 9 неотмеченных плат-ных дорог.Объявим временно отмеченные дороги бесплатными и отме-тим на каждом пути первую платную дорогу числом 2. Те-перь на каждом пути останется не менее 8 платных дорог.Повторяя рассуждение, расставим отметки 3, ..., 10 на каж-дом пути. Раздадим дороги компаниям в соответствии с их«номерами». Оставшиеся платные дороги раздадим произ-вольно.Второе решение. Пусть проезд по каждой платной дорогестоит 1 тугрик. Назовем весом дороги наименьшую сумму,которую надо заплатить, чтобы, выехав из южной столицы,проехать по этой дороге.Докажем, что вес самой северной дороги каждого пути неменьше 10. Предположим противное – что вес последней до-роги на пути p не превосходит 9. Тогда до нее можно дойти,заплатив не более 8 тугриков. Продолжив путь по остаткупути p, мы получим (в противоречии с условием) примерпути, на котором менее 10 платных дорог. Заметим, что пер-вая платная дорога на каждом пути имеет вес 1. При перехо-де к следующей дороге вес не меняется или увеличиваетсяна 1. Поэтому на каждом пути есть дороги любого веса отединицы до 10. Отдадим k-й компании все дороги веса k, адороги, вес которых больше 10, распределим произвольно.

Сложный вариант

8 – 9 классы

1. Отольем из каждого кувшина во все остальные 1 10 отпервоначального количества молока в данном кувшине. Тогдамолоко из каждого кувшина распределится поровну по всем10 кувшинам, и, значит, во всех кувшинах станет одинаковоеколичество молока.2. Пусть левая грань большого куба – разноцветная. Тогданайдутся два соседних разноцветных квадратика. Повернембольшой куб так, чтобы соответствующие кубики были одиннад другим. Они образуют параллелепипед П 2 1 1× × с раз-ноцветной (скажем, сине-белой) левой гранью. Тогда общаягоризонтальная грань этих кубиков красная, а все вертикаль-ные грани 2 1× у П – сине-белые. Рассмотрим параллелепи-пед П’ 2 1 1× × , примыкающий к П по грани 2 1× . У негоесть сине-белая грань, значит, и все его грани 2 1× – сине-бе-лые. Так продолжая, видим, что в двойном горизонтальномслое 2 10 10× × , содержащем П, у всех вертикальных парал-лелепипедов 2 1 1× × есть сине-белая грань, и, значит, общаягрань красная. Итак, в двойном слое одинарные слои1 10 10× × соприкасаются по красной грани 10 10× , значит, иверхняя грань большого куба – тоже красная.5. а) Пусть 21N k+ = . Выберем гирьки масс 1, 2,..., k, их

сумма равна 2

2

k k+. Среднее арифметическое оставшихся

последовательных чисел равно полусумме крайних, т.е.21 1

2

k k+ + − =

2

2

k k+.

б) Общая масса всех N гирек равна 2

2

N N+. Пусть мы выб-

рали k гирек общей массой S так, что средняя масса остав-

шихся N – k гирек равна S. Значит, 2

2

N N+ – S = (N –

– k)S, что равносильно равенству 2S(N – k + 1) = 2N + N.

Отсюда следует, что 2S > N + k, поскольку

( )( )2 2 2 1N N N N k k N k N k+ > + − + = + − + .

С другой стороны, если мы выбираем k наименьших гирь, тосредняя масса оставшихся будет наибольшей и равной

1

2

N k+ +, т.е. (при любом выборе гирь) 2S ≤ N + k + 1.

Итак, единственный возможный вариант – выбрать k наи-меньших гирь, удвоенная общая масса 2k + k которых долж-на равняться N + k + 1. Отсюда N + 1 = 2k .

10 – 11 классы

2. Пусть размеры прямоугольника a b× , a < b и сторона bгоризонтальна. Сожмем прямоугольник равномерно по гори-зонтали так, чтобы стороны стали равны. Получим разбитыйна прямоугольники квадрат. Каждая его часть получена сжа-тием плитки по горизонтали в b a раз. Значит, она имеетменьшую ширину, но ту же высоту, и такую часть можно от-резать от плитки вертикальным разрезом. Оставшаяся частьплитки получается из нее сжатием по горизонтали в ( )b b a−раз. Соответственно, из них мож-но сложить прямоугольник, полу-чающийся из исходного сжатиемв ( )b b a− раз.3. Первое решение. Поместим вкаждую вершину массу, обратнопропорциональную длинам про-веденных из этой вершины каса-тельных к сфере (все три каса-тельные для данной вершины,очевидно, равны). Тогда точкакасания ребра совпадает с цент-ром масс этого ребра, и все триотрезка из условия задачи пере-секаются в центре масс тетра-эдра.Второе решение. Пусть K, L,M, N, P, R (рис.6) – точки, вкоторых соответственно ребраAB, AC, AD, BC, BD, CD тетра-эдра ABCD касаются сферы, a,b, c, d – длины касательных,выходящих соответственно извершин A, B, C, D.Плоскости ABD и BCD пересекаются по прямой BD. По тео-реме Менелая (примененной к треугольнику ABD) прямаяMK пересекает BD в точке, делящей отрезок BD (внешним

образом) в отношении AM BK

DM AK⋅ =

a b

d a⋅ =

b

d. По той же

причине прямая RN пересекает BD в той же точке: CR BN

DR CN⋅ =

=c b

d c⋅ =

b

d. (Если b = d, то MK и RN параллельны BD.)

Значит, прямые MK и RN лежат в одной плоскости (пересе-

каются или параллельны). Следовательно, прямые MN и KRтакже пересекаются.Аналогично, прямая LP пересекает MN и KR.Поскольку эти три прямые очевидно не лежат в одной плос-кости, они должны пересекаться в одной точке.5. Построим параллелограмм BCDI (рис.7). По условию тре-угольники ABI и XYZ равны. Значит, отрезок AI параллелени равен FE, т.е. AIEF – тоже параллелограмм.

Рис. 6

61-64.p65 05.02.10, 17:5363

К В А Н T $ 2 0 1 0 / 164

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени«Чеховский полиграфический комбинат»

142300 г.Чехов Московской области,Сайт: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru

Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФпо печати. Рег. св-во 0110473

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант»Тел.: 930-56-48

Е-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.infoСайт: kvant.info

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, Е.М.Епифанов,С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова,

А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИД.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, В.М.Хлебникова,

П.И.Чернуский

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОРЕ.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППАЕ.А.Митченко, Л.В.Калиничева

©

Пусть K, L, M – серединысторон BC, DE, FA соот-ветственно, P – серединаEI.Тогда

KLM MPB ABI XYZS S S S> > = .

Оба неравенства следуютиз следующего очевидногоутверждения:Пусть TUVW – паралле-лограмм, точка R и отре-зок VW лежат по разныестороны от прямой TU.Тогда

RVW RTUS S> .

(В первом неравенстве используется параллелограмм BKLP,во втором – AIPM.)Замечание. В этой задаче есть досадный второй случай, кото-рый не учитывает приведенное решение: когда шестиугольники треугольник, данные в условии, ориентированы по-разному(т.е. шестиугольник при чтении букв – названий вершин –обходится по часовой стрелке, а треугольник – против). Вэтом случае, если достраивать на одной из сторон шести-угольника наш треугольник, он будет торчать наружу!Вот набросок решения для этого случая. Он сводится к пер-вому следующей перестройкой шестиугольника (рис.8). Здесь

1AC = CB , 1 1C D = EF , 1BF = FA , 1 1FE = DC . Отсюда

легко следует, что 1 1K L = LK , 1 1K M = MK , 1 1L M = ML ,т.е. серединный треугольник не изменился.7. При N = 2k , k = 0, 1, 2, …Заменим бочонки на нули и единицы, стоящие по кругу.Пусть 2kN ≠ , k = 0, 1, 2, … Покажем, что при невезенииАли-Баба никогда не откроет пещеру. Можно считать, что мыиграем против Али-Бабы, вращая круг, и что он заранее гово-рит нам, на каких местах он будет менять цифры на каждом(в том числе и на первом) ходу.Рассмотрим сначала случай, когда N нечетно. Расставим накруге нули и единицы так, чтобы Али-Баба не выиграл пер-вым своим (известным нам) ходом (т.е. чтобы после его ходана круге были как нули, так и единицы).Пусть Али-Баба на очередном ходу выбрал для замены опре-деленные k мест. Он выиграет, только если эти k мест совпа-дут либо со множеством всех нулей, либо со множеством всехединиц. Но число нулей не равно числу единиц (сумма чиселнечетна!). Значит, каких-то цифр – не k штук. Загнав пово-ротом такую цифру на одно из выбранных k мест, мы не да-дим Али-Бабе выиграть следующим ходом.Случай, когда N четно, но имеет нечетный делитель m, сво-дится к разобранному. Отметим на большом круге m равноот-стоящих мест и забудем про остальные. Действуя, как описа-

Рис. 8

но выше, мы сможем помешать Али-Бабе уравнять все цифрына отмеченных местах.Алгоритм выигрыша Али-Бабы для 2k мест будем строитьиндуктивно. База для k = 1 очевидна. Пусть у нас есть алго-ритм mA для m мест. Построим 2mA . Начнем с частных слу-чаев. Разобьем круг на m пар противоположных мест и уста-новим соответствие между парами для 2m и местами для m.1) Пусть мы знаем, что в каждой паре цифры равны. Приме-ним алгоритм mA , заменяя места целыми парами. Ясно, чтокогда замок открылся там, он откроется и тут.2) Пусть мы знаем, что четность суммы в каждой паре одина-кова. Применим mA для пар. Если не открылось, то все сум-мы были нечетны. Но меняя оба числа пары, мы не меняемчетности. Значит, все суммы остались нечетными. Изменим mцифр подряд (назовем эту операцию D). Теперь все суммычетны. Еще раз применив mA для пар, откроем замок. Назо-вем алгоритм для этого случая B.3) Применим теперь mA для пар другим способом: цель –сделать суммы в парах одной четности. По-прежнему на каж-дом шагу мы выбираем набор пар согласно mA , но меняем вкаждой выбранной паре только по одной цифре. Назовем ал-горитм C. Он гарантирует, что на каком-то шагу (мы не зна-ем, на каком) четности сумм совпадут. Дверь это, понятно,не откроет. Но мы схитрим: после каждого шага C применимB, а затем D. При совпадении сумм четностей B откроетдверь, а иначе BD не изменит четностей сумм.

Рис. 7

61-64.p65 05.02.10, 17:5364