第 16 章 傅立叶级数

16.1 傅立叶级数16.2 正弦级数与余弦级数16.3 以 为周期的函数的展开式16.4 收敛定理的证明

16.1 傅立叶级数

一、问题的提出二、三角级数 三角函数系的正交性

三、函数展开成傅里叶级数

一、问题的提出非正弦周期函数 : 矩形波

ot

u

1

1

t

ttu

0,1

0,1)(

当当

不同频率正弦波逐个叠加

,7sin714

,5sin514

,3sin314

,sin4

tttt

tu sin4

)3sin31

(sin4

ttu

)5sin51

3sin31

(sin4

tttu

)7sin71

5sin51

3sin31

(sin4

ttttu

)7sin71

5sin51

3sin31

(sin4

)(

tttttu)0,( tt

)9sin91

7sin71

5sin51

3sin31

(sin4

tttttu

二、三角级数 三角函数系的正交性

10 )sin()(

nnn tnAAtf

1. 三角级数

谐波分析

10 )sincoscossin(

nnnnn tnAtnAA

1

0 )sincos(2 n

nn nxbnxaa

,2 0

0 Aa令 ,sin nnn Aa ,cos nnn Ab ,xt

三角级数

2. 三角函数系的正交性

,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx

.],[

:

上的积分等于零任意两个不同函数在正交

,0cos

nxdx ,0sin

nxdx

三角函数系

),3,2,1( n

,,

,0sinsin

nm

nmnxdxmx

,,

,0coscos

nm

nmnxdxmx

.0cossin

nxdxmx ),2,1,( nm其中

三、函数展开成傅里叶级数问题 : 1. 若能展开 , 是什么 ?ii ba ,

2. 展开的条件是什么 ?

1. 傅里叶系数

1

0 )sincos(2

)(k

kk kxbkxaa

xf若有

.)1( 0a求

dxkxbkxadxa

dxxfk

kk ])sincos([2

)(1

0

,220 a

dxxfa )(

10

kxdxbdxkxadxa

kk

kk sincos

2 11

0

.)2( na求

nxdx

anxdxxf cos

2cos)( 0

]cossincoscos[1

nxdxkxbnxdxkxa k

kk

nxdxan

2cos , na

nxdxxfan cos)(1

),3,2,1( n

.)3( nb求

nxdxxfbn sin)(1 ),3,2,1( n

nxdx

anxdxxf sin

2sin)( 0

]sinsinsincos[1

nxdxkxbnxdxkxa k

kk , nb

),2,1(,sin)(1

),2,1,0(,cos)(1

nnxdxxfb

nnxdxxfa

n

n

2

0

2

0

),2,1(,sin)(1

),2,1,0(,cos)(1

nnxdxxfb

nnxdxxfa

n

n

或

傅里叶系数

傅里叶级数

1

0 )sincos(2 n

nn nxbnxaa

问题 :

1

0 )sincos(2

?)(n

nn nxbnxaa

xf 条件

2. 狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件 ( 收敛定理 )设 )(xf 是以2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 )(xf 的傅里叶级数收敛,并且

(1) 当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf ;

(2) 当x是 )(xf 的间断点时,收敛于2

)0()0( xfxf;

(3) 当x为端点 x 时,收敛于2

)0()0( ff.

注意 : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多 .

解

例 1 以 2 为周期的矩形脉冲的波形

, 0( )

, 0m

m

E tu t

E t

将其展开为傅立叶级数.

ot

u

mE

mE

所给函数满足狄利克雷充分条件 .

.),2,1,0( 处不连续在点 kkt

2mm EE 收敛于

2

)( mm EE ,0

).(, tukt 收敛于时当 和函数图象为

ot

u

mE

mE

ntdttuan cos)(

1

0

0

cos1

cos)(1

ntdtE

ntdtE

m

m

),2,1,0(0 n

ntdttubn sin)(

1

0

0sin

1sin)(

1ntdtEntdtE mm

)cos1(2

nnEm ])1(1[

2 nm

nE

,2,1,2,0

,2,1,12,)12(

4

kkn

kknkEm

1

)12sin()12(

4)(

n

m tnnE

tu

),2,,0;( tt

所求函数的傅氏展开式为

注意 : 对于非周期函数 , 如果函数 只在区间 上有定义 , 并且满足狄氏充分条件 , 也可展开成傅氏级数 .

)(xf],[

作法 :

),()()()2( xfxFT周期延拓

)]0()0([21

ff端点处收敛于

例2 将函数

xx

xxxf

0,

0,)( 展开为傅立叶

级数.

解 所给函数满足狄利克雷充分条件 .

拓广的周期函数的傅氏级数展开式在

收敛于 .)(xf

],[

x

y

0 22

nxdxxfan cos)(

1

0

0cos

1cos)(

1nxdxxnxdxx

)1(cos22

nn

]1)1[(22

n

n

dxxfa )(

10

0

0 1)(

1xdxdxx ,

,2,1,2,0

,2,1,12,)12(

42

kkn

kknk

nxdxxfbn sin)(

1

0

0sin

1sin)(

1nxdxxnxdxx ,0

1

2 )12cos()12(

142

)(n

xnn

xf

)( x

所求函数的傅氏展开式为),3,2,1( n

利用傅氏展开式求级数的和

,)12cos()12(

142

)(1

2

n

xnn

xf

,0)0(,0 fx 时当 22

2

5

1

3

11

8

,4

1

3

1

2

11 222 设

),8

(5

1

3

11

2

221

,6

1

4

1

2

12222

,4

1

3

1

2

11 2223

,44

212

,

243

21

2

21 ,6

2 13 2 .12

2

为周期的连续函数，且是以设 2)(xf

1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf 可逐项积分，

试证明： ,)(2

)(1

1

222

02

nnn ba

adxxf

.)(, 的傅立叶系数为其中 xfba nn

证

1

0 )sincos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

1

02 ]sin)(cos)([)(2

)(n

nn nxxfbnxxfaxfa

xf

例 3

可逐项积分，)(xf

dxxf

a)(

20

dxxf )(2

1

]sin)(cos)([n

nn nxdxxfbnxdxxfa

dxxf

a)(

20

1

]sin)(cos)([n

nn nxdxxfbnxdxxfa

0a

na nb

,)(2

)(1

222

02

nnn ba

adxxf 结论可证 .

播放播放

1. 基本概念；2. 傅里叶系数；3. 狄利克雷充分

条件；4. 非周期函数的

傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义——整体逼近

四、小结

思考题

若 函 数 )()( xx ， 问 ： )( x 与 )( x

的 傅 里 叶 系 数 na 、 nb 与 n 、 n ),2,1,0( n

之 间 有 何 关 系 ？

思考题解答

nxdxxan cos)(

1

)()cos()(

1tdntt

nxdxx cos)(

1

nxdxx cos)(

1n ),2,1,0( n

16.2 正弦级数与余弦级数

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数

( 1)当 周 期 为 2 的 奇 函 数 )( xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数时 , 它的 傅 里 叶 系数 为

),2,1(sin)(

2

),2,1,0(0

0

nnxdxxfb

na

n

n

定理

一般说来 , 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项 , 又含有余弦项 . 但是 , 也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 .

( 2) 当 周 期 为 2 的 偶 函 数 )( xf 展 开 成 傅 里 叶 级

数 时 , 它 的 傅 里 叶 系 数 为

),2,1(0

),2,1,0(cos)(2

0

nb

nnxdxxfa

n

n

证明 ,)()1( 是奇函数设 xf

nxdxxfan cos)(1

0 ),3,2,1,0( n奇函数

0 sin)(2

nxdxxf

),3,2,1( n

同理可证 (2)

定义 如果 )(xf 为奇函数,傅氏级数 nxbnnsin

1

称为正弦级数.

如果 )(xf 为偶函数, 傅氏级数 nxaa

nncos

2 1

0

称为余弦级数.

nxdxxfbn sin)(1

偶函数

定理证毕 .

例1 设 )(xf 是周期为2的周期函数,它在),[ 上的表达式为 xxf )( ,将 )(xf 展开成

傅氏级数.

解 所给函数满足狄利克雷充分条件 .

,),2,1,0()12( 处不连续在点 kkx

2)0()0( ff收敛于

2)(

,0

),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点

2 2 3 3x

y

0

,2)()12( 为周期的奇函数是以时 xfkx

和函数图象

),2,1,0(,0 nan

0 sin)(2

nxdxxfbn

0 sin2

nxdxx

02 ]sincos

[2

n

nxnnxx

nn

cos2

,)1(2 1 n

n),2,1( n

)3sin31

2sin21

(sin2)( xxxxf

.sin)1(

21

1

n

n

nxn

),3,;( xx

)5sin51

4sin41

3sin31

2sin21

(sin2 xxxxxy

xy

观察两函数图形

例2 将周期函数 tEtusin)(展开成傅氏级数,

其中E是正常数.

解 所给函数满足狄利克雷充分条件 , 在整个数轴上连续 .

,)( 为偶函数tu

,0 nb

00 )(2

dttua

t

)(tu

0 2 2

E

0 sin2

tdtE ,4

E

),2,1( n

0 cos)(2

ntdttuan

0 cossin2

ntdttE

0

])1sin()1[sin( dttntnE

12,0

2,]1)2[(

42

kn

knk

E

当

当),2,1( k

01)1cos(

1)1cos(

ntn

ntnE

)1( n

01 cos)(2

tdttua

0 cossin2

tdttE ,0

)6cos351

4cos151

2cos31

21

(4

)(

tttE

tu

)( t

].14

2cos21[

2

12

n n

nxE

二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓

).(

2,],0[)(

xF

xf

函数为周期的延拓成以上定义在设

,0)(

0)()(

xxg

xxfxF令 ),()2( xFxF 且

则有如下两种情况 .偶延拓奇延拓

奇延拓 : )()( xfxg

0)(00

0)()(

xxfxxxf

xF则

x

y

0 的傅氏正弦级数)(xf

1sin)(

nn nxbxf )0( x

偶延拓 : )()( xfxg

0)(

0)()(

xxfxxf

xF则

的傅氏余弦级数)(xf

1

0 cos2

)(n

n nxaa

xf )0( x

x

y

0

例 3 将 函 数 )0(1)( xxxf 分 别 展 开 成

正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .

解 (1) 求正弦级数 . ,)( 进行奇延拓对 xf

0 sin)(2

nxdxxfbn

0 sin)1(

2nxdxx

)coscos1(2

nnn

,6,4,22

,5,3,122

nn

nn

当

当

]3sin)2(31

2sin2

sin)2[(2

1

xxxx

)0( x

]5sin)2(51

4sin4

3sin)2(31

2sin2

sin)2[(2

xxxxxy

1xy

(2) 求余弦级数 . ,)( 进行偶延拓对 xf

00 )1(

2dxxa ,2

0 cos)1(

2nxdxxan

)1(cos22

nn

,5,3,14

,6,4,20

2 nn

n

当

当

]5cos5

13cos

3

1(cos

41

21 22

xxxx

)0( x

1xy

)7cos71

5cos51

3cos31

(cos4

12 222 xxxxy

三、小结1 、基本内容 :

奇函数和偶函数的傅氏系数 ; 正弦级数与余弦级数 ; 非周期函数的周期性延拓 ;

2 、需澄清的几个问题 .( 误认为以下三情况正确 )a. 只有周期函数才能展成傅氏级数 ;

;2,],0[. 的傅氏级数唯一展成周期为上在 b

).(

,],[.

xf

c

级数处处收敛于值点时上连续且只有有限个极在

思考题

.

],[)()(,,

,],[)(

定义的函数上成为才能使

应如何选择上定义的函数是在设 BAtftFBA

baxf

思考题解答

,,)( bBAaBA 应使

.2

,2

abB

abA

即

nxdxxbn sin)(

1

)()sin()(

1tdntt

nxdxx sin)(

1

nxdxx sin)(

1n ),2,1( n

,nna .nnb

16.2 以 2L 为周期的傅氏级数

一、以 2L 为周期的傅氏级数,2lT .

2lT

定理式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为

,

)(2 xfl

),sincos(2

)(1

0

lxn

blxn

aa

xf nn

n

)sincos(2 1

0 xnbxnaa

nn

n

代入傅氏级数中

为其中系数 nn ba ,

),2,1,0(,cos)(1 ndx

lxn

xfl

al

ln

),2,1(,sin)(1 ndx

lxn

xfl

bl

ln

,)()1( 为奇函数如果 xf 则有

,sin)(1

n

n lxn

bxf

,sin)(2

0dx

lxn

xfl

bbl

nn 为其中系数 ),2,1( n

,)()2( 为偶函数如果 xf 则有

,cos2

)(1

0

n

n lxn

aa

xf

dxlxn

xfl

aal

nn

0cos)(

2为其中系数

),2,1,0( n证明 ,

lx

z令 lxl , z

),()()( zFlz

fxf

设 .2)( 为周期以 zF

),sincos(2

)(1

0 nzbnzaa

zF nn

n

)sincos(2

)(1

0 xln

bxln

aa

xf nn

n

.sin)(1

,cos)(1

nzdzzFb

nzdzzFa

n

n其中

.sin)(1

,cos)(1

l

ln

l

ln

xdxln

xfl

b

xdxln

xfl

a其中

)()( xfzFlx

z

二、典型例题

k

2x

y

20 44

例 1 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数 ,它在 )2,2[

上的表达式为

20

020)(

xk

xxf , 将其展

成傅氏级数 .

解 .,2 满足狄氏充分条件l

2

0

0

20 21

021

kdxdxa ,k

2

0 2cos

21

xdxn

k ,0

2

0 2sin

21

xdxn

kbn )cos1(

nnk

,,6,4,20

,5,3,12

n

nnk

当

当

)2

5sin

51

23

sin31

2(sin

22

)(

xxxkkxf

),4,2,0;( xx

na ),2,1( n

例 2 将 函 数 15510)( xxxf 展 开 成 傅

氏 级 数 .

解 ,10xz作变量代换155 x ,55 z

)10()( zfxf ),(zFz

,)55()( 的定义补充函数 zzzF

,5)5( F令 )10()( TzF 作周期延拓然后将

,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足

).()5,5( zF内收敛于且展开式在

x

)(zFy

5 50 1510

),2,1,0(,0 nan

5

0 2sin)(

52

dzzn

zbn

,10

)1(

n

n ),2,1( n

,5

sin)1(10

)(1

n

n znn

zF )55( z

1

)]10(5

sin[)1(10

10n

n

xn

nx

.5

sin)1(10

1

n

n

xn

n)155( x

另解

155 5

cos)10(51

dxxn

xan

155 5

sin)10(51

dxxn

xbn

155

155 5

cos51

5cos2 dx

xnxdx

xn ,0

1550 )10(

51

dxxa ,0

,10

)1(n

n ),2,1( n

1 5

sin)1(10

10)(n

n

xn

nxxf故

)155( x

),2,1( n

三、小结

利用变量代换求傅氏展开式 ;

求傅氏展开式的步骤 ;

1. 画图形验证是否满足狄氏条件 ( 收敛域 , 奇偶性 );2. 求出傅氏系数 ;

3. 写出傅氏级数 , 并注明它在何处收敛于 ).(xf

以 2l为周期的傅氏系数 ;

16.3 收敛定理的证明Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间

上按段光滑,则在每一点 ,

的 Fouri er 级数收敛于 在点 的左、右

极限的算术平均值 ,  即

其中 和 为 的 Fouri er 系数.

证明思路: 设 ～

对每个 , 我们要证明

.

.

即证明 .

方法是把该极限表达式化为积分 , 利用

R—L 定理证明相应积分的极限为零 .

1 写出 的简缩形式.

称这一简缩形式为 的积分形式 , 或称为Di ri chlet积分,

2 利用该表示式, 式 可化为

+ ,

于是把问题归结为证明

,

.

这两式的证明是相同的 , 只证第一式 .

3 为证上述第一式 , 先利用三角公式

建立所谓 Dirichlet 积分

利用该式把 表示为积分,即把 表示

为 Di ri chlet积分

.

于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为

.

4     利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零 . 为此 , 先证明 Bessel不等式 , 再建立 Riemann — Lebesgue 定理 , 然后把以上最后的式子化为

.

5     把上式化为应用 R — L 定理的形式 , 即令

则

为使最后这一极限等于零, 由 R — L定理, 只要

函数 在区间 上可积. 因此希望 存在.

由函数 在区间 上按段光滑, 可以验证

存在.

预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间

上可积, 则有 Bessel 不等式

其中 和 为函数 的 Fouri er 系数. 推论 1 ( Ri emann— Lebesgue定理 )

若函数 在区间 上可积, 则有

推论 2若函数 在区间 上可积, 则有

预备定理 2 若 是以 为周期的周期函数,

且在区间 上可积, 则函数 的

Fouri er 级数部分和 有积分表示式

当 时, 被积函数中的不定式由极限

来确定 .

Dirichlet 积分 : 

证 由三角公式

.

三维空间中 则 (1)

将此结论推广到 维空间, 即为

,

则

若

对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数

自然应有

这就是有名的 Bessel 不等式 , 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样 ,  都是利用坐标系的正交性 .

Parseval 等式 ( 或称 Ляпинов 等式 )

设可积函数 的 Fouri e级数在区间

上一致收敛于 , 则成立 Parseval 等式

.

证明 注意到此时函数 在区间

可积 , 由 Bessel 不等式, 有

.

现证对 , 有

.

事实上, 令

由 一致收敛于 ,

对 对 ,

有 , 因此 ,

即当 时有

.

令 , .

由 的任意性, 有

.

综上即得所证 .

Fourier 级数与三角级数的区别： Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的 Fourier 级数 .

一个三角级数是 Fourier 级数 ( 即是某个可积函数的 Fourier 级数 ) 的必要条件为 :

若三角级数 为

Fourier级数, 则数项级数 收敛.

比如正弦级数 是收敛的三角级数(利用Di ri chlet判别

法) , 由级数 发散, 正弦级数 不是 Fourier级数.

傅里叶 ( J.B.J.Fourier  1768.3.21-1830.3.16)

他从 1800 年开始研究热传导 1811 年因解答科学院提出的问题而获奖， 1822 年出版了他的名著《热的分析理论》，把数学成功地应用于物理，引入了热传导方程，并得到在各种边界条件下的解答；他开创了分析的一个重要分支 - 傅里叶级数，这在数学、物理、工程技术上有广泛应用，对现代数学产生了重大影响。

法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众， 1790 年成为巴黎工科大学教授。 1798 年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究 1827 年当选为法国科学院院士。

第 16 章 习题课

,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx

.],[ 上的积分等于零任意两个不同函数在正交性

,0cos

nxdx ,0sin

nxdx

三角函数系

),2,1( n其中

傅里叶级数

nm

nmnxdxmx

,

,0sinsin

nm

nmnxdxmx

,

,0coscos

0cossin nxdxmx ),2,1,( nm其中

(2) 傅里叶级数

1

0 )sincos(2 n

nn nxbnxaa定义 三角级数

其中

),2,1(,sin)(1

),2,1,0(,cos)(1

nnxdxxfb

nnxdxxfa

n

n

称为傅里叶级数 .

1

0 )sincos(2 n

nn nxbnxaa

(3) 狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件 ( 收敛定理 ) 设 )(xf 是以2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 )(xf 的傅里叶级数收敛,并且(1) 当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf ;

(2) 当x是 )(xf 的间断点时, 收敛于2

)0()0( xfxf;

(3) 当x为端点 x 时,收敛于2

)0()0( ff.

如果 )(xf 为奇函数, 傅氏级数 nxbnnsin

1

称为正弦级数.

(4) 正弦级数与余弦级数

当 周 期 为 2 的 奇 函 数 )( xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数 时 ,它 的 傅 里 叶 系 数 为

),2,1(sin)(

2

),2,1,0(0

0

nnxdxxfb

na

n

n

当 周 期 为 2 的 偶 函 数 )( xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数

时 ,它 的 傅 里 叶 系 数 为

),2,1(0

),2,1,0(cos)(2

0

nb

nnxdxxfa

n

n

如果 )(xf 为偶函数, 傅氏级数 nxaa

nncos

2 1

0

称为余弦级数.

奇延拓 :

0)(

00

0)(

)(

xxf

x

xxf

xF令

的傅氏正弦级数)(xf

.sin)(1

n

n nxbxf )0( x

(5) 周期的延拓

偶延拓 :

0)(

0)()(

xxf

xxfxF令

的傅氏余弦级数)(xf

1

0 cos2

)(n

n nxaa

xf )0( x

式为则它的傅里叶级数展开的条件满足收敛定理的周期函数设周期为

,

)(2 xfl

),sincos(2

)(1

0

lxn

blxn

aa

xf nn

n

式的周期函数的傅氏展开周期为 l2)6(

),2,1,0(,cos)(1 ndx

lxn

xfl

al

ln

),2,1(,sin)(1 ndx

lxn

xfl

bl

ln

形．函数，同时画出它的图写出该级数的和的正弦级数并在

为周期内展开成以在将

22

20cos

x

xx例 1

解

,cos

),(,sincos

2),0(cos)(

1

进行奇开拓内对

必须在周期的正弦级数

为内展开成以在要将

x

nxbx

xxf

nn

),0,(cos

,00

),,0(cos

)(

xx

x

xx

xF令

0sincos

2nxdxxbn

0

])1sin()1[sin(1

dxxnxn

]1)1(1

1)1(1

[1 11

nn

nn

mn

n

nmno

2,)1(

412,

2

)1( n

,0na ),2,1,0( n

01 2sin1

xdxb ,0

1

2 )0(.2sin)14(

8cos

m

xmxm

mx

上级数的和函数为在 22 x

),2,()0,(cos

2,,00

),2(),0(,cos

)(

xx

x

xx

xs

和函数的图形为

x

y

o 2 2

的和．由此求级数为周期的付氏级数，并以

内展开成将函数

12

12

)11(2)(

n n

xxxf例 2

解 ,)11(2)( 是偶函数 xxxf

1

00 )2(12

dxxa ,5

1

0 1cos)2(

12

dxxn

xan 1

0cos2 xdxnx

1

0sin

2xnxd

n]1)1[(

222

n

n

12,4

2,0

22 knn

kn),2,1( k

,0nb

1

22 )12cos()12(

425

2k

xkk

x故

122 .

)12(

)12cos(425

k k

xk)11( x

),2,1( n

,0x取 由上式得

122 ,

)12(

1425

2k k

1

2

2 ,8)12(

1

k k

1

21

21

2 )2(1

)12(11

kkn kkn而

,1

41

)12(1

12

12

kk kk

34

81 2

12

n n.

6

2

．

时，０当证明：

624cos 22

12

xx

n

nx

x

n

例 3

解 ,24

)(2 xx

xf设

上展开成余弦级数：［在将 ],0)( xf

0

2

0 )24

(2

dxxx

a )412

(2 33

,3

3

0

2

cos)24

(2

nxdxxx

an

]sin)22

(sin)24

[(2

00

2

nxdxx

nxxx

n

nxdx

ncos)

22(

202

222

n

.1

2n

)0(cos

624 12

22

xn

nxxx

n

．

．故624

cos 22

12

xx

n

nx

n

时级数的和。

出在内展成正弦级数，并指在将例

2

1

,1,0)1,0()(.4 2

x

xxxxf

解 作奇延拓，将 )(xf

X

Y

O 1-1 2

22 l周期为

),3,2,1,0(0 nan

1

0

2

1sin

1

2dxxn

xbn

周期延拓

331 42

)1( nn

n

2)( xxf

133

1

1cos

42)1(

n

n xn

nn

-2

X

Y

O 1-1 2

2)( xxf

133

1 cos42

)1(n

n xnnn

)1,0(x

0)(x

xs )0(f 0

1)(x

xs2

)01()01(

ff0

2

)1(1

2

1)(x

xs

2

1f

4

1

例 5 将函数 15510)( xxxf 展开成傅

氏级数.

解 ,10xz作变量代换155 x ,55 z

)10()( zfxf ),(zFz

,)55()( 的定义补充函数 zzzF

,5)5( F令 )10()( TzF 作周期延拓然后将

,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足

).()5,5( zF内收敛于且展开式在

x

)(zFy

5 50 1510

),2,1,0(,0 nan

5

0 2sin)(

52

dzzn

zbn

,10

)1(

n

n ),2,1( n

,5

sin)1(10

)(1

n

n znn

zF )55( z

1

)]10(5

sin[)1(10

10n

n

xn

nx

.5

sin)1(10

1

n

n

xn

n)155( x

另解

155 5

cos)10(51

dxxn

xan

155 5

sin)10(51

dxxn

xbn

155

155 5

cos51

5cos2 dx

xnxdx

xn ,0

1550 )10(

51

dxxa ,0

,10

)1(n

n ),2,1( n

1 5

sin)1(10

10)(n

n

xn

nxxf故

)155( x

),2,1( n