线性回归方程 (1)

情境： 客观事物是相互联系的，过去研究的大多数是因果关系。比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说。事实上数学和物理成绩都是“果” ,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度。所以说，函数关系存在着一种确定性关系。但还存在着另一种非确定性关系——相关关系。

问题：

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某 6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气

温 /0C

26 18 13 10 4 -1

杯数 20 24 34 38 50 64如果某天的气温是 -50C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗 ?

为了了解热茶销量与气温的大致关系 ,我们以横坐标 x 表示气温，纵坐标 y 表示热茶销量，建立直角坐标系 .将表中数据构成的 6 个数对表示的点在坐标系内标出，得到下图。今后我们称这样的图为散点图 (scatterplot).

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系 ? 我们有多种思考方案 :(1) 选择能反映直线变化的两个点 ,例如取(4,50), (18,24)

（ 2）取一条直线 ,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（ 3）多取几组点 ,确定几条直线方程 ,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值 ,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢 ?

这两点的直线；

建构数学

y bx a

y bx a

1.最小平方法： 用方程为的点，应使得该直线与散点图中的点最接近

那么，怎样衡量直线 与图中六个点的接近程度呢？

的直线拟合散点图中

y

x

26 ,18 ,13 ,10 ,4 ,b a b a b a b a b a b a

我们将表中给出的自变量带入直线方程 ,得到相应的六个值：

的六个值

它们与表中相应的实际值应该越接近越好 .

2 2

2 2

2 2

2 2

( , ) (26 20) (18 24)

(13 34) (10 38)

(4 50) ( 64)

1286 6 140 3820 460 10172

Q a b b a b a

b a b a

b a b a

b a ab b a

所以 ,我们用类似于估计平均数时的思想 ,考虑离差的平方和

( , )Q a b y bx a 是直线在垂直方向 (纵轴方向 )上的距离的平方和 ,可以用来衡量

与各散点

y bx a ,a b ( , )Q a b

与图中六个点的接近的值 ,使

达到最小值 .这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法 ) .

程度 ,所以 ,设法取直线

线性相关关系： 像这样能用直线方程 y bx a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系 .

x1x 2x 3x nx

y 1y 2y 3y ny

线性回归方程：一般地 ,设有n个观察数据如下：

…

…2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nQ y bx a y bx a y bx a

y bx a

当 a,b使

取得最小值时 ,就称这 n对数据的线性回归方程 ,该方程所表示的直线称为回归直线 .

为拟合

奎屯王新敞新疆

奎屯王新敞新疆

练习：（ 1）第 75页练习 1 、 2（ 2）下列两个变量之间的关系哪个不

是函数关系 （ ）A ．角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C ．正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高

D

（ 3）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45

水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455

(1)画出上表的散点图 ;(2)求出回归直线并且画出图形 .