บทที่ 1

58
1 บบบบบ 1. บบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ ( Arithmetic Sequence ) คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคค n+1 คค คคคคคคคคคคค n คคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคค (Common Difference ) คคคคคคคคคคคคคคคค d คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคค d = an+1 - an , n = 1,2,3, ….. คคคค an+1 = an + d คคคคคคค คคคคคคคคคค1 คคค a1 คคคคคคค 2 คคค a2 = a1+ d คคคคคคค 3 คคค a3= a2+ d = ( a1+ d ) + d = a1+ 2d คคคคคคค 4 คคค a4= a3+ d = ( a1+ 2d ) + d = a1+ 3d คคคคคคค 5 คคค a5= a4+ d = ( a1+ 3d ) + d = a1+ 4d . . . . คคคคคคค n คคค a n = + d = a1+ ( n – 1 )d บบบบ a n = a1+ ( n – 1 )d คคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคค n คคคคคคคคคคคค คคคค คคคคคคคคคคคคคคค1 ( a1 ) คคค คคคคคคคคคค (d ) บบบบบบบบบบบบบ บ บบบบบบบบบบบบบบบบ คคคคคคคคคคคคค ค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคค a 1 , a 2 , a 3 , … คคค a 1 คคคค

Transcript of บทที่ 1

Page 1: บทที่ 1

1

บทท�� 1. ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมคว�มหม�ยลำ��ดับเลำขคณิ�ต ( Arithmetic Sequence )  

คื�อลำ��ดั�บที่��ผลำต่��งซึ่��งไดั�จ�ก พจน์�ที่�� n+1 ลำบดั�วยพจน์�ที่�� n มี�คื��คืงที่�� เรี�ยกคื��คืงที่��น์� ว��ผลำต่��งรี�วมี (Common Difference )

แที่น์ดั�วยสั�ญลำ�กษณ์� dจ�กคืว�มีหมี�ยของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ คื��ของ d = an+1 - an , n =

1,2,3, ….. หรี�อ an+1 = an + d

น์��น์คื�อ ถ้��พจน์�ที่��1 คื�อ a1 

พจน์�ที่�� 2 คื�อ a2 = a1+ d

พจน์�ที่�� 3 คื�อ a3= a2+ d = ( a1+ d ) + d = a1+ 2d

พจน์�ที่�� 4 คื�อ a4= a3+ d = ( a1+ 2d ) + d = a1+ 3d

พจน์�ที่�� 5 คื�อ a5= a4+ d = ( a1+ 3d ) + d = a1+ 4d

   .       .      .     .

พจน์�ที่�� n คื�อ a n = + d = a1+ ( n – 1 )d 

สร�ป a n = a1+ ( n – 1 )d คื�อพจน์�ที่��วไปหรี�อพจน์�ที่�� n ของลำ��ดั�บเลำข คืณ์(ต่ ใน์รี-ปของพจน์�ที่��1 ( a1 ) ก�บ ผลำต่��งรี�วมี (d )

ก�รห�พจนุ ต!�ง ๆ ของลำ��ดับเลำขคณิ�ตก�รีห�พจน์�ต่��ง ๆ ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่คื�อก��หน์ดัลำ��ดั�บ

เลำขคืณ์(ต่   a1 ,  a2 ,  a3 ,  …   ให� a1 เป/น์พจน์�แรีกของลำ��ดั�บแลำะ d  เป/น์ผลำต่��งรี�วมี  จะเข�ยน์พจน์�อ��น์ๆ ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ใน์รี-ปของ a1  แลำะ d  ดั�งน์�                                         a1        =        a1

                                        a2        =        a1 + d                                        a3        =         a1 + 2d

Page 2: บทที่ 1

2

                                        a4        =         a1 + 3d                         ดั�งน์� น์    an       =        a1  +  ( n – 1 )d   

สร�ป   พจน์�ที่��วไปหรี�อพจน์�ที่�� n ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ คื�อ    

                                                                 เมี��อ an     คื�อ     พจน์�ที่�� n ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(                                             a1     คื�อ     พจน์�ที่�� 1 ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่                                             n      คื�อ     ต่��แหน์�งของพจน์�ที่�� n                                             d      คื�อ     ผลำต่��งรี�วมี  (พจน์�ที่�� n+1 ลำบดั�วย พจน์�ที่�� n)

ลำ��ดับเลำขคณิ�ต ลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ คื�อ ลำ��ดั�บซึ่��งมี�ผลำต่��งที่��ไดั�จ�กก�รีน์��พจน์�ที่�� 1+n

ลำบดั�วยพจน์�ที่�� เป/น์คื��คืงต่�วที่��เที่��ก�น์ สั��หรี�บที่1กจ��น์วน์เต่2มีบวก nn แลำะเรี�ยกคื��คืงต่�วที่��เป/น์ผลำต่��งน์� ว�� ผลำต่��งรี�วมีเรี�สั�มี�รีถ้ก��หน์ดัลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ โดัยคืว�มีสั�มีพ�น์ธ์�เว�ยน์เก(ดั ไดั�ดั�งน์� ,...,...,,,321naaaa ให� เป/น์คื��คืงต่�ว แลำะให� da,1daann+=−1

เมี��อ 2≥n จะไดั� daa+=12 ()daddadaa21123+=++=+= ()daddadaa321134+=++=+= . . . ดังนุ$นุ จะไดั�ลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ คื�อ na,...3,2,,1111dadadaa+++

ดั�งน์� น์สั-ต่รีพจน์�ที่�� ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ คื�อ n

Page 3: บทที่ 1

3

เมี��อ เป/น์พจน์�แรีก แลำะ เป/น์ผลำต่��งรี�วมีของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ ()dnaan11−+=1ad ลำ��ดับเรข�คณิ�ต

ลำ��ดั�บเรีข�คืณ์(ต่ คื�อ ลำ��ดั�บซึ่��งมี�อ�ต่รี�สั�วน์ของพจน์�ที่�� 1+n ต่�อพจน์�ที่�� n เป/น์คื��คืงต่�วที่��เที่��ก�น์สั��หรี�บที่1กจ��น์วน์เต่2มีบวก n แลำะเรี�ยกคื��คืงต่�วที่��เป/น์อ�ต่รี�สั�วน์รี�วมีน์� ว�� อ�ต่รี�สั�วน์รี�วมี

สั-ต่รีของพจน์�ที่�� n ใน์รี-ปของพจน์�ที่�� 1 ไดั�ดั�งสัมีก�รี

โดัยที่��   คื�อ ผลำต่��งรี�วมี

ตวอย!�งของลำ��ดับเลำขคณิ�ตเช่�น์ 2, 4, 6, 8, ... ใน์ที่��น์�    แลำะสั�มี�รีถ้เข�ยน์พจน์�ที่��วไปอย-�ใน์รี-ป 

Page 4: บทที่ 1

4

อนุ�กรม 

คื�อผลำจ�กก�รีบวกสัมี�ช่(กที่1กต่�วของลำ��ดั�บไมี�จ��ก�ดัเข��ดั�วยก�น์ ห�กก��หน์ดัให�ลำ��ดั�บของจ��น์วน์เป/น์   อน์1กรีมีของลำ��ดั�บน์� ก2คื�อ   อน์1กรีมีสั�มี�รีถ้เข�ยน์แที่น์ไดั�ดั�วยสั�ญลำ�กษณ์�ของผลำรีวมี  เช่�น์ต่�วอย��งน์� เป/น์อน์1กรีมีของลำ��ดั�บ∑  

พจน์�ของอน์1กรีมีมี�กถ้-กสัรี��งข� น์โดัยกฎเกณ์ฑ์�เฉพ�ะ เช่�น์โดัยสั-ต่รีคืณ์(ต่ศ�สัต่รี� ข� น์ต่อน์ว(ธ์� ลำ��ดั�บของก�รีว�ดั หรี�อแมี�แต่�ก�รีสั1�มีจ��น์วน์ แลำะเน์��องจ�กพจน์�ใน์อน์1กรีมีมี�จ��น์วน์ไมี�จ��ก�ดั อน์1กรีมีจ�งอ�จเรี�ยกว��เป/น์ อนุ�กรมไม!จ��กดั หรี�ออนุ�กรมอนุนุต  อน์1กรีมีจ��เป/น์ต่�องมี�เคืรี��องมี�อจ�กคืณ์(ต่ว(เคืรี�ะห�เพ��อที่��จะที่��คืว�มีเข��ใจแลำะเพ��อให�สั�มี�รีถ้จ�ดัก�รีปรี�บแต่�งไดั� ไมี�เหมี�อน์ก�บผลำรีวมีที่��มี�พจน์�จ��ก�ดั น์อกเหน์�อจ�กก�รีใช่�ง�น์ที่��วไปใน์คืณ์(ต่ศ�สัต่รี� อน์1กรีมีไมี�จ��ก�ดัย�งถ้-กใช่�ง�น์อย��งกว��งขว�งใน์สั�ข�ว(ช่�เช่(งปรี(มี�ณ์ ต่�วอย��งเช่�น์ฟิ;สั(กสั�หรี�อว(ที่ย�ก�รีคือมีพ(วเต่อรี�

อนุ�กรมเลำขคณิ�ตอน์1กรีมีที่��ไดั�จ�กลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ เรี�ยกว�� อนุ�กรมเลำขคณิ�ต แลำะผลำ

ต่��งรี�วมีของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่ เป/น์ผลำต่��งรี�วมีของอน์1กรีมีเลำขคืณ์(ต่ดั�วย               เมี��อ      a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n –

1)d  เป/น์ลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่               จะไดั�   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 +

2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)  เป/น์อน์1กรีมีเลำขคืณ์(ต่               ซึ่��งมี�   a1  เป/น์พจน์�แรีกของอน์1กรีมี แลำะ  d  เป/น์ผลำต่��งรี�วมีของอน์1กรีมีเลำขคืณ์(ต่

จ�กบที่น์(ย�มี  จะไดั�ว�� ถ้��  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป/น์ ลำ��ดับเลำขคณิ�ต ที่��มี� n  พจน์� จะเรี�ยกก�รีเข�ยน์แสัดังผลำบวกของพจน์�ที่1กพจน์�ของลำ��ดั�บใน์รี-ป a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an   ว��  อนุ�กรมเลำขคณิ�ต แลำะ

Page 5: บทที่ 1

5

ผลำต่��งรี�วมี( d) ของลำ��ดั�บเลำขคืณ์(ต่เป/น์ผลำต่��งรี�วมีของอน์1กรีมีเลำขคืณ์(ต่ดั�วย

อนุ�กรมเรข�คณิ�ตอน์1กรีมีที่��ไดั�จ�กลำ��ดับเรข�คณิ�ต เรี�ยกว�� อนุ�กรมเรข�คณิ�ต แลำะ

อ�ต่รี�สั�วน์รี�วมีของลำ��ดั�บเรีข�คืณ์(ต่ จะเป/น์อ�ต่รี�สั�วน์รี�วมีของ อน์1กรีมีเรีข�คืณ์(ต่ดั�วยก��หน์ดั      a1,    a1r,    a1r2,   …,   a1r n-1   เป/น์ลำ��ดั�บเรีข�คืณ์(ต่             จะไดั�          a1    +  a1r  +  a1r2  + … + a1r n-1  เป/น์อน์1กรีมีเรีข�คืณ์(ต่              ซึ่��งมี�       a1  เป/น์พจน์�แรีก  แลำะ  r  เป/น์อ�ต่รี�สั�วน์รี�วมีของอน์1กรีมีเรีข�คืณ์(ต่

จ�กบที่น์(ย�มี  จะไดั�ว�� ถ้��  a1,   a2,   a3,   …,   an  เป/น์ ลำ��ดับเรข�คณิ�ต ที่��มี� n พจน์�จะเรี�ยกก�รีเข�ยน์แสัดังผลำบวกของพจน์�ที่1กพจน์�ของลำ��ดั�บใน์รี-ป a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว�� อนุ�กรมเรข�คณิ�ต แลำะอ�ต่รี�สั�วน์รี�วมีของลำ��ดั�บเรีข�คืณ์(ต่ จะเป/น์อ�ต่รี�สั�วน์รี�วมีของอน์1กรีมีเรีข�คืณ์(ต่ดั�วย

บทท�� 2. คว�มนุ!�จะเป'นุคว�มนุ!�จะเป'นุ

ก�รทดัลำองส�!ม(random experiment) คื�อก�รีที่ดัลำองที่��ไมี�สั�มี�รีถ้ที่��น์�ยผลำลำ�พธ์�ไดั�อย��งถ้-กต่�องตวอย!�ง ก�รีโยน์เหรี�ยญข� น์ไปใน์อ�ก�ศ ถ้�อว��เป/น์ก�รีที่ดัลำองสั1�มี เพรี�ะย�งไมี�ที่รี�บว��เหรี�ยญจะหง�ยห�วหรี�อก�อย ก�รีที่อดัลำ-กเต่<� 1 ลำ-ก ถ้�อว��เป/น์ก�รีที่ดัลำองสั1�มี เพรี�ะย�งไมี�ที่รี�บว��ลำ-กเต่<�จะข� น์แต่�มี 1, 2, 3, 4, 5หรี�อ 6 

แซมเป)ลำสเปซ ( sample space ) คื�อเซึ่ต่ของผลำลำ�พธ์�ที่��อ�จเป/น์ไปไดั�ที่� งหมีดัของก�รีที่ดัลำองสั1�มีตวอย!�ง เช่�น์ ใน์ก�รีโยน์เหรี�ยญ 2 อ�น์ 1 คืรี� ง ถ้��มี�ผลำลำ�พธ์�ที่��เรี�สัน์ใจคื�อ ก�รีข� น์ห�วหรี�อก�อยจะไดั�แซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่

Page 6: บทที่ 1

6

คื�อ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เมี��อ (H,T) หมี�ยถ้�งเหรี�ยญอ�น์ที่�� 1 ข� น์ห�ว แลำะเหรี�ยญอ�น์ที่�� 2 ข� น์ก�อย ใน์ก�รีโยน์เหรี�ยญ 2 อ�น์ 1 คืรี� ง ถ้��มี�ผลำลำ�พธ์�ที่��เรี�สัน์ใจคื�อ จ��น์วน์ก�อยที่��ข� น์ จะไดั�แซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่ คื�อ { 0 , 1 , 2 } เมี��อ 0 หมี�ยถ้�งไมี�ข� น์ก�อยที่� ง 2 อ�น์ (น์��น์คื�อข� น์ห�วที่� งสัองอ�น์)

1 หมี�ยถ้�งข� น์ก�อยเพ�ยง 1 อ�น์ (ข� น์ห�ว 1 อ�น์)     

2 หมี�ยถ้�งข� น์ก�อยที่� ง 2 อ�น์ เหต�ก�รณิ ( event ) คื�อสั�บเซึ่ต่ของแซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่ คืว�มีน์��จะ

เป/น์ ของเหต่1ก�รีณ์�คื�อ โอก�สัที่��จะเก(ดัเหต่1ก�รีณ์�ที่��สัน์ใจเที่��ก�บเที่��ใดั 

หลำกก�รห�คว�มนุ!�จะเป'นุให� S เป/น์แซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่ ซึ่��งแต่�ลำะผลำลำ�พธ์�ใน์ S ม�โอก�สเก�ดัข+$นุเท!�ๆ

กนุ       E เป/น์สั�บเซึ่ต่ของ S 

ให� P(E) เป/น์สั�ญลำ�กษณ์�แที่น์ คืว�มีน์��จะเป/น์ของเหต่1ก�รีณ์� E เรี�สั�มี�รีถ้

ห� P(E) ไดั�ดั�งน์�    

ตวอย!�ง กลำ�องใบหน์��งมี�ลำ-กแก�วสั�ข�ว 3 ลำ-ก สั�แดัง 2 ลำ-ก หย(บลำ-กแก�วจ�กกลำ�อง 2 ลำ-ก จงห�เหต่1ก�รีณ์�ที่��จะไดั�ลำ-กแก�วสั�ข�ว 1 ลำ-ก สั�แดัง 1 ลำ-ก เน์��องจ�กเรี�สัน์ใจแซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่ของลำ-กแก�วแต่�ลำะลำ-กที่��ถ้-กหย(บข� น์มี� ดั�งน์� น์เรี�ให� ข1 ,

ข2 , ข3 เป/น์ลำ-กแก�วสั�ข�ว 3 ลำ-ก แลำะ ดั1 , ดั2 เป/น์ลำ-กแก�วสั�แดัง 2

ลำ-ก แซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่ S = { ข1ข2 ,ข1ข3 , ข1ดั1 ,ข1ดั2, ข2ข3 ,

ข2ดั1 , ข2ดั2 , ข3ดั1 , ข3ดั2 , ดั1ดั2 } ให� A เป/น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��ผลำลำ�พธ์�เป/น์ลำ-กแก�วสั�ข�ว 1 ลำ-ก แลำะสั�แดัง 1 ลำ-กเหต่1ก�รีณ์� A = { ข 1 ดั 1 , ข 1 ดั 2 ,

ข 2 ดั 1 , ข 2 ดั 2 , ข 3 ดั 1, ข 3 ดั 2 } 

กฎส��คญบ�งประก�รของคว�มนุ!�จะเป'นุให� A เป/น์เหต่1ก�รีณ์�ใดัๆ แลำะ S เป/น์แซึ่มีเป;ลำสัเปช่ สัมีบ�ต่(คืว�มีน์��จะเป/น์ของ A ดั�งน์�  1. 0   P(A)   1

Page 7: บทที่ 1

7

2. ถ้�� A = { } แลำ�ว P(A) = 0 น์��น์คื�อ P( { } ) = 0

3. ถ้�� A = S แลำ�ว P(A) = 1 น์��น์คื�อ P( S ) = 1

Page 8: บทที่ 1

8

สมบต�ของคว�มนุ!�จะเป'นุของเหต�ก�รณิ 2 เหต�ก�รณิ ให� A แลำะ B เป/น์เหต่1ก�รีณ์� 2 เหต่1ก�รีณ์� ใน์ S แซึ่มีเป;ลำสัเปซึ่ 1. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A   B) 2. P(A U B) = P(A) + P(B) เมี��อ A   B = { } 3. P(A) = 1 - P(A') 4. P(A-B) = P(A) - P(A  B) ตวอย!�ง ก��หน์ดัให� P(A) = 0.6 P(B') = 0.4 แลำะ P(A - B) =

0.2 จงห� P(A '   B') 

จ�ก P(B' ) = 0.4 

จะไดั�ว�� P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.4 = 0.6 

จ�ก P(A) = 0.6 แลำะ P(A - B) = 0.2 

เน์��องจ�ก P(A) = P(A - B) + P(A   B) 0.6 = 0.2 + P(A   B) P(A   B) = 0.4 เน์��องจ�ก P(A'   B') = P( A U B)' = 1 - P(A U B) จ�กสัมีบ�ต่(คืว�มีน์��จะเป/น์ P(A'   B') = 1 - [ P(A) + P(B) - P(A   B) ] = 1 - [ 0.6 + 0.6 - 0.4] = 1 - 0.8 = 0.2 

กฎเกณิฑ์ เบ/$องต0นุเก��ยวกบก�รนุบใน์ช่�ว(ต่ปรีะจ� ว�น์ของมีน์1ษย�เรี� มี�กจะเก�ยวข�องก�บก�รีที่� น์�ย

อน์�คืต่เสัมีอ เช่�น์ ก�รีที่� น์�ยลำมีฟิ=� อ�ก�ศ ที่� น์�ยเก��ยวก�บก�รีแข�งข�น์ฟิ1ต่บอลำ เป/น์ต่�น์ ก�รีศ�กษ�คืว�มีน์��จะเป/น์น์� เก(ดัข� น์ปรีะมี�ณ์ ศต่วรีรีษที่�� 17

เมี��อน์�กพน์�น์ช่��อ Cevaalier de Mere ไดั�ถ้�มีป>ญห� ป�สัคื�ลำ (Blaise

Pascal) แลำะป�สัคื�ลำไดั�สั�งป>ญห�น์� ไป ให� แฟิรี�มี�สัต่� (Pierre de

Fermat) แลำะที่� งสัองไดั�ศ�กษ�ป>ญห� แลำะเรี(�มีสัรี��งที่ฤษฎ�ต่��ง ๆ ข� น์ ก�รีศ�กษ�เรี��อง คืว�มีน์��จะเป/น์น์� จะช่�วยให�น์�กเรี�ยน์สั�มี�รีถ้เดั�เหต่1ก�รีณ์� ไดั�อย��งมี�หลำ�กมี�เกณ์ฑ์�ช่�วยใน์ก�รีต่�ดัสั(น์ใจไดั� ถ้-กต่�องมี�กย(�งข� น์ กฎเกณิฑ์ เบ/$องต0นุเก��ยวกบก�รนุบ ( Fundamental Principles of

Page 9: บทที่ 1

9

Counting ) กฎข0อท�� 1 ถ้��ก�รีกรีะที่�� หน์��งปรีะกอบดั�วย 2 ข� น์ต่อน์ โดัยที่��ข� น์ต่อน์ที่�� 1 มี�ผลำลำ�พที่�ที่��เป/น์ไปไดั� จ��น์วน์ ผลำลำ�พที่� ใน์แต่�ลำะผลำลำ�พที่�ของข� น์ต่อน์ที่�� 1 มี�ผลำลำ�พที่�ที่��เป/น์ไปไดั�ใน์ข� น์ต่อน์ที่�� 2 จ��น์วน์ ผลำลำ�พที่� ดั�งน์� น์ จ��น์วน์ผลำลำ�พที่�ที่��เป/น์ไปไดั�ที่� งหมีดั = ผลำลำ�พที่� กฎข0อท�� 2 ถ้��ก�รีกรีะที่��หน์��งปรีะกอบดั�วย k ข� น์ต่อน์ โดัยที่��ข� น์ต่อน์ที่�� 1 มี�ผลำลำ�พที่�ที่��เป/น์ไปไดั�จ��น์วน์ 1 n ผลำลำ�พที่� ใน์แต่�ลำะผลำลำ�พที่�ของข� น์ต่อน์ที่�� 1 มี�ผลำลำ�พที่�ที่��เป/น์ไปไดั�ใน์ข� น์ต่อน์ที่�� 2จ��น์วน์ 2 n ผลำลำ�พที่� แลำะใน์แต่�ลำะข� น์ต่อน์ที่�� 1 แลำะข� น์ต่อน์ที่�� 2 มี�ผลำลำ�พที่�ที่��เป/น์ไปไดั�ใน์ข� น์ต่อน์ที่�� 3 จ��น์วน์ 3 n ผลำลำ�พที่� เป/น์เช่�น์น์� ไปเรี��อย ๆ

บทท�� 3 เวกเตอร (Vector)

เวกเต่อรี�เป/น์เคืรี��องมี�อที่�งคืณ์(ต่ศ�สัต่รี�อย��งหน์��ง ซึ่��งดั-เหมี�อน์ไมี�มี�คืว�มีจ��เป/น์แต่�เป/น์เคืรี��องมี�ออย��งแรีกที่��ต่�องใช่� อย��งไรีก2ต่�มีใน์ก�รีศ�กษ�ที่�งฟิ;สั(กสั�เวกเต่อรี�เป/น์เคืรี��องมี�อที่��มี�คืว�มีสั��คื�ญ เพ��อช่�วยใน์อ��น์วยคืว�มีสัะดัวกใน์ก�รีคื��น์วณ์3.1 ระบบพ�กดั ( แกนุอ0�งอ�ง )

รีะบบพ(ก�ดัมี�คืว�มีสั��คื�ญเพ��อช่�วยใน์ก�รีว�ดัมี�คืว�มีหมี�ย เช่�น์อ�ก 800 m ถ้�งอ�คื�รีว(ที่ย�ศ�สัต่รี�เป/น์ก�รีบอกที่��ไมี�สัมีบ-รีณ์� เน์��องจ�กไมี�ที่รี�บว��เรี(�มีต่�น์ที่��ต่��แหน์�งใดั

ดั�งน์� น์ใน์ก�รีก��หน์ดัรีะบบพ(ก�ดัต่�องที่รี�บก. จ1ดัเรี(�มีต่�น์ข. ช่น์(ดัของรีะบบพ(ก�ดั (พ(ก�ดัฉ�ก ; พ(ก�ดัเช่(งข� ว ; พ(ก�ดัที่รีงกรีะบอก)

คื. ที่(ศต่�มีแกน์

Page 10: บทที่ 1

10

รีะบบพ(ก�ดัแบบมี�ต่รีฐ�น์ใน์ 2 มี(ต่( ไดั�แก�รีะบบพ(ก�ดัฉ�ก (Cartesian) แลำะ รีะบบพ(ก�ดัเช่(งข� ว

(Polar)

รี-ปที่�� 1 แสัดังรีะบบพ(ก�ดัใน์ 2 มี(ต่(

ตวอย!�ง จงห�รีะบบพ(ก�ดัเช่(งข� วของจ1ดั (3m ,4m ) ดั�งรี-ปที่�� 2

ว�ธี�ท�� จ�กที่ฤษฎ�พ(ธ์�กอรี�สั

r = √ x2+ y2 =

√ (3m )2+(4m )2 = 5m

θ =tan−1( 3m4m )

Page 11: บทที่ 1

11

= 53 .10

รี-ปที่�� 2

รีะบบพ(ก�ดัแบบมี�ต่รีฐ�น์ใน์ 3 มี(ต่( ไดั�แก�รีะบบพ(ก�ดัฉ�ก (Cartesian) แลำะ รีะบบพ(ก�ดัที่รีงกรีะบอก

(Cylindrical) แลำะรีะบบพ(ก�ดัที่รีงกลำมี (Spherical)

รี-ปที่�� 3

รีะบบพ(ก�ดัฉ�กใน์ 3

มี(ต่(

3.2 เวกเตอร

สัเกลำ�รี� : ปรี(มี�ณ์ที่��มี�เฉพ�ะขน์�ดัอย��งเดั�ยวเวกเต่อรี� : ปรี(มี�ณ์ที่��มี�ที่� งขน์�ดัแลำะที่(ศที่�ง

ตวอย!�ง น์�กศ�กษ�คืน์หน์��งเดั(น์ที่�งไปที่�งที่(ศต่ะว�น์ออกเฉ�ยงไปที่�งเหน์�อไดั�รีะยะที่�ง 20m ดั�งรี-ปข��งลำ��งจงเข�ยน์รี-ปแสัดังก�รีเดั(น์ที่�งใน์รี-ปของเวกเต่อรี�

ว�ธี�ท�� เรี�สั�มี�รีถ้เข�ยน์ให�อย-�ใน์รี-ปของเวกเต่อรี�ไดั�ดั�งรี-ป ที่�งซึ่��ยมี�อ เมี�อคืว�มีย�วของ

Page 12: บทที่ 1

12

ลำ-กศรีแที่น์ขน์�ดัของเวกเต่อรี�มี�คื��เที่��ก�บ 4 cm (โดัยใช่�มี�ต่รี�สั�วน์ 5m :1cm)

ห�วลำ-กศรีแสัดังที่(ศที่�งของเวกเต่อรี�

ข0อสงเกต� เวกเต่อรี�สั�มี�รีถ้เลำ��อน์ออกจ�กจ1ดัเรี(�มีต่�น์ไดั� โดัยขน์�ดัแลำะที่(ศที่�งคืงที่��

ก�รีเข�ยน์เวกเต่อรี�ดั�งรี-ป เป/น์ก�รีไมี�สัะดัวกเรี�สั�มี�รีถ้เข�ยน์ใหมี�ไดั�เป/น์ r⃗=20m ที่��มี1มี 67 .50 ก�บแกน์ x ใน์หน์�งสั�อเลำ�มีน์� จะแที่น์เวกเต่อรี�ดั�วย r⃗

3.3 ส!วนุประกอบของเวกเตอร

ตวอย!�ง น์�กศ�กษ�คืน์หน์��งเดั(น์ที่�งไปที่�งที่(ศต่ะว�น์ออกเฉ�ยงไปที่�งที่(ศเหน์�อไดั�รีะยะที่�ง 20m

ดั�งรี-ป จงห�รีะยะที่�งที่��เข�เดั(น์ที่�งไดั�ใน์ที่(ศเหน์�อแลำะที่(ต่ะว�น์ออก ว�ธี�ท�� เปลำ��ยน์จ�กรีะบบพ(ก�ดัเช่(งข� วเป/น์รีะบบพ(ก�ดัฉ�กจ�กรี-ปจะไดั�y = r sin θ

= (20m ) ( sin 67 .50)

= 18 .5m ที่(ศเหน์�อ

=

= (20m ) (cos67 .50)

= 7 .65m ที่(ศต่ะว�น์ออก

สั�วน์ของเวกเต่อรี� r⃗ บน์แกน์ x แลำะ y เรี�เรี�ยกว�� "ส!วนุประกอบ"

ของเวกเต่อรี� r⃗

Page 13: บทที่ 1

13

เวกเตอร หนุ+�งหนุ!วย คื�อเวกเต่อรี�ที่��มี�ขน์�ดั 1 หน์�วย แลำะมี�ที่(ศที่�งต่�มีเวกเต่อรี�ที่��พ(จ�รีณ์� เช่�น์ ให� A⃗ เป/น์เวกเต่อรี�ที่��มี�ขน์�ดัเที่��ก�บ A แลำะ a⃗ เป/น์เวกเต่อรี�หน์��งหน์�วย ที่��มี�ที่(ศเดั�ยวก�บเวกเต่อรี� A⃗ ดั�งรี-ปที่�� 2.6

a⃗ =A⃗A

หรี�อเข�ยน์ใหมี�ไดั�เป/น์

A⃗ = A a⃗

ดั�งน์� น์ใน์รีะบบพ(ก�ดัแกน์มี1มีฉ�ก เวกเต่อรี�หน์��งหน์�วยแที่น์ดั�วย i⃗

มี�ขน์�ดั 1 หน์�วยที่(ศต่�มีแกน์ x j⃗ มี�ขน์�ดั 1 หน์�วยที่(ศต่�มีแกน์ y k⃗ มี�ขน์�ดั 1 หน์�วยที่(ศต่�มีแกน์ z โดัยเวกเต่อรี�ที่� งสั�มีต่� งฉ�กซึ่��งก�น์แลำะก�น์ แลำะเวกเต่อรี�ที่� งสั�มีจะเรี�ยงก�น์ใน์ที่(ศที่วน์เข2มีน์�ฬิ(ก� จ�กต่�วอย��งที่�� 2.3 คื��ต่อบที่��ไดั�สั�มี�รีถ้เข�ยน์ใหมี�ไดั�เป/น์ r⃗=(7 .65m ) i⃗ +(18 .5m) j⃗ เป/น์ก�รีเข�ยน์ใน์รี-ปแบบมี�ต่รีฐ�น์ซึ่��งมี�คืว�มีสัะดัวกมี�กเมี��อน์��ไปใช่�ใน์ก�รีบวกแลำะก�รีคื-ณ์เวกเต่อรี� รี-ปแแบบที่��ว ๆ ไปของเวกเต่อรี�เข�ยน์ไดั�ดั�งน์� r⃗=r x i⃗ +r y j⃗+r z k⃗ เมี��อ r x คื�อสั�วน์ปรีะกอบบน์แกน์ x ของ r⃗ ; r y คื�อสั�วน์ปรีะกอบบน์แกน์ y ของ r⃗ ; r z คื�อสั�วน์ปรีะกอบบน์แกน์ z ของ r⃗ เป/น์เวกเต่อรี�ใน์ 3 มี(ต่(ส!วนุประกอบของเวกเตอร ในุ 3 ม�ต�

ถ้�� A⃗ อย-�บน์รีะบบพ(ก�ดัฉ�ก x ; y ; z

โดัยที่�� A⃗ ที่��มี1มี θx ; θ y ;θz ก�บแกน์ x ;

y แลำะ zต่�มีลำ��ดั�บ ดั�งรี-ปสั�วน์ปรีะกอบของ A⃗ บน์รีะน์�บ xy แลำะ z คื�อ

Page 14: บทที่ 1

14

A⃗ = A⃗xy+ A⃗z

= A⃗x+ A⃗ y+ A⃗z

เพรี�ะว�� A⃗xy = A⃗x+ A⃗ y

แต่� Ax = A cosθx

A y = A cosθ y

A z = A cosθz

ที่(ศที่�งของเวกเต่อรี� A⃗ ห�ไดั�โดัยใช่�โคืไซึ่น์�บอกที่(ศ (direction cosine)

โดัยที่�� cosθx=Ax

A ; cosθ y=A y

A ; cosθz=

A z

A เมี��อ

cos2θx+cos2θy+cos

2θz=Ax2+A y

2+Az2

A2=1

ดั�งน์� น์สั�วน์ปรีะกอบของ A⃗ บน์แกน์ x ; y แลำะ z เข�ยน์ใหมี�ไดั�เป/น์

A⃗ = Ax i⃗+A y j⃗+A z k⃗

= A cosθx i⃗ +A cosθ y j⃗+A cosθz k⃗

3.4 ก�รบวกเวกเตอร

เวกเต่อรี� r⃗ สั�มี�รีถ้ห�ไดั�จ�กสั�วน์ปรีะกอบของเวกเต่อรี�เข��ดั�วยก�น์

แสัดังดั�งรี-ปที่�� 2.8 เมี��อ r⃗=r x i⃗ +r y j⃗

Page 15: บทที่ 1

15

ก�รีบวกเวกเต่อรี�ที่��ไดั�โดัยก�รีน์��ห�งของเวกเต่อรี�ต่�วที่��

สัอง (r y j⃗ ) ต่�อเข��ก�บห�วของเวกเต่อรี�อ�น์แรีก (rx i⃗ ) สั�วน์ r ไดั�จ�กก�รีลำ�กจ�กห�งของเวกเต่อรี�อ�น์แรีกไปย�งห�วเวกเต่อรี�ต่�วที่��สัอง

Page 16: บทที่ 1

16

3.5 เวกเตอร ต��แหนุ!ง

เวกเต่อรี�ต่��แหน์�ง คื�อเวกเต่อรี�ที่�บอกต่��แหน์�งของว�ต่ถ้1เมี��อเที่�ยบก�บจ1ดัใดัจ1ดัหน์��งดั�งรี-ป

จ�กรี-ป เดั2กผ-�หญ(ง น์�ยพรี�น์ ผ-�ช่�ย แลำะน์กต่�วที่��บ(น์ สั�งเกต่1น์กต่�วที่��เก�ะอย-�บน์ต่�น์ไมี�โดัยเที่�ยบก�บต่�วเอง เช่�น์ r⃗ 3 เป/น์เวกเต่อรี�บอกต่��แหน์�งของผ-�ช่�ยเที่�ยบก�บน์กต่�วที่��เก�ะอย-�บน์ต่�น์ไมี� หรี�อ r⃗ 4 เป/น์เวกเต่อรี�บอกต่��แหน์�งของน์กต่�วที่��บ(น์เที่�ยบก�บน์กต่�วที่��เก�ะบน์ต่�น์ไมี�ต่��แหน์�งของน์กที่��เก�ะอย-�บน์ต่�น์บน์ไมี�จะอย-�ที่��ต่��แหน์�งต่��งก�น์เมี��อผ-�สั�งเกต่ต่��งก�น์ดั�งน์� น์ ดั�งน์� น์เพ��อหลำ�กเลำ��ยงป>ญห�ดั�งกลำ��วก�รีบอกเวกเต่อรี�ต่��แหน์�ง จ�งก��หน์ดัจ1ดัใดัจ1ดัหน์��งเป/น์จ1ดัเปรี�บยเที่�ยบ ไมี�ว��ใคืรีจะเป/น์ผ-�สั�งเกต่ก2ให�ใช่�จ1ดัเปรี�ยบเที่�ยบจ1ดัเดั�ยวก�น์ แสัดังดั�งรี-ป

Page 17: บทที่ 1

17

เวกเต่อรี�ต่��แหน์�งของจ1ดั P แลำะจ1ดั Q

จ�กรี-ปที่��ให� r1 แลำะ r⃗ 2 เป/น์เวกเต่อรี�ต่��แหน์�งของจ1ดั P (ผ-�ช่�ย) อย-�ที่��ต่��แหน์�ง ( x1 , y1 , z1 ) แลำะ Q (น์กเก�ะที่��ต่�น์ไมี�) อย-�ที่��ต่��แหน์�ง ( x2 , y2 , z2 )เมี��อเที่�ยบก�บจ1ดั O (เดั2กผ-�หญ(ง) อย-�ที่��ต่��แหน์�ง (0,0,0 )จะไดั�

r⃗ 1 = OP−→

(OมีองP )

= (x1−0 ) i⃗ +( y1−0 ) j⃗+(z1−0 ) k⃗

= x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗

r⃗ 2 = OQ−→

(Oมีอง Q )

= (x2−0 ) i⃗ +( y2−0 ) j⃗+( z2−0 ) k⃗

= x2 i⃗+ y2 j⃗+ z2 k⃗

อ�ศ�ยก�รีบวกเวกเต่อรี�โดัยก�รีเข�ยน์รี-ปจะไดั�

r⃗ 2 = r⃗ 1+PQ−→

PQ−→

= r⃗ 2− r⃗ 1 (Pมีอง Q )

= (x2−x1) i⃗ +( y2− y1) j⃗+(z2−z1) k⃗ (ต่��แหน์�งสั1ดัที่��ยลำบต่��แหน์�งต่� งต่�น์)

Page 18: บทที่ 1

18

3.6 ก�รค3ณิเวกเตอร

ก�รีคื-ณ์เวกเต่อรี�มี� 2 ช่น์(ดัไดั�แก�ก. ผลำคื-ณ์ที่��ไดั�เป/น์ปรี(มี�ณ์สัเกลำ�รี� เรี�ยกว��ผลำคื-ณ์แบบดัอที่ (dot

product) หรี�อผลำคื-ณ์สัเกลำ�รี� (scalar product)

ข. ผลำคื-ณ์ที่��ไดั�เป/น์ปรี(มี�ณ์เวกเต่อรี� เรี�ยกว��ผลำคื-ณ์แบบคืรีอสั (cross product) หรี�อผลำคื-ณ์เวกเต่อรี� (vector)

ให� A⃗ = Ax i⃗+A y j+A z k⃗

B⃗ = Bx i⃗ +B y j⃗+B z k⃗

ผลำค3ณิสเกลำ�ร :

A⃗⋅B⃗ = ABcos θ

= AxBx+A y B y+A zBz

(เพรี�ะว�� i⃗⋅⃗i= j⃗⋅⃗ j= k⃗⋅k⃗=1 แลำะ i⃗⋅⃗j= j⃗⋅⃗k= k⃗⋅ i⃗=0)

เมี��อ A แลำะ B คื�อขน์�ดัของเวกเต่อรี� A⃗ แลำะ B⃗

θ คื�อมี1มีรีะหว��งเวกเต่อรี� A⃗ แลำะ B⃗ เมี��อ 00≤θ≤1800

จ�กรี-ปที่�� 2.18 เง�ของ A⃗บน์ B⃗คื�อ A cosθ แลำะ เง�ของ B⃗บน์ A⃗คื�อ B cosθ น์��น์คื�อผลำคื-ณ์สัเกลำ�รี�คื�อก�รีคื-ณ์เวกเต่อรี�ก�บเง�ของอ�กเวกเต่อรี�หน์��ง

ผลำค3ณิเวกเตอร :

A⃗×B⃗ = C⃗

Page 19: บทที่ 1

19

= ( A yB z−A zBy ) i⃗+( A zBx−Ax Bz ) j⃗+( Ax By−A yB z ) k⃗

เมี��อ C⃗ คื�อเวกเต่อรี�ผลำลำ�พธ์�ที่(ศของเวกเต่อรี� C⃗ ห�ไดั�โดัยใช่�กฎมี�อขว�เมี��อ 1800≤θ≤00 แสัดังดั�งรี-ปที่�� 2.19 เพ��อคืว�มีสัะดัวกใน์ก�รีคื��น์วณ์เรี�สั�มี�รีถ้ห�ผลำคื-ณ์แบบเวกเต่อรี�ไดั�โดัยใช่�เมีต่รี(กซึ่�

A⃗×B⃗ =

|¿¿

A⃗×B⃗ =

|¿¿

Page 20: บทที่ 1

20

=

ก�รีพ(จ�ณ์�เคืรี��องหมี�ยผลำคื-ณ์เวกเต่อรี�พ(จ�รีณ์�โดัยก�รีต่� งแกน์แบ�งคืรี��งที่� งสัองข��งให�เที่��ก�น์คื��ที่�งซึ่��ยเคืรี��องหมี�ยลำบ คื��ที่�งขว�เคืรี��องหมี�ยบวกต่�มีรีะบบแกน์

หรี�อก�รีพ(จ�ณ์�เคืรี��องหมี�ยผลำคื-ณ์เวกเต่อรี�ดั�งรี-ปที่�� 2.20 ที่(ศที่วน์เข2มีเคืรี��องหมี�ยบวก ที่(ศต่�มีเข2มีเคืรี��องหมี�ยลำบเมี��อ

i⃗× j⃗= k⃗ ; j⃗× k⃗= i⃗ ; k⃗× i⃗= j⃗ ; i⃗× k⃗=− j⃗ ; k⃗× j⃗=− i⃗ ; j⃗× i⃗=−k⃗

สร�ป

รีะบบพ(ก�ดัฉ�ก มี�คืว�มีสั��คื�ญ แลำะใช่�ใน์ก�รีรีะบ1ต่��แหน์�ง

เวกเต่อรี� แสัดังต่��แหน์�งแลำะที่(ศที่�ง

Page 21: บทที่ 1

21

สั�วน์ปรีะกอบเวกเต่อรี� : Ax=A cosθ แลำะ A y=A sin θ

เวกเต่อรี�หน์��งหน์�วย : A=A x i⃗+A y j⃗+A z k⃗

ก�รีบวกเวกเต่อรี� : R⃗=A⃗+B⃗ เมี��อ Rx=Ax+Bx แลำะ R y=A y+B y

ผลำคื-ณ์สัเกลำ�รี� : A⃗⋅B⃗=AB cosθ=AxBx+A y B y+A zBz

ผลำคื-ณ์เวกเต่อรี� : A⃗×B⃗=C⃗=

|¿¿

Page 22: บทที่ 1

3.1

6.3 9.4 12.5 15.6 18.7

X X X

22

บทท�� 4 สัถ้(ต่( (STATISTICS)

1.1 คว�มหม�ย ว(ช่�สัถ้(ต่( เป/น์ว(ช่�ที่��บรีรีย�ยภ�พรีวมีของเรี��องที่��เรี�สัน์ใจ โดัยปกต่(จะใช่�คื��ต่�วเลำขเป/น์ต่�วแที่น์ของต่�วแปรีที่��เรี�สัน์ใจ เช่�น์ คืะแน์น์สัอบว(ช่�แคืลำคื-ลำ�สัของน์�กศ�กษ�มีห�ว(ที่ย�ลำ�ยวลำ�ยลำ�กษณ์�ใน์ภ�พรีวมีเฉลำ��ย 12.5 คืะแน์น์จ�ก 50 คืะแน์น์ แลำะมี�สั�วน์เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์เที่��ก�บ 3.1 คืะแน์น์จ�กต่�วเลำข 2 จ��น์วน์น์� ซึ่��งถ้��เข�ยน์เป/น์สั�ญลำ�กษณ์�ที่�งสัถ้(ต่( ไดั�ดั�งน์�

X = 12.5

SD = 3.1

X เป/น์คื��ที่��อธ์(บ�ยว��เป/น์คืะแน์น์ที่��เป/น์ต่�วแที่น์ของกลำ1�มี

SD เป/น์คื��ที่��อธ์(บ�ยว��คืว�มีแต่กต่��งของคืะแน์น์ที่��แต่�ลำะคืน์ไดั�แต่ก

ต่��งไปจ�กคืะแน์น์ต่�วแที่น์มี�กน์�อยเพ�ยงใดั

ต่�วเลำข 2 จ��น์วน์น์� สั�มี�รีถ้อน์1มี�น์ (Inference) โดัยแที่น์ดั�วยเสั�น์จ��น์วน์จรี(งดั�งน์�

แลำะถ้��ที่รี�บว��ก�รีแจกแจงของต่�วแปรีเป/น์แบบปกต่(ก2สั�มี�รีถ้บอกไดั�ว�� น์�กศ�กษ�ที่��ไดั�คืะแน์น์อย-�รีะหว��ง 9.4 ถ้�ง 15.6 คืะแน์น์มี�ปรีะมี�ณ์รี�อยลำะ

Page 23: บทที่ 1

23

68 ของน์�กศ�กษ�ที่� งหมีดั หรี�ออน์1มี�น์ไดั�ว��น์�กศ�กษ�ที่�� ไดั�คืะแน์น์อย-�รีะหว��ง 6.3 ถ้�ง 18.7 คืะแน์น์ มี�ปรีะมี�ณ์รี�อยลำะ 95 ของน์�กศ�กษ�ที่� งหมีดั

เรี�รี- �แลำะเรี�อน์1มี�น์ข�อมี-ลำใน์ลำ�กษณ์ะเช่�น์น์� ไดั�อย��งไรี เป/น์เรี��องที่��จะเรี�ยน์ก�น์ใน์ว(ช่�น์�

ถ้��จะเปรี�ยบเที่�ยบก�บว(ช่�คืณ์(ต่ศ�สัต่รี�แลำ�วจะเห2น์ว��จะมี�ข�อแต่กต่��งก�น์ที่��คืณ์(ต่ศ�สัต่รี�ต่�องก�รีข�อมี-ลำที่��แน์�น์อน์ แต่�สัถ้(ต่(ต่�องก�รีข�อมี-ลำที่��เป/น์คื��แที่น์ของกลำ1�มีโดัยมีองถ้�งปรีะโยช่น์�ใน์ก�รีน์��ไปใช่�มี�กกว�� เช่�น์ ก�รีที่��ที่รี�บว��น์�ย ก ไดั�คืะแน์น์ว(ช่�แคืลำคื-ลำ�สั 1.5 คืะแน์น์ แลำะก�รีสัอบคืรี� งน์� คื��เฉลำ��ยเที่��ก�บ 12.5 คืะแน์น์ มี�คืว�มีหมี�ยใน์ก�รีต่�ดัสั(น์ใจ น์��น์คื�อ ก�รีที่��ที่รี�บว�� น์�ย ก ไดั� 1.5 คืะแน์น์ จ�ก 50 คืะแน์น์ แสัดังว��น์�ย ก ที่��ข�อสัอบแที่บไมี�ไดั�เลำย แต่�ถ้��มี�พ(จ�รีณ์� คื��เฉลำ��ย 12.5 คืะแน์น์ แสัดังว��น์�กศ�กษ�สั�วน์ใหญ�ที่��คืะแน์น์สัอบไดั�น์�อย อ�จจะต่�คืว�มีไดั�หลำ�ยอย��ง เช่�น์ กรีะบวน์ก�รีเรี�ยน์ก�รีสัอน์ไมี�ดั� ข�อสัอบย�ก น์�กศ�กษ�ไมี�เก�ง อ�จ�รีย�สัอน์ไมี�ดั� ซึ่��งสั�มี�รีถ้น์��ไปสั-�ก�รีแก�ป>ญห�ของสั�วน์รีวมีไดั�

สั�วน์คืว�มีน์��จะเป/น์เข��มี�เก��ยวข�องก�บว(ช่�สัถ้(ต่(อย��งไรี น์�กศ�กษ�ลำองที่บที่วน์ดั-เน์� อห�ว(ช่�สัถ้(ต่(ที่��เรี�ยน์มี�ใน์ช่�วงมี�ธ์ยมีศ�กษ�ต่อน์ปลำ�ย จ ะ เ ห2น์ ว� � เ รี�ย น์ เ รี�� อ ง ก � รี ว� ดั แ น์ ว โ น์� มี เ ข� � สั-� สั� ว น์ ก ลำ � ง ( Central

Tendency) ไดั�แก� คื��เฉลำ��ย( Mean) ฐ�น์น์(ยมี( Mode) แลำะมี�ธ์ยฐ�น์( Median) คื��เหลำ��น์� ก2คื�อคื��ที่�� เป/น์ต่�วแที่น์ของกลำ1�มีข�อมี-ลำน์��น์เอง

เรี��องก�รีว�ดัก�รีกรีะจ�ย (Dispersion) ไดั�แก� พ(สั�ย (Range) สั�วน์เบ��ยงเบน์คืวอไต่ลำ� (Quartile Deviation, QD) สั�วน์เบ��ยงเบน์เฉลำ��ย

Page 24: บทที่ 1

24

(Average Deviation, AD) แลำะสั�วน์เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์ (Standard

Deviation, SD) คื��เหลำ��น์� เป/น์คื��ที่��บอกว��ก�รีกรีะจ�ยของกลำ1�มีว��มี�กหรี�อน์�อยเพ�ยงใดั

โดัยเน์� อห�ใน์รีะดั�บมี�ธ์ยมีศ�กษ�ต่อน์ปลำ�ยเป/น์ก�รีอธ์(บ�ยข�อมี-ลำใน์ลำ�กษณ์ะบรีรีย�ยกลำ1�มีข�อมี-ลำที่��เรี�ยกว�� สัถ้(ต่(เช่(งพรีรีณ์น์� (Descriptive

Statistics) ซึ่��งมี1�งเน์�น์คื��สัถ้(ต่(ของกลำ1�มีต่�วอย��ง (Statistic) สั�วน์เน์� อห�ว(ช่ �สัถ้(ต่( ที่�� จ ะ เ รี�ยน์ ใน์รี ะ ดั�บมีห�ว(ที่ ย � ลำ� ย เ ป/ น์ ก � รี สั รี1 ป คื� �พ�รี�มี(เต่อรี�( Parameter)ของปรีะช่�กรี( Population) จ�กคื��สัถ้(ต่(ของกลำ1�มีต่�วอย��งที่��เรี�ยกว�� สัถ้(ต่(เช่(งอน์1มี�น์ (Inference Statistics)

โดัยมี�จ1ดัเน์�น์ที่��จะศ�กษ�ถ้�งคื��พ�รี�มี(เต่อรี�ของปรีะช่�กรี จ�กคื��สัถ้(ต่(ของต่�วอย��ง

ก�รีเช่��อมีโยมีเพ�� ออน์1มี�น์คื��พ�รี�มี(เต่อรี�จ�กคื��สัถ้(ต่( ต่�องอ�ศ�ยที่ฤษฎ�คืว�มีน์��จะเป/น์ ดั�งน์�

Statistic Probability Parameter

1.2 ประช�กร (Population) แลำะตวอย!�ง (Sample)

คื��ว�� ปรีะช่�กรี มี�จ�กก�รีน์��สัถ้(ต่(มี�ใช่�คืรี� งแรีกใน์เรี��องปรีะช่�กรี“ ”

จน์เป/น์ที่��รี- �จ�กก�น์แพรี�หลำ�ยใน์น์�มีของสัถ้(ต่(ปรีะช่�กรี โดัยเฉพ�ะก�รีที่��สั��มีะโน์ปรีะช่�กรีของสัหรี�ฐอเมีรี(ก� ใน์ป>จจ1บ�น์

“ปรีะช่�กรี ใน์ว(ช่�สัถ้(ต่(ไมี�ไดั�หมี�ยถ้�งปรีะช่�กรีหรี�อข�อมี-ลำที่��มี�จ�กปรีะช่�กรี”

เที่��น์� น์ แต่�มี�คืว�มีหมี�ยรีวมีถ้�งข�อมี-ลำที่��มี�จ�ก คืน์ สั�ต่ว� หรี�อสั(�งของ ที่��เรี�สัน์ใจศ�กษ�ที่� งหมีดั

Page 25: บทที่ 1

25

คื�� ว�� ปรีะช่�กรี น์�� มี�ใช่� ใน์คืว�มีหมี�ยเดั�ยวก�บ เอกภพ” ”

สั�มีพ�ที่ธ์�( Universe) หรี�อ ปรี(ภ-มี(ต่�วอย��ง (Sample Space) ใน์ว(ช่�คืณ์(ต่ศ�สัต่รี�

คื��ว�� ต่�วอย��ง น์��มี�ใช่�ใน์คืว�มีหมี�ยเดั�ยวก�น์ก�บจ1ดัต่�วอย��ง“ ” (Sample Point) หรี�อ เหต่1ก�รีณ์� (Event) ใน์ว(ช่�คืณ์(ต่ศ�สัต่รี�

ใน์คืว�มีเป/น์จรี(งศ�พที่�ที่�งเที่คืน์(คืที่��สัอดัคืลำ�องก�น์น์��จะเป/น์ ปรีะช่�กรี ก�บ สั(�งที่ดัลำอง( subject) แลำะเอกภพสั�มีพ�ที่ธ์� ก�บ ต่�วอย��ง( sample)

แต่�อย��งไรีก2ต่�มีเรี�ไดั�ใช่�คื��ว�� population คื-�ก�บ sample หรี�อ ปรีะช่�“

กรี คื-�ก�บ ต่�วอย��ง มี�จน์เป/น์ที่��คื1�น์เคืยแลำะเข��ใจก�น์ดั�” “ ”

ต่�อไปจะกลำ��วถ้�งน์(ย�มีแลำะที่ฤษฎ�ที่��เก��ยวข�องก�บคืว�มีน์��จะเป/น์เพ��อน์��ไปใช่�ใน์สัถ้(ต่(อน์1มี�น์

นุ�ย�ม 1.1 เซึ่ต่ของสัมี�ช่(กที่��เป/น์ต่�วแที่น์ของผลำลำ�พธ์�ที่��เป/น์ไปไดั�ที่� งหมีดัของก�รีที่ดัลำองเรี�ยกว��ปรี(ภ-มี(ต่�วอย��ง

แที่น์ดั�วยสั�ญญลำ�กษณ์� S

นุ�ย�ม 1.2สัมี�ช่(กใดั ๆ ของปรี(ภ-มี(ต่�วอย��ง เรี�ยกว�� จ1ดัต่�วอย��ง

ตวอย!�ง 1.1 S1={1,2,3,4,5,6 }

S2= {เลำขคื-�, เลำขคื��}

Page 26: บทที่ 1

26

ตวอย!�ง 1.2 S1={(H , H ,H ) ,(H ,T ,H ) ,(T , H ,H ), (H , H ,T ),(T ,T , H ) ,(T , H ,T ),(H ,T ,T ) ,(T ,T ,T )}S2= {0,1,2,3}

นุ�ย�ม 1.3 เหต่1ก�รีณ์�ใดั ๆ คื�อ เซึ่ต่ย�อยของปรี(ภ-มี(ต่�วอย��งแที่น์ดั�วย สั�ญลำ�กษณ์�ต่�วพ(มีพ�ใหญ� เช่�น์ A,B,C,…….

ตวอย!�ง 1.3 S= {H ,T }

A={H }

S1={(H , H ,H ) ,(H ,T ,H ) ,(T , H ,H ), (H , H ,T ),(T ,T , H ) ,(T , H ,T ),(H ,T ,T ) ,(T ,T ,T )}B= {(H ,H , H ) ,(H ,T , H ) ,(T , H , H ) ,(H ,H ,T )}

S2={1,2,3,4,5,6 }

A={3,6 }

นุ�ย�ม 1.4 ถ้� � เหต่1ก�รีณ์� ใดั ๆ ที่�� เซึ่ต่น์� น์ปรีะกอบดั�วยสัมี�ช่(ก ( Element) ของปรี(ภ-มี(ต่�วอย��งเพ�ยงต่�วเดั�ยวเรี�ยกว�� เหต่1ก�รีณ์�อย��งง��ย ( Simple Event) ถ้��เหต่1ก�รีณ์�ใดั ๆ ที่��เซึ่ต่น์� น์ปรีะกอบดั�วย ย-เน์�ยน์ ( Union) ของเหต่1ก�รีณ์�อย� �งง� �ย เ รี�ยกว� � เหต่1ก�รีณ์�ปรีะกอบ (Compound

Event)

ตวอย!�ง 1.4 S = {โพธ์(Cแดัง,โพธ์(Cดั��, หลำ�มีต่�ดั, ดัอกจ(ก}

Page 27: บทที่ 1

27

A = {โพธ์(Cแดัง }

B = {โพธ์(Cแดัง} ¿ {หลำ�มีต่�ดั}

หรี�อ B = { โพธ์(Cแดัง, หลำ�มีต่�ดั}

1.3 ก�รนุบจ��นุวนุจ�ดัตวอย!�ง

ทฤษฎ� 1.1 ถ้��ก�รีกรีะที่��ก�รีใดั ๆ สั�มี�รีถ้จ�ดักรีะที่��ไดั� N1 ว(ธ์� แลำะถ้��แต่�ลำะว(ธ์� สั�มี�รีถ้กรีะที่��ก�รีคืรี� งที่�� 2 ไดั�

N2 ว(ธ์� แลำะก�รีกรีะที่��ก�รีที่� ง 2 คืรี� ง สั�มี�รีถ้กรีะที่��รี�วมีก�น์ไดั� N1N2 ว(ธ์�

ตวอย!�ง 1.5 โยน์ลำ-กเต่<� 1 คื-�

S= { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }

Page 28: บทที่ 1

28

ลำ-กเต่<� ลำ-กที่�� 1 มี�หน์��ที่��จะเก(ดัไดั� 6 หน์�� ลำ-กเต่<� ลำ-กที่�� 2

มี�หน์��ที่��จะเก(ดัไดั� 6 หน์��

โยน์ลำ-กเต่<�พรี�อมีก�น์จ��น์วน์จ1ดัต่�วอย��ง = 6x6

= 36 ว(ธ์�

ทฤษฎ� 1.2 ถ้��ก�รีกรีะที่�� ก�รีใดั ๆ สั�มี�รีถ้จ�ดักรีะที่�� ไดั� N1 ว(ธ์� แต่�ลำะว(ธ์�สั�มี�รีถ้กรีะที่��ก�รีคืรี� งที่�� 2 ไดั� N2 ว(ธ์� แลำะแต่�ลำะว(ธ์�สั�มี�รีถ้กรีะที่��ก�รีคืรี� งที่�� 3 ไดั�N3 ว(ธ์� ฯลำฯ ดั�งน์� น์ลำ��ดั�บ…

เหต่1ก�รีณ์�ของก�รีกรีะที่��ที่� ง K คืรี� ง สั�มี�รีถ้กรีะที่��รีวมีก�น์ไดั� N1N2N3 . . ..N K ว(ธ์�

ตวอย!�ง 1.6 มี�ก��ว(ธ์�ใน์ก�รีเลำ�อกที่�น์อ�ห�รีเที่��ยงจ�กแกง 4 อย��ง ผ�ดั 3 อย��ง ของหว�น์ 5 อย��งแลำะเคืรี��องดั��มี 4 อย��งสั�มี�รีถ้เลำ�อกที่�น์ไดั� 4x3x5x4 = 240 ว(ธ์�

ตวอย!�ง 1.7 จ��น์วน์คื-� 3 หลำ�กที่��ไดั�จ�กเลำขโดัดั 1,2,5,6 แลำะ 9 ถ้��เลำขโดัดัแต่�ลำะต่�วใช่�เพ�ยงคืรี� งเดั�ยว จะจ�ดัจ��น์วน์คื-� 3 หลำ�ก จ�กเลำขที่��ก��หน์ดัไดั�ก��จ��น์วน์

หลำ�กหน์�วย จ�ดัไดั� 2 ว(ธ์�

หลำ�กสั(บ จ�ดัไดั� 4 ว(ธ์�

หลำ�กรี�อย จ�ดัไดั� 3 ว(ธ์�

จ��น์วน์คื-� 3 หลำ�ก จ�ดัไดั� 2x4x3 = 24 ว(ธ์�

Page 29: บทที่ 1

29

นุ�ย�ม 1.5 ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ (Permutation) เป/น์ก�รีจ�ดัเรี�ยงเซึ่ต่ของว�ต่ถ้1ที่� งหมีดัหรี�อบ�งสั�วน์

ทฤษฎ� 1.3 ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ของว�ต่ถ้1ที่��แต่กต่��งก�น์ N สั(�ง จ�ดัไดั� N! ว(ธ์�

ทฤษฎ� 1.4 ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ของว�ต่ถ้1ที่��แต่กต่��งก�น์ N สั(�ง ที่�ลำะ r

สั(�ง จ�ดัไดั� N Pr ว(ธ์�

N Pr=N !

(N−r )!

หม�ยเหต� ก�รีจ�ดัว�ต่ถ้1ที่��แต่กต่��งก�น์ N สั(�งโดัยจ�ดัคืรี� งลำะ r สั(�ง สั�มี�รีถ้จ�ดัไดั�

N(N-1)(N-2)….(N-r+1) ว(ธ์�

ซึ่��งแที่น์ดั�วย N Pr=

N !(N−r )!

ตวอย!�ง 1.8 หย(บลำอต่เต่อรี�� 2 ใบ จ�กจ��น์วน์ 20 ใบ คืรี� งลำะใบโดัยลำ��ดั�บที่��ใน์ก�รีหย(บมี�คืว�มีหมี�ยที่��แต่กต่��งก�น์

Page 30: บทที่ 1

30

จงห�จ��น์วน์จ1ดัต่�วอย��ง

20 P2=20 !(20−2 ) !

=20 !18 !

=(20 ) (19 ) ว(ธ์�

= 380 ว(ธ์�

ทฤษฎ� 1.5 ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ของว�ต่ถ้1ที่��แต่กต่��งก�น์ N สั(�ง เป/น์รี-ปวงกลำมี จ�ดัไดั� (N-1)! ว(ธ์�

ก�รีจ�ดัว�ต่ถ้1เป/น์วงกลำมีจะต่�อง ก��หน์ดัหน์ดัให�ว�ต่ถ้1ช่( น์แรีกอย-�ก�บที่��แลำ�วจ�ดัต่�วที่��เหลำ�อเพรี�ะว��ก�รีจ�ดัเป/น์วงกลำมีถ้��ลำ��ดั�บของว�ต่ถ้1เรี�ยงก�น์จะมี�คืว�มีหมี�ยเหมี�อน์เดั(มี เช่�น์ จ�ดัว�ต่ถ้1 3 อย��ง สัมีมีต่(เป/น์ A B แลำะ C จ�ดัไดั�แคื� 2 ว(ธ์� คื�อ ABC ACB เพรี�ะว�� ไมี�ว�� ABC BCA CAB ก2มี�คืว�มีหมี�ยเหมี�อน์ก�น์ถ้��จ�ดัเป/น์วงกลำมี

ตวอย!�ง 1.9 ถ้��คืน์ 4 คืน์ น์��งลำ�อมีวงเลำ�น์ไพ� จะไมี�เก(ดัว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ใหมี�ถ้��ที่1กคืน์ย��ยที่��น์� �งต่�มีเข2มีน์�ฬิ(ก� แต่�ถ้��ให�คืน์หน์��งน์��งอย-�ก�บที่��แลำ�วจ�ดัอ�ก 3 คืน์ ที่��เหลำ�อ จะไดั� 3! ว(ธ์�

น์� �น์คื�อ เรี�จะไดั�ก�รีจ�ดัก�รีให�น์��งเลำ�น์ไพ�ก�น์ แต่กต่��งก�น์ไดั� 6

ว(ธ์�

Page 31: บทที่ 1

31

ทฤษฎ� 1.6 ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ของสั(�งของ N สั(�ง ซึ่��งปรีะกอบดั�วย N1 สั(�งที่��เหมี�อน์ก�น์เป/น์กลำ1�มีที่�� 1 N2สั(�งที่��เหมี�อน์ก�น์

เป/น์กลำ1�มีที่�� 2 N3สั(�งที่��เหมี�อน์ก�น์เป/น์กลำ1�มีที่�� 3 …………N K ที่��เหมี�อน์ก�น์เป/น์กลำ1�มีที่�� k โดัยที่��

N1+N 2+N3+ .. .+Nk=N จะจ�ดัไดั� N !

N 1 ! N2 ! .. .Nk !ว(ธ์�

ก�รีที่��สั(�งของที่��น์��มี�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์เหมี�อน์ก�น์เป/น์กลำ1�มีๆที่��ให�ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์ จะจ�ดัไดั�ลำดัลำงเที่��ก�บจ��น์วน์ที่��ซึ่� �ก�น์สั�มี�รีถ้จ�ดัอ�น์ดั�บย�อยไดั� เช่�น์ ถ้��ว�ต่ถ้1ช่1ดัหน์��งเหมี�อน์ก�น์ 3 จ��น์วน์ ดั�งน์� น์ ว(ธ์�เรี�ยงสั�บเปลำ��ยน์จะลำดัลำงเที่��ก�บ 3 !เที่��

ตวอย!�ง 1.10 จ�ดัดัวงไฟิสั�แดัง 3 ดัวง สั�เหลำ�อง 4 ดัวง น์� �เง(น์ 2

ดัวง เสั�ยบลำงใน์ช่�องเสั�ยบไฟิ 9 ช่�อง

ไดั�ก��ว(ธ์�

จ�ดัไดั�9 !

3! 4 !2 !=1260

ว(ธ์�

นุ�ย�ม 1.6 ว(ธ์�จ�ดัหมี-�( Combination) เป/น์ก�รีจ�ดักลำ1�มีเซึ่ต่ของว�ต่ถ้1บ�งสั�วน์

Page 32: บทที่ 1

32

ทฤษฎ� 1.7 ว(ธ์�จ�ดัหมี-�( Combination) ของว�ต่ถ้1ที่��แต่กต่��งก�น์ N

อย��ง โดัยจ�ดัคืรี� งลำะ r อย��ง จ�ดัไดั�

(Nr )= N !(N−r ) !r ! ว(ธ์�

ตวอย!�ง 1.11 คืณ์ะกรีรีมีก�รีดั-แลำผลำปรีะโยช่น์� ให�น์�กศ�กษ�ปรีะกอบดั�วย ต่�วแที่น์สัภ�น์�กศ�กษ� จ��น์วน์ 2 คืน์ จ�กที่� งหมีดั 4 คืน์ แลำะต่�วแที่น์ จ�กสัโมีสัรีน์�กศ�กษ� 1 คืน์ จ�กที่� งหมีดั 3

คืน์ จะมี�ว(ธ์�ที่�� ไดั�มี�ของคืณ์ะกรีรีมีก�รีดั-แลำผลำปรีะโยช่น์�ให�น์�กศ�กษ�น์� ก��ว(ธ์�

จ�ดัคืณ์ะกรีรีมีก�รีไดั� = (4 ¿ ) ¿¿

¿¿ ว(ธ์�

ทฤษฎ� 1.8 ก�รีแบ�งเซึ่ต่ของว�ต่ถ้1 N สั(�ง ออกเป/น์ r กลำ1�มี

โดัยมี� สัมี�ช่(ก N1 สั(�งใน์กลำ1�มีแรีก

สัมี�ช่(ก N2 สั(�งใน์กลำ1�มีที่��สัอง

สัมี�ช่(ก N3 สั(�งใน์กลำ1�มีที่��สั�มี

สัมี�ช่(ก N r สั(�งใน์กลำ1�มีที่�� r

Page 33: บทที่ 1

33

เมี��อ N1+N2+N3+…+N r = N

จะแบ�งไดั�ที่� งหมีดั ( NN1 ,N2 ,. ..N r )=

N!N 1 ! N2 ! ..N r ! ว(ธ์�

ตวอย!�ง 1.12 ห�องว��งที่��เหลำ�อของโรีงแรีมีน์คืรีศรี�ธ์รีรีมีรี�ช่ มี�ช่น์(ดั 3

เต่�ยง 1 ห�อง 2 เต่�ยง 2 ห�อง จะจ�ดัคืน์ 7 คืน์เข��พ�ก ไดั�ก��ว(ธ์�

ว�ธี�ท�� จ�ดัคืน์เข��พ�กไดั�เที่��ก�บ (73,2,2)= 7 !

3 !2!2 ! = 210 ว(ธ์�

ตวอย!�ง 1.13 จ�ดัแบ�งให�บ�สัเกต่บอลำลำ� 3 ที่�มี โดัยจ�ดัแข�งว�น์ลำะคืรี� ง จ�ก 5 ว�น์ ที่��ว��งก(จกรีรีมี จะไดั�ก��ว(ธ์�

ว(ธ์�ที่�� 5 P3=

5 !(5−3 ) !

=5!2!

=(5 ) (4 ) (3 ) ว(ธ์�

= 60 ว(ธ์�

1.4 คว�มนุ!�จะเป'นุ

นุ�ย�ม 1.7 คืว�มีน์��จะเป/น์ของเหต่1ก�รีณ์� A ใดั ๆ คื�อผลำบวกของน์� �หน์�กของจ1ดัต่�วอย��ง ที่� งหมีดั

Page 34: บทที่ 1

34

ใน์ A ดั�งน์� น์ 0≤P (A )≤1

P (Φ )=0P (S )=1

ตวอย!�ง 1.14 โยน์เหรี�ยญ 2 คืรี� ง จงห�คืว�มีน์��จะเป/น์ที่��จะเก(ดัห�วอย��งน์�อย 1 คืรี� ง

S = { HH, HT, TH, TT}

ถ้��เหรี�ยญสัมีดั1ลำย� โอก�สัที่��จะเก(ดัหน์��ห�วหรี�อก�อยเที่��ก�น์ ดั�งน์� น์ก�รีให�น์� �หน์�ก W ก�บ

จ1ดัต่�วอย��ง แต่�ลำะต่�ว เที่��ก�น์ ดั�งน์�

4W = 1

W = 14

A แที่น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��เก(ดัห�วอย��งน์�อย 1 คืรี� ง

P (A )=3

4

ตวอย!�ง 1.15 ลำ-กเต่<�ถ้�วงน์� �หน์�ก หน์��คื-�มี�โอก�สัเก(ดัข� น์เป/น์ 2 เที่��ของหน์��คื�� ถ้�� E เป/น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��ต่�วเลำข

น์�อยกว�� 4 เก(ดัข� น์ ใน์ก�รีโยน์ลำ-กเต่<�ลำ-กน์� จงห�คืว�มีน์��จะเป/น์ของ E

ว�ธี�ท�� S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Page 35: บทที่ 1

35

ก��หน์ดั น์� �หน์�ก W ให�ก�บต่�วเลำขที่��เป/น์จ��น์วน์คื��

น์� �หน์�ก 2W ให�ก�บต่�วเลำขที่��เป/น์จ��น์วน์คื-�

เพรี�ะว��ผลำรีวมีของน์� �หน์�กต่�องเป/น์ 1

∴9W=1

W=19

ดั�งน์� น์ น์� �หน์�ก 19 จะถ้-กก��หน์ดัให�ก�บจ��น์วน์คื��

น์� �หน์�ก 29 จะถ้-กก��หน์ดัให�ก�บจ��น์วน์คื-�

ดั�งน์� น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��ต่�วเลำขน์�อยกว�� 4 คื�อ หน์�� 1, 2 , 3

∴P (E )=1

9+ 29+ 19=49

ตอบ

นุ�ย�ม 1.8 ส��หรบก�รีที่ดัลำองใดั ๆ ที่��มี�ผลำลำ�พธ์�แต่กต่��งก�น์ N อย��ง แลำะแต่�ลำะอย��งมี�โอก�สัเก(ดัเที่�� ๆ ก�น์ ถ้��มี�เพ�ยง n

อย��ง เป/น์จ��น์วน์จ1ดัต่�วอย��งใน์เหต่1ก�รีณ์� A ดั�งน์� น์ คืว�มีน์��จะเป/น์ของ A คื�อ

P (A )= nN

ตวอย!�ง 1.16 ดั�งไพ� 1 ใบ จ�กสั��รี�บ( ไพ� 1 สั��รี�บ ปรีะกอบดั�วย 52

ใบ เป/น์โพธ์(Cแดัง 13 ใบ) ให�ห�คืว�มีน์��จะเป/น์ ที่��จะ

Page 36: บทที่ 1

36

ไดั�โพธ์(Cแดัง

ว�ธี�ท�� ให0 A : เป'นุเหต�ก�รณิ ท��หย�บไพ! 1 ใบแลำ0วไดั0โพธี�8แตง

∴ P(A) =1352

=14

ตอบ

นุ�ย�ม 1.8 เหต่1ก�รีณ์� A แลำะ B เป/น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��แยกต่��งห�กจ�กก�น์ (Mutually exclusive event) ถ้�� A∩B=Φ

ตวอย!�ง 1.17 ใน์ก�รีโยน์ลำ-กเต่<� ให� A เป/น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��ไดั�จ��น์วน์คื-� แลำะ B คื�อ เหต่1ก�รีณ์�ไดั�จ��น์วน์คื��

ว�ธี�ท�� A = {2,4,6} B = {1,3,5} A∩B=Φ เ พ รี � ะ ว� �ไมี�มี�สัมี�ช่(กที่��รี �วมีก�น์เลำย

ดั�งน์� น์ A แลำะ B เป/น์เหต่1ก�รีณ์�ที่��แยกต่��งห�กจ�กก�น์ ตอบ

Page 37: บทที่ 1

37

บที่ที่�� 5 ก�รว�เคร�ะห ข0อม3ลำเบ/$องต0นุ

  คืว�มีหมี�ยของคื��ต่��งๆที่��จะช่�วยให�เข��ใจว(ธ์�ก�รีที่�งสัถ้(ต่(มี�กข� น์  มี�ดั�งน์�     กลำ�!มประช�กร  หมี�ยถ้�ง  กลำ1�มีที่��มี�ลำ�กษณ์ะที่��เรี�สัน์ใจ  หรี�อกลำ1�มีที่��เรี�ต่�องก�รีจะศ�กษ�ห�ข�อมี-ลำที่��เก��ยวข�อง  เปรี�ยบเหมี�อน์เอกภพสั�มีพ�ที่ธ์�ใน์เรี��องเซึ่ต่    กลำ�!มตวอย!�ง  หมี�ยถ้�ง  สั�วน์หน์��งของกลำ1�มีปรีะช่�กรีที่��เรี�สัน์ใจ  ใน์กรีณ์�ที่��กลำ1�มีปรีะช่�กรีที่��จะศ�กษ�น์� น์เป/น์กลำ1�มีขน์�ดัใหญ�  เก(น์คืว�มีสั�มี�รีถ้หรี�อคืว�มีจ��เป/น์ที่��ต่�องก�รี  หรี�อเพ��อปรีะหย�ดัใน์ดั��น์งบปรีะมี�ณ์แลำะเวลำ�  สั�มี�รีถ้ศ�กษ�ข�อมี-ลำเพ�ยงบ�งสั�วน์ของกลำ1�มีปรีะช่�กรีไดั�   ค!�พ�ร�ม�เตอร �  หมี�ยถ้�ง  คื��ต่��งๆที่��คื��น์วณ์มี�จ�กกลำ1�มีปรีะช่�กรี  จะถ้�อเป/น์คื��คืงต่�ว  กลำ��วคื�อ  คื��น์วณ์ก��คืรี� งๆก2จะไมี�เปลำ��ยน์แปลำง    ค!�สถิ�ต(  หมี�ยถ้�ง  คื��ต่��งๆที่��คื��น์วณ์มี�จ�กกลำ1�มีต่�วอย��ง  จะเป/น์คื��ที่��เปลำ��ยน์แปลำงไดั�ต่จ�มีกลำ1�มีต่�วอย��งที่��เลำ�อกสั1�มีมี�  จ�งถ้�อว��เป/น์คื��ต่�วแปรีสั1�มี   ตวแปร  ใน์ที่�งสัถ้(ต่(  หมี�ยถ้�ง  ลำ�กษณ์ะบ�งอย��งที่��เรี�สัน์ใจ  คื��ของต่�วแปรี  อ�จอย-�ใน์รี-ปข�อคืว�มี  หรี�อต่�วเลำขก2ไดั�   ค!�ท��เป'นุไปไดั0  หมี�ยถ้�ง  คื��ของต่�วแปรีที่��อ�จจะเก(ดัข� น์ไดั�จรี(ง   ค!�จ�กก�รสงเกต  หมี�ยถ้�ง  คื��ที่��เก2บรีวบรีวมีไดั�มี�จรี(งๆ

  ก�รแจกแจงคว�มถิ��ของข0อม3ลำ (Frequency Distribution)

   เป/น์ว(ธ์�ก�รีที่�งสัถ้(ต่(อย��งหน์��งที่��ใช่�ใน์ก�รีจ�ดัข�อมี-ลำที่��มี�อย-� หรี�อที่��เก2บรีวบรีวมีมี�ไดั�ให�อย-�เป/น์กลำ1�มีๆ เพ��อสัะดัวกใน์ก�รีว(เคืรี�ะห�ข�อมี-ลำเหลำ��น์� น์   ก�รแจกแจงคว�มถิ�� จ�ดัเป/น์ 2 ลำ�กษณ์ะ ดั�งน์�    1. ก�รแจกแจงคว�มถิ��แบบไม!จดัเป'นุอนุตรภ�คช$นุ ใช่�ก�บข�อมี-ลำที่��มี�คื��สั-งสั1ดัแลำะต่���สั1ดัของข�อมี-ลำไมี�แต่กต่��งก�น์มี�กน์�ก หรี�อข�อมี-ลำที่��มี�คื��ของจ��น์วน์ที่��ต่��งก�น์มี�ไมี�มี�ก   2. ก�รแจกแจงคว�มถิ��แบบจดัเป'นุอนุตรภ�คช$นุ ใช่�ก�บข�อมี-ลำที่��มี�คื��สั-งสั1ดัแลำะต่���สั1ดัของข�อมี-ลำแต่กต่��งก�น์มี�ก หรี�อก�รีแจกแจงไมี�สัะดัวกที่��จะใช่�คื��สั�งเกต่ที่1กๆคื��

Page 38: บทที่ 1

38

เพ��อคืว�มีสัะดัวกจ�งใช่�ว(ธ์�แจกแจงคืว�มีถ้��ของคื��ที่��เป/น์ไปไดั�แที่น์ โดัยแบ�งคื��ที่��เป/น์ไปไดั�ออกเป/น์ช่�วง หรี�ออ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ (Interval)

ศัพท ท��ใช0ในุต�ร�งแจกแจงคว�มถิ��  1. อนุตรภ�คช$นุ (Class Interval) หรี�อเรี�ยกสั� น์ๆ ว�� ช่� น์ หมี�ยถ้�ง ช่�วงของคืะแน์น์ใน์แต่�ลำะพวกที่��แบ�ง   อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ต่���สั1ดั หมี�ยถ้�ง อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ของข�อมี-ลำที่��มี�คื��ต่���สั1ดัอย 3�   อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์สั-งสั1ดั หมี�ยถ้�ง อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ของข�อมี-ลำที่��มี�คื��สั-งสั1ดัอย-�   อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ต่���กว�� หมี�ยถ้�ง อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ของข�อมี-ลำที่��มี�คื��น์�อยกว��   อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์สั-งกว�� หมี�ยถ้�ง อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ของข�อมี-ลำที่��มี�คื��มี�กกว��   2. คว�มถิ�� (Frequency) หมี�ยถ้�ง จ��น์วน์ข�อมี-ลำที่��มี�อย-�ใน์แต่�ลำะอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์   3. ต�ร�งแจกแจงคว�มถิ�� (Frequency Distribution

Table) หมี�ยถ้�ง ต่�รี�งที่��เข�ยน์เรี�ยงลำ��ดั�บข�อมี-ลำ แลำะแสัดังให�เห2น์ว��แต่�ลำะข�อมี-ลำ หรี�อกลำ1�มีข�อมี-ลำมี�คืว�มีถ้��เที่��ใดั   4. ขอบลำ!�ง (Lower Boundary) ของอนุตรภ�คช$นุ หมี�ยถ้�ง คื��ก��งกลำ�งรีะหว��งคื��ที่��น์�อยที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์น์� น์ก�บคื��ที่��มี�กที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่��ต่���กว��หน์��งช่� น์ หรี�อขอบลำ��งเที่��ก�บคื��ที่��น์�อยที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์บวกก�บคื��ที่��มี�กที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่��ต่���กว��หน์��งช่� น์แลำ�วห�รีดั�วย 2   5. ขอบบนุ (Upper Boundary) ของอนุตรภ�คช$นุ หมี�ยถ้�ง คื��ก��งกลำ�งรีะหว��งคื��ที่��มี�กที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์น์� น์ก�บคื��ที่��น์�อยที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่��สั-งกว��หน์��งช่� น์ หรี�อขอบบน์เที่��ก�บคื��ที่��มี�กที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์น์� น์บวกก�บคื��ที่��น์�อยที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่��สั-งกว��หน์��งช่� น์ แลำ�วห�รีดั�วย 2   จะเห2น์ว�� ขอบบน์ของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์หน์��งย�อมีเที่��ก�บขอบลำ��งของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่��สั-งกว��หน์��งช่� น์เสัมีอ   6. คว�มกว0�งของอนุตรภ�คช$นุ (Interval) หมี�ยถ้�ง ผลำต่��งรีะหว��งขอบบน์แลำะขอบลำ��งของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์น์� น์

Page 39: บทที่ 1

39

   7. จ�ดัก+�งกลำ�งช$นุ (Middle Point) ของอนุตรภ�คช$นุ หมี�ยถ้�ง คื��ก��งกลำ�งรีะหว��งขอบลำ��งแลำะขอบบน์ของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์น์� น์ น์(ยมีใช่�สั�ญลำ�กษณ์� X

ก�รสร0�งต�ร�งแจกแจงคว�มถิ��   คืวรีที่��เป/น์ข� น์ต่อน์ดั�งน์�    1. ห�พ(สั�ย (Range) โดัย พ(สั�ย = คื��สั-งสั1ดั - คื��ต่���สั1ดั   2. ถ้��โจที่ย�ก��หน์ดัจ��น์วน์อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์มี�ให� เรี�ต่�องคื��น์วณ์ห�คืว�มีกว��งของแต่�ลำะ อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ โดัยใช่�หลำ�กเกณ์ฑ์�ดั�งน์�

   

      ถ้�� I เป/น์ที่ศน์(ยมี ให�ป>ดัข� น์เป/น์จ��น์วน์เต่2มีเสัมีอ   ถ้��โจที่ย�ก��หน์ดัคืว�มีกว��งของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์มี�ให� เรี�สั�มี�รีถ้ห�จ��น์วน์ของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ โดัยใช่�หลำ�กเกณ์ฑ์�ไดั�ดั�งน์�

         ถ้��โจที่ย�ก��หน์ดัจ1ดัก��งกลำ�งมี�ให� เรี�สั�มี�รีถ้ห�คืว�มีกว��งของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ไดั�ดั�งน์�    คืว�มีกว��งของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์   =    ผลำต่��งของจ1ดัก��งกลำ�งของช่� น์ที่��อย-�ต่(ดัก�น์

Page 40: บทที่ 1

40

   3. เข�ยน์อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์เรี�ยงต่�มีลำ��ดั�บ แลำ�วดั-ว��คื��จ�กก�รีสั�งเกต่แต่�ลำะคื��ของข�อมี-ลำอย-�ใน์อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ใดั ก2ให�ข�ดั “|” ลำงใน์อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ไปเรี��อยๆ จน์คืรีบที่1กคื��จ�กก�รีสั�งเกต่ของข�อมี-ลำ   4. น์�บจ��น์วน์ข�ดัใน์แต่�ลำะอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์แลำะสัรี1ปออกมี�เป/น์จ��น์วน์ ซึ่��งจ��น์วน์ดั�งกลำ��วคื�อคืว�มีถ้�� (f)ตวอย!�ง     จ�กข�อมี-ลำต่�อไปน์� จงสัรี��งต่�รี�งแจกแจงคืว�มีถ้�� โดัยให�มี�อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์จ��น์วน์ 8 ช่� น์

                     74        68         73           62           78           65           98           75           83           69

                     76        64         75           70           91           86           78           58           54           65

                     80        85         80           94           56           68           66           77           53           86

                1.  ห�พ(สั�ย  =  คื��มี�กที่��สั1ดั - คื��น์�อยที่��สั1ดั                                             =  98-53                                             =  45

                          2. ห�คืว�มีกว��งของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ หรี�อจ��น์วน์ช่� น์ จ�กสั-ต่รี

                        3. เข�ยน์อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์เรี�ยงต่�มีลำ��ดั�บ โดัยให�คื��ที่��น์�อยที่��สั1ดัอย-�ใน์ช่� น์ที่�� 1 แลำะคื��ที่��มี�กที่��สั1ดัอย-�ใน์ช่� น์สั1ดัที่��ย (ช่� น์สั-งสั1ดั)

                       4. ดั-ว��คื��ของข�อมี-ลำแต่�ลำะคื��อย-�ใน์อ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ใดั ให�บ�น์ที่�กใน์ช่�องรีอยข�ดั

Page 41: บทที่ 1

41

                       5. น์�บจ��น์วน์รีอยข�ดัใน์แต่�ลำะอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ ใสั�ใน์ช่�องคืว�มีถ้��

   จ�กข�อมี-ลำข��งต่�น์ ไดั�ต่�รี�งแจกแจงคืว�มีถ้��ดั�งน์�  (จ��น์วน์ 8 ช่� น์)

อนุตรภ�คช$นุ รอยข�ดั คว�มถิ��53 – 58

59 – 64

65 – 70

71 – 76

77 – 82

83 – 88

89 – 94

95 - 100

  4

2

7

5

5

4

2

1รีวมี   30

   จ�กต�ร�งข0�งต0นุ

                เรี�ยก 53 ว�� คื��น์�อยที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่�� 1                เรี�ยก 58 ว�� คื��มี�กที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่�� 1                เรี�ยก 59 ว�� คื��น์�อยที่��สั1ดัของอ�น์ต่รีภ�คืช่� น์ที่�� 2

5.1 ก�รแจกแจงคว�มถิ��

1.ก�รสร0�งต�ร�งแจกแจงคว�มถิ��1.1 แบบไมี�จ�ดัหมี-�1.2 แบบจ�ดัหมี-�

2.ก�รแจกแจงคว�มถิ��สะสม3.ก�รแจกแจงคว�มถิ��ดั0วยกร�ฟ

Page 42: บทที่ 1

42

3.1 กรี�ฟิแที่�ง3.2 กรี�ฟิเสั�น์

5.2 ก�รแจกแจงคว�มถิ��แบบไม!จดัหม3!

คืะแน์น์ คืว�มีถ้��5 3

4 5

3 8

2 3

1 3

ตวอย!�งข0อม3ลำคะแนุนุสอบ :-

43 41 42 40 50 52 56 55 60 6046 47 47 49 62 61 51 53 53 5448 48 50 63 63 57 58 59 52 6457 59 57 55 63 56 57 72 74 6470 71 66 65 68 67 69 68 65 55

5.3 ก�รแจกแจงคว�มถิ��แบบจดัหม3!ต0องร301. คื��สั-งสั1ดั แลำะคื��ต่���สั1ดั2. พ(สั�ย = คื��สั-งสั1ดั คื��ต่���สั1ดั–

3. จ��น์วน์ช่� น์คืะแน์น์4. คื��อ�ต่รีภ�คืช่� น์ = พ(สั�ย/จ��น์วน์ช่� น์

Page 43: บทที่ 1

43

5.4 ก�รวดัแนุวโนุ0มเข0�ส3!ส!วนุกลำ�ง ฐ�น์น์(ยมี (Mode)

มี�ธ์ยฐ�น์ (Median)

มี�ช่ฌิ(มีเลำขคืณ์(ต่ (Mean)

ฐ�น์น์(ยมีแบบไมี�จ�ดัหมี-�แบบจ�ดัหมี-�

ฐ�นุนุ�ยม (ข0อม3ลำจดัเป'นุหม3!)

Mode = Li + ( Δ1

Δ1 + Δ2 ) C

มธียฐ�นุ1. แบบไมี�จ�ดัหมี-�

2. แบบจ�ดัหมี-�

มธียฐ�นุ

(ข�อมี-ลำจ�ดัเป/น์หมี-�)

Median = Li +

|N2

− Cf i|C

f i

มชฌิ�มเลำขคณิ�ต1. แบบไมี�จ�ดัหมี-�

Page 44: บทที่ 1

44

2. แบบจ�ดัหมี-�

มชฌิ�มเลำขคณิ�ต (ข�อมี-ลำไมี�จ�ดัเป/น์หมี-� ไมี�แจกจงคืว�มีถ้��– )

μ = ∑

i = 1

N

x i /N

x = ∑

i =1

n

x i/n

มี�ช่ฌิ(มีเลำขคืณ์(ต่(ข�อมี-ลำไมี�จ�ดัเป/น์หมี-� แจกแจงคืว�มีถ้��– )

μ = ∑i = 1

K

fxi /N

x = ∑i =1

k

fx i/n

มี�ช่ฌิ(มีเลำขคืณ์(ต่(ข�อมี-ลำจ�ดัเป/น์หมี-�)

μ = ∑i = 1

K

f i x i/N

5.5 ก�รวดัก�รกระจ�ยพ(สั�ย (Range)

สั�วน์เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์ (Standard Deviation)

คืว�มีแปรีปรีวน์ (Variance)

สั�มีปรีะสั(ที่ธ์(ก�รีแปรีผ�น์ (Coefficient of variation)

พ�สยแบบไมี�จ�ดัหมี-�

Page 45: บทที่ 1

45

แบบจ�ดัหมี-�

ส!วนุเบ��ยงเบนุม�ตรฐ�นุ(ข�อมี-ลำไมี�จ�ดัเป/น์หมี-�)

σ = √∑

i= 1

N

( x i − μ ) 2 /N

σ = √∑i= 1N

x12 /N − (∑

i =1

N

x i/N )2

ส!วนุเบ��ยงเบนุม�ตรฐ�นุ(ข�อมี-ลำจ�ดัเป/น์หมี-�)

σ = √∑

i= 1

K

f i (x i − μ ) 2/N

σ = √∑i= 1K

f i x i2/N − (∑

i= 1

K

f i x i/N )2

สมประส�ทธี�ก�รแปรผนุ( C. V. )

C . V . = σμ

× 100

Page 46: บทที่ 1

46

Page 47: บทที่ 1

47

5.6 ก�รีห�คื��กลำ�งของข�อมี-ลำ

ก�รีห�คื��กลำ�งของข�อมี-ลำเพ��อห�คื��สัถ้(ต่(หรี�อคื��พ�รี�มี(เต่อรี� แลำ�วน์��ผลำที่��ไดั�มี�สัรี1ปแลำะต่�คืว�มีหมี�ยของข�อมี-ลำ ใช่�เป/น์ต่�วแที่น์ของข�อมี-ลำที่� งหมีดัเพ��อคืว�มีสัะดัวกใน์ก�รีสัรี1ปเรี��องรี�วเก��ยวก�บข�อมี-ลำน์� น์ๆ จะช่�วยที่��ให�เก(ดัก�รีว(เคืรี�ะห�ข�อมี-ลำถ้-กต่�องดั�ข� น์ ก�รีห�คื��กลำ�งของข�อมี-ลำมี�ว(ธ์�ห�หลำ�ยว(ธ์� แต่�ลำะว(ธ์�มี�ข�อดั�แลำะข�อเสั�ย แลำะมี�คืว�มีเหมี�ะสัมีใน์ก�รีน์��ไปใช่�ไมี�เหมี�อน์ก�น์ ข� น์อย-�ก�บลำ�กษณ์ะข�อมี-ลำแลำะว�ต่ถ้1ปรีะสังคื�ของผ-�ใช่�ข�อมี-ลำน์� น์ๆคื��ว�ดัแน์วโน์�มีสั-�สั�วน์กลำ�งหรี�อคื��กลำ�งที่��เป/น์ต่�วแที่น์ของข�อมี-ลำที่��น์(ยมีใช่�มี�อย-� 3 คื�� ไดั�แก�คื��เฉลำ��ยเลำขคืณ์(ต่ มี�ธ์ยฐ�น์แลำะฐ�น์น์(ยมี ค!�เฉลำ��ยเลำขคณิ�ต (arithmetic mean)

คื��เฉลำ��ยเลำขคืณ์(ต่ (arithmetic mean) คื�อคื��ของผลำรีวมีของคื��สั�งเกต่ของข�อมี-ลำที่� งหมีดั ห�รีดั�วยจ��น์วน์ของข�อมี-ลำที่� งหมีดั เรี�ยกสั� น์ๆ ว��คื��เฉลำ��ย คื��เฉลำ��ยเลำขคืณ์(ต่เหมี�ะที่��จะน์��มี�เป/น์คื��กลำ�งของข�อมี-ลำเมี��อข�อมี-ลำน์� น์ไมี�มี�คื��ใดัคื��หน์��งสั-งหรี�อต่���ผ(ดัปกต่(

มธียฐ�นุมี�ธ์ยฐ�น์ (Median : Me) คื�อ คื��ที่��อย-�แหน์�งก��งกลำ�งของข�อมี-ลำที่� งช่1ดัเมี��อมี�ก�รีจ�ดัเรี�ยงคืะแน์น์ต่�มีคืว�มีมี�กน์�อยแบ�งข�อมี-ลำที่��เรี�ยงลำ��ดั�บแลำ�วออกเป/น์ 2 สั�วน์เที่��ๆ ก�น์ ใช่�ก�บข�อมี-ลำเช่(งปรี(มี�ณ์เที่��น์� น์ เหมี�ะที่��จะน์��มี�ใช่�เป/น์คื��กลำ�ง เมี��อข�อมี-ลำน์� น์มี�คื��หน์��งคื��ใดัสั-งหรี�อต่���ผ(ดัปกต่(ฐ�นุนุ�ยม (Mode)

ฐ�น์น์(ยมี คื�อคื��สั�งเกต่ที่��เก(ดัซึ่� �มี�กที่��สั1ดัหรี�อมี�คืว�มีถ้��สั-งสั1ดั จะใช่�ก�บข�อมี-ลำเช่(งคื1ณ์ภ�พมี�กกว��เช่(งปรี(มี�ณ์ เช่�น์ขน์�ดัรีองเที่�� อ�ย1 คืว�มีสั-ง ถ้��ข�อมี-ลำไมี�ซึ่� �ก�น์เลำยถ้�อว��ไมี�มี�ฐ�น์น์(ยมี ข�อมี-ลำช่1ดัหน์��งอ�จมี�ฐ�น์น์(ยมีมี�กกว��หน์��งคื��ก2ไดั�

Page 48: บทที่ 1

48

กรีณ์�ที่��ข�อมี-ลำใดัมี�ฐ�น์น์(ยมีมี�กกว�� 2 คื�� อ�จถ้�อไดั�ว��ข�อมี-ลำช่1ดัน์� น์ไมี�มี�ฐ�น์น์(ยมีเลำยก2ไดั�ส��หรบข0อม3ลำท��ไม!แจกแจงคว�มถิ�� ฐ�น์น์(ยมีคื�อข�อมี-ลำต่�วที่��ซึ่� �ก�น์มี�กที่��สั1ดัส��หรบข0อม3ลำท��แจกแจงคว�มถิ��- ให�จ1ดัก��งกลำ�งช่� น์ที่��มี�คืว�มีถ้��สั-งสั1ดัเป/น์คื��ปรีะมี�ณ์ของฐ�น์น์(ยมี หรี�อ- ห�จ�กฮิ(สัโที่แกรีมี ก��หน์ดัให� Mode คื�อคื��ฐ�น์น์(ยมี5.7 ก�รวดัก�รกระจ�ยของข0อม3ลำ (Measure of Dispersion)

ถ้�งแมี�เรี�จะสั�มี�รีถ้ห�คื��ศ-น์ย�กลำ�ง โดัยมี�ว(ธ์�ห�ไดั�สั�มีว(ธ์�ดั�งที่��กลำ��วมี�แลำ�วน์� น์ เรี�ก2ย�งไมี�อ�จจะอธ์(บ�ยข�อมี-ลำไดั�อย��งดั�พอ ลำองเปรี�ยบเที่�ยบ ข�อมี-ลำ จ�กต่�รี�งต่�อไปน์� แลำ�วจะที่��ให�เข��ใจไดั�ว�� เพรี�ะอะไรีถ้�งเป/น์เช่�น์น์� น์

X Y Z30 10 1030 30 2030 30 3030 30 4030 50 50Mean = 30 Mean = 30 Mean = 30Median = 30

Median = 30

Median = 30

จ�กต่�รี�งห�กเรี�อธ์(บ�ยข�อมี-ลำสั�มีกลำ1�มี โดัยใช่�ว(ธ์�ว�ดัแน์วโน์�มีเข��สั-�ศ-น์ย�กลำ�ง (Measure of location) เรี�จะพบว��ข�อมี-ลำของสั�มีกลำ1�มี น์� ไมี�แต่กต่��งก�น์แต่� อย��งใดั แมี�จะใช่� คื��เฉลำ��ยแลำะคื��มี�ธ์ยฐ�น์อธ์(บ�ยก2ต่�มี  ที่� งที่��คืว�มีเป/น์จรี(งข�อมี-ลำสั�มีกลำ1�มีน์� แต่กต่��งก�น์อย��งสั( น์เช่(ง ดั�งน์� น์ว(ธ์�ว�ดัแน์วโน์�มีเข��สั-�ศ-น์ย�กลำ�งเพ�ยงอย��ง เดั�ยวจ�งไมี�สั�มี�รีถ้แยกแยะคืว�มีแต่กต่��งของข�อมี-ลำดั�งกลำ��วออกมี�ไดั�จ�งต่�องมี�คื��ที่�งสัถ้(ต่(ต่�วอ��น์เข��มี�ช่�วยใน์ก�รีแยกแยะเรี�เรี�ยกคื��สัถ้(ต่(น์� ว��ต่�วว�ดัก�รีกรีะจ�ยของ  ข�อมี-ลำ ซึ่��งมี�ดั�งต่�อไปน์�  

คื��พ(สั�ย (Range of data)  สั�ญญลำ�กษณ์� คื�อ   R

เป/น์ว(ธ์�ว�ดัคื��คืว�มีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำที่��ง��ยที่��สั1ดั  ห�ไดั�จ�กก�รีเอ�คื��สั-งสั1ดัของ

Page 49: บทที่ 1

49

ข�อมี-ลำใน์กลำ1�มีลำบดั�วยข�อมี-ลำต่�วที่��ต่���ที่��สั1ดัของกลำ1�มี   จ�กต่�รี�งข��งบน์ ห�กเรี�ใช่�คื��พ(สั�ย เป/น์ต่�วว�ดัก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำแต่�ลำะกลำ1�มี จะไดั�ดั�งน์� .

กลำ1�มี  X      คื��พ(สั�ยคื�อ   30 - 30 = 0

 กลำ1�มี  Y      คื��พ(สั�ยคื�อ  50 - 10 = 40

  กลำ1�มี   Z      คื��พ(สั�ยคื�อ   50 - 10 = 40

 คื��พ(สั�ยเป/น์คื�� ไมี�ใช่�ช่�วงคืว�มีเช่��อมี��น์ (Interval) ให�คืว�มีรี- �สั�กถ้�งก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำ แต่�เน์��องจ�กคื��พ(สั�ยจะข� น์อย-�ก�บคื��สั-งสั1ดั แลำะต่���สั1ดัของข�อมี-ลำ ใน์กลำ1�มีเที่��น์� น์ อย��งข�อมี-ลำของกลำ1�มี Y แลำะ  Z ที่� งๆ ที่��คื1ณ์สัมีบ�ต่(ก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำสัองกลำ1�มีน์� จรี(งๆแลำ�วแต่กต่��งก�น์แต่�เมี��อใช่�คื��พ(สั�ยใน์ก�รีว�ดักลำ�บ ไมี�สั�มี�รีถ้ว�ดัคืว�มีแต่กต่��งดั�งกลำ��วไดั�  หรี�อถ้��ห�กข�อมี-ลำใน์กลำ1�มีมี�บ�งคื��ที่��กรีะจ�ยอย-�น์อกกลำ1�มีมี�กผ(ดัปกต่( (Outliers) ก�รีใช่�คื��พ(สั�ยใน์ก�รีบอกคื�� ก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำจะผ(ดัพลำ�ดัจ�กที่��คืวรีจะเป/น์มี�กข� น์

คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ (Sample Variance )   สั�ญญลำ�กษณ์�คื�อ  s2

เน์��องจ�กจ1ดัอ�อน์ของคื��พ(สั�ยดั�งที่��กลำ��วมี�แลำ�ว คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ (Variance) เป/น์คื��ที่��ใช่�ว�ดัก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำไดั�ดั�กว�� เพรี�ะไมี�ไดั�ข� น์อย-�ก�บ คื��สั-งสั1ดัแลำะต่���สั1ดัของข�อมี-ลำใน์กลำ1�มี เที่��น์� น์ แต่�ข� น์อย-�ก�บคื��ของข�อมี-ลำที่1กต่�วว��เบ��ยงเบน์ (Deviate) ไปจ�ก คื��เฉลำ��ยของกลำ1�มีเที่��ไหรี� ที่��ให�คื��คืว�มี แปรีปรีวน์ ต่�องมี�สัมีก�รีคืณ์(ต่ศ�สัต่รี�ที่��ซึ่�บซึ่�อน์มี�กกว��ก�รีห�คื��พ(สั�ยดั�งต่�วอย��งต่�อไปน์�

Deviation = ( X - X )

 

จ�กต่�รี�งที่��ผ��น์มี� ข�อมี-ลำกลำ1�มี Y แลำะ Z สั�มี�รีถ้ห�คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ ไดั�

Page 50: บทที่ 1

50

ดั�งน์�

Y (  X - X )10 (10-30) = -2030 (30-30) = 030 (30-30) = 030 (30-30) = 050 (50-30) = 20X = 30 average = 0

 

Z (  X - X )10 (10-30) = -2020 (20-30) = -1030 (30-30) = 040 (40-30) = 1050 (50-30) = 20X = 30 average = 0

 

คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ก2คื�อคื��เฉลำ��ยของคื��เบ��ยงเบน์จ�กคื��กลำ�งของข�อมี-ลำที่1กต่�ว แต่�เรี�จะพบว��เมี��อน์��คื��เบ��ยงเบน์จ�กคื��กลำ�ง ที่1กต่�ว มี�รีวมีก�น์จะไดั�ผลำ ลำ�พธ์�เป/น์ศ-น์ย�(เสัมีอ) ซึ่��งที่��ให�เรี�ไมี�อ�จน์��คื��ดั�งกลำ��วไปใช่�ใน์ ก�รีห�คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ไดั� ดั�งน์� น์เพ��อหลำ�กเลำ��ยง ป>ญห�ดั�งกลำ��ว จ�งจ��เป/น์ต่�องขจ�ดัเคืรี��อง หมี�ยลำบ ออกให�หมีดั โดัยก�รีน์��เอ�คื��เบ��ยงเบน์มี�ยกก��ลำ�งสัอง แลำ�วคื�อยน์��มี�รีวมีก�น์ต่อน์ หลำ�ง แลำ�วห�คื��เฉลำ��ยโดัยน์��ผลำรีวมีที่��ไดั�ห�รีดั�วยจ��น์วน์ ข�อมี-ลำ   แต่�ต่�มีสัมีก�รีข��งบน์ ต่�วห�รีจะเป/น์ n-1 ซึ่��งเรี�เรี�ยกว�� คื��รีะดั�บ คืว�มีอ(สัรีะของข�อมี-ลำ (Degree of freedom)  ขอให�ที่��น์กลำ�บไปอ��น์ เรี��อง ปรีะช่�กรีแลำะกลำ1�มีต่�วอย��ง  เพ��อที่��คืว�มีเข��ใจ เน์��องจ�ก ต่�วอย��งน์� เป/น์ข�อมี-ลำของกลำ1�มี

Page 51: บทที่ 1

51

ต่�วอย��ง (Sample) จ�งใช่� คื��รีะดั�บคืว�มีอ(สัรีะ เป/น์ต่�วห�รี

แต่�ถ้��สั�งเกต่ดั�ๆ เรี�จะพบว�� คื��ที่��ไดั�ไมี�ใช่�คื��เบ��ยงเบน์โดัยเฉลำ��ยที่��แที่�จรี(ง ย�งต่(ดัก��ลำ�งสัองอย-� เรี�จ�งเรี�ยกคื��ที่��ไดั�น์� ว�� คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ (Variance)  ถ้��น์��คื��ดั�งกลำ��วไปถ้อดักรีณ์ฑ์� หรี�อรี�กก��ลำ�งสัองออก คื��ที่��ไดั�ก2จะเรี�ยกว�� คื��เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์ (Standard Deviation ) น์��น์เอง เพรี�ะฉะน์� น์ ที่� งคื�� คืว�มีแปรีปรีวน์แลำะคื��เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์จ�งสั�มี�รีถ้ใช่�อธ์(บ�ย ก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำ ไดั� เช่�น์เดั�ยวก�น์ แต่�จะมี�รี�ยลำะเอ�ยดัที่��แต่กต่��งก�น์ใน์ปรีะเดั2น์ ย�อยๆ บ��ง

ดั�งน์� น์คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ของกลำ1�มีข�อมี-ลำ Y คื�อ 

คื��เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์ของกลำ1�มีข�อมี-ลำ Y  คื�อ  

ดั�งน์� น์คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ของกลำ1�มีข�อมี-ลำ Z  คื�อ

คื��เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์ของกลำ1�มีข�อมี-ลำ Z  คื�อ 

จ�กต่�วอย��งที่��ผ��น์มี�จะเห2น์ว�� เมี��อเรี�ใช่�คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ หรี�อ คื��เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์เป/น์ต่�วว�ดัคื��ก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำกลำ1�มี Y แลำะกลำ1�มี Z เรี�จะสั�มี�รีถ้เห2น์คืว�มีแต่กต่��งของคื��ก�รีกรีะจ�ยของข�อมี-ลำสัองกลำ1�มีน์� ไดั� ใน์ขณ์ะที่�� เมี��อเรี�ใช่�พ(สั�ยใน์ก�รีก�รีว�ดัเรี�จะ ไมี�สั�มี�รีถ้เห2น์คืว�มีแต่กต่��ง ดั�งกลำ��วไดั�เลำย

 เมี��อใดัจะใช่� พ(สั�ย เมี��อใดัจะใช่�คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ใน์ก�รีว�ดัก�รีก�รีกรีะจ�ย

Page 52: บทที่ 1

52

สั(�งที่��จะต่�องพ(จ�รีณ์� เสัมีอก�อน์จะเลำ�อกใช่� คื��พ(สั�ยหรี�อคื��คืว�มีแปรีปรีวน์ใน์ก�รีว�ดั หรี�ออธ์(บ�ยข�อมี-ลำ

1. จ��น์วน์ข�อมี-ลำ ถ้��เรี�มี�ข�อมี-ลำน์�อยต่�วมี�ก เช่�น์ สัองหรี�อสั�มีต่�วเที่��น์� น์ ใช่�คื��พ(สั�ย ก2ให�คืว�มีถ้-กต่�องมี�กพอ

2. คืว�มีแต่กต่��งของคื�� แมี�มี�จ��น์วน์ข�อมี-ลำหลำ�ยต่�ว  แต่�ห�กคื��แต่�คื��ลำะมี�คืว�มีใกลำ�เคื�ยงก�น์มี�ก ก2สั�มี�รีถ้จะว�ดัโดัยคื��พ(สั�ยไดั�

 3. ถ้��มี�ข�อมี-ลำหลำ�ยต่�ว คืวรีใช่� คื��คืว�มีแปรีปรีวน์ หรี�อ คื��เบ��ยงเบน์มี�ต่รีฐ�น์จะให�คืว�มีถ้-กต่�องมี�กที่��สั1ดั