الثامن الباب

مقدمة 8.1

سحبت الذي المجتمع كان إذا ما لمعرفة فيها نحتاج حاالت هناك

% يتبع ما عينة منه % معينا توزيعا . الحدين ذو توزيع أو الطبيعي التوزيع مثًال

توزيع يكون أن يتطلب المجتمع متوسط على لًالستداللt فاختبار

نضطر قد التوزيع ذلك طبيعة عن معلومات غياب طبيعي. وفي المجتمع

في متحقق الطبيعي التوزيع شرط أن من للتأكد العينة بيانات الستخدام

العينة. منه سحبت الذي المجتمع

في تستخدم التي الطرق من عدد على نتعرف الباب هذا وفي

تظهره مشاهد تكراري لتوزيع معين نظري توزيع توفيق مدى اختبار

مع النظري التوزيع توافق "توفيق" درجة بـ عشوائية. ونقصد عينة بيانات

المشاهد. التوزيع

: الواحدة العينة : حالة التوفيق لجودة 2 اختبار 8.2

يعــود مشــاهد لتوزيــع نظــري توزيــع توفيــق لجــودة األول االختبــار

ــار هــذا بيرســون. ويتمــيز لكــارل البيانــات على تطبيقــه بإمكانيــة االختب

األعلى. بالمقاييس المقاسة تلك على وبالتالي إسمي بمقياس المقاسة

المتداخلة. غير التصنيفات منk عدد لدينا يكون العامة الحالة في

البرامج من أنواع ، زواجية حاالت ، عمرية فئات تكون قد التصنيفات هذه

كل في تقع التي العينة في الوحدات عدد لدينا الخ. ويكون … التلفزيونية

. Observed frequencies المشاهدة التكرارات األعداد هذه تصنيف. تسمى

العينة أن المفترض النظري التوزيع خصائص 2 اختبار ويستخدم

في تكون أن ( المتوقع الوحدات ) عدد التكرارات حساب في منه جاءت

% هو التوزيع ذلك كان إذا التصنيفات هذه للمجتمع الحقيقي التوزيع فعًال

146

توفيق

المتوقعة التكرارات التكرارات هذه العينة. تسمى منه سحبت الذي

Expected frequenciesالمتوقعة التكرارات بين االختًالف مدى . ويمثل

القرار عليه يبنى الذي األساس المختلفة التصنيفات في والمشاهدة

التوفيق. جودة أو المشاهد مع النظري التوزيع توافق حول

%i التصنيف في المتوقعة التكرارات ولحساب – نوجد ، مثًال

p وليكنi في قيمة وقوع احتمال – المفترض التوزيع خصائص باستخدام

iالتصنيف في المتوقع التكرار . ويكون iهو المفترض التوزيع كان اذا

% حيث: هو العينة منه سحبت الذي المجتمع توزيع حقا

العينة. حجم أي التصنيفات كل في التكرارات مجموعn وحيث

: اإلحصائية فإن كبيرةn لـ أنه اثبات يمكن اآلن

(8.2.1 )

% تتبع ،i التصنيف في الفعلي أو المشاهد التكرار حيث 2 توزيع تقريبا

حرية بدرجات k-1الختبار اإلحصائية هذه استخدام فيمكن . وعليه

االختًالفات وأن الحقيقي التوزيع هو المفترض التوزيع بأن العدم فرض

) من الصدفة. وواضح عن ناتجه والمشاهدة المتوقعة التكرارات بين

والمتوقعة المشاهدة التكرارات بين الفروقات زادت كلما ( أنه8.2.1

لعدم مؤشر اإلحصائية كبر فإن وبالتالي ، اإلحصائية قيمة كبرت كلما

معنوي الكبر هذا كان إذا ما لنا يحدد الذي العدم. والمعيار فرض صحة

2 توزيع منحنى من األيمن الطرف في الحرجة القيمة )حقيقي( هو

الذي المعنوية مستوى تساوي مساحة تليها والتيk-1 حرية بدرجات

نختاره.

: اآلتي مًالحظة ينبغي السياق هذا وفي

يكون لن النظري 2 ( بتوزيع8.2.1) اإلحصائية توزيع تقريب إن(1

% هناك صغيرة. وليس متوقعة تكرارات هناك كانت إذا صحيحا

147

% % تحديدا قاعدة هنا سنتبع صغير. ولكننا هو لما عليه متفق حاسما

% التقريب فنعتبر كوكران البارز اإلحصائي هناك تكن لم إذا معقوال

تزيد ال5 عن تقل التي الـ عدد نسبة " وكانت1" من أقل

من التخلص محاولة يمكن ذلك تحقق عدم حالة % . وفي20 عن

ببعض بدمجها المتجاورة التصنيفات ببعض بالتضحية المشكلة

المشكلة. تزول حتى

2)% المعالم بعض لتقدير نضطرpi االحتماالت حساب عند أحيانا

% التباين أو الحسابي كالوسط طرح يجب ، ذلك حدث . اذا مثًال

% يتم معلم كل مقابل حرية درجة r عدد تقدير تم اذا تقديره. مثًال

. k-r-1 هيχ2 حرية درجات تكون المعالم من

األيمن. الطرف يستخدم التوفيق لجودةχ2 اختبار أن الحظ

( 8.2.1 ) مثال

متسوق عن اليوم في األسبوع الذي يفضل التسوق فيه وكانت300تم سؤال كل من

يلي: النتائج كما

الخمياألربعاءالثًالثاءاإلثنيناألحدالسبت

س

الجمع

1234567(i) اليوم رقم

e) المتسوقين عدد

i)

10204040508060

تفضيل حيث من متساوية األسبوع أيام أن البيانات هذه تعني هل

؟ لها المتسوقين

: الحل

: اختباره المراد الفرض هنا

H o: التفضيل حيث من تختلف ال األسبوع أيام

H 1: التفضيل حيث من تختلف األسبوع أيام مقابل

148

% مختار شخص يفضل أن احتمال فإنHo صحة حالة في عشوائيا

تفضيل نسب فإن أخرى . بعبارة هو7 الـ األسبوع أيام من أي

H o صحة حالة في أنه يعني . هذا وهي متساوية األسبوع أيام مختلف

فإن

i = 1,…,7 pi=

المتوقع العدد فإن المتسوقين منn = 300 عدد العينة في لدينا أن وبما

% ، يوم أي يفضل أن منهم هو ،i اليوم مثًال

= i 7, … ,1 حيث

: تكونχ2 لـ المشاهدة القيمة فإن وبالتالي

k-1 = 1-7 = 6= الحرية درجات

% نجد6 حرية ( – بدرجات6) - جدولχ2 جدول ومن 12.592= أن مثًال

χ2 . H o نرفض أكبر المشاهدة أن وبما0.95

(6) جــدول من لهــا قيمــة أقــرب أوP قيمــة ايجــاد بــالطبع يمكن

. 0.005 عن تقلP قيمة أن نجد6 حرية درجات فمقابل

% الطبيعي التوزيع أن بما في للمجتمع كتوزيع يفترض ما كثيرا

الطبيعي. التوزيع لتوفيق التالي المثال نخصص فإننا المعلمي االستدالل

( 8.2.2 ) مثال

كما للكفاءة اختبار في موظف223 لدرجات التكراري التوزيع

( أدناه. 8.1) ( بجدول2) ( و1) العمودين في

149

(8.1)جدول

(1)الدرجة فئة

(2)الموظفين عدد

الفعلي( )التكرار(ei)

(3) القيمة

المعيارية األعلى للحد

(z)

(4) تحت المساحة في المنحنىالفئة

(Pi)

(5) التكرارالمتوقع

(e´i)

0.04018.94-40.0101.75 من أقل40.0 - 50121.24-0.067415.03

50 - 60170.74-0.122127.2360 - 70370.23-0.179440.0170 – 80550.280.201344.8980 – 90510.790.174939.0090 – 100341.300.118026.31

100 – 11051.810.061713.760.03517.83--2 فأكثر110

2231.0000223

مجهولين للمجتمع المعياري واالنحراف الحسابي الوسط أن وبما

أعًاله للتوزيع الحسابي الوسط فكان العينة من تقديرهما تم فقد

العينة هذه أن القول يمكن هل19.658 المعياري واالنحراف74.470

؟ طبيعي توزيعه مجتمع من سحبت

: الحل

H o أن بإفتراض المختلفة الفئات في المتوقعة التكرارات : نوجد أوال

الوسط يحدد لم العدم فرض أن . وبما طبيعي التوزيع أي صحيح

نستخدم أن فيمكن الطبيعي التوزيع أن فقط وإنما والتباين الحسابي

احتمال ونحسب19.658 المعياري وانحرافها74.47 العينة وسط

74.47 حسابي بوسط طبيعي التوزيع كان إذا فئة كل في الوقوع

التكرار هو فئة أي في الوقوع . واحتمال19.658 معياري وانحراف

هذا الطبيعي كالتوزيع المتصلة التوزيعات حالة بها. وفي المتوقع النسبي

الفئة. حدي بين الطبيعي المنحنى تحت المساحة تمثله االحتمال

% ،50من( )أقل الى40 من و40 قبل المساحة إليجاد ، مثًال

الوسط بطرح معيارية قيمة الى50 و40 القيمتين من كل نحول

150

40 لـ المعيارية . فالقيمة المعياري االنحراف على والقسمة الحسابي

: هي

: 50 لـ المعيارية والقيمة

= Z قبل الطبيعي المنحى تحت المساحة أن ( نجد2) جدول ومن

. 40 من أقل قيمة على الحصول احتمال وهو0.0401 هي1.75 -

فإن وبالتالي0.1075 هيZ = - 1.24 قبل المساحة فإن كذلك

% )وهيZ = - 1.75 وZ = - 1.75 بين المساحة و40 بين المساحة أيضا

( تكون50

0.0674 = 0.0401 – 0.01075

. 50 و40 بين قيمة وقوع احتمال وتمثل

الفئات لبقية العليا للحدود المعيارية القيم نوجد الطريقة وبهذه

البيانات . هذه فئة كل حدى بين الطبيعي المنحنى تحت والمساحات

العمود في المساحات أن ( بالترتيب. الحظ4) ( و3) العمود في وضعت

( فيعطي5) العمود المقابلة. أما الفئات في الوقوع احتماالت هي الرابع

( في4) العمود في قيمة كل بضرب عليه ونحصل المتوقعة التكرارات

%223 التكرارات مجموع : هو األولى الفئة في المتوقع التكرار . مثًال

8.94 = 0.0401 × 223

: هيχ2 لـ المشاهدة القيمة

الوسط هما معلمين تقدير تم قد أنه وبماk = 9 هنا الفئات عدد أن وبما

9 – 2 – 1 = 6 تكونχ2 حرية درجات فإن العينة من والتباين الحسابي

χ2 12.952= أن نجد6 حرية ( بدرجات6) جدول ومن 0.95

151

p) طبيعي. التوزيع بأنHo نرفض . إذا المشاهدة القيمة من أقل وهي

< 0.005)

يتميز االختبار هذا أن نذكر ، التوفيق لجودةχ2 اختبار نغادر أن وقبل

% ذكرنا كما االسمية البيانات على تطبيقه بإمكانية يسمح أنه كما سابقا

أن عليه يعاب مجهولة. ولكن كانت إن المفترض التوزيع معالم بتقدير

n كانت إذاχ2 بتوزيع مقبول بشكل يقرب لن االختبار إحصائية توزيع

% االختبار هذا يتطلب صغيرة. كذلك وهو فئات في البيانات تصنيف أحيانا

اختيارية. بطريقة عادة يتم أمر

الواحدة للعينة سميرنوف – كولموقروف اختبار (8.1)

Kolmogrov – Smirnov one sample test

إحصائية توزيع تقريب أن التوفيق لجودةχ2 اختبار في المشكلة

% يكون لنχ2 بتوزيع االختبار % العينة حجم كان إذا جيدا كانت أو صغيرا

لم رأينا.فإذا كما معينة قيم من أقل الخًاليا بعض في المتوقعة التكرارات

فإنه األسباب هذه ألحد التوفيق لجودةχ2اختبار استخدام من نتمكن

أو سميرنوف، – كولموقروف باختبار عرف الذي لًالختبار اللجوء يمكننا

أول كولموقروف ألن أخرى أحيانا عليه يطلق كما كولموقروف اختبار

إليه. أشار من

إحصائية توزيع بأن سميرنوف – كولموقروف اختبار ويتميز

% معروف فيه االختبار % العينة حجم يكون عندما حتى تماما دامت ما صغيرا

فترة انشاء من يمكننا بأنه يتميز لتقدير. كما تحتاج معالم هناك ليست

% ليس . ولكن(F)x لـ ثقة % واضحا – )كولموقروف االختبارين أي بعد تماما

قوة. ( أكثرχ2 و سميرنوف

دالة مجتمع منX1 ,X2 , …, Xn العشوائية العينة لدينا أن لنفرض

% . نفرض * مجهولة(F)x توزيعه المشاهدة التراكمية التوزيع دالة أن أيضا

emperical distribution functionهي العينة من S)x)ألي ، تعطى الدالة . هذه

152

وتستخدم ،x عن تقل أو تساوي التي العينة في القيم نسبة ،x قيمة

. (F)x المجتمع في التوزيع دالة لتقدير عادة

التوزيع دالة أن هو اختباره في نرغب الذي العدم فرض ليكن

أي(F*)x هي العينة منه جاءت الذي للمجتمع الحقيقية

*x Ho : F)x) = F لكل )x)

حسب نوف سمير – كولموقروف ختبارال االختبار إحصائية وتحدد

التالي: النحو على البديل الفرض

__________________________________ التوزيع دالة F)x)لمتغير Xعن تقل أو تساوي لقيمة المتغير أخذ احتمال تعطى دالة هي x.

هو: البديل الفرض كان إذا(1

H1 = F)x) ≠ F*)x)

رأسيه مسافة أكبر تكون االختبار إحصائية فإن ، األقل على واحدهx لـ

آخر أصغر. بمعنى أو(S)x من أكبر(F*)x كانت سواء(S)x و(F*)x بين

|(F*)x) – S)x| المطلق - للفرقx لكل – قيمة أكبر هي االختبار إحصائية

بالشكل: هذا ونكتب

. x لكل األكبر تعني حيث

هو: البديل الفرض كان إذا(2

H1 : F)x) < F*)x)

مسافة أكبر هي هنا االختبار احصائية فإن ، األقل على واحدةx لـ

x [ لكل(F*)x) – S)x] للمقدار قيمة أكبر أي ،(S)x فوق(F*)x لـ رأسية

: ونكتب

. (Ho : F)x) F*)x الشكل يأخذ الحالة هذه في العدم فرض أن الحظ

153

هو: البديل الفرض كان إذا (3

H1 : F)x) > F*)x)

أي(S)x تحت (F*)x لـ رأسية مسافة أكبر تكون االختبار إحصائية فإن

ونكتبx [ لكل(S)x) – F*)x] للفرق قيمة أكبر

(Ho : F)x) F*)x الشكل العدم فرض ويأخذ

T ، T من ألي األيمن بالطرف الحرجة ( القيم15) جدول ويعطى

،0.05 ،0.02 ،0.01 هي المعنوية لمستوى مختاره لقيم+ T و-

0.05 ،0.025 ،0.01 ،0.005 و طرفين ذو الختبار0.20 و0.10

استخدام يمكنT توزيع لتماثل واحد. ونتيجة طرف ذو الختبار0.10 و

التوزيع هوT اإلحصائية توزيع . ويكون+T و -T لـ الحرجة القيم نفس

% تكون ذلك معالم. عدا لتقدير نحتاج وال متصلة(F)x كانت إذاExact تماما

محافظ. واالختبار تقريبية الحرجة القيم

قيمة كانت إذاHo ( يرفض3( – )1) الثًالث الحاالت وفي

القيمة من أكبر الحالة( المشاهدة حسب+T أو -T أوT) اإلحصائية

الحرجة.

: المشاهدة اإلحصائية قيم إيجاد( 8.3.1)

من االختبــار نوعية باختًالف المشاهدة اإلحصائية قيم إيجاد يختلف

حالــة كــل هنــا طــرفين. وســنتناول أم واحد طرف ذو اختبار هو هل حيث

حده. على

% : طرفين ذو االختبار : حالة أوال

مسافة أكبر أن فبما ، متقطعة المفترضه التوزيع دالة كانت إذا

القيمة إليجاد نحتاجه الذي فكل ،x قيم إحدى عند تحدث أن البد

|(S)x) - F*)x| الفرق إيجاد ثم(F*)x و(S)x حساب هوT لـ المشاهدة

و طرفين ذو اختبار حالة في صحيحة القيم هذه n 40 طرف ذو الختبار جيد بشكل لكن وتقريبه واحد.

154

.T لإلحصائية المشاهدة القيمة هو الفروق هذه وأكبرx قيمة كل عند

% %T قيمة ايجاد يمكن أيضا وتحديد(F*)x ومنحنى(S)x منحنى برسم بيانيا

. T لـ المشاهدة القيمة وهي بينهما مسافة أكبر

إيجاد عند الحذر توخي فينبغي متصلة التوزيع دالة كانت إذا أما

%. ولتوضيحT قيمة : العينة لدينا أن أفرض ذلك جبريا

0.75 = x1 ، 0.50 = x2 ، 0.20 = x3 ، 0.54 = x40.60 و = x5 .

% – سحبت قد كانت إذا ما اختبار ونريد الذي المنتظم التوزيع من – مثًال

: توزيعه دالة

،x عن تقل أو تساوي التي القيم نسبة هيx أي عند(S)x أن بما

فإن:5 القيم عدد أن وبما

. (F*)x و(S)x ( الدالتين8.1) شكل ويوضح

(F*)x و(S)x بين رأسية مسافة أكبر أن ( نًالحظ8.1) شكل من

xi وxi-1 متجاورتين قيمتين أي . لنأخذT قيمة بالتالي وهي0.25 هي

-xi الفترة في(F*)x من أصغر(S)x كانت إذا أنه . نًالحظ xi-1 < xi بحيث

1, xi) وهو فرق أكبر [ فإن F*)xi) - S)xi-1)اليمنى النهاية نقطة في يكون

%xi عن مباشرة تقل نقطة في للفترة [0.2 , 0.5) الفترة في . فمثًال

% – فرق أكبر فإن 0.5 عن مباشرة تقل نقطة في - يكونa بـ إليه مشارا

– مسافة أكبر(S)xi-1) - F*)xi-1 فإن(S)x من أقل(F*)x كانت إذا . أما

الفترة في الحال هو كماxi-1 عند اليسرى النهاية نقطة في ستكون

في األفقية الرأسية. الخطوط الخطوط نهايات من تقرأ المسافة S)x)ووضعت لها تابعة ليست %. الرسم ليكون متصًال

155

بـ اليها )مشار0.6 النقطة عند مسافة أكبر نجد [ حيث (0.75, 0.6

b0.6, 0.4] الفترة في كما الدالتين تقاطع حالة (. وفي� – [ -مثًال

هذه عن الطرفين. وينتج من واحد أي في فرق أكبر يكون أن يمكن

xi قيمة لكل ، نحسب طرفين ذو االختبار فيT إليجـاد أنه الحقائق

(S)xi-1| و| (S)xi) - F*)xi| المطلقة الفروقات العينة ( فيi = 1, ...,n )حيـث

- F*)xi) |وتكون Tالفروقات. هذه أكبر

% واحد طرف ذو : االختبار ثانيا

x لقيم(S)x و(F*)x بين فرق أكبر هي+T تكون الحالة هذه في

التيx لقيم فرق أكبر -T بينما ،(F*)x من أكبر(S)x عندها تكون التي

.(F*)x من أقل(S)x عندها تكون

( 8.3.1 ) مثال

فيx المستغرق الوقت ( يوضح8.2) جدول ( من1) العمود

عشوائية. عينة في المشاهدات حسب ما تجميع بخط معينة خدمة أداء

األسي: التوزيع يتبع الخدمة وقت كان إذا ما اختبار والمطلوب

x > o f )x) = e- x

حسابي: بوسط

=25

، دقيقة

. = 0.04 أي

: هي معروف هو كما األسي للتوزيع التوزيع دالة

x 0 F )x) = 1 – e - x

حيث: H o العدم فرض صحة اختبار المطلوب يصبح وبالتالي

Ho : F )x) = 1-e- 0.04 x

البديل الفرض مقابل

H1 : F )x) 1-e-0.04 x

156

تكرار نسبة فإن مختلفة وجميعهاn = 20 – x- لـ قيمة20 لدينا أن بما

هو منها كل

(S)x أي عنها تقل أوx قيمة أي تساوي التي القيم نسبة فإن وبالتالي

% القيم ترتب حين القيمة هذه ترتيب يساوي % تصاعديا .0.05 في مضروبا

% فإن وبالتالي1 هو0.8 القيمة ترتيب فمثًال

S )0.8) = 1 0.05 = 0.05

فإن وعليه الثانية القيمة هي0.9 كذلك

0.10 = 0.05 × 2 = (0.9) S

) جدول ( في2) بالعمود المشاهدة التراكمية الدالة قيم لبقية وهكذا

المقابلةx قيم نعوض الثالث العمود في(F*)x على (. وللحصول8.2

الدالة في

F*)x) = 1-e- 0.04 x

157

(8.2)جدول

(5)(4)(3)

التراكمية الدالة

المفترضة

F*)xi)

(2)

التراكمية الدالة

المشاهدة

S)xi)

(1)

الوقت

)بالدقيقة(

xi

0.03150.01850.03150.050.8

0.01460.06460.03540.100.9

0.03430.08430.06570.151.7

0.04400.09400.10600.202.8

0.08340.13340.11660.253.1

0.12990.17990.12010.303.2

0.10570.15570.19430.355.4

0.13040.18040.21960.406.2

0.00900.05900.39100.4512.4

0.01210.03790.46210.5015.5

0.00540.04460.50540.5517.6

0.00780.04220.55780.6020.4

0.00170.05170.59830.6522.8

0.11020.06020.76020.7035.7

0.16890.11890.86890.7550.8

0.12050.07050.87050.8051.1

0.11000.06000.91000.8560.2

0.06420.01420.91420.9061.4

0.01790.03210.91790.9562.5

0.01560.06560.93421.0068.1

% نجدx = 0.8 عند فمثًال

F*)0.8) = 1-e- 0.04 0.8 = 0.0315

158

القيم بين| (S)xi) - F*)xi| المطلقة الفروقات ( نوجد4) العمود وفي

%3) ( و2) العمودين في المتقابلة ( . فمثًال

0.0185 | = 0.0315 – 0.05 | = | S)0.8) – F*)0.8) |

(S)x لـ قيمة كل بين المطلقة الفروقات ( فتوجد5) العمود في أما

% الذي الصف في(F*)x وقيمة عليها حصلنا0.0146 القيمة يليها. مثًال

من:

0.0146 | = 0.0354 – 0.05( | = | 0.9 )F* - )0.8) S |

وهكذا.

( مجتمعين5) ( و4) العمودين في قيمة أكبر أن ( نجد8.2) جدول ومن

– كولموقروف الحصائية المشاهدة القيمة تكون وبهذا0.1804 هي

.T= 0.1804 هي سميرنوف

طرفين ذو واختبارn ، 0.05 = = 20 ( عند10) جدول ومن

هذه من أقل المشاهدةT أن . وبما0.294 الحرجة القيمة أن نجد

بوسط األسي التوزيع يتبع الخدمة وقت توزيع بأنHo نرفض ال القيمة

دقيقة. 25 حسابي

. P > 0.20 ( نجد10) جدول من أنه الحظ

Confidence band التوزيع لدالة ثقة نطاق( 8.3.2)

لنا يسمح أنه سميرنوف – كولموقروف اختبار مزايا أهم من

(F)x لـ نقطه مقدر(S)x أن . فبما(F)x التوزيع لدالة ثقه نطاق بإنشاء

،x قيم لجميع أي بكاملها،(F)x يحوي نطاق النشاء استخدامها فيمكن

معينة. ثقة بدرجة

*T لتكنالعينة لحجم ( المقابلة15) جدول في القيمة هي nولمستوى

أيضا: طرفين. لندع ذو الختبار معنوية

*x L)x) = S)x) – T لكلP

*U)x) = S)x) + T و

159

أكبر قيمة وأي0 بـ – وجدت - إن(L)x لـ سالبة قيمة أي تستبدل حيث

(U)x و(S)x) ، L)x الدوال وبرسم0.1 بـ – وجدت –إن(U)x لـ1 من

%. ويمثل المطلوب الثقه نطاق على نحصل (U)x و(L)x رسم بيانيا

للنطاق. بالترتيب واألعلى األدنى الحدين

المتصل. بالتوزيع ( الخاص8.3.1) بالفصل للمثال نرجع لذلك وكمثال

العينة: لدينا كانت

x1 = 0.75, x2 = 0.50, x3 = 0.20, x4 = 0.54, x5 = 0.60

% نوجد95% ثقه بدرجة ثقة نطاق إلنشاء n =5 ( عند15) جدول من أوال

*T = 0.563 وهيT قيمة طرفين ذو الختبار=0.05 و0.05 .

(8.3)جدول

U)x) = S)x) + 0.563L)x) = S)x) – 0.563S )x)x

0.76300.200.20

0.96300.400.50

10.0370.600.54

10.2370.800.60

10.4371.000.75

المطلوبة. ( الحسابات8.3) جدول ويوضح

%. مرتبهx ( قيم8.3) جدول في األول العمود ويعطى تصاعديا

(.8.3.1) فصل في كما حسابها تم فقد الثاني العمود في(S)x قيم أما

تساوي التي القيم نسبة بحساب توجدx لـ معينة قيمة ألي(S)x فقيمه

القيمة. تلك عن تقل أو

% في السالبة(L)x قيم أن وهكذا. الحظ = (S)20 0.20= مثًال

في1 عن زادت التي(U)x قيم أن كما0 بـ إستبدلت قد الثالث العمود

للدوال البياني ( الرسم8.2) شكل . ويوضح أ بـ استبدلت األخير العمود

الثًالث.

%(F)x يحتوي الثقه نطاق أن ذلك وتفسير % ثقه بدرجة حديه بين كليا

95 .

160

Lilliefors )one الواحدة للعينة ليليفورس اختبارات( 8.4)

sample ) tests

المفترضة التوزيع دالة تكون أن كولموقروف-سميرنوف اختبار يتطلب

لتقدير الحاجة حالة لتقديرمعالم. وفي نحتاج ال أي كامل، بشكل محدده

, (1973ليليفورس اقترحها التي التعديًالت من االستفادة يمكن معالم

1969 , 1967 ) Lillieforsوتتيح كولموقروف-سميرنوف اختبار على

% قاما ، األسي ، الطبيعي التوزيع دوال حول عدم لفرض طرفين ذو اختبارا

والتوزيع الطبيعي التوزيع لحالة بإيجاز المتطرفة. وسنتعرض والقيمة

. x 1 , x2 , … , xn العشوائية العينة لدينا أن بافتراض األسى

الطبيعي التوزيع حالة( 8.4.1)

الـذي التوزيــع دالـة بــأن العـدم فـرض اختبــار نريد الحالة هذه في

كــذلك. ليســت بأنهــا الفرض ضد طبيعي توزيع دالة هي العينة منه أخذت

اختبار: أي

Ho : F)x) = F*)x)

(H1 : F)x) F*)x مقابل

مجهولة. معالمه طبيعي توزيع دالة(F)x حيث

التالية: الخطوات اتباع هو نحتاجه الذي كل ليليفورس اختبار الجراء

حيث العينه منS2 التباين مقدر وx الحسابي الوسط : نحسبأوال

و

التحويلة باستخدام معيارية لقيم العينة قيم نحول ثم ومن

i = 1,…, n

P %Zi القيم باستخدام´x) S(ة المشاهد التوزيع دالة : نوجدثانيا xi عن بدال

تقل أو تساوي التيZ قيم نسبة ، معينةxi ألي ، تعطى´x) S( أن أي

. xi لـ المعيارية القيمةZi عن أسر حول كاختبارات لشابيروويلك يليه الذي واالختبار ليليفورس الختبار النظر يمكن Familyمن

محدده. غير التوزيع معالم ألن التوزيعات

161

P . ونستخدم طبيعي التوزيع أن بافتراض(F*)x التوزيع دالة : نوجد ثالثا

التوزيع جدول من عليها نحصل المساحات ولكن ذاتهاZi قيم ذلك في

(. 8.2.2) مثال في فعلنا ( كما(2) )جدول المعياري الطبيعي

P (F*)xi)-) S´)xi-1| | و (F*)xi)-)S´)xi| بين من مطلق فرق أكبر : نوجد رابعا

ليليفورس. الختبار المشاهدة القيمة | وهو

P =p وn ( عند16) جدول في الحرجة بالقيمة القيمة هذه : نقارن خامسا

1-αحيث αالتقريبية ( الكميات16) جدول . ويعطى المعنوية مستوى

Q p .

أكبر المشاهدة القيمة كانت إذا αتقريبي معنوية بمستوىHo ونرفض

.Qp الحرجة من

األسي التوزيع حالة( 8.4.2)

الفرض الختبار

x > o Ho : F)x) = F*)x) مقابل

H1 : F)x) F*)x)

أي األسي التوزيع دالة(F*)x حيث

x > o F*)x) = 1- e- x

يلي: بما نقوم ، لتقدير يحتاج مجهول معلم وحيث

P i لكل : نحسب أوال

ri =

للعينة. الحسابي الوسطx حيث

x عن بدالri القيم باستخدام(S˝)x المشاهدة التوزيع دالة : نوجد ثانيا

iأن . أي S˝)x)ألي تعطى xiقيم نسبة rعن تقل أو تساوي التي r

iلـ المقابلة xi .

باستخدام قدرها ليليفورس أن إذ تقريبية بالجدول المعطاه القيم ألن تقريبي المعنوية مستوى % اشتقDurbin . ديربن محاكاة نموذج الصحيح. ليليفورس احصائية توزيع الحقا

162

P حيثλ معلمه الذي األسي التوزيع بافتراض التوزيع دالة : نوجد ثالثا

بـλ نقدر

: القيم نحسب أي

i = 1,…, n F*)xi) = 1- e- r i

P |(S˝ )xi-1) – F*)xi| | و(S˝ )xi) – F*)xi| المطلقة الفروقات : نوجد رابعا

االختبار. إلحصائية المشاهدة القيمة هو مطلق فرق وأكبرi لكل

P = p حيثQp الكمى – الحرجه بالقيمة القيمة هذه : نقارن خامسا

1-α -

المشاهدة كانت اذاHo معينة. ونرفضP وn ( عند17) جدول من

أكبر.

Shapiro Wilk ويلك – شابيرو اختبار 8.5

% استخدامه يمكن االختبار هذا عينة كانت اذا ما الختبار أيضا

أوضحت المعالم. وقد محدد غير طبيعي توزيع من جاءت قد عشوائية

2 واختبار ليليفورس باختبار مقارنة جيدة بقوة يتمتع أنه الدراسات بعض

.

اختبار المطلوب وأنn حجمها عشوائية عينة لدينا أن بافتراض

Ho : F)x) = F*)x) مقابل

H1 : F)x) F*)x) هذا يتطلب ، مجهولة معالمه طبيعي توزيع دالة(F*)x حيث

التالية: الخطوات اتباع االختبار

% العينة قيم نرتب-1 يلي: كما تصاعديا

x)1) x)2) … x)i) … x)n)

. i الرتبة ذات الترتيبية اإلحصائية(x)i حيث

حيثW بـ لها ويرمز شابيرو-ويلك اختبار احصائية قيمة نحسب-2

163

(18) جدول من عليها نحصلai ( i = 1,…,k) المعامًالت وحيث

%. = k . هناn العينة حجم باستخدام تقريبا

الرتبة ذاتQ α الكميات أي الحرجة القيم ( نوجد19) جدول - من3

α .

.Q α من أقلW كانت إذاα معنوية بمستوىHo - نرفض4

( 8.5.1 ) مثال

التالية البيانات نستخدم شابيرو-ويلك اختبار استخدام لتوضيح

ترتيبها تم أن بعد معين اختبار في ممتحن30 درجات توضح والتي

% تصاعديا

7 – 10 – 25 – 38 – 42 – 50 – 50 – 56 – 57 – 57 – 59 – 60 – 60 – 60 – 60

61 – 61 – 63 – 65 – 65 – 68 – 69 – 69 – 74 – 78 – 79 – 80 – 85 – 91 – 94

التوزيع مع يتوافق الدرجات هذه توزيع كان إذا ما اختبار والمطلوب

الطبيعي.

الحل:

%8.4) جدول يوضح تم حيث المطلوبة الحسابات من ( جزءا

15= وn = 30 ( وحيث18) جدول من(ai) المعامًالت على الحصول

(8.4)جدول

X )n -i+1) - x

)i)aii87 = 7–940.4254181 = 10- 910.2944260 = 25– 850.2487342 = 38– 800.21484

لـ الحرجة القيم يعطى الجدول هذا n 50حالة . في nاختبارات استخدام يمكن ذلك من أكبر (. 1971) أوقستينو ( ودي1972) وفرانسيا لشابيرو مشابهة

164

37 = 42– 790.1870528 = 50- 780.1630624 = 50– 740.1415713 = 56– 690.1219812 = 57– 690.1036911 = 57– 680.0862106 = 59– 650.0697115 = 60– 650.0537123 = 60– 630.0381131 = 60– 610.0227141 = 60– 610.007615

قيمه15 الـ بالترتيب هي األخير بالعمود المطروحة القيم أن الحظ

مأخوذه ولكن األخيرة15 الـ القيم هي منها المطروح القيم بينما األولى

. 16 رقم وحتى األخيره من بالعكس

: ( نجد8.4) جدول ومن

1 × 0.0076 + … + 81 × 0.2944 + 87 × 0.4254=

104.286 =

1793 = 94 + … + 10 + 7 =

119047 = 2(94 + )… + 2(10 + )2(7= )

: تكون المشاهدةW قيمة فإن ثم ومن

0.912 بين تقع القيمة هذه أن نجدn = 30 ( عند19) جدول من

ذو الكمى قيمة وهي0.927 و ،0.02 الرتبة ذو الكمى قيمة وهي

تساويها أو0.915 عن تقل قيمة احتمال أن يعنى . مما0.05 الرتبة

interpolationالمعالجة . وببعضα = 0.05 وα = 0.02 بين يتراوح

هي هنا المعالجة

165

%. فإذا نجد %0.05 المعنوية مستوى أخذنا تقريبا فإننا مثًال

طبيعي. الدرجات توزيع بأنHo نرفض

: لعينتين كولموقروف- سميرنوف اختبار( 8.6)

إذا ما نعرف أن ونريد مستقلتان عشوائيتان عينتان لدينا يكون قد

اختبار نستخدم أن يمكن الحالة هذه التوزيع. في نفس من جاءتا قد كانتا

.Kalmogrov-Smirnov two-sample test لعينتين كولموقروف- سميرنوف

كل اكتشاف على قدرته أيsensitivity بحساسيته االختبار هذا ويتميز

% يمكن التوزيعين. بالطبع بين االختًالفات أنواع اختبارات استخدام أيضا

مان اختبار أن نتذكر أن يجب ولكن ، الحالة هذه مثل في مان- وتنى مثل

يكون ال قد إنه كما الوسيط في لإلختًالف بالنسبة فقط حساس وتنى –

% كثيرة. ربطات وجود حالة في مناسبا

عشوائيتان عينتان لدينا أن سنفرض االختبار فكرة ولتوضيح

حجمها والثانية(F1)x توزيعه دالة مجتمع منn حجمها األولى مستقلتان

mتوزيعه دالة مجتمع من F2)x)حالة )في ، متصلين التوزيعين حيث

يكون ذلك عداExact تقريب بدون إختبار يكون اإلتصال شرط تحقق

%(. نفرض % محافظا ترتيبي أو فترة قياس إما المستخدم القياس أن أيضا

األقل. على للعينتين

العدم فرض اختبار والمطلوب

(x Ho : F1)x) = F2)x لكل (8.6.1(

: التالية البديلة الفروض أحد مقابل

(H1 : F1)x) F2)x األقل على واحدهx ( لـ8.6.2)

(H1 : F1)x) > F2)x األقل على واحدهx ( لـ8.6.3)

(H1 : F1)x) < F2)x األقل على واحدهx ( لـ8.6.4)

حالة في بالترتيب و ( بـ8.6.1) في التساوي عًالمة تستبدل حيث

الدالة في القيم ( أن8.6.3) البديل الفرض (. ويعني8.6.4) ( و8.6.3)

166

F1)x)في التي تلك من أكبر تكون ألن تميل F2)x)لـ بالنسبة والعكس

(8.6.4 .)

اتبعت التي تلك تشابه خطوات في يسير الحالة هذه في االختبار

الواحدة. للعينة كولموقوف- سميرنوف اختبار في

% نحسب والثانية األولى للعينة(S2)x و(S1)x المشاهدة التوزيع دوال أوال

تقل أو تساوي التي األولى العينة في القيم عدد(S1)x أن بالترتيب. أي

.x عن تقل أو تساوي التي الثانية العينة في القيم عدد(S2)x بينماx عن

Ho كان إذا أنه وواضح% بين الفرق فإن التوزيع نفس من والعينتان صحيحا

S1)x)و S2)x)يكون لن % يمثل بينهما مطلق فرق أكبر فإن لهذا ، كبيرا

% مطلق فرق أكبر كان إذا ألنه المناسبة االختبار إحصائية بقية فإن صغيرا

كذلك. تكون أن بد ال الفروق

طرفين ذو اختبار أي ( 8.6.2) النوع من البديل الفرض كان وإذا

.α * قيم لكل | (S2)x) - S1)x| للفرق قيمه أكبر تكون االختبار احصائية فإن

أيمن طرف ذو اختبار ( أي8.6.3) النوع من البديل الفرض كان إذا أما

التيx [ لقيم(S2)x) - S1)x] للفرق قيمة أكبر تكون االختبار إحصائية فإن

النوع من البديل الفرض كان إذا . كذلك(S1)x من أكبر(S1)x عندها تكون

قيمه أكبر تكون االختبار احصائية فإن أيسر طرف ذو اختبار ( أي8.6.4)

. (S1)x من أكبر(S2)x عندها تكون التيx [ لقيم(S1)x) – S2)x] للفرق

الحرجة القيم نوجد (n = m) متساو� العينتين حجم كان إذا

، α : 0.005 ، 0.01 معنوية ( لمستويات20) جدول من األيمن بالطرف

،0.05 ،0.02 ،0.01 و واحد طرف ذو الختبار0.10 ، 0.05 ، 0.025

طرفين. ذو الختبار0.20 ،0.10

(21) جدول من الحرجة القيم على نحصلn m حالة وفي

حالة األكبر. وفي العينة لحجمN2 و األصغر العينة لحجم تشيرN1 حيث

التقدير صيغ من الحرجه القيم تحسب بالجدول مما أكبر عينة حجم

167

معنوية بمستوىHo نرفض الحاالت جميع الجدول. وفي أسفل المعطاه

αالحرجة. من أكبر المشاهدة القيمة كانت إذا

_______________

درجية. دالة(S2)x و(S1)x من كل ألنX حوار في للنظر هنا داعي * ال

( 8.6.1 ) مثال

في باللتر الحليب من اليومي االنتاج متوسط تمثل التالية البيانات

B وA بالمزرعتين األبقار من مستقلتين عشوائيتين لعينتين محددة فترة

للتسهيل. عينة كل في القيم ترتيب تم وقد ،

A: 29.3 – 32 – 33.5 – 36.4 – 36.8 – 39.1 – 40 – 42(xi1) من العينة

B: 23.6 – 25.1 – 28.4 – 30.1 – 37.2 -–38.5 38.7 – 39 – 41 – 44(xi2) من العينة

في يختلف ال الحليب من البقرة إنتاج توزيع بأن االدعاء يمكن هل

المزرعتين؟

الحل:

H1 : F1)x) مقابل ،x لكل(Ho : F1)x) = F2)x اختبار المطلوب

F2)x)لـ xنأخذ األصغر. إذن هي األولى األقل. العينة على واحده N1 =

. N2 = 10 و8

(F2)x و(F1)x من العينتين ( قيم8.5) ( بجدول3) ( و1) العمودين في

حيث ، بالترتيب

(8.5)جدول

)5))4))3))2))1)

168

S1 )x) – S2 )x)S2 )x)Xi2S1 )x)Xi1

- 0.1000.123.60-0.2000.225.10-0.3000.328.40-0.1750.30.12529.3-0.2750.430.10.125-0.1500.40.25032.0-0.0250.40.37533.50.1000.40.50036.40.2250.40.62536.80.1250.537.20.6250.0250.638.50.625-0.0750.738.70.625-0.1750.839.00.625-0.0500.80.7539.10.0750.80.87540.0-0.0250.941.00.875

0.10.9142.00144.01

% العينــتين في ترتيبهــا حســب قيمــة كــل تظهــر %. فمثًال 23.6 القيمــة معــا

%، العينتين في القيم أصغر ألنها صف أول في ظهرت ألنها25.1 وتلتها معا

%. أمــا للعينتين بالنسبة الكبر في تليها األولى العينــة في قيمــة أصــغر معــا

ــة العينة في األولى الثًالث القيم تلي ألنها الرابع الصف في فظهرت الثاني

وهكذا.

أصفار األولى قيم الثًالث كانت ،(S1)x قيم حيث الثاني، العمود في

(S1)x . قيمة29.3 عن تقل األولى العينة فيX لـ قيمة توجد ال ألنه

تقل أو تساوي التي األولى العينة في القيم نسبة هي29.3 لـ المقابلة

القيم وعدد ذلك ( تحقق29.3 )وهي واحده قيمة هناك وحيث29.3 عن

: فإن8 األولى العينة في

=0.125 S1 ) 29.3 ) =

للعينة تنتمي التي30.1 تساوي األولى العينة في قيمة توجد ال أنه وبما

30.1 عن تقل أو تساوي التي األولى العينة في القيم نسبة فإن الثانية

% هي(S1 )30.1 أي S2 ايجاد في اتبعت الطريقة وهكذا. نفس0.125 أيضا

)x)يؤدي مما10 الثانية العينة حجم أن مًالحظة مع % تكون ألن مثًال

169

=0.1 S2 )23.6 ) =

. (S1)x) – S2)x الفروقات فيعطى األخير العمود أما

لجميع مطلق فرق أكبر عن نبحث فإننا طرفين ذو االختبار أن وبما

N2 وN1 = 8 ( عند21) جدول . من0.300( 5) العمود من وهوx قيم

القيمة أنα = 0.05 معنوية ومستوى طرفين ذو الختبار نجد10 =

فإننا أصغر0.300 المشاهدة القيمة أن . وبما 0.575 أي الحرجة

المزرعتين. في مختلف غير التوزيع بأنHo نرفض ال

عن ( يزيد0.300 عن تزيد أو تساوي قيمة ) احتمالP قيمة أن الحظ

0.20 .

% أيمن طرف ذو االختبار كانت إذا المشاهدة القيمة فإن مثًال

وهو الموجبة الفروق بين األخير العمود في فرق أكبر هي لإلحصائية

N2 = 10 وα ، 8 = N1 = 0.05 لـ ( نجد21) جدول . ومن0.225

يعني مما 0.525 أي الحرجة القيمة أن واحد طرف ذو واختبار

Ho رفض عدم% . أيضا

عينة k لـ التوزيع دوال تساوي اختبار(8.7(

يمكننا ، لعينتين كولموقروف- سميرنوف الختبار طبيعي كإمتداد

,… ,(F1)x), F2)x التوزيع دوال بأن العدم فرض اختبار امكانية نتوقع أن

Fk)x)متساويتين. غير األقل على منها اثنين بأن الفرض ضد متساوية

وأننا ترتيبي؛ األقل على والقياس متصلة التوزيعات هذه أن لنفرض

التوزيعات. لتكن هذه من كل من واحده مستقله عشوائية عينةk أخذنا

S1)x), S2)x), …, Sk)x)هذه من زوج كل قارنا المشاهده. إذا التوزيع دوال

فرق أكبر - وأوجدنا المتميزة األزواج عدد – المشاهدة الدوال

االختبار يكون وإال .% محافظا

170

زوج الـ كل بين الفروق هذه أكبر فإن ،x لكل بينهما مطلق

الختبار احصائية يشكل أن يمكن الممكنة

(x Ho : F1)x) = F2)x) = … = Fk)x لكل

:H1 مختلفة األقل على الدوال هذه من اثنين مقابل

. x لبعض

: بالشكل هذه االختبار إحصائية نكتب

i , j = 1,…., k: حيث

كانت وسواءk العينات من عدد ألي ايجاده يمكنD توزيع أن ورغم

% المتوفرة الجداول أن إال ، ال أم الحجم متساوية العينات % تضع حاليا قيودا

التطبيق. على

يسمى ما استخدام يمكننا ، الحجم متساوية وعيناتk = 3 حالة ففي

قولموقروف- الختبار امتداد وهوBirnbaum- Hall test بيرنبوم-هول باختبار

) جدول )اليمنى( في الحرجه قيمه جدولت طرفين. وقد ذو سميرنوف

– مطلق فرق أكبرi وj عينتين لكل نوجد االختبار هذا ( . ولتطبيق22

اختبار في فعلنا | كما(Sj)x) – Si)x| المشاهدتين - لدالتيهماx لكل

كالقيمة الفروق هذه أكبر نأخذ لعينتين. ثم سميرنوف – كولموقروف

) جدول منα لـ المقابلة بالقيمة تقارن القيمة . هذهD لـ المشاهدة

أكبر المشاهدة القيمة كانت إذاα معنوية بمستوىHo ( . ونرفض22

الحرجة. من

( 8.7.1 ) مثال

. نريد اختبار فرض العدم بأن العينات6فيما يلي نتائج ثًالثة عينات عشوائية حجم كل منها

التوزيع. الثًالث قد جاءت من مجتمعات لها نفس دوال

Xi 3Xi 2Xi 1

364157

يسمى % عينات. لثًالث سميرنوف اختبار أيضا

171

265382575446

: الحل

(8.5) جدول ايجاد في استخدمت التي لتلك مشابهة بطريقة

( التالي. 8.6) جدول ( نكون8.6.1) بمثال

( ،7) األعمدة في مطلقة فروقات أكبر أن ( نجد8.6) جدول من

،0.334 ( هي9) ( و8) 0.501، ــالترتيب. إذن0.668 ــة ب القيم

. 0.668 أي أكبرهم هي بيرنوم اختبار إلحصائية المشاهدة

(8.6) جددول

)9))8))7))6))5))4))3))2))1)S3)x) – S2)x)S3)x) – S1)x)S2)x) – S1)x)S3)x)Xi 3S2)x)Xi 2 S1)x) Xi 1

0.167-0.167-00.1671000.334-0.167-0.1670.334200.16720.668-0.501-0.1670.668300.1670.668-0.501-0.1670.668300.1670.668-0.501-0.1670.83540.16740.33440.666-0.332-0.3341.00050.33450.66850.666-0.332-0.3341.0000.3340.66850.332-0.165-0.1671.0000.66860.83560.332-0.165-0.1671.0000.66860.8350.165-00.1651.0000.83571.0007

0001.0001.00081.000

0.95 الرتبة ذو الكمى أن نجدn ، 0.05 = α = 6 ( حيث22) جدول ومن

ال القيمة هذه من أقل المشاهدة القيمة أن . وبما = 0.833 يساوي

متساوية. التوزيع دوال بأنHo نرفض

% المشاهدة القيمة ايجاد بالطبع ويمكن المشاهدة الدوال برسم بيانيا

دالتين. رسمى بين مسافة أكبر وقراءة (S1)x) ، S2)x) ، S3)x الثًالث

عينة k لـ 2 ( اختبار 8.8 )

172

أي (Count data) عددية عينةk من كل في البيانات تكون أحيانا

% أشياء عدد تمثل % يفضلون الذين عدد ما. مثًال % برنامجا % تلفزيونيا . في معينا

التي المجتمعات كانت إذا ما الختبار2 اختبار استخدام يمكن الحالة هذه

هذه في االختبار فإن الواقع التوزيع. وفي نفس لها العينات منها أخذت

للتجانس2 اختبار عادة عليه يطلق عام اختبار من خاصة حالة هو الحالة

test for homogeneity 2كان إذا ما الختبار عامة بصفة ويستخدم kمن

أو تصنيفات في تقع التي الوحدات نسب حيث من متجانسة المجتمعات

الوقوع إحتماالت هل أخرى بعبارة معين. أو لمتغير مختلفة مستويات

% عينة من تختلف ال المختلفة التصنيفات في المشاهدون هل ألخرى. مثًال

من متشابهون أو )المجتمعات( متجانسون مختلفة عمرية فئات في

البرنامج هو هنا يفضلونها. المتغير التي التلفزيونية البرامج أنواع حيث

الرجال من العاملون أنواعه. هل هي تصنيفاته أو ومستوياته التلفزيوني

دون اعتبارها حيث من االدارة لكفاءة النظرة نفس لهم والنساء

. وهكذا. الخ … جيده ، مقبوله المستوى،

منها كل في الوحدات تصنف عينةk لدينا تكون العامة الحالة في

التوافق جدول يسمى جدول في معين لمتغير مستوىr حسب

Contingency table .

الجـدول النـوع. وفي هـذا من توافـق ( جـدول8.7) جـدول ويمثل

في تصــنيفها تم الــتيj المجتمــع من العينــة في الوحدات لعددfij ترمز

ــتوى %i المس ــير. فمثًال ــدد تعطىf12 للمتغ ــدات ع ــة في الوح من العين

للمتغــير. وتشــير واحــد المســتوى في ( المصنفه2 العينة )أو2 المجتمع

الــذي المؤشــر هنــا قيم لكــل بالنســبة للمجموع مؤشر مكان في النقطة

% النقطة أخذت عن عبــارة ألنهــاi الصــف لمجموع ترمز.fi مكانه. فمثًال

أيj المؤشر قيم لكلfi j مجموع

173

(8.7)جدول

العينة رقمk. . .j. . .21المجموعالتصنيف متغير مستوى

f1.F1 k….F1 j….f12f 111f2.F2 k….F2 j….f22f 212::::::::::::::fi.fi k….fi j….fi 2f i 1i::::::::fr.fr k….fr j….fr 2f r 1r

f.. = nf. k….f. j….f.2f .1المجموع

فيما له ونرمز العينات كل أحجام مجموع أو الكلي المجموع فهي..f أما

% يلي العينات أحجام هيf.j الـ أي األعمدة مجامعيع أن . الحظn بـ أيضا

. فإن . وهكذاn j بـ لها نرمز عادة والتي

: اختبار نريد اآلن

(x Ho : F1)x) = F2)x) = … = Fk)x لكل

مقابل

:x H1 لبعض مختلفة الدوال هذا من األقل على اثنين

Ho كان إذا% % ، مستوى أي في تقع التي الوحدات نسبة فإن ، صحيحا مثًال

أفضل فإن المجتمعات. وبالتالي لجميع متساوية ستكون ،i المستوى

تقع التيjالمجتمع( من )المأخوذة العينة من الوحدات لنسبة تقدير

لجميعi المستوى في الوحدات دمج من عليها نحصلi المستوى في

تقع التيj العينة من الوحدات لنسبة تقدير أفضل أن المجتمعات. أي

( هوi , j )الخليةi المستوى في

i = 1, … , r

j المجتمع من وحدة تقع أن إلحتمال تقدير أفضل – أخرى بعبارة – وهو

لجميع متساو� المستوى هذا في الوقوع احتمال كان إذاi المستوى في

التكرار فإنf.j هوj العينة في الوحدات عدد أن المجتمعات. وبما

: هو (i , j) الخلية في يكون أن المتوقع

174

(8.8.1 )……

معHo تحتf´ij المتوقعة التكرارات توافقت كلما أنه واضح

. وعليهHo صحه هذا دعم كلماj وi لكلfij الفعلية التكرارات

باستخدامHo بإفتراض المتوقعة التكرارات نحسب ،Ho صحه فإلختبار

إستخدام خًالل من الفعلية التكرارات مع توافقها مدى نختبر ( ثم8.8.1)

: اإلحصائية

(8.8.2 ....)

(8.8.3 .... )

الحاسبة. اآللة استخدام عند أنسب لـ األخيرة والصيغة

.Ho مصلحة في هذا يكن لم كلما كبيرة المشاهدة قيمة كانت وكلما

% يتبع اإلحصائية توزيع فإنHo صحه حالة في أنه إثبات ويمكن تقريبا

Ho صحة اختبار فيمكن . وعليه(r-1( )k-1) حرية بدرجات توزيع

بدرجات جدول من الحرجة بالقيمة لـ المشاهدة القيمة بمقارنة

بمستوىHo أيمن. ونرفض طرف ذو اختبار في(r-1( )k-1) حرية

. من أكبر لـ المشاهدة القيمة كانت إذاα معنوية

أال أخرى أشياء بين تتطلب االختبار صحة أن إلى هنا التنبيه وينبغي

(8.2) فصل في خلية. وكما أي في صغيرة متوقعة تكرارات هناك تكون

التكرارات أن تعتبر التي كوكران بقاعدة ذلك في االستهداء يمكن

175

بدرجة صغيرة تعتبر ال2×2 عن رتبها تزيد التي الجداول في المتوقعة

الخًاليا ونسبة1 من أقل متوقع تكرار بها خليه هناك تكن لم إذا مخلة

تحقق لم . إذا20% عن تزيد ال5 عن فيها المتوقع التكرار يقل التي

حتى األعمدة أو الصفوف بعض دمج يمكن الشرط هذا الخًاليا بعض

المشكلة. تختفي

test for k proportions χ2 نسبة k لـ χ 2 ( اختبار 8.8.1 )

عينةk فيها لدينا تكون التي أعًالهχ2 الختبار الخاصة الحالة في

لـχ2 اختبار يسمى االختبار فإن فقط2 التصنيف متغير مستويات ولكن

kالثاني " وبالصف " نجاح األول بالصف المستوى أسمينا نسبه. فإذا "

مجتمع. فإذاk الـ في النجاح نسب تساوي يختبرχ2 اختبار " فإن فشل

العدم فرض فإنp1 , p2 , …, pk بـ مجتمعk الـ في النجاح لنسب رمزنا

هو يختبر الذي

Ho : p1 = p2 = … = pk

األقل. على نسبتين اختًالف هو البديل الفرض حيث

( 8.8.1 ) مثال

كبيرة بمؤسسة العاملين من مستقلتان عشوائيتان عينتان أخذت

في الوحدات تصنيف وتم النساء من واألخرى الذكور العاملين من واحدة

يلي: كما النتائج وكانت اإلدارة، عن رضائهم حسب عينة كل

(8.8)جدول

االناثالمجموع(2)

الذكور(1)

راض ( غير1)10(9.75) 8(8.25) 18( راض2)30(29.25)24(24.75)54% ( راض�3)25(26) 23(22) 48 جدا

المجموع1205565

المتوقعة. التكرارات تمثل القوسين في القيم حيث

؟ للجنسين متساو� اإلدارة عن الرضا لدرجة بالنسبة التوزيع هل

176

: الحل

P وذلك التوزيعين تساوي بافتراض المتوقعة التكرارات : نحسبأوال

) جدول في األقواس داخل وضعت التكرارات (. هذه8.8.1) باستخدام

8.8% األول والعمود األول الصف تقاطع في تقع التي الخلية في (. فمثًال

هو المتوقع التكرار

لإلحصائية: المشاهدة القيمة وهكذا. وبالتالي

( 3-1( )2-1 = )2 الحرية درجات

χ2 أن نجد2 حرية ( – بدرجات6) - جدولχ2 جدول من0.95 = 5.991

الرضا توزيع بأن الفرض0.05 معنوية بمستوى نرفض ال إذن

للجنسين. متساو�

تمارين8.9

( 8.9.1 ) تمرين

التوزيع التكراري التالي يوضح توزيع الوقت )بالثانية( الذي يتطلبه أداء عمل معين بخط

ما. تجميع

العمال عددالوقت فئة5 – 1038

10 – 205120 – 306230 – 407440 – 5083

177

50 – 609160 – 708170 – 807280 – 906190 – 10052

100 –11035700

=0.05طبيعي. الوقت توزيع بأن القول يمكن كان إذا ما اختبر

( 8.9.2 ) تمرين

يوم وجد صاحب متجر أن توزيع عدد المرات التي طلبت فيها300في دراسة امتدت لـ

: سلعة كما في الجدول أدناه

التي المرات عدد السلعة فيها طلبت

(x)

012345678910111213

التي األيام عدد السلعة فيها طلبت

من العدد ذلك) )التكرارات المرات

f

3921384654493420166310

؟6 حسابي بوسط بويسون توزيع مع التوزيع هذا يتوافق هل

0.05=

( 8.9.3 ) تمرين

من وليليفورس –سميرنوف كولموقروف ،χ2 اختبارات بين قارن

للتطبيق(. )القابلية المرونة حيث

178