درس کنترل ديجيتال مهر 1391
description
Transcript of درس کنترل ديجيتال مهر 1391
درس کنترل ديجيتال
1391مهر
بسم ا... الرحمن الرحيم
دکتر حسين بلندي/ دکتر سید مجید اسماعیل زاده / دکتر بهمن قربانی واقعی
Conventionalدر فص)ل ه)اي س)وم و چه)ارم تمرك)ز ب)ر روي قي)د ب)راي تحلي)ل و ط)راحي سيس)تم ه)اي كن)ترل ب)ود. اينگون)ه روش ه))اي كن))ترلي از قبي))ل مك))ان هندس))ي ريش))ه ه))ا و پاس))خ
ك)ارآيي دارن)د. اگرچ)ه SISOفركانس)ي فق)ط ب)راي سيس)تم ه)اي و داراي محاس))بات ان))دكي مي س))اده اينگون))ه مت))دها بس))يار
مس)تقل از زم)ان باش))ند ام)ا كارآئيش)ان ب)راي سيس)تم ه)ايSISO مي باش)د. در اينگون)ه سيس)تم ه)ا تمرك)ز ب)ر روي ارتب)اط
ت)ابع تب)ديل ي)ا ت)ابع تب)ديل بين خ)روجي و ورودي سيس)تم يع)نيسيس)تم مي باش)د. اينگون)ه روش ه)ا ب)راي سيس)تم ه)اي پالس)ي
ه)اي غ)يرخطي مگ)ر بس)يار س)اده و همچ)نين ب)راي سيس)تمOptimal ك))ه در بس))ياري مواق))ع وابس))ته ب))ه يئو سيس))تم ه))ا
يا غيرخطي هستند كارآيي نداشتند.Time-Varyingزمان يعني
فصل پنجم
مقدمه
حالت“فضاي”تحليل
در واق))ع فض))اي ح))الت ب))ه ط))راح اين فرص))ت را مي ده))د ك))هم)ورد ط)راحي ش)اخص ه)اي كيفيت عملك)ردسيس)تم را ب)ا توج)ه ب)ه
ق))رار ده))د. همچ))نين در اين مت))دها ط))راحي ب))راي ي))ك كالس از ورودي ها بجاي يك ورودي خاص انجام مي پذيرد.
در سيس))تم ه))اي كن))ترل م))درن، سيس))تم ه))ا داراي تع))داديورودي و خ)روجي هس)تند ك)ه گ)اهي بص)ورت پيچي)ده بهم مرب)وط مي باش)ند. ل)ذا ب)راي تحلي)ل و ط)راحي اينگون)ه سيس)تم ه)ا باي)د
ح�الت از رواب))ط خس))ته كنن))ده رياض))ي ع))دول نم))وده و ي))كرا اثبات نمود. سيستماتيك
بيش)تر سيس)تم ه)اي كن)ترل م)درن ب)ه سيس)تم ه)اي كن)ترل مت�دهاي فض�اي ح�الت، ديجيت)ال تب)ديل مي ش)وند. در نتيج)ه
به))ترين روش ه))ا ب))راي بررس))ي، تحلي))ل و ط))راحي اينگون))ه سيستم هاست.
State : الت�ح)الت ي)ك سيس)تم دينامي)ك عب)ارت اس)ت از حكوچك)ترين مجموع)ه از متغيره)ا )متغيره)اي ح)الت( ك)ه داش)تن
، ب)ا هم و داش)تن ورودي ب)راي اين متغيره)ا در ، مش)خص و مي توانن)د رفت)ار سيس)تم را ب)راي ه)ر زم)ان
معين نماين)د. باي)د توج)ه داش)ت ك)ه مفه)وم ح)الت فق)ط ب)راي سيس)تم ه)اي ف)يزيكي بك)ار گرفت)ه نمي ش))ود بلك)ه ب)راي ه)ر
، و Biological، Economicalسيس))))تم مانن))))د سيس))))تم ه))))اي اجتماعي نيز بكار گرفته مي شود.
عبارتن)د از كوچك)ترين :State Variablesمتغيره�اي ح�الت = ي)ك سيس)تم دينامي)ك را Stateمجموع)ه اي از متغيره)ا ك)ه ح)الت=
متغ)ير را م)ورد ني)از داريم ت)ا nتش)كيل مي دهن)د. اگ)ر ح)داقل متغ)ير را متغيره)اي ح)الت nرفت)ار سيس)تم را تعري)ف ك)نيم اين
مي ناميم.
0tt
0tt 0tt
تعاريف
متغ)ير ح)الت ب)راي تعري)ف nاگ)ر : State Vectorبردار ح�الت متغ)ير ح)الت nكام)ل رفت)ار ي)ك سيس)تم م)ورد ني)از اس)ت، آنگ)اه
دانس)ت. اين ب)ردار را ب)ردار ج)زء ب)ردار nرا مي ت)وان، حالت مي ناميم.
بع)دي ك)ه محوره)اي nفض)اي : (State Spaceفض�اي ح�الت )را فض)اي ح)الت مي مختص)ات آن عبارتن)د از:
ن)اميم. ه)ر ح)الت را مي ت)وان توس)ط ي)ك نقط)ه در فض)اي ح)الت نمايش داد.
در مع)ادالت فض)اي ح)الت ب)ا س)ه : مع�ادالت فض�اي ح�التمتغيره)اي متغ)ير ب)راي م)دل ك)ردن ي)ك سيس)تم روب)رو هس)تيم:
ورودي، متغيرهاي خروجي و متغيرهاي حالت.
12 ,,, xxxn
X
معادالت فضاي حالت ، گسس))ته Time-Varyingبراي ي))ك سيس))تم وابس))ته ب))ه زم))ان،
)خطي يا غيرخطي( معادالت فضاي حالت عبارتند از:
kkukxfkx ,,1
:و معادله خروجي عبارت است از
kkukxgky ,,
�ه ��ته ب��ان خطي وابس��ته زم��اي گسس��تم ه�براي سيس زم�ان، مع�ادالت ح�الت و معادل�ه خ�روجي عب�ارت اس�ت از:
kukDkxkCky
kukHkxkGkx
1
بردار ح)الت
Vectornkx
بردار خ�روجي
Vectormky
بردار ورودي
Vectorrku
ماتريس ح�الت
nnkG
ماتريس ورودي
rnkH
ماتريس خ�روجي
nmkC
�ال ��ماتريس انتق مستقيم
rmkD
در k حضور kGkHkC و ,, kDسيستم
است.
بودن Time-Varyingنمايانگر
kukDkxkCky
kukHkxkGkx
1
يا ثابت باشد:Time-Invariant اگر سيستم
kDukCxky
kHukGxkx
1
State Space Representation of Discrete-Time Systems
زير را در نظر بگيريد. Discreteسيستم كنترل
nkyakyakyaky n 21 21
تابع تبديل پالسي )*( عبارت است از:
n
n
nn
zazaza
zbzbzbb
zu
zyzG
22
11
22
110
1
)(110 nkubkubkub n
n
nnnn
nnn
azazaz
bzbzbzbzG
22
11
22
110 يا
چن�دين روش ب�راي بدس�ت آوردن مع�ادالت فض�اي تابع تبديل پالسي اينحالت
وجود دارند: برنامه سازي مستقيم (1
Controllable Canonical 1- Direct Programming Method
برنامه سازي تو در تو (2 Observable Canonical 2- Nested Programming Method
گسترش كسرهاي جزئي (3 Jordan Canonical 3- Partial Fraction Expansion Method
Direct Programming Method Or Controllable Canonical Form
n
n
nn
zazaza
zbzbzbb
zU
zYzG
22
11
22
110
1
z
nn
nnn
zazaza
zbabzbabzbabb
2
21
1
02
0221
0110 1
zYzUbzYzUzzUbzYZY
~0
~0
از اين معادله مي توان دو معادله زير را بدست آورد:
)(22
11 zUzzazzazzaz n
n
)(~
01
011 zzbabzzbabzY nnn
zUzazaza
zbabzbabzbabzY
nn
nnn
22
11
02
0221
011
1~
zzazaza
zU
zbabzbabzbab
zYn
nn
nn
2
21
102
0221
011 1
~
zzazaza
zU
zbabzbabzbab
zYn
nn
nn
2
21
102
0221
011 1
~
Let’s define state variables as:
)(
1
21
23
12
1
zzzX
zzzX
zzzX
zzzX
zzzX
n
n
n
n
n
kxkx
kxkx
kxkx
kxkx
zXzzX
zXzzX
zXzzX
zXzzX
nnnn 1
1
1
1
1
43
32
21
1
43
32
21
kukxakxakxakx
zUzXazXazXazzX
nnnn
nnnn
1211
1121
1)(
را مي توان اينگونه نوشت:)(معادله
zXbabzXbabzXbabzY nnnn 101022011
~
kUbkxbabkxbabkxbabky nnnn 0011102210
بنابراين:
kub
kx
kx
babbabbabky
n
nnnn 0
1
0110110
مدل فضای حالت
( )( )
( )
( )( )
( )
( )ku
kx
kx
kx
aaaakx
kx
kx
n
nnn
núúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
+
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
----
=
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
+
+
+
--
1
0
0
1000
0100
0010
1
1
1
2
1
121
2
1
MM
L
L
MMMMM
L
L
M
Controllable Canonical Form
:مي توان متغيرهاي حالت را بشرح زير تعريف نمود
zzzX
zzzX
zzzX
zzzX
nn
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
33
22
11
kukx
aaa
kx
n
0
0
1
ˆ
000
010
001
1ˆ
21
kubkxbabbabbabky nn 00022011 ˆ
Controllable Canonical Form
متغيرها بصورت زير بهم مرتبط مي شوند:اين
kxkx
kxkx
kxkx
n
n
n
1
12
1
ˆ
ˆ
ˆ
kXkX
T
ˆ
000001
001000
010000
100000
Nested Programming Method Or Observable Canonical Form
در اين متد هم نيازي به فاكتور كردن مخرج تابع تبديل پالس نيست.
n
n
nn
zaza
zbzbb
zU
zYzGGiven
11
110
1:
0110
11 zUzbzUzbzUbzYzazYzazY n
nn
n
0222
111
0 zUbzYazzUbzYazzUbzYazzUbzY nnn
zYazUbzzYazUbzzzYazUbz
zYazUbzzUbzY
nnnn1
1111
221
111
0
Now let’s define state variables:
zYazUbzzX
zXzYazUbzzX
zXzYazUbzzX
zXzYazUbzzX
nn
nn
nn
nn
11
1111
2
2221
1
1111
بر اين اساس معادله :را مي توان اينگونه نوشت
zXzUbzY n0
با قرار دادن معادله در و ضرب طرفين در z:خواهيم داشت
zUbabzXazzX
zUbabzXazXzzX
zUbabzXazXzzX
zUbabzXazXzzX
nnnn
nnnn
nnn
nnn
01
011112
022221
01111
z با عكس تبديل از معادالت فوق در جهت معكوس خواهيم داشت:
kubkxky
kubabkxakxkxkubabkxakxkx
kubabkxakxkx
kubabkxakx
n
nnn
nnn
nnnn
nnnn
0
01111
022221
011112
01
11
1
1
ku
bab
bab
bab
bab
kx
kx
kx
kx
a
a
a
a
kx
nn
nn
n
n
n
n
011
022
011
0
1
2
1
1
2
1
100
000
001
000
1
kubkxky 0100
بنابراين در فرم ماتريسي داريم:
kubkxkubkxky
kubabkxakxkxkxkx
kubabkxkxakxkxkxkx
kubabkxkxakxkxkxkx
n
nnnnn
nn
nn
010
0111
0223121212
01121111
ˆ
ˆ11ˆˆ
ˆˆ11ˆˆ
ˆˆ11ˆˆ
:مي توان متغيرهاي حالت را بشرح زير تعريف نمود
بنابراين در فرم ماتريسي داريم:
ku
bab
bab
bab
bab
kx
a
a
a
a
kx
nn
nn
n
n
0
011
022
011
1
2
1
ˆ
000
100
000
001
1ˆ
Partial-Fraction-Expansion
در اين روش مخرج تابع تبديل پالسي را. بصورت فاكتوري در مي آوريم
n
nnn
nn
azaz
bzbzb
zU
zYzG
11
110
n
nnnn
pzpzpz
babzbabzbabb
21
02
0221
0110
حالت اول- تمام قطبها متمايز هستند: n
n
pz
C
pz
C
pz
Cb
zU
zY
2
2
1
10
ipz
i pzzU
zYC
i
lim
zUpz
CzU
pz
CzU
pz
CzUbzY
n
n2
2
1
10
Let’s define:
zUpz
zX
zUpz
zX
zUpz
zX
nn
1
1
1
22
11
Can be written as:
zUzXpzzX
zUzXpzzX
zUzXpzzX
nnn
222
111
zXCzXCzXCzUbzY nn 22110
From 1z
kxCkxCkxCky
kukxpkx
kukxpkx
kukxpkx
nn
nnn
2211
222
111
1
1
1
kxCkxCkxCky
kukx
p
p
p
kx
nn
n
2211
2
1
1
1
1
00
00
00
1
:تکراري ي قطبهاوجود- دومحالت
1pzفرض كنيد كه قطب • ،mمرتبه تكرار شده و بقيه قطب ها همگي متمايز باشند:
nmm
mn
nn
pzpzpzpz
bzbzb
zU
zYzG
211
110
nm
mnn
nn
pzpzpz
babzbabzbabb
11
02
0221
0110
n
n
m
m
m
mmmm pz
C
pz
C
pz
C
pz
C
pz
C
pz
CbzG
2
2
1
1
11
1
2
1
10
بنابراين:
zUpz
CzU
pz
C
zUpz
CzU
pz
CzU
pz
CzUbzY
n
n
m
m
mmm
1
1
11
1
2
1
10
Let’s define:
zUpz
zX
zUpz
zX
zUpz
zX
m
m
m
1
11
2
1
1
1
1
1
zUpz
zX
zUpz
zX
zUpz
zX
nn
mm
mm
1
1
1
22
11
و
معادله حالت اول با حالت بعدي خود داراي ارتباط زير هستند: zXzXpzzX
pzzX
zX2111
12
1 1
zXzXpzzXpzzX
zX3212
13
2 1
zXzXpzzX
pzzX
zXmmm
m
m
1111
1 1
zUzXpzzXzUpz
zX mmm
11
1
لذا اگر از معادله عكس تبديل z:بگيريم آنگاه
kukxpkx
kukxpkx
kukxpkx
kxkxpkx
kxkxpkx
kxkxpkx
nnn
mmm
mm
mmm
111
1
111
3212
2111
1
1
1
From
kubkxCkxCkxCkxCzy nnmm 02211
ku
kx
kx
kx
kx
kx
p
p
p
p
p
p
kx
kx
kx
kx
kx
n
m
m
n
m
mmn
mnm
n
m
m
1
1
1
0
0
00
00
00
0
0
0000
1000
000
010
001
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
kub
kx
kx
CCCky n 0
2
1
21
Non-Uniqueness of State-Space Representation
همانگون)ه ك)ه مالحظ)ه ش)د، مي ت)وان ب)ا توج)ه ب)ه ي)ك ت)ابع تب)ديل پالس)ي، ف)رم ه)اي مختلفي از مع)ادالت ح)الت را تعري)ف نم)ود. ب)ه ه)ر ح)ال كلي)ه ف)رم ه)اي ارائ)ه ش)ده ب)ا
به هم مربوطند: Similarity Transformationتوجه به
Consider:
2
11
kDukCxky
kHukGxkx
Let’s define:
3ˆ kxPkx
Where P is a non-singular matrix 1 P Exists
13
kHuPkxGPPkx
kHukxGPkxPP
11
1
ˆ1ˆ
ˆ1ˆ
kDukxCPky ˆ
:defineweif
kuDkxCky
kuHkxGkx
DD
CPC
HPH
GPPG
ˆˆˆ
ˆˆˆ1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
و با هم Similar هستند.
دو ماتريس مشابه يكديگرند اگر :
S بنحوي وجود داشته باشد كه: BASS 11 )A و B داراي يك مرتبه
باشند. داراي دترمينان مساوي (1خواص: ( ماتريس 2
هستند. داراي معادله مشخصه (2
برابر هستند. داراي مقادير ويژه (3
مساوي مي باشند.بايد توجه داشت كه:
diagonalGPP متمايز باشند:G( اگر قطب هاي 1 1
formJordanGPP تكراري باشند:G( اگر قطب هاي 2 1