• 1.2. Асимптотическая устойчивость нулевого решения• Для начала, не вдаваясь в глубину вопроса, приведем три

определения из теории устойчивости.• Определение 1.6а. Если все решения cp(t) линейного

дифференциального уравнения (1.1) ограничены на промежутке [0,+°о )5 то решение x(t) = 0 будем называть устойчивым.

• Определение 1.6Ь. Решение х(7) = 0 будем называть неустойчи вым, если оно не является устойчивым.

• Таким образом, если нулевое решение неустойчиво, то для некоторого решения (р(t) уравнения (1.1): lim <p(t)=°°.

• t —> +оо• Определение 1.6с. Если для любого решения

• t-^+oО• то нулевое решение называется асимптотически устойчивым.

• Лемма 1.1. Для любого алгебраического многочлена Ts (t) степени s

• = 0.• lim• если Re λ < 0 (здесь Re λ обозначает

вещественную часть комплексного числа λ ).• Доказательство леммы элементарно и основано

на использовании правила Лопиталя. Проделайте его самостоятельно.

• Из леммы 1.1 к структуры общего решения уравнения (1.1) вытекает следующая

• Теорема 1.1. (Об асимптотической устойчивости.) Если все корни Я- характеристического уравнения (1.3) находятся в левой

• полуплоскости комплексного переменного: Re Яг- < 0 (/ = 1,я ), то для любого решения x(t) дифференциального уравнения (1.1) выполняется соотношение

• lim x(t)= 0,• то есть нулевое решение асимптотически устойчиво.• Замечание. Выше отмечалось, что нулевое решение уравнения

(1.1) отвечает рабочему режиму технического устройства, который необходимо должен быть устойчивым в том смысле, что все другие режимы должны стремиться к нему с возрастанием времени. С точки зрения дифференциальных уравнений это означает, что решение x(t) = 0 должно быть асимптотически устойчивым. При этом все решения уравнения (1.1), отличные от нулевого и стремящиеся к нему, как раз будут отвечать переходным процессам в работе устройства. В силу этого обстоятельства задача об исследовании нулевого решения на устойчивость является одной из важнейших для современной техники.

• В связи с анализом на устойчивость тривиального решения x(t) = 0 дифференциального уравнения (1.1) возникает следующая алгебраическая задача: найти условия, накладываемые на коэффициенты уравнения at, при которых все корни λ^Я^ —>Яп

• • алгебраического уравнения (1.3) находятся в левой

полуплоскости комплексного переменного.• Впервые эта задача была поставлена в 1868 г.

создателем теории электромагнетизма Дж. Максвеллом. В ее решении на разных этапах принимали участие выдающиеся математики и инженеры, среди которых: Ш.Эрмит, И.А. Вышнеградский, Э. Раус, А. Гурвиц, А.В. Михайлов. Этой задаче будет посвящен следующий параграф.

• 1.3. Критерии устойчивости• Рассмотрим линейное однородное

дифференциальное уравнение п - го порядка:• а0хМ + ахх^ +... + апх = 0 (1.7)• и его тривиальное решение• x(t) = О. (1.8)• Обозначим через Р(Я) = а0Лп + ахХг~х + ... + ап

характеристический• полином уравнения (1.7). Тогда

характеристическое уравнение запишется в виде• Р(А) = 0. (1.9)

• Определение 1.7. Полином Р(Л) называется устойчивым, qели все корни характеристического уравнения (1.9) находятся в левой полуплоскости комплексных чисел. Устойчивые полиномы также называют гурвицевыми.

• В настоящем параграфе приводятся формулировки некоторых простейших критериев устойчивости полиномов [9,37,48]. Эти критерии дают возможность по коэффициентам многочлена (без вычисления корней) устанавливать, устойчив он или нет. И тем самым выносить суждение об устойчивости решения x{t) - 0.

• Заметим, что в случаях полиномов первой и второй степени ответ прост: все коэффициенты алгебраического уравнения долэюны быть

• • положительны. Однако для полиномов выше второй степени требование

положительности коэффициентов не носит достаточный характер, а лишь необходимый. Это утверждение известно в литературе, как теорема Стодолы по имени словацкого инженера - одного из основателей теории регулирования турбин. Сформулируем и докажем это простое утверждение.

• Теорема 1.2 (Стодолы). Если многочлен Р(Л) с вещественными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты ai (i = 0,1,..., п) положительны.

• Доказательство. Пусть Лк (к = 1,2,...,т)- вещественные отрицательные корни уравнения Р{Л) = 0, juk± ivk (к = 1,2,...,/) - комплексные с отрицательными вещественными частями. Ясно, что т + 21 = п- общему количеству корней. Разложим многочлен Р(Л) на множители

• А. Критерий Гурвица• Приводимый ниже критерий относится к

алгебраическим. Для его формулировки введем в рассмотрение пхп-матрицу (матрицу Гурвица), составленную определенным образом из коэффициентов полинома Р(Л):

• Для запоминания принципа формирования этой матрицы полезно обратить внимание, что на главной ее диагонали стоят коэффициенты , а2 v? • Направо от главной диагонали в каждой строке

• выписываются коэффициенты с меньшими индексами по их убыванию. Налево - с большими индексами по их возрастанию. Вместо недостающих коэффициентов пишутся нули.

• Теорема 1.3. Полином Р(Л) устойчив тогда и только тогда, когда главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны:

• Cl\ Gq аз• A i=ai> О,• До =• > 0, и.т.д.• щ dQ О >0, A3 = аз а2 а\• а4 аз• С доказательством этого утверждения можно познакомиться по

книге [48].

• Пример 1.3. Применим сформулированный критерий для получения условий устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения третьего порядка:

• Составим характеристический полином• Р(Л) = Л3 +аЛ2 + /ЗЛ+у • и матрицу Гурвица, как это указано выше,

заметив при этом, что• а0 = 1, ах- а, а2 = /?, а3 = у:

• Вычислим ее главные диагональные миноры• А{ - а, А2 = (х/З - у, А3 = уА2.

• Отсюда, и из критерия Гурвица следует, что все корни характеристического полинома Р(Л) будут находиться в левой полуплоскости комплексных чисел, если будут выполнены условия: