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統計学11/13 （月）

担当：鈴木智也

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講義の全体構成

第１部　記述統計：データの特性を記述第２部　確率論：推測統計への橋渡し

確率論入門確率変数と確率分布　主な確率分布　←ここ！

☆ 中間試験はここまで第３部　推測統計：データから全体像を推

測

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主な確率分布

• 二項分布（離散型）これが基本型。

• ポアソン分布（離散型）二項分布から導出できる。

• 正規分布（連続型）これも二項分布から導出できる。

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二項分布とは

☆ 結果が二通り（例： S か F ）しかない実験• 結果が S となる確率を p で表す。• 結果が F となる確率は、 q （ =1 － p ）であ

る。• この実験を n 回行い、結果が S となる回数

を X とする。⇒X は確率変数であり、その分布は二項分布

（ n, p ）に従う。

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二項分布：例題

• 実験：じゃんけん• その結果 S ＝勝つ

　 F ＝勝たない（負け、あいこ）• 勝つ確率： p ＝ 1/3 　勝たない確率： q=2/3

Q ：３回のじゃんけんで 1 回勝つ確率は？(n=3 、 x=1)

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二項分布：例題の答え• ケース A ：一回目に勝つ場合の確率　 （ 1/3 ） × （ 2/3 ） × （ 2/3 ） = （ 1/3 ） ×

（ 2/3 ） 2

• ケース B ：二回目に勝つ場合の確率（ 2/3 ） × （ 1/3 ） × （ 2/3 ） = （ 1/3 ） × （ 2/

3 ） 2

• ケース C ：三回目に勝つ場合の確率（ 2/3 ） × （ 2/3 ） × （ 1/3 ） = （ 1/3 ） × （ 2/

3 ） 2

注： A 、 B 、 C は互いに排反。⇒ ３回中１回だけ勝つ確率は、 3× （ 1/3 ） × （ 2/3 ） 2

。

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二項分布の公式

• X ＝ xj という値を取る確率は

P(xj)=nCx px qn-x =for j=1,…,n.

• nCx は、 n 個のものから x 個のものを選び出す公式であり、 nCx = n!/{x!(n-x)!} 。

• 注： n! は n の階乗であり、n!=n×(n-1) ×(n-2) ×…×2×1 である。

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二項分布：期待値と分散

確率変数 X が二項分布に従う場合、• 期待値： E(X)=np

• 分散： V(X)=npq=np(1-p)

（証明は略）例：３回のじゃんけんで勝つ回数の期待

値は１回。

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二項分布からポアソン分布へ☆ 次のような例を考えよう。• 不動産業界で大型契約が成立する確率

は低い。→　 p=0.001 （ =0.1% ）とする。

• 1000 人の顧客と商談を行った（ n=1000 ）ときに、 5 件の大型契約を成功させる確率はいくらか？

⇒ 理論上は、ポアソン分布で計算できる。P(X=5) 　 =1000C5 0.0015 0.99995

。

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二項分布からポアソン分布へ②

• しかし、現実には計算が煩雑すぎる。（ 1000C5 　がいくつになるか試算してみよ。）

• この例のように、 n→∞ 、 p→0 の場合、 np→m （定数）

なら、二項分布はポアソン分布で近似する。

注：“ A→B” は「 A の値が B に近づく」と読む。

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ポアソン分布の公式

二項分布において、 n→∞ 、 p→0 の場合、 X ＝ xj の確率は

P(xj)=(mxe-m)/x!

で近似的に計算できる。

（注）なお、 e は指数であり、 m= np である 。

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ポアソン分布：期待値と分散

• 確率変数 X がポアソン分布に従う場合、• 期待値： E(X)=m

• 分散： V(X)=m

証明：二項分布の場合、期待値が np であることから、ポアソン分布での期待値は m となる。分散も同様に証明できる。

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正規分布

• 連続型の確率分布で中心となるのが「正規分布（ Normal Distribution) である。

• 正規分布は、期待値 μ を挟んで左右対称で、釣鐘型（教科書 P.163 の図）。

☆ 特徴：期待値 μ と分散 σ2 が分れば、正規分布の形状は把握できる。

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標準正規分布

• 確率変数 X が、期待値 μ で分散 σ2 の正規分布に従うとする。X ～ N （ μ ， σ2 ）

• このとき、 X は次のように「標準化」できる。Z= （ X － μ ） /σ ～ N （ 0 ， 1 ）

• 期待値 0 で分散が 1 の正規分布を「標準正規分布」（←この分布は頻出）と呼ぶ。

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標準正規分布 N （ 0 ， 1 ）の性質

• どのような正規分布であっても、前頁の式によって、 N （ 0 ， 1 ）に変換できる。

　⇒　 N （ 0 ， 1 ）の性質を調べればよい。• Z ～ N （ 0 ， 1 ）のとき、確率変数 Z が

z という値を取る確率を P で表すと、P(-1.96 < z < 1.96) = 0.95P(z >1.96) =0.025, P(z<-1.96) =0.025

であることが知られている。

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正規分布と二項分布の関係

☆ 二項分布 Bi （ n,p ）で• n→∞, p→0 のとき、二項分布は

ポアソン分布で近似できる。

• n→∞ で、 p が小さくないとき、二項分布は

正規分布で近似できる。

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第 3 部にむけて

　第３部で習う重要なことがらは、「ｔ‐検定」であり、それを理論的に支えるのが「中心極限定理」と「ｔ‐分布」である。

① 中心極限定理で「正規分布」を使う。② また、その正規分布は「標準正規分布」

に変換された後、ｔ‐分布で近似される。