问题：乌龟和兔子相距 100 米 , 乌龟在前兔子在后 ,

兔子奔跑速度是乌龟的 10 倍 . 它们同时起跑 , 兔子永远追不上乌龟 .

为什么呢？当兔子跑完这 100 米时 , 乌龟同时向前爬了 10 米 ; 当兔子跑完这 10 米时 , 乌龟同时又向前爬了 1 米 ; 当兔子跑完这 1 米时 , 乌龟同时又向前爬了 10 厘米 ; …… 因此，兔子永远追不上乌龟。在实际生活中 , 运动快的物体尽管是在后面 , 它迟早会跑到运动慢的物体的前面去的 . 显而易见 , 这个问题的结论是错的 . 但如何从理论上说明它是错呢？

无限！再没有其它的问题如此深刻地打动过人类的心灵。 希尔伯特（德国数学家）

数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。

卡迈克尔（美国数学家）

无穷级数

无穷级数

无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算

数项级数幂级数傅氏级数

第十二章

常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质

三、级数收敛的必要条件

* 四、柯西审敛原理

第一节

一、常数项级数的概念 引例 1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 .

设 a0 表示

即

内接正三角形面积 , an 表示边数增加时增加的面积 ,

依次作圆内接正 边形 , 3 2 ( 0, 1, 2, )n n

则内接正边形的面积为3 2n

0a 1a 2a na

时 , 这个和逼近于圆的面积 A .n

0 1 2 nA a a a a

引例 2. ( 神秘的康托尔尘集 )

把 [0,1] 区间三等分 , 舍弃中间的开区间 将剩下的两个子区间分别三等分 ,并舍弃在中间的开区间 ,如此反复进行这种“弃中”操作 , 问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？

丢弃的各开区间长依次为故丢弃部分总长

剩余部分总长

剩余部分总长虽然为 0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多” ,

它们象尘埃一样散落在 [0,1] 区间上 , 人们称其为康托尔尘集 .

0 113

23

19

29

79

89

1 23 3( , ),

13， 2

23

，2

3

23

，3

4

23

，12

, 3

n

n

，

2 3 1

2 3 41 2 2 2 23discard 3 3 3 3

n

nl

2 3 11 2 2 2 23 3 3 3 31 ( ) ( ) ( )n 2

3

1 13 1

1

remain discard1 0l l ＝－

21 2

g

12

2

2g

引例 3. 小球从 1 m 高处自由落下 , 每次跳起的高度减 问小球是否会在某时刻停止运动 ? 说明道理 .

根据自由落体运动方程 知

则小球运动的时间为

( s )

设 tk 为第 k 次小球落地的时间 ,

少一半 ,

212

s g t 2 st

g

1T t 22 t 32 t

12

1

( 2)

( 2 1) 2.63

定义： 将各项依

即

称上式为无穷级数，级数的前 n 项和

称为级数的部分和 .

次相加 , 简记为

收敛 ,

则称无穷级数

并称 S 为级数的和 ,

给定一个数列 1 2 3, , , , ,nu u u u

1

,nn

u

1n

n

u

1 2 3 nu u u u

1

n

n kk

S u

1 2 3 nu u u u

lim ,nnS S

若 存在

记作1

nn

S u

其中第 n 项 称为级数的一般项 ,nu

当级数收敛时 , 称差值

为级数的余项 .

则称无穷级数发散 .

无穷级数收敛性举例： Koch雪花 .

做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“ Koch雪花”．

lim ,nnS

若 不存在

1 2n n n nr S S u u

显然 lim 0 .nnr

观察雪花分形过程

1

1

3,

3;

4

P

A

播放播放

周长为

原始三角形

面积为

第一次分叉：

周长为

面积为

2 1

2 1 1

4,

3

13 ;

9

P P

A A A

依次类推

11

4( ) 1, 2,3

nnP P n

2 11 1

13{4 [( ) ]}

9n n

n nA A A

2 2 11 1 1 1

1 1 13 3 4 ( ) 3 4 ( )

9 9 9n nA A A A

2, 3,n

周长为

面积为

2 21

1 1 4 1 4 1 4{1 [ ( ) ( ) ( ) ]},

3 3 9 3 9 3 9nA

第 次分叉：n

于是有1

1

4lim lim( )

3n

nn nP P

结论：雪花的周长是无限的，而面积有限．

雪花的面积存在极限（收敛）．

1

13lim (1 )

41

9

nnA A

1

3 2 3(1 ) .

5 5A

例 1. 讨论等比级数 ( 又称几何级数 )

( q 称为公比 ) 的敛散性 .

解:

从而

因此级数收敛 ,

从而

则部分和

因此级数发散 .

2

0

( 0 )n n

n

aq a aq aq aq a

1 ,q 1) 若2 1n

nS a aq aq aq 1

na aqq

当 时，1q lim 0,n

nq

由于 lim

1nn

aS

q

其和为 ;1

aq

当 时，1q lim ,n

nq

由于 lim ,nn

S

2). 若

因此级数发散 ;

因此n 为奇数

n 为偶数

综合 1) 、 2)可知 ,

则 0

, ( 0 )n

n

aq a

1 ,q

当 时，1q nS na ,

级数成为当 时，1q 1( 1)na a a a a

nS

,a

0,

从而 不存在 , 因此级数发散 .lim nnS

时 , 等比级数收敛 ;| | 1q

时 , 等比级数发散 .

| | 1q

解 2 12 3n nnu

14

4 ,3

n

已知级数为等比级数，

2 1

1

2 3n n

n

例 2 判别无穷级数 的收敛性 .

原级数发散

4,

3q 公比

| | 1,q

例 3. 判别下列级数的敛散性 :

解 : (1)

所以级数 (1) 发散 ;

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

1 1

1 1(1) ln ; (2) .

( 1)n n

nn n n

2ln

1nS 3ln

2

4ln

3 1

lnn

n

(ln2 ln1) (ln3 ln2) ln( 1) lnn n

ln( 1)n ( n ）

1 11n n

1 1 1 11 2 2 3 3 4 ( 1)nS

n n

(2)

所以级数 (2) 收敛 , 其和为 1 .

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

11

2

1 12 3

1 13 4

11

1n

1 ( n ）

[ln( 1) ln( 1) 2ln ]n n n ln3 2ln4]

[ln4 ln2 2ln3] [ln3 ln1 2ln2]

例 4.判别级数 的敛散性 .

解 :

22

1ln 1

n n

2

1ln(1 )

n

2

2

1ln

nn ln( 1) ln( 1) 2lnn n n

22

1ln 1

n

nk

Sk

[ln5

ln2 ln( 1) lnn n 1ln(1 ) ln2

n

lim ln2,nnS

故原级数收敛 , 其和为 ln2.

解 1(2 1)(2 1)nu

n n

1 1 1

( ),2 2 1 2 1n n

1 1 11 3 3 5 (2 1) (2 1)ns

n n

1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )

2 3 2 3 5 2 2 1 2 1n n

1 1(1 ),

2 2 1n

1 1lim lim (1 )

2 2 1nn ns

n

,

21

1 1 11 2 2 3 ( 1)n n

练习 : 判别无穷级数

的收敛性 .

级数收敛 , 和为 1.

2

练习 : 试把循环小数 表示成分数

解 2.3173 5 7

17 17 172.3

10 10 10

30

17 12.3

10 100

n

n

等比级数

3

17 12.3

110 1100

1147.

495

2.317 2.3171717 的形式 .

1100

q 公比

二、无穷级数的基本性质

证:

则

性质 1 表明级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .

性质 1. 若级数 收敛于 S , 则各项

乘以常数 c 所得级数

也收敛 ,其和为 c S .

1n

n

u

即

1

,nn

S u

1n

n

c u

1

,n

n kk

S u

令1

n

n kk

c u

,nc S

lim nn

lim nn

c S

c S

这说明 收敛 , 其和为 c S .

1n

n

c u

性质 2. 设有两个收敛级数

则级数 也收敛 , 其和为

证:

则

性质 2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .

1

,nn

S u

1

nn

v

1

( )n nn

u v

.S

1

,n

n kk

v

1

,n

n kk

S u

令

1

( )n

n k kk

u v

n nS ( )S n

从而级数 也收敛 , 其和为1

( )n nn

u v

.S

若 收敛， 则

说明 :

例如 ,

( 用反证法可证 )

1

[( ) ]n n n nn

v u v u

n 1

设 收敛， 则 也收敛1

nn

u

1

nn

u

1

( )n nn

u v

也收敛，矛盾。

(1) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 .

1

( )n nn

u v

但若二级数都发散 , 不一定发散 .1

( )n nn

u v

2( 1) ,n

nu 取 2 1( 1) ,nnv 0n nu v 而

解 :1

5 1( 1) 2n

n n n

1

5( 1)n n n

1

12n

n

1 1

5 1 15

( 1) 1n nn n n n

1

1 1 5

1

n

nk

gk k

令 1

5(1 ),1n

1

5 1( 1) 2n

n n n

例 5 求级数 的和 .

1lim 5lim(1 ) 5,

1nn ng

n

是等比级数，公比 首项是 1

1

2nn

11,

2q

1

1 lim

2 nn nn

h

1

5 1 5 1 6.

( 1) 2nn n n

故

12 1,

11

2

12，

性质 3. 在级数前面加上或去掉有限项 , 不会影响级数的敛散性 .

当级数收敛时 , 其和的关系为

类似可证前面加上有限项的情况 .

证 : 将级数 的前 k 项去掉 ,1

nn

u

的部分和为

所得新级数1

k nn

u

1

n

n k ll

u

k n kS S

数敛散性相同 .

极限状况相同 , 故新旧两级时，n 由于 n k nS 与

.kS S

性质 4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和 .

证:

若按某一规律加括弧 ,

注意 : 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 .

因此必有

例如，

例如

1 2 3 4 5( ) ( )u u u u u

为原级数部分和序列 的一个子序列 ,

则新级数的部分和序列 ( 1, 2, )m m

( 1 , 2 , )nS n

lim limm nm nS

S

(1 1) (1 1) 0 , 但 发散 .1 1 1 1

1

,nn

S u

设收敛级数

推论 : 若加括弧后的级数发散 , 则原级数必发散 .

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )

2 3 4 5 6 7 8 9 10 16

1 1 1( )2 1 2 2 2m m m

8 项4 项2 项 2 项

项2m

级数发散，

例如：

每项 12

均大于

由性质 5推论 , 级数 发散 .1

1

n n

三、级数收敛的必要条件

设收敛级数

证 :

可见 : 若级数的一般项不趋于 0 , 则级数必发散 .例如 ,

其一般项为

1

,nn

S u

则必有 lim 0.nnu

1n n nu S S

1lim lim limn n nn n nu S S

0S S

11 2 3 4( 1) ,

2 3 4 5 1n n

n

1( 1)1

nn

nu

n

不趋于 0, 因此这个级数发散 .当 时， nn u

注意 :

但此级数发散 .

事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则

但

矛盾 !所以假设不真 .

并非级数收敛的充分条件 .lim 0nnu

例如 , 调和级数1

1 1 1 11

2 3n n n

虽然 1lim lim 0nn n

un

，

2lim( ) 0n nnS S

2n nS S 1 1 1 1

1 2 3 2n n n n

2nn

12

例 6.判断级数的敛散性 :

解 : 考虑加括号后的级数

发散 ,从而原级数发散 .

1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )

2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1

1 1

1 1na

n n

2

1n

2n

n

a

1

12

n n

例 7. 判断下列级数的敛散性 , 若收敛求其和 :

解:

则

这说明级数 (1) 发散 .

1

e !(1) ;

n

nn

nn

3 2

1

1(2) ;

3 2n n n n

1

2 1(3) .

2nn

n

e !

,n

n n

nu

n (1) 令

1n

n

u

u

1

1

e ( 1)!( 1)

n

n

nn

e !n

n

nn

1

e(1 )n

n

1 ( 1, 2, )n

1(1 ) e (1 )1 1n n

n n

故 1 1 en nu u u

从而 lim 0 ,nnu

3 21

1(2)

3 2n n n n

因

进行拆项相消

这说明原级数收敛 ,

(2)

3 2

13 2n n n

1( 1)( 2)n n n

1 ( 2)2 ( 1)( 2)

n nn n n

1 1 12 ( 1) ( 1)( 2)n n n n

( 1, 2, )n

3 21

13 2

n

nk

Sk k k

1

1 1 12 ( 1) ( 1)( 2)

n

k k k k k

1 1 12 1 2 ( 1)( 2)n n

1lim ,

4nnS

其和为 1

.4

1

2 1(3)

2nn

n

2 3

1 3 5 2 12 2 2 2n

n

原级数收敛

(3) 2 3

1 3 52 2 2nS 2 1

2n

n

12n nS S

2 3 4 1

1 3 5 2 12 2 2 2n

n

12 1

2 2

12 3 1

1 12 2n 1

2 12n

n

12 1

12

12

112 1

n 1

2 12n

n

1

1 11

2 2n 1

2 12n

n

2

1 2 13 ,

2 2n n n

nS

lim 3nnS

故

* 四、柯西审敛原理

证 : 因为

当 时，对

的充要条件是 :定理 . 级数 收敛

有1

nn

u

0, N ,N

n N N ,p 任意

1 2n n n pu u u

设所给级数部分和数列为 ( 1, 2, ),nS n

1 2n n n p n p nu u u S S

的柯西审敛原理 ( 第一章

第六节 ) , 即得本定理的结论 .

所以利用数列 ( 1, 2, )nS n

例 6.

解 :

利用柯西审敛原理判别级数 敛散性。 21

1

n n

的

有N ,p 任意对

1 2n n n pu u u

2 2 2

1 1 1( 1) ( 2) ( )n n n p

1 1 1( 1) ( 1)( 2) ( 1)( )n n n n n p n p

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 2 1n n n n n p n p

1 1n n p

1n

当 n﹥N 时 ,

都有

当 时，对

的充要条件是 :定理 . 级数 收敛

N ,p 任意 有

0, 1N

取 ， N ,p 任意对

1 2

1| |n n n pu u u

n

由柯西审敛原理可知 , 级数 收敛 . 21

1

n n

1 2n n n pu u u 1 1n n p

1n

1n

n

u

0, N ,N

n N

1 2n n n pu u u

常数项级数的基本概念

基本审敛法

内容小结

1. 由定义 ,若 , 则级数收敛 ;ssn

3.按基本性质 .

2. 当 , 则级数发散 ;lim 0nnu

作 业

• P255. 1(1, 3), 2(2, 3, 4), 3, 4(1, 3, 5)

提交时间： 2012年 5月 14日上午8:00

观察雪花分形过程

1

1

3,

3;

4

P

A

周长为

原始三角形

面积为

第一次分叉：

周长为

面积为

2 1

2 1 1

4,

3

13 ;

9

P P

A A A

依次类推

观察雪花分形过程

1

1

3,

3;

4

P

A

周长为

原始三角形

面积为

第一次分叉：

周长为

面积为

2 1

2 1 1

4,

3

13 ;

9

P P

A A A

依次类推

观察雪花分形过程

1

1

3,

3;

4

P

A

周长为

原始三角形

面积为

第一次分叉：

周长为

面积为

2 1

2 1 1

4,

3

13 ;

9

P P

A A A

依次类推

观察雪花分形过程

1

1

3,

3;

4

P

A

周长为

原始三角形

面积为

第一次分叉：

周长为

面积为

2 1

2 1 1

4,

3

13 ;

9

P P

A A A

依次类推

观察雪花分形过程

1

1

3,

3;

4

P

A

周长为

原始三角形

面积为

第一次分叉：

周长为

面积为

2 1

2 1 1

4,

3

13 ;

9

P P

A A A

依次类推