Experimental determination of Young’s Modulus of concrete ...
材料之應力與應變分析 1. 楊氏彈性模量 ( Young’s Modulus ) 2. 扭擺 (Torsion...
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材料之應力與應變分析1.楊氏彈性模量 (Young’s Modulus)
2.扭擺 (Torsion Pendulum)
楊氏系數 _ 目的 (Object)利用虎克定律的關係,及在彈性限度內,應力與應
變的關係維持一固定值。拉長或壓縮一個線狀或棒狀彈性物體,應力與應變
比值應滿足一常數,即 楊氏模量( Young’s Modulus )
利用光槓桿 (optical level) 來測量金屬線的楊氏模量
學習光槓桿的原理與操作
彈性體與楊氏彈性模量•彈性體受外力作用時會變形,若外力移去,在彈
性限度內可完全回復原狀,由虎克定律得,
•拉長及壓縮一線狀彈性體時,此常數稱為楊氏模量 (Y) ,隨材料的不同而異。則
模量單位長度所改變的長度應變
單位面積所受的力應力
1
0
llA
FY
楊氏儀與光槓桿• 彈性體受拉張力產生的伸長量很小,所以利用楊氏儀(圖一)>附測量微位移的光槓桿(圖二),可精確測量伸長量。
楊氏儀與光槓桿• 光槓桿原理:從望遠鏡附設米尺的 A 點發出之光線AO,垂直投射於平面鏡而由原路反射。若平面鏡轉 θ 角 ( 平面鏡切圓柱面,會隨圓柱轉相同角度 ) ,則由米尺的 B 點發出之光線 BO,反射後沿 OA進入望遠鏡 (ON是法線 ) ,則∠ BON=∠ NOA= θ。
• →平面鏡轉 θ角,反射線轉 2θ角。
楊氏模量的計算• 由楊氏儀測金屬線伸長量: (1)望遠鏡裝於米尺 A 點附近,由望遠鏡讀出的間隔變化 ( 金屬線伸長帶動光槓桿的轉動 )D與米尺至平面鏡之距離 R ,可求 2θ,即
• • (2) 金屬線繞在半徑為 r(cm)的銅圓柱,故伸長量
• • ( θ用弧度 , )• 求楊氏模量: (1)量金屬線的長度 l0與截面積 A(2)作用力 F→砝碼掛重 (3)伸長量
RD1
21 tan
rl
23600
1 弧度
l
扭擺 _1.目的( object )剛體物體均具有某種程度的彈性,可由拉、推、扭
或壓縮物體,使其體積作少許改變。切應力( shear stress )是負重轉動中的軸承彎
曲變形,或彎曲造成骨折等問題的重要因素。利用扭擺( torsion pendulum )測擺動週期
( period ),並計算金屬棒之切變係數( shear modulus )。
扭擺 _2.理論( theory )切變係數 S 之定義為切應力( shear stress )與切
應變( shear strain )之比,如圖 1 所示。
h/x
A/F
strainshear
stressshearS
圖 1 切變係數說明
F: 應力 (stress)A: 作用面積 (Area)x: 剪切位移 (shear displacement)h: 樣本高度 (height)
扭擺 _ 棒狀剛體之扭力形變位移設一棒之部份環形沿環之截面受 dFi 之力作用而扭轉
了一角度 θ (弧度),其所對應的相對位移為 x ,如圖 2 所示。
x = rθdA =
2πr . dr
圖 2 棒之恢復力矩說明r: 棒之部分環形之內徑。
扭擺 _ 棒狀剛體之恢復力矩
根據定義 ,
此力所生的恢復力矩 (dLi) 為
rdr2
iFdh
h/rrdr2
iFd
h/x
A/FS
2
h
rdr2SFd
2i
h
rdr2SiFdriLd
3
扭擺 _ 棒狀剛體之切變係數作用於整個棒上的總恢復力矩 L 為
今將高度 h 改為棒之全長 l,則總力矩變為
於是切變係數 S 為
h2
r
h
rdr2SLdL
43
0
Si
r
l
S
2
rL
4
4r
2S
Ll
長為 l ,半徑 r 之實心金屬棒的切變係數為
4r
2S
Ll
扭擺 _ 棒狀剛體之切變係數
扭擺 _3.方法( method )對一做角度簡諧運動( simple harmonic motion )的
物體,若其轉動慣量為 I ,力矩常數( torque constant )為 K' ,則其擺動週期為
……………………..………….……………(2)
K' 乃力矩 L 與扭轉角( angle of torsion )(角位移)θ 之比
……………………………………………….(3)
K'
I2T
L
K'
扭擺 _ 角度簡諧運動物體之切變係數
將 (3) 式代入 (1) 得 …………… ..(4)
由 (2) 、 (4) 式消去得 ……… .......(5)
4r
K2S
l
42 rT
I8S
l
L
K'4r
2S
Ll
K'
I2T
……….(1) , ……… .(3)
……….(2)