άλγεβρα 1ης λυκείου
-
Upload
filipj2000 -
Category
Education
-
view
504 -
download
0
Transcript of άλγεβρα 1ης λυκείου
Επιμέλεια:Καρσιώτη Ευαγγελία
Μαστροπέτρου ΕιρήνηΜούλιου Ιωάννα
Ντελλή ΣοφίαΣταμάτη Αρετή
Καθηγητής:Φιλίππου Ιωάννης
2ο ΓΕΛ Κορυδαλλού Τμήμα: Α1
Ιδιότητες πράξεωνΙδιότητα πράξεων
Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βαΠροσεταιριστική α + (β + γ) = (α +
β) + γα(βγ)=(αβ)γ
Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = αΑντίθετος/Αντίστροφος αριθμού
α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0
Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγΑφαίρεση
α-β = α+ (-β)
Διαίρεση
(β≠0)
1
1:
Ιδιότητες πράξεων 21. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ3. α = β α + γ = β + γ4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 06. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0
ΔυνάμειςΑν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός,
ισχύει ότι: αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και
ν παράγοντες
α1 = α, για ν = 1
Αν α ≠ 0, τότε:α0 = 1 και α-ν =
1
Ιδιότητες δυνάμεων1. ακ ∙ αλ = ακ+λ
2. = ακ-λ
3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ
4.
5. (ακ)λ = ακλ
(β ≠ 0 )
Ταυτότητες1. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
2. (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2
3. α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β) 4. (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3
5. (α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3
6. α3 + β3 = (α + β) ∙ (α2 – αβ + β2)7. α3 - β3 = (α - β) ∙ (α2 + αβ + β2)8. (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ +
2γα
Ταυτότητες 29. α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ10. (α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ11. αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-1) 12. α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2+β2+γ2-αβ-βγ-
γα)13. α3+β3+γ3 –3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-
α)2]14. Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ15. Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ16. α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β)
21
Ιδιότητες αναλογιών1. (εφ’ όσον βδ ≠ 0)
2. (εφ’ όσον βγδ ≠ 0)
3. (εφ’ όσον βδ ≠ 0)
4. (εφ’ όσον βδ(β+δ) ≠ 0)
βγαδδ
γ
βα
δ
β
γα
δ
γ
βα
δ
δγ
β
βα
δ
γ
βα
δβ
γα
δ
γ
βα
δ
γ
βα
Διάταξη πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΈνας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος
από έναν αριθμό β και γράφεται α > β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός
Ιδιότητες1. (α > 0 και β > 0) α + β > 0 (α < 0 και β < 0) α + β < 02. α, β ομόσημοι α β > 0 ∙ α, β ετερόσημοι α β < 0 ∙
0βα
0βα
Διάταξη πραγματικών αριθμώνΙδιότητες3. α2 ≥ 0, για κάθε α ℝ , (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν
α=0) Από αυτό προκύπτουν οι ισοδυναμίες:α2 + β2 = 0 α = 0 και β = 0α2 + β2 > 0 α ≠ 0 ή β ≠ 0
Διάταξη πραγματικών αριθμώνΙδιότητες των ανισοτήτων1.(α > β και β > γ) α > γ2.i. α > β α + γ > β + γ
ii. Αν γ > 0, τότε: α > β α γ > β γ∙ ∙iii. Αν γ < 0, τότε: α > β α γ < β γ∙ ∙
3.i.(α > β και γ > δ) α + γ > β + δii. Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ) α γ > β δ∙ ∙
Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β αν > βν
Διάταξη πραγματικών αριθμών
ΟρισμόςΗ απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α
συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο α, αν α≥0
-α, αν α<0Συνέπειες και
Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού
• ή x = -θ (θ > 0)• ή x = -α
α
0αα αα αα
22 αα
θxθx αxαx
α
Ιδιότητες1.
2. = (β ≠ 0)
3.
Απόσταση d (α , β) =
βα
β
α Ανισότητες με απόλυτα ή x > ρ
βαβα
βαβα
βα
ρxρρ)ρ,(xρx
ρxρx
Ρίζες πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΗ τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α.
Ιδιότητες• Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:
1. 2.
α
α
αα 2
βαβα βα
β
α3.
(β ≠ 0 )
Ρίζες πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΗ ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α.
ν α
ν α
Ρίζες πραγματικών αριθμώνΙδιότητεςΑν α,β ≥ 0, τότε:1. 2. (β ≠ 0)
3. 4. 5. 6.
ννν βαβα
νν
ν
βα
β
α
νμμ ν αα ν μρν ρμ αα
κνv κ αα νν ν βαβα
Αν α ≥ 0, τότε: Αν α ≤ 0 & ν
άρτιος, τότε:
αανν & ααν ν
ααν ν
Ρίζες πραγματικών αριθμώνΟρισμόςΑν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός,
τότε ορίζουμε
Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι:
ν μν
μ
αα
νν βαβα
Η εξίσωση xν = αΗ εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο
φυσικό αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και
Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:
Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη
ν α
ν α ν α
ν α
Η εξίσωση αx2+βx+γ=0, α≠0• Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται
εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Είδος ριζώνΔ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη
Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ
2α
Δβ-x 1,2
2α
β- x
Άθροισμα και γινόμενο ριζών
Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες
x1 , x2 :
x2 – Sx + P = 0
α
βxxS 21
α
γxxP 21
Ανισώσεις 1ου βαθμού αx + β > 0
Αν α > 0 , τότε:
Αν α < 0 , τότε:
Αν α = 0 , τότε: , η οποία
αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0
ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0
α
β-x
αβ-x
-β0x
Ανισώσεις 2ου βαθμού Μορφές τριωνύμουΗ παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται
τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0
μετασχηματίζεται ως εξής:Δ > 0 , τότε:
Δ = 0 , τότε:
Δ < 0 ,τότε:
22
2αβ
xαγβxαx
212 xxxxαγβxαx
2
22
4αΔ
2αβ
xαγβxαx
Πρόσημο τριωνύμου αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0
-∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α
Δ = 0
-∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α
Δ < 0
-∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ