教学目的及基本要求 : 1. 掌握不定积分的概念 , 熟练掌握基本初等函数的...

宁德师专数学系http://www.ndsz.net/jpkc/index.asp

教学目的及基本要求 :

1. 掌握不定积分的概念 , 熟练掌握基本初等函数的

不定积分 .

2. 掌握不定积分的性质 .

重点与难点：概念及性质。

课时： 4 学时

第五章不定积分


§5.1 不定积分的概念

5.1.1 　原函数与不定积分的概念定义 1 ：设函数

)(xf 在区间 I 有定义，存在函数，若 )(xF )()(, ' xfxFIx 有

则称函数是在区间 I 的一个原)(xF )(xf

函数，或简称 )(xF 是 )(xf 的原函数 .


例如： .cossin,cos)(sin, ' 的原函数是即 xxxxRx

.3,3)'(, 2323 的原函数是即 xxxxRx

.3,3)(,, 232'3 的原函数是即 xcxxcxRcRx

说明：若函数 )(xf 存在原函数 )(xF 则这个原函数

)(xF 加上任意一个常数 c ，即 cxF )( 也是函数

)(xf 的原函数，于是，一个函数存在原函数，

那么它必有无限多个原函数 .


原函数存在定理

如果函数在区间内连续，那么在区间 I 内存在可导函数

)(xf

Ix )()(' xfxF 使，都有注解 ① 连续函数一定有原函数 .

② 原函数不唯一③

F(x)

I

一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个

常数 .


定义 2 ：函数

)(xf cxF )(的所有的原函数 )( Rc

称为函数 )(xf 的不定积分，表为

cxFdxxf )()( ))()(( ' xfxF

其中 )(xf 称为被积函数， dxxf )( c 称为积分常数 .

任意常数

积分号

被积函数

CxFdxxf )()(被积表达式

积分变量


例 1 求 dxx1

当时，0xx

x1

)'(ln ，

是在内的一个原函数 xlnx

1

),0( 即在

),0(

内 Cxdxx

ln1

0x ，是在内的一个原函数 )ln( x

x

1

即在

)0,(

内 Cxdxx

)ln(1

当时，xx

x1

)1(1

)]'[ln(

)0,(

1l ndx x C

x

解：


性质１ [ ( ) ] ( )f x dx f x ．

性质２ ( ) ( ) f x dx f x C ．

性质 3 设函数及的原函数存在，则

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

性质 4 设函数的原函数存在，为非零常数，则

)(xf )(xg

)(xf k

dxxfkdxxkf )()(

5.2 　不定积分的性质


基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式 .

kCkxkdx ()1( 是常数 );

);1(1

)2(1

Cx

dxx

;ln)3( Cxx

dx

dx

x211

)4( ;arctan Cx

dx

x21

1)5( ;arcsin Cx

xdxcos)6( ;sin Cx

xdxsin)7( ;cos Cx


xdx

2cos)8( xdx2sec ;tan Cx

xdx

2sin)9( xdx2csc ;cot Cx

xdxx tansec)10( ;sec Cx

xdxxcotcsc)11( ;csc Cx

dxe x)12( ;Ce x

dxa x)13( ;ln

Ca

a x

shxdx)14( ;Cchx

chxdx)15( ;Cshx


例 2 求 dxxe x )cos3(

解： xdxdxedxxe xx cos3)cos3(

Cxe x sin3

例3

求 dxxx

xx

)1(

12

2

解： dxxx

dxxx

xxdx

xx

xx

)1

1

1(

)1(

)1(

)1(

122

2

2

2

Cxxdxx

dxx

lnarctan1

1

12

例 4 求 xdx2tan

解： dxxxdx )1(sectan 22

Cxx tan


例 5 求 dx

x

x

1

4

解

Cxxx

dxx

dxdxx

dxx

x

dxx

xxdx

x

xdx

x

x

arctan3

1

11

1)1(

1

1)1)(1(

1

11

1

3

22

22

2

22

2

4

2

4


例 6 求 dxx

2sin2

解

Cxx

xdxdx

dxxdxx

)sin(2

1

cos2

1

)cos1(2

1

2sin2


• gg

教学目的及基本要求 : 1. 掌握不定积分的概念 , 熟练掌握基本初等函数的...

Documents

Transcript of 教学目的及基本要求 : 1. 掌握不定积分的概念 , 熟练掌握基本初等函数的...