第 1 部分　材　料

第 1 部分　材　料

Chapter 　 3同質半導體中的電流流動

■ 3.1 　簡　介■ 3.2 　漂移電流■ 3.3 　載子移動率■ 3.4 　擴散電流■ 3.5 　載子的產生和復合■ 3.6 　半導體中光的過程■ 3.7 　連續性方程式■ 3.8 　少數載子壽命■ 3.9 　少數載子擴散長度■ 3.10 　準費米能階■ 3.11 　結　論

Chapter 3　同質半導體中的電流流動　P

3.1 　簡介■電荷載子在半導體中運動有兩種基本機制：漂移 (drift) 和擴散 (dif-fusion) 。我們先從漂移電流開始，它的發生是由於電子和電洞在電場中運動；接下來我們會討論擴散電流，它是由於載子濃度隨位置而變

3.2 　漂移電流■一個平衡的半導體，它的總淨電流為零。雖然因為熱能的關係，電子和電洞會移動，但它們的移動方向是完全任意方向的，所以個別電荷的移動，加總起來的總電流為零

93


■考慮傳導帶中的一個電子，若沒有外加電場，它的路徑會如圖 3.1(a) 所示；在每一次碰撞以後，新的方向是任意的，所以平均而言，電子沒有在特定方向行進且淨電流為零

■當有一個外加電場施加到半導上時，帶負電的電子被加速且帶正電的電洞以相反的方向被加速，一個電荷的任意淨的運動都會產生電流，所以這種運動稱為“漂移電流”

■總漂移電流是電子電流和電洞電流的和

93


圖 3.1 　電子在一個晶格中的運動。每當電子碰撞後，會任意的改變方向 (a) 沒有外加電場下，在任意的特定方向都沒有行進； (b) 當外加電場，電子傾向於在某一特定方向漂移，像這樣的軌跡祇有在非常高的電場才有

94


圖 3.1 　電子在一個晶格中的運動。每當電子碰撞後，會任意的改變方向 (c) 在低電場下，漂移速度遠低於熱速度，在任何可觀的行進以前都必須經過多次碰撞； (d) 一個電洞以相同的方式行進，但因帶正電，所以被加速的方向與電子相反； (e) 電子和電洞以相反的方向漂移，但產生的電流方向是相同的

94


(drift ) (drift ) (drift )n pI I I (3.1)

電流密度 J ，是每單位時間單位面積穿過某一平面的電荷數量

面積

IJ (3.2)

由歐姆定理得到，一個長度 L ，截面積 A 的均勻樣品，它的電阻 R 為

V LR

I A

這裡的定義成電阻率 (resistivity) ，單位為歐姆 - 厘米 (Ω· cm)

(3.3)

95


95

I = JA ，可以將方程式 (3.3) 表示成 L L

JA A

%

或

(drift )J

%

%

(3.4)

(3.5)

這裡的 σ= 1 /ρ ，定義成傳導率，它的單位是歐姆 - 厘米 [(Ω· cm)-1] 的倒數或每公分的西門子 (S / cm)

EE

E


96


□一旦外加電場，樣品不再是平衡的，這個時候， p≠p0

□假設由電場產生的電洞平均 ( 漂移 ) 速度為 dp，在時間 dt ，穿過面積 A 的總電荷會等於 Q = qpAdp dt ，因為電流定義成單位時間穿過一個平面的電荷

　電洞電流密度為 Jp = Ip / A

p dp

dQI qpA

dt (3.7)

96

(drift )p dp pJ qp % (3.8) E


96


dpp pqp qp

% (3.9)

這裡的 μp 稱為電洞移動率 (hole mobility) ，它是每單位電場的電洞漂移速度

dpp

% (3.10)

移動率是一個載子在一特定半導體中移動快慢的量測值，它的單位是每伏特 - 秒的平方公分 (cm2 / V·s)

E

E

97


同樣的，電子移動率為 dn

n

%

電子傳導率 σn 為 n nqn

總漂移電流密度為

(drift ) (drift ) (drift ) ( )n p n pJ J J q n q p % %

總傳導率為 n pqn qp

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

E E

E

97


3.3 　載子移動率移動率會隨摻雜濃度而改變，矽中的移動率可由經驗公式描述：

10

ref

1N

N

(3.15)

這裡的 N 是摻雜濃度 ( ND 或 NA ) ，而 Nre

f 和 α 是適當參數

97


在室溫下，方程式 (3.15) 變成：

多數載子 [1] ：

0.72

16

1265( ) 65

18.5 10

n D

D

NN

0.76

16

447( ) 48

11.3 10

p A

A

NN

(3.16)

(3.17)

98


少數載子 [2-4] ：

0.9

16

1180( ) 232

18 10

n A

A

NN

1.25

17

370( ) 130

18 10

p D

D

NN

(3.18)

(3.19)

98


98


■從這些曲線我們可以看到： □ 在低的雜質濃度，多數載子和少數載子電子漂移率會趨近於相同的值： μn ≈ 1330 cm2 /V·s 。

□ 對於電洞有相同的結果： μp ≈ 495 cm2 /V·s 。□ 電子和電洞移動率 ( 多數和少數載子 ) 隨著雜質濃度的增加而降低。

□ 對於一所給的摻雜濃度，電子和電洞的少數載子漂移率會大於多數載子漂移率。

□ 隨著濃度的增加，這些微小差值會跟著增加。

99


例題 3.1

計算室溫下，本質矽的電阻率且與未補償的 n 型和 p 型矽，摻雜濃度 1017 cm-3 的施體 ( 或受體 ) 比較。假設 n = n0 且 p = p0 。

解：　　一個樣品的電阻率是傳導率的倒數1

由方程式 (3.14) ,

( )n pq n p

99


例題 3.1( 續 )

所以傳導率為：

0 0

2 219 10 3 10 3

6 1

( ) ( )

cm cm1.6 10 C 1330 1.08 10 cm 495 1.08 10 cm

V s V s

3.15 10 ( cm)

n p n pq n p q n p

由傳導率，可以得到電阻率為：

56

1 13.17 10 cm

3.15 10

99


例題 3.1( 續 )

(b) n型矽：因為這個材料的摻雜較高且有較多的電子攜帶電流，所以我們期望它有比本質矽較高的傳導率和較低的電阻率。因為 ND » ni ，且所有雜質全部解離，

17 30

2 10 3 23 3

0 17 30

10 cm

(1.08 10 cm )1.17 10 cm

10 cm

D

i

n N

np

n

由圖 3.4 ，對於 1017 的施體濃度，我們發現電子和電洞移動率為：

2

2

cm650

V s

cm480

V s

n

p

多數載子移動率

少數載子移動率

99


例題 3.1( 續 )

使用這些值，我們得到 0 0

2 219 17 3 3 3

19 19 5 1

( )

cm cm1.6 10 C 650 10 cm 480 1.17 10 cm

V s V s

1.6 10 (6.5 10 5.62 10 ) 10.4 ( cm)

n pq n p

注意：第二項，即電洞項在這裡可以忽略，所以電阻率為

1 10.096 cm

10.4

摻雜的矽比本質矽有更高的傳導率。

100


例題 3.1( 續 )

(c) p型，但摻雜濃度與前面的 n型相同：我們期望 p型材料比本質有更高的傳導性，因為它有較多的載子。另一方面，電洞的移動率低於電子，所以 p型材料沒有像 n型那麼高的傳導率，我們先求載子濃度：

17 30

23 3

00

10 cm

1.17 10 cm

A

i

p N

nn

p

因為

2

2

cm750

V s

cm230

V s

n

p

少數載子

多數載子

100


例題 3.1( 續 )因此

0 0

2 219 3 3 17 3

1

( )

cm cm1.6 10 C 750 1.17 10 cm 230 10 cm

V s V s

3.7 ( cm)

n pq n p

在這裡，電子數目很少，對於傳導率的貢獻可以忽略。 p型樣品的電阻率為

1

1 10.27 cm

3.7 ( cm)

因為電流主要是電洞在傳導且電洞的移動率低於電子，所以在相同摻雜濃度下， p型材料的傳導率稍低於 n型材料。

100


■ 3.3.1 　載子擴散　離子化的雜子散射

□ 當電子或電洞趨近離子化的雜質時，會因庫侖力而偏向，這稱為離子化的雜質散射 (ionized impurity scattering)

101


　晶格 ( 聲子 ) 散射 □另外一種影響載子移動率的是晶格散射，經常稱為聲子散射

□原子的振動會在晶格中產生壓力 ( 聲 ) 波，這些壓力波又稱為聲子 (pho nons)

□把聲子想成粒子，一個聲子可以和一個電子 ( 或電洞 ) 產生碰撞而將它散射，聲子的能量是很小，約小於 0.1 eV

102


■ 3.3.2 　散射的移動率電場施加在電子上的力開始：

由方程式 (3.22) 可以寫成

將方程式 (3.23) 的兩邊積分 ( 兩次碰撞期間 ) 可得

(3.23)

(3.24)

這裡的 a 是由於電場　的電子加速度，而 υ 是電子的速度

E

ce

qd dt

m ＊

%E

0 0( ) ( ) ( )ce

qt t t t

m ＊

%E

ce ce

dF q m a m

dt

＊＊% (3.22) E

102


若考慮多次碰撞且取其平均值，可得

定義電子的漂移速度為 υdn= 〈 (t) - (t0) 〉，也定義兩次碰撞期間的平均自由時間為

那麼電子的漂移速度為0nt t t (3.26)

由方程式 (3.11) 和 (3.27)

nn

ce

qt

m ＊

(3.28)

0 0( ) ( )dnce

qt t t t

m ＊

%(3.25)

E

dn nce

qt

m ＊

%(3.27)

E

103


對於電洞，帶 +q 的類似計算且傳導率有效質量為　　，所以可得 chm＊

pp

ch

qt

m ＊ (3.30)

pdp p

ch

qt

m ＊ % % (3.29) E E

103


因為對於載子 - 離子和對於載子 - 聲子的碰撞，它們的散射時間是彼此無關的，所以由梅西森 (Matthiessen) 定理

1 1 1

n nii nlt t t

1 1 1

n nii nl

這裡的下標 i i 和 l 分別表示離子化的雜質和晶格 ( 聲子 ) 散射。

和

103


例題 3.2

室溫下，求本質矽在碰撞期間的平均自由時間，和。

解：對於本質矽， ND = NA = 0 。由方程式 (3.28) ，　　　　，由圖 3.4 ，　　　　　　　　　　　　。電子傳導率有效質量，由表 2.1 可得　　　　　　　　　　　　　　。　　平均散射時間為

2 21330 cm / V s 0.133 m / V sn

cem ＊ 1900.26 0.26 9.11 10 kgm

3113

19

0.26 9.11 10 0.1332 10 s

1.60 10nt

同理對於電洞，　　　　　　　　　　　　，且　　　　　。

20495 cm / V s , 0.36p chm m ＊

131 10 spt

103


■ 3.3.3 　雜質能帶的移動率□ 在未補償 (uncompensated) 材料中，這個機制

( 多數載子被施體或受體狀態降低速度 ) 僅對多數載子是重要的

104


圖 3.7 　室溫下，電子和電洞多數載子移動率 ( 低電場 ) 與未補償摻雜濃度 N 的關係 (a) GaAs (b) Ge 。

105


■ 3.3.4 　移動率的溫度關係□ 當溫度增加時，因為聲子濃度會增加而導致散射增加，所以由於晶格散射會使得載子移動率降低。對於矽而言，由於晶格散射造成的移動率隨溫度變化的關係，對於電子是 T-2.6，而電洞則為 T-2.3。

□離子化雜質散射的效應是隨著溫度增加而減少，這是因為載子的平均熱速度增加了，所以當載子通過離子化雜質時與之接近的時間較短，以致離子的散射效應降低

106


106


■ 3.3.5 　高電場效應

□在高電場下，碰撞之間的平均自由時間　會 E 增加而減少，而導致移動率降低。

□在低電場下，漂移速度 d 和 E 成正比，所以 µ 是常數，這個 µ 的值稱為低電場移動率 µlf

□當電場增加時， d 增加緩慢並趨近於一個極限速度 sat ， sat 的值在 Si 中，對於電子和電洞約為 1 × 107 cm / s ，而在GaAs 中的電子和 Ge 中的電洞和電子，約在 6 × 106 cm / s 。

t

107


107


3.4 　擴散電流

□ 擴散是可移動的粒子從高濃度區移動到低濃度區的一種過程，這種擴散是來自於粒子的隨機 ( 熱 ) 運動

□ 考慮 x = x0 的平面，電子以任意的方向通過這個平面。在平面的左邊電子有一個較高的濃度 n

L ，有一半往右走，另一半往左走。在右邊有一個較小的電子濃度 nR ，而這些中有一半會往左邊走；所以比起從右邊到左邊，會有較多的電子從左邊到右邊穿過 x = x0 的平面，所以有一個往右邊的淨電子流動

109


109


電子流密度為 ( )

2L R

n

n n lF

t

(3.36)

nL 和 nR 分別為左邊和右邊的電子濃度，如果在距離　內， n 的改變量很小，則可以寫成l

( )L R

dnn n l

dx (3.37)

所以電子流密度為 2 ( ) ( )

2n n

l dn x dn xF D

t dx dx

這裡的 2

2n

lD

t

Dn 稱為電子的擴散係數 (diffusion coefficient)

(3.38)

(3.39)

110


電子的擴散電流密度等於電子流密度乘上電子電荷：

(diff)

( )n n n

dn xJ qF qD

dx (3.40)

同理，對於電洞，

(diff )

( )p p p

dp xJ qF qD

dx (3.41)

擴散係數和移動率是用來量測粒子在材料中運動的容易性，且我們預期它們之間會有關係，下一章，我們將推導這個關係式，稱為愛因斯坦關係式 (Einstein relation) ，我們敘述如下：

n

n

D kT

q

p

p

D kT

q

(3.42)

(3.43)

111


□ 圖 3.11顯示了室溫下， Si 中少數和多數載子，電子和電洞的擴散係數與摻雜濃度的關係

111


施加一個電場到電子和電洞上面；在這種情形，電子受到電場和濃度的改變，所以總電子電流為

(3.44)

電洞電流也有漂移和擴散成份：

(3.45) (drift ) (diff )

( )( )p p p p p

dp xJ J J q p x qD

dx %E

(drift ) (diff )

( )( )n n n n n

dn xJ J J q n x qD

dx %E

112


使用愛因斯坦關係式，可將方程式 (3.44) 和 (3.45) 表為

n n

kT dnJ q n

q dx

%

總電流為

(3.46)

(3.47)

(3.48)

E

p p

kT dpJ q p

q dx

%E

(drift ) (drift ) (diff ) (diff )n p n p

n p n p

J J J J J

dn dpq n q p qD qD

dx dx

% %E E

112


3.5 　載子的產生和復合■創造電子 - 電洞對或電子從價電帶激發到傳導帶的過程稱為產生 (generation) 。

■電子從傳導帶移動到價電帶，如此一個個電子 - 電洞對被消滅的過程稱為復合 (recombination) 。

■在平衡下，半導體中產生和復合的速率是相等的，所以平衡的電子和電洞濃度 ( n0 和 p0 ) 是固定的；然而，當半導體元件工作在非平衡情況下，這個規則不再成立，亦即n ≠ n0 且 p ≠ p0 。

112


■ 3.5.1 　帶對帶的產生和復合

□藉由吸收能量大於能帶間隙的光子，或藉由同時吸收許多聲子可以將電子由價電帶激發到傳導帶。

□ 當一個電子與電洞復合時，那麼會產生一個光子、一個光子和一個聲子或多重聲子 ( 如圖 ) 。在任一種情形，不論是產生或復合，能量和波向量 ( 晶格動量 ) 必須守恆。

113


■ 3.5.2 　二階段過程

□ 產生和復合也能以二階段過程發生。圖 3.12(c) 顯示 p型 GaAs 中的產生，聲子激發電子從價電帶到受體能階，然後光子 ( 或多重聲子 ) 能激發電子從受體能階到傳導帶。

□ 圖 3.12(d) 顯示復合過程，從傳導帶轉移到受體能階會釋放光子，然而從受體轉移到價電帶會釋放出聲子。

113


3.6 　半導體中光的過程

圖 3.12 　不同的產生和復合過程。 (a) 當一個電子吸收 ( 在這裡 ) 一個聲子和一個光子時會產生一個電子 - 電洞對，藉由吸收單一光子或多重聲子，也會有產生；光子和聲子是同時被吸收的； (b) 帶對帶的復合，經由同時釋放多重聲子

114


圖 3.12 　不同的產生和復合過程。 (c) 二階段的產生過程，例如電子吸收一個聲子，提升到受體狀態，在下一階段，它吸收一個光子跑到傳導帶； (d) p型材料中的典型復合，伴隨光子的釋放使得電子暫時停留在受體能階，接下來聲子釋放，電子回到價電帶消滅電洞

114


圖 3.12 　不同的產生和復合過程。 (e) 和 (f) 經由陷阱狀態的產生和復合。

114


■ 3.6.1 　吸　收

115


□ 假如入射光子的能量 E = hv 小於能帶間隙，那麼光子就不會被吸收

□直接 (Direct) 意謂著傳導帶的最小值和價電帶的最大值都在相同的 K 值，即 K = 0

□ 在間接材料中，傳導帶的最小值和價電帶的最大值並不在同一 K 值

□ 間接材料中的電子必須同時獲得能量和波向量才可以作轉移，間接材料的例子是 Si、 Ge 和GaP

115


圖 3.14 　要發生吸收， K 和 E 都必須守恆。 (a) 一個直接能隙半導體，左邊的是 E – K 圖，右邊是能帶圖

116


圖 3.14 　要發生吸收， K 和 E 都必須守恆。 (b) 一個間接能隙材料 ( 因傳導帶最低點與價電帶最高點不在同一 K 值，所以光子 - 電子的間內部反應是間接的，故稱之 ) 。

116


例題 3.4

證明有興趣的光子，它的波向量與在布里淵區邊緣的電子比較是可以忽略的。

解：　　考慮一個波長 620 nm ( 能量 2 eV) ( 橘光 ) 的光子，它的波向量為

6 1pht 9

2 6.2810.1 10 (m)

620 10 mK

117


例題 3.4( 續 )

我們記得第 2章，在第一布里淵區邊緣的電子，其波向量為 π/α ，對於一個晶格常數為 α= 0.5 nm

9 19

3.146.28 10 m

0.5 10eK

a

所以 K 向量的比例

6pht 3

9

10.1 101.6 10

6.28 10e

K

K

所以光子的 K 向量是電子的 1/1000 。然而，注意：高能 (X-ray) 光子的波向量與布里淵區邊緣的電子相當。

117


□ 當一個光子被吸收時，會在傳導帶產生一個額外電子 ( 超過平衡數目 ) ，同時也在價電帶產生一個電洞，與吸收一個光子會產生一個電子 - 電洞對，這些電子和電洞稱為超額載子 (excess carries) ── 超過平衡濃度，超額電子濃度為∆n ，超額電洞濃度為 Δp ，總載子的濃度是平衡值加上超額濃度

0

0

n n n

p p p

(3.53)

117


■ 3.6.2 　發　射□ 光吸收過程的相反就是光發射，在這個過程裡，一個電子起初在 E1 能態，轉移到較低的 E0 能態，如圖 3.15 ，由能量守恆，超額的能量必須以光子 ( 光 ) 或聲子 ( 熱 ) ，或兩者都有的形式釋放出來。

118


118


3.7 　連續性方程式□ 考慮具有單位截面積，長度 dx 的微小體積半導體，傳導帶中電子濃度的增加率為

( )nn n

Fndx dx G R dx

t x

(3.54)

119


□ 這裡的 Gn 是電子產生速率， R 是電子復合速率 ( 單位時間單位體積載子的數目 ) ， ( ∂Fn / ∂ x ) 表示區間 dx 內在任一端的電子流差值。

□令 Gth 為熱 ( 聲子產生 ) 產生速率， Gop 為光 ( 光子產生 ) 產生速率，而 Gother 為由於其它過程的產生速率 ( 如捕捉，再釋放 ) ，那麼總電子產生速率為

□ 電子流密度和電流密度的相關性可藉由 Fn = -Jn /q 得到，在抵消 dx 項之後，方程式 (3.54) 變成

( th) (op) (other)n n n nG G G G (3.55)

1( )n

n n

JnG R

t q x

電子的連續性方程式

(3.56)

120


□ 同理，電洞的連續性方程式為

□ n = n0 + Δn ( 方程式 (3.53)) ，且平衡的電子濃度 n0 與時間無關，或 ∂ n0 / ∂t = 0

□ 復合速率是正比於可用以復合電子的數目 ( 亦即傳導帶中的電子 ) ，由

1( )p

p p

JpG R

t q x

電洞的連續性方程式

(3.57)

0nn n n

t t t t

(3.58)

0

n n n

nn nR

(3.60)

120


□ 將這些結果代入方程式 (3.56) ，得

□ 平衡下， Δn = 0, Jn = 0 且 Gop = 0 ，所以方程式 (3.61) 的左邊等於零，得到

□ 由方程式 (3.62) 的輔助，方程式 (3.61) 變成

□ 同理，對於電洞

0th op

1 n

n n

J nn n nG G

t t q x

(3.61)

0th

n

nG

(3.62)

op

1 n

n

Jn n nG

t t q x

(3.63)

op

1 p

p

Jp p pG

t t q x

(3.64)

121


□ 電流密度包含漂移和擴散。

□ 連續性方程式變成

(drift ) (driff )

(drift ) (driff )

n n n n n

p p p p p

dnJ J J qn qD

dxdp

J J J qp qDdx

%

%

2

op2

2

op2

n n nn

p p pp

n n n n nn D G

t t x x x

p p p p pp D G

t t x x x

%%

%%

(3.65)

(3.66)

E

E

E

E

E

E

121


□三維中的連續性方程式為

3.8 　少數載子壽命□ 我們定義少數載子壽命為 p 型半導體中，電子在傳導帶停留的平均時間 ( n ) 或電洞 ( p ) 在 n 型半導體價電帶停留的平均時間

1( )

1( )

n n n

p p p

nJ G R

t q

pJ G R

t q

122


□ 半導體樣品的電阻 Rs=ρL /A ，且 σ= 1/ρ，我們有

　則與時間有關的電壓正比於 i(t) ，亦即正比於傳導率 σ(t)

( )( )

( )A AV V A t

i tt L LA

(3.67)

122


□ 半導體樣品的傳導率為

　這裡的

□ 連結方程式 (3.14) 和 (3.53) 得到

　或

　不照光環境的傳導率為

　光傳導率為

( )n p n pq n p (3.14)

0

0

n n n

p p p

(3.53)

0 0( )n n p pq n n p p (3.68)

0 pc (3.69)

0 0 0( )n pq n p (3.70)

( )pc n pq n p (3.71)

123


123


□ 光電流的時間關係會正比於 Δn 和 Δp 的時間關係，因為 Δn = Δp ，我們求 Δn 的連續性方程式 [ 方程式 (3.63) 或 (3.66)] ，因半導體是均勻的且均勻照光， E 是固定的且 dE / dx, dn / dx 與∂ Jn /∂x = 0 ，那麼

□ 由方程式 (3.71) 可求得光傳導率或因 Δp = Δn

opn

d n nG

dt

(3.72)

( ) ( )( )pc n pt q n t

124


■ 3.8.1 　上升時間□ 對於 t > 0 解方程式 (3.72) ，得

□ Δn 隨時間常數 τ n 增加且達到一最大值

/op (1 )nt

nn G e (3.73)

max op nn G (3.74)

124


■ 3.8.2 　下降時間□ 假設在某一時間 t = t0，關閉照光，在 t0 以後，光產生速率變成零， Gop = 0 代入方程式 (3.72) 得到解答為

□ 由方程式 (3.60) ，復合速率為 R = n /τn，對於一個 p型的直接能隙半導體，經常有 n « NA，所以

□ β 是單位時間電子和電洞復合的機率，那麼

□ τn 或反比於 NA，摻雜濃度愈高，壽命愈短

0( ) /0( ) ( ) nt tn t n t e (3.75)

AR n p n N

1n

AN

125


例題 3.5

證明 p 型半導體中電子停留在傳導帶的平均時間等於時間常數 τn 。

解：　　考慮圖 3.18 光傳導率的實驗，且假設在 t = t0 = 0時；關閉照光則方程式 (3.75) 變成

/( ) (0) ntn t n e

電子在傳導帶的平均時間　為 nt

/1(0) nt

n

dn d nn e

dt dt

125


例題 3.5( 續 )

使用 dn / dt = d∆n /dt 對 dn /dt 積分，得

0

0

n

dnt dt

dtt

dndt

dt

所以分母為/

0

1(0) (0)nt

n

dndt n e dt n

dt

分子的積分

0 0

(0) ndn d n

t dt t dt ndt dt

126


例題 3.5( 續 )

□ 在低摻雜，壽命與陷阱濃度有很大的關係，少數載子壽命的經驗表示式為

所以

0

0

(0)

(0)n

n n

dnt dt

ndtt

dn ndt

dt

12 32 2 1[3.45 10 9.5 10 ]n A AN N (3.76)

13 31 2 1[7.8 10 1.8 10 ]p D DN N (3.77)

這裡的 NA 和 ND 以 cm -3 表示，而 τn 和 τp 以秒表示

126


3.9 　少數載子擴散長度 127


128


□ 因為

或

□ 這裡我們引入一個新的值，稱為擴散長度：

2

2

( )n

n

d n nqD q

dx

(3.79)

2

2

( )

n n

d n n

Ddx

(3.80)

這是一個二階微分方程式，可以在 x = 0, ∆n = ∆n(0) ，在 x = ∞, ∆n = 0 的邊界條件來求解，其解為

/ /( ) (0) (0)n n nx D x Ln x n e n e (3.81)

n n nL D (3.82)

它們是復合以前，電子的平均擴散距離。同理，電洞的擴散長度為

p p pL D (3.83)

128


129


3.10 　準費米能階□記得一個非簡併的半導體

□ 對於非平衡情況，電子和電洞有相同的表示法，我們可以寫出類比於方程式 (3.84) ：

( ) / ( ) /0

( ) / ( ) /0

C f f i

f V i f

E E kT E E kTC i

E E kT E E kTV i

n N e n e

p N e n e

平衡 (3.84)

( ) / ( ) /

( ) / ( ) /

C fn fn i

fp V i fp

E E kT E E kTC i

E E kT E E kTV i

n N e n e

p N e n e

非平衡 (3.85)

這裡的 n 和 p 是包含平衡和超額載子的總電子與電洞濃度。方程式 (3.85) 事實上定義了電子，Efn ，與電洞， Efp 的準費米能階。

129


□解出準費米能階，我們發現方程式 (3.85) 變成

□ 在平衡時， Efn = Efp = Ef

ln ln

ln ln

Cfn C i

i

Vfp V i

i

N nE E kT E kT

n n

N pE E kT E kT

p n

(3.86)

130


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