2

ТАГАНРОГСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Факультет информационной безопасности

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Таганрог 2007

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. 5

1 ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ....................................................... 9

1.1 Основные понятия теории моделирования систем.......................................... 9

1.1.1 Понятие, назначение и цели моделирования.......................................... 9 1.1.2 Системный подход к моделированию систем ....................................... 11

1.2 Классификация видов моделирования и программных средств моделирования .......................................................................................................... 15

1.2.1 Проблемы построения систем моделирования ..................................... 15 1.2.2 Классификация видов моделирования систем ...................................... 15 1.2.3 Программные средства математического моделирования................... 20

1.3 Типовые математические схемы моделирования систем .............................. 23

1.3.1 Понятие математической схемы моделирования.................................. 23 1.3.2 Формальная модель объекта.................................................................... 24 1.3.3 Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) ......................... 27 1.3.4 Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) .............................. 28 1.3.5 Дискретно-стохастические модели (Р-схемы) ...................................... 31 1.3.6 Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)................................... 32 1.3.7 Сетевые модели (N-схемы) ...................................................................... 35 1.3.8 Комбинированные модели (А-схемы) .................................................... 35

1.4 Формализация и алгоритмизация процессов функционирования систем ........................................................................................................................ 36

1.4.1 Методика разработки и машинной реализации моделей систем.................................................................................................................. 36 1.4.2 Этапы моделирования систем ................................................................. 37 1.4.3 Построение концептуальных моделей систем и их формализация ..................................................................................................... 39 1.4.4 Алгоритмизация моделей систем и их машинная реализация .......................................................................................................... 40 1.4.5 Получение и интерпретация результатов моделирования систем.................................................................................................................. 42

1.5 Статистическое моделирование систем на ЭВМ ............................................ 43

1.5.1 Общая характеристика метода статистического моделирования ................................................................................................... 43 1.5.2 Классификация способов получения последовательностей случайных чисел ................................................................................................ 44

4

1.5.3 Основные процедуры получения псевдослучайных чисел .................. 46 1.5.4 Оценка качества последовательностей псевдослучайных чисел.................................................................................................................... 47

1.6 Планирование машинных экспериментов, обработка и анализ их результатов................................................................................................................ 48

1.6.1 Основные понятия планирования экспериментов ................................ 48 1.6.2 Этапы планирования машинных экспериментов .................................. 50 1.6.3 Обработка и анализ результатов моделирования систем..................... 54

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................. 57

5

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование является основным методом исследований во всех облас-тях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей, реализуемых на современ-ных ЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента экспери-ментатора с моделью системы. Особенно эффективно применение моделирова-ния на ранних этапах проектирования систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна.

Современные вычислительные средства позволили существенно увели-чить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась воз-можность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных систе-мах, т. е. использования моделей, более адекватных исследуемым явлениям.

Цели и задачи дисциплины Целями преподавания данной дисциплины является: - ознакомление с основными понятиями теории и принципами модели-

рования систем; - реализация моделирующих алгоритмов для исследования характери-

стик и поведения сложных объектов; - изучение основных методов автоматизации анализа и проектирования

устройств телекоммуникационных систем и их компонентов, принципов и ме-тодов построения их имитационных моделей электронных схем;

- ознакомление с современными системами имитационного моделиро-вания электронных схем;

- получение навыков моделирования и анализа функциональных узлов и устройств телекоммуникационных систем.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате освоения содержания дисциплины студент должен: - знать основные классы моделей систем, принципы построения моделей

процессов функционирования систем, методы формализации и алгоритмиза-ции, возможности реализации моделей с использованием программно-технических средств современных ЭВМ, принципы моделирования электрон-ных схем с помощью пакетов схемотехнического моделирования на примере программы Micro-Cap 9;

- уметь использовать метод машинного моделирования при исследова-нии, проектировании и эксплуатации информационных систем, разрабатывать схемы моделирующих алгоритмов систем, проводить моделирование и анализ устройств телекоммуникационных систем и их компонентов, иметь практиче-

6

ские навыки работы с программой схемотехнического моделирования Micro-Cap 9;

- иметь представление о тенденциях развития имитационного моделиро-вания, об автоматизации проектирования информационных систем и техноло-гий на базе аналитико-имитационного подхода с использованием перспектив-ных инструментальных средств.

Содержание дисциплины "Моделирование систем"

Наименование раздела дисциплины Кол-во часов

МОДУЛЬ 1. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ 16 1. Введение. Предмет курса, его цели и задачи 2 2. Основные понятия теории моделирования систем 2 3. Классификация видов моделирования и программных средств моделирования 2

4. Типовые математические схемы моделирования систем 4 5. Формализация и алгоритмизация процессов функционирования систем 2 6. Статистическое моделирование систем на ЭВМ 2 7. Планирование машинных экспериментов, обработка и анализ их результатов 2

МОДУЛЬ 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ MICRO-CAP 18

8. Назначение и основные возможности программы схемотехнического мо-делирования Micro-Cap 2

9. Описание графического интерфейса программы Micro-Cap 9 2 10. Форматы задания компонентов и использование переменных в выраже-ниях 2

11. Модели основных аналоговых компонентов в Micro-Cap 9 4 12. Ввод принципиальной схемы моделируемого устройства 2 13. Основные виды анализа электронных схем 4 14. Дополнительные возможности основных видов анализа 2

ИТОГО 34

Содержание разделов дисциплины

1. Введение. Предмет курса, его цели и задачи (2 часа). Предмет курса "Моделирование систем", его цели и задачи. Содержание

курса и его связь с другими дисциплинами. Философские аспекты теории подо-бия и моделирования. Место метода имитационного моделирования в совре-менной науке и практике.

2. Основные понятия теории моделирования систем (2 часа). Понятие, назначение и цели моделирования. Системный подход к моде-

лированию систем. Перспективы развития методов и средств моделирования.

7

3. Классификация видов моделирования и программных средств моде-лирования (2 часа).

Проблемы построения систем моделирования. Классификация видов мо-делирования систем. Программные средства математического моделирования.

4. Типовые математические схемы моделирования систем (4 часа). Понятие математической схемы моделирования. Формальная модель объ-

екта. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) Дискретно-детерминированные модели (F-схемы). Дискретно-

стохастические модели (Р-схемы). Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Сетевые модели (N-схемы). Комбинированные модели (А-схемы)

5. Формализация и алгоритмизация процессов функционирования систем (2 часа).

Методика разработки и машинной реализации моделей систем. Этапы моделирования систем.

Построение концептуальных моделей систем и их формализация. Алго-ритмизация моделей систем и их машинная реализация. Получение и интерпре-тация результатов моделирования систем.

6. Статистическое моделирование систем на ЭВМ (2 часа). Общая характеристика метода статистического моделирования. Класси-

фикация способов получения последовательностей случайных чисел. Основные процедуры получения псевдослучайных чисел. Оценка качества последова-тельностей псевдослучайных чисел.

7. Планирование машинных экспериментов, обработка и анализ их результатов (2 часа).

Планирование машинных экспериментов с моделями систем. Обработка и анализ результатов моделирования систем. Особенности фиксации и стати-стической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ. Анализ и ин-терпретация результатов машинного моделирования.

8. Назначение и основные возможности программы схемотехническо-го моделирования Micro-Cap (2 часа).

Моделирования электронных устройств с использованием программ схе-мотехнического анализа. Назначение и особенности программы Micro-Cap. Ос-новные возможности программы Micro Cap 9.

9. Описание графического интерфейса программы Micro-Cap 9 (2 ча-са).

Рабочее окно программы. Краткое описание основных команд главного меню. Краткое описание панелей инструментов.

8

10. Форматы задания компонентов и использование переменных в вы-ражениях (2 часа).

Форматы задания номиналов компонентов в программе Micro-Cap 9. Ис-пользование переменных. Математические выражения и функции. Текстовые директивы. Использование шаблонов в выражениях

11. Модели основных аналоговых компонентов в Micro-Cap 9 (4 часа). Общие сведения о моделях компонентов. Диалоговое окно установки ат-

рибутов компонента и параметров модели. Модели пассивных компонентов. Модели активных компонентов. Модели источников сигнала. Модели

специальных компонентов и элементов анимации.

12. Ввод принципиальной схемы моделируемого устройства (2 часа). Создание нового файла схемы. Добавление компонентов в схему и прове-

дение соединительных проводников. Редактирование схемы. Ввод текстовых комментариев и построение графических объектов. Нанесение рамки чертежа. Получение информации о компонентах и их моделях. Работа с большими схе-мами

13. Основные виды анализа электронных схем (4 часа). Краткие теоретические сведения и особенности проведения анализа пере-

ходных процессов Transient Analysis. Краткие теоретические сведения и осо-бенности проведения анализа по переменному току на малом сигнале AC Analysis. Краткие теоретические сведения и особенности проведения анализа передаточных функций по постоянному току DC.

Динамический анализ режима по постоянному току Dynamic DC. Дина-мический анализ малосигнальных передаточных функций в частотной области Dynamic AC. Анализ чувствительностей на постоянном токе Sensitivity. Анализ малосигнальных передаточных функций на постоянном токе Transfer Function. Анализ нелинейных искажений Distortion. Вывод графиков в режиме Probe

14. Дополнительные возможности основных видов анализа (2 часа). Многовариантный анализ Stepping. Статистический анализ по методу

Monte Carlo. Параметрическая оптимизация. Спектральный анализ FFT Window. Использование функций Performance. Анимация. Трехмерные графи-ки.

9

1 ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

1 . 1 О с н о в н ы е п о н я т и я т е о р и и м о д е л и р о в а н и я с и с т е м

1.1.1 Понятие, назначение и цели моделирования Моделью объекта называется любой другой объект, отдельные свойства

которого полностью или частично совпадают со свойствами исходного. Модель заменяет исходный объект, сохраняя только некоторые, существенные свойства объекта. Какие свойства считать существенными, а какие — нет, определяется целями моделирования. С точки зрения существенных свойств реальный объект и его, модель не должны различаться в рамках заданной точности. Построение и использование модели вместо исходного объекта называется моделировани-ем.

Моделирование является основным методом исследований во всех облас-тях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей, реализуемых на современ-ных ЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента экспери-ментатора с моделью системы.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования.

Рассмотрим основные понятия теории моделирования систем. Система (греч. systema – соединенное, составленное из частей) – нечто

целое, представляющее собой единство закономерно расположенных и нахо-дящихся в определенной связи частей.

Объект (лат. objection – предмет) – явление, предмет, на который на-правлена какая-нибудь (например, человеческая) деятельность. В более широ-ком, философском, смысле объектом называется то, что существует вне нас и независимо от нашего сознания; явления внешнего мира, материальной дейст-вительности.

В научных исследованиях большую роль играют гипотезы (лат. hypothesis – основание, предположение) – определенные предсказания, основы-вающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента.

В широком смысле под экспериментом (лат. experоmentum – опыт, прак-тика) можно понимать некоторую процедуру организации и наблюдения каких-то явлений, которые осуществляют в условиях, близких к естественным, либо имитируют их. Различают пассивный эксперимент, когда исследователь на-блюдает протекающий процесс, и активный, когда наблюдатель вмешивается и организует протекание процесса. В последнее время распространен активный эксперимент, поскольку именно на его основе удается выявить критические си-

10

туации, получить наиболее интересные закономерности, обеспечить возмож-ность повторения эксперимента в различных точках и т. д.

При формулировании и проверке правильности гипотез большое значе-ние в качестве метода суждения имеет аналогия. Аналогией (греч. analogia – соответствие, соразмерность) называют суждение о каком-либо частном сход-стве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несу-щественным. Необходимо отметить, что понятия существенности и несущест-венности сходства или различия объектов условны и относительны. Сущест-венность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на прак-тике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследова-ния логическим схемам; такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняю-щие природу явлений, называются моделями.

Модель (лат. modulus – мера, образец) – это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называет-ся моделированием. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объек-те путем проведения экспериментов с его моделью.

Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (мо-делями) и исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Рассматривая гносеологическую роль теории моделирования, моделиро-вание можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объ-ектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.

Процесс моделирования предполагает наличие объекта исследования; ис-следователя, перед которым поставлена конкретная задача; модели, создавае-мой для получения информации об объекте и необходимой для решения по-ставленной задачи. Причем по отношению к модели исследователь является, по сути дела, экспериментатором, только в данном случае эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью. Такой эксперимент для инженера есть инструмент непосредственного решения организационно-технических за-дач.

Моделирование начинается с формирования предмета исследований – системы понятий, отражающей существенные для моделирования характери-стики объекта. Эта задача является достаточно сложной, что подтверждается

11

различной интерпретацией в научно-технической литературе таких фундамен-тальных понятий, как система, модель, моделирование. Подобная неоднознач-ность не говорит об ошибочности одних и правильности других терминов, а от-ражает зависимость предмета исследований (моделирования) как от рассматри-ваемого объекта, так и от целей исследователя.

Система S – целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы. Внешняя среда Е – множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздействием.

В зависимости от цели исследования могут рассматриваться разные соот-ношения между самим объектом S и внешней средой Е. Таким образом, в зави-симости от уровня, на котором находится наблюдатель, объект исследования может выделяться по-разному и могут иметь место различные взаимодействия этого объекта с внешней средой.

Проявление функций системы во времени S(t), т. е. функционирование системы, означает переход системы из одного состояния в другое, т. е. движе-ние в пространстве состояний Z.

С развитием системных исследований, с расширением эксперименталь-ных методов изучения реальных явлений все большее значение приобретают абстрактные методы, появляются новые научные дисциплины, автоматизиру-ются элементы умственного труда. Важное значение при создании реальных систем S имеют математические методы анализа и синтеза, целый ряд открытий базируется на чисто теоретических изысканиях. Однако было бы неправильно забывать о том, что основным критерием любой теории является практика, и даже сугубо математические, отвлеченные науки базируются в своей основе на фундаменте практических знаний. Эксперимент был и остается одним из ос-новных и существенных инструментов познания. Подобие и моделирование по-зволяют по-новому описать реальный процесс и упростить экспериментальное его изучение.

1.1.2 Системный подход к моделированию систем В настоящее время при анализе и синтезе сложных (больших) систем по-

лучил развитие системный подход, который отличается от классического (или индуктивного) подхода. Последний рассматривает систему путем перехода от частного к общему и синтезирует систему путем слияния ее компонент, разра-батываемых раздельно. В отличие от этого системный подход предполагает по-следовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель.

Классический подход к изучению взаимосвязей между отдельными час-тями модели предусматривает рассмотрение их как отражение связей между от-дельными подсистемами объекта. Такой подход может быть использован при соз-дании достаточно простых моделей. Процесс синтеза модели М на основе клас-сического (индуктивного) подхода представлен на рисунке 1.1.1.

12

Рисунок 1.1.1 – Классический подход к моделированию

Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдель-ные подсистемы, т. е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ста-вятся цели Ц, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По от-дельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования отдель-ной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некото-рая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в мо-дель М.

Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означа-

ет суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из ком-понент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классический подход может быть использован для реализации сравни-тельно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта.

Можно отметить две отличительные стороны классического подхода: на-блюдается движение от частного к общему, создаваемая модель (система) образу-ется путем суммирования отдельных ее компонент и не учитывается возникнове-ние нового системного эффекта.

С усложнением объектов моделирования возникла необходимость наблюде-ния их с более высокого уровня. В этом случае наблюдатель (разработчик) рас-сматривает данную систему S как некоторую подсистему какой-то метасистемы, т. е. системы более высокого ранга, и вынужден перейти на позиции нового систем-ного подхода, который позволит ему построить не только исследуемую систему, решающую совокупность задач, но и создавать систему, являющуюся составной частью метасистемы. Например, если ставится задача проектирования автоматизи-рованной системы управления (АСУ) каким-либо технологическим процессом на предприятии, то с позиции системного подхода нельзя забывать о том, что эта сис-тема является составной частью АСУ предприятия в целом.

Системный подход получил применение в системотехнике в связи с необхо-димостью исследования больших реальных систем, когда сказалась недостаточ-

13

ность, а иногда ошибочность принятия каких-либо частных решений. На возник-новение системного подхода повлияли увеличивающееся количество исходных данных при разработке; необходимость учета сложных связей в системе и воздей-ствий внешней среды. Все это заставило исследователей изучать сложный объект не изолированно, а во взаимодействии с внешней средой, а также в совокупности с другими системами некоторой метасистемы.

При системном подходе к моделированию систем необходимо прежде всего четко определить цель моделирования. Поскольку невозможно полно-стью смоделировать реально функционирующую систему-оригинал, создается система-модель под поставленную проблему. Таким образом, применительно к вопросам моделирования цель возникает из требуемых задач моделирования, что позволяет подойти к выбору критерия и оценить, какие элементы войдут в создаваемую модель М. Поэтому необходимо иметь критерий отбора отдель-ных элементов в создаваемую модель.

Системный подход означает, что каждая система S является интегриро-ванным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных разобщенных под-систем. Таким образом, в основе системного подхода лежит рассмотрение сис-темы как интегрированного целого, причем это рассмотрение при разработке начинается с главного – формулировки цели функционирования. Процесс син-теза модели М на базе системного подхода условно представлен на рисунке 1.1.2.

Рисунок 1.1.2 – Системный подход к моделированию

На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо ис-ходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования T к модели системы S. На базе этих тре-бований формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, элементы Э и

14

осуществляется наиболее сложный этап синтеза – выбор В составляющих сис-темы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.

Независимо от типа используемой модели М при ее построении необхо-димо руководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направ-лениям создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик;

3) правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе мо-делирования;

4) целостность отдельных обособленных стадий построения модели. Модель М должна отвечать заданной цели ее создания, поэтому отдель-

ные части должны компоноваться взаимно, исходя из единой системной задачи. Цель может быть сформулирована качественно, тогда она будет обладать большей содержательностью и длительное время может отображать объектив-ные возможности данной системы моделирования. При количественной фор-мулировке цели возникает целевая функция, которая точно отображает наибо-лее существенные факторы, влияющие на достижение цели.

Построение модели относится к числу системных задач, при решении ко-торых синтезируют решения на базе огромного числа исходных данных, на ос-нове предложений больших коллективов специалистов. Использование систем-ного подхода в этих условиях позволяет не только построить модель реального объекта, но и на базе этой модели выбрать необходимое количество управляю-щей информации в реальной системе, оценить показатели ее функционирова-ния и тем самым на базе моделирования найти наиболее эффективный вариант построения и выгодный режим функционирования реальной системы S.

На базе системного подхода может быть предложена и некоторая после-довательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии про-ектирования: макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования на основе данных о реальной системе S и внешней среде Е строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ог-раничения для построения модели системы, выбирается модель системы и кри-терии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от кон-кретного типа выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и про-граммного обеспечений системы моделирования. На этой стадии можно уста-новить основные характеристики созданной модели, оценить время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества соответствия модели процессу функционирования системы S.

15

1 . 2 К л а с с и ф и к а ц и я в и д о в м о д е л и р о в а н и я и п р о г р а м м н ы х с р е д с т в м о д е л и р о в а н и я

1.2.1 Проблемы построения систем моделирования Одним из наиболее важных аспектов построения систем моделирования

является проблема цели. Любую модель строят в зависимости от цели, которую ставит перед ней исследователь, поэтому одна из основных проблем при моде-лировании – это проблема целевого назначения. Подобие процесса, протекаю-щего в модели М, реальному процессу является не целью, а условием правиль-ного функционирования модели, и поэтому в качестве цели должна быть по-ставлена задача изучения какой-либо стороны функционирования объекта.

Если цель моделирования ясна, то возникает следующая проблема, а именно проблема построения модели М. Построение модели оказывается воз-можным, если имеется информация или выдвинуты гипотезы относительно структуры, алгоритмов и параметров исследуемого объекта.

Если модель М построена, то следующей проблемой можно считать про-блему работы с ней, т. е. реализацию модели, основные задачи которой – ми-нимизация времени получения конечных результатов и обеспечение их досто-верности.

Для правильно построенной модели М характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рас-сматривает свойства системы S, не существенные для данного исследования. Следует отметить, что оригинал и модель должны быть одновременно сходны по одним признакам и различны по другим, что позволяет выделить наиболее важные изучаемые свойства. В этом смысле модель выступает как некоторый «заместитель» оригинала, обеспечивающий фиксацию и изучение лишь неко-торых свойств реального объекта.

Таким образом, характеризуя проблему моделирования в целом, необхо-димо учитывать, что от постановки задачи моделирования до интерпретации полученных результатов существует большая группа сложных научно-технических проблем. В зависимости от объекта моделирования и вида исполь-зуемой модели эти проблемы могут иметь разную значимость.

Средства вычислительной техники, которые в настоящее время широко используются либо для вычислений при аналитическом моделировании, либо для реализации имитационной модели системы, могут лишь помочь с точки зрения эффективности реализации сложной модели, но не позволяют подтвер-дить правильность той или иной модели. Только на основе обработанных дан-ных, опыта исследователя можно с достоверностью оценить адекватность мо-дели по отношению к реальному процессу.

1.2.2 Классификация видов моделирования систем В качестве одного из первых признаков классификации видов моделиро-

вания можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответст-вии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного

16

моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

Классификация видов моделирования систем S приведена на рисунке 1.2.1.

Моделирование систем

Детерминированное Стохастическое

Статическое Динамическое

Дискретное НепрерывноеДискретно-непрерывное

Мысленное (идеальное)

Реальное (материальное)

Символическое Математическое Натурное ФизическоеНаглядное

Гипотетическое

Аналоговое

Языковое

Знаковое

Аналитическое

Ком

бинированное

Ими

тационное

Научный

эксперим

ент

Комплексные

испы

тания

Производственны

й эксперим

ент

В реальном

масш

табе

времени

В нереальном

масш

табе

времени

Рисунок 1.2.1 – Классификация видов моделирования

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случай-ных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реа-лизаций.

17

Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведе-ние объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование по-зволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно вы-делить мысленное (идеальное) и реальное (материальное) моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом мо-делирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физиче-ского создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть про-анализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физиче-скому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в ви-де наглядного, символического и математического.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реаль-ных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирова-ния исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях про-текания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний иссле-дователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование исполь-зуется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных мо-делей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий раз-личных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая ме-сто только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта исполь-зуют аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает не-сколько либо только одну сторону функционирования объекта. Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реаль-ном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построе-ния мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте.

Другим видом мысленного моделирования является символическое мо-делирование, которое представляет собой искусственный процесс создания ло-гического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы символов. Если ввести ус-ловное обозначение отдельных понятий, т. е. знаки, а также определенные опе-рации между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий – составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и допол-

18

нения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта. В основе языкового моделирования лежит некоторый тезау-рус – словарь, который очищен от неоднозначности, т. е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий.

К мысленному моделированию относится и математическое моделиро-вание. Под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позво-ляющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой за-дачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Матема-тическое моделирование для исследования характеристик процесса функцио-нирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комби-нированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функ-ционирования элементов системы записываются в виде некоторых функцио-нальных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся полу-чить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) числен-ным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить чи-словые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (на-пример, оценить устойчивость решения). Наиболее полное исследование про-цесса функционирования системы можно провести, если известны явные зави-симости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, па-раметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается полу-чить только для сравнительно простых систем.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм вос-производит процесс функционирования системы S во времени, причем имити-руются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логи-ческой структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определен-ные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитаци-онные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как на-личие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики эле-ментов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время ими-тационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования боль-

19

ших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анали-зе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и ими-тационного моделирования. При построении комбинированных моделей про-водится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используют-ся аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитацион-ные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под анало-говой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связы-вающими непрерывные величины. Под цифровой понимают модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представлен-ные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая мо-жет быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные ве-личины.

Кроме мысленного моделирования выделяют также реальное моделиро-вание. При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его час-ти. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нор-мальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях перемен-ных и параметров, в другом масштабе времени и т. д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особен-ностей реальных объектов ограничены. Реальное моделирование подразделяет-ся на натурное и физическое моделирования.

Натурным моделированием называют проведение исследования на ре-альном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на осно-ве теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с постав-ленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Отличие эксперимента от реального протекания процесса заключается в том, что в нем могут появиться отдельные критические ситуации и определяться границы устойчивости процесса. Одна из разновидностей эксперимента – ком-плексные испытания, когда вследствие повторения испытаний изделий выяв-ляются общие закономерности о надежности этих изделий, о характеристиках качества и т. д. Наряду со специально организованными испытаниями возмож-на реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленно-го в ходе производственного процесса, т. е. можно говорить о производствен-ном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистиче-ский материал по производственному процессу и получают его обобщенные

20

характеристики. С развитием техники и проникновением в глубь процессов, протекающих в реальных системах, возрастает техническая оснащенность со-временного научного эксперимента. Он характеризуется широким использо-ванием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообраз-ных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента

Другим видом реального моделирования является физическое, отличаю-щееся от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе фи-зического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при задан-ных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени, а также может рассматриваться без учета времени.

1.2.3 Программные средства математического моделирования На заре компьютерного моделирования все моделирующие программы

были уникальными и писались непосредственно на существовавших в то время языках программирования (Алголе или Фортране). В качестве спецификации будущей программы выступала запись на математическом языке. Эффектив-ность полученного кода повышалась за счет использования языка Ассемблера. Этот способ создания моделирующих программ может быть использован и сей-час, но в те годы он был единственно возможным.

Для создания даже простой моделирующей программы непосредственно на выбранном процедурном языке требуется много времени. Перевод матема-тического описания в программный код, если они выполняются программи-стом, являются неиссякаемым источником ошибок. В то же время, как и всякая ручная работа, выполненная профессионалом, созданная "руками" моделирую-щая программа может оказаться очень эффективной. Если она многократно ис-пользуется с незначительными модификациями для длительных расчетов при большом количестве параметров, то выигрыш в производительности часто пе-рекрывает все трудности ее создания.

Для создания систематизированных коллекций для численных расчетов использовался и используется язык Фортран. Фортран обладает возможностью оптимизировать программу на различных уровнях, в частности на аппаратном. Систематизированные коллекции уникальны, создаются годами, тщательно тестируются. Их применение и особенно модификация требуют специальных знаний как в области численных методов, так и в программировании.

Для сложных моделей, а также для моделей исследовательского типа, ко-гда исходные математические модели еще очень "сырые", стали использоваться системы автоматизации моделирования (их часто называют просто системами моделирования или пакетами моделирования). Не случайно первые инструмен-ты автоматизации моделирования возникли для создания моделей систем мас-

21

сового обслуживания, т. е. моделей с переменной структурой и параллельными процессами.

Система автоматизации моделирования позволяет автоматически строить моделирующую программу по математической модели системы и автоматиче-ски преобразовывать результаты вычислительных экспериментов на уровень абстракции математической модели. Таким образом, из цикла разработки моде-ли исключаются трудозатраты на "ручное" программирование, а также ошибки программирования. Использование систем автоматизации моделирования по-зволяет на порядок повысить производительность труда при создании моделей, увеличить их надежность и резко расширить область применения компьютер-ного моделирования.

При использовании системы автоматизации моделирования разработчик формулирует математическую модель исследуемой системы на формальном входном языке моделирования (рисунок 1.2.2).

Рисунок 1.2.2 – Преобразование данных в системе автоматизации

моделирования

Современные пакеты моделирования, как правило, включают специаль-ные визуальные редакторы, позволяющие вводить описание моделируемой сис-темы в форме, максимально удобной для восприятия человеком. Математиче-ские выражения пишутся с использованием многоэтажных дробей, символов интегралов, сумм и производных. Структура и поведение изображаются в виде структурных схем и графов переходов. Эти графические описания автоматиче-ски преобразуются в программу модели, которая вместе с исполняющей систе-мой пакета моделирования и составляет моделирующую программу.

"Программа модели" может быть либо действительно совокупностью программных модулей на некотором промежуточном языке программирования, которые после связывания с модулями исполняющей системы пакета модели-рования образуют независимую выполняемую программу (такой пакет называ-

22

ется компилирующим), либо специальным внутренним представлением описа-ния модели, которое воспринимается и интерпретируется исполняющей систе-мой пакета (такой пакет называется интерпретирующим).

Постепенно графические описания унифицировались, систематизирова-лись операции, и стали возникать языки моделирования. Необходимость ис-пользования специальных языков моделирования обусловлена несколькими причинами. Во-первых, традиционный математический язык все же ориентиро-ван на человека как интерпретатора и опускает огромное множество "мелочей", совершенно необходимых для полного и однозначного определения описания модели, понятного транслятору пакета моделирования. Во-вторых, для удобст-ва пользователей язык моделирования часто включает в себя семантику опре-деленной области применения (например, языки моделирования систем массо-вого, обслуживания, такие как GPSS, включают такие специальные конструк-ции, как ресурс, очередь, транзакция и т. п.).

На рисунке 1.2.3 представлена схема классификации пакетов моделиро-вания.

Пакеты моделирования

Специализированные пакеты Универсальные пакеты

Математические пакетыПакеты компонентного моделирования

Рисунок 1.2.3 – Классификация пакетов моделирования

Специализированные пакеты используют специфические понятия кон-кретной прикладной области (радиоэлектроники, электротехники, химической технологии, теплотехники и т. д.), решают подчас недоступные пользователю конкретные системы уравнений, таким образом, имеют узкую область приме-нения. Область применения универсальных пакетов шире, т. к. они ориентиро-ваны на определенный класс математических моделей и применимы для любой прикладной области, в которой эти модели используются.

Специализированные пакеты очень трудно использовать для моделиро-вания и исследования сложных систем с компонентами различной физической природы, т. к. каждую компоненту приходится изучать автономно с помощью различных пакетов. Поэтому даже при моделировании отдельных подсистем предпочтительно использовать "универсальные" пакеты. "Универсальные" па-кеты обычно разделяют на математические пакеты и пакеты компонент-ного моделирования.

В математических пакетах (Maple, Mathematica, MATLAB, Mathcad) предполагается, что математическая модель всей моделируемой системы уже

23

построена и ее требуется только исследовать. Такой подход характерен в ос-новном для научных исследований, когда необходимо, прежде всего, убедиться в наличии требуемых свойств у новой модели. Математические пакеты позво-ляют проводить символьные преобразования модели, находить, если это воз-можно, решения уравнений в замкнутой форме, а случае неудачи — решать уравнения численно.

Компонентное моделирование предполагает, что описание моделируемой системы строится из компонентов (в т. ч. и готовых библиотечных), а совокуп-ная математическая модель формируется пакетом автоматически. Размерность и сложность совокупной системы уравнений таковы, что их решение приходит-ся искать численно. Символьные вычисления если и проводятся, то лишь при решении отдельных вспомогательных задач. Компонентное моделирование — это основной способ проектирования технических объектов.

1 . 3 Т и п о в ы е м а т е м а т и ч е с к и е с х е м ы м о д е л и р о в а н и я с и с т е м

1.3.1 Понятие математической схемы моделирования Для исследования характеристик процесса функционирования любой

системы математическими методами, включая и машинные, должна быть про-ведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель.

Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделирова-нии возникают именно при переходе от содержательного к формальному опи-санию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, которые требуется моделировать (заказчиков), и специалистов в области ма-шинного моделирования (исполнителей).

Исходной информацией при построении математических моделей про-цессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях ра-боты исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет ос-новную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требова-ния к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстраги-рования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хо-чет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы. Введение понятия «математическая схема» позволя-ет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при перехо-де от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой исследователя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности ото-бражения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный во-прос исследования.

24

Математическую схему можно определить как звено при переходе от со-держательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) ими-тационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под ко-торыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимо-действии с внешней средой (системой) Е. При построении математической мо-дели системы необходимо решить вопрос об ее полноте, выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств систе-мы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирова-ния системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик про-цесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

При построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:

- непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные урав-нения);

- дискретно-детерминированный (конечные автоматы); - дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); - непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); - обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

1.3.2 Формальная модель объекта Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в ви-

де множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

, 1,i Xx X i n∈ = ;

совокупность выходных характеристик системы

, 1,j Yy Y j n∈ = .

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

, 1,k Hh H k n∈ = ;

совокупность воздействий внешней среды

, 1,l Vv V l n∈ = ;

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае ix , jy , kh , lv являются элемен-

25

тами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, внутренние пара-метры системы и воздействия внешней среды Е являются независимыми (экзо-генными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид

1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( )),Xnx t x t x t x t=

1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( )),Hnh t h t h t h t=

1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( )),Vnv t v t v t v t=

а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) пе-ременными и в векторной форме имеют вид

1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( )),Yny t y t y t y t=

Процесс функционирования системы S описывается во времени операто-ром Fs, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндо-генные в соответствии с соотношениями вида

( ) ( ( ), ( ), ( ), )y t x t h t v t t= Fs . (1.3.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от време-ни jy для всех видов 1, Yj n= называется выходной траекторией ( )y t . Зависи-мость (1.3.1) называется законом функционирования системы S и обозначается Fs. В общем случае закон функционирования системы Fs может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и таблич-ной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S является поня-тие алгоритма функционирования As, под которым понимается метод получе-ния выходных характеристик с учетом входных воздействий ( )x t , воздействий внешней среды ( )v t и собственных параметров системы ( )h t . Очевидно, что один и тот же закон функционирования Fs системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования As.

Соотношение (1.2.1) может быть задано различными способами: анали-тически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характери-зуется вектором

1 2( , , ..., ), 1,m Zz z z z m n′ ′ ′ ′= = ,

где 1 1 2 2( ), ( ), ..., ( )m mz z t z z t z z t′ ′ ′ ′ ′ ′= = = в некоторый момент времени 0( , )t t T′∈ на интервале моделирования (0, Т).

26

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последо-вательную смену состояний, то они могут быть интерпретированы как коорди-наты точки в многомерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний { }z называется пространством состояний объекта моделирования Z.

Состояния системы S в момент времени *0t t T< ≤ полностью определя-

ются начальными условиями 0

0( )z z t= входными воздействиями ( )x t , внутрен-ними параметрами ( )h t и воздействиями внешней среды ( )v t , которые имели место за промежуток времени *

0...t t , с помощью двух векторных уравнений

0

( ) ( , , , , )z t z x h v t=Ф (1.3.2) ( ) ( , )y t z t= F (1.3.3)

Первое уравнение по начальному состоянию 0

z и экзогенным перемен-ным ( )x t , ( )v t , ( )h t определяет вектор-функцию ( )z t , а второе – по полученно-му значению состояний ( )z t – эндогенные переменные на выходе системы ( )y t . Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позво-ляет определить выходные характеристики системы

0

( ) ( , , , , )y t z x h v t⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦F Ф (1.3.4)

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной систе-мы) понимают конечное подмножество переменных { ( )x t , ( )v t , ( )h t } вместе с математическими связями между ними и выходными характеристиками ( )y t .

Если математическое описание объекта моделирования не содержит эле-ментов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды ( )v t и стохастические внутренние параметры ( )h t отсутствуют, то модель называется детерминиро-ванной в том смысле, что выходные характеристики системы однозначно опре-деляются детерминированными входными воздействиями:

( ) ( , )y t f x t= . (1.3.5)

Приведенные математические соотношения (1.3.1)-(1.3.5) позволяют опи-сать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать ти-повые математические схемы. Не обладая такой степенью общности, как рас-смотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества про-стоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей примене-ния.

27

1.3.3 Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы)

Непрерывно-детерминированные модели отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic).

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциаль-ных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравне-ния, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких перемен-ных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные раз-личных порядков. Если неизвестные – функции многих переменных, то уравне-ния называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения на-зываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Обычно в таких математических моделях в качестве независимой пере-менной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. То-гда математическое соотношение для детерминированных систем (1.3.5) в об-щем виде будет

( ) ( , )y t f y t′ = ; 0 0( )y t y= , (1.3.6)

где ( )y t d y dt′ = , 1 2( , , ..., )ny y y y= и 1 2( , , ..., )nf f f f= – n-мерные векторы; ( , )f y t – вектор-функция, которая определена на некотором (n+1)-мерном

( , )y t множестве и является непрерывной. В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет

вид ( , )y f y t′ = . (1.3.7)

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве ма-тематического аппарата в теории автоматического управления. Описывая про-цессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рисунке 1.3.6, где обозначены эндогенные пере-менные: ( )x t – вектор входных (задающих) воздействий; ( )v t – вектор возму-щающих воздействий; ( )h t′ – вектор сигналов ошибки; ( )h t′′ – вектор управ-ляющих воздействий; экзогенные переменные: ( )z t – вектор состояний систе-мы S; ( )y t – вектор выходных переменных, обычно ( ) ( )y t z t= .

28

( )h t′ ( )h t′′( )x t ( )z t ( )y t

( )v t

Рисунок 1.3.1 – Структура многомерной системы автоматического управления

общего вида

Современная управляющая система – это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления опре-деленной цели. Насколько точно объект управления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния ( )y t . Разность между заданным ( )задy t и действительным ( )y t законами изменения управляе-мой величины есть ошибка управления ( ) ( ) ( )задh t y t y t′ = − . Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения вход-ного (задающего) воздействия, т. е. ( ) ( )задx t y t= , то ( ) ( ) ( )h t x t y t′ = − .

Ошибка ( )h t′ – необходимый субстрат автоматического управления, ос-нованного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выходной переменной ( )y t ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной ( )y t согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). При проектировании и экс-плуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие па-раметры системы S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляют практический интерес поведе-ние системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной

( )y t в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сде-лать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих про-цессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его ко-эффициентов полностью определяются статическими и динамическими пара-метрами системы S.

1.3.4 Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) Особенности дискретно-детерминированного подхода на этапе формали-

зации процесса функционирования систем рассмотрим на примере использова-ния в качестве математического аппарата теории автоматов. На основе этой

29

теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискрет-ную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Автомат можно представить как некоторое устройство (чер-ный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и ко-торое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конеч-ными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством X входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множест-вом Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состоя-ний); начальным состоянием 0 0, z z Z∈ ; функцией переходов ( , )z xϕ ; функцией выходов ( , )z xψ . Автомат, задаваемый F-схемой

0, , , , ,F Z X Y zϕ ψ= (1.3.8)

функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходно-го сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-му такту при t = 0, 1, 2, ..., через ( )z t ,

( )x t , ( )y t . При этом, по условию, 0(0)z z= , а ( )z t Z∈ , ( )x t X∈ , ( )y t Y∈ . Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной

каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, ... дискретного времени F-автомат нахо-дится в определенном состоянии ( )z t из множества Z состояний автомата, при-чем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном со-стоянии 0(0)z z= . В момент t, будучи в состоянии ( )z t , автомат способен вос-принять на входном канале сигнал ( )x t X∈ и выдать на выходном канале сиг-нал ( ) [ ( ), ( )]y t z t x tψ= , переходя в состояние ( 1) [ ( ), ( )]z t z t x tϕ+ = , ( )z t Z∈ ,

( )y t Y∈ . Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей

схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии ( )z t , по-дается некоторый сигнал ( )x t , на который он реагирует переходом в (t+1)-м такте в новое состояние ( 1)z t + и выдачей некоторого выходного сигнала. Ска-занное выше можно описать для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили, следующими уравнениями: ( 1) [ ( ), ( )], 0, 1, 2, ... ;z t z t x t tϕ+ = = (1.3.9) ( ) [ ( ), ( )], 0, 1, 2, ... ;y t z t x t tψ= = (1.3.10)

30

Таким образом, уравнения (1.3.9)-(1.3.10), полностью задающие F-автомат, являются частным случаем уравнений (1.3.2) и (1.3.3), когда система S детерминированная и на ее единственный вход поступает дискретный сигнал X.

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без па-мяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния (то есть состояние автомата в определенный момент времени зависит от состояний автомата в предыдущие моменты времени), а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (1.3.10), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в со-ответствие каждому входному сигналу ( )x t определенный выходной сигнал

( )y t , т. е. реализует логическую функцию вида

( ) [ ( )], 0, 1, 2, ... ;y t x t tψ= = (1.3.11)

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигна-ла с учетом «считанного» входного сигнала происходит переход в новое со-стояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величи-ны х, он может несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не мо-жет быть изменено данным входным сигналом.

Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества 0, , , , ,F Z X Y zϕ ψ= , т. е. входной, внутренний и выходной алфави-ты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние 0(0)z z= , в котором автомат находился в мо-мент времени t = 0. Существует несколько способов задания работы F-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матрич-ный.

Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным со-стояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Часто более удобной формой является матрич-ное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть

31

квадратная матрица, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояниям перехода.

Таким образом, понятие F-автомата в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функциониро-вания реальных объектов в автоматизированных системах обработки информа-ции и управления. В качестве таких объектов в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, сис-темы временной и пространственной коммутации в технике обмена информа-цией и т. д. Для всех перечисленных объектов характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени, т. е. их описание с помо-щью F-схем является эффективным.

1.3.5 Дискретно-стохастические модели (Р-схемы) Рассмотрим особенности построения математических схем при дискрет-

но-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования ис-следуемой системы S. Так как сущность дискретизации времени при этом под-ходе остается аналогичной рассмотренным конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастическиих) автоматах.

В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от со-стояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное зна-чение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляю-щих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алго-ритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразно-сти их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному кри-терию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным огра-ничениям.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введен-ные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары ( , )i sx z , где ix и sz – элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функ-ции ϕ и ψ , то с их помощью осуществляются отображения G Z→ и G Y→ , то говорят, что , , , ,F Z X Y ϕ ψ= определяет автомат детерминированного ти-па.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида ( , )k jz y , где jy – элемент выходного под-множества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

32

1 1 1 2 1

11 12 ( 1)

Элементы из Ф ... ( , )... ( , )... ... ( , ) ( , )( , ) ... ...

K J K J

i k K J KJ

z y z y z y z yx z b b b b

−

−

При этом

1 1

1K J

kjk j

b= =

=∑∑ ,

где kjb – вероятности перехода автомата в состояние kz и появления на выходе сигнала jy , если он был в состоянии sz и на его вход в этот момент времени поступил сигнал ix . Число таких распределений, представленных в виде таб-лиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов

, , ,P Z X Y B=

называется вероятностным автоматом (Р-автоматом). Частным случаем Р-автомата являются автоматы, у которых либо пере-

ход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированно. Если выходной сигнал Р-автомата определяется детерминированно, то такой автомат называется Y-детерминированным вероятностным автоматом. Анало-гично, Z-детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Для оценки различных характеристик исследуемых систем, представляе-мых в виде Р-схем, наряду с аналитическими моделями можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического мо-делирования.

1.3.6 Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы) Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на при-

мере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (англ. queueing system), которые будем называть Q-схемами.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изде-лий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объек-тов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и за-вершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

33

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основ-ные составляющие: ожидание обслуживания заявки и собственно обслужива-ние заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслужива-ния iП (рисунок 1.3.2), состоящего из накопителя заявок iН , в котором может

одновременно находиться 1, Hi il L= заявок, где H

iL – емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) iК . На каждый элемент при-бора обслуживания iП поступают потоки событий: в накопитель iН – поток заявок iw , на канал iК – поток обслуживании iu .

iНiПiu

iw iy iК

Рисунок 1.3.2 – Схема прибора обслуживания

Потоком событий называется последовательность событий, происходя-щих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступле-ния этих событий (вызывающими моментами). Поток неоднородных событий характеризуется моментами поступления этих событий и набором признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднород-ного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному ис-точнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Обычно в приложениях при моделировании различных систем примени-тельно к элементарному каналу обслуживания iК , можно считать, что поток заявок iw W∈ , т. е. интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе iК образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания iu U∈ , т. е. интервалы времени между на-чалом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляе-мых переменных. Заявки, обслуженные каналом iК и заявки, покинувшие при-бор iП по различным причинам необслуженными (например, из-за переполне-ния накопителя iН , образуют выходной поток iy Y∈ , т. е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных перемен-ных.

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элемен-тарных приборов обслуживания (сети массового обслуживания). Для задания

34

Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаи-мосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы ее функцио-нирования, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в различных неоднозначных ситуациях. В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопи-теле iН и обслуживания заявок каналом iК . Неоднородность заявок, отражаю-щая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введе-ния классов приоритетов. В зависимости от динамики приоритетов в Q-схемах различают статические и динамические приоритеты. Статические приори-теты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т. е. они явля-ются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя iН на обслуживание каналом iК можно выделить относительные и абсолютные при-оритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель iН , ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом iК и только после этого занимает канал. Аб-солютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, по-ступившая в накопитель iН , прерывает обслуживание каналом iК заявки с бо-лее низким приоритетом и сама занимает канал (при этом вытесненная из iК за-явка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в iН ).

При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслужива-ния iП необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают

iН и iК . Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме можно

представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А. Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функционирования сис-

темы массового обслуживания любой сложности, однозначно задается в виде

, , , , ,Q W U H Z R A= .

Возможности оценки характеристик с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, формализуемых в виде Q-схем. Несравненно большими возможностями обла-дают имитационные модели, позволяющие исследовать Q-схему без ограниче-ний. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентированы многие языки имитационного моделирования, например SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.

35

1.3.7 Сетевые модели (N-схемы) В практике моделирования объектов часто приходится решать задачи,

связанные с формализованным описанием и анализом причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколь-ко процессов. Самым распространенным в настоящее время формализмом, опи-сывающим структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов, яв-ляются сети Петри (англ. Petri Nets), предложенные К. Петри.

Формально сеть Петри (N-схема) задается четверкой вида

, , ,N B D I O= ,

где В – конечное множество символов, называемых позициями; D – конечное множество символов, называемых переходами; I – входная функция (прямая функция инцидентности); О – выходная функция (обратная функция инцидент-ности).

Графически N-схема изображается в виде двудольного ориентированного мультиграфа, представляющего собой совокупность позиций и переходов. Ори-ентировочные дуги соединяют позиции и переходы, причем каждая дуга на-правлена от элемента одного множества (позиции или перехода) к элементу другого множества (переходу или позиции).

Важной особенностью моделей процесса функционирования систем с ис-пользованием типовых N-схем является простота построения иерархических конструкций модели. С одной стороны, каждая N-схема может рассматриваться как макропереход или макропозиция модели более высокого уровня. С другой стороны, переход, или позиция N-схемы, может детализироваться в форме от-дельной подсети для более углубленного исследования процессов в модели-руемой системе S. Отсюда вытекает возможность эффективного использования N-схем для моделирования параллельных и конкурирующих процессов в раз-личных системах.

1.3.8 Комбинированные модели (А-схемы) Наиболее известным общим подходом к формальному описанию процес-

сов функционирования систем является подход, предложенный Н. П. Бусленко. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, де-терминированных и стохастических систем, т. е. по сравнению с рассмотрен-ными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии агрега-тивной системы (от англ. aggregate system), представляющей собой формаль-ную схему общего вида, которую будем называть А-схемой.

При агрегативном подходе сначала дается формальное определение объ-екта моделирования – агрегативной системы, которая является математической схемой, отображающей системный характер изучаемых объектов. При агрега-тивном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодейст-вие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс их разбиения продолжается до тех пор,

36

пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В результате такой декомпозиции сложная система представляется в виде много-уровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в под-системы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегата-ми (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляется с помощью опе-ратора сопряжения R. Очевидно, что агрегат сам может рассматриваться как А-схема, т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Использование обобщенной типовой математической схемы моделирова-ния, т. е. А-схемы, в принципе не отличается от рассмотренных D-, F-, Р-, Q-, N-схем. Для частного случая, а именно для кусочно-линейных агрегатов, резуль-таты могут быть получены аналитическим методом. В более сложных случаях, когда применение аналитических методов неэффективно или невозможно, при-бегают к имитационному методу, причем представление объекта моделирова-ния в виде А-схемы может являться тем фундаментом, на котором базируется построение имитационной системы и ее внешнего и внутреннего математиче-ского обеспечения.

1 . 4 Ф о р м а л и з а ц и я и а л г о р и т м и з а ц и я п р о ц е с с о в ф у н к ц и о н и р о в а н и я с и с т е м

1.4.1 Методика разработки и машинной реализации моделей систем Несмотря на многообразие классов моделируемых систем и наличие ши-

роких возможностей реализации машинных моделей на современных ЭВМ, можно выделить основные закономерности перехода от построения концепту-альной модели объекта моделирования до проведения машинного эксперимента с моделью системы.

Сущность машинного моделирования системы состоит в проведении на вычислительной машине эксперимента с моделью, которая представляет собой некоторый программный комплекс, описывающий формально и (или) алгорит-мически поведение элементов системы S в процессе ее функционирования, т. е. в их взаимодействии друг с другом и внешней средой Е. Машинное моделиро-вание с успехом применяют в тех случаях, когда трудно четко сформулировать критерий оценки качества функционирования системы и цель ее не поддается полной формализации, поскольку позволяет сочетать программно-технические возможности ЭВМ со способностями человека мыслить неформальными кате-гориями.

Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели М про-цесса функционирования системы S:

1. Полнота модели должна предоставлять пользователю возможность по-лучения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точ-ностью и достоверностью.

37

2. Гибкость модели должна давать возможность воспроизведения различ-ных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов и параметров системы.

3. Длительность разработки и реализации модели большой системы должна быть по возможности минимальной при учете ограничений на имею-щиеся ресурсы.

4. Структура модели должна быть блочной, т. е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей моде-ли.

5. Информационное обеспечение должно предоставлять возможность эф-фективной работы модели с базой данных систем определенного класса.

6. Программные и технические средства должны обеспечивать эффектив-ную (по быстродействию и памяти) машинную реализацию модели и удобное общение с ней пользователя.

7. Должно быть реализовано проведение целенаправленных (планируе-мых) машинных экспериментов с моделью системы с использованием аналити-ко-имитационного подхода при наличии ограниченных вычислительных ресур-сов.

Моделирование систем с помощью ЭВМ можно использовать в следую-щих случаях:

а) для исследования системы S до того, как она спроектирована, с целью определения чувствительности характеристики к изменениям структуры, алго-ритмов и параметров объекта моделирования и внешней среды;

б) на этапе проектирования системы S для анализа и синтеза различных вариантов системы и выбора среди конкурирующих такого варианта, который удовлетворял бы заданному критерию оценки эффективности системы при принятых ограничениях;

в) после завершения проектирования и внедрения системы, т. е. при ее эксплуатации, для получения информации, дополняющей результаты натурных испытаний (эксплуатации) реальной системы, и для получения прогнозов эво-люции (развития) системы во времени.

1.4.2 Этапы моделирования систем Рассмотрим основные этапы моделирования системы S, к числу которых

относятся: 1. Построение концептуальной модели системы и ее формализация; 2. Алгоритмизация модели системы и ее машинная реализация; 3. Получение и интерпретация результатов моделирования системы. На этапе построения концептуальной модели и ее формализации прово-

дится исследование моделируемого объекта с точки зрения выделения основ-ных составляющих процесса его функционирования, определяются необходи-мые аппроксимации и получается обобщенная схема модели системы S, кото-рая преобразуется в машинную модель на втором этапе моделирования путем последовательной алгоритмизации и программирования модели. Последний третий этап моделирования системы сводится к проведению согласно получен-

38

ному плану рабочих расчетов на ЭВМ с использованием выбранных программ-но-технических средств, получению и интерпретации результатов моделирова-ния системы S с учетом воздействия внешней среды Е. Очевидно, что при по-строении модели и ее машинной реализации при получении новой информации возможен пересмотр ранее принятых решений, т. е. процесс моделирования яв-ляется итерационным.

Взаимосвязь перечисленных этапов моделирования систем и их состав-ляющих (подэтапов) может быть представлена в виде сетевого графика, пока-занного на рисунке 1.4.1.

Рисунок 1.4.1 – Этапы и подэтапы моделирования систем

Перечислим эти подэтапы: 1.1–постановка задачи машинного моделирования системы; 1.2 – анализ задачи моделирования системы; 1.3 – определение требований к исходной информации об объекте моде-

лирования и организация ее сбора; 1.4 – выдвижение гипотез и принятие предположений; 1.5 – определение параметров и переменных модели; 1.6 – установление основного содержания модели; 1.7–обоснование критериев оценки эффективности системы; 1.8 – определение процедур аппроксимации; 1.9 – описание концептуальной модели системы; 1.10 – проверка достоверности концептуальной модели; 1.11 – составление технической документации по первому этапу; 2.1 – построение логической схемы модели; 2.2 – получение математических соотношений; 2.3 – проверка достоверности модели системы; 2.4 – выбор инструментальных средств для моделирования; 2.5 – составление плана выполнения работ по программированию; 2.6 – спецификация и построение схемы программы; 2.7 – верификация и проверка достоверности схемы программы;

39

2.8 – проведение программирования модели; 2.9 – проверка достоверности программы; 2.10 – составление технической документации по второму этапу; 3.1 – планирование машинного эксперимента с моделью системы; 3.2 – определение требований к вычислительным средствам; 3.3 – проведение рабочих расчетов; 3.4 – анализ результатов моделирования системы; 3.5 – представление результатов моделирования; 3.6 – интерпретация результатов моделирования; 3.7 – подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций; 3.8 – составление технической документации по третьему этапу. Таким образом, процесс моделирования системы S сводится к выполне-

нию перечисленных подэтапов, сгруппированных в виде трех этапов. Рассмотрим содержание каждого из этапов более подробно.

1.4.3 Построение концептуальных моделей систем и их формализация На первом этапе машинного моделирования – построения концептуаль-

ной модели МК системы S и ее формализации – формулируется модель и стро-ится ее формальная схема, т. е. основным назначением этого этапа является пе-реход от содержательного описания объекта к его математической модели, дру-гими словами, процесс формализации. Моделирование систем на ЭВМ в на-стоящее время – наиболее универсальный и эффективный метод оценки харак-теристик больших систем. Наиболее ответственными и наименее формализо-ванными моментами в этой работе являются проведение границы между систе-мой S и внешней средой Е, упрощение описания системы и построение сначала концептуальной, а затем формальной модели системы. Модель должна быть адекватной, иначе невозможно получить положительные результаты моделиро-вания, т. е. исследование процесса функционирования системы на неадекватной модели вообще теряет смысл. Под адекватной моделью будем понимать мо-дель, которая с определенной степенью приближения на уровне понимания мо-делируемой системы S разработчиком модели отражает процесс ее функциони-рования во внешней среде Е.

Наиболее рационально строить модель функционирования системы по блочному принципу. При этом могут быть выделены три автономные группы блоков такой модели. Блоки первой группы представляют собой имитатор воз-действий внешней среды Е на систему S; блоки второй группы являются собст-венно моделью процесса функционирования исследуемой системы S; блоки третьей группы – вспомогательными и служат для машинной реализации бло-ков двух первых групп, а также для фиксации и обработки результатов модели-рования.

После перехода от описания моделируемой системы S к ее модели МК, построенной по блочному принципу, необходимо построить математические модели процессов, происходящих в различных блоках. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (например, уравнений, логиче-

40

ских условий, операторов), определяющих характеристики процесса функцио-нирования системы S в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведе-ния, параметров системы, воздействий внешней среды Е, начальных условий и времени. Математическая модель является результатом формализации процес-са функционирования исследуемой системы, т. е. построения формального (ма-тематического) описания процесса с необходимой в рамках проводимого ис-следования степенью приближения к действительности.

1.4.4 Алгоритмизация моделей систем и их машинная реализация На втором этапе моделирования – этапе алгоритмизации модели и ее ма-

шинной реализации – математическая модель, сформированная на первом эта-пе, воплощается в конкретную машинную модель. Этот этап представляет со-бой этап практической деятельности, направленной на реализацию идей и ма-тематических схем в виде машинной модели МM процесса функционирования системы S.

Удобной формой представления логической структуры моделей процес-сов функционирования систем и машинных программ является схема. На раз-личных этапах моделирования составляются обобщенные и детальные логиче-ские схемы моделирующих алгоритмов, а также схемы программ.

Обобщенная (укрупненная) схема моделирующего алгоритма задает об-щий порядок действий при моделировании системы без каких-либо уточняю-щих деталей. Обобщенная схема показывает, что необходимо выполнить на очередном шаге моделирования, например обратиться к датчику случайных чи-сел.

Детальная схема моделирующего алгоритма содержит уточнения, от-сутствующие в обобщенной схеме. Детальная схема показывает не только, что следует выполнить на очередном шаге моделирования системы, но и как это выполнить.

Логическая схема моделирующего алгоритма представляет собой логи-ческую структуру модели процесса функционирования системы S. Логическая схема указывает упорядоченную во времени последовательность логических операций, связанных с решением задачи моделирования.

Схема программы отображает порядок программной реализации моде-лирующего алгоритма с использованием конкретного математического обеспе-чения. Схема программы представляет собой интерпретацию логической схемы моделирующего алгоритма разработчиком программы на базе конкретного ал-горитмического языка. Различие между этими схемами заключается в том, что логическая схема отражает логическую структуру модели процесса функцио-нирования системы, а схема программы – логику машинной реализации модели с использованием конкретных программно-технических средств моделирова-ния.

Логическая схема алгоритма и схема программы могут быть выполнены как в укрупненной, так и в детальной форме. Для начертания этих схем исполь-зуется набор символов, определяемых ГОСТ 19.701 – 90 (ИСО 5807 – 85) «Еди-

41

ная система программной документации. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения». Некоторые наиболее употребительные в практике моделирования на ЭВМ символы показаны на рис. 1.4.2, где изображены основные, специфические и специальные символы про-цесса.

Рисунок 1.4.2 – Наиболее употребительные условные обозначения символов

для построения схем алгоритмов

К наиболее употребительным в практике моделирования на ЭВМ симво-лам относятся:

- основной символ: а – процесс – символ отображает функцию обработки данных любого ви-

да (выполнение определенной операции или группы операций, приводящее к изменению значения, формы или размещения информации или к определению, по которому из нескольких направлений потока следует двигаться);

- специфические символы процесса: б – решение – символ отображает решение или функцию переключатель-

ного типа, имеющую один вход и ряд альтернативных выходов, один и только один из которых может быть активизирован после вычисления условий, опре-деленных внутри этого символа (соответствующие результаты вычисления мо-гут быть записаны по соседству с линиями, отображающими эти пути);

в – подготовка – символ отображает модификацию команды или группы команд с целью воздействия на некоторую последующую функцию (установка переключателя, модификация индексного регистра или инициализация про-граммы);

г – предопределенный процесс – символ отображает предопределенный процесс, состоящий из одной или нескольких операций или шагов программы, которые определены в другом месте (в подпрограмме, модуле);

42

д – ручная операция – символ отображает любой процесс, выполняемый человеком;

- специальные символы: е – соединитель – символ отображает выход в часть схемы и вход из дру-

гой части этой схемы и используется для обрыва линии и продолжения ее в другом месте (соответствующие символы-соединители должны содержать одно и то же уникальное обозначение);

ж – терминатор – символ отображает выход во внешнюю среду и вход из внешней среды (начало или конец схемы алгоритма, внешнее использование или пункт назначения данных).

Пример изображения схемы моделирующего алгоритма показан на рис. 1.4.2, з.

Обычно схема является наиболее удобной формой представления струк-туры моделирующих алгоритмов. В ряде случаев используются и другие фор-мы представления моделирующих алгоритмов, например форма граф-схем. В качестве пояснения к граф-схеме алгоритма в тексте дается раскрытие содер-жания операторов, что позволяет упростить представление алгоритма, но ус-ложняет работу с ним.

При достаточно подробной схеме программы, которая отражает все опе-рации логической схемы модели, можно приступить к программированию мо-дели. Если имеется адекватная схема программы, то программирование пред-ставляет собой работу только для программиста без участия и помощи со сто-роны разработчика модели. При использовании пакетов прикладных программ моделирования проводится непосредственная генерация рабочих программ для моделирования конкретного объекта, т. е. программирование модели реализу-ется в автоматизированном режиме.

Таким образом, на втором этапе разрабатывается схема модели системы S, проводится ее алгоритмизация и программирование с использованием кон-кретных программно-технических средств, т. е. строится машинная модель ММ, с которой предстоит работать для получения необходимых результатов моде-лирования по оценке характеристик процесса функционирования системы S (задача анализа) или для поиска оптимальных структур, алгоритмов и парамет-ров системы S (задача синтеза).

1.4.5 Получение и интерпретация результатов моделирования систем На третьем этапе моделирования – этапе получения и интерпретации ре-

зультатов моделирования – ЭВМ используется для проведения рабочих расче-тов по составленной и отлаженной программе. Результаты этих расчетов позво-ляют проанализировать и сформулировать выводы о характеристиках процесса функционирования моделируемой системы S.

После составления программы модели и плана проведения машинного эксперимента с моделью системы S можно приступить к рабочим расчетам на ЭВМ, которые обычно включают в себя:

а) подготовку наборов исходных данных для ввода в ЭВМ;

43

б) проверку исходных данных, подготовленных для ввода; в) проведение расчетов на ЭВМ; г) получение выходных данных, т. е. результатов моделирования. На данном этапе моделирования необходимо уделить внимание форме

представления окончательных результатов моделирования в виде таблиц, гра-фиков, диаграмм, схем и т. п. Целесообразно в каждом конкретном случае вы-брать наиболее подходящую форму, так как это существенно влияет на эффек-тивность дальнейшей работы с ними заказчиком. В большинстве случаев наи-более простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллю-стрируют результаты моделирования системы S. При диалоговых режимах мо-делирования наиболее рациональными средствами оперативного отображения результатов моделирования являются средства мультимедиа технологии.

Получив и проанализировав результаты моделирования, их нужно интер-претировать по отношению к моделируемому объекту, т. е. системе S. При под-ведении итогов моделирования должны быть отмечены главные особенности результатов, полученных в соответствии с планом эксперимента над моделью, проведена проверка гипотез и предположений и сделаны выводы на основании этих результатов. Все это позволяет сформулировать рекомендации по практи-ческому использованию результатов моделирования, например на этапе проек-тирования системы S.

1 . 5 С т а т и с т и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е с и с т е м н а Э ВМ

1.5.1 Общая характеристика метода статистического моделирования В практике моделирования систем наиболее часто приходится иметь дело

с объектами, которые в процессе своего функционирования содержат элементы стохастичности или подвергаются стохастическим воздействиям внешней сре-ды. Поэтому основным методом получения результатов с помощью имитаци-онных моделей таких стохастических систем является метод статистического моделирования на ЭВМ, использующий в качестве теоретической базы пре-дельные теоремы теории вероятностей.

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реали-зации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко использу-ется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случай-ной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моде-лирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистиче-ских данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получе-ния представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Различают две области применения метода статистического моделирова-ния:

44

1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для решения детерминированных

задач методом статистического моделирования, является замена детерминиро-ванной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, вы-ходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерми-нированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с уве-личением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или про-цесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N доста-точно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования систе-мы S.

При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, ис-пользуемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алго-ритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистиче-ского моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соот-ветственно и большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов форми-рования, последовательностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического использования машинного моделиро-вания систем.

1.5.2 Классификация способов получения последовательностей случайных чисел

Рассмотрим возможности и особенности получения последовательностей случайных чисел при статистическом моделировании систем на ЭВМ. На прак-тике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппа-ратный (физический), табличный (файловый) и алгоритмический (программ-ный).

Аппаратный способ. При этом способе генерации случайные числа вы-рабатываются специальной электронной приставкой – генератором (датчиком) случайных чисел, – служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этого способа генерации не требует дополнитель-

45

ных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необхо-дима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д.

Табличный способ. Если случайные числа, оформленные в виде таблицы, помещать в память ЭВМ, предварительно сформировав из них соответствую-щий файл (массив чисел), то такой способ будет называться табличным.

Алгоритмический способ. Способ получения последовательностей слу-чайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое случайное чис-ло вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникнове-ния потребностей при моделировании системы на ЭВМ.

Достоинства и недостатки трех перечисленных способов получения слу-чайных чисел для сравнения представлены в таблице 1.5.1.

Т а б л и ц а 1.5.1 – Сравнительные характеристики методов генерации

случайных чисел

Способ Достоинства Недостатки

Аппаратный

1. Запас чисел не ограничен 2. Расходуется мало опе-раций вычислительной машины 3. Не занимается место в памяти машины

1. Требуется периодическая про-верка 2. Нельзя воспроизводить после-довательности 3. Используется специальное уст-ройство 4. Необходимы меры по обеспече-нию стабильности

Табличный

1. Требуется однократная проверка 2. Можно воспроизводить последовательности

1. Запас чисел ограничен 2. Занимает много места в опера-тивной памяти или необходимо время на обращение к внешней памяти

Алгоритмический

1. Занимает мало места в памяти машины 2. Не используются внеш-ние устройства

1. Запас чисел последовательности ограничен ее периодом 2. Существенные затраты машин-ного времени

Из таблицы видно, что алгоритмический способ получения случайных

чисел наиболее рационален на практике при моделировании систем на универ-сальных ЭВМ.

46

1.5.3 Основные процедуры получения псевдослучайных чисел При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных

воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандарт-ных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразо-ванию. Полученные с помощью идеального генератора псевдослучайные по-следовательности чисел должны состоять из квазиравномерно распределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получаться с минимальными затратами машин-ного времени, занимать минимальный объем машинной памяти.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генера-ции последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида 1 ( )i ix Ф x+ = , (1.5.1)

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для кото-рых начальное число 0x и постоянные параметры заданы.

Одной из исторически первых процедур получения псевдослучайных чи-сел была процедура, получившая название метода серединных квадратов. Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1: 1 2 20, ...i nx a a a= . Возведем его в квадрат:

21 2 40, ...i nx b b b= , а затем отберем средние 2n разрядов 1 1 2 30, ...i n n nx b b b+ + += , которые

и будут являться очередным числом псевдослучайной последовательности. Не-достаток этого метода — наличие корреляции между числами последователь-ности, а в ряде случаев случайность вообще может отсутствовать.

Широкое применение при моделировании систем на ЭВМ получили кон-груэнтные процедуры генерации псевдослучайных последовательностей, пред-ставляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фунда-ментальное понятие конгруэнтности.

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, так как описываются в виде рекуррентного соотношения, когда функция (1.5.1) имеет вид 1 ( )modi ix x Mλ μ+ = + , (1.5.2)

где , , ,ix Mλ μ – неотрицательные целые числа. Конгруэнтная процедура получения последовательностей псевдослучай-

ных квазиравномерно распределенных чисел может быть реализована и муль-типликативным методом.

Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных целых чисел { }ix , не превосходящих М, по формуле

1 ( )modi ix x Mλ+ = , (1.5.3)

т. е. это частный случай соотношения (1.5.2) при 0μ = . В силу детерминированности метода получаются воспроизводимые по-

следовательности. Требуемый объем машинной памяти при этом минимален, а с вычислительной точки зрения необходим последовательный подсчет произ-

47

ведения двух целых чисел, т. е. выполнение операции, которая быстро реализу-ется современными ЭВМ.

1.5.4 Оценка качества последовательностей псевдослучайных чисел Эффективность статистического моделирования систем на ЭВМ и досто-

верность получаемых результатов существенным образом зависят от качества исходных (базовых) последовательностей псевдослучайных чисел, которые яв-ляются основой для получения стохастических воздействий на элементы моде-лируемой системы. Поэтому, прежде чем приступать к реализации модели-рующих алгоритмов на ЭВМ, необходимо убедиться в том, что исходная по-следовательность псевдослучайных чисел удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям, так как в противном случае даже при наличии абсолютно пра-вильного алгоритма моделирования процесса функционирования системы S по результатам моделирования нельзя достоверно судить о характеристиках сис-темы.

Проверка равномерности последовательностей псевдослучайных квази-равномерно распределенных чисел { }ix может быть выполнена по гистограмме с использованием косвенных признаков. Суть проверки по гистограмме сводит-ся к следующему. Выдвигается гипотеза о равномерности распределения чисел в интервале (0, 1). Затем интервал (0, 1) разбивается на m равных частей, тогда при генерации последовательности { }ix каждое из чисел ix с вероятностью

1/p m= попадает в один из подынтервалов. Очевидно, что если числа { }ix при-надлежат псевдослучайной квазиравномерно распределенной последовательно-сти, то при достаточно больших N экспериментальная гистограмма приблизит-ся к теоретической прямой 1/m.

При статистическом моделировании системы S с использованием про-граммных генераторов псевдослучайных квазиравномерных последовательно-стей важными характеристиками качества генератора является длина отрезка апериодичности L.

Длина отрезка апериодичности L псевдослучайной последовательности { }ix есть наибольшее целое число, такое, что при 0 j i L≤ < ≤ событие

{ }i jP x x= не имеет места. Это означает, что все числа { }ix в пределах отрезка апериодичности не повторяются.

Очевидно, что использование при моделировании систем последователь-ности чисел {*,}, длина которой больше отрезка апериодичности L, может при-вести к повторению испытаний в тех же условиях, что и раньше, т. е. увеличе-ние числа реализаций не дает новых статистических результатов.

В силу рассмотренных преимуществ основное применение в практике имитационного моделирования систем находят различные программные спосо-бы получения чисел. Одним из наиболее употребительных методов улучшения качества последовательностей псевдослучайных чисел является употребление вместо формул вида (1.5.1), представляющих собой рекуррентные формулы первого порядка, рекуррентных формул порядка r, т. е.

48

1 1 ,( , , ..., )i i i i rx Ф x x x+ − −= . (1.5.4)

В этом случае длина отрезка апериодичности L у такой последовательно-сти при r > 1 гораздо больше, чем при r = 1. Однако при этом возрастает слож-ность метода, что приводит к увеличению затрат машинного времени на полу-чение чисел и ограничивает возможности его применения на практике.

1 . 6 П л а н и р о в а н и е м а ш и н н ы х э к с п е р и м е н т о в , о б р а б о т к а и а н а л и з и х р е з у л ь т а т о в

1.6.1 Основные понятия планирования экспериментов Машинный эксперимент с моделью системы S при ее исследовании и

проектировании проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация мо-жет быть получена как для анализа характеристик, так и для их оптимизации при заданных ограничениях, т. е. для синтеза структуры, алгоритмов и пара-метров системы S.

Эффективность машинных экспериментов с моделями МM существенно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистиче-ской обработки результатов моделирования системы S. Поэтому основная зада-ча планирования машинных экспериментов с моделью МM формулируется сле-дующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирова-ния, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минималь-ных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования (затраты машинного времени, памяти и т. п.). К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, относятся зада-чи уменьшения затрат машинного времени на моделирование, увеличения точ-ности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности мо-дели и т. д.

Таким образом, при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модель МM системы S, но и процесс ее исполь-зования, т. е. проведение с ней экспериментов с использованием инструмен-тальной ЭВМ.

К особенностям планирования экспериментов на ЭВМ можно отнести следующее:

1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью МM системы S (сравнивать две альтернативы возможно при одинаковых условиях, что достигается, например, выбором одной и той же последовательности слу-чайных чисел для каждой из альтернатив);

2) возможность управления экспериментом с моделью МM, включая его прерывание и возобновление (при работе с машинной моделью всегда возмож-но прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений об его дальнейшем ходе);

49

3) легкость варьирования условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды Е;

4) недостатком машинных экспериментов является то, что часто возни-кают трудности, связанные с наличием корреляции в выходных последователь-ностях, т. е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях.

Рассмотрим основные понятия теории планирования экспериментов. В связи с тем что математические методы планирования экспериментов

основаны на кибернетическом представлении процесса проведения экспери-мента, наиболее подходящей моделью последнего является абстрактная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетическом подходе различают входные и выходные переменные. В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фак-тором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место только две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на пере-менную у, то х – фактор, а у – реакция.

Каждый фактор xi может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов оп-ределяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновре-менно этот набор представляет собой условия проведения одного из возмож-ных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует опре-деленная точка в многомерном пространстве, называемом факторным про-странством.

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов 1 2, ,..., kx x x и реакцией (откликом) системы jy , которую можно представить в виде соотношения

( )1 2, ,...,=j j ky x x xψ

Функцию jψ , связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции.

При планировании экспериментов необходимо определить основные свойства факторов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управ-ляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и слу-чайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно вы-бираются исследователем в процессе эксперимента. При машинной реализации модели исследователь принимает решения, управляя изменением в допустимых пределах различных факторов.

Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и ре-гистрируются. Обычно в машинном эксперименте с моделью наблюдаемые

50

факторы совпадают с управляемыми, так как нерационально управлять факто-ром, не наблюдая его. Но неуправляемый фактор также можно наблюдать. На-пример, на этапе проектирования конкретной системы нельзя управлять задан-ными воздействиями внешней среды, но можно наблюдать их в машинном экс-перименте. Наблюдаемые неуправляемые факторы получили название сопут-ствующих. Обычно при машинном эксперименте с моделью число сопутст-вующих факторов велико, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на интересующую иссле-дователя реакцию.

Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель для изучения свойств системы, а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор будет количественным, если его значения — числовые величи-ны, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качест-венным.

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересую-щих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании слу-чайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требо-вание управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требо-вание непосредственного воздействия на объект имеет большое значение в свя-зи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются не-сколько факторов. Определим требования, которые предъявляются к совокуп-ности факторов. Основные из них — совместимость и независимость. Совмес-тимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независи-мость соответствует возможности установления фактора на любом уровне не-зависимо от уровней других.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

1.6.2 Этапы планирования машинных экспериментов Применяя системный подход к проблеме планирования машинных экспе-

риментов с моделями систем, можно выделить две составляющие планирова-ния: стратегическое и тактическое планирование.

Стратегическое планирование ставит своей целью решение задачи по-лучения необходимой информации о системе S с помощью модели МM, реали-

51

зованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряже-нии экспериментатора.

Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний машинной модели МM, предусмотренных планом эксперимента. Чем сложнее машинная модель МM, тем важнее этап так-тического планирования машинного эксперимента, выполняемый непосредст-венно перед моделированием на ЭВМ системы S.

Процесс планирования машинных экспериментов с моделью МM итера-ционен, т. е. при уточнении некоторых свойств моделируемой системы S этапы стратегического и тактического планирования экспериментов могут чередо-ваться.

Проблемы стратегического планирования. При стратегическом плани-ровании машинных экспериментов с моделями систем возникает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностями функционирования модели-руемой системы, так и с особенностями машинной реализации модели и обра-ботки результатов эксперимента. В первую очередь к таким проблемам отно-сятся проблемы построения плана машинного эксперимента; наличия большого количества факторов; многокомпонентной функции реакции; стохастической сходимости результатов машинного эксперимента; ограниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.

При построении плана эксперимента необходимо помнить, что целями проведения машинных экспериментов с моделью системы являются либо полу-чение зависимости реакции от факторов для выявления особенностей изучае-мого процесса функционирования системы, либо нахождение такой комбина-ции значений факторов, которая обеспечивает экстремальное значение реакции. Другими словами, экспериментатору на базе машинной модели необходимо решить либо задачу анализа, либо задачу синтеза системы. Очевидно, что при реализации полного факторного плана различия между машинными экспери-ментами для достижения той или иной цели стираются. Но полный факторный эксперимент эквивалентен полному перебору вариантов, что нерационально с точки зрения затрат машинных ресурсов. Для более эффективного нахождения оптимальной комбинации уровней факторов можно воспользоваться выбороч-ным методом определения оптимума поверхности реакции.

Другая специфическая проблема стратегического планирования машин-ных экспериментов — наличие большого количества факторов. Это одна из ос-новных проблем реализации имитационных моделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализе количество комбинаций факторов равно произведе-нию числа значений всех факторов эксперимента. Например, если число факто-ров равно 10 и имеется 2 значения каждого фактора, то полный факторный ана-лиз потребует моделирования 210 = 1024 комбинаций.

Следующей проблемой стратегического планирования машинных экспе-риментов является многокомпонентная функция реакции. В имитационном эксперименте с вариантами модели системы на этапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необходимостью изучения большого числа пере-

52

менных реакции. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая имитационный эксперимент с моделью по определению многих реакций как несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется (наблюдается) только одна реакция. Кроме того, при исследовании системы часто требуется иметь переменные реакции, связанные друг с другом, что прак-тически приводит к усложнению планирования имитационного эксперимента. В этом случае рационально использовать интегральные оценки нескольких ре-акций, построенные с использованием весовых функций, функций полезности и т. д.

Существенное место при планировании экспериментов с имитационными моделями, реализуемыми методом статистического моделирования на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимости результатов машинного экспе-римента, а именно медленная сходимость выборочных средних с ростом объе-ма выборки.

Этапы стратегического планирования. Применяя системный подход к проблеме стратегического планирования машинных экспериментов, можно вы-делить следующие этапы:

1) построение структурной модели; 2) построение функциональной модели. При этом структурная модель выбирается исходя из того, что должно

быть сделано, а функциональная — из того, что может быть сделано. Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом факто-

ров и числом уровней для каждого фактора. Вопрос о виде и числе необходи-мых факторов следует рассматривать с различных точек зрения, причем основ-ной является цель проводимого машинного эксперимента, т. е. в первую оче-редь решается вопрос о тех реакциях, которые надо оценить в результате экспе-римента с машинной моделью системы. При этом надо найти наиболее сущест-венные факторы, так как из опыта известно, что для большинства систем 20% факторов определяют 80% свойств системы, а остальные 80% факторов опре-деляют лишь 20% ее свойств.

Функциональная модель плана эксперимента определяет количество эле-ментов структурной модели, то есть необходимое число различных информа-ционных точек.

Проблемы тактического планирования машинных экспериментов с моделями систем

Тактическое планирование эксперимента с машинной моделью системы связано с вопросами эффективного использования выделенных для экспери-мента машинных ресурсов и определением конкретных способов проведения испытаний модели, намеченных планом эксперимента, построенным при стра-тегическом планировании.

Тактическое планирование машинного эксперимента связано прежде все-го с решением следующих проблем:

1) определения начальных условий и их влияния на достижение устано-вившегося результата при моделировании;

53

2) обеспечения точности и достоверности результатов моделирования; 3) уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функциониро-

вания моделируемых систем; 4) выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимен-

та с моделями систем. Проблема определения начальных условий и их влияния на достиже-

ние установившегося результата при моделировании. Первая проблема при проведении машинного эксперимента возникает вследствие искусственного ха-рактера процесса функционирования модели, которая в отличие от реальной системы работает эпизодически, т. е. только когда экспериментатор запускает машинную модель и проводит наблюдения. Поэтому всякий раз, когда начина-ется очередной прогон модели процесса функционирования системы, требуется определенное время для достижения условий равновесия, которые соответст-вуют условиям функционирования реальной системы. Таким образом, началь-ный период работы машинной модели искажается из-за влияния начальных ус-ловий запуска модели. Для решения этой проблемы либо исключается из рас-смотрения информация о модели, полученная в начальной части периода моде-лирования, либо начальные условия выбираются так, чтобы сократить время достижения установившегося режима. Все эти приемы позволяют только уменьшить, но не свести к нулю время переходного процесса при проведении машинного эксперимента с моделью.

Проблема обеспечения точности и достоверности результатов мо-делирования. Решение второй проблемы тактического планирования машинно-го эксперимента связано с оценкой точности и достоверности результатов мо-делирования (при конкретном методе реализации модели, например, методе статистического моделирования на ЭВМ) при заданном числе реализаций (объ-еме выборки) или с необходимостью оценки необходимого числа реализаций при заданных точности и достоверности результатов моделирования системы.

Как уже отмечалось, статистическое моделирование системы — это экс-перимент с машинной моделью. Обработка результатов подобного имитацион-ного эксперимента принципиально не может дать точных значений показателя эффективности системы; в лучшем случае можно получить только некоторую оценку такого показателя.

Таким образом, количество реализаций при статистическом моделирова-нии системы должно выбираться исходя из двух основных соображений: опре-деления затрат ресурсов на машинный эксперимент с моделью (включая по-строение модели и ее машинную реализацию) и оценки точности и достоверно-сти результатов эксперимента с моделью системы S (при заданных ограничени-ях не ресурсы). Очевидно, что требования получения более хороших оценок и сокращения затрат ресурсов являются противоречивыми и при планировании машинных экспериментов на базе статистического моделирования необходимо решить задачу нахождения разумного компромисса между ними.

Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем. В настоящее время существуют

54

методы, позволяющие при заданном числе реализаций увеличить точность оце-нок, полученных на машинной модели, и, наоборот, при заданной точности оценок сократить необходимое число реализаций при статистическом модели-ровании. Эти методы используют априорную информацию о структуре и пове-дении моделируемой системы S и называются методами уменьшения диспер-сии.

Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы. Простейший способ решения проблемы – задание требуемого количества реализаций (или длины интервала моделирова-ния). Однако такой детерминированный подход неэффективен, так как в его ос-нове лежат достаточно грубые предположения о распределении выходных пе-ременных, которые на этапе тактического планирования являются неизвестны-ми. Другой способ — задание доверительных интервалов для выходных пере-менных и остановка прогона машинной модели при достижении заданного до-верительного интервала, что позволяет теоретически приблизить время прогона к оптимальному.

Правила автоматической остановки могут быть включены в машинную модель такими способами:

1) путем двухэтапного проведения прогона, когда сначала делается проб-ный прогон из N* реализаций, позволяющий оценить необходимое количество реализаций N (причем если N*≥N, то прогон можно закончить, в противном случае необходимо набрать еще N–N* реализаций);

2) путем использования последовательного анализа для определения ми-нимально необходимого количества реализаций N, которое рассматривается при этом как случайная величина, зависящая от результатов N–1 предыдущих реализаций (наблюдений, испытаний) машинного эксперимента.

1.6.3 Обработка и анализ результатов моделирования систем

Особенности фиксации и статистической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ.

Успех имитационного эксперимента с моделью системы существенным образом зависит от правильного решения вопросов обработки и последующего анализа и интерпретации результатов моделирования.

После того как машинный эксперимент спланирован, необходимо преду-смотреть меры по организации эффективной обработки и представления его ре-зультатов. Вообще, проблема статистической обработки результатов экспери-мента с моделью тесно связана с рассмотренными проблемами стратегического и тактического планирования. Но важность этой проблемы и наличие специфи-ки в машинной обработке результатов моделирования выделяют ее в самостоя-тельную проблему. При этом надо иметь в виду, что применяемые на практике методы обработки результатов моделирования составляют только небольшую часть арсенала математической статистики.

55

При выборе методов обработки существенную роль играют три особен-ности машинного эксперимента с моделью системы S:

1. Возможность получать при моделировании системы S на ЭВМ боль-шие выборки позволяет количественно оценить характеристики процесса функционирования системы, но превращает в серьезную проблему хранение промежуточных результатов моделирования. Эту проблему можно решить, ис-пользуя рекуррентные алгоритмы обработки, когда оценки вычисляют по ходу моделирования, причем большой объем выборки дает возможность пользовать-ся при этом достаточно простыми для расчетов на ЭВМ формулами.

2. Сложность исследуемой системы S при ее моделировании на ЭВМ час-то приводит к тому, что априорное суждение о характеристиках процесса функционирования системы, например о типе ожидаемого распределения вы-ходных переменных, является невозможным. Поэтому при моделировании сис-тем широко используются непараметрические оценки и оценки моментов рас-пределения.

3. Блочность конструкции машинной модели ММ и раздельное исследова-ние блоков связаны с программной имитацией входных переменных для одной частичной модели по оценкам выходных переменных, полученных на другой частичной модели.

При обработке результатов машинного эксперимента с моделью ММ наи-более часто возникают следующие задачи: определение эмпирического закона распределения случайной величины, проверка однородности распределений, сравнение средних значений и дисперсий переменных, полученных в результа-те моделирования, и т. д. Эти задачи с точки зрения математической статистики являются типовыми задачами по проверке статистических гипотез.

Задача определения эмпирического закона распределения случайной ве-личины наиболее общая из перечисленных, но для правильного решения требу-ет большого числа реализаций N. В этом случае по результатам машинного эксперимента находят значения выборочного закона распределения (или функ-ции плотности)) и выдвигают нулевую гипотезу, что полученное эмпирическое распределение согласуется с каким-либо теоретическим распределением. Про-веряют эту гипотезу с помощью статистических критериев согласия Колмого-рова, Пирсона, Смирнова и т. д., причем необходимую в этом случае статисти-ческую обработку результатов ведут по возможности в процессе моделирова-ния системы S на ЭВМ.

Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Возможность фиксации при моделировании системы S на ЭВМ значений

переменных (параметров) и их статистическая обработка для получения инте-ресующих экспериментатора характеристик позволяют провести объективный анализ связей между этими величинами. Для решения этой задачи существуют различные методы, зависящие от целей исследования и вида получаемых при моделировании характеристик, например, методы корреляционного, регресси-онного и дисперсионного анализа.

56

С помощью корреляционного анализа исследователь может установить, насколько тесна связь между двумя (или более) случайными величинами, на-блюдаемыми и фиксируемыми при моделировании конкретной системы S.

Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе машинного экс-перимента с системой S. Под наилучшим соответствием понимается минимизи-рованная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой мо-делью и данными эксперимента. Такой функцией ошибки при регрессионном анализе служит сумма квадратов ошибок.

Дисперсионный анализ результатов моделирования. При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожи-дание совокупностей случайных переменных отличается незначительно, то ста-тистический материал, полученный в результате моделирования, можно счи-тать однородным. Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой моде-ли ММ, а следовательно, и системы S. Дисперсионный анализ позволяет вместо проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тожде-ственности выборочной и генеральной дисперсий.

Возможны и другие подходы к анализу и интерпретации результатов мо-делирования, но при этом необходимо помнить, что их эффективность сущест-венно зависит от вида и свойств конкретной моделируемой системы S.

57

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

I. Основная литература: 1. Советов Б. Я. Моделирование систем [Текст]: учебник для студ. вузов.

- 4-е изд., стереотип. - М. : Высшая школа, 2005. - 343 с. : ил. 2. Советов Б. Я. Моделирование систем [Текст]: практикум : учеб. посо-

бие для студ. вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Высшая школа, 2003. - 296 с.

3. Колесов Ю. Б., Сениченков Ю. Б. Моделирование систем. Динамиче-ские и гибридные системы [Текст]: Учебное пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 224 с: ил.

4. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем [Текст]. - 2-е изд., пе-рераб. - М. : Наука, 1978. - 400 с. : ил.

5. Разевиг В. Д. Схемотехническое моделирование с помощью Micro-Cap 7 [Текст]. –М.: Горячая линия-Телеком, 2003. – 368 с: ил.

6. Амелина М. А,, Амелин С. А. Программа схемотехнического модели-рования Micro-Cap 8 [Текст]. – М.: Горячая линия-Телеком, 2007. – 464 с.: ил.

7. Spectrum Software – Micro-Cap 9. Analog simulation, mixed mode simula-tion, and digital simulation software. SPICE and PSpice® compatible circuit simula-tor [Электронный ресурс]. – http://www.spectrum-soft.com/index.shtm.

8. Micro-Cap 9. Electronic Circuit Analysis Program: User's Guide [Элек-тронный ресурс]. – http://www.spectrum-soft.com/down/ug.pdf.

9. Micro-Cap 9. Electronic Circuit Analysis Program: Reference Guide [Элек-тронный ресурс]. – http://www.spectrum-soft.com/down/rm.pdf

I. Дополнительная литература: 10. Боев В. Д. Моделирование систем [Текст]: инструментальные средст-

ва GPSS World : [учеб. пособие]. - СПб. : БХВ-Петербург, 2004. - 348 с. : ил. 11. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB [Текст]:

учебный курс. - СПб. : Питер ; Киев : BHV, 2005. - 511 с. : ил. - ISBN 5-469-00600-Х : 228.60.

12. Малинин В. В. Моделирование и оптимизация оптико-электронных приборов с фотоприемными матрицами [Текст] / отв. ред. М.Я. Воронин. - Но-восибирск : Наука, 2005. - 256 с. : ил.

13. Моделирование динамических систем [Текст]: аспекты мониторига и обработки сигналов / Нац. Академия наук Украины ; под ред. В. В. Васильева. - Киев : Изд-во НАН Украины, 2002. - 343 с.

14. Молчанов А. А. Моделирование и проектирование сложных систем [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов. - Киев : Вища школа, 1988. - 360 с. : ил.

15. Салмина Н. Ю. Моделирование систем [Текст]: учеб. пособие / Том-ский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники. - Томск : [б. и.], 2002. - 198 с. : ил.

16. Советов Б. Я. Моделирование систем [Текст]: курсовое проектирова-ние : учеб. пособие для студ. вузов. - М. : Высшая школа, 1988. - 136 с. : ил.

58

17. Советов Б. Я. Моделирование систем [Текст]: лабораторный практи-кум : учеб. пособие для студ. вузов. - М. : Высшая школа, 1989. - 80 с.

18. Советов Б. Я. Моделирование систем [Текст] : учебник для студ. ву-зов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Высшая школа, 2001. - 343 с. : ил.

19. Финаев В. И. Моделирование при проектировании информационно-управляющих систем [Текст]: учеб. пособие / ТРТУ, Каф. СА и Т. - Таганрог : Изд-во ТРТУ, 2002. - 117 с.

20. Финаев В. И. Моделирование систем [Текст]: практикум / ТРТУ, Каф. СА и Т. - Таганрог : Изд-во ТРТУ, 2006. - 170 с.

21. Черниховская Г. Л. Моделирование на ЦВМ обработки сигналов и помех [Текст]: учеб. пособие : для студ. спец. 2301 / ТРТУ, Каф. ТОР. - Таган-рог : Изд-во ТРТУ, 1997. - 92 с.

22. Шелухин О. И. Моделирование информационных систем [Текст]: учеб. пособие для студ. вузов. - М. : САЙНС-ПРЕСС, 2005. - 367 с.