Post on 20-Jul-2021
Autor:
Adam Marszałek
WSTĘP DO TEORII POLA ELEKTRYCZNEGO Opracowanie teorii podstawowych pojęć opisujących pole elektryczne wraz z przykładowymi rozważaniami teoretycznymi.
SKRYPT 1.
Niniejsze opracowanie w całości ani we fragmentach nie może być powielane ani rozpowszechniane za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym również nie może być umieszczane ani rozpowszechniane w Internecie, jaki w sieciach lokalnych bez pisemnej zgody autora.
2
1. ROZKŁAD ŁADUNKÓW ELEKTRYCZNYCH
W otaczającej nas przestrzeni ładunki elektryczne rozłożone są w dowolny sposób. Jedne
podporządkowane są porządkowi inne rozłożone są w sposób chaotyczny.
Wówczas, gdy rozpatrujemy ładunek jako pojedynczą cząstkę lub prościej rzecz ujmując,
wymiary samego ciała naładowanego są nieporównywalnie mniejsze względem rozciągłości
rozpatrywanego pola elektrycznego, mamy wówczas do czynienia z ładunkiem elektrycznym
nazywanym ładunkiem punktowym.
Rozłożenie ładunku równomiernie w obszarze ograniczonym geometrycznie daje nam pojęcie
możliwość korzystania z pojęcia gęstości objętościowej ρ równomiernie rozłożonego ładunku
Q w obszarze o objętości V.
𝜌 =𝑄
𝑉
Stąd też przy znanej gęstości objętościowej ładunku określonego przestrzenią możemy
wyznaczyć jego wartość.
𝑄 = 𝜌𝑉
Jeżeli ładunek natomiast, rozłożony jest równomiernie na danej płaszczyźnie to jego
rozłożenie możemy określić poprzez gęstość powierzchniową ładunku σ na znanym polu
powierzchni S.
𝜎 =𝑄
𝑆
Stąd przy znanej gęstości powierzchniowej, ładunek równy jest:
𝑄 = 𝜎𝑆
Rozpatrzyliśmy zatem rozłożenie ładunku równomiernie na obszarze powierzchni i objętości.
Możemy również rozpatrzyć jego rozłożenie w sposób liniowy. Przykładem niech będzie tutaj
dostatecznie cienki i długi przewód. W ten sposób otrzymujemy gęstość liniową ładunku 𝜏 na
przewodzie liniowym o długości 𝑙.
𝜏 =𝑄
𝑙
Podobnie jak w przypadku dwóch poprzednich ładunek możemy określić znając gęstość
liniową:
𝑄 = 𝜏𝑙
Całkowita wartość ładunku jest zawsze stała dla zamkniętego układu. Innymi słowy ciało może
zmienić swój ładunek tylko poprzez zetknięcie z innym ładunkiem bądź też z elementem
3
neutralnym. Wówczas zgodnie z Zasadą zachowania ładunku cały ładunek rozdzieli się równo
na obydwa ciała.
2. PRAWO COULOMBA
Podstawowe prawo fizyczne leżące u podstaw teorii pola elektrycznego.
Siła z jaką oddziaływają na siebie dwa ładunku punktowe umieszczone w środowisku zdolnym
do propagowania pola elektrycznego jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.
𝐹 =𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀𝑟2=
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0𝜀𝑟𝑟2
Gdzie: Q1 i Q2 – ładunki punktowe, r – odległość pomiędzy punktami, 𝜀 – przenikalność elektryczna środowiska,
𝜀0 – przenikalność elektryczna bezwzględna określana dla próżni = 8,85 ⋅ 10−12 𝐹
𝑚 , 𝜀𝑟 – przenikalność względna
środowiska określana względem próżni.
Wzór ten przedstawiany jest często z wykorzystaniem tzw. stałej elektrostatycznej 𝑘
bezpośrednio dla próżni lub powietrza.
𝐹 = 𝑘𝑄1𝑄2
𝑟2
Gdzie:
𝑘 =1
4𝜋𝜀0
= 9 ⋅ 109𝑁𝑚2
𝐶2
Istotnym szczegółem w operowaniu prawa Coulomba jest wartość z jaką naładowany jest
każdy z ładunków. Ładunek może bowiem przyjmować teoretycznie ujemną wartość. Tylko
teoretycznie, powiem oznacza to, że posiada on więcej ładunków elementarnych ujemnych
niż dodatnich.
Na tym etapie warto wyjaśnić sobie czym jest ww. ładunek elementarny. Jest to bowiem
najmniejszy niepodzielny ładunek o wartości równej ładunku elektronu(-) lub pozytonu.
𝑒 ≈ 1,60218 ⋅ 10−19𝐶
W warunkach rzeczywistych rzadko mamy jednak do czynienia z ładunkami punktowymi.
Rozpatrujemy powiem ciała, o często nieregularnej objętości, będącymi odzwierciedleniem
4
rzeczywistego trójwymiarowego otoczenia. W takich przypadkach ładunek nie rozciąga się
często jednorodnie tj. nie dochodzi do równomiernego rozłożenia ładunku elektrycznego.
�⃗�𝐵𝐴 =1
4𝜋𝜀0𝜀𝑟∫ ∫
𝑑𝑞𝐴 ⋅ 𝑑𝑞𝐵
𝑟𝐴𝐵3
𝑞𝐵𝑞𝐴
𝑟𝐴𝐵
Wzór ten ulega oczywiście uproszczeniu dla ciał w których rozkład ładunku zmienia się
radialnie np. dla kuli. Wówczas możemy ją traktować jako ładunek punktowy.
3. NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO
W około dowolnego ładunku 𝑄 znajdującego się w przestrzeni powstaje pole elektryczne.
Załóżmy teraz, że chcemy zbadać pole elektryczne w około takiego ładunku. W tym celu w
otoczeniu ładunku 𝑄 musimy umieścić tzw. ładunek próbny 𝑞 będącym wielokrotnie
mniejszym niż rozpatrywany ładunek.
Zgodnie z poznanym przed chwilą prawem Coulomba na ładunek próbny działa więc siła:
𝐹 =𝑄𝑞
4𝜋𝜀𝑟2
Możemy w ten sposób określić wartości sił przepadającej na jednostkę ładunku próbnego.
𝐸 =𝐹
𝑞
W ten sposób otrzymaliśmy wartość natężenia pola elektrycznego.
Natężeniem pola elektrycznego nazywamy stosunkiem siły działającej na ładunek
umieszczony w polu elektrycznej do wielkości tego ładunku.
Tak więc możemy również w prosty sposób wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w
dowolnym punkcie oddalonym od środka ładunku punktowego.
𝐸 =𝑄
4𝜋𝜀𝑟2
Natężenie elektryczne jest wielkością wektorową, zatem rozpatrywane natężenie wypadkowe
wytwarzane przez dowolną ilość ładunków w rozpatrywanym punkcie jest równe sumie
geometrycznej natężeń poszczególnych pól.
�⃗⃗� = ∑ �⃗⃗�𝑛
𝑛
𝑖=1
4. POTENCJAŁ I NAPIĘCIE ELEKTRYCZNE
5
Załóżmy teraz, że ładunek próbny umieścimy pomiędzy dwoma naładowanymi płytami
elektrycznymi, umieszczamy w ten sposób ładunek w zamkniętym polu elektrycznym.
Podczas zadziałania na ładunek siły 𝐹 przemieści się on z punktu A do punktu B, innymi słowy
pokona drogę Δ𝑙. Zgodnie z prawami mechaniki zostanie zatem wykonana praca równa
iloczynowi siły oraz drogi jaką pokonał ładunek.
𝑊 = 𝐹Δ𝑙
Pracę tę, możemy określić przy pomocy natężenia pola elektrycznego.
𝑊 = 𝑞𝐸Δ𝑙
Można wykazać, że praca wykonana wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej, przechodzącej przez
punkty A i B jest zawsze równa zeru. Jest to jedna z podstawowych własności pola
elektrycznego.
Stosunek pracy jaką wykonały by siły pola elektrycznego podczas przemieszczania ładunku
„próbnego” dodatniego q z punktu A do punktu B, do wartości tego ładunku jest określany
napięciem elektrycznym pomiędzy tymi punktami.
𝑈𝐴𝐵 =𝑊
𝑞= 𝐸Δ𝑙
Dla rozpatrywanego pola elektrycznego, wartość natężenia pola elektrycznego w punktach A
i B jest różna. Wobec tego praca wykonana zależy od położenia punktu początkowego i
końcowego. W ten sposób należy wprowadzić wielkość zwaną potencjałem elektrycznym.
6
Potencjał elektryczny w punkcie pola elektrycznego nazywany jest stosunkiem pracy
wykonanej podczas przemieszczania ładunku z punktu A do punktu położonego w
nieskończoności od wartości ładunku.
𝑉𝐴 =Δ𝑊𝐴→∞
𝑞
Tym samym analogicznie dla punktu B:
𝑉𝐵 =Δ𝑊𝐵→∞
𝑞
W związku z tym, otrzymamy że:
Δ𝑊 = Δ𝑊𝐴→∞ − Δ𝑊𝐵→∞ ⇒ 𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
Jak więc widzimy, napięcie elektryczne jest równe różnicy potencjałów w punktach A i B.
5. INDUKCJA ELEKTRYCZNA . STRUMIEŃ INDUKCJI ELEKTRYCZNEJ.
Poprzez indukcję elektryczną 𝐷 rozumiemy iloczyn natężenia pola elektrycznego 𝐸 i
przenikalności bezwzględnej środowiska 𝜀.
𝐷 = 𝜀𝐸
Wyznaczymy przykładowo indukcję elektryczną w punkcie pola elektrycznego w otoczeniu
ładunku punktowego 𝑄, w odległości 𝑟 od tego ładunku. Zgodnie ze wzorem natężenia pola
elektrycznego:
𝐸 =𝑄
4𝜋𝜀𝑟2
Uwzględniając wzór na indukcję elektryczną:
𝐷 =𝑄
4𝜋𝑟2
Jeśli wyobrazilibyśmy sobie, że ładunek 𝑄 znajduję się w środku kuli o promieniu 𝑟, wówczas
indukcja elektryczna w każdym punkcie powierzchni kulistej zależy tylko od wartości tego
ładunku i promienia. Nie zależy ona jednak od środowiska.
Jeśli więc w każdym punkcie powierzchni, indukcja elektryczna ma taką samą wartość, to w
wyniku pomnożenia jej przez powierzchnię otrzymamy wielkość zwaną strumieniem indukcji
elektrycznej( strumień elektryczny).
Ψ = 𝐷𝑆
7
6. TWIERDZENIE GAUSSA
Rozpatrując ponownie przypadek uwzględniony w pkt. 5; na podstawie wzoru na pole
powierzchni kuli oraz wzoru na indukcję elektryczną występującą na powierzchni kuli, możemy
wyznaczyć strumień elektryczny przenikający całą powierzchnię kuli.
Ψ = 𝐷𝑆 =𝑄
4𝜋𝑟24𝜋𝑟2 = 𝑄
Stwierdzamy więc, że strumień przenikający powierzchnię kuli równy jest co do wartości,
ładunkowi ograniczonemu przez jej powierzchnię.
W ten sposób dla konkretnego przypadku naładowanej kuli wyznaczyliśmy Twierdzenie
Gaussa.
Strumień wektora indukcji elektrycznej przenikający powierzchnię ograniczoną równy jest
sumie wszystkich ładunków zamkniętych w tym obszarze.
Wzór ogólny twierdzenia Gaussa:
Ψ = ∑ 𝑄
𝑛
𝑖=1
Załóżmy teraz, że płyta metalowa o nieskończenie wielkich wymiarach jest naładowana
ładunkiem dodatnim o gęstości powierzchniowej 𝜎.
8
W około płyty możemy wyznaczyć obszar składających się z dwóch powierzchni
𝑆 równoległych do płyty o ograniczonej przestrzeni. Wówczas strumień elektryczny
wytworzony przez ładunek znajdujący się na płycie przenika powierzchnię 2S( obydwie
powierzchnię S), do której linie pola są prostopadłe.
Wartość ładunku o ograniczony obszarze jest równa:
𝑄 = 𝜎𝑆
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:
Ψ = 𝑄 = 𝜎𝑆
Następnie po uwzględnieniu wzorów na natężenie pola elektrycznego w około ładunku
punktowego oraz strumień indukcji elektrycznej otrzymamy, że:
𝜀𝐸2𝑆 = 𝜎𝑆
Natężenie pola elektrycznego w otoczeniu metalowej płyty będzie zatem równe:
𝐸 =𝜎
2𝜀
Wynika więc stąd jasno, że pole elektryczne w około metalowej płyty jest równomierne i nie
zależy od odległości od płyty.
W podobny sposób można wyznaczyć pole elektryczne w otoczeniu przewodu
prostoliniowego jak i naładowanej kuli dielektrycznej.
7. POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA
Kondensator tworzą dwa przewodniki zwane okładzinami lub elektrodami rozdzielone
dielektrykiem.
Każdy kondensator posiada własność nazywana pojemnością. Określa ona zdolność
kondensatora do nagromadzenia ładunku elektrycznego. Pojemność 𝐶 każdego kondensatora
zależna jest od napięcia na jego okładzinach 𝑈 oraz zgromadzonego przez niego ładunku.
𝐶 =𝑄
𝑈
Kondensator może przyjmować różne formy geometryczne. Najczęściej rozpatrujemy
kondensatory płaskie i cylindryczne. W warunkach rzeczywistych najprostszy kondensator
tworzą dwa przewodniki z płynącym prądem oddzielone izolacją(dielektrykiem). Co za tym
idzie każdy przewód i kabel będący pod napięciem posiada pojemność.
9
8. POJEMNOŚĆ KONDENSATORA PŁASKIEGO
Przypomnijmy sobie teraz zależność napięcia w polu elektrycznym od natężenia pola
elektrycznego i drogi jaką przebył ładunek. Jako napięcie przyjmijmy napięcie pomiędzy
okładkami kondensatora 𝑈, zaś drogę zastąpmy przestrzenią pomiędzy okładzinami tj.
odległością między nimi 𝑑. Wówczas natężenie pola elektrycznego w kondensatorze możemy
przedstawić w następujący sposób:
𝐸 =𝑈
𝑑
Wiemy, że gęstość powierzchniową ładunku możemy określić w dwojaki sposób.
𝜎 = 𝐸𝜀 =𝑄
𝑆⇒ 𝐸 =
𝑄
𝜀𝑆
Spróbujmy więc wyprowadzić pojemność kondensatora płaskiego pamiętając, że jest to
stosunek ładunku do napięcia.
𝑈
𝑑=
𝑄
𝜀𝑆⇒ 𝑈 =
𝑄𝑑
𝜀𝑆⇒
𝑈
𝑄=
𝑑
𝜀𝑆⇒
𝑄
𝑈=
𝜀𝑆
𝑑
W ten sposób wyznaczyliśmy więc pojemność kondensatora płaskiego.
𝐶 =𝜀𝑆
𝑑=
𝜀0𝜀𝑑𝑆
𝑑
9. POJEMNOSĆ KONDENSATORA CYLINDRYCZNEGO
Kondensator cylindryczny, zwany również walcowym, zbudowany jest z okładzin w kształcie
cylindrów współosiowych rozdzielonych dielektrykiem.
10
Okładzinę wewnętrzną tworzy walec o promieniu 𝑟1 = 𝑎, z kolei zewnętrzną walec o
promieniu 𝑟2 = 𝑏. Załóżmy, że napięcie między okładkami kondensatora wynosi
𝑈. Wprowadźmy więc pomiędzy okładziny kondensatora fikcyjną powierzchnię o odległości
𝑟 od środka(czerwona linia). Ładunek ograniczony powierzchnią cylindryczną wynosi 𝑄, przy
czym ze względu na prostopadły względem powierzchni kierunek linii pola elektrycznego
(traktujemy nasz kondensator jako fragment kondensatora o nieskończonej długości) można
założyć, że cały strumień przecina tę powierzchnię zgodnie z twierdzeniem Gaussa.
Ψ = 𝐷𝑆 = 𝜀𝐸𝑆 = 𝜀𝐸2𝜋𝑟𝑙 = 𝑄
Stąd natężenie pola elektrycznego w kondensatorze cylindrycznym nie jest równomierne i
zależy one od oddalenia rozpatrywanego punktu od środka kondensatora.
𝐸 =𝑄
2𝜋𝜀𝑟𝑙
W przypadku nierównomiernych pól elektrycznych pojemność musimy zatem wyznaczyć przy
pomocy metody całkowania. W efekcie czego otrzymamy, że pojemność kondensatora
cylindrycznego jest równa:
𝐶 =2𝜋𝜀𝑙
ln (𝑟2
𝑟1)
Podobnie jednak, jak w przypadku kondensatora płaskiego, pojemność kondensatora
cylindrycznego zależna jest od jego wielkości geometrycznej.
Pojemność została wyznaczona w następujący sposób.
𝑈 = ∫ 𝐸𝑑𝑠
+
−
=𝑞
2𝜋𝜀𝑙∫
𝑑𝑟
𝑟=
𝑞
2𝜋𝜀𝑙ln (
𝑟2
𝑟1)
𝑎
𝑏
Z czego podobnie jak w przypadku kondensatora płaskiego otrzymaliśmy ostatecznie
pojemność kondensatora cylindrycznego.
11
10. ZADANIE NR 1
Wyznacz wartość pracy jaką wykonana zostanie poprzez przesunięcie ładunku w próżni o
wartości 𝑞 = 2 ⋅ 10−12 𝐶 od punktu A do punktu B. Ładunek znajduję się w polu elektrycznym
wytworzonym przez drugi ładunek 𝑄 = 5 ⋅ 10−6𝐶. Punkt a znajduję się 1m od ładunku Q, a
punkt B 1m od punktu A, przy czym ładunek oraz punkty A i B ustawione są w jednej linii.
Rozwiązanie:
W zadaniu należy pominąć natężenie pola elektrycznego wywarzane przez mniejszy ładunek
q, z racji jego znacznie mniejszej wartości od ładunku Q. Możemy zatem skorzystać wprost ze
wzoru na napięcie elektryczne.
𝑈𝐴𝐵 =𝑊
𝑞⇒ 𝑊 = 𝑞𝑈𝐴𝐵
Napięcie przedstawmy następująco jako różnicę potencjałów:
𝑊 = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)
Potencjał w poszczególnych punktach możemy przedstawić w następujący sposób:
𝑉𝐴 =𝑄
4𝜋𝜀0𝑟𝐴, 𝑉𝐵 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟𝐵
Gdzie 𝑟 − odległość punktu od ładunku 𝑄
Stąd też analitycznie możemy dojść do następujących wniosków:
𝑊 = 𝑞 (𝑄
4𝜋𝜀0𝑟𝐴−
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟𝐵) =
𝑞𝑄
4𝜋𝜀0(
1
𝑟𝐴−
1
𝑟𝐵)
Po podstawieniu danych otrzymamy:
𝑊 =2 ⋅ 10−12 ⋅ 5 ⋅ 10−6
4𝜋 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12(
1
1−
1
2) = 0,45 ⋅ 10−7𝐽 = 45𝑛𝐽
12
11. ZADANIE NR 2
Wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego 𝐸1 i 𝐸2 w dielektrykach kondensatora
płaskiego dwuwarstwowego(zbudowanego z trzech okładzin). Napięcie doprowadzone do
układu 𝑈 = 400𝑉, grubość warstw kondensatora 𝑑1 = 0,2𝑐𝑚, 𝑑2 = 0,4𝑐𝑚, a przenikalności
względne warstw 𝜀𝑟1 = 3, 𝜀𝑟2 = 10.
Rozwiązanie:
Kondensator dwuwarstwowy można traktować jako dwa osobne kondensatory połączone ze
sobą szeregowo. Wobec tego napięcie doprowadzone do kondensatora jest równe sumie
napięć występujących na poszczególnych warstwach:
𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2
Ładunek związany z każdą z warstw jest taki sam i wynosi Q.
Z kolei napięcie na poszczególnych warstwach:
𝑈1 = 𝐸1𝑑1, 𝑈2 = 𝐸2𝑑2
Indukcja w każdej warstwie jest taka sama, zatem:
𝐷 =𝑄
𝑆= 𝐸1𝜀1 = 𝐸2𝜀2
Stąd po przyrównaniu do siebie otrzymujemy, że:
𝐸1
𝐸2=
𝜀2
𝜀1
Wobec tego napięcie na okładkach kondensatora wynosi:
𝑈 = 𝐸1𝑑1 +𝐸1𝜀1
𝜀2𝑑2 = 𝐸1 (𝑑1 +
𝜀1
𝜀2𝑑2)
Ostatecznie natężenie pola elektrycznego jest równe:
𝐸1 =𝑈
𝑑1 +𝜀1
𝜀2𝑑2
=400
0,2 +3 ⋅ 0,4
10
= 1250𝑉
𝑐𝑚
𝐸2 =𝐸1𝜀1
𝜀2=
1250 ⋅ 3
10= 375
𝑉
𝑐𝑚
13
12. ZADANIE NR 3
1000 jednakowych jednakowo naelektryzowanych kropli deszczowych zlewa się w jedną.
Ładunek pojedynczej kropli wynosi 𝑞 = 10−12𝐶, a promień małej kropli 𝑟 = 2𝑚𝑚. Wyznacz
ładunek oraz potencjał dużej kropli. Krople należy traktować jako kulę.
Rozwiązanie:
W zadani wykorzystujemy zasadę zachowania ładunku elektrycznego. Krople złączą się w
jedną całość, zatem ładunek złączonej kropli będzie równy sumie ładunków pojedynczej kropli:
𝑄 = 1000𝑞 = 103 ⋅ 10−12 = 10−9𝐶
Promień dużej kropli musimy obliczyć z jej objętości która będzie sumą objętości wszystkich
kropli.
Wyznaczmy zatem objętość pojedynczej kropli:
𝑂𝑏𝑗. =4𝜋𝑟3
3=
4𝜋 ⋅ 23
3= 33,5𝑚𝑚2
Objętość dużej kropl będzie zatem równa:
𝑂𝐵𝐽. = 1000 ⋅ 33,5 = 33 500𝑚𝑚3
Następnie wyznaczamy promień większej kropli:
𝑟 = √3 ⋅ 33 500
4𝜋
3
≈ 20𝑚𝑚 = 0,02𝑚
Tak więc końcowym punktem pozostaje jeszcze jedynie wyznaczenie potencjału złączonej
kropli:
𝑉 =𝑄
4𝜋𝜀𝑟= 𝑘
𝑄
𝑟= 9 ⋅ 109
10−9
0,02=
9
0,02= 450𝑉
14
13. ZADANIE NR 4
Wyznacz natężenie elektryczne w około prostoliniowego przewodu o długości 𝑙
naładowanego z gęstością liniową 𝜏.
Rozwiązanie:
Zadanie rozpoczynamy od pewnego założenia. Potraktujemy mianowicie nasz przewód, jako
fragment nieskończenie długiego przewodu naładowanego z gęstością liniową 𝜏. Oprócz tego
zakładamy, że przewód będzie otoczony powierzchnią cylindryczną o promieniu 𝑟, w tak
sposób aby znajdował się on w osi symetrii tej powierzchni.
Wiemy z definicji gęstości liniowej, że ładunek zawarty w obszarze ograniczonym gęstością
liniową można zdefiniować jako iloczyn gęstości liniowej 𝜏 i długości tej powierzchni 𝑙.
𝜏 =𝑄
𝑙⇒ 𝑄 = 𝜏𝑙
Zgodnie z twierdzeniem Gausa:
Ψ = 𝑄 = 𝜏𝑙
Strumień indukcji elektrycznej możemy z kolei określić poprzez iloczyn indukcji elektrycznej i
powierzchni. Gdzie powierzchnia będzie zakreślona przez otaczającą przewód powierzchnię
cylindryczną:
Ψ = 𝐷𝑆 = 𝐷2𝜋𝑟𝑙
Samą indukcję elektryczną określamy jako:
𝐷 = 𝜀𝐸
Stąd też:
Ψ = 𝜀𝐸2𝜋𝑟𝑙
Tak więc przyrównując do siebie strumień indukcji elektrycznej z powyższego wzoru, jak i
bezpośrednio z Twierdzenia Gausa otrzymamy natężenie pola elektrycznego.
𝜀𝐸2𝜋𝑟𝑙 = 𝜏𝑙 ⇒ 𝐸 =𝜏
2𝜋𝜀𝑟
15
14. ZADANIE NR 5
Wyznacz pole elektryczne naładowanej kuli o promieniu a i objętości 𝑉 równomiernie poprzez
ładunek o gęstości objętościowej 𝜌.
Rozwiązanie:
Zadanie rozpatrujemy analogicznie do zadania nr 4. Otaczamy kulę powierzchnią sferyczną o
promieniu 𝑟 większym od promienia kuli (𝑟 > 𝑎). Przekrój takiego układu przypominać będzie
nam przekrój kondensatora cylindrycznego.
Ładunek ograniczony w kuli będzie zatem zgodnie z definicją gęstości objętościowej równy:
𝑄 = 𝜌𝑉
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:
Ψ = 𝑄 = 𝜌𝑉 = 𝜌4
3𝜋𝑎3
Strumień indukcji elektrycznej możemy z kolei określić poprzez iloczyn indukcji elektrycznej i
powierzchni. Gdzie powierzchnia będzie zakreślona przez otaczającą kulę powierzchnię
sferyczną:
Ψ = 𝐷𝑆 = 𝐷4𝜋𝑟2
Samą indukcję elektryczną określamy jako:
𝐷 = 𝜀𝐸
Stąd też:
Ψ = 𝜀𝐸4𝜋𝑟2
Tak więc przyrównując do siebie strumień indukcji elektrycznej z powyższego wzoru, jak i
bezpośrednio z Twierdzenia Gausa otrzymamy natężenie pola elektrycznego.
𝜀𝐸4𝜋𝑟2 = 𝜌4
2𝜋𝑎3 ⇒ 𝐸 =
𝜌𝑎3
3𝜀𝑟2