Post on 05-Apr-2015
Wellenoptik
Maxwell-Gleichungen elektromagnetische Wellen (z.B. Licht)
Spezialfall: ebene monochromatische elektromagnetische Welle
Dispersionsrelation: (Vakuum) (Medium) kcω kcω k
n
cω
k
n
cω
Ausbreitungsrichtung: Vakuum: BES 00
BES 00
k||S
k||S
tωrki0
tωrki0
eBB
eEE
tωrki0
tωrki0
eBB
eEE
300 CB,E
| BRe,ERe
physikalisch relevant:
kDBk
kEBk
00
00
im Vakuum
im neutralen Medium
1. Polarisation1.1. Vorbemerkungen
Beispiel:
schwingende Ladung
Hertzscher Dipol E
Polarisation || Dipolachse
Glühbirne statistisch verteilte Hertzsche Dipole unpolarisiertes Licht
tωrki0
tωrki0
eBB
eEE
tωrki0
tωrki0
eBB
eEE
Die Auszeichnung einer Schwingungsebene des E-Feldes heißt Polarisation
E Definition:
Umformulierung:
e
0
eb
a
EE xtωzkii0
e
0
eb
a
EE xtωzkii0
0
0
0
0
20
200
xy
E
Eb,
E
Ea
EEE
yx
yx
0
0
0
0
20
200
xy
E
Eb,
E
Ea
EEE
yx
yx
mit
1.2. Polarisationszustände; Jones-Vektoren ( Vakuum )
(o.B.d.A.: )0Eekk zz
y
y
x
x
tωzki0y
tωzki0x
eEE
eEE
0
eE
eE
E y
y
x
x
i0
i0
0
komplex
reell E ,E wobei ,yx 00
Jones-Vektor zur Beschreibung der Polarisation (im Anfangszustand)
pp
Bemerkung: Umdefinition von x und E0 Klasse äquivalenter Jones-Vektoren Cκ,pκp
|
1.2.1. Definitionen
Konvention:
epEE xtωzki0
epEE xtωzki
0
• einlaufender Strahl: a, b reell,
Lichtintensität:
1bappp 222
EpEEI 20
220
2
0
• auslaufender Strahl: eeba
p ii
eeba
p ii
a, b reell
222bap
Bruchteil der auslaufenden Strahlintensität
neue relative Phase zwischen Ey und Ex gemeinsamer Phasenschub für Ex und Ey
0eba
p i
0eba
p i
Zerlegung in Basiszustände (Beispiele):
10
e01
e yx
10
e01
e yx
eebeap yi
x
eebeap y
ix
i
1
2
1e
i1
2
1e LR
i1
2
1e
i1
2
1e LR
eebiaeebiap Li
21
Ri
21
eebiaeebiap Li
21
Ri
21
yx eαsineαcosαsinαcos
pbap0
x
y
p
E
Zeitlich und räumlich feste
Schwingungsebene
1.2.2. Lineare Polarisation
1ba 22
Horizontale Polarisierung
xe||p0α
y2π e||pα
Vertikale Polarisierung
LR,iLR, ei
1
2
1e1
2
1p
2
1ba ,
2
π2π
2π rechts-zirkular polarisiert
Nach Photon-Spin (Quantenmechanik)... (optische Nomenklatur genau umgekehrt )
2π links-zirkular polarisiert
yInterpretation:
x2
E
x2
Ex
zktωcos
tωzkcosERe
0
0
x2
E
2π
x2
Ey
zktωsin
tωzkcosERe
0
0
t
const.x
ERe
z
const.z
const. 2
π
2
π
t const. umgekehrte Drehbewegung
Drehende Rechts-/Linksspirale entlang
z-Achse
Drehende Rechts-/Linksspirale entlang
z-Achse
1.2.3. Zirkulare Polarisation
1.2.4. Elliptische Polarisation (1)
ie
1
2
1p
2
1ba , ππ,
:0 :0
04
π3
4
π
2
π π
:0 :0
04
π3
4
π
2
π π
bia
p0,1ba, , 2
π
ba0 ba0 ab0
: 2π : 2π
ba0 ab0
ba0 ba0 ab0
: 2π : 2π
ba0 ab0
1.2.5. Elliptische Polarisation (2)
Beispiel: Linear polarisierte Basis Zirkular polarisierte Basis
0ee ee 1ee ee
10
e01
e
xyyxyyxx
yx
1.2.6. Wechsel der Orthonormalbasis
Linear:
0eeee 1eeee
i
1
2
1e
i1
2
1e
LRLRLLRR
LR
Zirkular:
eee
eee
LR2i
y
LR21
x
eee
eee
LR2i
y
LR21
x
2i
2i
21
21
Ein linear polarisierter Lichtstrahl kann als Superposition eines rechts- und eines links-zirkular polarisierten Strahls jeweils
halber Intensität aufgefasst werden.
Basiswechsel: Lichtzerlegung:
eee y2i
x21
LR,
eee y2
ix2
1LR,
2i
21
2i
21
Ein zirkular polarisierter Lichtstrahl kann als Superposition eines horizontal und eines vertikal linear polarisierten Strahls
jeweils halber Intensität aufgefasst werden.
Basiswechsel: Lichtzerlegung:
Def.: pMp pMp
M Jones-Matrix C C
| |
optisches System
p
p
s
• Achtung: Matrixelemente ( Darstellung ) von M hängen von Basiswahl ab!
Bei uns ab jetzt stets Standardbasis yx e,e
Bemerkung:
• Verkettung optischer Systeme:s
MMM 12tot MMM 12tot M2 M1
1.2.7. Polarisationstransport
Exkurs: Über Basiswechsel
IUUUU UU eUe jk
2
1jjjkk
mit unitär, d.h.
U U T U U T Basiswechsel:
U
mmmm
Ummmm
M2212
2111
2212
2111
Transformation der Komponenten der Jones-Matrizen:
2
1
2
12211 p
pU
pp
epepp
Transformation der Komponenten der Jones-Vektoren:
U unitär Intensität bleibt bei Basiswechsel erhaltenpp
Beispiel: Linear-Polarisator (Linear-Polarisationsfilter)
x-Orientierung:
00
10M
01
01M
x
x
0001M x
y-Orientierung:
10
10M
00
01M
y
y
1000M y
Beispiel: Polarisationsdreher
xe
ye
p
p
M Drehmatrix
αcosαsinαsinαcos
M
αcosαsinαsinαcos
M
Beispiel: Allgemeiner Linear-Polarisator
αcosαsinαsinαcos
0001
αcosαsinαsinαcos
M α
xe
ye
Polarisator-Achse
Aufspaltung in Sub-Systeme:
1. Drehung um
2. Horizontal-Polarisator
3. Rückdrehung um
αcosαsin
αsinαcos
0001
αcosαsinαsinαcos
αsinαcosαsin
αcosαsinαcosM 2
2
α
Beispiel: Polarisator-Analysator
0αcosαsin0αcos
0001
αsinαcosαsinαcosαsinαcos
MMM 2
2
2
xα
0αsin0αcos
αcosM
s M Mx
Horizontal-Polarisator
um gedrehter Analysator-Polfilter
parallele Ausrichtung MMx
9 gekreuzte Ausrichtung M0
Beispiel: Polarisator-Regenerator-Analysator
αcosαsin0100
αcos0αsin0αcos
1000
MMMM xαy
0100
α2sinM 21
s
Horizontal-Polarisator
um gedrehter Regenerator
gekreuzter Analysator
Mx M My
, 90 M0, Auslöschung
45
0100
2
1M
Polarisationstransfer x y
Intensitätsabschwächung auf ¼
Polarisationstransfer x y
Intensitätsabschwächung auf ¼
Paradox (?)Hinzufügen des mittleren
Filters führt zur Aufhellung Quantenmechanik
Paradox (?)Hinzufügen des mittleren
Filters führt zur Aufhellung Quantenmechanik
1.3. Erzeugung von polarisiertem Licht
Materie mit anisotropen
Eigenschaften
bevorzugte Schwingungsrichtung
atomarer Dipole
Polarisierung von transmittiertem Licht
eeee tωiκtωzωitωzki czn
czω
cε
k ε
cω k
ε
cω
Dämpfung ebene Welle
Anisotrope Absorption: z.B.
(Teil-) Polarisation
yyxx epκκκepκ
1.3.1. Dichroismus selektive Absorption
Mathematische Beschreibung der Absorption:
komplexer Brechungsindex κ inε
Technische Reaslisierung des Dichroismus:• Polarisationsfolien mit in Gelatine eingelagerten, ausgerichteten
dichroitischen Kristallen (z.B. Turmalin)• Kunststoffolien aus ausgerichteten, leitfähigen MolekülkettenBemerkung: Die Vorzugsrichtung der Polarisation heißt optische Achse
Nachteile:• hohe Absorption auch in Vorzugsrichtung
( z.B. Belichtungszeitverlängerung bei Fotografie mit Polfiltern)
• Hitzeempfindlichkeit ( z.B. kritisch bei Laser-Anwendungen)Analogon für cm-Wellen: Drahtgitter, Drahtabstand d
E
dλ Strom entlang Teilabsorption Totalabsorption
E
dλ
E
kein Stromfluss entlang Voll-Transmission
E
d2sΔ P
Beispiel: Zirkularpolarisator für cm-Wellen
45
linear polarisiert ( )
P||
11
2
1pin
Phasensprung Phasensprung
dPhasensprung 0Phasensprung 0
Phasensprünge (für P und P) für Reflexion an Grenzschichten zwischen zwei Medien mit
unterschiedlichen Brechungsindizes aus Fresnelschen Formeln Theorie-VL
01
2
1p 1
out
Δskπi
2out e
0
2
1p
24
λd
d2πΔskπ 2π
λπ2
23
falls
i1
2
1pout
zirkular polarisiert
Folgerungen:• Vollständige -Polarisation bei Reflexion unter Brewster-Winkel• Schwache -Polarisation (typisch ) des transmittierten Strahls
• Vollständige -Polarisation bei hinreichend langer Folge von Brewster-Reflexionen
1.3.2. Polarisation durch Reflexion
n1
n2 ( n1 )
reflektierter Teilstrahl
Strahlebene
transmittierter Teilstrahl
Fresnelsche Formeln Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für Intensitäten
2
in
2
trans
2
in
2
ref
E
ET,
E
ER
... qualitativ:
R
0
1
0 2π
RR
: Polarisation bzgl. Strahlebene
Brewster-Winkel
Anwendung: Polfilter in Fotografie (Vermeidung oder Betonung von Spiegelungen)
Anschauliche Herleitung des Brewster-Winkels:
n1
n2 ( n1 )
reflektierter Teilstrahl
Strahlebene
transmittierter Teilstrahl
Schwingender Hertzscher
Dipol
P
Hertzscher Dipol strahlt senkrecht zur Dipolachse
R ist stets P
Hertzscher Dipol strahlt nicht entlang der Dipolachse R wenn reflektierter
Strahl senkrecht zum transmittierten Strahl
verlaufen würde
Bedingung für Brewster-Winkel90βα
1.3.3. Polarisation durch StreuungStreuung von Sonnenlicht an Stickstoff- und Sauerstoff-Atomen der Atmosphäre
E
Elektronenhülle eines Atoms
Schingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol
θcosωθI 24
Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols
• Blau viel stärker gestreut als Rot blauer Himmel
• Streuung azimutal symmetrisch• Keine Streuung entlang der
Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls
von Sonne
weißunpolarisiert
rötlichunpolarisiert
bläulichvoll polarisiert
Polfilter-Anwendung in Fotografie:
• Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung
• Veränderung des Farbkontrasts
1.3.4. Doppelbrechung
a) Lichtausbreitung in anisotropen Medien (ohne Absorption)
Eε̂εPEεD 00
relative Dielektrizitätskonstante
positiv definiter, symmetrischer Tensor 2. Stufe vollkommen analog zum Trägheitstensor
ε̂
E D i.a.
Wahl des ( orthogonalen ) Koordinatensystems:
• Hauptachsensystem:
• Konvention der Achsennummerierung:
n000n000n
ε000ε000ε
ε̂ 23
22
21
3
2
1
n000n000n
ε000ε000ε
ε̂ 23
22
21
3
2
1
nnnεεε
321
321
nnnεεε
321
321
Der Brechungsindex ( die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes) hängt in anisotropen Medien von der Polarisation des Lichtes ab
lineares Medium
b) Wellengleichung des E-Feldes (aus Maxwell-Gleichungen)
t
E
c
ε̂EΔ
2
2
2
t
E
c
ε̂EΔ
2
2
2
allgem. Lösung Superposition ebener Wellen
Ebene-Wellen-Lösung:
000
tωrki0
tωrki0 Eε̂εDmit eDD ,eEE
000
tωrki0
tωrki0 Eε̂εDmit eDD ,eEE
reell D , E 00
22
222 ωˆ
t , ωiˆ
t , kˆΔ , kiˆ
r
02
2022
22
2
22 Eω
c
ε̂EkEω
c
ε̂
t
E
c
ε̂EΔEk
2D
1D
22202
2
01
02
02
2
012 ωeε̂eckD
c
ωDε̂DkD
c
ωDε̂k
kn
cω
21
D1
D eε̂en
polarisationsabhängiger Brechungsindex
0
0D
D
Demit
(analoge Gleichung für B-Feld)
c) Relative Ausrichtungen von und k ,D ,B ,E
BES
• ungeladenes Medium 00 Dk0Dki0D
• 00 Bk0Bki0B
• 0000 BEBωiEkit
BE
• 000000 BDDμωiBkit
DμB0j ,1μ
• SB,SEBES 00
liegen alle in der Ebene00 D ,E ,S ,k
0B
0B
0D
k
0E
S
Ausbreitungsrichtung der Phasenfläche
Ausbreitungsrichtung des Lichtstrahls, d.h.
Fussrichtung der Energie
d) Indexellipsoid:
r2
r1
r3
n1
n3
k
kD0
n
Schnittellipse k
1rε̂r 11
n
r
n
r
n
r23
23
22
22
21
21
Hauptachsen-
System
1enε̂eneε̂en D1
DD1
D21
liegt auf IndexellipsoidDen
n2n2
e) Optische Achsen:
-Richtungen, in denen Schnittellipse zum Kreis entartetk
k
Konstruktion mit Indexellipsoid:
Blickrichtung entlang mittlerer Hauptachse ( r2 )
r3
r1
n1
n3
Ellipsoidquerschnitt
Kreis mit Radius n2
Optische Achse 1
Optische Achse 2
• n1n2n3n1 genau 2 optische Achsen (zweiachsige Kristalle)
• n2 n1 oder n2 n3 genau 1 optische Achse (einachsige Kristalle), identisch mit der kleinen oder großen Hauptachse
• || optische Achse n unabhängig von Richtung von (isotroper Fall) die zur optischen Achse senkrechte Komponente ist stets ||
• auf beiden optischen Achsen || Hauptachse 2
k
keD
E
D
D
D
S||kD||E
n2n2 r3
r1
n1
n3
Ellipsoidquerschnitt
Kreis mit Radius n2
Optische Achse 1
Optische Achse 2
f) Spezialfall: Einachsige Kristalle
1. Fall: n n1n2n3 n|| optisch positiver Kristall
2. Fall: n|| n1n2n3 n optisch negativer Kristall
Definition: optische Achse (OA)
nn||
Ordentlicher Strahl (OS): optische Achse, nOSn0D
OSk
0DnOS
AOSk 0D
nAOS
OS: auf Ebene der optischen Achsen0D
AOS: in Ebene der optischen Achsen0DFür zweiachsige Kristalle:
(falls in OA-Ebene) k
Außerordentl. Strahl (AOS): in Ebene (OA, ) , nAOS n|| nk
0D
g) Doppelbrechung (einachsiger Kristall):
0E OS
AOS
Optische Achse
AOS:
k
S
0E 0D
D0-Komponente senkrecht zur
Oberfläche ist stetig
D0-Komponente senkrecht zur
Oberfläche ist stetig
0D Optische Achse
0D
||0D
0D
DE
DE
0nε1
0
0nε1
0
20
||2||0||
DE
DE
0nε1
0
0nε1
0
20
||2||0||
k
0E S
E0-Komponenten parallel zur
Oberfläche sind stetig
E0-Komponenten parallel zur
Oberfläche sind stetig
OS: S||kD||E
wie isotropes Medium
Beispiel: Kalkspat Ca C O3
Rhomboeder
120°
Optische Achse
Aufsicht entlang der optischen Achse
CaC
O
OO
Die Bindungselektronen sind stärker in der CO3-Ebene gebunden als senkrecht dazu
1.4.1. Doppelbrechende Polarisatorena) Nicolsches Prisma aus Kalkspat:
Optische Achse
Kanadabalsam nK 1,54OS
OS: nOS 1,66 nK Totalreflexion
AOS
AOS: nAOS 1,49 nK Transmission und Parallelverschiebung
1.4. Anwendungen
b)Glan-Thompson-Polarisator aus Kalkspat:
Optische AchseKanadabalsam
nK 1,54
OS: nOS 1,66 nK Totalreflexion
AOS: nAOS 1,49 nK Transmission ohne Parallelverschiebung
AOS
OS
c) Zirkular-Polarisatonswandler( - Plättchen) Optische
Achse
d
k
kcω
nn
1
4
λd
||
nn
1
4
λd
||
Vakuum-Wellenzahl: kWellenzahl im Medium:Phase bei fester Zeit t: k(n) z t
knnk ncω
Phasenvorschub durch Platte (t fest):
dnλ
π2dnkdnkδ:E
dnλ
π2dnkdnkδ:E ||||||||||
Relativer Phasenversatz:2
πnn
λ
dπ2nndkδδΔ ||||||
Optische Achse
ein0E i
12
1e1
2
1p1
12
1p
2πiausein
i
12
1e1
2
1p1
12
1p
2πiausein
1.4.2. Polarisationsdreher Optische Achse
d
k
kcω
nn
1
2
λd
||
nn
1
2
λd
||
- PlättchenRelativer Phasenversatz: (wie -Platte)
πnnλ
dπ2δδΔ ||||
αsin
αcosp ein
αsin
αcosp ein
Optische
Achse
0E
αsin
αcos
αsine
αcosp πiaus
αsin
αcos
αsine
αcosp πiaus
Optische
Achse
0E
Drehwinkel
1.4.3. Optische Aktivität
In optisch aktiven Medien wird Polarisationsrichtung von linear po-larisiertem Licht gedreht, unabhängig von anfänglicher Polarisation.
Ursache: Drehsinn von Molekülen ( z.B. Bio-Makromoleküle)
Beispiel: helikale Strukturen
Folgerung: Brechungsindizes für R/L-zirkular pol. Licht nn LR nn LR Folgerung: Drehwinkel ist proportional zur Schichtdicke d.
dαα s dαα s
d
Spezifisches Drehvermögen:
nnα RLλπ
s Beweis (graphisch):
RL
kzconst.
2
1
Lnλ
dπ2
Rnλ
dπ2
2
1
dnnλ
πRL
1.4.4. Spannungsdoppelbrechung
äußerer Druck / Zug in Festkörpern
Doppelbrechung durch innere Verspannung
s
Horizontal-Polarisator
Werkstück (verspannt)
gekreuzter Analysator
MxMy
Auslöschung ohne Verspannung
Auslöschung ohne Verspannung
• Wichtige Methode zur Untersuchung der Qualität von Werkstücken
• Abhilfe gegen Verspannungen Tempern