Post on 29-Jan-2020
1 | P a g e
Clasele VII-IX
INTRODUCERE ÎN INEGALITĂȚI. METODE
Manuela Prajea1)
Scopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregătesc pentru concursuri cu câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau neomogene. Lecția poate fi parcursă și fără profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, având în vedere (sau nu) metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca acestea să fie consultate doar în cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecărei metode.
A) INEGALITĂȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI ÎN FACTORI, ÎNSUMAREA UNOR INEGALITĂȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR
Inegalitatea mediilor pentru două numere:
,
Inegalitatea mediilor pentru trei numere:
,
Inegalitatea mediilor pentru numere, :
,
1) 2)
3) 4)
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
2 | P a g e
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17)
18)
19)
20)
21)
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finală, clasa a VII-a, 2010
22) 23)
24) 25)
26) 27)
28) 29)
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
3 | P a g e
30)
31) a)
b)
Olimpiada Națională de Matematică-Etapa județeană, clasa a IX-a, 2009
32) Dacă sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătați că:
B) INEGALITĂȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI
Inegalitatea Cauchy-Buniakovski
, ,
Aplicație: Inegalitatea Panaitopol
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
4 | P a g e
8) ,
9)
10) Dacă astfel încât , arătați că
11) (Euler)
C) INEGALITĂȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE –SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE
1)
2)
3)
4)*
5)*
6)*
Test OBMJ, 2008
7)
D) INEGALITĂȚI DE TIP CEBÂȘEV
Dacă și avem două secvențe de aceeași monotonie, adică :
și , atunci:
1) , unde
reprezintă o permutare a numerelor .
2) .
Dacă și avem două secvențe de monotonie inversă, adică :
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
5 | P a g e
și , atunci:
1) , unde
reprezintă o permutare a numerelor .
2) .
1)
2)
3) (Nesbitt)
4)
5)
6)
7)
E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**
HOLDER) Dacă și , atunci:
JENSEN)** Dacă este o funcție convexă (concavă) pe atunci
, avem:
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
6 | P a g e
1)
T
est selecție OIM, Moldova, 2002
2)
3)**
4)**
5)**
6)**
F) INEGALITĂȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
G) INEGALITĂȚI TRIGONOMETRICE
1)
2)
3)
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
7 | P a g e
H) INEGALITĂȚI CARE SE DEMONSTREAZĂ CU AJUTORUL PROPRIETĂȚILOR UNOR FUNCȚII
1)
2)
3)**
4)**
5)**
6)
7)** , lungimile laturilor unui triunghi
8)* lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006
Bibliografie:
(1) A. Petrușel și alții Algebră pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010(2) L.Panaitopol, M.Lascu, V.Băndilă Inegalități, Ed.Gil, 1996(3) I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții Inegalități alese în matematică, Ed.Niculescu, 2005(4) Vo Quoc Ba Can Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008
INDICAȚII:
Prescurtări utilizate:
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
8 | P a g e
IM –inegalitatea mediilor, ma- media aritmetică , mg- media geometrică , mh- media armonică , MS- membrul drept , MD- membrul stâng , ICB- inegalitatea Cauchy-Buniakovski , IP- inegalitatea Panaitopol , IC- inegalitatea Cebâșev, IH- inegalitatea Holder, IJ- inegalitatea Jensen
A) 1)-4)calcul direct cu descompunere în factori sau binoame sau mg&ma 5),6)calcul direct sau 7)binoame sau mh&ma 8)calcul direct- binoame si mg&ma sau mg&ma de doua ori 9) calcul-binoame sau mg&ma
10) de doua ori ineg sau binoame de doua ori 11) de doua ori mp&ma 12)mh si ma
13)nr.si inv.sau sau mg&ma 14) suma de cuburi in dreapta 15)calcul direct 16) mg&ma sau calcul direct si binoame 17) binoame 18)însumare de ineg analoage –ineg de la 2) 19) însumare de ineg analoage- fiecare fracție e mai mică ca 1/3 20)însumare de mg&ma 21)mg&ma 22),23) calcul direct și binoame 24)-29) mg&ma 30) se obtine prin însumarea unor ineg analoage 31)a) de doua ori mg&ma b) însumarea ineg tip a) 32) descompunere în factori
B) 1)Substituții sau ICB: și cu tranzitivitatea,etc. sau IP.
2)analog 3)
4) etc. sau IP .
5) ,etc. sau IP . 6) ICB
7)
8) im de două ori pentru 3 numere sau binoame,etc
9)
10) IM de două ori pentru două câte două din numere și adunate relațiile.
11) cu substituțiile: , etc se ajunge la ieg de la A)16) 12) mh&ma
C) 1) In vederea omogenizarii, fie etc 2) analog cu 1) . 3) În vederea omogenizării: IM
etc. 4)*MS asimetric, MD simetric. În vederea simetrizării MS, obs că
, deci . și astfel ineg devine una simetrică:
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
9 | P a g e
care se va obține prin însumarea ineg analoage de tipul 5)* Se
aplica IP sau, alta abordare:MS asimetric, MD simetric. Prin însumarea ineg de tipul (*).
Apare întrebarea :De ce (*)?Caut o ineg de tipul: , care aplicată pentru
, după însumare să conducă la un MD simetric.Deoarece egalitatea
are loc pentru , adică , deducem că și obținem:
, (descompunerea are loc deoarece
iese factor comun- egalitatea avea loc pt ), deci din paranteza dreaptă mai iese factor a.î. ineg precedentă să aibe loc. Atunci pt în paranteza dreaptă, ea devine nulă, adică a
. 6) ineg este echivalentă cu: și
considerăm, în vederea omogenizării: ,deci
, conform IP. 7) cu se obține ineg
de la B) 9).D) 1) Ineg fiind simetrică în , putem presupune fără a afecta generalitatea problemei că .Atunci
secvențele sunt la fel ordonate, etc 2)inegalitatea nu este simetrică în deci nu putem
presupune că fără a afecta generalitatea problemei. Dar se poate observa că secvențele
sunt la fel ordonate, etc. 3) Se poate presupune, datorită simetriei, că și atunci
tripletele sunt la fel ordonate.Sau se aplică CP al ICB. 4),5) Analog cu 3).
6) Cu IC și IC sau IM, avem: . 7) și se
aplică ineg de tip Cebâșev.
E) 1) Cu IH avem: , etc. 2) Cu IH generalizată. avem:
. 3)** convexă și
etc. 4)** Jensen pentru , ,cu ,deci f convexă. 5)**
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
10 | P a g e
este convexă deoarece și Jensen. 6)** Dacă normăm inegalitatea cu
( se înmulțește inegalitatea cu și se simplifică apoi cu .se notează
tot cu , etc), ineg devine la fel cu cea precedentă.
F) 1) Se consideră un triunghi echilateral de latură 1 și astfel ca
.Se utilizează arii. 2) analog 3)Se consideră un triunghi având două laturi și unghiul
dintre ele de 60 grade,etc.4)Dacă în reperul cartezian alegem punctele atunci ineg
devine una geometrică, anume: , adică etc. 5) Se aleg în reperul cartezian
punctele ,etc.
G) 1) Pentru orice , există și sunt unice numerele a.î. și
Ineg. devine : , evident adevărat. 2) , ineg devine
. 3) ,etc
H) 1) Fie și cum este funcție de gradul I, deci monotonă,
se va realiza în 0 sau 1, etc. 2) Cu obținem:
și , ordonând după variabila considerăam funcția de gradul
al II-lea în care va avea ,etc. 3)** Fie , ,
. Din tabelul de variație avem: , având loc pentru și
.Analog se consideră funcțiile de variabile b,c și considerând
, deducem că și are loc
pentru și, după calcule- sunt deci 8 triplete în care se va calcula , obținem
.4)** analog . 5)** analog cu 3)** doar că derivata întâi a funcției nu ne furnizează
rapid informații, în timp ce derivata a doua a funcției ne arată că este convexă deci își atinge maximul
în și atunci și își atinge maximul în unul din punctele .Se obține
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică
11 | P a g e
6) .Dacă b=1 se arată că
, dacă atunci maxf are loc pentru x=0 sau x=1,etc.
7)Putem presupune fără a afecta generalitatea problemei, de exemplu, că a este cel mai mic dintre
numerele a,b,c și fie
Deoarece , deducem că ,etc.
8) Cu ICB: și se continuă apoi cu ineg precedentă.
1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:prajeamanuela@yahoo.com*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică