Volné kroucení masivních prutů

Řešení Metodou konečných prvků

Pavel GruberJan Bažil

Předpoklady

• Geometrie prutu• masivní• prizmatický

• Zatížení prutu• pouze krouticí moment => prosté kroucení• nulové objemové síly

Účinek zatížení na prut

• natočení průřezu kolem osy x

• zprohýbání průřezu v rovině yz

tzv. deplanace průřezu

• deplanaci není bráněno => volné kroucení

(St. Vénantovo)

Redukce vektoru napětí

• vznikají pouze smyková napětí xy a xz působící v rovině průřezu

• na hranici průřezu je výslednice napětí x tečnou k hranici průřezu

xy

xz

Redukce vektoru deformace

Txyxz

xy

xz

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xy

xz

yz

z

y

x

G

G

G

ccc

ccc

ccc

DCC

,

0

0

0

0

100000

01

0000

001

000

000

000

000

1

Kinematika přemístění průřezu

• průřez se chová jako tuhá deska

yxyxw

zxzxv

zyxu

yzzy

,

,

,,

0

Geometrické rovnice

zkrouceníúhelrelativní

dx

xd

zy

uz

dx

xd

y

uzx

xy

u

x

v

y

u

yz

uy

dx

xd

z

uyx

xz

u

x

w

z

u

w

v

u

xy

xz

u

xy

xz

xy

xz

T

...

0

0

Relativní úhel zkroucení

..00),(

0),(),()(),,(

),()(),,(

2

2

2

2

konstkonstdx

xd

dx

xdzy

zydx

xdzy

dx

xd

x

zyxu

zyxzyxu

x

Fyzikální rovnice

zy

zyGz

y

zyGz

y

uGG

yz

zyGy

z

zyGy

z

uGG

G

G

D

xyxy

xzxz

xy

xz

xy

xz

),(),(

),(),(

0

0

Statické rovnice

• podmínka rovnováhy ve směru osy x

0

0

0

,

,

0

0

0

00

zy

zy

x

x

yz

XX

xy

xz

0

yzxyxz

Kruhový (eliptický) průřez

• kruhový (eliptický) průřez nedeplanuje, tudíž deplanační funkce je identicky rovna nule

p

x

p

A

x

AA

xyxzx

xy

xz

GI

M

dx

d

IGdAzyGM

dAzGyGdAzyM

zGzy

zyG

yGyz

zyG

zy

22

22

),(

),(

0),(

Obecný masivní průřez

• silová varianta řešení• základem je rovnice kompatibility

Gzy

zGyG

zGyz

u

zy

uG

z

yGyz

u

yz

uG

y

xyxz

xyxz

xyxy

xzxz

2

11

1

1

• rovnice kompatibility a statická rovnice (podmínka rovnováhy ve směru osy x) tvoří soustavu dvou diferenciálních rovnic pro neznámé xy a xz.

• pomocí St. Vénantovy funkce napětí y,z), kterou zavedeme tak, aby splnila podmínku rovnováhy, převedeme soustavu diferenciálních rovnic na jedinou diferenciální rovnici

02

yzG

zyxyxzxyxz

Rovnice kompatibility

Gzy

Gzy

zyzyyz

yz

xyxz

xyxz

xzxy

22

00

,

2

2

2

2

Okrajová podmínka

• na hranici průřezu je výslednice napětí x tečnou k hranici průřezu

0,0

,

sin

cos

RCddyy

dzz

yz

dydz

dy

dz

xzxy

xzxy

xy

xz

• hodnota relativního úhlu zkroucení je neznámá, není možné takto formulovaný problém řešit, je nutné jí z problému vyloučit zavedením substituce

na

naGzy

0

22

2

2

2

na

G

zy

Gz

G

y

G

G

0

00

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Problém• Slabá formulace problému

na

na

0

2

ddzz

dyy

dzz

dz

dyy

dyyy

dy

dzy

dzy

dd

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Galerkinovská aproximace

• lineární trojúhelníkoví prvek se třemi stupni volnosti

Tz

y

rrrr

z

N

z

N

z

NB

y

N

y

N

y

NB

NNNN

321

321

321

321

,,

,,

,,

,,

Báze

frK

dNrdBBBB

dNrrdBBBBr

drNdrBrBdrBrB

rBy

rBz

rN

rBy

rBz

rN

Tz

Tzy

Ty

TTz

Tzy

Ty

T

zzyy

yz

yz

2

2

2

,,

,,

Moment tuhosti v kroucení

dAzyIGI

M

dx

d

dAzyM

partesper

dAz

zy

ydAzyM

yz

A

kk

x

A

x

AA

xyxzx

xzxy

,2

,2

,

G=81GPa

Mx=1OkNm1 m

1 m

Příklad

• chceme-li uvažovat chybu v řádu 10-4 použijeme

dělení velikosti 1/32 hrany

Funkce (y,z)

Smykové napětí xy resp. xz

Závěr

• MKP St.Vénant

• maximální hodnota napětí

• 45,97kPa 45kPa

• moment tuhosti v kroucení

• 0,14m4 0,15m4

Reference

• Pružnost a pevnost 10, Bittnarová, Šejnoha, ČVUT• Pružnost a pevnost 20, Bittnarová, Šejnoha, ČVUT• Numerické metody mechaniky I, Bittnar, Šejnoha,

ČVUT