Post on 05-Jan-2016
description
VJEROJATNOST VJEROJATNOST SLUČAJNOG DOGAĐAJASLUČAJNOG DOGAĐAJA
OSNOVE EKONOMETRIJEOSNOVE EKONOMETRIJE33
Klasična definicijaU klasičnoj se teoriji pretpostavlja da je prostor elementarnih događaja konačan, da su svi ishodi jednako mogući, te da je vjerojatnost događaja omjer broja ishoda koji realiziraju događaj i broja svih jednako mogućih ishoda.
n
mAP )(
m = broj ishoda koji realizira događaj An = broj svih jednako mogućih ishoda
Bacanje novčića: vjerojatnost da padne glava
Vjerojatnost apriori ili matematička vjerojatnost
Bacanje kocke: vjerojatnost da padne petica
Vjerojatnost aposteriori ili statistička vjerojatnost
Bacanje novčića više puta: vjerojatnost da padne glava
Osobe koje traže zaposlenjeGodine starosti
Broj osoba p
od do
18 20 685 0,1370
20 25 900 0,1800
25 30 864 0,1728
30 40 1330 0,2660
40 50 848 0,1696
50 60 267 0,0534
60 70 106 0,0212
5000 1
i
ii f
fp
n
AmAP
n
)(lim)(
A
Primjer: Eksperiment bacanje kockeDogađaji:A-pao je paran brojB-pao je broj manji od 3
B
6;5;4;3;2;1S
C-pao je paran broj manji od tri
6;4;2A 2;1B
2 BACD-pao je broj manji od 3 ili parni broj 6;4;2;1 BAD
S2
1
6
3)( AP
3
1
6
2)( BP
)()(6
1)()( BPAPBAPCP
6
4
6
1
6
2
6
3
)()()(6
4)()(
BAPBPAP
BAPDP
)(16
4)( BPBP
Primjer: Eksperiment bacanje dvije kocke promatra se zbroj brojeva na obje kocke1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
Izračunajte vjerojatnost Izračunajte vjerojatnost slučajnih događaja:slučajnih događaja:
1.1. A - zbroj djeliv sa 5A - zbroj djeliv sa 52.2. B - zbroj djeliv sa 3B - zbroj djeliv sa 33.3. C - zbroj je paran brojC - zbroj je paran broj4.4. D - zbroj djeliv sa 3 ili 5D - zbroj djeliv sa 3 ili 55.5. E - zbroj djeliv sa 2 ili 5E - zbroj djeliv sa 2 ili 5
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
36
7)( AP
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
36
12)( BP
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
2
1
36
18)( CP
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
BA Ø
36
19
36
12
36
7)()()()( BPAPBAPDP
BA Ø )()()()()( CAPCPAPCAPEP
36
22
36
3
36
18
36
7)( EP
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
Uvjetna vjerojatnostŽelimo izračunati vjerojatnost da će se dogoditi događaj B ako se dogodio događaj A
0)( )(
)()/(
AP
AP
BAPABP
A B
12
5
)(
)()/(
Am
BAmABP
S
30n 12)( Am
15)( Bm
30
12)()(
n
AmAP
30
15)()(
n
BmBP
12
5
3012305
)/( ABP
Kolika je vjerojatnost da će pasti paran zbroj ako znamoda je pao zbroj djeliv sa 5
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
36 ;18)( ;7)( nCmAm
4;1
3;2
2;3
1;4 6;4
5;5
4;6
4;1
3;2
2;3
1;4 6;4
5;5
4;6
7
3)/( ACP
3)( CAm
7
3
)(
)()/(
Am
CAmACP
7
3
367363
)(
)()(
)(
)/(
AP
CAP
nAmnCAm
ACP
Kolika je vjerojatnost da će pasti zbroj djeliv sa 5 ako znamoda je pao paran broj
18
3
3618
363
)(
)()/(
CP
CAPCAP
1;1 3;1 5;1
2;2 4;2 6;2
1;3 3;3 5;3
2;4 4;4 6;4
1;5 3;5 5;5
2;6 4;6 6;6
Multiplikativni zakon
0)( )(
)()/(
AP
AP
BAPABP 0)(
)(
)()/(
BP
BP
BAPBAP
)/()()( ABPAPBAP )/()()( BAPBPBAP
Slučajni događaji A i B su međusobno nezavisni ako pojava događaja A nema utjecaja na vjerojatnost nastupa događaja B.
)()()(
)()/( )()/(
BPAPBAP
APBAPBPABP
)/()()/()()( BAPBPABPAPBAP
Da li su događaji A i C iz prethodnog primjera nezavisni
POTPUNA VJEROJATNOSTPOTPUNA VJEROJATNOSTBAYESOVA FORMULABAYESOVA FORMULA
AA
HH11 HH22 HH33 HH44
S
4321 HHHH Ø
1)()()()()( 43214321 HPHPHPHPHHHHP
Vjerojatnost P(A)Vjerojatnost P(A)
1HA4HA2HA 3HA
Poznate veličine:)/( i )( ii HAPHP
)/()()( iii HAPHPHAP
i
iHAPAP )()(
i
ii HAPHPAP )/()()(
Vjerojatnost P(HVjerojatnost P(Hrr/A):/A):
)(
)()/(
AP
HAPAHP r
r
)/()(
)/()(
ii
rr
HAPHP
HAPHP
Primjer 1:Primjer 1: U nekoj tvornici 30% prizvoda proizvodi se na stroju S1, 25% na S2 i ostatak na S3. Stroj S1 radi sa 1% škarta, S2 sa 1,2% i S3 sa 2%. Ako slučajno izaberemo jedan proizvod kolika je vjerojatnost da je loš.
S P(S) P(A/S)
1 0,30 0,010
2 0,25 0,012
3 0,45 0,020
1,00
P(A∩S)=P(S)P(A/S)
0,0030
0,0030
0,0090
0,01500,0150
Primjer 2:Primjer 2: Neki hotel je posjetilo 200 engleza,300 francuza i 500 talijana 4 engleza su bili nezadovoljni uslugom, 5 francuza i 10 talijana
Kolika je vjerojatnost da u tom hotelu slučajno izaberemo gosta koji je nezadovoljan uslugom
Kolika je vjerojatnost da nezadovoljan gost bude francuz
H N m(A)
1 200 4
2 300 5
3 500 10
1000
P(H) P(A/H)
0,2 0,0200
0,3 0,0167
0,5 0,0200
P(H)P(A/H)
0,0040
0,0050
0,0100
0,0190
2632,0019,0
005,0
)(
)/()()/( 22
2
AP
HAPHPAHP