Post on 03-Apr-2015
Vers un indicateur de la qualité des cours d’ eau…
Contexte et objectif
• Objectif :– Construire un indicateur pertinent synthétisant
par station et par année l’ ensemble des mesures de concentrations en nitrates, nitrites, orthophosphates et ammonium.
– Suivre l’évolution interannuelle
• Etude réalisée avec l’agence de l’eau Loire Bretagne et le MEDD
Indicateurs de la qualité de l’eau• Moyenne et quantile 90 des concentrations
par station, sur une année?
January February March April May June July August September October November December
Dates de prelevement
24
68
1012
14
conc
entr
atio
ns e
n ni
trat
es (
mg
NO
3 / L
)
• Meilleur suivi hivernal surestimation par les statistiques classiques
effectif moyenne quantile 9012 7,57 12,3918 8,51 13,35
Nuage de corrélation des moyennes statistiques calculées avec 12 ou 18 mesures sur une station
4 5 6 7 8
estimation de la moyenne annuelle par statistique classique (12 mesures)
45
67
89
10
estim
atio
n de
la m
oyen
ne p
ar s
tatis
tique
cla
ssiq
ue (
18 m
esur
es)
1989
1988
1993
1990
1995
1985
19911994
1986
19871992
Niveau réel et évolution interannuelle?
Modèle statistique sous jacentStatistique • Les concentrations sont des tirages
indépendants suivant une même loi Z dont on infère l’espérance
iz
January February March April May June July August September October November December
Date
510
15
Con
cent
ratio
ns e
n N
O3-
(m
g N
O3
/L)
Station 50500, concentrations en nitrate, 1985
nombre de jours
vari
og
ram
me
exp
éri
me
nta
l
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
01
02
03
04
0
Variogramme expérimental, environ 1 mesure par mois sur 15 ans ammonium Station 50500
217
216
217
216
214
214
304
227
206
215
247
204
204
215
205
201
202
205
198
200
254
208
193
202 24
019
419
319
919
1 186
186
212
185
185
218
189
178
182
239
179
176
179
179
172
171
190
169
170
181
176
164
170
234
165
163
168
165
157
157
174
155
155
158
158
150
153
193
151
148
156
164
143
141
159
140
139
144
149
135
137
164
135
131
139
147 12
812
713
512
612
4 126
141
119
120
138
123
116 12
113
711
3
pepite+spherique+cosinus 5.958 934.50419092 2.856 32.983 NA
Comment prendre en compte l’irrégularité de l’ échantillonnage et la corrélation temporelle?
• z(t) réalisation d’ une fonction aléatoire Z(t) présentant une corrélation temporelle
• On estime réalisation de
• Prise en compte de poids de krigeage
• Calcul de variance d’ estimation
1
T
Z t dtT
January February March April May June July AugustSeptember November
date
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
poid
s de
krig
eage
Exemple de calcul de poids de krigeage (6 mesures été + 12 mesures hiver)
1
T
z t dtT
Estimation de la moyenne annuelle
Estimation des moyennes annuelles des concentrations en NO3- sur la station 56000, par moyenne arithmétique et krigeage
23
45
678
91011
1213
1415
année
mo
yen
ne
+ o
u -
2 *
éca
rt-t
ype
d'e
stim
atio
n
krigeage (1 mes/mois)
moyenne arithmétique(1 mes/mois)
krigeage (ttes mes)
moyenne arithmétique(ttes mes)
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
1985
L’ indicateur actuel• Le quantile 90 :
– estimé par la règle des 90% (SEQ EAU)
– équivalent au quantile empirique
Exemple : 1-10 mesures -> valeur maximale retenue
11-20 mesures -> avant dernière valeur retenue et ainsi de suite…
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
probabilité
Z( 1 )
Z( 2 )
Z( 3 )
Z( 4 )
Z( 5 )
Z( 6 )
Z( 7 )
Z( 8 )
Z( 9 )
quan
tile
asso
cié
Règle des 90%
Problèmes de la règle des 90%
0 10 20 30
nombre de prélèvements
0.0
0.5
1.0
1.5
Esp
eran
ce d
u qu
antil
e
LOI NORMALE : estimation du quantile moyen en fonction du nombre de prélèvements
• Comme pour la moyenne : ne prend pas en compte les corrélations et l’irrégularité de l’ échantillonnage
• Estimateur biaisé dont le biais dépend de la fréquence d’échantillonnage.
Solution au problème du biais (1)
• Interpolation linéaire du quantile empirique
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
probabilité
Z( 1 )
Z( 2 )
Z( 3 )
Z( 4 )
Z( 5 )
Z( 6 )
quan
tile
asso
cié
Interpolation linéaire par morceaux de la fonction de quantile empirique (2)
quantile empiriqueinterpolation linéaire du quantile empirique
Solution au problème du biais (2)
10 20 30
nombre de prélèvements
0.6
0.8
1.0
1.2
Esp
eran
ce d
u qu
antil
eLOI NORMALE : estimation du quantile moyen
en fonction du nombre de prélèvements
(interpolation linéaire du quantile (2) )
Corrélations et irrégularité d’ échantillonnage : solutions (1)
• Méthode géométrique: segments d’ influence
• Mesures pondérées par la longueur du segment
• Problème : ne prend pas en compte les corrélations temporelles
2 3 4
d2/365,25 = poids2
365,25 jours
mesures 1
d1/365,25 = poids1
d3/365,25=poids3
d4/365,25 = poids4
Corrélation temporelle et irrégularité d’ échantillonnage : solutions (2)
• Changement de modèle : les mesures sont les réalisations d’une fonction aléatoire
• On affecte aux mesures les poids de krigeage de la moyenne annuelle.
• Méthode mieux adaptée mais plus difficile à automatiser
Exemple : influence des poids
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Y
05
1015
Z
quantile empirique
**
*
**
*
**
*
** *
*
* * *
*
* *
quantile empirique
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Y
05
1015
Z
xx
x
xx
x
xx
x
xx x
x
x x x
x
x x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Y
05
1015
Z
**
*
**
*
**
*
** *
*
* * *
*
* *
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Y
05
1015
Z
xx
x
xx
x
xx
x
xx x
x
x x x
x
x x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Y
05
1015
Z
. quantile réelavec poids, droite d'influence
* sans poidsavec poids de krigeage
Evolution du biais pour des échantillons corrélés
0 10 20 30
nombre de prélèvements par an
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
quan
tile
moy
en s
ur 1
000
prél
èvem
ents
sans poidsavec poids de krigeagequantile réel
Evolution du quantile moyen en fonction du nombre de prélèvements,
chronique de loi normale et de covariance sphérique (portee 100 palier 1 )
échantillonnage irrégulier, règle des 90%
10 20 30
nombre de prélèvements par an
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
quan
tile
moy
en e
stim
é su
r 10
00 s
imul
atio
ns
Evolution du quantile moyen en fonction du nombre de prélèvements,
chronique de loi normale et de covariance sphérique (portée 100 palier 1 )
échantillonnage irrégulier, règle des 90% linéarisée
Evolution des indices au cours du temps : surveillance hivernale
12 13 14 15 16
quantile estimé avec 12 mesures régulières
1213
1415
1617
quan
tile
estim
é av
ec 1
8 m
esur
es (
6 ét
é +
12
hive
r)
1995
1993
19901994
19921991
19931995
1991
1992
19941990
1995
1994
1990
1993
1992
1991
méthodes statistiquesméthodes géostatistiquesquantile réel
Evolution du quantile 90 en fonction de l'échantillonnageet de l'échantillonnage et de la méthode. Orléans, nitrates, 1990-1995
Nitrates sur la Loire : évolution des quantiles
1996 1998 2000 2002
annee
2530
3540
45
quan
tile
18
18
18
18
18
18
18
14
18
18
18
18
18
18
18
14
Evolution des quantiles par statistique et geostatistique, nitrates, station 123000
1985 1990 1995 2000
annee
68
10
12
14
qu
an
tile
8
1210
6
6
6
6
6
66 6
6
1212
12
12
126
8
12
10
6
6
6
6
6
66 6
6
1212
12
12
126
Evolution des quantiles par statistique et geostatistique, nitrates, station 13000
Conclusions - perspectives
• Le meilleur estimateur du quantile 90 dans le cadre de l’évaluation de la qualité des cours d’eau est :
– Interpolation linéaire du quantile– Prise en compte des poids de krigeage
• Intervalles de confiance?• Par la suite, comment construire un
indicateur pour un ensemble de stations?