1 / 23

Vektorske funkcije i polja - vježbe

Mate Kosor

10.12.2009.

Uvodne napomene

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

2 / 23

Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti cedostupna na webu. Isti format vježbi ocekujte do kraja semestra.Plan:

� 10.12. -> analiza vektorskih funkcija i polja

� 17.12. -> krivuljni integral

� 7.1. -> plošni integral

� 14.1. ->

� ! treci kolokvij ! (može biti izostavljen)

� uvod u laplace tranformaciju

� 21.1. -> Rješavanje ODJ pomocu laplace transormacije

� 28.1. -> cetvrti kolokvij

Plan današnjeg rada

3 / 23

� Danas vrlo brzi ritam!

� knjiga prof. Uglešica: str. 287–309

� možete pogledati web sadržaje na http://lavica.fesb.hr/mat3/

� podsjetnik i priprema za ono što slijedi. . .

Sadržaj:Vektorske funkcije

Polja

Vektorske funkcije

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

4 / 23

Vektorska funkcija

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

5 / 23

Vektorska funkcija je opcenito

f : X ⊆ Rm → R

n .

Primjer.

g : R2 → R4

g(x, y) = (x, y, ex, sin(x+ y)) ⇐⇒ g(

[

x

y

]

) =

x

y

ex

sin(x+ y)

Skalarna funkcija

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

6 / 23

Izraz skalarna funkcija odnosi se na

f : X ⊆ Rm → R ,

tako da se vrlo cesto iz pojma vektorska funkcija izuzimaju skalarne funkcije, daklevektorska funkcija u užem smislu podrazumijeva n > 2.Vektorske funkcije možemo razumijeti kao ”vektor skalarnih funkcija”.Primjer

g : R2 → R4,

g(x, y) = (x, y, ex, sin(x+ y)) ⇐⇒ g(x, y) =

g1(x, y)g2(x, y)g3(x, y)g4(x, y)

,

g1 : R2 → R, g2 : R2 → R, g3 : R2 → R, g4 : R2 → R,

g1(x, y) = x, g2(x, y) = y, g3(x, y) = ex, g4(x, y) = sin(x+ y)

Neprekidnost

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

7 / 23

Neke pojmove dovoljno je definirati na skalarnim funkcijama:–> isti pojam na vektorsku funkciju prenosi se po elementima (koordinatama).Primjer: Neprekidnost.

f(x, y) =

sin (x+ y)x

y5

Dovoljno je ispitati neprekidnost za svaku skalarnu funkciju posebno:

1. f1(x, y) = sin (x+ y). . . "neprekidna

2. f2(x, y) =x

y. . . $

3. f3(x, y) = 5 . . . nije potrebno ispitivati

=⇒ f nije neprekidna jer nisu neprekidne sve njene komponente.

Diferencijal skalarne funkcije

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

8 / 23

Definirati za skalarnu f , zatim na vektorsku f po koordinatama.Za skalarnu funkciju f : X ⊆ R

m → R diferencijal je funkcija

df =

[

∂f

∂x1. . .

∂f

∂xm

]

.

Primjer. Izracunati diferencijal skalarne funkcije f(x, y) =y

x. . .

df = d(y

x

)

=

[

∂f

∂x

∂f

∂y

]

=

∂(y

x

)

∂x

∂f(y

x

)

∂y

=

[

− y

x2

1

x

]

Napomena: cesto se diferencijal oznacava sa velikim slovom

Df ≡ df .

Diferencijal vektorske funkcije

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

9 / 23

Za vektorsku funkciju f : X ⊆ Rm → R

n takvu da je f =

f1...fn

diferencijal je

funkcija u obliku matrice

df =

df1...

dfn

=

∂f1

∂x1· · · ∂f1

∂xm...

......

∂fn

∂x1· · · ∂fn

∂xm

.

Primjer. Izracunati diferencijal od f(x, y) =

sin (2x+ y)exy

5

. . .

df =

d (sin (2x+ y))d (exy)d (5)

=

2 cos (2x+ y) cos (2x+ y)yexy xexy

0 0

Diferencijal (zadatak)

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

10 / 23

Zadatak. Izracunati diferencijal od f(x, y) =

[

cos (xy)x

y

]

. . .

Integral

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

11 / 23

Definirati za skalarnu f , zatim na vektorsku f po komponenatama.

1. Skalarna funkcija:∫

f =. . ." jednostruki ili višestruki integral

2. Za vektorsku funkciju f =

f1...fn

integral se može definirati po

komponentama

∫

f =

∫

f1...

∫

fn

.

Primjer. f(x, y) =

[

cos (xy)x

y

]

⇒∫

fdx =

[∫

cos (xy) dx∫ x

ydx

]

=

sin(xy)y

x2

2y

Polja

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

12 / 23

Pojmovi

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

13 / 23

Polja su poseban slucaj skalarnih i vektorskih funkcija.Skalarno polje: f : X ⊆ R

3 → R (n=3,m=1)Vektorsko polje: f : X ⊆ R

3 → R3 (n=3,m=3)

Podrazumijevamo euklidski prostor u kojem je definiran pravokutni koordinatni sustavsa koordinatnim vektorima i, j i k. Koordinate su uobicajeno x, y i z.Cesto pišemo

f(x, y, z) = fx(x, y, z)i+ fy(x, y, z)j+ fz(x, y, z)k

=

fx(x, y, z)fy(x, y, z)fz(x, y, z)

Motivacija

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

14 / 23

Svijet u kojem sudjelujemo ima tri prostorne dimenzije, polja su funkcije kojima jedomena naš svijet.Primjer 1. -> skalarna polja

� temperatura u prostoru

� tlak zraka, mora . . .

Primjer 2. -> vektorska polja

� brzina vjetra, morske struje,

� fluid koji pod pritiskom struji u nekom crijevu

Uz prostorne dimenzije pridadaje se još vrijeme. . . o tome cemo šutjeti

Gradijent

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

15 / 23

Za skalarno polje f : X ⊆ R3 → R definiramo gradijent :

gradf =

∂f

∂x∂f

∂y∂f

∂z

Napomena: usporedi sa df =

[

∂f

∂x1. . .

∂f

∂xm

]

Primjer: gradijent za polje f =zy

x:

gradf =

−zy

x2z

xy

x

Usmjerena derivacija

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

16 / 23

Usmjerena derivacija zove se još derivacija u smjeru vektora. Za zadani vektor a, cija

je duljina |a| sa a0 oznacimo jedinicni vektor a0 =a

|a| . Usmjerena derivacija polja

f : X ⊆ R3 → R u smjeru vektora a racuna se po formuli (gdje je · skalarno

množenje)∂f

∂a= a0 · gradf

Primjer. Derivacija u smjeru vektora l = (4, 4, 2) polja f (x, y, z) =zy

x. . .

|l| =√42 + 42 + 22 = 6 . . . l0 =

(

23 ,

23 ,

13

)

. . .gradf =

∂f

∂a=

2

32

31

3

·

−zy

x2z

xy

x

=2

3

(

−zy

x2

)

+2

3

z

x+

1

3

y

x=

−2yz + 2xz + xy

3x2

Divergencija

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

17 / 23

Divergenciju vektorskog polja g : X ⊆ R3 → R

3, g =

gxgygz

definiramo

div g =∂gx

∂x+

∂gy

∂y+

∂gy

∂z

Primjer. Izracunaj divergenciju za g =

1xyz

x2y2z2

:

div g =∂ (1)

∂x+

∂ (xyz)

∂y+

∂(

x2y2z2)

∂z

= 0 + xy + 2x2y2z

Rotacija

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

18 / 23

Rotaciju vektorskog polja g : X ⊆ R3 → R

3, g =

gxgygz

definiramo

rot g =

∂gz

∂y− ∂gy

∂z∂gx

∂z− ∂gz

∂x∂gy

∂x− ∂gx

∂y

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

gx gy gz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂gz

∂y− ∂gy

∂z

)

i+

(

∂gx

∂z− ∂gz

∂x

)

j+

(

∂gy

∂x− ∂gx

∂y

)

k

Rotacija (primjer)

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

19 / 23

rot g =

(

∂gz

∂y− ∂gy

∂z

)

i+

(

∂gx

∂z− ∂gz

∂x

)

j+

(

∂gy

∂x− ∂gx

∂y

)

k

Primjer. Izracunaj rotaciju polja g = yz i+ xz j+ 1k. . .

rot g =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

yz xz 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∂1

∂y− ∂xz

∂z∂yz

∂z− ∂1

∂x∂xz

∂x− ∂yz

∂y

=

0− x

y − 0z − z

= −x i+ y j

Hamiltonijan

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

20 / 23

Hamiltonov diferencijalni operator ili nabla je formalni vektorski operator

∇ =

∂∂x∂∂y∂∂z

=∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk .

Vrijedi

∇f =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

= gradf

∇ · g =∂gx

∂x+

∂gy

∂y+

∂gy

∂z= div g

∇× g =

(

∂gz

∂y− ∂gy

∂z

)

i+

(

∂gx

∂z− ∂gz

∂x

)

j+

(

∂gy

∂x− ∂gx

∂y

)

k = rot g

Važno! Zapamtite nabla kao izraz i kako se koristi

Laplacijan

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

21 / 23

Laplaceov diferencijalni operator ili delta je formalni skalarni operator

4 =

(

∂

∂x

)2

+

(

∂

∂y

)2

+

(

∂

∂z

)2

= div grad = ∇2

Primjer. Za f =zy

xizracunaj 4. . .∇f =

− zyx2

zxyx

4f = ∇2 = ∇ · ∇f

=

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

·

− zyx2

zxyx

=2zy

x3

Potencijalno polje

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

22 / 23

Vektorsko polje g : X ⊆ R3 → R

3, g =

gxgygz

je potencijalno (ili konzervativno)

ako postoji neko skalarno polje f : X ⊆ R3 → R takvo da vrijedi

g = −gradf

Napomena: u formuli predznak (−) zaista nije bitan. Definicija je takva zbogustaljenog znacenja u fizici.Zadatak. Provjeri da li je g = (y, x, 0) potencijalno polje. . . "

Zadatak. Provjeri da li je g = (x+ y, x+ y, 1) potencijalno polje? . . . "

Ovo je važno znati!

Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

23 / 23

Promatramo vektorsko polje g : X ⊆ R3 → R

3. Kažemo da je g:

� bezvrtložno ako je rot g = 0 ,

� vrtložno ako nije bezvrtložno,

� solenoidalno ako je div g = 0.

Lako zapamtiti formulu: bez vrloga = bez rotacije = rotacija nula.Zadatak. Provjeri za g = (−2y, 2x, 0) gornja svojstva . . .