Post on 31-Jan-2021
UNIVESIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO
PEDAGÓGIA
El RAZONAMIENTO PROPORCIONAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA: UN ESTUDIO
CON ALUMNOS DE 6° GRADO EN UNA ESCUELA PÚBLICA DEL DISTRITO FEDERAL
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENDIADO EN PEDAGÓGIA
PRESENTA:
SARAI ALVARADO CARRILLO
DIRECTORA DE TESIS: DRA. CRISTIANNE M. BUTTO ZARZAR
MÉXICO D.F. 2011
Resumen
Los problemas de razonamiento proporcional representan una dificultad para la mayoría de los
estudiantes de educación básica, a pesar de que este contenido matemático forma parte de los planes y
programas de estudio de la Secretaria de Educación Pública (SEP), los estudiantes enfrentan una serie de
dificultades, que se derivan, en parte, de las dificultades que los alumnos tienen con los problemas de
estructura multiplicativa. Por otro lado, el razonamiento proporcional ha sido uno de los temas más
investigados en los campos de la psicología y de la educación matemática, por ejemplo, el trabajo de
Lesh y Cramer, citado en Gómez (1996), considera que este contenido matemático es el cimiento del
álgebra y una síntesis de la aritmética. Piaget, citado en Gómez (1996) señala que este contenido
requiere de varios momentos o etapas de aprendizaje para que el niño lo desarrolle, En el campo
educativo, Noelting (1980), citado en Butto (2005), estudia el razonamiento proporcional con problemas
de comparación numérica (jugo de naranja y agua para preparar dos bebidas con el mismo o con
diferente sabor de naranja). Entre los estudios sobre desarrollo de estrategias de resolución de problemas
se pueden destacar los de Richard y Briars (1992, citados en Maza 1991), cuyo análisis sobre la
construcción de secuencias numéricas corrobora las deducciones de Piaget, en cuanto a la etapa en que
se adquiere el razonamiento proporcional en el desarrollo del niño, por ejemplo; Piaget menciona que el
razonamiento proporcional se adquiere en el estudiante a partir de los 12 años, al alcanzar la etapa de las
operaciones formales y ya que estos autores eran seguidores de Piaget; estos consideraban la
construcción de las secuencias numéricas como un proceso de diferenciación de las palabras dentro de la
propia secuencia y de construcción de las relaciones entre las mismas, es decir, destacan el hecho de que
el recuento de las palabras era tardío y que además este recuento va muy relacionado con los problemas
de adición, pero con marcada influencia en los problemas multiplicativos. El objetivo del estudio fué
identificar las dificultades que los alumnos de sexto grado de educación básica enfrentan en la
resolución de problemas que involucren el razonamiento proporcional. El marco teórico se fundamenta
en las aportaciones de Vergnaud (1991); este autor propone estudiar los contenidos matemáticos a partir
de dos tipos de problemas; los de estructura aditiva y de estructura multiplicativo. En esta tesis se hizo
referencia a los problemas de estructura multiplicativa. La metodología del estudio fue de tipo
descriptivo, explicativo y el corte del estudio fue de tipo cualitativo. Las etapas del estudio fueron dos:
aplicación de un cuestionario diagnóstico sobre razonamiento proporcional, y una entrevista clínica
individual. Los resultados del estudio revelaron dificultades con los problemas de razonamiento
proporcional, principalmente los problemas que involucraban proporcionalidad geométrica y variación
proporcional.
Agradecimientos
AL CREADOR
Por darme la oportunidad de vivir esta experiencia. Por conservar mi vida. Por hace de mi la persona que soy, pero sobre todo: Por permitir mi superación personal y profesional.
.
A la doctora Cristianne:
Por dejar en mí su legado, por compartir su conocimiento, por su dedicado esfuerzo y esmero trabajo. Por su constante e imprescindible enseñanza. Por su infinita paciencia.
A LA MEMORIA DE MI PADRE:
Con amor, cariño, gratitud y respeto. Por su valioso esfuerzo, por sus Sabios consejos y apoyo incondicional.
A LOS PROFESORES
EPIFANIO MARTINEZ RODRIGUEZ y ALFREDO SALAZAR DUQUE
Por su dedicación, tiempo y espacio Ofrecido a este.
Pág.
ÍNDICE
Resumen
Introducción…………………………………………………………………………1
Capítulo I. El razonamiento proporcional: revisión de literatura………………….7 1.1 Estudios de demanda cognitiva ………………………………………………………………9 1.2 Estudios concernientes al campo educativo …………………………………..…………….14
1.2.1 Estudios en desarrollo de estrategias…………………………………………………..21
1.2.1.1 Estrategias de resolución de problemas……………………………….…………21
1.3 Resolución y clasificación de problemas aritméticos…………………………..………….....26
1.3.1 Fases en la resolución de problemas aritméticos……………………………………….27
1.3.2 Factores que influyen en la resolución de problemas aritméticos……………………...30
1.3.3Resolución de problemas de estructura multiplicativa…………………………..…......31
1.4 Aportaciones de la revisión de literatura a esta tesis…………………………….…………...38
Capítulo II. Enfoque teórico pedagógico del razonamiento proporcional en el plan y programa
de estudio de educación primaria 2009
2.1 Finalidad de la educación Básica…………………………………………………………….40
2.1.1 Perfil de egreso………………………………………………………………………... 40
2.1.2 Características de planes y programa de estudio ……………………………………...41
2.2 Mapa curricular de matemáticas en la educación básica……………………………………..43
2.3 Propósitos de las matemáticas de la educación básica………………………………………43 2.4 Metodología didáctica del programa de estudio 2009…………………………………….....44 2.5 Las matemáticas de la educación básica primaria……………………………………………….46 2.5.1 Propósitos de las matemáticas en el programa 2009…………………………………46
2.5.2 Enfoque de las matemáticas en el programa 2009…………………………………... 47
2.5.3 Organización del programa de estudio 2009………………………………………... 48
2.5.4 Bloques y aprendizajes esperados en las matemáticas en los programa 2009……… .50
2.5.5 Competencias a desarrollar en el programa de matemáticas 2009 …………………..50
2.5.6 La evaluación de las matemáticas en el plan y programa de estudios………………..51
2.6 El Plan de Estudios y la proporcionalidad…………………………………………………..52
2.6.1La proporcionalidad en los ejes temático del plan y programa de estudios2009…….....52
2.6.2 El razonamiento proporcional en los programas de 6°………………………………...56
2.6.2.1 Tipos de variación proporcional en los programas de estudio……………………..57
Capítulo III. Marco teórico
3.1 La teoría de los campos conceptuales………………………………………………………...58
3.2 La estructura multiplicativa como campo conceptual………………………………………..59 3.3 Problemas de estructura
multiplicativa……………………………………………………….59
3.3.1 Clases de problemas de estructura
multiplicativa……………………………….……...62
3.3.1.1 Representación gráfica de la estructura de proporción simple……………….…….62
3.3.1.2 Representación grafica de la estructura de proporción doble …………………….. 63
Pág.
3.4 Tipos de problemas de estructura multiplicativa………………………………………… ….63
3.4.1 Los problemas de isomorfismo de medida (Función lineal)…………………………...64
3.4.1.1 Clases de problemas de isomorfismo de medida…………………… ……………65
3.4.1.2 Subclases de problemas de isomorfismo de medida………………………………66
3.4.1.3 Ejemplos de problemas de isomorfismo de medida……………………………….67
3.4.1.4 Problemas de división…………………………………………………………… 75
3.5 Los problemas de producto medida (Función bi lineal)…………………………………….75
3.6 Los problemas de proporción múltiple o espacio único de medida ………………………...79
3.6.1 Las Subclases de problemas según los conceptos a los cuales se hace referencia…….81
3.7 Subclase de problemas de estructura proporcional múltiple……..……………….…...…… 81
3.8 Noción de dimensión…………….………………………….….……………………..…… 82
Capítulo IV Metodología
4.1 Tipo de estudio Descriptivo y Explicativo…………………………………………………...85
4.2 Corte de estudio: Cualitativo…………….…………………………………………….……. 86
4.3 Escenario y población participante…………………………………………………………. 87
4.4 Etapas del estudio…………………………………………………………………………… 91
4.5 Instrumentos utilizados……………………………………………………………………… 91
4.5.1 Cuestionario ……..…………………………………………………………………… 92
4.5.2 Descripción y aplicación de los instrumentos…………………………………………92
4.5.2.1 Descripción del cuestionario………………………………………………………92
4.5.2.2 Aplicación del cuestionario………………………………………………………. 95
4.6 Propuesta del análisis de datos………………………………………………………………97
4.6.1 La primera propuesta: Análisis de nivel de logro…………………………………….. 97
4.6.2 La segunda propuesta: Estrategias de resolución de problemas……………………… 99
4.7 La entrevista clínica……………………………………………………………………… 100
4.7.1 Análisis de la entrevista clínica…………………………………………………… 101
4.7.2 La aplicación de la entrevista clínica individual…………………………………… 102
4.7.3 Resultados del estudio piloto…………………………………………………….…. 103
Capítulo V. Análisis de resultados del cuestionario inicial y entrevista clínica individual 5.1 Descripción del cuestionario de razonamiento proporcional…………………………… 106
5.2 Aplicación del cuestionario inicial de razonamiento proporcional……………………… 108
5.3 Procedimiento……………………………………………….. …………………………… 109
5.4 Resultados del cuestionario inicial ……………………………………………………… 109
5.5 Resultados por idea matemática ………….……………………………………………… 126
5.6 Conclusiones finales: niveles de logro…………………………………………………… 130
5.7 La entrevistas clínicas …..………………………………………………………………… 131
5.8 Niveles de conceptualización matemática ……………………………………………… 149
5.9 Resultados de la entrevista clínica ……………………………………………………… 150
Conclusiones
Consideraciones didácticas
Referencias documentales
Anexos
Introducción
Para los profesores de educación básica los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas son complicados; atribuyen a esto que en muchas ocasiones no se alcance el éxito
esperado. Muchas de las dificultades que enfrentan los alumnos de secundaria surgen
precisamente en la escuela primaria.
La forma como en la escuela se aborden los contenidos matemáticos, el significado que los
alumnos le otorgan a los contenidos escolares, la construcción de conceptos que se generen en
ellos, los procedimientos que adquieran y las estrategias que desarrollen marcan la transición o
la dificultad a conceptos cada vez más abstractos; tal es el caso de los relacionado con la
variación proporcional.
El razonamiento proporcional tiene vínculos con otros contenidos curriculares de aritmética que
se abordan en la escuela primaria (medida, números enteros, números fraccionarios, división,
multiplicación y función), y en la actualidad vínculos entre los mismo ejes temáticos como entre
contenidos de la misma o diferente asignatura, vínculos entre contenidos de primaria y secundaria.
Numerosos estudios demuestran que los alumnos de primaria, secundaria y hasta de preparatoria
tienen dificultad con conceptos básicos de fracción, razón y proporción, incluyendo problemas
que involucran el concepto de proporcionalidad.
La enseñanza y aprendizaje de conceptos que requieren del uso del razonamiento proporcional
son indispensables tanto en la vida diaria como en las aulas, porque son el cimiento para el
aprendizaje de otros contenidos matemáticos que llevan al niño a abstracciones cada vez más
generales. Además, trabajar con situaciones de proporcionalidad propicia el desarrollo lógico del
pensamiento del alumno, así como su aplicación en muchos campos del conocimiento.
Por otro lado, en los planes y programas de estudio de la Secretaria de educación pública (SEP
2003 - 2009 se enseña y se aprende mediante la resolución de problemas eje vertebral del
currículo matemático; en el ámbito escolar se promueve primero los problemas de estructura
aditiva y en los últimos grados escolares los problemas de estructura multiplicativa,
separadamente, pues el desarrollo de las estructuras multiplicativas involucra gran cantidad de
ideas, conceptos y estrategias matemáticas que requiere del alumno un amplio periodo de tiempo;
entre los conceptos involucrados está: fracciones, números racionales, funciones, razón y
proporción; esta última temática es fundamental en el desarrollo del pensamiento matemático, y
es una de las que presentan mayores dificultades a los estudiantes de educación primaria.
Las dificultades surgidas al poner en práctica el razonamiento proporcional dentro de las
escuelas, son sin duda un gran obstáculo, que impide el desarrollo de habilidades en un año de
jornada académica y en consecuencia, genera un importantísimo retraso educativo en nuestro
país. En la última década, a nivel nacional el aprendizaje de las matemáticas se ha considerado
deficiente; los datos son alarmantes: bajísimo promedio escolar, altos índices de reprobación
escolar de esta materia en instituciones educativas de todos los niveles de nuestro país.
En lo que respecta a los resultados de la Evaluación Nacional de Logro Académico en centros
escolares (ENLACE) 2008,la calidad de la educación matemática en la educación básica primaria
es “insuficiente”, considerado el más bajo desempeño escolar, especialmente en matemáticas; y
casi 80 % de los alumnos evaluados en cinco de los nueve grados de educación básica se ubicaron
en los niveles insuficiente y elemental, que significan:
Insuficiente: que el estudiante necesita adquirir conocimientos y desarrollar las
habilidades necesarias de la asignatura.
Elemental: el alumno requiere fortalecer la mayoría de los conocimientos y desarrollar
las habilidades de la asignatura.
El Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) en la aplicación de la prueba denominada
Exámenes de Calidad y Logro Educativo (EXCALE), señala que los resultados de aprendizaje en
matemáticas en 6º de primaria a nivel nacional son los siguientes:
Un 17.4 % de los estudiantes se encuentra por debajo del nivel suficiente.
Poco más de la mitad 52.3 % se ubica en el nivel básico.
Casi una cuarta parte 23.5 % se encuentran en el nivel medio, y sólo
Siete de cada cien estudiantes (6.9 %) se encuentran en el avanzado.
El INEE Subraya, además, que los temas con los que se tienen mayores dificultades de
aprendizaje, con respecto a los contenidos matemáticos, son los siguientes:
Fracciones
Medición
Porcentajes y
Variación proporcional
Tales contenidos matemáticos son enseñados por la escuela y forman parte de los Planes y
programas de estudio (2009), articulados en tres ejes temáticos:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de información.
El enfoque, señala que la construcción del conocimiento amerita procesos de estudio largos que
van de lo informal a lo formal; la actividad intelectual se apoya más en el razonamiento que en la
memorización, pues; en el caso de que el alumno olvide algunos procedimientos o conceptos, sea
capaz de apoyarse en alternativas que lo lleven a reconstruir lo que se le ha olvidado, es decir
construya nuevos conocimientos y supere los obstáculos que surgen en el proceso de aprendizaje.
Las soluciones a situaciones difíciles; deben ser instituidas en el entendido de que existen
diversas estrategias y que al menos una debe utilizarse para llegar a la solución; siempre
partiendo de sus conocimientos previos.
La metodología didáctica que acompañan los programas de matemáticas está orientada al
desarrollo de las competencias; una competencia moviliza y dirige todos los conocimientos hacia
la consecución de objetivos concretos.
La movilización de saberes expresa: “saber hacer con saber y con conciencia del efecto de ese
hacer.” (SEP 2009:p.12), significa que el alumno es capaz de hacer la tarea conociendo las causas
y las consecuencias del hacer. Las competencias que el plan y programa de estudios contribuye a
lograr del perfil del egresado, propician oportunidades y experiencias de aprendizaje significativo
para los alumnos.
Es esencial, entonces, lograr en los estudiantes de sexto grado la transición del pensamiento
aditivo al multiplicativo; pues, esto le permitirá el manejo de algoritmos cada vez mas complejos
que a su vez facilitaran la transición de la aritmética al algebra, es decir la transición de primaria
a secundaria, se propiciara haciendo uso de estructuras multiplicativas a través de las relaciones
cuaternarias propuestas por Vergnaud, con ejemplos provenientes de su contexto mas cercano, en
el que adquirirá una rápida contextualización de fuentes significativas, me refiero, a que el
alumno debe ser introducido mediante ejemplos que se encuentren en su entorno inmediato para
facilitar el aprendizaje esperado, de este modo podría tomarle el sentido práctico, utilitario, a lo
que aprende y permitiría utilizar sus conocimientos previos y movilizar sus saberes, relacionados
con el razonamiento proporcional; por otra parte, el entendimiento y majo de estos significados
podrían llevar a los estudiantes a trasladarse a la secundaria con menos dificultades, a darles
sentido a los nuevos conocimientos y a entender ideas matemáticas más relevantes del estudio de
la aritmética y del algebra.
En lo que refiere a las investigaciones realizadas sobre este contenido matemático, podemos citar
los estudios de Hoyles, Noss y Pozzi (2001), en Butto (2005), señalan, que a pesar de todas las
investigaciones realizadas, el razonamiento proporcional continúa siendo un problema para los
estudiantes: éstos adoptan más estrategias aditivas que multiplicativas; pero el razonamiento
proporcional está dentro de los problemas de estructura multiplicativa y no solo aditiva como lo
considera la escuela. Al respecto, Kouba (1989) señala que el éxito en la solución de problemas
estructura multiplicativa se incrementa a medida que el niño avance en sus niveles de escolaridad
e igualmente debe haber una cierta evolución en las estrategias de solución en los estudiantes;
entonces: los alumnos de sexto grado de educación primaria pueden logar dominar estas
estructuras multiplicativas y a su vez utilizarlas.
En este sentido, varios autores han investigado los problemas de estructuras multiplicativas;
entre ellos, según Vergnaud (1991) los problemas de estructura multiplicativa consisten en un
conjunto de problemas que involucran operaciones aritméticas y nociones de tipo multiplicativo,
entre las que se encuentran la multiplicación, división, fracción, razón, proporcionalidad; se
refiere a todas aquellas situaciones las que pueden ser analizadas como problemas de proporción
simple o múltiple, indica que al hacer uso de este concepto al alumno le permite abordar y obtener
conocimientos cada vez más complejos, en razón a esto se puede suponer que desde el punto de
vista formal la multiplicación y la división sean casos particulares de la regla de tres, en donde
uno de sus elementos sea la unidad y de puede abordad mediante una función lineal, a este
tratamiento Vergnaud lo llama campos conceptuales y dentro de estos menciona los de estructura
aditiva y los de estructura multiplicativa, y esta tesis se centra en los de problemas de estructura
multiplicativa, de donde se describen tres tipos de problemas: 1: isomorfismo de medida,2:
producto medida, 3: proporción múltiple o espacio único de medida, de las cuales se supone
trabajar como una relación cuaternaria y no ternaria, de este tratamiento provienen clases y
subclases de problemas, así como sus dificultades; sus investigaciones prueban la existencia de
dificultades importantes en dos niveles diferentes: 1. Dificultades de carácter psicológico: la
adquisición de dicha noción se efectúa sobre un largo periodo del individuo (de 7 a 16 e incluso
18 años); 2. Dificultades de carácter didáctico: la adquisición de la proporcionalidad está
obligatoriamente sujeta a problemas de enseñanza, ya sea porque el modelo matemático propuesto
no es siempre asimilado por el alumno, o porque no es utilizado para la resolución de problemas,
incluso si ha sido comprendido.
Por otra parte, las aportaciones de la teoría Psicogenética han brindado valiosa información para
comprender el proceso de pensamiento de los niños en cuanto a la construcción de nociones
como razón y proporción. Piaget afirma que sólo al llegar a la etapa de las operaciones formales el
razonamiento proporcional adoptará formas más abstractas, incluidas la lógica deductiva, la
separación y el control de variables. En cuanto al razonamiento proporcional, sostiene que el niño
adquiere primero la identidad cualitativa y lógica antes de estructurarse cuantitativamente.
Esta investigación presenta un estudio con alumnos de nivel primaria alrededor del concepto de
razonamiento proporcional. A partir de esto se pretende responder a la pregunta de
investigación: ¿Cuáles son las dificultades que enfrentan los alumnos de sexto grado de educación
primaria al resolver problemas que involucran el contenido matemático razonamiento
proporcional? Esta pregunta pretendió dar cumplimiento o responder a los siguientes objetivos:
Objetivos del estudio: Identificar las dificultades que enfrentan los alumnos de sexto grado de
educación primaria al resolver problemas que involucren en su solución el razonamiento
proporcional. El marco teórico de esta tesis se fundamenta en las aportaciones de Vergnaud, de
aquellas referentes al tratamiento de los problemas que requieren de una abstracción superior, es
decir, a aquellas que desarrollan estrategias multiplicativas, para darle solución al problema
planteado, este autor, señala, que “los contenidos matemáticos se deben estudiar a partir de los
tipos de problemas, es decir, los de estructura aditiva y los de estructura multiplicativa”, estas
estructuras permiten en el estudiante hacer uso de abstracciones cada vez mas complicadas y
completas, que lo acercan a contenidos curriculares mas complejos y le abren el camino para
transitar de la educación primaria a secundaria, es decir, la transición de un pensamiento aditivo a
un pensamiento multiplicativo le permitirá al alumno resolver problemas de razonamiento
proporcional, variación proporcional y entre otros contenidos escolares, que lleven al estudiante
transitar de la aritmética al algebra, este autor, se ha interesado en el estudio del campo de las
estructuras multiplicativas, el cuál involucra nociones como multiplicación división, fracción y
proporcionalidad entre otras ideas matemáticas.
La metodología utilizada en este estudio fue de tipo descriptivo, explicativo; los resultados
tienen ese carácter, el estudio es de corte cualitativo al valorar el fenómeno en su contexto real, y
permitir la interacción entre el estudiante y la investigadora, para describir las dificultades que
presentan los alumnos de manera detallada tal tomo lo escribe o expresa el alumno. La muestra
poblacional con la que se trabajó fue de 17 alumnos de sexto grado de entre 11 y 12 años de
edad, que cursan el sexto grado de educación primaria en una escuela pública ubicada en la
delegación Magdalena Contreras en el Distrito Federal. El estudio se efectúo en dos etapas: la
elaboración y aplicación del cuestionario inicial de razonamiento proporcional, cuyo antecedente
fue un estudio piloto y la entrevista clínica individual.
En el primer capítulo se menciona la revisión de literatura, investigaciones sobre el razonamiento
proporcional y sus diferentes abordajes. El segundo capítulo contiene el enfoque teórico
pedagógico como tratamiento del razonamiento proporcional en los planes y programas 2009,
el tercer capítulo señala el marco teórico, el cual trata sobre el pensamiento proporcional a través
de las estructuras multiplicativas, con base en las aportaciones de Vergnaud (1991); este autor
señala los problemas de estructuras multiplicativas como un conjunto de problemas que
involucran la multiplicación, división, fracción, razón y semejanza, entre otras, así como sus
diversas dificultades. Esta tesis considera estas dificultades como parte fundamental de su
desarrollo. El cuarto capítulo plantea la metodología del estudio: describe los instrumentos de
investigación que fueron utilizados en el estudio principal, así como las etapas de la
investigación, el tipo de estudio utilizado, el corte del estudio, incluyendo la población con la
cual se realizó, el escenario, el marco de análisis de los datos y finalmente, consideraciones de
los resultados del estudio piloto para el estudio principal.
En el quinto capítulo se describen los resultados del cuestionario inicial de razonamiento
proporcional, explorando el tipo de estructura desarrollada por los alumnos, así como los
resultados de la segunda parte del estudio: el análisis de las entrevistas clínicas individuales
aplicadas. Por último se ofrecen los resultados del estudio.
CAPÍTULO I
RAZONAMIENTO PROPORCIONAL: REVISIÓN DE LA LITERATURA
El presente capítulo inicia con la revisión de la literatura concerniente al razonamiento
proporcional; hace referencia a las aportaciones de la teoría psicogenética en los estudios de
demanda cognitiva; estudios concernientes al campo educativo de demanda didáctica;
estudios que tratan del desarrollo de estrategias utilizadas por los estudiantes; finalmente
se mencionan las aportaciones de los estudios para esta tesis.
El razonamiento proporcional:
El razonamiento proporcional es un contenido matemático requerido tanto en nivel
primaria como en el de secundaria del sistema educativo nacional. Se utiliza, regularmente, en el
entorno social, económico, cultural que rodea al estudiante para resolver la mayor parte de los
problemas de la vida cotidiana; basta considerar el precio de los productos y servicios que se
venden y compran, o bien en las cantidades de ingrediente utilizados en una receta de cocina, o al
comprar la ropa de acuerdo con la talla y la estatura, entre otros; se considera un tema
fundamental en los contenidos matemáticos de la educación básica y además uno de los temas con
mayor dificultad de comprensión entre los estudiantes de educación primaria.
En el nivel básico, primaria, las situaciones de proporcionalidad planteadas deben ayudar a los
niños a desarrollar sus conocimientos de las operaciones básicas, mediante la resolución de
problemas en contextos reales. Al respecto, Fiol y Fortuny (1990), señalan que este concepto es
de gran importancia en el currículo escolar, pues está relacionado con la mayoría de los
contenidos matemáticos de otras asignaturas como la física y la biología, entre otras, pero
advierten que no es un concepto sencillo de aprender.
Por su parte, Raspetti (2003), menciona, que el aprendizaje de la noción de proporción no es
simple y que requiere del alumno una gama de situaciones de diferente complejidad numérica y el
tipo de magnitudes relacionadas; esto se convierte en obstáculo para la comprensión de
contenidos.
A su vez; Ben-Chaim (1998), dice, que el razonamiento proporcional es el corazón de las
matemáticas correspondiente a los cursos finales de primaria y comienzos de secundaria.
Nesher y Sukenit (1989), estudian, los conceptos de razón y proporción y señalan que uno de los
errores dominantes en las estrategias usadas por los niños de diferentes edades es la estrategia
aditiva, en donde la razón es vista como una diferencia entre términos de la forma a – b, en vez
de comprender que es de carácter multiplicativo.
Por lo anterior, el razonamiento proporcional ha sido uno de los temas más investigados en el
campo de la psicología y la educación matemática; existe una literatura muy extensa al respecto,
entre la cual destacan los estudios de Lesh y Cramer citados en Gómez (1996, p.11), quienes
ubican el razonamiento proporcional como “un cimiento del álgebra y una síntesis de la
aritmética”; ellos investigan las dificultades por las cuales atraviesan los estudiantes al resolver
tareas de proporcionalidad por el tipo de estrategias que utilizan. Destacan estos autores:
a) El reconocimiento del uso y la importancia de los métodos intuitivos.
b) La reconsideración de las situaciones de tipo cualitativo como favorecedoras del empleo
del razonamiento proporcional, a diferencia de quienes han planteado que las respuestas de
tipo cualitativo identifican a los sujetos que no aplican el razonamiento proporcional.
En un contexto nacional también se han realizado investigaciones al respecto. En el Departamento
de Matemática Educativa, del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto
Politécnico Nacional (CINVESTAV–IPN), se han desarrollado investigaciones sobre los indicios
del pensamiento proporcional y temas directamente relacionados como los de razón y fracciones.
Dos aspectos que se derivan de esta caracterización:
El razonamiento cualitativo, el cual se refiere al uso de comparaciones, como correspondencia y
seriaciones de tipo cualitativo, es decir, se refiere a seriación de objetos representativos sin el uso
datos numéricos. y el razonamiento cuantitativo, que se refiere a comparaciones de valores
numéricos; éste es el campo más frecuente de aplicación de la proporcionalidad.
Hart, citado en Karplus (1983), identifica y caracteriza la estrategia pre-operacional como un
razonamiento concreto no basado en una comparación de dos razones. Piaget elabora una
epistemología genética que es el estudio del como un sujeto pasa de un estado de menor
conocimiento a un estado de mayor conocimiento, es decir como alguien aprende, y en ese intento
de describir el desarrollo cognitivo humano, Piaget clasifica dicho desarrollo en etapas o estadios
y uno de esas etapas es el periodo pre-operacional, de acuerdo con esa caracterización, Piaget, en
sus primeros trabajos afirma que el razonamiento proporcional se presenta en el estadio de las
operaciones formales, pero en estudios posteriores que en la primera y en la segunda etapa
reconoce que el niño podría entender y desarrollar algunas ideas de razonamiento proporcional,
pero además estudios posteriores a los de Piaget y que además hacen su critica afirman y
demuestran que los niños pueden aprender ese contenido matemático antes de alcanzar el
pensamiento formal. Resnick y Singer (1993), citados en Butto (2005), comentan el desarrollo
del razonamiento proporcional en los niños; aportan un análisis de los orígenes de dicho
razonamiento en edades tempranas.
Cramer y otros, citados en Butto (2005), comentan que el razonamiento proporcional involucra la
habilidad de excluir el razonamiento proporcional del razonamiento no-proporcional.
1.1 Estudios de demanda cognitiva
En cuánto a los estudios de demanda cognitiva que representa el razonamiento proporcional, se
puede hacer referencia a los diferentes trabajos de investigación de Piaget, citado en Gómez
(1996), este agrupa su atención en dos características que utilizan los niños al resolver situaciones
que requieren del razonamiento proporcional: las cualitativas y las cuantitativas; el autor destaca
que este proceso es seguido de varios momentos o etapas: en la primera etapa, el niño hace uso
de la correspondencia y la seriación cualitativa; en la etapa intermedia, usa compensaciones
aditivas o razones de tipo 2:1 y, por último, en la etapa avanzada aplica el razonamiento
cualitativo como alternativa ya que este prevalece sin importar los valores numéricos de los
datos.
Piaget (1972), describió asimismo el avance en el razonamiento proporcional, que se ubica en la
etapa de las operaciones concretas, explicando que éste aparece en tanto el niño se aproxima a la
adolescencia; lo señala como razonamiento formal y en él distingue que sus características
fueron diferentes a las que especificó como razonamiento concreto, revela que el razonamiento
proporcional, junto con la habilidad de formular hipótesis y trabajar con un cierto número de
variables es indicativo de que el estudiante se encuentra en la etapa del razonamiento formal; y
es entonces cuando el sujeto tiene que reflexionar y hacer abstracciones para entender a las
razones como: relaciones entre cantidades y vincularlas a otras razones, destacando que, en la
solución de problemas, la solución plena que involucra proporciones exhibe el razonamiento
formal, mientras que una solución incompleta muestra el nivel del razonamiento concreto.
En estudios posteriores, Piaget propone un seguimiento de las etapas del desarrollo intelectual,
hasta llegar a la de las operaciones formales; indica que este conduce a entender los fundamentos
de los temas de razón y proporción. En sus experimentos señala que el niño adquiere la identidad
cualitativa antes que la conservación cuantitativa y hace una distinción entre comparaciones
cualitativas y la verdadera cuantificación. Para Piaget la noción de proporción empieza siempre de
una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente; él argumenta que entre
los 11 y 12 años, se ve en el sujeto la presencia de la noción de las proporciones en diferentes
ámbitos, tales como las proporciones espaciales (figuras semejantes), las relaciones entre pesos y
longitudes de los brazos de la balanza y las probabilidades.
En el caso de la balanza de barra el sujeto puede comprender, mediante la manipulación del
dispositivo, que es posible conservar el equilibrio, teniendo dos pesos iguales a las mismas
distancias del centro, pero también se conserva el equilibrio disminuyendo el peso, pero
alejándolo y aumentando el otro, aunque aproximándolo al centro. Es decir:
La comprensión de la proporcionalidad (tanto directa como inversa), se da en primer lugar
cualitativamente: “es lo mismo aumentar el peso que la distancia”, luego en formas métricas
simples: “disminuir el peso aumentando la longitud”, equivalente a “aumentar el peso
disminuyendo la longitud”.
En Piaget (1978b) se menciona que el sujeto puede construir el esquema de proporcionalidad
cualitativa, cuando comprende que un incremento en una variable independiente da el mismo
resultado que un decremento en la variable dependiente, es decir, cuando comprende que requiere
de un elemento de compensación.
Sin embargo, Butto (2005) señala que esta postura de Piaget es cuestionada por diversos
autores principalmente por dos razones: primero porque Piaget, afirmaba en la primera etapa que
el razonamiento proporcional caracteriza al estadio de las operaciones formales,pero en la tercera
etapa y cuarta reconoció que los niños mas pequeños podrían desarrollar algunas ideas del
razonamiento proporcional, de ahí que sus críticos como(Bryant y Spinillo ) pensaban que Piaget
subestimo la habilidad de los menores afirmando que los estudiantes de corta edad podrían dar
soluciones que evidenciaran el razonamiento proporcional; Butto dice, que a este respecto, Bryant
y Spinillo (1990), Spinillo & Bryant, (1989) y Spinillo (1990, 1992), comentan que el
razonamiento proporcional no es una experiencia propia de las operaciones formales y puede ser
desarrollado en niños de menor edad. Pone en evidencia los estudios realizados con niños de 4 a
6 años de edad, quienes comprenden la idea de mitad, y son capaces de adquirir un juicio
perceptual al empezar a comparar razones de cantidad antes de tener cualquier experiencia con
razones numéricas.
Esto indica que por otra parte, que el juicio perceptual (geométrico) es una habilidad que
puede ser desarrollada a temprana edad; El segundo, está relacionado con los elementos que
perjudican el desempeño y entendimiento de las tareas propuestas a los niños, entre los que
menciona destaca el lenguaje utilizado y el contexto de los problemas presentados. Resultados
que son avalados por el propio Piaget quien, descripción de los estadíos tempranos en el
pensamiento el cual llamo estadío intermediario, utilizado en las correspondencias cualitativas y
seriaciones, para sumar compensaciones de dos razones 2:1ejemplo………., en el cual se aplicó
el razonamiento proporcional para valores numéricos con los datos y sus razones; y concluye que
puede haber un entendimiento temprano de algunos conceptos matemáticos, como el de
proporcionalidad. Por otra parte, Butto señala que entre las réplicas a los estudios de Piaget se
encuentran las de Lunzer y Pumfrey (1996) los cuales observaron que los alumnos son capaces
de registrar razones como (1:1, 2:1, y 3:1) de manera fácil al resolver los problemas de manera
aditiva.
Entre las réplicas de Piaget, en lo referente al desarrollo cognitivo, se pueden mencionar a Lunzer
(1973), quien centra su atención en el desempeño de los estudiantes en tareas de proporción y en
la descripción de los métodos usados por ellos: estas investigaciones hacen referencia al tema de
proporcionalidad y plantean que su dominio apropiado origina la comprensión del conjunto de
relaciones y sus inversos: tales como a/b = c/d ad = bc.
Lunzer (1973) opina que es probable que este tipo de relaciones sean enseñadas adecuadamente,
pero que no son integradas directamente a nuevos problemas, sino hasta que las capacidades de
razonamiento del sujeto hayan alcanzado un nivel de desarrollo. El autor informa sobre un
conjunto de tareas con niños de 6 a 14 años, de donde describe las estrategias usadas, y especifica
las diferentes demandas hechas por distintas razones. Al respecto comenta que los niños de todas
las edades tienden a escoger modos aditivos de solución, aunque el problema sugiera métodos
multiplicativos.
Al respecto, English y Halford (1995) citados en Butto (2005) testifican que una de las
particularidades esenciales del razonamiento proporcional incluye recomendaciones de 2º orden,
es decir, relaciones entre dos cantidades directamente claras. Perspectiva que defiende que la fase
temprana del razonamiento proporcional en los niños, incluye un razonamiento aditivo, de la
forma a-b = c-d.
Entretanto, el trabajo de Lesh (1988) citado en Butto (2005) registra como indicador del uso del
razonamiento proporcional; un razonamiento destacado, que los niños usan en varias tareas
multiplicativas, que son característicamente de una ecuación de tipo a b = c d, especialmente
cuando tienen una solución algorítmica.
Schliemann y Carraher (1986) se dieron a la tarea de evaluar el desarrollo cognitivo de niños y
adolescentes con diferente instrucción escolar en relación al esquema de proporcionalidad,
mediante dos tareas piagetianas: el equilibrio de la balanza y la cuantificación de probabilidades.
Se observó la dificultad tocante a las dos tareas. Estudio en el que participaron 83 estudiantes de
5o y 6º año de primaria y 1º año de secundaria de escuelas públicas brasileñas y dos escuelas
privadas de la ciudad de Recife. La tarea de cuantificar probabilidad fue aplicada por Piaget e
Inhelder (1951), tomando en consideración los elementos consistentes en esquemas utilizados por
Carraher (1983), en la tarea del equilibrio de la balanza se utilizó un esquema desarrollado para
su aplicación.
Este esquema, involucra las siguientes actividades: el entrevistador coloca un peso en uno de los
dos lados de la balanza y el estudiante debe reequilibrar la balanza utilizando un peso igual; en
seguida, el entrevistador realiza algunos cambios de peso y el alumno hace otros cambios, de tal
forma que reequilibra la balanza utilizando dos pesos, cada uno de ellos de igual valor al
utilizado por el experimentador; después de una serie de cambios de peso realizados por el
entrevistador, el estudiante obtiene el equilibrio de la balanza; en este tercer momento, el
entrevistador coloca un peso de un lado de la balanza y el alumno debe reequilibrarla utilizando
tres pesos, cada uno igual al peso unitario, seguido de cambios; y en el cuarto momento el
entrevistador coloca el peso unitario en el octavo gancho y el estudiante tiene tres pesos, cada
uno de igual valor al unitario, para intentar reequilibrar la balanza (en esta parte la solución es
imposible); el último momento de resolución imposible es especialmente útil para estimular al
estudiante a enunciar la ley de la compensación de pesos y distancia en forma cuantitativa.
Los resultados revelaron que el 50% de los alumnos intentan resolver el problema utilizando
solamente una variable y, por lo tanto, los autores sugieren que la enseñanza de la
proporcionalidad se debe relacionar con variables en diversos contextos, con el objetivo de que
los estudiantes puedan examinar, en diversas situaciones, que las variables afectan el resultado de
un problema.
Sin embargo, Gelman (1972) citado en Judith (2000, p.121) dice que muchos teóricos
contemporáneos piensan que Piaget subestimó las capacidades de los niños de corta edad; estos
consideran, que quizá el niño posee la habilidad de resolver problemas de niveles cognitivos
superiores, sólo que les falta la habilidad verbal para probar la presencia o la ausencia de los
conceptos básicos. Este autor dice que Piaget ha sido fuertemente criticado por sus ideas
concernientes a la naturaleza cualitativa del desarrollo cognitivo.
Algunos otros teóricos como Flavell (1985); Miller (1993); Siegler (1991 citados en Judith 2000)
ponen en tela de juicio que los cambios en los sistemas cognitivos del niño sean tan
“Fundamentales, decisivos, cualitativos y graduales; como para señalar que el modelo de
equilibrio no logra explicar satisfactoriamente los progresos en el desarrollo cognitivo” esto,
porque no señala de manera explícita las actividades cognitivas, me refiero al pensamiento, a las
estrategias operacionales, al desarrollo cognitivo asociado a contenidos matemáticos, es decir , el
aprendizaje, que utilizan para solucionar el problema que tienen lugar durante el proceso de
asimilación, de acomodación y de equilibrio; Miller por su parte dice que los cambios por etapas
en el pensamiento del niño se debe al desarrollo gradual cualitativo y cuantitativo alcanzado, es
decir, se explicitan las actividades de mayor complejidad, dependiendo del grado de madurez
cognitiva y contenido matemático explorado. En las capacidades de su atención y de su memoria.
Siegler (1991) indica que los niños no pueden realizar esta tarea porque entre otras cosas no se
concentran en las dimensiones relevantes, no codifican la información apropiada, no relacionan la
información con los conocimientos actuales, no recuperan en la memoria la solución
correspondiente.
1.2 Estudios concernientes al campo educativo
En los estudios concernientes al campo educativo, que reportan acerca de las dificultades,
procedimientos y estrategias al trabajar con problemas o ejercicios vinculados con el concepto de
proporcionalidad, podemos señalar a Vergnaud (1983); Riccó y Rouchier (1979); Pluvinage y
Dupuis (1981);Sokona (1989); además interesa hacer referencia a estudios como el de Winch
(citado en Karplus1983), quien estudia la habilidad de los estudiantes de la escuela elemental
para resolver correctamente problemas de proporción y en su reporte da cuenta de tres métodos
de solución que ellos emplean:
La búsqueda del valor unitario, que consiste en encontrar el valor correspondiente
a la unidad; en ella subyace la pregunta: ¿cuántos para uno? y se accede a dicho
valor por medio de una división.
El razonamiento aditivo, que se basa en comparaciones por medio de diferencias.
El razonamiento cualitativo, que se basa en comparaciones como mayor que, más
que o igual que, sin llegar a una cuantificación de las mismas.
El primer método de la búsqueda del valor unitario se reconoce como el usado con mayor
frecuencia, lo cual lo lleva a expresar la siguiente hipótesis: “Los problemas en los que hace
mención explícita de las cantidades unitarias son más sencillos que aquellos en los que no hace
referencia de dichas cantidades”
Noelting (1980) citado en Butto (2005) se refiere a problemas de comparación, dos de razones
enteras y dos de razones fraccionarias, y cuatro problemas de valor perdido con dos razones
enteras y dos fraccionarias. Lo hace en dos grupos, uno con instrucción y el otro sin ella. En su
estudio El jugo de naranja indica que sus resultados revelaron que los estudiantes mostraron
mayormente el uso de estrategias aditivas y que este tipo de estrategia era más usual en las tareas
de los clips de papel. El grupo de estudiantes que no había recibido instrucción escolar de
proporcionalidad también presentaba un razonamiento aditivo; concluye que la instrucción escolar
en dicho contenido matemático no estaba siendo eficaz, que los problemas de comparación son
resueltos más fácilmente que los problemas de valor ausente, y que los de razones fraccionarias
eran más difíciles que los de razones enteras. Para la autora, una posible explicación para estos
resultados es que los estudiantes, independientemente de haber recibido instrucción escolar o no,
en la vida diaria mantienen contacto con problemas de comparación y en la mayoría de las veces
utilizan razones enteras. No así en las comparaciones de otro tipo.
Estos estudios destacan por lo menos dos datos interesantes: uno de ellos es encontrado en la
tarea de los problemas formales: algunos estudiantes armaban correctamente los problemas, pero
se equivocaban en la resolución de los mismos problemas cuando involucraban números
decimales; el otro dato interesante es que los sujetos, después de intentar inútilmente resolver los
problemas a la manera de la escuela, pasaban a hacerlo por sus propios caminos, y llegaban así
a una respuesta al problema, pero con dificultades para utilizar los algoritmos enseñados por la
escuela.
Noelting (1980), citado en Butto (2005), señala que el autor propone la teoría de la
reestructuración adaptativa para permitir la transición del primer estadio al segundo (o sea, del
estadio temprano al intermedio) y, para analizar el tipo de comparación que los sujetos hacen
cuando resuelven un problema, comparan el jugo de limón y el agua en cada primer recipiente y,
comparando esas dos relaciones, seleccionan dos jugos, de limón y de agua primero, formando así
el abordaje denominado entre estrategias; así estudia el razonamiento proporcional con problemas
de comparación numérica, Estableciendo razones completas sin requerir en su solución
necesariamente una respuesta numérica, pues los niños deben comparar las razones de acuerdo
con el dibujo mostrado:
Noelting (1980, citado en Butto 2005:30)
Los alumnos debían responder ¿cuál jarra contiene la limonada con un sabor más fuerte o si las
dos tienen el mismo sabor. El estudio se realizó con niños entre 6 y 12 años. Concluye que
los estudiantes tienen un mejor desempeño: cuando una cantidad de la razón completa es un
múltiplo entero los estudiantes usan estrategias aditivas. Además observa que en los problemas
de comparación, los estudiantes presentan dificultades. Por ello diferenció la investigación con
problemas de valor perdido, comparación cualitativa, abordaje aditivo y el cálculo de razones.
Según la autora, en otra investigación como la de Tournaire y Pulus (1985), estos, comentan
acerca de las distintas metodologías y tareas que utilizan los alumnos con el razonamiento
proporcional. Aquí, se destacan dos pares de métodos utilizados: la comparación contra valores, y
explicaciones contra una sola respuesta. Las tareas son variadas y con intervenciones individuales.
La ventaja de esos estudios es que, en cada método, se identifican numerosos pensamientos
utilizados en el estudio de razonamiento proporcional; también se distinguen categorías como
tareas físicas, problemas de razón, problemas de mezcla y tareas de probabilidad; en todas ellas
varía el contexto, y citan tres tipos de estrategias más utilizadas por los entrevistados: variación
de las estrategias, estrategias desfavorables, desarrollo de una secuencia de estrategias.
Además examinan de qué manera esas variables (como la variación de estrategias, estrategias
desfavorables y el desarrollo de una secuencia de estrategias), interfieren en el desempeño de los
estudiantes afectando el desempeño del razonamiento proporcional y el futuro desarrollo de
secuencias didácticas; Mencionan las siguientes:
complejidad numérica,
estructuras de las variables,
contexto de las variables,
modelos de instrucción, intervención individual.
La complejidad numérica se refiere al uso de los números y a las razones, a la presencia de la
unidad y a problemas de comparación y de razón. La estructura de las variables puede ser usada
para definir una secuencia jerárquica de razonamiento. El contexto de las variables en muchos
estudios varía la estructura de los problemas usados en dicho contexto, y los modelos de
instrucción se refieren al tipo de instrucción escolar recibida y a los efectos que ésta tiene en el
aprendizaje del razonamiento proporcional.
Por su parte Carraher, Schliemann y Ruiz (1986) citado en Butto (2005) investigaron el desarrollo
de la concepción de cantidades medidas por razones, en un estudio con 49 estudiantes que
cursaban 5º y 6º año de primaria y 1º año de secundaria con edades entre 10 y 16 años. Los
estudiantes fueron expuestos a dos tipos de contenidos: problemas de compra y venta y
problemas de velocidad. En la primera actividad (problemas de compra y venta) el entrevistador
solicitaba al alumno que indicara, entre dos posibles compras, cuál era la mejor y que en seguida
la justificara. En la segunda ( problemas de velocidad), el estudiante disponía de diversas medidas
de tiempo y distancia recorridas por dos autos que eran movidos por el entrevistador, y debía
indicar si los dos autos los habían movidos a la misma velocidad o no.
El desempeño de los estudiantes en la primera actividad se clasificó de acuerdo con las
siguientes categorías:
Nivel 1: respuesta de los estudiantes que involucraban sólamente una variable en las soluciones y
comparaciones directas.
Nivel 2: respuesta de los estudiantes que intentaban considerar ambas variables de manera
simultánea, pero con algunas dificultades.
Nivel 3: los sujetos que utilizaban estrategias correctas considerando todas las variables.
Para la actividad de velocidad el desempeño de los estudiantes se clasificó en cuatro niveles:
Nivel 1: los estudiantes presentaron dos tipos de respuesta: a) considerar solamente una variable,
distancia o tiempo, y confundían el significado de velocidad con la variable usada; b) ignorar los
datos cuantitativos, buscando apenas la velocidad de los dos autos mientras el entrevistador los
movía.
Nivel 2: los estudiantes que reflexionaban acerca de la cuantificación imprecisa de la velocidad,
pero consideraban ambas variables.
Nivel 3: los alumnos que utilizaban una cuantificación aditiva incorrecta.
Nivel 4: los estudiantes que indicaban una consideración de las dos variables. Aquí se observaron
dos tipos de estrategias: a) calcular el número en centímetros por segundo, y b) dividir la
distancia por el tiempo para los dos coches y comparar los resultados.
A partir de los resultados obtenidos en las dos actividades, los autores encontraron cierta
influencia de la instrucción escolar sobre el desempeño de los estudiantes en la actividad de
velocidad. Contrariamente a la actividad de compra y venta en la cual no se observó ningún
efecto de la instrucción escolar, los resultados revelaron que algunos alumnos son capaces de
hacer los cálculos para encontrar una respuesta correcta. Pero los autores también sugieren una
discusión acerca de la enseñanza de la regla de tres, pues opinan que a pesar de que los cálculos
involucrados en su resolución son simples, la regla de tres involucra un modelo matemático
complejo, cuyo uso los niños no han conseguido comprender.
Karplus y Peterson (1970), citado en Butto (2005) categorizaron las respuestas de los niños a
partir de su nivel de comprensión. Aquí se menciona el estudio sobre el señor bajo y el señor alto
haciendo la representación con clips: comentan que no todos los niños tienen una estrategia de
tipo aditiva y que este pensamiento está fuertemente influenciado por la instrucción recibida en
las escuelas; es decir, privilegia el trabajo en torno de las estructuras aditivas, abordando más
tarde el desarrollo de las estructuras de tipo multiplicativo; por ello que dificulta la significación
de conceptos, procedimientos en los alumnos con respecto del razonamiento proporcional.
Karplus y Peterson (1970 citado en Butto 2005:30)
Karplus (1972) estableció como estrategias intuitivas las categorías I(Sin explicación), IC (usando
la información, de una manera ilógica), dado que el 65% de los niños en 1970 usaron estos
métodos y para 1972 los habían sustituido. Una cantidad similar de niños pasó de la categoría A
(usando toda la información, pero aplicando la diferencia, más que la razón de mediciones) a la S
(usando la multiplicación, pero no a través del factor recto (usualmente mediante duplicación)
porque no hubo base para ordenarlas.
Estas categorías son relevantes porque a partir de ellas se pudo diversificar métodos para obtener
las respuestas correctas.
En relación a las estrategias que utilizan los niños, Karplus(1983) propone cuatro categorías,
producto del análisis de los diferentes métodos de solución empleados por los alumnos en tareas
que involucran el razonamiento proporcional:
Estrategias:
Incompleta-ilógica: cuando adivinan la respuesta o emplean una operación cuantitativa
inapropiada.
Cualitativa, si comparan las cuatro cantidades dadas, usando los términos más, menos o
términos equivalentes.
Aditiva: al comparar los datos a partir de diferencias o residuos.
Razonamiento proporcional, si usan datos para calcular y comparar relaciones
proporcionales.
Los estudiantes fueron sometidos a las siguientes tareas: un problema (clips de papel, Karplus,
Karplus y Wollman, 1974), que consiste en buscar el valor ausente y tratar con razones
fraccionarias.
Noelting (1980ª;1980b) estudió el razonamiento proporcional con tareas que requerían de los
sujetos la comparación de dos proporciones (jugo de naranja y agua, para preparar dos bebidas
con el mismo o diferente sabor de naranja) con el requerimiento de que calcularan una respuesta
que produjera la proporción deseada.
Las cantidades totales de la mezcla ¿saben igual?
El contenido del problema también es familiar.
Niños de 6 – 7 años comprenden que a más agua menos sabor a naranja en las
comparaciones sencillas.
El 78% de niños de 6 años y 86% de 8 años pudieron indicar cuál de las dos mezclas
sabría más a naranja en 3c/1ta 2c/1ta.
Menos del 25% de los 10 años y 67” de 12 años lograron responder correctamente
entre 3c/2ta y 4c/3ta.
Los resultados expresan las dificultades de los niños en los problemas de proporción
en la co-variación.
Por otro lado, Czarnocha (1999) en Butto (2005) indica que este desarrolló un estudio usando
la técnica de Bruner (1961), cuya principal idea es que el estudiante aprende de manera más
efectiva cuando descubre el conocimiento por sí solo en vez de hacerlo por instrucción directa.
El profesor actúa como agente para que aquél pueda realizar el descubrimiento. Esta técnica
propicia que los estudiantes revelen su proceso de pensamiento, denominado así momentos de
cognición matemática, que ayudan a que ellos construyan su propia realidad matemática, y ésta
les permite acercarse de manera creativa y muy semejante a la manera como actúa un científico
cuando plantea un nuevo concepto o teorema.
Tal técnica no se debe tomar como ejercicio estimulante para los alumnos, en el cual se les
muestra su error y se les conduce a un momento de reflexión que concluye con la reestructuración
de su pensamiento. La técnica, se convierte, así, en una herramienta de investigación,
recientemente asociada a la enseñanza experimental constructivista, a su vez relacionada a la idea
vygotskiana que indica que es necesario estudiar los cambios mentales bajo la instrucción, y la
interacción con el estudiante. Aquí el papel del profesor es semejante al de un investigador, en el
sentido de encontrar medios y caminos para facilitar lo que los estudiantes necesitan para alcanzar
un descubrimiento particular; el autor indica que esos momentos de descubrimientos sólo pueden
ocurrir dentro de las estructuras cognoscitivas matemáticas autónomas de ellos, y el profesor debe
investigar esas estructuras mentales que surgen durante la secuencia didáctica.
En este sentido, la resolución de problemas se ha convertido en una forma de indagar los
procesos del pensamiento que generan los alumnos cuando resuelven una situación problemática,
está, a la vez permiten determinar los procedimientos informales o estrategias que utilizan al
enfrentarse a dichos problemas, así como las dificultades a las que se enfrentan los alumnos al
tratar de darle solución.
Entre los estudios sobre estrategias de resolución de problemas se pueden destacar los de
Fuson,Richards y Briars (1982) en Maza (1991), en cuyo análisis sobre la construcción de la
secuencia numérica, corroboran, desde otra perspectiva, las deducciones piagetanas; dichos
autores consideran la construcción de las secuencias numéricas como un proceso de
diferenciación de las palabras dentro de la propia secuencia y de construcción de las relaciones
entre las mismas; destacan el hecho de que el recuento de las palabras era tardío. y que estaba
íntimamente relacionado con la adición, pero con marcada influencias de la multiplicación.
1.2.1 Estudios en desarrollo de estrategias
1.2.1.1 Estrategias de resolución de problemas
Uno de los primeros avances de en este terreno fue el reconocimiento de la distinta naturaleza del
multiplicador y el multiplicando; expuesta en Dienes y Golding (1966, citados en Maza,1991:28),
estos autores sostenían que la suma se refería a un solo universo, y que la multiplicación se
realizaba a partir de dos elementos distintos; además, Dienes decía que la multiplicación
correspondía a una operación lógicamente más difícil que la suma, con mayor dificultad y por lo
tanto requería de mayor abstracción que esta.
Piaget (1977 en Maza 1991) señala que las respuestas de los alumnos se podían dividir en tres
estadios gradualmente más complejos y tanto con mayor nivel de abstracción: En el primero los
alumnos añadían unos grupos de elementos a otros sin tener previamente un plan preestablecido
para solucionar el problema; sustenta que a esta edad (4-7 años) la acción del alumno consiste en
la Sucesión de adiciones antes que en una adición de adiciones; cataloga esa acción como una
labor mecánica que se mueve en el nivel más bajo desde el punto de vista operativo, que no le
permite prever resultado alguno, ni volver a repetir su proceso. En el segundo, la acción más
común de los estudiantes consiste en realizar una adición de adiciones, tomar conciencia del
número de veces que se repiten los grupos, anticipando sus resultados, pues intuye que un grupo
de pequeño tamaño debe repetirse más veces para compensar el número mayor; alcanza así la
solución del problema, por medios más aditivos que multiplicativos.
Para Piaget, en el tercer estadio el alumno manifiesta una diferencia cualitativa: no se centra en
el resultado de sus acciones, sino que es capaz de considerar como objeto de conocimiento su
propia acción; aquí no forma montones sino que repite una misma acción sobre un grupo, la
diferencia para este autor es esencial, desde el punto de vista de la abstracción, pues cuando estas
acciones se transforman en objeto de conocimiento para el alumno, se puede concluir que el
alumno ha pasado de la abstracción empírica a la abstracción reflexionante o lógico –matemática.
Esquemáticamente, ese planteamiento se puede expresar de la siguiente forma:
Maza (1991:30)
Otro estudio relevante que reconoce la perspectiva piagetiana sobre la construcción de la
secuencia numérica es señalada por (Fuson, Richards y Briars1982 citado en Maza 1991:30); en
ese estudio se reconoce la perspectiva sobre deducciones piagetanas y se destaca el hecho de que
el recuento de las palabras era tardío; este recuento va muy relacionado con los problemas de
adicción, pero con marcada influencia en los problemas multiplicativos.
En los dos primeros estadios En el tercer estadio
perciben perciben
El estadio aditivo de sus colocaciones. El número de colocaciones
La enumeración de fichas. La enumeración de acciones
Los resultados finales de sus acciones El mecanismo de sus acciones
Otras investigaciones interesadas en descubrir las estrategias de los niños desde la resolución de
problemas aditivos hasta el empleo de métodos multiplicativos son las de (Anghileri1989;
Kouba, 1989), en Maza (1991:30); ellos usaron el modelo descriptivo único para exponer sus
resultados, según el cual el desarrollo progresivo de las estrategias puede contar cinco niveles:
Modelo descriptivo único
Anghileri (1989), Kouba (1989), en Maza (1991:31);
Este modelo; señala cinco niveles de desarrollo progresivo en las estrategias desarrolladas por los
estudiantes al resolver problemas: los cuales se explican a continuación.
Nivel de desarrollo 1
Utiliza la eestrategia recuento unitario: El alumno que desarrolla esta estrategia regularmente
requiere de una representación directa con material o con dibujos figurativos de la situación
creada para la solución ó la extensión de los dedos.
Recuento unitario
Doble recuento
Recuento
transaccional
Estrategia aditiva
Recuperación de un
hecho multiplicativo
Nivel de desarrollo 2
Estrategia doble recuento: El alumno percibe claramente la regularidad de los recuentos y la
repetición de los grupos de palabras (unidades verbales) (acción que corresponde al segundo
estadio Piagetiano); considera los cuatro procedimientos que reflexiona Baroody (1988) citado
en Maza (1991).
1.- Se generan números de la secuencia numérica standard 1 2 3 4 5 6
2.- Se lleva la cuenta de cada segundo número contando 1 2 , 1 2 , 1 2 .
3.- Se lleva la cuenta del número de grupos de dos; 1 2 (pausa), 3 4 (pausa),5 6.
(según Maza este paso no es tomado a un como objeto de conocimiento)
4.- Se detiene la secuencia numérica después de completar el tercer grupo de dos y dar el
último número de contado como respuesta 6
La actitud desarrollada por el alumno; depende del desarrollo del principio cardinal Gelman
y Gallistel (1978), en el cual la última palabra de un recuento tiene para el alumno un
significado especial, que le señala todos los elementos del conjunto contado. El énfasis la
pauta le indica que es el final de un grupo de dos o en el caso del seis que es el final de todo.
Nivel de desarrollo 3
Estrategia recuento transaccional: El alumno utiliza unidades abstractas antes que las
verbales; reconoce el número progresivo de grupos (Steffe y otros (1983), citados en Maza
1991:33); indica que esta estrategia se manifiesta, inicialmente, por un recuento subvocal de la
palabra (el empleo de múltiplos de dos), que no marca el final de un grupo para concluir con su
interiorización.
1 (susurrado) 2 3 (susurrada) 4 5 (susurrado) 6
2 4 6
Nivel de desarrollo 4
Estrategia aditiva: El alumno domina plenamente el procedimiento de recuento de grupos,
puede aplicar distintas rutinas aditivas para calcular la suma resultante de la adición de
grupos. La forma más habitual reside en manipular los dobles de un número, aunque la rutina
aditiva depende de los datos numéricos del problema.
Ejemplo: un grupo de 2 sumado a otro grupo de 2 … a otro grupo de 2
2, 2 y 2 son 4 , luego 4 y 2 son 6
Nivel de desarrollo 5
Estrategia recuperación de un hecho multiplicativo: Entre los problemas de multiplicación
destacan los de combinación como los más difíciles [Hart (1981); Vergnaud (1983) ]; Quintero
(1985); seguidos de los problemas de razón que implican el uso del cuantificador, sin embargo
hay diferencias en el aprendizaje de cada uno de los dos tipos: en los problemas de razón la
dificultad más común consiste en comprender el significado de la razón Puig y Cerdán (1988)
citados en Maza 1991; señalan que estos problemas son mejor resueltos si el denominador de
la razón es el tiempo (Km/h); es decir, en la existencia de una confusión conceptual en torno a
los problemas de combinación. Ejemplo: Si se tienen dos colores (blanco y negro) y tres
formas (triangulo, cuadrado y círculo) se pide formar las posibles combinaciones considerando
la forma y el color:
Este problema es meramente asociativo y no implica el cálculo previo de los elementos
resultantes.
Sin embargo los problemas en los que se pide al alumno una matriz de puntos de la cual se
conoce el número de elementos en horizontal y vertical, se debe descubrir el número de
puntos existentes:
Para Anghileri (1989); Este problema es resuelto de manera semejante a los de razón y
comparación; mediante una suma reiterada de una de las filas o columnas.
Señala que la dificultad de estos problemas reside en la forma de combinar todos los
elementos de un conjunto con los del otro conjunto. El obstáculo más frecuente en esta
estrategia es el conceptual: ya que la multiplicación es concebida como suma reiterada y este
modelo va a impedir la aplicación de la multiplicación a los problemas de combinación.
En este contexto; Según Quintero (1985), los problemas de comparación resultan más
sencillos que los de razón; sin embargo, la dificultad más común en éstos es de tipo
lingüístico, y altera notablemente los resultados.
Ejemplo de problemas de comparación:
Maza (1991:34)
1.3 Resolución y clasificación de problemas aritméticos
Desde comienzos de la década de los ochenta, se plantea la necesidad de incorporar el
curriculum de matemáticas en torno a la resolución de problemas; este hecho tiene bases tanto
económicas, como sociales y pedagógicas; dado que la escuela prepara a los alumnos para
enfrentar su vida presente y futura, en ella la resolución de problemas es actividad constante.
Juan tiene 7 pesetas y María tres
veces más ¿Cuántas pesetas
tiene María?
Juan tiene 7 pesetas y María tiene tres veces las
Pesetas de Juan ¿Cuántas pesetas tiene María?
Repuesta
La respuesta inclina al alumno a
sumar los Números 7 + 3 = 10
Repuesta
Se observa que la palabra más viene a distorsionar el
sentido de la palabra veces: aunque la frase tres veces
más es cotidiana, impide la generalidad en los
resultados Quintero (1985).
Algunos de los autores que reconocen la resolución de problemas, entre ellos Polya (1965), Glass
y Holyak (1986), Bransfor y Stein (1984) y otros, proponen una primera etapa que consiste en la
identificación o reconocimiento de la existencia de un problema y de la necesidad de resolverlo.
Esto lleva a Orton (1988), citado en Maza (1991), a afirmar que: “La resolución de problemas se
concibe como generadora de un proceso a través del cual quién aprende combina elementos del
conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una
solución a una situación nueva”. Así se puede concluir que la verdadera esencia de las
matemáticas es la resolución de problemas.
1.3.1 Fases en la resolución de problemas aritméticos
En este tópico Polya (1965), hace mención, de cómo se debe de trabajar los contenidos
matemáticos con base en la resolución de problemas, al respecto considera como principal tarea
del maestro; la de auxiliar al alumno en cuanto al trabajo que se realiza en el salón de clases, de
tal manera propicie un equilibrio.
De igual manera Polya señala que al maestro le corresponde favorecer la motivación; parte
importante para que el alumno se interese en la resolución de problemas; argumenta que como el
proceso de enseñanza-aprendizaje requiere de un largo tiempo, el alumno debe ir progresando por
niveles, de tal manera desarrollara habilidades, que le sirvan de base para solucionar otros
problemas; de esta manera, que se pueda observar que el alumno no resuelve los problemas
mecánicamente.
A este respecto dicho autor señala que existen cuatro fases para abordar los problemas:
Polya (1945) citado en Maza (1991) señala que la resolución de problemas se ha propuesto en
cuatro fases:
1. Compresión
2. Planificación
3. Ejecución
4. Revisión
Análisis del problema
La comprensión del problema, El alumno tiene plena claridad del problema, de las incógnitas,
incluye la construcción de una representación interna o externa, en dos fases:
a) El análisis de los elementos del problema
b) Su representación posterior se refiere a descomponer la información del
problema , respondiendo las siguientes preguntas
¿Cuáles son los datos?
¿Qué se desea encontrar?
¿Cuál es la incógnita?
¿Qué condiciones cumplen los datos del problema?
Representación del problema
Se pide relacionar los datos con la incógnita, con el fin de encontrar ideas y trazar un plan;
en esta fase los elementos son relacionados entre sí y expresados mediante una representación
icónica; para conseguirlo se puede:
Manipular sobre objetos reales, figurativos o material estructurados
Dramatizar en clases el problema planteado
Expresar en dibujo, los elementos del problema y sus relaciones mutuas.
Esto permite determinar:
¿Cuáles son las relaciones entre los elementos del problema?
¿Cuál es la mejor representación del mismo? Así concluye la transposición de estas
representaciones con el objetivo de encontrar la que mejor refleje el estado del problema.
¿Se disponen de datos suficientes para alcanzar la solución?
Planificación:
Significa elegir una estrategia de solución; por ello, para el autor, al estar ante un problema
de multiplicación no existe la planificación; sólo se trata de elegir la operación adecuada y
realizarla. Las preguntas claves para lograrlo serían las siguientes:
¿Se parece a algún problema anterior? ¿En qué?
¿Qué pasos debo dar? ¿En qué orden? ¿A dónde me conduce?
¿Por qué creo que son adecuados?
¿Qué operación puede resolver el problema?
Ejecución:
Una vez que se tienen las ideas claras, se debe trazar un plan de resolución, que consiste en
aplicar la estrategia planificada con anterioridad; desde el punto de vista meta- cognitivo conviene
controlar en todo momento el proceso, valorar si cada paso es correcto y si el camino es el más
eficaz; el autor dice que es el momento del “insight”, es decir, la aparición de la idea que lleve al
alumno, que ejecuta el proceso aditivamente, a descubrir que puede aplicar directamente una
multiplicación.
Generalización del problema
Una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla; se deja para la última etapa y se llega
mediante la pregunta ¿Se puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?. El
descubrimiento de alguna relación entre la estrategia utilizada o el propio resultado con otros
problemas puede servir de motivación para construir principios más generales. El autor, considera
que el resolutor “puede transitar de una fase a otra fácilmente en el momento más creativo”.
A este respecto; una aportación importante desde la psicología y su articulación en la enseñanza
de las matemáticas es la del psicólogo Francés Gerard Vergnaud quien afirma que “ el significado
de la enseñanza de las matemáticas está estrechamente ligado a la motivación y el alumno, para
interesarse, necesita encontrar un sentido a las enseñanzas que se le transmiten “ (Vergnaud;
1997:29), este explica que para que un contenido tenga sentido en el alumno es preciso que lo
relacione con actividades que le sean significativas, de exploración y experimentación de orden
científico o actividades de la vida cotidiana; también se necesita que el alumno encuentre en el
contenido un problema información que no sea excesivamente fácil, ni excesivamente difícil
Al respecto, Shoenfeld (1987:17) asegura que muchos educadores las han adoptado las
aproximaciones de Polya, este asegura que esta labor es un arte, que sólo se puede aprender por
imitación y práctica; su trabajo consiste en agrupar y ordenar las preguntas y sugerencias que su
experiencia ha mostrado como útiles para la resolución de problemas.
1.3.2 Factores que influyen en la resolución de problemas aritméticos
Tres factores principales influyen en la resolución de problemas: un factor cognitivo, un
factor afectivo, un factor de metacognición, los cuales suponen las interrelaciones en el aula.
En cuanto al factor afectivo Lester (1980:66),señala que tenemos: el interés, la motivación, la
confianza, la perseverancia y la complacencia.
Entre estos la motivación; depende de la forma de enseñar el alumno, Sternberg (1983)
Contrasta que los alumnos aprenden más y mejor si están motivados; se refiere a que: “A igualdad
de habilidad en los alumno las diferencias en la motivación dan cuenta de las diferencias
observadas en la realización de problemas”. Lo que quiere decir que un niño es más creativo
cuando esta motivado.
Para Nicholls (1983 citado en Maza 1991), la motivación puede tener tres fuentes: La
misma tarea, el propio yo del resolutor y una fuente externa: la primera se refiere a una
motivación ideal; donde la exploración, el entendimiento, la relación que se establezca con otros
problemas y el desarrollo adecuado de los componentes cognitivos de las tareas; son la fuente de
satisfacción para el resolutor Buchanan (1987) en maza 1991; la segunda concluye, que el
resolutor prefiere ejecutar un procedimiento que le permita llegar a la solución, se inclina menos a
la reflexión, sobre si le conviene o no tal procedimiento; En la tercera fuente la actitud de los
alumnos cambia, esta es circunstancial, los alumnos se preocupan de caer en el fracaso, son
faltos de seguridad propia, esperan una idea que apruebe el profesor, para resolver el problema.
Otro factor a considerar en la resolución de problemas es la metacognición la cual se
puede clasificar en: 1).-Conocimiento de la cognición y la regulación de la cognición: la primera
se refiere a “Disponer de la información acerca de lo que se piensa”, la segunda se refiere “al
control que uno mismo ejerce sobre sus actos cognitivos”
Si nos referimos al conocimiento de la cognición:
Por ejemplo: Si el niño lee un libro puede saber que percibe palabras, estas se codifican por sus
características sintácticas en la memoria a corto plazo, se almacenan en la memoria a largo por su
significado y luego.
Si nos referimos a la regulación de la cognición:
El alumno puede leer más rápido si cuenta con técnicas adecuadas, puede, también
recordar mejor lo leído, y desplegar una serie de claves que le permitan recuperar la información
almacenada, es decir ejerce control sobre sus actos cognitivos.
Ahora bien para (Brown y otro 1983, en Maza 1991:68) los procesos metacognitivos son los
siguientes:
La planeación de actividades, el alumno (predice resultados, estrategias posibles,
establece y distingue metas y submentas)
El control de actividades durante el aprendizaje, el alumno (revisa y valora lo que aprende)
Corroboración de los resultados, el alumno valora conforme a criterios de efectividad y
eficacia.
En este terreno de la meta cognoción se debe:
Fomentar una constante reflexión no solo en la conclusión sino en el mismo proceso
En la planeación se debe analizar las estrategias, la asignación de valores espaciales a
determinadas palabras (tres veces más, repartir, etc) y debe de seleccionar la
operación adecuada a utilizar, el profesor debe de introducir preguntas, sugerencias,
que ayuden al alumno a pensar en lo que está haciendo, controlando sus decisiones y
evaluándolas.
Desde esta perspectiva, interesa entonces determinar el método más adecuado para enseñar la
multiplicación y la división a partir del planteamiento de problemas; esto permite guiar al profesor
en la construcción de su propio método teniendo en cuenta las peculiaridades propias, las de la
materia, las del alumno y las del contexto.
1.3.3 Resolución de problemas de estructura multiplicativa
a) Referentes a multiplicación – razón
(Maza 1991:76)
Si cada sello nos cuesta 6 pesetas y queremos comprar 7 sellos ¿Cuánto dinero tendremos que reunir para comprarlos?
1. Analizar el problema diferenciando lo que conoce y lo que no conoce
2. Representación icónica figurativa del problema, mediante diagramas o listas bloques
multi-fase
sellos
6 pesetas
Esta representación soporta un grado de abstracción que facilitará el paso de una
representación icónica a una representación simbólica, es decir, a una representación más
abstracta.
a) Se dibujan las pesetas que vale cada sello
b) Se reitera el proceso hasta que se acabe con los sellos
c) Se cuentan todas las pesetas
La estrategia más usual será la aditiva, que en este caso consiste en repetir las pesetas dentro
del diagrama en cada uno de los sellos y sumar al final todas las pesetas
6
6 + 6 = 12
12 + 6 =18
Cuando el estudiante reflexiona qué es lo que está haciendo y sobre lo que va a hacer, se llega
a la otra fase: planificación:
d) Se generaliza: mediante el descubrimiento de una relación del problema con otros ya
resueltos, relación que aquí no se cumple.
Sabemos No sabemos
Que 1 sello vale 6 pesetas
y que compramos 7 sellos
Cuántas pesetas valen los 7
sellos?
b) Referentes a agrupación - razón
(Maza 1991:76)
1. El análisis será igual que el anterior
2. La representación