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L.ELARROUM p1/74
Université Hassan II Mohammedia Faculté des Sciences Ben M’sik
Département de physique
Filières SMC
Module Physique 3
Support
COURS et TD D’ELECTRICITE II
Pr: L.ELARROUM
Département de physique Laboratoire de Physique de la matière Condensée (L.PM.C.)
(Unité de Recherche Associée au CNRST (URAC10)
Equipe physique d’agrégats et nano systèmes
Casablanca, Maroc
fax: (212) 0522707675 E-mail:lelarroum@yahoo.fr
Année universitaire 2010/2011
L.ELARROUM p2/74
Contenue :
A- Cours d’électricité II
B- Enoncés des TD.
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A- Cours d’électricité II
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PROGRAMME:
• CH I : Magnétostatique du vide;
• CH II : Courant continu et alternatif;
• CH III : Les équations de Maxwell dans le vide;
• CH IV : Les ondes électromagnétiques dans le vide.
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Bibliographie: 1) a) FEYMAN (Electromagnétisme 1); b) FEYMAN (Electromagnétisme 2); 2) M.Berlin, J.P.Faroux et J.Renault: Electromagnétisme 3 ( Deux livres): 1ier livre : Magnétostatique, induction, équation de Maxwell……. 2ieme livre : Équations de Maxwell et relativité; 3) Exercices: a) J. Renault: Electromagnétisme 2 b) Michel Hulin: Electromagnétisme 4) Internet (Cours et TD): Choisir un moteur de recherche (Google par ex) puis donner un mot clef (Par exemple : Electromagnétisme cours, magnétostatique cours……). Exemple de site : http://eunomie.u-bourgogne.fr/elearning/ressources-elearning.html
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CHI: Magnétostatique du vide I-1- Introduction:
a- Définition et historique:
L’électrostatique est l’étude de l’interaction entre les charges électriques immobiles et de ses
effets.
L’étude des phénomènes magnétiques (Magnétisme) est l’étude de l’interaction entre les
charges électriques en mouvement et de ses effets.
La Magnétostatique est l’étude des phénomènes magnétiques indépendants du temps.
Le magnétisme est une branche de la physique dont les origines remontent au moment ou on a
observé des roches (magnétite) attiraient la limaille de Fer. Cette pierre se trouvait en
Magnésie ( nom d’une ville d’Asie Mineur: actuellement Turquie), Ainsi le mot Magnétisme
dérive de Magnésie.
L’électricité est une branche de la physique dont les origines remontent à l’observation de
l’attraction de brindilles de paille par l’ombre jaune frotté (600 ans Av J.C : Thalès et Miller).
Ces deux branches étaient séparées jusqu’en 1820, année ou Christian Oersted (1777-1831),
observe une interaction entre elle. Depuis lors une nouvelle branche de la physique
(Electromagnétisme) ne cesse pas de se développer par des recherches de Michael Faraday
(1791-1867).
James Clerck Maxwell (1831-1879) a modélisé l’électromagnétisme. Ses équations
constituent des lois fondamentales de l’électromagnétisme qui permettent d’expliquer les
principes de tous les gros appareils optiques et électromagnétiques (Moteur électrique, la
radio, la télévision, le radar hyperfréquence, le microscope et le télescope)………….
b -Les effets magnétiques sont à distance:
L’expérience montre que les effets magnétiques procèdent d’une interaction à distance:
- L’expérience d’OERSTEAD (1820) par exemple a mis en évidence l’effet d’un courant
électrique sur un aiment: il s’agit d’un fil conducteur placé au-dessus et parallèlement à une
aiguille aimantée posée sur un pivot; Lorsque le fil est parcouru par un courant électrique,
l’aiguille s’oriente perpendiculairement au fil et le sens de l’orientation change avec celui du
courant (fig1):
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D’autres expériences ont mis en évidence l’action d’un aimant (d’un champ magnétique) sur
un courant:
Le conducteur mobile parcouru par un courant I, placé au voisinage d’un aimant, se déplace à
droite ou à gauche suivant le sens de I (fig2).
Conducteur mobile
Comme en électrostatique, les effets magnétiques peuvent être décrits, dans la région ou ils se
manifestent, à l’aide d’une grandeur (Champs magnétique), fonction de l’endroit choisi
Indépendamment de sa source.
I-2- Champs magnétique crée par une charge électrique ponctuelle en mouvement:
L’expérience montre qu’une charge q animée d’une vitesse crée en tout point
M( r ) de l’espace un champs magnétique:
Où µ0=1.26 10-6 H/m : perméabilité magnétique du vide :
Le module de est
S
N
Mercure
I≠0 I=0
Fig2
E
K
I
Aiman
t
V
r
rVqrB
3
0
4)(
S.I4
1070
) ,( avec 4
2
0 rVqVSin
B
r
B
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Son sens est tel que forment un trièdre direct:
L’unité de B en (S.I) est Tesla (T) . Dans le système CGS c’est le Gauss (G):
1G=10-4 T.
À partir du flux (d=Bds), on définit l’unité de B : Weber/m2 (Wbm-2).
Ordre de grandeur de quelques champs magnétiques:
-Champs magnétique terrestre:
Composante Horizontale 0.2 G = 2 10-5 T
Composante verticale 0.4 G = 4 10-5 T
-Electro-aimant dans l’entrefer: 0.1 à 2 T.
- Bobine supraconductrice: 5 à50 T.
I.3-Action d’un champs magnétique sur une charge en mouvement:
a) Loi de la place:
Une charge ponctuelle q en mouvement avec une vitesse V dans un champ magnétique
B est soumise entre autre à une force magnétique:
BVqF
, , rVB
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b) Force électromagnétique entre deux charges ponctuelles en mouvement:
Une charge électrique q1 en mouvement crée en tout point de l’espace un champs
électromagnétique 11, BE :
Elle exerce alors sur une autre charge 2q en mouvement avec une Vitesse 2V :
• Une force électrostatique ( 2q supposée fixe)
• Et une force magnétique (de Laplace: 2q est en mouvement dans 1B ):
Cette force est nulle : (F12) m = 0
Si q2 est fixe soit V2 = 0,
Ou q1 est fixe soit V1 = 0 C.à.d B1=0,
Ou 12 // BV en effet dans ce cas on a 012 BV
D’après le principe de superposition,
la force globale que q1 exerce sur q2 (Force de Lorentz) est:
Remarques:
1) Les forces électrostatiques obéissent au principe de l’action et de la réaction:
; 1
3q
4 10
1 r
rE
rVqB
rr
3
1
1
0
1 4)(
rrq
Ee 3
12
1221
01212
q
4q)F(
1
rrVq
F 3
12
1211
22
0
122m12
)( Vq
4BVq)(
BVE 121212 qF
rrq
Ee 3
21
2112
02121
q
4q)F(
1
rrq
Ee 3
12
1221
01212
q
4q)F(
1
)F()F( 2112-
ee
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2) En générale les forces magnétiques n’obéissent pas au principe de l’action et réaction
(à cause des produits vectoriels), sauf dans le cas ou 21 VV (sens, module et direction) .
3) De manière générale, si une particule q de vitesse V est soumise à un champs
électromagnétique 11, BE , quelque soit sa source, alors cette particule est soumise à la force
de Lorentz
I-4- Loi de Biot et Savart:
a)Champ magnétique crée par des courants stationnaires caractérisé par la densité J:
Le vecteur densité de courant est J = ρm V
Ou ρm est la densité volumique des charges en mouvement avec une vitesse moyenne V.
ρm ≠ ρ. ρ étant la densité volumique totale qui est égale le plus souvent à zéro.
Le courant électrique à travers une surface est la charge électrique totale qui la traverse par
unité de temps.
Si on suppose que toutes les charges mobiles se déplacent avec une vitesse moyenne V alors
les charges qui traversent Δ S pendant un temps Δ t sont ceux contenues dans le volume d du
cylindre de base Δ S et de génératrice V Δ t (fig3):
BVEqF
dS
ΔS
VΔt q
V J
fig3
d=VΔt
ΔS
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On appelle régime permanent ou stationnaire, les situations où les répartitions de charges et
les courants sont indépendants du temps.
On obtient des courants permanents à l’aide des générateurs qui obligent les charges à
circuler.
Soit une distribution volumique de charges en mouvement avec la vitesseV , une charge
élémentaire dq= ρd peut être considérée comme une charge ponctuelle
mobile avec la vitesse V
dq crée alors en un point M un champs magnétique:
Le champs magnétique crée par toutes les charges contenues dans le volume est:
J V
M
r
d
P
d
d
r
rJ
r
rV
r
rVdqdB
m
3
0
3
0
3
0
4
4
4
3
0
4d
r
rJB
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b) Cas d’un circuit filiforme:
Un fil conducteur a des dimensions transversales négligeables: d = dl
d l à le même sens que I
Le champs magnétique crée par le fil conducteur (c) est :
P
dl
I
d B
( c )
et ) (fil dldeffet en
44
4
4
44
m
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
dl
dq
d
dq
Idldt
dldl
dld
r
rdl
r
rdl
dl
dq
r
rV
dl
dq
r
rV
r
rJ
r
rJdB
m
)(
3
0 4
c r
rldIB
direct. un trièdre forme ,,,
rdlB
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C- Application à un fil rectiligne:
.Fil de longueur fini:
Un élément d l en un point P du fil crée en tout point M un champs magnétique élémentaire:
Perpendiculaire au plan ),( rdl dont le sens est donné par la règle du tire bouchon de
Maxwell :
« Le Bouchon progresse dans le sens du courant, par rotation par la main droite dans le sens
des lignes de champs »
= (NPM) , =(NMP), 1 = (NMA1), 2 =(NMA2)
4
3
0
r
rdlIdB
sinsin4
d cos 4
cosII
12
00
0
2
0
- 2
1
; 4
sin 4
aI
aI
B
ad
r
dldB
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.Fil rectiligne indéfinie
Pour un fil indéfini on a :
I-5- Théorème d’ampère:
« La circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée est égale au produit de
µ0 par la somme algébrique des courants Ii qui traversent toute surface S s’appuyant sur »
Un courant Ii > 0 s’il a le même sens que n. Ii < 0 s’il est de sens contraire à n.
I5 ne traverse pas la surface S choisit s’appuyant sur ( ).
aI
B
20
21 2- et
2
Les lignes de champs sont des cercles d’axe Δ
i
iIdlB 0.
IIIIIdlB 62
43210.
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Dans le cas d’une distribution volumique de courant de densité J :
Application:fil rectiligne indéfinie
I-6-Potentiel vecteur du champs magnétique:
a)définition:
On a vu que pour une distribution volumique de courant caractérisée par une densité J
j ne dépend que des coordonnées de P,
les dérivations se font par rapport aux
coordonnées de M. Donc
Dou
aI
IaB
dlaBdlB
2B
2
//B2.
0
0
Soit
Ampère)d' (théorème
effet en
( )
S dSJdlB ..0
3
0
4d
r
rJB
dJr
grad
dr
gradjB
rgrad
)1
(4
)1
(4
1
r
r
0
-
)(or
0
3 JgradJRotrr
JRot r
)1
()(1
)(
0)( JRot
d
r
JRotB )(
40
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b) Cas particulier:
* Pour une charge ponctuelle q animée d’une vitesse V : Vd
dqj
* Pour un courant filiforme: d
dlIj
En magnétisme le potentiel vecteur A joue un rôle analogue à celui du potentiel scalaire en
électrostatique.
I-7- Action des champs magnétiques sur les courants:
I-7-1-Cas d’un circuit électrique placé dans un champs
a) Charge volumique de densité j placée dans un champ magnétique B :
Chaque élément de charge dq se déplaçant à vitesse V est soumis à une force
La densité volumique de force est
Le sens et la direction de dF sont donnés par la règle de la main droite :
j (Courant) : pouce
B (Champs) : Indexe
dF (Force) : Majeur
.magnétique vecteur potentiel leest
0 avec )(
0
)(
4A
4
40
A
dr
JARotB
dr
JRot
dr
JRotB
r
Vq
r
dV
d
dqA
4
0 0
4
r
dlIA
4
0
BJdBVdd
dqBVdqFd
BJd
Fd
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b) Conducteur filiforme:
I-7-2 Interaction de deux circuits:
Soient deux circuits (C1) et (C2) parcourus respectivement par des courants I1 et I2
En un point M2 de (C2) chaque élément 1dl de (C1) crée un champs magnétique
3
12
1211
0
14 r
rdlIBd
Il exerce alors sur (C2) une force élémentaire:
BlIdF
Chaque élément dl contient une charge dq qui se
déplace à vitesse V et qui est soumise à une
force:
Le fil tout entier est soumis à une force:
BlIdBVdtdt
dqBVdqFd
3
12
121221
0
12212
2
4
r
rdldlII
BdlIFd
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De même, en un point M1 de (C1) chaque élément 2dl de (C2) crée un champs magnétique :
3
21
2122
02
4 r
rdlIBd
Il exerce alors sur (C1) une force élémentaire:
12
2
21
2 FdFd
Donc pour les forces magnétiques, le principe de l’action et de la réaction n’est pas satisfait à
l’échelle élémentaire.
Mais dans le cas de courants continues (régimes stationnaires) les actions totales entre circuits
fermés obéissent à l’égalité de l’action et de la réaction (ce qui est vérifié expérimentalement).
I-7-3- Action mutuelle de deux circuits rectilignes indéfinis:
3
21
212121
0
21121
2
4
r
rdldlII
BdlIFd
En M1, I2 crée le champ 2B :
i
a
IiBB
2
2022
En M2, I1 crée le champ 1B :
ia
IiBB
2
1011
et 2
)(2
2
21010
2212212 jdla
IIi
a
IldIBldIFd
jdla
IIi
a
IldIBldIFd
1
210201121121
22
longueur) de unitépar (force 2
210
1
21
2
12
a
II
dl
dF
dl
dF
Si I1 et I2 sont de même sens, il y a attraction ; Si I1 et I2 sont de sens contraire, il y a répulsion.
0=410-7
; si I1=I2=1A et a=1m alors 710*2 dl
dF N/m. Ces valeurs ont servi à vérifier l’unité de
l’intensité (L’ampère: A)
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I-8-Travail des forces électromagnétiques:
a) Champ propre et champ appliqué:
Tout élément d’un conducteur ( C ) parcouru par un courant I et placé dans un champ
magnétique appliqué est soumis à:
* Une force provenant de l’action du champ extérieur (appliqué):
* Une force provenant de l’action du champ propre , crée par tous les
éléments du circuit autre que :
b) Travail mécanique des forces de Laplace et flux coupé:
Pour un circuit rigide (indéformable), le travail des forces intérieurs est nul ( Ti=0) alors que
celui des forces extérieurs est non nul (Ta0).
Exemple1: déplacement d’un cadre rectangulaire:
Soit un circuit filiforme rectangulaire (ABCD), parcouru par un courtant I et situé dans un
champ magnétique B inhomogène, perpendiculaire au plan ABCD . Supposons que B=0 là
ou se trouve CD et non nul et uniforme à l’autre extrémité. Translatons le cadre de AA’
parallèlement aux côtés BC et AD:(figure) :
Bilan des forces de Laplace:
hypotèse)(par 0car 0F ;'//F ;
'F ;
'F ;
'//F ;
BAABDCIF
AABADIF
AABCBIF
AABBAIF
DCDCCD
ADAD
BCBC
ABAB
Le travail des forces de Laplace se réduit à celui de soit:
aB
aa BlIdFd
pp BlIdFd
ld
pB
ld
ABF
(AA’=l et AB=a)
'
AAFT AB
')B (')B ( AAABIAABAI
BalIBAAI ** )AB '(
(il s’oppose au déplacement)
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al * est la surface balayée par AB et Bal ** est le flux de B
à travers cette surface. Ce flux BlaC ** est appelé flux coupé par AB lors de son
déplacement
c : Flux coupé c.à.d le flux de B à travers la surface balayée par le circuit.
C) Théorème de Maxwell:
« Le travail des forces de Laplace au cours du déplacement d’un circuit ( C) indéformable
parcouru par un courant constant d’intensité I et placé dans un champ magnétique B est égale
au produit de I par la variation 12 du flux de B à travers le contour constitué par
( C) »
( 2 est le flux de B à travers (C ) dans sa position finale et 1 est le flux de B à travers (C )
dans sa position initiale )
CIT
IT
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Démonstration:
Considérons les surfaces S1 et S2 s’appuyant sur les positions (C1 ) et ( C2 ) du départ et
d’arrivée du circuit (C ). Lors de son déplacement ( C ) engendre une surface coupée Sc
orientée par continuité vers S1: S1+Sc+S2 constitue une surface fermée (S)
Conséquence:
Le travail des forces magnétiques ne dépend pas du chemin suivi, donc ces forces dérivent
d’une énergie potentielle U:
L’énergie potentielle d’interaction relative à une position d’un circuit (C ) est ;
étant le flux de B à travers ( C ) dans cette position. Donc connaissant dans une position,
on peut déduire U. cela nécessite le choix de l’origine des énergies électromagnétiques, c.à.d
que U n’est déterminée qu’à une constante arbitraire prés.
IITDoù
A)(Rotdiv()Btif: div(x consérva est à fluBdBdivdsB
C
Cc
ts
0
)0( 0)(.
1221
)(
UgradF
-IU U- IT
UTsoit dUldUgradldFT
IU
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Remarque:
Pendant un déplacement infinitésimal réversible de ( C ), l’opérateur fournie un travail dW
opposé au travail dT des forces de Laplace:
Règle du flux maximal:
Si on relâche le circuit , il se déplacera sous l’effet des forces de Laplace qui fourniront alors
un travail dT positif:
Le circuit se déplace de façon à ce que le flux de B à travers ( C ) soit maximal.
I-9-Inductance propre d’un circuit et inductance mutuelle de deux circuits (Coefficient
d’auto-induction):
I-9-1-induction propre:
a)définition:
Soit un circuit ( C ) parcouru par un courant I, le flux propre p est le flux du champ
magnétique propre PB de ( C ) à travers la surface s’appuyant sur ( C ). Le champ PB étant
proportionnel à I , de même le flux est proportionnel à I.
Le coefficient L s’appelle le coefficient d’auto indiction ou inductance propre.. L ne
dépend que des caractéristiques géométrique de ( C ), son unité est le Henry: [L]=H
b) exemples:
Cas d’un solénoïde indéfini de section S constitué de n spires par unité de longueur:
N: nombre de spires
l: longueur du solénoïde ( l très grand (infini))
InBP 0 ; Son flux à travers une spire est ISnSBP 01
Le flux total est 11 NlNP
IlSnISnnlP 0
2
0 )(
lSnL 2
0
LIp
dTdWdU
0 dIddUdT
IIB pp ~~
LIp
lNn /
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I-9-2 Induction mutuelle de deux circuits:
Soient (C1) et (C2) deux circuits parcouru respectivement par I1 et I2
* I1 crée un champ B1 I1
Le flux de B1 à travers C2 est 12 = B1 S2 = M21 I1
Le flux propre est 11 = L1 I1
* I2 crée un champ B2 I2
Le flux de B2 à travers C1 est 21 = B2 S1 = M12 I2
Le flux propre est 22 = L2 I2
* Le flux à travers C1: 1 = 11 + 21 = L1 I1 +M12 I2
* Le flux à travers C2: 2 = 22 + 12 = L2 I2 +M21 I1
Remarques:
a) Les inductances entre C1 et C2 ne dépendent que de leur position respective,
On démontre que M12=M21=M appelée inductance mutuelle entre les deux circuits
1 = L1 I1 +M I2
2 = L2 I2 +M I1
Soit sous forme matricielle:
b) Pour n circuits:
2
1
2
1
2
1
I
I
LM
ML
n
2
1
21
2221
1121
2
1
I
.
.
I
I
.
..
.....
.....
..
. .
.
.
nnn
n
n
n LMM
MLM
MML
Matrice inductance
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C)
* L’énergie potentielle d’interaction de deux circuits est donnée par:
U = -I121 = -I212
= -I1M12I 2 = -I2M21I1
* Généralisation à plusieurs circuits:
A travers Ci le flux envoyé par les autres circuits Cj (j i )
est : ; Mij : coefficient d’induction mutuelle entre Ci et Cj.
Pour des courants permanents, l’énergie potentielle d’interaction de l’ensemble des circuits
est obtenue par sommation des interaction deux à deux soit:
U = - M12 I1 I2
j
ij
iji IM
ji
i ij
iji
i
i IIMIU
2
1
2
1
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I-10- Phénomène d’induction électromagnétique:
I-10-1- Étude expérimentale:
Le phénomène d’induction électromagnétique a été mis en évidence depuis 1831 par Faraday:
Soit ( C) un circuit fermé ne contenant pas de générateur muni d’un galvanomètre:
Le circuit C est l’induit (dans lequel est crée une f.e.m d’induction).
L’aimant, C1 et C2 sont les inducteurs.
Explication: Les inducteurs créent un champ magnétique et les variations du flux de ce
champ à travers C sont à l’origine de cette f.e.m
• Lorsque (C ) est seul, le galvanomètre
n’indique pas la présence d’un courant.
• Lorsqu’on déplace un aimant à côté de ( C)
le galvanomètre détecte
un courant induit i traversant ( C).
• De même en présence d’un circuit C1 parcouru
par un courant variable, le galvanomètre indique
la présence d’un courant induit i.
• Le déplacement d’un circuit C2 parcouru par un
courant fixe I2 à côté de C, engendre un courant
induit i qui traverse C.
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I-10-2-Interprétation théorique:
Dans tous les cas on définit un champ électromoteur d’induction mE (champ électrique) tel
que la f.e.m d’induction est la circulation de mE :
Considérant un induit mobile par rapport à un observateur lié à l’inducteur fixe:
Ainsi dans le cas de déplacement de C dans B, la force électromotrice induite est la circulation
de Em:
Csur apuyant s' surface :S (stokes) )(
)(dsEotRldEe m
SC
m
Tout se passent comme étant un circuit C se déplaçant d’une position C1 à une position C2 dans un
champ B. Une charge dq portée par dl est entraînée avec la vitesse V=dr/dt dans B invariable. Elle est
soumise alors à la force de Laplace:
induction)d'eur electromot (champ avec
BVE
EdqBVdqFd
m
m
ldBdt
rdldBVldEe
CCC
m
)()(
Bdt
SdBld
dt
rdB
dt
rdld
CCC
2
)()(
C
22 dBSd
dt
d
dt
de C
C
C
2
coupé)(flux circuit le ' :
traversàinductiondfluxdeVariationd
dt
de
C
C
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I-10-3 Lois de l’induction:
a) Loi de Faraday:Lorsqu’un circuit ( C) est traversé par un flux (t) qui varie dans le temps,
quelque soit la cause de cette variation, il est soumis à une force électromotrice induite:
b) Loi de Lenz:
Le sens du courant induit est tel que par ses effets électromagnétiques, il s’oppose à la cause
qui lui a donné naissance.
I-10-4 Énergie électromagnétique:
a) Circuit filiforme unique:
Wem: énergie électromagnétique emmagasinée par la bobine.
La self (L) est un réservoir d’énergie c.à.d qu’elle absorbe une partie de l’énergie du
générateur. S’il y’a baisse de tension, la self restitue, conformément à la loi de Lenz, une
partie de cette énergie pour lutter contre la baisse.
b) Cas de deux circuits filiformes:
Soient deux circuits ( C1) , ( C2) de résistances R1 et R2, d’inductances L1 et L2 et de f.e.m
E1 et E2, tel que à t=0, I1=I2=0.
dtde
dt
dILRILI
dt
dRI
dt
dRIeRIE
)(
L dans eemmagasiné (Wem) jouleeffet par generateur lepar
nétiqueélectromag énergie dissipée Energie fournie Energie
00
2
0
dILIdtRIEIdt
Itt
ILIWem2
1
2
1 2
dt
dIM
dt
dILIRE
dt
dIM
dt
dILIRE
122222
211111
L.ELARROUM p28/74
L’énergie fournie par E1 pendant dt est:
L’énergie fournie par E2 pendant dt est:
L’énergie électromagnétique totale (Wm) :
Dou
En fonction du flux:
Pour deux circuits:
Pour n circuits:
L’énergie électromagnétique dans le cas de circuit non filiforme:
dtJAdlAdsJ
dsARotIdsIBIW
s
isi
ii
i
im
2
1
2
1
)(2
1
2
1
2
1
J : Densité de courant volumique.
A : Potentiel vecteur.
Intégrale étendue au volume total ( ) parcouru par les courants
21111
2
11111 dIMIdIILdtIRdtIEdW
12222
2
22222 dIMIdIILdtIRdtIEdW
]2[2
1 212
2
212
1
1222221111
IMIILILd
dIMIdIILdIMIdIILdWm
]2[2
1212
2
212
1 IMIILILWm
1222
2111
MIIL
MIIL
)2(2
1211 IIWm
n
i
iim IW12
1
dJAWm
.
2
1
L.ELARROUM p29/74
CH II: Courant continu et alternatif II.1-Generalités:
II-1-1- Approximation des régimes quasi stationnaires (A.R.Q.S)
Soit tp = ( t1 – t0) le temps de propagation d’un signal électrique à travers un système
électrique SE:
Soit T la période d’évolution dans le temps des sources ( , j ) des signaux e(t) et s(t)
lorsque tp << T on a un régime lentement variable
( l’évolution des sources r , J dans le temps est suffisamment lent )
Dans ce cas on peut admettre que les potentiels et donc le champs suivent instantanément
l’évolution des sources. On peut alors calculer les potentiels à l’aide des mêmes formules
qu’en régime stationnaire, valable à chaque instant:
Cette approximation est appelée l’approximation des régimes quasi stationnaires (A.R.Q.S),
conditionnée par tp << T .Soit (A.R.Q.S) est valable pour des distances r << (=CT=C/)
tp << T r << (=CT=C/)
Exemple:
1) Circuit électrique de dimensions inférieur à 1m (r<1m), alimenté par un signal de
fréquence , pourra être étudié dans l’A.R.Q.S si =1/T<<C/r =(3 108ms
-1)/1m = 3 10
8Hz
=300Mhz.
La plus parts des circuits électriques usuels ne dépassent pas 1m. Donc l’A.R.Q.S est
valable dans la majorité des applications électriques même en hautes fréquences.
2)Cas d’un circuit industriel:
Au (Maroc, France, Belgique..) la tension secteur est telle que: V= 220-230V ; =50Hz
r <<C/ = 3108/50=6000Km Donc l’A.R.Q.S est valable pour des dimensions importantes.
Cette distance est bien supérieure à la plus part des longueurs des circuits de distribution.
s (t1)
e (t0)
SE
dvPM
tPJtMA
dvPM
tPtMV
volume
volume
),(
4,(
),(
4
1),(
0
0
L.ELARROUM p30/74
Conclusion:
a) l’A.R.Q.S « Si les dimensions d’un circuit sont petites et les variations des signaux sont
lentes alors les lois d’électrocinétiques sont encore valables ».
b) Conséquence: Dans les circuits électriques usuels les lois d’électrocinétiques (Ohm,
Kirchhoff…) sont valables en régime variable (alternatif) qu’en régime continu.
II-1-2- Dipôles électrocinétiques:
Toute système électrique ne communicant avec l’extérieur que par deux bornes A,B s’appelle
dipôle électrocinétique:
Dans le cadre de l’A.R.Q.S le courant qui entre en A est égal à celui qui sort en B.
Le courant est compté positivement s’il va de A vers B (i=iAB).
Nous appellerons tension ( ou différence de potentiel aux bornes du dipôle):
U=UAB=VA-VB (VA:potentiel en A et VB: potentiel en B).
U est orientée par convention dans le sens opposé à celui de i ( on dit que le courant décroît
les potentiels)
U=ZAB i (Loi d’Ohm)
L.ELARROUM p31/74
II-1-3 Circuit en régime transitoire:
Le régime transitoire est le passage de i=0 à i=cte, pendant le temps de ce passage on a
un courant i(t). Pour étudier les différents dipôles concernés on se place dans l’A.R.Q.S.
a- Les composants R-L et C
* Résistance morte R:
U=VA-VB
U(t)= Ri(t)
* Inductance L:
La variation du courant qui traverse L (I=o à I ==cte) entraîne la variation du flux magnétique
traversant L. L est alors une source de tension de f.e.m induite
e(t) = -d/dt=-Ldi(t)/dt : loi de Faraday
L est donc un dipôle dont la tension appliquée est
U(t)=-e(t)= Ldi(t)/dt : Loi de Lenz ( e(t) s’oppose à U(t) )
*Condensateur C:
C’est un dipôle dont la tension est donnée par:
U(t) = q(t)/C avec i(t) = dq(t) / dt
q étant la charge de l’armature reliée à A
dttidititq )(C
1 U(t); )()(
L.ELARROUM p32/74
Remarque:
Une bobine réelle possède toujours une résistance interne r :
De même un condensateur réel présente une résistance de fuite R due à la conductivité non
nulle de son diélectrique:
L.ELARROUM p33/74
b- Etude d’un dipôle R.L.C série:
Soit un dipôle R.L.C série soumis à une tension U(t)
Loi de mail :
dt
dqti )(or
La charge q vérifie alors la relation :
qC
qLqRtU1
)(...
Soi (Eq.1) )(1...
tUqC
qRqL
Toute solution de cette équation différentielle peut se mettre sous forme:
)()()( 21 tqtqtq
)(1 tq : Solution générale de l’équation homogène (Sans second membre) (Eq.2):
(Eq.2) 01...
qC
qRqL
)(2 tq : une solution particulière de l’équation complète (Eq.1).
)(
)()(C
q
dt
tdiLtRitU
L.ELARROUM p34/74
II-2- Définitions:
II-2-1- Régime continu (DC ou =):
C’est le régime dont le quel toutes les tensions dans un circuit et touts les courants qui le
parcourent sont indépendants du temps:
- Récepteurs:
Le seul récepteur existant en régime établi continu est la résistance R dont le fonctionnement
est régi par la loi d’Ohm
- Puissance:
Lorsqu’un récepteur électrique en régime continu est soumis à la fois à une tension et à un
courant, il est le siège d’une dissipation de puissance. On dit alors que la puissance électrique
est fournie par la source et consommée par la résistance.
Le générateur fourni la puissance UIPf . La résistance reçoit la puissance IUP Rr .
fr PP . La puissance mise en jeux est :
R
URIUIP
22
R en Ohm ( )
L.ELARROUM p35/74
II.2.2. Courant alternatif:
a) Grandeur périodique quelconque:
Une grandeur S(t) (courant i(t) ou tension v(t) ) est périodique de période T (en seconde ( s) )
est telle que :
)()( tSTtS
Tf
1 est la fréquence de répétition de S(t) exprimée en (Hz)
.Valeur moyenne:
La valeur moyenne de S(t) notée <S> est :
<S> représente la composante continue de S(t)
. Valeur efficace:
La valeur efficace ( Seff) de S(t) est :
Remarques:
* C’est la recherche de la puissance dissipée par effet joule due à un courant alternatif qui
mène à la notion des valeurs efficaces. La formulation des puissances sera la même en
alternatif et en continu à condition d’utiliser les valeurs efficaces dans tous les cas
effeffelectrique IUP
* Les voltmètres et les ampèremètres utilisés en TP (alternatif) nous donnent des valeurs
efficaces.
Si )()()( )()()( )()()( 2eff12121 tItItImaistititialorstititieffeff
(Voir TP du transformateur)
. Décomposition en série de Fourrier d’une grandeur périodique:
Toute grandeur périodique S(t) de période T, peut être écrite sous la forme:
Cette forme s’appelle série de Fourrier.
Le terme )( 00 Cosa (n=0) est appelé terme fondamental, les autres termes sont des termes
harmoniques: 1er
harmonique (n=1) , 2éme
harmonique (n=2)………..
)(
)(1
)(T
dttST
tS
)(
2 )(1
T
dttST
Seff
Tnn
tCosatS
n
n
nnn
2
)()(0
L.ELARROUM p36/74
b) Courant alternatif:
C’est un courant périodique dont la valeur moyenne est nulle par exemple les courants :
Carré : triangulaire :
et sinusoïdal:
Remarque :
Seulement pour le courant sinusoïdal qu’on a2
maxII eff ; pour les autres courant
alternatifs2
maxII eff .
* Sinusoïdal :
2 ;)cos()( max TtIti
2
2
2
)2cos(
22
)2cos(1)(
1
max
2
max
0
2
max
0
2
max
0
2
max
0
2
max
0
22
max
2
IIDou
T
Idt
T
I
dtt
T
Idt
T
It
T
ItCosI
TI
eff
T
TTTT
eff
i(t)
surf
-surf
t
surf
-surf
i(t)
t
i(t)
t
surf
-surf
0)(1
))()((1
)(
2
2
0
surfsurfT
dttidttiT
ti
T
T
T
L.ELARROUM p37/74
* Carré :
TtT
Iti
TtIti
2pour )(
20pour )(
max
max
max
2
max
2/
0 2/
2
max
2
max
0
22
)()(1
)(1
IIDou
IdtIdtIT
dttiT
I
eff
T T
T
T
eff
II-3- Courant sinusoïdale ( AC ou ~ ):
Dans un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal, tous les courants et toutes les tensions dans
le circuit sont sinusoïdaux, de même pulsation que la source d’alimentation.
II_3_1. Définitions:
a_ Expression analytique:
Une grandeur S(t) qui varie sinusoïdalement en fonction du temps avec une période Test
représentée par l’expression générale:
Pour définir une telle grandeur, il suffit de connaître trois paramètres: Smax, T et f
Dipôle capacitif :
I
U
Il y a un déphasage
U
Le courant est en quadrature
Avant par rapport à la tension :
I
I = - 90°
I U = 0°
.tt :)2
(
; )0 ( :
; :
1 )2
()(
max
max
annéeaninsphaselatT
phasedeangleaussiappeléetàinitialephase
AmplitudeS
)(tT
SinStS
L.ELARROUM p38/74
b_ fréquence ( f ou ) et pulsation ( ):
C_ Valeur crête:
La plus grande valeur d’une grandeur S(t) dans un intervalle de temps spécifié est appelée
valeur de crête. On la note Ŝ .
Pour une grandeur périodique, l’intervalle est la période et la valeur de crête est égale à
l’amplitude: Ŝ=Smax. Et la valeur crête à Crête Vcc=2Ŝ
C_ Valeur moyenne:
d_ Valeur efficace:
Remarques:
A- On trouvera lors de l’utilisation des appareils de mesure le terme
« RMS » « Root-Mean-Square » : Valeur efficace en anglais.
(3) . ; 222
(2) ; 1
1
1
sradfT
sHzfT
f
0)()2()()(2
)()2(2
)()(2
)2
(2
1)
2(
2
1
)2
(1
)2
(1
)(
2
2
0
2
2
0
CosCosCosCosS
CosCosS
CosCosS
tT
CosST
Tt
TCosS
T
T
dttT
SinST
dttT
SinST
tS
T
T
T
T
T
T
2222
)2
(2cos
2
2
)2
(2cos1
)2
(1
)(1
2
0
2
0 0
2
0
2
0
22
0
2
SSdt
T
Sdt
tTdt
T
S
dt
tT
T
S
dttT
SinST
dttST
S
TT T
T
TT
eff
L.ELARROUM p39/74
B- La notion de valeur efficace est directement liée à celle de la puissance moyenne;
II-3-2-Representation complexe:
a- Définition:
En électronique, on appelle valeur instantanée complexe d’une grandeur sinusoïdale
L’expression complexe:
En régime sinusoïdal, tous les éléments du circuit varient avec la même pulsation, donc le
terme ej
est commun à la représentation de toutes les grandeurs sinusoïdales du circuit et
peut donc être simplifié.
La grandeur complexe s’appelle le phaseur.
Le phaseur contient la valeur essentielle de la valeur efficace et du déphasage par rapport à
une origine choisie arbitrairement
b- opérations élémentaires:
Dérivation:
Intégration:
)(. ; (Continu) .
)(11)(1
)tantan ( )(
)().()(
22
2
0
2
0
2
2
alternatifR
IIVP
R
IIVP
R
Idtti
TRdt
R
ti
TP
néeinspuissanceR
tititvtp
eff
effeffmoy
effTT
moy
sousnotelaonettSts )sin()(
)( tjess
tjjtj eesesstSts . )sin()( )(
eSSj
sjssje
dt
des
dt
sd tjj .
s
jdtss
jdtsdts ee
tjj
1
1
e
ej
j
jj
jNB
2
22
1
1j pure) e(imaginair :
L.ELARROUM p40/74
II-3-3- Représentation de Fresnel:
Puisque les phaseurs sont des nombres complexes, il est possible de les représenter
graphiquement dans le plan complexe sous forme de demi droite partant de l’origine si et
seulement si ils ont la même pulsation. Ce mode de représentation appelé diagramme de
Fresnel, permet de mettre en évidence les déphasages relatifs des différentes grandeurs
sinusoïdales et d’effectuer des opérations élémentaires ( addition, soustraction):
Remarque:
On appelle déphasage la différence entre la phase de la tension et du courant:
L’angle est défini à 2k (k entier), on le ramènera toujours à sa valeur principale comprise
dans l’intervalle [-,+].
Lorsque > 0 on dit que la tension est en avance sur le courant .
Lorsque <0 on dit que la tension est en retard par apport au courant
II-4- Impédance et admittance complexe:
II-4-1 Définitions:
eeeeeetj
I
jtjtj
V
jtjIIiVVv
)()(courant du et
tension la de complèxes éesinstantann valeursLes
phase de oppositionen sont tension laet courant le
phase de quadratureen sont tension laet courant le 2
si
si
eeee
ee
eejj
j
j
tj
tj
tjtj
ZI
V
I
V
I
V
I
VZ
IiparV
)(
)(
)()(
v
dequotient leest sinusoidalpermanent régimeen dipôleun d’ Z complexe impédanceL’
L.ELARROUM p41/74
V
I
Z
enmesuréuleZZ
ZZ ej
1Y
:impedancel' de inversel'est complexe admetanceL'
(argument) déphasage le
Ohm mod
R
XArctg
Z
ZX
ZR
avecjXR
jI
VZ
I
VZX
I
VZR
XR
ej
22
sin
cos
Z
)sin(cosZ
:écrires'peut Z Donc
sin)Im(
:antcorrespend dipôledu X réactance la appeléeest Z de imaginaire partie La
cos)Re(
:ntcoresponda dipôledu R résistance la appeléeest complexe impedancel' de réelle partie La
L.ELARROUM p42/74
II-4-2 Impédance complexe des dipôles élémentaire:
a- Résistance:
La relation en valeurs instantanée v(t)=Ri(t) entre tension et courant dans une résistance R
se traduit pour le régime sinusoïdal en valeur complexe par:
b- Inductance L:
RZ
etRI
VZIRV
R
R
RR
11Yest admettanceL'
frequence. la de teindependanest résistance uned' impedanceL'
0
:suivant leest Fresnel de diagramme le ,imaginairepurement est Elle
2et Z :par donnéssont inductance uned' déphasage leet
complexe impedancel'dou , Vpar complexe en valeurs
sinusoidal régime lepour traduit se qui véesinstantannen valeur relation la aon LPour
L
jL
IjLVIjLdt
IdL
dt
diL
L
dérivation
ouvert.circuit un comme
comporte se L infinie, fréquence unepour circuit),-(court filun comme comporte secontinu en bobine Une
0Z continu)(courant nule fréquence unepour Ainsifrequence. la avecnt lineaireme Varie :
1Yest admettanceL'
LL
L
LZ
jL
L.ELARROUM p43/74
C- Condensateur C:
II-5- Lois d’Ohm et de Kirchhoff en régime sinusoïdal:
II-5-1- les lois (modèle complexe)
:suivant leest Fresnel de diagramme le ,imaginairepurement est Elle
2et -
1Z :par donnéssont ur condensateun d' déphasage leet
complexe impedancel'dou , 111
Vpar complexe en valeurs
sinusoidal régime lepour traduit se qui éesinstantannen valeur relation la aon CPour
C
nintegratio
jCjC
jC
IVI
jCdtI
C
dt
dvC
dt
dqi
C
.
circuit)-(court filun
comporte se C infinie, fréquence unepour ouvert,circuit un comme comme comporte secontinu en ur condensateUn
Z continu)(courant nule fréquence unepour Ainsifrequence. la à nelleproportiont inversemenest :1
Yest admettanceL'
CC
C
CZ
jC
mailles) des (loi 0 ; noeuds) des (loi 0
:Kirchhoff de Lois Les
:complexe modèle le dans lablerestent va éélectricitd' lois les toutesOhm,d' loi la Comme
:complexenotation lautilisant en
Ohmd' loi lar generalise depermet impedancel' denotion la deon introductiL'
:Ohmd' Loi
k
k
k
k VI
IZV
L.ELARROUM p44/74
II-5-2-Impédance (admittances) en série et parallèle:
C- exemple1:
k kp
k
kp
p
k
kp
k
ks
s
k
ks
ZY
Y
ZZ
1
Z
1 autrement ;
1
Y
1Zest antecorrespond ampedancel'
; Yest parallele admettanceL'
:parallelen Mise b)
1
Z
1Yest antecorrespond admettancel' ; Zest serie ampedancel'
:serieen Mise a)
L.ELARROUM p45/74
d- exemple 2:
)
1
Arctg(
1
)Re(
)Im(est / déphasage Le
)1
( module Le
:suivant Fresnel de diagramme leobtient obtient On
)1
(1
22
R
CL
R
CL
Z
Ztg
CLZZ
CLjR
jCjLRZ
AB
AB
ABAB
AB
R
s.admettance les avecr travaillede preferableest il ,parallelesen circuits lesPour
)Arg()Arg( 11
)1
()1
1
()Arg( ; )1
(1
)1
(111
2
2
abab
ab
ab
ab
ab
abab
ab
YZetY
ZY
Z
LCArctgR
R
LC
ArctgYL
CR
Y
LCj
RjC
jLRY
L.ELARROUM p46/74
II-6- Puissance et facteur de puissance:
II-6-1 Puissance instantanée p(t) en régime sinusoïdale :
a- Définitions:
dev(t)et i(t) de celle de double
frequence de fluctuante Composante
)2cos(
constante composante
)2cos()cos(
)2cos()cos(22
)(cos)2cos(2
1
)cos()cos()().()(
)cos(
teffeff
t
tIV
tIV
tItVtitvtp
VIVI
VI
effeff
effeff
charge. laet source la entreenergied' eréverssiblet
reoscillatoi échangeun Traduit nule.est moyenne valeur ladont
,sin amplituded'esinusoidal
e,alternativ composante
chargeun et source une entre onnelunidurecti
énergied' échangeun Traduit
.cos moyennevaleur la deautour ossile qui
0toujours pulsée, composante
)22sin(sin )22cos(1cos
)22sin(sin)22cos(coscos)(
:dou
)22sin(sin)22cos(cos
)22cos()2cos(
effI
effV
effI
effV
tIVtIV
tIVtIVIVtp
tt
tt
effeffeffeff
effeffeffeffeffeff
L.ELARROUM p47/74
II-6-2 Puissance active P:
C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t):
II-6-3 Puissance réactive (Q):
C’est l’amplitude de la composante alternative de la puissance instantanée:
Q est une puissance fictive, qui ne répond pas à une véritable définition physique’ mais qui
permet de caractériser l’échange d’énergie non convertible apparaissant dans le cas d’une
charge réactive.
La notion de puissance réactive est utile pour caractériser la nature d’un utilisateur:
Pour une charge inductive (X>0),>0 de même sin>0 soit Q>0.
Pour une charge capacitive (X<0), <0 de même sin<0 soit Q<0: on dit que la charge
capacitive fournit de la puissance réactive
Elle est reliée aux puissances active P et réactive Q par
p
T
T
effeff
T
p
T
p
TT
t
t
IVP
effeffeffeffdtT
Tdttp
TP
p
p
p
p
tIVtIV
242
0)22sin(
0)22cos(
effeten cos
1
p(t). de période laest 2
T avec )(1
0
0
0
0
p
)22sin(sin )22cos(1cos
VARQIVQ effeff sin
II-6-4 Puissance apparente (S):
La puissance apparente est l’amplitude des fluctuations de la puissance
instantanée p(t) par rapport à sa valeur moyenne :
AVIVS effeff .S
22 QPS
L.ELARROUM p48/74
Le produit est apparemment une puissance mais il ne fournit pas
nécessairement un travail d’ou son nom de puissance apparente.
La puissante apparente est une mesure pratique de l’importance d’un équipement
alternatif ou d’une installation électrique.
Les puissances apparentes correspondant à un module, ne peuvent pas être
additionnées.
II-6-5- Puissance dans un circuit élémentaire:
a- Résistance pure (R):
En régime sinusoïdal une résistance n’introduit pas de déphasage (=0)
P>0 R absorbe de l’énergie électrique qu’elle convertie, par effet Joule, en
énergie calorifique
b- Inductance pure (L):
En régime sinusoïdal une inductance introduit un déphasage ()
Par convention, on considère que la puissance réactive est fournie par la source à l’inductance
qui la consomme.
Cet échange d’énergie correspond à l’accumulation puis à la libération d’énergie
électromagnétique dans L
La valeur moyenne de la puissance active est nulle. Il ne se produit aucun transfert net
d’énergie entre une inductance et la source.
c- Capacité pure (C):
En régime sinusoïdal une inductance introduit un déphasage
Q<0 conduit à assimiler le condensateur à un générateur de puissance réactive et à considérer
par convention que la puissance réactive est fournie par le condensateur à la source qui la
consomme.
effeff IV
0sin*
0cos* 22
effeff
effeffeffeffeff
IVQ
RIR
VIVIVP
002
sin*
02
cos*
2
effeffeffeffeff
effeff
ILIVIVQ
IVP
002
sin*
02
cos*
2
effeffeffeffeff
effeff
VCIVIVQ
IVP
L.ELARROUM p49/74
Cet échange d’énergie correspond à la libération puis l’accumulation d’énergie électrostatique
dans le diélectrique du condensateur ( charge et décharge de C).
II-6-6 Puissance complexe:
II-6-7 Facteur de puissance (Fp)
On appelle facteur de puissance le rapport entre la puissance active
et la puissance apparente:
Le facteur de puissance est toujours compris entre 0 et 1: 0<=Fp<=1.
Il caractérise l’efficacité d’un réseau de distribution d’énergie. Pour un réseau de distribution
d’énergie électrique, il est souhaitable d’avoir un facteur de puissance aussi proche que
possible de 1
S
: Spar Sexprimer peut on
,Iphaseur du conjugué leet phaseur lent introduisaen
arente: réactive;: )Im( active; : )Re(
:ntprécédemme définies puissance sdifférente lesregrouper depermet Elle
sincos
complexe puissance appelleOn
)(*
**
22
j
effeff
j
effeff
j
eff
j
effeffeff
effeff
j
effeff
eff
j
effeff
j
effeffeffeffeffeff
eIVeIVeIeVIV
IVeII
eVV
appQPSSSQSP
eIVIjVIVjQPS
coscos
:sinusoidal régimeEn
effeff
effeff
p
p
IV
IVF
S
PF
L.ELARROUM p50/74
Ch III – Équations de Maxwell dans le vide
III-1-Définition:
Dans un référentiel d’étude supposé galiléen, une distribution caractérisée par la densité
volumique total de charge tot et la densité volumique de courant Jtot, crée en tout point M à
l’instant t un champs électromagnétique , qui satisfait aux quatre équations
suivantes, appelées équations de Maxwell, sur lesquelles repose toute l’électromagnétisme:
Elle indique que les lignes du champ divergent à partir des charges + pour aboutir aux charges
- :
Elle traduit le théorème de Gauss généralisé:
: Théorème de divergence ou de Gréen-ortrogratsky
Ampère.-Maxwell deEquation :)(
)( Rot 4)
Faraday;Maxwell deEquation : )(
)( Rot 3)
l,rotationne de champsun est B : 0)( 2)
Gauss,Maxwell deEquation : )( )1
000
0
t
tEJtB
t
tBtE
tBdiv
tEdiv
tot
tot
))(),(( tBtE
GaussMaxwell deEquation : )( )10
tottEdiv
dEdivdsEs
(v))(
0
int
(v)0(v) 0)(
1
QdddsE tot
tot
s
L.ELARROUM p51/74
Elle indique que les lignes de champs B sont des courbes fermées et ne peuvent jamais se
couper :
Elle exprime que B est à flux conservatif:
Elle exprime le phénomène d’induction magnétique:
(Théorème rotationnel ou de Stokes - Ampère)
) B( de champsun est B : 0)( 2) ARotlrotationnetBdiv
0 (s)
dBdivdsBv
FaradayMaxwell deEquation : )(
)( Rot 3)
t
tBtE
dsERotdlE s
Faraday derelation :)(
)( B
)(
ss
dt
BddlE
dt
Bdds
tds
t
tBdlE
Ampère.-Maxwell deEquation :)(
)( Rot 4) 000t
tEJtB tot
dt
EddsJdlB
dsdsJ
dsBRotdlB
iI
tot
tot
)(
t
E
(théorème)
00
s
0
s
00
s
0
s
L.ELARROUM p52/74
Si E et B ne dépendent pas de t , on retrouve les équations locales de l’électrostatique et de la
magnétostatique:
L.ELARROUM p53/74
CH IV : Ondes électromagnétiques dans le vide.
1- Equations de Maxwell dans le vide, en l’absence de charge et de courant ;
Equation d’onde :
Loin des sources d’un champ électromagnétique (pour =0 et J=0), les équations de
Maxwell s’écrivent :
Laolacien leest où que Rapelons divgradRotRot
0 2) de tenu compte encore,Soit
Soit
) 4éqution l' aprésd' ( -
) 1éqution l' aprésd' ( )()(
: Formons
2
2
00
2
2
00
00
Ediv
t
EEEdivgrad
t
E
t
E
t
BRottt
BRotERotRot
ERotRot
0 3) de tenu compte encore,Soit
Soit
) 1éqution l' aprésd' (
) 4éqution l' aprésd' ( )(
: formons même De
2
2
00
2
2
00
00
00
Bdiv
t
BBBdivgrad
t
B
t
ERot
t
ERotBRotRot
BRotRot
t
tEtBtBdivtEdiv
t
tBtE
)()( Rot 4) ; 0)( 3) ; 0)( )2 ;
)()( Rot 1) 00
02
2
00
t
EE
02
2
00
t
BB
L.ELARROUM p54/74
Remarque : Dans le cas de la jauge de Lorenz )(2
2
00t
BAdiv
les potentiels vecteurs
VA scalaireet obéissent aux équations suivantes :
Conclusion : En l’absence de charges et de courant, les champs et , ABE et éventuellement le
potentiel scalaire V satisfont à la même équation aux dérivées partielles :
: Laplacien vectoriel ou scalaire selon que F est une grandeur vectorielle ( , , ABE ) ou
scalaire (V).
En introduisant l’opérateur de D’Alombert 2
2
00t
Cette équation peut s’écrire :
Cette équation s’appelle équation d’onde ou équation de D’Alombert. De façon générale, on
appelle équation d’onde ou équation de d’Alombert une équation aux dérivées partielles de la
forme :
Où C est une constante (dans le temps). Dans le cas où F est une fonction sinusoïdale du
temps de pulsation , C peut éventuellement dépendre de . On dit alors qu’il y a dispersion.
0
0
2
2
00
2
2
00
t
VV
t
AA
02
2
00
t
FF
F=0
01
2
2
2
t
F
CF
L.ELARROUM p55/74
2- Etude de quelques solutions de l’équation d’onde.
2-1- Ondes planes :
On dit qu’une onde est plane si à chaque instant la fonction F a la même valeur en tout
point d’un plan perpendiculaire à une direction fixe définie par un unitaire ue :
1
2vet
1
2u avec
1
2
1
2
22
dv
22
dv
:est df lledfferentie la , t)f(x,fonction uneSoit
22
dvdtet
22
dvCdx
2
uvet t
2
u-vCx et Posons
tCx
C
tCx
C
dvv
fdu
u
f
dut
f
Cx
fCdv
t
f
Cx
fC
du
t
f
t
fdu
x
fC
x
fC
dtt
fdx
x
fdf
duduC
C
xtv
C
xtu
Revenons à l’équation d’onde :
01
2
2
22
2
t
F
Cx
F
Elle peut se mettre sous la forme :
0111
t
F
Cx
F
tCt
F
Cx
F
x
Si nous choisissons cette direction suivant ox (ceci
revient à écrire F sous la forme F(x,t) ); l’équation
d’onde s’écrira alors :
01
2
2
22
2
t
F
Cx
F
L.ELARROUM p56/74
Soit donc :
012
0212
v
F
tCxC
v
F
CtCv
F
Cx
Une 1ère
intégration/u donne :
)(1 vgv
F
où )(1 vg est une fonction de la seule variable v (constante/u) ; une seconde intégration/v
donne :
)()(1 ufdvvgF ( )(uf est constante/v)
Or dvvg )(1 , fonction de la seule variable v, peut être notée )(vg ; Ainsi :
)()( vgufF
et la solution générale de l’équation d’onde 01
2
2
22
2
t
F
Cx
F, s’écrit :
Interprétation :
L’onde plane de direction ox, solution de l’équation d’onde, apparaît comme
étant la somme de deux termes : )(C
xtf et )(
C
xtg , où f et g sont deux
fonctions arbitraires.
A un instant t donné f et g sont constantes dans tout plans (x=cte) :
f et g décrivent des ondes planes.
Remarquons que la fonction f aura la même valeur dans un plan (x=x1)
observé à l’instant t1 et dans un autre plan (x=x2) observé à l’instant t2 si
soi
1212
22
11
ttC
xx
C
xt
C
xt
02
v
F
uC
)()(),(C
xtg
C
xtftxF
)C(x- x 1212 tt
L.ELARROUM p57/74
On peut interpréter cette relation en disant que si l’on connaît la fonction en tout point à
l’instant t1, sa valeur à l’instant t2 s’obtient en effectuant une translation d’amplitude
)C(x- x 1212 tt
Ceci revient à dire que le phénomène s’est propagé en bloc à la vitesse C le long de l’axe
ox :
De même la fonction )(C
xtg correspond à une onde plane se propageant suivant ox
négatif à la vitesse C.
Les ondes décrites par f et g sont appelées ondes plane progressives O.P.P
L’onde plane la plus générale dans la direction ox est donc la somme de deux ondes
planes progressives se propageant en sens opposés sur ox
En d’autre terme, la dépendance en (C
xt ) traduit une onde plane se propageant
suivant ox positif à la vitesse C.
L.ELARROUM p58/74
Remarque : Cas où la direction de propagation est quelconque :
Une O.P.P dans la direction de l’unitaire ue . u étant la coordonnée d’espace suivant cette
direction (r par exemple) est
)C
OMg(t)
C
OMf(tF(OM,t)
e.OMOMu
)C
ug(t)
C
uf(tF(u,t)
u
Soit a, b et c les composante de ue dans un repère orthonormé de base ),,( kji
zcybxaeOMuOM
cbakcjbiae
u
u
....
1 avec 222
Onde plane dans une direction de vecteur unitaire ue
)C
zcybxag(t)
C
zcybxaf(tF(OM,t)
......
L.ELARROUM p59/74
3- Onde Plane Progressive Electromagnétique (O.P.P.E) :
3-1-Vitesse de propagation des ondes planes électromagnétique dans le vide :
On vu que dans le vide, en l’absence de charges et de courant électrique les champs , BE
étaient solution des équations 02
2
00
t
EE et 0
2
2
00
t
BB
Il découle de l’équation d’onde ou équation de D’Alombert : 01
2
2
2
t
F
CF
que
00
1
est homogène à une vitesse C :
00
1
C ; Vitesse de la lumière dans le vide
3-2- Structure d’O.P.P.E
Soit une O.P.PE se déplaçant dans la direction ue . Pour simplifier, choisissant
ue suivant ox (x : positif). Cette onde est caractérisée par le champ électromagnétique :
Bz
B
B
B
E
E
E
E y
x
z
y
x
, , les composantes zyxzyx BBBEEE ,,,,, sont des fonctions qui ne
dépendent que deC
xtu . Soit F une composante de deou BE :
du
dF
t
u
du
dF
t
F
du
dF
Cx
u
du
dF
x
F
uFF
1
)(
CteBdu
dBBdivOr
du
dB
Cx
BBdiv
z
B
y
B
z
B
y
B
x
BBdiv
x
x
xx
zyzyx
0Maxwell) de 3 (Eq 0
1Soit
Plane) (Onde 0 avec
Cette constante est un champ magnétostatique qui ne nous intéresse pas ici et qu’on
considère alors nulle 0 xB . Soit donc
Les ondes électromagnétiques (O.E ) se propagent dans le vide à la vitesse C : 12
00 C
00 xBBdiv
Ainsi le champ magnétique suivant la direction de propagation est nul : B est transversal
L.ELARROUM p60/74
De même
00Maxwell) de 2 (Eq 0
1
CteEdu
dEEdivOr
du
dE
Cx
EEdiv
xx
xx
L’équation de Maxwell-Farady :
Comme E est transversal ),,()( BEeeE uu forme un trièdre direct.
En conclusion, la structure d’une O.P.P.E est tel que ),,( BEeu forme un trièdre direct :
00 xEEdiv
Donc le champ électrique est aussi transversal
0)cte (avec 1
C
1
C
1
écrits' (1) )(
)( Rot
cteEeC
B
ctedu
Ede
du
Bd
du
Bd
du
Ede
t
tBtE
u
u
u
EeC
B u 1
L.ELARROUM p61/74
En fin l’équation de Maxwell-Ampére :
Cette relation est identique à la relation précédente. Elle porte le nom de relation de structure
d’une O.P.P
4- OPPE Monochromatique (ou harmonique) :
4.1- Définition et expression :
Une solution particulière de l’équation de propagation est l’onde plane dépendante
sinusoïdalement du temps. Elle est appelée Onde Plane Progressive Harmonique, ou
Monochromatique (O.P.P.H ou O.P.P.M).
Considérons une O.E.P.P.H se propageant suivant l’axe xx’, vers les x positifs ; le
champ électrique est de la forme
30
20
)(cos
)(cos
0
C
xtEE
C
xtEE
E
E
zz
yy
x
0)cte (avec
C
1
écrits' (1) )(
)( Rot
00
00
cteBeCE
ctedu
BdeC
du
Ed
du
Ed
du
Bde
t
tEtB
u
u
u
ueBCE
En résumé :
Une O.P.P.E dans le sens défini par le vecteur unitaire ue est caractérisée par des vecteurs champ
électrique E et champ magnétique B qui ne dépendent que de la variable )(C
ert u , vérifiant dans
le vide : 0. ; 0. uu eBeE ; EeC
B u 1
ou ueBCE
Les O.P.P.E sont des ondes transversales (i.e E et B sont perpendiculaires à ue ) et ),,( BEeu forme
un trièdre direct.
L.ELARROUM p62/74
Ou les amplitudes yE0 et zE0 ainsi que les phases 32 et sont des constantes. Le terme en
3,2)( C
xt définit la phase de l’onde plane progressive harmonique.
Une O.P.P.H se propageant à la célérité C dans le sens du vecteur unitaire ue est caractérisée
par :
- Fréquence temporelle ou sa pulsation temporelle
- Sa longueur d’onde
C
CT ou son nombre d’onde
- Son vecteur d’onde
Une OPPH présente une double périodicité, temporelle de période T et spatiale de
période.. Ainsi pour une OPPH :
Les champs , BE sont transversaux ;
Le trièdre ),,( BEk est direct
On peut écrire Ek
B
Les champs et BE vibrent en phases.
Vitesse de phase :
Les points tels que la phase rkt . est constante définissent à chaque instant
un plan perpendiculaire à la direction de propagation définie par le vecteur d’onde
k , appelé plan équiphase ou plan d’onde.
On en déduit que le plan équiphase se déplace à une vitesse appelée vitesse de
phase définie par.
Dans le vide on a kC , la vitesse de phase est donc constante, indépendante de
la fréquence de l’onde
2
2
1
uu eC
ek
2
CV
kV
L.ELARROUM p63/74
4-2- Polarisation d’une O.P.P.H
La polarisation d’une O.P.P.H est définie à partir de son vecteur E . C’est la nature de
la courbe décrite par l’extrémité de E dans le plan d’onde.
Par convention, le sens de rotation (Gauche ou Droite) est défini pour un observateur
qui reçoit l’onde :
Conventionnellement le plan ) , ( Ek est appelé plan d’oscillation et le plan ) , ( Bk le
plan de polarisation..
Soit une O.P.P.H se propageant suivant l’axe xx’, vers les x positifs. Moyennant un
choix judicieux de l’origine des dates, on peut écrire le champ E sous la forme :
)cos(
)cos(
0
0
0
kxtEE
kxtEE
E
E
zz
yy
x
Dans le plan x=0, l’extrémité de E décrit la courbe d’équation )cos(
)cos(
0
0
tEE
tEE
zz
yy
)cos(2)(sin)()(
)sin()sin()cos()(
)cos()sin()sin( )(
)sin()sin()cos()cos( ; )cos(
00
2
0
2
0
222
0
00
00
y
y
z
z
y
y
z
z
y
y
y
y
z
z
z
z
y
y
E
E
E
E
E
E
E
Eba
E
Etb
E
E
E
Eta
ttE
Et
E
E
Equation d’une ellipse, le sens de parcours dépend du signe de )sin(
)(sin)cos(2 2
00
2
0
2
0
y
y
z
z
y
y
z
z
E
E
E
E
E
E
E
E
L.ELARROUM p64/74
)sin( <0 :
)sin( >0 :
Ainsi dans le cas général, une O.P.P.H est polarisée elliptiquement.
Cas particuliers :
00
0
0
0
00
2
00
CteE
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
z
y
z
y
z
z
y
y
z
z
y
y
000
0
00
2
00
CteE
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
z
y
z
y
z
z
y
y
z
z
y
y
L.ELARROUM p65/74
4.3-Differents états de polarisation d’une O.P.P.H :
Fin Bonne chance
L.ELARROUM p66/74
B-Enoncés des TD.
L.ELARROUM p67/74
Université Hassan II Mohammedia Année Universitaire 2010/2011
Faculté des Sciences Ben M’sik Filière : SMC
Département de physique Module : Physique3
Casablanca
Electricité II (Série N°1)
I- Rappels :
a) Analyse vectorielle (Coordonnées Cartésiennes) :
Soit f une fonction scalaire, on définit son vecteur gradient par :
kz
fj
y
fi
x
ffgrad
Soit A une fonction vectorielle de composantes (Ax , Ay , Az), on définit la divergence
par : z
A
y
A
x
AAdiv zyx
)(
On définit le rationnel de A par :
ky
A
x
Aj
x
A
z
Ai
z
A
y
AArot xyzxyz )()()()(
Le Laplacien vectoriel de A est le vecteur ayant pour composantes les Laplaciens
scalaires des composantes de A :
kAjAiAA zyx
b) Quelques relations utiles en électromagnétisme :
Soient m et n des nombres complexes, f (M) et g(M) des fonctions scalaires,
)()( MBetMA des fonctions vectorielles en tout point de l’espace :
AfgradArotfAfrotfgradAAfdivAfdiv
AAdivgradArotB
graddivgradgradgrad
Amdiv
Arotdivfgradrot
)()()( 10) )()()( )9
)(rot 8) )B(rotA -)A(rotB)Adiv( 7)
f(f))( 6) f)(g g)(ffg)( 5)
)Bndiv(A)mdiv()Bn( 4) (g)gradn (f)gradmng)(mfgrad 3)
0 2) 0 )1
II- Exercices : Exercice 1 : En utilisant les coordonnées cartésiennes, établir les relations 1),2) , 9) et 10) ci-
dessus.
Exercice 2 : Soient ),,(, kjikzjyixr base orthonormée et r
ru vecteur unitaire.
Calculer urotudiv et .
Exercice 3 : On donne les deux champs de vecteurs kzjzyxiyxA 8)5()23(1
et zyxyx ekejeiA
2 , calculer )( )(),(),( 2121 ArotetArotAdivAdiv
L.ELARROUM p68/74
Université Hassan II Mohammedia Année Universitaire 2010/2011
Faculté des Sciences Ben M’sik Filière : SMC
Département de physique Module : Physique3
Casablanca
Electricité II (Série N°2)
Exercice1 : Soit une spire filiforme de rayon R, de centre O, parcourue par un courant
d’intensité I. Calculer le champ magnétique B crée en un point M de l’axe de la spire situé à
une distance x de O.
Exercice2 : On considère un solénoïde de longueur L comportant N spires jointives de même
rayon R qui sont régulièrement réparties.
1- Déterminer le champ magnétique crée en un point quelconque de l’axe du solénoïde
en fonction des ongles 1 et 2 sous les quels du point considéré on voit les faces
terminales du solénoïde.
2- Que devient l’expression du champ magnétique dans le cas du solénoïde infiniment
long (L>>R).
Exercice 3 : Soit un segment P1P2 parcouru par un courant I. On appellera 1 et 2 les ongles
entre la perpendiculaire au fil issu d’un point M(x) situé à la distance x du segment et les
droites joignant M aux extrémités P1 et P2.
1- Calculer le champ magnétique crée par ce segment en tout point M(x).
2- En déduire le champ magnétique créer par un fil indéfini.
Exercice 4 : Soit un fil rectiligne infiniment long de diamètre 2 R et d’axe oz, de vecteur
unitaire k , parcouru par un courant d’intensité i, supposé uniformément dans la section du
conducteur.
1- trouver le champ magnétique )(MB en tout point M situé à la distance r de l’axe du fil
RrRr et .
2- Représenter l’évolution de B( r ) sur un graphe.
3- Sachant que le potentiel vecteur s’écrit krAMA )()( et en utilisant la symétrie
cylindrique, montrer quer
rArB
)()( .
4- Trouver l’expression de A( r ) RrRr et .
L.ELARROUM p69/74
Exercice 5 : Un cadre ayant la forme d’un triangle rectangle isocèle (AB=CA=a) , est placé
tel que son angle non droit B située à la distance d d’un fil indéfini parcouru par un courant
d’intensité I1. L’ensemble est placé dans le vide (fig1).
1- Exprimer à l’aide du théorème d’Ampère le champ magnétique )(1 xB crée par le fil
en tout point situé à la distance x du fil.
2- Exprimer le flux magnétique capté par le cadre en fonction de 0, I1, a, et d.
3- Le cadre est maintenant parcouru par un courant d’intensité I2, déterminer les forces
BCABAC FFF et , s’exerçant respectivement sur les côtés AC, AB et BC.
L.ELARROUM p70/74
Université Hassan II Mohammedia Année Universitaire 2010/2011
Faculté des Sciences Ben M’sik Filière : SMC
Département de physique Module : Physique3
Casablanca
Electricité II (Série N°3)
Exercice 1 : soit un câble coaxial formé de deux cylindres de longueur infinie, de rayons R1
et R2, parcourus par des courants surfaciques 21 et SS jj colinéaires à l’axe oz des deux
cylindres. Le cylindre intérieur est alimenté par une intensité I, qui ressort parle cylindre
extérieur (fig1).
1- Calculer le champ magnétique B dans tout l’espace.
2- En déduire la densité volumique d’énergie magnétique dans tout l’espace.
3- Quelle est l’énergie magnétique emmagasinée dans l’espace situé entre deux plans de
côtes z et z+L.
4- En déduire l’induction propre L par unité de longueur de ce câble coaxial.
Exercice 2 : On déplace une barre AB de longueur L, à vitesse V sur deux rails horizontaux,
la résistance électrique de la barre et des rails est négligeable devant la résistance R introduite
dans le circuit. L’ensemble est placé dans un champ magnétique informe B perpendiculaire
au plan des rails (fig2).
1- Déterminer le champ électromoteur mE
2- Calculer l’intensité dans le circuit.
3- Calculer la puissance dissipée par effet joule dans la résistance R.
Exercice 3 : Calculer la résistance d’un conducteur tronconique de résistivité de rayons a et
b et de hauteur h (fig. 3).
L.ELARROUM p71/74
Exercice 4 :
Soit un milieu de résistivité comprise entre deux demis sphères S1 et S2 de rayons a et b
(b>a). Déterminer la résistance de la portion située entre S1 et S2 si les lignes de champs sont
radiales (fig.4)
Exercice 5 :
On réalise le circuit représenté sur la figure 5. Le générateur a une résistance interne
négligeable.
1- A l’instant t=0, on ferme l’interrupteur k. Déterminer les courant i1 dans la résistance
R et i2 dans la bobine. Au bout d’un temps très long, on ouvre l’interrupteur k.
2- Calculer le courant i circulant dans la bobine.
3- Calculer la ddp VA-VB.
4- Montrer que pendant un laps du temps assez bref devantrR
L
, VA-VB peut être
supérieur à E si les paramètres sont bien choisis.
Exercice 6 :
On considère le circuit de la figure 6. L’ensemble des deux enroulements couplés par
mutuelle inductance est un transformateur idéal ( 21
2 * LLM ). On néglige la résistance des
enroulements. L’impédance Z est l’impédance de charge du secondaire.
1- Calculer l’impédance d’entrée définie par pe IZE . Simplifier son expression dans le
cas où Z est négligeable devant 2jL
2- Calculer la tension U aux bornes du circuit secondaire.
L.ELARROUM p72/74
Université Hassan II Mohammedia Année Universitaire 2010/2011
Faculté des Sciences Ben M’sik Filière : SMC
Département de physique Module : Physique3
Casablanca
Electricité II (Série N°4)
I- On constitue un montage à l’aide de trois impédances CBA ZetZZ , branchées comme
indiqué sur le schéma (fig.1). Ce montage est alimenté par une source de tension
sinusoïdale tutu cos)( 0
1) Déterminer en fonction de CBA ZetZZu ,, le courant Ai qui circule dans l’impédance
AZ
2) Déterminer en fonction de CBA ZetZZu ,, le courant Ci qui circule dans l’impédance
CZ
3) Comment peut-on construire , BA ZZ pour que le courant Ci soit indépendant de CZ
II-On considère le circuit électrique présenté sur la fig.2
1) Etablir l’expression de l’impédance complexe ABZ de ce circuit (module et argument).
2) Entre les bornes A et B on applique la tension sinusoïdale tVtv cos)( max , déterminer
par la méthode des nombres complexes, le courant principal i(t), on posera
),cos()( max tIti représente le déphasage du courant par rapport à la tension.
L.ELARROUM p73/74
3) Déterminer la tension )(tVMB aux bornes de l’association de R et C en parallèle en
fonction de r, R, C, et .
4) Déterminer le courant )cos()( tIti CMC .
5) Entre les bornes A et B on superpose maintenant à la tension sinusoïdale précédente
une tension continue .cos)(soit max00 tVVtvV Déterminer les courants )(et )( titi RC
III- 1) On dispose de deux dipôles (fig.3): le dipôle MN constitué d’une résistance R1et
d’une inductance pure L1 associées en parallèle, et le dipôle PQ constitué d’une résistance
R2 et d’une inductance pure L2 associées en série. Et d’une tension sinusoïdale de
pulsation .
a) En régime sinusoïdal, déterminer R2 et L2 en fonction de R1, L1 et
pour que ces deux dipôles soient équivalents.
b) Indiquer alors la pulsation 0 pour laquelle on a2
1
2
1
L
L
R
R
c) Calculer 0 si R1=100 et L1=0.01H.
2) On associe les deux dipôles équivalent précèdent en série comme indiqué sur
la fig.4. On applique aux bornes de MQ une tension
sinusoïdale tUtu M cos)( . On écrira les expressions demandées sous la
forme la plus simple en tenant compte des hypothèses et en fonction des
grandeurs UM, R1 et L1.
a) Déterminer l’impédance complexe du dipôle ainsi constitué.
b) Donner l’expression de l’intensité i(t) sous
forme : )cos()( tIti M
c) Déterminer en fonction de U les expressions de 21 et UU , grandeurs
complexe associées aux tensions MNutu )(1 et NQutu )(2
d) Déterminer les grandeurs complexe associées aux intensités )(1 ti et
)(2 ti
3) Calculer la capacité que l’on doit mettre en série dans ce circuit pour que
l’intensité i(t) soit en phase avec la tension u(t) pour la pulsation 0
L.ELARROUM p74/74
Université Hassan II Mohammedia Année Universitaire 2010/2011
Faculté des Sciences Ben M’sik Filière : SMC
Département de physique Module : Physique3
Casablanca
Electricité II (Série N°5)
Exércice1 : On considère un fil conducteur rectiligne placé dans le vide, parcouru par un
courant alternatif de basse fréquence, d’intensité )cos()( 0 tIti .
1- Déterminer le champ magnétique ),( tMB crée par le fil à l’instant t en un point M.
2- En déduire le champ électromoteur ),( tMEm :
a- par l’intermédiaire du potentiel vecteur.
b- à l’aide de l’équation de Maxwell Faraday..
3- Dans le plan définit par le fil et le point M situé à la distance r du fil, on place une
petite boucle conductrice carrée, de côté a et de résistance R. Etablir l’expression de la
force électromotrice e(t) induite dans la boucle :
a- à partir de l’expression de mE
b- à partir du flux magnétique.
4- En déduire le courant qui circule dans la boucle.
Exércice2 : On superpose dans le vide deux ondes planes monochromatiques de même
fréquence, se propageant dans la même direction ox et dans le même sens i , l’une
circulaire droite, l’autre circulaire gauche, on demande d’étudier l’onde résultante dans
l’hypothèse de composantes sur oy en phase.