Post on 11-Feb-2020
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERECTORADO DE INVESTIGACION
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE ECONOMÍA
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN
“ELABORACIÓN DE UN TEXTO:EJERCICIOS DE
MICROECONOMÍA I”
AUTOR: Mg. JAVIER CASTILLO PALOMINO
(Período de Ejecución 01 de febrero del 2010 al 31 de enero del 2012
Resolución N° 326-2010-R)
2
CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCION 4
I. TEORIA DELA ELECCION INDIVIDUAL 4
1.1 La Restricción Presupuestaria 4
1.2. Equilibrio del Consumidor. La Función de Demanda 14
1.3. Dualidad en el Consumo: La Ecuación de Slutsky.
La identidad de Roy. Lema de Sheppard. 30
1.4. Efecto renta y efecto sustitución: Hicks, Slutsky 71
1.5. Variación Compensada y Variación Equivalente 88
1.6. Elasticidad 107
1.7. Elasticidad y propiedades de la función de demanda 122
1.8.Riesgo e Incertidumbre. 133
II. TEORÍA DEL COMPORTAMIENTO DE LAS EMPRESAS 147
2.1. Funciones de producción Cobb-Douglas 147
2.2. Funciones de producción de Leontiev 202
III. INTERVENCION ESTATAL 221
3.1. Bienes públicos y externalidades 221
3.2. Impuestos y Subsidios 230
ANEXOS
Anexo 1 La Restricción presupuestaria 263Anexo 2 Elasticidad y propiedades de la función de demanda 269Anexo 3 Elección bajo incertidumbre 272
Referenciales
3
Introducción
La búsqueda del mejor uso de los recursos hace necesario contar con una herramientaque nos proporcione elementos de juicio para una mejor toma de decisiones, estanecesidad implica la elaboración de un proyecto de inversión, que sustentado en unestudio ordenado y coherente permita, en función a la calidad de la información, lamayor certidumbre para llevar a cabo con éxito la inversión.
Los estudiantes necesitan que se les muestre como se elabora un proyecto entérminos prácticos más que teóricos. Requieren un texto que les muestre tanto lateoría como ejemplos y ejercicios prácticos, necesitan conocer que tipo de informaciónse requiere, como es el tratamiento de ésta y cómo se la presenta para ir articulandocada una las partes que componen el proyecto de inversión. Este trabajo surge comorespuesta a esa necesidad y a propuesta de los estudiantes que con legitima avidez nossolicitan permanentemente nuestras copias y nos piden les informemos sobrebibliografía dónde encuentren casos o ejercicios sobre el tema.
Este libro es resultado de la conjugación de la experiencia acumulada durante eldesempeño profesional en el área d formulación de proyectos, el trabajo docente, querequiere constante capacitación y actualización sobre el tema, y la revisión las fuentesde información tradicional y reciente.
La estructura del libro ha sido desarrollada en ocho capítulos, ordenados de acuerdo ala forma secuencial como se elaboran los Estudios de un proyecto de inversión desdela concepción de la idea hasta la elaboración del flujo de caja. Así, primero se abordanlos contenidos de Definiciones básicas, el Estudio de mercado, el tamaño y lalocalización, la Ingeniería del proyecto, Las inversiones y el Financiamiento, losingresos y costos, los Estados financieros, y la Organización.
El presente trabajo tiene un contenido teórico que pretende que los estudiantesasimilen conceptos, técnicas y procedimientos actualizados sobre el tema de losproyectos de inversión, por otra parte, a manera de guía busca orientar y darindicaciones las materias que debe contener un estudio de preinversión. Cada capitulo
tiene ejemplos y aplicaciones para los temas más importantes. Asimismo se incluyencuestionarios y ejercicios propuestos como complemento didáctico. El libro busca quesu lectura sea fácil, clara y amena, y sobre todo accesible no sólo a los estudiantes deeconomía.
4
I. TEORIA DE LA ELECCIÒNINDIVIDUAL
1.1. La Restricción Presupuestaria
1. En el Callao, un 10% de los hogares usa el kerosene como combustible para lacocción de alimentos. Uno de estos hogares cuenta con una renta promedio de S/480que los destina al consumo de kerosene y otros bienes. El precio del kerosene es deS/12 el galón y el de los otros bienes, S/ 10. Con esta información se le pide:
a) Represente la restricción presupuestaria.b) Con el fin de fomentar el uso de otros combustibles, el Gobierno Regional limita
el consumo de kerosene hasta 30 galones. Delinee la restricción presupuestaria.c) El Gobierno reformula la medida anterior y permite consumir más de 30 galones,
pero cadagalón adicional costará S/15. Trace la nueva restricción presupuestaria.d) El Gobierno Regional decide otorgar un subsidio en efectivo de S/ 120 a cada
hogar ¿cómo se verá modificada la restricción presupuestaria?e) ¿Cómo será la restricción presupuestaria si el Gobierno Regional cambia el
subsidio por un bono intransferible que equivale a 10 galones de kerosene?.f)Si el bono se pudiese vender a mitad de precio ¿Cómo sería la restricción?.
Solución
a) Restricción presupuestaria inicial
48
40
Área
Factible
480x10x12 21
2
1
p
p
)ker(1 osenedegalonesX
bienes
Otros
X 2
5
b) Restricción presupuestaria con límite al consumo de kerosene
c) Restricción presupuestaria con posibilidad de compra más allá del límite
Consumo de kerosene: Precio Galones Gasto
12 30 36015 8 120
38 480
48
30 38 40
Área
Factible
X 2
Bienes
X1
Kerosene (galones)
48
30 40
Área
Factible
X 2
Bienes
X1
Kerosene(galones)
2,12
1 p
p
5,1'
2
1 p
p
2
1
p
p
6
d) Restricción presupuestaria con un subsidio en efectivo de S/120
e) Gobierno Regional subsidia con bono por 10 galones de kerosene
X 2
Bienes
60
48
40 50
Área
Factible
X1
Kerosene(galones)
48
0 10 20 30 40 50
X 2
Bienes
X1
Kerosene (galones)
2
1
p
p
600120480x10x12 21
2
1
p
p
2
1
p
p
2,12
1 p
p
7
f) La familia puede vender el bono a mitad de precio
Los 10 galones que son parte de su consumo los puede vender y obtener un ingresode S/60 a 0, y adquirir de 6 a 0 unidades de otros bienes, según los venda todos oninguno.
2. Un consumidor dispone de S/.150 para pagar los servicios de agua y teléfono. El agua lecuesta S/. 2.00 el m3 , mientras que la modalidad del pago del teléfono es la siguiente:los primeros 50 minutos son gratis, los siguientes 100 minutos valen S/. 0.80 c/u, y losrestantes, S/. 0.5 c/u. Trace su restricción presupuestaria.
Solución
La recta presupuestaria de este consumidor tendrá tres tramos. En el primero lapendiente es cero, debido a que si todo su ingreso lo gasta en agua, consumirá hasta 75m3 , y de 0´ a 50´ de teléfono (gratis).
54
48
0 10 20 30 40 50
X 2
Bienes
X1
Kerosene(galones)
2,12
1 p
p
6,02
1 p
p
8
El segundo tramo se inicia cuando sobrepasa los 50´ gratis, hasta que su gasto enservicio telefónico, que ahora cuesta S/ 0,80/minuto, llega a S/.80 por los siguientes100’ de consumo; con la diferencia, S/70, completa su canasta, consumiendo 35 m3 de
agua (S/.70/2).
El tercer tramo, tiene una pendiente más suave, porque el costo por minuto es de S/0,50, y representa la opción de destinar los S/70 al consumo paulatino de minutos de
teléfono hasta un máximo de 140’ (S/.70/0.5).
Agua
(m3)
Teléfono (minutos)
2. Yuri es un empresario exportador que tiene un fondo para marketing que tiene dosdestinos: viajes de promoción al exterior y publicidad. Una agencia de viajes le hapropuesto, para este año, que si acumula 30 tickets aéreos, por los siguientes recibeun descuento del 20%. Llegado a los 70 pasajes recibe 5 pasajes gratis y cada ticketadicional tendrá un nuevo descuento de 25%.
75
35
50 100 150 200 250 290 300
12 4,075 xx
12 25,035 xx
9
Para el presente año, el presupuesto de Yuri para estos gastos es de $ 49,000, elprecio de cada ticket es de $500 mientras que el de cada anuncio publicitario es de$200.
Determine:
a) ¿Cómo será su restricción presupuestaria?b) Trace la restricción presupuestariac) ¿Hasta cuantos pasajes podrá comprar este año?
Solución
a) En la restricción presupuestaria:
Los pasajes son representados por el bien 1, mientras que los anunciospublicitarios, por el bien 2, entonces:
De 0 a 30 pasajes, la restricción presupuestaria es:
Luego, de más de 30 a 70 pasajes, la restricción varía porque el precio se reduce:
p11 = 0,8 p1
p11 = 0,8 (500)
p11 = 400
Entonces,
Finalmente, para más de 70 pasajes el precio es otro:
Entonces,
21 200500000.49 XX
2211 XpXpm
21 200400000.49 XX
21 200300000.49 XX
)400(75,0''1 p
300''1 p
10
b) Trazo de la restricción presupuestaria
Publicidad
Pasajes
c) El número de pasajes que podrá comprar:
En los dos primeros tramos:
30 x $500 = $15.00040 x $400 = $16.00070 $ 31.000
Para el último tramo se cuenta con $ 18.000 (49.000-31.000). con los que sepuede adquirir 60 pasajes (18.000/300) a los que hay que agregar los 5 pasajesgratis.
Por tanto el total de pasajes que se podrán adquirir son 135 pasajes
245
200
170
150
10090
50
0 30 50 70 75 98 130135
X2 =245, - 2.5 X1
X2 =245, - 2 X1
X2 =245- 1.5X1
11
4. Bimbo Rejas está encargado de la compra de refrescos y cerveza para la fiesta de lasemana de la FCE. Ha averiguado que el precio de la caja de gaseosas es S/.20.00 yque la caja de cerveza cuesta S/.35.00 (S/. 3.00/unidad). Bimbo sólo puede gastarS/.1960. Los proveedores le envían sus propuestas. Con respecto a las gaseosas notiene problemas, pero en relación a la cerveza, Bimbo elige una que le interesasobremanera: por la compra de 10 cajas de cerveza le dan una de regalo. ¿Cómoserá su restricción presupuestaria?.
Solución
Con S/ 1.960 podrá comprar hasta 98 cajas de gaseosas solamente. Por otra parte, si
sólo compra cerveza, podrá obtener 56 cajas, más las 5 cajas gratis, haciendo un
total de 61 cajas. La restricción presupuestaria que expresa estas compras y las otras
diferentes combinaciones es la siguiente
Gráfico
Gaseosas
10 11 21 22 32 33 43 44 54 55 61
98
Cerveza
12
5. El comedor de la UNAC vende el menú a S/ 4.00. El concesionario ofrece un bonoque cuesta S/. 20 y equivale a 6 menús (S/. 3.33/menú). Un estudiante cuenta conS/. 200 por mes, y sus gastos son en alimentación y en pasajes (S/1.00/viaje). Solose puede adquirir un bono por mes.
a) Plantee la restricción presupuestaria mensual del estudiante cuando no comprael bono. Grafique.
b) Plantee la restricción presupuestaria mensual del estudiante cuando compra elbono. Grafique.
Solución
a) Si no compra el bono, su restricción presupuestaria será:
Teniendo en cuenta la información, asumiendo que X1 representa los menús, yX2,los pasajes, tendremos que la restricción presupuestaria es:
Gráfico. Estudiante no compra el bono
Menús
200
Pasajes
50
2211 XpXpm
214200 XX
13
b) Si compra el bono, entonces X1= 6 , y la restricción presupuestaria tendrá lasmodificaciones siguientes:
Se reduce el ingreso disponible: 200-20 = 180
Luego, si solo se usa para X2, se podrá adquirir como máximo:
Si el consumo de menús es mayor a seis (X1 ≥ 6), la restricciónpresupuestaria será:
Gráfico. Estudiante compra el bono
200
180170
Pasajes
6 … 50 51Menús
1801
1802 X
21 )6(420 XXm
21 )6(420200 XX
21 244180 XX
214204 XX
14
1.2. Equilibrio del Consumidor
1. Juan viajaráaChincha e Ica para hacer unas encuestas. Sus viáticos paraalimentación en cada destino son de S/. 60. Sólo comerá sus platosfavoritos,sopa seca y carapulcra,; sus preferencias por ambos platos soniguales. En Chincha el precio de la sopa seca es S/. 20, y el de la carapulcraS/15. En Ica, la sopa seca cuesta S/15 y la carapulcra, S/. 15, pero como laciudad de Ica va a estar de aniversario, aquí habrá la oferta de que luego delconsumo de 2 platos de sopa seca, los siguientes se venden a mitad de precio.
Determine:
a) ¿Qué y cuántos platos consumirá Juan en Chincha?b) ¿Qué y cuántos platos consumirá Juan en Ica?c) ¿En qué lugar obtendrá mayor Utilidad?
Solución
Para Juan, de acuerdo al enunciado, los platos que consumirá son sustitutosperfectos, por tanto su función de utilidad será de la forma:
U = X1 + X2
Donde: X1 : sopa seca (cantidad de platos)X2 :carapulcra (cantidad de platos)
Dado que la función de utilidad es una recta, el equilibrio será en uno de los ejes,dependiendo de la pendiente de la restricción presupuestaria
a) En Chincha
La restricción presupuestaria será:
20 x1 + 15 x2 = 60
Pendiente de U: Pendiente de R. P.:
11
1. Upend
3
4
15
20. RPpend
Yejeenequilibriopendpend URP ..
15
En el gráfico inferior se observa que el consumo óptimo será una soluciónllamada “solución esquina”, en este caso sobre el eje Y en A (0; 4). Es decir,Juan consumirá únicamente carapulcra, 4 platos.
Gráfico. Óptimo en Chincha
b) En ICA
Pendiente de U Pendiente de R.P.
pend.U = -1 De 0 a 2 platos de sopa seca
De 2 a 10 platos de sopa seca
A(0; 4)4
Carapulcra
3Sopa seca
U = 4
115
15. RPpend
5,015
5,7. RPpend
16
En este caso, la restricción presupuestaria tiene dos tramos (ver gráficosiguiente). El primero con una pendiente igual a la de la función de utilidad,desde el intercepto con el eje Y hasta la combinación (2, 2). El segundo, desdeeste punto hasta (6, 0), con una pendiente menor a la de la función de utilidad;por tanto, el consumo óptimo se dará en el eje X, esta vez sólo consumiendosopa seca. Así, Juan consumirá 6 platos de sopa seca, solamente, obteniendouna utilidad de 6.
Gráfico. Óptimo en Ica
c) El consumo óptimo en Chincha será (0, 4), entonces alcanzará una utilidad de:
U = 0 + 4 = 4
En Ica el consumo óptimo será (6, 0); luego, la Utilidad será: U= 6 + 0 = 6
Por tanto, la máxima utilidad la obtiene en Ica.
2
4
Carapulcra
U*
= 6
1 2 3 4 5 6
Sopa seca
17
2. El concesionario de la FCE vende en verano chupetes de maracuyá y de fresa. Cada
chupete lo vende a S/1. Se ha estimado que un consumidor promedio de chupetes
destina S/12 por semana para este producto, y su función de utilidad está
representada por:
Donde
X1 : cantidad de chupetes de fresa
X2 : cantidad de chupetes de maracuyá
Se pide:
a) Hallar el consumo óptimo del consumidor. Grafique
b) Dado que el consumidor consume en mayor proporción los chupetes de fresa, sedecide aumentar el precio de éstos en S/0,50 y, a la vez, rebajar en el mismomonto los chupetes de maracuyá. ¿Logrará revertir la tendencia del consumo?.Grafique
c) Otra medida más drástica que se ensaya es mantener los precios iniciales pero porla compra de cada 4 chupetes de maracuyá se dan gratis 5 chupetes de esta fruta¿Logrará ahora si su objetivo?. Grafique.
Solución
a) Para hallar el consumo óptimo planteamos el problema primal y resolvemos:
21 XLnXU
mxpxpas
xxMax
2211
21
:.
ln.
)(ln: 221121 xpxpmxx
18
C.P.O.:
De (1) y (2), obtenemos la demanda marshalliana de x2 :
Luego, reemplazando x2 en la R.P, reduciendo y despejando, obtenemos la demandamarshallliana de x1:
Reemplazando los datos, se obtiene la demanda óptima :
La utilidad máxima:
)3(...0
)2(...01
)1(...01
22111
222
11
xpxpmx
pxx
px
2
1
2
11
p
p
x
mp
ppxp
2
1211
1
11 p
pmx
mpxp 111
11
111
1
11221
xx
2
12 p
px
111 LnU
11U
19
Gráfico. Equilibrio inicial
b) Con esta otra medida, la restricción presupuestaria será:
El consumo óptimo:
La utilidad máxima:
Fresa
12
1
Maracuyàresa
11 12
11U
125,05,1 21 xx
35,0
5,17
5,1
5,11221
xx
1,8U
37 LnU
20
Con esta medida mejora levemente la proporcionalidad en el consumo, pero aúnse demanda en mayor magnitud chupetes de maracuyá (70%-30%). La utilidaddel consumidor se reduce de 11 a 8,1.
Gráfico. Equilibrio con modificación de precios
c) Con la oferta extrema: por la compra de cada 4 chupetes de maracuyá, se dan 5gratis, se tendrá el siguiente gráfico:
Fresa
24
12
3
1
1
Maracuyá
7 8 11 12
11U
1,8U
21
Gráfico. Equilibrio con la oferta extrema
Se observa en el gráfico que el óptimo se mantiene en la canasta (11,1) con lautilidad de 11.
En la restricción presupuestaria de la oferta la combinación que más se acerca ala utilidad máxima, es (8, 9) pues el consumidor obtiene una utilidad siguiente:
U = 8 + Ln 9 = 8 + 2,19 = 10,19
Fresa
24
22
20
18
16
1312
98
4
1
1
Maracuyá
4 7 8 11 12
11*U
2,10U
22
3. Un estudio de focalización de la pobreza ha encontrado que una familia pobre en elCallao tiene una dieta deficiente. Sus preferencias están expresadas en la función deutilidad U = X1X2 ; donde X1 representa el consumo de pescado en kilos, y X2 , elconsumo de otros alimentos. Asimismo, cuenta con un ingreso de S/. 300 y losprecios de los bienes que consume son S/. 7,50 y S/. 10, respectivamente. Lasautoridades de salud señalan que las familias del Callao deben consumir comomínimo 30 kg. de pescado para satisfacer los niveles nutricionales adecuados.
Determine:
a) Si de acuerdo a sus preferencias las familias pobres satisfacen el nivel nutricionalpropuesto. Grafique la restricción presupuestaria y el equilibrio.
b) Si la Región decide subsidiar el ingreso de las familias pobres ¿a cuánto debeascender el subsidio que les permita consumir el mínimo propuesto?. Grafique larestricción presupuestaria y el equilibrio.
c) Si, por el contrario, se desea subsidiar el precio del pescado ¿cuál debe ser elnuevo precio y cuánto tendría que desembolsar la Región?. Grafique,
d) Las familias indican que la medida anterior les reduce el bienestar que obtendríancon el subsidio al ingreso; de ser cierto ¿cuál debería ser el subsidio quemantenga dicho bienestar y que a la vez les permita acceder al mínimo deconsumo requerido?
Solución
a) Para hallar el consumo óptimo planteamos el problema primal y resolvemos
C.P.O.:
mXpXpas
XXMax
2211
21
:.
.
)(ln: 221121 XpXpmXX
)3(...0
)2(...0
)1(...0
2211
212
121
XpXpm
pXX
pXX
23
De (1) y (2), obtenemos:
Luego, remplazando X2 y X1 en la R.P, reduciendo y despejando, obtenemos lasdemandas marshalllianas:
Reemplazando los datos, se obtienen las demandas óptimas :
La utilidad máxima:
1
221
2
112
2
1
1
2
p
XpX
yp
XpX
p
p
X
X
mp
Xppxp
2
11211
11 2 p
mX
mXpXp 1111
1520 21 XX
300U
mxpp
Xpp
22
1
221
mXpXp 2222
22 2 p
mX
)15)(20(U
24
Gráfico. Equilibrio inicial
Por lo tanto, se observa que, de acuerdo a sus preferencias, la canasta óptimade una familia pobre del Callao no contiene el mínimo requerido.
b) Subsidio de la Región al ingreso familiar
Para saber el monto del subsidio (S) al ingreso que le permita alcanzar elconsumo mínimo de pescado, se debe cumplir que:
Reemplazando datos y despejando S:
Pescado
30
15
Otrosalimentos
20 30 40
300U
302 1
p
Sm
30)5,7(2
300
S
300450 S
300105,7 21 XX
)15;20(*X
25
La nueva restricción presupuestaria sería:
La canasta óptima:
La nueva Utilidad:
Gráfico. Equilibrio con subsidio al Ingreso
Pescado (Kg.)
45
30
22,5
15
Otrosalimentos
20 30 40 60
)5,22)(30(U
150S
450105,7 21 XX
675' U
450105,7 21 XX
5,22)10(2
45030
)5,7(2
45021 XX
675'U
)5,22;30(*X
26
c) Subsidio de la Región al precio
Si denominamos: s, el subsidio al precio, entonces se debe cumplir que:
Siendo p1: precio de mercado
p11 : precio pagado por las familias
s: subsidio de la Región a los vendedores de pescado
Asimismo, se debe cumplir que:
Remplazando datos, operando y despejando p11:
La nueva restricción presupuestaria sería:
La canasta óptima:
302 1
1
p
m
302
3001
1
p
30060 11 p
00,511 p
300105 21 XX
15)10(2
30030
)5(2
30021 XX
spp 111
27
La nueva Utilidad:
En este caso, los pobres, según sus preferencias, consumirán el mínimorequerido, pagarán S/5.00 por kilo de pescado; los pescadores o vendedoresrecibirán S/ 7,50 por kilo (el monto pagado por los consumidores más S/2,50de subsidio pagado por la Región).
El monto total del subsidio, ascenderá a S/2.50 x 30 Kg. = S/ 75.00 porfamilia.
Gráfico. Equilibrio con subsidio al precio del pescado
Pescado
45
30
22,5
15
Otrosalimentos
20 30 40 60
)15)(30('' U
450'' U
675U
300105 21 XX
)15;30(*X
450U *
28
d) Subsidio al precio que permite mantener el bienestar obtenido con subsidioal ingreso
Consumo óptimo:
Por otra parte, como se debe cumplir que:
X1, se obtiene remplazando X2:
Entonces, remplazandoeste valor en (α), y despejando obtenemos el precio que
pagará el consumidor:
Por tanto, el subsidio de la Región será:
s = 7,50 -3,33
15)10(2
300X
)(...150Xp
:obtieneseyincognitaslasdespejanSe
p2
300X
2
1''
1
''1
1
67521 XX
675)15(1 X
451 X
150)45(''1 p
33,3''1 p
29
s = 4,17 x Kg.
El subsidio total:
4,17 x 45 = 187,65
Gráfico. Subsidio al precio, que mantiene el bienestar con subsidio alingreso.
Pescado
45
30
22,5
15
Otrosalimentos
20 30 40 45 60 90
675*U
3001033,3 21 XX
)15;45(*X
450U
30
1.3. Dualidad en el Consumo: La Ecuación de Slutsky. La identidad deRoy. Lema de Sheppard.
1. Dadas las siguientes funciones de demanda compensada:
Se pide:
a) Halle las demandas marshallianasb) Determine la función de utilidad
Solución
a) En la restricción presupuestaria:
m = p1X1+ p2X2
RemplazamosXi , empleando la identidad Xi (p,m) ≡ hi(p,u)
m = p1(2up2/p1)1/3+ p2 (up1/4p22 )1/3
m = p12/3(2up2)1/3+ p2
1/3(up1/4)1/3
m = p12/3p2
1/3[(2u)1/3+ (u/4)1/3]
m = p12/3p2
1/3(41/3 21/3 u1/3+ u1/3)/ 41/3
41/3m = p12/3p2
1/3(2 u1/3+ u1/3)
41/3m = p12/3p2
1/3(3 u1/3)
Luego, para obtener la FUI1, hacemos uso de la identidad u(X) = v(p,m),despejamos y operamos:
41/3m = p12/3p2
1/3(3 v(p,m)1/3)
1También se podría haber integrado las demandas Hickssianas con respecto a su respectivo precio,y obtener primero, la función de gasto, y luego por dualidad, la función de utilidad indirecta
3/1
1
21
2),(
p
UpUph
3/1
22
12
4),(
p
UpUph
3/12
3/21
3/13/1
pp3
m4)m,p(v
31
Finalmente, hallamos las demandas ordinarias aplicando la identidad de Roy. Primerocalculamos las derivadas parciales:
dv/dp1 = -8m3 / 27p13p2
dv/dp2 = -4m3 / 27p12p2
2
dv/dm = 12m2 / 27p12p2
Luego, se hacen los remplazos respectivos, y se simplifica así:
b) Para hallar la función de utilidad, en las demandas ordinarias despejamos lasrelaciones:
m/p1 = 3x1/2 y m/p2 = 3x2
Luego, se reacomoda la función de utilidad indirecta, se remplazan estasrelaciones, y se efectúa:
v(p,m) = U = (4/27) (3x1/2)(3x1/2)(3x2)
U = (4/27)(27/4) x12 x2
Xi =
- 8m3 / 27p13p2
X1 = -12m2 / 27p1
2p2
- 4m3 / 27p12p2
2
X2 = -12m2 / 27p1
2p2
U = x12 x2
22
1
3
27
4),(
pp
mmpv
13
2
p
m
23p
m
22
1
3
27
4),(
pp
mmpv
21127
4),(
p
m
p
m
p
mmpv
32
2. Dadas las siguientes funciones de demanda compensada:
a) Halle las demandas marshallianasb) Determine la función de utilidad
Solución
a) Integrando cualquiera de las demandas compensadas con respecto a su preciorespectivo –en este caso integramos h1 – se obtiene la Función del gasto2
Luego, para obtener la FUI, se hace uso de las identidades U(X) ≡ v(p,m) y e(p,U) ≡ m, y se despeja:
2 Como ejercicio, pruebe integrar h2 y obtenga el mismo resultado.
5/21
5/22
125
3),(
p
pUUph 5/3
2
5/31
225
2),(
p
pUUph
152
1
522
1521
522
25
3
25
3
dpppU
dpp
pUUpe
//
/
/
.),(
5
5325
3
522
531
531
522
//
//
/
ppU
ppU
5
),(),(
5/22
5/31 ppmpv
mUpe
5/22
5/31
5),(
pp
mmpv
33
Finalmente, se hallan las demandas ordinarias aplicando la identidad de Roy:
Previamente se hallan las derivadas parciales:
Luego, se remplazan en las fórmulas respectivas:
c) Para hallar la función de utilidad; en las demandas hikssianas, se aplica la identidadXi(p,m) ≡ hi(p,U), y se despejan las relaciones (p1/p2):
5/22
5/81
5/22
5/811
35
5
3
pp
m
pp
m
dp
dv
5/72
5/31
5/72
5/312
25
5
2
pp
m
pp
m
dp
dv
5/22
5/31
5
ppdm
dv
15/2
25/3
1
5/22
5/81
15
35
3
p
m
pp
pp
m
x
25/2
25/3
1
5/72
5/31
25
25
2
p
m
pp
pp
m
x
5/21
5/22
1125
3
p
pUxh
25
12
1
25
3/
x
Upp
5/32
5/31
2225
2
p
pUxh
35
2
2
1
2
25/
Ux
pp
34
Luego se igualan, y se despeja U:
3. Dada la siguiente función de utilidad:
Hallar:
a) Las demandas Marshallianasb) Las demandasHikssianasc) La Function de utilidadindirectad) La Función del gastoe) CompruebelasdemandasMarshallianasf) CompruebalasdemandasHickssianas
U = 9.8 x13/5x2
2/5
3/5
2
2/5
1 2
25
25
3
U
x
x
U
2/5
1
3/5
23/52/5
3
25
2
25
xx
UU
2/5
1
3/5
26/25
3
25
2
25
xx
U
)25/6)(2/5(1
)25/6)(3/5(2
3
25
2
25
xx
U
5/31
5/22
3
25
2
25
xx
U
5/31
5/22
3
25
2
25
xx
U
2121 ),( LnxxxxU
35
Solución
a) Las demandas Marshallianas se hallan formulando y resolviendo el problemaprimal:
Así, (4) viene a ser la demanda Marshalliana del bien x2. Luego, reemplazando (4)en (3), y despejando, se obtiene la de x1:
mxpxpasujeto
xLnxMax
2211
21
:
.
)( 221121 xpxpmLnxxL
)3(xpxpmd
dL
)2(0px
1
dx
dL
)1(0p1dx
dL
:.O.P.C
2211
222
11
)4(p
px
xp
1
p
1
:)2(y)1(de
2
12
221
mp
ppxp
2
1211
1
11 p
pmx
36
b) Para hallar las demandas Hikssianas se plantea y resuelve el problema dual:
De (1) y (2):
Luego, reemplazando (4’) en (3’), y despejando, obtenemos la otra demandaHikssiana:
UxLnxasujeto
xpxpMin
21
2211
:
.
)( 212211 LnxxUxpxpL
)'3(
)'2(0
)'1(0
:...
21
22
2
11
xLnxUd
dL
xp
dx
dL
pdx
dL
OPC
)'4(2
12
122
p
px
pxp
Up
pLnx
2
11
2
11 p
pLnUx
37
c) Función de utilidad indirecta
Para hallarla, en la función de utilidad directa se aplica la dualidad, se reemplazanlas demandas Marshallianas y, de ser posible, se reduce:
d) Función del gasto
Similarmente, tomando la FUI, aplicamos las equivalencias , y despejamos:
e) Comprobación de las demandas Marshallianas
Aplicando la Identidad de Roy:
2121 ),(),( xLnxmpvxxU
2
1
1
1
p
pLn
p
pm)m,p(v
2
1
1
1),(),(
p
pLn
p
pUpemUmpv
1),(
2
11 p
pLnUpUpe
dm
mpdv
dp
mpdv
mpx ii ),(
),(
),(
38
Así:
Derivando:
Entonces:
f) Comprobación de las demandas Hikssianas
En este caso, se recurre al Lema de Sheppard:
2
1
1
1
p
pLn
p
pm)m,p(v
1211
1
pp
m
dp
dv
22
1
pdp
dv
1
1
pdm
dv
11
1
1
1
121
1
p
m
p
pp
m
x
2
1
1
22 1
1
p
p
p
px
ii p
)U,p(e)U,p(h
39
Así, reordenando la Función del gasto:
Derivando:
1LnpLnp1U
1pLnpLnp
1pU
p
eh
21
211
11
1
2
12
21
22
1
p
ph
pp
dp
deh
12
111
2
11
pp
pLnpUp
1p
pLnUp)U,p(e
2
11
21
p
pLnUh
)pLnpLn(U
40
4. Un consumidor tiene un ingreso de S/ 900, consume dos bienes, x1 y x2, cuyosprecios son p1 = 2 y p2 = 10, respectivamente. Si su función de utilidad es:
Se pide:
a) Hallar la máxima utilidad que alcanza el consumidor. Grafiqueb) Demostrar que U(X) ≡v(P,m)c) Compruebe el Lema de Shephard
Solución
a) Hallar la máxima utilidad implica conocer, primero, las demandas óptimas, através del problema primal:
25,0
121 4),( xxxxU
mxpxpasujeto
xxMaxim
2211
25,0
1
:
4.
)(4 221125,0
1 xpxpmxxL
)3(
)2(01
)1(02
:...
2211
22
15,0
11
xpxpmd
dL
pdx
dL
pxdx
dL
OPC
2
15,01
2
15,0
1
2
1
2
:)2(/)1(
p
px
p
px
Luego
41
Remplazando x1 en la restricción presupuestaria, reduciendo y despejando, se obtiene la
función de demanda del bien x2:
Por último, se remplazan los datos en las funciones y se obtienen las demandasóptimas y la utilidad máxima:
Entonces:
mxpp
p
mxpp
pp
221
22
22
2
1
21
4
2
1
2
22
4
p
p
p
mx
2
1
21
2
p
px
1002
)10(22
1
x
702
)10(4
10
9002 x
110701004 5,0* U
42
Gráfico: Equilibrio del consumidor
b) Para esta demostración se requiere hallar v(P, m). Así remplazando lasdemandas Marshallianas en la función de utilidad, y simplificando:
0
20
40
60
80
100
120
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
U0 = 110
E*(100, 70)
X1
1
2
2
5,02
1
2 424),(
p
p
p
m
p
pmPv
1
2
21
2 424),(
p
p
p
m
p
pmPv
21
24),(
p
m
p
pmPv
43
Luego, remplazando los datos:
Como se puede observar, comparando con lo hallado en a), se comprueba que
U(X) ≡ v(P, m).
c) Lema de Shephard
Primero se tiene que hallar las demandas compensadas para luego aplicar elLema de Shephard
Entonces:
10
900
2
)10(4),( mPv
110),( mPv
)'3(04
)'2(0
)'1(02
:...
25,0
1
22
5,011
1
xxUd
dL
pdx
dL
xpdx
dL
OPC
Uxxasujeto
xpxpMin
25,0
1
2211
4:
.
)4( 25,0
12211 xxUxpxpL
44
La demanda compensada del bien x1, se obtiene dividiendo (1’)/ (2’), y reduciendo:
Luego, remplazando (4’) en (3’), reduciendo y despejando, obtenemos la demandaHikssiana del bien x2:
Ahora, falta la función del gasto; entonces, remplazando las demandas Hickssianasen la restricción presupuestaria, y aplicando las equivalencias de la dualidad :
)'4(2
2
2
2
1
21
2
15,01
5,01
2
1
p
px
p
px
x
p
p
Uxp
p24 2
5,02
1
2
1
22 8
p
pUx
Uxp
p 2
1
28
1
22
2
1
21 p
p8Up
p
p2p)U,P(em
1
22
21
22
p
p8Up
p
p4)U,P(e
1
22
2
4),(
p
pUpUPe
45
Por último, recurriendo al Lema de Shephard:
Aplicando:
5. Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente:
Si su renta monetaria es 2,520, y los precios de los bienes que consume son p1= 2y p2=4, demuestre:
a) Que las demandas de ambos bienes pueden ser calculadas a través de lasfunciones de Demanda Marshalliana o de las funciones de Demanda Hiksiana.
b) El Lema de Shephardc) Que la renta monetaria se puede obtener a través de la función de gasto.
Solución
a) Las funciones de demanda marshalliana se hallan a través del problema primal:
2
1
22
1
22
11
24
p
p
p
p
dp
deh
ii dp
UpdeUph
),(),(
1p
p8U
dp
deh 2
22
)4ln(ln),( 2121 xxxxU
mxpxpas
xxMax
2211
21
:.
)4ln(ln.
46
C.P.O.:
De (1) y (2):
Entonces, obtenemos las relaciones entre las variables
Luego, reemplazando(4) en la R.P, reduciendo y despejando, obtenemos lademanda marshallliana de x1:
Reemplazando los datos, se obtiene la demanda de x1 :
)()4ln(ln: 221121 xpxpmxx
)3(...0
)2(...04
1
)1(...01
2211
222
111
xpxpm
pxx
pxx
2
1
1
2 4
p
p
x
x
)5(...)4(
)4...(41
221
2
112 p
xpx
p
xpx
mp
xppxp
4
2
11211
1
21 2
4
p
pmx
mpxpxp 21111 4
)2(2
)4(4520.2x1
47
La función de demanda Marshalliana de x2 se obtiene, de manera similar,reemplazando (5) en la restricción:
La cantidad consumida de este bien será:
Luego, para hallar las funciones de demanda Hiksiana, formulamos el problema dual:
mxpp
xpp
22
1
221
)4(
2
22 2
4
p
pmx
mxppxp 22222 4
8
504.2
)4(2
)4(4520.2x 2
313x 2
Uxxas
xpxpMin
)4ln(ln:.
.
21
2211
)]4ln(ln[: 212211 xxUxpxp
634x
4
536,2x
1
1
48
C.P.O.:
De (1) y (2):
Entonces, obtenemos las relaciones entre las variables
Seguidamente, se remplaza(4) en la restricción, reduciendo y despejando, se obtienela demanda Hiksiana de x1:
)3(...0)4ln(ln
)2(...04
1
)1(...01
21
22
2
11
1
xxU
xpx
xpx
2
1
1
2 4
p
p
x
x
)5(...)4(
)4...(41
221
2
112 p
xpx
p
xpx
2
1
1
21
Uh e
p
px
44lnln
2
111 p
xpxU
21
2
1ln xp
pU
Uexp
p2
12
1
Uep
px
1
221
49
Recurriendo a los datos, hallamos que el consumo del bien x1, hallado con la funciónde demanda Marshalliana, coincide con el de la demanda Hicksiana3:
Del mismo modo, reemplazando (5), reduciendo y despejando, obtenemos la funciónde demanda Hiksiana de x2:
3 Previamente calculamos U = ln(634)+ ln(313 +4) = 6,452 + 5,7589 = 12,21095
4ln)4(
ln 21
22
x
p
xpU
)4)(4(ln 22
1
2 xxp
pU
2
21
2 )4(ln xp
pU
634
)956.401(
2
4
1
2
1
1
2
1
21095,121
h
h
h
x
x
ex
42
1
2
12
Uh e
p
px
2
1
U
2
12 e
p
p)4x(
22
1
2 )4( xp
peU
50
Remplazando, datos:
Por tanto, se demuestra que Xi (P,m) ≡ Xih(P,U)
b) La demostración del Lema de Shephard requiere conocer, previamente, la Funciónde gasto. Para hallar ésta, se deben reemplazar las funciones de demanda Hiksianaen la restricción presupuestaria, y reducir:
Lema de Shephard:
Se sabe que:
Entonces,
4),(
2
1
2
12
2
1
1
21
UU ep
ppe
p
ppmUPe
22
1
212
1
21 4),( peppeppUPe UU
44
2 2
1
21095,122
ex h
313
4)85,977.200(5,0
2
2
1
2
h
h
x
x
22
1
21 42),( peppUPe U
i
hi p
UPeUPX
),(
),(
2
1
1
21
2
1
12
1
21
1 )(2
2
p
epX
pepp
eX
Uh
Uh
22
1
21 42),( peppUPe U
51
c) Demostración de que U(x)≡v(P,m). Se sabe que U(x)= 12,21095. Entonces, se hallav(P,m), para lo cual se remplazan las funciones de demanda Marshalliana en lafunción de utilidad directa, y se reduce:
Finalmente:
Reemplazando los datos:
21
22
4
)4(ln),(
pp
pmmpv
)4)(2(4
)]4(4520.2[ln),(
2
mpv
)978.200(ln),(
32
296.431.6ln),(
mpv
mpv
....21095,12),( dqqlmpv
4
4)(2
2
2
1
2
12
2
1
22
1
12
2
p
epX
pepp
eX
Uh
Uh
4
2
4ln
2
4ln),();(
2
2
1
221 p
pm
p
pmmpvxxU
2
2
1
2
2
4ln
2
4ln),(
p
pm
p
pmmpv
52
6. Un nadador tiene una dieta basada en pescado y ensaladas en la proporción de ½ kg.de pescado por cada 2 kg. de ensaladas. Su utilidad sólo se incrementa cuandoconsume más de ambos alimentos en las proporciones indicadas. Con estainformación:
a) Formule la función de producciónb) Determine la senda de expansión
c) Si desea consumir 2 Kg. de pescado ¿cuánto tendrá que consumir deensaladas?¿Cuál será el nivel de utilidad que alcanza?. Grafique.
Solución
a) Para esta persona, el pescado y las ensaladas son bienes complementariosperfectos, por tanto la función de utilidad tendrá la forma:
U = Mín. (ax1, bx2)
Donde:
x1: pescado (Kg.)x2: ensalada (Kg.)a :
x1 U
½Kg ─ 11Kg ─? a = 2
b :
x2 U
2Kg ─ 1
1Kg ─? b = 1/2
→ U = Mín. (2x1, ½x2 )
b) La senda de expansión en el consumo viene a ser la trayectoria de la curvarenta consumo, la cual se obtiene de la relación:
12
1221
x4x
x2x
53
c) Si consume 2Kg de pescado, x1= 2, entonces, de acuerdo a sus preferencias,la ración de verduras (x2) que tendrá que consumir será:
x2= 4(2) = 8 Kg.
La utilidad que alcanza:
U = Mín. [2(2), ½(8)]
U = Mín. [4; 4]
O sea:
U = 4
Gráfico:
x2 = 4x1
x2Ensalada(Kg.)
0 ½ 1 2
Kg)
8
2
U = 4
U = 1
X1
Pescado(Kg.)
54
7. Alberto Fernández es un amante de los animales, tiene una predilección especial eigual por las gallinas y los zorros, de exhibición, de tal manera que su función deutilidad es la siguiente:
Tiene un galpón donde piensa criar las especies de su preferencia, dependiendo delos precios de mercado. Si Beto cuenta con un ingreso de S/.1600 y el precio de unagallina ornamental es de S/150, mientras que los zorros se venden a S/200 cadaejemplar, determine:
a) El equilibrio de Betob) Si el precio de las gallinas sube a S/225 ¿qué criará Beto?c) Si el precio de los zorros también se elevase a S/225 ¿cuál sería su decisión?
Solución
a) La función de utilidad de Beto denota el caso de bienes sustitutos perfectos que nopueden ser consumidos simultáneamente o no brindan la misma utilidad cuandose consumen juntos
La senda de expansión es:
La restricción presupuestaria:
Entonces,
)x;(. 21xMaxU
12 1xx
1800200150 21 xx
0;
p
m:equilibrioel
b
a
p
pcomo
12
1
55
Así
Es decir, obtendrá la máxima utilidad criando 12 gallinas y ningún zorro.
Gráfico4
4Esta función tiene curvas de indiferencia rectangulares similar a las de bienes complementariosperfectos, pero como se trata de bienes sustitutos perfectos, su trazo es exactamente opuesto.
x2 = 1x1 (senda de expansión)
0 3 6 9 12 Gallinas
12
9
6
3
U* = 12
U = 9
Zorros
A
0121
1
200
150;A:equilibrio
1800200150 21 xx
)x;(. 21xMaxU
56
b) Si sube el precio de las gallinas, la nueva restricción presupuestaria será:
En este caso
Entonces,
Gráfico
En este caso, se encontrará en equilibrio comprando 8 zorros y ninguna gallina
x2 = 1x1
0 3 6 8 9 12
12
9
6
3
U = 12
U* = 9
Zorros
Gallinasorros
B
1800200225 21 xx
22
1
p
m;0:equilibrio
b
a
p
p
901
1
200
225;B:equilibrio
1800200225 21 xx
57
8. Luis Valverde es un experto catador de Pisco Sour, pero su paladar sólo disfruta conla combinación exacta 3-2, es decir, 3 onzas de pisco con 2 onzas de limón. Luchitotiene un ingreso de S/. 1.200. Si el precio de la onza de pisco es de S/. 3,00, y el delimón, S/. 1,50; determine:
a) La función de utilidadb) El consumo óptimo de Juan. Grafiquec) El nivel de utilidad
Solución:
a) Las preferencias de consumo de Luis describen a dos bienes complementariosperfectos, así la función de utilidad es:
b) El consumo óptimo implica hallar las funciones de demanda
Si
Reemplazando x2 en la recta de balance, factorizando y despejando, se obtiene:
2,
3. 21 xx
MínU
21
1221
2
3
3
2
23
xx
yxxxx
mppx
mxpxp
211
1211
3
2
3
2
232
11 pp
mx
58
De modo similar, se obtiene x2:
Finalmente, se reemplazan los datos y se obtiene la canasta óptima (300, 200)
c) El nivel de utilidad óptimo se obtiene reemplazando las funciones de demandamarshalliana en la función de utilidad directa, reduciendo y seleccionando la querepresenta la demanda mínima.
21232 pp
mx
mppx
mxpxp
212
2221
2
3
2
3
3004
200.1
)5,1(3
200.1
321
x
2006
200.1
5,1)3(
200.1
232
x
2121
2123
232
1
2323
23
ppm
,pp
m.MínU
ppm
,pp
m
.MínU
59
Entonces, dado que los componentes son iguales, se toma cualquiera de ellas y sereemplazan los datos:
Gráfico
x2 = 2/3x1
x2
(Jugo Limón)
Onzas
0 100 150 200 300 400 x1
Pisco(Onzas)
800
200
100
U* = 100
U = 50
21 23 pp
mU
100
51233
2001
*U
),()(.
U
60
9. A Juan Rosado le gusta mucho el pan con pejerrey, sus caseros del Callao sabenque, como mínimo, él siempre prefiere dos pejerreyes por cada uno de los tantospanes con pejerrey que consume.
Determine:
a) Las demandas marshallianas de los bienes consumidos por Juanb) Las demandas compensadas de ambos bienesc) La función de utilidad indirectad) La función de gastoe) Las demandas marshallianas a través de la Proposición de Royf) Las demandas compensadas a través del Lema de Sheppard
Solución
a) Las preferencias de este consumidor muestran una relación decomplementariedad perfecta entre los bienes. Así, si x1 = pan y x2 = pejerrey, sufunción de utilidad, según el enunciado, será:
U = Mín. (x1, ½ x2)
Se sabe que:
U = x1y que: U = ½ x2
De estas igualdades se obtienen dos relaciones:
→ x1= ½ x2 … (α) y
x2= 2x1 … (β)
Para hallar la demanda marshalliana de x1, reemplazamos (β) en la restricciónpresupuestaria:
p1x1 + p2(2x1) = m
x1 (p1+ 2p2) = m
211 2p
m
px
61
Para obtener la otra demanda, se remplaza (α) en la restricción presupuestaria:
p1(½ x2 )+ p2x2 = m
p1x2 + 2p2x2 = 2m
x2 (p1+ 2p2) = 2m
b) Para obtener las demandas compensadas o Hikssianas planteamos el problemadual:
Luego, reemplazando (β) en la restricción:
Entonces, tomando el mínimo:
Similarmente, al remplazar (α) en la restricción:
Entonces:
½ x2 = Ū
212 2p
2m
px
UxxMínas
xpxpMin
),(.:.
.
221
1
2211
UxxMín )2,(. 11
UxxMín ),(. 2221
UUpx ),(1
UUpx 2),(2
62
c) La Función de utilidad indirecta se obtiene remplazando las demandas ordinariasen la Función de utilidad directa:
Luego, se toma el menor pero como ambos componentes son iguales:
d) La función de gasto se halla aplicando la dualidad, partiendo de la FUI, ydespejando. Así:
e) Aplicando la Proposición de Roy
Primero se hallan las derivadas requeridas:
2121 2p
2m)2
1(,2p
m.
ppMínU
21 2p
m),(
pmPv
)pp(U)U(p,e 1 22
22pp)U(P,e
U1
mm)v(P,
pm)v(P,
11
x
mm)v(P,
pm)v(P,
22
x
)pp(mv
)pp(
mp
v
)pp(
mp
v
21
2212
2211
2
1
2
2
2
63
Luego se remplazan en las fórmulas respectivas:
f) Aplicando Sheppard
21
21
221
1
2
2
12
ppm
)pp(
)pp(
m
)m,P(x
21
21
221
2
2
2
2
12
2
ppm
)pp(
)pp(
m
)m,P(x
11 p
)U,P(e)U,P(h
U)U,P(h 1
22 p
)U,P(e)U,P(h
U)U,P(h 22
64
10. Dada la siguiente función de utilidad:
a) Demuestre la Proposición de Royb) Demuestre el Lema de Sheppard
Solución:
a) Para demostrar Roy, primero se tiene que contar con la Función de utilidadindirecta, y ésta, a su vez, requiere de las demandas marshallianas.Partiendo de:
x11/2= x2
1/2
se establece que: x1= x2
Entonces, para obtener x1(p,m), se remplaza esta relación en la restricciónpresupuestaria, se factoriza y despeja:
p1 x1+ p2x1 = m
x1( p1+ p2) = m
De forma análoga, x2 resulta ser:
Remplazando en la función de utilidad directa:
2
1
21 ;. xxMínU
211 pp
mx
212 pp
mx
2
1
2121
;.
pp
m
pp
mMínU
65
Entonces:
Luego hay que hallar las demandas marshallianas a través de:
y
Para facilitar las derivaciones, hacemos que:
Luego se aplican las fórmulas respectivas y se reduce:
b) Demostración del Lema de Sheppard
Este Lema afirma que lafunción de demanda Hiksiana de un bien es igual a laderivada de la función gasto respecto al precio de dicho bien. Así:
2
1
21
),(
pp
mmPv
2121
23
21
21
21
21
212
1
23
212
1
1
)()2(2
1
)(2
1
),(pp
m
pp
m
ppm
ppmmPx
2121
23
21
21
21
21
212
1
23
212
1
2
)()2(2
1
)(2
1
),(pp
m
pp
m
ppm
ppmmPx
21
212
12
1
21
)(),(
ppmpp
mmPv
mm)v(P,
pm)v(P,
11
x
mm)v(P,
pm)v(P,
22
x
22
11
),(),(
),(),(
p
UPeUPh
p
UPeUPh
66
Entonces, dado que no se conocen las funciones de demanda Hikssiana, hay quehallarlas empleando la relación x2= x1;remplazándola en la función de utilidaddirecta:
Para x1:
Entonces,
Para x2:
Entonces,
Dado que xi ≡ hi estas funciones se pueden expresar como:
Luego, también hay que contar con la función de gasto. Entonces, a partir de laFUI:
Se recurre a v(P,m) ≡ U y m ≡ e(P,U), y se despeja:
UxxMín 2
1
11 ;.
Ux 2
1
1
21 Ux
UxxMín 2
1
22 ;.
Ux 2
1
2
22 Ux
2
1
21
),(
pp
mmPv
2
1
21
),(
pp
UPeU
)pp(U)U,P(e 21
2
21 U)U,P(h 2
2 U)U,P(h
67
Finalmente,
12.- Las preferencias de un consumidor se expresan mediante la función de utilidad:
U(x1, x2) = Mín. (3x1+x2, x1+2x2)
a) Halle las funciones de demanda marshalliana u ordinaria.b) Si el consumidor tiene un ingreso monetario de S/. 1.200, y los precios de los bienes
que consume son p1 = 2 y p2 = 3 ¿cuál es el nivel de utilidad que alcanzaría?. Grafiqueel equilibrio.
c) A partir del equilibrio de b), halle el nuevo equilibrio cuando el precio de x1 cae a p1’=
1. Grafique.
Solución
a) En este tipo de funciones se cumple que:
U = 3x1+x2 y U = x1+2x2,
Igualando, 3x1+x2= x1+2x2
Reduciendo, se obtienen las relaciones:
x1 = ½ x2 x2 = 2x1
Remplazando estas relaciones –una a la vez- en la restricción presupuestaria, se hallanlas funciones de demanda ordinaria:
→ p1(½ x2 ) + p2x2 = m → p1x1 + p2(2x1) = m
mp
x
)2
2p( 21
2mx )2p(p 211
212 2
2
pp
mx
211 2 pp
mx
2
2
21
2
2
2
1
21
2
1
Up
)pp(U)U,P(h
Up
)pp(U)U,P(h
68
b) Se hallan las cantidades demandadas de cada bien remplazando los datos en lasrespectivas funciones de demanda:
Luego, éstas se remplazan en la función de utilidad, obteniéndose:
U = Mín. (750, 750)
Entonces, U = 750
Gráfico. La representación gráfica de la función de utilidad se obtendrá de lasecuaciones del sistema:
La curva de indiferencia, formada por porciones de estas dos rectas, tiene un ánguloobtuso, y se intercepta con los ejes.
Las rectas se cruzan cuando se da la relación: x2 = 2x1.
X* (150, 300)
2x1+3x2 = 1.200
x2
0 150 250 500 600 750 X1
750
400
375
300
U = 600
300)3(22
)1200(2150
)3(22
120021
xx
750x2x
750xx3
21
21
69
c) Cuando p1 cae a 1, el instrumental analítico convencional para hallar el equilibrio muestrauna incongruencia, veamos porque:
Las demandas serían:
Luego, éstas se reemplazarían en la función de utilidad, obteniéndose:
U = Mín. [857.1; 857.1]
Entonces, U = 857
El sistema de ecuaciones que contendrá a esta U será:
Pero veamos que sucede en el gráfico:se observa que el supuesto equilibrio viola elprincipio de tangencia, pues la recta presupuestaria cruza el conjunto deconsumo interior. Entonces, el consumidor puede alcanzar un mayor nivel deutilidad. Así, la curva de indiferencia puede desplazarse hasta lograr la tangenciacon la recta de balance.Esto ocurrirá en el punto X*(1.200; 0), configurándoseuna solución esquina
X*(1.200; 0)
X (171; 343)
x1++3x2 = 1.200
0 171,4 285,6 400 857 1200
857
600
428,5400
342,9
U = 857
U * = 1200
x2
x1
9.342)3(21
)1200(24.171
)3(21
120021
xx
857x2x
857xx3
21
21
70
Concluiremos señalando que mientras la pendiente de la recta presupuestaria esté enel rango de las pendientes de las funciones lineales que conforman la curva deindiferencia, las demandas óptimas se obtienen mediante las funciones de demanda.En otro caso, tendremos soluciones esquina. Así:
),(32
1)
2
1 mpxusamosp
psia i
)0,(*02
1)
12
11
2
1
pmxxy
p
mx
p
psib
)0;200.1(*x2
1
3
1
p
p:casonuestroEn
)pm,0(*x0xy
p
mx3
p
psi)c
2
1
21
22
2
1
71
1.4. Efecto renta y efecto sustitución: Hicks, Slutsky
1. Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente:
Tiene un ingreso monetario de S/.972.50 y los precios de los dos únicos bienes queconsume son p1= 1.25 y p2= 5. 00. Si el precio de X1 sube a 1.50, determine elefecto renta y el efecto sustitución de la variación total del consumo de este bien,según Hicks y Slutsky.
Solución
Primero hallamos las funciones de demanda para encontrar las combinaciones óptimasde consumo, a través del Primal:
C.P.O.:
De (1) y (2):
Entonces,
y
21121 2),( xxxxxU
mxpxpas
xxxMax
2211
211
:.
2.
2211211 (2: xpxpmxxx
)3(...0
)2(...02
)1(...021
2211
212
121
xpxpm
pxx
pxx
2
1
1
2
2
21
p
p
x
x
)6...(2
)21(
1
221 p
xpx
)5...(
2
1
2
112
p
xpx
72
Luego, remplazándolas relaciones (5) y (6) – una a la vez - en la R.P, obtenemos lasfunciones de demanda marshallliana:
Tomando los datos, se encuentra que las canastas óptimas inicial y final, seránrespectivamente:
XA (390, 97) y XC (325, 97)
Al subir el precio del bien X1, el consumidor reduce el consumo de este bien, en 65unidades. Ahora, ¿Cuánto se debe al efecto sustitución y cuánto al efecto renta?
ER y ES según Hicks
Hicks señala que para identificar el ES o efecto precio, hay que compensar alconsumidor por la pérdida de su ingreso real, otorgándole un ingreso mayor, de modoque le permita obtener, con la nueva relación de precios, su nivel de utilidad original(U0). Esto lo consigue en el punto B del gráfico siguiente:
HICKS: Efectos Renta y Sustitución
C
X2B
X1B
B
325 390
A
U0 = 76,05
=
m´
97
U1
X1
X2
2
22
1
21 2
5,0
2
5,0
p
pmx
p
pmx
73
La utilidad inicial:
U0 = (390) + 2(390)(97)
U0 = 76,05
Para hallar los componentes de la canasta XB(x1B; x2
B), primero se halla elingreso compensador m’. Como XB se encuentra en U0 y el equilibrio se da conla recta presupuestaria que contiene a m´, entonces, los componentes de XB
satisfacen la relación:
U0 = x1B + 2 x1
Bx2B
Si
Entonces:
Remplazando por los datos y efectuando operaciones:
Factorizando, reduciendo y ordenando:
2
21
1
21
1
20
2
5,0'
2
5,0'2
2
5,0'
p
pm
p
pm
p
pmU
10
5,2'm
3
5,2'm2
3
5,2'm05.76
10
)5,2'(21
3
5,2'050.76
mm
5
)5,2'(
3
5,2'050.76
mm
2
2B2
11
2B1
p2
p5,0'mx
yp2
p5,0'mx
74
m’2 + 5m´ - 1’140.774 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática:
m’ = 1065,56
Remplazando m’ en las demandas marshallianas:
x1B = 356 y
x2B = 106.3
Por tanto,
ES = 390 - 356 = -34
ER = 356 – 325 = -31
ET = 390 – 325 = -65
ER y ES según Slutsky
Para hallar la canasta XB(x1B; x2
B), según Slutsky, se debe mantener constante lacapacidad adquisitiva del consumidor, esto implica compensar al individuo con uningreso ms ,tal que le permita adquirir nuevamente la canasta XA , que elegía antesque variara p1 (Ver gráfico). Pero, así, el óptimo ya no sería en XA sino en XB y conun nivel de utilidad mayor, U2 .
050.76
15
5,2' 2
m
750.140'15,2' 2 m
75
SLUTSKY: Efectos Renta y Sustitución
Con la rentamS y la nueva relación de precios, la canasta inicial, A(390; 97) esasequible para el consumidor, entonces:
ms = p11x1
A + p20x2
A
ms = 1.5 (390) + 5(97)
ms = 1,070
Luego, remplazando ms en las funciones de demanda, obtenemos:
X1B = 357.5~ 358
X2B = 106.75~107
Por tanto,
ES = 390 – 358 = -32
ER = 358 – 325= -33
ET = 390 – 325= -65
C
X2B
X1B
Bs
325 390
A
U0 = 76,05
=
ms
97
U1
X1
X2
U2
76
2. La función de utilidad de un consumidor es la siguiente:
Su ingreso es de S/. 1500, los precios iniciales de los bienes que consume son p1= 5y p2= 10. Si el precio de X1 se reduce a p1
1= 3, se le pide halar las cantidadesdemandadas de cada bien a través de:
a) Las funciones de demanda Marshallianas u ordinarias. Grafiqueb) Las funciones de demanda Hiksianas o compensadas a lo Hicksc) Las funciones de demanda Slutskyanas o compensadas a lo Slutsky.
Solución
a) Funciones de demanda ordinarias
Se formula el primal:
C.P.O.:
De (1) y (2):
Entonces,
22/3
121 ),( xxxxU
mxpxpas
xxMax
2211
22/3
1
:.
.
221122/3
1 (: xpxpmxx
)3(...0
)2(...0
)1(...02
3
2211
22/3
12
122
1
11
xpxpm
pxx
pxxx
2
1
1
2
2
3
p
p
x
x
)6...(2
3
1
221 p
xpx )5...(
3
2
2
112 p
xpx
77
Luego, reemplazando (5) y (6) , en la R.P, obtenemos las demandas marshalllianas, así:
Al remplazar los datos, se obtienen las cantidades demandadas, inicialmente, de cadauno de los bienes:
Asimismo la utilidad máxima será:
Cuando se produce la reducción del precio del bien x1, las cantidades demandadasserán:
mp
xppxp
2
11211 3
2
mxp 35 11
11 5
3
p
mx
mxpp
xpp
22
1
221 2
3
mxp 25 22
22 5
2
p
mx
180)5(5
)1500(31 x
60)10(5
)1500(22 x
11
c1
p5
m3x
2,144897U
60180U
0
2/30
78
b) Las funciones de demanda compensada a lo Hicks
Se formula el dual:
C.P.O.:
De (1) y (2):
Entonces,
300)3(5
)1500(3x C
1
60p5
m2x
02
c2
Uxx:a.s
xpxp.Min
22/3
1
2211
)xxU(xpxp: 22/3
12211
)3(...0
)2(...0
)1(...02
31
22/3
1
2/312
2
22
1
11
xxU
xpx
xxpx
1
2
2
1
x
x
2
3
p
p
)6...(2
3
1
221 p
xpx
)5...(3
2
2
112 p
xpx
79
Luego, se reemplaza (5) en (3):
Asimismo, se remplaza (6) en (3):
Remplazando los datos:
Up3
xp2x
2
112/31
5
2
1
21 U
p2
p3x
Uxp2
xp32
2
3
1
22
5
22
3
2
12 U
p3
p2x
Up3
p2x
2
12/51
Uxp2
p32
5
2
2
3
1
2
5
2
1 )U()5(2
)10(3x
5
2
1 205,144897()5(2
)10(3x
180x1
80
c) Las funciones de demanda compensada a lo Slutsky
La compensación cuando se reduce el precio del bien, según Slutsky, implicareducir el gasto del consumidor –a los precios finales- hasta que la canastainicial (xA) sea accesible
Gráfico. Compensación según Slutsky
En el gráfico se observa que la canasta óptima final no será XA sino XB con unnivel de utilidad (U2) mayor a U0, asimismo, que ambas canastas seránaccesibles a la renta m1, por tanto se cumple que:
p11x1
A + p20x2
A = p11x1
B + p20 x2
B
U0
m0
m1m0
150
60
U2
XB
180 500
XA
300228
46
XC
P10>P1
1
U1
5
22
3
2 )205,144897()10(3
)5(2x
60x 2
X1
X2
81
Asì, el planteamiento para determinar las demandas compensadas a lo Slutskyimplica hallar la canasta XB , de tal modo que el problema a resolver será5:
C.P.O.:
De (1) y (2):
Entonces,
Luego, reemplazando (5) y (6) , en la restricción, obtenemos las funciones dedemanda compensada a lo Slutsky:
5Con fines de facilidad algebraica suprimimos el superíndice B, es decir, hacemos que X(x1; x2) ≡X
B(x1B; x2
B )
22/3
1 xx.Max
)xpxpxpxp(xx: 20
211
1A
20
2A
11
122/3
1
)3(...0
)2(...0
)1(...02
3
20
211
120
211
1
02
2/31
2
1122
1
11
xpxpxpxp
pxx
pxxx
BAA
02
11
1
2
p
p
x
x
2
3
)6...(p2
xp3x
11
20
21
)5...(p3
xp2x
02
11
12
20
211
1A
20
2A
11
1 xpxpxpxp:a.s
02
1110
211
1A
20
2A
11
1p3
xp2pxpxpxp
3
xp5xpxp 1
11A
20
2A
11
1
82
Al remplazar los datos en las demandas compensadas a lo Slutsky, se obtendránlas cantidades demandadas de la canasta XB, así:
)3(5
)60)(10(3
5
)180(3x1
5
)60(2
)10(5
)180)(3(2x 2
11
A2
02
A1
1p5
xp3
5
x3x
20
211
2021
1A
20
2A
11
1 xpp2
xp3pxpxp
2
xp5xpxp 2
02A
20
2A
11
1
5
x2
p5
xp2x
A2
02
A1
11
2
6,45x
246,21x
2
2
228x
120108x
1
1
83
3. Pedro pescador es un amante del pescado pero sólo consume pejerrey y bonito. Suspreferencias son invariables y siempre esta dispuesto a intercambiar 3 Kg. depejerrey por un Kg. de bonito sin que se altere su utilidad. Su presupuesto paracomprar estos bienes es S/ 200, el pejerrey le cuesta S/ 2/Kg. y el bonito, S/ 8/Kg.
Bajo estas consideraciones se le pide que:
a) Plantee la función de utilidad de Pedrob) Encuentre la canasta de consumo que le reporta la máxima utilidad. grafiquec) Si el precio del pejerrey sube a S/ 4/Kg., su consumo disminuye ¿cuánto es
debido al efecto sustitución y cuánto al efecto renta?. Analice según Hicks ySlutsky.
Solución
a) Para Pedro los bienes que consume son sustitutos perfectos, por tanto su funciónde utilidad responde a la expresión siguiente:
Donde:
x1 : pejerrey (Kg.)x2 : bonito (Kg.)
Puesto que el consumidor esta dispuesto a sustituir1 Kg de bonito (x2) por 3 Kgde pejerrey (x1), entonces:
Así, la función será:
y sus transformaciones monótonas crecientes6
6Por ejemplo:
.etc
x9x3U
x3
xU
21
21
2121 bxax)x,x(U
21 x3x
2121 x3x)x,x(U
84
b) En este caso, dado que la función de utilidad es una recta, se tendrá una soluciónesquina, y su determinación dependerá de las pendientes de la función deutilidad y de la recta presupuestaria.
Comparando pendientes:
Pendiente U(X): Pendiente R.P.:
1/3 > 1/4
La pendiente de la función de utilidad es mayor que la de la restricciónpresupuestaria. Entonces, el gráfico siguiente nos ayudará a fijar el óptimo:
Gráfico. Equilibrio de bienes sustitutos perfectos
Así, su consumo óptimo será de 100 Kg de pejerrey y nada de bonito (punto A).Por tanto, su utilidad será:
U0 = 100 +3(0)
100
25
Pejerrey(Kg)
U’’
U’
A(100, 0)
Bonito
(Kg.)U0= 100
75
21 3xxU 21 82200 xx
85
U0 = 100
c) Para el cálculo de el Efecto sustitución (ES) y el Efecto renta (ER), cuando elprecio del pejerrey sube a S/ 4/Kg., primero hallamos el nuevo equilibrio.
En el gráfico adjunto, se observa que el nuevo equilibrio se dará en el punto C –donde Pedro consume 25 Kg de bonito y nada de pejerrey- este cambio radicalen su consumo se da porque, en esta nueva situación, la pendiente de larestricción presupuestaria es mayor que la pendiente de la función de utilidad(1/2 > 1/3).
Por tanto, para Pedro, el Efecto Total (ET) del incremento del precio del pejerreyserá el descenso de su consumo en 100kg.
ES y ER según Hicks
Para este caso el análisis en el gráfico inferior es suficiente. Partiendo de lasituación final,C(0; 25), hay que compensar el consumidor con un ingreso que lepermita recuperar el nivel de utilidad inicial U0; entonces, trasladando la recta debalance azul hacia la derecha se alcanza a U0 – por tanto el equilibrio- en el puntoB(0; 33,3).
100
25
Pejerrey(Kg)
U1=75
C(0,25)
A(100, 0)
Bonito
(Kg.)
U0
7550
ET
)tan( ACciadisla
86
Así, el ES, variación de la demanda de A a B, es de 100 Kg.; mientras que el ER,variación de la demanda de B a C, es igual a cero
Por tanto,ET = ES + ER
La compensación de Hicks le permitirá al consumidor alcanzar el nivel deutilidad U0 = 100
ES y ER según Slutsky
La compensación de Slutsky, cuando el precio del pejerrey sube y su equilibriopasa de la canasta A a la C, consiste en restituir la capacidad adquisitiva alconsumidor, otorgándole un ingreso que le permita comprar otra vez la canastainicial A.
B(0; 33,3)33,3
25
Pejerrey(Kg)
U1
C(0; 25)
A(100; 0)
Bonito
(Kg.)
U0
75 10050
ET
ES
BCABAC
0100100
87
Aplicando el procedimiento compensador de Slutsky, en el grafico se observaque la recta que representa este mayor ingreso, que hace asequible a A, no estáoptimizando con U0, pues el consumidor puede alcanzar una “curva” deindiferencia más alta, en este caso U2, logrando el equilibrio esquina con lacanasta óptima B(0; 50).
Por tanto,ET = ES + ER
En este caso los ES y ER son iguales a los hallados para Hicks, pero con ladiferencia de que el efecto de la compensación de Slutsky le significará alconsumidor alcanzar un nivel de utilidad mayor, pues su utilidad será U2 =150
50B(0; 50)
33,3
25
Pejerrey(Kg)
U1
C(0,25)
A(100, 0)
Bonito
(Kg.)
U0
75 10050
ET
ES
U2 = 150
BCABAC
0100100
88
1.6.Variación Compensada y variación Equivalente
1. Cierta persona tiene un ingreso monetario de S/ 1.500, que los destina al consumo deagua y hortalizas. La satisfacción que obtiene del consumo de estos bienes, seexpresa a través de la función:
El agua le cuesta S/ 1,50 el m3, mientras que las hortalizas le significan undesembolso de S/ 12 por kilo. Si por justificaciones de rentabilidad SEDAPALdecide incrementar el m3 de agua a S/ 2,00; determine:
a) Si los bienes son normales o inferiores.b) ¿Cual debería ser el subsidio que tendría que otorgarle el gobierno a fin de que el
consumidor no vea modificado su bienestar?.c) Si el gobierno, por razones políticas, decide no incrementar el precio del agua
¿cuál debería ser el impuesto que tendría que aplicar el gobierno si quiere tenerun resultado equivalente en términos de bienestar?
Solución
a) Para determinar si los bienes son normales o inferiores se debe hallar el efectorenta. Por tanto se empieza hallando las funciones de demanda marshalliana através del primal:
C.P.O.:
222121 30),( xxxxxU
mxpxpas
xxxMax
2211
2221
:.
30.
)xpxpm(xx30x: 22112
221
)3(...0
)2(...0230
)1(...01
2211
222
11
xpxpm
pxx
px
89
De (1) y (2):
Entonces, se despeja x2, y en vista de que x1 no aparece en la relación, se concluyeque ésta es la demanda marshalliana:
Luego, remplazando x2 en la R.P, y despejando, obtenemos la demandamarshallliana de x1:
Reemplazando los datos en las funciones de demanda halladas, se encuentra que lascanastas óptimas inicial y final son, respectivamente:
A (912; 11), C (678; 12)
Para el cálculo del efecto renta (y el efecto sustitución) se recurre al análisis de Hickso Slutsky
Al subir el precio del agua, el consumidor merma su bienestar, ahora la U0 inicialcompatible con la canasta A le es inaccesible, tiene que conformarse con un menornivel de utilidad, U1, concordante con C. Según Hicks, para identificar el ER y el ES,
2
1
2 p
p
x230
1
1
22 2
15p
px
mp
ppxp
1
2211 2
15
2
1
2
1
2
11 2
115
p
p
p
p
p
mx
mp
ppxp
1
22
211 215
90
hay que compensar al consumidor con un ingreso que le permita recuperar U0 (vergrafico adjunto).
HICKS: Efectos Renta y Sustitución
Las cantidades consumidas en la canasta B son desconocidas pero se conoceque responden a las funciones de demanda, así:
Reemplazando los datos, se tiene que:
12
1000X 1
Agua (m3)
m´
m
A11
B
678 750
C
U0 = 1.121
X2
(Kg.)
U1
912905
11
2B2
2
11
21
1
2B1
p2
p15x
p
p
2
1
p
p15'mx
122
144'21
BB x
mx
91
Asimismo, se sabe que la canasta B se encuentra en U0, entonces, remplazandosus componentes se determina el valor de m’ (previamente se halla U0,remplazando los elementos conocidos de la canasta A):
Entonces, tomando los componentes de la canasta B:
Luego,
Asi,
ET = 678-912 = -234ES = 905-912 = -7
ER = 678-905 = -227
Por tanto, se constata que el consumo de agua (bien x1) disminuye cuando elingreso disminuye de m’ a m, tipificando el caso de un bien normal. Por otrolado, se observa que el consumo de hortalizas (bien x2) se mantiene constante aldisminuir el ingreso, es decir, se mantiene neutro con respecto al ingreso.
b) En este caso se tiene que hallar la variación compensada (VC), que es el ingresoadicional que permite al consumidor alcanzar- tras la variación del precio de uno delos bienes- nuevamente U0. La VC está representada en el grafico inferior por lafranja de color verde.
121.1U
111130912U
0
20
121.11212302
144' 2
m
954.1' m
9052
144954.11
Bx
92
La Variación compensada
La VC se puede hallar a través de la FUI o de la Función de gasto:
Empleando la Función de utilidad indirecta: v(P, m)
Al remplazar las demandas marshallianas en la función de utilidaddirecta y reducir, hallamos que:
En el gráfico, se observa que la renta m’ esta asociada a la canasta B.Asimismo, el vector de precios relacionado a B es P1, y B se encuentraen U0, entonces en base a la dualidad se valida que U0≡v(P1, m’),entonces, la FUI para nuestro propósito es:
12
X 1
Agua(m3)
m’
m0
A11
BC
U0 = 1.121
X2
(Kg.)
U1
912905
VC = m’-m0
22525,015'
)',(
2
11
21
1
201
p
p
p
pmUmPv
22525,015
),(2
1
2
1
2
p
p
p
pmmPv
93
Al remplazar equivalencias (m’= m0+VC) y datos, la expresión se reducea mostrarnos el valor de la VC:
Empleando la Función del gasto: e(P; U)
La función de gasto general responde a la expresión:
La variación compensada se define como:
Recurriendo a la dualidad:
Remplazando por las fórmulas respectivas, los datos y despejando:
Por lo tanto, el subsidio necesario será de S/ 454
211
22
1 1522525,0),( ppp
pUpUPe
mmVC '
)U,P(e)U,P(eVC 0001
)p(15)p(225
p
)p(25,0Up)p(15)p(225
p
)p(25,0UpVC 2
010
1
2200
121
111
2201
1
1805,337245,681.1180450182242VC
500.11954VC
454VC
2252
1225,0
2
)12(1520
0
VCmU
2342
1801500121.1
VC
454VC
94
c) Para lograr el mismo efecto de un incremento del precio del agua, es decir,reducir la utilidad del consumidor al nivel U1 sin que varíen los preciosiniciales, tenemos que aplicar un impuesto. Su cálculo implica hallar laVariación Equivalente (VE)
La Variación Equivalente
Análogamente a la VC, la VE se puede hallar a través de la Función de utilidadindirecta o de la Función del gasto, así:
La VE a través de v(P,m)
Se sabe que: VE = m0 -m’
Entonces, m’ = m0 -VE
En el gráfico, en la canasta D se cumple que:
12
X 1
Agua (m3)
m0
A11
C
U0 = 1.121
X2
(Kg.)
U1
912
VE = m0-m’
DC
m’ m0
U1 = 678+30(12) -122
= 894
21
225p
p25,0
p
p15'mU)'m,P(v
2
1
2
1
210
95
Remplazando los valores y equivalencias conocidos, y despejando:
VE a través de e(P,U)
Hallar la VE empleando la función de gasto implica el proceso siguiente:
Como, VE = m0 - m’
Por dualidad:
Remplazando las Funciones de gasto respectivas, los datos, y reduciendo:
Así el impuesto que tendría que aplicar el gobierno si no varía el precio del agua- ylograr el objetivo propuesto- es del orden de S/ 340,5.
2255,1
1225,0
5,1
)12(15)(20
1
VEmU
225165,1
180)500.1(894
VE
6535,1
)320.1(
VE
5,340VE
)U,P(e)U,P(eVE 1000
)p(15)p(225
p
)p(25,0Up)p(15)p(225
p
)p(25,0UpVE 0
20
101
20210
10
20
101
2200
1
1805,33724341.11805,337245,681.1VE
5,159.1500.1VE
5,340VE
96
2. A cierta persona le gusta sobremanera los jugos de lúcuma pero cada vaso de jugotiene que ser preparado con la combinación única de dos lúcumas con ½ litro deleche. Cuenta con una renta de S/ 120 y los precios de los bienes que consume sonS/1.25 cada lúcuma y S/. 3.00 el litro de leche. Posteriormente, el precio del litro deleche se reduce a S/ 2.50. Con esta información se pide:
a) Formular la función de utilidad de esta personab) Determinar la máxima utilidad que obtiene bajo las condiciones iniciales.
Grafique.c) Indicar si existen diferencias entre los puntos de vista de Hicks y Slutsky
respecto a los efectos renta y sustitución cuando varía el precio de la leche.d) Para el Estado, cuando el precio de un bien se reduce, la “compensación” –
según Hicks o Slutsky- implica reducir los ingresos a través de un impuesto,señale cuál de las dos le es más conveniente.
e) Hallar la variación compensada empleando v(P,m) y e(P,U). Grafiquef) Hallar la variación equivalente empleando v(P,m) y e(P,U). Grafique.
Solución
a) La función de utilidad implica el consumo de los bienes en proporciones fijas,cualquier cantidad adicional de uno u otro bien será redundante. La expresiónmatemática será:
El parámetro “a” corresponde a la utilidad que logra el consumidor con unalúcuma, en este caso, la mitad; del mismo modo, el parámetro “b” se obtendrá dela relación entre una unidad de consumo de x2 y las unidades de utilidadobtenidas, así, si ½ litro de leche equivale a 1 unidad de utilidad (1 vaso),entonces, 1 litro de leche equivale a 2 unidades de utilidad. Por tanto la funciónde utilidad será:
b) Para determinar la máxima utilidad del consumidor, antes se deben conocer lascantidades óptimas de consumo, entonces:
Se sabe que:
2121 2;
2
1.),( xxMínxxU
2121 ;.),( bxaxMínxxU
97
Remplazando estas equivalencias en la restricción presupuestaria, obtenemos lasfunciones de demanda ordinarias:
Empleando los datos encontramos la canasta óptima del consumidor:
Luego, la utilidad que obtendrá será:
44
22
1
1221
21
xxxx
xx
m4
xpxp 1
211
m4xpxp4 1211
m4pp4x 211
211 pp4
m4x
212 pp4
mx
mxpx4p 2221
mpp4x 212
608
480
0.3)25.1(4
)120(4x 1
158
120
0.3)25.1(4
120x 2
98
Reemplazando datos,
Gràfico. Equilibrio consumidor: bienes complementarios perfectos
c) Las diferencias entre Hicks y Slutsky con respecto a los efectos renta (ER) ysustitución (ES) en la demanda cuando el precio del litro de leche baja a S/2.50, se analizaran en términos gráficos
A15
40
Lúcuma(Kg)
Leche
(Lt.)
U0 = 30
60 96
21
0
4
2
pp
mU
30U 0
)pp4
m(2);
pp4
m4(
2
1.MínU
2121
0
2121
0
pp4
m2;
pp4
m2.MínU
)3()25,1(4
)120(2U 0
8
240U0
99
ER y ES según Hicks
Al caer el precio de la leche, el consumidor optimiza en C(64; 16), elevando sunivel de utilidad a U1 = 32. Así, la variación total en el consumo de leche será elincremento en 1 litro. Para determinar cuánto es debido al ER ycuànto al ES,según Hicks, se debe reducir la restricción presupuestaria que contiene losprecios finales, hasta que el consumidor recupere el nivel de utilidad U0, esto lologra cuando se da la tangencia en el punto B (que coincide exactamente con lacanasta inicial A).
Gràfico. ER y ES según Hicks
Por tanto,ET = ES + ER
Según Hicks, la reducción del precio de la leche en S/. 0,50 , hará que elconsumidor demande 1 litro menos de leche, esta reducción del consumo se debeúnicamente al ER, pues el ES es cero.
9660 64
A= B
48
40
C
1615
Lúcuma(Kg)
Leche
(Lt.)
U0 = 30
U1 = 32
BCABAC
101
100
ES y ER según Slutsky
Para hallar el ES y el ER, Slutsky nos dice que hay que compensar al consumidormanteniendo su ingreso real constante, así, hay que reducir su ingreso hasta que suconsumo retroceda y le permita, otra vez, consumir la canasta inicial A. Como seobserva en el gráfico inferior esto se logra trasladando la recta de balance azul haciael origen hasta que se da la tangencia en el punto B (=A).
Gràfico. ER y ES según Slutsky
Entonces,ET = ES + ER
En este caso, se observa que los ER y ES de Slutsky coinciden exactamente conlos de Hicks.
48
40
C
A= B
1615
Lúcuma(Kg)
Leche
(Lt.)
U0 = 30
96
U1 = 32
60 64
BCABAC
101
101
d) Para determinar cuál de las imposiciones –según Hicks o Slutsky- es másconveniente para el Estado se deben hallar las nuevas rentas.
Según Hicks, al reducir la renta hasta m’, se alcanza U0 y se compra la canastaB, entonces:
Reemplazando los datos y despejando:
Entonces, el impuesto (t) según Hicks es:
En el caso de Slutsky:
Reemplazando los datos:
Así, el impuesto, según Slutsky:
'mmt 0
12
01
0
pp4
'm2U
5,2)25,1(4
'm230
5,112'm
5,112120t
5,7t
A2
12
A1
01 xpxp''m
)15(5,2)60(25,1''m
5,112''m
5,112120t
5,7t
''mmt 0
102
Por tanto, los enfoques de Hicks y de Slutsky tienen el mismo efecto tributariopara el Estado.
e) En este caso, según el gráfico inferior, la Variación compensada responde a lasiguiente relación:
VC = m0 - m1
Entonces,
m1 = m0 - VC
Gràfico. VC de bienes complementarios perfectos
VC a través de la FUI
La FUI del consumidor en B:
48
40
A= B
1615
Lúcuma(Kg)
Leche
(Lt.)
U0 = 30
96
U1 = 32
60 64
m0
m1 m0
12
01 pp4
'm2)'m,'P(v
103
Aplicando las equivalencias y reemplazando los datos:
VC a través de la Función de gasto
En general, la función de gasto:
En el punto B:
Reemplazando datos:
La renta inicial m0 está relacionada con las funciones de gasto:
5,2)25,1(4
)VCm(2U)'m,'P(v
00
5,7
)VC120(230
5,112120VC
5,7VC
2
)pp4(U)U,P(e 21
11
20
10
0 m2
)pp4(U)U,'P(e
00
20
10
00 m2
)pp4(U)U,P(e
01
20
11
11 m2
)pp4(U)U,P(e
5,112'm
2
5,730'm
2
5,2)25,1(430'm
104
Reemplazando datos:
Entonces,
f) En este caso la VE vendría a ser la renta adicional que habría que darle alconsumidor para que alcance el nivel de utilidad U1, si es que los precios inicialesno variasen. Su cálculo implica desplazar la recta presupuestaria inicial hasta quesea tangente a U1.
En el gráfico inferior se aprecia que la VE viene a ser un subsidio, y estárepresentada por la franja amarilla.
5,75,112120
),(),( 0111
UpeUpeVC
5,75,112120
),(),( 0100
UpeUpeVCó
000 m2
3)25,1(430)U,P(e
000 m2
830)U,P(e
120m 0
011 m2
5,2)25,1(432)U,P(e
0110 m2
5,732)U,P(e
120m 0
105
Grafico. VE de bienes perfectamente complementarios
Así,VE = m1 - m0 m1= m0 + VE
VE a través de la FUI
En D, la FUI es:
Reemplazando valores y despejando:
C= D
48
40
A
1615
Lúcuma(Kg)
Leche
(Lt.)
U0 = 30
96
U1 = 32
60 64
m0
m1
m0
1202
256VE
328
)(2 0
VEm
8VE
1
02
01
0
4
'2)',( U
pp
mmPv
106
VE a través de e(P,U)
Como se ha visto:
VE = m1 - m0
),(),( 0010 UPeUPe
2
)4(
2
)4( 02
01
002
01
1 ppUppU
2
)8)(30(
2
)8)(32(
8VE
120128
107
1.6. Elasticidad
1. La curva de demanda de un bien tiene elasticidad constante e igual a -2(isoelástica). Al precio de S/. 8 se demandan 750 unidades. Con esta informaciónse pide:
a) Formular la función de demandab) Demuestre la isoelasticidad cuando el precio es S/. 5c) Determine el equilibrio de mercado si la oferta es p = 0,01Xd) Si otro bien (Y) que tiene una elasticidad cruzada con nuestro bien (X) igual a
0,9, sube de precio en 15% ¿cómo varia el equilibrio del mercado?
Solución:
a) La función de demanda de este tipo de bienes responde a la forma:
La elasticidad de esta función de demanda es:
Entonces,
Reduciendo:
Luego, hallamos el parámetro k reemplazando (p, X) ≡ (8, 750) en la función dedemanda:
p
kXd
pk
p
p
k
X
p
p
X1d
d
p
2
pk
p
p
k1
2k
p
p
k 1
1
2
108
Entonces,
b) Si p =5 , entonces
c) Equilibrio de mercado
Equilibrio:
2)8(
k750
000.48k
64750k
2d
p
000.48X
2d
)5(
000.48X
920.1Xd
23p
)5(000.48
5
)5(
000.482
2p
01,0
pX
p
000.48X o
2d
01,0
p
p
000.482
480p3
109
d) Si Єx,y = 0,9 se trata de bienes sustitutos
De la fórmula de єx,y:
La nueva función de demanda:
El nuevo equilibrio:
5,13
%159,0
P%.X% YY,X
783X83,7p
)135,1(p
000.48X
2
'd
2
'd
p
480.54X
01,0
p
p
480.542
8,544p3
8,544p3
8177,816
17,8
X
p
110
2. Los productores de maíz están proyectando la demanda de su producto, paraestimar las siembras de los próximos 4 años. Se tienen los siguientes datos de lasvariables más importantes que afectan la demanda:
Años Precio (US$/TM) Ingresos Promedio (US$)Año 0 90 850Año 1 105 850Año 2 100 1020Año 3 90 918Año 4 95 1092
Si las elasticidades precio e ingreso son –0.8 y 1.2, respectivamente; y lademanda actual (Año 0) es de 117,500 TM., determine:
a) Los niveles de producción futura.b) El maíz importado que compite con el nacional (aunque este último es más
apreciado) mantiene constante su precio,de $85/TM , hasta el año 3. El año 4sube a $93.5/TM. Si la elasticidad cruzada es de 0.8, cómo se verá afectada lademanda?.
Solución:
a) La producción futura
Las fórmulas de las elasticidades precio (єp) e ingreso (єp) son:
Año 1:
De la fórmula de Ep:
P
Xp %
%
m
Xm %
%
3,13
67,168,0
%.% 11
PX p
111
De la fórmula de Em:
Año 2:
De la fórmula de Ep
De la fórmula de Em
Año 3:
De la fórmula de Ep
De la fórmula de Em
Año 4:
De la fórmula de Ep
De la fórmula de Em
%8,3
%76,48,0
%.% 22
PX p
%24
%202,1
%.% 22
mX m
%12
%102,1
%.% 33
mX m
%8
%108,0
%.% 33
pX p
%44,4
%56,58,0
%.% 44
pX p
%74,22
%95,182,1
%.% 44
mX m
0
02,1
%.% 11
mX m
112
Entonces, la demanda proyectada:
b) La elasticidad cruzada de la demanda del maíz nacional (Xn) respecto del precio delmaíz importado (Pi) se formula como:
Si la información proporcionada nos dice que:
єn,i = 0.8
%Pi= 10%
Remplazando estos datos en (α):
% Xn= 0.8 *10
= 8%
Entonces, el año 4 la demanda nacional aumentaría, adicionalmente, 8%.
Años ∆ % Xdebido a єp
∆ % Xdebido a єm
∆%XTOTAL
DemandaProyectada
01234
-13,33,88,0
-4,44
024-12
22,74
-13,327,8-4,018,3
117.500101.837130.147124.941147.468
)(%.%
%
%
,
,
iinn
i
n
in
PX
P
X
113
3. El jefe de cocina de un restaurante se abastece periódicamente de tres insumos. Elrestaurante tiene el siguiente registro de las compras:
insumo 1 insumo 2 insumo 3 .PrecioCantidad PrecioCantidad PrecioCantidad
Antes 10 1200 2 90 24 3,800Después 8 1500 2 105 24 3,100 .
En base al concepto de elasticidad cruzada ayúdelo a identificar a que biencorresponde cada uno de los datos presentados, si sabe que los bienes comprados sonfósforos, gas y kerosene.
Solución:
Como el insumo 1 es el que varía de precio, se debe analizar la elasticidad cruzada deeste insumo con respecto a la demanda de los otros insumos para saber si sonsustitutos o complementarios.
Se sabe que la fórmula de la elasticidad cruzada es:
Así, la elasticidad cruzada entre los insumos 2 y 1:
Entonces, de acuerdo al signo, los bienes son complementarios
Asimismo, la elasticidad cruzada entre los insumos 3 y 1:
jj
iij,i P/P
X/X
83,010/2
90/15
P/P
X/X
11
221,2
11
331,3 /
/
PP
XX
114
En este caso, los bienes son sustitutos
En conclusión, según los resultados, el insumo 2 es complementario del insumo 1, yel insumo 3 es su sustituto; por tanto, de acuerdo a la naturaleza de los insumos, elinsumo 1 sería kerosene, el insumo 2, fósforos, y el 3, gas.
4.7El año pasado, la producción nacional de leche fue de 200.320 TM .mientras que elconsumo 237,421 TM.
Para el presente año, el gobierno tiene previsto incrementar el ingreso real de lapoblación en un 10%. Se sabe que cada año el consumo se incrementa 2%, y que laelasticidad ingreso de la leche es de 0,75. Además se conoce que fruto de losavances genéticos por inseminación artificial, la producción aumentará 15%. Basadoen esta información, determine si:
a) ¿Será suficientemente abastecido el mercado nacional por la produccióninterna?.
b) ¿Se reducirán o incrementaran las importaciones?.¿en cuánto?
Solución
a) Variación de la demanda nacional
Para calcular la variación de la demanda de leche debido al incremento delingreso, se recurre al concepto de elasticidad ingreso de la leche:
Donde:
7 UNA-La Molina. Curso Análisis Microeconómico. A. Ortíz
m%
X% LL,m
921,010/2
3800/700
115
Єm,L = elasticidad ingreso de la lecheΔ%XL = variación porcentual de la demanda de lecheΔ%m= variación porcentual del ingreso
Entonces:
Reemplazando datos:
La demanda nacional, por efecto del aumento del ingreso, aumentará 7,5%, a loque habría que agregarle el 2% de incremento natural anual, en consecuencia,en total, la demanda aumentará 9,5%.
O sea, la demanda nacional será: 259.976 TM. (237.421*1,095)
Por otro lado, la producción interna será: 230,368 TM. (200.320*1,15).
Entonces, la producción nacional será insuficiente.
b) El año pasado se importaron 37.101 TM (237.421 - 200.320)
Este año se tendrá que importar 29.608 TM. (259.976-230.368)
Por lo tanto, las importaciones se reducirán en 7.493 TM, esto es, el 20,2% de loimportado el año pasado.
5. Un consumidor destina todo su ingreso, en partes iguales, al consumo de dos bienes:X1 y X2. Si la elasticidad cruzada de los bienes es Є2,1 = 1, determine ¿cuál es laelasticidad precio del bien X1?.
Solución:
En la restricción presupuestaria:
m = p1X1 + p2 X2
m%X% L,mL
%5,7
1075,0X% L
116
Determinamos, matemáticamente, el efecto de un cambio en el precio de X1:
Si en el 2° miembro, realizamos un artificio que no alterará la expresión:
Asociando términos, en la expresión identificamos Єp,1 y Є2,1:
Luego, reemplazando,
Se obtiene:
Despejando Єp,1:
Finalmente, como el gasto en ambos bienes son iguales
1
22
1
111
1 p
Xp
p
XpX
p
m
1
2
2
1
1
22
1
1
1
111
1 p
X
X
p
p
Xp
X
X
p
XpX
p
m
1
2
2
1
1
22
1
1
1
111
1 p
X
X
p
p
Xp
X
p
p
XXX
p
m
1
221,11 10
p
XpXX p
11
221,p Xp
Xp1
111,p
21,p
,10 1,1
pyp
m
117
6. Si la demanda de cierta bebida espirituosa responde a la función:
Ln X = 10 - P0.5
Determine la elasticidad precio de la demanda cuando el precio baja de S/. 16.00 aS/. 15.21
Solución
Demanda cuando P = 16 :
Ln X = 10 – (16)0.5
Ln X = 10 –4
Ln X = 6
X = e6
X = 403.43
Demanda cuando P = 15.21 :
Ln X = 10 – (15.21)0.5
Ln X = 10 – 3. 9
Ln X = 6.1
X = e6.1
X = 445.86
Entonces
X
p
p
Xp
43,403
16
21,1516
43,40386,445p
)03966,0(79,0
43,42p
13,2p
118
7. El mercado del bien Y tiene las funciones de demanda y oferta siguientes:
a) Halle el equilibrio del mercado. Grafique.b) Encuentre la elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio.c) Calcule el excedente del consumidor. Grafique
Solución:
a) Equilibrio del mercado:
Punto de equilibrio:
Gráfico. Equilibrio del mercado
P
5,0d Y14p
2Ypo
2YY14 5,0
od pp
22YY14
010Y3Y 2
2'Yy5Y
5Y
3p
024 5 68101214
4
3
2
1
0
119
b) La elasticidad precio de la demanda en el punto de equilibrio
Hallando
Entonces,
Remplazando:
c) Excedente del consumidor
Como
Entonces:
Luego, el EC:
3pd
3Y14 5,0
9Y14
5Y
Y
P
P
Yp
P
Y
)1()514(5,0 5,0
Y
P
3
5,0
Y
P
5
36p
6,3p
)1()14(5,0 5,0
YY
P
65,0
3
P
Y
120
Cambiando de variable:
Derivando ambos términos:
Remplazando (β) y (γ) en (α):
Integrando:
Reemplazando (β) en (φ)y efectuando:
)5)(3(YpdEC5
0
)(...15YdY14EC5
0
)(...Y14U
)(...dYdU
15)dU(UEC5
0
15)dU(UEC5
0
)(...155,1
UEC
5
0
5,1
155,1
)Y14(EC
5
0
5,1
155,1
4,52
5,1
27EC
1593,3418EC
1593,16EC
93,1EC
121
Gráfico. Excedente del consumidor
P
Y024 5 68101214
4
3
2
1
0
0
122
1.7. Elasticidad y propiedades de la función de demanda
1. Dada la siguiente función de utilidad de un consumidor:
U(x1,x2) = Ln x1+ 2x2
Verifique el cumplimiento de las condiciones de las funciones de demanda
a) Agregación de Engelb) Agregación de Cournotc) Homogeneidad
Solución:
Las funciones de demanda del consumidor son:
(1) (2)a) Condición de Agregación de Engel
w1εm1 + w2εm2 = 1 (3)
Reemplazando para demostrar (3):
→
→(4)
De (2) obtenemos:
(5)
1
2
21 p
px
2
2
2
22 p
pmx
011
11
x
m
m
xm
222
2
2
2222
22 2
2
)2(
2
2
2
1
pm
m
ppm
mp
p
pm
m
px
m
m
xm
221 2
2)0(
pm
mww
2
22
2
22
2
2
2
2
pm
xp
pm
m
m
xp
222 22 pmxp
123
Con el reemplazo de (5) en (4), se llega a la demostración:
b) Condición de Agregación de Cournot
i. w1 ε11 + w2 ε21 = - w1 (6)
Reemplazandoestas elasticidades en (6), se comprueba la agregación deCournot cuando varía el precio de x1:
ii. w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (7)
Luego, reemplazandoε12y ε22en el primer miembro de (7):
12
2
22
22 xp
xp
1
2
2
1
2
121
2
1
1
1
111
p
p
p
p
p
x
p
p
x
02
1
1
221
x
p
p
x
121 )0()1( www
1
2
2
1
1
2
2
11
2
2
112
p
p
p
px
p
p
x
2
2
2
2222
2
2
222 2
2
2
2 pm
m
p
pm
p
p
m
x
p
p
x
)2
2()1(
221 pm
mww
124
Finalmente, remplazando w2 y (5) y reduciendo, se obtiene:
Sabemos que w1 + w2 = 1, entonces, haciendo los traslados respectivos:
Por tanto, se demuestra la condición de Cournot cuando varía el preciode x2
c) Condición de homogeneidad
Para ambos casos, reemplazando los valores de las elasticidades,anteriormente calculados, obtenemos:
a) ε11 + ε12 + ε m1 = 0
(-1) + (1) + (0) = 0
b) ε21 + ε22 + ε m2 = 0
2. Las preferencias de un consumidor están expresadas en la función de utilidadsiguiente:
U(x1, x2) = (x1-2) (x2+4)
Compruebe:
)2
2(
22
221 xp
m
m
xpw
11 w
21 1 ww
0)2
2()0()
2
2(
222
pm
m
xp
m
125
a) La condición de Agregación de Engelb) La Condición de Agregación de Cournot
Solución:
Previamente se hallan las funciones de demanda ordinaria del consumidor:
…(1)
… (2)
a) Condición de Agregación de Engel
w1εm1 + w2εm2 = 1 (3)
Hallamos las elasticidades:
De las funciones de demanda, se obtiene:
1
21
2
421 p
ppmx
2
21
2
422 p
ppmx
21
2
2122
22 42
2
422
1
ppm
m
p
ppm
m
px
m
m
xm
21
1
2111
11 42
2
422
1
ppm
m
p
ppm
m
px
m
m
xm
)5(242
)4(242
2221
1121
xpppm
yxpppm
126
Remplazando w1 , w2, (4) y (5) en el primer miembro de (3), obtenemos:
→
Simplificando:
→
l.q.q.d.
b) Condición de Agregación de Cournot
i. w1 ε11 + w2 ε21 = - w1 (6)
Hallamos las elasticidades:
Reemplazando en (6), obtenemos:
Luego, despejando de (1), y factorizando, obtenemos:
22
22
11
11
22 xp
m
m
xp
xp
m
m
xp
12
1
2
1
)
2
42)(
2
2(
1
21
121
2211
1
1
111
p
ppm
p
p
p
p
m
x
p
p
x
21
1
2
21
1
22
1
1
221 42
2)
2
42)(
1(
ppm
p
p
ppm
p
px
p
p
x
)42
2()
42
4(
21
12
21
21 ppm
pw
ppm
pmw
21
2
1
21
121
2
42
)4()
2
42)(
2
)4(
ppm
pm
p
ppm
p
p
pm
127
(7)
Entonces, reemplazando (4), (5), (7), w1 y w2, en (6), obtenemos:
Simplificando y factorizando:
l.q.q.d.
ii.w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (8)
Se hallan las elasticidades:
Simplificando, ordenando y remplazando (5):
11
2
21
2
1
21
2
11
2
2
112
2
4
42
4
)
2
42)(
2(
xp
p
ppm
p
p
ppm
p
px
p
p
x
)42
2)(
2
2(
)
2
42()
2(
21
22
22
1
2
21
222
1222
1
1
221
ppm
p
p
pm
p
ppm
p
p
p
p
m
x
p
p
x
)2
2()
2
)1(2(
22
122
11
1111
xp
p
m
xp
xp
xp
m
xp
)1(2
21
24
11
112
xp
pxppm
m
p
m
xp 111 )1(
m
ppxp 1111
111 w
m
xp
128
Haciendo los reemplazos respectivos en (8), se obtiene:
Simplificando y reduciendo:
Reemplazando (5), y simplificando:
l.q.q.d.
3. Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:
U(x1,x2) = x11/2+ x2
a)Demuestre la Agregación de Engelb) Demuestre la Agregación de Cournotc) Demuestre la Condición de Homogeneidad
Solución:
Primero, hallamos las funciones de demanda del consumidor:
… (1)
)2
2)(()
2
4((
22
122
11
211
xp
mp
m
xp
xp
p
m
xp
m
mp
m
p
2
22 12
22
121 2
2
xp
mp
m
ppm
2
)42( 21
222
2
2w
m
xp
m
mpp
2
)24( 12
2
1
2
21
p
px
129
… (2)
a) Condición de Agregación de Engel
w1εm1 + w2εm2 = 1 (3)
Remplazando elasticidades para demostrar (3):
→ (4)
De (2) obtenemos:
Remplazando (5) en (4), y simplificando, se obtiene lo que se pide demostrar:
b) Condición de Agregación de Cournot
i. Cuando varía p1:
w1 ε11 + w2 ε21 = - w1 (6)
21
221
4
42 pp
pmpx
011
11
x
m
m
xm
221
121 4
4)0(
pmp
mpww
14
4
221
122 xpp
mp
m
xp
221
1
21
22122
22
4
4
4
4
1
pmp
mp
pp
pmp
m
px
m
m
xm
)5(44 221221 pmpxpp
130
Primero hallamos las elasticidades:
Remplazandolas en el lado izquierdo de (6):
Empleando (5), desdoblando w2, y simplificando, se obtiene:
Luego, tomando de función de demanda:
p22 = 4p1
2x1
Remplazando y simplificando:
2)
4
)(4
2(
21
22
131
22
1
1
1
111
p
p
p
p
p
x
p
p
x
221
22
21
221
121
2
2
1
1
221
4
4
4)
4(
pmp
p
pp
pmp
p
p
p
x
p
p
x
)4
()2(221
22
21 pmp
pww
1
22
1
221
2222
1
42
)4
(2
mp
pw
xpp
p
m
xpw
m
xpw
mp
xpw
111
1
121
1
2
4
42
131
ii. Cuando varía p2:
w1 ε12 + w2 ε22 = -w2 (7)
Las elasticidades:
Simplificando:
Reemplazando,en (7), las elasticidades halladas:
Luego, reemplazando w2 y (5), y reduciendo:
2
4
)2
(
21
22
221
2
1
2
2
112
p
p
p
p
p
x
p
p
x
)4
4()2(
221
221
21 pmp
pmpww
)4
4(2
221
22122
1 xpp
pmp
m
xpw
)
4
4()
4
1
2(
21
221
2
1222
2
2
222
pp
pmp
p
pp
m
x
p
p
x
221
221
4
4
pmp
pmp
....
2
1
11
dqqlw
ww
1
22
1 412
mp
pw
)4
4)(
4
4(
221
221
221
221
22 pmp
pp
pp
pmp
132
Finalmente, remplazando:p2
2 = 4p12x1
Simplificando:
l.q.q.d.
c) Condición de homogeneidad
Para ambos casos, reemplazando los valores de las elasticidades, anteriormentecalculados, obtenemos:
i. ε11 + ε12 + ε m1 = 0
(-2) + (2) + (0) = 0
ii.ε21 + ε22 + ε m2 = 0
21 1 ww
)4
4()
4
4()
4(
221
1221
221
221
22
pmp
mp
pmp
pmp
pmp
p
1
121
1 4
412
mp
xpw
11 12 ww
....0)4
44(
221
1221
22 dqql
pmp
mppmpp
m
xpw 11
1 12
133
1.8. RIESGO E INCERTIDUMBRE
1. Una persona tiene preferencias que pueden ser expresadas por una función deutilidad cuya expresión es:
U(w) = W1/3
Donde:W = riqueza totalSu riqueza inicial asciende a $ 8
Si la persona recibe un boleto de lotería cuyo premio mayor es $ 56 conprobabilidad 0.5 , y $0 con probabilidad 0.5. Determine:
a) ¿A cuánto asciende su valor esperado luego de recibir el boleto de lotería?b) ¿En cuánto valora el juego el individuo?c) ¿Qué puede decirse acerca de la actitud de esta persona frente al riesgo?d) ¿Cuál es el precio más bajo al cuál vendería el boleto? ¿a cuánto asciende la
prima?
Soluciòn
En este caso haciendo uso de la función de utilidad y de los datos, obtenemos elsiguiente cuadro:
Premio Probabilidad Utilidad Riqueza
56 0.5 4 640 0.5 2 8
a) VE = 56 (0.5) + 0 (0.5)
= 28
b) UE = 4 (0.5) + 2 (0.5)
= 3
b) Para determinar su actitud ante el riesgo hay que hallar la utilidad del valoresperado, a través de la FUVE:
UVE = U(28 + 8) = (36)1/3 = 3.3
134
U
0 28 56Unidades Monetarias
Entonces se determina que el juego o lotería brinda al individuo una utilidad–representadada por la UE- de 3, mientras que si le ofrecen el equivalentecierto o Valor Esperado (28), este monto le reporta una utilidad de 3,3(UVE). Es decir valora más lo seguro que el juego, por tanto es adverso alriesgo.
El gráfico también se puede presentar ploteando, en el eje de las abscisas, lariqueza en lugar de los premios, así:
U
8 36 64Riqueza (W)
c) Si a esta persona le ofrecen un monto P que le reporta una utilidad de 3, semostrará indiferente entre jugar o recibir este monto, así:
U(P+8) = (P+8)1/3 = 3
UE =
E =
UVE = U(36) =
4
3.33
2
U= W 1/3
UE =
UVE =
4
3.33
2
U= W 1/3
135
Entonces,P +8 = 27
P = 19
El precio mínimo al cual vendería esta persona estaría muy cercano a P > 19
U
0 1928 56Unidades Monetarias
La prima está en el rango: 0 < prima < 9
En el gráfico está representada por el trazo grueso y oscuro entre 19 y 28.
2. En una playa privada del sur solo pueden ingresar los que adquieran una tarjeta quecuesta $10, lo que le da derecho de llevar 5 invitados y disfrutar de los espectáculos.Los que no cuenten con tarjeta y sean sorprendidos pagarán, adicionalmente, unapenalidad de $25. La probabilidad de que lo descubran es de 25%.
Jacobo ama esta playa pero no le sobra el dinero. Si su función de utilidad es lasiguiente:
U(W) = W1/2
donde W representa su riqueza total que asciende a $1000, determine:
a) Si Jacoboingresará a la playa con tarjeta o sin ellab) Dado que Jacabo no es muy desprendido ¿cuál debería ser el costo de la tarjeta a
fin de que prefiera comprar la tarjeta y no estar en falta?c) ¿Cuál debería ser el monto de la multa que lo incline a comprar la tarjeta?d) Si el municipio no autoriza el incremento de la multa, debería mejorarse el
sistema de detección ¿En cuánto debería mejorar?
UE =
E =
UVE = U(36) =
4
3.33
2
U= W 1/3
136
Solución
a)Caso Probab. Riqueza Utilidad
1. SIN TARJETA1.1.Descubierto 0.25 965 31,0641.2.No descubierto0.75 1000 31,623
2. CON TARJETA 1,0 990 31,464
Caso SinTarjeta
Valor Esperado =965 (0.25) + 1000 (0.75)
= 991,25
Utilidad Esperada = 31,064 (0.25) + 31,623 (0.75)
= 7,766 + 23,717
= 31,483
Utilidad del Valor Esperado:
= (991,25)1/2
= 31,484
Gráfico. Opción Sin Tarjeta
U
965991,251000Unidades monetarias
31,62331,483
31,064
25
8
UE =UVE=
U= U(W)
137
La opción de ingresar a la playa sin tarjeta le representa una lotería que le brindauna utilidad de 31,483 (UE)
Caso con Tarjeta
La compra de la tarjeta le proporciona a Jacobo una utilidad invariable de31,464
Por tanto, dado que:
31,483 > 31,464
UST > UCT
Jacobo ingresará a la playa sin comprar la tarjeta
a) Jacobo revocará su decisión si le ofrecen un monto que le otorga una utilidadmayor a la que obtiene si no compra la tarjeta (UST = 31,483). Este monto X secalcula a través de la relación:
U(X) = X0,5 = 31,483
X = (31,483)2
X = 991,19
y el costo de la tarjeta (C ), a través de:
1000 - C > 991,19
C < 1000 -991,19
C <8,81
b) Si T es el monto de la multa, tendríamos:
Caso Probab. Riqueza Utilidad
1. SIN TARJETA1.1. Descubierto 0.25 1000-T (1000-T)0,5
1.2. No descubierto 0.75 1000 31,623
2. CON TARJETA 1,0 990 31,464
138
Si la multa coloca a Jacobo en una situación de indiferencia, entonces UE =31,464; así, se tendrá que:
(1000-T)0,5 (0,25) + 31,623 (0,75) = 31,464
Entonces para que la utilidad de la compra de la tarjeta sea mayor:
c) Si la multa no se puede incrementar, habrá que mejorar las probabilidades decontrol a fin de inducir a la compra de la tarjeta, entonces tendremos que:
Caso Probab. Riqueza Utilidad
1. SIN TARJETA1.1. Descubierto p 965 31,0641.2. No descubierto (1 - p) 1000 31,623
3. CON TARJETA 1,0 990 31,464
Partiendo de una situación de indiferencia:
Finalmente,
25,0
71725,23464,31)1000( 5,0
T
987,30)1000( 5,0 T
194,960)1000( T
81,39T
81,39T
464,31)1(623,31)(064,31 pp
159,0559,0 p
%44,282844,0 p
%44,28p
139
Entonces una probabilidad de detección superior a 28,44% hará que la utilidad decomprar la tarjeta supere a la utilidadde infringir la norma.
3. Mario Tello trabaja en un Apiario donde gana S/ 1.000 mensuales y recibe dosgratificaciones anuales equivalentes a un sueldo cada una. Mario está cansado de laspicaduras y del bajo ingreso que percibe, y evalúa cambiar de trabajo. Tiene pensadoinstalar una tienda naturista donde tiene la posibilidad de ganar S/ 8.000 al año conuna probabilidad de 60%, o ganar S/ 36,000 al año con una probabilidad de 40%
Si Mario tiene una función de utilidad cuya expresión es:
Determine:
a) Si Mario dejará su trabajo actualb) Si le ofrecen un trabajo en un vivero donde ganaría S/ 19.000 por año ¿Qué
decidirá Mario?c) ¿Cuál debería ser el sueldo que haría que a Mario le de igual trabajar en el
vivero o trabajar en su tienda naturista?
Solución
a) La utilidad que obtiene en su trabajo actual es:
La utilidad que obtendría con la tienda naturista vendría a ser la UtilidadEsperada:
100
27
)( wwU
100
27
000.14)800.16( U
166,13U
)4,0(000.46)6,0(000.8 100
27
100
27
UE
)4,0(1528,18)6,0(3196,11 UE
261,7792,6 UE
05,14UE
140
Mario dejará su actual empleo.
b) El trabajo en el vivero que le promete un pago anual de S/. 21.000, le brindaráuna utilidad de:
Este empleo, en términos de utilidad, será más beneficioso para Mario
c) El ingreso(R) que haría que Mario se muestre indiferente entre su trabajo en unatienda naturista o trabajar en un Vivero, debe satisfacer la expresión siguiente:
Resolviendo
4. Un inversionista tiene en cartera dos proyectos que prometen una atractivarentabilidad. El proyecto 1 requiere una inversión de $ 5.000, y luego de un añoredituaráun ingreso neto de $25,000. El proyecto 2, un poco más grande, implicauna inversión de $15,000 para obtener a fin de año un monto neto de $35,000 . Laprobabilidad de que un proyecto cualquiera tenga éxitoes de 60%. Determine:
a) ¿Por cuál proyecto se decidirá el inversionista?b) Si el proyecto 1 fuese dejado de lado ¿Cuál debería ser la ganancia que tendría
que ofrecer a fin de interesar al inversionista?c) El Estado busca desalentar los proyectos tipo 2 porque contaminan el ambiente
¿de qué monto debería ser el impuesto que se le tendría que cargar a estosproyectos a fin de favorecer a los proyectos tipo1?
d) ¿Cuál debería ser la probabilidad de éxito de los proyectos si se quiere beneficiarpor igual las inversiones en ambos proyectos?
Solución
05,14)( 100
27
RRU
27
100
05,14R
55,809.17R
69,14U
100
27
000.21)000.21( U
141
a) Analizando ambos proyectos
Proyecto 1
Riqueza Probabilidad
Éxito 25.000 0,6Fracaso -5.000 0,4
VE 1 = 25.000 (0,6) - 5000 (0,4)
VE 1 = 13.000
Proyecto 2
Riqueza Probabilidad
Éxito 35.000 0,6Fracaso -15.000 0,4
VE 2 = 35.000 (0,6) - 15.000 (0,4)
VE2 = 15.000
Entonces, el individuo invertirá en el proyecto 2
b) Para que el proyecto 1 sea indiferente con el proyecto 2, el monto de gananciasolicitado (X) debe permitir obtener un VE de 15.000, entonces
VE 1 = X (0,6) - 5.000 (0,4) = 15,000
0,6X = 15.000 + 2.000
X =17.000 / 0.6
X = 28.333,33
Entonces, la ganancia ofrecida será:
142
X > 28.333.33
c) Denominemos T al impuesto, entonces,
VE 2 = (35.000- T) (0,6) - 15.000 (0,4) = 13.000
21.000 -0,6T – 6.000 = 13.000
0,6T = 21.000 – 19.000
T = 5,000
El Estado tendría que aplicar un impuesto T > 5.000 con el fin de favorecer la
inversión en el proyecto 1
d) En este caso se debe cumplir que:
25.000 (q) - 5.000 (1-q) = 35.000 (q) - 15.000 (1-q)
25.000q -5.000 +5.000q = 35.000q -15.000 +15.000q
30.000q-50.000q = 5.000 -15.000
-20.000q = -10.000
q = 0,5
Cuando la probabilidad de éxito (q = 0,5) sea igual a la de fracaso (1-q = 0,5), alinversionista la dará igual invertir en uno u otro proyecto.
5. Un individuo tiene una función de utilidad:
6,0
000.3T
143
U(W) = 5 +2 Ln (W + 2)Hallar
a) La Medida de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt.b) La Medida de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt.
Solución
a) La Medida de Aversiónabsoluta al riesgo de Arrow-Pratt es:
Primeramente, calculamos las derivadas :
Luego, remplazando y simplificando:
Dado que R(W) > 0, el individuo es adverso al riesgo, la función de utilidad escóncava. Se intuye que a medida que la riqueza del individuo aumenta, suaversión al riesgo disminuye.
b) La Medida de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt
Entonces,
Este índice de riesgo señala que a medida que la riqueza aumenta, la aversiónrelativa al riesgo aumenta pero a tasas decrecientes.
)(
)()(
'
''
WU
WUWR
2
2)(
WWU l
2)2(
2)(
WWU ll
2
1)(
WWR
WWU
WUWr .
)(
)()(
'
''
2
2)(
W
WWr
144
6. Colombino, Ortega, Vargas y García van a la Feria de la Molina, a jugar a losgallos,sobretodo a la pelea entre el Ajiseco y el Giro. Cada uno tiene 3.600 paraapostar. Si gana el Ajiseco se ofrece pagar S100 por un boleto que cuesta S/ 30mientras que si le van al Giro ganarán S/ 100 por cada boleto que cuesta S/ 60.
La función de utilidad, que es la misma para todos, es:
U(W) = Ln W
Colombino no gusta de los gallos, y no adquiere ningún boleto. Ortega gasta lamitad de sus ingresos comprando el mismo número de boletos por cada gallo.Vargas simpatiza con el Ajiseco y compra el doble de boletos con respecto a losque compró por el Giro.Las preferencias de Garcíalo hacen apostar, con50 boletos,por el Giro, y 20, por el Ajiseco.
Los dos gallos tienen la misma probabilidad de ganar la pelea.
Determine quién de los cuatro tomó la mejor decisión
Solución
Colombino, al no jugar a los gallos obtendrá la Utilidad Esperada siguiente:
UE = Ln (3.600)
UE = 8,1887
En el caso de Ortega, que apuesta por igual a ambos gallos, se establecepreviamente que:
A: número de boletos a favor del AjisecoG: número de boletos a favor del Giro
Luego, los resultados que obtendrá serán:
Si Gana el Ajiseco
Riqueza: 3.600 + (100 -30)A-60G
Si Gana el Giro
Riqueza: 3.600 + (100 -60)G -30A
Su restricción presupuestaria será: 30A +60G = 3.600
Como A = G, entonces:
145
30A + 60A = 3.600
90 A = 3.600
A = 40
Por tantoG = 40
Resumiendo:
Resultado Riqueza Probabilidad UtilidadGana Ajiseco
Gana Giro4.0004.000
0,50,5
8,2948,294
La Utilidad Esperada será:
UE = 8,294 (0,5) + 8,294 (0,5)
UE = 8,294
La performance de Vargas que le juega al Ajiseco, comprando el doble de losboletos que compra al Giro, será:
Su restricción presupuestaria:
30A +60G = 3.600
Como A = 2G, entonces:
30(2G) + 60G = 3.600
120G = 3.600
G = 30
Entonces, A = 60
Si Gana el Ajiseco
Riqueza: 3.600 + (100-30)(60) -60(30) = 6.000
146
Si Gana el Giro
Riqueza: 3.600 + (100-60)(30) -30(60) = 3.000
En resumen:
Resultado Riqueza Probabilidad UtilidadGana Ajiseco
Gana Giro6.0003.000
0,50,5
8,69958,0064
La Utilidad Esperada:
UE = 8,6995 (0,5) + 8,0064 (0,5)
UE = 8,3529
García que apuesta 50 boletos por el Giro, y 20, por el Ajiseco:
Si Gana el Ajiseco
Riqueza: 3.600 + (100-30)(20) -60(50) = 2.000
Si Gana el Giro
Riqueza: 3.600 + (100-60)(50) -30(20) = 5.000
En resumen:
Resultado Riqueza Probabilidad UtilidadGana Ajiseco
Gana Giro2.0005.000
0,50,5
7,60098,5172
La Utilidad Esperada:
UE = 7,6009 (0,5) + 8,5172 (0,5)
UE = 8,059
La mejor decisión la tomó Vargas que compra 60 boletos a favor del Ajiseco y30 boletos por el Giro. La segunda alternativa más prometedora es la de Ortegaque apuesta por igual a los dos gallos.
147
II. TEORIA DELA PRODUCCION
2.1. Funciones de ProducciònCobb-Douglass
1. Dada la siguiente función de producción:
f(x1, x2) = x1α x2
1-α
Se pide:
a) Calcule la función de costosb) Grafique el costo medio y el costo marginalc) Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnologíad) Determine la función de beneficiose) Determine la función de oferta de la firma y las demandas no condicionales de cada
uno de los factores.f) Halle la elasticidad de sustitución
Solución
a)Min. w1x1 + w2 x2
s.a: Ax1αx2
1-α = Y
L = w1x1 + w2 x2 + λ(Y -Ax1αx2
1-α )
dL/dx1= w1 - αλ.Ax1α-1 x2
1-α= 0 …..(1)
dL/dx2= w2 - (1-α)λ Ax1α x2
1-α-1= 0 …..(2)
dL/dλ= Y - Ax1α x2
1-α= 0 …..(3)
Resolviendo el sistema, se obtiene la relación entre x1 y x2:
148
Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, reemplazando (4), se obtiene la demandacondicional del factor x2 :
Luego, reemplazando (5), se obtiene la demanda condicional del factor x1:
21
12
11
1
2
)1( xAx
xAx
w
w
)4(.....)1( 1
221 w
xwx
)5(....)1(
2
112 w
xwx
12
1
22
)1(x
w
xwAY
21
2
)1(x
w
wAY
2
12
)1(
w
w
A
Yx
1
2
111
)1(
w
xwAxY
1
1
2
1)1(x
w
wAY
1
1
21 )1( w
w
A
Yx
149
Luego, la función de costos:
b) Gráfica del CMe y CMg
A[(1-α)w1]1-α
Y (αw2)1-α
C= W1 +Y[(1-α)w1]
α
W2A(αW2)
α
A
YwwYwC
1
21
1),(
1
1),(
1121
A
wYwYwC
Y
CCMg
yY
CCMe
)1(
)1()1(121
)1(
)1()1(),(
A
wYwYwC
)1(
121
)1(
)1(),(
A
wYwYwC
)1(
121
)1(
1),(
A
wYwYwC
150
Entonces,
Se observa que ambas funciones de costos no contienen a Y, y que, son constantes eiguales, entonces, gráficamente:
c) Función de costos a corto plazo
Para hallar la función de costos a corto plazo, se considera que uno de los factorespermanece fijo, por ejemplo x1 = x1, este valor se introduce en la función deproducción, y se despeja el otro factor (variable):
Y = A x1αx2
1-a
Costos
CMe = CMg
1
1
21
1
A
wwCMe
1
1
21
1
A
wwCMg
Y
151
Luego, en la ecuación de costos, se reemplazan ambos factores. Así, la función decostos será:
CFCV
d) La función de beneficios
A partir de la ecuación de beneficios:
π = P.Y - C
Reemplazando la función de costos, tenemos la función de beneficios:
2. Dada la siguiente función de producción Cobb-Douglas:
f(x1,x2) = x1α x2
β
a) Calcule la función de costos a largo plazob) Grafique el costo medio y el costo marginalc) Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnologíad) Determine la función de beneficiose) Determine la función de oferta de la firma y las demandas no condicionales de
cada uno de los factores.f) Halle la elasticidad de sustitución
C = w1x1 + w2(Y/Ax1α)1/ (1-α)
A
YwwYPwP
1
21
1.),(
1
1
1
2xA
Yx
152
Solución
a) Función de Costos a largo plazo
Primero se hallan las demandas condicionales de los factores. Así, hay que plantearla minimización del costo:
Min. w1x1 + w2 x2
s.a: Ax1α x2
β = Y
L = w1x1 + w2 x2 + λ (Y -Ax1α x2
β )
CPO:dL/dx1= w1 - α λ.Ax1
α-1x2β = 0
dL/dx2= w2 - β λ Ax1α x2
β-1= 0
dL/d λ = Y - Ax1α x2
β = 0
Resolviendo el sistema, se hallan las relaciones funcionales entre factores:
Para hallar la demanda condicional del factor X1 se reemplaza (2), en la restricción, yse despeja; así:
121
21
1
2
1
xAx
xAx
w
w
)1(......1
221 w
xwx
)2(......2
112 w
xwx
2
111 w
xwAxY
1
21 w
w
A
Yx
153
Para hallar la demanda de X2, se procede de manera similar, reemplazando (1) en larestricción, y despejando:
Luego, la función de costos:
b) Gráfica del CMe y CMg
Entonces,
1
1
21 A
Y
w
wx
21
22 xw
xwAY
2
12 w
w
A
Yx
1
2
12 A
Y
w
wx
1
2
12
1
1
21),(
A
Y
w
ww
A
Y
w
wwYwC
1
21
1
1),( Yww
AYwC
)(11
21
1Y
AwwCMe
Y
CCMgy
Y
CCMe
154
c) Función de costos a corto plazo
Si se considera que uno de los factores de la producción permanece fijo, por ejemplox1 = x1, entonces, el otro factor - x2 – será variable, y su función se obtienedespejándola de la función de producción, así:
Y = A x1αx2
β
Luego, haciendo los reemplazos respectivos en la ecuación de costos, se obtiene lafunción de costos a corto plazo:
CC
Cme = CmgCme
Y YY
C
C (w,Y) = w1x1 +w2 (Y/Ax1α)1/ β
CASO 1:
Si α+β = 1
→ R.E. Constantes
CMe = CMg
C
CmeCmg
CASO 3:
Si α+β <1
→ R.E. Decrecientes
CMe<CMg
CASO 2:
Si α+β >1
→ R.E. Crecientes
CMe>CMg
CMg
)(1
1
21
11Y
AwwCMg
1
1
2
xA
Yx
155
d) La función de beneficios
Se sabe que: π = P.Y – C ……. (I)
Al reemplazar la función de costos de LP en (I), se tiene que:
Si al coeficiente de (II) –encerrado en el recuadro rojo- se le denomina K, se tendrá:
Luego:
Despejando Y:
Reemplazando (III) en (II’), y reduciendo:
)(........1
.1
21
1
IIYwwA
YP
01
)(1
21
YwwKPY
)'(.........1
21 IIYwwKYP
21
)(1
wwK
PY
)(........)( )(1
2)(1
1
)(1
)(
IIIwwK
PY
1
)(12
)(11
)(1
)(
21)(1
2)(1
1
)(1
)(
)()(),( ww
K
PwwKww
K
PPwP
156
8
d) Las demandas no condicionales y la función de oferta se hallan a través del Teoremade Hotelling:
Xi (P,w) = - dπ(P,w)/dwi (demandas no condicionales)
Y (P,w) = dπ(P,w)/dP (función de oferta)
Si al coeficiente de la función de beneficios se representa con M, se tendrá que:
8Algebra de exponentes
)(12
)()(1
)(
2)()(1
)](1[
2)()(1
2
)(11
)()(1
)(
1)()(1
)](1[
1)()(1
1
wwww
wwww
))]((1[2
))]((1[1
)(1
1
21)(1
2)(1
1
)(1
)(
)()(),(
wwK
PwwKww
K
PPwP
)(12
)(11
)(1
1
)(12
)(11
)(1
)(
)()(),(
wwK
PKww
K
PPwP
)(12
)(11
(1
1
)(1
)(
)(1
1
)(12
)(11
(1
1
)(1
)(
)(1
)(
)()(),(
wwPKwwPKwP
)(12
)(11
)(1
1
)(1
)(
)(1
1
)(1
)(
)()(),(
wwPKwP
)(12
)(11
)(1
1
),(
wwPMwP
157
Entonces:
Demanda No condicional del factor x1:
Demanda No condicional del factor x2
Función de oferta
)(12
)(1
1
1)(1
1
11
)(1
),(),(
wwMP
w
wPwPx
)(1
1
2)(1
1)(1
1
22
)(1
),(),(
wwMP
w
wPwPx
)(12
)(1
1
1)(1
1
1 )(1),(
wwMPwPx
)(1
1
2)(1
1)(1
1
2 )(1),(
wwMPwPx
P
wPwPY
),(
),(
)(12
)(11
)(1
)(1
1),(
wwPMwPY
158
e) La elasticidad sustitución:
…… (I)
Del problema de minimización de costos:
Min. w1x1 + w2 x2
s.a: Ax1α x2
β = Y
L = w1X1 + w2 X2 + λ (y -AX1α X2
β )Las C.P.O.:
dL/dX1= w1 - α λAX1α-1X2
β = 0 …..(1)
dL/dX2= w2 - β λ AX1αX2
β-1= 0 ….(2)
dL/dλ = Y - AX1αX2
β = 0 …. (3)
Estableciendo la relación (1)/(2), y ordenando:
Entonces,
12
21
21
12
xx
ww
ww
xx
121
21
1
2
1
xAx
xAx
w
w
)4(...........2
1
1
2
w
w
x
x
)5(...........
2
1
1
2
w
w
x
x
159
Reemplazando (4) y (5) en (I), y simplificando :
3. Asuma la siguiente función de costos:
a) Halle las demandas condicionales de cada factor.b) Determine la función de producción.c) ¿Cómo será la función de costos en el corto plazo?d) Calcule la elasticidad sustitución.
Solución
a) Demandas condicionales
Se hallan a través del Lema de Sheppard
… (1)
σ = 1
YwAwYwC 121),(
21
21
ww
ww
YwwA
w
YwCYwx
12
11
11
),(),(
Yw
wAYwx
1
1
21 ),(
160
…. (2)
b) Función de producción
En cada una de las demandas condicionales se despeja la relación (w1/w2 ), luegose igualan:
E
Entonces,
En (3), para facilitar el manejo de los exponentes, hay que evitar las fracciones;por tanto, se debe buscar un factor que simplifique los exponentes:
Elevando ambos miembros a la potencia: α(1-α) y simplificando:
Yw
wAYwx
2
12 )1(),(
YwwA
w
YwCYwx
1121
22
)1(
),(),(
1
1
12
1)1(x
AY
w
wEn
1
2
2
1
)1()2(
AY
x
w
wEn
)3(.....)1(
)2()1(
1
21
1
1
1
AY
x
x
AY
)1(1
2
)1(
1
1
1
1
)1(
AY
x
x
AY
)1(
2
1
1
)1(
AY
x
x
AY
161
Despejando Y:
c) Para la función de costos en el corto plazo,
Se determina el factor fijo: X1 = X1
Luego, de la función de producción se despeja el factor variable, X2:
Finalmente, se reemplaza este valor en la ecuación de costos:
d) La elasticidad sustitución
…… (I)
AA
xxYY
1
)1(
)1(
21
)1(
)1(21
)1()1(
xx
AY
1
)1()1(
2
)1(
x
YAx
)1(
1
1
2 )1(
x
YAx
)1(
1
1
211 )1(
x
YAwxwC
12
21
21
12
xx
ww
ww
xx
162
Del problema de minimización de costos:
Min. w1x1 + w2 x2
C.P.O.
Estableciendo la relación (1)/(2), y ordenando:
Entonces,
21
)1(
)1(2
11
)1(
2
1
)1()1(
)1(
xxA
xxA
w
w
)4(...........)1(
2
1
1
2
w
w
x
x
)5(...........)1(
2
1
1
2
w
w
x
x
YxxA
as
)1(
21
)1()1(..
)1(
21
)1(
2211
)1(.
xxA
Yxwxw
)1(....0)1( )1(
21
1
)1(
11
xxA
wx
)2(....0)1(
)1( )21
)1(
22
xxA
wx
)3(....0)1( )1
21
)1(
xx
AY
1
2
2
1
)1( x
x
w
w
163
Reemplazando (4) y (5) en (I), y simplificando :
4. Dada la siguiente función de producción:
f(x1,x2) = 4(x10,75 + x2
0,75)
a) Obtenga las demandas no condicionales y la función de oferta.b) Determine la función de beneficios.c) Compruebe el Teorema de Hotelling.d) Obtenga la función de costos.e) Compruebe el Lema de Sheppard
Solución
a) Las Demandas no condicionales (DNC) y la Función de oferta
Partimos de la ecuación de beneficios, realizando los reemplazos respectivos:
π = P.Y - C
π = P.[4(x10,75 + x2
0,75 )] - w1x1- w2x2 .........(α)
Luego, aplicando derivadas parciales, y despejando, obtenemos las DNC:
dπ/dx1= 3Px1–0,25 - w1= 0
σ = 1
21
21
)1(
)1(
ww
ww
4
11
3),(
w
PwPx
P
wx
3125,0
1
164
dπ/dx2= 3Px2–0,25– w2 = 0
La función de oferta se obtiene reemplazando, en la función de producción, lasDNC:
b) La función de beneficios:
Se obtiene reemplazando, en la ecuación de beneficios, las DNC y la funciónde oferta:
75.04
2
75.04
1
334),(
w
P
w
PwPY
3
2
3
1
334),(
w
P
w
PwPY
3
2
3
1
3 11108),(
wwPwPY
4
22
4
11
3
2
3
1
3 3311108),(
w
Pw
w
Pw
wwPPwP
3
2
4
3
1
4
3
2
3
1
4 181
181
11108),(
wP
wP
wwPwP
4
22
3),(
w
PwPx
P
wx
3225,0
2
165
c) Comprobación de las Demandas no condicionales y función de oferta
Teorema de Hotelling:
Demandas Condicionales: Función de Oferta
3
2
3
1
4
3
2
3
1
4 1181
11108),(
wwP
wwPwP
3
2
3
1
4 1127),(
wwPwP
P
wPwPY
w
wPwPx
ii
),(
),(),(
),(
41
4
11 27)3(
),(),(
wPw
wPwPx
4
1
81
w
P
4
11
3),(
w
PwPx
4
2
81
w
P
4
22
3),(
w
PwPx
42
4
22 27)3(
),(),(
wPw
wPwPx
166
d) Función de costos
Su hallazgo implica la minimización del costo total:
Min. w1X1 + w2 X2
s.a: 4(X10,75 + X2
0,75) = Y
L = w1X1 + w2 X2 + λ(Y – 4(X10,75+ X2
0,75)
Aplicando la condición de primer orden:
dL/dX1= w1 - 3l.X1- 0,25= 0 …. (1)
dL/dX2= w2 - 3l X2- 0,25= 0 …. (2)
dL/dλ= Y - 4(X10,75 + X2
0,75 ) = 0 …. (3)
Resolviendo el sistema, de (1) y (2):
3
2
3
1
3 11)4(27
),(),(
wwP
P
wPwPY
3
2
3
1
3 11108),(
wwPwPY
25,0
1
225,0
2
25,01
2
1
x
x
x
x
w
w
)4(....2
4
1
21 x
w
wx
)5(....1
4
2
12 x
w
wx
167
Reemplazando (5) y (4) en la restricción, alternadamente, y haciendo los despejesrespectivos, hallamos las demandas condicionales de cada factor
Reemplazando las demandas condicionales en la ecuación de costos, se obtiene lafunción de costos:
75,0
1
3
2
175,01
75,0
1
4
2
175,01 44 x
w
wxx
w
wxY
32
32
3175,0
1
3
2
175,01 414
w
wwx
w
wxY
)(4 32
31
3275,0
1 ww
wYx
3/4
32
31
32
1 )(4
ww
wYx
31
32
3175,0
2
3
1
275,02 414
w
wwx
w
wxY
)(4 32
31
3175,0
2 ww
wYx
3/4
32
31
31
2)(4
ww
wYx
75,0
275,0
2
3
1
275,02
75,0
2
4
1
2 44 xxw
wxx
w
wY
168
e) Comprobación de las Demandas condicionales
Lema de Sheppard
Entonces,
Reordenando para factorizar:
3/4
32
31
31
2
3/4
32
31
32
1 )(4)(4),(
ww
wYw
ww
wYwYwC
3/43
231
241
3/4421
3/4
)(4),(
ww
wwYwwYYwC
3/132
31
213/4
)](256[),(
ww
wwYYwC
3/43
231
241
3/4421
3/4
)](4[),(
ww
wwYwwYYwC
3/432
31
32
3121
3/4
)](4[
)(),(
ww
wwwwYYwC
ii w
YwCYwx
),(
),(
)(768)](256)[3/1()](256[
),(
213
421
3/432
31
3/132
312
3
4
1
11
wwYwwwwwwYx
w
CYwx
169
Factorizando y simplificando:
)](256[
768
3
1)](256[)](256[
32
31
313/13
2312
3
43/13
2312
3
4
1 ww
wwwwYwwwYx
])(
1[)](256[32
31
313/13
2312
3
4
1 ww
wwwwYx
)()()256(
32
31
323/13
231
3/12
3
4
1 ww
wwwwYx
3/4
32
31
32
1)](4[
),(
ww
wYYwx
3/432
31
3/442
3
4
1 )()4( wwwYx
)(768)](256)[3/1()](256[
),(
213
422
3/432
31
3/132
311
3
4
22
wwYwwwwwwY
w
CYwx
])(
[)](256[32
31
31
32
313/13
2312
3
4
1ww
wwwwwwYx
3/432
31
3/1442
3
4
1 )]()4( wwwYx
3/432
31
42
3
4
1 )](4[ ww
wYx
170
Reordenando para factorizar:
Factorizando y simplificando:
5. Dada la siguiente función de producción:
f(x1,x2) = 3(x11/3 + x2
1/3 + x31/3)
a) Obtenga las demandas no condicionales y la función de ofertab) Determine la función de beneficiosc) Compruebe el Teorema de Hotelling.d) Obtenga la función de costose) Compruebe el Lema de Sheppard
)](256[
768
3
1)](256[)](256[
32
31
323/13
23
113
43/13
23
113
4
2 ww
wwwwYwwwYx
])(
1[)](256[32
31
323/13
2311
3
4
2 ww
wwwwYx
)()()256(
32
31
313/13
231
3/11
3
4
2 ww
wwwwYx
3/432
31
3/441
3
4
2 )()4( wwwYx
])(
[)](256[32
31
32
32
313/13
2312
3
4
2 ww
wwwwwwYx
3/4
32
31
31
2)](4[
),(
ww
wYYwx
3/432
31
41
3
4
2 )](4[ ww
wYx
171
Solución
a) Las Demandas no condicionales y la función de oferta
Partimos de la ecuación de beneficios:
π = P.Y - C
Reemplazamos en ésta, la función de producción
π = P.[ 3(x11/3 + x2
1/3 + x31/3)] - w1x1- w2x2 - w3x3........(a)
Aplicamos la condición de primer orden:
dπ/dx1= Px1–2/3 - w1= 0 ........ (1)
dπ/dx2= Px2–2/3 - w2 = 0 ....... (2)
dπ/dx3= Px3–2/3 - w3 = 0 ....... (3)
de (1) :
de (2) :
de (3) :
2/3
11 ),(
w
PwPx
P
wx 13/2
1
2/3
22 ),(
w
PwPx
P
wx 23/2
2
2/3
33 ),(
w
PwPx
P
wx 33/2
3
172
La función de oferta
Para obtenerla, se reemplazan las DNC en la función de producción:
b) La función de beneficios
Se reemplaza, en (a), las DNC y la función de oferta, y se reduce:
3
1
2
3
3
3
1
2
3
2
3
1
2
3
1
3),(w
P
w
P
w
PwPY
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3),(w
P
w
P
w
PwPY
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1 1113),(
wwwPwPY
2
3
33
2
3
22
2
3
11
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1 1113),(
w
Pw
w
Pw
w
Pw
wwwPPwP
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
32
1
3
2
1
2
2
1
1
2
3 1111113),(
wwwP
wwwPwP
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
3 1112),(
wwwPwP
173
c) Comprobación de las Demandas no condicionales y la función de oferta
Teorema de Hotelling
Demandas Condicionales: Función de Oferta
P
wPwPY
w
wPwPx
ii
),(
),(),(
),(
11
),(),(
w
wPwPx
2
3
11 ),(
w
PwPx
22
),(),(
w
wPwPx
2
3
22 ),(
w
PwPx
33
),(),(
w
wPwPx
2
3
33 ),(
w
PwPx
2
3
12
3
1 2)2
1(),( wPwPx
2
3
22
3
2 2)2
1(),( wPwPx
2
3
32
3
3 2)2
1(),( wPwPx
174
Función de oferta
d) Función de costos
Se debe minimizar el costo total
Min. w1x1 + w2 x2 + w3 x3
s.a: 3(x11/3 + x2
1/3 + x31/3) = Y
£ = w1x1 + w2 x2 + w3x3 + λ(Y –3(x11/3 + x2
1/3 + x31/3)
Aplicando condición de primer orden:
d£/dx1= w1 - (1/3)l.x1-2/3= 0 ...... (1)
d£/dx2= w2 - (1/3)l x2- 2/3= 0 ...... (2)
d£/dx3 = w3 - (1/3)l x3- 2/3= 0 ...... (3)
d£/dλ = Y- 3(x11/3 + x2
1/3+ x31/3 ) = 0 ...... (4)
Resolviendo el sistema, de (1) y (2):
3
3
3
2
3
1
12
3 111
2
32),(
wwwP
PwPY
3
3
3
2
3
1
2
1 1113),(
wwwPwPY
3
2
1
2
3
2
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
w
w
175
De (1) y (3):
De (2) y (3):
Reemplazando las equivalencias, convenientemente, en la restricción, se obtienenlas demandas condicionales de cada factor. Así, para obtener X1, se debe usar (5)y (7), y despejar:
)5(....1
2
3
2
12 x
w
wx
)6(....2
2
3
1
21 x
w
wx
3
2
1
3
3
2
3
3
2
1
3
1
x
x
x
x
w
w
)7(....1
2
3
3
13 x
w
wx
)8(....3
2
3
1
31 x
w
wx
3
2
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
x
x
x
x
w
w
)9(....2
2
3
3
23 x
w
wx
)10(....3
2
3
2
32 x
w
wx
3
1
1
2
3
3
1
3
1
1
2
3
2
13
1
13 xw
wx
w
wxY
176
3
3
Para obtener X2, se reemplazan (6) y (9):
3
3
Luego, para obtener X3, se reemplazan (8) y (10):
3
1
1
2
1
3
13
1
1
2
1
2
13
1
13 xw
wx
w
wxY
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
1
12
1
1
1113
wwwxwY
2
1
32
1
22
1
12
1
1
1
1113 wwww
Yx
3
1
2
2
3
3
23
1
2
3
1
2
2
3
1
23 xw
wxx
w
wY
3
1
2
2
1
3
23
1
23
1
2
2
1
1
23 xw
wxx
w
wY
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
1
22
1
2
1113
wwwxwY
2
1
32
1
22
1
12
1
2
2
1113 wwww
Yx
177
3
3
Remplazando las demandas condicionales en la ecuación de costos9, se obtiene lafunción de costos:
9 Se asume que A= [(1/W1)1/2 + (1/W2)1/2 + (1/W3)1/2 ]
3
1
3
3
1
3
2
3
2
3
3
1
3
2
3
1
33 xxw
wx
w
wY
3
1
33
1
3
2
1
2
33
1
3
2
1
1
33 xxw
wx
w
wY
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
1
32
1
3
1113
wwwxwY
2
1
32
1
22
1
12
1
3
3
1113 wwww
Yx
3
2
1
3
3
3
2
1
2
2
3
2
1
1
1
333),(
Aw
Yw
Aw
Yw
Aw
YwYwC
32
1
3
32
1
2
32
1
1 3
1
3
1
3
1),(
A
Y
wA
Y
wA
Y
wYwC
178
Remplazando A:
e) Comprobación de las demandas condicionales
Lema de Sheppard:
Entonces,
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3111
3),(
wwwA
YYwC
2
2
1
32
1
22
1
1
3
11127
),(
www
YYwC
ii w
YwCYwx
),(
),(
2
3
1
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
11 2
1111
27)2(),(
wwww
Y
w
CYwx
2
3
1
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3 1111
27
wwww
Y
AA
YYwC
3
3
27),(
179
3
2
1
12
1
12
1
12
1
1
1
1113),(
wwww
YYwx
2
3
2
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
22 2
1111
27)2(),(
wwww
Y
w
CYwx
2
3
2
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3 1111
27
wwww
Y
3
2
1
12
1
12
1
12
1
2
2
1113),(
wwww
YYwx
2
3
3
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
33 2
1111
27)2(),(
wwww
Y
w
CYwx
2
3
3
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3 1111
27
wwww
Y
3
2
1
12
1
12
1
12
1
3
3
1113),(
wwww
YYwx
180
6. Dada la siguiente función de producción:
a) Calcule la función de costos.b) Halle la función de costos a corto plazo para esta tecnología.c) Halle la elasticidad de sustitución
Solución:
a) Función de Costos
Su cálculo implica minimizar el costo:
Min. w1x1 + w2 x2
C.P.O.:
Resolviendo el sistema, se obtiene la relación entre x1 y x2:
21
22
1
2
2
2
x
x
w
w
)4(.....1
2
1
2
12 x
w
wx
Yxxas 112
112:..
112
1121 2),(
xxxxY
112
112211 2 xxYxwxw
)1(......02 211
1
xwx
)2(......02 222
2
xwx
)3(......02 112
11
xxy
)5(.....2
2
1
1
21 x
w
wx
181
Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, al reemplazar (4), se obtiene la demandacondicional del factor x1:
Para obtener la demanda condicional del factor x2, se reemplaza (5), en la funciónde producción:
11
1
2
1
2
1112
x
w
wxY
1
11
2
1
2
1112
x
w
wxY
1
11
2
1
1
2112
x
w
wxY
1
2
1
1
2
1
22
1
1112
w
wwxY
2
1
22
1
1
2
1
112
ww
wxY
2
1
1
2
1
22
1
11 2
w
wwYx
1
12
1
2
2
1
1
22
xx
w
wY
182
Finalmente, reemplazando las demandas condicionales, en la ecuación de costos,y reduciendo, se obtiene la función de costos:
1
12
12
2
1
1
22
xx
w
wY
1
12
12
2
1
2
12
xx
w
wY
1
2
1
2
2
1
22
1
1122
w
wwxY
2
1
22
1
1
2
1
212
ww
wxY
2
1
2
2
1
22
1
12 2
w
wwYx
2
1
2
2
1
22
1
12
2
1
1
2
1
22
1
11 2
.2
.),(
w
wwYw
w
wwYwYwC
2
1
22
1
12
1
22
1
12),( wwww
YYwC
2
2
1
22
1
12),(
ww
YYwC
183
b) Función de costos a corto plazo
Se asume que uno de los factores permanece fijo, por ejemplo x1 = x1; luego, sereemplaza en la función de producción, y se despeja el factor variable:
Luego, se reemplaza en la ecuación de costos, el factor fijo y el factor variable,obteniéndose:
c) La elasticidad sustitución
……….. (1)
112
112 xxY
2
112
11
Yxx
Y
xx21
21
1
11
12
2 xY
x
Yx
xYx
1
1
22
1
1
1
12
212
xY
Yx
xYx
Yx
xYwxwYwC CP
1
1
2112
),(
12
21
21
12
xx
ww
ww
xx
184
Del problema de minimización de costos, rescatamos la relación:
Reordenando:
Entonces,
Reemplazando (2) y (3) en (1) :
σ = 1
22
21
1
2
x
x
w
w
)2(...........2
1
2
1
1
2
w
w
x
x
2
1
2
1
212
1
2
1
2
12
1
w
w
ww
w
w
21
22
1
2
x
x
w
w
)3(...........
2
1 2
1
2
1
21
12
w
w
ww
xx
2
1
2
1
21
2
1
2
1
2
12
1
w
w
ww
w
w
185
7. Dada la siguiente función de beneficios:
Obtenga:
a) Las funciones de Demanda No condicional de los factores.b) La función de Oferta.c) Las funciones de Demanda condicional de los factores.d) La función de Costos.e) La función de Producción.
Solución
a) Demandas No condicionales
Aplicando el Teorema de Hotelling:
→
→
b) La función de oferta Y(w, P)
Por Teorema de Hotelling:
21
2 11),(
wwpwP
ixwpx
i
),(
2
1
21
2 22)1(),(1
w
pwpwpx
2
2
22
2 22)1(),(2
w
pwpwpx
PPwY
),(
186
c) Las funciones de demanda condicional
Primero, de la función de oferta se despeja P, así:
Luego, se reemplaza P en cada una de las demandas no condicionales y se reduce:
→
21
112),(
wwpPwY
21
112
ww
YP
2
211
2
1
21
112
2
112
21
www
Y
w
ww
Y
x
2
21
22
21
211
)(22
2
21
ww
Yw
ww
www
Yx
2
21
2
)(2
11
ww
Ywx
187
→
d) La Función de costos
Basta reemplazar las demandas condicionales en la ecuación de costos, y reducir:
2
212
2
2
212
112
2
112
2
www
Y
w
ww
Y
x
2
21
12 )(2
1
ww
Ywx
2
21
12
21
212
2 )(22
2
2
ww
Yw
ww
www
Yx
2
21
12
2
21
21 )(2
1.
)(2
1.),(
ww
Yww
ww
YwwYwC
221
221
2
221
221
2
)(2)(2),(
ww
wwY
ww
wwYYwC
221
21212
)(2
)(),(
ww
wwwwYYwC
188
e) La elasticidad sustitución
……….. (1)
Del problema de minimización de costos:
Min. w1X1 + w2 X2
s.a: AX1a X2
b = y
L = w1X1 + w2 X2 + λ (y -AX1a X2
b )
CPO:
dL/dX1= w1 - a λAX1a-1X2
b = 0
dL/dX2= w2 - b λ AX1aX2
b-1= 0
dL/dλ = y - AX1aX2
b = 0
Estableciendo la relación:
12
21
21
12
xx
ww
ww
xx
121
21
1
1
2
ba
ba
xAxb
xAxa
w
w
)2(...........2
1
1
2
aw
bw
x
x
)(2),(
21
212
ww
wwYYwC
189
Entonces,
Reemplazando (2) y (3) en (1) :
8. Dada la siguiente función de producción de una empresa:
a) Halle el nivel de producción y las cantidades óptimas empleadas de cada factorcuando w1 = w2 = 10 y el Costo total es igual a 5’000.060
b) La empresa requiere producir 200 unidades de su producto cuando el precio delfactor x2 es el doble del de x1. Halle el costo total de producción.
Solución
a) Estos cálculos implican minimizar el costo:
Min. w1x1 + w2 x2
C.P.O.:
σ = 1
21
21
awbw
ww
a
b
)3(...........
21
12
a
b
ww
xx
2
1
22
1
12211 )4()2( xxYxwxw
)1(......0)1()2(2
12
1
111
xwx
2
1
22
1
1 )4()2( xxY
Yxxas 2
1
22
1
1 )4()2(:.
190
Resolviendo el sistema, se divide (1)/(2), y se simplifica, obteniéndose la relaciónentre x1 y x2:
Haciendo los remplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, al remplazar (4), y simplificar se obtiene la demandacondicional del factor x1:
2
1
2
1
2
2
1
1
)1()4(2
1
)1()2(2
1
w
w
x
x
)2(.....0)1()4(2
12
1
222
xwx
)3(......0)4()2( 2
1
22
1
1
xxY
2
2
1
1
2
)2(
)4(
w
w
x
x
Yxw
wx
2
1
1
2
2
12
1
1 44)2()2(
2
12
1
1
2
)2(
)4(
w
w
x
x
)4(...4)2( 1
2
2
12
x
w
wx
)5(...2)4( 2
2
1
21
x
w
wx
191
Para obtener la otra demanda condicional se reemplaza (5) en (3):
Yxw
wx
2
1
1
2
2
2
12
1
1 )2()2(
Yw
wx
2
12
1
1 1)2(
Yw
wwx
2
212
1
1 )2(
2
21
21 )2(
Yww
wx
22
21
21
Yww
wx
Yxxw
w
2
1
2
2
1
2
2
1
2 )4(22)4(
Yxxw
w
2
1
2
2
1
2
2
1
2 )4()4(
Yxxw
w
2
1
22
1
21
2 )4()4(
Yw
wx
1
22
1
2 1)4(
Yw
wwx
1
212
1
2 )4(
192
Para obtener la función de costos se reemplaza x1(w,Y) y x2(w,Y) en la ecuación decostos, y se simplifica:
Entonces, si C = 5’000.060, w1 = w2 = 10, el nivel de producción será:
)10(4102)1010(
)10)(10(060.000'5
2
Y
5
000.000'52 Y
000.1Y
2
21
12 )4(
Yww
wx
42
21
12
Yww
wx
4.2.),(2
21
12
2
21
21 Y
ww
wwY
ww
wwYwC
2121221
221 42
)(),( wwww
ww
YwwYwC
22221
22
12
21
221 42),( ww
ww
ww
ww
wwYwC
2121
221 42
)(),( ww
ww
YwwYwC
6020
100060.000'5
2
Y
193
Las demandas óptimas de factores:
b) Si Y = 600 unidades cuando el precio del factor x2 es el doble del de x1
Primero se determina las cantidades demandadas de cada factor:
Si w2 = 2w1 e Y = 600, entonces
002.250
2)000.1(20
102
1
x
004.250
4)000.1(20
102
2
x
2)600(2
22
11
11
ww
wx
2)600(3
22
1
x
2400 21 x
002.1601 x
4)600(3
2
1
12
w
wx
4200 22 x
004.402 x
194
9. Si una empresa tiene la siguiente función de producción:
Y = [4X2(X1+2)]1/3
y los costos de los factores son w1= w2 =1
a) Halle la curva de oferta de largo plazob) Si el factor X2 se mantiene fijo en X2 = 10 derive la curva de oferta a corto plazo
Solución
Se plantea el problema dual:
Min. w1x1 + w2 x2
C.P.O.:
Resolviendo el sistema, se divide (1)/(2), y se simplifica, obteniéndose la relaciónentre x1 y x2:
2
1
13
2
12
23
2
12
)84()2(43
1
)4()2(43
1
w
w
xxx
xxx
Yxxas 3
1
12 )2(4:..
3
1
122211 )2(4 xxYxwxw
)1(......0)4()2(43
12
3
2
1211
xxxwx
)2(.....0)84()2(43
11
3
2
1222
xxxwx
)3(......0)2(4 3
1
12 xxY
2
1
1
2
)2( w
w
x
x
195
Haciendo los reemplazos respectivos en la restricción, se hallan las demandascondicionales de cada factor. Así, al remplazar (4), se obtiene la demandacondicional del factor x1:
Para obtener la otra demanda condicional se reemplaza (5) en (3):
)4(.....)2(
2
112 w
xwx
)5(.....2
1
1221 w
wxwx
Yxw
xw
3
1
12
11 )2()2(
4
3
2
211 )2(4
Yw
xw
1
322
1 4)2(
w
Ywx
2
1
1
32
1 4)2(
w
Ywx
24
2
1
1
32
1
w
Ywx
Yw
wxwx
3
1
1
1222 2
24
3
1
11222
224 Y
w
wwxwx
196
Para obtener la función de costos se reemplaza x1(w,Y) y x2(w,Y) en la ecuación decostos, y se simplifica:
Entonces, en función de los datos:
Luego, como Cmg ≡Oferta, se halla el Cmg:
2
1
2
31
2
2
1
1
32
1 4.2
4.),(
w
Yww
w
YwwYwC
1
2
13
21 24
2),( wYww
YwC
12
13
21 2),( wYwwYwC
2
312
2 4w
Ywx
2
1
2
31
2 4
w
Ywx
3
1
2224 Y
w
xw
2
13
211
2
13
21
42
4),(
Ywww
YwwYwC
)1(2)1)(1(),( 2
13 YYwC
2),( 2
3
YYwC
197
que representa la oferta de largo plazo.
b) La curva de oferta de corto plazo
Se sabe que el factor fijo es x2 =10. Entonces, el factor variable se obtieneremplazando X2 en la función de producción, y despejando:
Luego, en la función de costos:C = CF + CV
Similarmente, como oferta ≡ Cmg:
2
1
2
3YCmg
3
1
1 )2)(10(4 xY
31 )2(40 Yx
40)2(
3
1Y
x
240
3
1 Y
x
2
40)1()10)(1(),(
3YYwC
408),(
3YYwC
403
2YCmg CP
198
10. Dada la siguiente función de producción:
Y = e(1 + 1/5 Ln X1
+ 4/5 LnX2
)
a) Calcule la función de costos.b) Halle las cantidades demandadas de factores y el costo de producción para 10,000
unidades de producto final cuando los costos de los factores son w1= 1 y w2= 2.c) Calcule la nueva producción cuando se incrementa en 30 % el uso del factor X1
d) Calcule la nueva producción cuando se incrementa en 20 % el uso del factor X2
Solución
a) Primero se sintetiza la funciòn:
LnY =Lne (1 + 1/5Ln X1
+4/5Ln X2
)
Ln Y = 1 + 1/5Ln X1 + 4/5Ln X2
Ln Y = Ln e + 1/5Ln X1 + 4/5Ln X2
Ln Y = Ln e + Ln X11/5+ Ln X2
4/5
Ln Y = Ln (e X11/5 X2
4/5 )
Entonces,Y = e X1
1/5 X24/5
Luego:
Min. w1X1 + w2 X2
s.a: e X11/5 X2
4/5 = y
L = w1X1 + w2 X2 + λ(y - e X11/5 X2
4/5 )
CPO:
dL/dX1= w1 - 1/5λ eX1-4/5X2
4/5 = 0
dL/dX2= w2 - 4/5λ eX11/5X2
-1/5 = 0
dL/dλ= y - X11/5X2
4/5 = 0
199
Reduciendo:
Se remplaza (β) en la restricción, y se halla la demanda condicional del factor X1:
Asimismo, X2se obtiene remplazando (α) en la restricción:
Finalmente, la función de costos:
5/12
5/115
4
5/42
5/415
1
2
1
XeX
XeX
w
w
)...(4 1
221
w
XwX
)...(4
2
112
w
XwX
5/4
2
115/11
4
w
XweXY
5/4
2
11
4
w
weXY
5/4
1
21 4
w
w
e
YX
5/42
5/1
1
22
4X
w
XweY
5/1
1
22 4
w
weXY
5/1
2
12
4
w
w
e
YX
5/1
2
12
5/4
1
21
44
),(w
w
e
Yw
w
w
e
YwYwC
5/15/42
5/11
5/45/42
5/11 44),(
e
Yww
e
YwwYwC
200
b) Si Y = 10.000 y los precios de los factores sonW1=5 y W2= 10, entonces el costo deproducción será:
Las cantidades demandadas de factores:
c) En este caso se recurre al concepto de elasticidad escala de producción oelasticidad producto:
Si Y = e X11/5 X2
4/5
Entonces,
5/15/45/42
5/11 44),(
e
YwwYwC
64937,1718281828,2
),( 5/42
5/11
YwwYwC
YwwYwC 5/42
5/11606769722,0),(
)000.10()10()5(606769722,0 5/45/1C
37,822.52C
5/4
1 )5(4
10
718281828,2
000.10
X
113.21 X
5/1
2 10
)5(4
718281828,2
000.10
X
226.42 X
Y
x
x
Y
X
YX
1
11%%
1
5/42
5/415
1
1
XeXx
Y
201
Remplazando en fórmula de elasticidad, y simplificando:
Retomando la fórmula de elasticidad:
En atención al enunciado:el uso del factor X1 aumenta en 30%:
Entonces,
d) De manera similar:
En la fórmula de elasticidad:
Como el factor X2 aumenta 20%:
Entonces,
5/42
5/11
15/42
5/415
11 XeX
XXeXX
51
1X
51
1%%
1
X
YX
51
%30%
Y
%)30(% 51 Y
%6% Y
54
2X
54
2%%
2
X
YX
54
%20%
Y
%)20(% 54 Y
%16% Y
202
2.2. Funciones de producción de Leontiev
1. Doña Clara, una experta cocinera, para preparar una tortilla perfecta requierebásicamente huevos frescos y su harina secreta, en la proporción fija siguiente: 5 huevosy ½ taza de harina.La harina secreta la prepara para el día, no se puede almacenar. En el mercado un huevose cotiza en S/ 0,50, mientras que la harina secreta implica un costo de S/ 2,00 la taza.
Se pide:
a) Formular la función de producciónb) Dibujar la isocuanta para un nivel de producción de 10 tortillas.c) Si doña Clara preparó 12 tazas de harina para el día y vende 20 tortillas ¿cuál será su
costo de producción?d) Si la harina se pudiesen almacenar ¿Cuál sería el costo de producir 20 tortillas?.
Solución
a)
Donde:
Y: cantidad de tortillasx1: cantidad de huevosx2:cantidad de tazas de harina secreta
b) Sabemos que, en general,
Entonces:
Por tanto,
2121 2;
5
1.),( xxMínxxY
ii a
Yx
25
1 21
Yxy
Yx
50
5110
1 x
203
Gráficamente:
c) En este caso, se encontraría en una situación de corto plazo con un factor fijo(Harina) y un factor variable (Huevos).
Para producir 20 tortillas (Y = 20):
Se tiene el volumen del Factor Fijo10
10Con esta cantidad se podría producir: Y = 2*12 = 24 Tortillas
Huevos
Harina
(Tazas)
50 100 150
20
15
10
5
Y = 10
52
102 x
122 x
204
Se necesitará la siguiente cantidad del Factor variable:
Entonces, el costo mínimo de corto plazo:
Gráfico
100
5120
1 x
.... FCVCC
00,74C
1200,210050,0 C
Huevos50 100 148 150 200
37
12
10
5
Y = 20
Y = 10
Harina
(Tazas)
205
d) En este otro caso, se encontraría en una situación de largo plazo –todos los factoresson variables- entonces,
Si Y = 20
Costo mínimo:
Gráfico
102
202 x100
5120
1 x
2211 xwxwC
1000,210050,0 C
00,70C
Huevos50 100 140148 150 200
37
35
12
10 Y = 20
Harina(Tazas)
206
2. Una empresa tiene dos posibles actividades para producir el bien Y:
- La actividad A, que para producir una unidad del bien Y, emplea 2 unidades delfactor x1 y 1 unidad del factor x2.
- La actividad B, usa 1/2 unidad de x1 y 2 unidades de x2 para elaborar una unidadde Y.
Si los precios de los factores son w = (1, 2), determine:
a) La función de producciónb) Las demandas para los dos factoresc) ¿Cuál es la función de costos para esta tecnología?d) Grafique
Solución
a) La función de producción será de la forma:
Entonces,
Esta formulación implica que la empresa debe de elegir, de forma excluyente, una delas dos técnicas para producir el bien. Su elección dependerá de los costos.
c) Las demandas:
Si usa proceso A:
Entonces,
Las demandas de factores serán:
212121 2
1,2.,
2
1.),( xxMínxxMínxxY
2211221121 ,.,.),( xbxbMínxaxaMínxxY
21 ,
2
1. xxMínY
yy
x A 22
11 yy
x A 12
207
Si usa proceso B:
Las demandas de factores serán:
Función de costos
Proceso A:
Proceso B:
Entonces,
Como w1= 1 w2 = 2 , los costos serán:
Proceso A:
CA = (2w1 + w2)y
CA = 4y
21y
x B yy
x B 22
12
21 2
1,2. xxMínY
ywywC A21 2
ywwC A212
ywy
wC B 22 21
yww
C B
2
1 22
yww
wwMínwyC
2
121 2
2,2.),(
208
Proceso B:
CB = 4.5y
Por tanto, el proceso elegido será el proceso A
d) Gráfico
Si y = 1→ xA = (2, 1)
xB= (½, 2)
x1
x2
0 1 2 3 4
3
2
1YA = 1
YB = 1
CB = 4.5
CA = 4
yww
C B
2
1 22
209
3. Sea la función de producción siguiente:
¿Cuál es la función de costos de esta tecnología?
Solución:
Considerando la primera técnica, sí ésta es utilizada, entonces la función de producciónserá:
y = x1 + 2x2
Dado que es lineal, la empresa será típicamente especializada en el empleo de uno uotro factor, y demandará:
x1 = y ó x2 = y/2
dependiendo de cuál sea más barato.
Por lo tanto la función de costos de esta técnica será11:
Similarmente, las funciones de demanda y la función de costos para la otra técnicaserán:
11Si Y= aX1 + bX2 , tendremos una función de costos para una tecnología lineal (los factoresson sustitutos perfectos) ; esto implica que se utilizará sólo el factor más barato. Así , lafunción tendrá la forma:
C(w1, w2, Y) = Min. (w1/a, w2 /b).Y
VéaseH.Varian “Microecomic Analysis”.W.W. Norton & Co. 3d.Edition. 1992
43214321 3
2
1,2.),,,( xxxxMínxxxxY
yw
wMínwyC
2,.),( 2
1
210
x3= 2y ó x4 = y/3
Dado que ambas técnicas deben ser empleadas para producir y unidades de producto, lafunción de costo de esta tecnología es:
4. Una empresa usa 4 insumos para producir un solo bien. La función de producción es
a) ¿Cuál es el vector de las demandas condicionales de factores para producir unaunidad de producto cuando el vector de precios de los factores es: w = (1,2,3,4) ?
b) ¿Cuál es la función de costos?c) ¿Qué clase de retornos a escala tiene esta tecnología?d) Si otra empresa tiene una función: f (X1,X2 ,X3,X4 ) = Min. (X1 + X2 , X3, + X4 )
Cuál es el vector de las demandas condicionales de factores para producir unaunidad de producto cuando los precios son w = (1,2,3,4)
e) ¿Cuál es la función de costos para esta firma?
Solución
a) Este modelo de función de producción de Leontiev consiste en la agregación de dosprocesos productivos mutuamente excluyentes
Si Y= 1, w1= 1 , w2= 2 , w3= 3 , y w4= 4,
Las demandas condicionales de factores serán:
yw
wMínwyC
3,2.),( 4
3
yw
wMínw
wMínywC
3,2)
2,(.),( 4
32
1
43214321 ,.,.),,,( xxMínxxMínxxxxf
43214321 ,.,.),,,( xxMínxxMínxxxxf
211
x1= y x2 = y x3 = y x4 = y
El costo de producción de cada proceso:
C(w1, w2, y) = w1 y + w2 y C(w3, w4, y) = w3 y + w4 y
Reemplazando los datos:
C(w1, w2, y) = (1)(1) + (2)(1) C(w3, w4, y) = (3)(1) + (4)(1)
= 3 = 7
Por tanto, se prefiere el proceso menos costoso -el proceso que emplea los factoresx1 y x2- y se descarta el más costoso. Así, la demanda de factores se representa por elvector
X(x1, x2, x3, x4) ≡ X(1, 1, 0, 0)
b) La función de costos se obtiene, agregando las funciones de costos de ambosprocesos:
C(w1, w2, y) = (w1 + w2)y C(w3, w4, y) = (w3 + w4)y
Entonces:
C(w1, w2, w3, w4, y) = Mín. [w1 + w2; w3 + w4] y
c) Si variamos los insumos en t > 0, entonces la función de producción:
4321
4321
4321
,.,.'
,.,.'
,.,.'
xxMínxxMínty
xxtMínxxtMíny
txtxMíntxtxMíny
212
La producción también se ve afectada en t, por tanto, presenta rendimientosconstantes a escala.
d) Si la función de producción es:
La función de producción consta de dos procesos lineales, cada uno usa los factoresde manera excluyente, basándose en los costos. La producción final se obtiene deambos procesos.
Empleando los datos:
Y = 1, w1= 1 , w2= 2 , w3= 3 , y w1= 4
Con el primer proceso:
Y = x1 + x2
las demandas de factores: x1 = y ó x2 = y
Para determinar que factor se empleará, calculamos cuál es más barato:
CX1 = w1 y CX2 = w2 y
= (1)(1) = (2)(1)
= 1 = 2
Entonces, empleará x1
Con el segundo proceso:
y = x3 + x4
las demandas de factores: x3 = y ó x4 = y
43214321 ,.),,,( xxxxMínxxxxf
213
Calculamos los costos:
CX3 = w3 y CX4 = w4 y
= (3)(1) = (4)(1)
= 3 = 4
Entonces, en este proceso sólo empleará x3
Así, el vector de demanda condicional de factores, en este caso, es:
X(x1, x2, x3, x4) ≡ X(1, 0,1, 0)
e) Las función de costos, para cada proceso, será:
C1 = Mín. (w1y , w2y) C2 = Mín. (w3y , w4y)
C1 = Mín. (w1, w2)y C2 = Mín. (w3, w4)y
Como la función de costos implica seleccionar el costo mínimo de cada proceso, lafunción de costos es lineal:
5. Dada la siguiente función de producción:
a) Halle las funciones de demanda de factoresb) Halle la función de costos a largo plazo. Si w1 = 0.5; y w2 = 1,5 ¿ cuál sería el
costo total para una producción de 120 unidades?.c) Dibuje el Cme y el Cmg y señale que tipo de rendimientos a escala presenta.d) Halle la producción óptima y las ganancias de la empresa cuando el precio de
venta es de 100
2
1
2121 2
3
2
1.),(
xxMínxxY
ywwMínwwMínyWC 4321 ,),(.),(
214
Solución
a) Funciones de demanda:
Sabemos que:
b) Función de costos
Partiendo de la ecuaciåon de costos
C = w1 X1 + w2 X2
Reemplazando las funciones de demanda
Luego si w1 = 0,5; y w2 = 1,5; entonces:
2
1
12
1
xY
2
1
22
3
xY
21 2 Yx
22 3
2Yx
2
22
1 3
2.2.),( YwYwYwC
22
3
25,125,0),( YYYwC
22),( YYwC
215
Si Y= 120, entonces:
C = 28.800
c) Costo medio y costo marginal
Se puede observar que el costo marginal está por encima del costo medio, por tantopresenta rendimientos decrecientes a escala.
d) La producción de equilibrio
Si el precio de venta de Y es 100
En equilibrio:
CMg=IMg
4Y = 100
Y = 25
YY
CCMe 2
YY
CCMg 4
C
Y
CmeCmg
216
Las cantidades demandadas de factores:
Nivel de ganancias:
π = P.Y – C
= P.Y – 2Y²
= (100)(25) – 2(25)2
= 2.500 – 1.250
π = 1.250
6. Dada la siguiente función de producción:
a) Halle las funciones de demanda de factores.b) Halle la función de costos. Dibuje el Cme y el Cmg y señale que tipo de
rendimientos a escala presenta.c) Si la empresa puede gastar 10.500 unidades monetarias, y los precios de los
factores son w1 = 2.5; y w2 = 3 ¿cuál sería el nivel de producción? ¿cuál sería lademanda de factores productivos?
d) Si el precio de mercado del bien Y es de 10 unidades monetarias, ¿la empresa estaráoptimizando?
Solución
a) Funciones de demanda de factores:
Sabemos que:
250.1)25(2 21 x
67,416)25(3
2 22 x
2
2121 5
1,.),(
xxMínxxY
21xY 2
1
1 Yx
217
b) Función de costos
C = w1 X1 + w2 X2
Reemplazando las funciones de demanda
Costo medio y costo marginal
2
25
1xY 2
1
2 5 Yx
2
1
22
1
1 5..),( YwYwYwC
2
1
21 5),( YwwYwC
2
121 )5(
Y
wwCMe
Y
CCMe
2
121
2
)5(
Y
wwCMg
Y
CCMg
218
Gráfico
Como el costo marginal está por debajo del costo medio, la función de producciónpresenta rendimientos crecientes a escala.
c) Si la empresa gasta 10.500 y los precios de los factores son w1= 25 y w2= 30,remplazando en la función de costos, y despejando:
La demanda de factores:
C
Cme
Y
CMg
2
1
)30(525500.10 Y
2
1
175500.10 Y
2
175
500.10
Y
600.3Y
2
1
1 Yx
2
1
1 )600.3(x
601 x
219
d) Con los datos anteriores y con el precio de venta unitario de Y de 3,5
En equilibrio:
CMg = IMg
Introduciendo los precios en el CMg
2
1
2
1
5,87
2
175
YY
CMg
Retomando el equilibrio:
La demanda de factores:
5,35,87
2
1
Y
252
1
Y
2
1
2 5 Yx
2
1
2 )600.3(5x
3002 x
2
121
2
)5(
Y
wwCMg
625* Y
2
1*
1 Yx
220
Nivel de ganancias de equilibrio:
π = P.Y – C
= P.Y – (w1 x1 + w2 x2)
= (3,5)(625) –[25(25) + 30(125)]
= 2.187,5 – 4.375
π = - 2.187.5
Nivel de ganancias gastando 10,500 Y = 3.600
π = P.Y – C
= P.Y – (w1 x1 + w2 x2)
= (3,5)(3.600) –[25(60) + 30(300)]
= 12.600 –10.500
π = 2.100
En este caso, cuando se tiene rendimientos crecientes a escala el equilibrio vaimplicar pérdidas (CMe> P=Cmg) por ello cuanto más se produzca las pérdidas sereducirán, incluso habrán beneficios extraordinarios.
2
1*
2 5 Yx
2
1*
1 )500.2(x
25*1 x
2
1*
2 )625(5x
125*2 x
221
III. INTERVENCION ESTATAL
3. 1. Externalidades y Bienes Públicos
1. La demanda privada de un bien responde a la ecuación
P = 100 -0,25x
Cada unidad del bien x provee a los consumidores una externalidad positiva de20unidades monetarias.Por otro lado, la oferta del bien es Po = 0,25x
a) Determine la ecuación de la demanda social de este bienb) Halle la valoración privada y la valoración social del bien. Grafique.c) Halle el nivel en el cual la valoración social del bien x es igual a su costo
social de producirla.d) Calcule la magnitud de la pérdida social. Grafiquee) Que medida debe tomar el gobierno para eliminar la pérdida social.
Solución
a) La demanda social del bien (Ps) será igual a su demanda privada (P) más laexternalidad (Ex), así:
Ps = P + Ex
Entonces,
Ps= 100-0,25x + 20
Ps= 120 -0,25x
b) Para hallar la valoración privada hay que hallar el equilibrio natural delmercado:
P = Po
Entonces,
222
100 -0,25x = 0,25x
100 = 0,5x
x = 200
Así, la valoración privada del bien x es:
P = 50
Grafico: Mercado del bien x
P
X200 240 400 480
120
100
706050
0
A
B
C
M
y la valoración social de cada una de las 200 unidades del bien X será 70unidades monetarias, es decir, la valoración privada más el monto de laexternalidad.
c) La igualdad entre la valoración social del bien y el costo marginal deproducirlo implica hallar el equilibrio entre la demanda social y la oferta:
Ps = Po
223
Luego, 120 -0,25x = 0,25x
120 = 0,5x
x = 240
y P = 60
En el gráfico, este equilibrio está representado por el punto C.
d) En el gráfico, la pérdida social esta representada por el triángulo ABC
Si el equilibrio se diese con la demanda social, éste ocurriría en el punto C,
donde:
Exc. Cosumidor =
Exc. Productor =
Pero como el equilibrio natural ocurrirá en el punto B, los excedentes serán:
Exc. Cosumidor =
Exc. Productor =
Así, la pérdida social será: 14.400 - 14.000 = 400
Que viene a ser el monto representado por el triángulo ABC:
200.72
240)60120(
x
200.72
24060
x
000.7200)6070(2
200)70120(
x
x
000.7200)5060(2
20050 x
x
4002
800
2
)200240)(5070(
ABC
224
e) Para evitar la pérdida social el gobierno tiene que otorgar un subsidio quehaga que la demanda privada se traslade hacia la derecha hasta que se igualea la oferta en el punto C.
Gráfico. Subsidio al consumidor
P
X200 240 400 480
120
100
Pc = 6050
Pp = 40
0
A
B
C
M
PP + Subs.
D
El precio que pagaría el consumidor (PC ) sería 40, mientras que el productorecibiríaun precio (Pp) de 60, la diferencia -20- sería el subsidio por cada unidadtransada en el mercado. El desembolso total del gobierno, por este concepto , será:
Subsidio Total = 20 x 240 = 4.800
2. Defina que es un bien público? De ejemplos
Un bien público es aquel bien o servicio que cumple dos condiciones:
1º. Su consumo es No Excluyente. No se puede excluir a nadie de su consumo.
225
La exclusión o no exclusión de un bien implica la posibilidad de asignarle o noun precio. Si no es excluyente no habría interés del sector privado porproducirlo, sólo podría ser suministrado por el Estado.
Si es excluyente su producción será emprendida por la empresa privada o laempresa pública.
2º. No existe rivalidad en su consumo. Esto significa que el consumo de unapersona no reduce o afecta el consumo de los demás.
Ejemplos de bienes públicos: La defensa nacional, el alumbrado público, señalde TV abierta, faro.
3. Cómo se clasifican los bienes según cumplan o no la exclusión y la rivalidad
El cuadro siguiente nos permite tipificar los bienes de acuerdo a si cumplen o nocon la exclusión y la rivalidad:
EXCLUYENTE NO EXCLUYENTERIVAL BIEN PRIVADO
Mercado buen asignador derecursos
BIEN IMPURO(Público)Ejem. Carretera congestionadaTren eléctrico en periodo deprueba y hora punta.
NO RIVAL BIEN IMPURO(público oprivado)Ejem. TV cable, fuegosartificiales, parque de lasleyendas, cine, Internet.
BIEN PUBLICO PUROEstado único mecanismoasignador de recursos
4. Que es un Free rider
En la jerga económica free rider significa colado, viajero sin billete, gorrón,parásito, polizón, etc. Este término hace referencia a un individuo que sebeneficia de un bien o servicio sin haber contribuido a su financiamiento,
226
algunos también señalan que un free rider es un emisor de externalidadesnegativas que no paga a los perjudicados12,En economía pública un free rider es aquel individuo que tiene interés enbeneficiarse de un bien público, el ejército, la policía, el alumbrado público, perono está dispuesto a pagar por él. Los bienes públicos generan el problema delfree rider13. Para evitar la existencia free-riders y los agravios comparativos quegeneran el que unos paguen y otros no, los bienes públicos deben ser siempreprovistos por el gobierno.
5. Un bien publico tiene una estructura de costos cuya función es:
Sus ingresos totales tienen como función:
a) Determine el nivel de la producción si la empresa fuera del Estado. Grafique.b) ¿Cuál será el nivel de producción eficiente de este bien?.Grafique.
Solución
a) Cuando la empresa que provee el bien público es del Estado, el equilibrioimplica producir en el nivel donde se igualen el ingreso total con el costototal, donde no existan beneficios extraordinarios.Entonces,
IT = CT
12BIENES PÚBLICOS, EXTERNALIDADES Y LOS FREE-RIDERS: EL ARGUMENTORECONSIDERADO* Alberto Benegas-Lynch (h). en Estudios Públicos, 71 (invierno 1998).Buenos Aires.
13Extraido de http://economy.blogs.ie.edu/archives/2007/01/que_es_un_free.php
562 2 XXC
XIT 31
56231 2 XXX
227
Resolviendo la cuadrática
El nivel de producción sería de 14 unidades, y el Ingreso total:
Asimismo, el costo total:
Gráfico. Producción de la empresa pública
P
X2 4 6 8 10 12 14 16 18
434
0
IT
CT
056322 2 XX
14X
434
)14(31
IT
IT
56)14()14(2 2 C
434C
228
c) Si la empresa estuvieses buscando la eficiencia, tendría que producir en elnivel donde:
Remplazando,
Gráfico. Producción eficiente de la empresa pública. Enfoque total
P
X2 4 6 8 10 12 14 16 18
434
0
IT
CT
Máxima ganancia por unidad
Entonces, cuando la empresa produce 8 unidades logra la máxima ganancia
Para calcular el monto de la ganancia primero obtenemos el ingreso total y elcosto total:
CMgIMg
1431 X
4
32X
8X
229
IT = 31 (8) = 248
CT = 2(8)2 -8 +56 = 76
Luego,
Ganancia = 248 – 176 = 72
Gráfico. Producción eficiente de la empresa pública. Enfoque marginal
P
X2 4 6 8 10 12 14 16 18
31IMg
CMg
230
3.2 Impuestos y Subsidios
1. Los mercados de trigo y de maíz están interrelacionados, de tal manera que lasfunciones de oferta y demanda de sus respectivos mercados son:
Trigo: Ot= 14 + pt -pm
Dt= 30 - 15pt + 7pm
Maíz: Om = -27 -2pt +5pm
Dm= 5 +6pt -3pm
a) Encuentre los valores de equilibrio en ambos mercadosb) Si se grava con un impuesto específico de $1.00 a los productores de maíz, halle
los nuevos valores de equilibrio.c) Si el impuesto fuera el mismo pero para el trigo en lugar del maíz ¿cuáles serían
los nuevos precios y cantidades de equilibrio?.
SOLUCIÓN
a) Equilibrio de Mercados
Mercado del Trigo:
Ot= Dt 14 + pt -pm = 30 -15pt + 7pm
16pt -8pm = 16 ...... (1)
Mercado del Maíz:
Om = Dm -27 -2pt + 5pm = 5 +6pt +-3pm
-8pt +8pm = 32 .....(2)
Resolviendo el sistema (1) y (2):
16pt -8pm =16 ......(1)
-8pt +8pm =32 ......(2)
231
Precios:
pt= 6 pm =10
Cantidad:
Trigo: Ot=Dt= 10
Maíz: Om = Dm=11
b) Efectos de un impuesto: t = 1
Mercado del Maíz
Sabemos que pmo= pm
d – t
Entonces: pmo= pm
d – 1 … (α)
Reemplazando (α) en funciones de oferta y demanda:
Om = -27 -2pt + 5 (pmd – 1)
Dm= 5 +6pt -3 pmd
En equilibrio:
Ot= Dt - 8pt +8pmd = 37.....(1´)
Mercado del Trigo
Se reemplaza (α) en funciones de oferta y demanda:
Ot= 14 + pt -pmd + 1
Dt= 30 - 15pt + 7pmd
Luego se plantea el equilibrio:
Ot= Dt 16pt -8pmd = 17.....(2´)
232
Finalmente, el equilibrio se halla resolviendo el sistema:
- 8pt +8pmd = 37 .....(1´)
16pt - 8pmd = 17 .....(2´)
Precios:
pt= 6.75
pmd = 11.375
pmo = 10.375
Cantidades:
Ot= Dt = 8.375
Om= Dm = 11.375
2. La demanda de gallinas en un centro poblado de la selva está conformada por la de trespoblaciones dispersas: la primera tiene 10 familias con una demanda individual p= 20 – xa ; la segunda, 4 familias, cada una con la demanda individual p = 20 -0,5xb; yla tercera con 10 jefes de familia con una demanda personal xc = 50-p.
Por otro lado, la oferta de gallinas en este centro poblado responde a la función
X = p -1.
a) Grafique la curva de demanda de este centro poblado.b) Halle el equilibrio del mercado.c) ¿Cuál será la elasticidad precio de la demanda para p = 12?.d) ¿Para qué nivel de precios maximizarán los vendedores de gallinas los ingresos.
Solución
a) La demanda del centro poblado viene a ser la demanda agregada de las demandasde las tres poblaciones dispersas, las que a su vez, están conformadas por lasdemandas agregadas de las familias respectivas.
233
Como la agregación es de unidades del bien, las variables de las dos primerasfunciones deben de transmutarse. Entonces, tendremos:
Poblado A Poblado B Poblado C Mercado:
xa = 20 –p xb=30 -2p xc = 30-p
b) Equilibrio de mercado
Primero graficamos la función de oferta: X = p -1.
Entonces, ubicamos dos puntos cualesquiera de ella:
p.e.: (0, 1) y (20, 21)
Se observa que el equilibrio ocurre en el tramo donde la demanda responde a laecuación:
X = 50-2p.
Hallando el equilibrio:
50 -2p = p -1
3p = 51
p = 17
luego,
X = 16
30
201510
▪ 30 ≥ p ≥ 20 →xc= 30 -p▪ 20 ≥ p ≥ 15 →xc+a= 50 -2p▪ p ≤ 15 →xa+b+c= 80-4p
30
20
10
30
20
10
1020 30
20
10
10 20 30 10 20 30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80
30
201510
234
P
c) Para p= 12, la demanda de mercado es X= 80 -4p , entonces X = 32
La elasticidad precio:
Este punto corresponde al tramo elástico de la demanda
d) La elasticidad precio también la podemos calcular así:
X10 16 20 30 40 50 60 70 80
30
25
2017
15
10
0
X
p
p
X
32
12)4(
5,1
)1(
X
X
80
235
Como el ingreso de los vendedores (o el gasto de los consumidores) es máximocuando la elasticidad precio es igual a la unidad:
Efectuando, hallamos X:X = 80 –X
2X = 80
X = 40
Entonces, el precio: p = 10
3. Una empresa que opera en un mercado competitivo estima que su función decostos se ajusta a la función siguiente:
El mercado del producto tiene las funciones de oferta y demanda siguientes:
Determine:
a) El equilibrio de la empresa. Grafiqueb) El beneficio total y el beneficio unitario de la empresac) Si la aparición de un bien sustituto hace que la demanda disminuya,
paralelamente, en 11,08% , ¿Cómo varía el equilibrio?.Grafique.d) ¿La empresa continuará obteniendo beneficios?
Solución
a) Equilibrio de la empresa
La empresa es tomadora de precios; por tanto, primero, hay que hallar elequilibrio del mercado. Entonces, igualamos la oferta y demanda:
X
X
801
000.30200308,0 23 YYYC
Yp
Ypd
o
5,03041
25,041
236
Hallando equilibrio de la empresa:
Primera condición:
Segunda condición:
041.1,
000.4
000.375,0
5,0041.325,041
pLuego
Y
Y
YY
do pp
48
73
0841624,0
:
041,1200624,0
2
2
Y
Y
YY
oresolviendyOrdenando
YY
pIMgCMg
0648,0 Y
)(0 positivaserdebeCMgdelpendienteY
CMg
)(0498.3
06504.3
06)73(48
:73,
cumpleSí
YsiEntonces
237
La empresa se encuentra en equilibrio produciendo 73 unidades del producto.
Gráfico: Equilibrio de la empresa
P
b) Beneficios de la empresa
Beneficio Total
Ingreso Total = P xY = (1041) x (73) = 75.993,00- Costo Total = 0,08(73)3 – 3(73)2 + 200(73) + 30.000 = 59.734,36
= Beneficio Total = 16.258,64
)(0298.2
06304.2
06)48(48
:48
cumpleNo
YSi
Y0 73
1041.0818,28
CMe
CMg
238
Beneficio unitario
Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = P = 1041.00- Costo Unitario = CT/Y = CMe = 818,28= Beneficio unitario = = 222,72
c) Nuevo Equilibrio por Disminución de la demanda
Situación inicial:
Disminución de la demanda:
Nueva demanda:
Nuevo Equilibrio de mercado:
pY
pYd
o
26082
1644
674
)6082%)(08,11('
1
Y
Y
pY
pYd
d
25408
67426082'
'
pp 254081644
'do YY
7,550.3
67,9281
Y
p
239
Gráfico: NuevoEquilibrio del mercado
P
Nuevo equilibrio de la empresa:
Primera condición:
Segunda condición:
X35514000 5408 6082
3041
2704
1041928,7
41
0
44
69
07,728624,0
:
7,928200624,0
1
2
2
Y
yY
YY
oresolviendyOrdenando
YY
1pIMgCMg
0648,0 Y
)(0 positivaserdebeCMgdelpendienteY
CMg
240
Gráfico: NuevoEquilibrio de la empresa
P
Y0 6973
1041
928,7808,7
CMe
CMg
)(0306.3
06312.3
06)69(48
:69,
cumpleSí
YsiEntonces
)(0106.2
06112.2
06)44(48
:44
cumpleNo
YSi
241
d) Beneficios de la empresa
Beneficio Total
Ingreso Total = P xY = (928,67) x (69) = 64.078,23- Costo Total = 0,08(69)3 – 3(69)2 + 200(69) + 30.000 = 55.797.72= Beneficio Total = 8.280,51
Beneficio unitario
Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = P = 928,67- Costo Unitario = CT/Y = CMe = 808,66= Beneficio unitario = = 120.01
4. En una zona algodonera de Cañete, la demanda de mercado de este productoresponde a la función p = 178 -0,5Y, y la producción, a la función p = Y -2. Enestas funciones Y representa quintales de algodón, y p el precio por quintal.
a) Si un pequeño agricultor algodonero de la zona tiene una función decostos totales C = 0,5Y3 -0,25Y2 + 500, ¿cuál será su producción óptima?.
b) ¿Obtendrá beneficios o pérdidas?
Este año, el gobierno no piensa subsidiar monetariamente este producto puestiene reservas compradas, a precio de garantía, en la campaña pasada. Esta vezva a hacer uso de sus reservas, entregando al agricultor un 25% adicional a suproducción.
c) ¿Cuánto producirá el agricultor?d) ¿Cuánto recibirá del Estado?e) ¿En cuánto mejorará su situación?
Solución
a) Primero se determina el equilibrio del mercado:
1805,1
25,0178
Y
YY
242
Luego, el equilibrio del productor:
El productor optimizará su producción cultivando 9 quintales.
b) Se sabe que: π = IT –C
IT = p.Y = 118 * 9 = 1.062,00C = 0,5(9)3 -0,25(9)2 +500 = 844,25
Π = 217,75
c) En este caso:
9
9
:Re
01185,05,1
118Re
5,05,1
2
2
Y
Y
solviendo
YY
pemplazando
YYp
CMgIMg
)25,0(.. YYpTI
pIMg
ppIMg
25,1
25,0
118
120
p
Y
243
El equilibrio:
Remplazando: p =118
Resolviendo:
d) El agricultor recibirá del estado:
e) Para saber cuánto mejora el agricultor, se debe calcular su nuevo beneficio:
Π’ = IT’ –C’
I.T. = 118(12,5) = 1.475,00
C = 0,5(10)3 -0,25(10)2 +500 = 975,00
Π = = 500,00
Este algodonero mejorará sus ingresos en:
(500-217,75) = 282,25
YYp 25,05,125,1 2
05,14725,05,1 2 YY
10Y
YY 25,0'
)10(25,0' Y
alesquY int5,2'
244
5. Una empresa monopólica que produce un bien industrial, tiene una demanda queproviene de dos poblaciones, norte y sur, cuyas respectivas funciones de demanda son:
YN = 200 -8p y
YS = 146 -2p
Asimismo, tiene una función de costo total:
a) Determine el equilibrio del monopolista. Grafique.b) ¿El monopolista obtendrá beneficios o pérdidas?.c) Si el Estado aplica un impuesto de monto fijo de 500 unidades monetarias ¿qué
pasará con la producción?¿seguirá obteniendo beneficios extraordinarios?.Grafique.
d) En condiciones de competencia perfecta ¿cuál sería el precio y la cantidad deequilibrio?. Grafique.
e) Calcule la pérdida del excedente del consumidor al pasar de una situación decompetencia perfecta a una de monopolio. Grafique
Solución
a) El equilibrio del consumidor implica satisfacer dos condiciones:
Primera condición: CMg = IMg
Entonces, se deduce el CMg:
Luego, se tiene que determinar el IMg. Primero hallamos la demanda de mercado:
Que en su forma inversa será:
000.153
001,0 3 YYC
5001,0 2 YCMg
pY
pY
pYS
N
10346
2146
8200
Yp 1,06,34
245
El Ingreso total: IT = P.Y
Entonces,
Retomando la primera condición, y reordenando:
Resolviendo la cuadrática:
la segunda condición:
no es necesario aplicarla ya que uno de los resultados se descarta por sernegativo.
Finalmente el precio de equilibrio:
Por tanto el monopolista se encontrará en equilibrio produciendo 99 unidades yfijando el precio en 24,70 unidades monetarias.
b) Obtendrá beneficios o pérdidas
Beneficio Total Monopolista
Ingreso Total = P xY = (24,7) x (99) = 2.445,30- Costo Total = 0,001/3(99)3 +5(99) + 1.000 = 1.818,43
= Beneficio Total = 626.87
21,06,34 YYIT
YIMg 2,06,34
YY 2,06,345001,0 2
06,292,0001,0 2 YY
299
99'
Y
Y
Y
IMg
Y
CMg
7,24
)99(1,06,34
p
p
246
Beneficio unitario Monopolista
Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PM = 24,70- Costo Unitario = CT/Y = CMe CM = 18,37= Beneficio unitario = BM = 6,33
El monopolista está obteniendo beneficios extraordinarios
Gráfico: Equilibrio del Monopolista
P
c) Un impuesto de monto fijo de 500 unidades monetarias, afectará la función decostos:
Pero el costo marginal no se altera, por tanto, la producción de equilibriopermanece invariable.
Y99 173 346
34,6
PM= 24,7
CM= 18,4
5
EM
CMgM
PIMg
CMeM
500000.153
001,0' 3 YYC
500.153
001,0' 3 YYC
247
El nuevo costo total será:
El costo medio:
Los beneficios disminuirán pero seguirán siendo extraordinarios:
B = 24,7(99)- 2.318,43
B = 2.445,30 – 2.318,43
B = 126,87
Gráfico: Equilibrio del Monopolio con impuesto
P
d) En una situación comparativa con la competencia perfecta, el CMg del monopolistasería la curva de oferta del mercado, de tal manera que el equilibrio implicaría:
CMg = P
500.1)99(5)99(3
001,0' 3 C
43.318.2'C
Y99 173 346
34,6
PM= 24,7CM = 23,43
CM = 18,4EM
CMgM
PIMg
CMeM
43,2399
43,318.2' C
248
Resolviendo:
Luego, el precio:
Gráfico: Monopolio versus Competencia Perfecta
P
e) Pérdida del Excedente del consumidor
Excedente del consumidor en Monopolio:
YY 1,06,345001,0 2
)(229129 ' descartaseYY
7,21
)129(1,06,34
p
p
Y99 129 173 346
34,6
24,7PC= 21,7CC=18,3
5
EC
EM
CMgM
PIMg
CMeM
03,4902
)7,246,34(99
xECM
249
Excedente del consumidor en Competencia Perfecta:
Al pasar de una situación de competencia perfecta a una de monopolio, el consumidorpierde un excedente de 344.15 unidades monetarias.
2.Un monopolista se enfrenta a una curva de demanda representada por la función:
Si su estructura de costos responde a la ecuación:
a) ¿Qué volumen le convendrá producir al monopolista y cuál será su precio deventa?
b) En una coyuntura de competencia perfecta ¿cuál sería el equilibrio?c) ¿Cuánto más estaría ganando el monopolista con respecto a una situación
alterna de Competencia perfectad) Si al monopolista le aplican un impuesto específico de 1,5 por cada unidad
producida ¿cuál sería la proporción que pagan los consumidores?e) Halle la parte del excedente del consumidor que se apropia el monopolista al no
ser este mercado competitivo
Solución
a) Producción y precio del monopolista
Equilibrio del monopolista: IMg = CMg
Previamente, hay que calcular el IMg, partiendo del ingreso total (IT):
IT = P.Y
05,8322
)7,216,34(129
xECC
5,0Y20p
2058 YC
Y)Y20(IT 5,0
5,1YY20IT
250
Luego,
El equilibrio:
Resolviendo:
Entonces,
Por tanto, maximizará beneficios produciendo 64 unidades, vendiéndolas a 12unidades monetarias.
Gráfico: Equilibrio del Monopolista
P
5,0Y5,120IMg
5,0Y5,1208
12Y5,1 5,0
8Y 5,0
64Y
5,0)64(20p
Y64 200 400
20
PM= 12
CM= 11,2
8EM
CMg
P = 20-Y0,5IMg
CMe
12P
251
b) Homologando con la competencia perfecta
El equilibrio: P = CMg
Entonces,
Resolviendo:
El precio:
Gráfico: Comparación Competencia y Monopolio
P
820 5,0 Y
144Y
5,0)144(20p
125,0 Y
Y64144 400
20
PM= 12CC = 9,4PC=8
ECCMg
P = 20-Y0,5
IMg
CMe
EM
8p
252
c) Ganancias del monopolista con respecto a la Competencia perfecta
Beneficio Total
Monopolista
Ingreso Total = P x Y = (12) x (64) ITM = 768,00- Costo Total = 8(64) + 205 CTM = 717,00= Beneficio Total BTM = 51,00
Competencia Perfecta
Ingreso Total = P xY = (8) x (144) ITC = 1.152,00-Costo Total = 8(144) + 205 -CTc = 1.357,00
= Beneficio Total BTc= - 205,00
Beneficio Unitario
Monopolista
Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PM = 12,00- Costo Unitario = CT/Y = CMe -CM = 11,20= Beneficio unitario BM = 0,80
Competencia Perfecta
Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PC = 8,00- Costo Unitario = CT/Y = CMe -CM = 9,42= Beneficio unitario = BM =-1,42
El monopolista está obteniendo beneficios extraordinarios. Si la situación fuese decompetencia perfecta habría pérdidas
c) Si al monopolista le aplican un impuesto específico de 1,5.
La ecuación de costos se ve modificada de la manera siguiente:
C = 8Y +1,5Y + 205
2055,9 YC
253
Equilibrio:
Precio:
Proporción de pago de los consumidores:
Los consumidores pagarán 1 unidad monetaria más. Entonces, la proporción deeste monto con respecto al impuesto:
e) Excedente del consumidor (EC) que se apropia el monopolista al no estar éste enun mercado competitivo
EC en Competencia Perfecta
CMgIMg
5,95,120 5,0 Y
5,1
5,105,0 Y
27Y
49Y
5,0)49(20 P
720 P
13P
3
2
5,1
1
144
0
5,0 )20( CCC YPdyYEC
144
0
5,0 )144)(8()20( dxXECC
254
Efectuando:
EC en Monopolio
Efectuando:
El EC apropiado por el monopolista asciende a 405 unidades monetarias.
11525,1
20144
0
5,1
Y
YECC
115205,1
)144()144(20
5,1
CEC
115201728 CEC
576CEC
7685,1
2064
0
5,1
Y
YECM
76805,1
)64()64.(20
5,1
MEC
7680939 MEC
171MEC
64
0
5,0 )20( MMM YPdyYEC
64
0
5,0 )64)(12()20( dyYECM
255
3. Los costos totales de producción de una empresa monopólica son representables através de la función siguiente:
La demanda de mercado tiene como función:
En base a esta información se pide determinar:
a) El precio del monopoliob) Las ganancias del monopolio. Grafique.c) El impuesto a las ganancias que debe aplicar el Estado al monopolio
permitiéndole obtener una ganancia del 25% sobre sus ingresos totalesd) Si el monopolista establece otra planta, la cual opera con una función de costos
totales:
¿Cuánto producirá, y cuál será la producción de cada planta?
Solución
a) Precio del monopolista
Equilibrio del monopolista: IMg = CMg
Hallamos el IMg a partir del IT:
IT = P.Y
Así, de la función de demanda, obtenemos la función inversa:
500.12120
'2
YY
C
2)25,125,86( pY
000.10901,0 2 YYC
2)25,125,86( pY
5,025,125,86 Yp
5,025,8625,1 Yp
256
Luego,
El ingreso marginal,
Entonces, el equilibrio:
Ordenando:
Cambiando de variable:
Remplazando y resolviendo:
Retomando la variable:
El precio,
YYTI )8,069( 5,0
5,18,069 YYTI
5,02,169 YIMg
0602,102,0 5,0 YY
45,92'45,32 kyk
5,0)1053(8,069p
5,08,069 Yp
902,02,169 5,0 YY
25,0 kYkY
0602,102,0 2 kk
45,325,0 Yk
1053Y
257
d) Beneficios del monopolista
Beneficio Total
Ingreso Total = P xY = (43,04) x (1053) = 45.321,12- Costo Total = 0,01(1053)3 + 9(1053) + 10.000 = 30,565,09
= Beneficio Total = 14.756,03
Beneficio Unitario
Ingreso Unitario = IT/Y = PY/Y = PM = 43,04- Costo Unitario = CT/Y = CMe CM = 29,03
= Beneficio unitario = BM = 14,01
Gráfico: Ganancias del Monopolio
P
e) El impuesto a las ganancias que debe aplicar el Estado al monopoliopermitiéndole obtener una ganancia del 25% sobre sus ingresos totales
Y1053 7439
69
PM=43,03
CM=29,03
CMg
P = 69 -0,8Y0,5
IMg
CMe
04,43P
EM
258
Se debe cumplir que:
Remplazando:
e) Si el monopolista establece otra planta, la cual opera con una función de costostotales:
¿Cuánto producirá, y cuál será la producción de cada planta?
En este caso, la producción óptima implica la condición de equilibrio delmonopolista multiplanta:
Primero, encontramos el Costo marginal agregado (CMg):
%25TI
)t1(BM
%25B
ITt1
M
%25B
IT1t
M
)25,0(06,756.14
19,321.451t
7678,01t
%22,232322,0t
500.12120
'2
YY
C
21 CMgCMgCMgIMg
259
En planta 1, se halla CMg1 y se despeja Y1:
Asimismo, en la planta 2, se halla CMg2 y se despeja Y2:
Luego, se realiza la agregación, y se obtiene el CMg:
Entonces,
IMg = CMg
000.10901,0 211 YYC
902,0 11 YCMg
450CMg50Y 11
1,360
22
YCMg
186CMg60Y 22
500.121,3120 2
22
2 YY
C
450CMg50Y 11 186CMg60Y 22
636CMg110Y
55
318Y0091,0CMg
55
318Y0091,0Y2,169 5,0
260
Cambiando de variable:
Remplazando y resolviendo:
Retomando la variable:
El precio,
Por tanto,
Producción en planta 1:
CMg1 = 20,59
055
3477Y2,1Y0091,0 5,0
35,172'ky35,40k
5,0)1628(8,069p
72,36P
25,0 kYkY
055
3477k2,1k0091,0 2
45,325,0 Yk
1628Y
55
318)1628(0091,0CMg
59,20IMgCMg
261
Producción en planta 2:
CMg2 = 20,59
59,209Y02,0 1
579Y1
049.1Y2
59,201,360
Y2
49,1760
Y2
262
ANEXOS
263
ANEXO 1
La Restricción Presupuestaria
El consumidor busca maximizar su utilidad condicionado al gasto de su rentadisponible (m)
Dado el vector de precios de los bienes:
P = ( p1, p2 , ... pn)
y dado el vector de bienes:
La restricción presupuestaria será:
m = P.X
En el plano bidimensional (dos bienes) la restricción presupuestaria sería:
x1
x2
...
xn
X =
m = p1 x1 + p2 x2
m = p1 x1 + p2 x2 + ... pnxn
264
Representación Gráfica de la Restricción presupuestaria
Alteraciones de la Restricción Presupuestaria
a) Impuestos
Impuesto de monto fijo (sum lump)
Tiene el efecto de un impuesto a la renta, reduce el área factible o área de
consumo
Su efecto en la restricción presupuestaria será:
X2
x2 =m/p2 - (p1 /p2 )x1
m/p2
Area
Factible
X1m/p1
265
m-t =p1 x1 + p2 x2
Impuesto Específico sobre un bien
Se aplica un impuesto sobre cada unidad consumida de un bien. Con el ingresomonetario y los precios constantes, el consumo del bien afectado se reduce.
Así, si se grava el consumo del bien x1, entonces:
m = p1 x1 + t.x1 + p2 x2
m = (p1 + t)x1 + p2 x2
X1
X2x2 = (m-t)/p2, - (p1 /p2 )x1
(m-t)/p2
(m-t)/p1
X1
X2
m/p2
m/p1m/(p1+ t)
2
1
p
p2
1
p
tp
2
1
p
p
2
1
p
p
266
Impuesto específico sobre los dos bienes
m = p1 x1 + t.x1+ p2 x2 + t.x2
m = (p1 + t)x1 + (p2 +t)x2
reordenando:
Impuesto Ad valorem sobre un bien
Es un impuesto aplicado sobre las ventas de un bien. Su efecto es similar alimpuesto específico.
Si se gravan las ventas del bien x1, con una tasa r, entonces:
m = p1 x1 + r. p1 x1 + p2 x2
X2
X1
2
1
p
p
)(
)(
2
1
tp
tp
tp
m
1
2p
m
1p
m
tp
m
2
12
1
22 )(
)(
)(x
tp
tp
tp
mx
267
m =p1(1 +r) x1 + p2 x2
Impuesto Ad valorem sobre ambos bienes
Si se gravan las ventas tanto del bien x1 como del bien x2, con una tasa r,entonces:
Reordenando y simplificando:
X2
X1
2
1
p
p
2
1 )1(
p
rp
)1(1 rp
m
2p
m
1p
m
12
1
22 x
)r1(p
)r1(p
)r1(p
mx
)()( 22221111 xprxpxprxpm
)1()1( 2211 rxprxpm
268
X2
X1
2
1
p
p 2
1
p
p
)r1(p
m
1
2p
m
1p
m
)r1(p
m
2
12
1
22 )1(
xp
p
rp
mx
269
Anexo 2
Elasticidad y propiedades de la función de demanda
En el tema del comportamiento del consumidor se analizan algunas relaciones opropiedades, asociadas a las elasticidades, que deben cumplir los sistemas de demanda,denominadas condiciones, restricciones o propiedades de la función de demanda. Estasse deducen partiendo de la restricción presupuestaria (r.p.):
n
i 1
pi . xi(p,m) = m (i: bienes)
(1) Porcentaje o peso del gasto en un bien
Dividiendo la r.p. por m, se obtiene:
O de otra manera:
1w i
n
1i
(2) Condición de agregación de Engel
Diferenciando la r.p. con respecto a m:
Multiplicando y dividiendo por xi/m y su recíproco, obtenemos:
O lo que es lo mismo:
m
m
m
xpn
1i
ii
11
m
xi
p in
i
1x
m
m
x
m
xp
i
iiin
1i
270
(3) Condición de agregación de Cournot
Diferenciando la r.p. con respecto a pj:
( j: otro bien)
Multiplicando y dividiendo el primer término por Xi; y multiplicando por Pj, ydividiendo por m, ambos términos, ordenamos y obtenemos:
O lo que es lo mismo:
Cuando se tiene dos bienes:
Si varia P1 → w1ε11 + w2ε21 = -w1
Si varia P2 → w1ε12 + w2ε22 = -w2
(4) Condición de homogeneidad:
Aplicando simultáneamente la propiedad de homogeneidad de grado cero de lademanda ordinaria xi(pi,pj,m) y el teorema de Euler, se obtiene:
0xp
xp j
j
ii
n
1i
jji
n
ii ww
1
01
m
xm
p
xp i
j
ij
n
j
mx
p
x
mp j
j
in
i
i jj pp
i
i
xx
1
1,
1
imiw
n
i
271
Dividiendo ambos términos por xi:
O lo que es lo mismo:
En el caso de dos bienes:
ε11 + ε12 + ε m1 = 0
ε21 + ε22 + ε m2 = 0
im
n
j ij ,1
01
i
i
j
i
i
jn
j x
m
m
x
p
x
x
p
272
Anexo 3
ELECCION BAJO INCERTIDUMBRE
Cuando se toman decisiones de consumo e inversión, no siempre la variablesinvolucradas (precios, renta, etc.) se mantienen fijas en el tiempo, pues éstas puedendarse en un contexto de riesgo e incertidumbre.(Pindick). Así, los consumidores y lasempresas han de afrontar la incertidumbre cuando no están seguros de las respuestasde sus decisiones.
Lo relevante en la descripción del comportamiento de un agente económico es laprobabilidad que éste asigna a las consecuencias de sus acciones, ya que serán estasprobabilidades las que utilizará en sus propios cálculos y las que guiarán la adopciónde sus decisiones.
Un requisito para un comportamiento racional bajo incertidumbre es que el individuopueda traducir dicha incertidumbre en riesgo, asignando probabilidades a losresultados posibles. La probabilidad no es fácil de formalizar. Una interpretaciónobjetiva de la probabilidad se basa en la observación de la frecuencia con que tiendea ocurrir un acontecimiento
El economista adopta una actitud subjetiva de la probabilidad cuando existeincertidumbre (no existen experiencias o antecedentes que permitan fijar laprobabilidad). La ocurrencia de un resultado sólo podrá ser percibida intuitivamente,considerándola como una descripción de las creencias o del estado mental del agenteeconómico cuyo comportamiento se investiga.
Para analizar cuantitativamente el riesgo, previamente se requieren conocer lossiguientes conceptos
Lotería
Es un elemento del espacio de decisiones del consumidor o individuo
Representación de una lotería:
Si se tiene una lotería que promete un premio X con probabilidad p, o un premio ycon probabilidad 1- p, entonces:
P ° x + (1- p) ° y
se lee: “el consumidor recibirá un premio x con probabilidad p o el premio ycon probabilidad (1- p)”
273
Las loterías o las opciones de una lotería están sujetas a las preferencias delconsumidor, así:
P ° x + (1- p) ° y q ° w + (1- q) ° z
óP ° x (1- p) ° y
Por lo tanto, se les puede asignar una función de utilidad que describa tales preferencias,entonces:
U(P ° x + (1- p) ° y) > U(q ° w + (1- q) ° z)
ó U(P ° x ) > U( (1- p) ° y )
Valor Esperado
También denominado Esperanza de pagos o Equivalente cierto, mide el rendimientomedio de la lotería ponderando sus posibles resultados o pagos por su respectivaprobabilidad.
VE = p . x + (1- p) .y
Función de utilidad esperada
La función de utilidad esperada indica la valoración o utilidad de la lotería o juego parael consumidor. Se obtiene ponderando las utilidades de los posibles resultados por suprobabilidad respectiva.
FUE = p .U(x) + (1- p) .U(y)
Función de utilidad del valor esperado
La función de utilidad del valor esperado indica la utilidad del valor esperado oequivalente cierto, es decir, representa la utilidad que obtendría el consumidor si tuviesea su alcance el valor esperado.
FUVE = U[p . x + (1- p) . y ]
274
ACTITUDES ANTE EL RIESGO
Sea el siguiente juego:
Premio Probabilidad utilidad100 0.5 20300 0.5 30
Entonces,
VE = 0.5 (100) + 0.5 (300)= 50 + 150= 200
UE = 0.5(20) + 0.5(30)= 10 + 15
= 25
Según la proyección de la FUVE14 tendremos los siguientes casos:
d) Aversión al riesgo
U
100 200 300Unidades monetarias
14Como veremos más adelante, la trayectoria exacta de la FUVE será determinada por la función deutilidad del consumidor, dependiente de la riqueza: U =F(W)
donde, W: riqueza
UE =
UVE = U(200)30
25
20
U= U(W)
275
d) Amante del riesgo
U
100 200 300Unidades monetarias
En este caso, el individuo valora más el juego (UE) ya que la utilidad de éstesupera la utilidad del valor esperado (UVE <UE). Si le ofreciesen 200 (VE)para que deje de jugar, no aceptaría, preferiría el juego.
c) Neutral al riesgo
U
100 200 300
Unidades monetarias
El individuo es indiferente ante la alternativa de jugar o recibir con certeza los200, ya que ambas opciones le reportan la misma utilidad.
30
25
20
UE =UVE = U(200)
30
25
20
U= U(W)
UVE= U(200)= UE=
U= U(W)
276
REFERENCIALES
Referencia Bibliográficas
Benegas-Lynch, Alberto. BIENES PÚBLICOS, EXTERNALIDADES Y LOS FREE-RIDERS: EL ARGUMENTO RECONSIDERADO. En Estudios Públicos, 71 (invierno 1998).Buenos Aires.
Correa Espinoza, PercyEJERCICIOS DE TEORÍA MICROECONOMICA, Primeraedición, Fondo de Desarrollo Editorial Universidad de Lima. Perú. 1997.
Cortez, Rafael. y Rosales, Luis. 340 EJERCICIOS DE MICROECONOMIA. 1raedición. Apuntes de Estuio 59. CIUP. Lima. 2009.
Dieguez, Hector y Porto, Alberto. PROBLEMAS DE MICROECONOMÍA. Amorrortueditores. Buenos Aires. 1979.
Fernández-Baca, Jorge. MICROECONOMIA TEORIA Y APLICACIONES.Segunda Edicion. CIUP. Lima. 2010.
Frank, Robert: “MICROECONOMIA Y CONDUCTA”, 4ª edición, Editorial McGrawHillInteramericana S.A., España 2001.
Henderson, J. y Quandt, R. TEORIA MICROECONOMICA UnaAproximaciåonMatematica. Ediciones Ariel. Barcelona. 1970
Hirshleifer, Jack y Glazer, Amihai: “MICROECONOMIA, teoría y aplicaciones”, 5ªedición. editorial Prentice Hall Hispanoamericana S.A., México 1994.
Kafka, Folke: “TEORIA ECONOMICA”, 3ª edición, editorial CIUP, Lima 1994.
Koutsoyiannis, A. MODERN MICROECONOMICS. 2nd Edition. The MacmillanPress Ltd. Hong Kong. 1981
Le Roy, R. y Miller, Roger: “MICROECONOMIA”, 3ª edición, editorial Mc Graw-HillLatinoamericana S.A., Bogotá 1988.
Nicholson, Walter: “TEORIA MICROECONOMICA, principios básicos yaplicaciones”, 6ªedición, edit. Mc Graw – Hill, España 1997.
Perloff, Jeffrey: “MICROECONOMIA”, 3ª edición, editorial Pearson Education S.A.,España. 2004.
Parkin, Michael: “MICROECONOMIA”, 7ª edición, editorial Pearson. México 2006.
Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel: “MICROECONOMIA”, 5ª edición, editorialPrenticeHall, España 2001.
Ortiz, Alvaro. Manual y ejercicios corregidos de MICROECONOMIA.Fondo EditorialDepartamento de Economía y Planificación. Universidad Nacional Agraria La Molina.Lima. 2005
Varian, Hal: MICROECONOMIA INTERMEDIA, un enfoque actual. 5ª edición.AntoniBosh editor S.A. España. 1999.
Varian, Hal: ANALISIS MICROECONOMICO”, 2ª edición, AntoniBosh editor S.A.,España 1992.
277
Referencias Electrónicas
http://microeconomia.org/freemind/
www.bing.com/search?q=manual+de+microeconomia+osinergmin&qs=ds&form=Q
BRE
http://economy.blogs.ie.edu/archives/2007/01/que_es_un_free.php
www.monografias.com/trabajos/ ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml
www.eumed.net/cursecon/3/equilibrio.htm - 20k
www.fing.edu.uy/catedras/economia/l1restricpptaria.pps
www.fing.edu.uy/catedras/economia/l2prefyutilidad.pps
www.gestiopolis.com/recursos/ experto/catsexp/pagans/eco/no10/equilibrio.htm
www.eumed.net/cursecon/ppp/envidia-y-solidaridad.ppt