Post on 02-Jun-2018
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
1/63
Instituto Tecnolgicode Tuxtla Gutirrez
Ingeniera Mecnica
CONTROL AUTOMTICO
UNIDAD 2
ANALISIS DE ESTABILIDAD
Ing. Samuel Gmez Peate
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
2/63
UNIDAD II: ANALISIS DE ESTABILIDAD
INTRODUCCIN: Concepto de estabilidad.
Muchos sistemas fsicos son intrnsecamente inestables en lazo abierto e
incluso muchos sistemas se disean para sean inestables en lazo abierto.
Definicin: Un sistema estable es un sistema dinmico con una respuesta
acotadapara una entrada acotada.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
3/63
En lo que se refiere a los sistemas lineales, se reconoce que el requisito de
estabilidad puede definirse en funcin de la localizacin de los polos de la
funcin de transferencia de lazo cerrado. Esta funcin se escribe como
()() = + = + = + 2 ++ donde
0 es la ecuacin caracterstica cuyas races son los polos del
sistema de lazo cerrado.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
4/63
La respuesta de la salida para una entrada impulso (cuando
0) es:
=
+ =
1 +
dondey son constantes que dependen de , , , y .Con el objeto de obtener una respuesta limitada,los polos del sistema de lazo
cerrado deben estar en la parte izquierda del plano .
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
5/63
Por esto, una condicin necesaria y suficiente para que un sistema derealimentacin sea estable es que todos los polos de la funcin detransferencia del sistema tengan partes reales negativas.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
6/63
Respuesta al impulso de un sistema estable
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
7/63
Respuesta impulso de un sistema estable.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
8/63
SISTEMA CRITICAMENTE ESTABLE
Si la ecuacin caracterstica tiene polos simples sobre el eje imaginario (eje) con el resto de las races en el lado izquierdo del plano, la salida enestado estacionario tendr oscilaciones mantenidas para una entrada
limitada, a menos que la entrada sea una sinusoide (la cual est limitada)
cuya frecuencia sea igual a la magnitud a las races del eje.Para este caso la salida esta sin acotar y al sistema se le denominamarginalmente estable o crticamente estable.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
9/63
Por ejemplo: Si la ecuacin caracterstica de un sistema en lazo cerrado es:
+ 10 + 16 0Se dice que el sistema es marginalmente estable.
Ya que, si el sistema se excita con una sinusoide de frecuencia
4, la salida
esta sin acotar.
Veamos las siguientes graficas:
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
10/63
Respuesta al impulso de unsistema marginalmente estable
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
11/63
Respuesta de un sistema crticamente establea una entrada sinusoidal de frecuencia 7
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
12/63
Respuesta de un sistema crticamente establea una entrada sinusoidal de frecuencia 4.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
13/63
SISTEMA INESTABLE
Para un sistema inestable, la ecuacin caracterstica tieneal menos una raz en
el lado derecho del plano
oraces en
repetidas; para este caso la salida
est sin acotar para cualquier entrada.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
14/63
CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ
Maxwell y Vishnegradskii consideraron por primera vez el problema de la
estabilidad de los sistemas dinmicos. A finales de la dcada de 1800, A .
Hurwitz y E. J. Routh publicaron por separado un mtodo para investigar la
estabilidad de un sistema lineal.
El mtodo de la estabilidad de Routh-Hurwitz proporciona una respuesta al
problema de la estabilidad considerando la ecuacin caracterstica del
sistema, que en funcin de la variable de Laplace se escribe como
+ + + + 0
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
15/63
El criterio de Routh-Hurwitz se basa en el ordenamiento de los coeficientes
de la ecuacin caracterstica+ + + + 0en una lista como sigue:
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
16/63
Entonces las filas subsecuentes de la lista se completan como sigue.
donde
1
y as sucesivamente.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
17/63
CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ
El criterio de Routh-Hurwitz establece que el numero de races de()con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signode la
primera columna de la lista
Para un sistema estable, este criterio requiere que no haya cambios de signo en
la primera columna. Este requisito es tanto necesario como suficiente.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
18/63
Existen cuatro casos o configuraciones diferentes de la primera columna de la
lista que deben ser consideradas y tratadas independientemente, puesto querequieren modificaciones adecuadas del procedimiento de clculo de la lista.
1) Ningn elemento en la primera columna es cero
2) Hay un cero en la primera columna, pero otros elementos de la fila que
contienen al cero de la primera columna no son iguales a cero.
3) Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila que
contienen al cero tambin son iguales a cero. (todo una fila es cero)
4) Como el tercer caso, pero con races repetidas sobre el eje.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
19/63
CASO 1: Ningn elemento en la primera columna es cero
Ejemplo: Sistema de segundo orden.
La ecuacin caracterstica de un sistema de segundo orden es
+
+
El arreglo de Routh-Hurwitz se escribe como:
0 0donde: 1 0 (0)
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
20/63
0 0
El requisito para que un sistema estable de segundo orden es
simplemente que todos los coeficientes sean positivos o que todos
sean negativos.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
21/63
Ejercicio:Sistema de tercer orden
El polinomio caracterstico de un sistema de tercer orden es
+ + + a) Encontrar el arreglo de Routh-Hurwitzb) Encontrar las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema
sea estable.
c) Analizar el siguiente polinomio caracterstico y determinar si esestable o inestable. + + 2 + 24
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
22/63
CASO 2: Hay un cero en la primera columna, con algunos elementosdiferentes de cero.
Si nicamente un elemento del arreglo en la primara columna es cero,
este puede reemplazarse por un nmero pequeo positivo,
, que se
permite que tienda cero despus de completar el arreglo.
Por ejemplo, considrese el siguiente polinomio caracterstico:
+ 2
+ 2
+ 4
+ 11 + 10
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
23/63
Se desarrolla el arreglo de Routh-Hurwitz :
12 2411100
121 22 4 1 4 2 (2)2 0
121 112 10 1 10 2 (11)2 6
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
24/63
120246 11100
Por lo tanto
,
12
246
111000
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
25/63
12 46
2 6 (4)
12 10 0 2 0 (10)
1 2 112 4 10 6 0 10 0
0 0
1
12
61210
10 12 612
10+ 7212
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
26/63
10+ 12
12 10
+ 7212 6
1 2 112 4 10 6 0 10 06 0 0 0 06 106 10
Resultado:
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
27/63
1 2 112 4 10 6 0 10 06 0 010 0 0
Hay dos cambios de signo debido a .Por lo tanto el sistema es inestabley dos races caen en la parte derecha del plano
.
Utilizando Matlab se tiene que los polos son:
0.8950 + j 1.4561
0.8950 j 1.4561
-1.2407 + j 1.0375
-1.2407 - j 1.0375
-1.3087
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
28/63
CASO 3: Hay un cero en la primera columna y los otros elementos de la fila
tambin son cero.
Ocurre cuando todos los elementos de una fila son cero o cuando la fila est
constituida por un solo elemento que es cero. Esta condicin se presenta
cuando el polinomio contiene singularidades que se localizan
simtricamente respecto al origen del plano. Por tanto, el caso 3 ocurrecuando se encuentran factores como + 0 + .Este problema s evita utilizando elpolinomio auxiliar,(), que precedeinmediatamente al elemento cero en el arreglo de Routh-Hurwitz. El orden
del polinomio auxiliar siempre es par e indica el nmero de pares de
races simtricas.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
29/63
Para ilustrar este mtodo, se considera un sistema de tercer orden con un
polinomio caracterstico:
+ 2+ 4 + donde es una ganancia ajustable del lazo. El arreglo es entonces:
1 42 8 2 0
0Por tanto, para un sistema estable, se requiere que:0 < < 8
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
30/63
Cuando 8, se tienen dos races en el eje y un caso de estabilidadmarginal. Obsrvese que se obtiene una fila de ceros (caso 3) cuando
8.
El polinomio auxiliar(), es la ecuacin de la fila que precede a la de ceros.En este caso la ecuacin de la fila que precede a la de ceros es la que seobtiene de la fila. Recurdese que esta fila contiene los coeficientes depotencias pares de , y, por tanto, en este caso se tiene
2+ 2+8 2 + 2 ( 2)Por tanto cuando 8, los factores del polinomio caracterstico son
( + 2) + 2 ( 2)La respuesta del caso marginal es una oscilacin inaceptable.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
31/63
TAREA1:
1. Considrese el control de un brazo robtico. Existen alrededor de un milln
de robots en servicio en todo el mundo. El robot que se muestra en la figuraes un sistema microbot de seis patas que utiliza patas muy flexibles con
controladores de alta ganancia que pueden llegar a ser inestables y
oscilatorios. Con esta condicin, se tiene el polinomio caracterstico:
+ + 4+ 24+ 3 + 63Mediante el criterio de Routh-Hurwitz determinar si el sistema es o no
estable.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
32/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
33/63
3. Considere el sistema representado en forma de variables de estado.
+ + donde
0 1 00 0 1
,
001
,
1 0 0,
0a) Cul es la funcin de transferencia del sistema?b) para qu valores de , el sistema es estable?
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
34/63
ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
En la prctica el desempeo de un sistema se mide ms realsticamente por
sus caractersticas en el dominio del tiempo. Esto contrasta con el anlisis y
diseo de sistemas de comunicacin para los cuales la respuesta en frecuencia
es de mayor importancia, ya que la mayora de las seales a ser procesadas son
de tipo sinusoidal o estn compuestas por componentes sinusoidales.
La respuesta en el tiempo de un sistema es normalmente ms difcil de
determinar analticamente, especialmente para sistemas de orden superior. En
mtodos de diseo no hay mtodo unificado para llegar a un sistema diseado
que cumpla con las especificaciones de desempeo en el dominio del tiempo.Por otra parte en el dominio de la frecuencia se tiene un conjunto de
mtodos grficos que no est limitado a sistemas de bajo orden.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
35/63
DEFINICION:
La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del
sistema en el estado estacionario a una seal sinusoidal de entrada.
La sinusoide es una seal de entrada nica, y la seal de salida resultante paraun sistema lineal, al igual que las seales a travs del sistema, es sinusoidal en elestado estacionario; difiere de la forma de onda de entrada solamente en amplitudy ngulo de fase.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
36/63
Se considera el sistema ()con . Se tiene que latransformada de Laplace de
()es:
+ y
()() ()=( + )donde se supone que son polos distintos. Entonces, fracciones parciales,se tiene:
+ ++ + + + +
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
37/63
Tomando la transformada de Laplace inversa se obtiene:
++ + + +donde y son constantes que dependen del problema. Si el sistema esestable, entonces todos los
tienen parte real distinta de cero y positiva y
lim lim + + Porque cada termino exponencial
decae a cero cuando
.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
38/63
En el lmite para
, se obtiene, para
(estado estacionario),
+ + 1 () ( + )
()( + )donde ().
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
39/63
Por lo tanto la seal de salida en estado estacionario depende solo de la
magnitud y de la fase de () a una frecuenciaespecifica.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
40/63
GRAFICA DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
La funcin de transferencia de un sistema puede escribirse en eldominio de la frecuencia por la relacin. ()= + ()
donde: () y ()Alternativamente, la funcin de transferencia puede representarse por una
magnitud () y una fase () como: ()() () ()() + ()
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
41/63
La representacin grfica de la respuesta en frecuencia del sistema() sepuede utilizar:
()= + () (8.8)
(8.9)
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
42/63
La representacin grfica polar de la repuesta en frecuencia se obtiene
utilizando la ecuacin (8.8), como se muestra en la figura 8.1, las
coordenadas de la grfica polar son las partes real e imaginaria de().
ReG(j)=R()
ImG(j)=X()
0
Fig 8.1 Plano polar
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
43/63
EJEMPLO: Respuesta en frecuencia de un filtro
En la Figura 8.2 se muestra un filtro simple. Su funcin de transferenciaes
()() 1 +1
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
44/63
Y la funcin de transferencia sinusoidal en estado estacionario es:
1 + 1 1+ 1donde
1Entonces la grfica polar se obtiene mediante la relacin
) + (1 + 1
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
45/63
11 +1 +Parte real en rojo
Parte imaginaria en azul
El primer paso consiste en determinar
()y
()en las dos frecuencias,
0 y .En 0, se tiene que 1 y 0.En
, se tiene que
0y
0.
Estos dos puntos se muestran en la Figura 8.3
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
46/63
Adems, en esta figura se muestra el lugar geomtrico de las partes real eimaginaria, y fcilmente se demuestra que es un crculo con centro en(1/2,0).
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
47/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
48/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
49/63
ESTABILIDAD RELATIVA: Margen de ganancia y margen de fase
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
50/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
51/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
52/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
53/63
MARGEN DE GANANCIA
El cruce de fase.Un cruce de fase sobre la traza de()es un punto en elcual la traza se intersecta con el eje real negativo.
Frecuencia de cruce de fase: La frecuencia de cruce de fase
es la
freuencia en el cruce de la fase, o donde Margen de ganancia:es la cantidad de ganancia en decibeles (dB) que se pueden
aadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
54/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
55/63
MARGEN DE FASE
Cruce de ganancia:El cruce de ganancia es un punto sobre la traza
()en el
cual la magnitud de () es igual a 1.Frecuencia del cruce de ganancia:La frecuencia del cruce de ganancia,es lafrecuencia de
()en el cruce de ganancia o donde
() 1Margen de fase (PM):se define como el ngulo en grados que la traza
()se
debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por punto1, 0 .
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
56/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
57/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
58/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
59/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
60/63
ANALISIS DE ESTABILIDAD CON LA GRAFICA DE BODE
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
61/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
62/63
8/10/2019 UNIDAD II control avanzado.pdf
63/63