Post on 10-Jan-2016
ADMINISTRACIN BANCARIA Y
FINANCIERA
ADMINISTRACIN DE NEGOCIOS
INTERNACIONALES
MATEMTICA
UNIDAD 2 NMEROS REALES
PROFESOR:
FREDDY BEGAZO ZEGARRA
AREQUIPA - 2014
Nmeros Reales Unidad II
2
CONTENIDOS
Introduccin
. 03
Nmeros reales
. 04
Expresiones algebraicas . 04
Polinomios . 05
Leyes de exponentes . 07
Operaciones algebraicas . 09
Productos notables . 10
Factorizacin . 13
Fracciones algebraicas . 15
Ecuaciones . 17
Inecuaciones . 24
Problemas de aplicacin . 27
Bibliografa . 32
Nmeros Reales Unidad II
3
INTRODUCCIN
En esta segunda unidad analizamos y desarrollamos conceptos bsicos de nmeros
reales, los cuales estarn descritos por las propiedades, axiomas, definiciones y
teoremas que establece la parte fundamental de la matemtica.
Se requiere de conocimientos bsicos del algebra escolar tales como operaciones
algebraicas, productos notables y factorizacin, conceptos que estarn orientados a
mejorar tcnicas para la resolucin de ecuaciones e inecuaciones, que sern aplicados
en la solucin de problemas.
Nmeros Reales Unidad II
4
NMEROS REAALES
1. Sistema de Nmeros Reales
Es un conjunto ,R dotado de dos operaciones, adicin y multiplicacin y una relacin de orden "" que se llama menor que y que satisface o cumple los siguientes axiomas.
Axiomas de la adicin:
RbaRbaA ;;1 :clausura de Ley
abbaRbaA ;;2 :aconmutativ Ley
cbacbaRcbaA ;;;3 :asociativa Ley aaaRRaA 00/0!;4 :aditivo Neutro del unicidad y Existencia
0/)(!;5 aaaaaRaA :aditivo inverso del unicidad y Existencia
Axiomas de la multiplicacin:
RbaRbaM ;;1 :clausura de Ley
abbaRbaM ;;2 :aconmutativ Ley
cbacbaRcbaM ;;;3 :asociativa Ley aaaRRaM 11/1!;4 :tivomultiplica Neutro del unicidad y Existencia
1/)(!;05 111 aaaaaRaM :tivomultiplica inverso del unicidad y Existencia
Leyes distributivas
cbcacba
cabacbaRcbaD
:;;
2. Expresiones algebraicas Una expresin algebraica es la combinacin de nmeros y
letras (variables) que se relacionan por las operaciones bsicas de suma, resta,
multiplicacin, divisin, potencia y radicacin.
Ejemplo:
Las siguientes expresiones, son expresiones algebraicas:
554)
5
233)
2
432
aab
xyxyyxa
Nmeros Reales Unidad II
5
Un trmino algebraico, es la combinacin de nmeros y letras relacionadas por las operaciones de multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, es decir, los trminos
algebraicos estn separados por los signos de suma y diferencia en la expresin algebraica.
Ejemplo:
En el trmino: 323 yx se observan las siguientes partes
literal parte
ecoeficient
signo
:
:3
:
32yx
Un factor es cada uno de los componentes del trmino algebraico.
El grado de un trmino algebraico, es la suma de los exponentes de las variables; el grado de una constante es cero.
Se denominan trminos semejantes, aquellos trminos que tienen la misma parte literal
3. Polinomios Un polinomio es una expresin algebraica que presenta las siguientes caractersticas:
i. Un polinomio presenta un nmero finito de trminos. ii. Los exponentes de las variables de un polinomio son enteros positivos
Un polinomio en x es:
011
1 ...)( axaxaxaxPn
nn
n
Ejemplo:
xyyxyxyxPb
xxxPa
2232
2
4),()
243)()
En el primer caso el polinomio P depende la variable x ; en el segundo caso el polinomio P depende de las variables yx e
Ejemplo:
Determine si es polinomio o no, en las siguientes expresiones algebraicas
243)() 2 xxxPa Si es polinomio
Nmeros Reales Unidad II
6
xxxxPb 224)() No es polinomio
...1)() 5432 aaaaaaPc No es polinomio
33
4)() 3 y
yyPd No es polinomio
24)() 32
xxxPe No es polinomio
3.1. Valor numrico de un polinomio Es el valor que toma el polinomio cuando se reemplaza en l valores asignados a sus variables.
Ejemplo:
a) Sea el polinomio 142)( 2 xxxP ; halle )3(P
31
11292
13432)3(2
P
b) Sea el polinomio 22 23);( yxyyxyxP ; halle )2;1(P
6
44213
2212213)2;1(22
P
3.2. Cambio de variable en un polinomio Es la expresin que se obtiene al cambiar la variable del polinomio por otra.
Ejemplos:
a) Sea el polinomio 33)( 2 xxxP ; halle )( xP
33
33)(
2
2
xx
xxxP
b) Sea el polinomio 42)( 2 xxxP ; halle )1( yP
14
42212
4121)1(
2
2
2
yy
yyy
yyyP
Nmeros Reales Unidad II
7
4. Leyes de los exponentes
La potencia n-sima de ""a , es na con n entero positivo; donde aaaaaan .... ; n veces
Algunas propiedades sobre exponentes que sern de utilidad en el curso son:
1. 0;10 aa si
2. mnmn aaa
3. 0; aaa
a mnm
n
si
4. mnmn aa 5. nnn baba
6. n
nn
b
a
b
a
7. 0,1
;1
aaaa
a nnn
n si
8. 0;;
baa
b
b
ann
si
9. mnn mnmnn aaaaa //1 ;
Ejemplos:
1) Simplificar las expresiones siguientes; dar la respuesta sin parntesis y los exponentes con signo positivo.
a) 32223 32 yxyx
y
x
yx
yxyxyxyx
12
112
364632223
108
108
27432
Nmeros Reales Unidad II
8
b)
3
31
222
21
12 3
3
2
by
ax
ba
yx
9
542
942
566
9
366
24
24
3
9
3662
2
2
3
3
222
2
23
31
222
21
12
4
243
4
243
27
4
9
27
2
3
3
3
23
3
2
b
yax
bxa
yax
b
yax
ax
yb
b
yax
ax
yb
b
yax
yb
ax
by
ax
ba
yx
2) Simplificar las siguientes expresiones:
a) 1122
1212
3535
3535
mmmm
mmmm
B
515
143
143
1
5
1135
3
1535
335535
335355
3535
3535
2
2
1122
122
1122
1212
mm
mm
mmmm
mmmm
mmmm
mmmm
B
Nmeros Reales Unidad II
9
b) 2
23
168
422
m
mxx
xA
2222
222
2222
2222
22
222
168
42
432
433
8463
423
8463
423
2
23
2
mx
mx
mx
mxx
mx
mxx
m
mxx
xA
5. Operaciones algebraicas 5.1. Suma y resta de expresiones algebraicas: Para sumar y restar expresiones
algebraicas, se suma o resta los coeficientes de los trminos semejantes
Ejemplos:
a) Efectuar: 13453353 22 aaaaa
Suprimiendo los signos de agrupacin:
13453353 22 aaaaa
Efectuando los trminos semejantes
1112 aa
b) Efectuar: 1423532352 222332232 xyyyyxyxyxyyx
Suprimiendo los signos de agrupacin:
31262106352 222332232 xyyyyxyxyxyyx
Efectuando los trminos semejantes
3517410 23223 yxyyxyx
Nmeros Reales Unidad II
10
5.2. Multiplicacin de expresiones algebraicas: Para multiplicar dos expresiones algebraicas debe emplearse la propiedad distributiva y leyes de los exponentes
Ejemplo:
a) Efectuar: 2233132 2 xxxxx
Suprimiendo los signos de agrupacin y aplicando la propiedad distributiva repetidas veces
426339362 2223 xxxxxxxx
Efectuando
742
4433832
3
223
xx
xxxxx
b) Efectuar: 1243132312 2 aaaaaaaa
Suprimiendo los signos de agrupacin y aplicando la propiedad distributiva
11016
8822916132
18262063472
148239323362
23
22323
2223
22223
aaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
6. Productos Notables: Son aquellos productos directos y que se reconocen fcilmente. Los
principales productos notables son:
6.1. Cuadrado de una suma o diferencia:
222
222
2
2
bababa
bababa
6.2. Diferencia de cuadrados:
22 bababa
Nmeros Reales Unidad II
11
6.3. Cuadrado de un trinomio::
bcacabcbacba 2222222
6.4. Cubo de una suma o diferencia:
32233
32233
33
33
babbaaba
babbaaba
6.5. Suma o diferencia de cubos:
3322
3322
babababa
babababa
6.6. Identidades de Legendre:
abbaba
bababa
4
2
22
2222
Ejemplo: 1) Efectuar los siguientes productos notables:
a) 223 x
4129
2232323
2
222
xx
xxx
b)
2
23
2
ba
43
2
9
4
223
22
3
2
23
2
22
222
baba
bbaaba
Nmeros Reales Unidad II
12
c) 33yx
64223
64223
322222332
27279
279333
333333
yxyyxx
yyxyxx
yyxyxxyx
d) 3232 3434 yxyx
64
23223232
916
343434
yx
yxyxyx
e) 3232 3434 yxyx
33
3322
12527
532515953
ba
babababa
f) 232232 22 yxyx
32
32232232
8
2422
yx
yxyxyx
g) 2424 4343 baba
82
82
2422424
3218
1692
4324343
ba
ba
bababa
h) 232 cba
bcacabcba
cbcabacbacba
641294
32223223232
222
2222
Nmeros Reales Unidad II
13
2) Simplifique las siguientes expresiones aplicando productos notables.
a)
22
222222 4422
baba
bababa
abab
ba
ab
ba
ab
baba
ab
baba
ab
baba
baba
bababa
164
64
4
444
4
444
4
4444
4
44424422
22
22
222222
222222
222222
22
222222
b) Si 814 2 ba Calcule 22 2222 babababa
36
94
814
44
224
2242222
2
22
ba
baba
babababababa
7. Factorizacin: La factorizacin es un proceso algebraico que consiste en describir una expresin algebraica en forma de producto.
7.1. Factor comn: Se utiliza cuando todos los trminos del polinomio tienen un factor en comn que puede ser un monomio o un polinomio
Nmeros Reales Unidad II
14
Ejemplo:
1) Factoriza las siguientes expresiones.
a) 32223 842 abbaba
baaababbaba 422842 2232223 b)
643345 804032 yxbxyx
3233643345 10548804032 xyyxyxyxyxyx
c) xaxaxa 3323 23
126693
13233
33233323
22
2
2323
xaxaxaxa
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
7.2. Agrupacin de trminos: Se agrupan los trminos en binomios o trinomios, se
descomponen en dos factores aplicando el mtodo de factor comn monomio y finalmente el mtodo de factor comn polinomio.
Ejemplo:
a) bybxayax 326
bayxyxbyxa
bybxayaxbybxayax
23
332
326326
b) byaybxax 4386 22
yxbabaybax
byaybxaxbyaybxax
2
2
2222
243
43432
43864386
Nmeros Reales Unidad II
15
7.3. Identidades: Emplea principalmente los siguientes productos notables:
2233
2233
22
babababa
babababa
bababa
Ejemplo:
a) 728 2 a
338
98728 22
aa
aa
b) 63 278 ay
4222
32363
96432
32278
ayayay
ayay
8. Fracciones algebraicas: Una fraccin algebraica se define como la razn de dos polinomios, se llaman tambin expresiones racionales.
Ejemplo:
a) 9
134 2
x
xx
b) 22
2 43
ba
bab
En esta oportunidad, estudiaremos la simplificacin de las fracciones algebraicas y de
operaciones entre fracciones algebraicas:
Ejemplo: Simplifique las expresiones siguientes
a) ax
xaax
46
23 22
2
)23(2
23(
46
23 22
ax
ax
axax
ax
xaax
Nmeros Reales Unidad II
16
b) 22
33
xa
xa
xa
xaxa
xaxa
xaxaxa
xa
xa
22
22
22
33
)(
c) 54
322
2
xx
xx
5
32
)5(1
132
54
322
2
x
x
xx
xx
xx
xx
Ejemplo: Efecte las siguientes operaciones.
a) 152
6
4
822
2
2
2
xx
xx
x
xx
5
4
53
23
22
24
152
6
4
822
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
b) 154
151323
23
2
2
a
aaa
aa
aa
a
a
aaa
aaa
aa
aa
aaa
aaa
aa
aa
a
aaa
aa
aa
32
1
11
15
532
11
1
15
532
154
15132
2
2
23
23
2
2
Nmeros Reales Unidad II
17
c) 4
12
1
3
x
x
x
41132
41
122123
41
11243
4
12
1
3
2
2
xx
x
xx
xxxx
xx
xxx
x
x
x
d) 1
4
2
1
23
122
xx
x
xx
x
1284
12
841212
12
241112
1
4
2
1
12
12
1
4
2
1
23
12
2
2
2
xx
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
9. Ecuaciones: Una ecuacin es una igualdad de expresiones algebraicas, que se verifica
para uno o varios valores de la variable.
La solucin de una ecuacin es el valor o valores que satisfacen la ecuacin, el conjunto que contiene a estos valores se denomina conjunto solucin.
9.1. Clasificacin: Las ecuaciones se pueden clasificar como:
a) Segn su estructura: 1. Ecuaciones polinmicas:
Ejemplo:
0143 23 xxx
Nmeros Reales Unidad II
18
2. Ecuaciones fraccionarias
Ejemplo:
03
4
12
x
x
x
x
3. Ecuaciones irracionales
Ejemplo:
xx 312
b) Segn su naturaleza:
1. Compatibles: Son las que admiten alguna solucin
a. Determinadas: tienen un nmero finito de soluciones.
Ejemplo:
11
33
523
CS
x
x
x
b. Indeterminadas: tienen un nmero infinito de soluciones.
Ejemplo:
RCS
xx
xxx
22
2323
2223
2. Incompatibles: Son las ecuaciones que no admiten solucin
Ejemplo:
CS
xx
xxx
23
23
223
Nmeros Reales Unidad II
19
c) Segn sus coeficientes:
1. Numricas: Cuando todos sus coeficientes son nmeros.
Ejemplo:
0263 2 xx
2. Literales: Cuando sus coeficientes son letras.
Ejemplo:
0243 22 babxxa
9.2. Ecuaciones de primer grado con una variable:
Son ecuaciones que pueden reducirse a la forma Rbabax ;;0 , se conocen
tambin como ecuaciones lineales
Ejemplo: Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones
a) 4231 2 xxxx
3
5
3
553
053
42312
423122
2
CS
x
x
x
xxxxx
xxxx
Nmeros Reales Unidad II
20
b) 412 xxxx
3
2
3
223
023
42
41222
CS
x
x
x
xxxx
xxxx
9.3. Ecuaciones de segundo grado:
Son ecuaciones que pueden reducirse a la forma 02 cbxax , donde Rcba ,;0 ,
se conocen tambin como ecuaciones cuadrticas
La expresin acb 42 se conoce como el discriminante de la ecuacin cuadrtica
02 cbxax , por el cual se puede definir la naturaleza de las soluciones o races de la ecuacin.
a) Si 0 , la ecuacin tiene dos races reales y adems iguales. b) Si 0 , la ecuacin tiene dos races reales y distantes. c) Si 0 , la ecuacin tiene dos races complejas y conjugadas, en los
nmeros reales, la ecuacin no tiene solucin.
9.3.1. Solucin de ecuaciones cuadrticas: Las siguientes propiedades y/o frmulas
de los nmeros reales permiten y ayudan en la solucin de ecuaciones cuadrticas o de segundo grado.
1. Empleando la propiedad: bababaSiRba 22;;
Ejemplo: Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 092 x
Solucin:
3;333
9
092
2
CS
xx
x
x
Nmeros Reales Unidad II
21
b) 165 2 x Solucin:
9;119
5454
45
1652
CS
xx
xx
x
x
c) 422 2 x Solucin:
22;222222
22
222
CS
xx
x
x
2. Empleando la propiedad: 000;; babaSiRba
Ejemplo: Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 0162 x
Solucin:
4;444
0404
044
0162
CS
xx
xx
xx
x
Nmeros Reales Unidad II
22
b) 0352 2 xx Solucin:
2
1;3
32
1
03012
0312
0352 2
CS
xx
xx
xx
xx
c) 4123213 xxxxxx
Solucin:
111
0101
011
012
4226232
4123213
2
222
CS
xx
xx
xx
xx
xxxxxx
xxxxxx
3. Empleando la formula general (ecuacin general)
a
acbbxcbxaxSi
2
40
22
Nmeros Reales Unidad II
23
Ejemplo: Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 0232 xx Solucin:
2
173;
2
173
2
173
2
173
2
173
)1(2
)2)(1(4)3()3(
231
023
2
2
CS
xx
x
x
cba
xx
b) 324132 xxxxx Solucin:
6;12
75
2
75
2
495
)1(2
)6)(1(4)5()5(
651
065
032432
324132
2
2
22
CS
xx
x
x
cba
xx
xxxxx
xxxxx
Nmeros Reales Unidad II
24
c) 0852 xx Solucin:
CS
x
x
cba
xx
4
395
)2(2
)8)(2(4)5()5(
852
0852
2
2
10. Inecuaciones: Una inecuacin es toda desigualdad que contiene una o ms variables y que se cumple para ciertos valores de las variables.
10.1. Propiedades de las desigualdades: sean Rcba ;; , entonces se tiene:
1. Si 0a entonces a es positivo 2. Si 0a entonces a es negativo 3. Si ba entonces baba
4. Si 0ba entonces 0000 baba 5. Si 0ba entonces 0000 baba 6. Si bac 0 entonces cbca
7. Si bac 0 entonces cbca
10.2. Inecuaciones de primer grado: Es aquella desigualdad que se puede reducir a
la forma:
0
0
0
0
bax
bax
bax
bax
Para resolver una inecuacin se debe aplicar propiedades de los nmeros reales y de
intervalos.
Nmeros Reales Unidad II
25
Ejemplo: Resuelva las siguientes inecuaciones.
1. 4314 xxxxx
Solucin:
;0
0
07
4343
431422
CS
x
x
xxxxx
xxxxx
2. 43121 2 xxxx Solucin:
;8
3
8
3
038
038
4315
432312
4312122
2
CS
x
x
x
xx
xxxxx
xxxx
10.3. Inecuaciones de segundo grado: Es aquella desigualdad que se puede reducir a la forma:
0
0
0
0
2
2
2
2
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
Nmeros Reales Unidad II
26
10.4. Mtodo de los puntos crticos: Mtodo empleado para resolver inecuaciones de segundo grado.
1. Valor crtico es el valor de la variable que hace cero la expresin algebraica 2. Se colocan los valores crticos sobre la recta numrica, con lo cual se divide la
recta numrica en intervalos. 3. Se asigna los signos positivo y negativo de forma alternada de derecha a
izquierda, empezando a la derecha del mayor valor crtico. 4. El conjunto solucin est determinado por aquellos intervalos con signo
positivo si la inecuacin es mayor o mayor igual a cero, o la unin de
intervalos con signo negativo si la inecuacin final es menor o menor igual a cero.
Ejemplo: Resuelva las siguientes inecuaciones.
a) 0273 2 xx
Solucin:
3
1;2
23
1
0213
0273 2
CS
xx
xx
xx
b) 01272 xx Solucin:
;34;
34
034
01272
CS
xx
xx
xx
Nmeros Reales Unidad II
27
11. Problemas de aplicacin: En esta seccin mostraremos algunas aplicaciones a la economa, que es de inters en nuestro curso.
Algunos conceptos que debemos considerar en las aplicaciones
a) Costo total (C): es la suma del costo fijo ms el costo variable; el costo fijo (coste fijo) es aquel costo que permanece invariante a cualquier cambio en las actividades del negocio o empresa, mientras que el costo variable es el que cambia segn la
variacin que se da en la produccin, el costo variable es el precio de costo del
producto "" p y del nmero de unidades producidas ""x .
b) Ingresos (I): Se refiere al capital recibido por un negocio o empresa por la venta
de productos, el ingreso es igual al precio de venta del producto, "" p y del nmero
de unidades producidas ""x . c) Utilidad (U): tambin llamada ganancia o beneficio, es el resultado de restar los
ingresos (I) menos los costos (C), luego CIU .
Ejemplo: Resuelva los siguientes problemas.
a) Una compaa puede vender ""x unidades de su producto a un precio de
"" p dlares cada uno, en dnde xp 5800 . Si le cuesta a la compaa
8000200 x dlares producir ""x unidades. Cuntas unidades debera
producir y vender cada semana para lograr utilidades semanales de $ 9500?
Solucin: Para resolver los problemas se sugiere que sigas los siguientes pasos:
1. Nos piden determinar el nmero de unidades para que la utilidad sea de $9
500, por lo cual se plantea la siguiente ecuacin:
9500U
2. Encontrar la ecuacin de utilidad CIU , para ello definamos la ecuacin de ingreso y de costo total.
8000200 xC
258005800 xxxxxpI
Nmeros Reales Unidad II
28
80006005
58008000200
2
2
xxU
xxxU
3. Reemplazamos el dato de la parte 2 en la ecuacin de la parte 1. Y resolvemos la ecuacin.
4080
0)40)(80(
01600120
080006005
2
2
xx
xx
x
xx
4. Escribimos la respuesta del problema: Para lograr una utilidad de $ 9 500, la empresa debe producir y vender 40
u 80 unidades.
b) Un administrador analiza los modelos econmicos de su negocio y encuentra
que la ecuacin de demanda est determinada por la ecuacin: xp 3600
donde "" p representa el precio de venta y ""x las unidades que se venden;
adems conoce que el costo fijo de su inversin es de $10 000, y que el
precio de costo por unidad producida es de $ 63.
Solucin:
i. Si este administrador solo puede tener en costos $26 317, cuntas
unidades debe producir?
259
1631763
263176310000
26317
x
x
x
C
Debe producir 259 unidades para poder tener costos de $26 317
Nmeros Reales Unidad II
29
ii. Si requiere tener una utilidad equivalente a $ 23 840 Cuntas unidades
debe producir y cul sera el precio de venta?
14180
011280221
0338406633
84023100006633
8402363100003600
84023
84023
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xxx
CI
U
Respuesta:
Debe producir y vender 80 o 141 unidades para poder tener una utilidad
de $23 840.
Como el precio del producto est dado por la relacin:
xp 3600 tenemos:
Si 80x unidades, entonces 360)80(3600 p , el precio del
producto es de $360 la unidad.
Si 141x unidades, entonces 177)141(3600 p , el precio del
producto es de $177 la unidad.
Nmeros Reales Unidad II
30
c) Una empresa que comercializa repuestos de maquinaria pesada presenta las
siguientes ecuaciones econmicas: el costo total de produccin est dada
por 3000030010 2 xxC en dlares, donde ""x representa el nmero de
unidades y la ecuacin de demanda dada por xp 203000 donde "" p
representa el precio de venta.
1. Determine el nmero de unidades que debe vender para que el ingreso
sea igual a $112 000
2. Determine el nmero de unidades que debe producir y vender para que la
utilidad sea de al menos $ 24 000
Solucin:
1. Determine el nmero de unidades que debe producir para que el ingreso
sea igual a $112 000
8070
08070
05600159
0112000300020
000112203000
000112
000112
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xp
I
Respuesta:
Debe vender 70 u 80 unidades para poder tener un ingreso de $112 000.
2. Determine el nmero de unidades que debe producir y vender para que la
utilidad sea de $ 24 000
Solucin:
00024300003001020300000024C-I
00024
2
xxxx
U
Nmeros Reales Unidad II
31
60;30
06030
0180090
054000270030
240003000030010203000
2
2
22
x
xx
xx
xx
xxxx
Respuesta:
Debe producir y vender desde 30 hasta 60 unidades para lograr una
utilidad de al menos $24 000.
Nmeros Reales Unidad II
32
BIBLIOGRAFA
- Matemticas aplicadas a la Administracin Arya / Lardner / Ibarra 5 Edicin
2009
- Matemtica Bsica Eduardo Espinoza Ramos 2 edicin 2005
- Matemtica Bsica Ricardo Figueroa Garca 9 Edicin 2006
- Introduccin al Anlisis Matemtico Armando Venero 1987
- Algebra y Trigonometra con Geometra Analtica - Swokowski, Earl W. 2006
Mxico, Internacional Thomson.