UNIDAD 2

ÁLGEBRA

“Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

Álgebra

Es la rama de las matemáticas que trata a las cantidades de

manera general.

En esta unidad aprenderás a:

• Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables.

• Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas.

• Reconocer productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio.

• Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.

ContenidosContenidos2.1 Definiciones

2.1.1 Término algebraico

2.1.2 Expresión algebraica

2.2 Operaciones Algebraicas

2.2.1 Suma y resta

2.2.2 Multiplicación

2.2.3 Productos Notables

2.2.4 Factorización

2.1.3 Términos semejantes

2.2.5 División

2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

2.4 Máximo común divisor (M.C.D.)

2.1.1 Término algebraico

Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces.

Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”.

Ejemplos:

2.1 Definiciones

15a3b5,3w

2zab2c, 5x2y,

Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta.

2.1.2 Expresión algebraica

Ejemplos:

1) 4x2 – 3 5y

2) 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y

3) 2a3b2 + 5ab – 3a 2

Clasificación:

Monomio

Expresión algebraica que consta de un término algebraico.

Ejemplos:

Polinomio

Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

25a3, 45x2z59xy2,

2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos.

Ejemplo: 2a3b2 + 5ab – 3a2

Ejemplo:

1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

4x7y2 + 5xy

Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.

Ejemplo:

- Los términos y son semejantes.

- Los términos y no son semejantes.

2.1.3 Términos Semejantes

6a2b 5a2b

2x4 7x2

2.2. Operaciones algebraicas

2.2.1 Suma y Resta

Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes.

Ejemplo:ab2c + 3ab2c – 5ab2c = (1 + 3 – 5) ab2c

= (4 – 5) ab2c

= (– 1) ab2c

= – ab2c

En la suma de polinomios, se escribe cada polinomio uno detrás de otro y se reducen los términos semejantes.

Sumar los siguientes polinomios:

Suma de polinomios

En la suma, los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes:

En esta operación, es importante identificar el minuendo y el substraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes.

Realizar la siguiente operación:

Resta de polinomios

Para realizar la resta, primero se eliminan los paréntesis.

Para hacerlo, debemos recordar que el signo “menos” fuera del paréntesis, afecta a todos los monomios que están dentro de los paréntesis.

Por lo tanto, debemos invertir el signo de cada monomio en el segundo paréntesis, es decir, debemos cambiar los signos positivos por negativos y los negativos por positivos:

Posteriormente se reducen los términos semejantes:

3x ∙ 2xy =

2.2.2 Multiplicación

Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.

Ejemplo:

• Monomio por monomio:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo:

• Monomio por polinomio:

6x2y

3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) =

= 15a3b5 + 6a2b6 – 12a2b5

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.Ejemplo:

Polinomio por Polinomio:

(2x + y)(3x + 2y) =

= 6x2 + 7xy + 2y2

6x2 + 4xy + 3xy + 2y2

2.2.3 Productos Notables

Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

• Cuadrado de Binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplo:

La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:

(5x – 3y)2 =

(5x)2

- 2(5x∙3y) + (3y)2

= 25x2

- 30xy + 9y2

bab

a ab2

2

a b

b

a

a b

a

b

• Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando potencias...

Multiplicando...

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3

= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3

= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

(3x – 2y)3 =

• Suma por su diferencia:

Ejemplo: Aplicando la fórmula...

(a + b)∙(a – b) = a2 – b2

(5x + 6y)∙(5x – 6y) =(5x)2 – (6y)2

= 25x2 – 36y2

Producto de binomio:

Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + 4)∙(x + 2) =

= x2 + 6x + 8

x2 + (4 + 2)x + 4∙2

Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(y - 4)∙(y + 2) =

= y2 – 2y - 8

y2 + (-4 + 2)y - 4∙2

Cuadrado de trinomio:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)

(2x + 3y + 4z)2 = ?

= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

• Diferencia de cubos:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

8x3 – 64y3 =(2x)3 – (4y)3

= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )

= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

Suma de cubos:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3

= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)

= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.

• Factor común:Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y

Al descomponer...

(El factor común es : 2xy)

2.2.4 Factorización

2xy + 4xy2 – 6x2y =

= 2xy(1 + 2y – 3x)

• Factor común compuesto:Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo.

Ejemplo:

Agrupando...

Factorizando por partes...

Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...

xz + xw + yz + yw =

= (xz + xw) + (yz + yw)

= x(z + w) + y(z + w)

= (z + w)(x + y)

Factorizar:

• Reconocer productos notables:

Ejemplos:

1)

Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia.

2)

Corresponde a un producto de binomios con un término común..

36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y)

x2 + 5x + 6 =

(x + 2)(x + 3)

Desarrollando...

3)

Ambos términos son cubos perfectos. Luego, es una “diferencia de cubos”.

64x3 – 125y3 = (4x)3 – (5y)3

(4x)3 – (5y)3 =(4x- 5x)((4x)2 + 4x∙5y + (5y)2)

(4x- 5x)(16x2 + 20xy + 25y2)

(x + 5)(x – 4)

(x + 5)(x – 5)

2.2.5 DivisiónPara dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.

Ejemplos:

1)

Factorizando...

Simplificando...

=x2 + x - 20

x2 - 25

(x – 4)

(x – 5)=

Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:

(x – 4)

(x – 5)

(a + b)

(a – b) 1

a - b= ∙

(a + b)(a – b):

(a + b)(a + b) 1

a - b

2)

Factorizando y simplificando

Dividiendo:

(a + b)2

a2 - b2: 1

a - b=

(a + b)

(a – b)

1

a - b:=

= (a + b)

2.3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

• Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.

Ejemplo 1:

El m.c.m. entre:

3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 18x5y3z6

Ejemplo 2:

El m.c.m. entre:

x4y2z3 , x2y , xy6z

es: x4y6z3

x2 + 2x +1x2 + x

Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:

Determinar el m.c.m. entre:

y

m.c.m. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

x(x +1)2

2.4. Máximo común divisor(M.C.D.)

Entre monomios:Corresponde a los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1:

El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 3y

Ejemplo 2:

El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2

es: a4b

x2 + 2x +1x2 + x

Entre polinomios:

El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:

Determinar el M.C.D. entre:

y

M.C.D. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

(x +1)