Post on 25-Aug-2019
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Un modèle de contact visqueux pour lasimulation numérique d’écoulements
fluide/particules
Aline Lefebvre
Laboratoire de Mathématiques,Bât. 425, Université Paris-Sud - Orsay, France
GDT “Application des Mathématiques”Rennes, le 9 Janvier 2008
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Motivation
• Fluides complexes :étude des propriétés macroscopiques
• Exemple : viscosité apparente d’une suspension
• Cas dilué : études théoriques [Einstein, 1906]
• Cas concentré : nécessité de la simulation numérique
• Gestion des interactions rapprochées.
=⇒ Recherche d’une méthode gérant les contacts tout enprenant en compte les interactions rapprochées.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Notations
x i
Ω
θi
Bi
Ω ⊂ R2 domaine borné
(Bi)1≤i≤N inclusions rigides dans Ω
B = ∪Ni=1Bi domaine rigide
x i coordonnées du centre de masse de Bi
θi angle par rapport à la verticale de Bi
V = (Vi = x i)i
ω = (ωi = θi)i
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Problème considéré
u = (u1, u2) et p définis dans Ω \ BV ∈ R
2N et ω ∈ RN
Ecoulement fluide/particules
Navier-Stokes : ρfDuDt
− µu + ∇p = fΩ\B dans Ω \ B
∇ · u = 0 dans Ω \ B
u = 0 sur ∂Ω
Mouvement rigide : u(x) = Vi + ωi(x − x i)⊥ sur ∂Bi ∀ i
PFD : mBi
dVi
dt=
∫
Bif i −
∫
∂Bi
σnds ∀ i
Jx i ωi =
∫
Bi
(x − x i)⊥ · f i −
∫
∂Bi
(x − x i)⊥ · σnds ∀ i
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Plan
1 Lubrification et contactCas lisseCas rugueux
2 Un modèle de contact visqueuxLe modèle plan/particuleSchéma numérique (plan/particule)Cas multi-particulesRésultats numériquesIntégration à un solveur fluide/particules
3 Simulation directe par une méthode de pénalisationDescription de la méthodeUn exemple : vésicules en cisaillementCouplage avec le modèle de contact visqueux
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Plan
1 Lubrification et contactCas lisseCas rugueux
2 Un modèle de contact visqueuxLe modèle plan/particuleSchéma numérique (plan/particule)Cas multi-particulesRésultats numériquesIntégration à un solveur fluide/particules
3 Simulation directe par une méthode de pénalisationDescription de la méthodeUn exemple : vésicules en cisaillementCouplage avec le modèle de contact visqueux
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Non-contact en temps fini
x
y
Uey
q
r
Hypothèses :
• Particules lisses
• Navier-Stokes
Résultat 2D : [M. Hillairet]Il n’y a pas contact en tempsfini.
Définition : Force de lubrification = Force exercée par lefluide visqueux sur la particule (notée Flub).
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Développement asymptotique
replacements
x
y
Uey
q
r
PFD au premier ordre
[Cox, Brenner, 1967]
Flub ∼ −6πµr2 Uq
ey (3D)
mq = −6πµr2 qq
+ mfy (1)
Propriété :
(1) possède une unique solution maximale qui est globale.
Point clé : mq(t) = C1 − C2ln(q(t)) + m∫ t
0fy (s)ds.
=⇒ pas de contact en temps fini.
Remarque : situation à la limite du contact.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Cas rugueux
r
q
qs < rs
r
r
q
qs < rsrs
rs − qs
Observation expérimentale [Vinogradova, Yacubov, 2006]
La force de lubrification exercée par un objet rugueux estéquivalente à celle qu’exercerait un objet lisse décalé.
Conséquences :• q + qs ne tend pas vers zéro en temps fini.
• Il peut y avoir contact en temps fini.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Plan
1 Lubrification et contactCas lisseCas rugueux
2 Un modèle de contact visqueuxLe modèle plan/particuleSchéma numérique (plan/particule)Cas multi-particulesRésultats numériquesIntégration à un solveur fluide/particules
3 Simulation directe par une méthode de pénalisationDescription de la méthodeUn exemple : vésicules en cisaillementCouplage avec le modèle de contact visqueux
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Comportement pour µ → 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
qµ(t)
solution non visqueuse
0.006≤µ≤ 0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5µ ln(qµ(t))
µ=0.2
µ=0.1
µ=0.05
µ=0.02
µ=0.006
fy = −2 1[0,2]+2 1[2,+∞[
qµ = −µqµ
qµ+ fy
qµ(0) = 0
qµ(0) = 1
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Modèle de contact visqueux
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
ag replacements
q(t)
γ(t)
fy = −2 fy = 2
Problème (P)
q+ = PCq,γq−
mq = mfy + λ
supp(λ) ⊂ t , q(t) = 0
γ = −λ
q ≥ 0, γ ≤ 0
Cq,γ =∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 si γ− < 0
R+ si
∣
∣
∣
∣
∣
γ− = 0
q = 0
R sinon
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Résultat de convergence
Modèle visqueux :
(Pµ)
mqµ(t) + γµ(t) =
mu0 + γ0µ + m
∫ t0 fy (s)ds
γµ(t) = µln(qµ(t))
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
qµ(t)
γµ(t)
fy = −2 fy = 2
Contact visqueux :
(P′)
mq(t) + γ(t) = mu =
mu0 + m∫ t
0 fy (s)ds
q ≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
q(t)
γ(t)
fy = −2 fy = 2
Propositions
⇒ Convergence de (Pµ) vers (P′) quand µ tend vers zéro.
⇒ Equivalence des problèmes (P) et (P′).
⊲⊲ Non-unicité des solutions dans le cas général.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Visqueux ou non visqueux ?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025 modèle de contact visqueuxmélasse : µ=100miel : µ=10huile de ricin : µ=1huile d’olive : µ=0.1sang : µ=0.025
couche defluide visqueux
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Prise en compte de la rugosité
r1
r2q
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
q, modèle non rugueuxγ, modèle non rugueuxq, modèle rugueuxγ, modèle rugueux
fy = −2 fy = 2
• rugosité =⇒ contact
• Modèle proposé : contact pour q = r1 + r2
=⇒ seuillage de γ : γ ≥ γmin = µln(r1 + r2)
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Schéma numérique
Rappel du modèle :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
PSfr
q(t)
γ(t)
fy = −2 fy = 2
Problème (P)
q+ = PCq,γq−
mq = mfy + λ
supp(λ) ⊂ t , q(t) = 0
γ = −λ
q ≥ 0, γ ≤ 0
Cq,γ =∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 si γ− < 0
R+ si
∣
∣
∣
∣
∣
γ− = 0
q = 0
R sinon
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Problème de projection associé
Problème (Pn)
qn, un, γn, f n connus, u solution de :
u ∈ K n,
12|u − (un + hf n)|
2m = min
v∈K n
12|v − (un + hf n)|
2m
avec (v , w)m = (mv , w)
K n =
v , qn + hv ≥ 0 si γn = 0
qn + hv = 0 si γn < 0
Alors ∃λ ∈ R tel que mu − un
h= mf n + λ
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Algorithme
Etapes de l’algorithme
qn, un, γn connus,
f n = 1h
∫ tn+1
tn fy (s)ds
un+1 solution de (Pn)
on a alors λn+1 tel que
m un+1−un
h = mf n + λn+1
γn+1 = γn − hλn+1
qn+1 = qn + hun+1
Equations continues associées
q+ = PCq,γq−
Cq,γ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 si γ− < 0
R+ si γ− = 0, q = 0
R sinon
mq = mfy + λ
γ = −λ
q = u
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Résultat de convergence
tn+1tn
qn
qn+1
tn+1tn
un
tn+1tn
γn
γn+1
tn+1tn
λn
Théorème
Si f est localement intégrable sur I, il existe une sous-suitetelle que
uh −→ u dans L1(I), qh −→ q dans W 1,1(I) avec q = u,
λh⋆
− λ dans M(I), γh −→ γ dans L1(I) avec γ = −λ,
où (q, γ) est une solution de (P ′).
⊲⊲ Non-unicité des solutions dans le cas général.
⇒ Méthodes "consistance+stabilité" non applicables.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Modèle multi-particulesplan/particule
q(t) ∈ R, γ(t) et λ(t) ∈ R
q ≥ 0, γ ≤ 0
Cq,γ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 si γ− < 0
R+ si γ− = q = 0
R sinon
q+ = PCq,γq−
γ = −λ
mq = mfy + λ
multi-particules
q(t) ∈ R2N , γ(t) et λ(t) ∈ R
N(N−1)/2
Dij ≥ 0, γij ≤ 0
Cq,γ =
v tq.∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Gij · v = 0 si γ−
ij < 0
Gij · v ≥ 0 si γ−
ij = 0Dij = 0
q+ = PCq,γq−
γ = −λ
Mq = Mf +∑
i<j λij Gij
qiqj
ei,j
Dij
Gij(q) = ∇Dij(q) ∈ R2N ,
Gij(q) = (. . . , 0, −enij , 0, . . . , 0, en
ij , 0, . . . , 0)i j
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Problème de projection associéProblème (Pn
N)
qn, un, fn, γn connus, u solution de :
u ∈ K n
12|u − (un + hfn)|
2M = min
v∈K n
12|v − (un + hfn)|
2M
avec (v, w)M = (Mv, w)
K n =
v, Dnij + hGn
ij · v ≥ 0 si γnij = 0
Dnij + hGn
ij · v = 0 si γnij < 0
∃λ ∈ RN(N−1)/2 tel que M
un+1 − un
h= Mfn +
∑
i<j
λijGnij
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Programmation
⊲⊲ Gestion des contacts en O(N).
⇒ Méthode de recherche desvoisins (bucket sorting).
⇒ Gestion dynamique avec effetmémoire (utilisation de la STLC++).
particule i
⊲⊲ Modularité du modèle et des méthodes numériques.
⇒ Programmation Orientée Objet (avec J. Laminie).
⊲⊲ Visualisation.
⇒ Librairie VTK (avec S. Faure).
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Résultats numériques
• Billard visqueux.
• Loto.
• Code C++.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Méthode de splitting
• S solveur fluide/particule sans prise en compte des contacts.
• qn, γn, un (vitesse fluide), et f n (champ de forcesextérieures) connus.
1) Calcul des vitesses des particules sans gestion descontacts :
un+1/2 = S(qn, un, f n)
2) Projection de ces vitesses sur l’espace contraint :
un+1 ∈ K n,12
∣
∣
∣un+1 − un+1/2
∣
∣
∣
2
M= min
v∈K n
12
∣
∣
∣v − un+1/2
∣
∣
∣
2
M
3) Evolution de γ et q :
γn+1 = γn − hλn+1 qn+1 = qn + hun+1
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Plan
1 Lubrification et contactCas lisseCas rugueux
2 Un modèle de contact visqueuxLe modèle plan/particuleSchéma numérique (plan/particule)Cas multi-particulesRésultats numériquesIntégration à un solveur fluide/particules
3 Simulation directe par une méthode de pénalisationDescription de la méthodeUn exemple : vésicules en cisaillementCouplage avec le modèle de contact visqueux
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Méthodes numériques directes :état de l’art
• Maillages non structurés
• Problème fluide/solide• Découplé [Hu et al 92], [Johnson, Tezduyar 96]• Couplé [Hu 96], [Maury 99]
• Déplacement du maillage• Remaillage à chaque instant [Hu et al 92]• Méthode ALE [Hu 96], [Maury 99]
• Méthodes de domaines fictifs
• Utilisation de multiplicateurs de Lagrange [Glowinskiet al 99], [Patankar et al 00]
• Pénalisation [Wan, Turek 07]
• Lagrangien augmenté [Caltagirone et al 05]
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Le problème sans inertie
u = (u1, u2) et p définis dans Ω \ BV ∈ R
2N et ω ∈ RN
Ecoulement fluide/particules sans inertie
Fluide de Stokes : −µu + ∇p = fΩ\B dans Ω \ B
∇ · u = 0 dans Ω \ B
u = 0 sur ∂Ω
Mouvement rigide : u = Vi + ωi(x − x i)⊥ sur ∂Bi ∀ i
PFD :∫
Bif i =
∫
∂Bi
σnds ∀ i
∫
Bi
(x − x i)⊥ · f i =
∫
∂Bi
(x − x i)⊥ · σnds ∀ i
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Minimisation sous contrainte
Espaces fonctionnels contraints intervenant :
K∇ =
u ∈ H10 (Ω), ∇ · u = 0
,
KB =
u ∈ H10(Ω),∀ i ∃ (Vi , ωi) ∈ R
2 × R
tq u = Vi + ωi(x − x i)⊥ p.p. dans Bi
=
u ∈ H10 (Ω), D(u) = 0 p.p. dans B
Problème de minimisation équivalent
u ∈ K∇ ∩ KB
J(u) = minv∈K∇∩KB
J(v)
où J(v) = µ
∫
ΩD(v) : D(v) −
∫
Ωf · v
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Prise en compte du mouvementrigide par pénalisation
Problème de minimisationsous contrainte rigide :problème d’origine.
u ∈ K∇ ∩ KB
J(u) = minv∈K∇∩KB
J(v)
J(v) = µ
∫
ΩD(v) : D(v)
−
∫
Ωf · v
Pénalisation : suite deproblèmes de minimisationsans contrainte.
uε ∈ K∇
Jε(uε) = minv∈K∇
Jε(v)
Jε(v) = J(v)
+1ε
∫
BD(v) : D(v)
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Généralisation au cas avecinertie
Discrétisation en temps : méthode des caractéristiques.
Trouver un+1 ∈ H10 (Ω) et pn+1 ∈ L2(Ω) tels que,
1h
∫
Ωρn+1un+1 · u −
1h
∫
Ω(ρnun) Xn · u
+ 2µ
∫
ΩD(un+1) : D(u) −
∫
Ωpn+1∇ · u
+1ε
∫
BD(un+1) : D(u) =
∫
Ωfn+1 · u ∀ u ∈ H1
0 (Ω)
∫
Ωq∇ · un+1 = 0 ∀ q ∈ L2(Ω)
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Applications
• Modèle 2D (très) simplifié de valve cardiaque.
• Simulation d’écoulements fluide/particules.
• Etude d’un nageur dans un fluide de Stokes.(Collaboration avec F. Alouges et A. DeSimone)
• Etudes de vésicules en cisaillement.(Collaboration avec M. Ismail et le LSP de Grenoble.)
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Modèle de vésicule
B1
B2
Bi
Bi+1
µin
µout
• Forces interparticulaires : ressorts et force angulaire
• Membrane fermée : projection des vitesses
• Contrainte de volume constant : multiplicateur deLagrange
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Résultats numériques
• Mouvement de chenille de char
• Mouvement de bascule
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Prise en compte Flub
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
50
100
150
200
250
300
350
approximation q−>Flub
(q)
q
Flu
b
F
lub numerique
Flub
approchee
Flub
developpement asymptotique
−1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
approximation d−>Flub
(d)
log(q)
log(
Flu
b)
F
lub numerique
Flub
approchee
Flub
developpement asymptotique
• Calcul numérique 3D-axi :q → Flub(q, u0) à u0 donné (FreeFem++).
• Approximation aux moindres carrés par
Flub(q, u0) =aq
+ b + cq + dq2 + eq3.
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Cas test
• m = 20, g = 10, µ = 3, r = 1, q(0) = 1
• fy = −mg 1[0,2] + mg 1[2,+∞[
Calcul de la solution de référence :
• un tel que Flub(qn, un) + Fext = 0.
• qn+1 = qn + hun
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
q
solution de reference
qmin = 3.10−3
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Résultats
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
q
comparaison des methodes, seuil=1 maille
solution de reference
penalisation
penalisation+contacts
penalisation+lubrification
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
q
influence du seuil, penalisation+contacts
solution de reference
seuil=1 maille
seuil=1.5 maille
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
q
influence du seuil, penalisation+lubrification
solution de reference
seuil=1 maille
seuil=1.5 maille
Ecoulementsfluide/particules
A. Lefebvre
Contact ?Cas lisse
Cas rugueux
Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part
Schéma (plan/part)
Multi-particules
Résultatsnumériques
Couplage
PénalisationMéthode
Exemple
Couplage Flub
Perspectives
• Modèle multiparticules
• EDO : non-contact en temps fini ?
• Etude du modèle limite et du schéma.
• Code C++
• Validation sur de nouveaux tests.
• Intégration de la force de friction.
• Couplage avec un code fluide.
• Pénalisation
• Amélioration du modèle de vésicules.
• Convergence en (h, ε)