Post on 23-Oct-2021
Umjetna inteligencija- Neizrazita logika –
Skupovi
47895/47816 UMINTELIHG/2008-2009
Sveučilište u ZagrebuFakultet prometnih znanosti
Diplomski studij
Neizrazita logika - Skupovi 1-2
Pojam skupa
Skup je cijelina općenito sastavljena odnekih za tu cijelinu osnovnih dijelova, kojise zovu članovi, elementi skupa.
Između skupa i njegovih članova postoji određeni odnos pripadnosti, članstva, elemenata skupu.
a ∈ Xb ∉ X
Neizrazita logika - Skupovi 1-3
Izraziti (klasični) skup
Aristotel: Zakon isključenja trećega
Kretanje
Ponedjeljak
ČetvrtakSubota
Zrakoplov
ModemDani u tjednu
Neizrazita logika - Skupovi 1-4
Neizraziti (fuzzy) skup
Približno članstvo
Kretanje
Ponedjeljak PetakSubota
Zrakoplov
ModemDani vikenda
Nedjelja
Neizraziti iskazi
Da li je subota dan vikenda?– Da (istina, 1)
Da li je utorak dan vikenda?– Ne (laž, 0)
Da li je petak dan vikenda?– Većim dijelom da, ali ne potpuno (0.8)
Da li je nedjelja dan vikenda?– Da, ali ne toliko koliko je to subota (0.95)
Neizrazita logika - Skupovi 1-5
Neizrazita logika - Skupovi 1-6
Prikaz izrazitih i neizrazitih podataka P
rip
ad
no
st v
iken
du
Dani vikenda – dvovaljane vrijednosti Dani vikenda – viševaljane vrijednosti
Pri
pad
no
st v
iken
du
Pri
pad
no
st v
iken
du
Pri
pad
no
st v
iken
du
Dani vikenda – dvovaljane vrijednosti Dani vikenda – dvovaljane vrijednosti
Četvrtak Petak Subota Nedjelja Ponedjeljak Četvrtak Petak Subota Nedjelja Ponedjeljak
Četvrtak Petak Subota Nedjelja Ponedjeljak
Neizrazita logika - Skupovi 1-7
Izraziti skupovi
Univerzalni skup X – područje vrijednosti:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Podskupovi univerzalnog skupa:
A = { 2, 4, 6, 8, 10 } a ∈ X → A ⊂ X
B = { -3, 0, 3 } b ∉ X → B ⊄ X
Neizrazita logika - Skupovi 1-8
Nabrajanjem članova
Univerzalni skup X: Članovi društvaSkup A: Ženski članovi društvaSkup B: Članovi studenti
X = {Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna, Luka}A = { Ana, Jana, Vesna }B = { Ivan, Matija, Vesna }
Zadavanje skupa s malim brojemčlanova
Neizrazita logika - Skupovi 1-9
A = { 1, 2, 3, ... , 98, 99, 100 }
A = { x ⏐ 1 ≤ x ≤ 100 i x je cijeli broj }
Navođenjem zajedničkog svojstva članova
Zadavanje skupa s velikim brojemčlanova
Neizrazita logika - Skupovi 1-10
Osnovne operacije sa skupovima (1)
Unija skupova A i B:A ∪ B = { x⏐x ∈ A ili x ∈ B }
A B
X
Neizrazita logika - Skupovi 1-11
Presjek skupova A i B:A ∩ B = { x⏐x ∈ A i x ∈ B }
A B
X
Osnovne operacije sa skupovima (2)
Neizrazita logika - Skupovi 1-12
Komplement skupa A:¬ A = { x⏐x ∉ A }
A
X
¬ A
Osnovne operacije sa skupovima (3)
Neizrazita logika - Skupovi 1-13
X = { Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna, Luka }A = { Ana, Jana, Vesna }B = { Ivan, Matija, Vesna }
A ∪ B = { Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna }A ∩ B = { Vesna }
¬A = { Ivan, Matija, Luka }¬B = { Ana, Jana, Luka }
Primjeri operacija sa skupovima
Neizrazita logika - Skupovi 1-14
Zakon idempotentnosti:A ∪ A = AA ∩ A = A
Zakon zamjene:A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A
Zakon pridruživanja:A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Svojstva operacija sa skupovima (1)
Neizrazita logika - Skupovi 1-15
Zakon distribucije:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Zakon involutivnosti:A = ¬ ¬A
De Morgan-ovi zakoni:¬ (A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B¬ (A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B
Svojstva operacija sa skupovima (2)
Neizrazita logika - Skupovi 1-16
⎩⎨⎧
∉∈
=XxXx
xA 01
)(χ
Element x pripada ili ne pripada skupu A
Stupanj pripadnosti elementaizrazitom skupu
Binarna vrijednost karakteristične funkcije
Neizrazita logika - Skupovi 1-17
Mala Srednja Velika
170 180
1
0
Visina Mala Srednja Velika168 cm 1 0 0171 cm 0 1 0179 cm 0 1 0
Visina [cm]
χ
179168 171
Funkcija pripadnosti izrazitom skupu
x1 = 168 cmx2 = 171 cmx3 = 179 cm
Neizrazita logika - Skupovi 1-18
Funkcija pripadnosti neizrazitom skupu
Mala Srednja Velika
170 180
1
0
Visina Mala Srednja Velika168 cm 0.8 0.3 0.0171 cm 0.4 0.7 0.0179 cm 0.0 0.7 0.4
μ
Visina [cm]
179
168
1710.8
0.3
x1 = relativno malax2 = niža srednjax3 = viša srednja
Neizrazita logika - Skupovi 1-19
Neizraziti (fuzzy, n-) skupovi
Stupanj pripadnosti elementa x neizrazitom skupu A je zadan realnom vrijednošću između 0 i 1.
Izričaju stupnja pripadnosti odgovara funkcija članstva neizrazitog skupa.
( ) [ ]1,0: →AxAμ
Neizrazita logika - Skupovi 1-20
ISTINA
STUPNJEVI CELSIUSA
LAŽ
VRUČI MOTOR
Funkcija istinitosti
Uglavnomneistinito
Uglavnomistinito
Općenitoistinito
Neizrazita logika - Skupovi 1-21
Zavisnost neizrazitog skupa o okolnostima
60 Brzina [km/h]
1
070 80 90 100 120
Brzo(Cesta )
Brzo(Autoput )
Japanka Japanac Hrvat
160 170 Visina [cm]
1
0180
μ
μ
Neizrazita logika - Skupovi 1-22
Označavanje n-skupova (Zadeh)
Univerzalni skup X je diskretan skup:
∑=
=
+++=n
iiiA
nnAAA
xx
xxxxxxA
1
2211
/)(
/)(/)(/)(
μ
μμμ L
Univerzalni skup X je neprekidan skup:
( ) iiA xxA /∫= μ
Neizrazita logika - Skupovi 1-23
Najčešći oblici funkcije članstva
• Trokutna funkcija
• Trapezna funkcija
• Eksponencijalna funkcija
Neizrazita logika - Skupovi 1-24
Trokutna funkcija članstva (1)
-2
1
0
0 2
A
x
AμNeprekidni skup
∫ ∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=0
2
2
0 22
22 xxxxA
Neizrazita logika - Skupovi 1-25
Trokutna funkcija članstva (2)
-2
1
0
0 2
A
x
AμDiskretan skup
0.5
X = { -2, -1, 0, 1, 2 }A = 0.5/-1 + 1.0/0 + 0.5/1
Neizrazita logika - Skupovi 1-26
Trapezna funkcija članstva
-4
1
0
0 4
B
x
Bμ
0.5
-2 2
X = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
B = 0.5/-3 + 1/-2 + 1/-1 + 1/0 + 1/1 +1/2 + 0.5/3
∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−
−
−
4
2
2
2
2
4 241
24 xxxxxB
Neizrazita logika - Skupovi 1-27
Eksponencijalna funkcija članstva
1
0
DDμ
X = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }
B = 0.11/2 + 0.607/4 + 0.607/6 + 0.11/8
μD(0) = μD(10) = 3.73 x 10-6 ≈ 0
∫ −−=X
x xeD2)5(5.0
4 8 x2 6
Neizrazita logika - Skupovi 1-28
Ostali oblici funkcije članstva INTENZITET PROMETA
STAROST
NESIGURNOST U VOŽNJI
DOBA DANA
Neizrazita logika - Skupovi 1-29
Normalni neizraziti skup
1
0
E
x
Eμ1)(max =
∈xA
Xxμ
1
0
F
x
Fμ
Neizrazita logika - Skupovi 1-30
Konveksni neizraziti skup
1
0
K
xx1 x2 x3
1
0
N
xx1 x2 x3
Konveksni Nekonveksni
[ ]( ))(),(min
,,,
21
2121
xxxxxXxXx
AAA μμμ ≥∈∈∀∈∀
Kμ Nμ
Neizrazita logika - Skupovi 1-31
Kardinalnost neizrazitog skupa
∑∈
=Xx
A xA )(μ
XA
A =
Apsolutna
Relativna
1
1
0
3
A
x
Aμ
0.7
2 4
0.2
{ }
32.06/9.19.12.00.17.04/2.03/0.12/7.0
5,4,3,2,1,0
==
=++=
++==
AAAx
50
Neizrazita logika - Skupovi 1-32
Unija neizrazitih skupova (1)
LOGIČKA OPERACIJA ILI (OR) - DISJUNKCIJA
A ILI B
max(A, B)
Neizrazita logika - Skupovi 1-33
Unija neizrazitih skupova (2)
dvovaljanalogika
viševaljanalogika
A ILI B
ILI
A ILI B
Neizrazita logika - Skupovi 1-34
S - norma (T - konorma)
Graničnost:
Monotonost:
Komutativnost:
Asocijativnost:
Neizrazita logika - Skupovi 1-35
{ })(),(max)(
)()()()()()(
)()(
)()()(
xxx
xxxxxx
xx
xxx
BABA
BAB
BAABA
BABA
μμμ
μμμμμμ
μμ
μμμ
=
⎩⎨⎧
<≥
=∨
∨=
∪
∪
S - norma (unija)
Neizrazita logika - Skupovi 1-36
Unija neizrazitih skupova - primjer
{ })(),(max)( xxx BABA μμμ =∪
1
0
A
x
μ
B1
0
A
x
χB
Neizrazita logika - Skupovi 1-37
Presjek neizrazitih skupova (1) LOGIČKA OPERACIJA I (AND) - KONJUNKCIJA
A ILI B
min(A, B)
Neizrazita logika - Skupovi 1-38
Presjek neizrazitih skupova (2)
dvovaljanalogika
viševaljanalogika
A I B
A I B
I
Neizrazita logika - Skupovi 1-39
T - norma (trokutna norma)
Graničnost:
Monotonost:
Komutativnost:
Asocijativnost:
Neizrazita logika - Skupovi 1-40
{ })(),(min)(
)()()()()()(
)()(
)()()(
xxx
xxxxxx
xx
xxx
BABA
BAB
BAABA
BABA
μμμ
μμμμμμ
μμ
μμμ
=
⎩⎨⎧
>≤
=∧
∧=
∩
∩
T – norma (presjek)
Neizrazita logika - Skupovi 1-41
Presjek neizrazitih skupova - primjer
1
0
A
x
μ
B1
0
A
x
χB
{ })(),(min)( xxx BABA μμμ =∩
Neizrazita logika - Skupovi 1-42
Komplement neizrazitog skupa (1)
LOGIČKA OPERACIJA NE (NOT)
ne A
Neizrazita logika - Skupovi 1-43
Komplement neizrazitog skupa (2)
dvovaljanalogika
viševaljanalogika
ne A
ne A
NE
Neizrazita logika - Skupovi 1-44
)(1)( xx AA μμ −=¬
1
0A
x
Aμ
¬A1
0
A
x
χ
0.5
¬A
Komplement neizrazitog skupa (3)
Neizrazita logika - Skupovi 1-45
Za neizrazite skupove općenito ne vrijede:
Zakon isključenja trećega:A ∪ ¬ A ≠ X
Zakon protuslovlja:A ∩ ¬ A ≠ ∅
Svojstva operacija sa n-skupovima
Neizrazita logika - Skupovi 1-46
Zakon isključenja trećega
1
0
A ¬A1
0
A ∪ ¬ A = X
1
0
A ¬A
0
A ∪ ¬ A ≠ X
IZRAZITI SKUPOVI
NEIZRAZITI SKUPOVI
Neizrazita logika - Skupovi 1-47
Zakon protuslovlja
1
0
A ¬A1
0
A ∩ ¬ A = ∅
1
0
A ¬A
0
A ∩ ¬ A ≠ ∅
IZRAZITI SKUPOVI
NEIZRAZITI SKUPOVI
Neizrazita logika - Skupovi 1-48
Jednakost neizrazitih skupova
A = B ⇔ μA(x) = μB(x), ∀x ∈ X
1
0
A
B
A = B
x
μ
Neizrazita logika - Skupovi 1-49
Podskup neizrazitog skupa
A ⊂ B ⇔ μA(x) ≤ μB(x), ∀x ∈ X
1
0
A
B
A ⊂ B
Skup B obuhvaća, sadrži skup A
x
μ
Neizrazita logika - Skupovi 1-50
α (λ) prerezi
Aα = { x | μA(x) > α }, α ∈ [ 0, 1]
Aα = { x | μA(x) ≥ α }, α ∈ [ 0, 1]
Jaki α prerez (skup α razine):
Slabi α prerez:
1
0
A
Aα
α
μA
Neizrazita logika - Skupovi 1-51
Načelo raščlanjivanja
Funkcija pripadnosti μA(x) neizrazitog skupa seprimejnom α prereza raščlanjuje na beskonačnibroj funkcija pripadnosti pravokutnog oblika
α ∧ χAα (x) ili α ∧ χAα(x)
χAα (x) je karakteristična funkcija skupa Aα
Neizrazita logika - Skupovi 1-52
Načelo združivanja
μA(x) = max[ α ∧ χAα (x)] ili max[ α ∧ χAα (x)]α ∈ [0, 1) α ∈ (0, 1]
Združivanjem funkcija pripadnosti pravokutnogoblika i primjenom operacije utvrđivanja najvećevrijednosti (max) slijedi početni neizraziti skup A.
χAα (x) je karakteristična funkcija skupa Aα
Neizrazita logika - Skupovi 1-53
1
0
A
Aα1
α3
μA
Načela raščlanjivanja i združivanja
α2
α1
Aα2
Aα3
Neizrazita logika - Skupovi 1-54
Pojam načela proširenja (1)
y = 3x + 2
Izraziti skupovi
x = 4
y = 3 ⋅ 4 + 2 = 14
Neizraziti skupovi
x = “oko 4”
y = 3 ⋅ “oko 4” + 2 = “oko 12” + 2 = “oko 14”
Neizrazita logika - Skupovi 1-55
y = 3x + 2
2 4 6μ
x
x
yy
20
14
8
“oko 4"
“oko 14”
μ
Pojam načela proširenja (2)
Neizrazita logika - Skupovi 1-56
Preslikavanje izrazitih skupova
f : X → Y
A ⊂ X f (A) = { y | y = f (x), x ∈ A}
f -1 : Y → X
B ⊂ Y f -1 (B) = { x | f (x) = y, y ∈ B}
Neizrazita logika - Skupovi 1-57
Načelo proširenja
Preslikavanje neizrazitih skupova
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠=
−
−
=
0)(0
0)()(sup)(
1
1
)()(yf
yfxy xfy
AAf
μμ
f : X → X )()()( xy AAf μμ =
f : X → Y
sup je najniža gornja granica
Neizrazita logika - Skupovi 1-58
Primjer primjene načela proširenja (1)
y = 3x + 2
3 * “oko 4” + 2 = “oko 12” + 2 = “oko 14”
A = 0.5/3 + 1.0/4 + 0.5/5
x1 = 3, x2= 4, x3 = 5
yi = 3xi + 2, i = 1, 2, 3
Neizrazita logika - Skupovi 1-59
"14"17/5.014/0.111/5.0
)253/(5.0)243/(0.1)233/(5.0
)23/()(
/)()(
3
1
3
1)(
oko
xx
yyAf
iiiA
iiiAf
=++=
+⋅++⋅++⋅=
+=
=
∑
∑
=
=
μ
μ
Primjer primjene načela proširenja (2)
Neizrazita logika - Skupovi 1-60
Kartezijev produkt neizrazitih skupova
Neka je x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ..., xn ∈ Xn. Kartezijev produkt izrazitih skupova X1,..., Xn je skup svih (x1,..., xn) i označava se X1 × ... × Xn.
Neka je X1 × ... × Xn Kartezijev produkt X1, ..., Xn, a A1, ..., An su neizraziti skupovi od X1, ..., Xn. Kartezijev produkt neizrazitih skupova A1, ..., An glasi
( ) ( )∫ ××=×
211
,,)(,),(min 1121 XX nnAAn xxxxAAAnL
LLL μμ
Neizrazita logika - Skupovi 1-61
Načelo proširenja na prostoruKartezijevog produkta
Neka je f preslikavanje iz X1 × ... × Xn u Y koje zadovoljava y = f(x1, ..., xn). Proširenjem funkcije f : X1 × ... × Xn → Y slijedi relacija između Kartezijevog produkta A1 × ... × Anneizrazitih skupova A1, ..., An iz X i neizrazitog skupa B = f(A1 × ... × An) na Y tako da je
f -1(y) označava inverznu sliku od y
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠=
−
−
××∈
0)(0
0)()(,),(minsup)(
1
11
),,(1
11
yf
yfxxy
nAAXXxxB
nnn
μμμ
LLL
Neizrazita logika - Skupovi 1-62
Neizraziti i ravni neizraziti brojevi
Neizraziti broj je neizraziti skup A na skupu realnih brojeva ℜ koji zadovoljava sljedeće uvjete• A je konveksan skup• postoji samo jedan x0 sa svojstvom μA(x0) = 1• μA je neprekidna u određenom intervalu
Ravni neizraziti broj je neizraziti broj A koji zadovoljava sljedeće dodatne uvjete
(m1, m2) ∈ ℜ m1 < m2μA(x) = 1 ∀x ∈ [m1, m2]
Neizrazita logika - Skupovi 1-63
Neizraziti i ravni neizraziti brojevi
1
0
AμA B D E
m1 m2
C
A, B, D - Neizraziti brojeviE - Ravni neizraziti brojC - Nije neizraziti broj
Neizrazita logika - Skupovi 1-64
Aritmetika neizrazitih brojeva (1)
Proširenjem binarne operacije na neizrazite brojeve A i B univerzalnog skupa X
μAΘB(z) = sup [μA(x) ∧ μB(y)]
↓
x, y, z ∈ X
xθy
[ ] ( )∫ ×∧=Θ
XX BA yxyxBA θ)()( μμ
Neizrazita logika - Skupovi 1-65
Aritmetika neizrazitih brojeva (2)
Zbrajanje: [ ])()(sup)( yxz BAyxz
BA μμμ ∧=+=
+
Oduzimanje:
Množenje:
Dijeljenje:
[ ])()(sup)( yxz BAyxz
BA μμμ ∧=−=
−
[ ])()(sup)( yxz BAyxz
BA μμμ ∧=⋅=
⋅
[ ])()(sup)( yxz BAyxz
BA μμμ ∧=÷=
÷
Neizrazita logika - Skupovi 1-66
Ako α-prerez neizrazitog skupa tvori zatvoreniinterval granica p i q, operacije sa neizrazitimbrojevima se izvode na intervalima
[a, b] Θ [c, d] ={z | z = x Θ y, x ∈ [a, b] , y ∈ [c, d]}
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
[a, b] - [c, d] = [a - d, b - c]
Aritmetika neizrazitih brojeva (3)
Neizrazita logika - Skupovi 1-67
Ako je a, b, c, d > 0
[a, b] ⋅ [c, d] = [a ⋅ c, b ⋅ d]
[a, b] ÷ [c, d] = [a ÷ d, b ÷ c]
•Oduzimanje i dijeljenje nisu suprotne operacijeod zbrajanja odnosno množenja.
•Rezultat oduzimanja dva ista broja nije 0, većneizraziti broj “oko 0”.
Aritmetika neizrazitih brojeva (3)
Neizrazita logika - Skupovi 1-68
Aritmetika neizrazitih brojeva Primjeri
Zbrajanje: [3, 5] + [4, 8] = [7, 13]
Oduzimanje: [3, 5] - [4, 8] = [-5, 1]
Množenje: [3, 5] ⋅ [4, 8] = [12, 40]
Dijeljenje: [3, 5] ÷ [4, 8] = [0.375, 1.25]
Neizrazita logika - Skupovi 1-69
Primjer zbrajanja neizrazitih brojeva
2
1
0
6 10
oko 5
x4 80
oko 2 oko 3
Zbrajanje: “oko 2” + “oko 3”
μx
Neizrazita logika - Skupovi 1-70
Primjer oduzimanja n-brojeva (1)
2
1
06 10
oko 5
x4 80
oko 2 oko 3
Oduzimanje: “oko 5” - “oko 3”
-2-4
oko 5 - 3
μx
Neizrazita logika - Skupovi 1-71
Primjer oduzimanja n-brojeva (2)
2
1
06 10
oko 3
x4 80
Oduzimanje: “oko 3” - “oko 3”
-2-4
oko 0μx