UFES Berilhes B. Garcia

Dividir-e-Conquistar

Recursividade em estruturas– Divida o problema em vários sub-problemas

menores que são similares ao original, mas de tamanho menor

– Conquiste os sub-problemas, resolvendo-os recursivamente. Se eles são pequenos o bastante, então resolvo-os de uma maneira direta.

– Combine as soluções para criar uma solução para o problema original.

UFES Berilhes B. Garcia

Um Exemplo: Merge Sort

Dividir: Divida a seqüência de n-elementos a ser ordenada em duas subsequências de n/2 elementos cada uma.

Conquistar: Ordene as duas subseqüências recursivamente utilizando o merge sort.

Combinar: Funda as duas subseqüências ordenadas de modo a produzir uma resposta ordenada.

UFES Berilhes B. Garcia

Merge-Sort (A, p, r)

Entrada: uma seqüência de n números armazenados em um vetor A

Saída: uma seqüência ordenada de n números

1. if p < r

2. then q [(p+r)/2]

3. Merge-Sort (A, p, q)

4. Merge-Sort (A, q+1, r)

5. Merge (A, p, q, r)

UFES Berilhes B. Garcia

Análise do Merge Sort

Dividir: computar o elemento do méio toma

(1) Conquistar: resolver 2 sub-problemas toma 2T(n/2) Combinar: fundir n-elementos toma (n)

Total:T(n) = (1) se n = 1

T(n) = 2T(n/2) + (n) se n > 1

T(n) = (n lg n)

UFES Berilhes B. Garcia

Relações de Recorrência

Recurrências– Método da Substituição– Método da Iteração– Método Mestre

Surgem a partir da abordagem Dividir e Conquistar

(exemplo. MERGE-SORT)T(n) = (1) se n c

T(n) = a T(n/b) + D(n) + C(n) caso contrário

UFES Berilhes B. Garcia

Método da Substituição

Adivinhando a forma das soluções, e então utilizando indução matemática para encontrar as constantes e mostrar que a solução está correta.

Este funciona bem quando é fácil adivinhar. Mas, não há nenhuma maneira gerak de adivinhar a solução correta.

UFES Berilhes B. Garcia

Um Exemplo

Resolver: T(n) = 3T(n/3) + n

T(n) 3c n/3 lg n/3 + n

c n lg (n/3) + n

= c n lg n - c n lg3 + n

= c n lg n - n (c lg 3 - 1)

c n lg n

* O último passo é verdade para

c 1 / lg3.

UFES Berilhes B. Garcia

Fazendo uma Boa Adivinhação

Adivinhando uma solução similar para uma recorrência que você já tenha visto antes– T(n) = 3T(n/3 + 5) + n similar à T(n) = 3T(n/3) + n

quando n é grande, a diferença entre n/3 e (n/3 + 5) é insignificante.

Outra maneira é provar limites superior e inferior para a recorrência e então reduzir o alcance da incerteza.– Comece com T(n) = (n) & T(n) = O(n2) T(n) = (n log n)

UFES Berilhes B. Garcia

Sutilezas

Quando a prova matemática não pode ser obtida por indução, tente ajustar sua adivinhação com um termo de ordem mais baixa. Por exemplo:– Nós adivinhamos T(n) O(n) para T(n) = 3T(n/3)+

4, mas nós temos que

T(n) 3c n/3 + 4 = c n + 4

– Nova adicinhação é T(n) c n - b, onde b 0

T(n) 3(c n/3 - b)+4 = c n - 3b + 4 = c n - b - (2b-4)

Portanto, T(n) c n - b, se 2b - 4 0 ou se b 2

UFES Berilhes B. Garcia

Mudança de Variáveis

Utilize manipulação algébrica para transformar uma recorrência desconhecida em uma similar que você já tenha visto.– Considere T(n) = 2T(n1/2) + lg n

– Chame m = lg n e nós temos

T(2m) = 2T(2m/2) + m

– Ajust S(m) = T(2m) e nós temos

S(m) = 2S(m/2) + m S(m) = O(m lg m)

– Mudando de volta de S(m) para T(n), nós temos T(n) = T(2m) = S(m) = O(m lg m) = O(lg n lg lg n)

UFES Berilhes B. Garcia

Evitando Armadilhas

Cuidado para não utilizar de forma inadequada. Por exemplo:

– Nós podemos erroneamente provar T(n) = O(n) adivinhando que T(n) c n para T(n) = 2T(n/2) + n

T(n) 2c n/2 + n

c n + n

= O(n) Errado!– O erro é que nós não provamos que T(n) c n

UFES Berilhes B. Garcia

Método da Iteração

Para expandir (iterar) a recorrência e expressa-lá como uma somatória de termos dependentes somente n e das condições iniciais.

Técnicas para avaliar somatórias podem ser utilizadasd para fornecer os limites da solução.

A chave é focalizar-se sobre 2 parâmetros– o número de vezes que a recorrência necessita ser iterada

para alcançar uma condição de fronteira– A soma dos termos resultantes de cada nível do processo

de

UFES Berilhes B. Garcia

Um Exemplo

Ressolver: T(n) = 3T(n/4) + n

T(n) = n + 3T(n/4)

= n + 3[n/4] + 9T(n/16)

= n + 3[n/4] + 9 [n/16] + 27T(n/64)

T(n) n + 3n/4 + 9 n/16 + 27n/64 + … + 3log4 n (1)

n (3/4)i + (nlog43)

= 4n+ o(n)

= O(n)

UFES Berilhes B. Garcia

Árvores de Recursão

É uma maneira conveniente de visualizar o que ocorre quando a recursão é iterada. Esta ajuda a organizar a estrutura algébrica necessária para resolver a recorrência. Para T(n) = 2T(n/2) + n2, nós temos

UFES Berilhes B. Garcia

Árvores de Recursão

T(n) = (n2)

UFES Berilhes B. Garcia

Árvores de Recursão

For T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

T(n) = O(n lg n)

UFES Berilhes B. Garcia

Método Mestre

Este fornece um método “livro de receita” para a resolução de recorrências da forma:

T(n) = a T(n/b) + f(n)

onde a 1 e b 1 são constantes e f(n) é uma função assintoticamente positiva

A solução utilizando o método mestre depende do teorema mestre (a seguir).

UFES Berilhes B. Garcia

O Teorema Mestre

Assuma que a 1 e b > 1 são contantes, f(n) é função e T(n) está definido para inteiros positivos por meio da recorrência

T(n) = a T(n/b) + f(n)

sendo n/b interpretado como n/b ou como n/b. T(n) pode ser limitado assintoticamente como mostrado a seguir:

1. Se f(n)=O(nlogba-) para alguma constante > 0, então T(n)= (nlogba).

2. Se f(n) = (nlogba), então T(n) = (nlogba lg n).

3. Se f(n) = ( nlogba+ ) para alguma constante > 0, e se a f(n/b) c f(n) para alguma constante c < 1 e n suficientemente grande, então T(n)= (f(n)).

UFES Berilhes B. Garcia

Teorema Mestre Simplicado

Assuma que a 1 e b > 1 são constantes e T(n) é a recorrência

T(n) = a T(n/b) + c nk

definida para n 0.

1. Se a > bk, então T(n) = ( nlogba ).

2. Se a = bk, então T(n) = ( nk lg n ).

3. Se a < bk, então T(n) = ( nk ).

UFES Berilhes B. Garcia

Exemplos

T(n) = 16T(n/4) + n– a = 16, b=4, f(n) = n, assim nlogba = nlog416 = (n2)– Desde que f(n) = O(nlog416 - ) onde = 1 caso 1.– Portanto, T(n) = (nlogba ) = (n2)

T(n) = T(3n/7) + 1– a = 1, b=7/3, f(n) = 1, assim nlogba = nlog 7/3 1 = n0 = 1– Desde que f(n) = O(nlogba)= (1), caso 2.– Portanto, T(n) = (nlogba lg n) = (lg n)

UFES Berilhes B. Garcia

Exemplos (Cont.)

T(n) = 3T(n/4) + n lg n– a = 3, b=4, f(n) = n lg n, nlogba = nlog43 = O(n0.793)– Desde que f(n) = (nlog43 + ) onde 0.2 caso 3.– Portanto, T(n) = (f(n)) = (n lg n)

T(n) = 2T(n/2) + n lg n– a = 2, b=2, f(n) = n lg n, e nlogba = nlog22 = n– f(n) é assintoticamente maior que nlogba, mas não

polinomialmente maior. A razão lg n é assintoticamente menor que qualquer constante positiva n. Logo, o Teorema Mestre não se aplica.

UFES Berilhes B. Garcia

Exercícios

Utilize o Método Mestre para resolver as seguintes recorrências: T(n) = 4T(n/2) + n

T(n) = 4T(n/2) + n2

T(n) = 4T(n/2) + n3