Post on 24-Dec-2018
Q1)
RESPOSTA
TRELIÇA C/ SISTEMA TENSOR DE CABO
Obtidas as matrizes de rigidez dos elementos estruturais, deve-se remanejar tais
coeficientes para a matriz de rigidez da estrutura (graus de liberdade ordenados).
a) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga para o cabo desativado
200 kN
(A) (B)
(C). (D)
R1 R2
R3 U1
R4 U2
R5 R6
R1 R2 R3 U1
R1
R2
R3
U1
R1 R2 R4 U2
R1
R2
R4
U2
R4 U2 R3 U1
R4
U2
R3
U1
R3 U1 R5 R6
R3
U1
R5
R6
1010
0000
1010
0000
24740ACk
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
17494CBk
1010
0000
1010
0000
7854BDk
0000
0101
0000
0101
24740ABk
U1
33487
8747 8747
8747
U1
U2
200
U2
U1
U20
.U1 31x10 m 3
U28x10 m3
F K UU UU U= .
200 kN
(a)
31mm
8mm
b) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga para o cabo ajustado
perfeitamente entre os pontos BD e a tensão normal no cabo BD
U1
33487
16601 8747
8747
U1
U2
200
U2
U1
U20
.U1 14x10 m 3
U23,6x10 m3
F K UU UU U= .
200 kN
(b)
14mm
3,6mm
CA
BO
1010
0000
1010
0000
7854BDk
f k uBD BD BD .
0,014
0
f4
f3
f2
f1
.0
0
f4
f3
f2
f1
110
0
0
110110 kN
CA
BO
(B)
(D)
110 kN
BD BD
BD
f
A
110000 N
78,54 mm2
BD 1400 MPa
c) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga após a ativação do sistema
tensor do cabo com o deslocamento prescrito no apoio (D) igual a 10 mm e a tensão normal no cabo BD
U1
33487
16601 8747
8747
U1
U2
200
U2
U1
U20
.U1 8,5x10 m 3
U22,2x10 m3
F K UU UU U . K UUR R
.
200 kN
8,5mm
2,2mm
CA
BO
U17854
U2
0
00
0
10x103
R5 R5
.
(c )
10mm
1010
0000
1010
0000
7854BDk
f k uBD BD BD .
0,0085
0
f4
f3
f2
f1
.0
0,010
f4
f3
f2
f1
145,3
0
0
145,3145,3 kN
CA
BO
(B)
(D)
145,3 kN
BD BD
BD
f
A
145300 N
78,54 mm2
BD 1850 MPa
Deve-se observar que o deslocamento prescrito de 10 mm no apoio (D) reduziu o
deslocamento do nó (B) de 14 mm para 8,5 mm (variação de 5,5mm). O acionamento
do sistema tensor levou ao aumento da força normal no cabo de 110,0 kN para
145,3 kN (aumento de 35,3 kN). Por conta deste aumento de força normal, ocorrerá um
alongamento adicional no cabo:
mm5,454,78200000
200035300
CABO
BDBD
EA
LNL
que somado à variação de deslocamento de 5,5mm produz o deslocamento prescrito
no apoio (D) igual a 10 mm.
Como consideração final, deve-se tomar cuidado na operação de retesamento do cabo,
pois com deslocamento prescrito de 10 mm (sobre o comprimento de 2000mm) a tensão
normal passou de 1400 MPa para 1850 MPa, chegando muito próximo da sua tensão
de ruptura f R 2000 MPa. Portanto, deve-se verificar o risco de acidentes operacionais
com modelo de elementos finitos.
Q2)
RESPOSTA
REFORÇO DE ESTRUTURAS METÁLICAS
FORMULÁRIO
EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE ENTRE DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS NODAIS
xy
y
x
BUε sendo:
233322322131
333231
232221
000
000
hhhhhh
hhh
hhh
B e
3
3
2
2
1
1
uy
ux
uy
ux
uy
ux
U
EXPRESSÃO SIMBÓLICA PARA MATRIZ INVERSA
)/(1)/(10
0)/(1)/(1
)/())()/(()()/(
1
1
11
dbdb
caca
dbbdbcacbdacac
dc
bc
ba-hh
sendo:
33
22
11
1
1
1
yx
yx
yx
h e
333231
232221
1312111
hhh
hhh
hhh
h obtidas a partir das coordenadas nodais.
EQUAÇÃO CONSTITUTIVA (MATERIAL ELÁSTICO-LINEAR)
xy
y
x
εDσ sendo:
)/21(00
01
01
1 2
ED e
xy
y
x
ε
TENSÕES PRINCIPAIS (CÍRCULO DE MOHR)
2xy
2yxyx
122
( TENSÃO PRINCIPAL MÁXIMA )
2xy
2yxyx
222
( TENSÃO PRINCIPAL MÍNIMA )
TENSÃO EQUIVALENTE (CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA DE VON MISES)
Y2221
21
Misesvon
A partir das coordenadas nodais do elemento analisado, pode-se obter a matriz B que relaciona
os deslocamentos nodais com as deformações do elemento.
120991,15691
118981,15691
118987,16701
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
h
0050,00050,00000,0
0000,00098,00098,0
1940,596379,754439,15
120991,15691
118981,15691
118987,167011hh
0000,00050,00098,00050,00098,00000,0
0050,000050,000000,00
00000,000098,000098,0
B
As deformações são obtidas a partir dos deslocamentos nodais:
8509,2
3410,25
8721,2
3240,25
8314,2
3740,25
0000,00050,00098,00050,00098,00000,0
0050,000050,000000,00
00000,000098,000098,0
BUε
xy
y
x
6
6
6
10484
10106
10490
xy
y
x
ε
E, consequentemente, as tensões são obtidas a partir da matriz constitutiva D:
)/23,01(00
013,0
03,01
3,01
205
)/21(00
01
01
1 22
ED
8462,7800
02747,2255824,67
05824,672747,225
D
GPa
0382,0
0570,0
1175,0
10484
10106
10490
8462,7800
02747,2255824,67
05824,672747,225
6
6
6
εDσ
xy
y
x
MPa
2,38
0,57
5,117
xy
y
x
σ
As tensões principais são obtidas pelas expressões:
MPa1362,382
0,575,117
2
0,575,117
22
22
2xy
2yxyx
1
MPa6,382,382
0,575,117
2
0,575,117
22
22
2xy
2yxyx
2
A tensão equivalente (von Mises) pode ser comparada diretamente com o limite de resistência
ao escoamento, obtido em ensaio de tração uniaxial, para a verificação da segurança ao
escoamento. Assim:
MPa4,1216,386,38136136 22Misesvon
84,24,121
345CS
CS Misesvon
Misesvon
YY ff
A ligação PILAR-VIGA, analisada na região de maior solicitação, apresenta excelente
capacidade resistente aos esforços atuantes mais desfavoráveis, não havendo a
necessidade de reforço estrutural neste ligação.
Q3)
RESPOSTA
ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS
FORMULÁRIO
Segundo a NBR 6118:2014 item 15.5.2, p.104 (ABNT, 2014), o parâmetro de
instabilidade é dado pela expressão:
6,0/ eqccsktot IENH
onde Htot é a altura total da estrutura acima do nível do terreno, Nk é carregamento
vertical total de serviço, Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto e (Ic)eq representa o somatório das inércias equivalentes de todos elementos de contraventamento na direção considerada.
PILAR EQUIVALENTE
A ABNT (2014, item 15.5.2, p.104) define que no caso de estruturas em pórticos, a
inércia equivalente é definida a partir de um PILAR EQUIVALENTE de seção transversal
constante da seguinte forma:
“... calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do
carregamento horizontal na direção considerada e calcular a rigidez de um pilar equivalente de
seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura, tal que, sob a ação do
mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo”.
x
3totxeq
eq
3totx
x3
)()(3 dE
HFI
IE
HFd
Figura 4 Pilar equivalente de seção tranversal constante e modelo de pórtico plano
TRECHO RÍGIDO
O processo de idealização do modelo de elementos finitos corresponde à escolha do
elemento finito mais adequado (apresenta bons resultados e formulação mais simples)
Fx = 100 kNFx = 100 kN dx
dx
para representação do comportamento da estrutura analisada. Segundo a ABNT (2014,
item 14.8.1, p.98):
“ A análise linear na maioria dos casos, deve ser realizada com o emprego de procedimento
numérico adequado, como, por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos ou elementos de
contorno. Para a consideração de uma viga-parede ou um pilar-parede como componente de um
sistema estrutural, permite-se representá-lo por elemento linear, desde que se considere a
deformação por cisalhamento, e um ajuste de sua rigidez à flexão para o comportamento real”.
Figura 5 Idealização do elemento estrutural
em elemento finito linear
A ABTN (2014, item 14.6.2.1, p.87) cita ainda que para a caracterização da geometria:
“...os trechos de elementos lineares pertencentes à região comum ao cruzamento de dois
ou mais elementos podem ser considerados como rígidos (nós de dimensões finitas).”
Figura 6 Modelo de elementos de casca (3-D) e modelo
de pórtico plano (2-D) com trechos rígidos
Esta providência é devida à falta de coincidência do eixo do pilar com os eixos das vigas.
A ligação entre os elementos é restabelecida por meio do trecho rígido, que permite
representar corretamente o comprimento de flexão das vigas. As sub- estruturas planas
que podem ser consideradas são apresentadas nas Figuras 6 e 7.
Figura 7 Modelo de elementos de casca (3-D) e modelo de elementos de chapa
e subestrutura de pórtico plano (2-D) com trechos rígidos associada
80 80600 cm
280
(típico)
160 160600
TODOS OS ELEMENTOS
NÓS A e B
PILARES-PAREDE ELEMENTOS DE 1 a 7 E 29 a 35
VIGAS ELEMENTOS DE 15 a 21
TRECHOS RÍGIDOS ELEMENTOS DE 8 a 14 E 22 a 28
PILARES-PAREDE ELEMENTOS DE 1 a 7 E 29 a 35
VIGAS E TRECHOS RÍGIDOS ELEMENTOS DE 8 a 28
NÓ C
(a) (b)
Figura 9 Estrutura de contraventamento do edifício de concreto armado (a) modelo de pórtico
plano (2-D) com ligações rígidas (b) modelo de pórtico plano (2-D) com trechos rígidos
(a) (b)
Figura 10 Estrutura de contraventamento do edifício de concreto armado
(a) modelo de elementos de chapa (2-D) (b) modelo de elementos de casca (3-D)
O modelo de elementos de casca é o mais recomendado para a representação do
comportamento da estrutura de contraventamento, pois permite uma descrição
geométrica mais realista, não dando margem aos erros comuns de modelagem.
Observa-se que o modelo de pórtico plano sem trechos rígidos (Figura 9a) apresenta
os resultados mais próximos do modelo de elementos de casca. Trata-se de um contra-
exemplo pois, normalmente, a consideração de trechos rígidos permite uma
representação mais fiel do comportamento estrutural. Acredita-se que a planificação da
estrutura prejudicou a resposta do modelo de pórtico plano com trechos rígidos, pois a
estrutura é notoriamente tridimensional, sendo mais adequada a utilização de modelo
de pórtico espacial. Outro aspecto que deve ser destacado neste modelo é a inclusão
da energia de deformação por cisalhamento para os pilares-parede, o que torna a
análise mais realista.
1
0
.670051
1.3401
2.01015
2.68021
3.35026
4.02031
4.69036
5.36041
6.03046
MAR 15 2017
07:04:16
NODAL SOLUTION
STEP=1
SUB =1
TIME=1
UY (AVG)
RSYS=0
DMX =6.05575
SMX =6.03046
1
0
.518782
1.03756
1.55635
2.07513
2.59391
3.11269
3.63147
4.15025
4.66904
MAR 15 2017
07:05:34
NODAL SOLUTION
STEP=1
SUB =1
TIME=1
UY (AVG)
RSYS=0
DMX =4.70112
SMX =4.66904
Fx 100 kN
dx 3,48 mmdx 4,67 mm
Fx 100 kN
Fx 50 kN Fx 100 kN
dx 6,03 mm dx 4,67 mm
Observa-se ainda, que o modelo de elementos de chapa apresentou o maior
deslocamento horizontal, sendo o mais flexível dos modelos analisados. Esta
flexibilidade é decorrente da perda de inércia dos pilares-parede que passam de
paredes associadas (em forma de U) para uma lâmina simples, dividindo-se a estrutura
em dois pórticos independentes. Tal fato explica porque o modelo foi carregado com
metade da carga, conforme apresentado na Figura 10a.
Considerando-se o resultado do modelo de elementos de pórtico plano (Figura 9a), tem-
se:
4m92,1
eq)(
m)(31067,4)2(kN/m610283
)3(m360,19(kN)100
3
3toteq
)(
I
xdE
HxFI
Por outro lado, considerando-se o resultado do modelo de elementos de chapa
(Figura 10a), com dois pórticos independentes, tem-se:
4m49,1
eq)(
m)(31003,6)2(kN/m610283
)3(m360,19(kN)502
3
3tot
2eq
)(
I
xdE
HxFI
A NBR 6118 (ABNT, 2014, item 15.5.2, p.104) prescreve que uma estrutura pode ser
considerada de nós fixos, no caso de estruturas de contraventamento compostas por
pilares-parede associados, quando o parâmetro de instabilidade for menor que 0,6.
Deste modo os dois modelos de elementos de pórtico plano e o modelo de elementos
de casca atendem a verificação de estabilidade global:
Atende!60,057,0)(m92,12)kN/m(1028
7)kN/m(12)(m2347)m(80,27
426
22
y
Por outro lado, o modelo de elementos de chapa não atende esta verificação.
!tende60,065,0)(m49,12)kN/m(1028
7)kN/m(12)(m2347)m(80,27
426
22
y aNão
Tal fato demonstra a necessidade de ser feita uma escolha criteriosa quanto ao tipo de
elemento utilizado para a análise de estabilidade global, pois pode conduzir a uma falsa
interpretação comportamento estrutural, levando a tomadas de decisão incorretas e
inadequadas.
Q4)
RESPOSTA
TIPOS DE ELEMENTOS E LIMITES DAS TEORIAS
Figura 5 Escolha da formulação adequada de acordo com a geometria e carregamento
F
Limites das formulações quanto aoponto de aplicação da carga
(x) VIGA
(x) (x) (x)
CHAPA
SÓLIDO
CASCA
( ) VIGA
(x) (x) (x)
CHAPA
SÓLIDO
x
CASCA
( ) VIGA
( ) (x) (x)
CHAPA
SÓLIDO
xx
CASCA
( ) VIGA
( ) ( ) (x)
CHAPA
SÓLIDO
xxx CASCA
F
F
F
F
(x) VIGA
(x) (x) CASCA(x)
CHAPA
SÓLIDO
( ) VIGA
(x) (x) (x)
CHAPA
SÓLIDO
x
CASCA
( ) VIGA
( ) (x) (x)
CHAPA
SÓLIDO
xx
CASCA
( ) VIGA
( ) ( ) (x)
CHAPA
SÓLIDO
xxx CASCA
Limites das formulações quanto àcomplexidade geométrica
Figura 6 Modelo de elementos finitos sólidos, deslocamentos verticais uy e distribuições das
tensões normais x ao longo da altura, tensões de cisalhamento ao longo da altura xy e
largura xz na seçãon-n
Figura 7 Modelo de elementos finitos de casca e pseudossólido, deslocamentos
verticais uy e distribuições das tensões normais x ao longo da altura e tensões
de cisalhamento ao longo da altura xy na seçãon-n
Figura 8 Modelo de elementos finitos de chapa e pseudossólido, deslocamentos
verticais uy e distribuições das tensões normais x ao longo da altura e tensões
de cisalhamento ao longo da altura xy na seçãon-n
Tabela 1 Comparação dos resultados entre os modelos analítico e numérico
RESULTADO BEER & JOHNSTON [1]
MODELO CHAPA
MODELO CASCA
MODELO SÓLIDO
DESLOCAMENTO VERTICAL uy (mm)
1,415 /
1,440(*)
1,445
1,495
1,500
TENSÃO NORMAL
COMPRESSÃO x (MPa)
219,3
222,3
202,2
221,4
TENSÃO CISALHAMENTO
xz (MPa)
7,31
5,84
11,76
TENSÃO CISALHAMENTO
xy (MPa)
16,45
6,54
16,04
18,54
FONTE: Adaptado de (BEER, 2015).
(*) Considerando-se a energia de deformação por cisalhamento (vigas curtas) dada pela fórmula:
5GA
6P
3EI
Pu
3
y
.
Pode-se observar uma boa aderência, em torno de 10%, dos resultados numéricos com
os resultados analíticos fornecidos pela Teoria das Vigas. Exceto para as tensões de
cisalhamento xz, que foram obtidos resultados discrepantes devida à concentração de
tensões na ligação da flange-alma que não é capturada pelos modelos de analítico e de
casca. Em termos práticos, os valores do deslocamento e das tensões formecidos pela
Teoria das Vigas são satisfatórios.