Trích Đoạn Cuốn Toán Tập 2

Truy cp website: http://lovebook.vn/ hoc gi ti s in thoi: 0466 860 849 c th s hu cun sch ny.

1 | LOVEBOOK.VN

Trch on cun Tuyn tp 90 thi th km li gii chi tit v bnh lun c i ng tc gi th khoa, gii

quc gia GSTT GROUP bin son do Lovebook.vn sn xut.

Thi gian thm thot thoi a, cun siu phm (ci tn do cc em hc sinh tng) cho i c gn 3 thng.

Trong 3 thng qua, chng ti nhn c rt nhiu nhng phn hi gp t cc em hc sinh v cc thy c khp c

nc:

Theo thy Nguyn Minh Tun - GV chuyn Ha - THPT Hng Vng - Ph Th [tc gi ca hn 20 u sch n thi i

hc ni ting v nhiu ti liu cha s trn mng): y thc s l mt cun sch n thi i hc cht nht, cng phu v

tm huyt nht m thy tng bit ti. Mt hc sinh n thi i hc m khng s hu cun ny th s thit thi rt nhiu

so vi cc bn.

Theo em L Nht Duy [THPT TP Cao Lnh ng Thp]: y l ln u tin em c c mt cun sch tm huyt

nh th ny. Tng li bnh ca anh ch GSTT GROUP rt cht v gn gi na. K t khi cm trn tay cun sch ny,

em cm thy t tin v yu mn ton hn nhiu.

Theo c L Th Bnh [Thc s Ton - Ha] - ging vin khoa Ton Tin ng dng- H Kin Trc H Ni: "Mt cun sch

ng cp v thit thc nht ti tng bit. Khng ch dng li nhng li gii kho khan m cun sch cn cho ta nhng

li t duy, nhng kinh nghim sng mu m h tri qua".

Theo Nguyn Vn Tin [cu hc sinh L Thi T - Bc Ninh, tn sinh vin Y H Ni 29/30]: Lovebook lun bit cch

to ra nhng n phm tht hu ch cho cc em hc sinh, c bit cun Ton. Nm va ri mnh ch tic l cha c cun

Ton, nu c th chc kt qu ca mnh s trn vn hn. Tuy nhin vi 2 cun Ha nm ngoi cng khin mnh t

c c m vo i hc Y H Ni".

Cun tp 2 gm 45 thi i hc c chn lc v tng hp t cc thi th trng chuyn trn c nc trong nm hc 2013 2014. Ngoi ra cun sch cn c khong gn 300 bi ton luyn thm sau mi bi tp in hnh cho cc em luyn.

Khng ch c th cun sch cn bao gm 9 bi phn tch v d on i hc 2014. Vi phn d on ny, cc em c th nm bt c tng quan cc chuyn trong thi chnh thc qua cc nm ca B Gio Dc v c nhng d on tng i chnh xc v dng bi trong thi nm nay, qua vic n tp s trng tm v hiu qu hn.

Cui sch cn c thm 2 chuyn cc cht do i ng tc gi vit na.

nm bt ton b ni dung b TUYN TP 90 THI TH ch trong thng cui, mi cc bn tham gi kha hc c bit ca trung tm VEDU: http://vedu.edu.vn/

NH SCH GIO DC LOVEBOOK

Web: lovebook.vn

Facebook: https://www.facebook.com/Lovebook.vn?bookmark_t=page

Gmail: lovebook.vn@gmail.com

ST: 0466.860.849. a ch: 101 Nguyn Ngc Ni, Thanh Xun, H Ni

Tuyn tp 90 thi th i hc km li gii chi tit v bnh lun mn Ton tp 2- LOVEBOOK.VN

LOVEBOOK.VN | 2

Phn I: THI + LI GII CHI TIT V BNH LUN S 01

I. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im)

Cu 1 (2,0 im). Cho hm s 2x 1

yx 1

(1), c th (C).

1. Kho st s bin thin v v th (C) ca hm s (1).

2. Mt hnh ch nht MNPQ c cnh PQ nm trn ng thng : 3x y 11 = 0, hai im M, N thuc (C) v

di ng cho ca hnh ch nht bng 5 2 . Lp phng trnh ng thng MN.

Cu 2 (1,0 im). Gii phng trnh 2sin xsin2x 11cos x cot x

2cot x 3sin2x

(x ).

Cu 3 (1,0 im). Gii phng trnh 1 1

x x ln x 14x 4x

(x ).

Cu 4 (1,0 im). Tnh tch phn I =

x5

x2

e 3x 2 x 1dx

e x 1 x 1

.

Cu 5 (1,0 im). Cho khi t din ABCD c AC = AD = 3 2 , BC = BD = 3, khong cch t nh B n mt phng

(ACD) bng 3 , th tch ca khi t din ABCD l 15 . Tnh gc gia hai mt phng (ACD) v (BCD).

Cu 6 (1,0 im). Tm m phng trnh sau c 3 nghim thc phn bit:

3 x 1 1 x 3 x 1 x 3 m 3 x 1 .

II. PHN RING (3,0 im). Th sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)

A. Theo Chng trnh Chun

Cu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho ng thng d: x + y 2 = 0 v im M(3; 0).

ng thng qua M ct ng thng d ti A. Gi H l hnh chiu vung gc ca A ln Ox. Vit phng trnh

ng thng , bit khong cch t H n bng 2

5.

Cu 8.a (1,0 im). Trong khng gian vi h trc ta Oxyz, cho cc im A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) v D(1;

2; 3). Vit phng trnh mt phng (P) cha AD sao cho tng khong cch t B v C n (P) l ln nht.

Cu 9.a (1,0 im). Gi z1, z2 ln lt l hai nghim ca phng trnh 2z 1 3i z 2 2i 0 v tha mn 1 2z z

. Tm gi tr ca biu thc 2 21 1

1 2A z 1 z

.

B. Theo chng trnh Nng cao

Cu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hnh thang OABC (OA // BC) c din tch bng 6,

nh A(1; 2), nh B thuc ng thng d1: x + y + 1 = 0 v nh C thuc ng thng d2: 3x + y + 2 = 0. Tm

ta cc nh B, C.

Cu 8.b (1,0 im). Trong khng gian vi h trc ta Oxyz, cho tam gic ABC c C(3; 2; 3), ng cao qua A v

ng phn gic trong gc B ca tam gic ABC ln lt c phng trnh l 1x 2 y 3 z 3

d :1 1 2

v

2

x 1 y 4 z 3d :

1 2 1

. Lp phng trnh ng thng BC v tnh din tch ca tam gic ABC.

Cu 9.b (1,0 im). Gii h phng trnh 2 2

2z w zw 7

z w 2w 2

z,w .


3 | LOVEBOOK.VN

LI GII CHI TIT V BNH LUN

Cu 1.

1.

Tp xc nh: = \ {1}.

S bin thin:

S bin thin:

2

3y 0

x 1

vi mi x .

Hm s nghch bin trn cc khong (; 1) v (1; +).

Gii hn, tim cn:x xlim y lim y 2

; x 1lim y

;

x 1lim y

.

th hm s nhn ng thng x = 1 lm tim cn ng v nhn ng thng y = 2 lm tim cn ngang.

Bng bin thin:

th:

th (C) ca hm s ct trc tung ti im (0; 1), ct trc honh

ti im 1

;02

. ng thi (C) nhn giao im ca hai ng

tim cn l I(1; 2) l trc i xng.

2.

nh hng: u tin vi d kin MNPQ l hnh ch nht th ta khai

thc ngay c tnh cht song song, l MN // PQ. Lc ny ta s

c ngay dng ca phng trnh ng thng MN l

3x y + m = 0, vi m 11, tng ng vi MN: y = 3x + m. Nh

vy honh M v N chnh l nghim ca phng trnh giao im

ca ng thng vi th (C) dng c phng trnh

honh v dng nh l Vit biu din c tng v tch xM

+

xN; x

Mx

N theo bin m.

Tip theo, vi hai ng thng song song th ta lun xc nh c khong cch gia hai ng thng , bi

khong cch gia hai ng thng song song chnh bng khong cch ca mt im bt k trn ng thng ny

n ng thng kia. Trn th ta lun ly c mt im K c ta xc nh dng khong cch s tnh c

khong cch t K n MN di cnh PN = d(K, MN) (theo mt n m).

Vy d kin cui cng l d kin ng cho. V ta c tng v tch xM

+ xN, x

Mx

N theo bin m nn vic tnh di

MN theo m l iu d dng. Ngoi ra, dng nh l Pytago ta s c ngay: MN2 + NP2 = PM2 = 2

5 2 , t y gii

phng trnh n m duy nht tm m MN.

Theo nh hng kh r rng trn ta c li gii:

Bi gii:

Do MNPQ l hnh ch nht nn MN // PQ ng thng MN c dng 3x y + m = 0 y = 3x + m.

x O

1

2

y

I

M

N

P

Q

5 2

K

x + 1

y

+

2 2

y


LOVEBOOK.VN | 4

Phng trnh honh giao im ca ng thng MN v (C) l:

2x 1

3x m 2x 1 x 1 3x mx 1

(d thy x = 1 khng tha mn) 23x m 5 x m 1 0 (*).

(*) c bit thc = 2 2m 5 4.3 m 1 m 2m 37 0 vi mi x (*) lun c hai nghim phn bit

x1, x

2. Theo nh l Vit:

1 2

1 2

5 mx x

3

m 1x x

3

Khng mt tnh tng qut, gi s M(x1; 3x

1 + m) v N(x

2; 3x

2 + m) th

MN2 = 10(x

1 x

2)

2 = 10

2

1 2 1 2x x 4x x

= 10

25 m m 1

4.3 3

= 210 m 2m 379

.

K(0; 11) d(K, MN) =

22

3.0 11 m

3 1

= m 11

10

NP2 = d2(K, MN) =

2

m 11

10

.

p dng nh l Pytago, ta c: MN2 + NP2 = PM2

2

22

m 1m 1110

m 2m 37 5 2 2899 10 m

109

i chiu iu kin m 11, ta c hai gi tr cn tm ca m l m = 1 v m = 289

109

.

Cu 2.

nh hng: Khi nh gi qua phng trnh ny th ta thy rng n cng khng phc tp qu, ch cha hm sin,

cos v cot dng thun (n gin). Nhm trong u nhn t th thy cotx = cos x

sin x; sin2x = 2sinxcosx th thy

ngay c t v mu u xut hin nhn t l cosx.

Tip tc nhp thm t sau khi rt gn cosx t v mu th c:

12sin x.2sin x 11

sin x 21

3.2sinxsin x

, vng, v n y

th phng trnh cng l bn cht ca n: y thc cht l phng trnh mt n t = sinx.

Bi gii:

iu kin:

00

xx

x

2

0 1x

x1

x 6 x 0x 3 0 6x

x 0

sincos sincot

sincos

sinsin

sin

sin (*).

Phng trnh cho tng ng vi:

cos x 12sin x.2sin xcos x 11cos x 2sin x.2sin x 11

sin x sin x2 2cos x 1

3.2sinxcos x 3.2sinxsin x sin x

(do cosx 0).

2 3 21 14sin x 11 2 6sin x 4sin x 12sin x 11sin x 3 0sin x sin x


5 | LOVEBOOK.VN

2sin x 1 2sin x 3 sin x 1 0

x k2

x k2

6

5

21

x2

x

x k2

1

6

sin

sin

(k ).

Th li (*), ta c phng trnh c hai h nghim l x =

6 + k2 v x =

5

6 + k2 (k ).

Cu 3.

nh hng: u tin, iu kin x > 0 l khng th thiu.

Nhn thy phng trnh c cha hm hu t v c hm logarit (hai hm khc tnh cht) nn ta ngh ngay n

phng php hm s trong u.

nh hng u tin gip ta pht trin hng gii cho bi ton: Chng ta nn dng hm s theo kiu tnh n iu

hay l nn dng hm s theo kiu hm g(f(x)) = g(h(x)), vi g l hm n iu?

Nu trin khai theo hng th nht: vic o hm trnh phc tp, chng ta s nn chia hai v cho x. Bi v ta

ly o hm ca 1

x.ln x4x

th s phc tp hn so vi vic ly o hm ca ln

1x

4x

.

Nh vy chia hai v cho x ta c: 2 2

1 1 1 1 1 11 ln x 1 ln x 0

4x x x 4x4x 4x

(*).

Th ly o hm ca v tri ta c:

3 2

3

2

3 2 2

11

1 1 4x1

2x 1 4x

2x x

6x 1

2x 1 4x4x

x

.

Vy vic dng hm n iu ca chng ta tiu tan khi m o hm khng dng hoc khng m vi

x > 0. Nhng nh th cng ng vi nn nh , khi o hm c nghim (v ch c mt nghim p) th ta c th

v c bng bin thin ca hm s, v bit u n s c nghim p cho chng ta nhn xt!

Tht vy, th lp bng bin thin th thy ngay VT(*) 0. Du ng thc xy ra khi x = 1

2 (chnh l nghim ca

o hm lun!).

Nu trin khai theo hng dng hm s. Cch ny s thng c cc bn ngi (ni ng hn l li) o

hm dng!

Khi gp phng trnh dng: A(x)

A(x) ln B(x)B(x)

(vi A, B dng) th ta bin i mt cht phng trnh s

thnh: A(x) ln A(x) B(x) ln B(x) , phng trnh ny c dng hm ng bin l f(t) = t + lnt, l hm ng

bin trn (0; +).

Vy khi gp phng trnh ny th ta thy trong logarit c th phn tch c thnh nhn t, ng thi mun a

phng trnh v c dng trn th u tin mnh phi chia hai v cho x . Ta thu c phng trnh:

2

2 2 2 2

11

1 1 1 1 1 1 1 1 14x1 ln x 0 1 ln 1 ln 1 ln

x 4x 1 x x x4x 4x 4x 4xx

.

n y th dng hm s xut hin v vic cn li ca chng ta cng khng qu kh na!

Bi gii:

Cch 1.

iu kin x > 0. Phng trnh cho tng ng vi:


LOVEBOOK.VN | 6

2 2 2

1 1 1 1 1 11 ln x 1 ln x 1

4x x x4x 4x 4x

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 11 ln 1 ln x 1 ln 1 ln

x x x4x 4x 4x 4x

(*).

Xt hm s f(t) = t + lnt trn (0; +). Ta c: 1

f (t) 1 0t

vi mi t > 0 f(t) ng bin trn (0; +).

Mt khc (*) c dng 2

1 1f 1 f

x4x

(vi

2

11 0

4x v

10

x )

2

2

1 1 1 11 1 0 x

x 2x 24x

.

Vy nghim ca phng trnh l x = 1

2.

Cch 2.

iu kin x > 0. Chia hai v ca phng trnh cho x ta c:

2 2

1 1 1 1 1 11 ln x 1 ln x 0

4x x x 4x4x 4x

.

Xt hm s f(x) = 2

1 1 11 ln x

x 4x4x

trn (0; +).

Ta c:

2

3

3 2

3 22

11

1 1 4x1

2x 1 4x

2x

6x 1f (x)

x x4x

2x 1 4x

;

1f (x) 0 x

2 (do x > 0).

Lp bng bin thin cho ta f(x) 0 vi mi x > 0. Ta c f(x) = 0 x = 1

2.

Vy nghim ca phng trnh l x = 1

2.

Bi tp cng c:

Gii phng trnh: x x1969

2014 x ln 19692014

(p s: x = 0).

Cu 4.

nh hng: Nhn thy tch phn c cha c hm v t, hu t v c hm m (cc hm khc tnh cht) nn ta ngh

n phng php tch phn tng phn, hoc tc dng I = b b

a a

g(x)f(x)

g(x) lm d dng hn. Nhng vi bi ton

th cch dng tch phn tng phn gn nh v hiu. Vy nn ta suy ngh n hng th hai l tch I thnh dng

nh trn. Mt iu gi cho chng ta thc hin theo phng n th hai na l t s c phn ging vi mu s

(phi ni l rt ging), nn vic rt gn bt i l iu ng nhin:

x x

x x

e 3x 2 x 1 e 2x 11

e x 1 x 1 e x 1 x 1

.

Nh vy s 1 tch ra th d dng ly nguyn hm, cn lng

x

x

e 2x 1

e x 1 x 1

th vn cha c dng

g(x)

g(x). Vy

phi lm sao? Khng l li b cuc gia chng? ng lo, khi cha gp dng ny th mun xut hin dng g(x)

g(x) th

nhiu lc ta phi cng chia c t c mu cho mt lng no (v thng th lng ny l lng tng ng,


7 | LOVEBOOK.VN

hoc l nhn t mu s hoc t s), hoc c lc l nhn c t v mu vi mt lng no xut hin c

dng . Th xem nh!

Vi cc din nh th ny th ta s c hai hng:

+ Hng 1: Chia hai v cho ex ta c:

x

2x 1

x 1x 1

e

cng cha thy xut hin dng g(x)

g(x).

+ Hng 2: Chia hai v cho x 1 ta c:

x

x

e 2x 1

x 1

e x 1 1

. Th ly o hm mu

xx e 2x 1e x 1x 1

(chnh

bng t s), thnh cng!

Bi gii:

Ta c:

x5 5

x2 2

e 2x 1I dx dx

e x 1 x 1

.

+) 5

5

1 22

I dx x 5 2 3 .

+)

x

x5 5 55

x2 2x x 2

2 2

e 2x 1

e x 1 1 2e 12 x 1I 2 dx 2 dx 2ln e x 1 1 2lne 1e x 1 1 e x 1 1

'

.

Vy 5

1 2 2

2e 1I I I 3 ln

e 1

.

Cu 5.

nh hng: T din ABCD ta bit c di 4 cnh, v li c iu c bit l A v B u cch u hai im C,

D (AC = AD, BC = BD) A, B nm trn mt phng trung trc ca cnh CD. V mt phng trung trc ny chnh l

mt phng i qua A, B v trung im M ca CD gc gia hai mt phng (ACD) v (BCD) chnh bng AMB hoc

bng 0180 AMB (ty vo ln gc AMB l nh hn 900 hay ln hn 900). ng thi bi ra cn cho thm khong cch gia mt nh n mt phng i din v cho thm c th tch khi t

din d dng tnh c din tch mt y l ACD tnh c di CD (do ACD bit di 2 cnh)

BCD hon ton xc nh cc thng s v 3 cnh tnh c BM (l ng cao BCD).

Ngoi ra nhn thy c khong cch t B n (ACD) nn sin

(ACD) (BCD), = d B (ACD)

BM

, t xc nh c gc

gia hai mt phng (ACD) (BCD), .

Bi gii:

Theo bi ra: d(B, (ACD)) = 3 ; VABCD

= 15 (vtt).

Ta c: SACD

=

ABCD3V

d B (ACD), =

3 15

3 = 3 5 (vdt).

Mt khc: SACD

= 1

2AC.AD.sin CAD

H

A

B

C

D

M


LOVEBOOK.VN | 8

sin CAD = DAC2S

AC.AD =

2.3 5

3 2.3 2 =

5

3.

cos CAD = 21 sin CAD = 2

3.

Gi M l trung im ca CD th do ACD cn ti A v BCD cn

ti B nn BM CD v AM CD (ABM) (ACD). Gi H l

hnh chiu ca B ln (ACD) th ta c H thuc ng thng AM,

ng thi di BH = d(B, (ACD)) = 3 . Ta c gc gia mt

phng (BCD) v (ACD) chnh bng BMH < 900.

+) Trng hp 1:

cos CAD = 2

3 CD = 2 2AC AD 2AC.ADcosCAD = 2 3

BM =

22

2 2CD 2 3BC 3 62 2

.

sin BMH = BH

BM =

3

6 BMH = 450.

+) Trng hp 2:

cos CAD = 2

3

. Tng t ta tnh c CD = 2 15 > BC + BD, khng tha mn bt ng thc tam gic loi.

Vy gc gia hai mt phng (BCD) v (ACD) l 450.

Lu : C th xy ra hai trng hp v v tr im H nh 2 hnh v trn, nhng d th no i na th gc gia hai

mt phng (BCD) v (ACD) vn bng 450.

Cu 6:

nh hng: tng v nhng bi tm m phng trnh c nghim l khng xa l g na tng ca chng

ta l c lp m thu c dng m = f(x), sau kho st f(x) kt lun cc gi tr ca m tha mn iu kin

bi.

Vi bi ny, mun c lp m mt cch nhanh chng th ta chia hai v cho 3 x 1 . Th nhng trc khi chia th

ta phi xt trng hp x = 2 ( m bo 3 x 1 0). Khi ta th x = 2 vo v tri th thy rng v tri cng bng 0 chc chn v tri c th phn tch c nhn t (x 2) nhn t (x 2) c th chia c cho

3 x 1 (v c hai u c nghim bng x = 2). Tht vy:

x 2 = 3 x 1 3 x 1 3 x 1 .

Vy nn ta chn cch thun li hn cho li gii l phn tch v tri cha nhn t 3 x 1 bi gii c ngn gn hn!

VT = 3 x 3 x 1 1 x x 2 3 x 3 x 1 1 x 1 3 x

3 x 1 3 x 1 x 1 3 x .

Nh vy chuyn v ta s thu c hai nhn t l 3 x 1 v 3 x 1 x 1 x 3 x m 3 .

H

A

B

C

D M


9 | LOVEBOOK.VN

Ci kh cn li l i x l nhn t th hai:

3 x 1 x 1 x 3 x m 3 0 m 1 x 3 x 1 x 3 x 3 (1).

X l phng trnh ny cng khng h kh, thng th ta s t 2t 1 x 3 x t 4 2 1 x 3 x

(1) gn nh c x l. Th nhng vi cc bn thun thc vic gii phng trnh ri th s chn cch

kho st v phi ca (1) lun khng mt thi gian bin lun theo n t na.

Bi gii:

iu kin x1 3 .


3 x 3 x 1 1 x 1 3 x 3 m 3 x 1

3 x 1 3 x 1 x 1 3 x 3 m 3 x 1

3 x 1 3 x 1 x 1 x 3 x m 3 0

x 2

m 1 x 3 x 1 x 3 x 3

(*)

Phng trnh cho c ba nghim phn bit khi v ch khi (*) c hai nghim phn bit khc 2.

Xt hm s f x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 trn 1;3 .

Vi mi x 1;3 :

1 1 2x 2f (x) 0

2 1 x 2 3 x 2 1 x 3 x

.

f x 0 1 x 3 x 2x 2

1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x

2 7

1 x 3 x 1 x2

.

Bng bin thin:

7

Da vo bng bin thin, kt hp vi iu kin x 2 (v f(2) 2 2 3 ) ta c th kt lun c cc gi tr ca m

cn tm l 11

5;2

m

2 2 3 .

Cu 7.a.

nh hng: i qua im M nn c th vit c phng trnh ng thng dng tng qut:

a(x xM

) + b(y yM

) = 0.

f (x)

3 1 + 2 + 7

2

f(x)

11

2

5 1

x

+ 0


LOVEBOOK.VN | 10

dng sn hai n a, b. Tip tc tm ta im A theo hai n a, b sau chiu A ln Ox c ta im

H v bc cui cng l dng d kin khong cch tm t s a

b phng trnh .

Bi gii:

+) i qua im M(3; 0) nn c phng trnh l:

a(x 3) + b(y 0) = 0 : ax + by 3a = 0 (iu kin a2 + b2 0).

+) Ta A l nghim ca h:

3a 2bxy 2 x y 2 xx y 2 0 a b

ax b 2 x 3a 0 a b x 3a 2bax by 3a 0 3a 2by 2

a b

(iu kin a b).

+) Hnh chiu H ca A ln Ox s c ta l H(xA; 0) H

3a 2b0

a b

; .

+) d(H, ) = 2

22 2 2 2 2 2

2 2

3a 2ba. b.0 3a

a b 2 ab 4a b 5a b 4 a b a b

a b 55a b

2 22 2

a 2b

a 2b 2a b 2a ab 2b 0 b 2a

2a ab 2b 0

Nu a = 2b chn b = 1 a = 2 (tha mn) : 2x + y 6 = 0.

Nu b = 2a chn a = 1 b = 2 (tha mn) : x + 2y 3 = 0.

Vi a b th 22 2 2 21 32a ab 2b a b a b 0

2 2 .

Vy c hai phng trnh ng thng tha mn l 1: 2x + y 6 = 0 v

2: x + 2y 3 = 0.

Cu 8.a.

nh hng: Mt phng (P) i qua hai im c nh A, D bit ta nn c th dng phng php chm mt

phng mt cch gin tip, bng cch gi phng trnh mt phng (P) dng tng qut (s ch c hai n). Vic x

l tng khong cch cc i ta s dng bt ng thc n gin nh Cauchy hay Bunhiacpxki (p dng vi

cc bn kh, gii), hoc cc bn khng quen dng cc bt ng thc th c th dng xt hm s.

Bi gii:

+) Gi s phng trnh (P) l: ax + by + cz + d = 0 (iu kin 2 2 2a b c 0 ).

im A(2; 0; 0) (P) 2a + d = 0 d = 2a.

im D(1; 2; 3) (P) a 2b + 3c + d = 0 c = 2b a d

3

=

2b a

3

.

(P): ax + by + a 2b

3

z 2a = 0.

(hng x l trn chnh l hng x l theo phng php chm mt phng mt cch gin tip).

+) Tng khong cch t B v C n mt phng (P) l:

h = d(B, (P)) + d(C, (P)) = 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a 2b3. 2a

4b 2a 3 2b a3

a 2b a 2b a 2ba b a b a b

2 2 2

.

p dng bt ng thc Bunhiacpxki ta c:


11 | LOVEBOOK.VN

h =

2

2 2 2 2 2

2

9. 2b a 9. a 2b 9 a 2b6

3a 2ba 2b

2a 2b 22

a 2b2 2 1 . a b

2

.

ng thc xy ra

a 2ba b 2 a b2 2 1

chn a = 3 b = 3 (P): 3x 3y z 6 = 0.

Nhn xt: Mu cht ca bi ton ny l dng bt ng thc nh th no cho hp l. lm c iu th ta

ch ch n vic dng bt ng thc cho mu s cho hp l.

K thut chn im ri s c cp y .

Ta dng bt ng thc: 2

2 2 2 2 2 a 2 a 1xa ybb

x y 1 a b b x a y 1 b2 2 2

, trong x, y

l cc hng s chng ta tm s dng bt ng thc cho hp l.

ng thc xy ra

a 2ba b a 2b2 x 2y 2x y 1 x 2y

(1).

Mun 1

x a y 1 b2

rt gn c cho t s th ta phi c

1y 1 2 x

2

(2).

Gii h (1), (2) ta c x = 2; y = 2. n y th vic p bt ng thc Bunhiacpxki l iu d dng .

Lu : Vi bi ton ny th cch s dng i s l ti u nht. Vic s dng phng php hnh hc s rt phc tp

trong vic bin lun, dn n ng nhn kt qu bi lm sai.

Cu 9.a.

y l mt bi ton hon ton c bn, ch yu cu bn nm c cch gii phng trnh bc 2 trong tp s phc

l c. Nhng li khuyn cho cc bn l khi tm c nghim ca phng trnh ri th chng di g li trnh by

theo cc bc gii phng trnh mnh lm trong nhp vo giy thi c! Hy dng cch phn tch nhn t trong

bi lm, ta ch cn dng cc du tng ng ch khng cn vit cu ch g nhiu nh .

Bi gii:


2z 2i

z 2i 1 i z 2i 1 i 0 z 2i z i 1 0z i 1

.

Do 1 2

z z nn ta c z1 = 2i v z

2 = i + 1.

Ta c: 2 2 22 21 1 21 1 i 1 3

A 2i 1 i 1 i 12i i 2 2 2

.

Cu 7.b.

nh hng: Do ta ca A v O bit nn phng trnh ng thng OA l hon ton xc nh dng ca

phng trnh ng thng BC (ch cha mt n cn tm l m). Vy hon ton c th xc nh c ta im B

v C theo mt n m, da vo h phng trnh giao im ca ng thng BC vi ng thng d1 (tm c B); h

phng trnh giao im ca ng thng BC vi ng thng d2 (xc nh c C).

Cui cng ta khai thc d kin din tch: S = 1

OA BC d O BC2

. , y s l phng trnh c mt n duy nht

l m tm m ta B, C.

Bi gii:


LOVEBOOK.VN | 12

+) Phng trnh OA: x 0 y 0

2x y 0.1 0 2 0

OA // BC phng trnh ng thng BC c dng: 2x + y + m = 0 (vi m 0).

+) Ta B l nghim ca h: x y 1 0 x 1 m

2x y m 0 y m 2

B(1 m; m 2).

+) Ta C l nghim ca h: 3x y 2 0 x m 2

2x y m 0 y 4 3m

C(m 2; 4 3m).

+) Din tch hnh thang OABC l: S = 1

2(OA + BC).d(O, BC)

2 2 2 22 2

m1( 1) 2 (2m 3) (4m 6) . 6

2 2 1

2m 3 1 m 12 (*).

Phng n ti u nht gii phng trnh ny s l ph du gi tr tuyt i!

Nu m < 0 th (*) thnh: (3 2m + 1).(m) = 12 m2 2m 6 = 0 m = 1 7 .

Kim tra iu kin ta ch ly nghim m = 1 7 B 7 1 7 ; v C 1 7 1 3 7 ; .

Nu 0 < m < 3

2 th (*) thnh: (3 2m + 1).m = 12 m2 2m + 6 = 0, v nghim.

Nu m 3

2 th (*) thnh: (2m 3 + 1).m = 12 m2 m 6 = 0 m = 3 hoc m = 2.

Kim tra iu kin ta ch ly nghim m = 3 B(2; 1) v C(1; 5).

Vy c hai cp im B, C tha mn bi nh trn.

Cu 8.b.

Ta x l bi ton ny ging nh x l mt bi ton hnh hc phng, v phng php th khng c g mi khi gp

ng cao (tn dng yu t vung gc) v ng phn gic (tn dng phng php ly i xng).

Bi gii:

+) d1, d

2 c vct ch phng ln lt l

1u = (1; 1; 2) v

2u = (1; 2; 1).

+) B d2:

x 1 t

y 4 2t

z 3 t

B(1 + t; 4 2t; 3 + t) CB = (t 2; 2 2t; t).

d1 l ng cao k t A nn

1u .CB 0 (t 2) + (2 2t) + (2).t = 0 t = 0 B(1; 4; 3).

BC i qua C v nhn vct 3

1u BC

2 = (1; 1; 0) lm vct ch phng

phng trnh ng thng BC l

x 3 t

y 2 t

z 3

(t ).

+) Gi H(a; b; c) th trung im ca CH thuc d2, ng thi

2CH u nn ta H l nghim ca h:

a 3 b 2 c 3a 11 4 3

2 2 2b 2

1 2 1c 51 a 3 2 b 2 1 c 3 0

. . .

H(1; 2; 5).

+) Thy rng H d2 A H A(1; 2; 5) v ABC vung ti A.


13 | LOVEBOOK.VN

Din tch tam gic ABC l: S = 1

2AB.AC =

1.2 2.2 2

2 = 4 (vdt).

Nhn xt: Bi ton ny s l vt tm thi i hc nu im H tm c khng thuc ng thng d2. Bi nu vy

th sau khi tm c im H, ta s phi i vit phng trnh AB, ri tm ta A dng cng thc din tch

tnh din tch tam gic th bi lm tr nn qu di, khng ph hp vi mt bi thi i hc (nht l cu n im

nh ta khng gian). Vy nn trong qu trnh lm bi, cc bn hy ch n s c bit ca bi, ch ng

di g m c i theo li mn phng php m ta s dng lu nay trong khi gii ton.

Nu gp mt bi tng t th ny th khi tm c ta H, nu thy H d2 th khi dng cng thc tnh din tch,

ta dng S = 1

2AB.CH nh! ng nn dng cng thc S =

1

2BC.d(A, BC) trong trng hp ny v lm nh vy s

phc tp tnh ton hn ch dng cng thc tnh khong cch t mt im n mt ng thng cho trc!

Cu 9.b.

Phng trnh th nht ca h tng ng: w 7

z 2 w w 7 z2 w

(d thy w = 2 khng tha mn).

Th vo phng trnh th hai ca h ta c:

2

2 4 3 2 2 2w 7 w 2w 2 w 6w 15w 2w 57 0 w 7w 19 w w+3 02 w

2

2

2 2

7 3i 3 5 3i 3w z

2 2

7 27 7 3i 3 7 3i 3 5 3i 3w w w zw 7w 19 0 2 4 2 2 2 2

w w 3 0 1 11 1 i 11 3 i 111 11 w w zw2 2 2 22 4

1 i 11 3 i 11w z

2 2

Vy h phng trnh cho c 4 nghim:

(z; w) = 5 3i 3 7 3i 3 5 3i 3 7 3i 3 3 i 11 1 i 11 3 i 11 1 i 11

2 2 2 2 2 2 2 2

; , ; , ; , ; .

Nhn xt: Vic bin i phng trnh bc 4 c nghim thc th khng qu kh khn, c th dng my tnh nhm

nghim v on nhn t chung. Th nhng vi phng trnh bc 4 nghim phc (v khng c nghim thc) th

vic dng my tnh nhm nghim ri on nhn t l khng th. Vy nn ta phi dng k thut gii phng

trnh bc 4 phn tch nhn t chung mt cch nhanh chng:

2

4 3 2 2 2w 6w 15w 2w 57 0 w 3w 6w 2w 57 .

By gi ta thm vo hai v mt lng l 2 22m. w 3w m ( v tri c mt bnh phng ng):

2

2 2 2w 3w+m 2m 6 w 2 1 3m w m 57 (*).

Mun v phi l mt bnh phng ng (hoc c th l lng m ca bnh phng ng: A2) th:

= 0 2 2 77 3 331 3m 2m 6 m 57 0 m 11 m4

.

V l do thm m nn chng ta chn m = 11. Thay m = 11 vo (*):

2 22 2 2 2w 3w+11 16w 64w 64 4w 8 w 7w 19 w w+3 0 .


LOVEBOOK.VN | 14

Bc ny ta ch cn lm ngoi nhp ri rinh vo bi lm nh .


15 | LOVEBOOK.VN

S 2


Cu 1 (2,0 im). Cho hm s y = x 3

x 2

c th (C).

1. Kho st s bin thin v v th (C) ca hm s.

2. Tm cc gi tr thc ca m ng thng (d): y = x + m ct (C) ti hai im phn bit A, B nm hai pha

trc tung sao cho gc AOB nhn (O l gc ta ).

Cu 2 (1,0 im). Gii phng trnh cos2x + sin2x cosx (1 sinx)tanx = 0 (x ).

Cu 3 (1,0 im). Gii bt phng trnh

2

23

x 4x 9x 6

x 4x 3x 1 1

1

2

(x ).


2

3

sin2x cos x 1 2x cos x 1 ln xdx

sin x x ln x

.

Cu 5 (1,0 im). Cho hnh lng tr ng ABC.ABC c y ABC l tam gic cn ti C, cnh AB = 2a v

gc ABC = 300. Mt phng (CAB) to vi mt y (ABC) mt gc 600. Tnh th tch ca khi lng tr ABC.ABC

v tnh khong cch gia hai ng thng AB v CB theo a.

Cu 6 (1,0 im). Cho cc s thc a, b, c thuc on [0; 1]. Chng minh rng:

a b c

1 a 1 b 1 cb c 1

1c a 1 a b 1

.



Cu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hnh ch nht ABCD c nh A nm trn ng

thng : x y + 1 = 0. ng cho BD c phng trnh: 5x y 7 = 0. Xc nh ta cc nh hnh ch nht

cho, bit rng I(1; 4) l trung im ca CD v nh D c honh l mt s nguyn.

Cu 8.a (1,0 im). Trong khng gian vi h trc ta Oxyz, cho mt cu (S): 2 2 2x y z 2x 4y 4z 16 v

ng thng : x y z 5

1 1 4

. Vit phng trnh (P) cha ng thng v ct mt cu (S) theo mt ng trn

c bn knh bng 4.

Cu 9.a (1,0 im). Anh Thy v ch Hin cng chi Boom Online. V mun tng thm sc hp dn cho tr chi

cng nh s c gng ca mnh, ch Hin ngh ra mt tr c cc: nu ai thng trc 3 vn th thng trn v

ngi thua phi np cho ngi thng 3K. Bit rng s trn chi ti a l 5 vn, xc sut m ch Hin thng mi

trn l 0,4 v khng c trn ha. ng thi khi c ngi thng ng 3 vn ri th tr c cc dng li. Tnh xc

sut m ch Hin s ly c 3K t v thng cc ny?


Cu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hnh vung ABCD. Gi M l trung im ca cnh

BC, N l im trn on CD sao cho CN = 2DN. Bit ng thng AN c phng trnh: 2x y 3 = 0 v im M c

ta M11

22

; . Tm ta im A.

Cu 8.b (1,0 im). Trong khng gian vi h trc ta Oxyz, cho bn im A(1; 2; 3), B(2; 3; 1), C(0; 1; 1) v

D(4; 3; 5). Lp phng trnh mt phng (P) bit (P) i qua hai im A, B, ng thi C v D cch u (P).

Cu 9.b (1,0 im). Tnh mun ca s phc z, bit rng 3z 12i z v z c phn thc dng.

HT


LOVEBOOK.VN | 16


Cu 1.

1.

Tp xc nh: = \ {2}.

S bin thin:

Chiu bin thin:

2

5y 0

x 2

vi mi x .

Hm s nghch bin trn cc khong (; 2) v (2; +).

Gii hn v tim cn: x xlim y lim y 1

; x 2lim y

; x 2lim y

= .

th hm s nhn ng thng y = 1 lm tim cn ngang v nhn ng thng x = 2 lm tim cn ng.

Bng bin thin:

th:

th (C) ca hm s ct trc tung ti 3

02

; , ct trc

honh ti im (3; 0). ng thi (C) nhn giao im ca

hai ng tim cn I(2; 1) lm tm i xng.

2.

nh hng: Chc chn l trong qu trnh x l bi ton th phi dng n phng trnh honh giao im ca

(C) vi (d). Thy phng trnh honh giao im c dng bc 2 nn vic dng nh l Vit l iu ng nhin!

Gi hai nghim ca phng trnh l x1, x

2 th theo bi ra, x

1 v x

2 phi tri du ac < 0.

Tip tc x l gc AOB nhn. rng AOB chnh l gc hp bi hai vct OA v OB , ng thi thy rng trong

qu trnh gii th ta cha s dng nh l Vit, vy nn ta cn ngh ra mt lin h i xng A, B p dng c

nh l Vit. R rng, AOB nhn cos AOB > 0 (1). Thm mt cht gia v vo hai v: nhn c hai v vi OA.OB

th (1) OA.OB > 0, y chnh l mt lin h i xng vi A, B gip ta s dng c nh l Vit!

Bi gii:

+) Phng trnh honh giao im ca (C) v (d):

x 3

x m x 2 x m x 3x 2

(d thy x = 2 khng l nghim)

2x m 1 x 2m 3 0 (*).

+) d ct (C) ti hai im phn bit A, B nm hai pha trc tung

(*) c hai nghim phn bit x1, x

2 tha mn x

1x

2 < 0

P = 2m + 3 < 0 m < 3

2

(**).

Lc ny theo nh l Vit ta c: 1 2

1 2

x x m 1

x x 2m 3

+) Khng mt tnh tng qut, gi s A(x1; x

1 + m) v B(x

2; x

2 + m).

x O

1

2

y

I

3 3

2

x + 2

y

+

1 1

y


17 | LOVEBOOK.VN

AOB nhn cos AOB > 0 21 2 1 2 1 2 1 2OA.OB 0 x x x m x m 0 2x x m x x m 0

22 2m 3 m m 1 m 0 3m 6 0 m 2 .

Kt hp vi (**) ta kt lun c cc gi tr m cn tm l m 3

22

; .

Cn nh: AOB nhn OA.OB 0 .

Cu 2.

Nhn xt: Phng trnh dng kh thun, ta bin i tanx = sin x

cos x v quy ng ln th c ngay dng phng

trnh quen thuc vi hng gii l phn tch nhn t chung:

cosx(cos2x + sin2x cosx) (1 sinx)sinx = 0 (*).

n y ta dng my tnh th nghim th thy rng (*) c cc nghim l 0;

4 ;

3

4 ;

2 (sau khi quy ng ta

mi th nghim, ch khng th nghim trc khi quy ng. Bi v nu th nghim trc khi quy ng th c th

lm mt i mt s nghim ca phng trnh, t lm mt i s nh gi khch quan hn v nhn t ca phng

trnh ).

nht l cp nghim i nhau (ta u tin xt trng hp i nhau hoc b nhau, hn km nhau

2 trc), ta

nhn xt:

4 l nghim ca phng trnh

1cos x 0

2

; cn

3

4 l nghim ca phng trnh

1cos x 0

2

. D on rng

1cosx

2

v

1cosx

2

u l nhn t ca phng trnh nhn t chung

ca phng trnh c th l 21 1 1 cos2x

cosx cosx cos x2 22 2

.

Vy ta i theo hng tch nhn t chung cos2x = cos2x sin2x.

(*) cos2x.cosx + 2sinx.cos2x cosx2 sinx + sin2x = 0

cos2x.cosx + sinx(2cos2x 1) (cosx2 sin2x) = 0.

n y th nhn t chung cos2x xut hin ri! Vic d on nhn t ca chng ta thnh cng m mn

Bi gii:

iu kin: x

2 + k (k ) (1).


cos2x + 2sinxcosx cosx (1 sinx).sinx

cos x = 0

cosx.cos2x + 2sinx.cos2x cos2x (1 sinx)sinx = 0

cos2x.cosx + sinx(2cos2x 1) (cos2x sin2x) = 0

cos2x.cosx + sinx.cos2x cos2x = 0

cos2x.(cosx + sinx 1) = 0

k2x k x2x 0 2 4 2

1x x 1 x x k2 x k2

4 22

cos

cos sincos

Kim tra li iu kin (1), ta kt lun c phng trnh c hai h nghim l x =

4 +

k

2 v x = k2 (k ).


LOVEBOOK.VN | 18

Cu 3.

nh hng: Cm gic u tin khi gp phi bt phng trnh ny chc l cng kh ngp . Cha vi ng th,

tm iu kin xc nh ca phng trnh nh .

Khng kh tm c iu kin xc nh ca phng trnh l x 0.

Bc tip theo l bc bin i phng trnh. Mt iu phi tha nhn l bt phng trnh ny kh hc, khi m

ngay trong bc quy ng cng rc ri (mun quy ng ng, phi chia hai trng hp l x > 0 v x < 0), trong

khi li khng nh gi c x nh vo bt phng trnh cho. Khng sao, Nng c m, ma c , cn

gii bt phng trnh iu kin phc tp c phng trnh lo! Tht vy, ta i gii phng trnh tng ng vi

bt phng trnh trn, sau dng bng xt du kt lun nghim ca bt phng trnh.

Bt phng trnh cho tng ng vi:

2 23

23

x 4x 9x 6 x 4x 3x 2 1 1

x 4x 3 1

0

x 2 1

.

Ta i tm nghim ca t s v mu s ca g(x) =

2 23

23

x 4x 9x 6 x 4x 3x 2 1 1

x 4x 3x 2 1 1

v lp bng xt du

ca g(x).

Nghim ca mu s: tm trong iu kin xc nh.

Nghim ca t s l nghim ca phng trnh:

2 23x 4x 9x 6 x 4x 3x 2 1 1 . Trc tin, xin c ph ci v l cc du ngoc phng trnh c d nhn hn:

33 2 3 24x 9x 6x 1 4x 3x 2x 1 (*).

n y chng ta c g? V tri l mt a thc bc ba. V phi l mt cn thc bc 3. Vy gii theo cch thng

thng l lp phng hai v s chng thu c kt qu tt p g. t n ph cng khng kh quan, bi nu t

th ch t c 3 3 2t 4x 3x 2x 1 m khng biu din c lng cn li theo bin t th cng khng n.

Dng nh vic b tc trong cc phng php khc cng vi hnh thc ca phng trnh (mt v bc 3, mt v

cha cn bc 3) gi v p ta i theo phng php dng hm s ny.

Ta s nhm tnh dng hm s bc ba, bng cch thm vo hai v mt lng ng bng lp phng ca v phi (*).

iu ny cng khng c g qu gng p, bi khi cng thm vo hai v mt lng l 3 24x 3x 2x 1 th bn v phi xut hin s hng c ly tha cao nht l 8x3 = (2x)3, l lp phng ca mt lng p.

(*) 33 2 3 2 3 28x 12x 8x 2 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1 .

Vy hm s ta dng trong bi ton ny l f(t) = t3 + t (l hm ng bin) cn bin i v tri thnh dng (ax

+ b)3 + (ax + b). tm a, b th ta dng phng php h s bt nh:

33 2 3 3 2 2 2 38x 12x 8x 2 ax b ax b a x 3a bx 3ab a x b b

3

2

2

3

a 8

3a b 12 a 2

b 13ab a 8

b b 2

Vic cn li ca l trnh by ra giy na thi nh .

Bi gii:

iu kin: 2 23 x 4x 3x 2 1 1 x 4x 3x 2 0 x 0.


19 | LOVEBOOK.VN

Bt phng trnh cho tng ng vi:

2 23

23

x 4x 9x 6 x 4x 3x 2 1 1

x 4x 3 1

0

x 2 1

(**).

Ta xt du ca v phi bng cch tm nghim ca t s v mu s:

Nghim ca mu s: x = 0.

Nghim ca t s l nghim ca phng trnh:

2 23x 4x 9x 6 x 4x 3x 2 1 1 33 2 3 24x 9x 6x 1 4x 3x 2x 1

33 2 3 2 3 28x 12x 8x 2 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1

3 33 2 3 22x 1 2x 1 4x 3x 2x 1 4x 3x 2x 1 (1).

Xt hm s f(t) = t3 + t trn . Ta c f (t) = 3t2 + 1 > 0 vi mi t f(t) ng bin trn .

Mt khc (1) c dng 3 33 2 3 2f 2x 1 f 4x 3x 2x 1 2x 1 4x 3x 2x 1

3 3 2 3 2 9 172x 1 4x 3x 2x 1 4x 9x 4x 0 x 0 x

8

.

Lp bng xt du ca v phi (**):

Da vo bng xt du, ta kt lun c tp nghim ca bt phng trnh l:

S = 9 17 9 17

0 08 8

; ; ; .

Bi tp cng c:

1. Gii phng trnh 32 22x x 1 2x 9x 1 11x 1 (p s x = 0 v x = 2).

2. Gii phng trnh 32 3 25x 4x 5x 3 5. 7x 2x 9x 6 (p s x = 1 v x = 8 178

).

3. Gii bt phng trnh 23 23 22x . 6x33x 35 5x 2x 4x 3 (p s

5 97x

12

7 1

9

).

Cu 4.

nh hng: Li mt tch phn bt nh na cha tng hp nhiu loi hm (hm hu t, hm logarit, hm lng

gic). Vi cn khng c g c bit v mu s cha hn hp nhiu hm, nn vic dng tch phn tng phn cng

khng c tc dng g. Tt nhin, nh hng u tin ca chng ta vn l a tch phn v dng: b b

a a

g(x)I f(x)

g(x)

. iu ny cng d nhn ra khi m t s c nhiu s hng tng ng vi mu s, vy nn ta s tch t s thnh

dng f(x).g(x) + g(x) ta s tch nhng du ngoc t s ra, sau tm s hng c cha xlnx v nhm li vi

s hng thch hp, c th l:

x 9 17

8

9 + 17

8 0

0 0 T s VP(**)

Mu s VP(**)

VP(**)

+ +

+

0 0 + + +


LOVEBOOK.VN | 20

T s = sin2x cos x 1 2cos x.x ln x ln x s hng cha xlnx l 2cosx.xlnx nhm c dng f(x).g(x)

(vi g(x) l mu s) th phi nhm (sin2x + 2cosx.xlnx) = 2cosx.(sinx + xlnx).

Lng cn li l (cosx + 1 + lnx) chnh bng o hm ca mu s.

Bi gii:

Ta c:

2

3

sin2x 2cos x.x ln x cos x 1 ln xdx

sin x xI

ln x

3

2

2sin xcos x 2cos x.x ln x sin x x ln xdx

sin x x ln x

3 33 3

2 22 2

sin x x ln xdx 2sin x ln sin x x ln x

sin x x los

n2c x

x

3 2 3 ln 1 ln ln ln2 2 2 3 3

Vy I = 3

2 3 ln 1 ln ln ln2 2 2 3 3

.

Thng tin thm : Dng ton ny tng c xut hin trong thi i hc Khi A nm 2010;

Khi A nm 2011 v trong c thi d b i hc Khi A nm 2012.

Cu 5.

nh hng:

+) Tnh th tch:

u tin phi xc nh c lng tr ng th c cnh bn

vung gc vi mt y CC (ABC).

xc nh c gc gia hai mt phng (ABC) v (CAB)

(c giao tuyn l AB) th ta cn dng mt mt phng vung

gc vi giao tuyn xc nh gc. Thy rng kh thun

li khi c mt cy cu l CC AB, vy nn khng ngi th

m chng ta khng dng thm mt cy cu na l ng

cao CM ca ABC (lu ABC cn ti C nn M l trung

im AB) t bc c mt phng (CCM) l mt

phng vung gc vi AB gc cn xc nh l CMC .

Khai thc c gc th tnh ng cao cc k d dng,

trong khi y xc nh tnh th tch mt cch ngon

lnh nh .

+) Tnh khong cch:

Hai ng thng cn tnh khong cch c mt cnh l cnh y ca lng tr (cnh AB), mt cnh th thuc mt

bn ca lng tr (cnh CB). Li dng tnh cht song song gia cc cnh y (AB // AB), ta tnh khong cch gia

hai ng thng cho nhau bng cch dng mt phng song song, l (CBA) // AB.

Nhim v ca by gi l chn im no trn AB dng ng vung gc n (CBA) cho hp l. Mun thc hin

c iu ny th hy ch rng (CCM) AB, m AB // AB nn (CCM) AB. Vy c mt mt phng i qua mt

C

B

C

B

A

A

M

M

H


21 | LOVEBOOK.VN

im thuc AB (mt phng (CCM) i qua M AB), ng thi mt phng ny cn vung gc vi mt ng thng

trong (CBA) (mt phng (CCM) AB) dng ng cao trong mt phng (CCM) l thun li nht!

Bi gii:

+) Gi M l trung im ca AB. Do ABC cn ti C CM AB. Mt khc AB CC gc gia hai mt phng (ABC)

v (CCM) l CMC = 600.

Ta c: CM = BM.tan CBM = a.tan300 =

a

3.

CC (ABC) CC CM CC = CM.tanCMC = a

3.tan600 = a.

+) Th tch khi lng tr l: VABC.ABC

= CC.SABC

= CC.1

2AB.CM =

31 a a.a.2a.

2 3 3 (vtt).

+) Gi M l trung im ca AB th MM // CC M (CCM).

Ta c: CC AB

CM AB

AB (CCM) nu trong CMM k MH CM (H CM) th AB MH AB MH.

MH (CBA).

+) CMM vung ti M nn 2 2 2 2 2 2

2

a.a

1 1 1 CM.MM a3MH2MH CM MM CM MM a

a3

.

Mt phng (CAB) cha CB v song song vi AB nn:

d(AB, CB) = d(AB, (CAB)) = d(M, (CAB)) = MH = a

2.

Lu : mch trnh by c lu lot th nn l lun v khong cch phn cui cng.

Cu 6.

Trong bi ton ny, chng ta s cp mt phng php khng h mi nhng li t c s dng. l phng

php Nhn vo im cui (Look at the end point). y l mt phng php s gip n gin ha rt nhiu bi

gii, ng thi th n cng l mt trong nhng phng php dn bin m ta t gp.

Phng php ny thng da trn nhn xt n gin sau v hm bc nht:

Gi s f(x) l hm bc nht theo x th:

min{f(a), f(b)} f(x) max{f(a), f(b)} vi mi x [a; b].

iu ny c minh ha mt cch rt trc quan bng th.

Bi gii:

+) Gi s a = max{a, b, c} a b c a b c

b c 1 c a 1 a b 1 b c 1

.

t a b c

P 1 a 1 b 1 cb c 1 c a 1 a b 1

th cn chng minh P 1.

Ta c: (P 1) a b c

1 a 1 b 1 c 1b c 1

.

Xt a b c

f(a) 1 a 1 b 1 c 1b c 1

trn [0; 1]. Theo nh l: (P 1) max{f(0); f(1)}.

Mt khc:

+) f(1) = 0.


LOVEBOOK.VN | 22

+) f(0) =

2 22 2

b cb c 1 bc 1bc b c b c bc 1 2b c

1 b 1 c 0b c 1 b c 1 b c 1

.

max{f(0); f(1)} 0 (P 1) 0 P 1.

ng thc xy ra (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) v cc hon v vng.

Cch gii khc:

Gi s a = max{a, b, c}. Khi ta c: a b c a b c

b c 1 c a 1 a b 1 b c 1

.

Nh vy ta ch cn chng minh rng: 1 a

1 a 1 b 1 cb c 1

.

S dng bt ng thc Cauchy ta c:

31 1 1 a 1 a

b c 1 1 b 1 c b c 1 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c3 27 27 b c 1 b c 1

.

ng thc xy ra (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) v cc hon v vng.

Bi tp cng c:

Cho cc s thc a, b, c, d thuc on [0; 1]. Chng minh rng: 1 a 1 b 1 c 1 d a b c d 1 . Gi : Xem v tri l hm vi bin a dng nh l ln 1 th ta c: f(a) min{f(0), f(1)}.

+) f(1) = 1 + b + c + d 1.

+) f(0) = (1 b)(1 c)(1 d) + b + c + d = g(b).

Tip tc coi y l hm bin b th: g(b) min{g(0), g(1)}.

+) g(1) = 1 + c + d 1.

+) g(0) = (1 c)(1 d) + c + d = 1 + cd 1.

min{g(0), g(1)} g(b) 1 f(0) g(b) 1 min{f(0), f(1)} 1 f(a) 1 (iu phi chng minh).

Cu 7.a.

nh hng: Hnh vung c rt nhiu tnh cht khai thc (tnh cht vung gc; cc cp cnh bng nhau; hai

ng cho ct nhau ti trung im; tnh cht i xng;), vy nn nu gi c ta cc nh ra theo mt s

n t nht th vic x l s khng h kh.

u tin ta im A s vit theo c mt n a. Hai im B v D u c th xc nh ta theo mt n khc,

nhng do im D c mc ni nhiu d kin hn (xD la s nguyn, v I(1; 4) l trung im ca CD u tin

khai thc im D, gi ta D theo mt n biu din c C theo n do bit c th trung im CD) ta

ch dng tt c l hai n cn 2 lin h tm ra c hai n . Hai tnh cht sau s gip ta gii quyt vn

trn

(1) AD ID v (2) trung im ca ng cho AC thuc ng thng BD.

Vi hai mi lin h ny th chc chn s tm c hai n ta A, C, D ta B.

Bi gii:

+) Do A : x y + 1 = 0 A(a; a + 1). Tng t D BD: 5x y 7 = 0 D(d; 5d 7) (d ).

+) I(1; 4) l trung im CD C I D

C I D

x 2x x

y 2x x

C(2 d; 15 5d).

+) ABCD l hnh ch nht nn hai ng cho ct nhau ti trung im mi ng.

trung im Ma d 2 a 5d 16

2 2

; ca AC thuc BD

a d 2 a 5d 16

5. 7 0 4a 20 0 a 52 2

A(5; 6).


23 | LOVEBOOK.VN

+) AD ID 2d 2

AD ID 0 d 5 d 1 5d 13 5d 11 0 26d 126d 14 37d

1

0

3

8

.

(loi)

D(2; 3) C(0; 5) M5 11

2 2

;

B M D

B M D

5x 2x x 2 2

2

11y 2y y 2 3

2

.

.

B(3; 8) (do M l trung im BD).

Vy A(5; 6), B(3; 8), C(0; 5), D(2; 3).

Cu 8.a.

nh hng: u tin xc nh c tm v bn knh ca mt cu (S). Khi c

c bn knh mt cu (S) v bn knh ng trn giao tuyn ca (S) vi (P)

tnh c khong cch t I n (P) nh nh l Pytago. Mt khc (P) li

cha c th gi c dng tng qut ca (P), dng hai iu kin ny l

c th xc nh c phng trnh mt phng (P).

Bi gii:

+) Mt cu (S) c tm I(1; 2; 2) v bn knh R = 5.

Do (P) ct (S) theo mt ng trn c bn knh r = 4 nn khong cch d t

tm I n mt phng (P) l:

d = d(I, (P)) = 2 2 2 2R r 5 4 3 .

+) ng thng i qua im M(0; 0; 5) v c mt vct ch phng l u = (1; 1; 4).

Gi P

n = (a, b, c) l vct php tuyn ca (P) (iu kin a2 + b2 + c2 0). Ta c M M (P) phng trnh

mt phng (P) l: ax + by + c(z + 5) = 0.

Do (P) nn P P

n u n .u 0 a b 4c 0 a 4c b .

+) d(I, (P)) = 3

22 2 2

2 2 2 2 2 2

4c b 2b 3ca 2b 3c3 3 7c b 9 4c b b c

a b c 4c b b c

2 2b 2c

17b 86bc 104c 0 b 2c 17b 52c 0 52cb

17

Nu b = 2c a = 2c chn c = 1 a = b = 2 (P): 2x + 2y + z + 5 = 0.

Nu b = 52c

17 a =

16c

17 chn c = 17 a = 16 v b = 52 (P): 16a + 52b + 17c + 85 = 0.

Cu 9.a.

+) Do khng c trn ha nn xc sut ch Hin thua mt vn l 1 0,4 = 0,6.

+) Gi H, A, B, C ln lt l cc bin c: Ch Hin thng cc, Ch Hin thng cc sau 3 vn, Ch Hin thng

cc sau 4 vn, Ch Hin thng cc sau 5 vn th cc bin c A, B, C xung khc.

+) Khi : H = A B C. p dng quy tc cng xc sut th P(H) = P(A) + P(B) + P(C).

V cuc chi dng li ngay khi c ngi thng vn th 3 nn vn cui cng trong s cc vn chi s l vn ch Hin

thng.

Ta c:

P(A) = 0,43 = 0,064.

Ch Hin thng cc sau 4 vn tc l vn th 4 ch Hin dnh chin thng, v trong 3 trn u tin th: c 1

trn ch Hin thua v 2 trn ch Hin thng.

I

R

r

d


LOVEBOOK.VN | 24

P(B) = C 23

.(0,4)2.0,6.0,4 = 0,1152.

Tng t: P(C) = C 23

.(0,4)2.(0,6)2.0,4 = 0,13824.

Xc sut ch Hin thng l P(H) = 0,31744.

Cu 7.b.

nh hng: Bnh thng, vi mt hnh vung cnh bng 1 chng

hn, ta xc nh c ng v tr cc im M, N c nh trn hnh

vung ri th chc chn mt iu rng, cc gc trong hnh v (bt

k l gc no to t 3 trong 6 im A, B, C, D, M, N trn hnh v) u

c th xc nh c!

Trong bi ton ny th di cnh hnh vung ta cha xc nh c,

nhng cc gc th s khng thay i so vi mt hnh vung c di

bng 1 u nh. bi cho ng thng AN v im M, vy nn

vic i tnh gc MAN s l mt bin php thun li tm c ta

im A, nh vic vit phng trnh AM hp vi ng thng AN

mt gc MAN bit!

Bi gii:

+) t AB = BC = CD = DA = a th BM = a

2 v CN = 2DN =

2a

3.

Dng nh l csin trong MAN ta c:

2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2

AB BM AD DN CM CNAM AN MNcosMAN

2AM.AN 2 AB BM . AD DN

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

a a a 2aa a

2 3 2 3 1

2a a2 a . a

2 3

.

+) A AN: 2x y 3 = 0 A(x; 2x 3) 11 7

AM x 2x2 2

; .

AN c vct ch phng l AN

u = (1; 2).

Ta c: 2

2AN

2 22 2

11 71 x 2 2x

2 2 1 25 85u AM MAN 2 5x 5 5x 25x

2 2211 71 2 x 2x

2 2

. .

cos ; cos

.

x 1 A(1 1)

x 4 A(4 5)

;

;

Vy c hai im A tha mn bi l A1(1; 1) v A

2(4; 5).

Nhn xt, cch gii khc: Bi gii trn ch l mt trong s cc cch c th dng c trong bi ton ny. xc nh

c gc MAN th ta cn c th da vo cng thc cng cung, v d nh:

Cch 1:

A B

C D N

M


25 | LOVEBOOK.VN

1 1BM DN

tanMAB tanNAD 2 3AB ADcot MAN cot MAB NAD tan MAB NAD 12 BM DN 1 11 tanMAB.tanNAD 1 . 1 .

AB AD 2 3

MAN = 450.

Cch 2:

01

2tanMAD tanNAD 3tanMAN tan MAD NAD 1 MAN 45 .

11 tanMAD.tanNAD 1 2.3

V cn nhiu hng na tip cn gc MAN da vo cc nh l sin, cosin, cng cung.

Cu 8.b.

nh hng: (P) i qua hai im cho trc dng gin tip phng php chm mt phng (hai n). Sau da

vo d kin D v C cch u (P) mi quan h t l a : b tm c mt phng (P) xong phim!

Bi gii:

+) Gi phng trnh mt phng (P) l: ax + by + cz + d = 0 (iu kin a2 + b2 + c2 0).

A (P) a + 2b + 3c + d = 0 d = a 2b 3c (1).

B (P) 2a + 3b c + d = 0 c = 2a + 3b + d (2).

T (1) v (2) c = 3a b

4

v d =

5a 11b

4

.

+) Ta c:

d(C, (P)) = d(D, (P)) 2 2 2 2 2 2

b c d 4a 3b 5c db c d 4a 3b 5c d

a b c a b c

3a b 3a bb 4a 3b 5

b c d 4a 3b 5c d 7a 3b4 4

b c d 4a 3b 5c d 3a b 5a 11b 3a b 5a 11b a bb 4a 3b 5

4 4 4 4

.

.

Nu 7a = 3b, chn a = 3 b = 7 c = 4 v d = 23 (P): 3x 7y 4z + 23 = 0.

Nu a = b, chn a = 1 b = 1 c = 1 v d = 4 (P): x y z + 4 = 0.

Nhn xt: Khi bit c mt mt phng i qua hai im th vic dng phng trnh chm mt phng mt cch

gin tip s rt thun li cho vic gii ton.

cng c thm, cc bn hy gii cc bi tp sau:

Bi 1. Trong khng gian vi h ta Oxyz, cho bn im A(1; 1; 1), B(2; 1; 3), C(0; 0; 2) v D(2; 3; 5). Lp

phng trnh mt phng (P) bit (P) i qua hai im A, B, ng thi khong cch t im C n mt phng (P)

gp hai ln khong cch t im D n mt phng (P).

Bi 2. Trong khng gian vi h ta Oxyz, cho bn im A(2; 1; 3), B(1; 2; 3), C(1; 0; 2) v D(2; 2; 1). Lp

phng trnh mt phng (P) bit (P) i qua hai im A, B, ng thi khong cch t im C n mt phng (P)

bng mt na khong cch t im D n mt phng (P).

Cu 9.b.

+) t z = x + yi (vi x, y v x > 0) z x yi .

+) Theo bi ra:

33 3 2 2 3z 12i z x yi 12i x yi x 3xy 3x y y 12 i x yi


LOVEBOOK.VN | 26

2 23 2 3

2 32 3 2 2

x 3y 1 (do x 0)x 3xy x 8y 4y 12 0

3 3y 1 y y 12 y3x y y 12 y x 3y 1

2

2

2 y 1 y 2y 3 0 y 1

x 2x 3y 1 (do x 0)

+) Mun ca s phc z l |z| = 2 2x y 5 .

Nhn xt: Cch t z = x + yi l cch thng c s dng trong cc bi ton v s phc khi cho trc mt

ng thc. Trong bi tp ny, chng ta khng s dng dng lng gic ca s phc bi v s m y cng khng

qu cao, ng thi th trong bi ra cc d kin cng khng xut hin dng tch hay thng p dng dng lng

gic.


27 | LOVEBOOK.VN

S 3


Cu 1 (2,0 im). Cho hm s y = x 2

x 1

(1).

1. Kho st s bin thin v v th ca hm s (1).

2. Chng minh rng vi mi gi tr ca m, ng thng d: y = x + m lun ct th hm s (1) ti hai im

phn bit A, B. Tm m ba im A, B, O to thnh mt tam gic tha mn 1 1

1OA OB

.

Cu 2 (1,0 im). Gii phng trnh (2cosx + 1)(sin2x + 2sinx 2) = 4cos2x 1 (x ).

Cu 3 (1,0 im). Gii h phng trnh

2 2 2

2 3 3

xy x 1 1 3 y 9 3y

3x 1 x y xy 5 4x 3x y 7x 0

(x, y ).


2

0

x 1 sin x cos x cos xdx

x 1 sin x cos x

.

Cu 5 (1,0 im). Cho hnh chp S.ABCD c SA vung gc vi mt phng (ABCD), SA = a, y ABCD l hnh thang

vung ti A v B, AB = BC = a, AD = 2a. Tnh theo a th tch khi chp S.BCD v khong cch t B n mt phng

(SCD).

Cu 6 (1,0 im). Cho x, y, z l cc s thc dng tha mn x z. Tm gi tr nh nht ca biu thc

2

2 2

2z 2y z2x 3zP 2

z xx y y z

.



Cu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi trc ta Oxy, cho hnh ch nht ABCD c AD = 2AB. Gi M, N ln lt

l trung im ca cnh AD, BC. Trn ng thng MN ly im K sao cho N l trung im ca on thng MK. Tm

ta cc nh A, B, C, D, bit rng K(5; 1), phng trnh ng thng cha cnh AC: 2x + y 3 = 0 v im A

c tung dng.

Cu 8.a (1,0 im). Trong khng gian vi h trc ta Oxyz, cho mt phng (P): x 3y + 4z 1 = 0, ng thng

d: x 1 y 1 z

3 1 2

v im A(3; 1; 1). Vit phng trnh ng thng i qua A ct ng thng d v song song

vi mt phng (P).

Cu 9.a (1,0 im). Cho khai trin (1 + 2x)n = a0 + a

1x + a

2x2 + + a

nxn vi n *. Bit a

3 = 2014a

2, tm n.


Cu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hnh thoi ABCD c ABC = 600. ng trn (C)

c tm I, bn knh bng 2 v tip xc vi tt c cc cnh ca hnh thoi (tip xc vi AB, CD ln lt ti M v N, tung

ca I dng). Bit phng trnh ng thng MN: x + 3 y 1 = 0, ng thng cha cnh AD khng vung

gc vi trc tung v i qua im P(3; 0). Vit phng trnh cc ng thng cha cnh AB, AD.

Cu 8.b (1,0 im). Trong khng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : x 1 y 3 z

1 1 4

v im

M(0; 2; 0). Vit phng trnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng , ng thi khong cch

gia ng thng v mt phng (P) bng 4.


LOVEBOOK.VN | 28

Cu 9.b (1,0 im). Gii h phng trnh

2

2 2

x 4x y 2 0

x 2 y 0

log log (x, y ).

HT


29 | LOVEBOOK.VN


Cu 1.

1.

Tp xc nh: = \{1}.

S bin thin:

Chiu bin thin:

2

1y

x 1

> 0 vi mi x .

Hm s ng bin trn cc khong (; 1) v (1; +).

Gii hn: x xlim y lim y 1

; x 1lim y

= ;

x 1lim y

= +.

th hm s nhn ng thng x = 1 lm tim cn ng, v nhn ng thng y = 1 lm tim cn ngang.

Bng bin thin:

th:

th (C) ca hm s ct trc tung ti (0; 2), ct trc honh

ti im (2; 0). ng thi (C) nhn giao im ca hai ng

tim cn I(1; 1) lm tm i xng.

2.

nh hng: Vic chng minh d ct th hm s (1) ti hai

im phn bit th kh n gin, ch cn dng phng trnh

honh giao im (l phng trnh bc 2 c hai nghim)

X l iu kin 1 1

1OA OB

. y l mt biu thc i xng ri,

hy th xem nu gi s A(x1; x

1 + m), B(x

2; x

2 + m) (vi x

1,

x2 l nghim ca phng trnh honh giao im

c th dng c nh l Vit) th nh th no nh!

2 22 2

1 1 2 2

1 11

x x m x x m

2 22 21 1 2 2

2 22 21 1 2 2

x x m x x m1

x x m x x m

.

Phi ni rng y l mt biu thc cc phc tp (mc d n

i xng trn c bn th vn dng c nh l Vit, nhng

vic trnh by s rt di), cha k l phi bnh phng hai v

ln mt ln na mi mong xut hin c tng (x1 + x

2) v

tch x1x

2.

1 x O

1

y

I

2

2

1 x O

1

y

I

B

A

d

x + 1

+ + y

+

1 1

y


LOVEBOOK.VN | 30

n y ta nn ngh n tnh cht c bit ca hm s bc nht trn bc nht khi m vic s dng nh l Vit

cho phng trnh honh giao im gp phc tp. th hm s y = ax b

cx d

(vi ad bc v c 0) nhn ng

thng i qua giao im ca hai ng tim cn c h s gc l 1 hoc 1 lm trc i xng (tnh cht ny

cp sch Tuyn tp 90 thi th mn Ton Tp 1). Vi bi ton ny th th (C) ca hm s nhn ng

thng i qua im I(1; 1) v c h s gc k = 1 lm trc i xng v trc i xng ny khng ct th (C). D

vit c phng trnh ng thng : y = x i qua gc ta O. Theo tnh cht i xng ca th th do

ng thng d (c h s gc bng 1) vung gc vi hai im A, B i xng nhau qua . Mt khc O nn

OA = OB. Vy th phc tp ca bi ton c mt phn no ha gii!

Gi ta li c gng tnh OA theo m. Nhn thy rng AB th s tnh c theo m nh nh l Vit, cn d(O, ) hon

ton biu th c theo m. Nh vy dng nh l Pytago s cho ta:

2

22 ABOA d(O )2

, t y tnh c m.

l mt hng lm suy ngh theo bn cht ca vn . khc phc hn ch cch lm trn l l lun hi di

th ta gii bng cch th khn kho nh trong bi gii sau:

Bi gii:

+) Phng trnh honh giao im ca d v th hm s (1) l

x 2

x m x 2 x m x 1x 1

(d thy x = 1 khng l nghim)

2x mx m 2 0 (*).

+) (*) c bit thc = m2 4m + 8 = (m 2)2 + 4 > 0 nn (*) lun c hai nghim phn bit (khc 1) d lun

ct th hm s (1) ti hai im phn bit A, B (pcm).

+) Khng mt tnh tng qut ta gi s A(x1; x

1 + m) v B(x

2; x

2 + m) (vi x

1, x

2 l 2 nghim ca (*)).

Lc ta c: 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

x mx m 2 x mx m 2 0 x mx x mx 2 m .

OA = 22 2 2 2 2

1 1 1 1x x m 2x 2mx m 2 2 m m m 2m 4 .

Tng t, ta c 2OB m 2m 4 .

+) 22

m 01 1 21 1 m 2m 4 4

OA OB m 2m 2m 4

Th li, ta thy vi m = 0 th O d; cn m = 2 th O d gi tr m cn tm l m = 2.

Nhn xt: Cch th trn l mt cch th rt c o, ta cn phi nh c c th ng ph vi mi thi tit!

Ngoi ra cc bn cng phi ch vic loi nghim, khng nn xy ra nhng sai lm ng tic l khng loi

nghim.

Cu 2.

nh hng: Ch cn dng hng ng thc th thy ngay 24cos x 1 2cos x 1 2cos x 1 l thy ngay c

nhn t (2cosx + 1). Vic cn li l x phng trnh:

sin2x + 2sinx 2 = 2cosx 1 sin2x + 2sinx 2cosx 1 = 0 (*).

Phng trnh ch c 4 s hng nn chng cn dng my tnh nhm hay th nghim lm g c , ch cn th

nhm vi s hng vi nhau l c. Lu rng: 1 sin2x = (sinx cosx)2 (*) c nhn t l (sinx cosx) ri .

Bi gii:


2cosx 1 sin2x 2sin x 2 2cos x 1 2cos x 1

2cosx 1 sin2x 2sin x 2cos x 1 0


31 | LOVEBOOK.VN

2 22cos x 1 2 sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 0

2cos x 1 sin x cos x 2 sin x cos x 0

21 1 x k2

x x 32 2

x x 1 x k

4

cos cos

sin cosx tan

(k ).

(d thy sinx cosx =

2 sin x4

< 2).

Vy phng trnh c hai h nghim l x = 2

3 + k2 v x =

4 + k (k ).

Cu 3.

nh hng: Nhn cc din chung th thy khng th nh c phng trnh (2) trc c. Hn na phng

trnh (1) cng c dng kh quen, l cha hai biu thc cha cn c kh nng lin hp c, t nhiu lm ta hnh

dung n vic s dng hm s. M mun s dng hm s th phi tch ring x v y ra phi chia hai v cho y2

hai v l hai n tch bit (tt nhin phi xt trng hp y = 0 nu mun chia):

(1) 2 22

3x x 1 1 y 9 y

y

(*).

n y do nng vi dng php chia hai v xut hin dng hm f(t) = 2t t 1 1

nn dn ti mt bi gii

cha cht ch: (*)

2

2 3 3x x 1 x . 1 1y y

.

Vic a y vo trong du cn l cha ng, bi cha xc nh c y m hay dng a vo du cn. Vy nn

cn c thm mt bc nh gi na, bi gii c th c hon thin.

u tin l t iu kin xc nh 2x y 5xy vn cha khai thc c vic chn y > 0. Th nhng ng qun

cn phng trnh (1) cha cc biu thc dng thng gp l 2y 9 y (d chng minh iu ny) VP(1)

dng VT(1) > 0 y 0 v x > 0. Vi x > 0, kt hp vi 2x y 5xy ta suy ra y > 0.

Th ly o hm f (t) > 0 hm ng bin x = 3

y.

Xong vic x l phng trnh th nht! Vic x l tip theo s trong phn Nhn xt trnh b trng lp.

Bi gii:

2 2 2

2 3 3

xy x 1 1 3 y 9 3y

3x 1 x y xy 5 4x 3x y 7x 0

(1)

(2)

+) iu kin: 2x y 5xy .

Ta c: 2 0y 9 y y y VP(1) > 0 VT(1) > 0 y 0 v x > 0 (do 2 2x 1 0y 1

).

+) Lc : (1)

2

2 3 3x x 1 1 1 1y y

(*).

Xt hm s f(t) = 2t t 1 1

trn (0; +).


LOVEBOOK.VN | 32

Ta c: 2

2

2

tf (t) t 1 1 0

t 1

vi mi t > 0 f(t) ng bin trn (0; +).

Mt khc (*) c dng f(x) = 3

fy

(vi x > 0 v 3

y > 0) x =

3

y y =

3

x.

+) Th vo (2) ta c:

3 2 3 23x 1 3x 2 4x 9x 7x 0 3x 1 3x 2 x 4x 12x 8x

2

3 2 2x 3x 2 3x 13x 1 . 4x 12x 8x x 3x 2 x 03x 2 x 3x 2 2

2x 1 y 3

x 3x 2 0 3x 2 y

2

(do x2

3 nn

3x 1x 0

3x 2 2

).

Hai nghim trn u tha mn, vy h phng trnh c hai nghim l (x; y) = (1; 3), 3

22

; .

Nhn xt: Chc chn rng nhiu bn s phn vn cch gii phng trnh (2) sau khi th y vo, ti sao li lin hp

c ngon lnh cnh o nh th. Cch gii trn l cch gii ca nhng ngi thnh tho v c k nng lin

hp, cn by gi chng ta hy i cch gii d nhn hn nh .

Cch gii ny da trn yu t quan trng nht l ta phi nhm c hai nghim ca phng trnh

3 23x 1 3x 2 4x 9x 7x 0 ( l x = 1 v x = 2 c th nhm hoc bm my tnh). Sau dng phng php h s bt nh nh sau:

3 2

3 2 4x 9x 7x3x 1 3x 2 4x 9x 7x 0 3x 23x 1

3 24x 9x 7x

3x 2 ax b ax b3x 1

2 2 2

3 2a x 3 2ab x 2 b 4x 9x 7xax b

3x 13x 2 ax b

(**).

Do chc chn phng trnh c nghim x = 1 v x = 2 nn n c th phn tch dng nhn t:

(x 1)(x 2) = x2 3x + 2.

Vy ch cn tm a, b sao cho: 2 2 2 2a x 3 2ab x 2 b k x 3x 2 ( khng nh c nhn t chung ca phng trnh ri th ch cn dng h s bt nh cho mt v thi nh h qu ca nh l Bzu)

22

2

222 2

22

3 3abk a a 1 b 03 2ab 3 a a

3k 3 2ab a 1 b 03 3a2 b 2 a 32 2a2k 2 b aa

7

.......

Ta khng ch a = 3

7

v tnh thm m ca li gii. Khi chn a = 1, b = 0 th ta c:

(**) thnh:

22 3 2 2 3 2 4x x 3x 2x 3x 2 4x 9x 7x x 3x 2 4x 12x 8x

x3x 1 3x 1 3x 13x 2 x 3x 2 x

, y chnh l cch

gii trnh by trong p n!


33 | LOVEBOOK.VN

Khi chn a = 1, b = 0 th thay vo (**) ta thy xut hin c mu s l 3x 2 x , mu s ny bng 0 vi

x = 1 hay x = 2 khng xc nh khng gii theo hng chn a = 1, b = 0.

Vy l thm mt bi phng trnh hay na c gii quyt nh .

cng c vic dng hm v vic dng h s bt nh trong lin hp th cc bn hy cng i lm 2 bi tp sau nh!

Bi tp cng c:

1. Gii phng trnh: 23x 3 3x 1 5x 4 x (p s x = 0 v x = 1).

2. Gii h phng trnh: 2 2

32 3

x 4 x y 1 y 2

6y 5y 1 x 1

(p s (x; y) = (0; 0), (1; 2)).

Cch gii khc cho phng trnh:

3

3 2 33x 1 3x 2 4x 9x 7x 0 3x 2 3 3x 2 x 4x 3x 2 x 0

t a = 3x 2 0 th phng trnh trn tr thnh:

23 2 3x 1

a 3a x 4x a x 0 a x a 2x 1 0 a x 3x 2 xx 2


LOVEBOOK.VN | 34

Phn 2: D on i hc 2014

D on cu 2: Phng trnh lng gic

1. Kin thc cn nh: Cng thc lng gic.

Phng trnh lng gic c bn. Mt s dng ton thng gp. K thut dng my tnh CASIO trong gii phng trnh lng gic. Mt s bin i quen thuc, nhn t thng gp. Cng thc lng gic:

+ Cng thc quy nhn gc:

* Cc gc i nhau:

x x

x x

x x

sin sin

tan tan

cot cot

cos x =cosx * Cc gc b nhau:

x x

x x

x x

cos cos

tan tan

cot cot

sin x =sinx

* Cc gc ph nhau:

x x

2

x x

2

x x

2

x x

2

sin cos

cos sin

tan cot

cot tan

* Cc gc hn km nhau :

sin x sinx

cos x cosx

tan x+ = tanx

cot x+ = cotx

Cch nh: cos i sin b ph cho hn km nhau l tan, cotan. + Cng thc lng gic lin h c bn:

sin2x + cos2x = 1; tanx = sin x

cos x; cotx =

cos x

sin x; 2

2

11 tan x

cos x ; 2

2

11 cot x

sin x .

+ Cng thc cng cung:

cos a b cosacosb sinasinb ; sin a b sinacosb sinbcosa ; tana tanb

tan a b1 tana tanb

Cch nh: tan ca tng bng tng tan chia 1 tr tch cc tan oai hng. + Cng thc nhn: * Nhn i:

2 2

sin2x 2sin xcosx sin x cosx 1 1 sin x cosx

2 2 2 2cos2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x

* Nhn ba: 3sin3x 3sin x 4sin x ; 3cos3x 4cos x 3cosx .

Cch nh: Nhn ba mt gc bt k || sin th ba bn, cos th bn ba || du tr t gia hai ta || lp phng ch bn, ... th l ok. + Cng thc h bc:

22 2 2

2

1 2x 1 2x x 1 2xx x x

2 2 1 2xx

cos cos sin coscos ; sin ; tan

coscos

3 3sinx sin3xsin x4

; 3

3cos x cos3xcos x

4


35 | LOVEBOOK.VN

Ch : T cng thc h bc hai c th suy ra cng thc h bc bn (cn chng minh trong qu trnh lm bi):

4 4 3 cos4xsin x cos x4

; 6 6

5 3cos4 xsin x cos x

8

.

+ Cng thc biu din theo t = tanx

2:

2 2

2 2 2

2t 1 t 2t 1 tx x x x

2t1 t 1 t 1 t

sin ; cos ; tan ; cot .

+ Cng thc bin i tng thnh tch:

a b a bcosa cosb 2cos cos

2 2

;

a b a bcosa cosb 2sin sin

2 2

a b a bsina sin b 2sin cos

2 2

;

a b a bsina sin b 2cos sin

2 2

Cch nh: cos cng cos bng hai cos cos || cos tr cos bng tr hai sin sin || sin cng sin bng hai sin cos || sin tr sin bng hai cos sin.

h qu thng s dng:

sinx cosx 2 sin x 2 cos x

4 4

;

sinx cosx 2 sin x 2 cos x

4 4

.

+ Cng thc bin i tch thnh tng:

1

cosa cosb cos a b cos a b2

; 1

sinasin b cos a b cos a b2

1

sina cosb sin a b sin a b2

; 1

cosasin b sin a b sin a b2

Ch : Cng thc biu din theo t = tanx

2 khng c trong sch gio khoa, nn nu cn s dng th ta nn chng

minh mt cht (vic ny khng kh nh!).

Cng thc nhn v cng thc h bc thc cht l mt, nn ch cn nh mt trong hai l c. Tng t vi cng thc bin i tng thnh tch v cng bin i tch thnh tng, ta cng ch cn nh mt trong hai l c. Phng trnh lng gic c bn: Cc phng trnh lng gic c bn:

1) x k2

x x k2

sin sin (k ).

2) cosx cos x k2 (k ).

3)

k

x 2x k

tan tan (k, k ).

4) k

x

x

k

a

cot cot (k, k ).

Mt s dng ton thng gp:

+ Phng trnh bc nht vi sinx v cosx c dng: asinx + bcosx = c (trong a2 + b2 > 0).

* Nu a2 + b2 < c2 th phng trnh v nghim.

* Nu a2 + b2 c2 th phng trnh tng ng vi:

2 2 2 2 2 2 2 2

a b c csin x cos x cos x

a b a b a b a b

, trong 2 2

2 2

a

a b

b

a b

sin

cos


LOVEBOOK.VN | 36

+ Phng trnh bc hai vi mt hm lng gic no c dng: at2 + bt + c = 0, trong t c th l sinx, cosx, tanx hoc cotx. Ta cng thng phng trnh bc ba, bc 4 vi mt hm lng gic no . Cch gii th khng c g mi l na.

+ Phng trnh i xng hoc na i xng vi sinx v cosx c dng: f x x x xsin cos , sin cos , thng hay gp

l dng: a sin x cosx bsin xcosx c 0 .

gii ta t t = sinx cosx (iu kin 2 t 2 ) t2 = 1 2sinxcosx a v gii phng trnh n t, sau

tm x.

+ Phng trnh thun nht (ng cp) vi sinx v cosx, dng thng gp nht l thun nht bc hai v thun nht bc ba vi sinx v cosx:

* Bc hai: 2 2asin x bsin xcos x ccos x d 0.

* Bc ba: 3 2 2 3asin x bsin xcosx csin xcos x dcos x esin x f cosx 0.

Cch gii chung: Xt trng hp cosx = 0 (hoc sinx = 0) xem c tha mn khng. Trng hp cosx 0 (hoc

sinx 0) th chia hai v cho cos2x (i vi phng trnh thun nht bc hai) hoc cos3x (i vi phng trnh

thun nht bc ba) (tng t cho sinx) thu c phng trnh vi mt n l t = tanx (hoc t = cotx).

Ch : Trng hp thun nht bc hai vi sinx v cosx th ta nn dng cng thc h bc a phng trnh v phng trnh bc nht vi sin2x v cos2x.

+ Phng trnh dng: asin x bcosx csin y dcosy (vi a2 + b2 = c2 + d2 > 0). Phng trnh ny tng ng

vi: 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c dsin x cos x sin y cos y sin x sin y

a b a b c d c d

.

y l phng trnh lng gic c bn.

Ngoi ra cn mt s dng khc ta cp trong cc thi th ca b sch ny, v d nh nh gi, hay nhn thm mt lng, Ni chung nhng dng l ny t kh nng c trong thi.

+ Phng trnh c dng x

f x x x x2

sin , cos , tan , cot , tan = 0 th ta gii bng cch t t = tan

x

2.

+ Phng trnh lng gic khng mu mc: ty bi ton m ta s dng phng php nh gi (thng s dng

nht), thm bt, nhn hoc chia cho mt lng no (p dng vi cc dng c bit), K thut dng my tnh CASIO trong gii phng trnh lng gic: Cc bn c th tham kho phn chuyn sch Ton tp 1 c th hiu r hn v th thut ny, hoc c th ln mng t tm hiu. Mt s bin i quen thuc, nhn t thng gp:

Hin ti th thi i hc c v ra bi phng trnh lng gic kh n gin, v hu nh cc phng trnh u c x l bng phng php nhm nhn t chung. Mt s phn tch nhn t thng dng l:

+) sin2x = (1 cosx)(1 + cosx); cos2x = (1 sinx)(1 + cosx)

+) sin4x cos4x = sin2x cos2x = cos2x.

+) sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 2sin2xcos2x = 22 sin 2x

2

.

+) sin6x + cos6x = 1 23sin x

2.

+) 2

1 sin2x sin x cos x ; 2

1 sin2x sin x cos x ;

+) cos2x cosx sin x cosx sin x 2cosx 1 2cosx 1 1 2sin x 1 2sin x

+) 2sin3x sin x 3 4sin x sin x 2cosx 1 2cosx+1 sin x 3cos x sin x 3cosx sin x +) 2cos3x cosx 4cos x 3 cosx 1 2sinx 1 2sinx cosx cosx 3 sinx cosx 3sinx


37 | LOVEBOOK.VN

+)

cosx sin3x cosx cos 3x 2sin x sin 2x cosx sinx cos2x sin2x2 4 4

+) sin x cos3x sin x cos x sin2x cos2x

+) 2sin x cos2x 2sin x sin x 1 1 sin x 2sin x 1

+) 2cos2x cos x 2cos x cos x 1 cos x 1 2cos x 1 Ngoi ra cn c thm cc nhn t cn nh na l +) (1 tanx) cha nhn t (sinx cosx). +) (1 cotx) cha nhn t (sinx cosx).

+) tanx cotx cha nhn t (sinx cosx)(sinx + cosx). Ch : Cn phi s dng linh hot trong vic dng cng thc, v d nh (1 + cosx) th cosx khng c dng nhn

i mt cch cng khai, nhng vn c th dng cng thc nhn i 2x

1 x 22

cos cos ; hay cng thc nhn i

i vi sinx l x x

x 22 2

sin sin cos ;

2. Thng k cng thc s dng trong phng trnh lng gic trong thi i hc: u tin hy im li phng trnh lng gic trong thi i hc qua cc nm t nm 2009:

Cu 1 (Khi A 2009). Gii phng trnh

1 2sin x cosx3.

1 2sin x 1 sin x

Cu 2 (Khi B 2009). Gii phng trnh 3sin x cosxsin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x . Cu 3 (Khi D 2009). Gii phng trnh 3 cos5x 2sin3xcos2x sin x 0.

Cu 4 (Khi A 2010). Gii phng trnh

1 sin x cos2x sin x4 1

cos x.1 tan x 2

Cu 5 (Khi B 2010). Gii phng trnh sin2x cos2x cosx 2cos2x sin x 0. Cu 6 (Khi D 2010). Gii phng trnh sin2x cos2x 3sin x cos x 1 0.

Cu 7 (Khi A 2011). Gii phng trnh 2

1 sin2x cos2x2sin xsin2x.

1 cot x

Cu 8 (Khi B 2011). Gii phng trnh sin2xcos x sin xcos x cos2x sin x cos x.

Cu 9 (Khi D 2011). Gii phng trnh sin2x 2cosx sin x 1

0.tan x 3

Cu 10 (Khi A, A1 2012). Gii phng trnh 3 sin2x cos2x 2cos x 1.

Cu 11 (Khi B 2012). Gii phng trnh 2 cosx 3sin x cosx cosx 3sin x 1. Cu 12 (Khi D 2012). Gii phng trnh sin3x cos3x sinx cosx 2cos2x.

Cu 13 (Khi A, A1 2013). Gii phng trnh

1 tan x 2 sin x .

4

Cu 14 (Khi B 2013). Gii phng trnh 2sin5x 2cos x 1. Cu 15 (Khi D 2013). Gii phng trnh sin3x cos2x sin x 0. Sau y s l bng thng k cc cng thc c s dng trong thang im p n ca B Gio Dc.

bi Cng thc c s dng


LOVEBOOK.VN | 38

Quy nhn gc

Lin h c bn

Cng thc cng

Cng thc nhn Cng thc

h bc

Biu din

theo tanx

2

Bin i tng thnh

tch

Bin i tch thnh

tng i Ba

A 2009 X X B 2009 X X D 2009 X X A 2010 X X X B 2010 X D 2010 X A 2011 X X X B 2011 X X D 2011 X

A, A1 2012 X

B 2012 X X D 2012 X X

A, A1 2013 X X

B 2013 X X D 2013 X

Cn v phn loi dng phng trnh lng gic th xin c b qua, bi v ch yu cc bi ton s dng bin i tng ng v phn tch nhn t a v phng trnh lng gic c bn; phng trnh bc nht vi sinx

v cosx; v phng trnh dng: asinx bcosx csiny dcosy (vi a2 + b2 = c2 + d2 > 0).

Nhn xt: Trong cc nm gn y th cng thc c s dng nhiu nht l cng thc cng v cng thc nhn i. y l cc cng thc cc c bn trong qu trnh bin i, nn chc chn l tn sut s dng ca n trong cc

thi s cao. Cc cng thc cn li xut hin vi tn sut s dng nh hn, ring cng thc biu din theo tanx

2

khng xut hin trong thi i hc cc nm gn y na chc l do Chng trnh mi khng cn cp cng thc ny trong sch gio khoa. Ngoi ra ta thy rng ch yu cc phng trnh u c hai dng ch yu, l phn tch nhn t a v phng trnh lng gic c bn hoc phng trnh c dng l:

asinx bcosx csiny dcosy (*) (vi a2 + b2 = c2 + d2 > 0). Phng php nh t n ph th c xut hin trong

khi gii phng trnh, th nhng ta chng cn trnh by vo bi lm v tn thi gian vit t n ph v thay tr li gi tr n ph t tm x. Cn cc loi phng trnh lng gic khng mu mc s dng cc phng php nh gi, hay cc phng php l khc nhng nm gn y khng thy xut hin. C l rng vi vai tr l mt cu cho im, th cu phng trnh lng gic cng ra mc khng qu kh hc sinh c th g im c phn ny. Ring nm 2013 th ra cu lng gic ch n gin c 3 s hng, v vic pht hin ra vn phi ni rng cng qu d dng. D on nm nay s vn l cc phng trnh s dng phn tch nhn t a v cc phng trnh lng gic c bn, hoc phng trnh c dng (*), nhng kh s c nng ln mt cht. Da trn , tc gi xin c d on cc bi sau:

Cu 2A1

. Gii phng trnh

2cos x cos3x 1sin x sin2x.

1 2cos x cos x sin x

Cu 2A2

. Gii phng trnh

2cos x cos x 1

2 1 sin x .sin x cos x

Cu 2A3

. Gii phng trnh 4sin2x 3cos2x = 3(4sinx 1).

Cu 2B1

. Gii phng trnh sin2x + 2cos2x + 4cosx sinx = 1.

Cu 2B2

. Gii phng trnh cotx tanx = cot2x + 1.

Cu 2B3

. Gii phng trnh sin2x cos2x

2.

sin x cos x4 4

Cu 3D1

. Gii phng trnh 2cos3x + cos2x + sinx = 0.


39 | LOVEBOOK.VN

Cu 3D2

. Gii phng trnh cos2x 3sin2x + 9sinx + 6cosx = 8.

Cu 3D3

. Gii phng trnh 24cos x 2 1 cos2x cos3x 6cos x.


LOVEBOOK.VN | 40

D on Cu 3 Phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh

1. Chun b kin thc: + Cc phng php gii PT, BPT, HPT nh: S dng phng trnh c bn. Phn tch thnh nhn t.

t n ph. Hm s. Lin hp.

2. Phn dng ton:

3. Phn loi phng php gii: Di y l mt s phng php thng gp trong thi i hc nhng nm gn y:

Dng ton Du hiu V d Phng php thng dng

PT,

BPT

V t Bi ton c cn

:f(x), f(x)3 ...

1. 5x 1 x 1 > 2x 4 (A2005)

2. 235 1 9 2 3 1x x x x

3. 4x 1 + 4x2 1 = 1

4.x3 1

2= 2x + 1

3

BPT c bn Nhn lin hp

nh gi t n ph

Logari

t

M

Bi ton c hm Logarit: ln, log, Bi ton c hm m ax

1. log4(x + 1)2 + 2 = log 2 4 x + log8(4 + x)

3

2. 2 log3(4x 3) + log12

(2x + 3) 2 (A2007)

3. 4x2+x + 21x

2= 2(x+1)

2 1

4. 2x2x + 932x + x2 + 6 = 42x3 + 3xx

2+ 5x

5. 5. 8x + 4. 12x 18x 2. 27x = 0 (A2006)

PT c bn hm s t n ph Phn tch thnh nhn t

HPT

Logari

t

Bi ton c hm m, Logarit: ln, log,

1. {log1

4

(y x) log41

y= 1

x2 + y2 = 25 (A2004)

2. {logx+y(3x + y) + log3x+y(x

2 + 2xy + y2) = 3

4x+y + 2. 4xx+y = 20

3. {x2 + 3x + ln(2x + 1) = y

y2 + 3y + ln(2y + 1) = x

PT c bn

t n ph Hm s

V t Bi ton c cn

f(x), f(x)3 ...

1. {x + x2 2x + 2 = 3y1 + 1

y + y2 2y + 2 = 3y1 + 1 (D b A2007)

2. {x y3 = x y

x + y = x + y + 2 (B2002)

Hm s t n ph

Tng hp

Nhng HPT khng thuc 2 dng trn

1. {x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9

x2 + 2xy = 6x + 6 (B2008)

2. {x

1

x= y

1

y

2y = x3 + 1 (A2003)

3. {x2 + y+x3y + xy2 + xy =

5

4

x4 + y2 + xy(1 + 2x) = 5

4

(A2008)

Th

Phn tch thnh

nhn t t n ph Hm s

PT, BPT, HPT

tham s

Trong PT, BPT, HPT

c tham s. Thng l cc bi ton bin lun.

1. Tm m HPT c nghim { x + y = 1

x x + yy = 1 3m

(D2004)

Hm s

t n ph Tam thc bc hai

Ta


41 | LOVEBOOK.VN


LOVEBOOK.VN | 42

Phng php

Phn tch phng php V d in hnh

PT,

BPT,

HPT

c bn

PT

V

t

1.f(x) = g(x) {g(x) 0

f(x) = g(x)2

2.f(x) = g(x) {f(x) 0f(x) = g(x)

1.7 x2 + x x + 5 = 3 2x x2

BPT

v

t

1.f(x) g(x)

[ {

g(x) < 0f(x) 0

{g(x) 0

f(x) g(x)2

2.f(x) g(x) {

g(x) 0f(x) 0

f(x) g(x)2

3.f(x) g(x) {g(x) 0f(x) g(x)

1.x2 8x + 15 +x2 + 2x 15

4x2 18x + 18

(Dc HN 2000)

Log

arit loga x = n x = a

n 1. log4(x 1) +1

log2x+1 4=1

2+ log2 x + 2

M ax = n x = loga n 2. (x 3)3x25x+2 = (x2 + 6x + 9)x

2+x4

HPT

1. PP th 2. H i xng loi I:

{f(x, y) = 0g(x, y) = 0

vi {f(x, y) = f(y, x)

g(x, y) = g(y, x)

3. H i xng loi II:

{f(x, y) = 0f(y, x) = 0

1. {x3 2xy + 5y = 7

3x2 2x + y = 3

2. {x2 + y2 + xy = 13

x4 + y4 + x2y2 = 91

3.

{

2x + y =3

x2

2y + x =3

y2

Phn tch

thnh nhn

t

Bin i PT, BPT hoc mt PT trong HPT v dng phng trnh tch f(x).g(x) = 0 (hoc f(x, y).g(x, y) = 0). C th: B1: Nhm nghim: Nhm nghim nhn

Nhng PT dng ny thng c nghim p do bc u tin ta nhm nghim. T nghim nhm c ta nh hng nhn t c th xut hin. B2: Phn tch PT theo nhn t d

on.

B3: X l tng phng trnh mi. * Mt s dng thng gp trong thi i hc:

1. PT M, logarit: PT thng phn tch thnh dng sau: (u a)(v b) = 0. 2. HPT c 1 PT l bc 2 vi 1 n (gi s l x) nu xem n cn li (y) l tham s (i khi phi kt hp c 2 PT hoc phi

t n ph vi a c v dng ny): Ta xem y l PT bc 2 vi x. Tnh theo y ri tnh nghim x theo y. T suy ra nhn t chung.

1. 42x+ x+2 + 2x3= 42+ x+2 + 2x

3+4x4 (D2010) Li gii:

Chuyn v:

24x+2 x+2 + 2x3 24+2 x+2 2x

3+4x4 = 0 D nhm c PT c 2 nghim p x=1 v x=2.

Vi x = 1 d thy 24x+2 x+2 = 24+2 x+2 v

2x3= 2x

3+4x4 do ta nhm li v thu c nhn

t chung 24x 24 PT cho tng ng vi:

(24x 24) (2x34 22 x+2) = 0

n y PT d dng gii quyt. + Bi tp tng t D2006

2x2+x 4. 2x

2x 22x + 4 = 0

2. (D 2008)

{xy + x + y = x2 2y2 (1)

x2y y x 1 = 2x 2y (2)

Li gii: Cch 1: Nhm nghim: D thy vi x = y PT (1) lun bng 0. Do (1) c cha nhn t x + y t

d dng phn tch (1) thnh dng (x + y)(x 2y 1) = 0.

T y kt hp vi PT(2) d dng gii HPT.


43 | LOVEBOOK.VN

Sau x l HPT mi thu c khi kt hp vi PT cn li.

Cch 2: Xem (1) l PT bc 2: Cch ny rt hiu qu khi cch 1 nhm nghim gp

kh khn: Trong HPT ny PT (1) l PT bc 2 vi c x v y do chn 1 trong 2 bin l n, ta d dng tnh c

v suy ra 2 nghim x = y

x = 2y + 1

VD: D2012

{xy + x 2 = 0 (1)

2x3 x2y + x2 + y2 2xy y = 0(2)

HPT ny khng d nhm nghim x theo y hoc ngc li. Khi Cch 2 t ra rt hiu qu. D thy (2) l PT bc 2 vi y c dng

y2 (x2 + 2x + 1)y + (2x3 + x2) = 0

= (x2 + 2x + 1)2 4. (2x3 + x2)

= (x2 + 2x + 1)2 Do PT (2) c 2 nghim:

{y = x2

y = 2x + 1

Do PT (2) c ch 2 nhn t (y x2) v (y 2x 1). T :

(2) (y x2)(y 2x 1) = 0 n y x l bc 2 khng kh.

+BT tng t: (A 2011)

{5x2y 4xy2 + 3y3 2(x + y) = 0

xy(x2 + y2) + 2 = (x + y)2

t n

ph

PT,

BPT

PP ny c rt nhiu ng dng v lng dng bi v cng phong ph. Do

trong gii hn ca bi vit ti khng th trnh by ht c. Sau y ti xin a ra nhng dng tng qut nht v phng php ny. hiu thm v

phng php ny cc bn tham kho thm trong cc cun sach TUYN TP 90 TON TP 1 VA 2 cng nh cc ngun ti liu khc. 1. t 1 n ph hon ton:

+ Bin i PT v dng f(g(x)) = 0.

+ t g(x) = t + PT tr thnh f(t) = 0. * Mt s dng thng gp : + PT thun nht 2 n:

Bc 2: ax2 + bxy + cy2 = 0

Bc 3: ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = 0

Cch gii: Chia 2 v cho xk. ynk (n l bc

ca PT, k ; 0 k n) (ta thng dng l chia cho xn(k =n)hocyn (k = 0))

+ () + () + ()() = ()

1. 2x2 6x + 4 = 3 x3 + 8

2(x2 2x + 4) 2(x + 2)

= 3(x + 2)(x2 2x + 4)

2. sin3 x + 2 sin x cos 2x 2 cos x cos3 x = 0 3. B2011:


LOVEBOOK.VN | 44

Cch gii: t t=f(x) + g(x) bin i

PT theo t.

2. t 1 n ph khng hon ton:

Dng 1: a PT cho v PT 2 n + Bin i phng trnh v dng:

f(x, g(x))=0.

+ t t = g(x) + PT tr thnh f(x, t) = 0

+ Xem y l phng trnh 1 n (x hoc t), n cn li (t hoc x) l tham s v gii. * Mt s dng thng gp :

() + () = ()()

Trong : u(x) thng bc 1

f(x) thng bc 2 hoc 3 g(x) thng bc 1 hoc 2 Dng 2 : a PT cho v HPT 2 n + Bin i phng trnh v dng:

f(x, g(x)) = 0.

+ t y = g(x) + PT tr thnh f(x, y) = 0. + Ta c HPT (thng l HPT i xng

loi II): {y = g(x)

f(x, y) = 0

+ Gii HPT ny thu c nghim. * Mt s dng thng gp :

+) + =

Cch gii :

t y = bx an

yn + a = bx

PT cho biu th theo t v x : xn + a = by

Ta c HPT {yn + a = bxxn + a = by

y l HPT i xng loi IIHPT c bn

+) + = + + ( ) (*)

Cch gii :

t + = ac2 (y +

d

2c)

Bin i PT v HPT i xng loi 2 vi x v y (HPT c bn)

3. t 2 n ph a v HPT + Bin i PT v dng f(u(x), v(x)) = 0

+ t {u(x) = uv(x) = v

+ chuyn PT v HPT 2 n u v v

3 2 + x 6 2 x + 44 x2 = 10 3x

4. (4x 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1 (1)

(1) 2(x3 + 1) (4x 1) x3 + 1 + 2x 1 = 0

t t = x3 + 1 ta c:

2t2 (4x 1)t + 2x 1 = 0

= (4x 1)2 4.2. (2x 1) = (4x 3)2

Do { t =1

2t = 2x 1

n y PT tr nn rt n gin

5. x3 + 1 = 2 2x + 13

D thy t y= 2x + 13

Ta c HPT {x3 + 1 = 2y

y3 + 1 = 2x

6. x22x = 2 2x 1 Bin i PT trn v dng tng qut (*):

x22x = 8x 4

D thy a = 8; b = 4; c = 1; d = 2; e = 0.

Do t + = ac2 (y +

d

2c)

ngha l 8x 4 = 8.13

(y +2

2.1) hay

2x 1 = y 1

hay (y 1)2 = 2x 1 (1)

PT cho biu din theo y v x l

x2 2x = 2(y 1) (x 1)2 = 2y 1 (2)

T (1) v (2) ta c HPT

{(y 1)2 = 2x 1

(x 1)2 = 2y 1

n y ta d dng gi quyt bi ton (HPT c bn)

Bi tp tngt: 3x2 + 6x 3 = x + 7

3

7. 5 x4

+ x 14

= 2


45 | LOVEBOOK.VN

HPT

+ Bin i HPT thnh dng:

{f(u(x, y), v(x, y)) = 0

g(u(x, y), v(x, y)) = 0

+ t {u(x, y) = uv(x, y) = v

+ Chuyn HPT thnh {f(u, v) = 0g(u, v) = 0

+ Tm u, v t suy ra cc nghim (x, y)

1. B2009 : {xy + x + y = 7y

x2y2 + xy + 1 = 13y2

2. D2009: {x(x + y + 1) 3 = 0

(x + y)2 5

x2+ 1 = 0

Hm s

Vi f(x) v g(x) l 2 hm s lin tc trn

ta c: 1. Hm s f(x) n iu trn th: +) f(x) = a c khng qu 1 nghim trn

(nu f() = a th x = ( )

+) f(u) = f(v) u = v u, v .

2. f(x) v g(x) n iu v ngc chiu bin thin trn th f(x) = g(x) c

khng qu 1 nghim trn . 3.

+) f(x) ng bin trn D th f(u) > f(v)

u > v u, v .

+) f(x) nghch bin trn D th f(u) > f(v) u < v u, v D

1. x2 + 3log2 x = xlogx 5

2. 8x3 36x2 + 53x 25 = 3x 53

Ta cn tm cc s sao cho

m(ax + b)3 + (ax + b) = m(3x 5) + 3x 53

ma3x3 + 3ma2bx2 + (3mab2 + a 3m)x

+ mb3 + b + 5m = 3x 53

{

ma3 = 83ma2b = 36

3mab2 + a 3m = 53mb3 + b + 5m = 25

{m = 1a = 2b = 3

Do PT cho tng ng vi

(2x 3)3 + (2x 3) = (3x 5) + 3x 53

(2)

D thy hm s f(t) = t3+t ng bin trn R

Do (2) 2x 3 = 3x 53

n y PT d dng c gii quyt (PT c bn)

3. x + 2. 3log2 x = 3

4. 8x3 + 2x < (x + 2) x + 1

(2x)3 + 2x < ( x + 1)3+ x + 1

Lin hp PP hu ch Gii PT v t (tham kho chi

tit chuyn ny ti quyn 1) 1. (x + 1) x2 2x + 3 = x2 + 1

Tham s

B1: n gin ha PT Dng cc phng php bit nh: Dng PT c bn, t n ph, nhn lin

hp, phn tch thnh nhn t x l PT, BPT, HPT nh bnh thng.

B2: Dng 1 s phng php bin lun

tm m tha m bi ton. *Mt s PPT thng dng

1. Hm s: + c lp tham s m: bin i PT thnh f(t) = g(m) hoc f(t) g(m) hoc

f(t) g(m). + Lp bng bin thin vi f(t). + Bin lun theo yu cu bi ton. VD: +) f(t) = g(m) c nghimmin

Df(t) g(m) max

Df(t)

+)f(t) g(m)c nghim

g(m) maxDf(t).

2. Tam thc bc 2:

Tm m PT 3x2 + 2x + 3 = m(x + 1) x2 + 1 (1)

c nghim. B1: D thy c th dng 2 phng php cp trn gii quyt PT (1) l:

1. t n ph khng hon ton a v HPT 2 n:

t t = x2 + 1 1 x

(1) tr thnh 3t2 m(x + 1)t + 2x = 0 Nu y khng c m th bi ton vn c th gii quyt bng cch xem t hoc x lm tham s. Tuy

nhin y c thm tham s m nn nu lm nh trn s c 2 tham s v 1 n. Bin lun theo hng ny rt phc tp. 2. t n ph hon ton a v PT 1 n:

(1) (x + 1)2 + 2(x2 + 1) = m(x + 1) x2 + 1

y l 1 dng c th bin i v PT thun nht v ta s dng phng php chia t 1 n ph hon ton (nh phn PP t n ph trnh by). D thy x = 1 khng phi nghim ca PT (1). Do x 1.

Trích Đoạn Cuốn Toán Tập 2

Documents

Transcript of Trích Đoạn Cuốn Toán Tập 2

ĐỀ THI THAM KHẢO I. ĐỌC HIỂU (3.0 điểm) Đọc đoạn trích ...

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH BÀI TẬP HÓA HỌC 12 - QUÁCH VĂN LONG (TRÍCH ĐOẠN)

CÁC MẸO GIÚP GIẢI NHANH BÀI TẬP HÓA HỌC TRONG TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ (TRÍCH ĐOẠN)

TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 HÓA HỌC - MEGABOOK (TRÍCH ĐOẠN)

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP SINH HỌC - ĐỖ NGỌC ẨN (TRÍCH ĐOẠN)

Để báo giới trích dẫn lời bạn - f.libvui.comf.libvui.com/dlsm4/DeBaoGioiTrichDanLoiBan_ff725e6e68.pdf · chương trình Chào buổi sáng ngày mai. Cuốn sách bắt

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG - LÊ THỊ HƯƠNG (TRÍCH ĐOẠN)

TUYỂN TẬP SINH HỌC 1000 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP - LÊ ĐÌNH TRUNG (TRÍCH ĐOẠN)

ĐẠI SỐ 10 BÀI TẬP & PHƯƠNG PHÁP GIẢI - LÊ HOÀNH PHÒ (TRÍCH ĐOẠN)

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TIẾNG ANH - VĨNH BÁ (TRÍCH ĐOẠN)

DÙNG ĐÚNG GIỚI TỪ TIẾNG ANH (HOW TO USE ENGLISH PREPOSITIONS) - TRƯƠNG HÙNG (TRÍCH ĐOẠN)

CẨM NANG ÔN LUYỆN HỌC SINH GIỎI TIẾNG ANH TRUNG HỌC CƠ SỞ - PHAN THỊ MINH CHÂU (TRÍCH ĐOẠN)

GIẢI THÍCH NGỮ PHÁP TIẾNG ANH BÀI TẬP VỚI ĐÁP ÁN (2011) - MAI LAN HƯƠNG (TRÍCH ĐOẠN)

file.hstatic.net · Trích đoạn CÔNG PHÁ VẬT LÍ 3 – Lớp 12 MỤC LỤC CHƯƠNG 0. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI VẬT LÍ

VnDoc.com - IIi.vietnamdoc.net/data/file/2015/Thang04/21/tai-lieu-on... · Web viewNghị luận về một tác phẩm truyện (hoặc đoạn trích) Nghị luận về một đoạn

Bí quyết giải nhanh đề thi THPT Quốc gia môn Hóa học phương pháp trắc nghiệm - Cao Cự Giác (Trích đoạn)

file.hstatic.net · Trích đoạn Công Phá Bài Tập Sinh 10-11-12 MỤC LỤC CHƯƠNG 1: DI TRUYỀN HỌC PHÂN TỬ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM SINH HỌC 12 - HÀ DANH ĐỨC (TRÍCH ĐOẠN)

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC HÓA HỌC 12 HÓA HỮU CƠ - ĐỖ XUÂN HƯNG (TRÍCH ĐOẠN)

KẾ HOẠCH HÀNH ĐỘNG CỦA ACIAR: TRÍCH ĐOẠN …aciar.gov.au/files/node_export/translated_extract_of_aciar_s... · 7 Highlights triển Kinh doanh nông sản (PARDI) của