Post on 28-Nov-2014
Matemática
1. Introdução
A
BArco AB
O
Ângulo central
Equivalência: rd = 180oEquivalência: rd = 180o
ARCOS e ÂNGULOSARCOS e ÂNGULOS
Matemática
• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.
• Forma geral:
• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.
• Forma geral:
2. Arcos côngruos
A
B
x = + 2kx = + 2k
Matemática
3. Circunferência trigonométrica
O xA’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
Matemática
4. Seno e Cosseno
O xA’ A
y
B
B’
P
M
N
sen
cos
Matemática
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 sen 1
• sinal do seno:
Seno:
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1 -1 sen 1
• sinal do seno:
O xA’ A
y
B
B’
1
-1
4. Seno e Cosseno
Matemática
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 cos 1
• sinal do cosseno:
Cosseno:
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1 -1 cos 1
• sinal do cosseno:O x
A’ A
y
B
B’
-1 1
4. Seno e Cosseno
Matemática
5. Tangente
O xA’ A
y
B
B’
P
t
t // yt // yM
tg
Matemática
O xA’ A
y
B
B’
5. TangenteSinal
Matemática
6. Redução ao 1º quadrante
a) 2o quadrante
• cos ( - x) = - cos x
• tg ( - x) = - tg x
a = ( - x)a = ( - x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2• sen ( - x) = sen x
Matemática
b) 3o quadrante
• sen ( + x) = - sen x
a = ( + x)a = ( + x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2
6. Redução ao 1º quadrante
• cos ( + x) = - cos x
• tg ( + x) = tg x
Matemática
c) 4o quadrante
• sen (2 - x) = - sen x
a = (2 - x)a = (2 - x)
O x
y
/2
0xa
3/2
2
6. Redução ao 1º quadrante
• cos (2 - x) = cos x
• tg (2 - x) = - tg x
Matemática
7. Relações entre arcos complementares
y = /2 - xy = /2 - x
sen x = cos y
sen y = cos x
sen x = cos y
sen y = cos x
O x
y
/2
0x
3/2
2
y
x
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8. Relações fundamentais
I. sen2 x + cos2x = 1
III. cotg x = xsen
xcos
x tg
1
II. tg x = xcos
xsen
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8. Relações fundamentais
VI. sec2x = 1 + tg2x
VII. csc2x = 1 + cotg2x
V. csc x = xsen
1
IV. sec x = xcos
1
continuação...
Matemática
9. Aplicações práticas
1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de
2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor de A = sen x + cos x .
3. Demonstrar a identidade
tg x + cotg x = tg x . csc2x
x gcot1
xcscxsecy
-
-=
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10. Soma e diferença de arcos
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
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10. Soma e diferença de arcos
e)b a.tg tg1
b tga tg
-
+b)tg(a =+
f) b)-tg(ab a.tg tg1
b tg-a tg
+=
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11. Arcos duplos
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) = xtg21
x 2.tg2
-
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12. Arcos metade
2
cosx1
2
xcos a)
+±=
2
cosx-1
2
xsen b) ±=
cosx1
cosx-1
2
xtg c)
+±=
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13. Transformação de soma em produto
2
qp.cos
2
qp2sensenqsenp a)
-+=+
2
qp.cos
2
q-p2sensenq-senp b)
+=
2
qp.cos
2
qp2coscosqcosp c)
-+=+
2
qp.sen
2
qp2sencosqcosp d)
-+-=-
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a) sen x = a ; −1≤ a≤1
O x
y
/2
0y
3/2
2
a• sen x = sen y
x = y + 2k
• sen x = sen ( - y)
x = ( - y) + 2k
14. Equações trigonométricas
Matemática
ex. Resolva as equações:
b) sen (2x - ) = 2
3-
a) sen x =2
1
14. Equações trigonométricas
Matemática
O x
y
/2
0y
3/2
2a
• cos x = cos y
x = y + 2k
• cos x = cos (2 - y)
x = - y + 2k
b) cos x = a ; 1a1
14. Equações trigonométricas
Matemática
ex. Resolva as equações:
b) cos 2x = 0
a) cos x =2
2
14. Equações trigonométricas
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c) tg x = b ; b IR
O x
y
/2
0y
3/2
2
b
• tg x = tg y
x = y + k
t
14. Equações trigonométricas
Matemática
ex. Resolva as equações:
3a) tg 3x =
b) tg (2x - ) = 1
14. Equações trigonométricas
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d) Outras equações:
1) sen2x + 4cos x = - 4
2) cos (2x) + cos x = 0
3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2]
4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ]
5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ]
14. Equações trigonométricas
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a) Função seno :
f : IR IR
f(x) = sen x
f : IR IR
f(x) = sen x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.
x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 sen x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
15. Funções trigonométricas
Matemática
a) gráfico :
15. Funções trigonométricas
- -y
x0 32
22
2
-
--
Matemática
a) Função seno :
Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)
Paridade : sen x = - sen (- x)Paridade : sen x = - sen (- x)
• A função y = sen x é ímpar.
• A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos.
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d) período de f = c
2
15. Funções trigonométricas
Matemática
b) Função cosseno :
f : IR IR
f(x) = cos x
f : IR IR
f(x) = cos x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.
x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ] x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
15. Funções trigonométricas
Matemática
b) gráfico :
15. Funções trigonométricas
- -y
x0 32
22
2
-
--
Matemática
b) Função cosseno :
Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)
Paridade : cos x = cos (- x)Paridade : cos x = cos (- x)
• A função y = cos x é par.
• A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos.
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d) período de f = c
2
15. Funções trigonométricas
Matemática
ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3/ 2.
c) Determine os valores de x onde f assume o seu valor máximo.
b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], determine a e b.
a) Determine c.
15. Funções trigonométricas
Matemática
c) Função tangente :
f : D IR
f(x) = tg x
f : D IR
f(x) = tg x
A função associa cada arco x, x / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x.
A função associa cada arco x, x / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x.
Im(f) = IRIm(f) = IR
D = { x IR / x / 2 + k }D = { x IR / x / 2 + k }
15. Funções trigonométricas
Matemática
- -
15. Funções trigonométricas
c) gráfico :
y
x0 32
22
2
-
Matemática
c) Função tangente :
Periodicidade : tg x = tg ( x + )Periodicidade : tg x = tg ( x + )
Paridade : tg x = - tg (- x)Paridade : tg x = - tg (- x)
• A função y = tg x é ímpar.
• A função y = tg x é periódica e tem período igual a radianos.
• Se f(x) = a + b. tg(cx + d) período de f = c
15. Funções trigonométricas
Matemática
ex. Determine o domínio e o período da função
f(x) = tg (4x).
15. Funções trigonométricas