Post on 12-Jan-2017
•Domain nsekuens, respons impulse, persamaan beda
•Domain respons frekuensi, representasi spektral
•Domain z operator dan pole zero
Representasi domain
Mis : proses pengolahan audio secara digitalAnalisa langsung sulit transformasi z dengan operasialjabar (domain-z)Analisa frekuensi domain Implementasi domain-n
TRANSFORMASI-Z
Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi
Contoh Soal 1Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini
1,0,7,5,2)n(x).d
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
1,0,7,5,2,1)n(x).b
1,0,7,5,2,1)n(x).a
4
3
2
1
Jawab:
5321
1
1
zz7z5z21)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).a
31122
2
zz75z2z)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).b
74321
3
3
zz7z5z2z)z(X
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
3114
4
zz75z2)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
Contoh Soal 2Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini
0k),kn()n(x).c
0k),kn()n(x).b
)n()n(x).a
3
2
1
Jawab:
1z)n()z(X).an
n1
k
n
n2 zz)kn()z(X).b
k
n
n3 zz)kn()z(X).c
Contoh Soal 3Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u
2
1)n(x
n
Jawab:
1,1
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11)(
32
00
1
0
22
1
AA
AAA
Azz
zzzzX
n
n
n
n
n
nn
nn
1
1
21
1
1)(
2
11
2
1
z
zXzz
11
1)(
)()(
zzX
nunx n
11
1)(
)()(
zzX
nunx
,
2
1,,
2
1,
2
1,
2
1,1)(
32 n
nx
ROC
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Linieritas
)z(Xa)z(Xa)z(X)n(xa)n(xa)n(x
)z(X)n(x)z(X)n(x
22112211
2211
Contoh Soal 4Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)3(4)2(3)n(x nn
Jawab:
1121
n2
n1
z31
4
z21
3)z(X4)z(X3)z(X
)n(u)3()n(x)n(u)2()n(x
Contoh Soal 5Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
)n(u)nsin()n(x).b
)n(u)ncos()n(x).a
o
o
Jawab:)n(ue
2
1)n(ue
2
1)n(u)ncos()n(x).a njnj
ooo
1j1j ze1
1
2
1
ze1
1
2
1)z(X
oo
)zeze1(
)1zeze1(
2
1
)ze1)(ze1(
)e1()e1(
2
1)z(X
2j1j
1j1j
1j1j
jj
oo
oo
oo
oo
2o
1o
1
o zcosz21
cosz1)z(Xncos)n(x
)n(uej2
1)n(ue
j2
1)n(u)nsin()n(x).b njnj
ooo
1j1j ze1
1
j2
1
ze1
1
j2
1)z(X
oo
)zeze1(
)zeze(
j2
1
)ze1)(ze1(
)e1()e1(
j2
1)z(X
2j1j
1j1j
1j1j
jj
oo
oo
oo
oo
2o
1o
1
o zcosz21
sinz)z(Xnsin)n(x
Penskalaan Domain-Z
a
zX)za(X)n(xa)z(X)n(x 1
1n
Contoh Soal 6Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
)n(u)nsin(a)n(x).b)n(u)ncos(a)n(x).a on
2on
1
Jawab:
22o
1o
1
1 zacosaz21
cosaz1)z(X
2o
1o
1
o zcosz21
cosz1)z(Xncos)n(x
21o
11o
11
1on
1 )za(cos)za(21
cos)za(1)z(Xncosa)n(x
22o
1o
1
2 zacosaz21
sinaz)z(X
Time Reversal
)z(X)n(x)z(X)n(x 1
Contoh Soal 7Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)n(x
Jawab:
1z1
1)z(X)n(u)n(x
z1
1)z(X)n(u)n(x
z1
1
)z(1
1)z(X)n(u)n(x
11
Diferensiasi dalam domain z
dz
)z(dXz)n(nx)z(X)n(x
Contoh Soal 8Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(una)n(x nJawab:
11n
1 az1
1)z(X)n(ua)n(x
dz
)z(dXz)z(X)n(una)n(x 1n
21
2
11
az1
az)z(
az1
1
dz
dz
dz
)z(dXz)z(X
21
1n
az1
az)n(una
21
1
z1
z)n(nu
Konvolusi antara dua sinyal
)z(X)z(X)z(X)n(x*)n(x)n(x
)z(X)n(x)z(X)n(x
2121
2211
Contoh Soal 9Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Jawab:
lainnya,0
5n0,1)n(x1,2,1)n(x 21
543212
211 zzzzz1)z(Xzz21)z(X
)zzzzz1)(zz21()z(X)z(X)z(X 543212121
761
21 zzz1)z(X)z(X)z(X
1,1,0,0,0,0,1,1)n(x*)n(x)n(x 21
TRANSFORMASI Z RASIONAL Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =
Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0
N
0k
kk
M
0k
kk
NN
11o
MM
11o
za
zb
zazaa
zbzbb
)z(D
)z(N)z(X
Fungsi Rasional
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
No
Mo
oo
aa
zaa
Z
bb
zbb
z
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
N(z) dan D(z) polinom
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
No
Mo
oo
aa
zaa
Z
bb
zbb
z
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
)pz()pz)(pz(
)zz()zz)(zz(z
a
b
)z(D
)z(N)z(X
M21
M21MN
o
o
N
1kk
M
1kk
MN
)pz(
)zz(zG)z(X
Contoh Soal 10Tentukan pole dan zero dari
21
1
z5,0z5,11
z5,12)z(X
Jawab:
)5,0z)(1z(
)75,0z(z2
)5,0z)(1z(
75,0zz2
5,0z5,1z
75,0z
z
z
1
2)z(X
12
22
1
75,0z0z:Zero 21
5,0p1p:Pole 21
Contoh Soal 11Tentukan pole dan zero dari
21
1
z5,0z1
z1)z(X
Jawab:
5,0zz
)1z(z)z(X
2
1z0z:Zero 21
5,0j5,0p5,0j5,0p:Pole 21 *21 pp
)]5,0j5,0(z)][5,0j5,0(z[
)1z(z
Fungsi Sistem dari Sistem LTI
)z(X
)z(Y)z(H)z(X)z(H)z(Y)n(x*)n(h)n(y
)z(H)n(h Respon impuls Fungsi sistem
Persamaan beda dari sistem LTI :
)kn(xb)kn(ya)n(yM
0kk
N
1kk
kM
0kk
kN
1kk z)z(Xbz)z(Ya)z(Y
kM
0kk
kN
1kk z)z(Xbz)z(Ya)z(Y
kM
0kk
kN
1kk zb)z(X]za1)[z(Y
)z(Hza1
zb
)z(X
)z(Y
kN
1kk
kM
0kk
Fungsi sistem rasional
)z(Hza1
zb
)z(X
)z(Y
kN
1kk
kM
0kk
Hal khusus I : ak = 0, 1 k N
kMM
0kkM
kM
0kk zb
z
1zb)z(H
All-zero system
Hal khusus II : bk = 0, 1 k M
1aza
b
za1
b)z(H o
kN
0kk
o
kN
1kk
o
All-pole system
pole-zero system
Contoh Soal 12Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :
Jawab:
)z(X2)z(Yz2
1)z(Y 1
)n(x2)1n(y2
1)n(y
)z(X2)z2
11)(z(Y 1
1z21
1
2)z(H
)n(u
2
12)n(h
n
TRANSFORMASI -Z BALIK
Definisi transformasi balik
n
nz)n(x)z(X dzz)z(Xj2
1)n(x 1n
Cluardizbila,0
Cdalamdizbila,dz
)z(fd
)!1k(
1
dz)zz(
)z(f
j2
1
o
o
zz
1k
1k
C ko
o
Teorema residu Cauchy :
Ekspansi deret dalam z dan z-1
n
nnzc)z(X
Contoh Soal 13Tentukan transformasi-z balik dari
21 z21
z23
1
1)z(X
Jawab:
4321 z16
31z
8
15z
4
7z
2
31)z(X
n
nz)n(x)z(X
,
16
31,
8
15,
4
7,
2
3,1)n(x
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
)z(X)z(X)z(X)z(X KK2211
Contoh Soal 14Tentukan transformasi-z balik dari
Jawab:
)n(x)n(x)n(x)n(x KK2211
21 z5,0z5,11
1)z(X
)5,0z)(1z(
z
5,0z5,1z
z)z(X
2
2
2
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z
z
)z(X 212
)5,0z(
1
)1z(
2
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z
z
)z(X 212
)z5,01(
1
)z1(
2)z(X
11
)(])5,0(2[)( nunx n
)5,0z)(1z(
)1z(A)5,0z(A
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z 21212
5,0z5,1z
)AA5,0(z)AA(
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z2
2121212
1A2A1A5,0A5,0A 21111
122121 A5,0A0AA5,01AA
Contoh Soal 15
Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear TimeInvariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121
)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121
21
1
z2z31
z5,95,4
)z(X
)z(Y)z(H
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
21
1
z2z31
z5,95,4)z(H
2z3z
5,9z5,4
z
)z(H2
2z
5,0
1z
5
2z
A
1z
A
z
)z(H 21
11 z)2(1
5,0
z)1(1
5)z(H
)n(u])2(5,0)1(5[)n(h nn
Contoh Soal 16
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant)yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
0)2(y0)1(y
dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n) )n(y)n(y zs
)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121
11n
z31
1
z)3(1
1)z(X)n(u)3()n(x
)z(X)z5,95,4()z2z31)(z(Y 121
1121
z31
1)z5,95,4()z2z31)(z(Y
)z31)(z2z31(
)z5,95,4()z(Y
121
1
)z31)(z2z31(z
)z5,95,4(z
z
)z(Y1213
12
)3z)(2z)(1z(
)z5,9z5,4(
)3z)(2z3z(
)z5,9z5,4(
z
)z(Y 2
2
2
)3z)(2z)(1z(
)z5,9z5,4(
)3z)(2z3z(
)z5,9z5,4(
z
)z(Y 2
2
2
)3z(
A
)2z(
A
)1z(
A
)3z)(2z)(1z(
)z5,9z5,4( 3212
)3z)(2z)(1z(
)2z3z(A)3z4z(A)6z5z(A
z
)z(Y 23
22
21
0A2A3A6
5,9A3A4A5
5,4AAA
321
321
321
2
236
345
111
D
5,22
5
D
230
345,9
115,4
A1 1
2
2
D
206
35,95
15,41
A2
6A5,4A15,2 33
)z31(
6
)z21(
1
)z1(
5,2)z(Y
)3z(
6
)2z(
1
)1z(
5,2
z
)z(Y
111
)(])3(6)2()1(5,2[)( nuny nnnzs
Pole-pole berbeda semua
N
N
k
k
1
1
pz
A
pz
A
pz
A
z
)z(X
N
Nkk
1
1kk
pz
A)pz(A
pz
A)pz(
z
)z(X)pz(
kpz
k Az
)z(X)pz(
k
Contoh Soal 17
Jawab:
Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapatinput x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y
)z(Xz8)z(Xz28)z(X5)z(Yz8)z(Yz6)z(Y 2121
121
21
z1
1
z8z61
)z8z285()z(Y
1z1
1)z(X
1z
A
4z
A
2z
A
)1z)(8z6z(
)8z28z5(
z
)z(Y 3212
2
1z
A
4z
A
2z
A
)1z)(4z)(2z(
)8z28z5(
z
)z(Y 3212
146
84
)3)(2(
85620
)1z)(4z(
8z28z5
z
)z(Y)2z(A
2z
2
1
2010
200
)5)(2(
811280
)1z)(2z(
8z28z5
z
)z(Y)4z(A
4z
2
2
115
15
)5)(3(
8285
)4z)(2z(
8z28z5
z
)z(Y)1z(A
1z
2
3
1z
1
4z
20
2z
14
z
)z(Y
111 z1
1
z41
20
z21
14)z(Y
)n(u]1)4(20)2(14[)n(y nnzs
Ada dua pole yang sama
N
N
k
k22
k
k1
1
1
pz
A
pz
A
)pz(
A
pz
A
z
)z(X
kpz
2k
k1 z
)z(X)pz(A
kpz
2k
k2 z
)z(X)pz(
dz
dA
Contoh Soal 18
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari :
211 )z1)(z1(
1)z(X
)1z(
A
)1z(
A
1z
A
)1z)(1z(
z
z
)z(X 32
212
2
4
1
)1z(
z
z
)z(X)1z(A
1z
2
2
1
4
3
)1z(
z2z
)1z(
)z)(1()1z)(z2(
)1z(
z
dz
d
z
)z(X)1z(
dz
dA
1z
2
2
2
2
22
3
)n(u]4
3n
2
1)1(
4
1[)n(x n
2
1
)1z(
z
z
)z(X)1z(A
1z
22
2
Pole kompleks
*pppp 21
211
11
11 z*ppz*ppz1
pz*A*Az*ApA
z*p1
*A
pz1
A
12
21
1
1
zp1
A
zp1
A)z(X
*AAAA 21
22
11
11o
21
1
zaza1
zbb
z*ppz*)pp(1
z)p*A*Ap(*)AA(
)ARe(2*AAb
)ARe(2)AIm(j)ARe()AIm(j)ARe(*AA
o
)pRe(2*)pp(a
)pRe(2)pIm(j)pRe()pIm(j)pRe(*pp
1
2
2
222 p*ppap)p(Im)p(Re
)]pIm(j)p)][Re(pIm(j)p[Re(*pp
)pIm()AIm(2)pRe()ARe(2
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(p*A*Ap
*)ApRe(2)p*A*Ap(b
]pIm()ARe()AIm()p[Re(j)]pIm()AIm()pRe()A[Re(
)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(*Ap
1
Contoh Soal 19
Jawab:
Tentukan transformasi-Z balik dari :21
1
z5,0z1
z1)z(X
22
11
11o
21
1
zaza1
zbb
z5,0z1
z1)z(X
5,0)ARe(1)ARe(2bo
5,0)pRe(1)pRe(2a1
5,0*)ApRe(1*)ApRe(2b1
5,0)p(Im)p(Re5,0pa 222
2
5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222
5,0)ARe(5,0)pRe(
5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2
)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap
25,0j5,0A25,0)AIm(
5,0)AIm(5,025,0*)ApRe(
11
11
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z*p1
*A
pz1
A)z(X
11 z)5,0j5,0(1
25,0j5,0
z)5,0j5,0(1
25,0j5,0)z(X
45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0
n45sin)707,0(5,0n45cos)707,0(
)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j
)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(
)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j
)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(
)e707,0)(25,0j5,0()e707,0)(25,0j5,0()n(x
nn
n
n
n
n
n45jn45j
TRANSFORMASI-Z SATU SISI Definisi :
Contoh Soal 20Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit dibawah ini
0n
nz)n(x)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
1,0,7,5,2,1)n(x).b
1,0,7,5,2,1)n(x).a
4
3
2
1
Jawab:
5321
1
1
zz7z5z21)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).a
312
2
zz75)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).b
74321
3
3
zz7z5z2z)z(X
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
314
4
zz75)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
Contoh Soal 21Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls dibawah ini
0k),kn()n(x).c
0k),kn()n(x).b
)n()n(x).a
7
6
5
Jawab:
1z)n()z(X).a0n
n5
k
0n
n6 zz)kn()z(X).b
0z)kn()z(X).c0n
n7
Time Delay]z)n(x)z(X[z)kn(x
k
1n
nk
Contoh Soal 22Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2)
dimana x(n) = anu(n )
1n
az1
1)z(X)n(ua)n(x
211
1
2
22
2
1n
n21
azaaz1
z
z)2(xz)1(xXz
z)n(xXz)z(X
Jawab:
Time advance
]z)n(x)z(X[z)kn(x1k
0n
nk
Jawab:
1n
az1
1)z(X)n(ua)n(x
azz
az1
z
z)1(x)0(xXz
z)n(x)z(XzX
21
2
12
1
0n
n22
Contoh Soal 23Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2)
dimana x(n) = anu(n )
Contoh Soal 24
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant)yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2
]z)1(y)z(Y[z3)z(Y22
1
)1n(x5,9)n(x5,4)2n(y)1n(y3)n(y
5,7)2(y5,8)1(y
dengan input x(n) = 0 )n(y)n(y zi
21
1
21
1
z2z31
5,10z17
z2z31
)5,7(2z)5,8(2)5,8(3)z(Y
)2(y2z)1(y2)1(y3]z2z31)[z(Y
0]z)2(yz)1(y)z(Y[z2
]z)1(y)z(Y[z3)z(Y
121
22
1
)2z)(1z(
17z5,10
2z3z
17z5,10
z
)z(Y2
2z
A
1z
A
)2z)(1z(
17z5,10
2z3z
17z5,10
z
)z(Y 212
41
4
1z
17z5,10
z
)z(Y)2z(A
5,61
5,6
2z
17z5,10
z
)z(Y)1z(A
2z2
1z1
11 z21
4
z1
5,6
2z
z4
1z
z5,6)z(Y
nnzi )2(4)1(5,6)n(y
Contoh Soal 25
Jawab:
Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) =u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
3)2(y4)1(y
)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y
]z)2(xz)1(x)z(X[z8]z)1(x)z(X[z28
)z(X5]z)2(yz)1(y)z(Y[z8
]z)1(y)z(Y[z6)z(Y
221
22
1
]z8z285)[z(X
24z3224]z8z61)[z(Y21
121
]z8z285)[z(X
24z3224]z8z61)[z(Y21
121
1
21121
z1
z8z285z32]z8z61)[z(Y
)z1)(z8z61(
z8z285z32z32)z(Y
121
2121
)z1)(z8z61(
z24z45)z(Y
121
21
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y2
2
)1z)(4z)(2z(
24z4z5
)1z)(8z6z(
24z4z5
z
)z(Y 2
2
2
4z
A
2z
A
1z
A
)1z)(4z)(2z(
24z4z5 3212
115
15
)5)(3(
2445
)4z)(2z(
24z4z5A
1z
2
1
26
12
)3)(2(
24820
)1z)(4z(
24z4z5A
2z
2
2
410
40
)5)(2(
241680
)1z)(2z(
24z4z5A
4z
2
3