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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE QUÍMICA
PLANEJAMENTO E OTIMIZAÇÃO EXPERIMENTAL
Alunas: RA:Cíntia Botelho Dias 085264Natália Andrade Zancan 087667
Prof. Dr. Roy Eduard Bruns
Campinas
Dezembro de 20091. OBJETIVO
Avaliar o efeito do tempo de aquecimento da mistura “óleo e leite” e da
quantidade de ovos no crescimento de pães de queijo.
2. PROCEDIMENTOS
Foi utilizado um fatorial 22 em duplicata com ponto central em triplicata para, a
partir de uma receita usual de pão de queijo, observar se o tempo de aquecimento da
mistura “leite e óleo” e a quantidade de ovos adicionada causariam influencia no
crescimento dos pães de queijo.
Foram feitas as seguintes variações:
O tempo de aquecimento da mistura “leite e óleo” foi variado entre 0 e 2
minutos. O tempo 0 (zero) equivale à mistura fria, 1 minuto equivale à
mistura morna e 2 minutos equivale à mistura fervente.
A quantidade de ovos adicionada variou entre 1 e 3.
Os níveis do planejamento estão representados na tabela a seguir:
TABELA 1: Níveis para o planejamento realizado.
EnsaiosTempo de
aquecimento leite+óleo (minutos)
Quantidade de ovos (unidades)
-1 0 1
0 1 2
+1 2 3
O fatorial foi montado como mostra a tabela abaixo (Tabela 2).
TABELA 2: Planejamento fatorial 22 com ponto central realizado.
Ensaios X1 X2
Tempo de
aquecimento
leite+óleo (minutos)
Quantidade de
ovos (unidades)
1 -1 -1 0 1
2 +1 -1 2 1
3 -1 +1 0 3
4 +1 +1 2 3
5 0 0 1 2
Os experimentos foram feitos em ordem aleatória, com replicatas autenticas. A
resposta avaliada foi a altura do pão de queijo em centímetros.
3. RESULTADOS
As aparências dos pães de queijo para cada ensaio estão representadas nas
figuras abaixo:
FIGURA 1: Representa o
ensaio 1 (X1= -1 e X2 = -1).
FIGURA 3: Representa o
ensaio 3 (X1= -1 e X2 = +1).
FIGURA 5: Representa o
ensaio 5, ponto central (X1= 0
e X2 = 0).
FIGURA 2: Representa o
ensaio 2 (X1= +1 e X2 = -1).
FIGURA 4: Representa o
ensaio 4 (X1= +1 e X2 = +1).
A tabela a seguir representa o planejamento fatorial realizado com as respostas obtidas em
centímetros:
TABELA 3: Planejamento fatorial realizado contendo as resposta obtidas.
Ensaios X1 X2
Tempo de aquecimento leite+óleo
(minutos)
Quantidade de ovos (unidades)
Resposta (cm)
1 -1 -1 0 1 4,05 1,5
2 1 -1 2 1 3,45 4,1
3 -1 1 0 3 1,6 0,505
4 1 1 2 3 2,2 4,1
5 0 0 1 2 4,85 4,15 5,5
4. CÁLCULOS E DISCUSSÃO
As médias individuais foram calculadas tomando-se os valores individuais para cada
ensaio. A média global foi calculada tomando-se a média para cada ensaio e dividindo-se pelo
número de ensaios realizados:
Média do ensaio 1 = 4,05+1,5 = 2,7750 2
Média total = 2,775 + 3,775 + 1,0525 + 3,15 + 4,8333 = 3,1172 5
Foram calculadas as variâncias individuais a partir das médias dos ensaios e de suas
observações individuais, como demonstrado abaixo:
S2 =
Ensaio 1:
A variância total utilizada foi a variância agregada:
Onde: é a variância agregada, 2is é a variância para o i-ésimo ensaio, representa os graus
de liberdade para o i-ésimo ensaio, n é o número de experimentos realizados.
Logo:
O desvio padrão para cada ensaio foi obtido extraindo-se a raiz da variância para cada
ensaio e o desvio padrão do planejamento foi calculado extraindo-se a raiz da variância agregada.
Os cálculos dos efeitos foram feitos da seguinte maneira:
Onde: representa o efeito de x1, representa a média das respostas com sinal positivo e
representa a média das respostas com sinal negativo.
O cálculo da variância foi feito como mostrado à seguir:
Onde: representa a variância do efeito de x1, V( ) representa a variância das respostas
com sinal positivo e V( ) representa a variância das respostas com sinal negativo.
0,564904
1298,1
4
1298,1)1( efV
O cálculo do desvio padrão do efeito foi feito extraindo-se a raiz quadrada da variância:
Erro padrão do efeito =
O intervalo de confiança foi calculado utilizando-se t da tabela t de Student, a 95% de
confiança, para 6 graus de liberdade (graus de liberdade utilizados para calcular a variância
agregada).
Efeito de x1 erro padrão do efeito
1,54875 2,447
0,76788 < efeito 1 < 2,3296
A tabela abaixo apresenta os resultados dos cálculos para todos os efeitos, suas
variâncias, erros padrão e intervalos de confiança.
TABELA 4: Resultados obtidos a partir do cálculo dos efeitos, variância e erro padrão dos efeitos e intervalo de confiança para os efeitos.
Efeitos Variância Erro padrão Intervalo de Confiança
x1 1,54875 0,56490 0,31911 0,76788 2,3296
x2 -1,17375 0,56490 0,31911 -1,95462 0,39289
x1x2 0,54875 0,56490 0,31911 -0,23211 1,32961
Quando o intervalo de confiança passa pelo ponto zero, não podemos dizer que o valor do
efeito é diferente de zero, portanto o efeito não é significativo no nível de confiança em que está
sendo analisado.
A partir dos resultados observados na tabela anterior pode-se dizer que apenas o efeito de
x1 é significativo, enquanto que os efeitos de x2 e da interação x1x2 não são significativos ao um
nível de confiança de 95%.
Portanto, apenas a temperatura da mistura “óleo e leite” é significativa para o crescimento
dos pães de queijo.
Os coeficientes da equação podem ser determinados da seguinte maneira:
média das observações
3,1172
Os coeficientes , e são a metade dos efeitos de x1, x2 e da interação x1.x2,
respectivamente, portanto:
E a equação ficaria:
Mas como observado anteriormente calculando-se os intervalos de confiança para
os efeitos, os efeitos de x2 e da interação x1x2 não são significativos a um nível de
confiança de 95%, portanto pode-se retira-los da equação, obtendo-se então a seguinte
expressão:
Mas para minimizar o erro no cálculo do y desejado o ideal é utilizar-se a equação
contendo também b2:
Fazendo-se a ANOVA para os efeitos de x1 e x2 (a partir da equação acima) e excluindo-se
o efeito da interação x1.x2, obteremos os seguintes resultados:
TABELA 5: Resultados obtidos a partir do cálculo da ANOVA.Soma
QuadráticaGraus de Liberdade
Média Quadrática
Regressão 13,6158 2 6,8079
Resíduo 11,6261 8 1,4533
Falta de Ajuste 11,9307 2 2,4237
Erro Puro 6,7787 6 1,1298
TOTAL 25,2419 10
% de variância explicada: 53,9413
% de variância explicável: 73,1451
Cálculos detalhados da tabela 5 (tabela de ANOVA):
Soma Quadrática:
Soma Quadrática total =
=
0,8702 + 0,1108 + 2,3018 + 0,8412 + 3,0027 + 2,6152 + 0,9660 + 6,8234 + 0,9660 + 1,0667 + 5,6779 =
25,2419
Soma Quadrática REGRESSÃO=
SQR = = =
=13, 6158
Soma Quadrática RESÍDUO =
S.Q. TOTAL – S.Q. REGRESSÃO = 25, 2419 - 13, 6158 = 11, 6261
Soma Quadrática FALTA DE AJUSTE =
S.Q. RESÍDUO – S.Q. ERRO PURO = 11, 6261- 6, 7787 = 11, 9307
Soma Quadrática ERRO PURO =
SQEP = = 6,7787
Graus de liberdade:
Regressão: p-1 = 3-1=2 Falta de Ajuste: m-p = 5-3 = 2
Resíduo: n-p = 11-3 = 8 Erro Puro: n-m = 11- 5 = 6
Total: n-1 = 11-1 = 10
Médias Quadráticas:
M.Q. REGRESSÃO= SQ. REGRESSÃO /p-1 = 6,5325 / 2 = 6,8079
M.Q. RESÍDUO = S.Q. RESÍDUO /n-p = 1, 4533
M.Q. FALTA DE AJUSTE = S.Q. FALTA DE AJUSTE /m-p = 2,4237
M.Q. ERRO PURO = S.Q. ERRO PURO /n-m= 1,1298
Para verificar se há falta de ajuste pode-se fazer usar a razão da média quadrática da falta
de ajuste pela média quadrática do erro puro:
Fcalculado = 2,14528 < F2,6,95% = 4,46
Observa-se, calculando-se o F da falta de ajuste, que esse é menor que o F crítico para 2
e 6 graus de liberdade a 95% de confiança. Isto nos indica que não há falta de ajuste no modelo.
E para verificar se a regressão é válida faz-se a razão entre a média quadrática da
regressão e média quadrática do resíduo:
Fcalculado = 6,02586 > F2,8,95% = 5,14
Observando o F da regressão e comparando-se com o F crítico para 2 e 8 graus de
liberdade a 95% de confiança, constatamos que o modelo explica a regressão, pois o F calculado
é maior que o F crítico.
Apesar do modelo não apresentar falta de ajuste e sua regressão ser significativa, seria
explicável por este apenas 73,15% da variância e na prática o modelo explica apenas 53,94% da
variância. O que não o torna um modelo bom na prática, o que pode ser explicado pelo fato de
existirem uma série de fatores que não puderam ser controlados devido ao experimento ter sido
realizado em uma cozinha doméstica e não em um laboratório experimental.
A temperatura de assamento não foi controlada, pois o forno não possuía termostato,
podendo ser um fator causador de erro nas observações.
O recipiente utilizado para o aquecimento da mistura “óleo+leite”, ora apresentava-se frio e
ora quente devido ao experimento anterior. Não sendo possível controlar com tanta precisão a
temperatura de aquecimento da mistura.
p = parâmetros =b0, b1 e b2 = 3
n = número de experimentos = 11
m = número de ensaios = 5
Os ingredientes não foram medidos em recipientes graduados e sim em recipientes de uso
doméstico.
Cálculo da significância da curvatura:
Onde: representa a média das observações do fatorial e representa a média das
observações do ponto central.
V(curvatura) =
V(curvatura) =
Erro padrão da curvatura =
Erro padrão da curvatura =
O intervalo de confiança foi calculado utilizando-se t da tabela t de Student para 6 graus de
liberdade (graus de liberdade utilizados para calcular a variância agregada) a 95% de confiança.
Intervalo de confiança = curvatura t6x (erro padrão da curvatura)
Intervalo de confiança = -2,1452 2,447 x ( )
-2,1452 0,6561
-2,80128 < curvatura < -1,48912
Calculando-se a significância da curvatura por este método observa-se que,
aparentemente, a curvatura é significativa a 95% de confiança, pois seu intervalo de confiança
não passa por zero. Mas como observamos anteriormente o efeito da interação x1x2 não é
significativo o que nos diz que provavelmente a curvatura não é significativa e tornaria
desnecessário calculá-la.
5. CONCLUSÃO:
Por meio do experimento realizado, variando-se as quantidades de ingredientes chave
(mistura óleo + leite e ovos) em uma receita padrão de pães de queijo, e efetuando-se os cálculos
e testes estatísticos pertinentes ao estudo a conclusão feita foi que a mistura “óleo + leite”
apresentou-se como o único fator significativo no crescimento dos pães de queijo. Tendo o
experimento sido realizado por meio da variação da temperatura desta mistura, ou seja,
acrescentando-se a mistura fria (nenhum aquecimento), morna (aquecimento de 1 minuto) ou
quente (aquecimento de 2 minutos) a uma receita usual de pães de queijos e realizando-se as
replicatas.
É importante relatar também que ocorreu influência no resultado das variações do
ambiente utilizado para o experimento. Isto porque este foi realizado em uma cozinha doméstica
sem os equipamentos de medição, vidrarias e outros utensílios necessários para que houvesse
precisão e exatidão nos resultados.