Post on 27-Sep-2019
MÔN HỌC
TOÁN KINH TẾ (MATHEMATICAL ECONOMICS)
GV: ThS. Phạm Thị Yến Anh
Email: ptyanh@itam.tdt.edu.vn
CHƢƠNG 1
MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
(Matrix and matrix operators)
1.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận.
1.2. Phép khử Gauss-Jordan và hệ phương
trình tuyến tính.
1.3. Định thức của ma trận.
1.4. Ma trận nghịch đảo.
1.5. Mô hình Input – Output Leontief.
1.6. Mô hình cân bằng thị trường.
3
Chƣơng 1.
MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
MA TRẬN
(matrix)
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 4
MATHEMATICAL ECONOMICS
5
MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN
8 x 8
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
6
65536 x 256
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN
MA TRẬN (matrix)
Môt ma trận A loai m x n la môt bảng chữ
nhật gôm mxn sô thưc đươc viết thanh m hàng
(dòng) n côt như sau:
7
1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
8
MA TRẬN (MATRIX)
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ...
...
n
n
m m
ij
mn
a
a a a
a a aA
a a a
Dòng i
Côt j m n
Kí hiệu: 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏
𝑎𝑖𝑗 là phần tử của ma trận A nằm
ở giao điểm của dòng i côt j
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Ví du
a/ 1 −1 04 2 3
là ma trận cấp 2x3 và có các
phần tử là 𝑎11 = 1; 𝑎12 = −1; 𝑎13 = 0 ;
𝑎21 = 4; 𝑎22 = 2; 𝑎23 = 3
b/ 1 24 3
là ma trận cấp 2x2 và có các phần
tử: 𝑎11 = 1; 𝑎12 = 2; 𝑎21 = 4; 𝑎22 = 3
9
MA TRẬN (MATRIX)
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
10
MA TRẬN VUÔNG
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
n n
Đường chéo chính Đường chéo phụ
• Khi m = n, bảng số thành hình vuông, ta có
ma trận vuông với n hàng n côt, ta gọi nó là
ma trận cấp n
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
11
Ma trận chéo la ma trận vuông có các phần tử nằm
ngoài đường chéo chính bằng 0.
1 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 5 0
0 0 0 0 0 1
6 x 6
MA TRẬN CHÉO
12
Ma trận đơn vị la ma trận chéo có các phần tử nằm
trên đường chéo chính đều bằng 1. Ky hiệu In
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
6 x 6
MA TRẬN ĐƠN VỊ
13
Ví du: 1 2 5 0 6 0
0 2 0 1 0 7
0 0 1 0 0 3
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1
6 x 6
Ma trận tam giác trên la ma trận vuông có các phần
tử nằm phía dƣới đường chéo chính đều bằng 0.
MA TRẬN TAM GIÁC
14
Ma trận tam giác dươi la ma trận vuông có các
phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều
bằng 0. 1 0 0
2 0 0
2 3 5
3 x 3
Ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới gọi
chung là ma trận tam giác.
MA TRẬN TAM GIÁC
15
1. PHÉP CHUYỂN VỊ
Cho ma traän ( )
Ma traän chuyeån vò cuûa kí hieäu laø ( )
ij m n
T
ji n m
A a
A A a
Ví du:
1 2 3
0 5 1
1 2 0
A
1 0 1
2 5 2
3 1 0
T
A
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
16
2. HAI MA TRÂ N
BĂ NG NHAU
Cho ma traän ( ) , ( )ij m n ij m n
ij ij
A a B b
A B a b
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
17
2. HAI MA TRÂ N
BĂ NG NHAU
Ví du: 1 3 2 1 3
;2 3 2
y x yA B
z t z t
0
2 1 1 3
3 3 2
3 3
22 2
2
x
xy
y yA B
z zz
t t
t
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
18
3. PHÉP CỘNG
(TRỪ)
Cho ma traän ( ) , ( )
( )
ij m n ij m n
ij ij m n
A a B b
C A B a b
Ví du:
2 3 2 3
1 3 2 1 0 1,
0 1 1 1 2 0
A B
2 3
0 3 3
1 3 1
A B
2 3
2 3 1
1 1 1
A B
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
19
4. PHÉP NHÂN
VỚI SỐ THỰC Cho ma traän ( ) ,
( )
ij m n
ij m n
A a
A a
Ví du 1:
2 3
1 3 2, 2
0 1 1
A
2 3
2 6 42
0 2 2
A A
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
20
Ví du 2: Môt công ty sản xuất bàn và ghế tai 2 địa điểm
khác nhau A, B.
Cho C là ma trận tổng chi phí sản xuất mỗi loai lần lươt
tai A và B.
627 681
135 150
C
Bàn
Ghế
Địa điểm A Địa điểm B
Giả sử chỉ có 2 loai chi phí: chi phí lao đông và chi phí
nguyên vật liệu. Chi phí lao đông chiếm 2/3 tổng chi phí.
Tính chi phí mỗi loai?
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
21
a) Tìm ma trận chi phí lao đông L đối với mỗi loai
sản phẩm tai A va B ?
627 681 418 4542
3 135 150 90 100
L x
627 681 209 2271
3 135 150 45 50
M x
b) Xác định ma trận chi phí nguyên vật liệu M ?
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
22
5. PHÉP NHÂN
1
Cho ma traän ( ) , ( )
( ) ,
ik m kj p
n
ij m p ij ik
n n
kj
k
A a B b
C AB c c a b
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1 1 2 2 3 3...
ij i j i j i j in njc a b a b a b a b
23
Côt j của
ma trận B
1
2
1 2 3 3...
n
n
j
j
i i i i j
j
b
b
a a a a b
b
Dòng i của ma trận A
1 1 2 2 3 3...
ij i j i j i j in njc a b a b a b a b
5. PHÉP NHÂN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
24
Vi du 1: 2 2 2 2
3 2
1 0
1 1 1 11 2 , ,
0 2 1 10 3
Cho A B C
2 2 1 3;
2 2 1 3
BC CB
1 0 1 1
1 11 2 1 5
0 20 3 0 6
AB
5. PHÉP NHÂN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
25
Ngày bán Áo thun Áo sơ mi Quần tây
1/9
2/9
3/9
8 6 5
7 4 9
10 8 8
Ví du 2: Môt cửa tiệm bán 3 loai quần áo: Ao thun,
Ao sơ mi, Quần tây. Trong 3 ngày 1/9 và 2/9, 3/9
lương hàng bán ra (chiếc) cho trong bảng sau :
Giá vốn và lãi của từng loai là:
Ao thun 7$ và 1$ / chiếc
Ao sơ mi 12$ và 2$ / chiếc
Quần tây 18$ và 3$ / chiếc
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Tính giá vốn và tiền lãi của cửa tiệm trong ngày 1/9, 2/9, 3/9
26
8 6 5 7 1 218 35
7 4 9 . 12 2 259 42
10 8 8 18 3 310 50
Thưc hiện nhân 2 ma trận
Ma trận tích cho ta biết tổng doanh thu (theo giá
vốn) và tổng số lãi của từng ngày.
Vốn và lãi ngày 1/9 Vốn và lãi ngày 2/9
Vốn và lãi ngày 3/9
27
Cho ma trận A, B, C va số thưc 𝛼, 𝛽. Khi đó
𝑖) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝑖𝑖) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑖𝑖𝑖) 0 + 𝐴 = 𝐴 + 0 = 𝐴 𝑖𝑣) 𝐴 + −𝐴 = −𝐴 + 𝐴 = 0 𝑣) 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 𝑣𝑖) 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 𝑣𝑖𝑖) 𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 𝑣𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛𝐴 = 𝐴
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
TÍNH CHẤT
Cho ma trận A vuông cấp n. Ta luy thưa bậc 𝑘 ∈ 𝑁 của ma trận A la môt ma trận 𝐴𝑘 vuông cấp n, đươc xác định như sau:
𝐴0 = 𝐼𝑛
𝐴1 = 𝐴
𝐴2 = 𝐴. 𝐴
…….
𝐴𝑘 = 𝐴𝑘−1.A
Vậy 𝐴𝑘 = 𝐴. 𝐴…𝐴𝑘 𝑙â 𝑛
6. PHÉP LUY THỪA
28
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Ví du 1 Cho 𝐴 =1 −23 −4
.
a/ Tính A2
b/ Tính A3
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 29 MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Ví du 2. Cho A =2 10 2
. Tính An
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 30 MATHEMATICAL ECONOMICS
Ví du 3. Cho C =2 23 −1
.
a/ Tính C2
b/ Tính C3
c/ Tim f(C), trong đo 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 4
d/ Tim g(C), trong đo 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 8
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 31 MATHEMATICAL ECONOMICS
Loai 2: Biến dong 𝑖 của 𝐴 thanh 𝑘 lần dong 𝑖
(𝒅𝒊:=k𝒅𝒊 ,𝒌 ≠ 𝟎)
Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛. Ta định nghia 3 phép
biến đổi trên dong đối với ma trận A như sau:
Loai 1: Hoán vị dong 𝑖 va dong 𝑗 của 𝐴 𝑖 ≠ 𝑗 (𝒅𝒊 ↔ 𝒅𝒋)
Loai 3: Biến dong 𝑖 của 𝐴 thanh dong 𝑖 công 𝑘 lần
do ng 𝑗 (𝒅𝒊 ≔ 𝒅𝒊 + 𝒌𝒅𝒋 , 𝒌 ≠ 𝟎)
7. CÁC PHÉP BIẾN ĐÔI SƠ CẤP
32 Tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp trên cột
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Vi du:
a/ Cho ma trận 𝑀 =3 1−2 2
1 00 1
Dùng các PBĐSC trên hàng để biến đổi M
thành dang 1 0 …0 1 …
33 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Vi du
b/ Cho ma trận 𝑀 =2 2 02 1 −1−1 3 1
123
Dùng các PBĐSC trên hàng để biến đổi M
thành dang 1 00 10 0
0 …0 …1 …
34 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Vi du
c/ Cho ma trận
𝑀 =1 2 02 0 −1−1 3 1
1 0 00 1 00 0 1
Dùng các PBĐSC trên hàng để biến đổi M
thành dang 1 00 10 0
0 …0 …1 …
35 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 36
BÀI TẬP SỐ 1
MATHEMATICAL ECONOMICS
CÁC BẠN SINH VIÊN VỀ LÀM BÀI TẬP SỐ 1
VÀ NỘP LẠI CHO CÔ VÀO CA HỌC SAU
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 37 MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 1
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 38 MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 1
39
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
11 12 11 2
1 2
1 2
1
21 22 2 2
1 2
(*)
n
n
n
n
n
m m mn m
x x x
x x x
x x x
a a a b
a a a b
a a a b
, ; 1, , 1, : caùc heä soá
: caùc aån soá
ij i
i
a b i m j n
x
Môt hê phương trinh tuyến tính trên K la hê gôm
có m phương trinh, n ẩn có dang tổng quát như sau:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
40 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
• Nghiệm của hê la môt bô 𝑛 sô 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛
sao cho khi ta thay vao tưng phương trinh của
hê ta đươc những đăng thức đung.
• Tập hơp tất cả các nghiệm của hệ phương
trình đươc gọi là tập nghiệm của hệ phương
trình.
• Môt biểu thức biểu diễn nghiệm của hệ
phương trình đươc gọi là nghiệm tổng quát
của hệ phương trình.
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
41
Hê phương trình tuyến tính chỉ có 1 trong 3 trường
hơp nghiệm xảy ra la:
• Vô nghiệm - ta nói hê không tương thích
•𝑯ê 𝒄𝒐 𝒏𝒈𝒉𝒊ê 𝒎 𝒅𝒖𝒚 𝒏𝒉â 𝒕
𝑯ê 𝒄𝒐 𝒗ô 𝒔ô 𝒏𝒈𝒉𝒊ê 𝒎 - ta nói hê tương thích
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
42 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Hê phương trinh tuyến tính đươc gọi la
thuần nhất nếu tất ca các hê sô tư do
𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 đều bằng 0.
Đinh nghia hệ thuần nhất
Hê phương trinh tuyến tính đươc gọi la
không thuần nhất nếu ít nhất môt trong các hê
sô tư do 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 đều khác 0.
Đinh nghia hệ không thuần nhất
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
43 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
44 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
45 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Ví dụ:
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
46 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
47
11 12 11 2
1 2
1 2
1
21 22 2 2
1 2
(*)
n
n
n
n
n
m m mn m
x x x
x x x
x x x
a a a b
a a a b
a a a b
, ; 1, , 1, : caùc heä soá
: caùc aån soá
ij i
i
a b i m j n
x
Môt hê phương trinh tuyến tính trên K la hê gôm
có m phương trinh, n ẩn có dang tổng quát như sau:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
48
Go i
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...( | )
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a bA A B
a a a b
La ma trận
mơ rông
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
49 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Có 3 phép biến đổi tương đương đối với ma trận mở rông:
• Nhân 1 dòng của ma trận với 1 sô khác không.
• Công vao môt dòng môt dòng khác đa đươc nhân với 1 sô
tuy y.
• Đổi chô 2 dòng.
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
50
Ví du:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.5. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
51 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.5. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
52 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.5. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
53
Cho ma traän ( )
A ñöôïc goïi laø ma traän baäc thang neáu
noù thoûa 2 ñieàu kieän sau:
ij m nA a
Các dòng khác 0 luôn nằm trên các dòng
bằng 0 (nếu có).
Đông thơi trên 2 dong ≠ 𝟎, ta co phần tử
khác 0 đầu tiên của dong dươi nằm bên phai
phần tư ≠ 𝟎 đầu tiên của dong trên.
ĐỊNH NGHIA MA TRẬN BẬC THANG
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
54
1 2 3 0 6 1
0 0 3 1 1 0
0 0 0 1 4 2
0 0 0 0 0 0
Ma trận bậc thang
1 2 3 0 6 1
0 0 3 1 1 0
0 0 0 1 4 2
0 1 0 0 0 0
Không phải bậc thang
Vi dụ
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
55
THUẬT TOÁN ĐƢA VỀ MA TRẬN BẬC THANG
Bước 1: Xác định các phần tử được đánh dấu (là
phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi dòng).
Bước 2: Lần lươt triệt tiêu các phần tử nằm phía
dưới chúng (trong cùng môt côt) theo thứ tư tư trái
sang phải.
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
56
Ví du. Đưa ma trận sau về dang bậc thang:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
5 1 4 3
/ 1 3 1 2
4 4 5 1
a A
2 1 3 4
/ 1 3 2 3
1 2 5 1
b B
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
57
Ví du. Đưa ma trận sau về dang bậc thang:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1 2 1 0 2
2 4 1 3 2/
0 1 1 2 3
1 4 7 1 19
c C
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
58
ĐỊNH NGHIA HANG MA TRẬN
Đinh nghia 1. Hang của ma trận A cấp 𝑚𝑥𝑛 là số
dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A.
Kí hiệu: rank (A) hay r(A)
Nhận xét:
(i) Nếu A là ma trận cấp 𝑚 𝑥 𝑛 thì
(ii) r (A) = r(AT )
( ) min{ , }r A m n
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
59
r(𝐴) = 3
1 2 3 0 6 1
0 0 3 1 1 0
0 0 0 1 4 2
0 0 0 0 0 0
A
Vi dụ 1
1 2 3 0 6 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
B 𝑟(𝐵) = 2
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
60
Bươc 1. Lập ma trận mơ rông 𝐴 = (𝐴|𝐵) Bươc 2. Dung phép biến đổi sơ cấp trên hang đưa
ma trận mơ rông vê dang ma trận bậc thang.
Bươc 3.
• Nếu 𝑟 𝐴 ≠ 𝑟 𝐴 thi hệ vô nghiệm
• Nếu 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 thi hệ có nghiệm
Nếu 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = n (sô â 𝑛) thi hệ có
nghiệm duy nhất.
Nếu 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 < 𝑛 (𝑠ô â 𝑛) thi hệ có
vô sô nghiệm với 𝑛 − 𝑟(𝐴) ẩn tư do.
Giải hệ AX=B bằng phƣơng pháp Gauss
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
61
Bươc 4. Nếu hệ có nghiệm thì:
• Viết lai hê phương trinh tương ứng với ma trận
bậc thang.
• Giải hệ phương trình ngươc tư dưới lên trên.
Giải hệ AX=B bằng phƣơng pháp Gauss
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Đinh nghia ân cơ sở và ân tƣ do
• Ân cơ sở la ẩn tương ứng với côt chưa phần
tử cơ sở (phần tư đươc đánh dấu).
• Ân tư do la la ẩn tương ứng với côt không có
phần tử cơ sở (phần tử đươc đánh dấu).
62 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ AX=B bằng phƣơng pháp Gauss
Ví du. Giải hệ phương trinh sau bằng phương pháp
Gauss:
63
1 2 3
2 3
0
c)
3 0
x x x
x x
1 2 3
2 3
1 2 3
0
a) 2 5
2 3 0
x x x
x x
x x x
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ AX=B bằng phƣơng pháp Gauss
5 2 0
b) 4 0
3 3 0
x y z
x y z
x y z
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x 2x 3x 4x 2
d / 2x 5x 2x x 1
5x 12x 7x 6x 7
64
Hê thuần nhất chỉ co nghiêm duy nhất bằng 0
khi va chỉ khi 𝒓(𝑨) = 𝒏 = 𝒔ô â 𝒏
Hê thuần nhất 𝐴𝑋 = 0 co nghiêm không tầm
thương (nghiêm khac 0) khi va chỉ khi 𝒓 𝑨 < 𝒏 = 𝒔ô â 𝒏
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Chú ý:
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
65 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
PP GAUSS-JORDAN
Giải tương tư như phương pháp Gauss,
nhưng biến đổi ma trận hệ số mở rông về ma
trận bậc thang rút gọn.
(Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc
thang có các phần tử đươc đánh dấu là số 1, các
phần tử còn lai trên cùng 1 côt bằng 0).
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ví du. Cho hê phương trinh
Xác định gia trị của tham sô m sao cho:
a/ Hê có môt nghiệm duy nhất.
b/ Hê vô nghiệm
c/ Hê có vô sô nghiệm.
66
3 1
2 1
3 2
x y z
x y mz m
x my z
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ta có:
67
1 1 3 1
( | ) 2 1 1
1 3 2
1 1 3 1
0 1 6 3
0 0 ( 5) ( 2)
A A B m m
m
m m
m m m m
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
a/ Hê có nghiệm duy nhất ⇔ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 3
⟺ 𝑚 𝑚+ 5 ≠ 0 ⟺ 𝑚 ≠ 0𝑚 ≠ −5
b/ Hê vô nghiệm ⇔ 𝑟 𝐴 < 𝑟 𝐴
𝑎𝑦 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 + 1
⟺ 𝑟 𝐴 = 2
𝑟 𝐴 = 3⟺ 𝑚 = −5
c/ Hê có vô sô nghiệm ⇔ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 < 3
⟺ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 2 ⟺ 𝑚 = 0
68
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ
PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. Giải hệ phương trinh sau bằng 2 phương pháp:
Gauss, Gauss – Jordan :
69 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 2
2 3 0
) 2 3 5 0
3 4 6 0
x y z
a x y z
x y z
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
x 2x x x 1
2x 3x x 5x 1b /
x x 8x 5x 0
3x 5x 9x 2
CÁC BẠN SINH VIÊN VỀ LÀM BÀI TẬP SỐ 2
VÀ NỘP LẠI CHO CÔ VÀO CA HỌC SAU
1. Giải hệ phương trinh sau bằng 2 phương pháp:
Gauss, Gauss – Jordan :
70 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 2
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 6 6 4 5
) 3 7 8 5 8 9
3 9 12 9 6 15
x x x x
d x x x x x
x x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
x x x x 0
2x 3x 2x 5x 0c /
x 2x x 5x 0
3x x 3x 0
1. Giải hệ phương trinh sau bằng 2 phương pháp:
Gauss, Gauss – Jordan:
71 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 2
72 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
2x 3x mx 3
x mx 3x 2
2/ Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương
trình:
Cho ma trận A vuông cấp n,
73
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
n n
ĐỊNH NGHĨA
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
74
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
Ta định nghia định thức của A, ky hiệu |A|
hoặc det(A) hoặc
La môt số thưc đươc xác định bằng qui nap
theo 𝑛 như sau:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Nếu 𝒏 = 𝟏,
nghia là 𝑨 = (𝒂𝟏𝟏),
thì 𝒅𝒆𝒕 (𝑨) = 𝒂𝟏𝟏
Ví du:
𝑎) 𝐴 = −1 ,
𝑏) 𝐵 = (2)
75
𝑡ì det (𝐴) = −1
𝑡ì det (𝐵) = 2
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Nếu 𝒏 = 𝟐,
nghia là A =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
,
thì det 𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
76
= 𝒂𝟏𝟏. 𝒂𝟐𝟐-𝒂𝟏𝟐. 𝒂𝟐𝟏
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Ví du:
𝑎. 𝐴 =1 23 4
,
𝐴 =1 23 4
𝑏. 𝐵 =1 20 3
,
𝐵 =1 20 3
77
= 1.4 − 2.3 = −2
= 1.3 − 2.0 = 3
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Nếu 𝒏 = 𝟑,
nghia là
78
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
79
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 22 33a a a12 23 31a a a
21 32 13a a a( )
(12 21 33)a a a11 23 32a a a13 22 31a a a
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 3231 32 33
a a a a a
a a a a a
a aa a a
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
80
1 0 1
/ 2 1 3
1 1 2
a
0 2 1
/ 1 2
4 4
b m
m
( 2 0 2) (1 3 0) 4
22 4 20m m
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Ví dụ: Tính đinh thức sau:
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Khi 𝒏 ≥ 𝟑, ta ký hiệu ma trận Mij là ma trận
có đươc tư 𝐴 bằng cách xóa dòng 𝑖 và côt 𝑗 của 𝐴. Và ta đặt
Khi đó:
𝐶𝑖𝑗 đươc xác định như trên gọi là
phần bù đại số của 𝑎𝑖𝑗
81
ij ij1 deti j
C M
1 1 2 2det ... i i i i in inA a c a c a c
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Ví du: Tính định thức sau:
82
1 0 1
/ 2 1 3
1 1 2
a A
0 2 1
/ det(B) 1 2
4 4
b B m
m
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
2 1 1 0
0 1 2 1c / C
3 1 2 3
3 1 6 1
1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN
Tính chất 1
Cho A, B là các ma trận vuông cấp n.
Ta có:
83
TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Cho A là ma trận vuông cấp n.
i. Nếu đổi chỗ 2 dòng bất kì trong ma trận A
thì định thức của nó đổi dấu.
ii. Nếu nhân vào 1 dòng môt số 𝑘 ≠ 0 thì
định thức của nó tăng lên k lần.
84
Tính chất 2
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC
iii. Nếu công vào 1 dòng bất kì bôi của dòng khác
thì định thức của nó không thay đổi.
iv. Định thức bằng 0 nếu có 1 hàng ( côt) toàn số 0.
v. Định thức bằng 0 nếu có 2 hàng (côt) tỷ lệ với
nhau.
85
Tính chất 2
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC
a/ 𝐴 =𝑚 21 𝑚
b/ 𝐵 =2 −3 4−3 𝑚 14 1 5
c/ 𝐶 =−1 2 32 𝑚 43 4 −5
Ví du. Tính đinh thức cac ma trận sau
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 86 MATHEMATICAL ECONOMICS
3 1 1 1
1 3 1 1d / D
1 1 3 1
1 1 1 3
m 1 1 1
1 m 1 1e / E
1 1 m 1
1 1 1 m
1. Đinh nghia
Cho A là môt ma trận vuông cấp nxn, ma trận
nghịch đảo của A đươc ký hiệu là A-1 và có tính
chất sau : A.A-1= In, A-1.A = In
Khi đó A gọi là ma trận khả nghịch.
NHẬN XÉT: Ma trận nghịch đảo của ma trận
vuông A nếu có la duy nhất.
87
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Vi du 1
Với 𝐴 =3 12 1
; 𝐵 =1 −1−2 3
Ta có: 𝐴 . 𝐵 =3 12 1
1 −1−2 3
=1 00 1
= 𝐼2
và 𝐵. 𝐴 =1 −1−2 3
3 12 1
=1 00 1
= 𝐼2
Vậy B là ma trận nghịch của A.
Ta nói B = A-1 (hay A = B-1 )
88 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Vi du 2. Cho 𝐴 =3 12 1
. Tìm A-1
89 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
2. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MA TRẬN VUÔNG
CO MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Đinh ly
Cho A la ma trận vuông cấp n.
Điều kiện cần va đu đê A có ma trận nghịch đảo la
định thưc A khác 0
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 90 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Ví du. Tim điều kiện m đê ma trận sau kha nghịch
a/ 𝐴 =𝑚 21 𝑚
b/ 𝐵 =2 −3 4−3 𝑚 14 1 5
c/ 𝐶 =−1 2 32 𝑚 43 4 −5
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 91 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
3. PHƢƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
PP 1. BĂNG GAUSS-JORDAN (phép biến đổi sơ cấp)
Cho A là ma trận vuông cấp nxn.
Ta viết vào bên phải của A thêm ma trận In
kí hiệu ( A In).
Áp dụng các PBĐSC trên toàn ma trận
(A In) để biến (AIn) trở thành ( In A-1).
92 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Ví du: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
bằng Gauss-Jordan (phép biến đổi sơ cấp)
93
nA| I
3 1 1 0 1 0 1 1
2 1 0 1 0 1 2 3
11 1
2 3
A
Ta viết:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
a/ 𝐴 =3 12 1
.
b/ B=3 2 21 1 11 0 1
.
c/ C =0 2 01 1 11 0 1
.
94 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
95
Đinh lý: Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ
khi det(A) ≠ 0
11 21 31
1
12 22 32
13 23 33
1
det( )
c c c
A c c cA
c c c
3. PHƢƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐAO:
PP 2. BĂNG PP ĐỊNH THỨC
𝑀𝑖𝑗 𝑙𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟â 𝑛 𝑐𝑜
đươ 𝑐 𝑡ư 𝑚𝑎 𝑡𝑟â 𝑛 𝐴 𝑏ă 𝑛𝑔 𝑐𝑎 𝑐 𝑏𝑜
đ𝑖 𝑑𝑜 𝑛𝑔 𝑖 𝑣𝑎 𝑐ô 𝑡 𝑗
T𝐫𝐨𝐧𝐠 đ𝒐 : 𝑐𝑖𝑗 = (−1) 𝑖+𝑗det (𝑀𝑖𝑗)
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Ví du. Tim ma trận nghịch đảo của ma trận sau
bằng phương pháp định thức:
𝑎/ 𝐴 =3 12 1
𝑏/ 𝐵 =1 23 4
c/ C =3 2 21 1 11 0 1
d/ D =2 −1 30 3 15 −2 4
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 96 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Ví du. Tim ma trận nghịch đảo của ma trận sau
d/ D =2 −1 30 3 15 −2 4
e/ 𝐸 =2 1 10 5 −21 −3 4
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 97 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
3. Tính chất
a. Nếu A có ma trận nghịch đảo thi:
i. (𝐴−1)−1= 𝐴
ii. 𝐴−1 =1
|𝐴|
iii. (𝐴−1)𝑇 = (𝐴𝑇)−1
b. Nếu A va B la hai ma trận vuông cung cơ va không suy biến thi AB cung có ma trận nghịch đảo va (𝐴𝐵)−1= 𝐵−1. 𝐴−1
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 98 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
4. PHƢƠNG TRÌNH MA TRẬN
Xét 2 phương trinh:
𝐴𝑋 = 𝐵 (1) 𝑋𝐴 = 𝐵 (2)
Với A, B la các ma trận cho trước, X la ma trận cần tim.
Khi đo ta co:
1 ⟺ 𝐴−1. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 ⟺ 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵
2 ⟺ 𝑋. 𝐴. 𝐴−1 = 𝐵. 𝐴−1 ⟺ 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 99 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Ví du 1.
Cho ma trận 𝐴 =1 −23 4
, B =1020
Giải phương trinh ma trận sau:
𝑎/ 𝐴𝑋 = 𝐵
𝑏/ 𝑋𝐴 = 𝐵
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 100 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
Ví du 2. Cho ma trận
𝐴 =2 −1 30 3 15 −2 4
, 𝐶 =3 2 21 1 11 0 1
, B =1 −2 34 5 00 1 2
Giải phương trinh ma trận sau:
a/ 𝐴𝑋 = 𝐵; 𝑋𝐴 = 𝐵
b/ 𝐶𝑋 = 𝐵; 𝑋𝐶 = 𝐵
101 MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
102
Đinh nghia: Hệ phương trình Cramer là hệ
gôm 𝑛 phương trình, 𝑛 ẩn trên 𝐾.
1 1 21 12 1 1
1 2
1 2
21 22 2 2
1 2
(**)
n
n
n
n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x bxa a a x
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO
5. ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC GIẢI HỆ GRAMER
103
Đặt: 11 12 1n 1
21 22 2n 2
n1 n2 nn n
a a ... a b
a a ... a bA , B
... .... .... .... ...
a a ... a b
Với mỗi 𝑗 = 1, 𝑛 𝑡𝑎 𝑔𝑜 𝑖 𝐴𝑗 la ma trận có đươc
tư ma trận 𝐴 bằng cách thay các phần tư ở côt 𝒋 của 𝑨 bởi các phần tư của côt 𝑩
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức
104
Đinh ly : Với hê (**) ta có:
• Nếu |𝐴| ≠ 0 thi (**) có nghiệm duy nhất: 𝑥𝑗 =𝐴𝑗
|𝐴|
• Nếu |𝐴| = 0 va tôn tai 𝑗 ∈ 1,2, … , 𝑛
𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑜 𝐴𝑗 ≠ 0 thi hê (*) vô nghiệm
• Nếu |𝐴| = 0 va 𝐴𝑗 = 0, ∀𝑗 = 1, 𝑛 thi hệ (**) vô
nghiệm hoặc vô sô nghiệm.
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức
105
11 12 1
2
1 2
11 22 2 2
a a b
a a b
x x
x x
Đặt 11 12
21 22
a aA
a a
1 12
1
2 22
b aA
b a
11 1
2
21 2
a bA
a b
Nghiệm của hệ là: 1 2
1 2,
A Ax x
A A
1/ Hệ 2 phương trình, 2 ẩn
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức
106
1 2 311 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
1 2 3
a a a b
a a a b
a a a b
x x x
x x x
x x x
Đặt
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
1 12 13
1 2 22 23
3 32 33
b a a
A b a a
b a a
11 1 13
2 21 2 23
31 3 33
a b a
A a b a
a b a
11 12 1
3 21 22 2
31 32 3
a a b
A a a b
a a b
2/ Hê 3 phương trình, 3 ẩn:
Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
107
Nghiệm của hệ là: 1 2 3
1 2 3, ,
A A Ax x x
A A A
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức
108
Ví du: Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 3
1 2 3
2 3 1
/ 2 0
3 4 4 2
x x x
a x x
x x x
1 2 3
1 2
1 3
4 3 2 7
/ 0
3 2
x x x
b x x
x x
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức
BÀI TẬP SỐ 3
109 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CÁC BẠN SINH VIÊN VỀ LÀM BÀI TẬP SỐ 3
VÀ NỘP LẠI CHO CÔ VÀO CA HỌC SAU
MATHEMATICAL ECONOMICS
110
Câu 1
BÀI TẬP SỐ 3
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 111 MATHEMATICAL ECONOMICS
Câu 2
BÀI TẬP SỐ 3
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 112 MATHEMATICAL ECONOMICS
Câu 3
BÀI TẬP SỐ 3
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 113 MATHEMATICAL ECONOMICS
Câu 4
Câu 5
BÀI TẬP SỐ 3
BÀI TẬP SỐ 3
Câu 6/ Giải phương trinh ma trận sau
114
1 2 1 3a / X
3 5 2 1
2 3 1 2b / X
1 1 2 0
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 115
Giả định chung: nền kinh tê của môt khu vưc
hay môt quốc gia có nhiều nganh sản xuất.
Nganh san xuất phải thoa man 2 yếu tô :
• Sản xuất ra môt sản phâmt huần nhất hay
môt sản phẩm dịch vụ theo 1 tỷ lê nhất định
gọi chung la 1 mặt hang.
• Các yếu tô đầu vao sử dụng theo môt tỷ lê
nhất định.
MATHEMATICAL ECONOMICS
1.5. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF
Tổng cầu ngành là tổng nhu cầu của môt ngành
sản xuất đươc chia thành 2 yếu tố:
Cầu trung gian là sản phẩm hàng hóa của ngành
này là yếu tố đầu vào phục vụ cho ngành sản xuất
khác.
Cầu tiêu dùng (hay còn gọi là cầu cuối) là nhu cầu
phục vụ các hô gia đinh, chính phủ hay các công ty
xuất khẩu.
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
116 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.5. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF
Giả sử, nền kinh tê của môt khu vưc hay môt quốc
gia có n nganh sản xuất đươc ký hiệu là N1, N2,…,
Nn và hàng hóa dịch vụ đươc tính bằng 1 loai đơn vị
tiền tề nào đó. Gọi:
xij là giá trị hàng hóa của ngành i phục vụ cho ngành
j làm yếu tố đầu vào (cầu trung gian).
bi là giá trị hàng hóa mà ngành i phục vụ cho nhu
cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu tiêu dùng).
xi là tổng cầu ngành i
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 117 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.5. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF
K𝑖 đó 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑐ầ𝑢 𝑛𝑔à𝑛 𝑖 𝑙à:
118
Đặt 𝒂𝒊𝒋 =𝒙𝒊𝒋
𝒙𝒋 ∀𝒋 = 𝟏, 𝒏 là tỷ lệ chi phí ngành j
trả cho việc mua hàng hóa dịch vụ của ngành i.
Hay là để sản xuất ra 1 đơn vị tiền tệ thì ngành
j phải trả cho ngành i số tiền là 𝑎𝑖𝑗
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Lưu ý:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 119
Giá trị 𝟏 − 𝒂𝟏𝒋 + 𝒂𝟐𝒋 +⋯+ 𝒂𝒏𝒋 là tỷ lệ giá trị
gia tăng của ngành j đóng góp cho nền kinh tế.
MATHEMATICAL ECONOMICS
Khi đó nhu cầu của ngành thoa mãn hệ phương
trình sau:
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 120
(*)
MATHEMATICAL ECONOMICS
Đặt các ma trận sau:
121
Trong đó,
Dòng i cho biết hệ số giá trị hàng hóa ngành i bán
cho các ngành khác trong nền kinh tế.
Côt j cho biết giá trị hàng hóa mà ngành j mua tư các
ngành khác để sản xuất (kể cả của chính ngành j).
Là ma trận hê
số kỹ thuật
hay ma trận
chi phí trực
tiếp hay ma
trận hê số IO
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Đặt các ma trận sau:
122
Ma trận cầu tiêu
dùng và xuất khẩu
Ma trận tổng cầu
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Khi đó hệ (*) đươc viết dưới dang ma trận
như sau: 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵 ⟺ 𝐼𝑛 − 𝐴 𝑋 = 𝐵
Là hệ phương trình I/O
123
Ma trận 𝐼𝑛 − 𝐴 được gọi là ma trận Leontief
Khi giải hệ phương trình I/O giúp ta xác định
mức tổng cầu đối với hàng hóa, dịch vụ của
tưng ngành sản xuất trong nền kinh tế.
Tư đó, lập kế hoach sản xuất cho phù hơp giúp
nền kinh tế hoat đông tốt, tránh đươc lam phát
thưa hoặc thiếu.
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Giaû söû moät neàn kinh teá coù 2 ngaønh sản xuất
với ma trận hệ số kỹ thuật (IO) là
- Biết cầu cuối của 2 ngành lần lươt là 15$,
19$. Hãy xác định mức tổng cầu mỗi ngành.
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 124
Ví du 1
0, 4 0,1
0, 2 0,6A
MATHEMATICAL ECONOMICS
125
Giả sử nền kinh tế có 3 ngành sản xuất với ma trận hệ
số kỹ thuật (IO) là
a. Giải thích ý nghia con số 0.4
b. Cho tiết tỷ lệ gia tăng của ngành đóng góp cho ngành
kinh tế.
c. Biết cầu cuối của 3 ngành lần lươt là 10, 5, 6 (tỷ USD).
Hãy xác định mức tổng cầu mỗi ngành.
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Ví du 2
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 126
Mô hình giá cân bằng thị trường là mô hình
trong đó giá điều chỉnh để cân bằng cung
(Supply) và cầu (Demand).
MATHEMATICAL ECONOMICS
1.6. MÔ HÌNH GIÁ CÂN BĂNG THỊ TRƢỜNG
Giá P = P1; P2; … ; Pn với Pi là giá của sản phẩm thứ i
Cung thị trương:
• Hàm cung theo giá Qs = f(P).
• Quy luật cung: Cung thị trường tỉ lệ thuận mức giá
Cầu thị trương:
• Hàm cầu theo giá Qd = g(P).
• Quy luật cầu: Cầu thị trường tỉ lệ nghịch mức giá.
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 127 MATHEMATICAL ECONOMICS
1.6. MÔ HÌNH GIÁ CÂN BĂNG THỊ TRƢỜNG
128
• Điểm cân bằng thị trương (market equilibrium
point) là điểm tai đó cung bằng cầu 𝑄𝑠 = 𝑄𝑑
• Nếu giá thị trường cao hơn giá cân bằng thi thị trường
xảy ra thặng dư sản phẩm. Ngươc lai tao khan hiếm.
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Cho hàm cầu và cung của 1 hàng hóa A như sau:
𝑄𝑑 = −0.1𝑃 + 50
𝑄𝑠 = 0.2𝑃 − 10
a. Xác định điểm cân bằng (lương và giá)
b. Giả sử thu nhập người lao đông tăng làm lương cầu tăng 6 đơn vị số lương ở mọi mức giá, xác định điểm cân bằng mới. Lương và giá thay đổi như thế nào so với ban đầu?
c. Tai điểm cân bằng ở câu a, giả sử môt nhà cung cấp có hàm cung 𝑄𝑠∗ = 0.1𝑃 −6 rút khoi thị trường. Xác định điểm cân bằng mới. Lương và giá thay đổi như thế nào so với ban đầu?
129 MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Ví du 1 (mô hình cân bằng thi trƣờng 1 loai
hàng hóa)
d. Tai điểm cân bằng ở câu a, theo dư báo sản
lương cầu giảm 20%. Xác định điểm cân bằng
mới. Lương và giá thay đổi như thế nào so với
ban đầu?
130 MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Ví du 1 (mô hình cân bằng thi trƣờng 1 loai
hàng hóa)
Có 3 sản phẩm với hàm cung và cầu như sau:
131
Hãy tìm điểm cân bằng thị trường.
MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Ví du 2 (mô hình cân bằng thi trƣờng 3 loai
hàng hóa)
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 132
Ví du 3
Có 3 sản phẩm với hàm cung và cầu như sau:
MATHEMATICAL ECONOMICS
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 133
Ví du 3
MATHEMATICAL ECONOMICS
BÀI TẬP SỐ 4
134 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
CÁC BẠN SINH VIÊN VỀ LÀM BÀI TẬP SỐ 4
VÀ NỘP LẠI CHO CÔ VÀO CA HỌC SAU
MATHEMATICAL ECONOMICS
135 MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS
Bài 1
136
Bài 2
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 137 MATHEMATICAL ECONOMICS
Bài 3
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 138
Bài 3
MATHEMATICAL ECONOMICS
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 139
Bài 3
MATHEMATICAL ECONOMICS
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 140 MATHEMATICAL ECONOMICS
Bài 4
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 141 MATHEMATICAL ECONOMICS
Bài 5
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 142 MATHEMATICAL ECONOMICS
Bài 5
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 143 MATHEMATICAL ECONOMICS
Bài 5
CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 144 MATHEMATICAL ECONOMICS
Bài 5