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8/2/2019 Tkrigagem Com Tendencia Landim
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KRIGAGEM ORDINRIA PARA SITUAES
COM TENDNCIA REGIONALIZADA
PAULO M. BARBOSA LANDIMProfessor Emrito da Universidade Estadual Paulista
Professor Voluntrio do Depto. Geologia AplicadaUNESP/Rio Claro
JOS RICARDO STURAROProfessor Assistente Doutor do Depto. Geologia Aplicada
UNESP/Rio Claro
RUBENS CALDEIRA MONTEIRODoutorando em Geocincias e Meio Ambiente
UNESP/Rio Claro
UNESP/campus de Rio ClaroDepartamento de Geologia Aplicada - IGCE Laboratrio de Geomatemtica
Texto Didtico 072002
Reproduo autorizada desde que citada a fonteNorma 6023-2000/ABNT (http://www.abnt.org.br):LANDIM, P.M.B., STURARO, J.R. & MONTEIRO, R. C. Krigagem ordinria para situaes
com tendncia regionalizada. DGA,IGCE,UNESP/Rio Claro, Lab. Geomatemtica,TextoDidtico 06, 12 pp. 2002. Disponvel em .Acesso em:....
http://www.abnt.org.br/http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.htmlhttp://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.htmlhttp://www.abnt.org.br/8/2/2019 Tkrigagem Com Tendencia Landim
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Introduo
A geoestatstica se preocupa com o comportamento das chamadas
variveis regionalizadas e fundamentalmente pode se basear nos seguintespressupostos:
ERGODICIDADE: a esperana referente mdia de todas as possveis
realizaes da varivel igual a mdia de uma nica realizao dentro de um
certo domnio;
ESTACIONARIEDADE: na regio em que se pretende fazer estimativas, o
fenmeno descrito como homogneo dentro desse espao;
HIPTESE NTRISICA: as diferenas entre valores apresentam fraco
incremento, isto , as diferenas so localmente estacionrias.
Para a obteno de um variograma, portanto, suposto que a varivel
regionalizada tenha um comportamento fracamente estacionrio, onde os
valores esperados, assim como sua covarincia espacial, sejam os mesmos
por uma determinada rea. Assume-se, desse modo, que os valores dentro da
rea de interesse no apresentem tendncia que possam afetar os resultados.
Isso nem sempre acontece, pois existem situaes em que a varivel
exibe uma variao sistemtica e torna-se necessrio, ento, metodologia
especfica para a devida correo. Para tanto Journel e Matheron propuseram
o mtodo da krigagem universal para resolver um problema desse tipo,
apresentado pelo Centro Cartogrfico da Marinha Francesa, relacionado com o
mapeamento de uma superfcie submarina pronunciadamente inclinada
(Journel, 1969). Atualmente Journel prefere o termo mais descritivo de
krigagem para um modelo com tendncia (Deutsch & Journel, 1992,p.64).
De qualquer modo trata-se de uma metodologia geoestatstica para situaes
no estacionrias.
Dados
A matriz de dados para este texto foi retirada de Olea (1999; apndice
B), encontrando-se tambm disponvel em:
http://www.kgs.ukans.edu/Mathegeo/Books/Geostat/index.html.
http://www.kgs.ukans.edu/Mathegeo/Books/Geostat/index.htmlhttp://www.kgs.ukans.edu/Mathegeo/Books/Geostat/index.html8/2/2019 Tkrigagem Com Tendencia Landim
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So 327 poos provenientes do aqfero High Plains no Estado norte-
americano do Kansas. um aqfero de idade Tercirio-Quaternria,
constitudo por areias aluviais e elicas associadas a depsitos de
preenchimento de vales de uma drenagem que se dirige para leste a partir das
Montanhas Rochosas. Nesses poos foram obtidas as coordenadas X e Y
(milhas) e as variveis LSE (land surface elevation): cota topogrfica (ps);
WTE (water table elevation): cota do nvel piezomtrico (ps) e WD (water
depth): profundidade do lenol fretico ou espessura da zona insaturada (ps).
Os softwares escolhidos para os clculos e representao grfica foram
GSLIB, SURFER eVARIOWIN,
Optou-se pela varivel cota do nvel piezomtrico (WTE) e a
configurao dessa superfcie apresentada na Figura 1, onde se pode notar a
presena de uma tendncia nos dados, o que est de acordo com a realidade,
pois se trata de um aqfero com pronunciada inclinao de oeste para leste.
20 40 60 80 100 120 140
160
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200
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
Figura 1: Cotas do nvel piezomtrico e localizao dos 327 poos. Mapa preliminargerado pelo mtodo de interpolao mnima curvatura
Variograma
Tendo em vista que a maior variabilidade dos dados ocorre na direo
EW, foi obtido um variograma nessa direo (0/EW) com abertura angular de
45 (Figura 2).
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Figura 2: Variogramas experimental e terico para o nvel piezomtrico - (h) = 870 Pow
(1.34)
O modelo que melhor se ajustou ao variograma experimental foi o depotncia, indicando que os dados apresentam, como esperado, uma
tendncia, pois no possui um patamar. Nesta situao recomendvel utilizar
a chamada krigagem com tendncia, pois a krigagem ordinria exige que no
haja tendncia (ou deriva) nos dados. Para tanto necessrio preliminarmente
remover a tendncia e trabalhar com os resduos. Ao final, depois de obtido o
mapa pela krigagem ordinria dos resduos, ser necessrio acrescentar o
mapa de tendncia como correo. Alguns autores, como Clark e Harper(2000) preferem usar, nestes casos, a krigagem universal. Nesse tipo de
krigagem o tratamento matemtico leva em considerao ao mesmo tempo a
tendncia e a estimativa dos valores e, como conseqncia, os erros de
estimativa incluem os erros associados estimativa da superfcie de tendncia.
Como h problemas com a aplicao dessa metodologia (Armstrong, 1984),
optou-se pela krigagem com tendncia, que semelhante a krigagem residual
(Samper-Calvete &Carrera-Ramirez, 1990). Desse modo encontrou-se para
os dados do nvel piezomtrico a superfcie de tendncia de 1 grau e o
respectivo mapa de resduos (Figuras 3A e 3B).
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20 40 60 80 100 120 140
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20 40 60 80 100 120 140
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-280
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-240
-220
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-40
-20
020
40
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100
120
140
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Figura 3: Mapas de tendncia de 1 grau (A) e de resduos (B)
Histogramas dos dados originais e dos respectivos resduos esto nas
Figuras 4 e 5.
Figura 4: Histograma referente aos dados do nvel piezomtrico
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Figura 5: Histograma referente aos resduos da superfcie linear ajustada aos dados do
nvel piezomtrico
Modelagem variogrfica
Antes de iniciar esta segunda fase construiu-se um mapa de
variogramas para a constatao visual de isotropia ou anisotropia. Como visto
na Figura 6 o resultado indica a presena de anisotropia, ou seja, a
variabilidade no a mesma em todas as direes, sendo menor na direo E-
W e maior na N-S.
Figura 6: Mapa de variogramas
A partir desse resultado foram obtidos variogramas em quatro direes:
E-W, N-S, NE-SW e NW-SE, todos com abertura angular de 45. Os
variogramas mostraram anisotropia zonal. Neste tipo de anisotropia, ao serem
consideradas diferentes direes, a amplitude permanece constante e o
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patamar varia, comportamento esse associado ao zoneamento espacial da
varivel (Figura 7).
Figura 7: Variogramas para as quatro direes principais: N-S (vermelho), NW-SE(verde), NE-SW (lils), E-W (azul)
Para a modelagem de anisotropia zonal existem diversas
propostas, conforme o software escolhido e, neste caso, optou-se pela
existente no VARIOWIN e descrita porWelhan (2002). Segundo esta tcnica
de ajuste escolhe-se inicialmente os variogramas com o maior e o menorpatamar, no caso direo 90o e 0o respectivamente, assumindo que o efeito
pepita seja igual ou inexistente (Figura 8).
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Figura 8: Variogramas referentes s direes 0o e 90o
Em seguida necessrio gravar esses dois variogramas num mesmoarquivo.
Ao executar o programa MODEL, recuper-lo e seguir os passos:1. EFEITO PEPITA- definir um valor de efeito pepita aproximado (supondo igual paraambos), se necessrio;2. ESTRUTURA 1 (variograma com maior patamar)- especificar a direo do variograma com o maior patamar;- escolher o modelo de variograma que melhor se ajustaria aovariograma experimental;- atribuir um valor >0 para o alcance e uma razo de anisotropia muitogrande (1000, por exemplo);- ajustar o patamar para um valor intermedirio entre o maior e o menor;3. ESTRUTURA 2- especificar a direo do variograma com o maior alcance;- escolher o modelo de variograma que melhor se ajustaria aovariograma experimental;- atribuir um alcance aproximado para essa direo e ajustar o patamare a razo de anisotropia para um modelo aproximado que se ajuste aambos os variogramas;- ajustar patamares e alcances para ambas as estruturas e a razo deanisotropia da segunda estrutura para finalizar a modelagem.
O resultado desta modelagem (Figura 9) e uma viso final (Figura 10)
permitem verificar que o modelo variogrfico obtido um variograma mdio
para ambas as direes.
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Figura 9: Modelagem obtida para as direes 0o e 90o
Figura 10: Modelo (linha preta contnua) para a anisotropia zonal existente nos resduosdos valores do nvel piezomtrico
Krigagem ordinria
Depois de ajustado o modelo efetuou-se a krigagem ordinria tendoobtido tambm o mapa de desvios padro da krigagem. Os resultados esto
nas Figuras 11 e 12.
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20 40 60 80 100 120 140
160
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-200
-180
-160
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-80
-60
-40
-20
020
40
60
80
100
Figura 11: Mapa dos resduos obtido pela krigagem ordinria
20 40 60 80 100 120 140
160
180
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0481
2
1
6
2
0
2
4
2
8
3
2
3
6
4
0
4
4
4
8
5
2
5
6
Figura 12: Mapa dos desvios padro da krigagem ordinria dos resduos
necessrio enfatizar que estes resultados dizem respeito aos valores
residuais, havendo necessidade de uma correo. Isso foi feito acrescentando
ao mapa de krigagem o mapa de tendncia linear anteriormente obtido. Para a
obteno desse mapa corrigido foi utilizado o SURFER. Para tanto, deve-se
entrar em Grid e, em seguida, em Math e atribuir ao input grid file A oarquivo que contm o mapa com os valores krigados e atribuir ao input grid
file B o arquivo que contm o mapa de tendncia. Para a funo C = f(A, B)
estabelecer C = A + B, que origina o arquivo com o mapa corrigido. As
dimenses dos arquivos A e B devem ser exatamente as mesmas.
Na Figura 13 est o mapa resultante.
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2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
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3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
Figura 13: Mapa da configurao do nvel piezomtrico obtido pela krigagem ordinria,
aps correo
Para o caso de se efetuar a krigagem diretamente nos dados originais
do nvel piezomtrico e adotar como modelo variogrfico aquele inicialmente
encontrado, o resultado acha-se exposto na Figura 14. Visualmente no se
percebe grandes diferenas entre este mapa e aquele que levou em
considerao a tendncia presente.
20 40 60 80 100 120 140
160
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2100
2200
2300
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3000
3100
3200
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3400
3500
3600
3700
3800
3900
Figura 14: Mapa do nvel piezomtrico obtido pela krigagem ordinria
Qual a razo, portanto, para adotar metodologia especfica quando se
trabalha com dados com tendncia?
A resposta est no correspondente mapa de desvios padro da
krigagem. Como visto na Figura 15 a distribuio desses valores bem
maior, num intervalo de 0 300 do que quando se usa o modelo apropriado,que apresenta um intervalo de 0 56. Em outras palavras, se o modelo
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variogrfico adotado no for o correto, os erros associados s estimativas por
krigagem tornam-se maiores.
20 40 60 80 100 120 140
160
180
200
015
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
Figura 15: Mapa dos desvios padro da krigagem ordinria
BIBLIOGRAFIA
ARMSTRONG, M (1984) - Problems with Universal Kriging: Math. Geology. 16:101-108.
CLARK, I. & HARPER, W. V. (2000) - Practical Geostatistics 2000: Geostokos (Ecosse)Limited, 442 pp.
DEUTSCH, C.V.; JOURNEL, A.G. (1992) - GSLIB -Geostatistical Software Library andUsersGuide: Oxford University Press, 384 pp.
ENGLUND, E. & SPARKS, A. (1991) - GEO-EAS 1.2.1., Geostatistical EnvironmentalAssessment Software. Users Guide . United States Environmental Protection Agency, 185 pp.Conjunto de programas, disponvel em http://www.sph.umich.edu/~aelon/geoeas/
JOURNEL, A.G. (1969) - Etude sur lEstimation dune Variable Regionalise. Application laCartographie Sous-Marine: Service Central Hydrographique de la Marine, Paris, 86 pp.
OLEA, R. A. (1999) - Geostatistics for Engineers and Earth Scientists: Kluwer AcademicPublishers, 328 pp.
PANNATIER, Y. (1996) - VARIOWIN. Software for Spatial Data Analysis in 2D: Springer-Verlag,91 pp.
SAMPER-CALVETE & CARRERA-RAMIREZ (1990) - Geoestadistica: aplicaciones a lahidrologia subterrnea: CIMNE, Barcelona, 484 pp.
SURFER for Windows (2002) - Golden Software, Inc., verso 8.0
WELHAN, J. (2002) - Geology 606: Geostatistics Problem sets. Material didtico, disponvelem http://giscenter.isu.edu/training/geostats/Probsets.pdf. Acessado em 18 de junho de 2002
http://www.sph.umich.edu/~aelon/geoeas/http://giscenter.isu.edu/training/geostats/Probsets.pdfhttp://giscenter.isu.edu/training/geostats/Probsets.pdfhttp://www.sph.umich.edu/~aelon/geoeas/8/2/2019 Tkrigagem Com Tendencia Landim
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QUESTES
Questes, dvidas, sugestes, etc. sobre o texto devero ser encaminhadas aoprimeiro Autor, as quais sero sempre muito bem recebidas.(plandim@rc.unesp.br)