Post on 31-Jan-2020
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII
BUCUREŞTI
FACULTATEA DE GEODEZIE
TEZĂ DE DOCTORAT
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. ing. PETRE IULIU DRAGOMIR
Doctorand: Ing. LILIANA GHERGHELEŞ
-2011-
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 1
CUPRINS Cap I INTRODUCERE............................................................................................................................................2 I.1 Scopul şi importanţa analizei dinamice ale construcţiilor şi terenurilor ..............................................2 I.2 Legislaţia în vigoare referitoare la urmărirea comportării construcţiilor şi terenurilor........................3 I.3. Definiţii şi clasificări ale deplasărilor şi deformaţiilor.........................................................................4 I.4. Concluzii...............................................................................................................................................9 Cap II REŢELE GEODEZICE DE URMĂRIREA COMPORTĂRII CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENULUI...........................................................................................................................................................10
II.1 Metode clasice...................................................................................................................................11 II.1.1 Metoda microtriangulaţiei………………........................................................................11 II.1.2 Metoda microtrilateraţiei..................................................................................................18 II.1.3 Metoda aliniamentului…………………..........................................................................19
II.2 Metode moderne.................................................................................................................................22 II.2.1 Metoda poligonometrică...................................................................................................24 II.2.2. Utilizarea reţelelor G.N.S. S. ..........................................................................................25 II.2.3 Sistemul automatizat GOCA............................................................................................32
II.3 Concluzii............................................................................................................................................33 Cap III METODE DE PRELUCRARE ŞI ANALIZ Ă A DATELOR...................................................................34
III.1 Prelucrarea reţelelor geodezice.........................................................................................................34 III.2 Teste statistice………….…………………………..........................................................................39 III.3 Analiza integrată a datelor................................................................................................................46
III. 3.1 Analiza geometrică……………………………………………….………...............….47 III.3.2 Interpretare fizică ............................................................................................................71
III.3.2.a Interpretare statistică......................................................................................71 III.3.2.b Interpretare deterministică…………………………................................….72
III.4 Metoda elementelor finite.................................................................................................................73 III.5 Concluzii...........................................................................................................................................78
Cap IV. Metode de filtrare a datelor........................................................................................................................79
IV.1 Filtrul Wiener....................................................................................................................................80 IV.2 Filtrul Kalman...................................................................................................................................87
IV.2.1 Algoritmul filtrului Kalman discret.................................................................................90 IV.2.2 Filtrul Kalman extins (EKF)...........................................................................................92
IV.3 Filtrul Kalman discret aplicat în analiza cinematică de deformare……….....................................96 IV.3.1 Ecuaţiile standard ale Filtrului Kalman discret……………………...........................…96 IV.3.2 Aplicatiile filtrului Kalman în analiza cinematică…………………..........................…98
IV.4 Concluzii……………………….....................................................................................................109 Cap V Studiu de caz……………………………………………………………...............................................110
V.1 Descrierea şi caracteristicile studiului de caz………….............................................….................110 V.2 Aplicaţia filtrului Kalman asupra reţelei geodezice de urmărire a barajului Tileagd.....................114 V.3 Aplicaţia metodei elementului finit asupra reţelei geodezice de urmărire a barajului
Tileagd...................................................................................................................................................................127 V.4 Concluzii………..............................................................................................................................129
Cap VI Concluzii ……………………………….............................................................…….............................132 Bibliografie............................................................................................................................................................134
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 2
CAPITOLUL I - INTRODUCERE
I.1 Scopul şi importan ţa
Supravegherea în timp a construcţiilor [38] are un rol vital în conceptul de exploatare în
siguranţă a acestora. Studiul construcţiilor, pe modele şi la scară naturală, are drept obiectiv
cunoaşterea anumitor parametri ce caracterizează şi explică comportarea locală sau de
ansamblu a construcţiilor cercetate. Modificările construcţiei studiate rezultă ca urmare a
solicitărilor statice sau dinamice, sau a unor factori cum sunt: natura terenului de fundare,
variaţia nivelului apei subterane, acţiunea greutăţii proprii asupra fundaţiei, variaţiile de
temperatură, acţiunea vântului. Acestea sunt puse în evidenţă pe baza rezultatelor obţinute
din măsurători,efectuate în timpul testărilor, în timpul execuţiei ca şi după terminarea
construcţiei şi darea ei în exploatare. Măsurătorile pot fi:
• relative, dacă este controlată numai poziţia relativă a două sau mai multe puncte ale
construcţiei unul faţă de altul;
• absolute, dacă se măsoară deplasările punctelor construcţiei supusă solicitărilor în
raport cu repere fixe, amplasate în terenuri nedeformabile şi în afara zonei de
influenţă a construcţiei.
Controlul periodic al comportării construcţiilor a debutat la începutul anilor 1920, când
urmărirea deformaţiilor unui baraj era posibilă numai cu ajutorul geodeziei. Metodele
geodezice au început să piardă din importanţă odată cu dezvoltarea aparatelor mecanice
(A.M.C.-uri, ce s-au introdus în construcţii, fundaţiile construcţiilor şi terenul înconjurător) şi
datorită faptului că metodele geodezice reprezintă operaţii complexe, realizabile numai de
specialişti, cu ajutorul unor aparate de măsurare precise, în condiţii de lucru favorabile pe
teren. Utilizarea măsurătorilor geodezice la intervale regulate, de ordinul săptămânilor sau
lunilor, este practic imposibilă, metodele fiind inutilizabile iarna în zonele muntoase unde
accesibilitatea este blocată.
Cu toate limitările menţionate mai sus, metodele geodezice de urmărirea comportării
construcţiilor nu au fost abandonate nicăieri în lume deoarece prezintă şi avantaje însemnate:
• Sunt singurele metode care pot evidenţia deformaţii “absolute” ale construcţiilor;
• Precizia determinărilor este superioară altor metode în condiţii date (reţele de observaţii
corect realizate, aparatură de măsurare precise, metode de măsurare adecvate, specialişti
calificaţi în măsurarea şi prelucrarea datelor de teren);
• Se pot determina selectiv deformaţii ale întregii construcţii, ale unor părţi ale acesteia
(numai în plan vertical sau orizontal etc.)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 3
Măsurătorile geodezice pentru urmărirea comportării construcţiilor au început să fie
reconsiderate de către proiectanţii care interpretează modul de comportare a construcţiilor în
timp, odată cu dezvoltarea aparatelor de măsură, a informaticii care intervine direct în
obţinerea valorilor celor mai probabile ale deplasărilor, pe baza utilizării testelor statistice şi
adoptării unor modele matematice complexe pentru prelucrarea datelor din teren. În unele ţări,
la unele construcţii hidrotehnice “cu probleme” urmărirea comportării prin metode geodezice
se face în mod continuu, pe baza unor aparate de măsurat distanţe care realizează măsurători
la intervale de timp necesare. Astfel, rezultatele deplasărilor construcţiilor pot fi obţinute în
intervale de timp de ordinul a câtorva minute, costul acestor metode fiind foarte ridicat
datorită aparaturii imobilizate la baraj, a tehnicii de calcul şi programelor specifice ce trebuie
realizate.
I.2 Legislaţia în vigoare referitoare la urmărirea comportării construcţiilor şi
terenurilor
Încă din faza de proiectare a construcţiilor, acestea trebuie corect dimensionate, trebuie
să se ţină seama de toate eforturile la care este supusă construcţia, de condiţiile hidrogeologice
specifice, de gradul de seismicitate al zonei, de toţi factorii ce pot produce avarii sau
fenomene periculoase. În timpul realizării construcţiilor, trebuie luate toate măsurile ca
proiectele să fie realizate corect, din materiale de calitate, pe amplasamentul indicat, cu toate
părţile constructive prevăzute. Măsurile de siguranţă a construcţiei trebuie continuate şi în
perioada ei de exploatare, astfel încât să se respecte tehnologia de exploatare în condiţii de
risc minim.
Toate aceste prevederi reprezintă o tendinţă generală care însă nu poate fi asigurată în
totalitate. Deteriorări semnificative în timp ale construcţiei, deformaţii şi deplasări anormale
ale structurii, alunecări de teren, fac ca avariile să poată apărea în diverse momente ale
exploatării. Din acest motiv, există întotdeauna un risc de care va trebui să se ţină seama.
Acest motiv impune realizarea urmăririi comportării construcţiilor cu grad mare de
periculozitate în caz de avarii, ca o componentă obligatorie în activitatea de exploatare a
construcţiilor.
În ţara noastră urmărirea comportării construcţiilor se reglementează
printr-o serie de acte normative, dintre care:
Legea calităţii construcţiilor nr. 10/1995 este predecesorul legii 8/1977 care face referire
şi la obligativitatea urmăririi comportării construcţiilor.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 4
H.G.R. nr. 925/20.10.1995 referitoare la regulamentul de expertizare şi verificare a
proiectelor
Ordonanţa nr. 2 a Guvernului din 14.04.1994
Hotărârea Guvernului nr. 486/1993
STAS 7883/1990 – Construcţii hidrotehnice. Supravegherea comportării în timp
Urmărirea comportării construcţiilor devine astfel obligatorie, de ea trebuind să se ţină
seama în toate etapele: de proiectare, realizare şi exploatare a acestora.
Urmărirea comportării construcţiilor se execută de obicei la comanda beneficiarului
(proporietarul construcţiei). Proiectele de reţele geodezice de urmărirea comportării
construcţiilor se execută de către specialişti geodezi proiectanţi, la executarea părţilor
constructive ale pilaştrilor, reperilor şi bornelor, participând şi inginerii proiectanţi
constructori.
Efectuarea seriilor de măsurători trebuie realizate de către specialişti geodezi, dispunând
de o dotare tehnică corespunzătoare – atât în ce priveste aparatura de măsurare cât şi tehnica
de calcul.
Frecvenţa seriilor de măsurători, impusă de proiectant, este funcţie de mai multe
elemente, cum sunt: tipul construcţiei, vârsta şi starea acesteia, condiţiile impuse de fundare şi
de exploatare, acestea din urmă efectuându-se de 2 – 6 ori pe an, până odată la cel mult 2 ani.
I.3 Definiţii şi clasificări ale deplasărilor şi deformaţiilor Prin deplasare înţelegem schimbarea poziţiei spaţiale a unui punct situat pe o construcţie ce
este supusă solicitărilor.
Prin deformaţie se înţelege modificarea formei unui obiect, manifestată prin modificarea
mărimii distanţelor relative între punctele construcţiei observate.
Figura 1.1. Deplasări şi deformaţii
Deplasări Deformaţii
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 5
O construcţie supusă unui regim de solicitare determinat de condiţiile sale funcţionale
poate suferi deplasări şi deformaţii liniare, unghiulare şi specifice, după cum urmează:
• Deplasări şi deformaţii liniare :
Tasările definite ca deplasări pe verticală în jos ale fundaţiilor
construcţiilor şi a terenului de fundare ale acestora;
Bombări sau ridicări, ce reprezintă deplasări pe verticală în sus ale
fundaţiilor construcţiilor ;
Săgeţile caracteristice unor elemente de constucţie precum grinzile,
stâlpii, plăcile, supuse unor solicitări verticale sau orizontale ce
provoacă încovoierea acestora ;
Înclinările apărute ca efect al tasărilor inegale, fără însă a afecta
integritatea construcţiilor;
Crăpături şi fisuri ce sunt definite ca rupturi în plan sau în părţi
separate ale construcţiei apărute ca urmare a tasării neuniforme şi
apariţiei tensiunilor suplimentare;
Deplasările pe orizontală ale unor elemente ale construcţiei sau ale
construcţiei în ansamblul ei, datorate unor forţe orizontale (alunecări
de teren, împingerea apei) sau modificării echilibrului terenului de
fundare al construcţiei.
• Deplasări şi deformaţii unghiulare definite ca rotiri ale elementelor
construcţiilor, datorate acţiunii solicitărilor şi modificării echilibrului terenului
de fundare. Se pot ptoduce rotiri în plan vertical - înclinări ale construcţiei, sau
în plan orizontal – răsuciri.
• Deformaţiile specifice sunt definite ca fiind alungirile sau scurtările ale unui
element de construcţie sub efectul tensionării sau comprimării elementelor
respective.
“Pentru sesizarea deformaţiilor trebuie alese şi marcate pe obiect puncte potrivite, care să
permită cunoaşterea deformaţiilor pe întreg perimetrul. De aceea aceste puncte obiect trebuie
să vină în contact nemijlocit cu construcţia, de exemplu ca bolţuri sau plăcuţe lipite. Ele pot fi
atât puncte de vizare, determinabile indirect, ca de exemplu mărcile de vizare fixate pe un
perete, cât şi puncte între care se măsoară direct, ca şi în cazul punctelor marcate pe ambele
părţi ale rosturilor de separaţie ale diferitelor componente ale construcţiei. Pentru cerinţe
scăzute de precizie, marcarea poate fi omisă, dacă pe obiect există detalii identificabile fără
dubii. Numărul şi poziţia punctelor obiect influenţează atât posibilităţile de apreciere ale
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 6
comportării construcţiei cât şi, într-o măsură considerabilă, planificarea şi desfăşurarea
măsurătorilor de control. [9]. Măsurarea deplasărilor şi deformaţiilor construcţiilor poate avea
un caracter relativ sau absolut. Măsurătorile efectuate pot fi:
relative, dacă este verificată doar poziţia relativă apunctelor obiect unul faţă de
altul; în această categorie intră măsurătorile efectuate cu aparate de măsură
instalate în corpul construcţiei.
absolute, dacă se determină suplimentar şi deplasarea punctelor obiect faţă de
obiecte fixe, exterioare; din această categorie fac parte măsurătorile efectuate
cu aparate instalate în afara construcţiei.
În funcţie de durata apariţiei fenomenului, deplasările şi deformaţiile se mai pot clasifica în:
• Oscilaţii - din aceasta categorie fac parte deplasările pe o perioadă între 0.01s –
1s cum sunt cele ale instalaţiilor de maşini şi cele între 1s – 10s precum
oscilaţiile proprii ale construcţiilor.
• Mişcări de scurtă durată care se înregistrează pe o perioadă de 10s – 10 zile şi
cuprind deformaţiile construcţiilor sub solicitări, inclusiv cele cazate de factori
de mediu cum sunt : iradierile solare vântul şi mişcările diurne specifice.
• Mişcări de lungă durată – sunt mişcări cu o perioadă cuprinsă între 10 zile -
10 ani şi încadrează tasările şi mişcările sezoniere ale construcţiilor noi, la care
se adaugă mişcările între 10 ani - 100 de ani ce caracterizează mişcările
scoarţei terestre.
Punctele fixe sunt puncte de staţie şi puncte de orientare (materializând direcţii de referinţă
pentru măsurarea unghiurilor), situate în afara zonei de influenţă a construcţiei supravegheate,
a căror stabilitate este admisă şi demonstrată. Poziţia lor este determinată din puntele de
control din apropiere, prin aceasta, eventualele deplasări ale punctelor fixe faţă de punctele de
control fiind obţinute simplu şi precis. Deoarece, adesea punctele fixe sunt amplasate departe
de construcţie, se folosesc pentru determinarea a numeroase puncte obiect, puncte de
observaţie situate în apropierea obiectului supravegheat. Punctele fixe şi punctele de
observaţie trebuie, pe cât posibil, să fie materializate prin pilaştri cu dispozitive de centrare
forţată. Poziţia punctelor de staţie este controlată din punctele fixe, deoarece deplasarea unui
punct situat în zona de influenţă a construcţiei nu poate fi exclusă. Dacă nu se obţine nici o
deplasare a punctelor de observaţie, atunci acestea pot fi considerate ca puncte fixe, iar
măsurătorile spre punctele obiect ca măsurători absolute. Determinarea deformaţiilor
presupune cunoaşterea unei situaţii de referinţă stabilită printr-o primă serie de măsurători
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 7
numită ciclul zero. Ciclul zero trebuie astfel efectuat încât să poată fi definit fără echivoc în
timp şi să fie astfel conceput, în ceea ce priveşte precizia de măsurare şi aparatura, încât să
poată fi surprinse toate deformaţiile posibile, fără lacune, ca mărime şi ca evoluţie în timp. De
aceea, acesta trebuie executat cuprinzător şi e necesar să fie legat de o reţea de puncte fixe
locală sau de ordin superior. Această cerinţă de a realiza ciclul zero ca măsurătoare absolută,
oferă garanţia ca la comportări imprevizibile ale construcţiei să se poată obţine informaţie
necesară din măsurători.
După ciclul zero, la intervale prestabilite, se efectuează etapele de măsurători, ale căror
rezultate se compară cu ciclul zero şi cu rezultatele ciclurilor anterioare. Această comparaţie
trebuie să evidenţieze evoluţia eventualelor deformaţii apărute. Numai în cazul alegerii
corespunzătoare a intervalelor dintre ciclurile de măsurători se poate obţine o imagine corectă
a evoluţiei mişcării. De aceea datele ciclurilor trebuie stabilite în colaborare cu specialiştii din
disciplinele competente (ingineri constructori, geologi), cu luarea în consideraţie a
informaţiilor prioritare despre evoluţia aşteptată sau deja stabilită a construcţiei.
Forma unei reţele pentru măsurarea deformaţiilor este concepută în funcţie de forma
construcţiei, în funcţie de direcţiile aşteptate ale deplasării, ca şi în funcţie de metodele de
măsurare prevăzute.
Poziţia punctelor obiect pentru obţinerea deformaţiilor se pot determina în afara metodelor
geodezice şi prin alte metode si măsurători [9].
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 8
Măsurători continue
Figura1.2. Determinarea deformaţiilor y(t) care rezultă prin modificarea necontrolabilă a unor
influenţe x(t)
Deformaţiile neregulate şi cele imprevizibile pot fi monitorizate prin modificări
controlabile ale sarcinilor detecţia lor realizându-se în mod optim prin măsurători continue.
Pentru ca în timpul desfăşurării măsurătorilor deformările obiectului să poată fi neglijabile,
măsurătorile continue trebuie efectuate pe perioade scurte de timp. În afară de aceasta estede
dorit o minimizare a cheltuielilor. În aceste condiţii sunt preferate metodele de măsurare
electrice. Acestea au o precizie relativă considerabil mai mică decât metodele clasice, care
însă nu este un inconvenient dacă se limitează la măsurarea micilor diferenţe.
Măsurători discontinue
Dacă modificările temporare ale forţelor deformatoare şi reacţiile obiectelor sunt cunoscute cu
aproximaţie, se prognozează adesea alura temporară a deformaţiei obiectului, ca de exemplu
la supravegherea barajelor sau la determinarea tasărilor. Starea obiectului poate fi stabilită în
aceste cazuri prin cicluri de măsurători discontinue la intervale de timp determinate.
Măsurătorile discontinue se efectuează la construcţii precum poduri, ecluze, clădiri, ş. a.
pentru care instalarea de dispozitive de măsurare continue este ineficientă din punct de vedere
economic. Astfel, la supravegherea unui pod, în poziţii alese şi pe anumite profile, se pot
determina înclinările în ciclul zero şi într-un ciclu de măsurători efectuat la distanţă de un an.
y(t) x(t) Modificarea influenţelor x(t)
Timpul
Deformaţiile y(t)
t1 t2 ti tn
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 9
Aparatul pentru măsurarea înclinărilor se aşază pe mărci care înaintea ciclului zero trebuie
aduse într-o poziţie care să permită reinstalarea aparatului în aceeaşi poziţie pentru fiecare
măsurătoare. Prin prelucrarea măsurătorilor din toate punctele se determină deformaţiile
statice ale podului faţă de un ciclu de măsurători precedent. În ciclurile de măsurători nu este
nevoie să fie măsurate toate punctele, ci se aleg puncte tipice, periclitate în mod deosebit de
deformaţii. Numai dacă în acestea se obţin deformaţii importante, se efectuează, pentru
sesizarea completă a deformaţiilor, măsurători şi în restul punctelor.
I.4. Concluzii
Datorită importanţei supravegherii în timp a construcţiilor pentru punerea în evidenţă a
deformaţiilor, alegerea intervalului de măsurare precum si tipul măsurătorilor efectuate
reprezintă unul din cele mai importante etape, de ele depinzând acurateţea punerii în evidenţă
a deformaţiilor.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 10
CAPITOLUL II - RE ŢELE GEODEZICE DE URM ĂRIRE A
COMPORTĂRII CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENULUI
Datorită gradelor diferite de precizie în determinare, de obicei tratarea problemei
urmăririi comportării construcţiilor prin metode geodezice se face separat pentru
supravegherea deplasărilor planimetrice şi supravegherea deplasărilor pe verticală.
Reţelele geodezice de urmărire a comportării construcţiilor sunt concepute, proiectate şi
realizate ca reţele planimetrice: de microtriangulaţie, microtrilateraţie şi reţele nivelitice,
constituite de obicei din trasee de nivelment geometric de precizie.
În cazuri speciale, cum ar fi urmărirea compotării terenului, a unor baraje de dimensiuni
mari, cu ajutorul echipamentelor GNSS, urmărirea în plan orizontal şi vertical se poate face
simultan în reţea geodezică unică.
Proiectarea reţelelor planimetrice de urmărirea comportării terenurilor şi construcţiilor:
Construcţiile hidrotehnice sunt cele mai urmãrite din punct de vedere al deplasărilor şi
deformărilor, în prezenta lucrare am dezvoltat reţelele geodezice pentru astfel de construcţii.
În cazul construcţiilor hidrotehnice, pentru urmărirea în plan orizontal, - conform
normativelor din România- una din cele mai utilizate metode este metoda microtriangulaţiei-
trilateraţiei, aceasta fiind realizată funcţie de natura şi mărimea construcţiei, de configuraţia
terenului, de stabilitatea terenului în zonă, de aparatura de măsurădisponibilă şi de ordinul de
mărime a deplasărilor de determinat:
- În cazul urmăririi unui ansamblu de construcţii energetice [32] amplasate pe un
baraj cu deschidere mare (peste 500m),unde deplasările se determină cu o
precizie submilimetrică, principalul tip de reţea îl reprezintă microtriangulaţia
combinată cu microtrilateraţia. În funcţie de complexitate şi de numărul de
obiecte urmărite( baraj, centrală, ecluze, versanţi) numărul punctelor reţelei,
constituite din pilaştri prevăzuţi cu dispozitive de centrare forţată, va fi de
minim 10 putându-se ajunge la 50 de pilaştri amplasaţi în amonte şi aval de
baraj, pe ambele maluri, pe versanţi, pe insule şi pe construcţii. O serie de
pilaştri , consideraţi ficşi, vor trebui amplasaţi în afara zonei de influenţă a
barajului care, în condiţii geologice favorabile poate fi considerată la o distanţă
amonte/aval faţă de axa barajului de 0,8 – 1,5 ori deschiderea barajului, dar nu
mai aproape de 300 m. Reţeaua de mărci ce se amplasează pe construcţie
trebuie realizată astfel încât mărcile să poată fi uşor vizate din minim trei
pilaştri, sub unghiuri de intersecţie favorabile.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 11
În cazul urmăririi în plan orizontal a unui baraj de beton în arc pricipalul tip de
reţea îl reprezintă triangulaţia – trilateraţia, cu o precizie submilimetrică.
Deoarece aceste tipuri de baraje sunt amplasate în zone de munte, cu versanţi
abrupţi, înălţimile lor depăşind de multe ori 100 m nu se prevede amplasarea
pilaştrilor în amonte de baraj şi datorită văilor înguste din aval de baraj reţeaua
planimetrică de urmărire va fi constituită din lanţuri de triunghiuri şi
patrulatere cu puncte amplasate pe ambii versanţi, având o conformaţie cât
mai aproapiată de triunghiuri echilaterale.
- Proiectarea urmăririi comportării în plan orizontal al unui baraj de beton de
greutate, amplasat în zona de munte se face aproximativ ca şi la barajele de
beton în arc, însă se introduce urmărirea părţii în aliniament a barajului prin
metoda aliniamentului, din doi pilaştri situaţi pe axul barajului, pe cei doi
versanţi. Acesti pilaştri trebuie introduşi în reţeaua de urmărire din aval, fiind
posibilă determinarea şi compensarea în bloc, cu celelalte puncte ale reţelei.
- La proiectarea urmăririi comportării barajelor din anrocamente se ţine seama
de mişcările relativ mari ce apar în reţea. Astfel, deplasările acestor baraje se
vor determina cu o precizie de 1-5 mm, avându-se în vedere distanţele mari
între puncte de până la 500 m, utilizarea unor aparate precise de măsurare, la
aceste baraje urmărindu-se ambii paramenţi ai barajului, amonte şi aval.
- Pentru proiectarea reţelelor geodezice de urmărirea comportării în plan a
digurilor şi malurilor lacurilor de acumulare, metodele de bază sunt:
poligonometria de precizie, în special pentru digurile lacurilor de acumulare,
reţele de triangulaţie-trilateraţie – pentru digurile de împrejmuire a lacurilor de
acumulare de pe cursurile mijlocii ale râurilor şi reţele GNSS pentru urmărirea
crustală a lacurilor de acumulare.
II.1 Metode clasice de realizare a reţelelor de urmărire a comportării construcţiilor şi
terenului
II. 1. 1. Metoda microtriangulaţiei
Metoda microtriangulaţiei este de fapt o triangulaţie cu laturi relativ mici de 100 – 300m
în care unghiurile trebuie măsurate foarte precis [24].
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 12
Pentru măsurarea deplasărilor în plan orizontal ale construcţiilor masive, se proiectează şi
se fixează pe terenul din vecinătatea construcţiei puncte de observaţie, puncte de orientare şi
puncte de control, iar pe construcţia supusă observaţiei se fixează repere de vizare. Punctele
de observaţie, punctele de control şi punctele de orientare formează reţeaua punctelor de
referinţă faţă de care se determină deplasările punctelor de pe obiectul cercetat.
În practică se întâlnesc următoarele tipuri de reţele:
- reţea completă
- reţea incompletă
- reţea simplă
Prin reţea completă se înţelege reţeaua în care apar toate cele patru feluri de puncte
menţionate anterior. Punctele de observaţie şi punctele de control vor fi legate cu vize
reciproce, deci sunt staţionate. În majoritatea cazurilor, punctele de pe obiectul de cercetat nu
se pot staţiona şi vor fi numai vizate din staţiile de observaţie, ca şi punctele de orientare.
Exemplul tipic de folosire a unei reţele complete îl constituie microtriangulaţia barajelor.
O1
S1
B1 B2 B3 B4
O6
O6
O5
O5
O4
O3 O4
C1O2 C4C3C2
S2
S3S4
Figura 2.1.1.1. Reţea de microtriangulaţie completă
Bi- repere de vizare; Si- staţii de observaţie;Ci- puncte de control;Oi- puncte de
orientare.
Prin reţea incompletă se înţelege reţeaua în care între punctele de staţie şi de control nu
mai există vize reciproce, adică punctele de control nu sunt staţionabile.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 13
C1O2
O1
C2
O3
S1
S2
B1 B2
C3
S3
S5
S4
B3 B4
O4
O4
O5
O5
Figura 2.1.1.2. Reţea de microtriangulaţie incompletă
Caracteristic la această reţea sunt staţiile de observaţie separate (izolate), legate de punctele
de control prin vize unilaterale. În componenţa acestei reţele intră punctele de control,
punctele de orientare, precum şi puncte sau detalii ale obiectului examinat. Acesta este cazul
terenurilor cu vizibilitate redusă sau cazul podurilor în care se staţionează direct pe obiectul
de cercetat.
Prin reţea simplă înţelegem reţeaua compusă din staţiile de observaţie, punctele de
observaţie şi punctele de control. Această reţea se poate utiliza la determinarea deformaţiilor
orizontale ale suprafeţei de teren (alunecări de terenuri) şi în general ale obiectelor accesibile
direct şi uşor. Reperele de pe obiectul cercetat sunt înlocuite cu reţeaua staţiilor de observaţie
care sunt legate între ele şi legate reciproc şi cu punctele de control. Deci deplasarea unor
părţi ale obiectului de cercetat este identică cu deplasarea staţiilor de teodolit. Punctele de
control sunt situate în afara zonei supuse deplasării.
C1
S1
S2
S6
C3
S3
C2
S4
S5
Figura 2.1.1.3.. Reţea de microtriangulaţie simplă
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 14
Punctele de control sunt amplasate în locuri aflate departe de circulaţia rutieră şi locuri
caracterizate printr-un nivel ridicat al apei freatice. Se recomandă ca aceste puncte de control
să se fixeze pe roci consolidate sau pe zidurile construcţiilor existente de cel puţin 5 ani. În
nici un caz, punctele de control nu trebuie amplasate pe terasamente, pe terenuri de
umplutură, pe versanţi alunecători sau pe nisipuri. Stabilitatea punctelor de control depinde în
mare măsură de respectarea unor anumite distanţe minime faţă de sursele posibile de
perturbare a echilibrului. Valorile orientative pentru aceste distanţe sunt menţionate mai jos:
- faţă de clădirile mari, noi, distanţa este de cel puţin 4xH sau 8xl
(H –înălţimea construcţiei, l –lăţimea);
- faţă de marginea de jos a terasamentului, distanţa este de cel puţin 10xl
(l –lăţimea terasamentelor)
- faţă de marginea de sus a gropilor de fundaţie distanţa este de cel puţin 10xH
(H-adâncimea gropii de fundaţie)
La amplasarea punctelor de control este indicată consultarea unui geolog.
Reperele de pe obiectul cercetat trebuie să fie amplasate de acord cu proiectantul construcţiei
în aşa fel încât deplasările lor să caracterizeze comportarea construcţiei în ansamblu. Pe taluze
cu mari suprafeţe precum şi pe plăci de fundaţie, reperele se vor amplasa sub formă de reţele
dreptunghiulare. În cazul apariţiei unor semne de pericol pentru integritatea construcţiei
(fisuri, căderea tencuielii, etc.), reţeaua de puncte trebuie completată. Pe suprafaţe de teren
care alunecă, reperele de vizare se vor amplasa în vârfurile reţelei de sprijin şi vor fi
staţionate. La amplasarea acestor puncte mai trebuie avută în vedere o condiţie de bază şi
anume orice punct de pe obiectul cercetat trebuie ales astfel încât să poată fi determinat din
trei staţii de teodolit. De aici rezultă necesitatea de a proiecta punctele reţelelor de
microtriangulaţie ţinând seama de poziţiile lor reciproce.
La proiectarea staţiilor de observaţie faţă de reperele de vizare este posibilă îndeplinirea
simultană a două condiţii şi anume: asigurarea preciziei de determinarea poziţiei reperelor şi
asigurarea stabilităţii punctelor de staţie.
Totuşi din formularea acestor condiţii rezultă tendinţe contradictorii. Precizia de determinare
a reperelor creşte pe măsura apropierii staţiilor de obiectul cercetat până la o distanţă optimă,
care dacă se reduce mai mult duce la creşterea erorlor de vizare. Scurtarea vizelor de
intersecţie va apropia staţiile de observaţie de construcţie şi va avea astfel o influenţă negativă
asupra stabilităţii staţiilor.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 15
În general este acceptată ideea amplasării staţiilor astfel încât să se poată asigura precizia de
determinare a reperelor, chiar în absenţa unor condiţii optime de amplasare. Eventualele
deplasări ale staţiilor determinate cu ajutorul punctelor de control vor fi luate în consideraţie
la determinarea reperelor.
A. Materializarea punctelor reţelelor de microtriangulaţie
a) Materializarea punctelor de staţie
Această materializare variază în funcţie de condiţiile de exploatare a construcţiilor urmărite şi
de proprietăţile fizico – mecanice ale terenului de fundaţie. În general punctele de staţie se
materializează prin pilaştri. Aceşti pilaştri trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
să aibă o construcţie simplă şi stabilă;
să fie prevăzuţi cu dispozitive pentru centrarea mecanică, care să înlăture
erorile de centrare şi reducţie;
să fie protejaţi de ploaie şi soare cu capace şi să aibă asigurată consolidarea
terenului din jur.
Toate acestea, creează condiţii necesare de lucru pentru observator şi asigură precizia cerută
în executarea măsurătorilor.
Pe partea superioară a pilastrului se fixează un soclu de bronz cu locaş special pentru
instalarea teodolitului sau a miretelor de vizare. Precizia de centrare a instrumentului şi a
mărcilor de vizare pe pilaştrii îngropaţi este mai mică decât precizia centrării mecanice pe
capul pilastrului.
b) Materializarea punctelor de pe obiectul de cercetat
Această materializare se face cu ajutorul unor repere (mărci de vizare) care se instalează pe
părţile exterioare sau interioare ale construcţiilor şi care îşi schimbă poziţia planimetrică şi
altimetrică odată cu deplasarea construcţiei. Aceste repere sunt confecţionate din discuri plate
pe care se vizează (mărci) şi care se sudează de buloane încastrate cu mortar de ciment într-un
orificiu săpat în zid sau se folosesc mărci de vizare fixate prin dibluri sau prin lipire [10].
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 16
Figura 2.1.1.4 Fixarea prin dibluri a unei mărci de vizare şi câteva tipuri de mărci de vizare
Pe zidurile construcţiilor, în special ale barajelor de apă, se instalează uneori repere
prevăzute cu două plăci montate aproximativ perpendicular una faţă de cealaltă. Aceste repere
cu două plăci pot fi observate mai uşor şi mai precis din diferite puncte de staţie, decât vizele
obişnuite cu un singur disc, deoarece planurile plăcilor de vizare sunt mai aproape de direcţia
perpendiculară pe vize.
c) Materializarea punctelor de control
Se realizează în general cu ajutorul unor pilaştri de beton armat cu dispozitiv de centrare,
care permite aşezarea pe ele alternativ a teodolitului şi a mărcii de vizare. Este cazul reţelelor
„complete” în care între punctele de staţie şi cele de control există vize reciproce. Aceste
puncte de control nu trebuie să-şi schimbe poziţia în timp. Pentru asigurarea acestei condiţii
ele se plantează în roci stâncoase şi în afara zonei de influenţă a construcţiei. În terenurile
nestâncoase punctele de control se fixează numai în locurile unde nivelul apelor subterane se
găseşte la o adâncime de cel puţin 2 m sub nivelul de îngheţ al terenului.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 17
Fig. 1.12. Modul
1 - pilastru de beton
2 - pilastru de beton armat
3 - nervuri de rigiditate
4 - fundatia pilastrului5 - capac metalic
6 - dispozitiv de centrare
7 - bare metalice pentru
8 - scara
9 - placa de fundatie
asezarea balustradelor
de materializare a punctelor
Figura 2.1.1.5. Modul de materializare a punctelor
d) Materializarea punctelor de orientare
Ca puncte de orientare se utilizează în general punctele de pe construcţiile fixe depărtate şi
absolut sigure sau punctele de triangulaţie (borne cu semnale bine centrate).
În calitate de punct de orientare poate servi reperul de mai jos, instalat cu ferestruică de
vizare în pilaştrii de piatră sau beton, în pereţii clădirilor fixe depărtate sau pe colţurile de
stâncă şi de asemenea în turnurile bisericilor.
Figura 2.1.1.6 Mod de materializare a punctelor de control
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 18
II.1.2. Metoda microtrilatera ţiei
Reţelele liniare s-au dovedit eficiente la determinarea deplasărilor orizontale ale punctelor.
Reţelele topografice liniare sau reţelele de microtrilateraţie sunt alcătuite din puncte pentru a
căror determinare se efectuează numai măsurători de distanţe, acestea reprezentând de regulă
laturi de triunghiuri.
Reţelele liniare pot fi dezvoltate ca reţele constrânse, în cazul în care sistemul de axe faţă
de care urmează să se calculeze poziţia punctelor noi este definit aprioric printr-un număr de
elemente mai mare decât strictul necesar (coordonatele X, Y ale unui punct şi orientarea unei
laturi), sau ca reţele libere, în cazul în care sistemul de axe este ales convenabil.
Figura 2.1.2.1. Reţea de trilateraţie constrânsă
În cazul reţelelor constrânse, sistemul de axe se dă de regulă în mod supraabundent, prin
intermediul a cel puţin două perechi de puncte vechi de coordonate cunoscute A (X A,YA), B
(X B,YB), acestea formând aşa numita bază a intersecţiilor liniare şi C (X C,YC), D (X D,YD),
care constituie aşa numita bază de control, sau elementul de constrângere al reţelei.
Plecând de la aceste baze, de orientări cunoscute în plan, se calculează în mod treptat, prin
intersecţii obişnuite sau radieri, coordonatele punctelor noi.
Dacă punctele vechi nu formează o bază de intersecţie liniară, reţeaua neavând nici un
punct nou care împreună cu celelalte date să formeze un triunghi, atunci coordonatele
punctelor noi nu mai pot fi calculate direct în sistemul de axe dat. Ele se calculează mai întâi
X
Y
D
A
B
C
1
2 3
4
5
6
O
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 19
într-un sistem local. Coordonatele locale (x,y) astfel obţinute vor fi supuse unei transformări
liniare (o rotaţie şi două translaţii) pentru aducerea în sistemul de axe dat.
O
X
Y
A
B
1
2
34
5
6
7
8 9
10
x
Figura 2.1.2.2. Reţea liniară constrânsă pe o bază de transcalcul
În cazul reţelei liniare libere, coordonatele punctelor noi se recalculează într-un sistem
local, convenabil ales. Determinarea coordonatelor plane (X,Y) ale unui punct P, sau a unui
grup de puncte Pi, cu ajutorul distanţelor măsurate se poate realiza prin:
a) intersecţie liniară simplă
b) intersecţie liniară multiplă
c) compensarea grupului de puncte.
II.1.3. Metoda aliniamentului
Metoda aliniamentului este utilizată frecvent pentru măsurarea deplasărilor punctelor în
plan orizontal şi se aplică în mod special atunci când punctele observate sunt grupate
aproximativ în lungul unei linii drepte, de pildă la urmărirea podurilor, digurilor şi barajelor.
Principiul metodei constă în determinarea modificării poziţiei punctelor faţă de un plan
vertical ce trece prin două puncte fixe. Metoda comportă două procedee:
1. Procedeul măsurării unghiurilor paralactice care este utilizat atunci când sunt
anticipate deplasări transversale mai mari ale punctelor, de ordinul centimetrilor sau
zeci de centimetri (cazul urmăririi construcţiilor de pământ şi al alunecărilor de teren);
α
β
XA
YA
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 20
2. Procedeul vizării în lungul aliniamentului care se aplică în cazul în care sunt
asteptate deplasări transversale relativ mici, de ordinul milimetrilor până la 5 cm
(cazul construcţiilor rigide din beton armat, al construcţiilor metalice etc.).
Procedeul măsurării unghiurilor paralactice
Figura 2.1.3.1. Procedeul măsurării unghiurilor paralactice
Procedeul măsurării unghiurilor paralactice constă în stabilirea unui aliniament cât mai
apropiat de linia ce uneşte punctele construcţiei observate. Punctele de sprijin P1 şi P2 servesc
la instalarea teodolitului cu care vom măsura unghiurile φi , ψi. Unghiurile se vor determina
prin metode de măsurare specifice triangulaţiei, folosind teodolite de precizie ridicată. De
asemenea se va măsura distanţa P1 P2 notată D şi distanţele faţă de fiecare punct marcat,
notate Di. La etapa t0, abaterea mărcii a faţă de aliniament se calculează cu relaţiile :
11
1 * Dacc
P
ρϕ= )(* 1
21 DDa
ccP −=
ρψ
(2.1)
aPP Taa ≤− 21
11 (2.2)
Abaterea mărcii în prima etapă va fi egală cu a1’= 2
21
11
PP aa +.
La etapa t1 vom determina unghiurile φ1 , ψ1. Abaterea mărcii în cea de-a doua etapă a1” se va
determina cu relaţiile:
P1 P2
ψ
ψ
φ1 φ
Di
a’1
a”1
i” 1
i’ 1
D
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 21
111
1 * Dacc
P
ρϕ
= )(* 112
1 DDacc
P −=ρψ
a1”= 2
21
11
PP aa + (2.3)
Deplasarea punctului δ 1 faţă de poziţia iniţială de obţine ca diferenţă între poziţiile punctelor
la cele două etape de observaţie.
'" 111 aa −=δ (2.4)
Se consideră că punctul este deplasat dacă mărimea δ este mai mare decât dublul abaterii cu
care aceasta a fost determinată.
Acest procedeu permite determinarea simplă a deplasărilor transversale, însă nu permite
determinarea deplasărilor longitudinale. Pentru obţinerea deplasărilor cu o precizie ridicată
se impune măsurarea cu precizie foarte bună a unghiurilor φi , ψi.
Avantajul acestui procedeu constă în faptul că acesta nu necesită dispozitive speciale, ca în
cazul vizării în lungul aliniamentului. Punctele P1 şi P2 vor fi verificate din punct de vedere al
stabilităţii folosind reţeaua de urmărire a obiectivului respectiv, iar măsurătorile vor trebui să
aparţină aceleiaşi clase de precizie.
Procedeul vizării în lungul aliniamentului
Figura 2.1.3.2. Procedeul vizării în lungul aliniamentului
Pe axul longitudinal al construcţiei sau paralel cu acesta se determină un aliniament marcat la
capete cu doi pilaştri (A, D) care trebuie amplasaţi în afara zonei de influenţă a deformaţiilor
construcţiilor. Pilaştrii sunt prevăzuţi cu dispozitive de centrare mecanică a instrumentelor şi a
semnalelor de vizare. Pentru acest procedeu se foloseşte ca instrument de vizare luneta de
aliniament. Aceasta are o putere de mărire de 60x, o nivela de calare cu precizie de 10-15” şi
este demontabilă, permiţând efectuarea în ambele poziţii. Ţintele de vizare folosite pot fi cu
disc fix sau cu disc mobil. Marca de vizare cu disc mobil are ca dispozitiv de citire un sistem
A B 1
2
3
i
C D
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 22
de tip vernier, care se poate deplasa cu 10± cm şi pe care se pot efectua determinări cu
precizia de 0.1 mm.
În punctul B se instalează luneta de aliniament, iar în punctul C se instalează marca de vizare
cu disc fix. Luneta de aliniament se află în poziţia I. Se vizează marca de vizare cu disc mobil
instalată în punctul 1 şi se efectuează 3 seturi de măsurători, după care marca de vizare se
mută succesiv în punctele 2,3,..i, unde se efectuează măsurători.
Se pune luneta în poziţia a doua şi se fac măsurători mutând marca de vizare cu disc mobil
pe mărcile i, i-1,…, 3, 2, 1. Luneta se deplasează în punctul C, iar în B se instalează marca
de vizare cu disc fix. Se realizează aliniamentul şi se efectuează determinări cu luneta în
poziţia I pentru mărcile 1, 2, 3.., i şi apoi, cu luneta în poziţia a II-a pentru mărcile i, i-1,…,
3, 2, 1.
Media determinărilor corespunzătoare fiecărei mărci reprezintă poziţia mărcilor în raport
cu aliniamentul la etapa t0. Măsurătorile sunt reluate similar pentru etapa de măsurare t1.
Deplasarea punctului δ faţă de poziţia iniţială de obţine ca diferenţă între poziţiile
punctelor la cele două etape de observaţie. Se consideră că punctul este deplasat dacă
mărimea δ este mai mare decât dublul abaterii cu care aceasta a fost determinată.
II.2 Metode moderne de realizare a reşelelor de urmărire a comportării construcţiilor şi
terenului
Metodele clasice (drumuirea, triangulaţia, trilateraţia) au fost înlocuite sau completate
de măsurători prin unde, măsurători fotogrammetrice, dar în special de metodele de măsurare
şi poziţionare spaţiale. cum ar fi: măsurători laser de distanţe spre sateliţi (SLR-Satellite Laser
Ranging), măsurători interferometrice de baze (VLBI-Very Long Baseline Interferometry),
măsurători Doppler, măsurători folosind sistemul de sateliţi Navstar – GPS (Navigation
System with Time And Ranging-Global Positioning System).
Aceste metode necesită şi aparate adecvate:
a) Teodolite electronice de precizie: sunt echipate cu microprocesor [45] ce
controlează senzorii biaxiali, putând deduce înclinarea teodolitului cu o precizie de peste 1,27
mm şi corectată automat atât pe direcţia orizontală cat si verticală. În plus putem măsura
presiunea atmosferică şi temperatura aerului care sunt principalii parametri ai refracţiei.
b) Sistem de coordonate tridimensional: două sau mai multe teodolite electronice
conectate la un microcalculator, crează un sistem de coordonate tridimensional, cu calcularea
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 23
coordonatelor în timp real. Sistemul este folosit pentru poziţionarea precisă la monitorizarea
deformaţiilor pe suprafeţe mici. Dacă abaterea standard pentru măsurarea simultană a
unghiurilor orizontale şi vericale nu depăşeşte 2,54 mm, atunci poziţia (X,Y,Z) a ţintelor la
distanţe de peste 10 m, pot fi determinate cu o abatere standard mai mică de 0,05 mm.
c) Măsurare de tip puls: sunt modele de instrumente EDM cu o transmisie de puls
scurt şi măsurarea directă a timpului de propagare având o mare de energie a semnalul
transmis, putând fi utilizate fără reflectoare pentru a măsura distanţe scurte (de până la 200
m), direct la pereti sau pe suprafete plane, cu o precizie de aproximativ 10 milimetri. Diferite
firme au dezvoltat instrumente de scanare automat cu laser care pot fi utilizate pentru a scana
cu o precizie de ±5 mm, modelele detaliate în timp real a structurilor şi pe şantierele de
construcţii.
d) Instrumente cu frecvenţă duală: sunt voluminoase şi greoaie în utilizare, dar se
poate realiza cu ele o abatere standard de ± 0,1 mm ± 0,1 ppm.
e) Staţii totale automatizate coaxiale Theomat: care sunt proiectate pentru realizarea de
studii de monitorizarea deformaţiilor. Sistemul foloseste un sistem standard de montare pe
ambaza a bateriilor interne NiCad sau o baterie externă de 12 volţi şi / sau AC invertor de
putere. Utilizatorul controlează funcţiile de măsurare, pe un ecran la tastatură. Colectarea de
date se efectuează prin carduri de date cu o capacitate de 2-4 MB (aproximativ 8000
masuratori), care pot fi descărcate direct la un PC echipat cu driverele corespunzătoare
portului de comunicaţii.
f) Recunoaşterea automată a ţintei (ATR). Primele sisteme automatizate de vizare au
fost instalate în teodolitele de precizie prin anii 1980. Componentele sale de funcţionare au
constat dintr-un sistem video cu cameră externă şi o unitate de servomotor separat. Sistemele
moderne sunt mult mai sofisticate fiind încorporate în aparat şi având un fascicul de activ
capabil de detectare. Un semnal IR emis este transmis la prisma care reflectă pasiv semnal
înapoi la instrument.
g) Staţia totală motorizată: cu ajutorul acesteia se poate obţine o măsurare a obiectelor
în mişcare, folosindu-se la supravegherea şi comanda vehiculelor(utilaje, vapoare) şi
maşinilor.
Noile tehnologii simplifică şi grăbesc timpul afectat procesului de măsurare, aceste
rezultate fiind obţinute prin mărirea gradului de automatizare din timpul măsurării –
monitorizarea.
Măsurarea asupra obiectelor în mişcare.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 24
Sunt două dispuneri diferite:
- staţia instalată fix, care măsoară până la ţinta de pe obiect
- staţia de pe obiect şi măsoară până la ţintele fixe
În multe cazuri prima dispunere este mai avantajoasă deoarece întoarcerile făcute de
obiect în spaţiu nu sunt direct transmise pe instrumentul de măsurare.
În cazul staţiilor care urmăresc ţinta se face o diferenţiere între procedeul “Stop and
Go” şi modul de măsurare cinematic. Prima metodă presupune renunţarea la căutarea uzuală,
când obiectivul aparatului este mişcat, metoda cinematică nu mai urmăreşte ţinta, ci sistemul
de măsurare determină concomitent poziţia ţintei în spaţiu şi în timp.
h) Roboţi de măsurare: pentru măsurarea continuă sau frecventă a deformaţiilor a fost
dezvoltat un sistem automat bazat pe calcule şi monitorizarea staţiiilor totale. Primul sistem
creat a fost Georobot, dar apoi au dezvoltat şi alte firme producătoare, acest sistem poate fi
programat pentru un set de puncte secvenţiale spre un set de prisme la intervale de timp
prestabilite, putând măsura distanţe şi unghiuri orizontale şi verticale şi pot transmite datele la
un computer de birou printr-o legătură la telemetru. Sistemele robotizate au găsit multe
aplicaţii, în special în monitorizarea zidurilor înalte, în minerit, carieră şi în studiile de
stabilitate a pantei. În general, precizia măsurătorii direcţilor cu teodolitele informatizate cu
autovizare este mai mică decât măsurătorile cu manualul vizare manuală spre ţinte.
II.2.1. Metoda poligonometrică
Atunci când nu poate fi folosită metoda aliniamentului, vizibilitatea între capetele
aliniamentului fiind împiedicată de diferite obstacole, condiţii naturale sau distanţe relativ
mari, este indicată utilizarea metodei poligonometrice pentru determinarea deplasărilor
orizontale.
Drumuirile poligonometrice vor trebui tratate unitar, factorul hotărâtor constituindu-l
omogenitatea. Abordarea unor astfel de reţele după sistemul ierarhic ar conduce inevitabil la
porţiuni de reţea cu precizii diferenţiate. Nu trebuie neglijat faptul că redundanţa unor astfel
de reţele este scăzută , ceea ce impune efectuarea măsurătorilor cu maximă acurateţe şi
evitarea, respectiv modelarea unor erori sistematice.
La reţelele poligonometrice planimetrice proiectate pentru lucrări de urmărire, se
recomandă tratarea acestora prin metoda măsurătorilor indirecte, ca reţele neconstrânse,
păstrând nealterată precizia interioară a reţelei, chiar dacă în reţea au fost incluse puncte dintr-
un sistem existent, cum ar fi sistemul naţional.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 25
II.2.2. Utilizarea reţelelor GNSS pentru urmărirea comportării construcţiilor
Pentru baraje cu deschidere de peste 1000 m este recomandată [27] urmărirea comportării
barajului şi versanţilor adiacenţi şi prin metode GNSS(Global Navigation Satellite Sistem),
care oferă valori ale deplasărilor absolute ale punctelor extreme ale reţelei, cu o precizie
superioară măsurătorilor geodezice clasice fiind recomandat măsurarea cu precizie superioară
a unor laturi din reţea pentru păstrarea scării reţelei de la o etapă de măsurare la alta.
În prezent, sistemul de poziţionare cu sateliţi – G.N.S.S asigură o acoperire a întregii
suprafeţe a Pământului, dovedindu-şi calităţile speciale în diverse domenii de aplicabilitate
între care şi domeniul măsurătorilor geodezice.
Sistemul G.P.S. este alcătuit din 3 segmente principale:
1. Segmentul spaţial
2. Segmentul de control
3. Segmentul utilizator
1. Segmentul spaţial este reprezentat de către sateliţii G.P.S. care emit pe două
frecvenţe: L1 (1575.42 Mhz) şi L2 (1227.60 Mhz) semnale numite „mesaj de
navigaţie” referitoare la poziţia satelitului (efemeridele satelitului), timp şi alte
informaţii adiţionale (corecţii ale ceasurilor satelitului, parametrii corecţiilor
atmosferice, etc.). Acest flux de informaţii este recepţionat de receptoarele terestre,
prelucrat şi apoi utilizat în determinarea poziţiei punctului în care se află receptorul.
2. Segmentul de control îndeplineşte următoarele funcţii principale:
- urmărirea continuă a traiectoriei sateliţilor
- prelucrarea datelor referitoare la sateliţi
- transmiterea datelor şi supervizarea necesară controlului sistemului de
sateliţi
Segmentul de control include staţiile de monitorizare care recepţionează datele de
navigaţie, staţia principală care prelucrează datele recepţionate şi furnizează poziţiile
estimate ale sateliţilor şi corecţiile de timp şi staţiile de actualizare a datelor din memoria
sateliţilor şi retransmiterea lor la utilizatori.
3. Segmentul utilizator include diferite tipuri de receptoare şi echipament periferic
necesare pentru operaţiile din teren ale receptoarelor GNSS şi pentru prelucrarea
datelor cu ajutorul programelor corespunzătoare.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 26
Principiul măsurătorilor GNSS
Receptoarele GNSS măsoară timpul necesar unui semnal pentru a se propaga de la satelit
la receptor - τ . Prin înmulţirea acestui timp cu viteza luminii (c) se determină distanţa
receptor – satelit, numită şi „pseudodistanţa” deoarece este afectată de eroarea de ceas a
satelitului şi receptorului.
c*τρ = (2.5)
Dacă măsurăm o singură distanţă spre satelit, dispunând de ceasuri sincronizate şi în
absenţa altor influenţe negative, vom putea determina poziţia receptorului undeva pe o sferă
centrată pe satelit şi raza egală cu distanţa măsurată. Dacă folosim măsurători simultane spre
doi sateliţi, poziţia receptorului va fi pe un cerc aflat la intersecţia celor două sfere centrate pe
cei doi sateliţi. O a treia măsurătoare de distanţă efectuată simultan dă o a treia sferă care
intersectează pe celelalte două numai în două puncte. Unul dintre aceste puncte poate fi
eliminat ca fiind poziţia receptorului, deoarece acesta se va găsi departe de poziţiile posibile.
Măsurători simultane de distanţe spre trei sateliţi asigură suficiente informaţii pentru
determinarea poziţiei unui punct în spaţiul tridimensional. Aici însă intervine cel de-al
patrulea parametru necunoscut şi anume eroarea ceasului receptorului ∆t apărut datorită
asincronismului dintre ceasul satelitului şi ceasul receptorului. Aceasta implică măsurarea
simultană a unei pseudodistanţe adiţionale spre un al patrulea satelit.
Receptorul GNSS utilizează valorile acestor corecţii ale ceasului satelitului pentru a
corecta pseudodistanţa măsurată. Ecuaţia observaţiei va fi în acest caz:
( ) ( ) ( ) ctZZYYXX rRS
RS
RSS
R *2
22 ∆+−+−+−=ρ (2.6)
unde SRρ - distanţa între satelitul S şi receptor R
rt∆ - eroarea ceasului receptorului
c - viteza luminii
SX - vectorul coordonatelor satelitului
RX - vectorul coordonatelor receptorului (vectorul parametrilor)
=S
S
S
S
Z
Y
X
X
=
R
R
R
R
Z
Y
X
X (2.7)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 27
Tipuri de măsurători GNSS
Semnalul sateliţilor GNSS constă în:
- codul P: Pi =+1;-1 secvenţe care se schimbă pseudoaleator la fiecare 0.1 s
- codul C/A: Ci =+1;-1 secvenţe care se schimbă pseudoaleator la fiecare
1 ms
- fluxul de date (mesajul de navigaţie) Di =+1;-1 secvenţe care se schimbă sistematic
la fiecare 20 ms
- unda purtătoare: cos ( )φπ +12 f pe frecvenţa L1
cos ( )φπ +22 f pe frecvenţa L2
Măsurătorile GNSS pot fi clasificate în funcţie de tipul semnalului utilizat astfel:
a) Măsurători efectuate utilizând codurile
Acest tip de măsurători sunt denumite măsurători de pseudodistanţe şi se bazează pe
coduri. Cu ajutorul codurilor se calculează timpul necesar corelării unei replici a codului
generat de receptorul GNSS cu codul recepţionat de la satelit, astfel putându-se determina
pseudodistanţa satelit-receptor. Rezoluţia măsurătorilor depinde de precizia cu care codul
recepţionat este corelat cu codul generat.
b) Măsurători folosind faza undei purtătoare
Faza undei purtătoare reprezintă diferenţa între faza semnalului purtătoarei emis de
satelit (supus fenomenului Doppler) şi faza unui semnal de frecvenţa constantă emis de
oscilatorul receptorului. Reconstrucţia fazei se realizează prin „scăderea” codului din
semnalul satelitului sau prin „ridicarea la pătrat” a semnalului satelitului.
Reconstrucţia fazei purtătoarei prin eliminarea codului din semnalul satelitului prezintă
avantajul că menţine un nivel scăzut al zgomotului, menţine lungimea de undă a purtătoarei
(pentru L1 şi L2), iar mesajul de navigaţie rămâne clar.
Reconstrucţia fazei prin „ridicarea la pătrat” a semnalului satelitului se utilizează în cazul
receptoarelor lipsite de coduri pentru măsurători de înaltă precizie. Semnalul satelitului este
„ridicat la pătrat” pentru eliminarea codurilor , obţinându-se astfel o undă pură fără modulaţii.
c) Măsurători utilizând semnalul sub-purtătoarei codului P
Tehnica presupune obţinerea diferenţei dintre faza sub-purtătoarei codului P din banda
L1 sau L2 şi faza semnalului de referinţă generat de receptor. Precizia acestei metode este mai
slabă decât precizia măsurătorilor cu faza purtătoarei.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 28
Se mai pot utiliza şi combinaţii ale tehnicilor prezentate anterior.
Metode de măsurare GNSS
1. Metoda de măsurare statică
Metoda de măsurare statică este cea mai frecventă metodă de măsurare GNSS. În cadrul
acestei metode, receptoarele ocupă punctele de staţie pentru intervale de timp (sesiuni) cu
durata de aproximativ 1 oră. Un receptor rămâne în acelaşi punct, pe când alte receptoare,
participante la observaţii, se deplasează în punctele noi între sesiuni.
2. Metoda de măsurare cinematică
Măsurarea cinematică este procesul prin care vectorii (bazele) dintre două receptoare, care
se află în mişcare relativă, pot fi determinate precis şi rapid dacă fiecare receptor
recepţionează continuu faza purtătoarei de la cel puţin 4 aceiaşi sateliţi. Este cea mai
eficientă metodă de determinare a punctelor
3. Metoda de măsurare pseudo-cinematică
Această metodă este similară cu cea cinematică în efectuarea observaţiilor şi similară cu cea
statică în prelucrare. Observaţiile în punctele necunoscute sunt identice cu cele cinematice, cu
excepţia faptului că fiecare măsurătoare dureaza aproximativ cinci minute şi fiecare punct
măsurat trebuie staţionat încă 5 minute la interval de cel puţin o oră faţă de prima perioadă de
observare. Nu este necesară o iniţializare specială sau menţinerea legăturii la sateliţi între
observaţii ca în cazul măsurătorilor cinematice.
4. Metode de măsurare combinate
Combinarea primelor trei metode poate asigura executarea proiectelor ample cu condiţia
cunoaşterii şi aprecierii corecte a locului şi momentului unde se pretează utilizarea fiecărei
metode.
Clasificarea metodelor de poziţionare[51] :
1. Funcţie de originea sistemului de axe de coordonate ales:
- poziţionare absolută (“point positioning“) – originea este în geocentru, vectorul de poziţie
se obţine în raport cu geocentrul
- poziţionare relativă (“relative positioning“) – originea este aleasă arbitrar în unul din
punctele de determinat, unde vectorul relativ de poziţie se obţine în raport cu originea
aleasă.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 29
- poziţionare diferenţială – este o metodă ce combină poziţionarea absolută ţi relativă.
2. Funcţie de tipul observaţiilor estrase din semnalul satelitar şi utilizate în poziţionare :
- poziţionare cu coduri – folosind corelarea semnalului recepţionat cu codul propriu
generat de receptor ;
- poziţionare cu fază purtătoare- folosind măsurători ale fazei purtătoare
- poziţionare Doppler – folosind măsurători ale variaţiei fazei purtătoare
3. Funcţie de momentul în care se determină poziţia :
- poziţionare în timp real – poziţia este determinată în momentul efectuării observaşiilor
satelitare ;
- poziţionare în mod post-procesare- poziţia este determinată la un anumit interval de timp
după efectuarea observaţiilor satelitare.
4. Funcţie de starea de mişcare a receptorului :
- poziţionare statică – receptorul se află în repaos ;
- poziţionare cinematică – receptorul se află în miscare;
- poziţionare combinată - poziţia receptorului alternează de la starea de repaos la starea de
mişcare şi invers.
Precizia de estimare a poziţiei
Precizia poziţionării folosind sistemul GNSS este influenţată de o serie de erori care
pot fi clasificate astfel:
-erori sistematice (eliminate sau estimate în procesul de calcul):
-eroarea sistematică de reprezentare a orbitelor;
-eroarea sistematică a modelului de funcţionare a ceasului;
-eroarea troposferică şi ionosferică
-ambiguitatea fazei purtătoare
-erori aleatoare
-erori sistematice reziduale
-excentricitatea centrului de fază
-eroarea datorată reflexiei semnalelor
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 30
-erori aleatoare de măsurare
Indicatorii preciziei poziţiei
1. Abaterea standard a unităţii de pondere 0σ
Abaterea standard a unităţii de pondere nu este propriu zis o eroare de determinare a
poziţiei receptorului, ci reprezintă măsura erorii distanţei spre unul din sateliţi.
2. Diluţia preciziei (DOP)
Această mărime reprezintă contribuţia cu efect multiplicativ asupra lui0σ adusă de erorile
induse de geometria sateliţilor. Geometria sateliţilor reprezintă modul de dispunere
spaţială a sateliţilor de la care sunt recepţionate semnalele, deci unghiurile între direcţiile
de propagare a semnalelor. În general, spaţiile mari dintre sateliţi şi receptor produc erori
mai mici.
Indicatorii DOP sunt următorii :
PDOP – Diluţia preciziei poziţiei. Aceasta reprezintă o funcţie matematică de
coordonate relative ale receptorului şi sateliţilor şi poate fi calculată pentru o
anumită geometrie a acestora.
HDOP – Diluţia preciziei planimetrice
VDOP – Diluţia preciziei coordonatei pe verticală
TDOP – Diluţia preciziei în echivalent distanţă al erorii ceasului receptorului
GDOP – Indicator ce reuneşte efectele geometriei sateliţilor şi receptorului cu
efectele erorii ceasului
Precizia poziţiei va fi dată de relaţiile:
PDOPzyx *0,, σσ = (2.8)
TDOPT *0σσ =∆ (2.9)
GDOPTzyx *0,,, σσ =∆ (2.10)
Proiectarea reţelelor GNSS
Proiectarea reţelelor GNSS la un nivel de precizie şi încredere apriorice minimizând în acelaşi
timp costurile unei campanii de observaţii este un proces complex ce necesită diferite stadii de
adoptare a unor decizii. Întregul proces de proiectare a reţelelor GNSS poate fi efectuat în
patru etape:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 31
1. Definiţia datelor geodezice de referinţă (Design de ordinul zero);
2. Configuraţia reţelei (Design de ordinul 1);
3. Specificarea ponderii observaţiilor (Design de ordinul 2);
4. Integrarea în reţele terestre existente (Design de ordinul 3).
1. Definiţia datelor geodezice de referinţă (Design de ordinul zero)
Observaţiile GNSS, fie ele pseudo-distanţe, fie faze purtătoare, sunt în prezent mai degrabă
distanţe afectate de erori sistematice decât distanţe geometrice. În consecinţă, fiecare
măsurătoare implică scara sa proprie, fiind afectată de erori sistematice, care pot fi modelate
sau luate în consideraţie. Calitatea originii şi orientării datumului sunt definite prin
constrângeri minime pe baza câtorva combinaţii de sateliţi şi coordonate terestre care
determină reţeaua.
Teoretic, fixarea orbitei unui satelit este suficientă pentru definirea originii, orientării şi
scării unui sistem de referinţă geocentric, cvasi-inerţial, iar dacă se presupun cunoscuţi şi
parametrii asociaţi rotaţiei Pământului, atunci putem defini un sistem de referinţă geocentric
în care poziţiile sateliţilor din reţea pot fi estimate.
În practică, parametri orbitali ai mai multor sateliţi sunt fixaţi, determinând un datum cu
constrângeri.
2. Configuraţia reţelei (Design de ordinul 1)
Design de ordinul 1 poate fi considerat un proces cu două etape necesitând proiectarea
redundanţei şi a configuraţiei.
Proiectarea redundanţei în observaţiile GNSS determină stabilirea unei configuraţii minime
a reţelei cu un anumit număr de parametri necunoscuţi unic definiţi. Datorită faptului că
observaţiile sunt diferenţe între semnalele oscilatorului satelitului şi semnalele oscilatorului
receptorului, ele sunt sensibile la diferenţele între erorile ceasului satelitului şi receptorului şi
a diferitelor cauze care afectează propagarea acestor semnale. Influenţa acestor erori
sistematice poate fi tratată pe diferite cai. Dacă o eroare sistematică e presupusă a avea o
structură stabilă, varianţa sa temporală poate fi tratată ca necunoscută şi determinată împreună
cu ceilalţi parametri. Alternativ, pot fi efectuate observaţii adiţionale pentru estimarea directă
a erorilor sistematice sau pentru formarea modelului erorilor sistematice. În final, eroarea
sistematică poate fi înlăturată sau puternic redusă prin diferenţierea ecuaţiilor observaţiilor
directe.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 32
În proiectarea unei campanii de măsurători GNSS, alegerea amplasării staţiilor va fi dictată
mai ales de nevoia de a ocupa (sau reocupa) cât mai multe staţii, menţinând o durată optimă a
timpului de colectare a datelor. În practică se utilizează două metode:
a) Stabilirea configuraţiei de staţii/sateliţi care dau un DOP optim în punctele reţelei şi
pentru anumiţi sateliţi; aceasta este echivalent cu minimizarea elementelor de pe diagonala
principală a matricii de varianţă-covarianţă.
b) Stabilirea configuraţiei de staţii/sateliţi care să dea un număr maxim de baze
independente ale reţelei.
3. Specificarea ponderii observaţiilor (Design de ordinul 2)
Fiind dată o configuraţie a reţelei, selectarea preciziei observaţiilor este unul dintre
parametri de bază care determină precizia poziţiilor determinate cu GNSS. Rezultatele
observaţiilor pot fi afectate de erori datorate:
- imperfecţiunii localizării observaţiilor în timp (de exemplu asincronismul dintre ceasul
satelitului şi cel al receptorului) şi spaţiu (de exemplu erorile orbitei sateliţilor)
- imperfecţiunii performanţelor sistemului de urmărire (datorate de exemplu efectelor
reflexiei semnalelor şi variaţiei centrului de fază)
Cu cât sateliţii GNSS sunt urmăriţi un timp mai îndelungat, cu atât se realizează mai precis
poziţionarea relativă, în principal datorită extinderii eşantionului de atmosferă parcurs (şi
implicit obţinerea unui caracter aleatoriu al efectelor atmosferice) şi variaţiei mai mari a
geometriei (rezultând caracterul aleatoriu al erorilor orbitei).
Îmbinând tehnologiile descrise mai sus cu programme de prelucrare a datelor
automatizat şi permanent s-au dezvoltat sisteme automate de urmărirea deformaţiilor –
sistemul GOCA
II.2.3 Sistemul GOCA
GOCA (GNSS/GPS/LPS based on-line control and alarm sistem) este un multisistem
de componente software şi hardware care au ca scop monitorizarea şi analiza deformaţiilor
geotehnice in timp real [19].
Obietivele proiectului GOCA sunt:
Monitorizarea on-line pentru reţelele clasice de deformatii;
Monitorizarea on-line a clădirilor relevante din punct de vedere al siguranţei şi a
instalaţiilor geotehnice, pe baza sistemului de sateliţi GPS;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 33
Vizualizare şi analiză pentru punctele-obiect, on-line la centrul GOCA;
Alerta automată dacă se ajunge la o stare critică a obiectului.
Componentele hardware ale sistemului GOCA constau din senzori GNSS şi senzori de
poziţionare locală (LPS) ca staţii totale şi instrumente de nivelment pentru monitorizare
geodezică, furnizând vectorul de stare a deplasărilor, vitezelor şi acceleraţiilor pentru punctele
obiect. Se folosesc şi senzorii locali (LS) ca senzori de forţă şi presiune rezultând o analiză
integrată a deformaţiei. Datele GNSS şi LPS sunt folosite la compensarea permanentă online
a reţelei geodezice. La analiza deformaţiilor se fac estimări cu ajutorul filtrului Kalman. Toate
aceste echipamente sunt coordonate de componente software care au rolul atât de transmitere
a corecţiilor la senzorii GNSS, de prelucrare în timp real a datelor transmise de echipamentele
hardware, cât şi de alarmare in cazul apariţiilor unor anomalii semnalate de sistem.
II.3 Concluzii
Datorită evoluţiei aparaturii topografice utilizate în vederea determinării deformaţiilor
absolute ale barajelor, timpul de măsurare se reduce semnificativ, în prezent putându-se
determina permanent poziţia punctelor de pe obiectul examinat, ba chiar şi interpretarea
acestor deformaţii, putându-se elimina conceptul că instrumentele mecanice instalate în
corpul barajului ar fi mai avantajoase deoarece ar putea surprinde o deformaţie apărută
instantaneu.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 34
CAPITOLUL III - METODE DE PRELUCRARE ŞI ANALIZ Ă A
DATELOR
III.1 Prelucrarea măsurătorilor efectuate în reţelele geodezice:
În situaţia în care avem o reţea de sprijin geodezică, realizată în scopul obţinerii
coordonatelor unui set de puncte geodezice şi care este utilizată ca referinţă pentru lucrările
topografice, măsurătorile se execută şi se prelucrează o singură dată.
Într-o reţea geodezică de urmărire, realizată în scopul determinării deplasărilor unor puncte
geodezice, măsurătorile se execută şi se prelucrează în mai multe etape (epoci), între care se
determină deplasările ca diferenţe de coordonate. În acest sens se propune prelucrarea în bloc
a mãsurãtorilor efectuate în mai multe etape, într-o reţea de urmãrire.
În prelucrarea datelor geodezice, modelul funcţional este exprimat prin:
în care x este vectorul parametrilor (în general coordonate, dar poate include şi efecte fizice
sau elemente geometrice specifice cum sunt: factori de scară, coeficienţi de refracţie, etc.), iar
l este vectorul elementelor măsurate.
În procesul de prelucrare a datelor de măsurare, acordăm o atenţie deosebită
depistării erorilor mari precum şi a erorilor sistematice semnificative, observaţiile fiind
afectate de erori întâmplătoare, ceea ce justifică tratarea măsurătorilor ca variabile aleatoare şi
descrierea efectului acestor erori prin intermediul unui model stochastic.
Modelul stochastic pentru valorile măsurate ale vectorului l din relaţia (3.1) este
definit atunci când pentru un element măsurat dispunem de estimaţii nedeplasate ale mediei şi
varianţei, iar pentru fiecare pereche de elemente măsurate dispunem de o estimare nedeplasată
a covarianţei.
Dacă un acelasi element este măsurat de n ori, atunci valoarea medie calculată este
folosită ca valoare măsurată pentru elementul respectiv, dar varianţa sa este acum exprimată
prin valorile măsurate considerate independente, deci cu covarianţe nule; în acest caz matricea
de varianţă – covarianţă C1, pentru m măsurători este o matrice diagonală (m*m):
Ponderea unei măsurători este definită prin:
)2.3(1 22
xxs
ns =
[ ] )3.3(... 222
211 mdiagC σσσ=
( ) )1.3(0, =lxf
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 35
2
20
i
ipσσ
= (3.4)
unde σ02 este factorul de varianţă. Dimensiunea ponderii este inversa dimensiunii varianţei,
σ02 fiind adimensional. Matricea ponderilor pentru m măsurători este definită:
11
20
−= CP σ (3.5)
matricea cofactorilor măsurătorilor este definită prin: Q1=P-1 sau
)6.3(1
120
1 CQσ
=
Modelul funcţional (3.1) constă din ecuaţii neliniare, determinarea parametrilor
necunoscuţi x fiind dificil ă. Se liniarizează modelul funcţional cu ajutorul dezvoltării în serie
Taylor, neglijând termenii de ordinul 2 sau mai mari
unde: x0 – valorile aproximative ale necunoscutelor
l0 – valorile măsurate
xa – valorile cele mai probabile ale necunoscutelor
la – valorile cele mai probabile ale elementelor măsurate
Coeficienţii derivatelor parţiale sunt calculaţi pentru x = x0 şi l =l0. Scrişi dezvoltat, acesti
coeficienţi sunt:
unde: r – numărul de ecuaţii în modelul funcţional
m – numărul măsurătorilor; n – numărul necunoscutelor
( ) ( ) ( ) ( ) )7.3(,, 0000 lll
fxx
x
flxflxf aa −
∂∂
+−∂∂
+=
)8.3(
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
4
2
1
1
1
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
n
mmm
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
fx
f
x
f
x
f
Ax
f
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 36
)9.3(
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==∂∂
n
rrr
n
n
l
f
l
f
l
f
l
f
l
f
l
fl
f
l
f
l
f
Bl
f
Dacă se notează:
b=f(x,l) (3.10)
atunci modelul funcţional se poate exprima într-o formă liniarizată Ax + Bv = b care
reprezintă forma liniarizată a modelului funcţional. O soluţie unică pentru cele n+m
necunoscute (n – parametri, x şi m corecţii v) se poate obţine impunând condiţia de estimare
prin metoda celor mai mici pătrate:
Ω = vTpv = min (3.11)
Se demonstrează că această soluţie unică rezultă din (m+r+n) ecuaţii normale, obţinând:
Simbolul “ ˆ “ s-a folosit pentru a desemna o estimaţie particulară a soluţiilor obţinută prin
metoda celor mai mici pătrate, iar k reprezintă multiplicatorii Lagrange.
Matricea cofactorilor pentru estimările x şi v sunt:
x = xa – x0;
v = la – l0
În practică apar frecvent două cazuri particulare. În unul dintre acestea fiecare măsurătoare
l i poate fi exprimată explicit funcţie de necunoscute, fiind cunoscut ca metoda observaţiilor
indirecte sau estimarea parametrilor prin ecuaţii ale observaţiilor:
li=gi(x)
( ) ( )( ) ( )
KBPv
bxABBPk
bBBPAABBPAx
T
T
TTTT
))
))
)
1
11
11111
)12.3(
,
−
−−
−−−−−
−=
−=
=
( )( ) ( ) ( ) )13.3(1
11
11
111
111
BQBBQABBQAEBBQBQQ
ABBQAQ
TTTTTTv
TTx
−=
=
−−−
−−
)
)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 37
Atunci: B=-E
Ax=b+v (3.14)
Avem de asemenea:
cu matricile de covarianţă:
Al doilea caz particular, cunoscut ca metoda observaţiilor condiţionate sau estimarea
corecţiilor măsurătorilor, are loc când parametrii x nu apar în modelul funcţional, astfel încât:
Bv = b (3.17)
Cu relaţiile corespunzătoare:
Această metodă a observaţiilor condiţionate prezintă o serie de dezavantaje (dificultatea
generării automate a ecuaţiilor de condiţie, calculul laborios al matricei cofactorilor pentru
estimaţiile x) care reduc posibilităţile de aplicare a acestui procedeu în cazul prelucrării
automate.
Prelucrarea reţelelor geodezice cu matrice singulară
În prelucrarea reţelelor geodezice prin metoda observaţiilor indirecte apar situaţii în care se
obţine o matrice a sistemului de ecuaţii normale cu defect de rang, adică r<n, unde r – rangul
iar n – dimensiunea matricei respective:
( )( ) )15.3(
,1
1
bEPAPAAAbAxv
PbAPAAx
TT
TT
−=−=
=−
−
)
)
( )( )
( ) )16.3(1
11
1
TTl
TTv
Tx
APAAAQ
APAAAQQ
PAAQ
−
−
−
=
−=
=
)
)
)
( )
( )( ) )18.3(1
111
11
1
11
BQBBQBQQ
BBQQ
kBPv
bBBPk
TTv
Tk
T
T
−
−
−
−−
=
=
−=
−=
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 38
d = n-r ≠0
unde d-defectul matricei sistemului de ecuaţii normale
În cazul reţelelor libere, rezolvăm cazul în care avem o conformaţie necorespunzãtoare a
reţelei sau absenţei unei măsurători rezultând defectul de rang.
Matricea sistemului de ecuaţii normale este:
N=ATPA (3.19)
Singularitatea sa este datorată defectului de rang a matricei A sau a defectului de rang al
matricei P (care poate apărea de exemplu după eliminarea necunoscutelor de orientare la
prelucrarea direcţiilor orizontale măsurate prin metoda seriilor) dar există puţine cazuri în
realitate de defect de rang al matricei P de unde rezultă că singularitatea se datorează în
principal defectului de rang a matricei A.
Defectul de rang al matricei A poate fi cauzat de defectul de date iniţiale datorită faptului că
nu există suficiente elemente fixe, pentru a putea calcula coordonatele punctelor reţelei
geodezice (pentru a putea fixa reţeaua respectivă).
d = nr. gradelor de libertate
Una dintre problemele care apar la tratarea reţelelor libere se referă la alegerea celui mai
adecvat procedeu dintre diferitele posibilităţi de prelucrare, cum sunt:
a) Calculul matricei inverse generalizate, comform definiţiei Moore-Penrose;
b) Calculul unei inverse generalizate care satisface numai o parte din condiţiile Moore-
Penrose;
c) Introducerea unor relaţii de condiţie între necunoscute, prin care se elimină gradele de
libertate;
d) Introducerea unor ecuaţii de observaţii fictive, cu pondere mare, corespunzătoare
ecaţiilor de condiţie între necunoscute;
e) Utilizarea transformării S;
f) Impunerea condiţiei de minim asupra sumei pătratelor corecţiilor (cresteri de
coordonate)
În alegerea unuia dintre procedeele menţionate, trebuie avute în vedere următoarele criterii:
♦ Minimizarea volumului de calcul;
♦ Posibilitatea prelucrării de sisteme cât mai mari;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 39
♦ Matrice de varianţă-covarianţă corecte (unice)
Deoarece în principiu se poate compara sau verifica orice, ipotezele statistice reprezintă un
preambul al analizei deformaţiilor.
III.2 Teste statistice
O ipoteză statistică este o presupunere asupra uneia sau mai multor repartiţii ce
caracterizează anumite populaţii, sau asupra unuia sau mai multor parametri ai unor astfel de
repartiţii.
Dacă avem o repartiţie a cărei densitate de repartiţie depinde de un parametru θ care
poate lua una din valorile θ0, θ1, θ2,…ipotezele
H0: θ= θ0, H1: θ= θ1, H2: θ= θ2,… se numesc ipoteze admisibile
Ipoteza H0: θ= θ0 se numeşte ipoteza nulă iar orice altă ipoteză admisibilă este numită
ipoteză alternativă.
Metodele pentru verificarea ipotezelor statistice se numesc teste statistice.
Ipoteza H0 se verifică cu ajutorul valorii observate a unei statistici u. Fie U mulţimea valorilor
statisticii u, astfel încât dacă ipoteza este adevărată, atunci
P(uєU)=α
Mulţimii U îi corespunde în spaţiul de selecţie o mulţime W, astfel încât
P(xєWH0)=α
unde x=[x1,x2,…xn] reprezintă vectorul observaţiilor, valoarea numerică α se numeste pragul
de semnificaţie al testului, iar mulţimea W este numită regiunea critică. Complementara
mulţimii W se numeste regiune de acceptare.
Eroarea care constă în respingerea ipotezei H0, când aceasta este adevãratã se numeste eroare
de ordinul întâi.
Probabilitatea acestei erori este egală cu pragul de semnificaţie al testului, motiv
pentru care α se alege cât mai mic (uzual 0,01sau 0,05). Acceptarea ipotezei H0 când aceasta
este falsă este numită eroare de ordinul al doilea. Se produce o astfel de eroare când xєW deşi
θ= θ1 probabilitatea evenimentului respectiv fiind β:
P(xєCWH)=β (3.20)
sau
P(xєWH)=1- β
De exemplu, la depistarea erorilor mari în măsurători, se produce o eroare de ordinul unu la
eliminarea unei măsurători bune şi o eroare de ordinul doi la acceptarea uneia greşite.
Probabilitatea de respingere a ipotezei H0 ca funcţie de θ se numeste funcţie de putere a
testului.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 40
K(W,θ)=P(xєWθ) (3.21)
de unde:
K(W,θ0)=α (3.22)
K(W; θ1)=1-β
O problemă principală în teoria verificării ipotezelor statistice constă în alegerea dintre
toate testele având acelaşi prag de semnificaţie α, acel test pentru care β este minim, adică
puterea este maximă, un astfel de test fiind numit cel mai puternic test.
Acceptarea ipotezei H0 nu dovedeşte că aceasta este corectă ci doar că nu s-a găsit o
obiecţie la ea în cazul testului respectiv.
Pentru verificarea unei ipoteze statistice, trebuie parcurse urmãtoarele etape:
1. Formularea ipotezei nule şi a ipotezei (ipotezelor) alternative;
2. Alegerea pragului de semnificaţie;
3. Specificarea statisticii pe baza căreia se va lua decizia;
4. Se determină regiunea critică, adică valorile statisticii care conduc la respingerea
ipotezei;
5. Se consideră o selecţie;
6. Pentru selecţia considerată, se determină valoarea numerică a statisticii alese;
7. Ipoteza este acceptată (sau respinsă), după cum valoarea calculată a statisticii nu
aparţine (sau aparţine) regiunii critice.
Distribu ţia normală (Gauss):
Funcţia densităţii este:
Repartiţia normală este complet specificată dacă i se cunosc parametrii µ şi σ.
( )( )
)23.3(,;2
1,, 2
2
fσπσ
σµ σµ
+∞≤≤−∞=−−
xexfx
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 41
Graficul funcţiei f(x,µ,σ) se numeşte curba normală (clopotul lui Gauss)
Figura 3.2.1 – Graficul funcţiei distribuţiei normale
Are următoarele proprietăţi:
♦ Este simetrică în raport cu x = µ, care este în acelasi timp medie, modă şi mediană, având
în acelaşi timp un maxim de coordonate (µ,1/ σ√2π);
♦ Axa Ox este asimptotă:
Realizând transformarea:
Care este tabelată (fiind trecute valorile (1-Φ(y))
Intervalul de încredere al distribuţiei normale:
L ~ N(µ,σ2) unde µ –necunoscut (valoarea de aşteptat)
σ – cunoscut
σµ−= x
y
( ) )24.3(2
1 2
2
ξπ
φξ
deyy
∫∞−
−=
Maxim
Distributia normala (clopotul Gauss)
x
f(x)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 42
cu probabilitatea: p = 1-α, valoarea de aşteptat se aflã în intervalul [a, b]
p = α/2, valoarea de aşteptat se aflã în afara intervalului [a, b]
Intervalul de încredere pentru µ:
Calculul limitelor intervalului de încredere:
P -y ≤ έ ≤ y = 2Φ(y)-1
Determinăm intervalul:
a = l – σy
b = l + σy
Distribu ţia χ2:
a) Definiţie şi formule:
X j ~ N(0,1); j = 1,2,…,f
xj2 – variabila aleatoare
f- gradele de libertate – dependente de abaterea standard
a l µ b
interv. de încred
p = 1-α
p = α/2 p = α/2
σµε −= l
( ) )27.3(12 −Φ=+≤≤−+≤≤−
⇔−≥≥+
≤−≤−⇔≤−≤−
yylylp
lyyl
ylyl
ylyyl
y
σµσσµσ
σµσ
σµσσ
µ
)28.3(1
22 ∑=
=f
jjf xχ
)26.3(1 αµ −=≤≤ baP
)25.3(2/αµµ =≤=≤ aPaP
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 43
Funcţia de densitate a repartiţiei χ2 se exprimă cu:
x- variabila aleatoare
G ra f ic u l fu n tie i d e d en s ita te a re p a rt it ie i x
f (x )n -2
n -2 0
2
x
n -4
n -6
Figura 3.2.2- graficul funcţiei de densitate a repartiţiei
dacă f este mic – distribuţia prezintă un grad de asimetrie ridicat
dacă f este mare – distribuţia este aproape normală
χf2 ~ N (f, 2f)
µ = f, σ2 = 2f pentru f ≥ 30
Regula sumei unor distribuţii χ2:
Distribuţia varianţei este dată de:
( ) 21
2
1
2 )2
(2xff
exf
xf−−
−
⋅⋅
Γ⋅=
)29.3()2
( 2
0
12 dxex
fff
⋅⋅=Γ−
∞−
∫
)30.3(...
...
21
222221
m
ffff
ffff
xxxm
+++=
+++=χ
)31.3()1,0(
1
1
22
N
ns
jj
n
jj
≈=
⋅= ∑=
σε
ε
ε
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 44
unde: S – varianţa
Ε – măsurătorile
n – numărul măsurătorilor
σ – abaterea standard teoretică
f = n – numãrul gradelor de libertate
- pentru corecţii:
f = n-1 ; valorile vj se cunosc ca diferenţă faţă de o valoare medie
- pentru măsurători duble:
f = n: dj sunt diferenţele între măsurătorile făcute
Intervalul de încredere al varianţei:
Presupunem că se cunoaste abaterea standard empirică S, şi vrem să determinăm a şi b:
1
22
22
1
22
2222 )32.3(
σχ
χσεσεσε
sf
nns
f
n
n
jjjj
⋅=
⋅=⋅=⇒= ∑=
)33.3(1
1
1
22 ∑=
⋅−
=n
jjv
ns
)34.3(;2
1
1
22 ∑=
⋅=n
jjd
ns
)35.3(
2
1
ασσ
ασ
==
−=≤≤
bPaP
baP
fp
2
,2
1,2
2
2,
2
22
21,
22
2,
)36.3(1
αα
αα
χσ
χ
σχ
αχχχ
−
−
≤≤
⋅=
−=
≤≤
ff
f
ff
f
sf
sf
P
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 45
Distribu ţia t – (Student)
Definiţie: L ~ N(µ, σ) ; L – variabilă aleatoare
Ε = l – µ ~ N (0, σ)
În general σ este necunoscută (abaterea standard teoretică) şi vom lucra cu s
Distribuţia tf, cu f grade de libertate
Dacă f = ∞ rezultă s = σ şi tf = έ, iar distribuţia t devine normală N (0,1)
2
2,
2
21,
2
2,
2
21,
;
)40.3(
αα
αα
χχ
χϖ
χ
ff
ff
fsb
fsa
fs
fs
⋅=⋅=
≤≤
−
+
Intervalul de încredere al valorii µ:
- se dă L ~ N (µ, σ)
- Se cere σ – abaterea standard teoretică şi µ – valoarea aşteptată
Definim intervalul de încredere al valorii µ:
2
21,
02
2
2,
2
2
2
21,
222 )39.3(
1
αα
αα
χσ
χ
χ
σ
χ
−
−
⋅≥≥⋅
⋅≤≤
⋅
ff
ff
sfsf
sfsf
)37.3(1,0(N≈=σεε
(3.38)ss
lt f
εµ =−=
stlb
stla
bPaP
baP
f
f
⋅+=
⋅−=−==
−=≤≤
−
−
21,
21
)41.3(1
1
β
α
αµµαµ
fp
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 46
Distribu ţia F - (Fisher)
Definiţie: sunt date două variabile independente ce au ca distribuţie χ2:
xI; yi – aparţin N (0, 1); xj, yj – independente stocastic pentru orice i şi j
Teoretic E xj,yj =0 oricare ar fi i şi j.
III.3 Analiza integrat ă a datelor
Chiar si cele mai precise măsurători de verificare nu vor putea servi pe deplin scopului
lor dacă nu sunt potrivit evaluate şi utilizate într-o analiză globală sau intergrată.
Analiza măsurării deformaţiei include:
• Analiza geometrică: descrie forma geometrică a corpului deformabil, schimbările lui
de formă şi dimensiuni, precum şi mişcările întregului corp deformabil (translaţia şi
rotaţia) în funcţie de reţeaua de referinţă stabilă, sau a întregului corp comparativ cu alte
corpuri.
• Interpretare fizică care constă din:
- interpretare stocastică (întâmplătoare, aleatoare) - o metodă statistică ce
analizează corelaţia între deformaţiile observate şi sarcini (cauze interne şi
externe ce produc deformaţia)
- interpretare deterministică: o metodă ce utilizează informaţia pe relatia
proprietăţilor materialelor şi legile fizice ce guvernează relaţia forţă – întindere;
care descriu stările presiunii interne şi relaţia dintre efectele cauzative (sarcini)
şi deformaţii.
Odată ce relaţia sarcină – deformaţie este stabilită, rezultatele interpretării fizice pot fi folosite
pentru dezvoltarea modelelor predefinite. Printr-o comparaţie a deformaţiei aşteptate cu
rezultatele analizelor geometrice a deformaţiilor actuale, se realizează o mai bună înţelegere a
mecanismului deformaţiei. Pe de altă parte, modelele predefinite, furnizează informaţia pentru
deformaţia aşteptată, facilitând alegerea schemei proiectului de verificare cat şi selecţia
)42.3(2
2
1
1
1
22
1
22
∑
∑
=
=
=
=
f
iif
f
jjf
xχ
χχ
)43.3(2
2
1
2
1
2
2
2
),(
2
121
12f
fffff f
f
ffF
χχχχ
⋅=÷=
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 47
modelului deformaţiei în analiza geometrică. Astfel conceptul de ”analiză integrată” înseamnă
o determinare a deformaţiei prin combinarea tuturor tipurilor de măsurători geodezice şi
geotehnice. Comparând analiza geometrică simultană a deformaţiei cu modelele predefinite,
rezultatul poate fi folositor la alegerea schemelor de verificare. Procesul este repetat iterativ
până cînd mecanismul deformaţiei este bine înţeles şi discrepanţele dintre modelele
predefinite şi deformaţiile actuale sunt bine explicate.
III. 3. 1 Analiza geometrică
Identificarea punctelor de referinţă instabile
În majoritatea studiilor deformaţiilor, este crucială informaţia despre mişcarea absolută a
punctelor obiect, în funcţie de câteva puncte de referinţă stabile. O problemă ce este frecvent
întâlnită în practică în reţelele de referinţă, este instabilitatea punctelor de referinţă. Aceasta
poate fi cauzată de amplasarea greşită a mărcilor geodezice sau de localizarea prea aproape a
punctelor de zona deformată. Orice punct de referinţă trebuie să fie întâi identificat şi să fie
calculate înainte deplasările punctelor obiectului. Altfel, deplasările calculate ale punctelor
obiect şi analiza şi interpretatea ulterioară a deformaţiei structurii poate fi distorsionată
semnificativ. De exemplu, având o situaţie unde punctele A, B, C şi D sunt puncte de referinţă
folosite la verificarea unui număr de puncte obiect de pe o structură, dacă punctul B a suferit
deplasări (dar nu se ştie) şi el este folosit cu punctul A la identificarea datelor comune pentru
două campanii de măsurători, atunci toate punctele obiect şi punctele de referinţă C şi D vor
arăta schimbări semnificative în coordonatele lor chiar dacă în realitate toate punctele sunt
stabile, în afara punctului B.
Transformarea similară ponderată iterativ (transformarea S)
A fost dezvoltată o metodă care să depisteze punctele de referinţă instabile, metodă ce este
bazată pe o transformare similară specială ce minimizează prima normă (valoarea absolută) a
vectorului deplasărilor observate a punctelor de referinţă. Cu această transformare se poate
realiza uşor verificarea pentru o reţea de referinţă uni-dimensională şi printr-o schemă
ponderată iterativ pentru reţele de referinţă multi-dimensionale, până când toate componentele
vectorilor deplasării (di) satisfac condiţia:
∑ IIdiII = minim (3.44)
în fiecare soluţie iterativă, ponderile (pi) ale fiecărei deplasări sunt modificate, fiind:
pi = 1/di (3.45)
După ultima iteraţie, vectorii deplasării transformaţi ce depăsesc elipsele erorilor în punctele
lor transformate (la 95% probabilitate) sunt identificate ca puncte de referinţă instabile.
Deplasările obţinute prin transformare, sunt practic, date independente (constrângerile minime
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 48
au fost folosite în compensarea celor mai mici pătrate în campaniile de măsurători), afişarile
deplasărilor transformate vor fi întotdeauna aceeleasi. Astfel, rezultatele obţinute reprezintă
tendinţa deformaţiei reale, care este folosită mai târziu la selectarea celui mai potrivit model
de deformaţie.
c) Analiza punctului stabil
Controlul calităţii pentru reţelele de referinţă necesită analiza stabilităţii pentru fiecare
statie de referinţă, de exemplu prin transformarea similară ponderată iterativ (IWST)
1) Organizarea prelucrării datelor: programele de rutină sunt codate pentru
automatizarea prelucrării datelor. Datele de intrare pentru prelucrarea transformării
similare ponderată iterativ, constau din compensarea coordonatelor staţiei pentru reţeaua
de referinţă (pentru măsurătorile de verificare anterioare şi curente) şi asocierea fiecărei
matrici de covarianţă a parametrilor. Ambele date organizate sunt rezultate din
compensarea reţelei prelucrate ulterior. Valorile critice ale testelor statistice şi gradele de
libertate, sunt necesare pentru interpretarea statistică a post-prelucrării.
2) Algoritmul prelucr ării matricei similare ponderată iterativ. Următoarea ecuaţie
matricială este rezolvată iterativ până când soluţia converge spre o valoare fixă
transformată (mai puţin de 0,01 mm).
(d)′ = [I-H(HTWH)-1HTW](d) = [S](d) (3.46)
unde: d′ - vectorul deplasării transformat
d – vectorul deplasării ini ţial
I - matricea unitate
H - matricea defectului de date
W – matricea ponderii
Matricea unitate este o matrice cu valoarea unu pe diagonală şi zero în rest. Matricea
defectului de date H este proiectată pentru folosirea tipurilor specifice de date geodezice.
De exemplu pentru măsurători geodezice GNSS, are o structură bloc pe diagonală, cu trei
ori trei matrici unitate în fiecare bloc reprezentând unirea defectelor de date din fiecare
măsurătoare. Matricea ponderii W este o matrice diagonală cu elemente egale cu inversa
fiecărei componente a coordonatelor deplasate. Vectorul deplasării conţine deplasările
între două măsurători pentru fiecare punct. Dimensiunile fiecărei matrici trebuie să fie
compatibile cu n ca număr de staţii, de exemplu dacă d este 3n x 1, atunci H,W şi I au
dimensiunile 3n x 3n. Matricea de covarianţă transformată iniţial este suma fiecărei
matrici de covarianţă transformate, unde matricea de covarianţă Q este de asemenea
modificată la fiecare iteraţie prin:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 49
Q′ = SQST (3.47)
unde S = [I-H(HTWH)-1HTW]
Ca să putem folosi orice tip de observaţie geodezică sau geotehnică, într-o analiză
simultană a deformaţiei a fost dezvoltată metoda generalizată UNB de analiză geometrică.
Metoda este aplicabilă la orice tip de analiză geometrică, incluzând detectarea punctelor de
referinţă instabile ca şi determinarea componentelor de întindere şi mişcarea relativă a
corpului rigid în interiorul unui corp deformabil. Această metodă permite folosirea diferitelor
tipuri de date geodezice (măsurători clasice, GNSS şi geotehnice). Ea poate fi aplicată în orice
configuraţie a reţelei de verificare atât timp cât coordonatele aproximative ale tuturor
punctelor observate sunt cunoscute cu suficientă precizie. Rezolvarea constă din trei operaţii
de bază:
- identificarea pe modele deformate
- estimarea parametrilor deformării
- verificarea diagnosticului pe modele şi selectarea celui mai “bun” model
Pe scurt descrierea modului este dată mai jos:
1) Parametrii deformării : schimbarea de formă şi dimensiuni a corpurilor
deformabile 3D este descrisă, dacă sunt determinate 6 componente de întindere
(3 normale şi 3 constrânse) şi 3 rotaţii diferenţiale la fiecare punct al corpului.
Acesti parametrii de deformaţie pot fi calculaţi din relaţia întindere-deplasare
dacă este cunoscută o funcţie a deplasării reprezentând deformaţia obiectului.
Din moment ce măsurătorile de deformaţii implică numai puncte discrete,
funcţia deplasării trebuie să fie aproximată prin câteva modele de deformaţii
selectate care compensează schimbările observate în coordonate (deplasări), sau
orice alt tip de observaţii, în cel mai bun fel statistic. Funcţia deplasării poate fi
determinată, de exemplu, printr-o aproximare polinomială a domeniului
deplasării.
2) Funcţia deplasării : o funcţie a deplasării poate fi exprimată în formă matricială
în funcţie de un model deformabil B ca:
d(x,y,z,t-t0) = (u,v,w)T = B (x,z,y,t-t0) c (3.48)
unde:
d - deplasarea punctului de coordonate (x,y,z) la timpul t comparativ cu
timpul de referinţă t0
u,v,w – componentele funcţiei deplasării în direcţiile x,y, z
B – matricea deformării
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 50
c – vector al coeficienţilor necunoscuţi ( parametrii deformaţiei)
3) Modelele deformaţiei : exemple tipice de modele de deformaţii (funcţiile
deplasării) pentru o analiză bidimensională sunt :
a) Deplasarea unui singur punct sau deplasarea unui corp rigid a grupului de
puncte, de exemplu blocul B comparativ cu blocul A. Modelul deformaţiei
se poate exprima prin următoarea funcţie a deplasării:
uA = 0, vA = 0
uB = a0, vB = b0
unde indicii reprezintă toate punctele în blocurile indicate, iar a0 şi b0 sunt
constante.
b) Întregul corp este întins omogen şi cu rotaţie diferenţiată. Modelul
deformaţiei este liniar şi poate fi exprimat direct în funcţie de componentele
întinderii (x,y,xy) şi rotaţia diferenţiată ϖ, ca:
u = x x + xy y - ϖ y
v = xy x + y y +ϖ x (3.49)
c) Un corp cu deformare variabilă, de exemplu între blocurile A şi B, şi cu
diferite deformaţii liniare în fiecare bloc plus o deplasare a corpului rigid B
comparativ cu A. Modelul deformaţiei este scris ca:
uA = xA x + xyA y - ϖA y
vA = xyA x + yA y +ϖA x (3.50)
şi
uB = a0 + xB(x-x0) + xyB(y-y0) - ϖB(y-y0)
vB = b0 + xyB (x-x0) + yB (y-y0) +ϖB(x-x0) (3.51)
unde x0 şi y0 sunt coordonatele fiecarui punct din blocul B.
4) Modele combinate : modelul deformaţiei actuale este o combinaţie a modelelor
simple de mai sus sau, se poate exprima prin funcţii de deplasări non-liniare
care necesită rezolvarea unei funcţii polinomiale de ordin mai mare sau altă
funcţie potrivită. Dacă se constată că parametrii deformaţiei sunt dependenţi de
timp, atunci modelele deformaţiei vor conţine variabile în funcţie de timp.
5) Funcţia deplasării. Un vector δδδδl al schimbărilor în orice tip de observaţii, (de
exemplu schimbarea pantei, a distanţei sau variaţii de efort), poate fi exprimat
întotdeauna cu ajutorul funcţiei deplasării. De exemplu, relaţia dintre funcţia
deplasării şi o schimbare ds a distanţei observată între două puncte i şi j în două
campanii de măsurare, poate fi scrisă ca:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 51
dsij = [(xj-xi)/s]uj + [(yj-yi)/s]vj - [(xj-xi)/s]ui + [(yj-yi)/s]vi (3.52)
unde uj,vj; ui,vi sunt componentele funcţiei deplasării în punctele i şi j de coordonate
xi, yi; xj, yj.
Relaţia funcţională între orice tip de observaţii şi funcţia deplasării, este exprimată în
formă matricială ca:
δl = ABδl c (3.53)
unde A este matricea transformării relatând observaţiile spre punctele deplasate, Bδl
este construită din matricea B (x,y,z, t-t0) de mai sus şi relatată la punctele incluse în
observaţii.
6) Cele mai potrivite modele de deformaţii : observaţiile suplimentare ale
elementelor vectorului c cu varianţele şi covarianţele lor sunt determinate prin
metoda celor mai mici pătrate, şi poate fi calculată semnificaţia lor statistică. O
variantă este găsirea celei mai simple funcţii de deplasare posibilă, ce s-ar
potrivi observaţiilor din punct de vedere statistic. Calcularea pentru cel mai
potrivit model de deformaţie (funcţia deplasării) este bazată pe cunoaşterea
apriori a fiecărei deformaţii aşteptate (de exemplu din analiza elementului finit)
sau analiza calitativă a tendinţei deformaţiei dedusă din toate observaţiile luate
împreună cu ajutorul filtrului Kalman (care va fi tratat în capitolul IV) prin
predicţia următorului ciclu de măsurători. În cazul observaţiilor care au fost
obţinute ca deplasări relative din măsurători geodezice, transformarea ponderată
iterativ a deplasărilor dă cea mai bună formă a tendinţei deformaţiei actuale în
analiza spaţială. În cazul seriilor de observaţii luate după o perioadă de timp
prelungită, seriile repetate ale observaţiilor individuale ajută la stabilirea
tendinţei deformaţiei şi a modelului de deformaţie în timp. În analize, se separă
tendinţa deformaţiei cunoscute de impunerea deformaţiei investigate. De
exemplu pentru a face distincţie între dilatarea termică ciclică a structurii cu o
perioadă de oscilaţii de un an şi o deformaţie impusă cauzată de alte efecte, care
sunt de exemplu, liniare în timp, toate măsurătorile pot fi analizate printr-o
compensare a celor mai mici pătrate a funcţiei ciclice la obsevaţia dată:
y = a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt) + a3 t +a4 +a5 δ(ti) +…, (3.54)
unde ω = 2π/an şi (a3) este viteza schimbării observaţiei (extindere, pantă,
înclinare). Amplitudinea şi faza sinusoidă poate fi obţinută din (a1) şi (a2). Constanta
(a4) este intersectia cu axa Y, iar constantele (a5,…) sunt greşeli posibile
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 52
(discontinuităţi) în seria datelor unde δ(ti) este simbolul lui Kronecker care este egal
cu 1 când t>ti , ti fiind timpul întâmplării greşelii, şi este egal cu zero când t< ti .
7) Procedee de modelarea deformaţiei: analiza deformării geometrice foloseste
metoda generalizată UNB, care este realizată în patru paşi:
a) Analiza tendinţei în domeniul spaţiu şi timp, şi selectarea câtorva modele
de deformaţii alternative, par să se potrivească tendinţei în sensul fizic.
b) Compensarea prin metoda celor mai mici pătrate a datelor observate şi
testarea statistică a modelelor.
c) Selectarea celui mai”bun” model care are cât mai putini coeficienţi posibili
cu o semnificaţie cât mai mare posibila (de preferinţă toţi coeficienţii să fie
semnificativi la probabilităţi mai mari de 95%) şi care dau cea mai mica
eroare.
d) Prezentarea grafică a deplasării.
Rezultatele analizei geometrice servesc la introducerea în interpretarea fizică şi în
dezvoltarea modelelor predefinite.
Pentru analiza în spaţiu şi timp, există în principiu două clase de modele:
- modelele testând identitatea sau congruenţa proprietăţilor geometrice ale unui obiect
care se referă la două sau mai multe epoci de timp, numite modele de congruenţă.
Ele privesc doar implicit factorul timp.
- modelele ce descriu doar deformaţia pe baza unei funcţii date sau asumate de timp,
(de exemplu:viteza, acceleraţia) sunt numite modele cinematice.
În principiu următoarele patru categorii de modele pot fi diferenţiate pentru evaluarea
deformaţiei (tabelul de mai jos):
Tabelul 3.3.1 – Ierarhia modelelor în analiza deformării geodezice
Modelele deformaţiei
Modele descriptive Modele cauză-răspuns
Modele congruente
Modele cinematice
Modele statice
Modele dinamice
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 53
1. Modele de congruenţă
Analiza deformărilor clasice constă într-o comparaţie geometrică pură a stării unui obiect
(reprezentat prin puncte concrete) la intervale diferite de timp. Modelul pentru analiza
deformării nu ia în considerare intervalele de timp între observaţii şi nici factorii responsabili
în mod explicit pentru deformaţii. Câteva informaţii despre presupusul comportament al
obiectului şi deformaţia în spaţiu şi timp trebuie să fie cunoscute pentru o organizare adecvată
a proiectului de verificare a deformaţiei.
Singurele date introduse în evaluarea modelului sunt observaţiile geodezice în timp ce datele
rezultate sunt coordonate x a punctelor caracteristice la un anumit timp.
Din 1960 identitatea sau congruenţa coordonatelor punctelor în legătură cu aşa numita epocă
nulă sau iniţială a fost investigată statistic. Procedura constă în formularea ipotezei nule care
constă în egalitatea coordonatelor cu cele iniţiale. Această ipoteză nulă este inclusă în ecuaţia
Gauss-Markov:
E(l) = Ax ; Ho : Hx = 0 (3.55)
Cov(l) = σo2Q = σo
2P-1 (3.56)
Aspectul crucial este testul statistic din aşa numita medie goală (test global de congruenţă-
care este tratat mai jos)
h
dQdddQ
TT
=
h = rK(Qdd) (3.57)
d – vectorul diferenţelor de coordonate
Qdd - matricea cofactorilor pe baza relaţiei probabilităţii
01,,20
2
IHFs
Qp fh α−≤
= 1-α (3.58)
Testul global detectează dacă există diferenţe semnificative între coordonate iar dacă există,
următorul pas este localizarea punctelor cauzative. Dacă este necesar, mişcările grupelor de
puncte pot fi generalizate prin mişcarea blocului rigid, sau analiza întinderii, sau în funcţie de
alte modele. Acest mod de analiză a deformaţiilor se referă atât la analiza deformaţiilor
rezultând modelul, cât şi la deformarea modelului. De aici analiza deformaţiei geometrice este
bazată pe ipoteza (3.55) de identificarea coordonatelor punctelor, modelul deformat fiind
numit model identic sau congruent.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 54
2. Modele cinematice Intenţia modelelor cinematice este aceea de a găsi o descriere a
mişcărilor punctului, prin funcţia timp, fără a ţine cont de relaţia potenţială dintre forţele
cauzative.
Relaţia spaţiu – timp a coordonatelor x1 la epoca iniţială t1, comparativ cu coordonatele x2 la o
epocă t2 consecutivă, sunt descrise prin relaţia dependentă de timp:
( ) ( ) ...tx2
1txx...tt
dt
xd
2
1tt
dt
dxxx 2
1
2
122
2
1212 +∆+∆+=+−+−+=•••
(3.59)
unde •••xşix - reprezintă media vitezei şi acceleraţiei punctelor din intervalul de timp ∆t
parametri necunscuţi care trebuie estimaţi. Acesti parametri sunt relevanţi la analiza
procesului. Corespondenţa ecuaţiei observaţiilor liniarizate, se exprimă cu:
••
•
∧
⋅∆∆=+
x
x
x
ttvl TTT 2
2
1ααα (3.60)
Acest sistem reprezintă în general orientarea analizei regresiei. În extinderea de bază a
analizei, succesiunea algoritmilor de compensare sunt o unealtă matematică importantă a
Filtrelor Kalman, şi sunt capabile să utilizeze observaţii consecutive pentru modernizarea şi
estimarea stării prelucrării in timpul investigaţiilor.
3. Sisteme dinamice şi analiza deformaţiei avansate sunt – modele de deformaţie
sistematizate
Evaluarea modelelor avansate pentru analiza deformării nu iau in considerare doar schimbarea
geometriei unui obiect în spaţiu şi timp, ci mai degrabă arată factorii care influenţează
sistemul (forţe cauzative, sarcini externe şi interne) cauzând deformaţia. Ele privesc şi
proprietăţile fizice ale obiectelor (constante materiale, coeficienţi de extindere) care sunt
caracteristici şi responsabili pentru răspunsul obiectului la acţiunea forţelor.
Se pot enumera trei elemente care duc la un proces dinamic (sistem dinamic), pentru un
ansamblu cauză – efect, în funcţie de terminologia teoriei sistemului, conform figurii 3.3.1.1 :
- forţele care acţionează - ca semnal de intrare
- transmiterea prin obiect - ca proces de transfer
- răspunsul obiectului - ca semnal de ieşire
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 55
Figura 3.3.1.1 – deformaţia ca un element a sistemului dinamic [5]
În ultimii ani, ştiinţele inginereşti au stabilit o descriere matematică standardizată a
comportamentului temporar a sistemelor dinamice în funcţie de teoria sistemului şi sunt
caracterizate următoarele tipuri de sisteme dinamice:
• Sistem dinamic cauză – răspuns. Semnalele de intrare se modifică în timp depinzând
de procesul de adaptare al sistemului cu consecinţa că reacţia semnalelor de ieşire este
întârzâiată; în cazul general un sistem dinamic are o memorie. Cazurile speciale pot fi
deosebite în funcţie de factorul timp. Există două tipuri de sisteme dinamice:
a. sisteme dinamice ca şi reacţiunea în cazul general: deformaţiile ca semnale de
ieşire, sunt o funcţie de timp şi sarcini (variate) în care memoria sistemului este
bazată pe tendinţe.
b. sisteme statice, pot apărea ca un caz special de sisteme dinamice. Ele
reacţionează imediat (fără o memorie) la schimbarea forţelor cauzative, starea
nouă fiind una de echilibru. Deformaţiile sunt numai funcţie de sarcinile
schimbate.
• Sisteme autonome (libere) nu se referă la forţele ce acţionează ; astfel de sisteme pot fi
în mişcare. Există două tipuri de sisteme autonome:
a) sisteme cinematice: sunt în mişcare, mişcarea putând fi descrisă ca o funcţie de
timp;
b) sisteme mişcătoare întâmplător: sunt în mişcare dar mişcarea este întâmplătoare, o
funcţie de timp neputând fi stabilită apriori;
Modelarea unui proces dinamic ce implică elementele prezentate în figura 3.3, este mult mai
bine înţeleasă decât doar modelarea deformaţiei ca reacţie a obiectului în spaţiu şi timp şi este
prezentată în figura 3.3.1.2. Complexitatea modelării dinamice, face necesara cooperarea
interdisciplinară:
Semnal de intrare: forţe cauzative
Transmiterea prin obiect
Semnal de ieşire: deformaţia
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 56
Figura 3.3.1.2 – Modelare dinamică a construcţiei
De exemplu, sistemul tehnic „construcţie” este presat prin forţe interne şi externe sau
sarcini (ca traficul sarcinii, presiunea vântului, presiunea de sub apă, temperatură). Aşa
numitele cantităţi de intrare (semnale de intrare) trebuie să fie determinate prin măsurători.
Reacţia sistemului este deformaţia (ex. mişcările corpului rigid, întindere). În funcţie de
model (calculat, prognozat) trebuie să fie considerat atât sistemul cât şi semnalul de ieşire, cu
includerea adecvată în model a funcţiei de transfer. Parametrii care permit aceasta sunt în
special geometria construcţiei, parametrii materialului exprimând comportamentul preluat al
materialului. Dacă sunt cunoscute două elemente, – semnalul de intrare şi funcţia de transfer,
procesul dinamic poate fi modelat şi reacţia poate fi prevăzută cantitativ (cu ajutorul metodei
elementului finit sau printr-o altă metodă de calcul) acest tip de model dinamic este considerat
ca un model deterministic, mecanic sau calculat, în consecinţă propagarea erorilor ar putea fi
luată în considerare. Dacă adăugăm reacţia sistemului ca deformare determinată prin
măsurători, potenţialul modelelor dinamice devine evident, (modele integrate). Compararea
deformaţiei de aşteptat cu ceea observată poate dezvălui câteva abateri care sunt numite
„inovaţii”. Inovaţia este elementul de bază pentru tehnicile filtrelor Kalman. Figura 3.3.1.2
Măsurători
Determinare cantitativă a semnalelor de intrare
Determinare de : - întindere(strângere) - deplasări - alţi indicatori
Modelare
Semnale de intrare: - forţe interne - forţe externe
Obiect: - geometria obiectului - parametrii materialului - comportamentul materialului
Reacţia sistemului: - mişcările corpului rigid - distorsiuni
Abateri între reacţia sistemului măsurat şi calculat
-parametrii de etalonare -adaptarea modelului
-concluzii pe valori limitate -prognoza vieţii serviciului
Interpretare: - verificarea rezultatelor - validarea modelului
Metode de evaluare: - adaptive (potrivite) - probabilistice
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 57
accentuează componentele investigaţiei şi analizează procesul de modelare (teoretic),
interpretarea măsurătorilor a semnalelor de intrare şi ieşire, evaluarea relaţiilor funcţionale şi
stocastice, şi în final analiza găsită prin verificare şi validare. În acest fel modelul poate fi
etalonat şi procesul dinamic identificat.
Modelele dinamice sunt cele mai generale şi cele mai bine înţelese, deoarece descriu complet
realitatea sistemelor dinamice. Mişcările şi distorsiunile obiectului sunt considerate în funcţie
de sarcină şi timp, aceasta implicând faptul că forţa şi reacţia variază în timp. În contrast cu
situaţia statică, obiectul este permanent în mişcare. Verificarea unei astfel de situaţii, necesită
proceduri de observare automatizată în permanentă.
Modelele dinamice pot fi:
- parametrice
- non-parametrice
Al ţi termeni pentru modelele non-parametrice sunt modele statistice, modele experimentale
sau empirice, evaluarea conectată modelelor non-parametrice este de asemenea numită „acces
operaţional”. Există şi câteva modele dinamice parametrice fiind folosite pentru analiza
geodezică sau procesul dinamic, nu pentru aşa numitele situaţii multiple (intrări multiple –
ieşiri multiple MIMO). Aproape toate modelele dinamice aplicate la analiza deformaţiei sunt
non-parametrice.
În tabelul de mai jos , patru categorii de modele de deformaţii sunt caracterizate prin
capacitatea lor luând factorii „timp” şi „sarcină” în considerare.
Modelul
deformaţiei
Model
congruenţă
Model cinematic Model static Model dinamic
timp nemodelat mişcările ca o
funcţie de timp
nemodelat
acţiunea
forţelor
nemodelat nemodelat deplasări ca o funcţie
de sarcină
mişcările ca o
funcţie de timp
starea
obiectului
suficient în
echilibru
permanent în
mişcare
suficient în echilibru
sub sarcini
permanent în
mişcare
Tabelul 3.3.2.- Modele de deformaţii
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 58
Identificarea sistemului prin modele parametrice
In teroria sistemului, organizarea unei reprezentări corespunzătoare ale funcţiei de transfer
matematico-fizice a sistemului dinamic este numita identificarea sistemului. Identificarea
sistemului poate fi realizată dacă semnalele de intrare şi cele de ieşire sunt disponibile ca şi
cantităţi măsurate. Realizarea unui model pentru funcţia de transfer poate fi organizată.
Modele parametrice
Dacă relaţia fizică între semnalele de intrare şi ieşire (de exemplu procesul de transmitere sau
transfer a semnalelor prin obiect – sau în alte cuvinte – transmiterea semnalelor de intrare şi
ieşire) este presupusă cunoscută şi poate fi descrisă prin ecuaţii diferenţiale, atunci modelul
este numit model parametric (sau structural).
Ecuaţia fundamentală a oricărui sistem dinamic este ecuaţia diferenţială a elasticităţii
dinamice liniare:
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
MDK =••
• (3.61)
y(t) – sistemul introdus, acţiunile forţelor care poate fi completat cu zgomotul disturbator.
x(t) – şi derivatele lui – pentru a putea fi verificat (în înţeles geodezic) sistemul de ieşire;
matricile K, D şi M conţin în cazul unei aplicaţii mecanice parametrii materialului proiectaţi
pentru rigiditate, umiditate şi masă. Depinzând de problema actuală, punerea individuală a
parametrilor sau măsurătorilor pentru modele statice, în cazuri speciale, este aplicabil
modelului dinamic:
k x(t) = y(t) (3.62)
Sistemele statice sunt caracterizate de capturarea unei noi stări de echilibru după preluarea
unei sarcini cu y(t) = const.
Cazul x(t) = const (8) este de interes special, cuprinzâd modele de identitate şi congruenţă.
4. Modele statice:
Modelele statice descriu relaţia fundamentală între presiune şi întindere. Presiunea este
cauzată de sarcini sau acţiunea forţelor pe obiect, rezultând întinderea acestuia. În acest caz
factorul timp nu este considerat explicit în modele statice, obiectul trebuind să fie suficient
timp în echilibru în amândouă epocile de observare exemplu înainte şi după ce presiunea a
fost crescută pe obiect . Dacă obiectul să apare mai puţin în mişcare în timpul observaţie, se
poate considera cu suficientă preciziei în echilibru. Mişcările şi distorsiunile obiectului sunt
considerate ca funcţie numai de sarcină dar nu şi de timp. Pentru modele statice, structura
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 59
fizică şi geometrică, parametrii materialului şi alte cantităţi caracteristice ale obiectului
trebuie să fie cunoscute şi formulate în funcţie de ecuaţiile diferenţiale, exprimând relaţia
presiune – întindere a obiectului. Aceste cerinţe conduc la alt termen ce caracterizează
modelele statice: modelele statice sunt parametrice, modele structurate sau deterministice.
Al ţi termeni utilizaţi sunt: stări sau modele teoretice, evaluarea conectării modelelor numită
„model acces”. Modelele statice sunt aplicate frecvent, testarea capacitatii sarcinii de pe
construcţii ca poduri, pile etc.
Modelele statice sunt cele mai larg aplicate în producţie şi descriu relaţia fundamentală între
presiune şi întindere.
În faza incipientă de analiză a deformaţiilor aceste modele permiteau compararea a două etape
de măsurători, cu timpul permiţând prelucrarea şi compararea mai multor etape de măsurători
[33].
Testul global de congruenţă
În principiu comparăm coordonatele punctelor reţelei măsurate la etape diferite, dacă acestea
formează sau nu figuri congruente. Diferenţa dintre parametrii determinaţi pentru punctele
reţelei trebuie să se încadreze într-o limită de siguranţă care este funcţie de abaterea medie
pătratică (abaterea standard empirică).
Dacă nu se încadrează în limitele de siguranţă, testul indică prezenţa deformaţiilor în reţea.
Stabilim modelul funcţional:
Unde XI - vector al parametrilor (corecţii pentru coordonatele provizorii)
Modelul stocastic:
Σ li = σo2Qli ; pi = Qli
-1 (3.64)
Σ li – matricea de varianţă - covarianţă
σo – abaterea standard teoretică
Qli- matricea de cofactori
Modelul este supus condiţiei VTPV= minim
)63.3(ˆiiii XAvl ⋅=+
)66.3(;0
02
;0
0
)65.3(;ˆ
ˆ
0
0
22
11200
22
11
2
1
22
11
2
1
2
1
⋅==Σ
=
⋅
=
+
Q
QQl
p
pP
X
XA
A
v
v
l
l
lσσ
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 60
Prelucrarea comună a celor două epoci
Condiţiile pentru ca testul de congruenţă să localizeze posibile deformaţii,sunt:
- pentru ambele etape trebuie introduse aceleaşi coordonate provizorii (pentru a face
referire la aceleaşi mărimi – datum)
- în ambele etape trebuie să avem acelaşi defect pentru datele de referinţă (datum) – de
regulă modelul de prelucrare este cel de la reţele libere.
Pentru a localiza reţeaua într-un sistem de axe avem nevoie de:
a) două puncte de coordonate cunoscute- reţea neconstrânsă
b) trei puncte de coordonate cunoscute - reţea constrânsă
c) pentru studiul deformaţiilor se folosesc reţele libere:
- configuraţiile reţelelor în ambele etape trebuie să fie aceleaşi
- abaterea standard teoretică σo2 să fie aceeasi pentru ambele etape de măsurători. După
compensare se face comparaţia acesteia cu σ0 empiric. Pentru aceasta se scrie ipoteza de
zero:
Ho : Es201 ≡Es2
02=σo2 (3.67)
Es201 – valoarea de aşteptat a lui s201 (abaterea standard empirică) din prima etapă de
măsurători
σo2 – abaterea standard teoretică (admisă de noi)
Apoi aplicăm testul F
α−1,f,f2
02
2
01
12F
s
sf - σo
2 – nu este identică (3.68)
Algoritmul de compensare:
Dacă ATPA este singulară – avem defect în datum
Qx – se poate determina (ATPA)+ metoda Moore – Penrose sau folosind matricea inversă
generalizată. Alte mărimi pregătite pentru testul de congruenţă:
Ω = Ω1 + Ω2 = V1TP1V1 + V2
TP2V2 - rezultă abaterea standard empirică din cele două etape
de măsurători
α−≤ 1,t,t2
02
2
01
21F
s
s
)69.3(
ˆ
)()(ˆ
20
20
1
1111
1111
dunfundef
pvvs
Qs
nQX
lPAAPAX
T
x
x
TT
+−==
⋅=Σ
⋅=
⋅= −
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 61
f=f1+f2 – numărul gradelor de libertate
s02 = Ω/f – varianţa empirică comună celor două etape de măsurători
Se observă că: Qx = N-1 = (AiTPiA I)
-1
Qx - se poate determina utilizând matricea inversă generalizată sau
pseudoinversa după metoda Moore-Penrose.
Pentru testul de congruenţă mai trebuiesc considerate:
- Varianţa (abaterea) standard empirică a celor două etape de măsurători:
s02 = Ω/f ; (3.70)
Ω = Ω1 + Ω2 = V1TP1V1 + V2
TP2V2 ; f = f1 + f2
Pentru aplicarea oricărui test statistic trebuie în prealabil stabilite ipoteze. O astfel de ipoteză
are forma: B X = W (3.71)
unde X – vector al parametrilor
B – matrice care explică funcţia
W – vector al discrepanţelor
Ipoteza de zero pentru testul de congruenţă se poate scrie:
EX1≡EX 2
Unde EX2 – valoarea de aşteptare a parametrilor X în etapa 2, sau scrisă altfel:
EX1-EX 2=0
Pentru a aprecia modificarea valorii Ω se formulează această ipoteză liniară.
Putem scrie că ΩH = Ω+R,
unde Ω este suma pătratelor erorilor VTPV iniţiale
ΩH – suma pătratelor erorilor influienţate de ipoteza liniară
R - influenţa ipotezei liniare stabilite
Evaluarea lui R este dată după relaţia generală:
R = (B X –W)T (B (AT P A)+ BT)+ (B X-W) (3.73)
Qdd = (A1TP1A1)
++ (A2TP2A2)
+ (3.75)
Qdd – se poate calcula numai dacă se respectă condiţia cu privire la configuraţia reţelei în cele
două etape de observaţii
[ ] )72.3(0ˆ
ˆ
2
1
=
⋅−X
X
II LM
( ) ( ) ( ) ( )12
1222211112
ˆˆ:
)74.3(ˆˆˆˆ
XXdNotãm
XXAPAAPAXXR TTT
−=
−
+−=
+++
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 62
Rezultă: R = dTQ+ddd
se notează: h- rangul matricei Q+dd
h = r(Q+dd)
Dacă defectul este acelaşi în ambele etape de măsurători, atunci se poate scrie ecuaţia:
h = r(Qx1) = r(Qx2); h = n-d; d – defectul în datele de referinţă
Mărimea test
Are o distribuţie statistică în conformitate cu distribuţia Fisher
Mărimea F a fost introdusă de Pelzer în 1971, observând că aceasta are o distribuţie Fisher.
Testul de calitate stabilit cu distribuţia Fisher având h grade de libertate la numitor şi f grade
de libertate la numărător, satisface ipoteza Ho dacă este îndeplinită relaţia de probabilitate:
PF > Fh,f,1-α Ho = α
Decizia testului:
F ≤ Fh,f,1-α – Ho este adevărată şi deci EX1=EX 2 deci nu avem deformaţii
F > Fh,f,1-α - Ho nu este adevărată şi deci EX1≠EX 2 deci în reţea au apărut deformaţii.
α = 0,05
Observaţii:
- decizia stabilită în urma aplicării testului este adevărată cu o probabilitate 1- α (o
hotărâre luată având certitudinea 100% nu este posibilă)
- testul global de congruenţă pune în evidenţă faptul că cele două reţele nu sunt
congruente, deci au apărut deformaţii, dar nu specifică unde au apărut aceste deformaţii
(nu permite localizarea lor);
Prelucrarea a două epoci cu ipoteza zero implicită
hs
R2
0 ⋅
)76.3(; 202
0 ff
VPVs
hs
RF
T Ω==⋅
=
)77.3(h
f
VPV
dQd
h
fR
hf
RF
Tdd
T
⋅=⋅Ω
=⋅Ω
=+
)78.3(ˆ22
11
2
1
2
1HX
A
A
v
v
l
l⋅
=
+
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 63
Modelul funcţional:
Se estimează că în comun vectorul de coordonate XH pentru cele două epoci.
În acest caz: l+v = A XH ipoteza EX1=EX 2 este inclusă în modelul funcţional astfel
stabilit.
Rezultă:
R = ΩH - Ω1 - Ω2; H = u – d;
Se calculează so2 ca la celălalt model; urmând faza de testare.
Avantaj: dacă nu avem aceeaşi configuraţie a reţelelor se poate introduce acest lucru direct
din ipoteza de zero de mai sus. Acesta este posibila prin stabilirea vectorul XH numai pentru
punctele comune celor două etape plus acele coordonate pentru punctele observate numai în
etapa 1 sau numai în etapa 2.
A. Testul global de congruenţă când configuraţiile sunt diferite
Se cunosc două metode pentru rezolvarea acestei probleme:
1. Se compensează independent reţeaua în cele două etape de măsurători, dar sunt folosite
numai informaţiile referitoare la punctele comune.
a) minimizarea totală a urmei matricei numai pentru punctele identice.
Pentru fiecare epocă este în general singulară şi nu poate fi calculată inversa N-1
Determinarea parametrilor poate avea loc folosind pseudoinversa N+ cu ajutorul matricei G
care se foloseste astfel:
pentru configuraţii identice
sau pentru configuraţii diferite,
B = E G (3.82)
)ˆ()ˆ( HT
HH XAlpXAl −⋅⋅−=Ω
)79.3()(ˆ 1 lpAApAX TT ⋅= −
)80.3(0)(
)(0 1
11
=
−
−+−
TT
T
TGGG
GGGN
G
GN
)81.3(0)(
)(0 1
11
=
−
−+−
TT
T
TGBG
GBGN
B
BN
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 64
E – matrice de selecţie
b) minimalizarea parţială a urmei matricii cofactorilor: şi în acest caz se introduce tot
matricea G, condiţia pentru introducerea ei fiind N G = 0
La această condiţie se mai adaugă:
- Analiza spectrală:
- vectorii proprii: matricea G cuprinde vectorii proprii care au valoarea proprie zero
- valori proprii
- Altă condiţie: GT X = 0 este o condiţie suplimentară cunoscută sub numele
“transformare Helmert”
2. Când configuraţiile nu sunt identice putem face compensări libere folosind toate punctele
şi măsurătorile din epoci diferite (avem datum diferit în cele două epoci).
Din prelucrări rezultă: X1 Qx1 respectiv X2 Qx2. Aducerea la acelaşi datum se face
utilizând “transformarea S”, astfel:
Unde Sn = I-G (GTEnG)-1GTEn
Observaţii:
- trebuie alese date de referinţă comune
- dacă se cunosc la o reţea liberă prelucrată, doar rezultatele, nu şi datumul, transformarea
S ne ajută să facem o comparare a rezultatelor
Determinarea elementelor necesare testului global de congruenţă:
=
O
1
1
1
0
0
0
E
)83.3(;ˆˆ
;ˆˆ
2222
1111
T
T
n
X
nn
X
nn
n
X
nn
X
nn
SQSQXSX
SQSQXSX
==
==
=
0
10
0
1
01
0
nE
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 65
X1nn – subvector care conţine punctele comune
X1n - subvector care conţine puncte noi sau cele care au dispărut
Sub ipoteza zero Ho: EX1nn ≡ EX 2n
n (3.85)
dn = X2nn – X1n
n
Qddn = Qx1n
n – Qx2nn
Rezultatele ce se obţin trebuie să fie aceleaşi ca la minimizarea parţială a urmei matricei
cofactorilor.
Localizarea deformaţiilor
Testul global de congruenţă pune în evidenţă faptul că în intervalul de timp analizat au apărut
deformaţii f ără a indica anume punctele care sunt deplasate, contribuind astfel la
nonconcordanţa reţelelor. Există mai multe posibilităţi de localizare a deformaţiilor.
A. Folosirea testului T (Student):
Se testează fiecare parametru în parte:
dj = X2j – X1j ; j = 1,2,…, n (3.86)
sj = so√Qjj
unde: sj – abaterea standard corespunzătoare mărimilor dj calculate mai sus
so – abaterea standard empirică calculată pentru modelul de deformaţie
j - numărul total de parametri cuprinşi în vectorul care-l analizăm
Qdd+ - matricea cofactorilor deformaţiilor
În continuare se procedează la calculul testului de calitate t:
tj = dj/sj; j = 1,2,…,n
testul se execută de n ori
)84.3(...
...;
...
...;
1
1
22
2
22
11
11
=
=
=
=
n
nn
xn
nNn
n
nxn
xn
nNn
X
XX
X
XX
=+
nn
jj
d
d
d
d
dd
q
q
q
q
Q
O
O
22
11
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 66
sub ipoteza Ho : Edj =0
Se recomandă ca : dacă deformaţia este mai mică decât abaterea standard empirică so, testul
să nu se facă.
Pt1 ≤t lim ٨ t2 ≤ tlim٨…٨tn< tlim | Ho = 1 – α. Marja de siguranţă este de 98%, α – coeficient
de risc (posibilitatea de a comite erori). = 5%. Deoarece toate cele n mărimi nu sunt
stocastic independente, ele provenind din compensări, ar trebui calculat din punct de vedere
statistic un nou coeficient de risc ά din relaţia (1- ά) = 1-α. În practică se aproximează ά cu
ά = α/n
Sub Ho : tlim = tf, 1-ά unde f- numărul gradelor de libertate al modelului de deformaţie
Testul de decizie: tj ≤ tf, 1-ά rezultă că Ho este adevărată Edk= 0 – valoarea de aşteptare
pentru dj poate fi considerată ca fiind zero
tj > tf, 1-ά – rezultă Ho nu este adevărată
Edk≠ 0, Xj este o coordonată unde au apărut deformaţii
Observaţii:
- pentru ά nu se găsesc tabele cu distribuţia t dar pot fi programate uşor
- în acest test sub ipoteza Ho trebuie să folosim numai puncte stabile, dar nu toate
îndeplinesc această condiţie
- testul nu ţine seama de corelaţiile care apar qdjj rezultând că el elimină corelaţiile
Testul multiplu F
În acest caz este testat fiecare punct corespondent al vectorului d.
Pentru o reţea cu două dimensiuni, elementele vectorului d sunt aranjate astfel:
sunt puse în evidenţă deformaţiile pe direcţiile X şi Y pentru punctul k, k = 1,2,…,n/2
rezultă elementele din matricea de cofactori pentru punctul k
această matrice este plină, nu are elemente nule.
)87.3(
=M
yk
xk
k d
d
d
)88.3(
=
kkkk
kkkk
yyxy
yxxx
k qq
qqQ
)89.3(...
...
2
2
1
=
n
kdd
Q
Q
Q
Q
Q
O
O
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 67
Pentru fiecare punct în parte se calculează valoarea testului:
Mărimea Fk are o distribuţie Fisher, so2 – provine din cele două cicluri, iar 2 – reprezintă
dimensiunea reţelei.
Sub ipoteza Ho : Edk= 0 pentru orice k
PF1 ≤F lim ٨ F2 ≤ Flim٨…٨Fn< Flim | Ho = 1 – α.; Flim = F2, f, 1-ά cu ά = 2α/4
f- reprezintă numărul punctelor introduse în vectorul dk
Testul de decizie:
Fk ≤ F2, f, 1-ά , rezultă Ho este adevărată
Edk= 0 în punctul k nu au survenit deplasări
Fk > F2, f, 1-ά, rezultă Ho este falsă; Edk≠ 0 acest punct a suferit deformaţii
Observaţii:
- calcularea lui α este destul de dificilă
- testul dă rezultate bune când avem multe puncte stabile
- testul ia în considerare coordonatele unui punct, dar nu ţine seama de corelaţiile care
apar între puncte
- testul oferă informaţii referitoare la punct şi nu la coordonate
- se poate testa concomitent un grup de puncte din reţea
Metode de localizare pe baza discrepanţelor maxime
Vectorul d se divide în:
ds – puncte stabile
dm – puncte mobile
Asemănător şi matricea cofactorilor Qdd+
Fiecare punct intră pe rând în dm. Deoarece nu putem folosi valorile brute pentru dm şi Pss aşa
cum rezultă ele din partiţionarea vectorului d, respectiv a matricei Qdd+ va trebui să calculăm
valorile:
)90.3(2 2
0
1
s
dQdF kk
Tk
k⋅⋅=
−
)91.3(
=
m
s
d
dd
)92.3(
==+
mmms
smssdddd pP
PPPQ
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 68
Valorile de mai sus rezultă prin aplicarea metodei eliminărilor Gauss.
În cazul unei reţele planimetrice totdeauna dimensiunea vectorului dm va fi egală cu 2 şi:
R- este contributul ipotezei făcute de noi, asupra erorilor medii pătratice
Punctul pentru care se găseste Ri max se consideră că s-a deplasat. De aici şi denumirea
metodei de discrepanţe maxime.
Localizarea constă în aflarea punctului cu Rmax. Se pune întrebarea dacă nu cumva mai sunt şi
alte puncte care au suferit deformaţii.
După eliminarea punctului pentru care s-a găsit Ri max, dacă se reface testul global de
congruenţă, vom găsi Ho adevărat sau nu.. aceasta se poate face numai în urma unei
transformări S, adică:
di = Si d; Qddi = Si Qdd SiT (3.96)
di – vectorul datelor care nu conţine informaţii despre punctul deplasat
d – vectorul deformaţiilor în datumul vechi:
Si = I – G(GTEIG)-1 GT EI (3.97)
Ei – matricea de selecţie
Acum di se poate partiţiona din nou în puncte stabile şi mobile:
msmmssss
ssmmmmm
PPPP
dPPdd
⋅⋅=
⋅⋅+=−
−
1
1 )93.3(
)94.3(mmmTmsss
Tsdd
Tm dPddPddPdR ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=
)95.3(2/,...,2,1; nidPdR mmmTmi =
⋅⋅=
)98.3(
1
1
00
0
1
01
1
1
=
O
iE
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 69
Continuând testul vom avea:
Unde: dSi – vector din care au fost extrase informaţiile despre punctele mobile, acesta fiind
compus din punct de vedere matematic din elemente stabile.
hi – numărul nou al gradelor de libertate
h – numărul gradelor de libertate înainte de aplicarea testului global de congruenţă;
m – numărul parametrilor incluşi în vectorul dm (reţea planimetrică, m = 2 la eliminarea
unui singur punct)
Statistica se calculează ca şi înainte:
Această statistică are o distribuţie Fisher. Testul global de congruenţă pentru punctele
cuprinse în dSi este supus unei relaţii de probabilitate:
Dacă Fi > Flim rezultă că trebuie făcut un nou test de localizare şi problema devine reiterativă
(o altă transformare S).
În final trebuie făcută o transformare S a datumului pentru punctele stabile şi va rezulta:
- vectorul dmi cu toate punctele mobile (conţine deformaţiile reale)
- vectorul dsi cu toate punctele stabile
Observaţii:
- toate informaţiile privind corelaţiile sunt cuprinse în matricea Qdd (la primele două
metode acest lucru nu era valabil)
- nu avem nevoie de informaţii apriori despre stabilitatea sau mobilitatea punctelor
(modelul le depistează singur)
- metoda este riguroasă din punct de vedere matematic
- se poate porni de la configuraţii care nu sunt identice.
)99.3(
=
=
ii
ii
i
i
mmms
smss
dd
m
si
QQQ
d
dd
mhh
dQdR
i
SSS
TSSi iii
−=
⋅⋅= + )100.3(
)101.3(20 i
i
hs
RF
⋅=
)102.3(101,,20
αα −=
⋅= − HF
hs
RFP fh
i
if
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 70
Localizarea deformaţiilor cu ajutorul Transform ării S
Este considerat ca fiind cel mai bun algoritm
Vectorul d este partiţionat astfel:
dSi – subvector ce conţine puncte stabile
dmi – subvector ce conţine puncte mobile
QSiSi – matricea cofactorilor corespunzătoare punctelor stabile
Qmimi - matricea cofactorilor corespunzătoare punctelor mobile
Vectorul dSi – conţine punctele stabile considerând că un singur punct este mobil. Fiecare
punct din reţea va fi pus în situaţia de-a fi considerat mobil astfel că vom avea atâţia dI câte
puncte avem în reţea.
Pentru o reţea planimetrică cu u puncte calculele de mai sus se vor repeta de u/2 ori. De
fiecare dată se va calcula contributul:
Se consideră că punctul pentru care se găseste Rsi = minim s-a mişcat
RSi – influienţa ipotezei asupra punctelor fixe.
Prin efectuarea transformării S, încă de la început şi de fiecare dată, s-a scos din calcule
influenţa punctului mobil. După eliminarea punctului mobil se reface testul global de
congruenţă şi dacă este cazul se reface testarea prin intermediul transformării S.
Observaţii:
- toate informaţiile privind corelaţiile sunt cuprinse în matricea Qdd;
- nu e nevoie să avem informaţii apriorice despre situaţia punctelor, modelul le depistează
singur
- când nu avem configuraţii identice se fac compensări prin metoda reţelelor libere pentru
ambele configuraţii, în care intră atât punctele comune cât şi cele necomune. Apoi se
face o transformare S a vectorilor parametrilor X1 şi X2 respectiv a matricei cofactorilor
Qx1x1 şi Qx2x2 într-un datum comun celor două etape.
Abia după acest pas (acum avem un datum comun) se trece la analiza deformaţiilor,
respectând algoritmul pentru punctele din acelaşi datum.
)103.3(Tississ
siS
sQsQ
dsd
ii
i
=
⋅=
)104.3(;
=
=
iiii
iiii
i
i
i
mmms
msssdd
m
si QQ
QQQ
d
dd
)105.3(2/,...,2,1; uidQdRiiiii sss
Tss == +
)106.3(;
=
=
nnnsns
mnmmms
snsmss
xx
n
m
s
j
i
QQQ
QQQ
QQQ
Q
x
x
x
Xji
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 71
Această subîmpărţire este exprimată matematic astfel:
Xn – subvector ce conţine parametrii punctelor neidentice între cele două configuraţii
Xm – puncte mobile
Xs – puncte stabile
Transformăm vectorul parametrilor XS1 şi XS2 în acelaşi datum XSi şi formăm vectorul
deformaţiilor dSi urmând ca acesta să fie testat conform algoritmului.
La fel se procedăm şi cu matricea cofactorilor din cele două etape – se transformă Qx1x1 şi
Qx2x2 pentru acelaşi datum şi după aceea formăm matricea cofactorilor deformaţiilor Qddxi
pentru datumul stabilit.
Concluzii:
- în cazul configuraţiilor neidentice, metoda pentru localizare, folosind transformarea S
conduce cel mai rapid la soluţii optime
- în ansamblu trebuie să calculăm pe Rsi, modul cum se ajunge la Rsi diferă de la o metodă
la alta.
III.3.2 Interpretare fizic ă - care constă din:
III.3.2 .a Interpretare statistică.
Metoda statistică stabileşte un model empiric a relaţiei sarcină-deformare prin analiza
regresiei, care determină corelaţii între deformaţiile şi sarcinile observate (cauze interne şi
externe care produc deformaţia). Folosind acest model, deformaţia prognozată poate fi
obţinută din măsurarea cantităţilor cauzative. Un acord între prognoze şi măsurători, prezice
o comportare a corpul deformabil ca în etapa anterioară. Altfel, motivele trebuie depistate şi
modelul trebuie redefinit.
Interpretarea prin metoda statistică necesită un număr minim de observaţii, atât din
punct de vedere al cauzelor cât şi al efectelor. Fie d(t) deformaţia observată pe un punct obiect
la timpul t, de exemplu, pentru un baraj din beton aceasta poate fi descompusă în trei
componente:
d(t) = dH(t) +dT(t) +dr(t) (3.107)
unde dH(t), dT(t), dr(t) reprezintă: componenta presiunii hidrostatice, componenta
termică şi respectiv componenta ireversibilă datorită comportamentului non-liniar al
barajului. Componenta dH(t) este o funcţie de nivelul apei în lac, şi poate fi modelată
printr-o funcţie polinomială simplă:
dH(t) = a0 + a1H(t) + a2H(t)2 + … +amH(t)m (3.108)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 72
unde H(t) înălţimea apei în lac. Componenta dT(t) poate fi modelată în diferite moduri
depinzând de informaţia existentă. Dacă sunt măsurate în baraj câteva temperaturi
cheie Ti(t), pentru i= 1,2,…,k, atunci:
dT(t) = b1T1(t) + b2T2(t) +…+ bkTK(t) (3.109)
Dacă se ţine cont de temperatura aerului, se ia in considerare răspunsul întârzâiat la
barajele din beton la schimbarea în temperatura aerului. Dacă nu este măsurată
temperatura, componenta termică poate fi modelată printr-o funcţie trigonometrică.
Componenta ireversibilă dr(t) provine dintr-un fenomen non-elastic cum este
mişcarea betonului sau mişcarea rocilor. Comportamentul dependenţei de timp se
schimbă în funcţie de obiect şi poate fi modelat, de exemplu cu o funcţie exponenţială.
Următoarea funcţie este utilizată pentru barajele din beton:
dr(t) = c1t + c2ln(t) (3.110)
Coeficienţii ai, bi, ci sunt determinaţii folosind analiza regresiei aplicând metoda
celor mai mici pătrate. Modelul final sugerează comportamentul rezultat, în funcţie de
diferiţi factori cauzativi şi este folosit pentru predicţie.
Pentru baraje de pământ, efectul termic este o componentă ireversibilă devenind
dominant. Trebuie menţionat că metoda statistică pentru interpretare fizică nu este
aplicată numai la deplasările observate, ci şi la orice alte verificări cantitative, cum
sunt forţa, presiunea apei, înclinarea fundaţiei, etc. Diferenţa este că răspunsul funcţiei
se poate schimba pentru fiecare cantitate cauzativă.
III.3.2 .b Interpretare deterministică
Metoda deterministică furnizează informaţii despre deformaţia aşteptată utilizănd
informaţia acţiunii forţelor (sarcini), proprietăţile materialelor şi legile fizicii ce guvernează
relaţia forţei de întindere. Deformaţia pe un obiect va fi dezvoltată dacă este aplicată asupra sa
o forţă exterioară. Forţele exterioare pot fi de două tipuri: forţele de suprafaţă de exemplu
forţele distribuite pe suprafaţa corpului şi forţele corpului, care sunt distribuite pe volumul
corpului, astfel de forţe fiind forţele gravitaţionale şi presiunea apei din acumulare. Dacă d
este vectorul deplasării unui punct şi f este acţiunea forţei, ele sunt scrise ca:
LTDLd + f = 0 (3.111)
Unde D este matricea constitutivă (înfinţată) a materialului ale cărei elemente sunt
funcţii ale proprietăţilor materialului (exemple modulul lui Young şi raportul lui Poisson) şi L
este un operator diferenţial transformând deplasarea în întindere. Dacă există întinderea
iniţială ε0 şi presiunea iniţială σ0, ecuaţia de mai sus devine:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 73
LTDLd + (LTσ0 - LTDσ0) + f = 0 (3.112)
În principiu, când sunt date condiţiile limit ă, chiar sub formă de deplasări sau sub
forma acţiunii forţelor şi forţele corpului sunt prescrise, ecuaţia diferenţială poate fi rezolvată.
Soluţia directă poate fi dificil de obţinut şi sunt folosite metodele numerice ca metoda
elementelor finite.
Conceptul de bază al metodei elementului finit consta în înlocuirea corpului continuu
printr-un ansamblu de elemente mici care sunt conectate numai la nodurile elementelor. În
interiorul fiecărui element a fost presupusă o funcţie a deplasării (functia formă) şi este aplicat
principiul potenţialului minim de exemplu diferenţa dintre munca făcută prin acţiunea forţelor
şi deformaţia energiei este minimă. De aceea, operatorul diferenţial L este aproximat printr-un
operator algebric liniar. În prezent există numeroase pachete de programe pentru metoda
elementului finit.
În modelarea deterministică a deformaţiei barajului, barajul şi fundaţia lui sunt subîmpărţite
într-o reţea de elemente finite. Componenta termică (dT) şi componenta presiunii hidrostatice
(dH) sunt calculate separat. Presupunând câteva nivele de apă discrete în lac, sunt calculate
corespondenţele deplasărilor punctelor de interes. O funcţie polinomială a deplasării în
funcţie de nivelul apei este obţinută prin potrivirea (compensarea) celor mai mici pătrate cu
metoda elementului finit calculând deplasările punctelor discrete. Apoi deplasările la orice
nivel al apei pot fi calculate prin funcţia deplasării. La calculul componentelor termice,
trebuie rezolvată în prealabil distribuţia temperaturii în interiorul structurii, putându-se folosi
şi în acest caz metoda elementului finit.
III. 3. Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite [44] (MEF) este o metodă generală de rezolvare
aproximativă a ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu sau nu fenomene fizice.
Principial MEF constă în descompunerea domeniului de analiză în porţiuni de formă
geometrică simplă, analiza acestora şi recompunerea domeniului respectând anumite cerinţe
matematice.
Din punct de vedere al domeniilor de aplicaţie metoda poate fi extinsă în orice domeniu de
activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale. Până în prezent
metoda s-a dezvoltat în mod deosebit în domenii ca: analiza structurală; analiza termică;
analiza fluidelor; analiza electrică; analiza magnetică, dar şi în analiza fenomenelor complexe
interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastică, analiza cuplată termic şi structural, analiza
interacţiunii fluid-solid; analiza electro-magnetică; analiza piezoelectrică şi altele.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 74
Programul de calcul folosit pentru analiza problemei nu rezolvă structura reală, ci doar un
model al ei . Modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin încadrarea diverselor
porţiuni ale structurii în categoria barelor, plăcilor, blocurilor, prin simplificarea încărcărilor
şi a rezemărilor etc. Modelarea corectă (cât mai aproape de realitate) ţine de experienţă,
inspiraţie şi nu mai puţin de cunoaşterea bazelor teoretice ale metodei. De regulă un model se
dezvoltă funcţie de scopul analizei.
Fiecare program cu elemente finite prezintă particularităti care trebuie învăţate dar există o
serie de reguli de bază ale metodei care odată stăpânite permite abordarea oricărui program cu
elemente finite.
Indiferent de metoda abordată, analiza unei structuri reale prezintă câteva etape esenţiale:
- structura reală se identifică, prin folosirea unor ipoteze simplificatoare, cu un model fizic
primar, numit "model conceptual";
- modelul primar serveşte la formularea unui "model matematic", adică la un set de ecuaţii
care urmează a fi rezolvate;
- rezultatele obţinute sunt interpretate şi dacă există motive întemeiate acestea pot fi validate.
Astfel seria celor două modele conceptual şi matematic pot fi folosite şi pentru alte probleme
similare.
Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiză (sau volumul structurii) notat V,
rezolvat cu metoda elementului finit, se împarte într-un număr NE de subdomenii sau
fragmente (porţiuni de formă geometrică relativ simplă, fiecare de volum Ve) numite elemente
finite. Deoarece elementele finite nu se intersectează între ele se poate scrie că ∑=
=NE
e
eVV1
.
Fiecare element finit se numerotează (este identificat printr-un număr), de obicei de la 1 la
numărul total de elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei
printr-un indice superior ("e" pentru un element oarecare).
Elementele finite se pun în evidenţă (geometric) prin intermediul unor puncte, de exemplu
colţurile triunghiului, dacă elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncte poartă
denumirea de noduri. Elementele finite "se leagă" (interacţionează) între ele prin intermediul
nodurilor comune, astfel că în domeniul de analiză există un număr finit de noduri. Similar
elementelor, nodurile se numerotează, de obicei, de la 1 la numărul total de noduri NN.
Operaţia de împărţire a unui domeniu în noduri şi elemente finite de un singur tip sau chiar
mai multe tipuri, precum şi numerotarea acestora, adică atribuirea unor numere de
identificare, poartă denumirea de discretizare (Fig. 3.3.1). Discretizarea nu este unică, în
general ea se realizează astfel încât să răspundă unor cerinţe practice.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 75
elemente finite
5 2511
2 626
i23 UXUX
UY 274
3
56 grade de libertate
4noduri
Fig. 3.3.1: Discretizarea domeniului de analiză
Fiecare nod din domeniul de analiză are o deplasare posibilă pe orizontală-axa OX şi
una pe verticală-axa OY, se poate spune că există doi parametri independenţi care definesc
unic deplasarea unui nod în plan. Aceşti parametri poartă denumirea de grade de libertate
ataşate nodului. De obicei, gradele de libertate ale tuturor nodurilor definite reprezintă
necunoscutele primare ale problemei în MEF, în exemplul de faţă, gradele de libertate nodate
UX şi UY definesc deplasarea "posibilă" a unui nod oarecare.
Pentru unele noduri (1, 2, 3 şi 4 punctele fiind încastrate), deplasările sunt nule, deci în aceste
puncte gradele de libertate se definesc "potenţial", ele nu reprezintă necunoscute. Numărul
total de grade de libertate al problemei N se obţine prin însumarea gradelor de libertate active
ale tuturor nodurilor. Prin grade de libertate active se înţeleg acele grade de libertate care
definesc o deplasare necunoscută.
Un domeniu continuu cu un număr infinit de grade de libertate este transpus într-un model
discret cu N grade de libertate, necunoscutele problemei se limitează funcţie de discretizare.
Deoarece analiza cu elemente finite este dependentă de implementarea unor programe de
calcul, mărimile cu care aceasta lucrează sunt de regulă vectori şi matrice.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 76
Figura 3.3.2: : : : Gradele de libertate şi forţele nodale pentru un element oarecare e Pentru toată structura se defineşte vectorul deplasărilor nodale totale sau al structurii
U=[UX,1 Uy,1 Ux,2 Uy,2 ... Uxnn Uynn T , (3.113)
şi vectorul forţelor nodale exterioare
F=[FX,1 Fy,1 Fx,2 Fy,2 ... Fxnn FynnT (3.114)
Se consideră un element oarecare e din discretizarea precedentă (figura 3.2.2), pentru care
cele trei noduri se notează cu /, J şi K. Se defineşte vectorul deplasărilor nodale al elementului, de
fapt al tipului de element finit triunghiular
U e=U X I Uy I UxJ UyJ UXK UyK T, (3.115)
care, din condiţii de continuitate, este un subset al vectorului definit de relaţia (3.113), şi
vectorul forţelor nodale al elementului
F e= eXIF e
YIF eXJF e
YJF eXKF e
YKF T (3.116)
între care se poate obţine relaţia matriceală
F e = [K e]U e ,e=1,2,.. .,NE, (3.117)
similară relaţiei de echilibru a unui sistem elastic (arc) cu un grad de libertate F=/cx. Matricea
pătratică [K e] poartă denumirea de matricea de rigiditate a elementului finit. . Aceasta se poate
determina pentru fiecare element finit.
Figura 3.3.3: Forţele exterioare care lucrează în model şi echilibrul unui nod oarecare n
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 77
Goluri
Interferenţaa
Dacă se izolează un nod oarecare n din modelul cu elemente finite ( figura 3.3.3), pentru care
există Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit acţionează cu o forţă în acel nod şi
din motive de echilibru suma tuturor forţelor trebuie să fie zero. Atunci când în nodul izolat
acţionează şi forţe exterioare acestea trebuie incluse şi echilibrul nodului n se scrie
nx
NC
i
inx FF ,
1, =∑
=
ny
NC
i
iny FF ,
1, =∑
=
n= 1,2,…, NE (3.118)
Dacă se ţine seama de cele 2 * NN ecuaţii (3.118), şi în expresiile sumelor se introduc forţele
obţinute din relaţiile (3.116), se obţine o relaţie matriceală de forma:
F = [ K ]U , (3.119) în care [K] este numită matricea de rigiditate globală a structurii.
Cunoscând câmpul deplasărilor în cele NN noduri se poate reprezenta, scalat pentru o
vizualizare convenabilă, configuraţia deformatei structurii, dacă însă matricele de rigiditate
ale elementelor nu au fost "adecvat" calculate, având în vedere că elementele sunt legate între
ele numai în noduri, e posibil să apară goluri sau suprapuneri între laturile elementelor finite
adiacente (nu este îndeplinită condiţia de continuitate între laturile comune elementelor
finite).
Fig. 3.3.4: Elementele nu asigură continuitatea pe laturile comune Discretizarea - tipuri de elemente finite Se pune problema discutării aspectelor MEF din punctul de vedere al utilizatorului. S-a
menţionat mai sus că MEF consideră modelul de calcul format dintr-o sumă de porţiuni
numite elemente finite legate între ele punctual, adică în noduri. Este clar că o structură (un
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 78
domeniu) poate fi împărţită în diverse moduri, cu mai multe sau mai puţine noduri şi elemente
finite.
MEF a dezvoltat o serie de tipuri de elemente finite care din punct de vedere al formei pot fi
clasificate în:
- elemente finite unidimensionale (reprezentând bare, grinzi, tiranţi...);
- elemente finite bidimensionale (reprezentând plăci, învelişuri şi chiar volume);
- elemente finite tridimensionale (reprezentând solidele, blocurile).
Din punct de vedere al modului de variaţie al câmpului necunoscutelor (de exemplu
deplasările) în interiorul sau pe conturul lor pot fi clasificate în:
-liniare;
-parabolice;
-cubice
Dacă se consideră numărul şi felul gradelor de libertate pentru un nod, elementele finite
structurale uzuale 3D pot avea maxim 3 grade de libertate translaţii şi 3 grade de libertate
rotaţii. Uneori gradele de libertate pot fi completate şi cu temperaturi, presiuni, viteze sau alte
mărimi funcţie de formulările particulare fiecărui tip de element finit.
Fiecare tip de element finit trebuie conceput (proiectat) astfel încât să satisfacă cât mai
bine anumite cerinţe, neexistând un element finit "universal valabil", care să poată modela
orice formă geometrică. Un tip de element finit satisface numai o parte dintre multiplele
cerinţe dictate de domeniul de analiză şi fenomenele descrise de ecuaţiile diferenţiale pe care
le rezolvă "aproximativ". Preciziile de modelare a elementelor finite sunt direct proporţionale
cu funcţiile de formă alese pentru aproximare.
III.4. Concluzii
Analiza geometrică a deformaţiilor, trebuie să poată combina orice tip de observaţii
(geotehnice sau geodezice) într-o analiză simultană.
Testul global de congruenţă pune în evidenţă faptul că în intervalul de timp analizat au
apărut deformaţii f ără a indica care puncte sunt deplasate, iar dacă realizăm testul statistic
corespunzător putem localiza deformaţiile.
Modelarea unui obiect este urmată de simularea procesului studiat, urmărindu-se
evoluţia unor parametri cu ajutorul modelului, în condiţii apropiate de cele reale, iar metoda
elementului finit permiţând acest lucru se poare estima încă din faza de proiectare, mărimea
deformaţiilor care vor rezulta asupra obiectului examinat, în condiţii de exploatare normală.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 79
CAPITOLUL IV - METODE DE FILTRARE A DATELOR
Problema filtrării constă în a determina estimarea variabilelor sistemului atunci când mediul
în care se desfăşoară procesul prezintă perturbaţii aleatoare. Pot fi utilizate două puncte de
vedere: unul a lui Wiener care utilizează descrierea frecvenţială şi unul al lui Kalman
descrierea temporală. În ambele cazuri, pentru început se determină un sistem (filtru), optimal
în sensul minimizării variaţiei erorii dintre variabila reală şi estimarea sa. Aplicaţia de filtrare
adaptivă nu admite o soluţie unică. În fapt, avem la dispoziţie un întreg arsenal de tehnici
diferite, fiecare având avantaje si dezavantaje specifice.
Tipuri de algoritmi adaptivi reprezentativi:
- algoritmul celor mai mici pătrate (Least-Mean-Squares)
- algoritmul celor mai mici pătrate recurente (Recurrent Least-Squares)
- filtrul Wiener
- filtrul Kalman
Aceşti algoritmi au fost elaboraţi în contextul utilizării unor filtre liniare, însa cu modificări
specifice se regăsesc si în cazul filtrelor neliniare.
Metoda cunoscută prin care se introduc algoritmii adaptivi este o problema de filtrare
optimală.
Filtrarea adaptivă urmareste determinarea parametrilor care definesc un filtru (liniar) în care
se introduce un semnal de intrare care este constituit din două componente, una considerata
reală, iar cealaltă eronată astfel încat răspunsul să fie cât mai precis, adică să contină într-o
măsură cât mai mare semnalul real (util).
+ Răspuns dorit d[n] y[n] - iesire Eroare de estimare e[n] Fig. 4.1 -schema bloc al unui filtru adaptiv Datele introductive ale evaluării [29] prin filtre se reprezintă vectorial. Pentru evaluarea
acestora vor rezulta trei ipoteze principale:
• Filtrare : din toate datele introductive prezentate, până la timpul tk, trebuie determinată
valoarea cea mai plauzibilă a vectorului necunoscut xk. Evaluarea datelor introductive
Sistem discret liniar Σ Semnal de intrare u[0], u[1]…
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 80
folosite, poate sta la dispozitia datelor de măsurare directă (observaţii în funcţie de
timp) sau a valorilor determinate indirect (de exemplu coordonate sau alte date);
• Predicţie: din datele introductive actuale, în ceea ce priveste timpul tk si până la un
moment dat, informaţiile găsite asupra comportamentului sistemului, se poate
prognostica eventualul decurs al procedeului într-un timp viitor tk+1;
• Netezire: din datele introductive prezentate, precum si din informaţiile acumulate până
la un anumit timp parcurs, se poate determina o medie (“netezită”) a procedeului din
acel timp.
În plus se ţine cont şi de necesitatea discuţiei asupra problemei de evaluare într-un model
funcţional cât şi într-unul stocastic si apoi se vor integra cele doua.
IV.1. Filtrul Wiener
Wiener [47] a determinat soluţia predicţiei erorii celor mai mici pătrate în termeni ale
funcţiilor de autocorelaţie ale semnalului şi zgomotului. Soluţia este de forma unui operator
integral care poate fi sintetizat cu circuite analogice, dându-i-se anumite constrângeri ale
regularitătii funcţiilor de autocorelaţie sau, echivalent, ale transformatelor Fourier. Abordarea
lui reprezintă natura probabilistică ale fenomenelor aleatoare în termenii densităţilor spectrale
de putere.
Considerăm un sistem pentru care se dă un ansamblu de măsurări ( )ft,tm 0 , între
momentele t0 (timpul iniţial) şi tf (timpul final), pe intrări şi ieşiri. Căutăm să se estimeze
valoarea stării x la un moment dat τ (care se va nota cu ( )( )ft,tm/x 0τ ). În funcţie de
valoarea lui τ , se disting trei situaţii:
- dacă ft<τ este vorba de o problemă de netezire;
- dacă ft=τ este vorba de o problemă de filtrare;
- dacă ft>τ este vorba de o problemă de predicţie.
Atunci când o problemă de predicţie poate fi redusă la o problemă de filtrare printr-o
estimare ( )( )fff t,tm/txx 0= urmată de o predicţie prin utilizarea modelului iniţializat la
xf, nu este aceeaşi ca la netezire. Această ultimă problemă poate fi rezolvată prin combinarea a
două probleme de filtrare: o filtrare de la t0 la τ şi o filtrare retrogradată de la tf la τ .
Metoda elaborată de Wiener permite a determina matricea de transfer a filtrului care
reconstituie un semnal ( )tx plecând de la o măsură ( )ty alterată de un zgomot.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 81
Filtrul optimal ales este acela care minimizează varianţa erorii de estimare,
( ) ( ) ( )txtxtx~)−= :
Metoda se utilizează în cazul semnalelor de intrare şi de ieşire scalare, însă poate fi aplicată şi
în cazul sistemelor multivariabile. Se va restrânge la rezolvarea unei probleme de filtrare
(estimarea lui t plecând de la informaţiile disponibile până la acest moment), dar metoda poate
fi utilizată pentru predicţie sau netezire.
Ecuaţia lui Wiener-Hopf
Pentru a putea estima ( )tx , realizăm un ansamblu de măsurări la ieşire:
( ) ( ) 0, ≥−= ττtytY (4.1)
Estimarea liniară optimală căutată ( )tx , verifică proprietatea de ortogonalitate: 0)()](ˆ)([,0 =−−≥∀ ττ tytxtxE
a) Cazul semnalelor continue Determinăm funcţia de transfer H(s) optimală, semnalele ( )tx şi ( )ty sunt presupuse
aleatoare, scalare, centrate, necorelate şi staţionare. Se vor distinge prin ( )∑ τxy covarianţa
celor două semnale ( )tx şi ( )ty :
∈τ∀ ℜ , ( )∑ =
xyτ E ( ) ( ) tytx τ+ (4.2)
şi prin ( )sSxy , spectrul de covarianţă, care este, prin definiţie, transformata Laplace bilaterală
a lui ( )∑ τxy :
( )sSxy =Lb ( ) ( )∫ ∑∑+∞
∞−
−= τττ de sT
xyxy (4.3)
Transformata lui Laplace bilaterală poate fi calculată plecând de la forma lui Laplace
L cu relaţia:
Lb ( ) =tf L ( ) tf+ + L* ( ) tf −− ,
( ) ( )
<≥
=+ ,tpentru
,tpentrutftf
00
0 (4.4)
( ) ( )
≥−<
=− ,tpentrutf
,tpentrutf
0
00
L* =. [ L* . ] ss −→ .
Autovarianţa (covarianţa pentru y=x) este o funcţie pară:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 82
∈τ∀ ℜ , ( ) ( )∑∑ τ−=τ xxxx (4.5) în consecinţă, spectrul de autovarianţă se scrie sub forma: ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsSsG xx −+=∃ , (4.6)
Ecuaţia lui Wiener-Hopf Pentru a putea estima ( )tx , se va realiza un ansamblu de măsurări la ieşire:
( ) ( ) 0, ≥−= ττtytY (4.7) 0)()](ˆ)([,0 =−−≥∀ ττ tytxtxE (4.8)
Cum filtrul )(sH este presupus realizabil, răspunsul său la semnal de tip impuls )(th , este
nul pentru 0<t , de unde rezultă relaţia:
∫+∞
−=0
)()()(ˆ µµµ dtyhtx (4.9)
Această relaţie permite scrierea ecuaţie (2.8) sub forma:
∑ ∫+∞
−−=≥∀0
)()()()(,0 µτµµττ dtytyhExy (4.10)
care conduce direct la ecuaţia lui Wiener-Hopf continuă:
∑ ∫ ∑+∞
−=≥∀0
)()()(,0 µµτµττ dh yyxy (4.11)
verificată prin răspunsul la impuls al filtrului optimal.
De notat că în cazul semnalelor ergodice, varianţele pot fi înlocuite prin funcţii de corelare:
∫+
−∞→
+=T
TTxy dttytx
TR )()(
2
1)( lim ττ (4.12)
ecuaţia lui Wiener-Hopf scriindu-se:
∫+∞
−=≥∀0
)()()(,0 µµτµττ dRhR yyxy (4.13)
Rezolvarea ecuaţiei Prezenţa unei integrale de convoluţie în ecuaţia lui Wiener-Hopf va duce în mod
natural la utilizarea transformatei lui Laplace (bilaterală).
A. Preliminarii. Dacă o funcţie mărginită )(tf este identic nulă pentru
valorile pozitive ale lui t , atunci Lf(t) nu prezintă poli cu parte reală negativă. Ca urmare:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 83
| Lb f(t)| ωσ js += = ( ) dteetf tjt ωσ −−
∞−∫0
(4.14)
converge pentru 0<σ , ceea ce contrazice prezenţa unui pol pentru Lf(t), astfel că 0<σ .
Factorizarea. Fie o fracţie raţională )(sF , care poate fi factorizată (cu un factor
multiplicativ) sub forma:
)()()( sFsFsF −+= (4.15)
în care, )(sF + are toţi polii săi în semiplanul stâng al planului complex (factor de fază
minim), iar )(sF − are toţi polii săi în semiplanul drept.
În cazul unei fracţii raţionale pară, adică:
)()( sFsF =− (4.16)
atunci când s este un zero (pol) din )(sF rezultă că şi s− este un zero (pol) al fracţiei
raţionale. Din ecuaţia (4.15) rezultă:
)()( sFsF −= +− (4.17) obţinându-se factorizarea sub forma:
)()()( sFsFsF −= ++
(4.18)
în care )(sF + are toţi polii săi şi zerourile în semiplanul stâng.
Descompunere. )(sF se poate scrie, prin descompunere în elemente simple, sub
forma descompusă:
)()()( sFsFsF −+ += (4.19)
în care, )(sF+ are toţi polii săi în semiplanul stâng, iar )(sF− are toţi polii săi în semiplanul
drept.
B. Rezolvarea ecuaţiei lui Wiener-Hopf. Funcţia )(tf definită prin:
∑ ∫ ∑+∞
−−=0
)()()()( τττ dthttf yyxy (4.20)
trebuie să fie nulă pentru 0≥t . Polii lui )(sF nu aparţin semiplanului stâng, unde )(sF este
dată prin ecuaţia:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 84
)()()()( sSsHsSsF yyxy −= (4.21) Pe de altă parte, ca urmare a utilizări relaţiilor (4.5) şi (4.18), se poate scrie:
)()()( sSsSsS yyyyyy −= ++ (4.22)
unde +yyS are toţi zerouri săi în semiplanul stâng.
Astfel )(sU , definită prin:
)()()(
)(
)(
)()( sSsH
sS
sS
sS
sFsU yy
yy
xy
yy
+++ −
−=
−= (4.23)
trebuie să aibă toţi polii săi în semiplanul drept.
Dacă se descompune )(/)( sSsS yyxy −+ sub forma:
+
+
−
++
−+
−=
)(
)(
)(
)(
)(
)(
sS
sS
sS
sS
sS
sS
yy
xy
yy
xy
yy
xy
(4.24)
faptul că )(sH trebuie să fie stabilă, conduce la existenţa unui polinom )(sP astfel încât:
)()(
)(
)(
1)( sP
sS
sS
sSsH
yy
xy
yy
+
−=
+
++
(4.25)
Deci )(sH trebuie să fie realizabilă iar semnalele au energie finită, de unde trebuie
ca 0)( ≡sP . Filtrul optimal în sensul Wiener are funcţia de transfer dată de relaţia:
+++
−=
)(
)(
)(
1)(
sS
sS
sSsH
yy
xy
yy
(4.26)
b) Cazul semnalelor discrete Ecuaţia lui Wiener-Hopf
O analogie cu cea utilizată în paragraful precedent poate fi realizată atunci când
semnalele )(tx şi )(ty sunt şiruri ix şi iy , i∈N scalare, centrate şi staţionare. Definind
covarianţa a două semnale eşantionate:
∑ +=ℵ∈∀ )()()(, iyjixEjj xy (4.27) ecuaţia lui Wiener-Hopf discretă definitorie în care răspunsul la impuls hi, i∈N al filtrului optimal discret se va scrie:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 85
∑ ∑ ∑∞
=
−=∈∀0
)()(,i
yyixy ijhjNj (4.28)
în care demonstraţia este imediată folosind principiul de ortogonalitate a unui estimator
optimal liniar.
Notaţii. Ca şi în cazul continuu, pentru rezolvare se utilizează transformata în z
bilaterală , Zif i ∈ :
∑+∞
−∞=
−==i
iiib zffZzF )( (4.29)
care se calculează utilizând transformata în z (mono-laterală) .Z definită prin:
0* ffZfZfZ iiib −+= −+ ,
≥<
=+
0
00
ipentruf
ipentruf
ii (4.30)
≥<
=−
−
0
00
ipentruf
ipentruf
ii ,
1.][.*−→
=zz
ZZ .
Spectrul de covarianţă este, prin definiţie, transformata în z bilaterală a funcţiei de covarianţă (4.28):
)()( ∑= jZzS xybxy (4.31)
Pentru o funcţie de autovarianţă:
∑∑ =−∈∀ )()(, jjZj xxxx (4.32) spectrul de autovarianţă se pune sub forma:
∑−+=∀ − )0()()()(),( 1xxxx zGzGzSzG (4.33)
ceea ce va duce la proprietatea:
)()( 1 zSzS xxxx =− (4.34) În acelaşi mod, se utilizează noţiunile de factorizare şi descompunere de fracţii raţionale în z.
A. Factorizarea:
)()()( zFzFzF −+= (4.35)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 86
în care, +F (respectiv −F ) are toţi polii şi zerourile în interiorul (respectiv exteriorul)
cercului unitate: 1, =∈ zCz .
După relaţia (6.34), dacă z este un pol (sau un zero) din )(zSxx , atunci 1−z este
analog, obţinându-se o factorizare de forma:
)()()( 1−++= zSzSzS xxxxxx (4.36)
unde, )(zSxx
+ are toţi polii şi zerourile în interiorul cercului unitate.
B. Descompunerea:
0)()()( fzFzFzF −+= −+ (4.37)
în care, +F (respectiv −F ) are toţi polii în interiorul (respectiv exteriorul) cercului unitate. Rezolvarea ecuaţiei
O demonstraţie asemănătoare cazului semnalelor continue, va conduce la exprimarea
funcţiei de transfer a filtrului optimal, pentru semnale discrete, prin relaţia:
+−++
=
)(
)(
)(
1)(
1zS
zS
zSzH
xx
xy
xx
(4.38)
care este analogă cu relaţia (4.26).
Din ambele cazuri, rezultă că metoda lui Wiener este o metodă de sinteză a filtrelor
care ţine cont de caracterul aleatoriu al intrărilor sistemului deservit. Problema generală,
rezolvată de această metodă, este de determinare a filtrului optimal H(.)în care D(.) este un
filtru (nu neapărat realizabil) pentru care se doreşte a se estima ieşirea d.
Ca urmare, se pot rezolva probleme de predicţie sau de netezire. În acelaşi timp,
această metodă nu este utilizată în practică decât în cazul semnalelor scalare şi a sistemelor
staţionare.
Una dintre principalele dificultăţi a sintezei unui filtru Wiener este determinarea
spectrelor de varianţă şi factorizarea lor.Astfel, vom aborda o metodă mai generală, filtrarea
Kalman, utilizată în cazul sistemelor multivariabile nestaţionare, bazată pe noţiunea de ecuaţie
de stare şi de răspuns temporal al proceselor.
Metoda lui Kalman este o extindere a metodei lui Wiener; filtrul optimal a lui Wiener
corespunde formei staţionare a unui filtru Kalman
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 87
IV.2 Filtrul Kalman
Un filtru Kalman [48] este un algoritm optimal recursiv de procesare a datelor. Un filtru
Kalman este optimal pentru că el conţine toate informaţiile care îi sunt furnizate. El
prelucrează toate măsurătorile disponibile, indiferent de precizia lor şi estimează valoarea
curentă a variabilelor care ne interesează cu ajutorul:
- cunoştinţelor despre sistem şi măsurătorile dispozitivului dinamic;
- descrierea statistică a zgomotului din sistem, erorile de măsurare şi incertitudinile
modelului dinamic.
- orice informaţie disponibilă despre condiţiile ini ţiale ale variabilelor care ne interesează
Un filtru este un algoritm de procesare a datelor realizat din modele matematice fiind un
instrument mecanic care nu rezolva probleme de unul singur.
Este considerat potrivit pentru implementarea pe calculatoare digitale pentru că foloseşte
o reprezentare finită a problemei de estimare (un numar finit de variabile).
Este o caracterizare statistică completă a unei probleme de estimare. Este mult mai mult
decat un estimator, deoarece el propagă întreaga distribuţie de probabilitate a variabilelor pe
care trebuie sa le estimeze. Aceasta e o caracterizare completă a stării de cunoaştere curentă a
sistemului dinamic, incluzand influenţa măsurărilor anterioare. Aceste distribuţii de
probabilitate sunt de asemenea, folositoare pentru analizele statistice si modelele predictive al
sistemelor senzoriale.
Fig.4. 2.1 Concepte fundamentale in filtrarea Kalman
Aplicatiile filtrelor Kalman acoperă multe domenii, dar folosirea lui ca pe un instrument
este aproape în exclusivitate pentru două cauze: estimare si analiza performanţelor
estimatoarelor.
Filtrare Kalman
Cele mai mici pătrate
generalizate
Sisteme stohastice
Cele mai mici pătrate
Teoria probabilităţii
Sisteme dinamice
Fundamente matematice
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 88
Filtrul Kalman este un set de ecuatii matematice ce furnizeaza un calcul eficient intentionand
să estimeze starea procesului, într-un fel ce minimizează media erorilor pătratice. Filtrul este
foarte utilizabil pentru câteva aspecte: susţine estimările trecute, prezente si chiar stările
viitoare.
Estimarea procesului
Filtrul Kalman abordează problema generală a estimării stării x R∈ a unui process controlat
în timp discret care este guvernat de ecuaţii diferenţiale stohastice liniare.
111 −−− ++= kkkk WBuAXX (4.39)
cu măsuratoarea mz R∈ :
kkk VHxZ += (4.40)
Variabilele aleatoare wk şi vk reprezintă zgomotul procesului şi măsurătorii. Se presupune a fi
independente (una de cealaltă), şi cu distibuţii cu probabilităţi normale
QNwp ,0()( ≅ ) (4.41)
),0()( RNvp ≅ (4.42)
În practică, matricile procesului covarianţei de zgomot Q şi măsurătorii
covarianţei zgomotului R se pot schimba la fiecare pas de timp sau măsuratoare, oricum în
acest caz spunem că sunt constante.
Matricea ( )A n n× în ecuaţia diferenţială (4.39) arată starea de la pasul de timp anterior k-1 la
starea de la pasul curent k, în absenţa fie a unei funcţii de conducere fie a unui proces de
zgomot. În practică A se poate modifica cu fiecare pas de timp, dar aici se presupune ca e
constantă. Matricea ( )B n l× arată intrarea de control opţională lu R∈ la starea x. Matricea
( )H m n× în ecuaţia măsuratorii (4.40) arată starea la măsuratoarea kz .
În practică H se poate modifica cu fiecare pas de timp sau măsuratoare, dar aici spunem este
constantă.
Calculele de bază ale filtrului
Definim nkx R∈ ca fiind starea a priori estimată la pasul k ţinând cont de procesul anterior la
pasul k, şi nkx R∈ ca fiind starea a posteriori estimată la pasul k cunoscând kz . Putem defini
erorile de estimare a priori şi a posteriori:
ˆk k ke x x− −≡ − şi (4.43)
ˆk k ke x x≡ − .
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 89
Eroarea de estimare a prori a covarianţei este:
[ ]Tk k kP E e e− − −= (4.44)
Eroarea de estimare a posteriori a covarianţei este:
[ ]Tk k kP E e e= (4.45)
Derivarea ecuaţiilor pentru filtrul Kalman, se face cu scopul de a afla o ecuaţie care
calculează o stare de estimare ˆkx a posteriori ca o combinaţie liniară a unei estimări a priori
ˆkx−
− şi o diferenţă semnificativă între o măsuratoare actuală kz şi o măsura prezisă ˆkHx cum
este arătat în ˆ ˆ ˆ( )k k k kx x K z Hx− −= + − (4.46)
Diferenţa ˆ( )k kz Hx−− în (4.46) este numită inovaţia măsuratorii sau rezidual. Rezidualul
reflectă discrepanţa dintre măsuratoarea prezisă ˆkHx− şi măsuratoarea actuală kz .
Când rezidualul este zero înseamnă că cele două sunt în compatibilitate perfectă.
Matricea ( )K n m× în (4.46) este aleasă câştigul sau factorul de amestec care minimizează
eroarea covarianţei a posteriori (4.45). Această minimizare poate fi obţinută mai întâi
substituind (4.46) în definiţia lui ek, substituind aceasta în (4.45), îndeplinind rezultatele
dorite, luând derivata rezultatului faţă de K, egalând rezultatul cu zero şi rezolvându-l pentru
K. Una din formele rezultatului K ce minimizează (4.45) este dată de:
1( )T
T T kk k k T
k
P HK P H HP H R
HP H R
−− − −
−= + =+
(4.47)
Pe masură ce măsurarea erorii covarianţei R se apropie de zero, valoarea lui K măsoara
rezidualul mai greu.
1
0
limk
KR
K H −
→=
Pe de altă parte, pe masură ce estimarea a priori a erorii de covarianţă kP− se apropie de zero,
valoarea lui K măsoară rezidualul mai usor.
0
lim 0k
kP
K− →
=
Un alt mod de abordare a măsurării de către K este aceea că pe măsură ce măsuratoarea erorii
de covarianţă R se apropie de zero, măsuratoarea actuală kz se ia în calcul din ce în ce mai
mult, în timp ce măsuratoarea prezisă ˆkHx− se ia în calcul din ce în ce mai puţin. Pe de altă
parte, pe măsură ce estimarea a priori a erorii de covarianţă kP− se apropie de zero
măsuratoarea actuală kz este luată în calcul din ce în ce mai putin, în timp ce măsuratoarea
prezisă ˆkHx− este luată în calcul din ce în ce mai mult.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 90
Originile filtrului [11]
Justificarea pentru (4.46) işi are rădăcinile în probabilitatea estimării a priori ˆkx− condiţionată
în toate măsurătorile antrerioare kz (regula lui Bayes). Filtrul Kalman menţine primele două
momente distribuţiei stării:
ˆ[ ]k kE x x=
ˆ ˆ[( )( ) ]Tk k k k kE x x x x P− − = (4.48)
Estimarea stării a posteriori (4.46) reflectă sensul distribuţiei stărilor – este normal distribuită
dacă sunt îndeplinite condiţiile (4.41) si (4.42). Estimarea a posteriori a erorii de covarianţă
(4.45) reflectă varianţa distribuţiei stării.
( ) [ ] ( )( )[ ]( ) ( )kkt
kkkkkkk PxNxxxxExENzxp ,ˆˆˆ, =−−≈ (4.49)
IV.2.1 Algoritmul filtrului Kalman discret
Filtrul Kalman estimează un proces folosind o formă a controlului feedback: filtrul
estimează starea procesului la momente de timp şi apoi obţine feedback sub forma de
măsuratori.
Prin urmare, ecuaţiile filtrului Kalman se împart în: ecuaţiile de actualizare a timpului şi
ecuaţile de actualizare a măsurătorii. Ecuaţiile de actualizare a timpului sunt responsabile cu
proiectarea timp a stării actuale şi a erorii covarianţei estimând obţinerea a priori aproximând
următorul pas de timp. Ecuaţiile de actualizare a măsurătorii sunt responsabile cu feedback-ul
– de exemplu pentru a adăuga o nouă măsurătoare la estimările a priori pentru a obţine
estimări a posteriori îmbunătăţite.
Ecuaţiile de actualizare a timpului pot fi de asemenea considerate ecuaţii predictor, în timp ce
ecuaţiile de actualizare a măsurătorii pot fi ecuaţii corector. Intr-adevăr, algoritmul de
estimare final seamănă cu un algoritm predictor – corector pentru rezolvarea problemelor
numerice asa cum rezultă din figura 4. 2.2.
Actualizarea timpului Actualizarea măsurătorii (predicţie) (corecţie) Fig 4.2.2 Conceptul de filtru Kalman Ecuaţiile specifice actualizării timpului şi măsurătorii sunt prezentate în relaţiile 4.51 şi 4.52.
( , )k k kz h x v= (4.50)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 91
Ecuaţiile de actualizare a timpului ale filtrului Kalman discret
1 1ˆ ˆk k kx Ax Bu−− −= + (4.51)
1T
k kP AP A Q−−= + (4.52)
Se poate observa cum ecuaţiile de actualizare a timpului (relaţiile 4.51 şi 4.52) proiectează
estimările de stare şi covarianţa de la pasul k-1 la pasul k.
Ecuaţiile de actualizare a masuratorii ale filtrului Kalman discret
1( )T Tk k kK P H HP H R− − −= + (4.53)
ˆ ˆ ˆ( )k k k k kx x K z Hx− −= + − (4.54)
( )k k kP I K H P−= − (4.55)
Primul pas într-o actualizare de măsurătoare este calcularea rezultatelor Kalman, Kk.
Următorul pas este de a măsura efectiv procesul pentru a obtine zk, iar apoi generarea unei
stări a posteriori prin adăugarea măsurătorii ca în (4.54). Ultimul pas este de a obţine o
estimare a erorii de covarianţă a posteriori.
Dupa fiecare actualizare de timp si măsurare, procesul se repetă cu estimări a posteriori anterioare,
folosite pentru a proiecta sau aproxima noile estimări a priori. Unul din caracteristicile de bază ale
filtrului Kalman este cel recursiv. Prin urmare face ca implementările practice să fie mult mai
realizabile (de exemplu o implementare a filtrului Wiener care este conceput să calculeze toate
datele direct din estimări). Filtrul Kalman condiţionează recursiv estimarea curentă a tuturor
măsurătorilor anterioare. Figura 4.2.2 oferă o vedere de ansamblu a modului de operare a filtrului
Kalman, combinând diagrama de nivel înalt din figura 4.2.1 cu ecuaţiile din relaţiile 4.51 şi 4.52
respectiv 4.53, 4.54, şi 4.55..
Parametrii filtrului şi ajustarea În implementarea filtrului, măsurarea covarianţei zgomotului R este de obicei obţinută
înaintea operaţiei de filtrare.
Determinarea covarianţei zgomotolui de proces Q este în general mai dificilă deoarece nu
avem posibilitatea să observăm direct procesul care trebuie estimat. Câteodată un model de
proces relativ simplu poate da rezultate acceptabile dacă se “inserează” suficientă
incertitudine în proces prin selectarea lui Q, în acest caz ne asteptăm ca măsurătorile
procesului să fie sigure.
Şi într-un caz şi în altul, chiar dacă nu avem o bază raţională pentru alegerea parametrilor, de
cele mai multe ori performanţele superioare ale filtrului (din punct de vedere statistic) pot fi
obţinute prin ajustarea parametrilor Q şi R. Ajustarea este făcută de obicei off-line, de cele
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 92
mai multe ori cu ajutorul unui alt filtru Kalman într-un proces care poartă numele de
recunoaşterea sistemului.
Estimări ini ţiale pentru 1ˆkx − şi 1kP −
Figura 4.2.3 Ecuaţiile filtrului Kalman În cazul în care Q şi R sunt constante, estimările covarianţei de eroare Pk cât şi rezultatul
Kalman Kk se va stabiliza rapid şi va ramâne constant. Dacă ne confruntăm cu un astfel de
caz, parametrii pot fi precalculati fie prin punerea filtrului în funcţiune off-line sau de
exemplu prin determinarea valorii de stare stabilă a lui Pk.
În cele mai multe cazuri eroarea măsurătorii nu rămane constantă. De asemenea procesul de
zgomot Q este câteodată dinamic schimbat în timpul operaţiei de filtrare – devenind Qk – cu
scopul de a se ajusta different dynamics. În unele cazuri Qk poate fi ales să justifice
incertitudinea intenţiilor utilizatorului şi incertitudinea de model.
IV.2.2 Filtrul Kalman extins (EKF)
Estimarea procesului Filtrul Kalman adresează problema generală unui process controlat în timp discret care este
guvernat de o ecuaţie cu diferenţe liniare finite. Un filtru Kalman ce liniarizează pasul curent
şi covarianţa este un filtru Kalman extins (EKF). Asemănător seriei Taylor, putem liniariza
estimarea în jurul aproximării curente utilizând derivate parţiale ale proceselor şi funcţii
estimate pentru a calcula aproximările chiar şi în expresia relaţiilor neliniare. Presupunem că
procesul are un vector de stare ( nx R∈ ) şi este descris de o ecuaţie diferenţială neliniară
1 1 1( , , )k k k kx f x u w− − −= (4.56)
Actualizarea măsurătorii (corecţie) (1) Calculul caştigului Kalman
1( )T Tk k kK P H HP H R− − −= +
(2) Actualizarea estimării cu zk
ˆ ˆ ( )k k k k kx x K z Hx− −= + −
(3) Actualizarea erorii de covarianţă ( )k k kp I K H P−= −
Actualizarea timpului (predictie) (1) Proiectarea stării
1 1ˆ ˆk k kx Ax Bu−− −= +
(2) Proiectarea erorii de covarianţă
1T
k kP AP A Q−−= +
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 93
cu măsurătoarea mz R∈
unde variabilele aleatoare wk şi vk reprezintă procesul şi zgomotul măsurat. În acest caz
funcţia neliniară f, în ecuaţia diferenţială 4.56 face legatura între starea la pasul k-1 şi starea la
pasul curent k. Aceasta include ca parametri, orice funcţie de conducere uk-1 şi the zero-mean
process noise wk. Funcţia neliniară h, în ecuaţia 4.56 arată starea xk la măsurătoarea zk.
Putem aproxima starea şi vectorul măsurătoare astfel: ( )0,,ˆ~
11 −−= kkk uxfx (4.57) şi ( )0,~~
kk xhz = (4.58)
unde ˆkx este o estimare a posteriori a stării (de la pasul anterior de timp, k).
Distribuţiile variabilelor aleatoare (sau a densităţilor în cazul continuu) nu mai sunt aceleaşi
după transformările neliniare respective. EKF este un simplu estimator de stare ad-hoc ce
aproximează optimizarea regulilor lui Bayes prin liniarizare.
Originile calculate ale filtrului Pentru a estima un proces cu relaţii diferenţiale neliniare, începem prin a scrie noua ecuaţie de
guvernare care liniarizează o estimare despre (4.57) şi (4.58),
1 1 1ˆ( )k k k k kx x A x x Ww− − −≈ + − +% (4.59)
( )k k k k kz z H x x Vv≈ + − +%% (4.60) unde:
• xk şi zk sunt vectorii de stare respectiv măsurare;
• kk zx ~,~ sunt vectorii de stare aproximată respectiv măsurare;
• kx este un estimator a posteriori a stării la pasul k;
• variabilele aleatoare wk şi vk descriu procesul şi zgomotul măsurat;
• A este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei f faţă de x:
[ ][ , ] 1 1
[ ]
ˆ( , ,0)ii j k k
j
fA x u
x − −
∂=
∂ (4.61)
• W este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei f faţă de w:
[ ][ , ] 1 1
[ ]
ˆ( , ,0)ii j k k
j
fW x u
w − −
∂=
∂ (4.62)
• H este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei h faţă de x:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 94
[ ][ , ]
[ ]
( ,0)ii j k
j
fH x
x
∂=
∂% (4.63)
• V este matricea Jacobiană a derivatelor parţiale ale funcţiei h faţă de v:
[ ][ , ]
[ ]
( ,0)ii j k
j
hV x
v
∂=
∂% (4.64)
În notaţie nu se folosesc paşi de timp k cu matricile Jacobiene A,W,H şi V, chiar dacă sunt
diferite la fiecare pas.
Se defineşte o notaţie pentru eroarea predicţiei,
kx k ke x x≡ −% % (4.65)
şi pentru măsurătoarea reziduală,
kz k ke z z≡ −% % (4.66)
În practică vectorul de stare, cantitatea pe care încercăm să o estimăm, nu are acces la xk în
(4.65). Pe de altă parte măsurătoarea actuală, cea care e utilizată la estimarea lui xk, are acces
la yk în (4.66). Utilizând (4.65) şi (4.66) putem scrie ecuaţiile de guvernare pentru o eroare de
proces, astfel:
1 1ˆ( )kx k ke A x x
kε− −≈ − +% (4.67)
kxzkk
eHe π+≈ ~~ (4.68)
unde kε şi kη reprezintă noile variabile aleatoare independente cu pas zero şi matricile
covarianţe TWQW şi TVRV , cu Q şi R ca în (4.41) şi (4.42).
Trebuie menţionat faptul că ecuaţiile (4.67) şi (4.68) sunt liniare, şi că se aseamană diferenţei
şi măsurătorii ecuaţiilor (4.1) şi (4.2) din filtrul Kalman discret. Aceasta ne motivează să
folosim măsurătoare actuală reziduală în (4.66) şi un filtru Kalman secundar (ipotetic) pentru
a estima eroarea predicţiei exk dată de (4.67). Această estimare, numită ek, poate fi apoi
folosită împreună cu ecuaţia (4.65) pentru a obţine estimările stării
a posteriori pentru procesul neliniar initial ca
kkk exx ˆ~ˆ += (4.69)
Variabilele aleatoare ale ecuaţiilor (4.67) şi (4.68) au urmatoarele probabiliţati distribuite:
( ) [ ]( )( ) ( )( ) ( )T
k
Tk
Txxk
VRVNp
WQWNp
eeENepkk
,0
,0
~,~,0~
≈
≈
≈
η
ε
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 95
Dând aceste aproximari şi lăsând valoarea prevazută a lui ke să fie zero, ecuaţia filtrului
Kalman utilizată în aproximarea lui ke este:
ˆkk k ze K e= % (4.70)
Substituind (4.70) în (4.69) şi utilizând la (4.66) se observă că nu este nevoie de filtrul
Kalman secundar (ipotetic):
ˆ ( )kk k k z k k k kx x K e x K z z= + = + −% % % % (4.71)
Ecuaţia (4.71) poate fi folosită pentru actualizarea măsurătorilor în filtrul Kalman extins, cu xk
şi zk provenind din (4.57) şi (4.58), şi câştigul Kalman Kk care provine din (4.71) cu
substituţia corespunzătoare pentru măsurarea erorii covarianţei.
Setul complet de ecuaţii EKF este arătat în relaţiile 4.72 şi 4.73 respectiv 4.74, 4.75 şi 4.76 .
Menţionam faptul că avem substituit xk pentru că xk să rămână consistent cu notaţia “super
minus”, şi că ataşam k matricilor Jacobiene A,W,H şi V, pentru a întări noţiunea că sunt
diferite (de aceea trebuie calculate) la fiecare etapă de timp.
Ecuaţiile de actualizare a timpului ale EKF
1 1ˆ ˆ( , ,0)k k kx f x u−− −= (4.72)
1 1T T
k k k k k k kP A P A W Q W−− −= + (4.73)
În concordanţa cu filtrul Kalman discret, ecuaţiile de actualizare a timpului în tabelul
4-3, proiectează starea şi covarianţa estimează de la pasul de timp anterior k-1 la pasul de timp
curent k. Funcţia f în (4.72) provine de la (4.57), Ak şi Wk sunt procese Jacobiene la pasul k, şi
Qk este procesul covarianţei zgomotului la pasul k.
Ecuaţiile de actualizare a măsurătorii ale EKF
1( )T T Tk k k k k k k k kK P H H P H V R V− − −= + (4.74)
ˆ ˆ ˆ( ( ,0))k k k k kx x K z h x− −= + − (4.75)
( )k k k kP I K H P−= − (4.76)
Operaţia de bază a filtrului Kalman extins este la fel cu cea a filtrului Kalman discret liniar
aşa cum este arătat în figura 4.2.3. Figura 4.2.4 oferă o imagine completă a operaţiilor filtrului
Kalman extins, combinând diagrama de nivel ridicat a figurii 4.2.3 cu kH ecuaţiile din
relaţiile 4.72 şi 4.73 respectiv 4.74, 4.75 şi 4.76.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 96
Actualizarea timpului (predictie) (1) Proiectarea starii
1 1ˆ ˆ( , ,0)k k kx f x u−− −=
(2) Proiectarea erorii de covarianţă
1 1T T
k k k k k k kP A P A W Q W−− −= +
Estimări ini ţiale pentru 1ˆkx − şi 1kP − Figura 4.2.4 Ecuaţiile filtrului Kalman O caracteristică importantă a filtrului Kalman extins este aceea că ecuaţia Jacobiană pentru
câştigul Kalman este folosită pentru a propaga corect sau mări doar componenetele relevante
ale informaţiei măsurătorii.
IV.3. Filtrul Kalman discret aplicat în analiza cinematică de deformare IV.3.1 Ecuaţiile standard ale filtrului discret Kalman În conformitate cu un filtru Kalman [29], ne referim la un algoritm care permite să estimeze
pe baza observaţiilor, variabilele în timp a starii unui sistem dinamic şi cinematic recursiv.
Un sistem dinamic este caracterizat de două ecuaţii, şi anume, ecuaţia de sistem şi ecuaţia de
observare.
Ecuaţia de sistem este data de:
xk = T 1ˆ −kx +Gk-1 wk-1 (4.77)
În cazul în care:
k-1,k - timp
xk - starea vectorului la timpul k
T - matricea de predictie
Gk-1 - matricea de zgomot
wk-1 - vectorul zgomot
Ecuaţia de observatie este:
lk = Akxk +єk (4.78)
unde:
l k - vectorul necorectat al observaţiilor
A k - matricea coeficient
Actualizarea măsurătorii (corecţie) (1) Calculul caştigului Kalman
1( )T T Tk k k k k k k k kK P H H P H V R V− − −= +
(2) Actualizarea estimării cu zk
ˆ ˆ ˆ( ( ,0))k k k k kx x K z h x− −= + −
(3) Actualizarea erorii de covarianţă ( )k k k kp I K H P−= −
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 97
xk - vector al parametrilor
єk - vector de măsurare a zgomotului
Pentru ecuaţiile (4.77) şi (4.78) se va aplica:
0
0
0
=
==
=
==
=
∑
∑
Tlk
llklkTlk
k
wwklkTlk
k
wlE
RE
lE
QwwE
wE
δεε
δ (4.79)
cu funcţia Dirac:
1=klδ pentru k = 1;
0=klδ pentru k ≠ 1
În aplicarea ecuaţiilor filtrului Kalman sunt efectuate următoarele două etape:
- etapa de predictie a vectorului de stare
1ˆ −= kk xTx (4.80)
- etapa de predictie a matricei de covarianţă a vectorului de stare T
kwwkT
kxxxx GGTT 111, −−− Σ+Σ=Σ (4.81)
Actualizarea vectorului de observaţii compensat
kx = xk+ k(lk-Akxk) (4.82) matricea de covarianţă corectata a vectorului de stare; ∑∑∑ −= xxkxxxx KAˆˆ (4.83)
unde
( ) 1−∑ ∑∑ += ll
Tkxxk
Tkxx AAAK (4.84)
Ecuaţia (4.80) reprezintă aşa-numitele informaţii de referinţă care sunt corectate, cu
măsurătorile nou adăugate. Matricea K (4.84) se numeşte matricea de amplificare sau matrice
de castig.
Popularitatea filtrului Kalman este caracterizată prin aplicaţiile sale multiple, atât în domeniul
ştiinţelor inginereşti, dar şi în domeniul economiei, mai cu seama în navigare. Principalele
aspecte generale legate de utilizarea procedurii filtrului Kalman sunt :
- formularea stării
- pregatirea ecuaţiei de măsurare
- analiză inovare
- corectarea epocii iniţiale
Proprietatea esenţială a filtrului Kalman, o reprezintă schimbarea unui sistem
independent de observaţii. Acesta permite mai multor parametri care urmează să fie
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 98
determinaţi, (de exemplu: coordonatele şi parametrii de mişcare), de a-i cuprinde într-un
vector de stare. Aceast vector de stare ar trebui să conţină toate informaţiile actualizate pentru
a fi stocate. Comportamentul sistemului este descris de o ecuaţie de sistem. Utilizarea
factorului de timp a adus şi altă variabilă numită zgomotul sistemului inclus în vectorul de
stare prezis. În primul rând, tulburările nu au nici un efect asupra vectorul de stare, deoarece
acestea sunt variabile aleatoare. Efectul său se manifestă în matricea de varianţă-covarianţă a
vectorului de stare prezis.
Sub considerentul că vectorul de stare nu poate fi estimat din măsurători unice, trebuie
reprezentată ecuaţia de stare care are scopul de a estima legătura între mărimile măsurate şi
parametrii stabiliţi. Este important să se asigure care matrice de coeficienti urmează a fi
compensată. Acesta poate fi sau nu constantă. Pentru modelul stocastic de observaţii, este
necesară o presupunere. În esenţă, acestea sunt corelate sau necorelate la observaţii. Astfel in
cele mai multe cazuri observaţiile necorelate se schimbă astfel încât matricea ponderilor să fie
diagonală.
Separarea ecuaţiei de sistem din ecuaţia de observare în filtrul Kalman mai are
avantajul că poate fi selectată în mod corespunzător, în funcţie de rolurile respective ale
relaţiei dintre poziţia de zgomot de sistem şi precizia de măsurare. În cazul în care zgomotul
de sistem este mult mai mic decât zgomotul de măsurare, atunci şi măsurătorile au o influenţă
scăzută asupra vectorului de stare. În cazul opus, adică pentru zgomotul de sistem foarte mare,
vectorul de stare poate fi mult îmbunătăţit prin observaţii.
Diferenţele dintre observaţiile prezise şi observaţiile nou adăugate (ec. 4.82), în terminologia
de filtru Kalman este o inovaţie introdusă de Kailaith (1968). Introducerea de inovare, a
marcat o noua dezvoltare a filtrului Kalman, în domeniul măsurătorilor de deformare.
Filtrul Kalman operează recursiv, acest lucru necesită să fie bine cunoscute valorile
iniţiale. Posibilităţile de tratare a aşa-numitei epoci initiale, sunt foarte importante pentru a
putea rezolva mai bine problemele formulate anterior.
IV.3.2 Aplicarea filtrului Kalman în analiza cinematică de formulare a deformatiei Formularea stării
Toate punctele unei reţele de control formeaza un câmp de puncte cinematic . In
acest camp de puncte, miscarea unui vector de coordonate reprezintă o funcţie de timp:
...5.0 1211 +∆+∆+= −−− kkkk xtxtxx &&& (4.85)
Aici este: x k - coordonatele vectorului la momentul t k
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 99
x 1−k - coordonatele vectorului la momentul tk-1
1−kx& - vectorul de viteză la momentul t 1−k
2−kx&& - vectorul acceleraţie la momentul t 1−k
1−−=∆ kk ttt
Fie x 1−k , 1−kx& si 1−kx&& un vector de stare
1
1
−
− =
k
k
x
x
x
y
&&
& (4.86)
acest lucru trebuie să fie în măsură să descrie starea actuală a câmpului de puncte cinematice. Derivând relatia (4.85) rezultă viteza şi a doua derivare acceleraţia:
11 −− ∆+= kkk xtxx &&&& (4.87)
1−= kk xx &&&& (4.88)
În cazul în care acceleraţia este constantă, atunci vom obţine de la ecuaţiile (4.86), (4.87) şi
(4.88) de mai jos
Predicţia
1
2
1
ˆ
ˆˆ
00
021
ˆ
−
−
∆
∆∆
==
=
kk
k
kk
x
x
x
I
tII
IttII
x
x
x
y
yTy
&&
&
&&
& (4.89)
I este matricea unitate
Matricea T =
I
tII
IttII
00
021 2
∆
∆∆
(4.90)
este considerată matricea de predicţie, care reprezintă dinamica sistemului câmpului de
puncte.
Determinarea parametrilor de mişcare pentru un filtru Kalman
Se pune următoarea problemă: o reţea tridimensională de control constând din punctele P, a
fost măsurată la t1, t2, ..., tk-1. Coordonatele vectorului u are trei componente: u = 3 * p
Acelaşi număr de componente are vectorul de viteză şi vectorul acceleraţie;
pentru momentul tk-1 este dat vectorul de stare 1ˆ −ky
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 100
1
)1(
ˆ
ˆˆ
ˆ
−
− =
k
k
x
x
x
y
&&
& (4.91)
asociate acesteia matricea de covarianţă
1
1,ˆˆ
−
−
ΣΣΣΣΣΣΣΣΣ
=Σ
kxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
kyy
&&&&&&&&&
&&&&&&
&&&
(4.92)
Reţeaua de control a fost măsurată la momentul tk .Observaţiile sunt combinate într-un singur
vector de observare Lk. Vectorul de stare ky şi matricea sa de covarianţă kyy ,ˆˆΣ trebuie să fie
determinate la timpul tk. Determinarea vectorului de stare yk se efectuează în două etape:
Etapa 1: Actualizare temporară
Folosind ecuaţia (4.81), predicţia vectorului de stare yk-1 poate fi:
1ˆ −= kk yTy (4.93)
Pentru a utiliza ecuaţia (4.82), este necesară modelarea perturbatiilor de mişcare. Având în
vedere că, zgomotul nu este cunoscut şi se presupune că variabila aleatoare prezisă a
vectorului de zgomot este egala cu zero, matricea de covarianţă a fost prezisă, dar noi trebuie
să luam în considerare incertitudinea cu privire la acest vector. În alte cuvinte, ar trebui ca
matricea G şi vectorul w din (4.78) să fie cunoscute. Pentru a facilita modelarea de
interferenţă se explica în fig. (4.3.2.1) pe principiul de actualizare a vectorului de stare pentru
un singur punct.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 101
X k-1
l j+1j+1
Xk-1
X
l jl j
l
k-1P X k-1
X
k
k
Xk
aP
k
com
ponenta ac
celeratiei
Pk
Xk X k
X k
Figura 4.3.2.1 Actualizarea vectorului de stare a unui punct singular la momentul t
Din aceast desen rezultă faptul că pentru timpul tk-1, pe traiectoria vectorului de stare prezis
ky , avem punctul KP şi vectorul de stare ky . Se pune întrebarea cu privire la motivele pentru
care subvectorul kx a vectorului de stare prezis, nu corespunde coordonatelor vectorului kx .
Pe de o parte, a fost obţinut subvectorul kx din măsuratorile anterioare. Incertitudinea 1ˆ −ky si
vectorul de stare 1ˆ −kx este descrisă de către matricea de covarianţă 1,ˆˆ −Σ kyy . Pe de altă parte,
măsurătorile alăturate nu sunt exacte. Erori de măsurare sunt denumite în continuare zgomotul
de măsurare în filtrul Kalman. Ele pot fi modelate cu un vector de zgomot aleator din ecuaţia
(4.93) care depinde de intervalul de timp şi nu este cunoscut.
În ecuaţia (4.93) este implicat un vector al zgomotului, atunci vom obţine următoarea ecuaţie
model:
SayTy kk += −1ˆ (4.94)
în cazul în care S este matricea de zgomot şi dată de:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 102
I
Itt
Itt
S kk
kk
)(
)(21
1
21
−
−
−
−
= (4.95)
Cu toate că vectorul prezis de stare depinde doar de matricea de predicţie, incertitudinea sa
este mai mare, din cauza zgomotului de sistem şi este dată de:
sskyykyy Σ+Σ=Σ ,, (4.96)
În cazul în care:
Tkyy T1, −Σ (4.97)
Matricea de covarianţă a vectorului de state prezis:
Taass SSΣ=Σ (4.98)
Matricea de covarianţă pentru componenta de interferenţă.
kyy,Σ : matricea covarianţă a vectorului de stare prezis, luând în considerare zgomotul de
sistem
Etapa 2: Actualizarea observaţiilor
Actualizarea în timp este realizabilă, fără reţeaua de observare. Dacă observaţiile nu sunt
disponibile pentru timpul t, atunci se aplică ecuaţiile de actualizare a filtrului Kalman de la
secţiunea 4.3.2. În plus, ecuaţiile de observare trebuie să fie stabilite. Linearizarea ecuaţiilor
de observare sunt date de:
kkxklkk xAvll ˆˆ,, =+= (4.99)
kl -vector al observaţiilor compensate
lk - vector al observaţiilor necompensate
vk – vectorul corecţiilor
Ax,k - matricea de coeficienţi
kx - vector de coordonate compensate
Pentru ca ecuaţiile de bază ale filtrului Kalman să fie valabile, trebuie formulat
modelul funcţional si stocastic al modelului corectat. Este de aşteptat ca vectorul prezis de
stare să fie corectat cu observaţii noi. Această idee este prezentată în ecuaţia următoare, ţinând
cont de ecuaţia (4.94):
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 103
kkyk yvy ˆ, =+ (4.100)
yk - vector de predicţie a starii
vy,k – vector de corecţii
ky - noul vector de stare
Se pune problema în cazul în care funcţiile neliniare ale observaţiilor unei reţele
geodezice trebuie să fie liniarizate. În cazul în care vectorul de stare prezis yk (ec. 4.94) este
cunoscut, atunci este necesar să se liniarizeze funcţiile neliniare a observaţiilor de la locaţiile
de coordonate prezise. Relaţia (4.100) devine:
kky dyv =+ ,0 (4.101)
Iar relaţia (4.99)
kkxkkyklk dyAdyAvl 00,,, ==+ (4.102)
Iar medie:
ktk
kkx dy
xA
=
δδϕ )(
, (4.103)
dyk - vector supliment al vectorului de stare prezis
Ecuaţiile (4.100) şi (4.102) conduc la modelul funcţional pentru o compensare după
observaţiile efectuate.
kk
kykl
ky
ldy
A
I
v
v 0
,,
, −= (4.104)
Modelul stocastic corespunzător este dat de:
kll
kyykk
,
,
0
0
ΣΣ
=Σ (4.105)
Din ultimele două ecuaţii rezulta următoarele ecuaţii normale:
kkllT
kykkykllT
kykyy lAdyAA 1,,,
1,,
1, )( −−− Σ=Σ+Σ (4.106)
Rezultă din această ecuaţie:
kykllT
kykyyk AAdy ,1,,,ˆˆ
−ΣΣ= (4.107)
cu
=Σ kyy ,ˆˆ1
,1,,
1, )( −−− Σ+Σ kykll
Tkykyy AA (4.108)
În (4.108) la inversare unei sume de matrice este utilizat procedeul Schur-Frobenius, unde se
aplică următoarele:
1111111 )()( −−−−−−− ++=+ VCUVCBUCCUBVC (4.109)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 104
În cazul în care C şi B sunt matrici regulate.
Utilizarea acestei formule pentru (4.108) dă: T
kyykyy KDK−Σ=Σ ,,ˆˆ (4.110)
Tkykyykykll AAD ,,,, Σ+Σ= (4.111)
1,,
−Σ= DAK Tkykyy (4.112)
Vectorul căutat de stare este acum definit, astfel încât ecuaţia (4.110) este folosită în ecuaţia
(4.107). Apoi avem:
kkllT
kykyykyT
kykyykyyk lAADAdy 1,,,,
1,,, )( −− ΣΣΣ−Σ= (4.113)
kkllT
kykyykykyT
kyykllkykyyk lAADAAdy )( 1,,,,
1,,
1,,,
−−− ΣΣΣ−ΣΣ= (4.114)
Dar
IAAAA kllkllT
kykyykykllT
kykyyky −ΣΣ+Σ=ΣΣ −− 1,,,,,
1,,,, )( (4.115)
după câteva transformări folosite în (4.114), se obţine:
dyk=K lk (4.116)
Vectorul de stare final, după actualizarea observaţiilor, este:
kkkkk Klydyyy +=+=ˆ (4.117)
cu
)( kkk xLl ϕ−= (4.118)
Ecuaţiile (4.87), (4.96), (4.110) şi (4.117) reprezintă filtrul Kalman extins. Matricea A a
coeficienţilor din acest filtru nu este constantă, astfel încât crează prelucrări mai multe. La
mişcări mai ample, acest lucru este de mare importanţă, deoarece o constantă a coordonatelor
de aproximare nu poate fi absolut garantată.
Această actualizare a unui câmp de puncte cinematice a fost obţinute de Pelzer
(1987). Ca rezultat, alte formule luate de la Pelzer pot fi necesare pentru analiza cinematică
de deformare .
Folosind (4.104), vectorul de corecţii şi matricea de covarianţă pot fi calculaţi după
cum urmează:
- Corectiile vectorului de stare şi de observaţii:
kllkl
ky lD
K
v
vv 1
,
,
−Σ−== (4.119)
- Covarianţele corespunzătoare
Tkykyykykll
Tkll
kllT
llyl
lyyyvv AAK
KKDK
vvvv
vvvv
,,ˆˆ,,,
,
),(),(
),(),(
Σ−ΣΣ−Σ−
=ΣΣΣΣ
=Σ (4.120)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 105
- Varianţa empirică pe unitatea de pondere:
k
k
k
kTk
k f
T
n
lDls ==
−12,0 (4.121)
nk =fk : numărul de observaţii pentru momentul tk
Inovare şi compatibilitate de testare
Determinarea vectorului de stare ky , va fi realizată în două etape.
- ecuaţiile de actualizare fără a exista observatii la momentul tk
- observaţiile sunt actualizate folosind (4.120).
Observaţiile pot fi permanent actualizate, în cazul în care inovaţia a fost analizată. În esenţă,
acestea sunt răspunsurile la două întrebări de mai jos:
a) observaţiile actuale sunt compatibile cu observaţiile prezise?
Vectorul de inovare este definit astfel:
)( kkkkk xLLLl ϕ−=−= (4.122)
Răspunsul la întrebarea de mai sus poate fi dat prin testare. În primul rând, ipoteza nula
trebuie să fie stabilită:
0:0 =klEH (4.123)
Ipoteza alternativă este:
0: ≠kA lEH (4.124)
Testarea statistică se calculează :
kTkk lDlT 1−= (4.125)
Testarea dacă ipoteza nulă este adevărată se realizează cu distribuţia statistică χ2- cu nk grade
de libertate. Pentru a testa ipoteza nulă comparam 21, αχ −kn cu Tk..
Ipoteza nulă este acceptată în cazul în care Tk este mai mică decât 21, αχ −kn , apoi observaţiile
pot fi actualizate în celelalte cazuri, ipoteza alternativă este valabilă. Motivele trebuie să fie
examinate la punctul b).
b) localizarea cauzelor care induc incompatibilitate
Având definiţia de inovare, vor rezulta cauzele de incompatibilitate a observaţiilor prevăzute
cu observaţii curente care constau în a prezice coordonate noi şi alte observaţii. În primul
rând, orice erori grave ale observaţiilor, sunt detectate şi apoi eliminate. Ele pot fi detectate cu
un test. Pentru a detecta erorile de observare într-o compensare a diferitelor metode de testare
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 106
Unterberg (analiza 1991) unde au fost propuse procedurile de testare pentru detectarea
erorilor brute în filtrul Kalman. Cercetarile sale extinse pe acest test au confirmat faptul că
este dificil să se decidă dacă a aparut o eroare de observatie grosolană sau dacă modelul de
mişcare este fals. Din acest motiv, ar fi util pentru a detecta erorile de observare înainte de
filtrare. În cauzele posibile de intoleranţă de inovaţie sunt excluse erorile doar în coordonatele
prezise. Testul de inovare acum arată că există variaţii ale modelului în punctele de reţea care
trebuie sa fie localizate primele. Prin urmare, este necesar pentru a investiga corecţii ale
vectorului de stare de predictie. Toate componentele vectorului trebuie să fie analizate si
compensate în comun, pentru că sunt corelate. Pentru a determina testarea unui punct Pi se
formeaza primul subvector vi.
ix
x
x
i
v
v
v
v
&&
&= (4.126)
−xv –corecţie de poziţie
−xv & corecţie de viteză
−xv && corecţie de acceleraţie
Cu acest subvector şi matricea corespunzătoare de covarianţă se aplică testul statistic pentru a
determina eroarea în acest punct al modelului.
iiiiTi
p
vvT
i 9
1
9χ≅Σ=
−
(4.127)
După compararea testului statistic χ2 cu 9 grade de libertate , decizia de test poate fi făcută.
În cazul în care 29χ≥
ipT se gaseste o schimbare de modele perturbatoare în acest punct. Acest
model de perturbare este eliminat prin creşteri de zgomot de sistem pentru acest punct. Cu
cresterea zgomotului de sistem, algoritmul reporneste.
Daca testul de semnificaţie nu mai arată inovaţia, atunci vectorul prezis de stare trebuie
evaluat.
kkkk lKyy +=ˆ (4.128)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 107
Matricea covarianţă a vectorului stări de echilibru este calculat cu:
Tkyykyy KDK−Σ=Σ ,,ˆˆ (4.129)
Cazuri speciale
Pentru matricea de predicţie T şi coeficienţii matricei de zgomot distingem următoarele
cazuri speciale:
- Model dinamic
I
tT
0
1 ∆= (4.130)
0, xky AA = (4.131)
- Model static
T=I (4.132)
Ay,k=Ax (4.133)
Vectorul l de observare al unei reţele geodezice poate fi descompus în subvectori.
kkT lll 1−= (4.134)
Acesti subvectori arată că observaţiile pentru punctele temporare (k-1) şi k sunt cunoscute.
Vor fi păstraţi parametrii cum ar fi coordonate, pe motiv că din vectorul de observaţii l k-1 se
obţin vectorul coordonatelor 1ˆ −kx şi matricea corespunzătoare de cofactori 1, −kxxQ ca şi
vectorul de observare nou format l k ..
Potrivit subvectorului l se înlocuieşte cu următoarele matrici:
matricea pondere k
k
P
PP
0
01−= (4.135)
matricea coeficient kkT AAA 1−= (4.136)
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 108
formule uzuale de compensare:
k
k
k
k
T
k
kxx A
A
p
p
A
AQ 1111
0
0 −−−− = (4.137)
Sau kkTkkk
Tkxx APAAPAQ += −−−
−111
1
1111 )( −
−−− += kkTkkk
Tkxx APAAPAQ (4.138)
Folosind (4.109) în (4.138), atunci Qxx are următoarea formă:
Tkkkxxxx DKKQQ −= −1, (4.139)
Unde 11,
−−= DAQK T
kkxxk (4.140)
Tkkxxkk AQAPD 1,
1−
− += (4.141)
Pentru stabilirea coordonatelor vectorului X :
plAQx Txxk =ˆ (4.142)
Înlocuind (4.139) (4.136) (4.135) şi (4.134) în (3.142) şi după câteva transformări rezultă:
)ˆ(ˆˆ 11 −− −+= kkkkkk xAlKxx (4.143)
K este determinat din relaţia (4.140).
Compensarea recursiva, este utilizată atunci când a fost efectuat un număr mare de observaţii
sau sunt disponibile observaţii suplimentare.
Pentru acest algoritm recursiv este necesar a inversa matricea Dk . Aceasta ridică probleme
dacă matricea inversa K poate fi omisă. Pentru filtru Kalman, algoritmul recursiv este descris
într-o altă formă.
După actualizarea (k-1) - observaţiile sunt corectate în vectorul coordonatelor 1ˆ −kx rezultând
matricea de varianţă-covarianţă ∑ −1.kxx cu suma pătratelor corecţiilor 1−Ωk . Daca efectuăm
mai multe actualizari pentru o observaţie unică k avem nevoie de următoarele ecuaţii:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 109
În termen absolut: 1ˆ( −−= kkk xLl ϕ ) (4.144)
Varianţa lk: Tkkxxkk aa 1,
21
2−Σ+= σσ (4.145)
Matricea de câştig kk: 2
1, / kTkkxxk ak σ−Σ= (4.146)
Coordonatele vectorului estimat kx : kkkk lkxx += −1ˆˆ (4.147)
Matricea de varianţă-covarianţă după actualizare :
( )( ) 21,, / k
Tkkkkkxxkxx kaak σ−Σ=Σ − (4.148)
Suma pătratelor corecţiilor: 2211 / kkkk l σ−− +Ω=Ω (4.149)
Acest algoritm se repetă până când nu mai există nici o eroare mare. Principalul avantaj al
acestui algoritm recursiv este acela de a compara raportul:
221 / kkl σ− (4.150)
Comparând această procedură de mai sus cu filtrul Kalman, se poate concluziona că cele
două metode de lucru sunt identice în cazul în care nu este inclus zgomotul de sistem în
procesul de evaluare.
IV. 4 Concluzii
Interpretarea deformaţiilor spaţiale ale obiectelor determinate prin măsurători
geodezice a fost realizată prin metode geometrice, extinzându-se la modele cinematice care au
ca parametri specifici viteza si acceleraţia folosite pentru puncte discrete ale obiectului
examinat.
O altă abordare este analiza deformării prin metode dinamice, unde nu se ia în
considerare doar schimbarea geometriei unui obiect în spaţiu şi timp. Ele mai degrabă
investigate şi unite, influenţează factorii (forţe cauzative, sarcini externe şi interne) cauzând
deformaţia. Ele privesc şi proprietăţile fizice ale obiectelor (constante materiale, coeficienţi de
extindere) care sunt caracteristice şi responsabile pentru răspunsul obiectului la acţiunea
forţelor.
Filtrul Kalman permite integrarea unor date suplimentare care influenţează poziţia obiectului
examinat. Acesta se utilizează la filtrarea mărimilor de stare a unui sistem, eliminând
zgomotul prin modelarea părţii deterministe a sistemului.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 110
CAPITOLUL V - STUDIU DE CAZ
V.1 Descrierea şi caracteristicile studiului de caz
Obiectul studiului de caz este barajul Tileagd construit din anrocamente si centrala
hidroelectrică aferentă acestuia, amplasate pe Crişul Repede între orasul Aleşd şi Oradea, la o
distanţă de 23 km în amonte de Oradea.
Caracteristicile barajului :
- cotă coronament 199.0 m
- cotă fundaţie 161.5 m
- înălţime baraj 37.5 m
- lungime front retenţie 36.5 m
- N.N.R. 195.0 m
- N. minim de exploatare 183.0 m
- N. maxim de exploatare 197.0 m
Acumularea Tileagd a fost pusă în funcţiune în anul 1988.
Reţeaua geodezică de urmărire planimetrică a barajului şi centralei Tileagd este o reţea de
microtriangulaţie formată din doisprezece pilaştri de tip foraţi doisprezece reperi de parament
montaţi pe centrală şi baraj si cinci borne pentru urmărirea planimetrică a digului mal drept în
zona RK unde a fost semnalată o fisură în anul 1990.
Pilaştrii au fost dispusi astfel :
- patru pe malul drept al canalului de fugă- PI (deteriorat), PIV, PVII şi PD
- trei pe digul dintre canalul de fugă şi Crişul Repede- PII, PV si PS (distrus)
- cinci pe malul stâng al Crişului Repede – PIII, PVI, PVIII, PIX şi PX
- doi în grădinile proprietarilor particulari din apropierea zonei de RK- PXI şi PXII si nu
există vizibilitate nici între ei, nici dinspre ei spre ceilalţi pilaştri.
Reperii de parament sunt amplasaţi pe centrală şi pe baraj astfel :
- cinci pe centrală : R1, R2, R3, R3A şi R3B
- şapte pe baraj şi priză R1A, R4, R5, R6, R7 R8 şi R9.
Condiţii de exploatare în timpul mǎsurǎtorilor
În timpul efectuării măsurătorilor centrala funcţiona în condiţii normale, cu lacul
aproape plin.
Perioada efectuǎrii mǎsurǎtorilor
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 111
Coordonatele punctelor reţelei sunt determinate într-un sistem de coordonate local, constituit
special în scopul urmăririi în timp a construcţiilor acestei acumulări.
Măsurătorile în vederea urmăririi comportării barajului în reţeaua de microtriangulaţie au
fost efectuate în perioada 06.08 2001- 15.10.2005 respectiv 01.08.2006- 01.06.2009.
Măsurarea directiilor unghiulare între punctele reţelei de control şi punctele obiect au fost
realizate cu teodolotul Wild T3, prin metoda turului de orizont cu două serii complete.
Prelucrarea datelor s-a efectuat cu ajutorul programului APORT 2000. Măsurătorile efectuate
în reţeaua planimetrică au fost compensate în prima etapă ca măsurători într-o reţea liberă.
Rezultatul deplasarilor planimetrice ale punctelor sunt trecute in tabelul de mai jos (anexa nr.
1) iar schiţa amplasării punctelor reţelei de urmărire în fig. 5.1
spre
Ora
dea PD
P IXCrişul R
epede
P VIIIP VI
P III
canal de fuga
P V
P II
R7 R8
R9
R5 R6
Baraj
sp
re C
luj
P VII P I R2
R3
R3A
R3B
CH
E T
ileagd
R1A
R4
pri
ză
P IV
R1
Staţie 110 KW
Talu
z înie
rbat
Talu
z înie
rbat
B1Talu
z înie
rbat
P X
Fig. 5.1 Schiţa amplasării punctelor reţelei de urmărire
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 112
Anexa nr. 1- rezultatul deplasărilor planimetrice a punctelor reţelei geodezice şi a punctelor obiect faţă de ciclul zero de măsurare
PIL Cordonate de baza aug.01 oct.01 apr.02 oct.02 apr.03 oct.03 apr.04 oct.04 apr.05 oct.05
REP X(m) Y(m) dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY
PI 999,9991 1000,0016 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
PII 931,1442 1019,0063 4,4 -
14,2 9,3 -
17,7 9,4 -
13 9 -
12,7 9,1 -
13 9,9 -
13,6 10 -14 8,3 -
13 9,3 -
14 7,64 -14
PIII 844,0286 1038,3341 -13 1,3 -4,6 -0,7 -4,6 1,2 -5,7 1,5 -6,4 2,5 -4,2 2,3 -
4,3 0,5 -
3,8 -
1,9 -4,8 -
0,2 -5,3 0,67
PIV 1007,976 952,9093 - - -1,7 -6,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PV 916,349 981,241 10,2 -6,7 16,8 -9,7 18,1 -
6,7 19,1 -6,9 19 -
6,1 19,9 -7,3 21 -
8,4 20 -
8,5 21 -
8,5 20,2 -7,3
PVI 834,4927 1006,5275 -7,6 2,4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PVII 979,1537 884,8074 -1,9 -
10,4 -4,7 -7,6 0 0 0 0 0 0 0 0 -
2,4 -8 0 0 -1,8 -8 -2 -6,7
PVIII 828,3989 974,7381 2 -
15,7 10,7 -14 10,7 -
14 12,5 -
12,4 12,4 -
13 11,3 -
13,2 11 -14 11 -
15 11,6 -
13 11,7 -13
PIX 840,34 763,947 -8,5 -
15,1 - - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PX 1094,636 709,333 - - 5 7 -0,3 2,4 -1,9 2,3 -2,1 2,2 -7,2 5,1 6,7 0,5 6,2 -
3,4 0,7 5,7 0 0
B1 1028,372 1141,321 -1,5 -0,9 9 -16 2,2 -
8,6 2,1 -
10,9 -3,7 -
13 0,9 -
12,7 2,2 -18 -
0,3 -
18 1,4 -
13 -3,5 -17
PD 763,102 894,533 7,9 -
10,9 - - 9,5 3,3 11,9 5,7 13,2 5,9 15,3 6,2 9,9 5,2 14 5,1 10,7 3,9 11,8 4,04
PS 772,731 841,708 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 113
PIL Cordonate de baza aug.06
nov 06
mai.07
sep.07
aug.08
oct.08
iul.09
REP X(m) Y(m) dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY dX dY d X dY
PI 999,9991 1000,0016 - - - - - - - - - - - - - -
PII 931,1442 1019,0063 11 -17,9 11,5 -14,3 12,3 -16,1 11,4 -18,3 12,7 -18,7 13 -16,6 12,4 -19,9
PIII 844,0286 1038,3341 -4 1,4 -2,9 2,2 -5 1,2 -5,6 0,7 -6 2 -4,3 0,8 -6 0,5
PIV 1007,976 952,9093 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PV 916,349 981,241 24,2 -9,4 26,3 -9,1 26,3 -9,5 27 -10 28,1 -10,2 30,1 -10,2 28,2 -11,1
PVI 834,4927 1006,5275 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PVII 979,1537 884,8074 -4,6 -8,7 -4,1 -7,6 -5,1 -8,2 -5,1 -8,9 -5,1 -8,4 -4,7 -8,6 -4,5 -9,5
PVIII 828,3989 974,7381 11,6 -12,9 12 -11,6 10,7 -13,4 10,7 -14,1 10,9 -12,5 11,7 -12,9 10,5 -12,9
PIX 840,34 763,947 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
PX 1094,636 709,333 0,3 5,2 1,4 6,6 -2,8 7,1 -1,2 4,6 -2,4 7 -1,4 5,5 -1 4,8
B1 1028,372 1141,321 2,6 -18,3 4,9 -15,7 1,3 -16,6 3,6 -17,1 5,3 -15,9 3,9 -13,1 2,3 -17,5
PD 763,102 894,533 10,6 1,4 7,5 3,9 10,8 0,9 10,5 1,3 13,6 -0,6 9,5 1,6 12,4 -0,2
PS 772,731 841,708 5,8 -18,5 7,1 -7,3 8,4 -7,6 8,9 -9,5 11,6 -7,3 13,6 -4,3 13,9 -7,9
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 114
V.2 Aplicaţia filtrului Kalman asupra re ţelei geodezice de urmărire
Filtrul Kalman a fost aplicat cu ajutorul unui cod al programului MATHLAB. Întâi am încercat să estimez poziţia pilastrului P2 dar separat pe axa x şi axa y, astfel:
function [Z_buffer,Xk_buffer,Z_buffer_pred,Xk_buffe r_pred] = filtru_kalman_v2(scop, X, X_initial, X_final, Xk_anterior, Zgomot) % INTRARE: X - setul de date de intrare % X_initial - prima valoare din setul de date % Xk_anterior - valoarea (estimată) la momentul initial % Zgomot - zgomotul suprapus % % IESIRE: Z_buffer - valorile masurate (impreuna cu zgomotul) % Xk_buffer - valorile estimate de filtru Kalman % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Initializare pentru estimata starii curente Xk = []; % Phi reprezinta dinamica sistemului. Este liniar deci are forma: Phi = [1 1; 0 1]; %++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % X(k+1) = Phi*Xk(k) + W(k), unde Phi este matricea de tranzitie a starilor % iar W este zgomotul masurat (W = Zgomot)! % Presupunem ca zgomotul masurat este de tip normal cu media zero % si deviatia standard SIGMA %++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ % P este matricea de covarianta a erorii Eq. 4.4.3 sigma_model = 10; P = [sigma_model^2 0; 0 sigma_model^2]; % Q este covarianta zgomotului de proces si reprezinta cantitatea de % incertitudine a modelului. Eq. 4.4.1 Q = [0 0; 0 0]; % H este matricea de masuratori (matricea de legatura dintre vectorul de % stari si cel masurat). % Masuram X, deci H(1) = 1 iar H(2)= 0 (nu se masoara, se estimeaza) H = [1 0]; % R este covarianta zgomotului masurat Eq. 4.4.2 sigma_masurat = 10; R = sigma_masurat^2; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Filtrul Kalman %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Buffere necesare pentru afisarea rezultatelor Xk_buffer = zeros(2,size(X,2)); Xk_buffer(:,1) = Xk_anterior; Z_buffer = zeros(1,size(X,2)); Z_buffer(:,1) = X_initial; for k = 1:size(X,2)-1 % Z este vectorul de masuratori Eq. 4.40 Z = X(k+1) + sigma_masurat*Zgomot(k+1); %Z = X(k+1); Z_buffer(k+1) = Z; % Iteratii Kalman (vezi figura 11.1) - proiectia in k + 1: P1 = Phi*P*Phi' + Q; S = H*P1*H' + R; % % K este castigul Kalman. Daca K este mare, masuratorile sunt prea % ponderate. Daca K este prea mic, modelul de predictie este prea % ponderat.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 115
K = P1*H'*inv(S); % Eq. 4.74 P = P1 - K*H*P1; % Eq. 4.76 % Corectia estimatei % Eq. 4.75 Xk = Xk_anterior + K*(Z - H*Xk_anterior); Xk_buffer(:,k+1) = Xk; % Pentru urmatoarea iteratie (Xk_anterior este acum Xk): Xk_anterior = Xk; end; if strcmp(scop,'predictie') disp('Ati ales predictie'); etp = input('Introduceti numarul de esantioane de timp in viitor (predictie) = '); % Initializare Qt = [sigma_masurat 0; 0 sigma_masurat]; Xk_pred = [ ]; RR = [1 0;0 1]; Xk_buffer_pred = zeros(2,etp); % Initializare cu ultima valoare Xk_buffer_pred(:,1) = Xk_buffer(:,end); Z_buffer_pred = zeros(1,etp); Z_buffer_pred(:,1) = X_final; X_p = Xk_buffer(:,end); for k = 1:etp - 1 % Varianta 1 Xk_pred = Phi*X_p; P = Phi*P*Phi'+ RR*Qt*RR'; Z_pred = H*Xk_pred; Z_buffer_pred(k+1) = Z_pred; Xk_buffer_pred(:,k+1) = Xk_pred; X_p = Xk_pred; % % Varianta 2 % Xk_buffer_pred(:,k+1) = Phi*Xk_buffer(:,end); % P = Phi*P*Phi'+ RR*Qt*RR'; % % Z_buffer_pred(k+1) = H*Xk_pred; end else Z_buffer_pred = []; Xk_buffer_pred = []; disp('Ati ales estimare'); end % Varianta 1 - estimare separata pe x si y %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Datele pentru P2 pe X: X_initial = 931.1442; dX = 0.001*[4.4 9.3 9.4 9 9.1 9.9 10.3 8.3 9.3 7.64]; %X_total = [X_initial X_initial + dX]; dX2 = 0.001*[11 11.5 12.3 11.4 12.7 13 12.4]; X_total = [X_initial X_initial + dX X_initial + dX2]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Se aplica filtrul Kalman pentru varianta 1 % Starea initiala (ghicita): Xk_anterior = [931.0; 931.0]; Zgomot = 0.001*randn(1,size(X_total,2)); % 0.001 --> milimetrii ! X_final = X_total(end); scop = 'estimare';
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 116
[Z_buffer_x, Xk_buffer, Z_buffer_pred_x, Xk_buffer_pred] = filtru_kalman_v2(scop, X_total, X_initial, X_final, Xk_anterior, Zgomot); % Afisarea rezultatelor figure(1); plot(1:size(X_total,2)-1,X_total(2:end),'g'); hold on; plot(1:size(X_total,2)-1,Z_buffer_x(2:end),'b'); plot(1:size(X_total,2)-1,Xk_buffer(1,2:end),'r'); % plot(0:size(X_final,2)-1,X_final,'g'); % hold on; % plot(0:size(X_total,2)-1,Z_buffer,'b'); % plot(0:size(X_total,2)-1,Xk_buffer(1,:),'r'); title('Rezultate - Pozitia estimata pe X'); xlabel('Esantioane in timp'); ylabel('Deplasarea pe X'); legend('Pozitia masurata pe X','Pozitia cu zgomot pe X','Deplasarea pe X estimata cu ajutorul filtrului Kalman'); grid on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Evaluarea erorilor Eroare1_x = X_final - Xk_buffer(1,:); Eroare2_x = X_final - Z_buffer_x; % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si cele masurate EMP_reale_masurate_x = mse(Eroare2_x) % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si estimate EMP_reale_estimate_x = mse(Eroare1_x) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele masurate Dev_std_reale_masurate_x = std(X_final - Z_buffer_x) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele estimate Dev_std_reale_estimate_x = std(X_final - Xk_buffer(1,:)) eroarea_x = Z_buffer_x - Xk_buffer(1,:) if strcmp(scop,'predictie') Valoarea_pe_X_in_viitor = Xk_buffer_pred(1,:) end Ultima_valoare_estimata_pe_X = Xk_buffer(1,end) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Datele pentru P2 pe Y: Y_initial = 1019.0063; dY = 0.001*[-14.2 -17.7 -13.3 -12.7 -13.1 -13.6 -14.1 -13.2 -14.4 -13.74]; %Y_total = [Y_initial Y_initial + dY]; dY2 = 0.001*[-17.9 -14.3 -16.1 -15.3 -18.7 -16.6 -19.9]; Y_total = [Y_initial Y_initial + dY Y_initial + dY2]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Se aplica filtrul Kalman pentru varianta 1 % Starea initiala (ghicita): Yk_anterior = [1019.1; 1019.1]; %Zgomot = 0.001*randn(1,size(Y_total,2)); % 0.001 --> milimetrii ! Y_final = Y_total(end); [Z_buffer_y, Yk_buffer, Z_buffer_pred_y, Yk_buffer_pred] = filtru_kalman_v2(scop, Y_total, Y_initial, Y_final, Yk_anterior, Zgomot); % Afisarea rezultatelor figure(2); plot(1:size(Y_total,2)-1,Y_total(2:end),'g'); hold on; plot(1:size(Y_total,2)-1,Z_buffer_y(2:end),'b'); plot(1:size(Y_total,2)-1,Yk_buffer(1,2:end),'r'); % plot(0:size(Y_final,2)-1,Y_final,'g'); % hold on;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 117
% plot(0:size(Y_total,2)-1,Z_buffer_y,'b'); % plot(0:size(Y_total,2)-1,Yk_buffer(1,:),'r'); title('Rezultate - Pozitia estimata pe Y'); xlabel('Esantioane in timp'); ylabel('Deplasarea pe Y'); legend('Pozitia masurata pe Y','Pozitia cu zgomot pe Y','Deplasarea pe Y estimata cu ajutorul filtrului Kalman'); grid on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Evaluarea erorilor Eroare1_y = Y_final - Yk_buffer(1,:); Eroare2_y = Y_final - Z_buffer_y; % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si cele masurate EMP_reale_masurate_y = mse(Eroare2_y) % Eroarea Medie Patratica dintre valorile reale si estimate EMP_reale_estimate_y = mse(Eroare1_y) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele masurate Dev_std_reale_masurate_y = std(Y_final - Z_buffer_y) % Deviatia standard dintre valorile reale si cele estimate Dev_std_reale_estimate_y = std(Y_final - Yk_buffer(1,:)) eroarea_y = Z_buffer_y - Yk_buffer(1,:) if strcmp(scop,'predictie') Valoarea_pe_Y_in_viitor = Yk_buffer_pred(1,:) end Ultima_valoare_estimata_pe_Y = Yk_buffer(1,end) Se observă cum la început diferenţa dintre poziţia reală şi cea estimată este foarte mare, iar apoi cu cât introducem mai multe seturi de măsurători, cu atât estimarea este mai apropiată de valoarea reală, tendinţa fiind de minimizare a erorilor.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 118
Fig 5.2 Poziţiile estimate cu filtrul Kalman pe axa X pentru pilastrul PII
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 119
Fig 5.3 Poziţiile estimate cu filtrul Kalman pe axa Y pentru pilastrul PII Apoi am încercat să aplic filtrul Kalman pe vectorul deplasarărilor tot pentru acest pilastru P2 function y = kalman_2d(z, X_initial, Y_initial) % % X_initial si Y_initial - sunt datele initiale (inainte de deplasare) % Daca nu sunt cunoscute sau introduse se presupune X_initial = Y_initial % = 1; % ----------------------------------------------------------------------- % ----------------------------------------------------------------------- % Legile de miscare pentru estimarea starilor (pozitiilor) noi sunt: % X = X_0 + Vxdt % Y = Y_0 + Vydt % Vx = V_x0 + Axdt % Vy = V_y0 + Aydt % Aceste relatii sunt incluse in matricea A de tranzitie a starilor ce % contine cele 6 valorile (pentru x, y, Vx, Vy, Ax, and Ay) % ----------------------------------------------------------------------- % Initializarea matricei de tranzitie a starilor dt = 1;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 120
A = [ 1 0 dt 0 0 0;... 0 1 0 dt 0 0;... 0 0 1 0 dt 0;... 0 0 0 1 0 dt;... 0 0 0 0 1 0 ;... 0 0 0 0 0 1 ]; % ----------------------------------------------------------------------- % Matrice de masuratori if nargin == 1 H = [ 1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 ]; else H = [ X_initial 0 0 0 0 0; 0 Y_initial 0 0 0 0 ]; end Q = eye(6); R = 50 * eye(2); % ----------------------------------------------------------------------- % Conditiile initiale persistent x_est p_est if isempty(x_est) x_est = zeros(6, 1); p_est = zeros(6, 6); end % Filtru Kalman foloseste starea estimata la un moment anterior, pentru a % calcula (estima) starea curenta: % ----------------------------------------------------------------------- % Starea si covarianta estimata x_prd = A * x_est; p_prd = A * p_est * A' + Q; % ----------------------------------------------------------------------- % Estimarea propriu-zisa - klm_gain - castigul Kalman S = H * p_prd' * H' + R; B = H * p_prd'; klm_gain = (S \ B)'; x_est = x_prd + klm_gain * (z - H * x_prd); p_est = p_prd - klm_gain * H * p_prd; % ----------------------------------------------------------------------- % Estimarea finala y = H * x_est; end % Datele pentru P2 pe X: X_initial = 931.1442; dX = 0.001*[4.4 9.3 9.4 9 9.1 9.9 10.3 8.3 9.3 7.64]; dX2 = 0.001*[11 11.5 12.3 11.4 12.7 13 12.4]; X_total = [X_initial X_initial + dX X_initial + dX2]; % ----------------------------------------------------------------------- % Datele pentru P2 pe Y: Y_initial = 1019.0063; dY = 0.001*[-14.2 -17.7 -13.3 -12.7 -13.1 -13.6 ... -14.1 -13.2 -14.4 -13.74]; dY2 = 0.001*[-17.9 -14.3 -16.1 -15.3 -18.7 -16.6 -19.9]; Y_total = [Y_initial Y_initial + dY Y_initial + dY2]; % ----------------------------------------------------------------------- pozitia_reala = [Y_total; X_total]; figure; title('Pozitia masurata (albastra), Pozitia estimata (verde) - 18 esantioane'); xlabel('Deplasare pe orizontala'); ylabel('Deplasare pe verticala'); %hold; grid; reala = zeros(2,size(pozitia_reala,2)); estimata = zeros(2,size(pozitia_reala,2)); eroare = zeros(1,size(pozitia_reala,2));
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 121
% ----------------------------------------------------------------------- % Bucla pentru filtru Kalman for idx = 1:size(pozitia_reala,2) % Pozitia reala z = pozitia_reala(:,idx); reala(:,idx) = z; % ------------------------------------------------------------------- % Pozitia estimata de filtrul Kalman + eroarea y = kalman_2d(z, X_initial, Y_initial); estimata(:,idx) = y; eroare(idx) = abs(sqrt(z(1)^2 + z(2)^2) - sqrt(y(1)^2 + y(2)^2)); end % Afisarea rezultatelor % ----------------------------------------------------------------------- hold on for idx = 1:size(pozitia_reala,2) plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'rx-'); %plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(reala(1,idx),reala(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end for idx = 1:size(pozitia_reala,2) %plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'bx-'); plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(estimata(1,idx), estimata(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end hold off % ----------------------------------------------------------------------- figure plot(1:length(eroare),eroare); title('Evolutia erorii dintre deplasarea masurata si cea estimata pentru 18 esantioane'); xlabel('Esantioane de timp'); ylabel('Valoarea erorii'); grid; eroare for idx = 1:size(pozitia_reala,2) % Pozitia reala z = pozitia_reala(:,idx); reala(:,idx) = z; % Datele pentru P2 pe X: X_initial = 931.1442; dX = 0.001*[4.4 9.3 9.4 9 9.1 9.9 10.3 8.3 9.3 7.64]; dX2 = 0.001*[11 11.5 12.3 11.4 12.7 13 12.4]; X_total = [X_initial X_initial + dX X_initial + dX2]; % ----------------------------------------------------------------------- % Datele pentru P2 pe Y: Y_initial = 1019.0063; dY = 0.001*[-14.2 -17.7 -13.3 -12.7 -13.1 -13.6 ... -14.1 -13.2 -14.4 -13.74]; dY2 = 0.001*[-17.9 -14.3 -16.1 -15.3 -18.7 -16.6 -19.9]; Y_total = [Y_initial Y_initial + dY Y_initial + dY2]; % ----------------------------------------------------------------------- pozitia_reala = [Y_total; X_total]; figure; title('Pozitia masurata (albastra), Pozitia estimata (verde) - 18 esantioane'); xlabel('Deplasare pe orizontala'); ylabel('Deplasare pe verticala'); %hold; grid; reala = zeros(2,size(pozitia_reala,2));
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 122
estimata = zeros(2,size(pozitia_reala,2)); eroare = zeros(1,size(pozitia_reala,2)); % ----------------------------------------------------------------------- % Bucla pentru filtru Kalman for idx = 1:size(pozitia_reala,2) % Pozitia reala z = pozitia_reala(:,idx); reala(:,idx) = z; % ------------------------------------------------------------------- % Pozitia estimata de filtrul Kalman + eroarea y = kalman_2d(z, X_initial, Y_initial); estimata(:,idx) = y; eroare(idx) = abs(sqrt(z(1)^2 + z(2)^2) - sqrt(y(1)^2 + y(2)^2)); end % Afisarea rezultatelor % ----------------------------------------------------------------------- hold on for idx = 1:size(pozitia_reala,2) plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'rx-'); %plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(reala(1,idx),reala(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end for idx = 1:size(pozitia_reala,2) %plot(reala(1,idx), reala(2,idx), 'bx-'); plot(estimata(1,idx), estimata(2,idx), 'go-'); text(estimata(1,idx), estimata(2,idx), sprintf('%d', idx)); pause(0.5); end hold off % ----------------------------------------------------------------------- figure plot(1:length(eroare),eroare); title('Evolutia erorii dintre deplasarea masurata si cea estimata pentru 18 esantioane'); xlabel('Esantioane de timp'); ylabel('Valoarea erorii'); grid;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 123
Fig. 5.4 Poziţiile reale pentru pilastrul PII
Fig. 5.5 Poziţiile estimate cu filtrul Kalman pentru pilastrul PII
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 124
Fig. 5.6 Poziţiile reale suprapuse peste cele estimate cu filtrul Kalman pentru pilastrul PII La fel şi aici diferenţa dintre valoarea estimată şi cea reală este la început foarte mare, dar apoi cu cât se dau mai multe date cu atât estimarea este mai bună, eroarea rezultată apropiindu-se de valoarea zero după al doilea ciclu de măsurători. Rezultatele estimărilor comparativ cu datele reale sun trecute în anexa de mai jos. Rezultatele estimării cu filtrul Kalman asupra reperilor aplasa ţi pe centrala electrică
Reperul R1
Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.9869000e+002 1.0614800e+003 9.9789169e+002 1.0606315e+003 1.1650173e+000 9.9869470e+002 1.0614812e+003 9.9869438e+002 1.0614809e+003 4.6727109e-004 9.9869750e+002 1.0614695e+003 9.9869759e+002 1.0614696e+003 1.3480060e-004 9.9869640e+002 1.0614756e+003 9.9869640e+002 1.0614756e+003 1.4949856e-006 9.9869670e+002 1.0614759e+003 9.9869668e+002 1.0614759e+003 2.3696553e-005 9.9869750e+002 1.0614762e+003 9.9869749e+002 1.0614762e+003 1.8011671e-005 9.9869740e+002 1.0614732e+003 9.9869739e+002 1.0614732e+003 8.9009866e-006 9.9869770e+002 1.0614729e+003 9.9869770e+002 1.0614729e+003 4.2681872e-006 9.9869540e+002 1.0614764e+003 9.9869540e+002 1.0614764e+003 1.4629443e-006 9.9869630e+002 1.0614747e+003 9.9869630e+002 1.0614747e+003 2.1884944e-008 9.9869346e+002 1.0614673e+003 9.9869346e+002 1.0614673e+003 1.0021672e-006
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 125
Reperul R2 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.8391000e+002 1.0653000e+003 9.8390982e+002 1.0652969e+003 2.3690557e-003 9.8391170e+002 1.0652973e+003 9.8391192e+002 1.0653011e+003 2.9438016e-003 9.8391690e+002 1.0652867e+003 9.8391692e+002 1.0652871e+003 2.8371524e-004 9.8391600e+002 1.0652940e+003 9.8391598e+002 1.0652936e+003 3.1362906e-004 9.8391450e+002 1.0652938e+003 9.8391448e+002 1.0652934e+003 2.8541424e-004 9.8391590e+002 1.0652959e+003 9.8391589e+002 1.0652957e+003 1.6129231e-004 9.8391670e+002 1.0652921e+003 9.8391669e+002 1.0652920e+003 6.9853406e-005 9.8391660e+002 1.0652951e+003 9.8391660e+002 1.0652951e+003 2.5416083e-005 9.8391370e+002 1.0652973e+003 9.8391370e+002 1.0652973e+003 5.7613811e-006 9.8391380e+002 1.0652913e+003 9.8391380e+002 1.0652913e+003 3.9326051e-007 9.8390838e+002 1.0652899e+003 9.8390838e+002 1.0652899e+003 7.8991320e-007 Reperul R3 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.6788000e+002 1.0695800e+003 9.6788000e+002 1.0695767e+003 2.4319023e-003 9.6787900e+002 1.0695812e+003 9.6787899e+002 1.0695853e+003 3.0235171e-003 9.6788800e+002 1.0695703e+003 9.6788800e+002 1.0695707e+003 2.9147475e-004 9.6788560e+002 1.0695767e+003 9.6788560e+002 1.0695763e+003 3.2137786e-004 9.6788680e+002 1.0695761e+003 9.6788680e+002 1.0695757e+003 2.9363717e-004 9.6788620e+002 1.0695770e+003 9.6788620e+002 1.0695768e+003 1.6512711e-004 9.6788970e+002 1.0695753e+003 9.6788970e+002 1.0695752e+003 7.2660705e-005 9.6788720e+002 1.0695753e+003 9.6788720e+002 1.0695753e+003 2.4969073e-005 9.6788420e+002 1.0695753e+003 9.6788420e+002 1.0695753e+003 6.3015102e-006 9.6788580e+002 1.0695743e+003 9.6788580e+002 1.0695743e+003 7.2373064e-007 9.6788334e+002 1.0695724e+003 9.6788334e+002 1.0695724e+003 1.4419750e-006 Reperul R4 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.4845000e+002 1.1449000e+003 9.4844991e+002 1.1448846e+003 1.1941481e-002 9.4846450e+002 1.1449067e+003 9.4846461e+002 1.1449259e+003 1.4844077e-002 9.4847380e+002 1.1448943e+003 9.4847381e+002 1.1448961e+003 1.4321627e-003 9.4847360e+002 1.1449022e+003 9.4847359e+002 1.1449002e+003 1.5761710e-003 9.4846880e+002 1.1449009e+003 9.4846879e+002 1.1448990e+003 1.4434024e-003 9.4847100e+002 1.1448986e+003 9.4847099e+002 1.1448976e+003 8.1250249e-004 9.4846880e+002 1.1448965e+003 9.4846880e+002 1.1448960e+003 3.5608550e-004 9.4847300e+002 1.1449030e+003 9.4847300e+002 1.1449028e+003 1.2656752e-004 9.4846770e+002 1.1449010e+003 9.4846770e+002 1.1449010e+003 2.8560443e-005 9.4847260e+002 1.1449024e+003 9.4847260e+002 1.1449024e+003 2.4854473e-006 9.4846659e+002 1.1448993e+003 9.4846659e+002 1.1448993e+003 6.3018224e-006
După primele date introduse în filtrul Kalman estimările sunt foarte imprecise,
comparându-le cu datele reale dar după mai multe iteraţii si date introduse, erorile tind spre
zero.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 126
Rezultatele estimării cu filtrul Kalman asupra reperilor aplasa ţi pe baraj Reperul R5 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.3532000e+002 1.1482200e+003 9.3532018e+002 1.1482171e+003 2.1244261e-003 9.3533190e+002 1.1482272e+003 9.3533167e+002 1.1482308e+003 2.6440355e-003 9.3534350e+002 1.1482142e+003 9.3534348e+002 1.1482146e+003 2.5850995e-004 9.3533920e+002 1.1482211e+003 9.3533923e+002 1.1482207e+003 2.8088479e-004 9.3534190e+002 1.1482235e+003 9.3534192e+002 1.1482232e+003 2.5763990e-004 9.3533780e+002 1.1482178e+003 9.3533781e+002 1.1482176e+003 1.4285014e-004 9.3533960e+002 1.1482204e+003 9.3533960e+002 1.1482203e+003 6.5459932e-005 9.3534390e+002 1.1482161e+003 9.3534390e+002 1.1482161e+003 2.1777587e-005 9.3533820e+002 1.1482150e+003 9.3533820e+002 1.1482150e+003 4.7904143e-006 9.3534080e+002 1.1482131e+003 9.3534080e+002 1.1482131e+003 1.1164093e-006 9.3533805e+002 1.1482071e+003 9.3533805e+002 1.1482071e+003 1.8220355e-006 Reperul R6 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.3457000e+002 1.1483900e+003 9.3457012e+002 1.1483900e+003 5.5203700e-005 9.3456630e+002 1.1484049e+003 9.3456615e+002 1.1484049e+003 7.0458065e-005 9.3457550e+002 1.1483932e+003 9.3457548e+002 1.1483932e+003 3.9413383e-006 9.3457250e+002 1.1484010e+003 9.3457252e+002 1.1484010e+003 6.3881796e-006 9.3457050e+002 1.1483971e+003 9.3457052e+002 1.1483971e+003 8.1060193e-006 9.3456830e+002 1.1483893e+003 9.3456831e+002 1.1483893e+003 4.1319195e-006 9.3456840e+002 1.1483911e+003 9.3456840e+002 1.1483911e+003 2.7898068e-007 9.3457000e+002 1.1483881e+003 9.3457000e+002 1.1483881e+003 9.4825577e-007 9.3456650e+002 1.1483870e+003 9.3456650e+002 1.1483870e+003 6.0071761e-007 9.3457140e+002 1.1483971e+003 9.3457140e+002 1.1483971e+003 2.2715781e-006 9.3456745e+002 1.1483895e+003 9.3456745e+002 1.1483895e+003 3.5849496e-006
Reperul R7 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.2159000e+002 1.1519100e+003 9.2158950e+002 1.1519061e+003 3.3567643e-003 9.2158490e+002 1.1519239e+003 9.2158553e+002 1.1519287e+003 4.1696219e-003 9.2159740e+002 1.1519119e+003 9.2159746e+002 1.1519124e+003 4.0344291e-004 9.2159210e+002 1.1519129e+003 9.2159204e+002 1.1519124e+003 4.4220271e-004 9.2159410e+002 1.1519141e+003 9.2159404e+002 1.1519136e+003 4.0706681e-004 9.2159380e+002 1.1519208e+003 9.2159377e+002 1.1519205e+003 2.2862622e-004 9.2159110e+002 1.1519054e+003 9.2159109e+002 1.1519053e+003 9.6679585e-005 9.2158980e+002 1.1519075e+003 9.2158979e+002 1.1519075e+003 3.7956063e-005 9.2159010e+002 1.1519162e+003 9.2159010e+002 1.1519162e+003 1.0066448e-005 9.2158880e+002 1.1519126e+003 9.2158880e+002 1.1519126e+003 1.9705053e-006 9.2158998e+002 1.1519108e+003 9.2158998e+002 1.1519108e+003 1.0046674e-006
Reperul R8 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.2096000e+002 1.1520600e+003 9.2096011e+002 1.1520600e+003 4.7347179e-005 9.2095290e+002 1.1520766e+003 9.2095277e+002 1.1520766e+003 5.8779640e-005 9.2096460e+002 1.1520674e+003 9.2096458e+002 1.1520674e+003 3.5468147e-006 9.2095980e+002 1.1520703e+003 9.2095982e+002 1.1520703e+003 6.5627123e-006 9.2095820e+002 1.1520712e+003 9.2095821e+002 1.1520712e+003 5.3746392e-006 9.2095520e+002 1.1520645e+003 9.2095521e+002 1.1520645e+003 4.1122630e-006 9.2095960e+002 1.1520643e+003 9.2095960e+002 1.1520643e+003 6.2402933e-007 9.2096260e+002 1.1520685e+003 9.2096260e+002 1.1520685e+003 6.7420842e-009 9.2095830e+002 1.1520715e+003 9.2095830e+002 1.1520715e+003 1.4623802e-006 9.2095840e+002 1.1520689e+003 9.2095840e+002 1.1520689e+003 4.5723255e-007 9.2095791e+002 1.1520689e+003 9.2095791e+002 1.1520689e+003 4.6862783e-007
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 127
Reperul R9 Valoarea reală Valoarea estimată Eroarea rezultată X(m) Y(m) X(m) Y(m) (m) 9.0862000e+002 1.1552100e+003 9.0862006e+002 1.1552069e+003 2.4309795e-003 9.0861310e+002 1.1552327e+003 9.0861303e+002 1.1552366e+003 3.0194468e-003 9.0862620e+002 1.1552181e+003 9.0862619e+002 1.1552185e+003 2.9450258e-004 9.0861870e+002 1.1552158e+003 9.0861871e+002 1.1552154e+003 3.1989328e-004 9.0862150e+002 1.1552199e+003 9.0862151e+002 1.1552195e+003 2.9675273e-004 9.0861800e+002 1.1552224e+003 9.0861800e+002 1.1552222e+003 1.6448091e-004 9.0862010e+002 1.1552192e+003 9.0862010e+002 1.1552191e+003 7.2186412e-005 9.0862070e+002 1.1552179e+003 9.0862070e+002 1.1552179e+003 2.5544273e-005 9.0861920e+002 1.1552194e+003 9.0861920e+002 1.1552194e+003 6.5103175e-006 9.0861630e+002 1.1552081e+003 9.0861630e+002 1.1552081e+003 1.6706088e-006 9.0861803e+002 1.1552125e+003 9.0861803e+002 1.1552125e+003 2.0882251e-006
V.3 Aplicarea metodei elementului finit asupra reţelei geodezice de urmărire
Apoi am aplicat metoda elementului finit atât asupra punctele reţelei geodezice de urmărire cât
si asupra punctelor obiect cu ajutorul programului COMSOL1.
COMSOL Multiphysics (fostă FEMLAB) este un pachet de programe specializat pentru
rezolvarea, simularea şi analiza diverselor aplicaţii din fizică şi inginerie cu ajutorul metodei
elementului finit. COMSOL Multiphysics oferă o interfaţă extinsă pentru MATLAB iar uneltele
sale oferă posibilităţi de preprocesare şi postprocesare pentru o mare varietate de programare.
În plus faţă de fizica convenţională pe baza de utilizator, interfaţa COMSOL Multiphysics
permite introducerea de sisteme cuplate de ecuatii diferentiale partiale (PDE), acestea putând fi
introduse direct sau folosind aşa-numita formă slabă .
Construcţia unui model natural urmează liniile create de utilizator, de la concept la realizare.
Intrarea modelului în fluxul de lucru este controlată de Modelul Builder : care aduce o structură
logică şi dinamică simulării realizate de utilizator .
Modelul Builder urmează rapid accesul la orice parte a modelului setat - schimbările aparute în
orice nod vor fi actualizate, producând modificări la toate celelalte elemente. Se pot înregistra
chiar paşii stabiliţi ca o secvenţă a nodurilor oprind procesul la orice etapa de investigare.
Comsol furnizează o grafică integrată, folosind interfeţe unde se pot construi şi rezolva modele
prin modele fizice predefinite sau prin combinarea acestora.
Modulele Comsol sunt:
- AC/DC module: cu ajutorul căruia se pot modela performanţele condensatoarelor, bobinelor,
motoarelor şi microsenzorilor;
1 Programul COMSOL a fost elaborat în cadrul Institutul Regal de Tehnologie (KTH) din Stockholm, Suedia.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 128
- Heat Transfer Module: rezolvă problemele caracterizate prin fenomene de conducţie, convecţie
si radiaţie ;
- MEMS module : se pot modela fenomene fizice din senzori si dispozitive de dimensiune foarte
mică, cât şi efectele caracteristice microfluidelor din aceste dispozitive şi senzori piezoelectrici ;
- RF module : se pot analiza aplicatii RF, microunde si de inginerie optica. Aceste fenomene au
loc la scara mica, dar cu ajutorul RF Module se pot descrie foarte corect si aproape de realitate.
- Structural mechanics module : este specializat in analiza componentelor si subsistemelor în
care este necesară analiza deformaţiilor structurale putându-se modela geometrii foarte variate.
- Comsol CAD Import module : pot importa geometrii create de specialistii in programe CAD :
se poate analiza funcţionarea acestor dispozitive, pentru a estima mai bine
comportamentul lor în mediu industrial.
- Comsol script: acest modul permite utilizatorului folosirea unui limbaj specializat pentru a
extinde analiza datelor şi a realiza mai multe reprezentării grafice pentru o problemă analizată.
Fig. 5.7 – Reprezentarea deformaţiilor şi tensiunilor cu ajutorul FEM La aplicaţia mea am utilizat modulul “Structural mechanics module” al programului COMSOL Multiphysics. Pe axa verticală am reprezentat tensiunile iar în plan am reprezentat deformaţiile care s-au înmulţit cu 103 pentru a putea fi evidenţiate, cu cât culoarea este mai intensă cu atât deformaţia este mai mare. Se observă faptul că tensiunile maxime sunt pe baraj iar deformaţia maximă este în pilastrul PV asa cum apare si din valorile deplasărilor.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 129
Fig. 5.8 – reprezentarea deformaţiilor şi tendinţelor acestora realizat cu ajutorul FEM Lungimea săgetilor este proporţională cu mărimea deformaţiilor. Se observă o tendinţă a deplasărilor de la nord vest către sud est. V.4 Concluzii
Filtrul Kalman are avantajul că ia în calcul toate măsurătorile, indiferent de precizia lor,
încercând să le minimizeze erorile, dar dacă datele introduse sunt afectate de erori mari şi
rezultatele vor fi de asemenea afectate de erori. Rezultatele trebuie privite cu prudenţă, deoarece
un număr de cicluri de măsurători insuficiente ar introduce incertitudini în ceea ce priveste datele
obţinute.
Analiza deformaţiilor este realizată folosind rezultatele epocilor de măsurători; la
începutul aplicării filtrului Kalman, rezultatele nu sunt relevante pentru determinarea deplasării
obiectului, dar după un număr de cel puţin trei cicluri de măsurători, diferenţele dintre valorile
prezise şi cele date la următorul ciclu sunt aproximativ egale.
Cu ajutorul metodei elementului finit se pot deduce tensiunile care apar asupra fiecărui
punct dar şi tendinţa de deplasare a acestora.
De asemenea cu această metodă putem evalua dinamica şi amploarea deformaţiilor cât şi
verificarea faţă de parametrii geometrici proiectaţi.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 130
Având în vedere rezultatele obţinute prin cele două metode am considerat oportună
inspecţia pe teren, în special în zona amplasamentului pilastrului V, la care au rezultat
deplasările cele mai mari. Am constatat următoarele:
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 131
pe lângă faptul că se găseste în apropierea centralei electrice şi între canalul de fugă şi traseul
râului Crişul Repede, este amplasat chiar la partea superioară a taluzului dintre canalul de fugă
şi malul râului, unde stabilitatea terenului ar fi putut fi afectată, fapt ce ar putea reprezenta o
confirmare a rezultatelor din studiul de caz.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 132
CAPITOLUL VI – CONCLUZII
Analiza şi interpretarea deformaţiilor depinde în primul rând de tipul reţelei geodezice de
urmărire şi de precizia măsurătorilor. Pentru o analiză completă, este nevoie şi de cunoaşterea
influenţei factorilor fizici care concură la deformarea obiectului examinat, deci pentru o
interpretare concretă e nevoie şi de specialişti din disciplinele complementare (ingineri
constructori, geologi, specialisti IT), cu luarea în consideraţie a informaţiilor prioritare despre
evoluţia aşteptată sau deja stabilită a construcţiei.
În lucrare am prezentat scopul şi importanţa monitorizării comportării în timp a
construcţiilor, legislaţia în vigoare referitoare la această activitate. Ca suport al acesor demersuri
am prezentat clasificarea deplasărilor şi deformaţiilor precum şi principalele tipuri de reţelele
geodezice ce pot fi utilizate la urmărirea comportării construcţiilor, prin tehnologii clasice şi cu
aparatură modernă, care permite diminuarea timpului necesar măsurării oferind posibilitatea
urmăririi acestor obiecte în mod permanent, permiţând chiar şi interpretarea deformaţiilor.
Referitor la prelucrarea măsurătorilor efectuate în reţelele geodezice de urmărire a
deplasărilor, este tratată prelucrarea în bloc a mãsurãtorilor efectuate în mai multe etape de
măsurători. De asemenea , având în vedere necesitatea evaluării stabilităţii punctelor acestor
reţelele, este efectuată o tratare a principalelor teste statistice utilizabile în astfel de abordări.
Având în vedere importanţa estimării mărimii deformaţiilor care vor afecta o construcţie,
în condiţii de exploatare normală, pa baza principiului modelării unui obiect şi simulării
procesului studiat, urmărindu-se evoluţia unor parametri cu ajutorul modelului, în condiţii
apropiate de cele reale, este tratată exhaustiv metoda elementului finit, care permite aceast tip de
abordare.
Deoarece în prezent deformaţiile se analizează nu doar prin schimbarea geometriei unui obiect în
spaţiu şi timp cât şi ţinând cont de influenţa factorilor care cauzează deformaţia, o atenţie
specială am acordat-o conceptului analizei integrate a măsurătorilor prin diferite modele de
deformaţie. În acest sens este analizată problematica filtrării datelor prin care se urmăreşte
determinarea estimărilor variabilelor unui sistem atunci când mediul în care se desfăşoară
procesul prezintă perturbaţii aleatoare. Sunt analizate conceptul de filtrare adaptivă, filtrul
Wiener care utilizează descrierea frecvenţială şi filtrul Kalman care utilizează descrierea
temporară. Acesta se utilizează la filtrarea mărimilor de stare a unui sistem, eliminând zgomotul
prin modelarea părţii deterministe a sistemului.
Pe baza aspectelor teoretice dezvoltate în capitolele al treilea şi al patrulea, în cadrul
studiului de caz am încercat să realizez analiza deformaţiilor şi să efectuez estimarea poziţiei
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 133
punctelor obiect pentru un viitor ciclu de măsurare. Pentru primul deziderat am folosit filtrul
Kalman iar pentru cel de al doilea am utilizat metoda elementului finit.
Filtrul Kalman l-am aplicat la setul de date obţinut din unsprezece cicluri de măsurători,
estimând deformaţia obiectului pe baza analizei poziţiilor precedente. Fiind un filtru recursiv,
estimează starea unui sistem liniar dinamic având la dispoziţie date culese cu măsurători
imprecise (afectate de erori-zgomot) sau date incomplete. Astfel după introducerea şi prelucrarea
primelor cicluri de observaţii, datele rezultate diferă faţă de cele din ciclul ulterior iar după al
treilea ciclu de observaţii, predicţia rezultată era aproximativ egală cu cea rezultată din
prelucrarea următorului ciclu de măsurători.
Rezultatele obţinute permit să se concluzioneze:
- cu ajutorul filtrului Kalman se obţin rezultate apropiate de valorile reale numai după mai
multe cicluri de date introduse, în cazul nostru după trei cicluri de observaţii;
- predicţia făcută cu ajutorul filtrului Kalman ne arată poziţia viitoare a obiectului
examinat, excluzând cazul unor avarii apărute din diferite motive.
Cu ajutorul metodei elementului finit am pus în evidenţă tensiunile care acţionează
asupra fiecărui punct observat, iar specialiştii din domeniul rezistenţei construcţiilor vor putea
decide ce măsuri vor trebui luate. În urma aplicării lui se poate determima dinamica şi amploarea
deformaţiilor cât şi verificarea stabilităţii barajului şi a reţelei de urmărire a acestuia faţă de
poziţia iniţială a reţelei a cărei referinţă este rezultată din ciclul de măsurători zero. Este util de
aplicat în condiţiile în care nu este supus la calamităţi naturale şi artificiale.
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 134
BIBLIOGRAFIE 1- H. Alkhatib, I. Neumann, H. Neuner and H. Kutterer -Comparison of Sequential Monte Carlo Filtering with Kalman Filtering for Nonlinear State Estimation- 1st International Conference on Machine Control & Guidance, June 24-26, 2008; 2 - T. Bayrak - Monitoring Temporal Behavior of the Yamula Dam - Shaping the Change XXIII FIG Congress Munich, Germany, October 8-13, 2006; 3 - J. A. Behr, K. W. Hudnut and N. E. King - Monitoring Structural Deformation at Pacoima Dam, California Using Continuous GPS; 4 -A de Bruijne, F. Kenselaar and F. Klejer- Kinematic deformation analzsis of the first order benchmarks in the Netherlands- The 10th FIG International Symposiumon Deformation Measurements, session V: Earth crustal deformation, earthquakes and regional mouvements II; 5 - A. Szostak Chrzanowski, M. Massiera, A. Chrzanowski –Kinematic Analysis of behavior of large Earth dams – Shaping the Change XXIII FIG Congress Munich, Germany, October 8-13, 2006; 6 - O. L. Colombo, A. W. Sutter, A. G. Evans - Evaluation of Precise, Kinematic GPS Point Positioning- Proceedings of the Institute Of Navigation (ION) GNSS-2004 Meeting, Long Beach, California, September 2004; 7- COMSOL Multiphysics User’s Guide © COPYRIGHT 1994–2007 by COMSOL AB; 8 - P. I. Dragomir- Bazele măsurătorilor inginereşti - Conspress Bucureşti, 2009; 9- P. I. Dragomir, Gh. Tămăioagă, D. Mihăilescu, P Tucan - Topografie inginerească – Compress Bucureşti 2000; 10- P. I. Dragomir –Măsurători inginereşti avansate – Universitatea Tehnică de Construcţii , Facultatea de Geodezie, note de curs; 11 - V. Dugan – Proiectarea şi utilizarea filtrelor Kalman la radarele folosite pentru determinarea ţintelor aeriene; 12 - Andreas Eichhorn - Analysis of dynamic deformation processes with adaptive Kalman-filtering - Journal of Applied Geodesy 1 (2007), 9–156 de Gruyter 2007. DOI 10.1515/JAG.2007.002; 13 – N. Fotescu –Teoria erorilor şi metoda celor mai mici pătrate- Institutul de Construcţii Bucureşti; 14 - N. Fotescu, A. Ilieş, V.Danciu – Studiul erorii unei funcţii de mărimi determinate indirect- Buletinul Ştiinţific al Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti, nr. 1, 1998, p. 1-4; 15 - C.Grecea - Introducere în geodezia satelitară- Editura Mirton, Timişoara, 1999; 16 - C. D. Ince, M. Sahin - Real-time deformation monitoring with GPS and Kalman Filter - Earth Planets Space, 52, 837–840, 2000;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 135
17 - R. Jäger, M. Oswald- GNSS/LPS/LS based Control and Alarm system (GOCA) -Ein geodätischer Beitrag zum Geo Beitrag zum Geo-/Anlagen -/Gebäude /, Monitoring, Deformationsanalyse und Katastrophenschutz , CITY BUILD 2008 Moskau, 11.-13. November 2008; 18 - H. Kuhlmann - Kalman-Filtering with coloured measurement noise for deformation analysis - Proceedings, 11th FIG Symposium on Deformation Measurements, Santorini, Greece, 2003; 19 - R. Jäger, A Hoscislawski GNSS/LPS/LS based Online Control and Alarm System (GOCA); 20 - S. Kälber, R. Jäger - GPS-Based online control and alarm system (GOCA)- 10th FIG International Symposium on Deformation Measurements, Orange, California, March 19 through 22, 2001; 21 - F. Löffler - Handbuch Ingenieurgeodäsie –Maschinen und Anlagenbau, MÖSER, M.; MÜLLER, G.; SCHLEMMER, H.; WERNER, H. (Hrsg.), Wichmann Verlag, Heidelberg 2002. ISBN-Nr. 3-87907-299-x; 22 - L. A. McGee, S. F. Schmidt - Discovery of the Kalman Filter asa Practical Tool for Aerospace and Industry - NASA Technical Memorandum 86847, November 1985; 23 - Jin F, M. Mayoud and J.P. Quesnel – Situation analysis and stability evaluation of large electron positon Collider in CERN - The 10th FIG International Symposiumon Deformation Measurements, session IX: Theory of deformation analysis I; 24 - M. Neamţu, D. Onose, J. Newner – Măsurarea topografică a deplasărilor şi deformaţiilor construcţiilor – Institutul de Construcţii Bucureşti – 1988; 25 - I. Neumann, H. Kutterer – Congruence tests and outlier detection in deformation analzszs with respect to observation imprecision- 3rd IAG/12th FIG Symposium, Baden, May 22-24, 2006; 26 - H. Neuner, H. Kutterer – On the detection of change – points in structural deformation analysis- 3rd IAG/12th FIG Symposium, Baden, May 22-24, 2006; 27 - J. Neuner – Reţele geodezice create prin tehnologii satelitare şi posibilitatea utilizării acestora în U.C.T.C; 28 - J. Neuner – Sisteme de Poziţionare Globală, MATRIXROM Bucureşti, 2000;
29 - Nguyen van Khoan - Kinematische Modelle zur Erfassung von Hangrutschungen unter besonderer Berücksichtigung des erweiterten Kalman filters;
30 - G. Nistor - Geodezie aplicată la studiul construcţiilor- Editura Gh. Asachi, Iaşi, 1993 31 - G. Nistor – Asupra unor metode topografo-geodezice de urmărire a comportării construcţiilor- Teza de doctorat Universitatea din Braşov; 32- V. Nica – Metode geodezice de urmărire a comportării construcţiilor hidrotehnice;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 136
33- D. Onose – Urmarirea comportării construcţiilor şi terenurilor – note de curs; 34 – D. Onose – Topografie – Editura Matrixrom Bucureşti, 2004; 35 - Fredrik Orderud - Comparison of Kalman Filter Estimation Approaches for State Space Models with Nonlinear Measurements- Sem Sælands vei 7-9, NO-7491 Trondheim; 36 - S. Padmakumar, A. Vivek, R. Kallol - A Tutorial on Dynamic Simulation of DC Motor and Implementation of Kalman Filter on a Floating Point DSP- World Academy of Science, Engineering and Technology 53 2009; 37 - F. Poyraz, E. Gulal - Integration of theoretical and the empirical deformations by KALMAN-Filtering in the North Anatolia Fault Zone - Nat. Hazards Earth Syst. Sci., 7, 683–693, 2007; 38 – R. Priscu – Construcţii hidrotehnice – vol II, Editura Didactică şi pedagogică 1974; 39 - G. Puşcaşu, B. Codreş – Semnale şi metode de procesare – Universitatea Dunărea de Jos Galaţi, 2004 ; 40 - M. I. Ribeiro - Kalman and Extended Kalman Filters: Concept, Derivation and Properties - Institute for Systems and Robotics, 1049-001 Lisboa PORTUGAL, February 2004; 41 -T. Rus, V. Danciu – Determinarea contribuţiei erorilor sistematice în observaţiile GPS. Indicatorii preciziei; 42 - D. Simon - Kalman Filtering - Embedded Systems Programming JUNE 2001; 43 - D. Simon, H. El-Sherief, -Hybrid Kalman / Minimax Filtering in Phase-Locked Loops- Control Engineering Practice, October 1996; 44 – Şt. Sorohan, C. Petre - Programe şi aplicaţii cu elemente finite - Editura Printech, Bucureşti, 2004, (format electronic pentru studenţi); 45 – U. S. Army Corps of Engineers- EM 1110-1-1004 1June 2002 U. S. Army Corps of Engineers- EM 1110-2-1009 1June 2002- Technical requirements structural deformation monitoring surveys central and southern Florida flood control project; 46 – V. Ursea – Topografie ingineresacă, note de curs, Oradea, 2003 47 - I. Vasile – Estimarea şi identificarea proceselor- estimatoare stochastice-filtre. 48 - G. Welch, G. Bishop - An Introduction to the Kalman Filter-Department of Computer Science University of North Carolina at Chapel Hill Chapel Hill, NC27599-3175, updated: Monday, July 24, 2006; 49 - T. Weifeng, L. Qing, J. Zhihua - Sensor fusion in remote sensing satellites using a modified Kalman filter –Institute of Physics publishing measurement science and technology, Meas. Sci. Technol. 14 (2003) 356–367; 50 - W. Welsch, O. Heuneche, H. Kuhlamann – Auswertung geodätischer Überwachungsmessungen;
ANALIZA PROCESELOR DINAMICE ALE CONSTRUCŢIILOR ŞI TERENURILOR
Liliana Ghergheleş - TEZA DE DOCTORAT 137
51 www.rompos.ro 52 www.fig.ro