Teorija grupa i simetrija u muzici

Nada Cvetković 352/08

1. Skupovi i grupe

• Definicija grupe• Kejlijeva tablica• Red grupe• Definicija podgrupe• Posebne vrste grupa

1. Simetrična

2. Diedarska

3. Ciklička

Kejlijeva tablica

Simetrična grupa 3S

Diederska grupa

Ciklička grupa

,0 ab bb 1 cb 2

2. Simetrije koje se javljaju u muzici

• Translacija• Osna simetrija• Rotacija

Translacija

Betovenova “Mesečeva sonata”

“Tokata i fuga u d-molu” J. S. Bah

Osna simetrija

“Peti gudački kvartet” Bartok Bela

“Valcer” Šopen

Vokalna vežba

Retrogradni kanonJ. S. Bah

Rotacija

“Španska rapsodija” Ravel

3. Homomorfizam grupe i Kejlijeva teorema

Definicija homomorfizma

Teorema: Svaka konačna grupa reda n izomorfna je sa nekom podgrupom simetrične grupe

Definicija kongruencije

Defnicija binarne operacije na količničkom skupu

yfxfxyf

nS

/G

/, Gyx xyyx

12/

Isto tako u muzici možemo uvesti relaciju ekvivalencije gde dva tona smatramo ekvivalentnim ukoliko se razlikuju za ceo broj oktava.

Tada elementi prethodno navedene grupe obrazuju klase ekvivalencije tonova, gde dve note pripadaju istoj klasi tonova ako se razlikuju za ceo broj oktava.

4. Nizovi tonova i operacije na njima

DefinicijaTranspozicija

Inverzija

Retrogradna operacija

803x 047)(4 xT

409xI 10636 xIT

308xR

Među navedenim operacijama važe sledeći ondosi:

U terminima teorije grupa, oparacije formiraju cikličku grupu

Operacija zajedno sa identičkom operacijom čini cikličku grupu

Dekartov proizvod

Direktan proizvod podgrupa

eT 12 nn RTRT nn ITIT IRRI

12/nT

R 2/

21212211 ,,, bbaababa

5. Orbite i klase razlagnja grupe

Definicija dejstva grupe na skup Definicija binarne relacije na skupu

Definicija orbite kao klase ekvivalencije

Definicija desne klase elementa a Teorema 1: ako i samo ako

Definicija leve klase elementa a Teorema 2: Postoji bijekcija iz na desnu klasu Teorema 3: Red konačne grupe deljiv je redom svake njene

podgrupe.

Ggxx gG

Hax ax H

H Ha

Definicija stabilizatora elementa x

Teorema 4: Stabilizator elementa x je podgrupa grupe G

Teorema 5: Postoji bijekcija između desnih klasa razlaganja grupe G po stabilizatoru elementa x i orbite elementa x.

Posledica 6.

xxGgG gx

Gx xGG :

6. Normalna podgrupa i količnička grupa

Definicija normalne podgrupe

Definicija operacije na količničkom grupoidu

Teorema: je grupa

Jezgro homomorfizma

Teorema o homomorfizmu

GaaHHG /

7. Lema Brnsajda

Problem prebrojavanja nizova tonova Apstraktna formulacije problema

8. Skupovi klasa tonova

Primarna forma Vektor intervala Oznake