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J.R Vidal Bosch COMPORAMIENTO DEL BUQUE ENLA MAR 2008
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TEORÍA DE OLAS
Y
COMPORTAMIENTO DEL BUQUE EN LA MAR
J OSEP RAMON VIDAL BOSCH
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INTRODUCCIÓN
El comportamiento del buque en la mar es una metodología que tiene como objeto el
estudio de los movimientos y de los esfuerzos producidos por las olas en los sistemas
marinos.
Si la excitación que actúa sobre los sistemas marinos, el oleaje, se pudiese representar
de una manera determinista como una función del espacio y del tiempo, el problema del
comportamiento en la mar sería un caso particular más o menos complicado del análisis
del movimiento armónico forzado y amortiguado en los seis grados de libertad.
Dado que la descripción determinista de la superficie de la mar parece difícil incluso deimaginar, se propone para el estudio del comportamiento del buque en la mar una
descripción estocástica del oleaje, en el domino de la frecuencia y del número de
longitud de onda, que permite calcular los movimientos y esfuerzos de los sistemas
marinos con una fiabilidad suficiente.
En 1898 Krylov estudió los movimientos del buque considerándolo como un sólido
rígido moviéndose según sus seis grados de libertad en olas regulares que se propagan
con cualquier rumbo relativo al buque y con su frente de onda, recto, manteniéndosesiempre paralelo a sí mismo (olas de cresta larga).
Froude y Krylov usaron hipótesis simplificadoras: supusieron que la presencia del
buque no alteraba el campo de presiones de las olas incidentes, con lo que las fuerzas
producidas por éstas se podían calcular integrando su presión sobre la superficie mojada
media del barco. Esta hipótesis denominada del “buque fantasma” que dependiendo de
las dimensiones del buque, pueden representar una parte importante de la fuerza total
que ejercen sobre éstas.
En 1950 aproximadamente Weinblum y St. Denis aplican las leyes de Newton para
resolver el problema del movimiento de la frecuencia de oscilación similar a las de un
movimiento amortiguado y forzado.
Las fuerzas excitadoras son la suma de las Froude-Krilov y las de difracción de las olas
incidentes. A las elongaciones de las oscilaciones del buque se les aplican unoscoeficientes hidrostáticos restauradores; las velocidades de estas oscilaciones se ven
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afectadas por unos coeficientes hidrodinámicos amortiguadores y, por último, las
aceleraciones de dichas oscilaciones se multiplican por coeficientes hidrodinámicos que
consideran el efecto de la aceleración del fluido sobre las masas e inercias del buque
(masas e inercias añadidas).
Pierson y St. Denis en 1953 se aproxima más a la realidad de los movimientos de las
olas y el buque mediante las teorías de los procesos aleatorios que ya eran usadas en el
campo de las telecomunicaciones. La aportación de estos dos autores fue la de
reconocer que considerar localmente y a corto plazo la superficie libre de la mar comoun proceso aleatorio gaussiano de segundo orden era compatible con las leyes de la
hidrodinámica clásica aplicables a la cinemática y a la dinámica de las partículas del
agua. Así se justifica, con la ayuda del teorema del límite central, la aplicación del
principio de superposición que supone la superficie del mar formada por la suma demuchas olas sinusoidales de distintas amplitudes, frecuencias y direcciones pero, cada
una de ellas, con su desfase aleatorio y equiprobable (Modelo de Longuet-Higgins).
El último pilar se basa en Korvin-Kroukovsky. Basándose en la esbeltez de los buques
se propone la teoría de rebanadas que permite reducir el problema tridimensional del
cálculo de los potenciales de velocidad a uno bidimensional: se resuelve el problema
para distintas secciones transversales del buque y los resultados finales se obtienen
integrando estas soluciones parciales a lo largo de la eslora del buque. Se proponeademás considerar una condición linealizada de superficie libre y trabajar con el
concepto de frecuencia de encuentro.
Así se ha llegado a la teoría lineal clásica del Comportamiento en la Mar que se
encuentra ahora en su madurez y que se basa en las siguientes hipótesis fundamentales:
1. El fluido se suponen homogéneo, incompresible y sin viscosidad, y el flujo
irrotacional, derivando sus características, por lo tanto, de un potencial de velocidad.
2. Las olas tienen pequeñas amplitudes y por consiguiente los movimientos del buque
son pequeños: el buque oscila armónicamente con una frecuencia igual a la de
encuentro con las olas.
3. Se supone una relación lineal adimensional entre la amplitud (pendiente) de las olas,
y las amplitudes de las elongaciones (rotaciones) de los distintos movimientos del
buque.
4. El buque es un sólido rígido con costados verticales en su flotación.
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5. Las formas del buque varían suavemente a lo largo de su eslora: se puede aplicar la
teoría de rebanadas suponiendo, salvo en el caso de la largada, que las velocidades
transversales del flujo sobre el casco del buque predominan sobre las longitudes.
6. La velocidad del buque no es excesivamente elevada como para crear sustentacióndinámica o generar trenes de olas que puedan alterar significativamente su superficie
mojada.
Estas hipótesis se pueden aplicar a buques de formas convencionales que naveguen a
velocidades correspondientes a números de Froude de hasta 0,35.
Si bien se puede discutir la “exactitud” de los resultados absolutos obtenidos al aplicar esta teoría son de gran utilidad los resultados relativos: es razonable esperar que si se
comparan distintas alternativas a un proyecto, aquella que presente los mejores
resultados será la que ofrezca un mejor comportamiento en la mar.
El comportamiento en la mar afecta al diseño y a la operación. Se debe tener en cuenta
en a la hora de tomar decisiones:
A largo plazo:
• Especificación de las características de los nuevos buques a incorporar
• Designación del buque más adecuado para cada misión.
A corto plazo:
• Rumbos y velocidades más adecuadas para realizar una misión determinada en
cierto estado de la mar.
• Evaluación de las condiciones de mar y de viento para la navegación y criticidad
de la misión.
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MOVIMIENTO DE LAS PARTÍCULAS DEL AGUA
El hecho experimentado de que las partículas de agua tienen muy poco o casi nulo
movimiento de translación lleva a las propuestas de que su movimiento puede ser o una
oscilación más o menos vertical, o que bien describen una trayectoria cerrada, tal comouna circunferencia. La primera hipótesis significaría la formación de una depresión en la
columna de agua debajo de una cresta y compresión de la columna de agua coincidiendo
con un seno. Las observaciones realizadas indican que esto no ocurre, por tanto, hay que
descartar esta propuesta. La segunda hipótesis es la base para las teorías potencial y
trocoidal de la ola.
Una ola en aguas profundas la podemos suponer que giran en órbitas circulares. En la
cresta de la ola las partículas de agua se mueven en sentido del oleaje, mientras que en
el seno de la ola se mueve en sentido contrario. Además suponemos que el radio del
movimiento circular de las partículas disminuye exponencialmente con la profundidad,
desapareciendo el efecto de la ola a partir de una profundidad del doble al triple de la
longitud de onda.
En aguas someras las circunferencias se convierten en elipses (caso B).
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CARACTERÍSTICAS DE LAS OLAS
En el entorno de un buque, una de las maneras más simple y usual de describir el perfil
de las olas de la superficie libre de la mar es mediante la ola trocoidal bidimensional, es
decir, uniforme y no limitada en el espacio. En este apartado definiremos los siguientestérminos:
Cresta: Zona más elevada de la ola
Seno: Zona más baja de la ola
Altura de ola (H): Distancia entre cresta y seno, también conocida como valor pico-
pico.
Amplitud (): Distancia entre la cresta y la línea neutra correspondiente a aguas
tranquilas, también conocida como valor de pico.
Elevación de la ola (η): Distancia vertical de un punto cualquiera de la superficie libre
de la ola, en un instante determinado, sobre el nivel del mar en aguas tranquilas.
Periodo (T ): Tiempo que transcurre entre el paso de dos crestas o senos. También se
puede definir como el tiempo empleado por una cresta o un seno en recorrer una
distancia igual a la longitud de ola.
2
Frecuencia ( f ): número de crestas que pasan en un segundo. Es la inversa del periodo.
Velocidad de la ola: Es la velocidad de propagación de la ola. Para un ciclo:
Longitud de onda: Distancia recorrida en la propagación de la ola en el tiempo de un
periodo.
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Número de olas o número de onda (k): Es la inversa de la longitud de onda por 2·π.
Representa el número de ciclos por unidad de longitud:
2
CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS HARMÓNICAS
Una partícula tiene un movimiento armónico simple a lo largo del eje X cuando su
elongación “ x”, o coordenada de posición sobre dicho eje, se expresa mediante una
función sinusoidal del tiempo dado.
cos Se denomina onda harmónica a las que tienen el origen en las perturbaciones periódicas
producidas en un medio elástico por un movimiento harmónico simple.
Las olas superficiales de la mar se caracterizan porque oscilan tanto paralelamente
(resorte) como transversalmente (cuerda) en la dirección de propagación de la ola.
Si consideramos la propagación de la onda como un movimiento rectilíneo uniforme, se
puede expresar la velocidad de propagación como:
∆∆
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Si definimos la longitud de onda (λ como la distancia mínima entre dos puntos
consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración y el periodo como el
tiempo que usa el movimiento ondulatorio en avanzar una longitud de onda, entonces:
λ λ
Finalmente se puede expresar la amplitud de onda o función de onda, como el valor de
la elongación para cada punto en función del tiempo.
, La anterior ecuación nos quedaría menos simplificada si no se definiese la constante k,
en dónde k es el número de ondas.
2λ
OLA TROCOIDAL O SINUSOIDAL
El tratamiento de la ola trocoidal no es fácil de manipular. Además para un sistema
regular o irregular de olas se realiza un tratamiento con sinusoides. Las diferencias en la
respuesta entre una y otro tipo de ola son pequeñas si las olas son de la misma altura y
longitud. En general tendremos los siguientes valores característicos:
2 λ
2 λ
λ 2 1,56
λ 1,56
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VELOCIDAD DE UNA PARTÍCULA
El mecanismo preciso por el cual se generan las olas no es del todo conocido. La acción
del viento sobre la superficie del mar se considera la causa principal de la formación de
olas. Existen dos causas más que pueden generar olas importantes, aunque muyesporádicamente. Estas son, la interacción de las corrientes oceánicas que pueden crear
olas de gran longitud de onda y sucesos geológicos como seísmos y desprendimientos
de acantilados. De todas ellas, nosotros estudiaremos solamente las olas generadas por
el viento por ser las más cotidianas.
Cuando el viento tiene poca intensidad e interacciona con la superficie libre del mar en
reposo, se produce una cierta rugosidad sobre su superficie. La tensión superficial se
opone al desplazamiento de las partículas. Si cesa la acción del viento ligero, la mar queda nuevamente en calma. Por el contrario, si el viento interacciona con la superficie
libre de la mar con gran intensidad, las olas adquirirán cierta altura, oponiéndose a este
movimiento la fuerza de la gravedad. Este tipo de ola es conocido como olas de
gravedad, que serán las que nosotros tengamos en mente.
Las partículas de agua se consideran, como se ha dicho, que giran en órbitas
prácticamente circulares, luego su velocidad será:
2 2 2
R es el radio de trayectoria circular y H la altura de la ola.
Si queremos relacionar la velocidad de la partícula con la velocidad de la ola:
2 1
Relacionando:
2 2 2
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Esto es aproximadamente igual a:
3
Como la pendiente de la ola es la tangente del ángulo α, tan y como según la
teoría de Stokes, la ola rompe cuando la pendiente es de 1/7, la relación entre las
velocidades de las partículas y las velocidades de la ola será de:
37
TEORÍA DE OLA MÁS ADECUADA
PROFUNDIDAD AMPL ITUD TEORÍAGrande Pequeña Airy
Grande Grande Sinusoidal 3º
Media Pequeña Stokes 3º/5º
Pequeña Pequeña CnoidalPequeña Grande Cnoidal 2º
Más pequeña Pequeña Solitaria
Más pequeña Grande Solitaria
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ALTURA DE OLA SIGNIFICATIVA
La altura de ola significante, Hs o H1/3 es el parámetro más extendido a la hora de
describir un estado de mar. Fue presentado por primera vez por Sverdrup y Munk
(1947) y surgió de la necesidad de establecer un parámetro estadístico que relacionaralas alturas de ola obtenidas en el registro instrumental del oleaje y las establecidas a
través de observación visual de un estado de mar.
Si se registran las alturas de las olas en una zona y durante un tiempo determinado, se
observará una diversidad importante de valores. Para indicar la altura de la ola
representativa de este estado de la mar se toma un valor estadístico denominado altura
de la ola significativa, que es la media aritmética de las alturas del tercio de las olas de
mayor altura registradas. Hay que indicar que no se puede establecer una relación que permita hallar la altura máxima de la ola, a partir de la altura de la ola significativa.
/ ∑ 13 á13 ú 3 /
Dónde H i es la serie de alturas de ola individuales del registro, ordenada de mayor amenor ( H 1 es la altura de ola máxima y H N es la altura de ola mínima) y N es el número
total de olas individuales del registro. Se puede hacer de menor a mayor.
VELOCIDAD Y PERIODO DE ENCUENTRO
Cuando examinamos un MHS en un sistema resorte-masa, vemos que el movimiento
creado por la fuerza de excitación depende en magnitud de la fuerza de excitación y su
frecuencia. La respuesta de un barco a la fuerza de excitación no es diferente. Sin
embargo, la frecuencia de excitación de la fuerza no sólo depende de la frecuencia de la
ola, sino que también de la velocidad y la dirección del barco. El parámetro importante
es la frecuencia de encuentro, que tiene en cuenta la velocidad relativa del barco y de
las olas de la mar.
Intentaremos determinar la relación existente entre la frecuencia y el periodo de
encuentro entre el buque navegando y las olas.
• Velocidad absoluta del barco
• Velocidad absoluta de la ola
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El cálculo de la velocidad de encuentro se tratará como un problema de móviles, siendo
esta igual a:
cos
Siendo el término cos positivo cuando el ángulo α esté en el primer o cuarto
cuadrante (mar por amura), y negativo cuando α esté en el segundo o tercer cuadrante
(mar de aleta).
El periodo de encuentro de la ola se puede obtener a partir de la velocidad de encuentro.
La velocidad de encuentro será mayor cuando el cos sea positivo y menor en el caso
contrario. Luego, para la misma longitud de onda, es decir, para la misma distancia
recorrida , el periodo será menor y estará en relación inversa con la velocidad de
encuentro:
y
Luego como: cos
Entonces:
cos
Como se puede ver el periodo de encuentro depende de la velocidad del buque y del
rumbo cos. La expresión se puede poner también como:
1 cos
A efectos de a bordo, el periodo de encuentro, se puede obtener de forma práctica
midiendo el tiempo que transcurre desde que pasa una cresta por un punto cualquiera
del buque, hasta que pasa la siguiente cresta por el mismo punto.
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FORMACIÓN DE OLAS
El viento es la causa principal y más habitual de formación de olas sobre la superficie
libre del mar. La perturbación creada depende:
1. La fuerza del viento
2. Su duración
3. La profundidad de la zona
4. Fetch o superficie de la mar afectada por el viento
El viento transfiere energía a la superficie libre del mar. Dependiendo del balance
enérgico entre la energía aportada por el viento y la disipada por la mar, se formarán ono olas que deberán tenerse en consideración.
Cuando la energía aportada por el viento es menor que la energía disipada por lafricción viscosa de las partículas de agua, caso cuando sopla un viento ligero, no se
llegan a producir olas de gravedad. Entonces la mar se riza con olas de muy poca altura
y pequeña longitud de onda. Cuando cesa el viento se retorna rápidamente a la mar
calmada.
En el caso contrario, el viento tiene una intensidad y duración suficiente y afecta a una
superficie importante del mar ( fetch). Las olas de gravedad se forman y continúan
trasladándose aunque cese el viento.
Mientras la energía aportada sea mayor que la disipada, la ola irá creciendo. El proceso
concluye cuando las energías se igualan, o bien, la ola rompe al superar una pendiente
de ola de 1/7. El mecanismo de transmisión de la energía del viento a las olas no está
claramente definido. Pero existen diferentes hipótesis, como:
1. Las olas obtienen la energía del viento por el empuje de este cuando suvelocidad es mayor que la velocidad de la ola.
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2. La energía se transfiere por fricción de las partículas de aire con las partículas de
agua de la superficie libre del mar.
3. Las olas obtienen la energía del viento por la diferencia de presión entre la cara
anterior y posterior de la ola.
Existe una relación entre la velocidad del viento y la altura de la ola. Si comparamos las
escalas de Beaufort y Douglas tenemos:
REFLEXIÓN Y ROTURA DEL OLEAJ E
La reflexión es la parte de la energía que vuelve de nuevo a la mar. Depende de la
pendiente de la playa o del dique.
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PROCESOS ALEATORIOS
Un proceso aleatorio es aquel cuya evolución no depende de leyes deterministas sino de
causas aleatorias. Debido a su propia naturaleza, nunca se tendrá caracterizado un
proceso aleatorio a menos que se dispongan de todos los registros del mismo, cosa quees prácticamente imposible. Sin embargo existen procesos aleatorios especiales que, si
no totalmente, si se pueden caracterizar parcialmente conociendo unas cuantas de sus
características principales.
Se dice que un proceso aleatorio es estacionario si sus características estadísticas no
dependen del tiempo, y se dice que es homogéneo si estas características estadísticas no
dependen del espacio. Un proceso aleatorio se denomina ergódico si queda
“totalmente” caracterizado por una realización del mismo suficientemente larga.
La experiencia demuestra que la superficie de una mar moderada, descrita como su
elevación respecto a un nivel medio de referencia, puede considerarse un proceso
estacionario, homogéneo y ergódico siempre que se describa localmente y a corto plazo,
por ejemplo, en un radio de 60 millas durante 4 horas. También se admite que para
describir suficientemente este proceso bastaría con conocer solamente tres de sus
características estadísticas que serían independientes del espacio y del tiempo: el valor
medio (es prácticamente cero), el valor cuadrático medio (informa sobre la cantidadde energía contenida en la mar) y la función de autocorrelación (describe cómo se
pueden distribuir las elevaciones de la mar a lo largo del espacio y del tiempo).
Se dispone de tres dominios de cálculo distintos para cuantificar un mismo fenómeno,
pudiéndose trabajar en uno u otro según resulte más conveniente en cada caso.
Dominios de Interés en el Comportamiento en la mar
Dominio de la frecuencia. Función de la Densidad espectral.
Dominio de la probalidad. Estadística
Gaussiana.
Dominio del tiempo. Hidrodinámica clásica.
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Notas:
Las elevaciones de la superficie libre tomadas a intervalos de tiempo constante se
distribuyen de acuerdo con una distribución normal ó de Gauss.
En cambio, los valores absolutos de las Amplitudes del registro se reparten de acuerdo a
una distribución de Rayleight.
Si suponemos que en el balance de un buque, el valor de su escora instantánea, es una
variable aleatoria Gaussiana o Normal, el valor medio es nulo y entonces su valor
cuadrático medio si coincide con su varianza.
Si suponemos que el máximo balance de un buque, su amplitud, es una variable
aleatoria de Rayleight en este caso el valor medio es nulo y su valor cuadrático medio so
coincide con su varianza.
OLAS REGULARES E IRREGULARES
La diferencia entre olas regulares e irregulares se entiende intuitivamente. Las olasregulares son aquellas que mantienen su altura y su longitud de onda en el tiempo. Son
aquellas que no cambian ni su tamaño ni su forma en el tiempo. Sin embargo, lo normal
es que ocurra justamente lo contrario, es decir, que las olas de la mar sean irregulares en
el tiempo y en el espacio. Por lo tanto, su descripción real responde a valores aleatorios
de las características. Esto es así, porque a su vez, el viento que las genera no es de
intensidad constante, estando sujeto a rechas que se manifiestan en esta irregularidad de
la mar.
ALGUNAS TEORÍAS DE OLAS REGULARES TEORÍA DE AIRY OLAS DE STOKES
Patm constante sobre la superficie del mar Mejora los resultados de Airy
No se detecta transporte de masa Detecta el transporte de masa
Muy cómoda de usar Crestas más picudas y senos más planos
Soluciones aceptables para tamaños no
muy grandes
No se puede aplicar el principio de
superposición.
Olas sinusoidales Tampoco el modelo de Longuet-Higgins
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Lo que también ocurre dentro de esta irregularidad es que, en un punto cualquiera del
espacio, la mar presenta un modelo formado por un tren de olas irregulares, que se va
repitiendo durante un cierto periodo de tiempo, normalmente corto, y que le da una
apariencia de uniformidad.
Una vez formadas las olas se trasladarán sobre la superficie de la mar, fuera de la zona
de generación, hasta que se agote su energía. Estas olas, no sujetas ya al viento que las
originó, van suavizando sus formas, lo que se manifiesta en unas crestas redondeadas y
en menores variaciones de alturas entre crestas sucesivas, presentando, por tanto, una
mayor uniformidad. A la mar que tiene estas características se la denomina mar tendida
o de fondo.
Las olas irregulares varían su longitud de onda y altura de forma aleatoriamente y deben
ser consideradas desde el punto de vista estadístico. El origen de la irregularidad es
diverso: variaciones de profundidad a lo largo del espacio, variación de la fuerza del
viento, etc. La mar irregular puede ser explicada por el teorema de superposición, ya
que la ola irregular, realmente puede ser descrita por la superposición de olas
sinusoidales de diversa amplitud y frecuencia.
La energía de la ola tiene una componente cinética y otra potencia. La energía cinética
debida al movimiento circular de las partículas de agua y la potencial debido a su
elevación. Dicha energía vale:
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20
12
Siendo:
B: La anchura considerada
: Longitud de onda: Amplitud de onda
: Densidad del fluido
Si dividimos la energía por la superficie comprendida en una distancia igual a la
longitud de onda:
12
En lo que llamaremos como E , densidad de energía de la ola. Podemos apreciar que al
duplicar la amplitud de la ola, se multiplica por 4 la energía de esta. Esta densidad de
energía es para una ola regular dónde no varía ni su longitud de onda, ni la altura de
ésta.
ESPECTRO DE LA OLA
En la mar irregular, las olas no son fenómenos ondulatorios deterministas. Realmente
son procesos aleatorios dónde existen distintas longitudes de onda y distintas alturas de
ola. Dependiendo del fenómeno aleatorio se usan distintas unidades de mediad en el
denominado dominio de la frecuencia.
Para fenómenos deterministas o periódicos Ö se usan unidades de potencia (PWR)
Para fenómenos aleatoriosÖ
Se usa la densidad de potencia espectral (PSD)
Para fenómenos transitorios Ö Se usa la densidad de energía espectral (ESD)
También se suele usar en el caso de señales deterministas o periódicos, el valor RMS,
que es la raíz cuadrada del autoespectro:
√
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J.
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22
ANÁLISIS ESPECTRAL DEL OLEAJ E IRREGULARLa forma más normal de obtener el espectro de energía es a partir del registro temporal
de oleaje recogido con una boya escalar del que podemos obtener el espectro
unidimensional local de energía, que depende sólo de la frecuencia S ζ ( ω ). El aspecto de
un registro temporal de elevaciones del mar tomado por una boya escalar podría ser
parecido al que muestra la siguiente figura:
En donde destacamos:
1. H : altura de ola, distancia vertical entre el máximo absoluto positivo en medio ciclo y
el mínimo absoluto negativo del siguiente medio ciclo, o viceversa. Siempre se
considera positivo.
2. A: amplitud de ola, distancia vertical de los máximos o mínimos de la superficie libre
del mar con respecto a un plano de referencia horizontal en aguas tranquilas.
3. T02 = Tz : período entre cortes por cero ascendente, intervalo de tiempo transcurrido
entre dos cortes sucesivos de la superficie del mar por el plano horizontal de referencia
cuando la elevación pasa de negativa a positiva.
4. T24 = Tc: período entre crestas o picos, intervalo de tiempo transcurrido entre dos
máximos positivos sucesivos de la superficie libre del mar.
5. : Amplitud de la ola o desplazamiento instantáneo de la superficie del mar
respecto a la línea de referencia.
Los períodos medios de cortes por cero o entre crestas, la altura media del oleaje y la
altura significativa de ola usados normalmente para caracterizar los distintos estados del
mar se pueden obtener mediante el análisis espectral de un registro o historia temporal
que no sea demasiado corto, para no perder validez estadística, ni demasiado largo, para
no alterar las condiciones de mar. Por otro lado, el análisis de muchos registros
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temporales de oleaje demuestra una razonable coincidencia entre las características
estadísticas obtenidas a partir de su análisis y las calculadas mediante la aplicación del
análisis espectral.
Se deben distinguir dos casos extremos de espectro: el espectro de banda estrecha y el
espectro de banda ancha. La diferencia entre ambos radica en que el rango de las
frecuencias es limitado e indicativo de un proceso regular, como puede ser el mar de
fondo, en los procesos de banda estrecha y que el rango de frecuencias es mayor e
indicativo de un proceso bastante irregular, como es el oleaje de viento, en los procesos
de banda ancha. Los casos intermedios de estado de mar o con particularidades distintas
(espectros bimodales con dos picos bien diferenciados) también son frecuentes.
MAR IRREGULAR
El estudio del movimiento de un buque en mar regular no suele ser muy apropiado ya
que en la realidad el mar se comporta irregularmente en cuanto a la altura de la ola y
periodos. Aquí definiremos algunos conceptos necesarios para el estudio del
comportamiento en la mar irregular de buques.
El Almirante Beaufort (British Navy) del s.XIX relacionó el espectro de la mar con la
velocidad del viento creando una escala ordenada según los números de Beaufort. En la
tabla se muestran los estados de la mar y la velocidad del viento que acompaña a estosestados de la mar. Los valores de altura de ola o periodo de ola se dan, promediando en
realidad en un mar irregular ambos valores varían segundo a segundo y metro a metro.
Definamos pues los parámetros necesarios para definir la mar irregular.
, cos La anterior ecuación define la variación de la onda en un punto determinado en función
del tiempo a lo largo del espacio en un instante determinado.
El promedio de altura de la ola de una mar irregular se da en el tiempo y en una
localización del mar como la media aritmética de la altura de todas las olas registradas
en la observación, excepto las olas menores de un pié de altura o 30,4 cm. Se define
como ola significativa como la media aritmética del 1/3 de las olas de mayoraltura de registro. Por ejemplo, vamos a determinar la altura significativa de ola de:
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24
Altura dela ola (m)
Número deregistros
f (t) =100 · N/reg. F(t)
1 4 3,92 3,9
2 40 39,2 43,12
3 31 30,42 73,54
4 25 24,5 98,04
5 2 1,96 11,00
102 registros 100 %
El número de registros es 102. El 1/3 de los registros = 34. Los registros usados para
obtener el Hw(1/3) son:
- 2 registros de 5 metros de altura de ola (34 – 2 =32)
- 25 registros de 4 metros de altura de ola (32 – 25 = 7)
- 7 registros de 3 metros de altura de ola (7 – 7 =0)
Si sumamos, 2 + 25 + 7 dan 34. Por lo que la altura de ola promedio será:
1 4 2 4 0 3 3 1 4 2 5 5 2102 2,81
Altura de ola significativa:
/ ∑ 13 á13 ú 3 7 4 2 5 5 234 3,85
REGISTRO DE LAS IRREGULARIDADES DE LA MAR
El grado de irregularidad de la mar se determina por la forma de la función densidad o
por un histograma que es función de la frecuencia (de ocurrencia del suceso) para las
características individuales de olas dadas en función del tiempo o de la localización.
Supongamos que tomamos 200 registros de un minuto (60s) en una localización
determinada y medimos la amplitud de la ola
.
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La experiencia demuestra que la distribución es Gaussiana para dicha amplitud de ola.
Algo similar se puede hacer con el periodo aparente de ola . Se realiza el registro de
periodos y se agrupan en intervalos (por ejemplo de 0,5s a 1,5s; de 1,5 a 2,5s) y se
obtiene la función de densidad f (t) y la función de distribución F(t).
El centro de gravedad del histograma es:
Para la altura de la ola ( H ), la distribución de Rayleight es la más usada para describir
teóricamente el fenómeno físico del oleaje. La distribución de Rayleight usa la siguienteexpresión:
2
La anterior expresión es la denominada función densidad por unidad de longitud o por
porcentaje de tiempo en la que aparece la altura . es el promedio del cuadrado de las alturas de las olas:
∑ ∑
En dónde es el número de sucesos ocurridos de .
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Histogramas y distribuciones de probabilidad
La distribución de Rayleight se puede definir de otra manera por la ecuación (x > a):
La distribución Gaussiana o Normal se define por:
1√ 2
La distribución logarítmica Normal, se puede definir:
1
√ 2
En donde:
es la median de los valores , es la varianza y es la desviación estándard, y es la media de los logaritmos de . 2a es la media de valores de .
En estas expresiones p(x) es la densidad de probabilidad. La integral de la curva que
conforman es la unidad.
Ejemplo: Tiempo de muestreo igual a 24h:
Intervalo de altura de olas en pies 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
Número de olas sucesivas registradas 5600 7200 1920 960 320
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27
Obtener el diagrama de la función de densidad de ola y la energía de la ola, según la
distribución de Rayleight.
Intérvalos deregistros de ola
Altura media Números sucesivos f (H)
0-5 2,5 5600 35
5-10 7,5 7200 45
10-15 12,5 1920 12
15-20 17,5 960 6
20-25 22,5 320 2
16000 100%
1. Determinación del promedio del cuadrado de las alturas:
∑ ∑ 2,5 56007,5 192017,5 96022,5 32016000 74,75 74,75 8,64
2. Valores de la función de Rayleight ( :Intérvalos de
registros de olaAltura media
0-5 2,5 0,0615
5-10 7,5 0,0944
10-15 12,5 0,0412
15-20 17,5 0,0077
20-25 22,5 0,0006
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0 5 10 15 20 25
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La energía de la ola en función de la altura promedio es:
2
12 12 2 18
La función de distribución de Rayleight:
2
Representa la probabilidad que no se sobrepase la altura . La probabilidad de que si se
sobrepase la altura es 1 :
Con la distribución de Rayleight la altura significativa es:
/ /
En dónde x, puede ser H o ξ. Entonces:
/ 1,41
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29
ESPECTRO DE LA OLA
Un patrón de olas se puede generar mediante la superposición de un número de olas
sinusoidales de diferentes longitudes de onda y alturas. La combinación de las senoides
nos da una señal periódica, pero realmente el patrón de la mar irregular es aleatorio, yaque las senoides no se repiten en el tiempo. La severidad del estado de la mar es medida
por el total de energía contenida en todas las olas presentes. La energía para una
determinada amplitud de ola viene dada por:
12
Esta energía es por unidad de superficie de la mar. Como hemos dicho que la mar
irregular está formada por un gran número de olas con distintas amplitudes, tenemos
que:
12
La energía se suele representar para cada una de las frecuencias de las sinusoides. Esta
representación es conocida para un estado particular de la mar.
Espectro de energía real de las olas también se hace para pequeños anchos de banda. La
representación de la energía por unidad de superficie y frecuencia, varía cuando se está
desarrollando el estado de la mar en amplitud y también respecto de la frecuencia, como
se muestra en la siguiente representación:
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30
La representación de la mar plenamente desarrollada en función de la velocidad del
viento, será:
Si dividimos la energía entre ρ·g, obtendremos:
12
Si representamos este término tendremos el espectro de ola que se representa medianteS( ω ) que es la densidad espectral de la energía de la ola (que se representa como
unidades al cuadrado divididas por unidad de frecuencia).
¡Atención con las unidades!: ρ·g es en ó ,
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PREDICCIÓN DE MAR IRREGULAR
Para definir el estado de la mar es necesario registrar los datos de las alturas de la ola y
la frecuencia en un periodo limitado de tiempo y en una localización. El patrón de oleaje
nunca será repetido, sin embargo, las características estadísticas del estado de la mar como el espectro de energía y el espectro de la ola, permanecerán constantes en una
zona concreta. Sabemos que la densidad espectral de la ola es:
12∑ ∆
La densidad espectral es la cantidad de energía de las diferentes olas componentes. En
dónde, ∞ , representa el área de debajo la curva de densidad espectral.
12
12
Como se aprecia el espectro de energía o la densidad espectral, no siguen una ley
Gausiana como lo hacen la amplitud de ola. Para usar los principios de espectro de ola o
densidad espectral hay que conocer los valores cuantitativos del espectro de ola para
cada región y cada condición climática.
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Conociendo la densidad espectral se puede determinar la altura significativa de ola:
/ 4,0
La constante 4,0 se obtiene de la aproximación matemática dada por la distribución de
Rayleight. Del espectro de ola se puede conocer:
1. El rango de frecuencia que son importantes por su contribución energética en el
estado de la mar
2. La frecuencia que aporta la máxima energía3. El contenido energético de las diversas bandas de frecuencia
4. La existencia de oleaje a baja frecuencia
Como hemos dicho la densidad espectral o espectro de la ola es el mismo siempre para
una determinada zona. Vamos a representar un estado de la mar concreto en el espectro
del ola general, que contemple todos los posibles estados de la mar. La energía total por
unidad de superficie de mar es:
Siendo el área encerrada por la curva de densidad espectral. Conocido dicho valor,
podemos obtener los valores promedio de amplitud y altura de la ola, así como los
valores significativos. Por lo tanto, el valor de un pico tal que el número de picos
mayores al dado sea 1/N (Rayleight) es:
/ 2 ln AMPLITUD DE OLA ALTURA DE OLA
Ola promedio 1,25 2,5 Ola significativa / 2,0 / 4,0
Para tomar datos de altura de ola es necesario que el intervalo de tiempo sea menor queel tiempo de paso entre cresta, es decir, el periodo menor a registrar.
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Como las constantes anteriores se han obtenido de la distribución teórica de Rayleight y
nosotros realmente trabajamos con valores obtenidos de la estimación de la amplitud o
altura de la ola, se puede cometer un error considerable si el ancho de banda elegida eselevado. Para evitar dicho error se introduce un factor de corrección CF:
1 Número de pasos por ceroNúmero de puntos crestas o senos En donde:
1
“ε sirve para corregir el posible error de la altura de ola significativa”
Dónde, se definen los momentos de diverso orden sobre el área de la densidad espectral
como:
∞
Siendo “n” un número entero que define el orden del momento en consideración. El
valor de ε varía entre 0 y 1, en función del ancho de banda tomado en los registros.
Cuando el espectro es de banda ancha entonces ε = 1. En general los factores que
determinan la forma del espectro de ola son:
• Velocidad del viento (parámetros más significativos)
• Duración del viento
• Superficie del mar afectada ( fetch2)
• Otros factores
2 Fetch en inglés significa “alcance”. En este contexto se refiere a la superficie de mar afectada.
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34
También se puede obtener el número de paso por cero (línea de referencia) por unidad
de tiempo de la amplitud de la ola, en función de los momentos de la densidad espectral
ó espectro de la ola:
12
En dónde su inversa es:
1 12
Y el periodo de cresta como:
2
es normalmente menor que y éste último no contempla la existencia de rizado en
la ola.
2
es el parámetro más adecuado para determinar el periodo del oleaje. La longitud de
onda aparente, basado en el paso por cero, se obtiene con la siguiente expresión:
2
Y el basado en la máxima:
2
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35
Por ejemplo en el anterior dibujo, si al contar no nos equivocamos, tenemos 20 pasos
por cero y 23 crestas y senos. Esto nos da un CF de 20/23 = 0,86., i.e de ε = 0,24.
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36
ESPECTRO IDEALIZADO
A menudo es muy útil definir el espectro idealizado de olas el cual en términos
generales representa las características del espectro energético real de olas. Algunos
son:
• Bretschneider o los dos parámetros de espectro de la ITTC
• Un parámetro de Brestchneider
• JONSWAP
• Espectro DNV
• Pierson Moskowitz
Bretschneider o ITTC (un parámetro de/)Cuando no se conoce el espectro de ola de un mar en particular, se debe usar la
siguiente formulación dada por la Iternational Towing Tank Conference (ITTC):
Siendo en unidades del sistema internacional S.I:
8,11 10 (Constante de Philip) y ,/
La altura de la ola significativa se puede medir u obtener de la siguiente tabla que le
relaciona con la velocidad del viento en mar abierto:
Velocidad del viento en kn Altura significativa de la ola20 10
30 17,2
40 26,5
50 36,6
60 48,0
La velocidad del viento se toma con el anemómetro del buque.
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37
Modelo J ONSWAP (J oint North Sea Wave Project)
Este modelo describe el espectro de aguas costeras en dónde la superficie del mar
afectada (fetch) es limitada. Suele obtener un espectro de ola de igual energía que el de
la ITTC pero más apuntado. Este modelo es un modelo realizado con registros en aguasdel mar del norte. La forma espectral depende de 5 parámetros.
Entonces:
3.30 22
σ vale 0.07 si , y 0.09 si . F significa Fetch y es la velocidad del
viento medida a 10 m sobre la superficie del mar.
En la siguiente gráfica se ven los distintos espectros de ola (con el modelo JONSWAP)
en función de la superficie afectada Fetch y para una velocidad de viento de 10 m/s.
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38
Topología Típica del Atlántico Norte
Modelo de PIERSON-MOSKOWITZ
Este modelo se usa para una velocidad nominal del viento a 19,5 m de altura sobre la
superficie de la mar.
En dónde:
8.11 10 0,74,
MOVIMIENTO DEL BUQUE EN UNA MAR IRREGULAR
La respuesta del buque en mar irregular se rige por el mismo patrón (valores
estadísticos) que rige el movimiento de las olas. De la misma forma que existe un
espectro de ola, dónde se representa la amplitud de la ola al cuadrado de cadacomponente frente a la frecuencia, se puede obtener un representación gráfica de las
amplitudes de cualquier movimiento del buque al cuadrado frente a la frecuencia. El
espectro obtenido es conocido como espectro de respuestas y puede ser caracterizado
con los mismos parámetros estadísticos que las olas.
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39
TIPOS DE OLAS EN MAR IRREGULAR
Sistema de olas irregulares de cresta larga
Todas las componentes de la ola van en la misma dirección. El modelo irregular tendrá
una serie de crestas rectas extendiéndose hasta el infinito en la dirección normal a la
propagación.
Sistema de olas irregulares de cresta corta
El modelo resultante no presenta crestas largas, sino senos y valles. En caso más
general, las componentes individuales van en distintas direcciones.
PREDICCIÓN EN MAR IRREGULAR
El movimiento en un mar irregular de un buque se determina siguiendo los pasos que se
indican a continuación:
1. Elegir el espectro de ola adecuado para el estado de la mar por donde navega el
buque.
2. El espectro de ola se transforma en función de la frecuencia de encuentro.
Normalmente el área de debajo el espectro de densidad es la misma en función
frecuencia absoluta como de la frecuencia de encuentro.
3. Se obtiene el espectro del movimiento del buque (balanceo, cabeceo, o
desplazamiento vertical) en función de la frecuencia de encuentro. Se puede
obtener de dos formas:
• Analíticamente a partir de las ecuaciones del movimiento
• Experimentalmente en un canal de experiencias
4. Se obtiene un nuevo diagrama donde en ordenadas se representa la relación del
desplazamiento del buque al cuadrado y el cuadrado de la amplitud del espectro
de ola. Siendo el eje X, la frecuencia de encuentro. Esta representación gráfica la
ya conocida como RAO, operador de amplitud de respuesta y que no es más que
una función de transferencia entre la fuerza o energía excitadora del movimiento
(espectro de ola) y el desplazamiento del movimiento del buque. Si
multiplicamos el espectro de ola por la RAO a la frecuencia correspondiente se
obtiene la amplitud del movimiento del buque. Del espectro de amplitud delmovimiento se puede obtener siempre los valores estadísticos que caracterizan el
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movimiento (valor significativo, valor promedio, valor RMS, etc…). Existirán
tres curvas RAO de interés, una para el balance, otra para el cabeceo y otra para
el desplazamiento vertical.
Desde el punto de vista práctico:
1. Seleccionamos el espectro de ola y obtenemos la altura significativa.
2. A continuación pondremos el espectro de ola en función de la frecuencia de
encuentro.
Se puede demostrar que con las siguientes ecuaciones, se obtienen los valores delespectro de ola en función de :
1 2 cos 1 2 cos
Con las anteriores dos ecuaciones se obtienen los valores del espectro de la ola enfunción de . 3. Asumiendo que la respuesta de un buque a la acción individual de una componente
de ola regular es una función lineal, podemos asumir que la respuesta al conjunto de
componentes individuales también va ser lineal. Por lo tanto, la respuesta será lineal y
proporcional a la amplitud de la ola. Si la componente excitadora es:
cos La respuesta será:
cos A efectos de amplitud de ambos movimientos en el dominio de la frecuencia:
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Pero al ser el espectro de ola un proceso aleatorio, no trabajamos con los valores de la
amplitud de la ola, sino con la densidad espectral, que está relacionada con el cuadrado
de la amplitud:
∆ 12 ∆ 12
De forma que considerando el espectro de ola como entrada y la densidad espectral del
movimiento del buque como salida, puesto como función de la frecuencia de encuentro.
Resolviendo la anterior relación:
12 ∆12 ∆
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LAS RAO
Las RAO dan las respuestas del buque frente a olas regulares para movimientos,
aceleración, etc. Las RAO se pueden obtener mediante cálculos realizados con
ordenador o mediante ensayos de canal. Las curvas RAO de interés son:
1. Para el balance: RAO ξ
2. Para el cabeceo: RAO Ѳξ
3. Para el desplazamiento vertical o arfada:
RAO ξ
Normalmente medir los desplazamientos del tipo que sea del buque y la amplitud de
ola, no tiene sentido en la fase de diseño. Para estudiar el comportamiento de un buque
cuando se está diseñando es necesario modelizar mediante el software apropiado su
comportamiento en la mar en una fase preliminar o de anteproyecto. Para ello existen
unos cuantos programas en el mercado capaces de hacer ese estudio previo.
Para poder trabajar necesitamos ensayar nuestro modelo informático en diversos estados
de la mar, para ello utilizamos alguno de los modelos de oleaje como la ITTC,
JONSWAP, PIERSON-MOSKOWITZ, etc.
Con alguno de estos modelos podemos obtener el espectro de la ola para cualquier
condición del estado de la mar.
Por otra parte, podemos modelizar el buque como si fuera un sólido rígido (el buque-
viga) sometido al movimiento de la base. Es decir, un vulgar movimiento vibratorio en
cualquiera de las direcciones de interés (giro respecto al eje longitudinal, giro respecto
al eje transversal o desplazamiento vertical). Estos movimientos pueden ser estudiados
con o sin acoplamiento.
Obtenidos los desplazamientos se puede calcular la función de densidad espectral del
movimiento del buque. Y conocida la densidad espectral de la amplitud de ola (espectrode la ola) y la densidad espectral del movimiento del buque, determinar la RAO
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correspondiente. La RAO o función de respuesta del estado de la mar, aunque no de la
velocidad de avance del buque o el ángulo de incidencia del frente de la ola con
respecto a la dirección de avance.
Una vez conocida la RAO de un movimiento determinado, se puede determinar el valor
de los desplazamientos del buque simplemente multiplicando la RAO por el espectro de
la ola.
De esta forma podemos obtener la densidad espectral del movimiento del buque e
integrando el área de debajo la curva, obtenemos:
∞
/ 2,0 y / 4,0
1,25
∞
Conocidos los distintos momentos determinamos el coeficiente de corrección debido al
ancho de banda seleccionado:
1
1
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/ 2,0
También se puede determinar el valor máximo de la amplitud del movimiento:
2 ,0 l n 2 √ 1 1 √ 1
Apréciese que si los valores obtenidos son de banda estrecha, es decir ε = 0, los valores
estadísticos, se obtienen con los coeficiente de la distribución de Rayleight, sin ningúntipo de corrección. Por ejemplo:
/ 2,0 2,0 1
Si ε = 0, entonces:
/ 2,0 √1 2,0
FENÓMENOS DINÁMICOS
Algunos de los fenómenos dinámicos que produce el oleaje son la resistencia añadida de
las olas, el slamming, el embarque de agua, emersión del propulsor, mareo, etc.
1. Resistencia añadida de las olasSe trata de un incremento de resistencia debida al efecto de los movimientos de arfada y
cabeceo. Es un fenómeno potencial dominado por las fuerzas de inercia y las olas
generadas. Se puede sobrecargar el motor por aumento de resistencia, por lo tanto se
hará un estudio modelo-buque para evitar dicho efecto:
2
∞
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2. Slamming
El Slamming o el pantocazo es un movimiento rápido. Cuando baja la proa, queda
atrapada una burbuja de aire entre el agua y el casco. Cuando la proa se hunde más, la
burbuja de aire tiende sale. Si esta sale rápidamente el impacto es violento contra elcasco, si sale más progresivamente el aire amortigua el impacto y no se produce el
slamming.
LAS HIPÓTESIS DE FROUDE-KRYLOV
La presencia del buque no altera el campo de presiones de las olas incidentes.
Las fuerzas producidas por las olas se pueden calcular integrando su presión sobre la
superficie mojada del casco.
La respuesta de los buques a las olas depende de:
• Las dimensiones del buque
• La distribución de pesos a bordo
Normalmente se trabaja en el dominio de la frecuencia, en vez de trabajar en el dominiodel tiempo.
Para la excitación, adoptamos una descripción estadística. I estos métodos no son
válidos para buques rápidos.
La superficie de la mar moderada, descrita como su elevación respecto a un nivel medio
de referencia, es un proceso estacionario, homogéneo y ergódico3 siempre que sedescriba localmente y a corto plazo y no contenga componentes periódicos no
amortiguados. Para describir el proceso, hay tres características:
• Valor medio
• Valor cuadrático medio (Cantidad de energía contenida)
3 La ergodicidad es una propiedad muy importante de algunos sistemas mecánicos que permite
justificar ciertos resultados de la mecánica estadística.
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• La función de autocorrelación (distribución de las elevaciones en el espacio y el
tiempo)
EL MODELO DE LONGUET-HIGGINS
Modelo que describe la superficie libre del mar irregular, a partir del principio de
superposición, como la suma de las elevaciones de muchas olas sinusoidales de pequeña
amplitud y cada una con su frecuencia y sentido de propagación determinados. La
aleatoriedad de la superficie libre del mar se conserva al hacer que los desfases de las
olas sean aleatorios y equiprobables, el modelo es estable al suponer que se dan todas
las frecuencias y sentidos de propagación posibles y que ambas características varían de
forma continua. Estas olas cumplen la ecuación de Airy y son independientes entre sí.
Esta hipótesis es fácil de comprender a partir del análisis de Fourier, el cual permite
describir una serie temporal periódica en el dominio de la frecuencia como suma de
muchas funciones seno y coseno de los múltiplos de una frecuencia fundamental o
armónico afectados por una serie de coeficientes, es decir, emplear el análisis de Fourier
a modo de tratamiento de señales (mar irregular = señal irregular).
De tal manera que la elevación de una ola de cresta larga, en el dominio del tiempo, en
un mar irregular y propagándose a lo largo del eje x (positivo), se puede escribir como
la suma de muchas olas o componentes regulares en el dominio de la frecuencia:
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Por ello, el análisis de Fourier es la herramienta básica que permite formular
matemáticamente el modelo de Longuet-Higgins para la descripción del mar irregular
de una manera sencilla y con un formato similar al de muchos de los problemas de ladinámica del buque.
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRALSi se define, bajo ciertas condiciones, una variable aleatoria como suma de otras muchas
variables de las que se desconoce sus funciones de probabilidad, la variable aleatoria
resultante tiene una función de distribución de probabilidad gaussiana. Admitiendo el
modelo de Longuet-Higgins y viendo el desfase de cada ola regular que compone el mar
como una variable aleatoria, se puede justificar de una manera intuitiva la hipótesis de
que la elevación del mar, suma de muchas olas sinusoidales, sigue aproximadamente
una distribución normal o gaussiana, ejemplo que indica que la naturaleza tiende de
manera natural a ser gaussiana. A partir de esta consideración, elevación del mar =
proceso gaussiano, y aplicando estadística se pueden obtener funciones de densidad de
probabilidad del proceso, sus máximos y otros valores estadísticos que sirven para
caracterizar y describir de manera útil los distintos estados de mar.
“La elevación del mar, es un proceso Gaussiano”
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.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
La función de distribución de Weibull es la que mejor describe oleajes a largo plazo. Se
trata de una función de distribución de tres parámetros que se deben determinar
buscando el mejor ajuste posible de los datos disponibles.
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Si un sistema lineal invariante en el tiempo es excitado mediante una acción exterior,
este responderá con:
• Causalidad
• Linealidad
• Invarianza en el tiempo
• Principio de superposición
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL
A menudo los Ingenieros y arquitectos navales se han preocupado de lo que sucede con
olas extremas. Suponemos un número de registros, llamados M , y N valores de la
amplitud se registran para cada registro. Si la mayor amplitud de ola se anota será M lamáxima.
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Período de retorno y riesgo del proyectoSi definimos el período de retorno TR como el intervalo medio de tiempo, en años, en
el que se excede una vez una determinada condición, se puede relacionar TR con la
ordenada reducida y de Gumbel de la siguiente forma:
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ROLL O BALANCE
El balance es producido por cualquier desalineación transversal de B y G creando un
momento interno de escora y adrizamiento. La desalineación en este caso se crea por
una ola.
En dónde C es una constante que depende del tipo de buque y oscila entre 0,69 y 0,8.
La ecuación demuestra que los barcos con grandes alturas metacéntricas transversales
experimentarán oscilaciones de período pequeñas, y grandes fuerzas restauradoras y
grandes aceleraciones angulares transversales. Al igual que con los otros movimientos
rígidos del casco, las aceleraciones elevadas son más propensas de causar daños a
equipos y tripulantes.
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PREGUNTAS DE TEORÍA (PRIMERA PARTE)
1. Listar cuatro factores que afectan la altura del sistema de olas. Para cada factor
explicar cómo afecta el sistema de olas.
Fuerza del viento: A mayor intensidad de viento, mayor energía se aporta al agua y en
consecuencia las olas aumentan de tamaño.
Duración del viento: Cuanto mayor sea el tiempo que el viento sople, más aumentan la
altura de las olas.
Profundidad de las aguas: En aguas de poca profundidad la altura de las olas es
mayor.
Fetch: Es el área afectada por el viento.
2. Eres el capitán de un mercante de 20000 LT que pretende cruzar la bahía de
Chesapeake para amarrar en el muerto de Baltimore. El buque tiene un calado de 26
pies y está siendo azotado por un viento de 40 kn con rachas de 55, del oeste. Se tiene
que elegir tres posibles rutas para cruzar la bahía. ¿Qué ruta tomarías?:
a. Una ruta por el centro en aguas profundas
b. Una ruta por el este más protegida por el viento pero en aguas poco profundas.
c. Idem por el oeste.
La menos arriesgada es la del centro.
3. ¿Cuáles son las dos condiciones que tiene que cumplirse en un movimiento
harmónico simple? Describir un ejemplo de movimiento harmónico simple.
a. El sistema debe de ser lineal. La magnitud de restauración de la fuerza es
proporcional a la respuesta.
b. La fuerza de restauración debe de ser en la dirección opuesta al desplazamiento.
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4. La resistencia de un buque es una fuerza que contrarresta el empuje producido por las
olas del buque. Sin embargo, el movimiento de las olas no es un movimiento harmónico
simple para el buque. ¿Por qué?
a. El movimiento harmónico simple, requiere que la respuesta sea proporcional a la fuerza aplicada y que la fuerza se oponga a la dirección del desplazamiento.
b. Aunque la resistencia actué en la dirección opuesta al empuje, una vez la fuerza del
propulsor se anula, el buque va parando sin un movimiento de oscilación hasta su
detención.
8. ¿Cómo afecta a la altura de la ola a la respuesta del buque?
A medida que la altura de la ola aumenta, la respuesta del movimiento del buque,también aumentará.
9 ¿Qué condición de olas produce una máxima respuesta en la estructura del buque?
a. Si la frecuencia de encuentro es igual a la frecuencia natural de flexión, la estructura
entra en resonancia.
b. La máxima respuesta se tiene cuando la longitud de ola es igual a la eslora entre
perpendiculares.
10. El buque de la clase FF6-7 requiere una operación de emergencia para cambiar un
apéndice dañado. Se cree que se puede realizar la operación si el buque no se mueve
demasiado. La DCA sugiere realizar la operación a 20 pies detrás la maestra (sección
media del buque) en una cubierta cercana a la línea de flotación. Comentar su
razonamiento si el estado de la mar es de 8, con 11,3 m de ola y 60 kn de viento. (El
c.d.g se sitúa a 24 pies a popa de la maestra).
El punto o la zona que menos se mueve del buque es su cdg por lo que deberemos
realizar la reparación lo más próximo posible a su cdg. A 20 ft la reparación puede ser
viable.
11. ¿Qué entiendes por el término “sea” y “swell”?
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PREGUNTAS DE TEORÍA (SEGUNDA PARTE)
1. Explicar que representa el espectro de ola y como se puede modelizar. Explicar
también que representan las RAO, de los diversos movimientos del buque.
El espectro de ola es la representación de la energía por superficie con cada una de las
frecuencias de las diferentes sinusoides.
2. Explicar que describe el espectro escalar de energía. Indicar la información que
facilita, sus unidades, su relación con la función de densidad espectral, sus limitaciones
y modos de solucionarlas.
3. Indicar para qué y cuándo se usa la función de distribución de Weibull, de qué
parámetros depende, qué representan estos parámetros y como se obtienen.
4. Diferencias entre espectros y registros de banda ancha y de banda estrecha. Poner
ejemplos de funciones de distribución de probabilidad de banda ancha y de banda
estrecha usados en el estudio del comportamiento en la mar.
5. Relacionar más de seis fenómenos no lineales para los que no es aplicable
directamente la teoría de contemplada en la disciplina del comportamiento del buque en
la mar basada en procedimientos lineales. ¿Cuáles son cada una de las condiciones de
contorno que se imponen en los cálculos de los movimientos de un buque en olas?
¿Cómo es el movimiento de balance de un buque sometido a olas cortas de alta
frecuencia? ¿Y si las olas son de periodos altos y de baja frecuencia? Indicar
justificadamente cómo influye la velocidad del buque en su balance.
6. Explicar si son conceptos equivalentes la varianza y el valor cuadrático medio de una
variable aleatoria. Razonar si en caso de la elevación de la mar coincidirían ambos
valores. Y razonar también si en el caso del movimiento de balance de un buque
coincidirían ambos valores.
7. Indicar las características básicas generales sobre las que se puede actuar en la etapa
de diseño preliminar para que un buque convencional mejore determinados aspectos de
su comportamiento en la mar y exponer cuáles son esos aspectos.
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8. Explicar como son, en general, los movimientos de arfada y cabeceo de un buque en
función de los diferentes tipos de olas. Comentar como influyen otros factores en esos
movimientos.
9. Indicar a qué función de probabilidad pertenece la siguiente expresión e indicar
cuándo se usa.
1 10. Explicar cómo se debe realizar el cambio de variable en una función de densidad de
probabilidad.
11. Indicar como se compara analíticamente la distribución anterior con otros habituales
usadas para el estudio del comportamiento del buque en la mar.
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PROBLEMAS
1. Se define un espectro de ola con la siguiente tabla (sombreada en gris). Calcular la
altura significativa, la media de altura de ola y la media de la 1/10 ola más alta.
ω (1/s) Sξ(ω) F.S F.S x Sξ(ω)
0,2 0 1 0
0,4 7,94 4 31,76
0,6 11,68 2 23,36
0,8 5,56 4 22,24
1 2,3 2 4,6
1,2 0,99 4 3,96
1,4 0,45 2 0,9 1,6 0,23 4 0,92
1,8 0,12 2 0,24
2 0,07 4 0,28
2,2 0 1 0
Sumatorio = 88,26
Por lo que el
o el área de debajo la curva será: (1/3)·0,2·88,26 = 5,884.
/ 2 4,851
/ 2,55 6,186
Y la media de amplitud de ola será:
1,25 3,032
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2. Un largo número de alturas de ola se registran y se analizan encontrando que el
número de olas en varias alturas de banda son las del cuadro sombreadas en tono gris.
Dibuja esto como un histograma y deduce la distribución normal y de Rayleigh.
Banda de alturas de
ola
fi
Nº de olas
0‐0,5 5
0,5‐1 10
1‐1,5 20
1,5‐2 40
2‐2,5 55
2.5‐3 40
3‐3,5 25
3,5‐4 5Sumatorio 200
xi
medio xi∙fi (xi‐μ)^2 fi∙(xi‐μ)^2 normal P(x) Media x^2 Rayleight
0,25 1,25 3,75390625 18,7695313 0,021555831 0,15625 0,04544244
0,75 7,5 2,06640625 20,6640625 0,090117099 2,8125 0,11318372
1,25 25 0,87890625 17,578125 0,246591331 15,625 0,13002736
1,75 70 0,19140625 7,65625 0,441648313 61,25 0,10417557
2,25 123,75 0,00390625 0,21484375 0,517730218 139,21875 0,06363772,75 110 0,31640625 12,65625 0,397245163 151,25 0,03068102
3,25 81,25 1,12890625 28,2226563 0,199499535 132,03125 0,01187481
3,75 18,75 2,44140625 12,2070313 0,065577269 35,15625 0,00372548
437,5 117,96875 537,5
μ 2,1875
σ^2 0,58984375
σ 0,76801286
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3. Un buque de 20 MN presenta el siguiente perfil que se muestra abajo. Asumiendo
que la fuerza del viento actúa sobre el área en metros cuadrados debido al viento develocidad V en kn, se tiene que la fuerza es 0,19 .
Calcula la fuerza debido a un viento nominal de 50kn (midiéndolo a 6 por encima la
superficie de la mar) permitiendo que el gradiente del viento se defina. Deduce la media
efectiva de la velocidad del viento. El buque siente un calado de 6 metros y una altura
metacéntrica de 1,5 m. Calcular el ángulo de escora debido al viento.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Distribución de Rayleight
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,50,6
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Distribución normal
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4. En este ejercicio, el número de olas de distintas alturas se da en la siguiente tabla.
Calcular la media del (1/10) de altura de olas.
Altura de olas (ξ)
Número de olas
0,5 10
1 39
1,5 5
2 35
2,5 16
3 5
3,5 4
4 1
Si recordamos, ∑ . Entonces:
Número de olas ξ^2
10 0,25
39 1
5 2,25
35 4
16 6,25
5 9
4 12,25
1 16
Suma = 115 Suma = 51
12115 51 0,222
Para la media de amplitud de 1/10 de altura de ola: 2,55 1,200
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5. Calcular la longitud de onda en metros y las velocidades en metros por segundo
correspondientes a los periodos de onda de 1, 2, 4, 6, 8, 10, 14, 18 y 20 s.
Si recordamos: λ λ
y λ
T λ C
1 1,561309992 1,56130999
2 6,245239967 3,12261998
4 24,98095987 6,24523997
6 56,2071597 9,36785995
8 99,92383947 12,490479910 156,1309992 15,6130999
14 306,0167584 21,8583399
18 505,8644373 28,1035799
20 624,5239967 31,2261998
6. Las sucesivas crestas de un perfil de olas a lo largo del lado del buque cuando tiene
una cierta velocidad en aguas tranquilas están separadas 100m. ¿Cuál es
aproximadamente la velocidad del buque en kn? Si el buque reduce la velocidad a 10 kn
¿cuál será la distancia de separación de las crestas?
λ 2 1002 12,495 24,289
λ
2
2 100,5144
16,951
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8. Un registro contiene 1000 olas con sus alturas de hasta 10 m. El registro se da a
continuación. Dibuja el histograma para estos valores y realiza la correspondiente
distribución normal.
Alturas fi
Número de olas
0‐1 6
1 a 2 29
2 a 3 88
3 a 4 180
4 a 5 247
5 a 6 260
6 a 7 133 7 a 8 42
8 a 9 10
9 a 10 5
Alturas fi xi
Media fi∙xi (xi‐μ)^2 Fi*(x‐μ)^2 p(x)
0‐1 6 0,5 3 18,0625 108,375 0,00503195
1 a 2 29 1,5 43,5 10,5625 306,3125 0,02606187
2 a 3 88 2,5 220 5,0625 445,5 0,08705679
3 a 4 180 3,5 630 1,5625 281,25 0,18755477
4 a 5 247 4,5 1111,5 0,0625 15,4375 0,26060448
5 a 6 260 5,5 1430 0,5625 146,25 0,23354144
6 a 7 133 6,5 864,5 3,0625 407,3125 0,13498153
7 a 8 42 7,5 315 7,5625 317,625 0,05031681
8 a 9 10 8,5 85 14,0625 140,625 0,01209707
9 a 10 5 9,5 47,5 22,5625 112,8125 0,00187575
1000 4750 2281,5
μ = 4750 /1000, 2281,5/1000, y 2281,5/1000
μ 4,75
σ^2 2,2815
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9. Encuentra la distribución de energía de un mar irregular compuesto por diferentes
olas de las siguientes características.
Registro de ola 1 2 3 4
Longitud de onda 1265 562 316 202 ft
Altura (H) 3 5 4 2 ft
Frecuencia ω 0,39645904 0,59480613 0,79323168 0,99212846 rad/s
Elevación ξ 1,5 2,5 2 1 ft
Energia de cada ola 70,2 195 124,8 31,2
Como la energía por metro cuadrado será igual a:
2 421,2 / Si dibujamos el espectro de energíapara cuatro olas:
Para construir el histograma, lo que haremos será la siguiente tabla, la cual, tomando un
ancho de banda de 0,2 y dividiendo la energía de cada onda entre ello se obtiene:
0,3‐0,5 70,2 3510,5‐0,7 195 975
0
0,10,2
0,3
0 2 4 6 8 10
Distribución normal de probabilidad
0
50
100
150
200
250
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
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0,7‐0,9 124 620
0,9‐1,1 31,2 156
La densidad espectral de la energía de la ola se representa de la siguiente manera:
12
12 32 52 42 22
= 1,125+3,125+2+0,5 = 6,75 ft^2
/ 1,125 3,125 2 0,5
rad/s 0,4 0,6 0,8 1,0
0
200
400
600
800
1000
1200
0,4 0,6 0,8 1
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Si hacemos un nuevo histograma, el área de cada rectángulo tendrá el 0,2 anterior y una
altura de (1,125/0,2); (3,125/0,2); (2/0,2); (0,5/0,2).
9. Usando el modelo de la ITTC ó Bretschneider dibujar el espectro de ola para una
velocidad del viento de 31 nudos, obtener el resto de parámetros característicos.
Determinar la altura de la ola significativa admitiendo que la altura de ola no sigue ladistribución de Rayleight.
De la siguiente tabla se obtiene la altura significativa de ola:
Velocidad delviento en kn
H 1/3 (en ft)
20 1030 17,2
40 26,5
50 36,5
60 48,0
Para 31 kn se interpola, encontrando una altura significativa de 18,13 ft.
0
0,5
1
1,5
2
2,53
3,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Densidad espectral s(w)‐w
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