Post on 27-Jul-2018
329
Tema 10
Mecanica cuantică
8.1 Proprietăţi ondulatorii ale microparticulelor
8.1.1 Ipoteza lui de Broglie privind asocierea de
proprietăţi ondulatorii particulelor În anul 1905 Albert Einstein a emis ideea structurii corpusculare a undelor
electromagnetice, care se comportau în anumite situaţii ca un flux de fotoni,
impulsul unui foton de frecvenţă fiind:
h h c hp
c c
(8.1)
În anul 1924 fizicianul francez Louis de Broglie a emis ipoteza valabilităţii
universale a formulei (8.1), astfel că mişcării fiecărei microparticule – electron,
proton, atom, moleculă etc. – i se poate asocia o undă cu lungimea de undă:
h
p (8.2)
Unda asociată unei particule cu impulsul p bine definit se numeşte undă de
Broglie, şi are lungimea de undă dată de (8.2). Rescriind (8.1) sub forma
2
2
h hp k
, sau sub formă vectorială p k , rezultă:
pk (8.3)
astfel că vectorul de undă k este proporţional cu impulsul p al microparticulei.
Din 1905, când Einstein a lansat ipoteza unei structuri corpusculare a
undelor, şi până la ipoteza lui de Broglie referitoare la proprietăţile ondulatorii
ale microparticulelor au trecut 20 de ani. Acest fapt poate fi înţeles dacă ne
amintim că Einstein a făcut ipoteza sa în scopul explicării unor fapte
experimentale deja existente, în timp ce de Broglie a făcut ipoteza sa fără să
existe fapte experimentale în acest sens.
Se poate observa că primul postulat al lui Bohr se poate obţine pe baza
formulei (8.2), admiţând existenţa numai a acelor orbite staţionare ale
electronului în atom pentru care este satisfăcută condiţia de staţionaritate a
undelor de Broglie asociate mişcării electronului. Aceasta înseamnă că lungimea
orbitei din teoria lui Bohr trebuie să fie egală cu un număr întreg de lungimi de
undă asociate:
22
h hr n rp n
p
(8.4)
330
La teoria relativităţii se arată că impulsul şi vectorul de undă sunt
cuadrivectori de componente:
, ; ,iE i
p kc c
P K (8.5)
Extinzând formula (8.3) la toate componentele cuadrivectorilor P şi K
obţinem legea Einstein-de Broglie, care are un caracter general, fiind valabilă
pentru orice microparticulă:
P K (8.6)
Particularizând pentru componenta a 4-a, obţinem
E . (8.7)
În anul 1929 Louis de Broglie a primit premiul Nobel pentru “Elaborarea
teoriei dualităţii undă-corpuscul a materiei”, care a pus bazele mecanicii
cuantice.
Pentru a înţelege mai bine noţiunea de undă asociată, să urmărim
dependenţa lungimii de undă a undei asociate unei miroparticule de masă 0m la
variaţia unui parametru ai particulei, menţinând ceilalţi parametri constanţi.
2 2
22 2
00 0
1 1 1v vh h hh h c c
m cvp mv m v m c
c
(8.8)
Din (8.8) se observă umătoarele:
- pentru 0m constant lungimea de undă scade când viteza microparticulei creşte;
- pentru v fix lungimea de undă este invers proporţională cu masa de repaus.
2 2 4 2 4 2 2
20 0
01 1
hc hc E hc E
E m c m c E m c E
, (8.9)
unde E este energia totală a particulei.
Din (8.9) se poate observa faptul că:
- pentru E fix lungimea de undă creşte cu creşterea masei se repaus;
- pentru 0m constant lungimea de undă scade când energia totală creşte.
În cazul 0 0m sau 2
0m c E se obţine cea mai mică valoare posibilă pentru
lungimea de undă, min
hc
E .
331
2 2 4 200 0
2
0
1
22 12
c cc c
hc hc h
m E EE m c E E m c
m c
(8.10)
(s-a folosit definiţia energiei cinetice din mecanica relativistă, 2
0cE E m c ).
Din (8.10) se observă că pentru cazul clasic 2
0cE m c (8.10) devine:
02 c
h
m E (8.11)
Calculând lungimea de undă după formula (8.11) pentru cazul 3
0 10 kgm , 310 m/sv , valoarea constantei lui Planck fiind 346,6 10 J sh , obţinem
286,6 10 m! De aici se poate afirma că din cauza valorii foarte mici a
constantei lui Planck nu se pot pune în evidenţă efecte cuantice (proprietăţi
ondulatorii ale particulelor) la particule macroscopice, aceste proprietăţi
manifestându-se în mod evident numai la microparticule.
8.1.2 Funcţia de undă . Vitezele undelor de Broglie
Mărimea ce caracterizează unda de Broglie se numeşte funcţie de undă şi
se notează cu simbbolul (funcţia psi). Interpretarea corectă a sensului funcţiei
de undă , , ,x y z t , din punct de vedere statistic, a fost dată de fizicianul
german Max Born în anul 1926. Astfel, funcţia de undă , , ,x y z t nu este o
mărime observabilă, adică ea nu poate fi determinată experimental. Sens fizic
are numai pătratul valorii absolute a funcţiei de undă, şi anume mărimea 2
.
Exemplul cu drumul şi indicatorul
Probabilitatea stabilirii experimentale a poziţiei microparticulei descrise
de funcţia de undă , , ,x y z t într-un punct de coordonate , ,x y z , la un
moment de timp t , este proporţională cu valoarea 2
, , ,x y z t în acel punct şi
la acelaşi moment de timp. Din acestmotiv mărimea 2
, , ,x y z t se numeşte,
de regulă, densitatea de probabilitate.
Este evident că între probabilitatea unui eveniment şi evenimentul însuşi
există o mare deosebire. Când vorbim despre probabilitatea de repartiţie a
microparticulei în spaţiu, nu înseamnă că particula însăşi este distribuită în
spaţiu. Experimentul lui Feynman
Conform ipotezei lui de Broglie, unei microparticule aflată în mişcare
liberă pe direcţia axei Oz i se asociază de exemplu unda armonică plană:
,
iEt pzi t kz
z t Ae Ae
(8.12)
332
Viteza de fază a undei de Broglie este viteza de propagare a suprafeţei pentru
care faza undei este constantă:
const,Et pz
adică
2 2
f
dz E mc cv
dt p mv v , (8.13)
unde v este viteza microparticulei însăşi. Conform teoriei relativităţii restrânse,
pentru orice microparticulă v c , astfel că viteza de fază a undei de Broglie
fiind superioară vitezei luminiiîn vid conform (8.13), nu poate fi interpretată
drept viteza microparticulei.
Dacă microparticula ar fi descrisă de funcţia de undă (8.12), atunci
densitatea de probabilitate ca particula să se afle într-un punct oarecare al axei
Oz , la un moment t , ar fi:
2, , ,z t z t z t A (8.14)
Aceasta înseamnă că microparticula sepoate afla, cu aceeaşi probabilitate, în
orice punct din spaţiu.
Este posibil ca reprezentatreaondulatorie a mişcării unui microobiect să
fie descrisă de un pachet de unde, care la un moment dat t să aibă amplitudinea
diferită de zero numai într-un domeniu restrâns din spaţiu. Pachetul de unde se
obţine din suprapunerea maimultor unde monocromatice care au pulsaţiile
cuprinse într-un interval de pulsaţii . Conform (8.1) şi (8.2), existenţa unui
domeniu de pulsaţii conduce la o nedeterminare E a energiei, şi respectiv
o nedeterminare p a impulsului. Viteza de gruppentru un astfel depachet de
unde se defineşte prin relaţia:
g
dv
dk
(8.15)
În cazul undelor de Broglie, pulsaţia şi modulul vectorului de undă k
se exprimă în funcţie de masa de repaus 0m şi viteza v a microparticulei:
22 0
2 2
2 22 2
1
E m cmc
h h h v c
(8.16)
0
2 2
2 2 2 2
1
m vk p mv
h h h v c
(8.17)
Viteza de grup definită prin (8.15) se poate scrie acum sub forma:
g
d d dvv
dk dk dv
(8.18)
333
Din (8.16) şi (8.17) obţinem:
3 2 3 2
2 2 2 20 02 21 ; 1
d m v dk mv c v c
dv h dv h
(8.19)
Introducând (8.19) în (8.18) se obţine:
gv v (8.20)
ajungând astfel laconcluzia că viteza de grup a pachetului de unde este egală cu
viteza microparticulei. Acest rezultat a condus la unele interpretări eronate,
menite a identifica microparticula cu pachetul de unde.
8.1.3 Experimentele lui Davisson şi Germer de difracţie
a electronilor În anul 1927 fizicienii americani C. J. Davisson şi L. H. Germer au
efectuat experimente de difracţie a electronilor pe reţele cristaline, confirmând
valabilitatea ipotezei lui de Broglie. În fig.1 se
arată schema de principiu (macroscopică) a
instalaţiei utilizate în acest scop.
Se poate observa cum electronii emişi de
un filament F sunt acceleraţi în tunul electronic
T la o diferenţă de potenţial U, iar fasciculul de
electroni, colimat în prealabil, cade pe suprafaţa
monocristalului C. Un detector D înregistrează
electronii deviaţi de cristal sub un unghi faţă
de direcţia lor iniţială de mişcare.
Rezultatele măsurătorilor efectuate au fost
prezentate de Davisson şi Germer sub forma
unor diagrame polare, în care se trasau sub
diferite unghiuri segmente de dreaptă cu
lungimea proporţională cu numărul de electroni
difractaţi, care erau înregistraţi pe direcţia respectivă.
S-a constatat că pentru o energie a electronilor de 54eV se obţine un
maxim pronunţat al numărului de electroni difractaţi sub unghiul 50 (fig.2).
Această reflexie selectivă a electronilor poate fi explicată prin interferenţa
unor unde (în cazul nostru undele de Broglie asociate electronilor). Liniile
paralele indicate în fig.3 reprezintă urmele unor plane cristaline perpendiculare
pe planul desenului. Fasciculul de electroni cade pe cristal sub un unghi faţă
de normala MN la planele cristaline indicate. Undele difractate se vor întări
reciproc, creându-se un maxim de interferenţă, dacă este satisfăcută condiţia
Wulf-Bragg:
2 cosd , (8.21)
C
T
Figura 1. Instalaţia lui
Davisson şi Germer
F
D
334
unde este lungimea de undă pentru unda de
Broglie asociată electronilor incidenţi, iar m
este ordinul de interferenţă. Relaţia dintre
constanta reţelei cristaline D şi distanţa d
dintre planele cristaline indicate cu linii în
fig.3 este:
sind D ,
iar prin înlocuirea în (8.21) se obţine:
2 sin cos sin2 sinD D D m (8.22)
S-a utilizat un monocristal de nichel,
pentru care experimente de difracţie cu raze X
au condus la o valoare a constantei reţelei
2,15D Å.
Din (8.22) se obţine, pentru 1m şi 50 :
2,15 sin50 2,15 0,76604 1,65 Å, (8.23)
în timp ce din (8.2) se obţine:
0
12,25
2
h h
p m eU U V Å
12,25
54 Å=1,667 Å (8.24)
Concordanţa satisfăcătoare dintre valorile lungimii de undă date de (8.23)
şi (8.24) confirmă valabilitatea ipotezei lui de Broglie.
D
d
N
Figura 3. Difracţia electronilor
într-un cristal
Electroni cu
E = 54eV
50
C
Figura 2. Diagrama polară în
experimentul lui Davisson şi
Germer
335
Experimentele de difracţie de microparticule au dovedit că ideea lui de
Broglie, exprimată prin formula (8.2) este universal valabilă pentru orice
microparticulă, fie elementară (electron, proton, neutron etc.), fie neelementară
(atom, moleculă etc.).
S-a ridicat problema dacă proprietăţile ondulatorii ale microparticulelor
indicate de de Broglie aparţin ansamblului de microparticule, sau reprezintă o
proprietate individuală a fiecărei microparticule. Experimentele au atestat faptul
că această proprietate aparţine individual fiecărei microparticule.
Ipoteza lui de Broglie nu a putut fi înţeleasă în cadrul fizicii clasice, astfel
încât se poate afirma că microparticulele se comportă radical diferit faţă de
obiectele clasice. În consecinţă, microparticulele nu pot fi nici corpusculi şi nici
unde, în sensul clasic al acestor noţiuni, şi nici o dualitate undă-corpuscul.
Comportarea microparticulelor, numite in general particule cuantice, se
deosebeşte în mod esenţial de comportarea obiectelor clasice, supunându-se
unor legităţi specifice. Deşi unda de Broglie asociată mişcării microparticulelor
nu este o undă, în sensul clasic al cuvântului, se foloseşte noţiunea de undă de
Broglie, ale cărei proprietăţi vor fi deduse în cadrul mecanicii cuantice.
Paragaraful din Photonics privin teza lui de Broglie şi premiul Nobel atribuit
numai lui Davisson (nu şi lui Germer)
8.1.4 Relaţiile de nedeterminare ale lui Heisenberg Faptul că un microobiect poate fi descris de un pachet de unde de Broglie
conduce la ideea existenţei unei limite principiale a preciziei cu care pot fi
măsurate caracteristicile corpusculare ale microparticulelor.
În anul 1927 fizicianul german Werner Heisenberg (1901-1976) a arătat
că există relaţii de incertitudine pentru toate perechile de variabile canonic
conjugate:
, ; , ; , ; , .x y z
ix p y p z p E ict
c (8.25)
Pentru aceste perechi de variabile canonic conjugate relaţiile de
nedeterminare ale lui Heisenberg se scriu sub forma:
; ; ; .x y zx p y p z p E t (8.26)
Subliniem că relaţiile de incertitudine (8.26) prezintă un caracter fundamental,
exprimând deosebirea calitativă de comportare a particulelor cuantice în raport
cu cele clasice. Astfel, relaţiile (8.26) reflectă o lege generală a naturii, având un
caracter universal în sensul că se referă la orice tip de obiect sau interacţiune.
În încercarea de a exprima principiul de incertitudine al lui Heisenberg
într-o formă cât mai accesibilă, Niels Bohr a introdus în anul 1928 aşa numitul
concept de complementaritate, conform căruia fenomenele la nivel macroscopic
nu pot fi descrise atât de complet ca în mecanica clasică. După Bohr, perechile
de variabile conjugate canonic, care în mecanica clasică se completează reciproc
336
şi permit astfel o descriere completă a stării obiectului, în cazul microobiectelor
sunt principial incompatibile, excluzându-se reciproc. Aceasta înseamnă că nu
pot fi atinse prin nici un fel de măsurare precizii care depăşesc cadrul relaţiilor
de incertitudine. Orice încercare de măsurare cu precizie mare a uneia dintre
variailele canonic conjugate conduce la producerea unei perturbaţii
incontrolabile asupra valorii celei de-a doua variabile. Pe de altă parte,
perturbaţiile necontrolabile asupra valorii variabilei conjugate care nu se
măsoară în procesul de măsurare considerat, nu influenţează rezultatele obţinute
prin masurarea primei variabile canonice.
Faptul că o microparticulă descrisă de funcţia de undă (8.12) prezintă
aceeaşi densitate de probabilitate a localizării (8.14) în orice punct din spaţiu,
este în totală concordanţă cu principiul de nedeterminare. Functia de undă (8.12)
descrie un obiect cuantic de impuls zp determinat, adică 0zp şi z .
Exemplul 1. Un exemplu concret de utilizare a relaţiilor de nedeterminare (problemă, numeric)
8.2 Elemente de mecanică cuantică
8.2.1 Introducere (Principiile din Cohen-Tanoudji?) În mecanica cuantică se opereaza cu funcţia de undă , , ,x y z t , care
descrie starea cuantică a microparticulei. Pătratul valorii absolute a funcţiei de
undă, 2
sau , este proporţional cu probabilitatea de localizare a
microparticulei într-un punct din spaţiu, la un moment dat. Din această afirmaţie
rezultă că problema fundamentală a mecanicii cuantice este de a stabili expresia
funcţiei de undă , , ,x y z t care descrie starea cuantică a microparticulei într-
un câmp de forţe.
Probabilitatea dP ca prin efectuarea unor măsurători să găsim
microparticula în elementul de volum dV dxdydz centrat pe punctul de
coordonate , ,x y z , la momentul t va fi în consecinţă:
2dP dV dV dV (8.27)
Faptul că microparticula se află, cu certitudine, într-un punct oarecare din spaţiu
se exprimă prin condiţia de normare a funcţiei de undă , , ,x y z t :
21dV dxdydz
(8.28)
În cazul în care 2
,r t este densitatea de probabilitate ca la un moment t
microparticula să aibă o poziţie determinată de raza vectoare r , se poate calcula
valoarea medie a razei vectoare astfel:
337
2r rdP r dV r dV (8.29)
Formula (8.29) poate fi scrisă pentru componentele , ,x y z ale vectorului de
poziţie r :
; ; .x x dx y y dy z z dz (8.30)
În acelaşi mod se poate calcula valoarea medie pentru orice mărime fizică care
este o funcţie de coordonate, , , ,F x y z :
, , , ,F x y z F x y z dxdydz (8.31)
Dacă funcţia de undă este dată în funcţie de coordonatele , ,x y z şi de timpul
t , se spune că funcţia de undă este dată în reprezentarea coordonatelor.
În cele mai multe cazuri când cunoaştem funcţia de undă în
reprezentarea coordonatelor, se poate calcula probabilitatea cu care, în urma
unor măsurători, vom obţine diferitele valori ale unor variabile dinamice, funcţie
de coordonate, precum şi valorile medii ale acestora.
Pentru a stabili ecuaţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia de undă -
ecuaţia Schrödinger- este necesar să stabilim înainte toate proprietăţile acestei
funcţii. În primul rând în mecanica cuantică se impune să fie satisfăcut
principiului superpoziţiei stărilor. Acesta afirmă că dacă un sistem cuantic
oarecare se poate afla fie în starea caracterizată de funcţia de undă 1 , în care
valoarea unei variabile dinamice A este 1a , fie în starea caracterizata de funcţia
de undă 2 , în care valoarea aceleiaşi variabile dinamice A este 2a , atunci
există si starea caracterizată de functia de undă:
1 1 2 2C C , (8.32)
unde 1C şi 2C sunt numere nenule, în general complexe.
În urma măsurării valorilor variabilei A pentru microsistemul aflat în
starea (8.32) vom obţine fie valoarea 1a , fie valoarea 2a . De aici rezultă că prin
suprapunerea stărilor cuantice în care variabila dinamică A are valori
determinate, se obţine starea caracterizată de funcţia de undă , în care
variabila dinamică A nu are valori determinate.
Dacă funcţiile de undă 1 şi 2 sunt identice 1 2 , atunci
1 2 1C C (8.33)
Starea descrisă de funcţia de undă (8.33) este identică cu starea descrisă
de funcţia de undă 1 , în sensul că prin măsurarea valorii variabilei A se obţine
338
în ambele “stări” valoarea 1a . Aşadar, stările descrise de o funcţie de undă ,
respectiv C , unde 0C , sunt identice.
Pe de altă parte, deoarece 2
reprezintă densitatea de propbabilitate ca
microparticula să se afle într-un punct oarecare din spaţiu, se impune ca
microparticula să se găsească într-un punct oarecare din spaţiu, se impune ca
funcţia de undă să satisfacă următoarele condiţii, denumite şi condiţiile
standard:
1. să fie univocă;
2. să fie continuă;
3. sa fie finită;
4. să aibă derivatele de ordinul întâi continue şi finite în raport cu variabilele
spaţiale.
8.2.2 Ecuaţia Schrödinger temporală Să considerăm mişcarea liberă a unei microparticule în direcţia şi în sensul
pozitiv al axei Ox , care poate fi descrisă de functia de undă:
,i
Et pz
x t Ae
(8.34)
Derivăm de două ori în raport cu coordonata x şi o dată in raport cu timpul t :
2 2
2 2;
p Ei
x t
(8.35)
În cazul relativist energia totală a microparticulei este:
2
02p
pE E
m . (8.36)
Înmulţind formal (8.36) cu funcţia de undă , relaţia devine:
2
02p
pE E
m (8.37)
Înlocuind E şi 2p din (8.35) în (8.37), obţinem:
2 2
2
02pE
i t m x
(8.38)
În cazul tridimensional, ecuaţia se generalizează în mod simplu:
2 2 2 2
2 2 2
02pE
i t m x y z
, (8.39)
sau într-o scriere echivalentă:
339
2
02pE
m i t
(8.40)
Am obţinut astfel, printr-o “deducere” nu foarte riguroasă, ecuaţia Schrödinger
temporală. Ecuaţia (8.40) trebuie privită ca un postulat fundamental al mecanicii
cuantice, care îşi găseşte justificarea numai în concordanţă cu datele
experimentale.
8.2.3 Ecuaţia Schrödinger atemporală În cazul în care energia potenţială
pE a microparticulei nu depinde de
timp în mod explicit, soluţia ecuaţiei Schrödinger (8.40) poate fi căutată sub
forma unui produs de doi termeni, dintre care unul va depinde numai de
coordonate, iar celălalt numai de timp:
, , , , ,x y z t x y z t (8.41)
Introducând (8.41) în (8.40):
2
2
0
, , , , , ,2
p
d tt x y z E x y z t x y z
m i dt
,
şi împărţind în ambii membri prin , ,x y z t pentru separarea variabilelor
obţinem:
2
2
0
1, , , ,
, , 2p
d tix y z E x y z
x y z m t dt
(8.42)
Ecuaţia (8.42) este satisfăcută pentru oricare valori ale coordonatelor şi timpului
numai dacă cei doi termeni sunt egali cu una şi aceeaşi constantă, care din
considerente dimensionale trebuie să fie o energie. Însă într-un câmp de forţe
care derivă dintr-o energie potenţială , ,pE x y z energia totală a microparticulei
se conservă, fapt care ne sugerează să luăm constanta de separare a variabilelor
din (8.42) drept energia totală a microparticulei E . Se obţin astfel două ecuaţii
diferenţiale:
0
d t iE t
dt
(8.43)
2
2
0
, , , , , ,2
px y z E x y z E x y zm
(8.44)
Soluţia ecuaţiei (8.43) este:
i
Et
t Ce
, (8.45)
340
unde C este o constantă.
Aşadar, la mişcarea unei microparticule într-un câmp conservativ de forţe,
funcţia de undă are forma:
, , , , ,iEt
x y z t x y z e
, (8.46)
iar densitatea de probabilitate
2 2
, , , , ,x y z t x y z (8.47)
nu depinde de timp. Stările cuantice descrise de funcţia de undă (8.46) se
numesc stări cuantice staţionare.
În continuare vom nota, pentru simplificare, funcţia de undă , ,x y z
prin , astfel că ecuaţia Schrödinger (8.44) pentru stările staţionare este:
2 0
2
20p
mE E , (8.48)
fiind cunoscută sub numele de ecuaţia Schrödinger independentă de timp.
8.2.4 Salturi de potenţial. Bariere de potenţial. Efectul
tunel În acest paragraf vom studia iniţial mişcărea unei particule cuantice
nerelativiste, de masă m şi energie mecanică E , care se deplasează liber de-a
lungul axei Ox , în sensul pozitiv, venind de la . Particula întâlneşte la un
moment dat o variaţie bruscă de energie potenţială pe axa Oy , de înălţime 0E ,
în punctul 0x (fig.4).
Aplicând ecuaţia Schrödinger, vom determina
mişcarea particulei în formalismul mecanicii
cuantice în două cazuri: 0E E ,
respectiv 0E E .
1) Cazul 0E E
Energia potenţială împarte spaţiul
disponibil în două zone, şi anume zona I în
care 0pE , respectiv zona II, în care
0pE E . Ecuaţia Schrödinger independentă de
timp, pentru cele două zone se scrie sub
forma:
2
2 2
( ) 2( ) 0I
I
d x mE x
dt
(8.49)
0E
I
pE x
II
x
Figura 4. Saltul de energie
potenţială de înălţime finită
E
341
2
02 2
( ) 2( ) 0II
II
d x mE E x
dt
(8.50)
Ecuaţiile sunt de tipul ecuaţiei unui oscilator armonic, având soluţiile de forma:
1 1
1 1( ) ik x ik x
I x Ae Ae (8.51)
2 2
2 2( ) ik x ik x
II x A e A e , (8.52)
unde am folosit notaţiile 1 2
2mEk şi
0
2 2
2m E Ek
Impunem condiţiile de continuitate în punctul 0x , obţinând un sistem
de două ecuaţii cu patru necunoscute:
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
0 0
(0) (0)I II
I II
A A A Ad d
k A k A k A k Adx dx
(8.53)
Conform cerinţelor problemei, microparticula se poate deplasa în regiunea II
numai în sensul pozitiv al axei Ox , ceea ce impune ca 2 0A . Din (8.53) se
obţin prin calcule simple rapoartele 1 1 2
1 1 2
A k k
A k k
şi 2 1
1 1 2
2A k
A k k
.
Definim coeficientul de reflexie R ca fiind probabilitatea ca
microparticula care vine de la să se întoarcă în punctul 0x înapoi spre
, sau altfel spus R este raportul dintre amplitudinea undei regresive şi
amplitudinea undei progresive din regiunea I:
2 2
1 1 2
1 1 2
A k kR
A k k
(8.54)
Definim coeficientul de transmisie T ca fiind probabilitatea ca
microparticula care vine de la să treacă prin punctul 0x înainte spre .
Particula nu poate dispare în punctul 0x , astfel probabilitatea de trecere plus
de întoarcere trebuie să fie unitatea, 1R T , de unde obţinem expresia lui T :
2
2 2 1 2
2
1 1 1 2
4k A k kT
k A k k
(8.55)
Înlocuind expresiile lui 1k şi 2k în (8.54) obţinem expresia coeficientului
de reflexie în funcţie de datele problemei:
342
2
02
0
0 0
1 1
1 1
EE E E ERE E E E
E
(8.56)
Din (8.56) se pot trage următoarele concluzii:
- pentru 0E E , 0R şi 1T ;
- pentru 0E E , 1R şi 0T ;
- când energia particulei creşte de la 0E spre , coeficientul de relexie R
scade de la valoarea 1 la valoarea 0, în timp ce transmisia T creşte de la 0 la 1.
Pentru valoarea particulară a energiei 02E E obţinem din (8.56)
0,0289 3%R . Aceasta înseamnă că dacă un flux de particule se deplasează
în condiţiile problemei, fiecare particulă având energia de două ori mai mare
decât energia potenţială a saltului 0E , numai 3 particule din 100, ajungând în
punctul 0x , se vor întoarce înapoi din acest punct în zona I; restul de 97
particule vor trece mai departe în zona II.
2) Cazul 0E E
Procedăm la fel ca în cazul 1). Ecuaţiile Schrödinger pentru cele două zone sunt:
2
2 2
( ) 2( ) 0I
I
d x mE x
dt
(8.57)
2
02 2
( ) 2( ) 0II
II
d x mE E x
dt
(8.58)
Cu notaţiile 1 2
2mEk şi
0
2 2
2m E Eq
, ecuaţia (8.57) are soluţia:
1 1
1 1( ) ik x ik x
I x Ae Ae , (8.59)
iar soluţia ecuaţiei (8.58), datorită semnului minus, va conţine exponenţiale reale
2 2
2 2( ) q x q x
II x B e B e , (8.60)
Impunem condiţiile de continuitate în punctul 0x , şi obţinem sistemul:
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
0 0
(0) (0)I II
I II
A A B Bd d
k A k A q B q Bdx dx
(8.61)
Condiţia de mărginire a funcţiei de undă ( )II x impune ca 2 0B . Din
(8.61) se obţin prin calcule simple rapoartele:
343
1 1 2
1 1 2
A k iq
A k iq
şi 2 1
1 1 2
2B k
A k iq
, (8.62)
de unde rezultă expresia coeficientului de reflexie:
2
1
1
1A
RA
(8.63)
În cazul 0E , 2q , iar din (8.62) rezultă
1 1A A şi 2 0B .
Funcţia de undă în punctul 0x se va anula:
1 1(0) 0I A A ,
şi rămâne nulă în regiunea II.
În cazul când 0E este finit, însă
0E E , probabilitatea de a localiza
particula în regiunea II este diferită de zero pe o distanţă faţă de punctul 0x cu
atât mai mare cu cât raportul 0E
E este mai mic. Această probabilitate scade
exponenţial cu x , devenind neglijabilă pentru 2
2
11x xq
q . Mărimea
2
1
q se
numeşte adâncimea de pătrundere (sau puterea de pătrundere).
Al doilea exemplu de mişcare a unei microparticule este bariera de
potenţial de înălţime şi lărgime finită (fig.4).
Vom determina coeficientul de reflexie şi
transmisie pentru o microparticulă
nerelativistă de masă m , care se deplasează
în lungul axei Ox venind de la spre ,
în două cazuri: 0E E , respectiv 0E E .
Vom împărţi spaţiul în trei regiuni, notate cu
I, II şi III.
1) Cazul 0E E
În zona I 0pE , în zona II 0pE E ,
iar în zona III 0pE . Soluţiile ecuaţiei
Schrödinger, independentă de timp, pentru
cele trei zone sunt:
1 1
1 1( ) ik x ik x
I x Ae Ae
(8.64)
2 2
2 2( ) ik x ik x
II x A e A e , (8.65)
1 1
3 3( ) ik x ik x
III x A e A e (8.66)
E
0E
I
pE x
II
x
Figura 5. Bariera de
potenţial de înălţime şi
lărgime finită
III
l
344
unde am folosit notaţiile 1 3 2
2mEk k şi
0
2 2
2m E Ek
Impunem condiţiile de continuitate în punctele 0x şi x l , obţinând un
sistem de patru ecuaţii cu şase necunoscute:
2 2 1
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 20 0
'
2 2 3 3
(0) (0)
( ) ( )
I II
I II
ik l ik l ik l
II III
II III
l l
A A A Ad d
k A k A k A k Adx dx
A e A e A e Al l
d d
dx dx
1
2 2 1 '
2 2 2 2 1 3 1 3
ik l
ik l ik l ik l
e
ik A e ik A e ik A e ik A
1ik le
(8.67)
Conform cerinţelor problemei vom lua 3 0A , deoarece amplitudinea
undei regresive în regiunea III trebuie să fie nulă (microparticula o dată
pătrunzând în regiunea III se poate deplasa în această regiune numai în sensul
pozitiv al axei Ox , întrucât numai există vreo barieră sau un salt de energie
potenţială care ar putea întoarce particula înapoi). Din ultimele două ecuaţii
(8.67) vom exprima pe 2A şi 2A în funcţie de 3A , iar apoi din primele două
ecuaţii (8.67) vom exprima pe 1A şi
1A în funcţie de 2A şi
2A . Efectuând
calculele vom obţine, după transformări trigonometrice simple:
1
2 2
1 21 2 2 3
1 2
cos sin2
ik lk kA k l i k l e A
k k
şi 1
2 2
2 11 2 3
1 2
sin2
ik lk kA i k le A
k k
, de unde:
22 2 2 2
1 2 21
2 2 2 2 21 1 2 1 2 2
22 2
3 1 2
2 2 2 2 21 1 2 1 2 2
sin
4 sin
4
4 sin
k k k lAR
A k k k k k l
A k kT
A k k k k k l
(8.68)
Înlocuind pe 1k şi 2k în expresia transmisiei T , obţinem:
0
2 2
0 0 0
4
4 sin 2
E E ET
lE E E E m E E
(8.69)
Expresia (8.69) a transmisiei T prin barieră prezintă maxime de valoare egală cu
unitatea şi minime de valoare:
0
min 2
0 0
4
4
E E ET
E E E E
(8.69)
345
Condiţia de maxim pentru T este ca numitorul relaţiei (8.69) să fie
minim, adică 0sin 2 0l
m E E
, de unde rezultă 02l
m E E n ,
unde 0,1,2,........n
Această condiţie impune anumite valori ale energiei, care este astfel cuantificată
în funcţie de numărul întreg n :
2 2 2
0 22n
nE E
ml
(8.70)
Condiţia de minim pentru T este ca numitorul relaţiei (8.69) să fie
maxim, adică 0 0sin 2 1 2 2 12
l lm E E m E E n
, cu n
număr întreg. Această condiţie impune pentru energie valorile:
2 2 2
0 2
2 1
8n
nE E
ml
(8.71)
Se poate observa că pentru microparticule de acelaşi tip (şi aceeaşi masă)
o barieră de energie potenţială acţionează ca un filtru, lăsând să treacă cu
probabilitate maximă particulele care au energia egală cu oricare dintre valorile
(8.70), şi cu probabilitate minimă particulele cu energia egală cu oricare dintre
valorile (8.71).
În sfârşit în cazul 0E E , putem observa că transmisia T va fi egală cu
unitatea, indiferent de valorile lăţimii barierei l .
2) Cazul 0E E (efectul tunel)
În zona I 0pE , în zona II 0pE E , iar în zona III 0pE . Cu notaţiile
1 3 2
2mEk k şi
0
2 2
2m E Eq
, soluţiile ecuaţiei Schrödinger (funcţiile
de undă pentru stările staţionare) pentru cele trei zone sunt:
1 1
1 1( ) ik x ik x
I x Ae Ae (8.72)
2 2
2 2( ) q x q x
II x B e B e , (8.73)
1 1
3 3( ) ik x ik x
III x A e A e (8.74)
Impunând condiţiile de continuitate în punctele 0x şi x l , şi
procedând în continuare ca la punctul 1), obţinem expresia transmisiei în efectul
tunel:
346
2
03
2 210 0 0
4
4 sh 2
E E EAT
lAE E E E m E E
(8.74)
Acelaşi rezultat se poate obţine mult mai uşor plecând de la formula (8.69) şi
observând următorul artificiu: dacă în (8.65) - ecuaţia Schrödinger staţionară
pentru regiunea II din cazul 0E E - facem substituţia
2 2k iq , se obţine chiar
ecuaţia Schrödinger staţionară din cazul 0E E . Aceasta conduce la următoarele
schimbări în (8.69): 0E E trece în 0E E , iar funcţia 2
2sin k l trece în 2
2sh k l .
Pentru a calcula transmisia unei bariere de potenţial în cazul efectului
tunel, trebuie parcurse următoarele etape:
- se calculează puterea de pătrundere a microparticulei în regiunea barierei, după
formula de definiţie:
2
2 0
1
2q m E E
;
- se compară lărgimea l a barierei cu puterea de pătrundere; în cazul 2
1l
q , se
poate calcula transmisia barierei după formula (8.74); în caz contrar, transmisia
devine complet neglijabilă datorită exponenţialei pozitive din formula funcţiei
sh.
Exemplul 2.
Să se calculeze coeficientul de transmisie printr-o barieră de potenţial de
înălţime 0 2eVE şi lăţime 1l Å pentru un electron de energie
1eVE 319,1 10 kgem , respectiv un proton de aceeaşi energie.
- pentru electron:
2
2 0 0 0
1 1 1,96
2 2e eq m E E m E E E E
Å 1,96 Å.
Deoarece 2
1l
q , din (8.74) obţinem 0,78T .
- pentru proton:
2 2
2 0 0 0
1 1 4,6 10
2 2p pq m E E m E E E E
Å 0,046 Å.
Deoarece 2
1l
q, din (8.74) obţinem
220 19
2
0
164 10q lE E E
T eE
.
347
8.2.5 Oscilatorul armonic liniar cuantic Oscilatorul liniar este de mare importanţă în fizica teoretică. Modelul
simplu al oscilatorului armonic stă la baza multor aplicaţii din fizică, în domenii
ca electrodinamica, optica, mecanica analitică, fizica atomului, fizica corpului
solid, radiofizica, fotonica, astrofizica etc. În multe situaţii studiul mişcării unor
sisteme complexe se poate reduce la studiul unui ansamblu de oscilatori
echivanţi cu oscilatorii armonici.
S-a arătat că din punct de vedere al fizicii clasice, un oscilator armonic liniar se
deplasează după legea:
cosx t A t ,
având viteza sindx
v t A tdt
, şi energia totală 2 2
0
2
m AE
.
În cazul oscilatorului armonic se poate aplica regula de cuantificare
Sommerfeld-Wilson:
xp dx nh (8.75)
Pentru un oscilator armonic impulsul este 0x
dxp m
dt , de unde se obţine:
2 2 2
0 0 0sin
x
dx dx dxp dx m dx m dt m A tdt
dt dt dt .
Înlocuind în (8.75) se obţine:
2 2 2
2 2 2 2 2 20
0 0 0
0 0
1sin sin 2
2
T m Am A tdt td t m A m A nh
,
sau echivalent:
2 2 2 2
0 02
2 2 2n
m A m A hnh n n E
(8.76)
Astfel, conform ideilor iniţiale ale mecanicii cuantice, energia
oscilatorului armonic liniar este cuantificată, fiind egală cu un multiplu întreg al
mărimii h sau .
Din punct de vedere cuantic, ţinând cont de expresia energiei potenţiale a
oscilatorului armonic:
2 2
0
2p
m xE x
(8.77)
se impune rezolvarea ecuaţiei lui Schrödinger:
2 2 2
0 0
2 2
20
2
d m m xE
dx
(8.78)
348
În vederea rezolvării ecuaţiei, introducem următoarele notaţii:
0 0
2 2
0
2 1 2; ;
m E m E
x
(8.79)
Introducem de asemenea, o variabilă nouă, adimensională:
0
1xx x
x
, (8.80)
de unde
2 2
2 2;
d d d d d d
dx d dx d dx d
(8.81)
Introducând aceste schimbări în (8.78), obţinem ecuaţia diferenţială:
2
2
20
d
d
(8.82)
La rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale neliniare de tipul (8.82) se impune ca
iniţial să se afle soluţia asimptotică, pentru , unde poate fi neglijat.
2 0 (8.83)
Soluţia ecuaţiei (8.83) este de forma: 2
e
(8.84)
2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ; 2 4 4 2 4e e e e e
. Înlocuind
în (8.83) şi neglijând pe , rezultă ecuaţia caracteristică:
2 22 2 24 0e e ,
de unde 1
2 , astfel soluţia generală va fi de forma:
2 21 1
2 2
1 2C e C e
. (8.85)
Din condiţia ca funcţia de undă să fie finită pentru rezultă 2
0C .
Funcţia de undă nefiind normată, se va lua pentru 1
C valoarea 1, astfel (8.85) ia
forma:
21
2e
(8.85)
Soluţia ecuaţiei (8.82) se va căuta sub forma:
21
2f fe
, (8.86)
de unde obţinem:
349
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 22 2 2 2 2 2
;
2 1
fe f e
fe f e e f e f e f f f e
Introducând soluţia (8.86) în (8.82), obţinem:
2 2 21 1 1
2 22 2 22 1 0f f f e fe fe
,
sau
2 1 0f f f (8.87)
Funcţia f se caută de obicei sub forma unei serii de puteri:
1
k
kk
f b
, (8.88)
care se introduce în (8.87), separând apoi termenii lui la puterea k :
22 1 2 0k
k k k kk
k k b b k b b
.
Deoarece 0 , rezultă:
2
2 1
2 1k k
kb b
k k
(8.89)
Se obţine astfel o relaţie de recurenţă între termenii seriei (8.88).
Pentru ca funcţia de undă (8.86) să satisfacă condiţia standard de a fi finită
pentru , se impune ca funcţia f să fie un polinom, de un ordin
maxk n , adică
20; 0;..........
n nb b
Această condiţie este satisfăcută dacă:
2 1n ,
sau
2 12 1;
2
n
n
En E n
(8.90)
Se constată că (8.90), obţinută în cadrul mecanicii cuantice, diferă de
formula (8.76) prin faptul că, din punctul de vedere al mecanicii cuantice,
energia oscilatorului armonic nu poate fi egală cu zero. Există o energie de zero
nenulă, 0
1
2E .
Pe baza relaţiilor de incertitudine se poate arăta că oscilatorul liniar
armonic nu poate avea o energie mai mică decât 0
E .
Energia oscilatorului armonic este:
350
2 2 2
0
02 2
xp m x
Em
Relaţiile de incertitudine pot fi scrise, în mod neriguros, astfel:
2 2
2 2 2
24 4x x
x p px
,
de unde se obţine:
2 2 2 2 2 2
0 0
2
0 02 2 8 2
xp m x m x
Em m x
. (8.91)
Pentru a obţine valoarea minimă a energiei punem condiţia ca derivata lui
E în raport cu 2x să fie egală cu zero:
2 2
20
22 200
0 02 28
dE mx
dx mm x
4 4 2E
,
de unde rezultă:
min2
E
. (8.92)
Existenţa energiei de zero este una dintre cele mai evidente manifestări a
caracterului cuantic, specific microparticulelor.
Exemplul 1
Funcţia de undă a unei microparticule este dată de expresia:
0
2 2
ip x
Nex
x a
,
unde a şi 0
p sunt constante reale, iar N este un coeficient de normare. Se cer:
a) Valoarea coeficientului de normare, astfel încât funcţia de undă să fie
normată;
b) Probabilitatea ca la măsurarea poziţiei particulei, aceasta să aibă valori
cuprinse între 3
a şi
3
a ;
c) Valorile medii ale impulsului şi poziţiei particulei.
Rezolvare
a) Din condiţia de normare, * 1dx
, se obţine:
351
2 2
2
2 2arctg 1
dx N x N aN dx N
x a a a a
,
iar funcţia de undă normată va avea expresia:
0
2 2
ip x
a ex
x a
b) 3 3
*
2 2
3 3
2 1
6 3
a a
a a
a dx aP dx
x a a
.
c) 0x ;
p ……………………..
(specific că variaţia potenţialului în cazurile reale nu este bruscă, de forma unei funcţii , iar
condiţiile la limită sunt valabile pentru cazul d , unde d este distanţa pe care are loc
variaţia energiei potenţiale – vezi Cohen-Tanoudji)
Oscilatorul cuantic
Groapa de potenţial?
Probleme. Principiile mecanicii cuantice
Bibliografia?
1. David J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics (2nd Edition), Wiley,
2004.
2. A. Messiah. Mecanică cuantică, vol I, Editura ştiintifică, Bucureşti, 1974.
3. A. A. Coкoлoв, Ю. M. Лocкутoв, И. M. Tеpнoв. Kвaнтoвaя Meхaника,
Государственное Учебно-едагогическое Издательство Министерства
Просвещения РСФСР, Москва, 1962.
4. E.R. Bena, E. C. Niculescu. Probleme de mecanică cuantică, Institutul
Politehnic Bucureşti, Catedra de Fizică, 1981.
5. Toma Vescan. Mecanica Cuantică, Partea I, Universitatea Bucuresti,
Facultatea de Fizică, Bucureşti, 1975.
6. Veronica Florescu.. Mecanica Cuantică, Partea I, Universitatea Bucuresti,
Facultatea de Fizică, Bucureşti, 1980.
7. Eyvind H. Wichmann. Fizica Cuantică, Cursul de Fizică Berkeley, vol.IV,
Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.
8. Şerban Ţiţeica. Mecanica Cuantică. Editura Academiei Republicii Socialiste
România, Bucureşti, 1984.