Tema 1 Medida de Lebesgue en Rn - WordPress.com · 2013-03-13 · Invariancia de la medida de...

Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo

Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue

Medida de Lebesgue en Rn

Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue

Tema 1Medida de Lebesgue en Rn

Miguel Lacruz Martınlacruz@us.es

Departamento de Analisis MatematicoFacultad de Matematicas

Universidad de Sevilla

Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn

Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:

DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:

1. ∅ ∈ M.

2. A ∈M⇒ Ac ∈M.

3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃

n∈N An.

El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.

Ejemplo

M = {∅,X}, M = P(X ).

1. ∅ ∈ M.

2. A ∈M⇒ Ac ∈M.

3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃

n∈N An.

Ejemplo

M = {∅,X}, M = P(X ).

1. ∅ ∈ M.

2. A ∈M⇒ Ac ∈M.

3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃

n∈N An.

Ejemplo

M = {∅,X}, M = P(X ).

1. ∅ ∈ M.

2. A ∈M⇒ Ac ∈M.

3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃

n∈N An.

Ejemplo

M = {∅,X}, M = P(X ).

1. ∅ ∈ M.

2. A ∈M⇒ Ac ∈M.

3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃

n∈N An.

Ejemplo

M = {∅,X}, M = P(X ).

1. ∅ ∈ M.

2. A ∈M⇒ Ac ∈M.

3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃

n∈N An.

Ejemplo

M = {∅,X}, M = P(X ).

Proposicion

Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.

2. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋂

n∈N An.3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒

⋂pk=1 Ak ∈M.

4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.

4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS .

MS es la menor σ-algebra que contiene a S.

Proposicion

1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p

k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒

⋂n∈N An.

3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p

k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.

⋂i∈IMi es una

σ-algebra en X .

DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.

I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union

numerable de cerrados)

son borelianos.

DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.

DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina

σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.

son borelianos.

I Los conjuntos abiertos,

los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union

son borelianos.

I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,

I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (unionnumerable de cerrados)

son borelianos.

I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ

(interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (unionnumerable de cerrados)

son borelianos.

I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ

(unionnumerable de cerrados)

son borelianos.

DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:

1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

{X ,M, µ} se denomina espacio de medida

Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.

1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.

2. Si X =⋃

n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.

3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.

4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA

:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.

1. µ(∅) = 0.

2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice

finita.

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice

σ-finita.

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice

completa.

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

:MA → [0,+∞] se denomina

medida inducida.

n∈N An

n∈N µ(An).

2. Si X =⋃

Ejemplo

En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina

medida cardinal.

1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).

3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(

⋃n∈N An).

5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ

(⋂n∈N An

Ejemplo

En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).

Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

Ejemplo

k=1 Ak

)=∑p

k=1 µ(Ak).

n∈N An

)≤∑

n∈N µ(An).

⋃n∈N An).

(⋂n∈N An

DefinicionSea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X )→ [0,+∞] sedenomina medida exterior en X si verifica:

1. µ(∅) = 0.

2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

3. Si An ⊂ X , ∀n ∈ N, entonces

(⋃n∈N

)≤∑n∈N

µ∗(An)

1. µ(∅) = 0.

2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

(⋃n∈N

)≤∑n∈N

µ∗(An)

1. µ(∅) = 0.

2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

(⋃n∈N

)≤∑n∈N

µ∗(An)

1. µ(∅) = 0.

2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

(⋃n∈N

)≤∑n∈N

µ∗(An)

1. µ(∅) = 0.

2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

(⋃n∈N

)≤∑n∈N

µ∗(An)

Definimos la recta real extendida,

R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞].

Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.

2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c =

+∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.

3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c =

−∞.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

para todo numero real c.

El producto con elementos no nulos de Rse define como

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c =

+∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.

2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c =

−∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.

3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c =

−∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.

4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c =

+∞, cuando c < 0.

1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 =

0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define

como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.

I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.

2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) =

+∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) =

−∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

I La suma (+∞) + (−∞)

no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) =

−∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) =

+∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

I Cualquiera que sea c ∈ R es

−∞ < c < +∞.

Tambien definimos

1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.

LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1.

Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

⋃k−1j=1 Aj si

k > 1. Entonces:

1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.

2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .

3.n⋃

Ak =n⋃

Bk , ∀n ∈ N.

4.+∞⋃k=1

Ak =+∞⋃k=1

DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk .

El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]

se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi

para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.

DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)

DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]

se denomina intervalo cerrado de extremos a y b.

Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi

se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo).

En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi

se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b.

(Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi

se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ).

Si ai = bi

para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado.

Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.

DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como:

vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)

1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.

2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).

DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden

expresar en la formam

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.

2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.

1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,

entonces z + I es un intervalo y

vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) =

vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).

Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo y

vol(λI ) = λnvol(I ).

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) =

λnvol(I ).

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).

2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.

DefinicionLos intervalos

[α1, β1)× · · · × [αn, βn)

con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.

Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,

LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces

vol(I ) = card(I ∩ Zn)

[α1, β1)× · · · × [αn, βn)

Observemos que el volumen de un intervalo diadico I

en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,

[α1, β1)× · · · × [αn, βn)

Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando

el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,

[α1, β1)× · · · × [αn, βn)

vol(I ) =

card(I ∩ Zn)

[α1, β1)× · · · × [αn, βn)

1 2 3 4

TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

En efecto, si expresamos

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

)entonces su volumen es

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

vol(I ) =

card(2pI ∩ Zn)

I =[ s1

)× · · ·×,

[ sn2p,

vol(I ) =1

2npvol(2pI ) =

2npcard(2pI ∩ Zn)

Lema (Aproximacion por intervalos)

1. Sea I ⊂ Rn un intervalo no degenerado, entonces para cadaε > 0 existe un intervalo diadico J tal que J ⊂ I yvol(I )− vol(J) < ε.

2. Sea I ⊂ Rn un intervalo, entonces para cada ε > 0 existe unintervalo diadico H tal que I ⊂ int(H) y vol(H)− vol(I ) < ε.

Demostracion. 1o. Sea I ⊆ Rn un intervalo no degenerado y seana,b ∈ Rn sus extremos. Sea 0 < δ < mın{(bi − ai ) : 1 ≤ i ≤ n}.Consideremos el intervalo Lδ =

∏ni=1(ai + δ, bi − δ). Esta claro que

Lδ ⊆ I y que vol(Lδ) =∏n

i=1(bi − ai − 2δ) es una funcion continuade δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası, dado ε > 0, existeun δ > 0 tal que vol(I )− vol(Lδ) < ε. A continuacion escogemosnumeros diadicos xi ∈ (ai , ai + δ) e yi ∈ (bi − δ, bi ).

Consideramos el intervalo diadico J =∏n

i=1[xi , yi ). Es obvio queJ ⊆ I y ademas vol(I )− vol(J) ≤ vol(I )− vol(Lδ) < ε.

2o. Sea I ⊆ Rn un intervalo y sean a,b ∈ Rn sus extremos. Seaδ > 0 y consideremos el intervalo Lδ =

∏ni=1(ai − δ, bi + δ).

Esta claro que I ⊆ Lδ y que vol(Lδ) =∏n

i=1(bi − ai + 2δ) es unafuncion continua de δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası,dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que vol(Lδ)− vol(I ) < ε. Ahoraescogemos numeros diadicos xi ∈ (ai − δ, ai ) e yi ∈ (bi , bi + δ).Consideramos el intervalo diadico H =

∏ni=1[xi , yi ). Es obvio que

I ⊆ int(H) y ademas vol(H)− vol(I ) ≤ vol(Lδ)− vol(I ) < ε.

Consideramos el intervalo diadico J =∏n

i=1[xi , yi ). Es obvio queJ ⊆ I y ademas vol(I )− vol(J) ≤ vol(I )− vol(Lδ) < ε.

2o. Sea I ⊆ Rn un intervalo y sean a,b ∈ Rn sus extremos. Seaδ > 0 y consideremos el intervalo Lδ =

∏ni=1(ai − δ, bi + δ).

Esta claro que I ⊆ Lδ y que vol(Lδ) =∏n

i=1(bi − ai + 2δ) es unafuncion continua de δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası,dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que vol(Lδ)− vol(I ) < ε. Ahoraescogemos numeros diadicos xi ∈ (ai − δ, ai ) e yi ∈ (bi , bi + δ).Consideramos el intervalo diadico H =

∏ni=1[xi , yi ). Es obvio que

I ⊆ int(H) y ademas vol(H)− vol(I ) ≤ vol(Lδ)− vol(I ) < ε.

Lema (Recubrimientos)

1. (Finito). Sean I1, . . . , Ip intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean J1, . . . , Jq intervalos en Rn, talesque

⋃pj=1 Ij ⊂

⋃qk=1 Jk , entonces∑p

j=1 vol(Ij) ≤∑q

k=1 vol(Jk).2. (Numerable). Sean Ik , ∀k ∈ N intervalos en Rn, tales que

Ik ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean Jk ,∀k ∈ N intervalos en Rn, talesque

⋃k∈N Ik ⊂

⋃k∈N Jk , entonces∑+∞

k=1 vol(Ik) ≤∑+∞

k=1 vol(Jk).

Demostracion. Podemos quitar de la familia {I1, . . . , Ip} aquellosintervalos que sean degenerados, pues su volumen es cero. Dadoε > 0, segun el lema anterior existen intervalos diadicos I ′j ⊆ Ij yJ ′k ⊇ Jk tales que vol(Ij)− vol(I ′j ) <

εp , vol(J ′k)− vol(Jk) < ε

⋃pj=1 Ij ⊂

j=1 vol(Ij) ≤∑q

k=1 vol(Jk).

2. (Numerable). Sean Ik , ∀k ∈ N intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean Jk ,∀k ∈ N intervalos en Rn, talesque

⋃k∈N Ik ⊂

k=1 vol(Ik) ≤∑+∞

k=1 vol(Jk).

⋃pj=1 Ij ⊂

j=1 vol(Ij) ≤∑q

⋃k∈N Ik ⊂

k=1 vol(Ik) ≤∑+∞

k=1 vol(Jk).

⋃pj=1 Ij ⊂

j=1 vol(Ij) ≤∑q

⋃k∈N Ik ⊂

k=1 vol(Ik) ≤∑+∞

k=1 vol(Jk).

Sea ` ∈ N tal que los denominadores de los numeros diadicos quedefinen estos intervalos son iguales a 1/2`. Segun el teoremaanterior tenemos

p∑j=1

vol(I ′j ) =

p∑j=1

2`ncard(2`I ′j ∩ Zn) =

2`ncard

p⋃j=1

I ′j

∩ Zn

2`ncard

J ′k

)∩ Zn

q∑k=1

2`ncard(2`J ′k ∩ Zn)

q∑k=1

vol(Jk).

Teniendo en cuenta la eleccion de estos intervalos diadicos, sesigue que

p∑j=1

(vol(Ij)−

q∑k=1

(vol(Jq) +

es decir,p∑

vol(Ij) ≤q∑

vol(Jk) + ε,

y tomando lımites cuando ε→ 0 se deduce el resultado.

p∑j=1

(vol(Ij)−

q∑k=1

(vol(Jq) +

es decir,

p∑j=1

vol(Ij) ≤q∑

vol(Jk) + ε,

p∑j=1

(vol(Ij)−

q∑k=1

(vol(Jq) +

es decir,p∑

vol(Ij) ≤q∑

vol(Jk) + ε,

2o. Dado ε > 0, por el lema anterior, para cada j ∈ N existe unintervalo cerrado I ′j ⊆ Ij de tal modo que vol(Ij)− vol(I ′j ) < ε/2j .Analogamente, para cada k ∈ N existe un intervalo abierto J ′k ⊇ Jkde modo que vol(J ′k)− vol(Jk) < ε/2k .

Fijado p ≥ 1, como ∪pj=1I ′jes compacto y como ∪pj=1I ′j ⊆ ∪∞k=1J ′k , se sigue que existe q ∈ Ntal que ∪pj=1I ′j ⊆ ∪

qk=1J ′k . Ahora se tiene por el apartado anterior

que∑p

j=1 vol(I ′j ) ≤∑q

k=1 vol(J ′q), luego

p∑j=1

vol(Ij) ≤p∑

(vol(I ′j ) +

p∑j=1

vol(I ′j ) + ε ≤q∑

vol(J ′k) + ε

≤p∑

(vol(Jk) +

)+ ε ≤

∞∑k=1

vol(J ′k) + 2ε,

y haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.

2o. Dado ε > 0, por el lema anterior, para cada j ∈ N existe unintervalo cerrado I ′j ⊆ Ij de tal modo que vol(Ij)− vol(I ′j ) < ε/2j .Analogamente, para cada k ∈ N existe un intervalo abierto J ′k ⊇ Jkde modo que vol(J ′k)− vol(Jk) < ε/2k . Fijado p ≥ 1, como ∪pj=1I ′jes compacto y como ∪pj=1I ′j ⊆ ∪∞k=1J ′k , se sigue que existe q ∈ Ntal que ∪pj=1I ′j ⊆ ∪

qk=1J ′k . Ahora se tiene por el apartado anterior

que∑p

j=1 vol(I ′j ) ≤∑q

k=1 vol(J ′q), luego

p∑j=1

vol(Ij) ≤p∑

(vol(I ′j ) +

p∑j=1

vol(I ′j ) + ε ≤q∑

vol(J ′k) + ε

≤p∑

(vol(Jk) +

)+ ε ≤

∞∑k=1

vol(J ′k) + 2ε,

y haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn

Teorema (Estructura de abiertos)

Todo subconjunto abierto no vacıo de Rn es la union numerable decubos diadicos disjuntos dos a dos y cuyos cierres estan contenidosen el abierto.

1 -1 2 3 -2 -3

1/2 -1/2 -1/2 -3/2

Teorema (Estructura de abiertos)

Todo subconjunto abierto no vacıo de Rn es la union numerable decubos diadicos disjuntos dos a dos y cuyos cierres estan contenidosen el abierto.

1 -1 2 3 -2 -3

1/2 -1/2 -1/2 -3/2

Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por

I ka =n∏

[ai2k,

ai + 1

Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,

[ai2k,

ai + 1

2k) ∩ [

bi + 1

2j) 6= ∅.

Tenemos por una parte

<bi + 1

I ka =n∏

[ai2k,

ai + 1

[ai2k,

ai + 1

2k) ∩ [

bi + 1

2j) 6= ∅.

<bi + 1

I ka =n∏

[ai2k,

ai + 1

Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn.

Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,

[ai2k,

ai + 1

2k) ∩ [

bi + 1

2j) 6= ∅.

<bi + 1

I ka =n∏

[ai2k,

ai + 1

Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb.

En efecto, para cada i ,

[ai2k,

ai + 1

2k) ∩ [

bi + 1

2j) 6= ∅.

<bi + 1

I ka =n∏

[ai2k,

ai + 1

[ai2k,

ai + 1

2k) ∩ [

bi + 1

2j) 6= ∅.

<bi + 1

I ka =n∏

[ai2k,

ai + 1

[ai2k,

ai + 1

2k) ∩ [

bi + 1

2j) 6= ∅.

<bi + 1

y por lo tanto

ai <bi + 1

2j2k .

Al tratarse de numeros enteros, se sigue que

ai + 1 ≤ bi + 1

2j2k ,

de donde se obtiene que

ai + 1

2k≤ bi + 1

Por otra parte, tenemos

ai + 1

y por lo tanto

ai <bi + 1

2j2k .

ai + 1 ≤ bi + 1

2j2k ,

ai + 1

2k≤ bi + 1

ai + 1

y por lo tanto

ai <bi + 1

2j2k .

ai + 1 ≤ bi + 1

2j2k ,

ai + 1

2k≤ bi + 1

ai + 1

y por lo tanto

ai <bi + 1

2j2k .

ai + 1 ≤ bi + 1

2j2k ,

ai + 1

2k≤ bi + 1

ai + 1

y por lo tantobi

2j2k < ai + 1

2j2k ≤ ai

2j≤ ai

Resumiendo, hemos probado que

2j≤ ai

2k≤ ai + 1

2k≤ bi + 1

y por lo tantobi

2j2k < ai + 1

2j2k ≤ ai

2j≤ ai

2k≤ ai + 1

2k≤ bi + 1

y por lo tantobi

2j2k < ai + 1

2j2k ≤ ai

2j≤ ai

2k≤ ai + 1

2k≤ bi + 1

y por lo tantobi

2j2k < ai + 1

2j2k ≤ ai

2j≤ ai

2k≤ ai + 1

2k≤ bi + 1

es decir, que para cada 1 ≤ i ≤ n tenemos

[ai2k,

ai + 1

2k) ⊆ [

bi + 1

y por lo tanto I ka ⊆ I jb.

A continuacion consideramos los conjuntos

D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},

D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0

b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},

y en general

Dk = {a ∈ Zn : I ka ⊆ G I jb ∩ I ka = ∅ ∀b ∈ Dj ∀j < k}.

[ai2k,

ai + 1

2k) ⊆ [

bi + 1

D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},

D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0

b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},

y en general

[ai2k,

ai + 1

2k) ⊆ [

bi + 1

D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},

D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0

b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},

y en general

[ai2k,

ai + 1

2k) ⊆ [

bi + 1

D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},

D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0

b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},

y en general

Afirmamos que entonces

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que

diam(I ka ) < dist(x,G c).

A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego

I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G .

Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido,

o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego

G =∞⋃k=0

⋃a∈Dk

I ka .

CorolarioLa σ-algebra de Borel en Rn esta generada por los intervalos.

CorolarioTodo conjunto abierto no vacıo de Rn es union numerable de unasucesion creciente de conjuntos compactos.

Definicion (Medida de abiertos)

Sea G ⊆ Rn abierto. Si G = ∅ entonces se define m(G ) = 0, y siG 6= ∅ entonces se toma una familia (Ik) de intervalos disjuntos talque G = ∪∞k=1Ik y se define m(G ) =

∑∞k=1 vol(Ik).

1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.

2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.

Se verifican las siguientes propiedades:

1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).

2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,entonces m(

⋃k∈N Gk) ≤

∑k∈Nm(Gk).

3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,entonces m(

⋃∞k=1 Gk) =

∑∞k=1 m(Gk).

4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

k∈Nm(Gk).

3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,entonces m(

⋃∞k=1 Gk) =

∑∞k=1 m(Gk).

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

k=1 m(Gk).

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).

5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.

entonces m(⋃

k∈N Gk) ≤∑

entonces m(⋃∞

k=1 Gk) =∑∞

Demostracion.1o. Sean (Ik), (Jk) dos familias de intervalos disjuntos tales queG = ∪∞k=1Ik , H = ∪∞k=1Jk . Aplicando el lema de los recubrimientos

m(G ) =∞∑k=1

vol(Ik) ≤∞∑k=1

vol(Jk) = m(H),

2o. Sea ∪∞k=1Gk = ∪∞j=1Ij union numerable de intervalos disjuntosy sea Gk = ∪∞j=1Jj ,k union numerable de intervalos disjuntos.Tenemos

⋃∞j=1 Ij = G =

⋃∞k=1 Gk =

⋃∞k=1

⋃∞j=1 Jj ,k , y se sigue del

lema de los recubrimientos que

m(G ) =∞∑j=1

vol(Ij) ≤∞∑k=1

∞∑j=1

vol(Jj ,k) =∞∑k=1

m(Gk).

3o. Sea Gk =⋃∞

j=1 Ij ,k union numerable de intervalos disjuntos yobservemos que

⋃∞k=1 Gk =

⋃∞k=1

⋃∞j=1 Ij ,k Como los abiertos Gk

son disjuntos se sigue que Ij ,k ∩ Il ,m = ∅ si (j , k) 6= (l ,m), luego

m(∞⋃k=1

Gk) =∞∑k=1

∞∑j=1

vol(Ij ,k) =∞∑k=1

m(Gk).

4o. Se sigue de la propia definicion de la medida de un abierto.5o. Si G es un abierto acotado entonces existe un intervalo abiertoy acotado I tal que G ⊆ I , luego

m(G ) ≤ m(I ) <∞.

DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.

Proposicion

La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)

Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =

⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤

∑∞k=1 m

∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆

⋃∞k=1 Gk se sigue que

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

Demostracion.

Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

Demostracion. Dado que m(∅) = 0,

se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.

La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion.

Sea por ultimoA =

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

⋃∞k=1 Ak .

Veamos que m∗(A) ≤∑∞

k=1 m∗(Ak). Si para algun

k es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

∑∞k=1 m

∗(Ak).

Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

∑∞k=1 m

∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial.

En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

∑∞k=1 m

m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1

Gk) ≤∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Ak)+ε

∞∑k=1

m∗(Ak)+ε.

Proposicion

La medida exterior de Lebesgue coincide en los abiertos con lamedida de los abiertos y en los intervalos con el volumen.

Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que

vol(I ) = vol(int(I )) = m(int(I )) = m∗(int(I )) ≤ m∗(I ).

Proposicion

Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).

Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que

Proposicion

Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ).

Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que

Proposicion

Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ).

La otradesigualdad se obtiene observando que

Proposicion

Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que

LemaSi F1, . . . ,Fp son conjuntos cerrados disjuntos en Rn entonces

p∑i=1

m∗(Fi )

Demostracion. Dados los cerrados disjuntos F1, . . . ,Fp, existenabiertos disjuntos G1, . . . ,Gp tales que Fk ⊆ Gk para cada1 ≤ k ≤ p. En efecto, si consideramos los abiertos

Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k

entonces esta claro que Fk ⊆ Gk , pues si x ∈ Fk entoncesd(x,Fk) = 0 < d(x,

⋃j 6=k Fj)}. Ademas, los abiertos Gk son

disjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entonces

p∑i=1

m∗(Fi )

Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k

disjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entonces

p∑i=1

m∗(Fi )

Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k

⋃j 6=k Fj)}.

Ademas, los abiertos Gk sondisjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entonces

p∑i=1

m∗(Fi )

Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k

disjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entoncesTema 1. Medida de Lebesgue en Rn

d(x,Fk) < d(x,⋃

j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.

Como m∗ es subaditiva, basta probar que

p⋃k=1

Fk) ≥p∑

m∗(Fk).

Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p

k=1 Fk ⊆ G . Tenemos

p∑k=1

m∗(Fk) ≤p∑

m(Gk ∩ G ) = m(

p⋃k=1

Gk ∩ G ) ≤ m(G ),

y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.

d(x,Fk) < d(x,⋃

j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.Como m∗ es subaditiva, basta probar que

p⋃k=1

Fk) ≥p∑

m∗(Fk).

p∑k=1

m∗(Fk) ≤p∑

m(Gk ∩ G ) = m(

p⋃k=1

Gk ∩ G ) ≤ m(G ),

d(x,Fk) < d(x,⋃

p⋃k=1

Fk) ≥p∑

m∗(Fk).

p∑k=1

m∗(Fk) ≤p∑

m(Gk ∩ G ) = m(

p⋃k=1

Gk ∩ G ) ≤ m(G ),

d(x,Fk) < d(x,⋃

p⋃k=1

Fk) ≥p∑

m∗(Fk).

p∑k=1

m∗(Fk) ≤p∑

m(Gk ∩ G ) = m(

p⋃k=1

Gk ∩ G ) ≤ m(G ),

d(x,Fk) < d(x,⋃

p⋃k=1

Fk) ≥p∑

m∗(Fk).

p∑k=1

m∗(Fk) ≤p∑

m(Gk ∩ G ) = m(

p⋃k=1

Gk ∩ G ) ≤ m(G ),

d(x,Fk) < d(x,⋃

p⋃k=1

Fk) ≥p∑

m∗(Fk).

p∑k=1

m∗(Fk) ≤p∑

m(Gk ∩ G ) = m(

p⋃k=1

Gk ∩ G ) ≤ m(G ),

DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque

para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.

Proposicion

1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.

Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.

DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε.

La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.

Proposicion

DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.

Proposicion

1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.

2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.

Proposicion

2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible.

Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos

F =n∏

[ai + δ, bi − δ],

G =n∏

(ai − δ, bi + δ),

de modo que F ⊆ I ⊆ G . Dado que

(ai − δ, bi + δ)\[ai + δ, bi − δ] ⊆ (ai − δ, ai + δ) ∪ (bi − δ, bi + δ)

2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible. Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos

F =n∏

[ai + δ, bi − δ],

G =n∏

(ai − δ, bi + δ),

F =n∏

[ai + δ, bi − δ],

G =n∏

(ai − δ, bi + δ),

F =n∏

[ai + δ, bi − δ],

G =n∏

(ai − δ, bi + δ),

de modo que F ⊆ I ⊆ G .

Dado que

F =n∏

[ai + δ, bi − δ],

G =n∏

(ai − δ, bi + δ),

tenemos

G\F ⊆ (a1 − δ, a1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)

∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)

. . . . . . . . .

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).

Como la medida de Lebesgue es aditiva sobre los abiertos resulta

m(G\F ) ≤2n∑k=1

2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,

donde M = max{bi − ai : 1 ≤ i ≤ n}. Haciendo δ → 0 resultam(G\F )→ 0 y por lo tanto I es medible.

tenemos

∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)

. . . . . . . . .

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).

m(G\F ) ≤2n∑k=1

2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,

tenemos

∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)

. . . . . . . . .

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).

m(G\F ) ≤2n∑k=1

2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,

tenemos

∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)

. . . . . . . . .

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)

∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).

m(G\F ) ≤2n∑k=1

2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,

TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)

Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn

cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2

Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.

2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn

cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.

Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2

cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.

3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2

cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn.

Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2

cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas.

Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2

cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0.

Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2

Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,

de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =

⋃∞k=1 Ak y

probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G .

Ademas, tenemos

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,

resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε,

de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.

Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =⋃∞

k=1 Ak yprobemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn.

Sea A =⋃∞

k=1 Ak yprobemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

probemos que A ∈Mn.

Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.

Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H.

Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),

⋃∞k=1 Ak y

B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,

k=1 Ak =⋃∞

k=1 Bk .

Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k .

Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε

Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

p∑k=1

m∗(Fk) = m∗

)≤ m(H),

∞∑k=1

m(Gk) ≤∞∑k=1

(m∗(Fk) +ε

2k) ≤ m(H) + ε < +∞,

ya que

Como la serie∑∞

k=1 m(Gk) es convergente,

existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =

⋃Nk=1 Fk ,

que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞

k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =

∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.

Como la serie∑∞

k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε.

Tenemos el conjunto cerrado F =⋃N

k=1 Fk ,que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =

⋃∞k=1 Gk , que

contiene a A. Ahora

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

Como la serie∑∞

k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =

⋃Nk=1 Fk ,

que esta contenido en A,

y el conjunto abierto G =⋃∞

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

Como la serie∑∞

⋃Nk=1 Fk ,

k=1 Gk , quecontiene a A.

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

Como la serie∑∞

⋃Nk=1 Fk ,

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

Como la serie∑∞

⋃Nk=1 Fk ,

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

y por lo tanto A es medible.

Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

Como la serie∑∞

⋃Nk=1 Fk ,

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

∏ni=1(−p, p),

de modo que la interseccionCp = A ∩ Ip =

⋃∞k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.

Como la serie∑∞

⋃Nk=1 Fk ,

m(G\F ) ≤ m

(Gk\Fk) ∪∞⋃

≤N∑

m(Gk\Fk) +∞∑

m(Gk) < 2ε,

Cp = A ∩ Ip =⋃∞

Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p.

Afirmamos queel conjunto F =

⋃∞p=1 Fp es cerrado. En efecto, cualquier sucesion

convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =

⋃∞p=1 Gp, de modo que

tenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas

m(G\F ) ≤ m

∞⋃p=1

≤ ∞∑p=1

m(Gp\Fp) < ε.

Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p. Afirmamos queel conjunto F =

⋃∞p=1 Fp es cerrado.

En efecto, cualquier sucesionconvergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =

m(G\F ) ≤ m

∞⋃p=1

≤ ∞∑p=1

m(Gp\Fp) < ε.

convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F .

Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =

m(G\F ) ≤ m

∞⋃p=1

≤ ∞∑p=1

m(Gp\Fp) < ε.

⋃∞p=1 Gp,

de modo quetenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas

m(G\F ) ≤ m

∞⋃p=1

≤ ∞∑p=1

m(Gp\Fp) < ε.

m(G\F ) ≤ m

∞⋃p=1

≤ ∞∑p=1

m(Gp\Fp) < ε.

m(G\F ) ≤ m

∞⋃p=1

≤ ∞∑p=1

m(Gp\Fp) < ε.

CorolarioLa σ-algebra de Lebesgue en Rn contiene a la σ-algebra de Borelen Rn

Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos. Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue, y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.

TeoremaLa restriccion de la medida exterior de Lebesgue a la σ-algebra deLebesgue en Rn es una medida positiva, que denominamos medidade Lebesgue en Rn. (Denotaremos m := m∗|Mn

Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos.

Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue, y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.

Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos. Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue,

y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.

Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0.

Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =

⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es

numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞

k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.

Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =

⋃∞k=1 Ak .

Como m∗ esnumerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤

∑∞k=1 m(Ak). Basta

entonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

numerablemente subaditiva,

tenemos m(A) ≤∑∞

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

k=1 m(Ak).

Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta.

Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k .

Entonces

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

p∑k=1

m(Ak) ≤p∑

(m(Fk) +ε

≤p∑

m(Fk) + ε = m

)+ ε ≤ m(A) + ε.

Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn

Corolario

1. La medida de Lebesgue es completa.

2. La medida de Lebesgue σ-finita.

Teorema (de estructura)

Si A ⊂ Rn, son equivalentes:

1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.

Corolario

1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.

Corolario

1. A es medible Lebesgue.

2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.

Corolario

1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.

3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.

Corolario

Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue.

Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk

un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.

Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Z = B \ A, N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A,

N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.

Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.

Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k

Elegimos

B =∞⋂k=1

Gk , C =∞⋃k=1

Fk , Z = B \ A, N = A \ C

Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)

Si A ∈Mn, entonces

m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}

Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos

m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.

Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).

m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.

Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε.

Como A = F ∪ (A\F ) tenemos

m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.

Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.

Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).

m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.

Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A.

Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).

m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.

Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ).

Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).

m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.

Si, por el contrario, m(A) < +∞, entonces basta tomar k ≥ 1 talque m(F ) ≤ m(Fk) + ε, de modo que m(A) ≤ m(Fk) + 2ε.

NotaLos conjuntos numerables tienen medida de Lebesgue cero.

Proposicion

Existen conjuntos no numerables y con medida de Lebesgue cero:El conjunto ternario de Cantor.

Vemos la construccion a continuacion:

Proposicion

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).

Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].

C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de

21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud

1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.

A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.

Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos.

Ası que

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

es la union de

22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud

C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]

Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,

cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de

2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =

⋂∞k=1 Ck .

Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos

1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =

⋂∞k=1 Ck .

Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck .

Definimos el conjunto de Cantor como C =⋂∞

k=1 Ck .El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula,

pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k ,

que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.

Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.

Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1].

Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .

Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.

Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1.

Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2.

Sea este I2.

⋂∞k=1 Ck .

Continuando ası construimos una sucesion

I1 ⊃ I2 ⊃ . . .

de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.

Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈⋂∞

k=1 Ik , y ∈ C.Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.

I1 ⊃ I2 ⊃ . . .

de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈

⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.

Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.

I1 ⊃ I2 ⊃ . . .

⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.

Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.

De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.

I1 ⊃ I2 ⊃ . . .

⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.

Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.

C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.

I1 ⊃ I2 ⊃ . . .

⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.

Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.

Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:

Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.

Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.

Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.

Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.

Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.

Proposicion

Sea A ∈Mn. Si z ∈ Rn y λ ∈ R, λ > 0, entonces z + A ∈Mn yλA ∈Mn. Ademas m(z + A) = m(A) y m(λA) = λnm(A).

Observacion: Si ϕ : Rn → Rn es un isomorfismo, A ⊂ Rn es unboreliano si y solo si ϕ(A) es un boreliano.

TeoremaSea ϕ : Rn → Rn un isomorfismo, y sea c = m(ϕ([0, 1)n)).Entonces, para cada A ∈Mn se verifica que ϕ(A) ∈Mn ym(ϕ(A)) = c m(A).

Proposicion

Si ψ : Rn → Rn es un movimiento rıgido (ψ(x) = x0 + φ(x), φortogonal) entonces ψ(A) ∈Mn y m(ψ(A)) = m(A), para cadaA ∈Mn.

Proposicion

TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.

Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si

x − y ∈ Q

Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

Construccion:

Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si

x − y ∈ Q

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Es una relacion de equivalencia.

Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].

Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.

En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

x − y ∈ Q

Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .

Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos,

pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj

de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia,

luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.

Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej .

Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,

x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .

La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .

[0, 1] ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues

∞⋃k=1

(rk + B) ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que

∞∑k=1

m(B) ≤ 3

Como [0, 1] ⊂⋃∞

k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞

k=1 m∗(E ), luego

m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.

∞⋃k=1

(rk + B) ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

∞∑k=1

m(B) ≤ 3

Como [0, 1] ⊂⋃∞

k=1 m∗(E ), luego

∞⋃k=1

(rk + B) ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

∞∑k=1

m(B) ≤ 3

Como [0, 1] ⊂⋃∞

k=1 m∗(E ), luego

∞⋃k=1

(rk + B) ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

∞∑k=1

m(B) ≤ 3

Como [0, 1] ⊂⋃∞

k=1 m∗(E ), luego

∞⋃k=1

(rk + B) ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

∞∑k=1

m(B) ≤ 3

Como [0, 1] ⊂⋃∞

k=1 m∗(E ), luego

m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue

pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.

∞⋃k=1

(rk + B) ⊂∞⋃k=1

Ek ⊂ [−1, 2],

∞∑k=1

m(B) ≤ 3

Como [0, 1] ⊂⋃∞

k=1 m∗(E ), luego

CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,

1. m∗(E ) > 0.

2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.

3. m∗ no es aditiva.

Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).

1. m∗(E ) > 0.

Demostracion:

Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).

1. m∗(E ) > 0.

Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.

Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).

1. m∗(E ) > 0.

Observemos que si G es un conjunto abierto tal que

[0, 1] \ E ⊂ G

entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

entonces

[0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

entonces [0, 1] \ G ⊂ E ,

luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego

m([0, 1] \ G ) = 0. Como

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0.

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.

Por tanto,

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

[0, 1] \ E ⊂ G

[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )

se sigue que

1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )

m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).

I El ejemplo de Vitali prueba que es imposible construir unamedida σ-aditiva para todos los subconjuntos de R, que seaademas invariante por traslaciones y asigne a cada intervalosu longitud.

I Se han obtenido extensiones a familias de conjuntosestrictamente mas grandes que la σ-algebra de mediblesLebesgue.

I La existencia de conjuntos no medibles es consecuencia delaxioma de eleccion.

I Esto no quiere decir que sin tal axioma se pueda demostrarque todo conjunto es medible. Si se sustituye el axioma deeleccion por la hipotesis del continuo, se pueden construirconjuntos no medibles.

I Solovay ha probado que es concebible un modelo matematicocon la axiomatica Zermelo-Fraenkel en el que todos losconjuntos son medibles Lebesgue. En concreto, la proposiciontodo conjunto es medible Lebesgue es consistente con laaxiomatica ZF.

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