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Jan/2004 Teoria de ComplexidadeProf. Edward Hermann Haeusler
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Complexidade Computacional e
Jogos
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Agenda da Apresentação
-Preliminares de Teoria da Computação e Complexidade Computacional
- Teoria dos Jogos desde o Teorema de Zermelo
- Aspectos Computacionais de Jogos
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- O que é a (Teoria da) Computação ?
- O que é Lógica ?
(Tentativa de) conceituação do Computável
(Tentativa de) conceituação do Razoável
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Computável
Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimode conhecimento/capacidade.
burro = Incapaz de Aprender
conhecimento = ?
Antes de 1900 d.c ====> Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667)Máquina de Calcular de Pascal (Pascal sec.XVII)Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)
.
.
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Razoável
Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa,construída sobre fatos iniciais inquestionáveis.
Antes de 1879 ====>
Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.)
Álgebras Booleanas (Boole 1847)
Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)
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Panorama da Matemática no Século XIX
- Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX):- Equação da Onda
- Equação do Calor - Equação de Poisson- Técnicas de Fourier
- Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais- Problemas de Fundamentação:
- Séries divergentes x Séries Convergentes
- Conceito de infinito não era preciso
- O próprio conceito de número real não era preciso.
- Definição de convergência não existia
- Conceito de função não era preciso
Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata
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Panorama da Matemática no Século XIX (cont.)
Dedekind (1831-1916) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real
Cauchy (1789-1857) Bolzano(1781-1848)
Weierstrass (1815-1897)
Riemman(1826-1866)
Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas
Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas
Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas
Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria
Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética
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Teoria Ingênua dos Conjuntos
Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos.
Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos)
Resistência aos principais resultados em função do “receio do infinito”
Alguns paradoxos:
- Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais”
- Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos”
R = { x / x x} ==> R R se e somente se R R
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Evolução da Lógica como assunto matemático
Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal.
Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo.
===> Os paradoxos aparecem novamente !!
DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos.
Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan.
===> Paradoxos associados ao axioma da escolha
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As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática
Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos.
Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência
Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana funda- mentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.
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O Programa de Hilbert
=> Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que:
- As teorias mais complexas são extensões das mais simples.
- Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, porcompactação, completamento algébrico, etc)
Th(N) Th(Z) Th(Q) Th(R) Th(C)
=> Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias.
=> Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............
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A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas
1931 - Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética
1927/1928 - Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea
1934 - Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável.
1936 - A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler , apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística
1936 - A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing.
1936 - Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church.
1947 - Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação.
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Sxyz (xz)yz Kxy x Ix x (I SKK)
Tese de Church: f: N N é computável se e somente se existe um combinador FC1 C2... Ck tal que para todo nN (F:n: :m:) f(n) = m)
:0: I :1: P0K :2: P1K ..... :n: P:n-1:K ....
P
f é recursiva
existe uma máquina de Turing M , tal que M com 11.......111na fita de entrada M pára com 11.....11111 na saída sss f(n) = m
m
n
existe um algoritmo de Markov A , t.q. A lendo 11.......111pára e produz o string 11.....11111 na saída sss f(n) = m
m
n
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A Tese de Church é um enunciado científico, portanto não possui demonstração matemática.
Evidência Forte para a Tese de Church
Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAA’s (i)iN e (i)iN então existe f recursiva e bijetiva tal que i = f(i)
Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais (i)iN, tal que: 1- As funções parc. recursivas estão todas em (i)iN
2- Existe u N com u parc. recursiva tal que para todo i e x u(i,x) = i(x) 3- Existe c recursiva tal que c(i,j) = i j
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Medindo a eficiência de algoritmos
- Escolha do modelo computacional
- Recursos: Tempo , Memória
- Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem
- Computação de Funções- Problemas de otimização- Problemas de decisão,- Linguagens
-Classes de complexidade: Classificando problemas pela complexidade do algoritmo mais eficiente que o resolve.
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Satisfação na Lógica Proposicional
“Dada uma fórmula da lógica proposicional, isto é, formada com os conectivos , , e , deseja-se saber se existe uma valoração que a satisfaça”
Problema SAT
Solução: Gerar todas as valorações e testar uma a uma até encontrar. Se não encontrar ao final do teste de todas as valorações informar que a fórmula não é satisfatível.
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k 2k Cálculo total
5 32 insignificante
10 1024 0.001 seg
16 65536 0.06 seg
20 1048 x 103 1 seg
32 4.29 x 109 1 hora 12 min
Supondo que o computador calcule 1 milhão de valorações por segundo.
Dada uma fórmula com k variáveis existem 2k valorações
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Por outro lado ………
-Verificar se uma valoração satisfaz uma fórmula é muito rápido (muito menos que 1x10-7 seg) para fórmulas com até 100 variáveis em um pentium IV 1 GHz.
-Dada uma valoração, avaliar o valor da fórmula leva no máximo k operações, onde k é o tamanho da fórmula.
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“Suponha que um caixeiro viajante tenha que visitar k cidades diferentes, iniciando e encerrando esta viagem na primeira cidade. Não importa a ordem com que as cidades são visitadas. Sabe-se que de cada cidade pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total (em kms)”.
O problema do Caixeiro Viajante
Obs: Tal rota é dita ser um ciclo hamiltoniano no grafo.
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Bsb
967
1060
458BH
789
400Rio S.P.
1070
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O problema do caixeiro viajante é um problema de otimização combinatória.
(a) Podemos transforma-lo num problema de enumeração ?(b) Podemos determinar todas as rotas do caixeiro ?(c) Podemos saber qual delas é a menor ?
SOLUÇÃO: São (k-1)! Rotas É um trabalho fácil para a máquina ?
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( k - 1 )! cresce muito rápido
k (k - 1)! Cálculo total
5 24 insignificante
10 362 880 0.3 seg
15 87 bilhões 24 hs e 6 min
20 1.2 x 1017 3 milhões de anos
25 6.2 x 1023 0.19 x 1017 anos
Supondo que o computador calcule 1 milhão de rotas por segundo.
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Por outro lado .....................
-Saber se em existe um ciclo hamiltoniano é mais fácil que encontrar o ciclo mínimo ???
-Para qualquer fórmula proposicional existe um grafo G que possui caminho hamiltoniano, se e somente se, é SAT. o tamanho de G é polinomial no tamanho de .
1 11
1
1
11
Ciclo min = vert – 1 ???
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SAT e as Máquinas de Turing não-determinísticas
w
P(|w|)
Si,jt
= Símbolo j na posição i no tempo t
Eet
= Máquina está no Estado e no tempo t
Cit
= Cabeça está no na posição i no tempo t
Fórmulas para descrever: -A cabeça em qualquer tempo t está em uma e somente uma posição-Cada pósição da fita tem, em qualquer t, um e somente Um símbolo escrito.- A máquina, em qualquer tempo t, está em um e somente um estado
Fórmulas para descrever o a conf. Inicial da fita:
Se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial por uma M.T. deter então qualquer problema em NP também
pode ser resolvido em tempo polinomial
Fórmulas para descrever o comportamento da máquina:
Ee Ci Si,j (Eg Ci+1 Si,k) (Eh Ci-1 Si,n ) t t t t+1 t+1 t+1 t+1 t+1 t+1
S0,3 S1,7 S2,1 ...... S|w|,8 0 0 0 0
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(1) Descobrindo como resolver o problema do caixeiro viajante em tempo polinomial, seremos capazes de resolver, também em tempo polinomial, outros problemas importantes (úteis).
(2) Se alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá que outros de problemas importantes não tem solução prática.
(3) Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.
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Problemas de Decisão
x P ?x
sim
não
Prog.|x| *
1
0
Problemas de Decisão Linguagens Formais
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Problemas, Soluções e Linguagens
P = < Ent, Saída, Relação>
PComp = <Ent, Saída, R >
f:Ent Saídaf Relação
Sol =
f:Ent Saída
f computávelf R
SolComp =
*** *
LP = { went<sep>wsai / (went, wsai) R Ent Saída } **
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Complexidade de uma Linguagem
L DTime(f) sss m TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x * steps(m,x) cf(|x|)
L DSpace(f) sss m TuringDet t.q. (m reconhece L) e c, x * space(m,x) cf(|x|)
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Uso de Recursos por Máquinas de Turing Determ.
L *
ML reconhece Lsss
w L então ML(w) = “aceita”w L então ML(w) = “rejeita”
f : *1
*2
Mf computa fsss
f(w1)=w2 então ML(w1) = w2
steps(M,w) = números de passos executados pela máquina M sobre o dado w até parar.
space(M,w) = números de células (distintas) visitadas pela máquina M sobre o dado w até a parada.
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Por que considerar classes assintóticas de funções ??
Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer > 0 existe uma M. Turing M que decide L em tempo .f(n) + n + 2.
Prova : Modificar o tamanho da “palavra” de memória
Consequências do seedup:
Se L é decidida em tempo f(n) = 165.nk + .... + 54.n + 657 então L é decidida em tempo f’(n) = nk
Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas)
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Complexidade Computacional I
- Não existência de limite na complexidade de Linguagens
DTime(f) Dtime(f log(f))
DSpace(f) DSpace(f log(f))
- Hierarquia de Linguagens segundo sua Complexidade
DTime(n) Dtime(n2) ... Dtime(nk) .... Dtime(2n) ......
Dspace(log(n)) Dspace(n) ... ... DSpace(nk) .... Dtime(2n) ......
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Teorema de Cantor
==> Seja B um conjunto, então |B| < |2B|
S = { x / x f(x) }
Prova: Suponha que |B| = |2B| então existe f: B 2B
f-1(S) S se e somente se f-1(S) S
Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes.
{A / A B}
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O método da diagonal de Cantor
a0= 0, aoo ao1 ao2 ao3 ao4....... aon..............a1= 0, a1o a11 a12 a13 a14....... a1n..............
an= 0, ano an1 an2 an3 an4....... ann..............
suponha que |(0,1)| = |N|
b = 0,b0 b1 b2 b3 b4....... bn.........
bj=
5 se ajj = 9
9 senão
|(0,1)| |N|
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Hierarquia própria de funções construtivas
Paraf = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f(|x|) passos}
FatoI : Paraf DTime(f3)
FatoII : Paraf DTime(f(x/2))
Prova: Diagonalização
Corolário I : DTime(f(n)) DTime(f(2n+1)3)
Corolário II : P EXP
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Classes de Complexidade e algumas relações
Def. PSpace = DSpace(ni)iN
Def. NP = NTime(ni )iN
Def. NPSpace = NSpace(ni)iN
Def. Log = Space(log(n)) NLog = NSpace(log(n))
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- DSpace(f(n)) NSpace(f(n)) e DTime(f(n)) NTime(f(n))
- NTime(f(n)) DSpace(f(n))
- NSpace(f(n)) DTime(klog n + f(n))
- Alcançabilidade Space(log2) NSpace(f) Space(f2)
(obs; Número de conf. + alcançabilidade)
- número de nós alcançavel Space(log) => NSpace(f) = coNSpace(f)
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(parte) do que se sabe atualmente (desde 60’s)
Log NLog P NP PSPACE = NPSPACE EXP NEXP
Sabe-se que Log PSPACE
se P = NP então EXP = NEXP
se Log = P então EXP = PSPACE
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P : Encontra solução em tempo polinomial em MTD
NP : Verifica solução em tempo polinomial em MTD
CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomia em MTD
Sat NP Taut CoNP
Obs: Se CoNP NP então NP P
Verificação de Modelos Prova de Teoremas
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Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo
===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP NP e portanto NP P.
- Já se tentou técnicas de construção de modelos via “forcing” (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona.
===> P = NP é um problema genuinamente matemático.
===> P = NP é um problema da ciência da computação.
===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica.
- Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P.
?
?
?
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O Maior problema atual em Teoria da Computação é :
P = NP ?
O que isto tem a ver com jogos ??????
- Jogos e “quebra-cabeças” : PSPACE, EXP e NP-completos
-Soluções para jogos (Equilíbrio de Nash p.ex.), estão em P??? (estratégias mistas com soma zero), NP-completos (estratégias puras) e EXP ? (estratégias mistas para jogos em geral)
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Sokoban é PSPACE-completo
Damas é EXP-completo
Em Geral (versões infinitas)
Xadrez é EXP-completo
Clickomania é NP-completo
15-p é P (existência de solução) e NP-completo (melhor sol.)
A Teoria de Complexidade adequada para o estudo das versões finitas é a Teoria de complexidade estrutural ou de Kolmogorov
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/cgt/hard.html#refs
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O jogo de Geografia é PSPACE-completo
Lógica Proposicional Intuicionista é PSPACE-completa (Statman 1977)
Prova: A sentenças válidas intuicionisticamente podem ser caracterizadas como sendo aquelas que possuem estratégia vencedora para o jogador que começa o seu jogo dialógico. (Haeusler 2004)
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Muito Obrigado pela audiência !!!!
Conclusão
Complexidade Computacional
Matemática
Fundamentação e Lógica
Engenharia
Teoria dos Jogos
Economia
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Um Pouco de História sobre Teoria dos Jogos e Xadrez
Zermelo 1913 – Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels 5o Congresso de Matemáticos (Cambridge).
König 1927 – Über eine Schulussweise aus dem Endlichen ins Unendliche. Acta Sci. Math.
Kalmár 1928 – Zur Theorie der abstrakten Spiele. Acta Sci Math.
Von Neumann 1928 – Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen
Caracterizam o conceito de posição ganhadora
Caracteriza a interação entre as estratégias dos jogadores
1
1- Jogo de Informação Perfeita
Utiliza indução transfinita
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Teorema de Zermelo
“Em um jogo de Xadrez, dado que um jogador está em uma posição vencedora quantos movimentos levará para que ele ganhe ??” ==> Não mais que o número de posições do jogo (estados do tabuleiro).
O que é uma posição vencedora ??
q
q1 q2 q3Ur(q) =
r
Ur(q) = Ur(q)
U pode forçar uma vitória em no máximo r movimentos se e somente se Ur(q)
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König estende o teorema de Zermelo
Lema: Toda árvore infinita finitamente gerada possui um ramo infinito.
=> Se não há limite (número de passos) para uma posição vencedora então estanão é vencedora, pois em cada posição só há um número finito de movimentos para o adversário.
Kalmár e a determinância de jogos assemelhados ao Xadrez
Satz III: Em qualquer jogo J potencialmente infinito assemelhado ao Xadrez, se O jogador A não pode forçar a vitória então o jogador B garante pelo menos o empate
Corolário: No Xadrez infinito ou as brancas tem uma estratégia vencedora, ou as pretas tem uma estratégia vencedora ou ambas podem garantir o empate. O jogo tem valor, é determinado.
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Nash 1950, Kuhn 1953
Teorema: Todo jogo finito com informação perfeita, de n jogadores, tem um ponto de equilíbrio.
Prova:
Por indução todo jogo com menos que m nós possui um ponto de equilíbrio
r
m nós
1i
k
Se r é um nó chance, então combine todos pontos de equilíbrio dos subjogos i;Senão o ponto de equilíbrio para r é maximizar os pontos de equilíbrio de cada um dos jogadores com relação ao subjogos i
Prog. Din. , MinMax
Prof. Edward Hermann HaeuslerTECMF-DI-PUC-Rio
Teoria da Computação:e Fund. Matemática
48
Daniel Bernouli 1753
u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert 1747 + Euler 1748
u
x t
ut(x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x)
u(x,t) = 2 0 (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n) (sinnysinnxsinnct)g(y)dy
Lagrange 1759
Equação da onda
Prof. Edward Hermann HaeuslerTECMF-DI-PUC-Rio
Teoria da Computação:e Fund. Matemática
49
Equação do calor
u(0,t) = u(L,t) = 0
u(x,0) = f(x)
u(x,t) = cne-n Kt/L sin(nx/L)n=1
2 2 2
f(x) = cnsin(nx/L)n=1
cn= (2/L) f(x) sin(nx/L)dx0
L
Fourier 1811
==> Toda “função” tem expansãoem série de senos ?????
L
Dirichlet (1829,1837) +Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral,1900’s)
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A Máquina de Turing
- Modelo determinístico
q
q’
’
- Modelo multi-cabeça (determinístico)
i1 i2 ik
qi1 qi2 qik
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M. Turing modelo multi-fita (determinístico)
qi1
i1
qik
qi2
1
2
k ik
i2
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A Máquina de Turing (cont.)
- Modelo não-determinístico
q
q1
q2
q3
q11
q12
q13
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QSAT é PSPACE-completo
p p pode ser expresso como x(x) x( q x) expressa q
-Codifica-se os estados globais de M em strings de p(w) bits EGM(x1,x2,...,xP(n)) descreve um estado global
QSAT está em PSPACE
Codifica-se a execução de um passo da computação de M como PassoM(x,y) , onde EGM(x) e EGM(y)
Para qualquer MTD M que decide um problema usando espaço p(|w|)
Codifica-se estado global final (aceitação) FinalM(x)
Predicado para computação global.
EvoluiM(x,y) = PassoM(x,y) z(EvoluiM(x,z) EvoluiM(z,y)) Fórmula associada a aceitação de w por M AceitaM(w) = EGM(w) z(EvoluiM(w,z) FinalM(z))
Descubra como diminiur o tamanho de para não ser Exponencial