Post on 29-Oct-2014
Sucesiones
1. Dada la sucesión�sin n�2
la suma de los primeros 5 términos es:
a) �1 b) 1 c) �2 d) 2
Solución.
Para n = 1, se tiene: sin �2 = 1Para n = 2, se tiene: sin� = 0Para n = 3, se tiene: sin 3�2 = �1Para n = 4, se tiene: sin 2� = 0Para n = 5, se tiene: sin 5�2 = 1
La suma de estos términos es: 1 + 0� 1 + 0 + 1 = 1
R: b)
2. El valor de la suma de los múltiplos de 8 entre 7 y 792 es:
a) 19; 600 b) 29; 600 c) 39; 600 d) 49; 600
Solución.
La sucesión presentada es aritmética, ya que la diferencia común (d) es 8:Se tiene: a1 = 8 y an = 792. Encontrando el valor de n, con la expresión deln-ésimo término de una sucesión aritmética:
an = a1 + (n� 1)d792 = 8 + (n� 1)8
792� 88
= n� 198 = n� 1n = 99
Utilizamos la expresión para encontrar la n-ésisma suma parcia Sn :
Sn =n
2(a1 + an)
S99 =99
2(8 + 792)
S99 =99
2(800)
S99 = 39600
R: c)
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Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"jelopezmoreno@yahoo.eskaramazov1729@gmail.comgerardgemagar@ymail.com
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3. El término n-ésimo de la sucesión in�nta de�nida recurrentemente por
x1 = 3; xk+1 = 2xk parak � 1
es:a) 3(4n) b) 2n c) 3( 12 )
n d) 3(2n)
Solución.
Con los datos dados se tiene: k = 1; 2; 3; 4; :::; nEntonces:
x1 = 3
x2 = 2(3) = 6 = 3(2)
x3 = 2(6) = 12 = 3(4) = 3(2)2
x4 = 2(12) = 24 = 3(8) = 3(2)3
De lo anterior puede verse que: Xn = 3(2)n
R: d)
4. La sucesión de Fibonnaci se de�ne recurrentemente por
ak+1 = ak + ak�1 ; 8k � 2
a1 = a2 = 1
La diferencia entre el séptimo y el tercer término es:a) 7 b) 9 c) 10 d) 11
Solución.
Los datos dados son:
ak+1 = ak + ak�1 ; 8k � 2 ^ a1 = a2 = 1
Entonces:a1 = a2 = 1
a3 = a2+1 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2
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a4 = a3+1 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3
a5 = a4+1 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5
a6 = a5+1 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8
a7 = a6+1 = a6 + a5 = 8 + 5 = 13
Así:a7 � a3 = 13� 2 = 11:
R: d)
5. Si fang es una sucesión aritmética, a3 = 24 y a10 = 66, su primer términoes:
a) 12 b) 17 c) 22 d) 27
Solución.
Utilizando la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética:
an = a1 + (n� 1)d
a10 = 66
66 = a1 + (10� 1)d66 = a1 + 9d (�)
a3 = 24
24 = a1 + (3� 1)d24 = a1 + 2d (��)
Eliminando d de (�) y (��) nos queda:
�84 = �7a1a1 =
�84�7 ! a1 = 12:
R: a)
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6. Encuentre la solución a la ecuación 2 + 5 + 8 + :::+ x = 155
a) 28 b) 30 c) 29 d) 27
Solución.
Según 2+ 5+8+ :::+ x = 155. Puede verse que: a1 = 2, an = x ^ d = 3Por tanto es una sucesión aritmética. De la expresión para encontrar la n-ésimasuma parcial Sn :
Sn =n
2(a1 + an)
se tiene:155 =
n
2(2 + x)
310 = 2n+ nx (�)
De la expresión del n-ésimo término de una sucesión aritmética:
an = a1 + (n� 1)d
se tiene:x = 2 + (n� 1)3
x = 2 + 3n� 3
1 = 3n� x (��)
Eliminado x de (�) y (��), se tiene: 3n2+n�310 = 0, factorizando la últimaexpresión:
n1;2 =�1�
p1� 4(3)(�310)2(3)
n1;2 =�1�
p3721
6
n1;2 =�1� 616
n1 =�1 + 616
= 10 ^ n2 =�1� 616
= �1013
Tomando el valor positivo n1 = 10:Se tiene:
an = a1 + (n� 1)d
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x = a1 + (n� 1)d
x = 2 + (10� 1)3
x = 2 + 27
x = 29
R: c)
7. La razón de la sucesión geométrica que se obtiene al insentar 3 términos
entre 5 y 80 es:a) � 16 b) �75 c) � 2 d) 4
Solución.
Al agregar 3 términos desde 5; 80 queda en la quinta posición. Por lo tanton = 5:Utilizando la fórmula del n-ésimo término de una sucesión geométrica:
an = a1rn�1
Se tiene:
an = a1rn�1
80 = 5r5�1
80
5= r4
r = � 4p16
r = �2
R: c)
8. La suma de los 5 primeros términos de una sucesión aritmética de
enteros positivos es un número entre 71 y 79. ¿Cuál es el tercer término?a) 11 b) 15 c) 5 d) 20
Solución.
Usando la expresión para encontrar la n-ésima suma parcial Sn = n2 (a1+an)
Se tiene: S5 = 52 (a1 + a5). Esto nos indica que S5 debe ser múltiplo de 5. Así
que S5 = 75:De lo anterior:
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75 =5
2(a1 + a5)
150
5= a1 + a5
a1 + a5 = 30
Se sabe que: � d = a5 � a4 (1)d = a4 � a3 (2)
d = a3 � a2 (3)d = a2 � a1 (4)
Eliminando d de (2) y (3); nos queda:
0 = a4 � 2a3 + a2 ! a2 = 2a3 � a4 (�)
Como a1+a2+a3+a4+a5 = 75 y a1+a5 = 30, entonces: a2+a3+a4 = 45:Sustituyendo (�) en esto último, tenemos:
2a3 � a4 + a3 + a4 = 45! 3a3 = 45
a3 = 15
R: b)
9. En una sucesión aritmética con términos a29 = 625 y a9 = 225, entonces
el término a41 es:a) 665 b) 765 c) 865 d) 965
Solución.
Usando al expresión an = a1 + (n� 1)d se tiene:
a29 = a1 + (29� 1)d! 625 = a1 + 28d (1)
a9 = a1 + (9� 1)d! 225 = a1 + 8d (2)
Eliminando a1 de (1) y (2) nos queda: d = 20: Hallando el valor de a1:De(2) se tiene:
225 = a1 + 8(20)
225 = a1 + 160
a1 = 65:
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Usando al expresión an = a1 + (n� 1)d con a41 se tiene:
a41 = 65 + (41� 1)(20)a41 = 65 + 800
a41 = 865
R: c)
10. El primer término de una sucesión aritmética es 1 y la media aritmética
de sus n primeros téminos es igual a n. ¿Cuál es el trigésimo cuartotérmino?
a) 11 b) 43 c) 111 d) 67
Solución.
Usando al expresión an = a1 + (n� 1)d tenemos:
a1 = 1
a2 = 1 + (2� 1)d! a2 = 1 + d
a3 = 1 + (3� 1)d! a3 = 1 + 2d
Como la suma de los n términos es n, se tiene:
a1 + a2 + a33
= 3
1 + (1 + d) + (1 + 2d)
3= 3
3 + 3d = 9
3d = 6
d = 2
Así que:a34 = 1 + (34� 1)(2)
a34 = 1 + 66
a34 = 67
R: d)
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11. La suma de los primeros 10 términos y la suma de los primeros cien tér-minos de una sucesión aritmética dada son cien y diez respectivamente.Encuentre la diferencia de dicha sucesión.
a) �11 b) � 1150 c) 11150 d) 50
Solución.
De los datos dados:
a1 + a2 + a3 + :::+ a10 = 100 (�)
a1 + a2 + a3 + :::+ a100 = 10 (��)Usamos la ecuación para la n-ésima suma parcial
Sn =n
2(a1 + an)
En (�), se tiene:100 =
10
2(a1 + a10)
20 = a1 + a10
a10 = 20� a1 (i)
En (��), se tiene:10 =
100
2(a1 + a100)
1
5= a1 + a100
a100 =1
5� a1 (ii)
Usamos la ecuación para el n-ésimo término
an = a1 + (n� 1)d
En (�), se tiene:a10 = a1 + (10� 1)da10 = a1 + 9d (1)
En (��), se tiene:a100 = a1 + (100� 1)da100 = a1 + 99d (2)
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Eliminando a1 de (1) y (2), tenemos:
a100 � a10 = 90d (3)
Sustituyendo (i) y (ii) en (3), tenemos:
(1
5� a1)� (20� a1) = 90d
1
5� 20 = 90d
d = �1150
R: b)
12. En una sucesión aritmética dada, el primer término es 2, el último términoes 29 y la suma de todos los términos es 155. La diferencia común es:
a) �5 b) �3 c) 5 d) 3
Solución.
Con la ecuación para la n-ésima suma parcial Sn = n2 (a1+an), encontramos
n:
Sn =n
2(a1 + an)
155 =n
2(2 + 29)
310 = n(31)
n = 10
Usamos la ecuación para el n-ésimo término
an = a1 + (n� 1)d:
an = a1 + (n� 1)d29 = 2 + (10� 1)d
27 = 9d
d = 3:
R: d)
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13. ¿Cuántos términos de la sucesión �11;�4; 3; 10; ::: hay que tomar para quesu suma sea 570?
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17
solución.
Hallando d, de la sucesión:
�4� (�11) = �4 + 11 = 7
3� (�4) = 3 + 4 = 7
Así,d = 7:
Lo que muestra es una sucesión aritmética. Como Sn = 570, entonces:
570 =n
2((�11) + an)
1140 = �11n+ nan (�)
Usando an = a1 + (n� 1)d, se tiene:
an = �11 + (n� 1)(7)
an = 7n� 18(��)
Sustituyendo (��) en (�), se tiene:
1140 = �11n+ n(7n� 18)
1140 = �11n+ 7n2 � 18n:
7n2 � 29n� 1140 = 0
Resolviendo con la fórmula cuadrática: a = 7; b = �29 y c =�1140
n1;2 =�(�29)�
p(�29)2 � 4(7)(�1140)2(7)
n1;2 =29�
p32761
14
n1 =29� 18114
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n1 =29 + 181
14= 15 ^ n2 =
29� 18114
= �10:85:::
Tomamos el valor positivo n1 = 15:R: c)
14. El término general de la sucesión geométrica dada por 13 ; 1; 3; 9; ::: es:
a) 3n�1 b) 3n�2 c) 3n�3 d) 3n�4
Solución.
Encontrar el valor de la razón:
r = 1� 13= 3; r = 3� 1 = 3; r = 9� 3 = 3:
Utilizando la fórmula del n-ésimo término de una sucesión geométrica:
an = a1rn�1
an = a1rn�1
an =1
33n�1
an = 3�13n�1
an = 3n�2
R: b)
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15. En una suscesión geométrica de números reales, la suma de los primerosdos términos es siete y la suma de los primeros seis es noventa y uno. Lasuma de los primeros cuatro términos es:
a) 48 b) 18 c) 38 d) 28
Solución.
De los datos dados:a1 + a2 = 7
a1 = 7� a2:
Utilizando la expresión para la n-ésima suma parcial Sn de la sucesión ge-ométrica:
Sn = a11� rn1� r
7 = a11� r21� r
7(1� r) = a1(1� r2)
1� r =a1(1� r2)
7(�)
91 = a11� r61� r
91(1� r) = a1(1� r6) (��)
Sustituyendo (�) en (��), tenemos:
91(a1(1� r2)
7) = a1(1� r6)
13(1� r2) = (1� r6)
13� 13r2 = 1� r6
r6 � 13r2 + 12 = 0
Haciendo u = r2, tenemos:
u3 � 13u+ 12 = 0:
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u3 � 13u+ 12 = 0
(u2 + u� 12)(u� 1) = 0
Factorizando
(u+ 4)(u� 3)(u� 1) = 0
u+ 4 = 0; u� 3 = 0; u� 1 = 0
u = �4; u = 3; u = 1
r2 = �4; r2 = 3; r2 = 1
Sustituyendo
r = �p�4 r = �
p3 r = �
p1 = �1
Probando con r = �p3 en 7 = a1 1�r
2
1�r ; tenemos:
7 = a11� (
p3)2
1�p3
a1 =7(1�
p3)
�2
Calculamos S4:
S4 =
"7(1�
p3)
�2
#"1� (
p3)4
1�p3
#
S4 = �7
2(1� 9)
S4 = �7
2(�8)
S4 = 28:
R: d)
16. El producto de los veinte primeros términos de la sucesión geométrica
116 ;
18 ;
14 ; :::
es:a) 215 b) 2110 c) 211 d) 2210
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Solución.
Observamos la forma de todos los términos:
a1 = a1r1�1 = a1r
0
a2 = a1r2�1 = a1r
1
Concluimos que el producto es:
(a1r0)(a1r
1)(a1r2):::(a1r
19)
Entonces:
(a1r0)(a1r
1)(a1r2):::(a1r
19) = (a1)20r190
= (2�4)20(2)190
= (2�80)(2)190
Suma de los números del 1 al 19
2110
n(n+ 1)
2=(19)(20)
2= 190
R: d)
17. Los lados de un triángulo rectángulo están en sucesión aritmética de difer-encia 3. ¿Cuáles son esos lados?
a) 9; 12; 15 b) 6; 9; 12 c) 12; 15; 18 d) 3; 6; 9
Solución.
De la �gura puede plantearse que:
a23 = a21 + a
22 (�)
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Usamos la ecuación an = a1 + (n� 1)d, con d = 3:
a2 = a1 + (2� 1)(3)
a2 = a1 + 3
a3 = a1 + (3� 1)(3)
a3 = a1 + 6
Sustituyendo a2 y a3 en (�), se tiene:
(a1 + 6)2 = a21 + (a1 + 3)
2
a21 + 12a1 + 36 = a21 + a21 + 6a1 + 9
a21 � 6a1 � 27 = 0
Resolviendo usando la fórmula cuadrática con: a = 1 b = �6 c =�27
a1;2 =�(�6)�
p(�6)2 � 4(1)(�27)(2)(1)
a1;2 =6�
p144
2
a1;2 =6� 122
a1 =6 + 12
2= 9
a1 =6� 122
= �3
Tomamos el valor positivo, así: a1 = 9; a2 = 12; a3 = 15:R: a)
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18. La suma de tres números en sucesión aritmética es 33 y su producto 1287.Halla estos números.
a) 8; 10; 15 b) 7; 12; 14 c) 10; 11; 12 d) 9; 11; 13
Solución.
Según los datos: a1 + a2 + a3 = 33 (�) ^ (a1)(a2)(a3) = 1287(��)Se sabe que:
a2 = a1 + d ^ a3 = a2 + d
a3 = (a1 + d) + d
a3 = a1 + 2d
Sustituyendo los valores de a2 y a3 en (�), se tiene:
a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 33
3a1 + 3d = 33
a1 + d = 11
a1 = 11� dDe esto último:
a2 = 11� d+ d = 11 ^ a3 = 11� d+ 2d = 11 + d
Sustituyendo los valores encontrados en (��), se tiene:
(11� d)(11)(11 + d) = 1287(112 � d2)(11) = 12871331� 11d2 = 1287
�11d2 = �44
d2 =�44�11 = 4
d = �p4
d = �2:
Tomando el valor positivo: d = 2: Se tiene: a1 = 9; a2 = 11; a3 =13:R: d)
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19. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es1715. ¿Cuántos términos hemos sumado?
a) 41 b) 49 c) 51 d) 53
Solución.
Según los datos: 11 + 12 + 13 + ::: + n = 1715: Utilizando la expresiónSn = n
2 (a1 + an), se tiene:
1715 =n
2(11 + an)
3430 = 11n+ nan (�)
Encontrando an con la expresión an = a1 + (n� 1)d; se tiene:
an = 11 + (n� 1)(1);
ya que d = 1:
an = n+ 10 (��)
Sustituyendo (��) en (�), se tiene:
3430 = 11n+ n(n+ 10)
3430 = 21n+ n2
n2 + 21n� 3430 = 0
(n+ 70)(n� 49) = 0
n+ 70 = 0 ^ n� 49 = 0
n = �70 _ n = 49
Tomamos el valor positivo: n = 49R: b)
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20. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en sucesión aritmética.
a) 60 b) 180�3d c) 60�d d) 120�d
Solución.
Se sabe que: a2 = a1 + d;a3 = a2 + d
a3 = (a1 + d) + d = a1 + 2d
Si están en sucesión artimética, entonces:
a1 + a2 + a3 = 180o
Sustituyendo sus valores:
a1 + a1 + d+ a1 + 2d = 180o
3a1 + 3d = 180o
a1 + d = 60
a1 = 60� d
R: c)
21. Las edades de cuatro hermanos forman una sucesión aritmética, y su sumaes 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Hallar las edades delos cuatro hermanos.
a) 4; 6; 10; 12 b) 6; 7; 8; 11 c) 5; 6; 7; 14 d) 5; 7; 9; 11
Solución.
Según los datos: a1 + a2 + a3 + a4 = 32, además: a4 = a1 + 6: Utilizando laexpresión Sn = n
2 (a1 + an), se tiene:
32 =4
2(a1 + a1 + 6)
32 = 4a1 + 12
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4= a1
a1 = 5
Utilizamos la expresión an = a1 + (n� 1)d, para hallar d.
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11 = 5 + 3d! d =6
3= 2
Así:a1 = 5; a2 = 7; a3 = 9; a4 = 11
R: d)
22. Hallar los valores de x para que x � 1; x + 1; 2(x + 1) estén en sucesióngeométrica.
a)�1; 3 b) 1; 3 c)�1;�3 d) 1;�3
Solución.
De los datos dados: a1 = x� 1; a2 = x+1; a3 = 2(x+1): Se puedever que:
r =a3a2=2(x+ 1)
x+ 1= 2
Utilizando la expresión: an = a1rn�1; se tiene:
2(x+ 1) = (x� 1)(2)2
2x+ 2 = 4x� 4
x+ 1 = 2x� 2
x = 3
Utilizando nuevamente la expresión an = a1rn�1; con r = x+1x�1 ; se tiene:
2(x+ 1) = (x� 1)(x+ 1x� 1)
2
2(x+ 1) =(x+ 1)2
x� 12(x2 � 1) = (x+ 1)2
2x2 � 2 = x2 + 2x+ 1
x2 � 2x� 3 = 0! (x� 3)(x+ 1) = 0
x� 3 = 0 _ x+ 1 = 0
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x = 3 x = �1Que son los valores buscados.R: a)
23. En una sucesión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a512 y que el término décimo es igual a 16. El valor de la razón es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Solución.
Con los datos del dados: a15 = 512; a10 = 16:Utilizando la expresión: an =a1r
n�1; con a10 = 16 se tiene:
16 = a1r9 ! a1 =
16
r9
Utilizando la expresión: an = a1rn�1; con a15 = 512 se tiene:
512 = a1r14
512 =16
r9r14
512 = 16r5
r5 =512
16= 32
r =5p32! r = 2:
R: b)
24. La suma de los ocho primeros términos de una sucesión geométrica es
17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Solución.
Según los datos: a1 + a2 + ::: + a8 = 17(a1 + a2 + a3 + a4): Empleando laexpresión Sn = a1 1�r
n
1�r , sería: S8 = 17S4, es decir:
a11� r81� r = 17a1
1� r41� r
1� r8 = 17(1� r4)
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(1� r4)(1 + r4) = 17(1� r4)
1 + r4 = 17
r4 = 16
r =4p16! r = 2:
R: b)
25. Calcula el producto de los once primeros términos de una sucesión ge-ométrica sabiendo que el término central vale 2.
a) 28 b) 29 c) 210 d) 211
Solución.
De los datos entonces: a6 = 2: Utilizando la expresión: an = a1rn�1, se
tiene:2 = a1r
5 ! a1 =2
r5
Como11Yn=1
an = a1a2:::a11
= a1(a1r)(a2r2):::(a1r
10)
= a111 r55
r55, ya que n(n+1)2 = 10(10+1)
2 = 55
= (2
r5)11r55
= (211
r55)r55
= 211
R: d)
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26. La suma de los siete primeros términos de una sucesión geométrica de razón3 es 7651. El séptimo término es:
a) 4� 36 b) 5� 36 c) 6� 36 d) 7� 36
Solución.
Empleando la expresión para la suma
Sn = a11� rn1� r :
Tenemos:
7651 = a11� 371� 3 ! a1 =
(7651)(�2)1� 37
Empleando la expresión: an = a1rn�1, se tiene:
a7 = ((7651)(�2)1� 37 )(36)
a7 = ((7)(1093)(�2)
1� 37 )(36)
a7 = ((7)(1093)(2)
37 � 1 )(36)
a7 = (7(37 � 1)37 � 1 )(36)
a7 = (7)(36):
R: d)
27. Las edades de 5 personas forman una sucesión aritmética. Si la menor deellas nació en 1988, el mayor pudo haber nacido en:
a) 1977 b) 1938 c) 1941 d) 1940
Solución.
Consideramos la sucesión:
a1; a2; a3; a4; a5
donde a5 = 1988 que es el año de nacimiento del menor y a1 representa elaño de nacimiento del mayor.
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Escribamos entonces:
a5 = a1 + 4d
1988 = a1 + 4d
a1 = 1988� 4d
Tenemos entonces una ecuación con un parámetro que especi�car, d: Comono podemos determinar d directamente, consideramos entonces la eliminiaciónde casos:
d = 1 ! a1 = 1984d = 2 ! a1 = 1980...
......
d = 12 ! a1 = 1940
Por tanto R: d)
28. Se da una sucesión aritmética de números naturales an entre 10 y 100. Alcambiar el orden de los dígitos de todos sus términos se obtiene de nuevouna sucesión aritmética. ¿Cuál es el máximo número de términos quepuede tener la sucesión?
a) 25 b) 40 c) 9 d) 11
Solution 1 Se considera la sucesión con términos 10 � an � 100; esta sucesiónsería:
10; 11; 12; 13; :::; 100
Al invertir los dígitos resulta:
1; 11; 21; 31; :::99
Luego, debemos determinar cuántos términos como máximo tiene esta suce-sión, es decir, n. Consideremos a1 = 11 y d = 10;Nótese que después de invertir el primer bloque de 10 números, el último
término resulta en 91, en el siguiente bloque de 10 números, el primero es 2,luego 91 y 2 no están en sucesión aritmética, así consideramos la sucesión como
a1 = 11
an = 91
d = 10
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A partir de
an = a1 + (n� 1)d
n� 1 =an � a1d
n =an � a1d
+ 1
n =91� 1110
+ 1
n = 9
Por tanto: R: c)
29. ¿Cuántos términos se han tomado en una sucesión geométrica, sabiendoque el primer término es 7, el último 448 y su suma 889?
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13
Solución.
Usando la expresión: an = a1rn�1, se tiene: an = 7rn�1 ! an =
7rn
r !ran = 7r
n(�)Empleando la expresión para la suma:
Sn = a11� rn1� r ! 889 = 7
1� rn1� r
889(1� r) = 7(1� rn)
889� 889r = 7� 7rn
889� 889r = 7� ranSustituyendo (�)
889� 889r = 7� 448r
Ya que an = 448:
889 = 7 + 441r
441r = 882
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r = 2
De la expresión: ran = 7rn, se tiene:
(2)(448) = 7(2)n ! 896 = 7(2)n
128 = 2n
log 128 = log 2n
log 128 = n log 2
n =log 128
log 2
n = 7
R: a)
30. Tres números están en sucesión geométrica, el segundo es 32 unidades mayorque el primero y el tercero 96 unidades mayor que el segundo. Halla losnúmeros.
a) 12; 46; 142 b) 16; 48; 144 c) 18; 50; 146 d) 20; 52; 148
Solución.
Según los datos: a2 = a1 + 32 y a3 = a2 + 96De la de�nición de la razón, se tiene: a2 = a1r y a3 = a1r
2
Puede verse que: a1 + 32 = a1r (�) También:
a1r2 = a1r + 96! a1r
2 � a1r � 96 = 0
Aplicando la ecuación cuadrática con:
a = a1; b = �a1 y c = �96
Se tiene:
r =�(�a1)�
p(�a1)2 � 4(a1)(�96)2(a1)
! r =a1 �
pa21 + 384a12a1
;
sustituyendo el valor de r (considerando el valor negativo) en (�)
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se tiene:
a1 + 32 = a1(a1 �
pa21 + 384a12a1
)! 2a1 + 64 = a1 �qa21 + 384a1
a1 + 64 = �qa21 + 384a1
(�a1 � 64) = (qa21 + 384a1)
2
a21 + 128a1 + 4096 = a21 + 384a1
4096 = 384a1 � 128a14096 = 256a1
a1 =4096
256= 16
Así:
a1 = 16; a2 = 16 + 32 = 48; a3 = 48 + 96 = 144
R: b)
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