Post on 29-Nov-2020
1
STUDIJNIacute TEXT
Zaacuteklady fyziky
Fakulta strojniacute
Eva Janurovaacute
VŠB ndash TU Ostrava Katedra fyziky 2016
2
OBSAH
1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY 4
11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 4
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN 6
2 KINEMATIKA 8
21 DĚLENIacute POHYBŮ 8
22 SLOŽENEacute POHYBY 12
23 POHYB PO KRUŽNICI 17
3 DYNAMIKA 23
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL 23
32 DRUHY SIL 25
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST 33
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE 35
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE 35
42 VYacuteKON 36
43 MECHANICKAacute ENERGIE 36
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA 39
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED 40
54 MOMENT SETRVAČNOSTI 41
55 MOMENT SIacuteLY 43
56 MOMENT HYBNOSTI 45
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU 46
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM POHYBU 46
6 HYDROSTATIKA 49
61 POVRCH KAPALINY 49
62 PASCALŮV ZAacuteKON 50
63 HYDROSTATICKYacute TLAK 51
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON 53
7 HYDRODYNAMIKA 54
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK 54
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU 55
73 BERNOULLIHO ROVNICE 55
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK 56
81 TEPLO TEPLOTA 56
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY 56
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK 58
84 TEPELNAacute VODIVOST 59
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE 60
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU 60
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute zaacutekon) 63
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE 64
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ 64
92 COULOMBŮV ZAacuteKON 64
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 65
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 66
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI 67
3
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY 68
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE 70
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI 70
102 ODPOR VODIČE 72
103 OHMŮV ZAacuteKON 73
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip82
4
1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY
11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY
Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se
měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod
Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme
fyzikaacutelniacutemi veličinami
SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK
Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami
Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek
Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se
stanoviacute zaacutekladniacute jednotky
V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute
jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka
francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)
MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK
Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute
a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem
Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky
deacutelka l metr m
hmotnost m kilogram kg
čas t sekunda s
elektrickyacute proud I ampeacuter A
termodynamickaacute teplota T kelvin K
laacutetkoveacute množstviacute n mol mol
sviacutetivost I kandela cd
Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300
b) Dvě doplňkoveacute jednotky
Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky
rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad
prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr
5
c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin
(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze
zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů
odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V
mρ
Jednotka hustoty 3m
kgρ
Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků
např newton N ampeacuter A volt V aj1
Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při
naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např
d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon
z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky
hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute
nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute
Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti
tera- T 1 000 000 000 000 1012
giga- G 1 000 000 000 109
mega- M 1 000 000 106
kilo- k 1 000 103
mili- m 0001 10-3
mikro- μ 0000 001 10-6
nano- n 0000 000 001 10-9
piko- p 0000 000 000 001 10-12
V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2
m
Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute
exponenty u značek jednotek např
113
3kgN
kg
Nsm
s
mmkg
m
kg
Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min
apod)
1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů
pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)
Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera
Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj
druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem
bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)
6
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN
Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na
a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou
hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P
energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute
s reaacutelnyacutemi čiacutesly
Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg
Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg
Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom
hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali
b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s
rychlost v
zrychleniacute a
siacutela F
hybnost p
atd)
V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem
Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se
stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie
POZNAacuteMKA
a) Pythagorova věta rarr c2 = a
2 + b
2
b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a
2 + b
2 -
2abcosγ
c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr
sinγ
c
sinβ
b
sinα
a
d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr
c
a
přepona
protilehlaacuteαsin
c
b
přepona
přilehlaacuteαcos
b
a
přilehlaacute
protilehlaacuteαtg
a
b
protilehlaacute
přilehlaacuteαgcot
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
2
OBSAH
1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY 4
11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 4
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN 6
2 KINEMATIKA 8
21 DĚLENIacute POHYBŮ 8
22 SLOŽENEacute POHYBY 12
23 POHYB PO KRUŽNICI 17
3 DYNAMIKA 23
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL 23
32 DRUHY SIL 25
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST 33
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE 35
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE 35
42 VYacuteKON 36
43 MECHANICKAacute ENERGIE 36
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA 39
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA 39
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED 40
54 MOMENT SETRVAČNOSTI 41
55 MOMENT SIacuteLY 43
56 MOMENT HYBNOSTI 45
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU 46
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM POHYBU 46
6 HYDROSTATIKA 49
61 POVRCH KAPALINY 49
62 PASCALŮV ZAacuteKON 50
63 HYDROSTATICKYacute TLAK 51
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON 53
7 HYDRODYNAMIKA 54
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK 54
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU 55
73 BERNOULLIHO ROVNICE 55
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK 56
81 TEPLO TEPLOTA 56
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY 56
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK 58
84 TEPELNAacute VODIVOST 59
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE 60
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU 60
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute zaacutekon) 63
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE 64
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ 64
92 COULOMBŮV ZAacuteKON 64
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 65
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE 66
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI 67
3
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY 68
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE 70
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI 70
102 ODPOR VODIČE 72
103 OHMŮV ZAacuteKON 73
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip82
4
1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY
11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY
Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se
měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod
Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme
fyzikaacutelniacutemi veličinami
SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK
Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami
Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek
Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se
stanoviacute zaacutekladniacute jednotky
V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute
jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka
francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)
MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK
Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute
a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem
Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky
deacutelka l metr m
hmotnost m kilogram kg
čas t sekunda s
elektrickyacute proud I ampeacuter A
termodynamickaacute teplota T kelvin K
laacutetkoveacute množstviacute n mol mol
sviacutetivost I kandela cd
Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300
b) Dvě doplňkoveacute jednotky
Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky
rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad
prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr
5
c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin
(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze
zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů
odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V
mρ
Jednotka hustoty 3m
kgρ
Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků
např newton N ampeacuter A volt V aj1
Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při
naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např
d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon
z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky
hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute
nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute
Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti
tera- T 1 000 000 000 000 1012
giga- G 1 000 000 000 109
mega- M 1 000 000 106
kilo- k 1 000 103
mili- m 0001 10-3
mikro- μ 0000 001 10-6
nano- n 0000 000 001 10-9
piko- p 0000 000 000 001 10-12
V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2
m
Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute
exponenty u značek jednotek např
113
3kgN
kg
Nsm
s
mmkg
m
kg
Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min
apod)
1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů
pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)
Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera
Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj
druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem
bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)
6
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN
Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na
a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou
hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P
energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute
s reaacutelnyacutemi čiacutesly
Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg
Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg
Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom
hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali
b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s
rychlost v
zrychleniacute a
siacutela F
hybnost p
atd)
V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem
Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se
stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie
POZNAacuteMKA
a) Pythagorova věta rarr c2 = a
2 + b
2
b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a
2 + b
2 -
2abcosγ
c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr
sinγ
c
sinβ
b
sinα
a
d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr
c
a
přepona
protilehlaacuteαsin
c
b
přepona
přilehlaacuteαcos
b
a
přilehlaacute
protilehlaacuteαtg
a
b
protilehlaacute
přilehlaacuteαgcot
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
3
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY 68
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE 70
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI 70
102 ODPOR VODIČE 72
103 OHMŮV ZAacuteKON 73
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip82
4
1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY
11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY
Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se
měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod
Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme
fyzikaacutelniacutemi veličinami
SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK
Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami
Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek
Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se
stanoviacute zaacutekladniacute jednotky
V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute
jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka
francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)
MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK
Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute
a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem
Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky
deacutelka l metr m
hmotnost m kilogram kg
čas t sekunda s
elektrickyacute proud I ampeacuter A
termodynamickaacute teplota T kelvin K
laacutetkoveacute množstviacute n mol mol
sviacutetivost I kandela cd
Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300
b) Dvě doplňkoveacute jednotky
Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky
rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad
prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr
5
c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin
(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze
zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů
odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V
mρ
Jednotka hustoty 3m
kgρ
Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků
např newton N ampeacuter A volt V aj1
Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při
naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např
d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon
z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky
hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute
nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute
Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti
tera- T 1 000 000 000 000 1012
giga- G 1 000 000 000 109
mega- M 1 000 000 106
kilo- k 1 000 103
mili- m 0001 10-3
mikro- μ 0000 001 10-6
nano- n 0000 000 001 10-9
piko- p 0000 000 000 001 10-12
V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2
m
Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute
exponenty u značek jednotek např
113
3kgN
kg
Nsm
s
mmkg
m
kg
Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min
apod)
1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů
pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)
Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera
Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj
druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem
bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)
6
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN
Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na
a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou
hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P
energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute
s reaacutelnyacutemi čiacutesly
Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg
Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg
Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom
hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali
b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s
rychlost v
zrychleniacute a
siacutela F
hybnost p
atd)
V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem
Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se
stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie
POZNAacuteMKA
a) Pythagorova věta rarr c2 = a
2 + b
2
b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a
2 + b
2 -
2abcosγ
c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr
sinγ
c
sinβ
b
sinα
a
d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr
c
a
přepona
protilehlaacuteαsin
c
b
přepona
přilehlaacuteαcos
b
a
přilehlaacute
protilehlaacuteαtg
a
b
protilehlaacute
přilehlaacuteαgcot
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
4
1 UacuteVOD ZAacuteKLADNIacute POJMY
11 FYZIKAacuteLNIacute VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY
Při pozorovaacuteniacute a popisu libovolneacuteho objektu viacuteme že zaujiacutemaacute určityacute prostor pohybuje se
měniacute se jeho vlastnosti působiacute na jinaacute tělesa apod
Fyzikaacutelniacute vlastnosti těles stavy i jejich změny ktereacute je možneacute změřit charakterizujeme
fyzikaacutelniacutemi veličinami
SOUSTAVY FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN A JEDNOTEK
Každaacute fyzikaacutelniacute veličina souvisiacute s mnoha jinyacutemi fyzikaacutelniacutemi veličinami a jejich změnami
Proto už od počaacutetku 19 stoletiacute vznikaly soustavy veličin a jednotek
Při tvorbě těchto soustav se na začaacutetku voliacute určityacute počet veličin za zaacutekladniacute a k nim se
stanoviacute zaacutekladniacute jednotky
V Českeacute republice se podle zaacutekona č 3562 Sb smějiacute použiacutevat pouze zaacutekonneacute měřiciacute
jednotky ktereacute vychaacutezejiacute z Mezinaacuterodniacute soustavy jednotek označovaneacute SI (zkratka
francouzskeacuteho naacutezvu Systegraveme International d`Uniteacutes)
MEZINAacuteRODNIacute SOUSTAVA JEDNOTEK
Mezinaacuterodniacute soustavu jednotek (SI) tvořiacute
a) Sedm zaacutekladniacutech jednotek ktereacute odpoviacutedajiacute sedmi zaacutekladniacutem veličinaacutem
Zaacutekladniacute veličina Značka veličiny Zaacutekladniacute jednotka Značka jednotky
deacutelka l metr m
hmotnost m kilogram kg
čas t sekunda s
elektrickyacute proud I ampeacuter A
termodynamickaacute teplota T kelvin K
laacutetkoveacute množstviacute n mol mol
sviacutetivost I kandela cd
Každaacute zaacutekladniacute jednotka maacute svou definici uvedenou v českeacute staacutetniacute normě ČSN 01 1300
b) Dvě doplňkoveacute jednotky
Doplňkovaacute veličina Značka veličiny Doplňkovaacute jednotka Značkajednotky
rovinnyacute uacutehel α β γ hellip radiaacuten rad
prostorovyacute uacutehel Ω hellip steradiaacuten sr
5
c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin
(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze
zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů
odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V
mρ
Jednotka hustoty 3m
kgρ
Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků
např newton N ampeacuter A volt V aj1
Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při
naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např
d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon
z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky
hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute
nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute
Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti
tera- T 1 000 000 000 000 1012
giga- G 1 000 000 000 109
mega- M 1 000 000 106
kilo- k 1 000 103
mili- m 0001 10-3
mikro- μ 0000 001 10-6
nano- n 0000 000 001 10-9
piko- p 0000 000 000 001 10-12
V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2
m
Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute
exponenty u značek jednotek např
113
3kgN
kg
Nsm
s
mmkg
m
kg
Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min
apod)
1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů
pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)
Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera
Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj
druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem
bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)
6
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN
Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na
a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou
hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P
energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute
s reaacutelnyacutemi čiacutesly
Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg
Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg
Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom
hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali
b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s
rychlost v
zrychleniacute a
siacutela F
hybnost p
atd)
V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem
Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se
stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie
POZNAacuteMKA
a) Pythagorova věta rarr c2 = a
2 + b
2
b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a
2 + b
2 -
2abcosγ
c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr
sinγ
c
sinβ
b
sinα
a
d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr
c
a
přepona
protilehlaacuteαsin
c
b
přepona
přilehlaacuteαcos
b
a
přilehlaacute
protilehlaacuteαtg
a
b
protilehlaacute
přilehlaacuteαgcot
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
5
c) Odvozeneacute jednotky SI ktereacute jsou určeny pro měřeniacute všech ostatniacutech fyzikaacutelniacutech veličin
(odvozenyacutech veličin) Odvozeneacute jednotky jsou odvozovaacuteny pomociacute definičniacutech vztahů ze
zaacutekladniacutech nebo již dřiacuteve odvozenyacutech jednotek Vychaacuteziacute se při tom z definičniacutech vztahů
odpoviacutedajiacuteciacutech veličin Napřiacuteklad hustota ρ je určena vztahem V
mρ
Jednotka hustoty 3m
kgρ
Některeacute jednotky majiacute vlastniacute naacutezvy a značky zpravidla podle jmen vynikajiacuteciacutech fyziků
např newton N ampeacuter A volt V aj1
Pro počiacutetaacuteniacute se zaacutepornyacutemi exponenty platiacute (podobně jako u exponentů kladnyacutech) že při
naacutesobeniacute mocnin se exponenty sčiacutetajiacute a při děleniacute mocnin se exponenty odčiacutetajiacute např
d) Naacutesobky a diacutely jednotek SI jejichž naacutezvy se tvořiacute pomociacute normalizovanyacutech předpon
z naacutezvů zaacutekladniacutech jednotek Vyacutejimkou je pouze při tvorba naacutesobků a diacutelů jednotky
hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužiacutevanějšiacute předpony spolu s mocninami deseti pomociacute
nichž se naacutesobky nebo diacutely vyjadřujiacute
Předpona Značka Naacutesobek Mocnina deseti
tera- T 1 000 000 000 000 1012
giga- G 1 000 000 000 109
mega- M 1 000 000 106
kilo- k 1 000 103
mili- m 0001 10-3
mikro- μ 0000 001 10-6
nano- n 0000 000 001 10-9
piko- p 0000 000 000 001 10-12
V některyacutech přiacutepadech se použiacutevajiacute i dalšiacute předpony např centi (značka c) 1 cm = 10-2
m
Abychom nemuseli odvozeneacute jednotky zapisovat pomociacute zlomkoveacute čaacutery piacutešeme zaacuteporneacute
exponenty u značek jednotek např
113
3kgN
kg
Nsm
s
mmkg
m
kg
Mezi některeacute měřiciacute jednotky patřiacute mimo jednotek SI i tzv vedlejšiacute jednotky (např ordmC min
apod)
1 Některeacute z těchto značek jsou často odvozovaacuteny od počaacutetečniacutech anglickyacutech řeckyacutech nebo latinskyacutech termiacutenů
pro odpoviacutedajiacuteciacute veličiny a jednotky Např deacutelka l (z angl lenght = deacutelka) objem V (z angl volume = objem)
Slovo metr je odvozeno z řeckeacuteho metron = měřidlo měřiacutetko miacutera
Slovo sekunda pochaacuteziacute z latinskeacuteho secundus = druhyacute bdquoSecundus minuta horaldquo = bdquodruhaacute zmenšenaacute hodinaldquo tj
druheacute zmenšeniacute hodiny bdquoPrvniacutem zmenšeniacutemldquo bylo pouheacute bdquominuta horaldquo Doslovnyacutem českyacutem překladem
bdquosekundyldquo je bdquovteřinaldquo od staročeskeacuteho bdquovteryacuteldquo = druhyacute (viz uacuteteryacute tj druhyacute den v tyacutednu)
6
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN
Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na
a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou
hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P
energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute
s reaacutelnyacutemi čiacutesly
Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg
Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg
Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom
hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali
b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s
rychlost v
zrychleniacute a
siacutela F
hybnost p
atd)
V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem
Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se
stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie
POZNAacuteMKA
a) Pythagorova věta rarr c2 = a
2 + b
2
b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a
2 + b
2 -
2abcosγ
c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr
sinγ
c
sinβ
b
sinα
a
d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr
c
a
přepona
protilehlaacuteαsin
c
b
přepona
přilehlaacuteαcos
b
a
přilehlaacute
protilehlaacuteαtg
a
b
protilehlaacute
přilehlaacuteαgcot
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
6
12 ROZDĚLENIacute FYZIKAacuteLNIacuteCH VELIČIN
Fyzikaacutelniacute veličiny děliacuteme podle jejich typu na
a) Skalaacutery (skalaacuterniacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostiacute (čiacuteselnou
hodnotou) a jednotkou ve ktereacute se danaacute veličina měřiacute (hmotnost m čas t praacutece W vyacutekon P
energie E moment setrvačnosti J atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počiacutetaacuteniacute
s reaacutelnyacutemi čiacutesly
Př Na misce vah ležiacute zaacutevažiacute o hmotnosti m1 = 5 kg Přidaacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti m2 = 2 kg
Vaacuteha ukaacuteže celkovou hmotnost zaacutevažiacute m = m1 + m2 = 5 kg + 2 kg = 7 kg
Podobně bychom postupovali kdyby byla zaacutevažiacute odebiacuteraacutena V tomto přiacutepadě bychom
hmotnosti zaacutevažiacute odečiacutetali
b) Vektory (vektoroveacute fyzikaacutelniacute veličiny) jsou určeny velikostiacute a směrem (posunutiacute s
rychlost v
zrychleniacute a
siacutela F
hybnost p
atd)
V psaneacutem textu nebo v grafickeacutem vyjaacutedřeniacute mohou byacutet vektory značeny takeacute tučnyacutem piacutesmem
Považujeme je za orientovaneacute uacutesečky Vyacutehodou je že s nimi můžeme pracovat jako se
stranami trojuacutehelniacuteka a použiacutevat přitom vztahy znaacutemeacute z goniometrie
POZNAacuteMKA
a) Pythagorova věta rarr c2 = a
2 + b
2
b) Kosinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět sss sus) rarr c2 = a
2 + b
2 -
2abcosγ
c) Sinova věta (použiacutevaacuteme pro trojuacutehelniacuteky určeneacute podle vět usu Ssu) rarr
sinγ
c
sinβ
b
sinα
a
d) Goniometriceacute funkce použiteacute na pravouacutehlyacute trojuacutehelniacutek rarr
c
a
přepona
protilehlaacuteαsin
c
b
přepona
přilehlaacuteαcos
b
a
přilehlaacute
protilehlaacuteαtg
a
b
protilehlaacute
přilehlaacuteαgcot
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
7
Př Řeka teče rychlostiacute v1 = 4 ms-1
Kolmo k protějšiacutemu břehu odrazil člun rychlostiacute
v2 = 3 ms-1
a) Určete vyacuteslednou rychlost člunu
Řešeniacute
Vyacuteslednyacute pohyb bude složenyacute z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu
řeky
Vyacuteslednou rychlost v
ziacuteskaacuteme tak že uacutetvar doplniacuteme na rovnoběžniacutek Vyacuteslednaacute rychlost v
pak bude tvořit uacutehlopřiacutečku kteraacute bude zaacuteroveň přeponou v pravouacutehleacutem trojuacutehelniacuteku
Vektory 1
v
a 2
v
vektorově složiacuteme 21
vvv
Velikost vyacutesledneacute rychlosti určiacuteme pomociacute Pythagorovy věty
2
2
2
1vvv
122 sm52543 v
b) Určete odklon člunu od původniacuteho směru
Řešeniacute
3
4tgα
2
1
v
vα = 53ordm
Vyacuteslednaacute rychlost je 5 ms-1
odklon od původniacuteho směru je 53ordm
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
8
2 KINEMATIKA
Slovo kinematika pochaacuteziacute z řeckeacuteho kineo což znamenaacute pohyb
Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho přiacutečinu tj na působiacuteciacute siacutelu
POZNAacuteMKA
Často byacutevaacute v textu pojem tělesa nahrazen termiacutenem hmotnyacute bod
Hmotnyacute bod je objekt jehož rozměry a tvar můžeme při řešeniacute určiteacuteho probleacutemu zanedbat
a uacutelohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jiacutem těleso jehož rozměry jsou zanedbatelneacute
vzhledem k uvažovanyacutem vzdaacutelenostem pohybu
Zaacutekladniacutemi veličinami ktereacute použiacutevaacuteme k popisu pohybu jsou
polohovyacute vektor r
rychlost v
zrychleniacute a
21 DĚLENIacute POHYBŮ
Pohyby děliacuteme podle
a) Trajektorie (křivky po ktereacute se těleso pohybuje)
1) přiacutemočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je přiacutemka vektor rychlosti v
maacute staacutele stejnyacute směr
2) křivočareacute ndash trajektoriiacute pohybu je křivka vektor rychlosti v
měniacute svůj směr V každeacutem
okamžiku je tečnou k trajektorii Typickyacutemi křivočaryacutemi pohyby jsou pohyb po
kružnici vrh vodorovnyacute vrh šikmyacute
Vektor
je směrovyacute vektor je orientovanyacute ve směru pohybu Je vždy rovnoběžnyacute
s vektorem rychlosti
Vektor n
je normaacutelovyacute vektor je vždy kolmyacute ke směru pohybu Je kolmyacute k vektoru
rychlosti
b) Rychlosti
1) rovnoměrnyacute 2-sm0 a
2) rovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
3) nerovnoměrně proměnnyacute (zrychlenyacute zpomalenyacute) konsta
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
9
RYCHLOST
Při pohybu tělesa dochaacuteziacute ke změně jeho polohy Jestliže zakresliacuteme pohyb tělesa do
souřadneacuteho systeacutemu pak jeho polohu určuje v každeacutem okamžiku polohovyacute vektor r
Během pohybu opisuje koncovyacute bod polohoveacuteho vektoru trajektorii (křivku)
Těleso uraziacute za určityacute časovyacute interval t draacutehu s Dojde přitom ke změně polohoveacuteho
vektoru 12rrr
Při sveacutem pohybu maacute těleso rychlost kteraacute je charakterizovaacutena změnou polohoveacuteho vektoru
ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
vektorupolohoveacutehozměna
t
rv
Jednotkou rychlosti je ms-1
POZNAacuteMKA
Pro určeniacute okamžiteacute rychlosti kterou maacute těleso v daneacutem časoveacutem okamžiku použiacutevaacuteme
infinitezimaacutelniacute počet (spojenyacute se jmeacutenem matematika Leibnitze ndash derivace integraacutel)
Jestliže chceme určit průměrnou rychlost pak
t
sv
p
čascelkovyacute
draacutehacelkovaacute
ZRYCHLENIacute
Jestliže se během pohybu měniacute vektor rychlosti pak to znamenaacute že se těleso pohybuje se
zrychleniacutem a
Zrychleniacute je změna vektoru rychlosti ke ktereacute dojde během časoveacuteho intervalu
intervalčasovyacute
rychlostizměna
t
va
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
10
Jednotkou zrychleniacute je ms-2
ROVNOMĚRNYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantniacute rychlostiacute
Za stejneacute časoveacute intervaly uraziacute těleso stejnou draacutehu
Protože se rychlost neměniacute je zrychleniacute pohybu nuloveacute
Potom v = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti rychlosti na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro draacutehu rovnoměrneacuteho pohybu platiacute
vztah
0svts kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Těleso se pohybuje s konstantniacutem zrychleniacutem
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Za stejneacute časoveacute intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu
Potom a = konst
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti zrychleniacute na čase je přiacutemka rovnoběžnaacute s časovou osou
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
11
Rychlost roste přiacutemo uacuteměrně v zaacutevislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu platiacute vztah
0vtav kde v0 je počaacutetečniacute rychlost
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou
Draacuteha rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu roste kvadraticky v zaacutevislosti na čase Platiacute vztah
00
2
2
1s stvta kde s0 je počaacutetečniacute draacuteha
Proto grafickyacutem znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je parabola
ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Zrychleniacute tohoto pohybu je orientovaacuteno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu že
použiacutevaacuteme nevektoroveacute vyjaacutedřeniacute zapiacutešeme do rovnice pro rychlost a draacutehu zrychleniacute se
zaacutepornyacutem znameacutenkem
Platiacute vztahy
0vatv tvats 02
2
1
VOLNYacute PAacuteD
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
12
Volnyacute paacuted je zvlaacuteštniacutem přiacutepadem rovnoměrně zrychleneacuteho pohybu Všechna tělesa volně
puštěnaacute se v tiacutehoveacutem poli Země pohybujiacute se stejnyacutem zrychleniacutem Toto zrychleniacute nazyacutevaacuteme
tiacutehoveacute zrychleniacute značiacuteme je g
Hodnota tiacutehoveacuteho zrychleniacute v našiacute zeměpisneacute šiacuteřce je g = 981 ms-2
Je-li počaacutetečniacute rychlost volneacuteho paacutedu v0 = 0 ms-1
a počaacutetečniacute draacuteha s0 = 0 m pak
gtv 2
2
1gts
Na uvedeneacutem obraacutezku vidiacuteme jak se rychlost padajiacuteciacutech objektů zvětšuje v zaacutevislosti na čase
Grafickyacutem znaacutezorněniacutem teacuteto zaacutevislosti je přiacutemka různoběžnaacute s časovou osou Grafickyacutem
znaacutezorněniacutem zaacutevislosti draacutehy na čase je stejně jako u obecneacuteho rovnoměrně zrychleneacuteho
pohybu parabola
NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENYacute PŘIacuteMOČARYacute POHYB
Vzhledem k tomu že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolnyacutem způsobem zavaacutediacuteme
ještě dalšiacute typ pohybu ndash nerovnoměrně zrychlenyacute Zrychleniacute u tohoto pohybu neniacute konstantniacute
konsta V tomto přiacutepadě nelze vyjaacutedřit přiacuteslušneacute veličiny pomociacute jednoduchyacutech vzorců
Vyacutepočty kinematickyacutech veličin (draacutehy rychlosti a zrychleniacute) řešiacuteme pomociacute derivovaacuteniacute
a integrovaacuteniacute
22 SLOŽENEacute POHYBY
Zaacutekon o nezaacutevislosti pohybů
Konaacute-li hmotnyacute bod současně dva nebo viacutece pohybů je jeho vyacuteslednaacute poloha takovaacute jako
kdyby konal tyto pohyby po sobě a to v libovolneacutem pořadiacute
Vrhy jsou složeneacute pohyby Těleso je vrženo v určiteacutem směru počaacutetečniacute rychlostiacute v0 Vlivem
tiacutehoveacuteho pole Země se těleso v každeacutem okamžiku zaacuteroveň pohybuje volnyacutem paacutedem ve směru
svisleacutem
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
13
VRH SVISLYacute VZHŮRU
Při vrhu svisleacutem vzhůru sklaacutedaacuteme dva pohyby
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute vzhůru pro draacutehu s1 a pro rychlost v1 platiacute vztahy
tvs 01 v1 = v0 = konst
POZNAacuteMKA
Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme) pak by se těleso pohybovalo konstantniacute
rychlostiacute v0 staacutele vzhůru Jenže tiacutehoveacute pole Země existuje a těleso zaacuteroveň padaacute dolů
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) dolů ndash pro draacutehu s2 a pro rychlost v0 platiacute vztahy
22
2
1tgs tgv 2
Protože draacuteha jako posunutiacute a rychlost jsou vektoroveacute veličiny můžeme je vektorově sklaacutedat
21sss
21
vvv
Protože přiacuteslušneacute vektory drah a rychlostiacute jsou opačně orientovaneacute budeme je odečiacutetat
Vyacutesledkem je okamžitaacute hodnota draacutehy kterou chaacutepeme jako okamžitou vyacutešku tělesa nad
povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platiacute vztahy
20
2
1tgtvs tgvv 0
Rychlost se během pohybu měniacute Postupně klesaacute až v maximaacutelniacute vyacutešce je rovna nule Poteacute
těleso padaacute volnyacutem paacutedem a rychlost opět roste
Doba vyacutestupu
Dobu vyacutestupu tv určiacuteme z podmiacutenky pro rychlost V době kdy těleso dosaacutehne maximaacutelniacute
vyacutešky je jeho rychlost nulovaacute -1
ms0v
Pak vtgv 00 Odtud platiacute
gtv
0v
Stejnou dobu po kterou těleso stoupaacute zaacuteroveň i klesaacute Pak doba letu tL je dvakraacutet většiacute než
doba vyacutestupu tv a tedy
g
vtt 0vL
22
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
14
Maximaacutelniacute vyacuteška
Těleso vystoupiacute do maximaacutelniacute vyacutešky za dobu vyacutestupu v
t Po dosazeniacute do okamžiteacute hodnoty
pro vyacutešku dostaneme
g
v
g
v
g
vg
g
vvtgtvs vv
20
20
2
200
02
0max2
1
2
1
2
1
Po uacutepravě je maximaacutelniacute vyacuteška
g
vs
2
20
max
VRH VODOROVNYacute
Je složen ze dvou pohybů
1 rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute ve směru osy x Těleso je při vodorovneacutem vrhu v určiteacute vyacutešce y vrženo počaacutetečniacute rychlostiacute v0 ve vodorovneacutem
směru Kdyby neexistovalo tiacutehoveacute pole Země pak by se těleso pohybovalo rovnoměrnyacutem
pohybem ve směru osy x
Pro draacutehu a rychlost platiacute
tvx 0 konstvv 0x
2 rovnoměrně zrychlenyacute (volnyacute paacuted) ve směru osy y
Vzhledem k existenci tiacutehoveacuteho pole je těleso v každeacutem okamžiku nuceno se pohybovat
volnyacutem paacutedem Pro draacutehu a rychlost ve směru svisleacutem platiacute
2
2
1tgy tgv y
Rychlost ve směru osy y lineaacuterně roste v zaacutevislosti na čase
Tiacutehoveacute zrychleniacute g a počaacutetečniacute rychlost 0v jsou konstanty
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
15
Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovyacutemi veličinami Jestliže je složiacuteme dostaneme
celkovou rychlost yx vvv
Vzhledem k tomu že tyto rychlosti jsou na sebe kolmeacute pak okamžitou celkovou rychlost
vypočteme pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
VRH ŠIKMYacute
Tento vrh je složen ze dvou pohybů
Těleso je v tomto přiacutepadě vrženo vzhledem k vodorovneacute rovině pod uacutehlem rychlostiacute 0v
Při řešeniacute rozložiacuteme počaacutetečniacute rychlost 0
v
jako vektor do dvou navzaacutejem kolmyacutech směrů
Složky rychlosti pak budou vyjaacutedřeny takto
αvv cos0x0 αvv sin0y0
Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu pak bude rychlost ve směru osy x konstantniacute
αvvv xx cos00
Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovanaacute silovyacutem působeniacutem Země a zapiacutešeme ji takto
tgvvy sin0
y-ovaacute složka rychlosti se bude zmenšovat V maximaacutelniacute vyacutešce bude nulovaacute pak opět poroste
na maximaacutelniacute hodnotu
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi
16
Celkovaacute rychlost v
bude určena vektorovyacutem součtem yx vvv
Jejiacute velikost určiacuteme
pomociacute Pythagorovy věty
2y
2x vvv
x-ovaacute a y-ovaacute souřadnice jsou daacuteny vztahy
αtvx cos0 20
2
1sin tgαtvy
Při zadanyacutech hodnotaacutech uacutehlu vrhu a počaacutetečniacute rychlosti vrhu snadno určiacuteme souřadnice tělesa
v libovolneacutem časoveacutem okamžiku
Určeniacute vybranyacutech parametrů při šikmeacutem vrhu s počaacutetečniacute vyacuteškou h = 0
Doba vyacutestupu
Těleso stoupaacute do maximaacutelniacute vyacutešky Rychlost ve směru osy y postupně klesaacute v maximaacutelniacute
vyacutešce je 0y v Pak určiacuteme dobu vyacutestupu tv ze vztahu v0 sin0 tgαv
Doba vyacutestupu je
g
αvt
sin0v
Doba letu vL tt 2
Maximaacutelniacute vyacuteška
Maximaacutelniacute vyacutešky ymax dosaacutehne těleso za dobu vyacutestupu tv
Určiacuteme ji ze vztahu pro hodnotu y-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby vyacutestupu za čas t
17
2
2200
02vv0max
sin
2
1sin
sin
2
1sin
g
αvgα
g
αvvtgαtvy
Po uacutepravě dostaneme g
αvy
2
sin220
max
Maximaacutelniacute dolet
Do maximaacutelniacute vzdaacutelenosti xmax dopadne těleso za dobu letu tL Určiacuteme ji ze vztahu pro
hodnotu x-oveacute souřadnice dosazeniacutem doby letu za čas t
αg
αvvαtvx cos
sin2cos 0
0L0max
Po uacutepravě dostaneme g
ααvx
cossin220
max
Jestliže použijeme goniometrickyacute vzorec pro sinus dvojnaacutesobneacuteho argumentu pak maximaacutelniacute
dolet vyjaacutedřiacuteme ve tvaru g
αvx
2sin20
max
Za nulovou můžeme považovat počaacutetečniacute vyacutešku např při kopu do miacuteče V praxi je zpravidla
počaacutetečniacute vyacuteška šikmeacuteho vrhu různaacute od nuly To se tyacutekaacute trajektorie tělesa při většině hodů a
vrhů ale takeacute trajektorie těžiště lidskeacuteho těla při některyacutech odrazech např při skoku dalekeacutem
23 POHYB PO KRUŽNICI
Nejčastěji studovanyacutem křivočaryacutem pohybem je pohyb po kružnici Trajektoriiacute pohybu je
kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A pak se po určiteacute době dostane zpět do
původniacuteho postaveniacute
18
Jednaacute se o pohyb periodickyacute Doba za kterou se těleso dostane zpět do původniacute polohy se
nazyacutevaacute perioda T Jednotkou periody je sekunda sT
Mimo periodu zavaacutediacuteme veličinu kteraacute se nazyacutevaacute frekvence f
Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence -1sf Často se
použiacutevaacute jednotka s naacutezvem hertz (Hz)V zaacutekladniacutech jednotkaacutech je 1 Hz = s-1
Mezi periodou a frekvenciacute platiacute vztah
Tf
1
Obvodoveacute veličiny
Obvodovyacutemi veličinami jsou
draacuteha s ndash vzdaacutelenost kterou těleso uraziacute po obvodu kružnice
obvodovaacute rychlost v
dostřediveacute zrychleniacute da
(můžeme teacutež nazvat normaacuteloveacute zrychleniacute na
)
tečneacute zrychleniacute ta
(můžeme teacutež nazvat tangenciaacutelniacute zrychleniacute ta
)
celkoveacute zrychleniacute a
(můžeme teacutež nazvat absolutniacute zrychleniacute a
)
Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici pak vektor rychlosti bude v každeacutem bodě
pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmyacute na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se
středem kružnice (v tomto přiacutepadě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r)
Vektor rychlosti měniacute svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivyacutem
(normaacutelovyacutem) zrychleniacutem an Vektor dostřediveacuteho zrychleniacute je vždy kolmyacute k vektoru
rychlosti v
Platiacute
r
van
2
Jednotkou normaacuteloveacuteho zrychleniacute je 2-msna
19
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute směřuje vždy do středu křivosti
1 rovnoměrnyacute pohyb po kružnici
rychlost je konstantniacute měniacute se jen jejiacute směr
Platiacute vztahy pro rovnoměrnyacute pohyb
0 stvskonstv
r
vad
2
protože je rychlost konstantniacute je i dostřediveacute zrychleniacute konstantniacute
2-ms0ta
2 rovnoměrně zrychlenyacute po kružnici
rychlost neniacute konstantniacute měniacute velikost i směr
platiacute vztahy pro rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
0vtav t
00
2
2
1stvtas t
r
van
2
normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute se měniacute Měniacute směr vektoru rychlosti
t
vat
tangenciaacutelniacute (tečneacute) zrychleniacute je konstantniacute Měniacute velikost vektoru
rychlosti
Tečneacute (tangenciaacutelniacute) zrychleniacute ta
pohyb urychluje nebo zpomaluje
Tečneacute zrychleniacute maacute směr tečny ke kružnici
U zrychleneacuteho pohybu maacute stejnyacute směr jako vektor rychlosti v
u zpomaleneacuteho pohybu maacute
opačnyacute směr vzhledem k vektoru rychlosti v
20
Jednotkou tečneacuteho zrychleniacute je 2-msta
S tečnyacutem a normaacutelovyacutem zrychleniacutem pracujeme jako s vektorovyacutemi veličinami Vektorovyacutem
složeniacutem určiacuteme celkoveacute (absolutniacute vyacutesledneacute) zrychleniacute a
ntaaa
Velikost vyacutesledneacuteho zrychleniacute určiacuteme podle Pythagorovy věty
22
ntaaa
Uacutehloveacute veličiny
Kromě obvodovyacutech veličin je pohyb po kružnici často popisovaacuten pomociacute veličin uacutehlovyacutech
uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
uacutehloveacute zrychleniacute
Jejich vektory ležiacute v ose otaacutečeniacute
Uacutehlovaacute draacuteha
představuje uacutehel o kteryacute se těleso otočiacute za určityacute čas při pohybu po
kružnici Jednotkou uacutehloveacute draacutehy je radiaacuten piacutešeme rad
Obvodovaacute draacuteha je uacuteměrnaacute uacutehloveacute draacuteze O čiacutem většiacute uacutehel se těleso otočiacute tiacutem většiacute draacutehu po
kružnici uraziacute
21
Uacutehlovaacute rychlost
je charakterizovaacutena změnou velikosti uacutehloveacute draacutehy kteraacute nastane během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacute rychlosti je -1rads
O celyacute uacutehel 2 se těleso otočiacute za dobu jedneacute periody T Uacutehlovou rychlost pak můžeme
vyjaacutedřit ve tvaru
fπ2T
π2ω
Čiacutem vyššiacute je frekvence otaacutečeniacute tiacutem je uacutehlovaacute rychlost většiacute
Obvodovaacute rychlost je uacuteměrnaacute uacutehloveacute rychlosti
Jestliže se uacutehlovaacute rychlost během pohybu měniacute pak se těleso pohybuje s uacutehlovyacutem
zrychleniacutem
Uacutehloveacute zrychleniacute
představuje změnu velikosti uacutehloveacute rychlosti ke ktereacute dojde během
časoveacuteho intervalu Jednotkou uacutehloveacuteho zrychleniacute je -2rads
Převodniacute vztahy mezi obvodovyacutemi a uacutehlovyacutemi veličinami
rs
rv
rat
Uacutehlovaacute draacuteha
uacutehlovaacute rychlost
a uacutehloveacute zrychleniacute
jsou vektoroveacute veličiny Vektory
ležiacute v ose rotace a jsou kolmeacute k rovině rotace Jejich směr je danyacute vektorovyacutem součinem Jsou
kolmeacute k přiacuteslušnyacutem obvodovyacutem veličinaacutem Platiacute rv
x rat
x
Poloměr r je kolmyacutem průmětem polohoveacuteho vektoru r
do roviny rotace
22
Pro rovnoměrnyacute a rovnoměrně zrychlenyacute (zpomalenyacute) pohyb můžeme použiacutet znaacutemeacute
vztahy
Rovnoměrnyacute pohyb
0stvs 0 tω
0
0
tt
ss
tΔ
sΔv
0
0
tttΔ
Δω
kde s00t
Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb
002
1stvtas 2
t 00
2 tt2
1 ω
0vtav t 0ωtαω
0
0
tt
vv
tΔ
vΔat
0
0
tt
ωω
tΔ
ωΔ
kde s00 t ta je tečneacute zrychleniacute působiacuteciacute změnu velikosti rychlosti
Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb
tvtas t 02
2
1 tωtα 0
2
2
1
0vtav t 0ωtαω
23
3 DYNAMIKA
Na rozdiacutel od kinematiky kteraacute se zabyacutevaacute pouze popisem pohybu si dynamika všiacutemaacute důvodů
a přiacutečin pohybovyacutech změn působiacuteciacutech sil
31 NEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY A DRUHY SIL
Přiacutečiny pohybovyacutech změn studoval Sir Isaac Newton kteryacute je popsal ve sveacutem životniacutem diacutele
Matematickeacute zaacuteklady přiacuterodniacutech věd Zaacutevěry je možneacute shrnout do třiacute pohybovyacutech zaacutekonů
ktereacute majiacute platnost ve všech oblastech fyziky v mikrosvětě v makrosvětě i v megasvětě
Zaacutekladniacute přiacutečinou změny pohybu je působiacuteciacute siacutela F
Jednotkou siacutely je newton NF
Dosud jsme při řešeniacute probleacutemů neuvažovali vyacuteznam hmotnosti pohybujiacuteciacutech se těles
V dynamice maacute naopak hmotnost nezastupitelnyacute vyacuteznam
Každeacute těleso libovolneacuteho tvaru je charakterizovaacuteno veličinou kteraacute se nazyacutevaacute hmotnost m
Jednotkou hmotnosti je kilogram kgm
Ze zkušenosti viacuteme že čiacutem maacute těleso většiacute hmotnost tiacutem je obtiacutežnějšiacute změnit jeho pohybovyacute
stav Praacutezdnyacute lehkyacute voziacutek roztlačiacuteme nebo naopak zastaviacuteme snadno Stejnyacute voziacutek na ktereacutem
je naloženo 500 kg materiaacutelu uvedeme nebo zastaviacuteme s určityacutemi probleacutemy Těleso maacute
v zaacutevislosti na sveacute hmotnosti menšiacute či většiacute schopnost setrvaacutevat ve sveacutem původniacutem stavu
Řiacutekaacuteme že hmotnost je miacuterou setrvačnyacutech vlastnostiacute tělesa
Pohybovyacute stav těles je určen kromě rychlosti i hmotnostiacute Veličina kteraacute v sobě obě
charakteristiky spojuje se nazyacutevaacute hybnost p
Je definovanaacute vztahem
vmp
Jednotkou hybnosti je -1kgmsp
24
ZAacuteKON SETRVAČNOSTI
Těleso setrvaacutevaacute v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu dokud neniacute přinuceno
vnějšiacutemi silami tento pohybovyacute stav změnit
V zaacutevislosti na rychlosti musiacute pro rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute pohyb s konstantniacute rychlostiacute platit
konst vmp
N0F
Neměniacute se velikost ani směr rychlosti a hybnosti
ZAacuteKON SIacuteLY
Jestliže na těleso působiacute vnějšiacute siacutela pak se jeho pohybovyacute stav změniacute
Těleso se pohybuje se zrychleniacutem
amF
Působeniacutem siacutely se změniacute rychlost a tiacutem i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen
změnou velikosti těchto veličin ale i změnou směru přiacuteslušnyacutech veličin Trajektorie pohybu
může změnit v zaacutevislosti na směru působiacuteciacute siacutely svůj tvar
Platiacute
am
t
vm
t
vm
t
pF
Siacutela ve směru rychlosti pohyb zrychliacute
Siacutela působiacuteciacute proti směru rychlosti pohyb zpomaliacute
Siacutela působiacuteciacute pod určityacutem uacutehlem změniacute trajektorii pohybu
V zaacutevislosti na velikosti siacutely rozlišujeme pohyb
a) N0F pak bude zrychleniacute -2
ms0a pohyb je rovnoměrnyacute
b) N 0konstF pak je zrychleniacute -2
ms 0konsta pohyb je rovnoměrně
zrychlenyacute (zpomalenyacute)
c) konstF pak zrychleniacute konsta pohyb je nerovnoměrně zrychlenyacute
(zrychlenyacute)
ZAacuteKON AKCE A REAKCE
Siacutely kteryacutemi na sebe tělesa navzaacutejem působiacute jsou stejně velikeacute opačně orientovaneacute
25
Tyto siacutely se ve svyacutech uacutečinciacutech nerušiacute protože každaacute z nich působiacute na jineacute těleso Typickyacutemi
silami akce a reakce jsou gravitačniacute siacutely
32 DRUHY SIL
SIacuteLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI
Podle Newtonova zaacutekonu siacutely platiacute amF
Aby se těleso pohybovalo se zrychleniacutem pak ve
stejneacutem směru musiacute působit přiacuteslušnaacute siacutela
Ve směru normaacuteloveacuteho (dostřediveacuteho) zrychleniacute n
a
působiacute normaacutelovaacute (dostředivaacute) siacutela nF
Ve směru tangenciaacutelniacuteho (tečneacuteho) zrychleniacute t
a
působiacute tangenciaacutelniacute (tečnaacute) siacutela t
F
r
vmamF nn
2
t
vmamF tt
Normaacutelovaacute siacutela působiacute kolmo ke směru pohybu a měniacute směr pohybu (měniacute trajektorii)
Tangenciaacutelniacute siacutela působiacute ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje
Obě siacutely jsou na sebe kolmeacute Složiacuteme je jako vektoroveacute veličiny nt FFF
Velikost vyacutesledneacute siacutely stanoviacuteme vyacutepočtem podle Pythagorovy věty Pak 22
ntFFF
SIacuteLA TIacuteHOVAacute
Jednou ze sil se kteryacutemi se setkaacutevaacuteme v běžneacutem životě je siacutela tiacutehovaacute GtakeacuteneboFG
kteraacute působiacute v tiacutehoveacutem poli Země na každeacute hmotneacute těleso
26
POZNAacuteMKA
Vznikne vektorovyacutem složeniacutem siacutely gravitačniacute 2
Z
Zg
R
mMF kteraacute je orientovanaacute do středu
Země a siacutely odstřediveacute r
vmF
od
2
Siacutela odstředivaacute souvisiacute s otaacutečeniacutem Země kolem osy a je
kolmaacute k ose rotace
odgGFFF
Velikost tiacutehoveacute siacutely zaacutevisiacute na zeměpisneacute šiacuteřce
Ve směru přiacuteslušnyacutech sil jsou orientovanaacute zrychleniacute
gravitačniacute odstřediveacute kde m je hmotnost tělesa Z
M je hmotnost Země Z
R je poloměr
Země r je vzdaacutelenost tělesa od osy rotace -2211
kgNm10676
je gravitačniacute
konstanta
Vektorovyacutem složeniacutem gravitačniacuteho a odstřediveacuteho zrychleniacute a vyacutepočtem podle kosinoveacute věty
dostaneme zrychleniacute tiacutehoveacute g
Pak tiacutehovaacute siacutela je
gmFG
Je orientovanaacute těsně mimo zemskyacute střed jejiacute směr považujeme za svislyacute Způsobuje volnyacute
paacuted těles
Všechna tělesa padajiacute k Zemi v určiteacutem miacutestě se stejnyacutem tiacutehovyacutem zrychleniacutem g V našich
zeměpisnyacutech šiacuteřkaacutech je-2
sm819g
Reakce podložky na působeniacute tiacutehoveacute siacutely je stejně velikaacute ale opačně orientovanaacute Jednaacute se o
siacutely akce a reakce Působiště reakčniacute siacutely je v miacutestě kontaktu tělesa s podložkou
27
SIacuteLY TŘECIacute
Třeciacute siacutely jsou důsledkem třeniacute ktereacute vznikaacute při pohybu tělesa po povrchu jineacuteho tělesa Třeciacute
siacutela TtakeacuteneboFtř
působiacute proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a
jejich relativniacutem pohybu hovořiacuteme o smykoveacutem třeniacute nebo valiveacutem třeniacute
Přiacutečinou smykoveacuteho třeniacute je skutečnost že styčneacute plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale
hladkeacute jejich nerovnosti do sebe zapadajiacute a braacuteniacute vzaacutejemneacutemu pohybu těles Přitom se
uplatňuje i siloveacute působeniacute čaacutestic v dotykovyacutech plochaacutech Tyto skutečnosti jsou
charakterizovaacuteny koeficientem smykoveacuteho třeniacute v pohybu f (někdy takeacute značiacuteme )
Velikost třeciacute siacutely zaacutevisiacute na koeficientu smykoveacuteho třeniacute f a na siacutele kolmeacute k podložce ndash
normaacuteloveacute siacutele N Určiacuteme ji podle vztahu
NfFtř
Pokud se těleso pohybuje po vodorovneacute rovině pak je touto normaacutelovou silou tiacutehovaacute siacutela
GF
Siacutela smykoveacuteho třeniacute je určena vztahem Gtř
FfF
U rovin ktereacute nejsou vodorovneacute (viz nakloněnaacute rovina) musiacuteme kolmou siacutelu nejdřiacuteve určit
Valiveacute třeniacute je vyvolaacuteno silou kteraacute působiacute proti směru pohybu při pohybu valiveacutem Jestliže
budeme uvažovat oblyacute předmět např kolo o poloměru r můžeme stanovit siacutelu kterou je
nutneacute působit aby se kolo pohybovalo rovnoměrnyacutem pohybem
28
Kolo tlačiacute na rovinu kolmou silou N Tiacutem působiacute stlačeniacute roviny Deformovanaacute rovina naopak
působiacute stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdaacutelenosti ξ před osou kola Siacutela
N a jejiacute reakce N tvořiacute dvojici sil s momentem NξM Aby se kolo otaacutečelo rovnoměrnyacutem
pohybem je nutneacute vyvolat stejně velkyacute otaacutečivyacute moment ve směru pohybu rFM Siacutela F
překonaacutevajiacuteciacute valiveacute třeniacute je určeno vztahem r
NFtřv
Tato siacutela je zaacuteroveň svou velikostiacute rovna siacutele valiveacuteho třeniacute třvF se nazyacutevaacute koeficientem
valiveacuteho třeniacute mξ
Koeficient valiveacuteho třeniacute je mnohem menšiacute než součinitel smykoveacuteho třeniacute
SIacuteLY ODPOROVEacute
Při pohybu tělesa v prostřediacute např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině) musiacute těleso
překonaacutevat odpor prostřediacute Při relativniacutem pohybu tělesa a tekutiny dochaacuteziacute k přemisťovaacuteniacute
čaacutestic prostřediacute uplatňujiacute se třeciacute siacutely Tento jev se nazyacutevaacute odpor prostřediacute
Odporovaacute siacutela vznikaacute při vzaacutejemneacutem pohybu a působiacute proti pohybu Je uacuteměrnaacute velikosti
rychlosti tělesa vzhledem k prostřediacute
v Fodp konst
Konstanta odporu prostřediacute se obvykle značiacute R Pak vRFodp
Při většiacutech rychlostech je odporovaacute siacutela uacuteměrnaacute druheacute mocnině rychlosti Platiacute vztah
2
2
1vCSF odpodp kde
29
C je součinitel odporu prostřediacute (zaacutevisiacute na tvaru tělesa) Sodp je průřez tělesa kolmyacute ke směru
pohybu je hustota prostřediacute v je relativniacute rychlost
SIacuteLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNEacute ROVINĚ
Budeme-li uvažovat libovolneacute těleso (např lyžaře) na nakloněneacute rovině s uacutehlem naacuteklonu
bude se pohybovat smykovyacutem pohybem vlivem vlastniacute tiacutehoveacute siacutely G
F
kteraacute je orientovanaacute
svisle dolů Tiacutehovou siacutelu jako vektor rozložiacuteme do dvou navzaacutejem kolmyacutech složek Jedna
složka 1F
je orientovanaacute ve směru pohybu druhaacute 2F
je kolmaacute ke směru pohybu tzn že je
kolmaacute k nakloněneacute rovině
Jejich velikosti určiacuteme z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteku s využitiacutem funkciacute sinus a cosinus takto
αgmαFF G sinsin1 αgmαFF G coscos2
Složka 2
F
ovlivňuje velikost třeciacute siacutely
2FfNfF
tř
Třeciacute siacutela je orientovanaacute proti pohybu a je rovna vyacuterazu
coscos mgfFfFGtř
30
Siacutely třFF
1 jsou opačně orientovaneacute jejich vyacuteslednice je rovna jejich rozdiacutelu
cossin1
mgfmgFFFtř
V přiacutepadě že tř
F gt1
F zůstane těleso v klidu
Jestliže tř
F lt1
F pohybuje se těleso ve směru nakloněneacute roviny
Vyacuteslednou siacutelu lze daacutele upravit na tvar
cossin fmgF
Pokud je hmotnost tělesa uacutehel nakloněneacute roviny a koeficient smykoveacuteho třeniacute konstantniacute
pak je konstantniacute i vyacuteslednaacute siacutela pohyb je rovnoměrně zrychlenyacute
002
2
1stvats 0vatv
POZNAacuteMKA
Pokud platiacute že 1
FFtř je vyacuteslednice sil nulovaacute Těleso se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře
sincos mgmgf
αα
αf tg
cos
sin
Tento jev nastane tehdy když koeficient smykoveacuteho třeniacute je roven tg
SIacuteLY SETRVAČNEacute
Platnost Newtonovyacutech zaacutekonů je omezena na inerciaacutelniacute vztažneacute soustavy Jsou to všechny
soustavy ktereacute se pohybujiacute rovnoměrnyacutem přiacutemočaryacutem pohybem
Neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy jsou všechny soustavy ktereacute se pohybujiacute se zrychleniacutem
V těchto soustavaacutech Newtonovy zaacutekony neplatiacute Projevujiacute se zde setrvačneacute siacutely
Setrvačneacute siacutely jsou vždy orientovaneacute proti směru zrychleniacute soustavy
Setkaacutevaacuteme se s nimi v běžneacutem životě při změně rychlosti pohybu (rozjiacutežděniacute bržděniacute)
soustav
Klasickyacutem přiacutepadem je např rozjiacuteždějiacuteciacute se tramvaj Zatiacutemco tramvaj se rozjiacuteždiacute (brzdiacute) se
zrychleniacutem a
všechny objekty v tramvaji se pohybujiacute směrem dozadu (dopředu) vlivem
působeniacute setrvačneacute siacutely
amFs
kde m je hmotnost tělesa a
je zrychleniacute soustavy
Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působeniacute vnějšiacute siacutely
31
Podobnyacute přiacutepad nastane v rozjiacuteždějiacuteciacutem se nebo brzdiacuteciacutem vyacutetahu
Při rozjezdu nahoru působiacute na osazenstvo kromě tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute Celkovaacute siacutela
kteraacute působiacute na člověka bude rovna součtu obou sil
sGFFF
Při rozjiacutežděniacute vyacutetahu směrem dolů je setrvačnaacute siacutela orientovanaacute směrem vzhůru Vyacuteslednaacute
siacutela kteraacute působiacute na člověka je rovna rozdiacutelu
sGFFF
Setrvačneacute siacutely se projevujiacute rovněž v soustavaacutech ktereacute se pohybujiacute křivočaryacutem pohybem
Normaacuteloveacute (dostřediveacute) zrychleniacute měniacute směr rychlosti a je orientovaacuteno do středu křivosti
Setrvačnaacute siacutela je v tomto přiacutepadě orientovanaacute opačnyacutem směrem od středu na spojnici tělesa
se středem
Typickyacutem přiacutepadem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovneacute rovině
Setrvačnaacute siacutela maacute stejnou velikost jako siacutela normaacutelovaacute (dostředivaacute) Nazyacutevaacuteme ji silou
odstředivou
r
vmamF
ns
2
32
POZNAacuteMKA
Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou kteraacute maacute působiště ve středu a jež je reakčniacute silou na
siacutelu dostředivou
Pokud naviacutec ještě soustava zrychluje vlivem tangenciaacutelniacute (tečneacute) siacutely t
F
pak proti teacuteto siacutele je
orientovanaacute setrvačnaacute tečnaacute siacutela
Celou situaci si můžeme představit při jiacutezdě automobilem do zataacutečky Automobil je
neinercaacutelniacute vztažnou soustavou Na cestujiacuteciacute působiacute setrvačnaacute odstředivaacute siacutela a tlačiacute je ven
z auta Šlaacutepneme-li naviacutec na plynovyacute pedaacutel automobil zrychliacute a projeviacute se působeniacute setrvačneacute
tečneacute siacutely Vyacuteslednaacute setrvačnaacute siacutela je rovna jejich vektoroveacutemu součtu a jejiacute velikost určiacuteme
podle vztahu 2
2
2
1 sssFFF
SIacuteLY PRUŽNOSTI
V předchoziacutech oddiacutelech byly uvažovaacuteny vnějšiacute siacutely ktereacute měnily pohybovyacute stav těles Tělesa
byla dokonale tuhaacute a neměnila uacutečinkem vnějšiacutech sil svůj tvar
Ve skutečnosti se tělesa uacutečinkem vnějšiacutech sil zaacuteroveň deformujiacute V tělesech naopak vznikajiacute
siacutely ktereacute deformaci braacuteniacute
Působeniacutem vnějšiacutech tahovyacutech sil dochaacuteziacute ke zvětšovaacuteniacute vzdaacutelenosti mezi jednotlivyacutemi
čaacutesticemi tělesa Proto ve vzaacutejemneacutem působeniacute čaacutestic převlaacutedajiacute přitažliveacute siacutely ktereacute
33
nazyacutevaacuteme silami pružnosti pF
Jsou uacuteměrneacute prodlouženiacute nebo naopak zkraacuteceniacute tělesa a
můžeme je zapsat ve tvaru
ykFp
kde k je konstanta pružnosti materiaacutelu y je velikost prodlouženiacute Vznikleacute siacutely pružnosti braacuteniacute
vnějšiacutemu siloveacutemu působeniacute a jsou orientovaacuteny bdquozpět do původniacute polohyldquo (proto znameacutenko
bdquominusldquo
V libovolneacutem řezu tělesa o ploše S vznikaacute při deformaci při působeniacute vnějšiacute siacutely F stav
napjatosti kteryacute posuzujeme pomociacute veličiny napětiacute
Platiacute
S
F
Jednotkou napětiacute je pascal =Pa=Nm-2
33 IMPULS SIacuteLY HYBNOST
Impuls siacutely představuje časovyacute uacutečinek siacutely
Jestliže na těleso o hmotnosti m působiacute vnějšiacute siacutela F
pak se jejiacute uacutečinek projeviacute změnou
pohyboveacuteho stavu tělesa tzn změnou rychlosti Zaacuteroveň se změniacute i hybnost tělesa kteraacute je
určena vztahem vmp
V časoveacutem okamžiku 1
t maacute těleso hybnost 11
vmp
v časoveacutem okamžiku 2
t maacute těleso
hybnost 22
vmp
Uvažujeme-li pohybovou rovnici t
p
t
vmamF
pak po uacutepravě na tvar
pvmtF
vyplyacutevaacute že impuls siacutely je roven součinu siacutely a časoveacuteho intervalu
Platiacute
tFI
Jednotkou impulsu siacutely je I
=Ns
34
Zaacuteroveň platiacute že impuls siacutely je roven změně hybnosti
pppI
12
35
4 PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE
41 MECHANICKAacute PRAacuteCE
Mechanickaacute praacutece W je draacutehovyacute uacutečinek siacutely
Jednotkou praacutece je joule JW podle anglickeacuteho fyzika J F Joulea (1818-1889)
Praacutece je skalaacuterniacute veličina
Posune-li siacutela těleso po určiteacute draacuteze pak tato siacutela vykonaacute praacuteci
Tato siacutela může byacutet konstantniacute nebo proměnnaacute může působit ve směru posunutiacute nebo pod
určityacutem uacutehlem (ten se rovněž může měnit)
Pokud siacutela působiacute pod uacutehlem α vzhledem ke směru pohybu pak ji rozložiacuteme do dvou
navzaacutejem kolmyacutech složek 21
FF
Složka 1
F
posunuje těleso a tudiacutež vykonaacutevaacute praacuteci Jejiacute velikost určiacuteme pomociacute goniometrickeacute
funkce kosinus cos1
FF
Složka 2
F
je orientovanaacute vzhůru a těleso nadlehčuje ovlivňuje třeciacute siacutelu Jejiacute velikost určiacuteme
vztahem sin2
FF
V přiacutepadě že je siacutela konstF
pak platiacute
cos1
sFsFW
Podle vztahu pro skalaacuterniacute součin dvou vektorů cosbaba
můžeme psaacutet sFW
a řiacutekaacuteme že praacutece je skalaacuterniacutem součinem siacutely F
a posunutiacute s
36
42 VYacuteKON
Vyacutekon je časoveacute zhodnoceniacute vykonaneacute praacutece
Vyacutekon značiacuteme P jednotkou vyacutekonu je watt WP Jednotka byla nazvanaacute na počest
anglickeacuteho vynaacutelezce parniacuteho stroje Jamese Watta (1736-1819) Vyacutekon je to skalaacuterniacute veličina
Rozlišujeme vyacutekon
a) průměrnyacute sledujeme celkovou praacuteci vykonanou za celkovyacute čas
t
WP
b) okamžityacute ndash určiacuteme jako praacuteci vykonanou v daneacutem časoveacutem okamžiku
Protože sFW pak můžeme okamžityacute vyacutekon vyjaacutedřit jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a
rychlosti v
kterou se v daneacutem okamžiku působiště siacutely pohybuje
vFt
sFP
43 MECHANICKAacute ENERGIE
Energie je fyzikaacutelniacute veličina kteraacute vyjadřuje miacuteru schopnosti tělesa konat praacuteci
Jinak řečeno ndash energie je všechno to z čeho je možneacute ziacuteskat praacuteci nebo v co se praacutece přeměniacute
Jednotkou energie je joule JE Energie je skalaacuterniacute veličina
KINETICKAacute ENERGIE
Kinetickaacute energie k
E pohybujiacuteciacuteho se tělesa se rovnaacute praacuteci kteraacute je potřebnaacute k jeho uvedeniacute
z klidu do pohyboveacuteho stavu s rychlostiacute v Pokud se těleso pohybovalo rychlostiacute 1
v a pod
vlivem působiacuteciacute siacutely se rychlost změnila na hodnotu 2
v pak je tato praacutece rovna praacutevě změně
kinetickeacute energie k
E tělesa
37
Uvažujme siacutelu působiacuteciacute ve směru pohybu pak 10coscos
Vzhledem k tomu že hmotnost m je konstantniacute pak po integraci je
kkk EEEvmvmW 12
2
1
2
22
1
2
1
Kinetickou energii Ek tělesa o hmotnosti m ktereacute se pohybuje rychlostiacute v určiacuteme podle
vztahu
2
2
1vmE
k
Se zvětšujiacuteciacute se rychlostiacute tělesa kinetickaacute energie roste při poklesu rychlosti kinetickaacute energie
klesaacute
POTENCIAacuteLNIacute ENERGIE
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou těles a na druhu siacutely kteraacute jejich
polohu ovlivňuje
Podle toho rozeznaacutevaacuteme potenciaacutelniacute energii
a) tiacutehovou (G
F )
b) gravitačniacute (g
F )
c) elektrostatickaacute (e
F )
d) pružnosti (p
F )
Jestliže zvedaacuteme těleso o hmotnosti m z vyacutešky 1
h do vyacutešky 2
h silou o velikosti tiacutehoveacute siacutely
gmFG ale opačně orientovanou vykonaacuteme nad povrchem Země praacuteci
38
Protože je siacutela orientovanaacute ve směru pohybu pak 10coscos
Potom platiacute
Protože siacutela je konstantniacute vytkneme ji před integraacutel a po integraci dostaneme
ps EΔEEhgmhgmhhgmgmW12 pp1212
Potenciaacutelniacute energii tiacutehovou Ep tělesa hmotnosti m ve vyacutešce h nad povrchem Země vyjaacutedřiacuteme
podle vztahu
hgmEp
Jestliže těleso stoupaacute potenciaacutelniacute energie tiacutehovaacute roste Pokud těleso klesaacute potenciaacutelniacute energie
tiacutehovaacute se zmenšuje
Přiacuterůstek kinetickeacute energie se rovnaacute uacutebytku energie potenciaacutelniacute
pkEE
0E pkE
0 pk EE
Součet kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute je konstantniacute
konstpk
EEE
Tento zaacutepis vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie
Platiacute v neodporujiacuteciacutem prostřediacute V odporujiacuteciacutem prostřediacute se čaacutest mechanickeacute energie
přeměňuje vlivem třeniacute v energii tepelnou
39
5 DYNAMIKA TUHEacuteHO TĚLESA
Reaacutelnaacute tělesa pevneacuteho skupenstviacute jsou uspořaacutedaneacute soubory čaacutestic (atomů molekul iontů)
ktereacute jsou vaacutezaacuteny působeniacutem vnitřniacutech sil Vnitřniacute siacutely nemajiacute vliv na pohybovyacute stav tělesa
Změnu pohyboveacuteho stavu mohou způsobit pouze siacutely vnějšiacute Tyto siacutely však mohou naviacutec
způsobit deformaci tělesa
Tuheacute těleso je ideaacutelniacute těleso jehož tvar a objem se neměniacute uacutečinkem vnějšiacutech sil
Zavaacutediacuteme ho jako abstraktniacute pojem kteryacute zjednodušiacute řešenyacute probleacutem
Zavedeniacute pojmu tuheacute těleso maacute vyacuteznam u těch probleacutemů kdy na řešeniacute uacutelohy maacute vliv tvar
tělesa a rozloženiacute hmoty v tělese Tento vliv se projevuje předevšiacutem u rotačniacutech pohybů
51 TRANSLAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při translačniacutem pohybu se těleso posunuje po podložce přiacutemočaře Pro všechny body tělesa
v daneacutem okamžiku platiacute
pohybujiacute se stejnou rychlostiacute v
na všechny působiacute stejnaacute siacutela F
během určiteacuteho časoveacuteho intervalu uraziacute stejnou draacutehu s (tvar trajektorie je stejnyacute)
52 ROTAČNIacute POHYB TUHEacuteHO TĚLESA
Při rotačniacutem pohybu se těleso otaacutečiacute kolem osy kteraacute může byacutet umiacutestěnaacute libovolně (i mimo
těleso) Všechny body opisujiacute kružnice se středy v ose otaacutečeniacute jejichž roviny jsou kolmeacute
k ose otaacutečeniacute Pro jejich pohyb daacutele platiacute
pohybujiacute se stejnou frekvenciacute f
pohybujiacute se stejnou uacutehlovou rychlostiacute fω 2
pohybujiacute se různou obvodovou rychlostiacute rfrωv 2 protože ta zaacutevisiacute na vzdaacutelenosti
libovolneacuteho bodu tělesa od osy otaacutečeniacute
trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležiacuteciacutech v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute se lišiacute
na body v různeacute vzdaacutelenosti od osy otaacutečeniacute působiacute jinaacute odstředivaacute siacutela
rmfrωmr
rωm
r
vmFod
222222
4
40
Těleso je tak napiacutenaacuteno odstředivyacutemi silami Při vysokeacute frekvenci otaacutečeniacute může dojiacutet
k narušeniacute reaacutelneacuteho tělesa a jeho destrukci
53 TĚŽIŠTĚ HMOTNYacute STŘED
Pojmy těžiště i hmotneacuteho středu majiacute stejnyacute vyacuteznam Je to bod do ktereacuteho je umiacutestěna
vyacuteslednice všech sil ktereacute na těleso působiacute Pokud na objekt působiacute pouze tiacutehovaacute siacutela GF
pak to je působiště tiacutehoveacute siacutely
Označeniacute hmotnyacute střed použiacutevaacuteme u soustavy izolovanyacutech bodů ktereacute jsou v určiteacutem
vzaacutejemneacutem vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl)
Souřadnice hmotneacuteho středu xs ys zs určiacuteme pomociacute vztahů
m
xm
mmm
xmxmxmx
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
ym
mmm
ymymymy
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
m
zm
mmm
zmzmzmz
n
i
ii
n
nns
1
21
2211
kde mi hmotnost i-teacuteho bodu (segmentu) xi yi souřadnice i-teacuteho bodu m1 + m2 + hellip +mn
= m
Při řešeniacute souřadnic hmotneacuteho středu je vhodneacute umiacutestit objekt do soustavy souřadnyacutech os tak
aby bylo jednoducheacute určit souřadnice jednotlivyacutech bodů (segmentů)
Označeniacute těžiště použiacutevaacuteme u spojiteacuteho kontinua (tělesa) ktereacute je tvořeno mnoha body
V tomto přiacutepadě řešiacuteme součet pomociacute integrace
V praxi jsou pojmy hmotneacuteho středu a těžiště ztotožňovaacuteny
41
54 MOMENT SETRVAČNOSTI
Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačniacutem pohybu Zaacutevisiacute na rozloženiacute
hmoty v tělese vzhledem k ose otaacutečeniacute Značiacuteme J jednotkou momentu setrvačnosti je J =
kgm2 Moment setrvačnosti je skalaacuterniacute veličina
POZNAacuteMKA
Maacute stejnyacute vyacuteznam jako hmotnost tělesa m při posuvneacutem pohybu Jestliže si představiacuteme
praacutezdnyacute dobře namazanyacute voziacutek pak ho roztlačiacuteme a zastaviacuteme snadno Kdybychom naopak
měli na voziacuteku 1000 kg materiaacutelu bude obtiacutežneacute uveacutest ho do pohybu a naopak Podobnyacute pokus
si můžeme představit při roztaacutečeniacute a brzděniacute polystyreacutenoveacuteho nebo železobetonoveacuteho vaacutelce
Tušiacuteme že u železobetonoveacuteho vaacutelce stejnyacutech rozměrů bude změna pohybu nesnadnaacute
Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otaacutečejiacuteciacute se kolem osy kteraacute ležiacute ve vzdaacutelenosti r od
těžiště Jestliže nastane takovyacute přiacutepad že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdaacutelenosti r
zanedbat (hmotnyacute bod) pak moment setrvačnosti bude
2rmJ
Ze zaacutepisu vyplyacutevaacute že moment setrvačnosti bude tiacutem většiacute čiacutem daacutele bude hmota od osy
otaacutečeniacute
Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejiacutem pohybu kolem Slunce Rozměry
Země vzhledem ke vzdaacutelenosti od Slunce je možneacute zanedbat
V přiacutepadě většiacuteho počtu navzaacutejem izolovanyacutech bodů bude moment setrvačnosti soustavy
roven součtu momentů setrvačnostiacute jednotlivyacutech bodů
42
n
i
innn JrmrmrmrmJJJJJ1
2233
222
211321
Př Určete moment setrvačnosti Slunečniacute soustavy
Řešeniacute
lunce Pak
vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty naacutesledně sečtěte
Takto je možneacute řešit moment setrvačnosti v přiacutepadě izolovanyacutech bodů (rozměry těles jsou
vzhledem ke vzdaacutelenostem zanedbatelneacute) U tělesa (spojiteacuteho kontinua) s nekonečnyacutem
počtem čaacutestic nahradiacuteme prostyacute součet momentů setrvačnostiacute integraciacute
U pravidelnyacutech těles je možneacute vyacutepočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti T
J některyacutech
pravidelnyacutech objektů hmotnosti m vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm jsou uvedeny
v tabulkaacutech Např
vaacutelec 2
2
1rmJ
T
kde r je poloměr vaacutelce
m je hmotnost vaacutelce
koule 2
5
2rmJ
T
kde r je poloměr koule
m je hmotnost koule
obruč 2
rmJT kde r je poloměr obruče
m je hmotnost obruče
tyč 2
12
1lmJ
T
kde l je deacutelka tyče
m je hmotnost tyče
43
GYRAČNIacute POLOMĚR
V některyacutech přiacutepadech v praxi je při vyacutepočtech vhodneacute použiacutet veličinu gyračniacute poloměr
Gyračniacute poloměr je takovaacute vzdaacutelenost od osy otaacutečeniacute do ktereacute bychom museli umiacutestit
všechnu hmotnost m tělesa aby se moment setrvačnosti nezměnil 2
RmJ Pak
m
JR
STEINEROVA VĚTA
Steinerova věta sloužiacute k vyacutepočtu momentů setrvačnostiacute těles kteraacute se otaacutečejiacute kolem osy
neprochaacutezejiacuteciacute těžištěm
2dmJJ
T
kde T
J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm
m je hmotnost tělesa
d je vzdaacutelenost těžiště od okamžiteacute osy
55 MOMENT SIacuteLY
Při otaacutečiveacutem pohybu zaacutevisiacute otaacutečivyacute uacutečinek siacutely působiacuteciacute na těleso na velikosti a směru siacutely
na vzdaacutelenosti siacutely od osy otaacutečeniacute (na umiacutestěniacute působiště siacutely)
Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment siacutely M
Moment siacutely M
je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely F
působiacuteciacute na těleso otaacutečiveacute kolem
pevneacuteho bodu
Působiště siacutely je ve vzdaacutelenosti r od osy otaacutečeniacute Tuto vzdaacutelenost nazyacutevaacuteme rameno siacutely
Rameno siacutely je vektorovaacute veličina r
Uacutehel je uacutehel kteryacute sviacuteraacute siacutela s ramenem siacutely
Působiacuteciacute siacutelu rozložiacuteme na dvě složky o velikostech
cos1 FF
sin2 FF
44
Z obraacutezku je zřejmeacute že otaacutečivyacute uacutečinek maacute složka 2F
kteraacute je kolmaacute k rameni siacutely r
Je to
složka tangenciaacutelniacute (tečnaacute) Je tečnou ke kružnici po ktereacute se otaacutečiacute koncovyacute bod polohoveacuteho
vektoru Vektorovaacute přiacutemka složky 1F
prochaacuteziacute osou otaacutečeniacute a na otaacutečeniacute tělesa nemaacute vliv Je
to složka normaacutelovaacute (kolmaacute)
Velikost momentu siacutely určiacuteme pomociacute tangenciaacutelniacute složky pomociacute vztahu rFM 2
Po dosazeniacute je
sinFrM
Jednotkou momentu siacutely je M = Nm
POZNAacuteMKA
Protože r F jsou velikosti přiacuteslušnyacutech vektorů můžeme v souladu s pravidly vektoroveacute
algebry bac
sinbac tento vztah zapsat jako vektorovyacute součin vektorů Fr
a
Pak platiacute
FrM
Vyacuteslednyacute vektor M
je kolmyacute k vektoru r
i k vektoru F
POZNAacuteMKA Při vektoroveacutem součinu vektorů je důležiteacute dodržovat pořadiacute vektorů Při jejich zaacuteměně
ziacuteskaacuteme vektor opačnyacute
Kladnyacute smysl vektoru M
určiacuteme podle pravidla pro vektorovyacute součin
Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r
a F
pravotočivyacute šroub tak jak siacutela otaacutečiacute kolem
bodu O ramenem postupuje šroub v kladneacutem směru vektoru momentu siacutely
Souřadnice vyacutesledneacuteho vektoru M
určiacuteme pomociacute determinantu
45
Př Určete vektor momentu siacutely M
kteryacute je zadaacuten jako vektorovyacute součin FrM
Polohovyacute vektor kjir
32 vektor siacutely kjiF
23
Řešeniacute
kjijikjki
kji
M
16439249362
231
312
Pak kjiM
777
Moment siacutely při rotačniacutem pohybu maacute stejnyacute vyacuteznam jako siacutela při translačniacutem pohybu
Způsobuje změnu pohyboveacuteho stavu tělesa
1 Nm0M těleso je v klidu nebo rovnoměrneacutem otaacutečiveacutem pohybu
2 konstM těleso je v rovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
3 konstM těleso je v nerovnoměrně zrychleneacutem (zpomaleneacutem) otaacutečiveacutem pohybu
Předchoziacute zaacutepis je shodnyacute s II Newtonovyacutem pohybovyacutem zaacutekonem siacutely kteryacute popisuje pohyb
translačniacute
Na těleso může současně působit viacutece sil s otaacutečivyacutem uacutečinkem Vyacuteslednice jejich momentů je
rovna vektoroveacutemu součtu jednotlivyacutech momentů sil
n
i
in MMMMMM1
321
56 MOMENT HYBNOSTI
Moment hybnosti b
je vektorovaacute veličina Charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při rotačniacutem
pohybu podobně jako hybnost charakterizuje pohybovyacute stav tělesa při translačniacutem pohybu
Souvisiacute s momentem setrvačnosti J a uacutehlovou rychlostiacute
vztahem
Jb
Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm2rads
-1
Jestliže dojde ke změně uacutehloveacute rychlosti změniacute se zaacuteroveň i moment hybnosti
Vektor momentu hybnosti b
je orientovanyacute stejnyacutem směrem jako vektor momentu siacutely
M
Podobně jako u translačniacuteho pohybu (zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti) můžeme vyslovit pro rotačniacute
pohyb zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti Jestliže na těleso otaacutečiveacute kolem osy nepůsobiacute
vnějšiacute siacutela (izolovanaacute soustava) nebo jestliže je vyacuteslednyacute otaacutečivyacute moment vnějšiacutech sil roven
nule je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantniacute
46
57 POHYBOVAacute ROVNICE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu je analogickaacute pohyboveacute rovnici translačniacuteho pohybu
tΔ
pΔ
tΔ
vΔmamF
Pro rotačniacute pohyb zapiacutešeme pohybovou rovnici ve tvaru
t
b
tJJM
Slovně můžeme tento zaacutepis vyjaacutedřit takto
Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působiacute moment siacutely M
pak se těleso otaacutečiacute
s uacutehlovyacutem zrychleniacutem
Tzn že se změniacute uacutehlovaacute rychlost
a tiacutem i moment hybnosti
b
Př Vaacutelec o momentu setrvačnosti 20 kgm2 se otaacutečiacute s frekvenciacute 6 Hz Určete dobu za kterou
se vaacutelec rovnoměrně zpomaleně zastaviacute vlivem třeciacuteho momentu siacutely Nm8
Řešeniacute
Protože se jednaacute o rovnoměrně zpomalenyacute pohyb pak je počaacutetečniacute uacutehlovaacute rychlost 1-
0 rads126π2π2 fω Konečnaacute uacutehlovaacute rychlost je při zastaveniacute tělesa
-1rads0
Z rovnice pro uacutehlovou rychlost vyjaacutedřiacuteme zrychleniacute
ttt
0
00
Po dosazeniacute do pohyboveacute rovnice dostaneme t
JM
0 Z teacuteto rovnice vyjaacutedřiacuteme čas
Pak s308
012200
M
ωωJt
58 PRAacuteCE VYacuteKON KINETICKAacute ENERGIE PŘI ROTAČNIacuteM
POHYBU
PRAacuteCE MOMENTU SIacuteLY
V přiacutepadě že tangenciaacutelniacute složka siacutely F
(označili jsme 2F
) svyacutem působeniacutem na otaacutečiveacute
těleso změniacute polohovyacute vektor o hodnotu r
vykonaacute praacuteci
MW
Jednotkou praacutece momentu siacutely je joule
47
VYacuteKON MOMENTU SIacuteLY
Vyacutekon při rotačniacutem pohybu představuje stejně jako při posuvneacutem pohybu časoveacute zhodnoceniacute
praacutece
Platiacute t
WP tedy po dosazeniacute za praacuteci momentu siacutely dostaacutevaacuteme
Mt
MP
Jednotkou vyacutekonu momentu siacutely je watt
KINETICKAacute ENERGIE ROTAČNIacuteHO POHYBU
Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedeneacute do rotačniacuteho pohybu Momentem siacutely M se
pohybuje s uacutehlovou rychlostiacute Moment siacutely M přitom vykonaacute praacuteci W Množstviacute vykonaneacute
praacutece se projeviacute změnou kinetickeacute energie
Souvislost mezi praciacute W a změnou kinetickeacute energie kE při rotačniacutem pohybu můžeme
vyjaacutedřit vztahem
kkkEEEW
12
Odvozeniacutem ziacuteskaacuteme vztah pro kinetickou energii rotačniacuteho pohybu
2
2
1JW
Jednotkou je joule
Př Určete kinetickou energii valiacuteciacuteho se vaacutelce o hmotnosti 4 kg a poloměru 05 m Vaacutelec se
valiacute rychlostiacute 2 ms-1
Řešeniacute
Moment setrvačnosti vaacutelce vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm je 2
2
1rmJ
48
Vaacutelec v přiacutekladu se neotaacutečiacute kolem osy v těžišti ale kolem okamžiteacute osy kteraacute ležiacute na styku
vaacutelce s podložkou Moment setrvačnosti pak určiacuteme podle Steinerovy věty Vzdaacutelenost osy
otaacutečeniacute od těžiště je rovna poloměru r
2222
2
3
2
1rmrmrmmdJJ
T
Kinetickou energii určiacuteme podle vztahu 222222
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1vmωrmωrmωJEk
Po dosazeniacute dostaneme
J7505044
3 2 kE
Srovnaacuteniacute vztahů popisujiacuteciacutech translačniacute a rotačniacute pohyb
Translačniacute pohyb
Rotačniacute pohyb
draacuteha s
rovnoměrnyacute pohyb 0stvs
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1stvtas
uacutehlovaacute draacuteha
rovnoměrnyacute pohyb 0 t
rovnoměrně zrychlenyacute 00
2
2
1 tt
rychlost
rovnoměrnyacute pohyb v= konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0vatv
uacutehlovaacute rychlost
rovnoměrnyacute pohyb konst
rovnoměrně zrychlenyacute 0 t
zrychleniacute t
va
uacutehloveacute zrychleniacute
t
hmotnost m moment setrvačnosti J
siacutela amF moment siacutely JM
hybnost vmp moment hybnosti Jb
praacutece sFW praacutece
MW
kinetickaacute energie translačniacute 2
2
1vmE
k kinetickaacute energie rotačniacute
2
2
1JE
k
vyacutekon t
WP vyacutekon
t
WP
49
6 HYDROSTATIKA
Hydrostatika zkoumaacute a popisuje zaacutekonitosti kapalin ve stavu klidu
Kapalina maacute staacutelyacute objem ale nemaacute staacutelyacute tvar Zaujiacutemaacute takovyacute tvar jako je tvar naacutedoby
ve ktereacute je umiacutestěnaacute Je velmi maacutelo stlačitelnaacute (ideaacutelniacute kapalina je nestlačitelnaacute)
dokonale pružnaacute nerozpiacutenavaacute Velmi maleacute stlačitelnosti kapalin se využiacutevaacute v praxi
S rostouciacute teplotou měniacute objem
K popisu mechanickyacutech dějů v kapalině (hydromechanice) se užiacutevajiacute veličiny ktereacute
jednoznačně určujiacute v daneacutem miacutestě jejiacute stav
tlak p v daneacutem miacutestě je představovaacuten normaacutelovou tlakovou siacutelou působiacuteciacute na jednotku
plochy umiacutestěnou v uvažovaneacutem miacutestě S
Fp Jednotkou tlaku je pascal (Pa)
hustota kapaliny (měrnaacute hmotnost) je hmotnost jednotkoveacuteho objemu kapaliny
Pro homogenniacute kapalinu můžeme psaacutet V
m Jednotkou je kgm
-3
rychlost v
kapaliny v jejiacutem daneacutem miacutestě je t
sv
kde s
je element draacutehy a t
je doba pohybu čaacutestice po tomto elementu Jednotkou je ms-1
61 POVRCH KAPALINY
Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar) že je kolmaacute k vyacuteslednici sil ktereacute na
kapalinu působiacute
1 Pokud je naacutedoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrneacutem přiacutemočareacutem pohybu působiacute
na každou molekulu pouze tiacutehovaacute siacutela gmFG směrem svislyacutem Kapalina maacute tedy
vodorovnyacute povrch
Povrch kapaliny v klidu
2 Při zrychleneacutem pohybu naacutedoby působiacute na každou molekulu kapaliny kromě tiacutehoveacute siacutely
ještě siacutela setrvačnaacute amFs kteraacute maacute opačnyacute směr než je zrychleniacute a naacutedoby
Hladina je kolmaacute k vyacuteslednici F Uacutehel odklonu hladiny od horizontaacutely je roven
uacutehlu kteryacute sviacuteraacute tiacutehovaacute siacutela GF s vyacutesledniciacute F
50
Povrch kapaliny při zrychleneacutem pohybu
Určiacuteme ho pomociacute funkce g
a
gm
am
F
F
G
s tan
3 Při rotačniacutem pohybu naacutedoby kolem vlastniacute osy působiacute na každou molekulu kromě
tiacutehoveacute siacutely ještě siacutela setrvačnaacute odstředivaacute rmr
rm
r
vmFod
2222
kde v je
rychlost otaacutečeniacute r je poloměr otaacutečeniacute a je uacutehlovaacute rychlost Kapalina reaguje na
tento pohyb tak že se jejiacute povrch zakřiviacute
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě
Povrch kapaliny v rotujiacuteciacute naacutedobě bude miacutet tvar paraboloidu
62 PASCALŮV ZAacuteKON
Pascalův zaacutekon charakterizuje vliv působeniacute vnějšiacute siacutely na kapalinu
Působiacute-li na kapalinu vnějšiacute siacutela vyvolaacute v kapalině tlak kteryacute je v každeacutem bodě stejnyacute a
šiacuteřiacute se všech směrech rovnoměrně
51
Uvažujeme naacutedobu uzavřenou dvěma volně pohyblivyacutemi piacutesty o různyacutech průřezech 21 SS U
ideaacutelniacute kapaliny platiacute že zmenšeniacute objemu vlivem siacutely na jedneacute straně se rovnaacute zvětšeniacute
objemu na straně druheacute Jestliže 21 ss jsou posunutiacute na jedneacute a druheacute straně pak
21 VV
2211 sSsS
Podle zaacutekona zachovaacuteniacute energie se praacutece vykonanaacute tlakovou silou 1F
při posunutiacute piacutestu 1S
rovnaacute praacuteci siacutely 2F potřebneacute k posunutiacute piacutestu 2S Což zapiacutešeme
2211 sFsF
Děleniacutem rovnic dostaneme
2
2
1
1 konstpS
F
S
F
Tedy matematickeacute vyjaacutedřeniacute Pascalova zaacutekona
Využiacutevaacute se v hydraulice ndash hydraulickeacute brzdy hydraulickeacute zvedaacuteky hydraulickeacute posilovače
řiacutezeniacute lisyhellip
63 HYDROSTATICKYacute TLAK
Hydrostatickyacutem tlakem rozumiacuteme obecně tlak v kapalině způsobenyacute vlastniacute tiacutehou
kapaliny GF kterou kapalina působiacute na libovolnou plochu S Pak je
S
ghS
S
gV
S
gm
S
Fp G
kde m je hmotnost kapaliny V je objem kapaliny je hustota kapaliny Po vykraacuteceniacute
dostaneme vztah pro hydrostatickyacute tlak ve tvaru
ghp
POZNAacuteMKA
Veličina h představuje vyacutešku kapaliny kteraacute je vždy nad plochou S na ktereacute
hydrostatickyacute tlak určujeme
52
SPOJENEacute NAacuteDOBY
Z Pascalova zaacutekona a hydrostatickeacuteho tlaku vyplyacutevajiacute zaacutekonitosti spojenyacutech naacutedob
Jestliže je ve spojenyacutech naacutedobaacutech v obou ramenech kapalina stejneacute hustoty na plochu
Sd působiacute hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 21 z toho plyne že
21 hh Vyacuteška hladin v obou ramenech spojenyacutech naacutedob libovolneacuteho tvaru bude
stejnaacute
Spojeneacute naacutedoby se stejnou hustotou kapaliny
Jestliže jsou ve spojenyacutech naacutedobaacutech nemiacutesitelneacute kapaliny (rozdiacutelnyacutech hustot 21 )
pak ve vyacutešce 0h nad nejnižšiacutem miacutestem jsou ve vodorovneacute rovině při stavu rovnovaacutehy
hydrostatickeacute tlaky 21 pp Pak ghgh 2211 Odtud je 2
1
2
1
h
h
Spojeneacute naacutedoby s různou hustotou kapaliny
TLAKOVAacute SIacuteLA KAPALINY NA DNO NAacuteDOBY
Pro tlakoveacute siacutely na dno naacutedoby platiacute vztah SghSpF Jestliže majiacute naacutedoby různyacute tvar
ale stejnou plochu dna pak při stejneacute vyacutešce kapaliny jsou takoveacute siacutely na dno stejneacute
(hydrostatickeacute paradoxon)
Tlakovaacute siacutela na dno naacutedoby
53
64 ARCHIMEacuteDŮV ZAacuteKON
Každeacute těleso ktereacute je umiacutestěneacute v kapalině je ovlivňovaacuteno vztlakovou silou vzF Jejiacute
velikost vyjadřuje znaacutemyacute Archimeacutedův zaacutekon
Těleso ponořeneacute do kapaliny je nadlehčovaacuteno vztlakovou silou kteraacute je rovna tiacuteze kapaliny
vytlačeneacute ponořenyacutem objemem tělesa
Archimeacutedův zaacutekon
Uvažujme v kapalině předmět vyacutešky h jehož horniacute a dolniacute podstava o ploše S budou
rovnoběžneacute (např vaacutelec) Pak na horniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 11 a na
dolniacute podstavu bude působit tlakovaacute siacutela SghF 22 Protože 21 hh je 21 FF
Vzhledem k orientaci obou sil bude jejich vyacuteslednice F rovna vztlakoveacute siacutele 12 FFFvz
Pak postupnou uacutepravou dostaneme
SghhSghSghFvz 1212
gmgVgShSghFvz
Vztah pro vztlakovou siacutelu zapiacutešeme ve tvaru
gVFvz
POZNAacuteMKA
Je třeba miacutet na paměti že V je objem ponořeneacute čaacutesti tělesa (může byacutet ponořeno
celeacute) což je rovno objemu vytlačeneacute kapaliny je hustota vytlačeneacute kapaliny m
je hmotnost vytlačeneacute kapaliny
Vztlakovaacute siacutela je vždy orientovanaacute směrem vzhůru
Předešleacute uacutevahy platiacute i pro těleso v plynu
Kromě vztlakoveacute siacutely působiacute na každeacute těleso v kapalině rovněž tiacutehovaacute siacutela kteraacute je
orientovanaacute směrem svislyacutem Tyto dvě siacutely se sklaacutedajiacute Uvažujme vztlakovou
siacutelu gVFvz 1 kde 1 je hustota kapaliny a tiacutehovou siacutelu gVgmFG 2 kde 2 je
hustota tělesa pak mohou nastat tyto přiacutepady
12 pak těleso klesaacute ke dnu
12 pak se těleso v kapalině vznaacutešiacute
12 pak těleso stoupaacute k hladině
54
7 HYDRODYNAMIKA
Hydrodynamika se zabyacutevaacute pohybem (prouděniacutem) kapalin
71 OBJEMOVYacute TOK HMOTNOSTNIacute TOK
Budeme uvažovat prouděniacute kapaliny hustoty ρ potrubiacutem libovolneacuteho průřezu S
Objemovyacute tok a hmotnostniacute tok
Objemovyacute tok VQ (průtok) je objem kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednu sekundu
t
VQV
Jednotkou objemoveacuteho toku je m3s
-1
Jestliže při rychlosti prouděniacute v se čaacutestice kapaliny posunou za dobu t do vzdaacutelenosti s
pak
t
sS
t
VQV
a tedy
vSQV
Vektor rychlosti je kolmyacute k průřezu
Hmotnostniacute tok mQ představuje hmotnost kapaliny kteraacute proteče průřezem S za jednotku
času Pro hmotnostniacute tok platiacute
t
mQm
Jednotkou je kgs-1
Vzhledem k tomu že mezi hmotnostiacute objemem a hustotou platiacute vztah Vm pak
t
V
t
V
t
mQm
Vm QQ
55
72 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU
Při prouděniacute ideaacutelniacute kapaliny využiacutevaacuteme vlastnosti nestlačitelnosti kapaliny Prouděniacute
popisujiacute dvě rovnice Při jejich sestaveniacute vychaacuteziacuteme ze zaacutekona zachovaacuteniacute hmotnosti a zaacutekona
zachovaacuteniacute energie
Budeme uvažovat proudoveacute vlaacutekno rozdiacutelneacuteho průřezu 21 SS Objemy kapalin kteraacute projde
jednotlivyacutemi průřezy budou konstantniacute Pro nestlačitelnou kapalinu pak platiacute (viz Obr vyacuteše)
21 VV QQ
protože hustota je v každeacutem průřezu stejnaacute
2211 vSvS
Obecně lze psaacutet konstvSQV což vyjadřuje rovnici kontinuity
V užšiacutem průřezu je rychlost kapaliny většiacute
73 BERNOULLIHO ROVNICE
Hmotnostiacute element kapaliny m proteacutekajiacuteciacute proudovou trubiciacute je co do velikosti konstantniacute
maacute v každeacute poloze kinetickou a potenciaacutelniacute energii vůči zvoleneacute hladině Při průtoku pak
dojde k jejich změně
Bernoulliho rovnice
Bernoulliho rovnice vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro proudiacuteciacute kapalinu Upraviacuteme
ji na tvar
22
2
211
2
12
1
2
1phgvphgv
nebo
konstphgv 2
2
1
Jednotliveacute členy majiacute rozměr Pa
Člen 2
2
1v představuje dynamickyacute tlak člen hg statickyacute tlak a člen p tlak
POZNAacuteMKA
Bernoulliho rovnice odvozenaacute pro ideaacutelniacute kapalinu platiacute přibližně i pro kapaliny reaacutelneacute
(skutečneacute)
56
8 TEPELNEacute VLASTNOSTI LAacuteTEK
81 TEPLO TEPLOTA
Tepelnyacute stav laacutetek je charakterizovaacuten veličinou termodynamickaacute teplota T Jednotkou je
kelvin KT
Mezi Celsiovou a Kelvinovou teplotniacute stupniciacute existuje převodniacute vztah
tT C15273
Tepelnyacute stav laacutetek souvisiacute s termickyacutem pohybem čaacutestic Jestliže se teplota laacutetky zvyacutešiacute pak se
zrychliacute termickyacute pohyb čaacutestic Při zahřiacutevaacuteniacute se zvětšiacute kinetickaacute energie čaacutestic
Teplota laacutetky se zvyacutešiacute dodaacuteniacutem tepelneacute energie (tepla) Q Jednotkou je joule JQ
Teplo dodaneacute pevneacute laacutetce nebo kapalině nutneacute k zahřaacutetiacute o určityacute teplotniacute rozdiacutel T vyjaacutedřiacuteme
vztahem
12 TTcmTcmQ
kde m je hmotnost laacutetky T1 T2 je počaacutetečniacute a konečnaacute teplota c je měrnaacute tepelnaacute kapacita
Platiacute že
Tm
Qc
Měrnaacute tepelnaacute kapacita je množstviacute tepla ktereacute je třeba dodat 1 kg laacutetky aby se
zahřaacutela o jeden stupeň teplotniacuteho rozdiacutelu Jednotkou je Jkg-1
K-1
Při ochlazeniacute musiacuteme stejneacute množstviacute tepla odebrat
Kromě měrneacute tepelneacute kapacity c zavaacutediacuteme ještě tepelnou kapacitu K
cmK 12 TTkQ
Jednotkou 1JKK
82 FAacuteZOVEacute PŘEMĚNY
Faacutezovaacute přeměna je děj při ktereacutem dochaacuteziacute ke změně skupenstviacute laacutetky Rozlišujeme tato
skupenstviacute
pevneacute
kapalneacute
plynneacute
57
TAacuteNIacute TUHNUTIacute
Taacuteniacute představuje faacutezovou přeměnu pevneacuteho tělesa na těleso kapalneacute Vznikaacute při zahřiacutevaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky tajiacute při teplotě taacuteniacute Tt Ke změně skupenstviacute je třeba dodat skupenskeacute
teplo taacuteniacute
mlQ t
kde lt je měrneacute skupenskeacute teplo taacuteniacute jednotkou je Jkg-1
Je to množstviacute tepla ktereacute je nutneacute
dodat 1 kg pevneacute laacutetky aby se přeměnila na kapalinu teacuteže teploty
Amorfniacute laacutetky postupně při zahřiacutevaacuteniacute měknou Konkreacutetniacute teplota taacuteniacute neexistuje
Zaacutevislost teploty na dodaneacutem teplotě při zahřiacutevaacuteniacute
Tuhnutiacute představuje změnu kapalneacuteho tělesa na pevneacute těleso Je to opačnyacute proces taacuteniacute kteryacute
vznikaacute při ochlazovaacuteniacute
Krystalickeacute laacutetky majiacute pro chemicky čistaacute tělesa teplot tuhnutiacute rovnu teplotě taacuteniacute za
teacutehož vnějšiacuteho tlaku Při tuhnutiacute je nutneacute laacutetce odebrat teplo mlQ t aby se z niacute stala
pevnaacute laacutetka Maacute stejnou hodnotu jako skupenskeacute teplo taacuteniacute pevneacuteho tělesa z teacuteže laacutetky
a stejneacute hmotnosti
Amorfniacute laacutetky tuhnou postupně
Většina laacutetek při taacuteniacute objem zvětšuje a při tuhnutiacute zmenšuje
SUBLIMACE DESUBLIMACE
Sublimace je změna pevneacute laacutetky na laacutetku plynnou (např joacuted naftalen kafr suchyacute led (CO2)
Během sublimace je nutneacute pevneacute laacutetce dodat skupenskeacute teplo sublimace
mlQ s
ls je měrneacute skupenskeacute teplo sublimace jednotkou je Jkg-1
Desublimace je změna plynneacute laacutetky na laacutetku pevnou (např jinovatka)
VYPAŘOVAacuteNIacute VAR KONDENZACE
Vypařovaacuteniacute je přeměna kapalneacute laacutetky na laacutetku plynnou Probiacutehaacute vždy a za jakeacutekoliv teploty a
jen z povrchu kapaliny (čiacutem většiacute povrch tiacutem rychlejšiacute vypařovaacuteniacute) Různeacute kapaliny se
vypařujiacute za stejnyacutech podmiacutenek různou rychlostiacute
58
Skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
mlQ v
je teplo ktereacute musiacute kapalina přijmout aby se změnila na paacuteru teacuteže teploty vl je měrneacute
skupenskeacute teplo vypařovaacuteniacute
Var je speciaacutelniacute přiacutepad vypařovaacuteniacute Kapalina se vypařuje nejen na sveacutem volneacutem povrchu
(jako u vypařovaacuteniacute) ale takeacute uvnitř sveacuteho objemu Přijiacutemaacute-li kapalina teplo var nastaacutevaacute při
určiteacute teplotě tzv teplotě varu Var se projevuje vytvaacuteřeniacutem bublin syteacute paacutery uvnitř kapaliny
ktereacute se postupně zvětšujiacute a vystupujiacute k volneacutemu povrchu
83 TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Při zahřiacutevaacuteniacute laacutetek libovolneacuteho skupenstviacute dojde ke zvyacutešeniacute kinetickeacute energie čaacutestic laacutetky a
zvyacutešeniacute jejich termickeacuteho pohybu U pevnyacutech laacutetek a kapalin se zvyacutešiacute frekvence kmitů čaacutestice
kolem rovnovaacutežneacute polohy a zvětšiacute se jejich rozkmit Tiacutem dojde ke zvětšeniacute středniacute vzdaacutelenosti
čaacutestic pevnaacute laacutetka a většina kapalin zvětšiacute sveacute rozměry
DEacuteLKOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
U některyacutech těles převlaacutedaacute svou velikostiacute jeden z rozměrů (tyče draacutety) zbyacutevajiacuteciacute rozměry pak
můžeme zanedbat
Uvažujme že počaacutetečniacute deacutelka tyče při počaacutetečniacute teplotě 0t je 0l Potom při zahřaacutetiacute tyče na
teplotu t se tyč prodloužiacute na deacutelku l Zavedeme absolutniacute změnu deacutelky tyče 0lll
Tato absolutniacute změna deacutelky je uacuteměrnaacute změně teploty t původniacute deacutelce 0l a materiaacuteloveacute
konstantě ndash součiniteli teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti -
Pak platiacute že
tll 0
Z toho plyne jednotka součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti
tl
l
0
Jednotkou je K-1
Po uacutepravě dostaneme vztah pro novou deacutelku
tll 10
Kromě absolutniacuteho prodlouženiacute l zavaacutediacuteme ještě relativniacute prodlouženiacute
0l
l
Je to bezrozměrneacute čiacuteslo
59
PLOŠNAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST LAacuteTEK
Některaacute tělesa jsou určenaacute dvěma rozměry (desky) Třetiacute rozměr zanedbaacutevaacuteme Pak při
zahřaacutetiacute o teplotniacute rozdiacutel t dojde ke zvětšeniacute obou hlavniacutech rozměrů
Jestliže uvažujeme desku o rozměrech 0a 0b při teplotě 0t pak po zahřaacutetiacute na teplotu t ziacuteskajiacute
oba rozměry novou velikost taa 10 tbb 10 Plocha při teplotě t pak bude
22
0
2
0000 21111 ttStbatbtabaS
Vzhledem k maleacute hodnotě součinitele teplotniacute deacutelkoveacute roztažnosti můžeme člen 22 t
zanedbat Pak
tSS 210
OBJEMOVAacute TEPLOTNIacute ROZTAŽNOST PEVNYacuteCH LAacuteTEK A KAPALIN
U pevnyacutech těles jejichž všechny tři rozměry jsou nezanedbatelneacute je
taa 10 tbb 10 tcc 10 Objem při teplotě t pak bude
3322
0
3
000 3311 tttVtcbacbaV
Členy 223 t 33 t můžeme pro jejich malou hodnotu zanedbat
Pak
tVtVV 131 00
kde 3 je součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti Jednotkou je K-1
Je v poměrně
širokeacutem rozsahu teplot staacutelyacute tj nezaacutevislyacute na teplotě
U kapalin ktereacute nemajiacute staacutelyacute tvar lze vyjaacutedřit změnu objemu vztahem tVV 10
Součinitel teplotniacute objemoveacute roztažnosti kapalin neniacute konstantniacute Kapaliny se roztahujiacute
nerovnoměrně
Při změně teploty se zvětšuje objem a neměniacute se hmotnost proto dochaacuteziacute ke změně hustoty
těles Platiacute
ttV
m
V
m
11
0
0
Změny hustoty s teplotou jsou celkem maleacute v praxi je lze zanedbaacutevat avšak při přesnyacutech
měřeniacute zejmeacutena u kapalin je nutneacute k nim přihliacutežet
84 TEPELNAacute VODIVOST
Důležityacutem pojmem je teplotniacute spaacuted ndash pokles teploty v tělese pak se tepelnaacute energie Q
přenaacutešiacute z miacutest o vyššiacute teplotě 2T do miacutest o nižšiacute teplotě 1T
Množstviacute přeneseneacuteho tepla pak je
60
Sd
TTQ 12 S
d
TQ
kde d je deacutelka tělesa (šiacuteřka stěny) ve směru šiacuteřeniacute S je plocha kolmaacute ke směru šiacuteřeniacute je
čas během ktereacuteho dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute tepla je součinitel tepelneacute vodivosti laacutetky
s jednotkou Wm-1
K-1
85 KALORIMETRICKAacute ROVNICE
Při vzaacutejemneacutem kontaktu si tělesa vyměňujiacute tepelnou energii Q (teplo) Tato vyacuteměna trvaacute do teacute
doby než se teplota těles ustaacuteliacute na stejneacute teplotě T
Při vzaacutejemneacute styku dvou těles platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute tepelneacute energie
TTcmTTcm 222111
POZNAacuteMKA
Tato rovnice platiacute za předpokladu kdy nedochaacuteziacute k žaacutednyacutem tepelnyacutem ztraacutetaacutem V ostatniacutech
přiacutepadech je třeba rovnici pro jednotliveacute přiacutepady sestavit
86 IDEAacuteLNIacute PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU
Stav plynu je charakterizovaacuten stavovyacutemi veličinami ndash teplotou T objemem V a tlakem
plynu p Jednotkami ktereacute použiacutevaacuteme jsou PamK 3 pVT
Při vyšetřovaacuteniacute stavu plynu předpoklaacutedaacuteme že se celkoveacute množstviacute plynu neměniacute Tzn že
hmotnost m = konst laacutetkoveacute množstviacute n = konst
Platiacute vztah
M
mn
kde M je molaacuterniacute hmotnost plynu
Jednotkami jsou 1kgmolmol kg Mnm
Souvislost mezi stavovyacutemi veličinami je vyjaacutedřena stavovou rovniciacute plynu
TRnVp TRM
mVp
kde R=8314 Jkg-1
K-1
Změny stavu plynu (tzn změny teploty objemu a tlaku) mohou byacutet nahodileacute
Jestliže plyn přechaacuteziacute ze stavu 1 ( 111 TVp ) do stavu 2 ( 222 TVp ) Pak můžeme použiacutet
stavovou rovnici pro změnu stavu
61
2
22
1
11
T
Vp
T
Vp
Pro určiteacute technickeacute uacutečely je vhodneacute zaveacutest pojmy ideaacutelniacutech dějů ktereacute probiacutehajiacute za zcela
konkreacutetniacutech podmiacutenek
IZOCHORICKYacute DĚJ
Při tomto ději udržujeme objem konstantniacute V = konst Plyn je uzavřen v naacutedobě konstantniacuteho
objemu Jestliže plyn zahřiacutevaacuteme pak s rostouciacute teplotou roste tlak plynu
Pak 21 VV a rovnice je
2
2
1
1
T
p
T
p
IZOBARICKYacute DĚJ
Tlak plynu v naacutedobě udržujeme konstantniacute konstp Při zahřiacutevaacuteniacute plynu musiacuteme zvětšovat
objem naacutedoby abychom tlak plynu v naacutedobě udrželi konstantniacute
Pak 21 pp a rovnice je
62
2
2
1
1
T
V
T
V
IZOTERMICKYacute DĚJ
Teplotu plynu udržujeme konstantniacute konstT Abychom při zahřiacutevaacuteniacute plynu udrželi teplotu
konstantniacute zvětšiacuteme objem naacutedoby a tiacutem zmenšiacuteme tlak plynu
Pak 21 TT a rovnice je
2211 VpVp
ADIABATICKYacute DĚJ
Při adiabatickeacutem ději je plyn tepelně izolovanyacute od sveacuteho okoliacute Žaacutedneacute teplo nepřijiacutemaacute ani
neodevzdaacutevaacute V některyacutech přiacutepadech může byacutet zněna tak rychlaacute že k tepelneacute vyacuteměně
nedojde
Plyn zvětšiacute svůj objem tiacutem vykonaacute praacuteci ale jeho vnitřniacute energie klesne Řiacutekaacuteme že při
adiabatickeacutem ději konaacute plyn praacuteci na uacutekor vnitřniacute energie
2211 VpVp
kde je Poissonova konstanta Pro dvouatomovyacute plyn maacute hodnotu 14
Grafickeacute znaacutezorněniacute připomiacutenaacute izotermu adiabata je strmějšiacute
POZNAacuteMKA
Vyacuteše uvedeneacute děje byly zakresleny v pV diagramu (zaacutevislost tlaku na objemu) Můžeme je
zakreslit např i do pT diagramu nebo VT diagramu nebo jinyacutech
63
87 PRVNIacute HLAVNIacute VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamickyacute
zaacutekon)
Vyjadřuje zaacutekon zachovaacuteniacute energie pro plyny Představme si plyn uzavřenyacute v naacutedobě
s pohyblivyacutem piacutestem Plyn je ve stavu 111 TVp Plyn zahřejeme a tiacutem mu dodaacuteme teplo Q
Stav plynu v naacutedobě se změniacute na hodnoty 222 TVp Zvyacutešiacute se teplota plynu tiacutem se zvětšiacute
rychlost molekul a jejich energie a tiacutem se zaacuteroveň zvětšiacute tlak plynu v naacutedobě Molekuly plynu
naraacutežejiacute na stěny naacutedoby většiacute silou Mohou pohnout piacutestem a zvětšit tak objem naacutedoby
Při zahřaacutetiacute plynu nastanou tedy dva přiacutepady
zvětšiacute se vnitřniacute energie plynu 12 UUU jednotkou je JU
zvětšiacute se objem a plyn tiacutem vykonaacute praacuteci W jednotkou je JW
Pak I termodynamickyacute zaacutekon zapiacutešeme ve tvaru
WUQ
Teplo dodaneacute plynu se spotřebuje na změnu vnitřniacute energie a na praacuteci kterou plyn
vykonaacute
POZNAacuteMKA
Vnitřniacute energie zaacutevisiacute na změně teploty Při zahřaacutetiacute plynu roste
Praacutece plynu zaacutevisiacute na změně objemu Při zvětšeniacute objemu plyn vykonaacute praacuteci
Pro každyacute z ideaacutelniacutech dějů maacute rovnice jinyacute tvar
děj U W
izochorickyacute měniacute se nekonaacute 0 UQ
izobarickyacute měniacute se konaacute WUQ
izotermickyacute neměniacute se 0 konaacute WQ
adiabatickyacute klesaacute konaacute WU
64
9 ELEKTROSTATICKEacute POLE
Elektrickeacute pole existuje v okoliacute každeacute elektricky nabiteacute čaacutestice nebo každeacuteho elektricky
nabiteacuteho tělesa Pokud je naacuteboj nebo těleso v klidu hovořiacuteme o elektrostatickeacutem poli
91 ELEKTRICKYacute NAacuteBOJ
Je jednou ze zaacutekladniacutech charakteristik mikročaacutestic Značiacute se Q nebo q Jednotkou je coulomb
Q =C V zaacutekladniacutech jednotkaacutech to je 1 C = 1 A 1 s Elektrickyacute naacuteboj je kladnyacute nebo
zaacutepornyacute Nejmenšiacute hodnotu maacute elementaacuterniacute naacuteboj C106021 19e Ostatniacute naacuteboje jsou
jeho celistvyacutem naacutesobkem Platiacute tedy enQ kde 4321n
Elektron maacute zaacutepornyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19ee
hmotnost kg1019 31em elektron je v obalu atomu
Proton maacute kladnyacute elektrickyacute naacuteboj C106021 19pe
hmotnost kg106721 27pm proton je v jaacutedře atomu
Neutron je bez naacuteboje hmotnost kg106741 27nm neutron je v jaacutedře atomu
Každyacute prvek můžeme charakterizovat takto
XA
Z
Z je protonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet protonů v jaacutedře A je nukleonoveacute čiacuteslo ndash určuje počet
nukleonů v jaacutedře tzn určuje dohromady počet protonů a neutronů Pak počet neutronů v jaacutedře
určuje neutronoveacute čiacuteslo ZAN
92 COULOMBŮV ZAacuteKON
Každeacute dva naacuteboje Q q na sebe navzaacutejem působiacute silou
02
04
1r
r
qQF
r
r 0
kde r je vzdaacutelenost naacutebojů je permitivita prostřediacute (charakterizuje elektrickeacute vlastnosti
prostřediacute jednotka -2-12 mNC ) -2-1212
0 mNC108548 je permitivita vakua r je
relativniacute permitivita (bez jednotky) 0r
je jednotkovyacute vektor určujiacuteciacute směr působiacuteciacute siacutely
65
93 INTENZITA ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrickeacute pole znaacutezorniacuteme pomociacute elektrickyacutech siločar Jsou to křivky ktereacute začiacutenajiacute na
kladneacutem naacuteboji a v prostoru se navaacutežiacute na zaacutepornyacute naacuteboj (majiacute začaacutetek a konec)
Siločaacutery elektrickeacuteho pole
Intenzita E
je vektorovaacute veličina
v každeacutem miacutestě popisuje elektrickeacute pole
je tečnou k elektrickeacute siločaacuteře
je orientovanaacute od kladneacuteho naacuteboje k zaacuteporneacutemu
Představme si elektrickeacute pole tvořeneacute naacutebojem Q Do tohoto pole umiacutestiacuteme naacuteboj q do
vzdaacutelenosti r Pak bude centraacutelniacute naacuteboj Q působit na vloženyacute naacuteboj q působit silou
02
04
1r
r
qQF
r
Intenzita elektrickeacuteho pole naacuteboje Q ve vzdaacutelenosti r je definovanaacute jako podiacutel siacutely F
a
vloženeacuteho naacuteboje q
q
FE
Jednotkou intenzita je NC-1
Po dosazeniacute za siacutelu z Coulombova zaacutekona dostaneme
q
rr
E r
02
04
1 pak
02
04
1r
r
QE
r
66
Vektor intenzity elektrickeacuteho pole
Nehomogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě jinyacute směr nebo velikost konstE
Pole na obraacutezku je radiaacutelniacute (paprsčiteacute)
Homogenniacute elektrostatickeacute pole
Vektor intenzity maacute v každeacutem bodě stejnyacute směr a stejnou velikost konstE
94 POTENCIAacuteL ELEKTROSTATICKEacuteHO POLE
Elektrostatickeacute pole je v každeacutem bodě popsaacuteno potenciaacutelem Potenciaacutel je skalaacuterniacute veličina
Jednotkou je volt V1 Množina bodů ktereacute majiacute stejnyacute potenciaacutel tvořiacute tzv
ekvipotenciaacutelniacute plochu (množinu bodů stejneacuteho potenciaacutelu)
Vektor intenzity E
je v přiacuteslušneacutem bodě kolmyacute k ploše
67
Mezi dvěma body elektrostatickeacuteho pole ktereacute majiacute rozdiacutelnyacute potenciaacutel je zavedena veličina
napětiacute
12 U
Jednotkou je volt V1U
Jestliže tyto dva body majiacute souřadnice 1x a 2x pak pro napětiacute U a intenzitu E platiacute vztah
12 xxEU nebo dEU
POZNAacuteMKA
Odtud je odvozena často použiacutevanaacute jednotka pro intenzitu Vm-1
95 NAacuteBOJ V HOMOGENNIacuteM ELEKTROSTATICKEacuteM POLI
Budeme uvažovat elektrostatickeacute pole o konstantniacutem vektoru elektrickeacute intenzity E
Do
tohoto pole vložiacuteme naacuteboj q Pole na tento naacuteboj bude působit silou EqF
a uděliacute mu podle
II Newtonova zaacutekona zrychleniacute
m
Eq
m
Fa
kde m je hmotnost naacuteboje
Dojde ke změně rychlosti naacuteboje a tiacutem i ke změně kinetickeacute energie Elektrickeacute pole přitom
vykonaacute praacuteci
68
2
1
2
22
1
2
1mvvmEW k
Praacutece jakeacutekoliv siacutely je určena jako skalaacuterniacute součin siacutely F
a posunutiacute sd
sEqsFW
Pro součin intenzity E a vzdaacutelenosti dvou miacutest ds elektrostatickeacuteho pole o rozdiacutelneacutem
potenciaacutelu 12 U platiacute
dEU 12
Pak
UqdEqW
Jestliže byl naacuteboj původně v klidu pak
2
1
2
22
1
2
1mvvmUqW
POZNAacuteMKA
Elektrostatickeacute pole tak působiacute jako urychlovač elektricky nabityacutech čaacutestic
96 KAPACITA VODIČE KONDENZAacuteTORY
Každyacute vodič je schopen pojmout určiteacute množstviacute naacuteboje Zaacutevisiacute na tvaru vodiče Tato
vlastnost se označuje jako kapacita vodiče Značiacute se C jednotkou je fahrad C =F
Praktickyacute vyacuteznam maacute soustava dvou vodičů ndash kondenzaacutetor Vodiče majiacute nejčastěji deskovyacute
tvar Majiacute plochu S jsou umiacutestěneacute ve vzdaacutelenosti d na deskaacutech je naacuteboj Q stejneacute velikosti
opačneacuteho znameacutenka mezi deskami je nevodiveacute prostřediacute (dielektrikum) Mezi deskami
vznikne elektrostatickeacute pole o intenzitě E s napětiacutem dEU
Pro kapacitu deskoveacuteho kondenzaacutetoru platiacute vztahy
U
QC
d
SC r 0
ŘAZENIacute KONDENZAacuteTORŮ
Seacuterioveacute řazeniacute - kondenzaacutetory jsou řazeny za sebou
Naacuteboj nemůže přechaacutezet přes toto nevodiveacute prostřediacute z jedneacute desky na druhou Na jedneacute
desce se shromaacuteždiacute naacuteboj kladnyacute Na druheacute desce se elektrostatickou indukciacute vytvořiacute naacuteboj
zaacutepornyacute Na druheacutem kondenzaacutetoru se obdobnyacutem způsobem shromaacuteždiacute naacuteboj stejně velkyacute
Napětiacute na kondenzaacutetorech je různeacute
69
Vyacuteslednaacute kapacita je
21
111
CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
Paralelniacute řazeniacute ndash kondenzaacutetory jsou řazeny vedle sebe
Elektrickyacute proud se v uzlu rozděliacute na dva podle velikosti kapacity jednotlivyacutech kondenzaacutetorů
Každyacute kondenzaacutetor se nabije jinyacutem naacutebojem Napětiacute je na obou kondenzaacutetorech stejneacute
Vyacuteslednaacute kapacita je
21 CCC
Po uacuteplneacutem nabitiacute elektrickyacute proud ustane
70
10 STACIONAacuteRNIacute ELEKTRICKEacute POLE
Stacionaacuterniacute elektrickeacute pole je charakterizovaacuteno konstantniacutem elektrickyacutem proudem
Elektrickyacute proud I je usměrněnyacute pohyb elektrickyacutech naacutebojů Jednotkou je ampeacuter AI
K vzniku elektrickeacuteho proudu je nutnyacute rozdiacutel potenciaacutelů ve vodiči ndash přiacutetomnost zdroje napětiacute
Z hlediska vodivosti rozdělujeme laacutetky na
Vodiče ndash vedou elektrickyacute proud obsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
Polovodiče - vedou elektrickyacute proud jen za určityacutech podmiacutenek
Nevodiče (izolanty) - nevedou elektrickyacute proud neobsahujiacute volneacute nosiče naacuteboje
101 VZNIK ELEKTRICKEacuteHO PROUDU VE VODIČI
K pevnyacutem elektricky vodivyacutem laacutetkaacutem patřiacute kovy Jsou to krystalickeacute laacutetky Atomy jsou
pravidelně uspořaacutedaacuteny v krystaloveacute mřiacutežce kde kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh
Elektrony z valenčniacute (posledniacute) sfeacutery jsou velmi slabě vaacutezaacuteny k jaacutedru a naviacutec jsou odstiacuteněny
elektrony ktereacute jsou na vnitřniacutech sfeacuteraacutech Zaacuteporneacute valenčniacute elektrony se uvolniacute se
z přitažlivosti kladneacuteho jaacutedra a volně se mohou pohybovat kovem Vytvaacuteřejiacute tzv
elektronovyacute plyn
Jestliže připojiacuteme kovovyacute vodič ke zdroji napětiacute elektrickeacuteho pole (baterii) vytvořiacute se ve
vodiči deacutelky l elektrickeacute pole o intenzitě E
71
Na každyacute elektron (naacuteboj q) začne pole působit elektrickou silou qEFe
a přinutiacute elektrony
pohybovat se směrem ke kladneacutemu poacutelu zdroje Pohybujiacute se proti směru intenzity
Vznikne elektrickyacute proud I
t
QI
Elektrickyacute prou je definovaacuten jako celkovyacute naacuteboj Q kteryacute projde vodičem za čas t
Celkovyacute naacuteboj
qnQ nebo pro elektron enQ
Kde e =160210-19
C je elementaacuterniacute naacuteboj (velikost naacuteboje elektronu)
72
Čiacutem deacutele elektrickyacute proud vodičem prochaacuteziacute tiacutem je množstviacute prošleacuteho naacuteboje většiacute
POZNAacuteMKA
Dohodnutyacute směr proudu (technickyacute proud) je proti směru pohybu elektronů od kladneacuteho
poacutelu zdroje k zaacuteporneacutemu poacutelu (ve směru intenzity elektrickeacuteho pole)
102 ODPOR VODIČE
Elektrony ktereacute se pohybujiacute vodičem naraacutežejiacute do kmitajiacuteciacutech atomů krystaloveacute mřiacuteže Tiacutem se
jejich pohyb zbrzdiacute Tyto sraacutežky jsou přiacutečinou elektrickeacuteho odporu R jednotkou je ohm
R
Velikost odporu je daacutena vztahem
S
lR
Kde je měrnyacute odpor l je deacutelka vodiče S je průřez vodiče
Jednotky jsou mmm 2 Sl
S rostouciacute teplotou se zvětšujiacute kmity atomů v krystaloveacute mřiacutežce Zvětšuje se frekvence kmitů
a roste rozkmit Tiacutem se zvyšuje pravděpodobnost sraacutežky elektronu s kmitajiacuteciacutem atomem a
roste odpor
TRR 10
Kde 0R je odpor při počaacutetečniacute teplotě 0T R je odpor při teplotě T je teplotniacute součinitel
odporu s jednotkou 1K
00 1 TTRR
ŘAZENIacute REZISTORŮ
Technickyacute naacutezev odporoveacute součaacutestky je rezistor
Seacuterioveacute řazeniacute - rezistory jsou řazeny za sebou
Každyacutem rezistorem prochaacuteziacute stejnyacute elektrickyacute proud I na každeacutem rezistoru je jineacute napětiacute U
Vyacuteslednyacute odpor je
21 RRR
73
Paralelniacute řazeniacute ndashrezistory jsou řazeny vedle sebe
Proud se v uzlu děliacute na dva proudy Každyacutem rezistorem podle velikosti jeho odporu prochaacuteziacute
jinyacute proud Napětiacute na obou rezistorech je stejneacute
Vyacuteslednyacute odpor je
21
111
RRR
103 OHMŮV ZAacuteKON
Charakterizuje souvislost mezi napětiacutem proudem a odporem vodiče
Pokud maacute kovovyacute vodič konstantniacute teplotu je proud prochaacutezejiacuteciacute vodičempřiacutemo
uacuteměrnyacute napětiacute mezi konci vodiče
Poměr napětiacute a proudu je konstantniacute Pak
RI
U IRU
Převraacutecenaacute hodnota určuje elektrickou vodivost RU
IG
1 jednotkou je siemens SG
JOULEOVO TEPLO
Při průchodu elektrickeacuteho proudu vodičem naraacutežejiacute elektrony do atomů krystaloveacute mřiacutežky
Elektrony předajiacute svou kinetickou energii atomům Dochaacuteziacute ke třeniacute a vodič se zahřiacutevaacute
Vyviacutejiacute se tak teplo Q Jednotkou Jouleova tepla je joule JQ
Množstviacute tepla zaacutevisiacute na
počtu prošlyacutech elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute proudu I
rychlosti elektronů ndash souvisiacute s velikostiacute napětiacute U
době t po kterou proud prochaacuteziacute
Platiacute
tIUQ
VYacuteKON ELEKTRICKEacuteHO PROUDU
Jouleovo teplo vyvinuteacute ve vodiči je jako forma energie rovna praacuteci elektrickeacuteho proudu
Pak vyacutekon elektrickeacuteho proudu je
IUt
tIU
t
QP
Jednotkou je watt WP
74
11 KMITAVYacute POHYB NETLUMENYacute
Kmitaacuteniacute je takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou
vzdaacutelenost od určiteacute polohy kterou nazyacutevaacuteme rovnovaacutežnou polohou RP Pohybuje se
periodicky z jedneacute krajniacute polohy (H) do druheacute krajniacute polohy (S) a zpět Jakyacutekoliv kmitajiacuteciacute
objekt se nazyacutevaacute oscilaacutetor
Mechanickeacute kmity hmotnyacutech bodů prostřediacute majiacute tu vyacutehodu že jsou naacutezorneacute a proto je
studujeme nejdřiacuteve
Ovšem za kmity (oscilace) považujeme jakyacutekoliv opakujiacuteciacute se periodickyacute děj při němž
dochaacuteziacute k pravidelneacute změně libovolneacute fyzikaacutelniacute veličiny v zaacutevislosti na čase Napřiacuteklad při
periodickeacute změně velikosti a orientace intenzity elektrickeacuteho pole nebo intenzity
magnetickeacuteho pole hovořiacuteme o elektrickyacutech nebo magnetickyacutech kmitech Popisujiacute je stejneacute
rovnice
111 Siacutela pružnosti
112 Pružina je charakterizovanaacute veličinou k kterou nazyacutevaacuteme tuhost pružiny Jednotkou tuhosti
pružiny je Nm-1
Při protaženiacute pružiny vznikaacute v pružině siacutela pružnosti pF jejiacutež velikost se v zaacutevislosti na
prodlouženiacute zvětšuje Siacutela pružnosti je orientovanaacute proti protaženiacute pružiny ndash vyacutechylce
z rovnovaacutežneacute polohy y
yF kp
Po uvolněniacute tělesa vznikaacute kmitavyacute pohyb
Největšiacute vzdaacutelenost kuličky od rovnovaacutežneacute polohy nazyacutevaacuteme amplitudou a značiacuteme A
Okamžitaacute vzdaacutelenost je okamžitaacute vyacutechylka (elongace) a značiacuteme ji y Jednotkou amplitudy a
okamžiteacute vyacutechylky je metr
Siacutela pružnosti je uacuteměrnaacute okamžiteacute vyacutechylce a je charakterizovanaacute vztahem
Kmitavyacute pohyb je pohyb periodickyacute Lze jej srovnat s jinyacutem periodickyacutem pohybem a sice
pohybem po kružnici
75
Doba za kterou se kulička dostane z jedneacute krajniacute polohy do druheacute a zpět se nazyacutevaacute perioda T
podobně jako doba jednoho oběhu hmotneacuteho bodu (kuličky) po kružnici Převraacutecenaacute hodnota
doby kmitu (periody) je frekvence f Jednotkou periody je sekunda jednotkou frekvence je
Hz=s-1
Platiacute
že T
f1
Uacutehlovaacute rychlost pohybu po kružnici je fT
22
Při kmitaveacutem pohybu použiacutevaacuteme pro termiacuten uacutehlovaacute frekvence a pro označeniacute faacuteze
Jednotkou je rads-1
jednotkou faacuteze je rad
Při rovnoměrneacutem pohybu po kružnici je uacutehlovaacute draacuteha t
112 Rovnice netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Siacutela pružnosti působiacuteciacute harmonickyacute kmitavyacute pohyb je ykFp
Tuto siacutelu lze podle Newtonova pohyboveacuteho zaacutekona zapsat ve tvaru ykam
Jejiacutem řešeniacutem je rovnice charakterizujiacuteciacute draacutehu hmotneacuteho bodu (okamžitou vyacutechylku y)
0
sin tAy
kde A je amplituda kmitu je uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho kmitaveacuteho
pohybum
k
2
0 je počaacutetečniacute faacuteze Jednotkou počaacutetečniacute faacuteze je rad Počaacutetečniacute faacuteze určuje
velikost okamžiteacute vyacutechylky v čase 0t s Vyacuteraz v zaacutevorce je faacuteze pohybu
Vzhledem k tomu že se při kmitaveacutem pohybu jednaacute o periodickou změnu okamžiteacute vyacutechylky
y v zaacutevislosti na čase t lze tuto veličinu v časoveacutem rozvinutiacute popsat pomociacute periodickeacute
funkce sinusTakovyacute pohyb nazyacutevaacuteme harmonickyacutem pohybem
Přiacuteklad Zaacutevažiacute o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se tiacutem prodloužiacute o
16 cm vzhledem ke sveacute nezatiacuteženeacute deacutelce
a) Jakaacute je tuhost pružiny
76
b) Daneacute zaacutevažiacute odstraniacuteme a na tuteacutež pružinu zavěsiacuteme zaacutevažiacute o hmotnosti 05 kg Poteacute
pružinu ještě poněkud protaacutehneme a uvolniacuteme Jakaacute bude perioda vzniklyacutech kmitů
Řešeniacute
m =4 kg y = 016 k =
a) Na těleso působiacute siacutela pružnosti a tiacutehovaacute siacutela ktereacute jsou v rovnovaacuteze pak
25245160
8194 kk
y
gmkgmyk Nm
-1
Tuhost pružiny je 24525 Nm-1
b) Pro tuhost pružiny platiacute 284025245
5022
4
2
22
k
mT
Tmk s
Perioda kmitů je 0284 s
113 Rychlost a zrychleniacute netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Rychlost kterou se těleso při kmitaveacutem pohybu pohybuje a jejiacute změnu si velmi dobře
představiacuteme když pozorujeme pohyb tenisty na zadniacute čaacuteře tenisoveacuteho kurtu Provaacutediacute
v podstatě kmitavyacute pohyb Rychlost v krajniacutech polohaacutech (amplitudaacutech) kdy se musiacute hraacuteč
zastavit je nulovaacute Rychlost kdy prochaacuteziacute středem (rovnovaacutežnou polohou) je maximaacutelniacute
Rychlost jakeacutehokoliv pohybu a tudiacutež i pohybu kmitaveacuteho určiacuteme derivaciacute draacutehy podle času
Protože drahou kmitaveacuteho pohybu je okamžitaacute vyacutechylka pak derivujeme rovnici pro
vyacutechylku podle času a dostaneme
0
cosd
d tA
t
yv
kde vyacuteraz Av 0
představuje maximaacutelniacute rychlost 0
v kterou kmitajiacuteciacute objekt prochaacuteziacute
rovnovaacutežnou polohou V amplitudě je rychlost nulovaacute
Pak rovnice
00
cos tvv
je rovnice rychlosti kmitaveacuteho pohybu
Zrychleniacute dostaneme derivaciacute rychlosti podle času Derivujeme tedy rovnici daacutele
Pak zrychleniacute je
0
2sin
d
d tA
t
va
kde vyacuteraz 2
0Aa je maximaacutelniacute zrychleniacute
0a Toto zrychleniacute maacute hmotnyacute bod
v amplitudě V rovnovaacutežneacute poloze je zrychleniacute nuloveacute
Pak rovnice zrychleniacute je
00
sin taa
77
Přiacuteklad Určete velikost rychlosti a zrychleniacute ve druheacute sekundě kmitaveacuteho pohybu
jestliže okamžitaacute vyacutechylka je daacutena vztahem
65sin40
ty (ms)
Řešeniacute
Z rovnice pro vyacutechylku 0
sin tAy určiacuteme amplitudu A = 04 m uacutehlovou frekvenci
-1rads5 a počaacutetečniacute faacutezi
60
rad
a) dosadiacuteme do vztahu pro okamžitou rychlost 0
cos tAv
Pak
610cos540
625cos540
v
Protože cosinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
452
3143540
6cos540
v ms
-1
b) dosadiacuteme do vztahu pro okamžiteacute zrychleniacute 0
2sin tAa
Pak
610sin540
65sin540
22
ta
Protože sinus je funkce periodickaacute můžeme psaacutet
3492
1143540
6sin540
22
a ms
-2
Velikost rychlosti daneacuteho kmitaveacuteho pohybu ve druheacute sekundě je 54 ms-1
velikost zrychleniacute
teacutehož pohybu je ve druheacute sekundě 493 ms-2
78
114 Praacutece sil pružnosti
Při vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na vychyacutelenyacute objekt siacutela pružnosti
ykFp Při posunutiacute o draacutehovyacute element ds vykonaacute elementaacuterniacute praacuteci dW
cosddd sFsFW
Protože siacutela pružnosti a vychyacuteleniacute majiacute opačnyacute směr je uacutehel 1180cos180
Obecnyacute draacutehovyacute element ds nahradiacuteme elementem vyacutechylky dy k je konstanta pružnosti
Pak praacutece sil pružnosti je
2
2
1dd1dcosd ykyykykyykyyFW p
2
2
1ykW
115 Potenciaacutelniacute energie pružnosti netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Potenciaacutelniacute energie zaacutevisiacute na vzaacutejemneacute poloze dvou objektů a na praacuteci kterou je nutneacute při
jejich vzdaacuteleniacute (přibliacuteženiacute) vykonat
Podobně jako u potenciaacutelniacute energie tiacutehoveacute (tiacutehovaacute siacutela gmFG ) je změna potenciaacutelniacute
energie rovna praacuteci
WE p
Zde konaacute praacuteci siacutela pružnosti
Potenciaacutelniacute energii pružnosti ziacuteskaacuteme jako praacuteci W potřebnou k vychyacuteleniacute hmotneacuteho bodu
z rovnovaacutežneacute polohy do vzdaacutelenosti y Při vyacutechylce y působiacute na hmotnyacute bod siacutela pružnosti
ykFp
Potenciaacutelniacute energii pružnosti pak stanoviacuteme vyacutepočtem (viz vyacuteše)
2
0
22
2
1
2
1
2
1d
0
0
kykyykykyWEy
y
y
y
p
kde m00 y pak
2
2
1ykE p
Představuje přiacuterůstek potenciaacutelniacute energie pružnosti hmotneacuteho bodu vzhledem k potenciaacutelniacute
energii hmotneacuteho bodu v rovnovaacutežneacute poloze při vychyacuteleniacute do vzdaacutelenosti y Potenciaacutelniacute
energie pružnosti (protože je ovlivňovanaacute silou pružnosti) měniacute během periody svou velikost
v zaacutevislosti na vyacutechylce y V libovolneacutem časoveacutem okamžiku maacute hodnotu určenou vztahem
0
22sin
2
1 tAkE
p
Potenciaacutelniacute energie pružnosti zaacutevisiacute na okamžiteacute vyacutechylce Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
79
Poznaacutemka
V rovnovaacutežneacute poloze je potenciaacutelniacute energie pružnosti nulovaacute v amplitudaacutech je maximaacutelniacute a
jejiacute hodnota je určenaacute vztahem
2
max 2
1AkE
p
116 Kinetickaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Kinetickaacute energie je určena znaacutemyacutem vztahem 2
2
1vmE
k Po dosazeniacute odvozeneacuteho vztahu
pro rychlost 0
cos tAv harmonickeacuteho pohybu dostaneme
0
222cos
2
1 tAmE
k
Použitiacutem vztahu
m
k
2
zapiacutešeme kinetickou energii ve tvaru
0
22cos
2
1 tAkE
k
Kinetickaacute energie je zaacutevislaacute na okamžiteacute hodnotě rychlosti Měniacute v průběhu harmonickeacuteho
pohybu svou velikost
Poznaacutemka
Protože je určenaacute rychlostiacute oscilaacutetoru je v amplitudaacutech nulovaacute při průchodu rovnovaacutežnou
polohou je maximaacutelniacute
Maximaacutelniacute kinetickaacute energie v rovnovaacutežneacute poloze je stanovena vyacuterazem
2
max 2
1AkE
k
117 Celkovaacute energie netlumeneacuteho kmitaveacuteho pohybu
Celkovaacute energie E harmonickeacuteho pohybu je v každeacutem okamžiku rovna součtu energie
kinetickeacute Ek a potenciaacutelniacute energie pružnosti Ep
pkEEE
Jestliže sečteme okamžiteacute hodnoty kinetickeacute energie a potenciaacutelniacute energie pružnosti
dostaneme celkovou energii kmitaveacuteho pohybu
80
0
22
0
22sin
2
1cos
2
1 tAktAkEEE
pk
Uacutepravou ziacuteskaacuteme
2
0
2
0
22
2
1sincos
2
1AkttAkE
Pro celkovou energii kmitaveacuteho pohybu tedy platiacute vztah
2
2
1AkE
Protože tuhost pružiny k je pro každou pružinu konstantniacute a amplituda A netlumenyacutech kmitů
je rovněž konstantniacute je i celkovaacute energie harmonickeacuteho pohybu konstantniacute
Energie potenciaacutelniacute a kinetickaacute jsou s časem proměnneacute a přeměňujiacute se navzaacutejem
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
-1ms2sin3 ty Určete jeho potenciaacutelniacute energii v bodě vratu
Řešeniacute
m = 2 kg A = 3 m ω = 2 rads-1
Ep =
Pro potenciaacutelniacute energii platiacute vztah 2
2
1ykE
p V bodě vratu je vyacutechylka rovna amplitudě
363222
1
2
1 2222 AmE
p J
Potenciaacutelniacute energie je 36 J
81
Přiacuteklad Těleso hmotnosti 2 kg konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb podle rovnice
ms3sin20 ty Ve vzdaacutelenosti 01 m od rovnovaacutežneacute polohy maacute potenciaacutelniacute energii
009 J Určete v teacuteto poloze jeho kinetickou energii
Řešeniacute
m = 2 kg A =02 m ω =3 rads-1
Ep = 009 J Ek =
Celkovaacute energie 2
2
1AkE je rovna součtu EEE
kp Pak
27009020322
1
2
1 222
ppkEAmEEE J
Kinetickaacute energie je 0027 J
Přiacuteklad Těleso konaacute netlumenyacute harmonickyacute pohyb Perioda pohybu je 2 s Celkovaacute
energie tělesa je 310-5
J a maximaacutelniacute siacutela působiacuteciacute na těleso maacute velikost 1510-3
N Určete
amplitudu vyacutechylky
Řešeniacute
T = 2 s E = 310-5
J Fm =1510-3
N A =
Celkovaacute energie je 2
2
1AkE maximaacutelniacute siacutela je AkF
m Vyjaacutedřiacuteme
A
Fk m
Dosadiacuteme do vztahu pro energii pak
5
3
52
1041051
10322
2
1
2
1
mm
m
F
EAAFEA
A
FE m
Amplituda vyacutechylky je 410-5
m
82
12 MECHANICKEacute VLNĚNIacute
Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonickyacute pohyb izolovaneacute čaacutestice (hmotneacuteho bodu
nebo tělesa) kteraacute konala kmitavyacute pohyb kolem rovnovaacutežneacute polohy
Jestliže takovyacute objekt bude součaacutestiacute hmotneacuteho prostřediacute (tuheacuteho kapalneacuteho plynneacuteho) pak
se kmity neomeziacute jen na samotnyacute hmotnyacute bod ale budou se přenaacutešet i na sousedniacute body
tohoto prostřediacute
Z miacutesta prvotniacuteho kmitu ndash zdroje ndash se bude přenaacutešet rozruch i na ostatniacute body prostřediacute
Řiacutekaacuteme že v prostřediacute vznikaacute vlněniacute přiacutepadně že prostřediacutem se šiacuteřiacute postupnaacute vlna
Typickyacutem přiacutekladem vzniku vlniveacuteho pohybu je vlnivyacute pohyb kteryacute vznikaacute na vodniacute hladině
po dopadu kamene Molekuly vodniacute hladiny jsou postupně uvedeny do kmitaveacuteho pohybu
V tomto přiacutepadě se šiacuteřiacute ze zdroje vlněniacute (miacutesta rozruchu) rovinnaacute vlna
Dalšiacutem přiacutekladem může byacutet rozkmitaacuteniacute volneacuteho konce hadice rukou
Jednotliveacute body pouze kmitajiacute kolem rovnovaacutežnyacutech poloh Tato poloha zůstaacutevaacute staacutelaacute
Vlněniacute je jedniacutem z nejrozšiacuteřenějšiacutech fyzikaacutelniacutech dějů Šiacuteřiacute se jiacutem zvuk světlo pohyby
v zemskeacute kůře při zemětřeseniacute Vlněniacute maacute různou fyzikaacutelniacute podstatu a může miacutet i složityacute
průběh Zaacutekladniacute poznatky o vlněniacute je možneacute nejsnadněji objasnit na vlněniacute mechanickeacutem
121 Popis mechanickeacuteho vlněniacute
Nejpřehlednějšiacute je vlnivyacute pohyb v bodoveacute řadě kdy jedna jejiacute čaacutestice začnkmitat Vznikne
lineaacuterniacute postupnaacute vlna Body prostřediacute mohou kmitat v libovolnyacutech směrech
1 napřiacuteč ke směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash přiacutečnaacute vlna
83
2 podeacutel směru šiacuteřeniacute vlněniacute ndash podeacutelnaacute vlna
122 Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute
V daneacutem hmotneacutem prostřediacute se vlněniacute šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute v To znamenaacute že pro popis
rychlosti můžeme použiacutet vztah pro rychlost rovnoměrneacuteho pohybu
t
sv
Vzdaacutelenost do ktereacute se rozruch rozšiacuteřiacute za dobu kmitu ( periodu ) T krajniacuteho bodu se nazyacutevaacute
vlnovaacute deacutelka Jednotkou vlnoveacute deacutelky je m
Perioda T je doba kmitu jednoho bodu řady Jednotkou je sekunda (s)
Převraacutecenou hodnotou periody je frekvence f Jednotkou je hertz (Hz=s-1
) Platiacute
Tf
1
Jednotkou periody je s jednotkou frekvence je s-1
nebo teacutež Hz
Uacutehlovaacute frekvence (rads-1
) je na zaacutekladě teorie kmitaveacuteho pohybu danaacute vztahem
Tf
22
Pak rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je možneacute vyjaacutedřit vztahem
T
v
nebo fv
Rychlost v nazyacutevaacuteme faacutezovou rychlostiacute
84
Pak vlnovaacute deacutelka je nejkratšiacute vzdaacutelenost dvou bodů ktereacute kmitajiacute se stejnou faacuteziacutePři
přestupu vlněniacute do jineacuteho prostřediacute zůstaacutevaacute frekvence stejnaacute měniacute se faacutezovaacute rychlost a vlnovaacute
deacutelka
Přiacuteklad Prostřediacutem se šiacuteřiacute postupneacute vlněniacute jehož uacutehlovaacute frekvence je 12 rads-1
a
rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute je 6 ms-1
Určete vlnovou deacutelku tohoto vlněniacute
=12 rads-1
v = 6 ms-1
Pro vlnovou deacutelku platiacute ze vztahu pro faacutezovou rychlost f
v
Frekvenci f kmitaveacuteho pohybu vyjaacutedřiacuteme ze vztahu f 2 Pak
2f
Po dosazeniacute do vztahu pro vlnovou deacutelku je 112
262
vm
Vlnovaacute deacutelka je 1 m
123 Matematickeacute vyjaacutedřeniacute okamžiteacute vyacutechylky postupneacute vlny
Budeme uvažovat řadu bodů Krajniacute bod řady (droj vlněniacute) kmitaacute s vyacutechylkou popsanou
rovniciacute
tAu sin
Poznaacutemka
Okamžitaacute vyacutechylka hmotneacuteho bodu z rovnovaacutežneacute polohy při vlniveacutem pohybu se obvykle značiacute
u
Bod řady ve vzdaacutelenosti x bude uveden do kmitaveacuteho pohybu s časovyacutem zpožděniacutem
Pak rovnice pro vyacutechylku tohoto bodu bude zapsanaacute ve tvaru
-tsinAu
Protože vlněniacute se šiacuteřiacute konstantniacute rychlostiacute pak
v
xxv
Dosadiacuteme do vztahu pro vyacutechylku
v
xtAu -sin
Protože faacutezovaacute rychlost je T
v
pak
xT
tA
T
xtAu sin-sin
85
Vzhledem k tomu že T
2 pak
xTt
TAu
2sin
Po uacutepravě ziacuteskaacuteme rovnici
x
T
tAu 2sin
Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou vyacutechylku bodu kteryacute ležiacute ve vzdaacutelenosti x od
zdroje vlněniacute v časoveacutem okamžiku t
Jestliže nebudeme uvažovat uacutetlum vlněniacute v daneacutem prostřediacute pak amplituda kmitů
jednotlivyacutech bodů řady bude stejnaacute
Vlněniacute se šiacuteřiacute v kladneacutem směru osy x V přiacutepadě že by se vlněniacute šiacuteřilo opačnyacutem směrem bylo
by v rovnici kladneacute znameacutenko
Přiacuteklad Jakou rovnici maacute vlna o frekvenci 40 Hz amplitudě 2 cm kteraacute postupuje
rychlostiacute 80 ms-1
a) v kladneacutem směru osy x
b) v zaacuteporneacutem směru osy x
Řešeniacute
f = 40 Hz A = 002 m v = 80 ms-1
a)Rovnice okamžiteacute vyacutechylky vlny je
x
T
tAu 2sin
Vlnovaacute deacutelka
m240
80
f
v
Můžeme ji přepsat do tvaru
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
b)V rovnici změniacuteme pro orientaci znameacutenko
m2
40sin202sin
xt
xtfAu
124 Faacutezovyacute a draacutehovyacute rozdiacutel
Jestliže rovnici pro okamžitou vyacutechylku
86
x
T
tAu 2sin
upraviacuteme na tvar
xtA
x
T
tAu 2sin22sin
A srovnaacuteme s rovniciacute kmitaveacuteho pohybu
tAu sin
pak člen
x
2
představuje faacutezovyacute posuv bodu ve vzdaacutelenosti x od zdroje vlněniacute vůči tomuto bodu
Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdaacutelenostech x1 a x2 pak jejich faacutezovyacute rozdiacutel
bude
xxxxx
2222 12
1212
Faacutezovyacute rozdiacutel bude uacuteměrnyacute draacutehoveacutemu rozdiacutelu x
Jestliže budeme uvažovat dva body řady jejichž vzaacutejemnaacute x vzdaacutelenost bude rovna sudeacutemu
naacutesobku polovin vlnovyacutech deacutelek 2
2
kx to je kx kde 321k pak faacutezovyacute
rozdiacutel bude roven k2 a oba body budou kmitat ve faacutezi Budou dosahovat maxima
a minima současně
Přiacuteklad Určete faacutezovyacute rozdiacutel mezi dvěma body ktereacute ležiacute ve vzdaacutelenostech cm161 x a
cm482 x od zdroje vlněniacute jestliže vlněniacute se šiacuteřiacute rychlostiacute -1ms128v s frekvenciacute
Hz400f
87
Řešeniacute
x1 = 016 m x2 = 048 m v = 128 ms-1
f = 400 Hz
Faacutezovyacute rozdiacutel je
12
2xx
K vyacutepočtu je nutneacute určit vlnovou deacutelku
m320400
128
f
v
Pak
rad2320320
2160480
320
2
Body budou ve faacutezi