Post on 05-Jan-2016
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TEORIA DAS FILAS
Introdução
Por que aparecem as filas? Não é eficiente, nem racional, que cada
um disponha de todos os recursos individualmente. Por exemplo:que cada pessoa disponha do uso exclusivo
de uma rua para se movimentarque cada pessoa tenha um supermercado
para o seu abastecimento exclusivo Recursos limitados devem ser
compartilhados.
Introdução
Ao compartilhar recursos, pode acontecer que no momento em que se queira fazer uso de um recurso, este esteja ocupado, necessidade de esperaraparecem as filas
Exemplo: nos sistemas de fluxo pode acontecer a formação de filas
Sistemas de fluxo Um fluxo é o movimento de alguma entidade
através de um ou mais canais de capacidade finita para ir de um ponto a outro.
Capacidade finita significa que o canal só pode satisfazer a demanda a uma taxa finita.
Exemplos:fluxo de automóveis (entidades) através de uma
rede de caminhos (canais)transmissão de mensagens telefônicas
(entidades) através da rede (canal)
Sistemas de fluxo
Se dividem em duas classes:Determinísticos: sistemas no qual o
comportamento da demanda de serviço é totalmente previsível, isto é, a quantidade de demanda é exatamente conhecida sobre o intervalo de interesse.
Aleatório: não é possível predizer como vai se comportar a demanda de serviço, por exemplo, o instante de chegada de uma demanda é imprevisível.
Sistemas de fluxo
Exemplo de fluxo determinístico:Seja r a taxa de chegada (constante) de
pacotes em uma rede de comutação a um buffer.
Seja c a taxa (constante) com que esses pacotes são processados em cada nó.
Se r > c, o buffer do nó é inundado com pacotes, já que o número de pacotes em espera de serviço crescerá indefinidamente.
Se r < c, se tem um fluxo estável, o número de pacotes em espera de serviço é finito.
Sistemas de fluxo
Exemplo de fluxo aleatório:Um centro de computação em que as
solicitações de impressão podem chegar em instantes imprevisíveis.
Quando um trabalho de impressão chega, pode ser que o servidor esteja atendendo outro e seja necessário esperar.
Se está desocupado, pode atender imediatamente à nova solicitação de impressão até que esta fique completa.
Teoria das filas
Representação de uma fila
1
2
m
Fila
Servidores
Chegadas ao sistema
Saídas dosistema
sistema
Teoria das filas
Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
distribuição dotempo entre chegadas
Alguns valores de A mais comuns:
M: denota distribuição exponencial equivalente (M provém de Markoviano)
G: distribuição geral
D: representa um tempo fixo (determinístico)
Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
distribuição dotempo entre chegadas
distribuição dotempo de serviço
Alguns valores de B mais comuns:
M: denota distribuição exponencial equivalente (M provém de Markoviano)
G: distribuição geral
D: representa um tempo fixo (determinístico)
Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
distribuição dotempo entre chegadas
distribuição dotempo de serviço
número deservidores
Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
distribuição dotempo entre chegadas
distribuição dotempo de serviço
número deservidores
número máximo de clientes permitidos
no sistema
K é omitido quando:
K =
Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
distribuição dotempo entre chegadas
distribuição dotempo de serviço
número deservidores
número máximo de clientes permitidos
no sistema
tamanho da população
m se omite quando:
m =
Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila:
A/B/C/K/m/Z
distribuição dotempo entre chegadas
distribuição dotempo de serviço
número deservidores
número máximo declientes permitidos
no sistema
tamanho da população
disciplina de serviço
Z se omite quando:
= FIFO
Teoria das filas Notações usadas nos sistemas de filas:
Ci: i-ésimo usuário que entra ao sistema.
ri: tempo de chegada de Ci
ti: tempo entre as chegadas de Ci-1 e Ci (ti = ri - ri-1)
A(t): distribuição do tempo entre chegadas = P[t it]
xi: tempo de serviço para Ci
B(x): distribuição do tempo de serviço = P[x i x]
wi: tempo de espera na fila de Ci
se: tempo no sistema (fila mais serviço) de C i (se = wi + xi)
Teoria das filas
Notação de filas em diagrama temporal
Ci-1 Ci Ci+1 Ci+2
se
ri ri+1 ri+2
wi xi xi+1 xi+2
Ci Ci+1 Ci+2
ti+1 ti+2
Tempo
Servidor
Fila
Ci Ci+1 Ci+2
Teoria das filas
Notações usadas nos sistemas de filas (cont.) Ek: estado do sistema (normalmente
corresponde ao número de usuários no sistema)
ktaxa média de chegada dos usuários ao sistema, quando este se encontra no estado k
k: taxa média de serviço quando o sistema se encontra no estado k
Teoria das filas
Outros parâmetros de uma fila:N(t): número de usuários no sistema no
instante t L = E[k]: número médio de usuários no
sistema (em estado estacionário)LQ: número médio de usuários na fila (em
estado estacionário).T = E[s]: tempo médio de permanência de um
usuário no sistema = E[k]/ (fórmula de Little)
CADEIAS DE MARKOV DISCRETAS
Cadeias de Markov discretas
Markov estabeleceu uma simples e útil relação entre as variáveis aleatórias que forman processos estocásticos
Definições
Estado: se Xn= i diz-se que o processo está no estado i no instante n, onde {Xn, n=0,1,2...} é um processo estocástico que passa por um número finito ou contável de possíveis estados.
Transição: a transição de um estado a outro depende somente do estado atual, e não da história do processo
Observações
No caso das cadeias discretas de Markov, os instantes de tempo nos quais a transição entre um estado e outro acontecem podem asumir apenas valores inteiros 0, 1, 2..., n. Em outras palavras, o tempo é discretizado.
Os processos devem permanecer num estado determinado durante um tempo que deve estar geométricamente distribuído.
0
Observações
Propriedade Markoviana:
P{Xn+1 = j | Xn = i, Xn-1= in-1,... X0 = i0}
=P{Xn+1 = j | Xn = i} = Pij 0
Interpretação (sistema sem memória):
A transição de um estado para outro só depende do estado atual, e não da história do processo.
Cadeias de Markov discretas
1 2 3 4 5
Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena
t
Me leva?
Xn denota a cidade na qual encontra-se o turista ao meio-dia no dia n
...
X1 X2 X3 X4 X5
Cadeias de Markov discretas
1 2 3 4 5
Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena
t
Me leva?
...
Cadeias de Markov discretas
1 2 3 4 5
Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena
t
Me leva?
...
Cadeias de Markov discretas
1 2 3 4 5
Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena
t
Me leva?
...
Cadeias de Markov discretas
1 2 3 4 5
Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena
Continuarei mais aoNorte?
t
...
Cadeias de Markov discretas Da minha viagem,n posso lhes dizer que:
Nos processos de Markov, o estado atual do sistema e as probabilidades de transição entre os diversos estados caracterizam o comportamento futuro do sistema.
Já que um processo de Markov está num estado determinado, seu comportamento futuro não depende de sua história antes de chegar a esse estado.
Y i( )
Definições Cadeias de Markov são processos
estocásticos {X(t)} que satisfazem:
pij: probabilidade de transição do estado i para o estado j depende somente do estado i
P=[pij]: matriz de probabilidade de transição
: tempo em que o processo permanece no estado i, sem memória
Santiago
Valpo
Serena
1/4
3/4
1/4
1/4
1/4
3/4
1/2(0)
(2)
(1)
Exemplo Considerando-se apenas o trajeto
Santiago-Valparaíso-Serena, tem-se graficamente:
Santiago
Valpo
Serena
1/4
3/4
1/4
1/4
1/4
3/4
1/2(0)
(2)
(1)
Números nos arcos dão a probabilidade pij do viajante ser recolhido por um carro
Probabilidade do viajante permanecer em Serena até o dia seguinte é 1/2
Números entre parênteses usados posteriormente
Matriz de probabilidades de transição:
Santiago
Valpo
Serena
1/4
3/4
1/4
1/4
1/4
3/4
1/2(0)
(2)
(1)
P
0 3 4 1 4
1 4 0 3 4
1 4 1 4 1 2
/ /
/ /
/ / /
1
2
3
Estados 1 e 2 são transientes
Definições Num processo de Markov, se diz que um
estado Sj é transiente se, de algum estado Sk que pode ser alcançado desde Sj, o sistema não pode voltar a Sj. A probabilidade de não voltar a si mesmo existe.
1
2
3
Estados 1, 2 e 3 são recorrentes
Definições
Se diz que um estado é recorrente se de cada estado Sk alcançável a partir de Sj, o sistema pode voltar a Sj.
Cadeias de Markov discretas Exemplo 1: “predição do tempo” Dois estados possíveis:
0: chuva
1: não chuva Hipótese: o tempo amanhã só depende
de hoje (processo sem memória) Chove hoje probabilidade de chover
amanhã = Não chove hoje probabilidade de chover
amanhã =
P
1
1
0 10
1
Graficamente:
0 1
1 1
Cadeias de Markov discretas Cadeia de Markov fica definida por:
Andar 3
Andar 2
Andar 1
Estados:
E
Cadeias de Markov discretas Exemplo 2: “transformar um processo
não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”
Considere-se um elevador em um prédio de três andares:
Cadeias de Markov discretas Processo não-Markoviano, porque no
estado 2 é necessária a informação do estado anterior (1 ou 3) para saber qual será a direção do elevador.
Para que o processo seja Markoviano, se faz necessária uma redefinição dos estados.
1: Andar 2, sentido acima
Redefinição dos estados:
E
0: Andar 1, sentido acima
2: Andar 3, sentido abaixo
3: Andar 2, sentido abaixo
Cadeias de Markov discretas Exemplo 2: “transformar um processo
não-Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”
0
111
1
0: andar 1, sentido acima 1: andar 2, sentido acima
2: andar 3, sentido abaixo 3: andar 2, sentido abaixo
1 2 3
Cadeias de Markov discretas Da redefinição obtém-se o novo diagrama
de estados:
Cadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo
não-Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”
Choveu, choveu amanhã choverá: p=0,7 Não-choveu, choveu amanhã choverá:
p=0,5 Choveu, não choveu amanhã choverá:
p=0,4 Não choveu, não choveu amanhã
choverá: p=0,2
Usando a definição anterior NÃO é processo de Markov
Cadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo
não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”
Motivo: há contradição; precisa-se de informação não só do dia presente, mas também do anterior.
Redefinição de estados: se o estado depende do tempo de ontem e hoje então SIM, pode ser Markoviano
Para transformar um processo não-Markoviano em Markoviano (se possível), devem ser redefinidos os estados de maneira adequada.
Cadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo
não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”
Portanto, se são redefinidos os seguintes estados:
0: Choveu, choveu
1: Não choveu, choveu
2: Choveu, não choveu
3: Não choveu, não choveu
Cadeias de Markov discretas
0: Choveu, choveu 1: Não choveu, choveu
2: Choveu, não choveu 3: Não choveu, não choveu
Estados:
P
0 7 0 0 3 0
0 5 0 0 5 0
0 0 4 0 0 6
0 0 2 0 0 8
, ,
, ,
, ,
, ,
Cadeia de Markov definida pela matriz de probabilidade de transição:
Definições
i = probabilidade estacionária de estar no estado i
i(n) = probabilidade de estar no estado I no instante n
i(0) = probabilidade inicial de estar no estado i
=(0, 1, 2, …, n)
Por definição: ( ) ( )1 0 P
Definições
Exemplo:
Aplicando recursivamente:
ou
01
11
00
10 00 01
10 11
( ) ( ) ( ) ( )
P P
P P
( ) ( )n n P
1
( ) ( )n nP0
P
lim Pn
n( )0
Definições Se a cadeia de Markov é irredutível e
ergódica, então:
existe e é denominada a probabilidade límite de P, ou autovetor esquerdo de P.
Obtenção de :
P
0 7 0 3
0 4 0 6
. .
. .
Exemplo 3: utilizando o exemplo 1, se a probabilidade de que choverá hoje é 0.2 e
Qual é a probabilidade incondicional de que amanhã choverá?
Cadeias de Markov discretas
02 0800 10. .P P
0 2 0 7 0 8 0 4 0 46. . . . .
Cadeias de Markov discretas
Aplicando o teorema da probabilidade total:
seja a probabilidade incondicional de que choverá amanhã.
= P(amanhã choverá | hoje choveu) +
P(amanhã choverá | hoje não choveu)
Cadeias de Markov discretas Exemplo 4: utilizando o exemplo 1
Se e então a probabilidade límite de que choverá é
0 0 1
1 0 11 1 ( ) ( )
0 1 0 1
1
1
0 7. 0 4.
1 0 1
0 1 4 7 3 7/ /
Santiago
Valpo
Serena
1/4
3/4
1/4
1/4
1/4
3/4
1/2(0)
(2)
(1)Me leva?
Cadeias de Markov discretas
Voltando ao exemplo do turista:
P
0 3 4 1 4
1 4 0 3 4
1 4 1 4 1 2
/ /
/ /
/ / /
0 1 2
Do diagrama de estados pode obter-se a matriz de probabilidades de transição
definindo-se a matriz de probabilidade como:
Cadeias de Markov discretas
Cadeias de Markov discretas
Considerando-se a relação
obtém-se que
com
P
2102
2101
2100
2
1
4
1
4
14
10
4
34
3
3
4
10
1 0 1 2
Cadeias de Markov discretas
Resolvendo-se as equações obtém-se as probabilidades em estado de equilíbrio:
0
1
2
1
5020
7
25028
13
25052
.
.
.
CADEIAS DE MARKOV DE TEMPO CONTÍNUO
Cadeias de Markov detempo contínuo Definição: uma cadeia de Markov de
tempo contínuo é um processo aleatório em que, dado o estado presente, o valor do processo no futuro não depende do passado.
É como uma cadeia de Markov discreta, com a diferença de que o tempo de permanência em um estado é uma variável aleatória com distribuição exponencial.
Cadeias de Markov detempo contínuo
Evolução a partir de um estado:
i
j
k
ij
ik
ij
ik
: taxa média de saída do estado i para o estado j: taxa média de saída do estado i para o estado k: probabilidade de transitar do estado i ao estado j, no momento da transição
Pij
Cadeias de Markov detempo contínuo
Definição:tij (tik): tempo de permanência no estado i
antes de transitar para j (k), caso passe para j(k).
tij e tik são variáveis aleatórias com distribuição exponencial de parâmetros ij e ik respectivamente.
Seja t o tempo de permanência no estado i. Do anterior se deduz que :
t = min { tij , tik }
t se distribui exponencialmente com parâmetro ( ij+ ik)
Cadeias de Markov detempo contínuo
Propriedades:
O tempo de permanência em um estado é Markoviano (processo sem memória)
A escolha do próximo estado se efetua no instante da transição e só depende do estado atual e não do passado, portanto é Markoviano.
Cadeias de Markov detempo contínuo Dado que o tempo de permanência em
qualquer estado e a escolha do próximo estado são Markovianos, então tem-se uma cadeia de Markov de parâmetro contínuo.
As variáveis aleatórias “tempo de permanência no estado i” e “próximo estado visitado” são independentes.
Cadeias de Markov detempo contínuo
Definição formal:
Um processo aleatório X(t) é uma cadeia de Markov de tempo contínuo se:
suuxuXisXjstXP 0),()(,)(|)(
isXjstXP )(|)(
Cadeias de Markov detempo contínuo Exemplo : processo de Poisson
t t+s
N(t+s) = j
N(t) = i
j-i arribos
N(t): estado no instante t N(t): número de chegadas
até t
]},(){(
})(/)({
}0)()(,)(/)({
sttemchegadasijP
itNjstNP
tuuXuNitNjstNP
N( )
j-i chegadas
O que é resolver uma cadeia de Markov?
É encontrar as probabilidades de transição de qualquer estado i a qualquer estado j em um dado instante.
Para resolver este problema se utilizará o princípio do balanço global
Princípio de balanço global
i
i11
k ki
2 2i
i i1
i i2
i ij
. . . . . .
Definições:
Princípio de balanço global
k: probabilidade em regime estacionário de estar no estado k
Outra interpretação: fração de tempo que o sistema fica no estado k.
Unidad de tiempo
k
Definições:
+ +
Unidad de tiempo
k
Unidade de tempoUnidade de tempo
Princípio de balanço global
k(t): probabilidade de estar no estado k no
instante t
ki: taxa média de transição do estado k
para o estado i
k· ki: número médio de transições do
estado k ao estado i, por unidade de tempo.
Definições:
lim tt
k k ( )
Princípio de balanço global
i
1 1( )t ti
k kit t( )
i it t( ) 1
i ijt t( )
. . . . . .
Número médio de entradas de qualquer estado k ao estado i em t
número médio de saídas do estado i a qualquer estado j em t
Princípio de balanço global
Número de entradas totais ao estado i emt:
Número de saídas totais desde o estado i em t:
k kik
t t o t( ) ( )
i ijj
t t o t( ) ( )
Princípio de balanço global
Balanço de fluxos
Entradas líquidas médias por unidade de tempo (EN)
número médio de entradas totais por unidade de tempo
número médio de saídas totais por unidade de tempo
= -
Considerando-se o número de entradas líquidas em um intervalo t, se tem que:
EN t t t t o tk kik i
i ijj i
( ) ( ) ( )
Princípio de balanço global
O número de entradas líquidas em t pode ser interpretado como:
Unidad de tiempo
+ +
+ +
i t
i t t
EN t t t t o t
t o ti i
i
( ) ( ) ( )
( ) ( )
i t
Unidade de tempo
Princípio de balanço global Usando-se novamente o balanço de
fluxos:
(1)
Variação do tempo de permanência no estado i, por unidade de tempo
número de entradas totais em t
número de saídas totais em t
= -
i k kik i
i ijj i
t t t t o t( ) ( ) ( ) ( )
Esta variação pode expressar-se em forma da equação de diferenças:
Princípio de balanço global
ik ki
k ii ij
j i
t
tt t
o t
t
( )( ) ( )
( )
Dividindo por t em (1):
Tomando-se o limite em (2):limt 0
(2)
ik ki
k ii ij
j i
t
tt t
( )( ) ( )
(3)
“ Equação de balanço global para o estado i”
Princípio de balanço global
ik ki
k ii ij
j i
t
tt t
( )( ) ( )
ii n
i
ijj i
ni
t
tt t t
( )( ) ... ( ) ... ( )
:
:
0
0
Equação de balanço global para um estado i qualquer:
Pode-se reescrever em forma vetorial da seguinte maneira:
Princípio de balanço global
( ) ( ) ... ( ) ... ( )t t t ti n 0
Q
jj
i n
i ijj i
in
n ni njj n
00
0 0
0
0
... ...
: : :
... ...
: : :
... ...
( ) ( )...
( )...
( )t
t
t
t
t
t
t
ti n
0
Definindo-se:
Equações de balanço global
O conjunto das equações de balanço global pode expressar-se em forma matricial como:
( )
( )t
tt Q
Além disso, sempre:
ii
t( ) 1
“Equações de balanço global”
Equações de balanço global
Em estado estacionário se tem que:
fluxo de entrada = fluxo de saída
Q0
“Equações de balanço global em estado estacionário”
ii
1
Equações de balanço global Os conjuntos de equações anteriores
servem para resolver tanto a situação
transiente como estacionária da cadeia
de Markov. Isto é, nos permite encontrar
as probabilidades de transição de
qualquer estado i a qualquer estado j
num intervalo t qualquer (Pij(t)).
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Uma máquina funciona uma quantidade de
tempo exponencialmente distribuída com média 1/Quando falhase repara com a mesma distribuição em um tempo médio 1/. Inicialmente, a máquina encontra-se funcionando.
Deseja-se determinar a probabilidade de que a máquina esteja funcionando em um instante t dado. Inicialmente a máquina se encontra operacional.
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
0 1
EnReparación
Operacional
Se tem que :
01 10
( ) ( ) ( )0 0 0 1 00 1
Condições iniciais:
Em reparo
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
Equações de balanço global estabelecem que:
( )( ) ( )
t
tt t
0 1
0 1 1( ) ( )t t
ik ki
k ii ij
j i
t
tt t k i j
( )( ) ( ) , , ,
0 1
Forma escalar da equação anterior é:
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
Portanto:
00 1
( )( ) ( )
t
tt t
10 1
( )( ) ( )
t
tt t
0 1 1( ) ( )t t
(4)
(5)
(6)
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
0 ( ) ( )t e t
Resolvendo (4), (5) e (6), obtém-se:
1( ) ( )t e t
Exemplo: Cadeia de Markov de dos estados
Resolvendo em estado estacionário, obtém-se:
0 1 0( ) ( )t
t
t
t
0 1 0
0 1 0
0 1 1
(7)
(8)
(9)
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
Resolvendo (7), (8) e (9), obtém-se :
0
1
Também pode chegar-se a este resultado através das equações em estado transiente, fazendo tender o parâmetro t a infinito.
Observação:
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
=2
=5
=7
0
t
Gráfico de 0 com =4
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
=2
=5
=7
0
t
Gráfico de 0 com =4
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
=2
=5
=71
t
Gráfico de 1 com =4
Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados
=7
=5
=21
t
Gráfico de 1 com =4
Problema 1
Seja uma cadeia de Markov de três estados como se ilustra na figura:
0
1
2
01
02
Dado que acontece uma transição do estado 0, determinar a probabilidade de que esta transição seja para o estado 1.
10
20
Problema 1 Define-se:t01: tempo de permanência no estado 0 antes de
transitar para o estado 1, caso transite para o estado 1
t02: tempo de permanência no estado 0 antes de transitar para o estado 2, caso transite para o estado 2
A probabilidade pedida é equivalente à probabilidade de que a transição para o estado 1 ocorra antes da transição para o estado 2.
Problema 1
Portanto:
P t t P t t t s P t s ds( ) ( / ) ( )01 02 01 02 02 020
P t s P t s ds( ) ( )01 020
( )1 01 0202
0
e e dss s
01
01 02
Problema 1
Estendendo o resultado anterior, para qualquer número de estados, se tem que:
Pij
ij
ikk i
onde Pij: probabilidade de transitar do estado i para o
estado j, dado que acontece uma transição ik: taxa média de saída do estado i para o
estado k
Problema 2
Dado que aconteceu uma transição do estado i, qual é a probabilidade de que o próximo estado seja i ?
P Pii ijj i
1
Pij
ij
ikk i
Além disso:
Sabe-se que:
Problema 2
Portanto:
Pii
ij
ikk i
j i
1
Piiik
k i
ijj i
1
1
Pii 1 1 0
Problema 3
Dado que no instante zero o sistema está no estado i, qual é a probabilidade de permanecer neste estado até o instante t?
P{permanecer em estado i até t} = 1 - P{sair do estado i até t}
Dado que o tempo de permanência é exponencial:
ik
ikte
1
ik
ikte
Portanto: P{sair do estado i até t}
P{permanecer no estado i até t}